geometria_l2

7/23/2019 geometria_l2

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Resolues das atividades

Sumrio

Captulo 5 Poliedros ................................................................................................................................................................................................................................1

Captulo 6 Unidades de rea e unidades de volume ..............................................................................................................................................................................5

Captulo 7 Prismas ...................................................................................................................................................................................................................................8

GEOMETRIALIVRO 2

12aSrie Ensino Mdio

Captulo 5 Poliedros

Atividades para sala pg. 15

Atividades propostas pg. 15

01 B

O cubo tem 6 faces e 8 vrtices. Cada vrtice do cubo cor-responde a uma face triangular do poliedro; e cada facedo cubo corresponde a uma face quadrada. Logo, o polie-dro tem 8 faces triangulares e 6 faces quadradas.

01 D

Dados:F4= 12

F6= 8

F8= 6

123

Deve-se ter:

I. F = 12 + 8 + 6F = 26II. 2A = 12 4 + 8 6 + 6 8 2A = 144 A = 72III. V + F = A + 2 V + 26 = 72 + 2 V = 48

02 B Dados:F3= 8; F4= 18.

Deve-se ter:

I. F = 8 + 18 F = 26II. 2A = 8 3 + 18 42A = 24 + 72 A = 48III. V + F = A + 2 V + 26 = 48 + 2

V = 24IV. Os vrtices so idnticos, ento, de cada vrtice, parte

um mesmo nmero mde arestas. Da: o dobro do nmero de arestas = V m = 2A 24 m = 96

m = 4 Logo, o rombicuboctaedro apresenta 24 vrtices dosquais partem, de cada um, 4 arestas.

03 A

Sendo F5= x e F6= y os nmeros de faces pentagonais ehexagonais, respectivamente, deve-se ter:

I. V = 60 e F = x + yII. Cada vrtice tem 3 arestas (triedros ou ngulos tridri-

cos). Assim, obtm-se: O dobro do nmero de arestas = 2A = 3 V = F5 5 + F6 6 2A = 3 60 = x 5 + y 6

Da: 2A = 3 60 A = 90 x 5 + y 6 = 3 60 5x + 6y = 180

III. Relao de Euler: V + F = A + 2 60 + F = 90 + 2

F = 32

x + y = 32IV. Resolvendo o sistema

5x + 6y = 180

x + y = 32

123 , obtm-se:

x = 12 (faces pentagonais) e y= 20 (faces hexagonais).

04 Os ngulos polidricos esto associados aos vrtices dopoliedro, de modo que, se o ngulo constitudo de nsemirretas, porque do respectivo vrtice do poliedropartem narestas.

Dados:V3= 2; V5= 8; V6= 6.

Da, deve-se ter:I. V = 2 + 8 + 6V = 16II. 2A = 2 3 + 8 5 + 6 6 2A = 6 + 40 + 36 A = 41III. Relao de Euler: V + F = A + 2 16 + F = 41 + 2 F = 27

05 A figura apresenta vinte faces triangulares (F3= 20) e dozefaces pentagonais (F

5= 12). Da, deve-se ter:

I. F = 20 + 12 F =32II. 2A = 20 3 + 12 5 2A = 120 A = 60III. Relao de Euler: V + F = A + 2

V + 32 = 60 + 2 V = 30 Logo, o poliedro apresenta 30 vrtices e 60 arestas.


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2

GEOMETRIA LIVRO 2

2aSrie Ensino Mdio

02 A

De acordo com a planificao, o poliedro tem 8 faces trian-gulares (F3= 8) e 6 faces quadrangulares (F4= 6).

Da, tem-se:

I. F = F3+ F4F = 8 + 6 = 14II. 2A = 8 3 + 6 4

A = 24 242+

A = 24

III. Relao de Euler: V + F = A + 2 V + 14 = 24 + 2 V = 12

03 A

Contando as faces, tem-se:

node faces triangulares = F

3= 5;

node faces quadrangulares = F4= 10 + 5 = 15 (as 10 adja-

centes base, mais as 5 superiores; a base um dec-gono);

node faces pentagonais = F

5= 1;

node faces de 10 lados = F10= 1 (A base).

Da, obtm-se:I. F = F

3+ F

4+ F

5+ F

10= 5 + 15 + 1 + 1 F = 22

II. 2A = 5 3 + 15 4 + 1 5 + 1 10

A = 15 60 5 102

+ + +

A = 45

III. Relao de Euler: V + F = A + 2

V + 22 = 45 + 2 V = 25

04

Dados:

F = 15 (pentadecaedro)

V = 22 (vrtices)

F3= 4 (4 faces triangulares)

F5= x (x faces pentagonais)

F6= y (y faces hexagonais)

123

I. V + F = A + 2 22 + 15 = A + 2 A = 35II. F

3+ F

5+ F

6= F 4 + x + y = 15 x + y = 11

III. 2A = 3F3+ 5F5+ 6F670 = 12 + 5x + 6y 5x + 6y = 58

Resolvendo5x + 6y = 58

x + y = 11

123 , encontram-se x = 8 e y = 3.

Logo, existem 8 faces pentagonais.

05 I. F = F4= 30II. 2A = 30 4 A = 60III. V + F = A + 2 V + 30 = 60 + 2 V = 32

06 A = 40 e sendo V e F os respectivos nmeros de vrtices efaces, deve-se ter:

I.V F

k V k e F k3 4

3 4= = = = , em que k a constante de

proporcionalidade.

II. Relao de Euler: V + F = A + 2 3k + 4k = 40 + 2 k = 6 V = 3 6 = 18 e F = 4 6 = 24

07 B

O icosaedro tem 20 faces e cada face transformou-se em4. Assim, o geodsica tem 20 4 = 80 faces, todas triangu-lares. Da, o nmero de arestas (A) tal que:

2A = 80 3

A = 120

08 Os ngulos polidricos esto associados aos vrtices dopoliedro, de modo que, se o ngulo constitudo de nsemirretas, porque, do respectivo vrtice do poliedro,partem narestas.

Dados:V4= 3; V5= 6; V8= 4.

Da, deve-se ter:

I. V = 3 + 6 + 4V = 13II. 2A = 3 4 + 6 5 + 4 82A = 12 + 30 + 32 A = 37III. Relao de Euler: V + F = A + 2

13 + F = 37 + 2 F = 26

09 I. A V V A V A V= + = +

=

50

1001

1

2

3

2

II. V + A + F = 14 V + F = 14 AIII. Relao de Euler: V + F = A + 2 14 A = A + 2 A = 6

IV. A =3

2 63

2 3 12 4 = = =V V V V

V. V + A + F = 14 4 + 6 + F = 14 F = 4 Logo, o poliedro tem 4 faces e 6 arestas.

10 D

Os brilhantes ocuparo a posio dos vrtices e as has-tes so as arestas do poliedro, tem-se 2 A = 20 3

A = 30 e V + F = A + 2 V = 12. Pelos preos expostos, ocusto da joia (matria-prima) ser de:

C = 200 30 + 250 12 = R$ 9 000,00.


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GEOMETRIALIVRO 2

32aSrie Ensino Mdio

01 Tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e ico-saedro regulares.

02

a) Observando a nomenclatura, o dodecaedro tem 12faces e o icosaedro, 20. Como so conjugados, o dode-caedro tem 20 vrtices e o icosaedro, 12. Da, para ododecaedro, tem-se:

I. V + F = A + 2 32 = A + 2 A = 30 (os poliedrosconjugados tm o mesmo nmero de arestas).

II. Sendo no nmero de arestas de uma face do dode-caedro (F = 12):

2A = F m 60 = 12 n n = 5 (faces pentagonais) Logo, o dodecaedro apresenta 12 faces pentagonais.

Da, a soma (S) dos ngulos ser: S = 12 (n 2) 180 S = 12 (5 2) 180

S = 6 480 Outra soluo: S = (V 2) 360 S = (20 2) 360 S = 6 480

b) I. O dodecaedro regular tem V = 20 vrtices. Ligando os

vrtices, obtm-seV V =

=

( )1

2

20 19

2190 segmentos

entre arestas, diagonal de face e diagonal do poliedro.

II. Diagonais de face (as faces so pentgonos):

d5

= F5

5 5 3

2

( )= 12 (5) = 60

Logo, o nmero (D) de diagonais do dodecaedro

ser:

D = V V ( )1

2 A d5

D = 190 30 60

D = 100

03

b

a

a

a

Dado:a = 8 cm

A

B

C

D

Pela simetria da figura, ABCD um quadrado de lado bcujas diagonais so iguais a a, onde a a medida da arestado cubo e b, a medida da aresta do octaedro regular.

Da, tem-se: a = b 2 (diagonal do quadrado)

A

B

b

bb

b

a

C

D

8 2

8

2

8 22

4 2

=

= =

=

b

b

b cm

04 B

S = (V 2) 360 720 = (V 2) 360 V 2 = 2 V = 4

A + 2 = V + F A + 2 = 4 + F A = 2 + F.

Como F=23

A, obtm-se:

A = 2 +23

A 3A = 6 + 2A A = 6

F= =23

6 4

05 F3= 3

F4= 1

F5= 1

F6= 2

123Dados:

a) I. 2A = 3F3+ 4F4+ 5F5+ 6F6 2A = 9 + 4 + 5 + 12

2A = 30

A = 15

II. F = F3+ F

4+ F

5+ F

6

F = 3 + 1 + 1 + 2

F = 7

III. A + 2 = V + F

15 + 2 = V + 7

V = 10

O poliedro tem 10 vrtices, 7 faces e 15 arestas.

b) D =V V( ) 1

2 A N, em que:

N = F3 d

3+ F

4 d

4+ F

5 d

5+ F

6 d

6

N = 33 3 3

2 14 4 3

2 15 5 3

2 26 6 2

2

+

+

+

( ) ( ) ( ) ( )

N = 0 + 2 + 5 + 18

N = 25

Da:

D =10 10 1

215 25

( )

D = 5 9 40

D = 45 40

D = 5

O poliedro possui 5 diagonais.



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4

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2aSrie Ensino Mdio

01 D

O poliedro regular, de faces triangulares, e que no possuidiagonais o tetraedro, cujo nmero de vrtices igual a 4.

S = (V 2) 360

S = (4 2) 360

S = 720

02 De acordo com o enunciado, V = 60 e A = 90. SendoF

5= x e F

6= y, tem-se:

I. F = F5+ F

6F = x + y

II. V + F = A + 2 60 + F = 90 + 2 F = 32Da, x + y = 32

III. 2A = 5F5+ 6F

6180 = 5x + 6y.

x + y = 32

5x + 6y = 180Do sistema

123 , encontram-se x = 12 e y = 20.

Logo, F6= 20. Portanto, sero 20 os homenageados.

03 E

Foram dados F3= 10 e F

5= 10. Da, tem-se:

I. F = F3+ F5F = 20II. 2A = 3 F3+ 5 F52A = 30 + 50 A = 40III. V + F = A + 2 V + 20 = 40 + 2 V = 22IV. O node diagonais do poliedro (D) ser:

D

V VA N em que=

( ), :

1

1

N = F3 d3+ F5 d5(N o nmero de diagonais de

todas as faces) N = 10 3 3 3

2

10 5 5 3

2

+ ( ) ( )

N = 0 + 50 = 50

D = 22 22 1

240 50

( )

D = 11 21 90 D = 141

04 E

F3= 12

F5= x F = F3+ F5F = 12 + x

123

Como A = 3 F5A = 3x:

2A = 3F3+ 5F5 6x = 36 + 5x x = 36 F5= 36

Si = (n 2) 180, em que Si a soma dos ngulos inter-nos de um polgono de nlados.

Para n = 5 Si = (5 2) Si = 3 (note que rad = 180)

Sendo S a soma pedida, tem-se que S = 36 Si S = 36 3S = 108.

05 Foi dado S = 32r, onde r o ngulo reto e sabe-se queS = (V 2) 360. Da, tem-se:

I. (V 2) 360 = 32rV 2 =32 90360

V 2 = 8 V = 10

II. V + F = A + 2 10 + F = 20 + 2 F = 12

III.

12

3

F3= x

F5= y

F = x + yx + y = 12

IV. 2A = 3F3+ 5F

540 = 3x + 5y

Resolvendo o sistema

123x + y = 12

3x + 5y = 40, encontra-se

x = 10 e y = 2.

Logo, F3= 10 e F

5= 2.

O poliedro apresenta 10 faces triangulares e 2 faces penta-gonais.

06 A

I. F4= x e F3= 4 F = 4 + x

II. S = 12r (onde r um ngulo reto):

Logo, (V 2) 360 = 12r V 2 =12 90

360V = 5

III. 2A = 3F3+ 4F4 2A = 12 + 4x

A = 6 + 2x

IV. V + F = A + 2 5 + (4 + x) = (6 + 2x) + 2 x = 1

Logo, A = 6 + 2 1 A = 8

07 A

I.

1

23F3= xF4= y

F = x + y

II. S = 2 880 e S = (V 2) 360. Da:

2 880 = (V 2) 360

V 2 = 8 V = 10

III. V + F = A + 2 10 + F = 20 + 2 F = 12

Da, x + y = 12

IV. 2A = 3F3+ 4F

4

40 = 3x + 4y

Resolvendo o sistemax + y = 12

3x + 4y = 40

123 , obtm-se x = 8 e y = 4.

O poliedro possui 8 faces triangulares e 4 faces quadran-gulares.

08 Considere o tetraedro ABCD repre-sentado na figura e o ngulodiedro formado pelas faces BCDe ACD. Como todas as faces sotringulos equilteros e sendo amedida das arestas do tetraedro,

BM = AM = 3

2.

O M

D

C

B

A

r2r



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GEOMETRIALIVRO 2

52aSrie Ensino Mdio

O centro do tringulo BCD baricentro. Sendo assim:

OM = r e BM = 2r. Da: 2r + r = 3

2 r =

36

No tringulo retngulo AOM, cos =OMAM

cos =

3

6

2

3

1

3

=cos .

09

a

A

P

O

D

C

MB

2r

2r

rx

r

a

a

a

Na figura, O o centro de BCD (O baricentro) e P o centro de ACD (P baricentro). Considere a arestaOP = x a aresta do poliedro interno e AB = a do polie-dro externo. Usando a semelhana dos tringulos MAB e

MPO, obtm-se: ax

=2r+r

r= 3.

10 A

O cubo um hexaedro regular que possui V = 8 (oito vr-tices) e F = 6 (seis faces).

O dual do cubo, ao contrrio, possui V = 6 (seis vrtices) eF = 8 (oito faces, octaedro regular).

Note que para os dois, tem-se:

V + F = A + 2 14 = A + 2 A = 12 (doze arestas)

Logo, o octaedro regular dual ao cubo.

01 Seja ha altura da porta, ento, h = 12,5c. Como c = 16 cm, h = 12,5 16h = 200 cmh = 2 m (dois metros)

02

xyzwr

a

x

ey

d

z

c

w

br

a

b

c

d

e

0,004 km = 4 m

500 cm = 5 m

2p = (2a + 2b + 2c + 2d + 2e) + (2x + 2y + 2z + 2w + 2r)

2p = 2 (a + b + c + d + e) + 2 (x + y + z + w + r)

2p = 2 5 + 2 4

2p = 10 + 8

2p = 18 m

03 0,092 km = 92 m 92, 80, 60, 60 2

8 dam = 80 m 46, 40, 30, 30 2

600 dm = 60 m 23, 20, 15, 15 2

0,6 hm = 60 m 23, 10, 15, 15 2

23, 5, 15, 15 3

23, 5, 5, 5 5

23, 1, 1, 1 23

1, 1, 1, 1

m.d.c. = 22= 4

92 : 4 = 23

80 : 4 = 20

60 : 4 = 1560 : 4 = 15

23 + 20 + 15 + 15 = 73 estacas

04 rea do ladrilho = 24 cm 16 cm = 384 cm2

rea da sala = 700 cm 960 cm = 672 000 cm2

Node ladrilhos = 672 000

3841750=

05 B

B b

rea = ab = 60 cm2rea = A B

Tamanhoreal

A

Foto

a

I. Escala = comprimento na foto

comprimento realDa

a

A

b

B

A

=

= = =

1

250

1

250

250

. :

aa

B b=

250

II. rea real = A B rea real = (250a) (250b) rea real = (250)2 (ab) rea real = (62 500) (60 cm2)

rea real = 3 750 000 cm

2

rea real = 375 000 1

100

2

m

rea real = 3 750 000 1

10 0002m

rea real = 375 m2

III. Node gales =375

12312

2

2

m

m ,

Logo, sero comprados, no mnimo, 32 gales ao custototal de 32 (13 reais) = 416 reais.

Captulo 6Unidades de rea e unidades de

volume



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6

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2aSrie Ensino Mdio

01 C

12P 3 3 3 3 O

3,2

3,2

3,2

3,2

3,2

16

Q

Aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo PQO, tem-seque:

PQ PQ PQ m( ) = + ( ) = =2

2 22

12 16 400 20

02 1 080, 840, 600 2

540, 420, 300 2

270, 210, 150 2

135, 105, 75 3

45, 35, 25 3

15, 35, 25 3

5, 35, 25 5

1, 7, 5 5

1, 7, 1 7

1, 1, 1

m.d.c. = 23 3 5 = 120

a) 120 cmb) 1 080 :120 = 9 840 :120 = 7 9 + 7 + 5 = 21 pedaos 600 :120 = 5c) 21 3 cm = 63 cm = 0,63 m

03 B

Sejaxo nmero de tbuas de 2 cm e yo de 5 cm, ento,x + y = 50 e 2x + 5y = 154 cm.

Resolvendo o sistema , obtm-se:

123x + y = 50

2x + 5y = 154

x = 32 e y = 18. Logo, x y = 32 18 = 14

04 B

Tem-se que: 24 h = 24 60 60 s = 86 400 s So, portanto, 86 400 oscilaes e ele desce: 86 400 (0,02 m) = 17 28 mm = 1,728 m

05 Sendo m a medida real da trena, tem-se:

I. 1 m = 1 m + 3 mm 1 m = 1 m + 0,003 m 1 m = 1,003 m

II. Frente = 2 965 m = 2 965 (1,003 m) = 2 973,895 m

06 D

So obtidos1

5

1000

5200

m

mm

mm

mm= = quadradinhos no com-

primento e1

5mmm= 200 quadradinhos na largura, em um

total de (200) (200) = 40 000 quadradinhos.

Da:

comprimento total = 40 000 (5 mm)

= 200 000 mm

= 200 m

07 D

13

60 dam2= 20 dam2(praa de esporte)

50 20 = 30 dam2= 3 000 m2(restante)

3 000 :50 = 60 m2(rea de cada sala de aula)

08 D

c = 1,5 m

b=4,5

m

a = 7,5 m

A rea a ser colocada azulejo: ab + 2ac + 2bc = (7,5 4,5) + 2 (7,5 1,5) + 2 (4,5 1,5) =

= 33,75 + 22,5 + 13,5 = 69,75 m2= 697 500 cm2

rea de um azulejo = 152= 225 cm2

Nmero de azulejos = 697 500 :225 = 3 100

09 D 123

500 dm = 50 m

0,4 hm = 40 mrea do ptio = 50 m 40 m =

= 2 000 m2= 2 000 centiares

Node crianas = 2 000 2 = 4 000

10 D

Planta 12 cm

14 cm

Tamanhoreal

B

A

I. Escalacomprimento na planta

comprimento real

cm

A

= =

=

1

50

14 1

.Da :

22 1

50

50 14 700 7

50 12 600 6cm

B

A cm cm m

B cm cm m=

= = == = =

II. rea real = A B = (7 m) (6 m) = 42 m2



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GEOMETRIALIVRO 2

72aSrie Ensino Mdio

01 A

VB= 5 3 4 = 60

02

B

I. Precipitao: 5 cm = 50 mm (choveu 50 L de gua por m2)II. rea = 10 km2= 10 (103m)2= 10 106m2= 107m2

Logo, houve uma precipitao de 107 (50 L) = = 5 10 107L = 5 108L

03 A

O volume do slido igual ao volume de gua deslocado,ou seja:

V = 1 m 1 m 20 cm Observando que 20 cm = 0,2 m, tem-se: V = 1 1 0,2 = 0,2 m3= 0,20 m3

04 CI. Volume = (1 m) (25 cm) (20 cm) Volume = (10 dm) (2,5 dm) (2,0 dm) Volume = 50 dm3

II. 1 kg = 1,7 dm31 dm3=1

1 7,kg

Logo, ela comprar 50 1

1 7,kg

=50017

kg 29,4 kg

05 E

I. Volume de sangue = 5,5 L = 5,5 dm3= 5,5 (102mm)3== 5,5 106mm3.

II. Node glbulos vermelhos = (5,5 106) (5 milhes) =

= 27,5 106

milhes = (2,75 10) 106 106= 2,75 1013

1 cm = 0,1 dm

50 cm = 5 dm

2 m = 20 dm

Vpea2= 20 5 0,1 = 10 dm3

Regra de trs:

30 dm3 75 kg

10 dm3 x

Da:

30 x = 750 kg

x = 25 kg

03 E

0,5 cm

60

cm

80 cm

Vpedra

= 80 60 0,5 = 2 400 cm3

Pedra

50 cm

04 C

1,2

m

0,6 m

Obs.: 15 cm = 0,15 mCastelo

0,65 m15 cm

Vcastelo = 0,6 1,2 0,15 = 0,108 m3= 108 dm3

05 C

143,2 +x

100 143,2 = 179 14 320 + 143,2x = 17 900

143,2x = 3 580 x = 0,25 x = 25%

06 I. rea da regio = 10 m 15 m = 150 m2

II. A quantidade mxima de gua ocorrer para umachuva de 60 mm = 60 L em 1 m2, por hora.

Da, a quantidade de gua recebida na regio, em 1 hora,ser: 150 (60 L) = 9 000 L.



01 D

10 cm = 0,1 m

10 m

12 m

Vnecessrio= 12 m 10 m 0,1 m = 12 m3= 12 000 litros

02 2,5 cm = 0,25 dm

40 cm = 4 dm

3 m = 30 dm

Vpea1= 30 4 0,25 = 30 dm3


8/17

8

GEOMETRIA LIVRO 2

2aSrie Ensino Mdio

07 a) Nmero mximo de notas:

I. No comprimento:56

140560140

4cmmm

mmmm

= =

II. Na largura:3965

39065

6cmmm

mmmm

= =

III.Na altura:10

0 2

100

0 2

1000

2500

cm

mm

mm

mm, ,= = =

Da, o nmero mximo de notas ser 4 6 500 = 12 000notas, no valor de 12 000 (50 reais) = 600 000 reais.

b) I. Volume das notas = (56 cm) (39 cm) (10 cm) = 21 840 cm. II. Cada cm de notas tem o peso de 0,75 g. Da: Peso das notas: 21 840 (0,75 g) = 16 380 g = 16,38 kg Peso da mala cheia = (16,38 + 2,6) kg = 18,98 kg.

08 D

30 cm

x

x

x

x

Sendoxa medida da aresta do cubo, o volume da partevazia deve corresponder a 192 L = 192 dm3.

Logo, volume vazio = x x (30 cm) = 192 dm3

x2 (3,0 dm) = 192 dm3x2= 64 dm2

x = 8 dm

Logo, o volume do cubo ser x3= (8 dm)3= 512 dm3= 512 L.

09 B

Seja ha altura que o nvel da gua alcanaria.

Ento, 510 000 000 km2 h = 13 000 km3

h

km

km

h km h cm

=

= =

13 000

510 000 00

0 0000254 2 54

3

2

, ,

10 D

Sendo x3o volume do cubo, tem-se:

I. V1= abc = 50x3

Caixa 1 (V1)

xx

c

b

a

II. V2= 2a 2b 2c V2= 8abc V

2= 8 50x3

V2= 400x3

V2= 400 V

cubo

Logo, podem ser colocados 400 cubos na caixa maior.

01

6

6

6

6

6

6

6

D

C6B

A

16

P

Base

D

CB

A

I. O hexgono regular composto de seis tringulosequilteros, o lado do hexgono regular igual ao raio

da circunferncia circunscrita. Da, AD = 2 6 = 12 cm.

II. AD e ACDAD

= = = =360

2180

290

(ngulo inscrito).

III. No tringulo retngulo ACD:

(AD)2= (AC)2+ (CD)2

122= (AC)2+ 62

144 36 = (AC)2

(AC)2= 108

IV. No tringulo retngulo PAC:

(PC)2= (AP)2+ (AC)2

(PC)2= 256 + 108 (PC)2= 364

PC = 2 91 cm

V. No tringulo retngulo PAD:

(PD)2= (PA)2+ (AD)2

(PD)2= 256 + 144

(PD)2= 400

PD = 20 cm

As possveis medidas so 2 91 20cm e cm.

Caixa 2 (V2)

xx

2c

2b

2a

Captulo 7 Prismas



9/17

GEOMETRIALIVRO 2

92aSrie Ensino Mdio

02 B

No paraleleppedo, tem-se:

I. rea total: S = 2ab + 2ac + 2bc

II. Diagonal: d = a b c d a b c2 2 2 2 2 2 2+ + = + +

III. m = a + b + cIV. Produto notvel:

(a + b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc m2= d2+ S S = m2 d2

03 C

I. Volume do reservatrio: V = a b c V = 8 m 5 m 120 cm V = 80 dm 50 dm 12 dm V = 48 000 dm3

V = 48 000 LII. Regra de trs:

2 litros 1 segundo 48 000 litros x Da, 2x = 48 000 x = 24 000 s x= =

24 000

60400 min

04 I. D

Sendo aa medida da aresta de C1, a medida da aresta de

C2ser a + 2. Da, deve-se ter:

rea de C2= rea de C1+ 216

6 (a + 2)2= 6a2+ 216

6 (a2+ 4 a + 4) = 6a2+ 216

24a = 216 24 a = 8

II. E

I. Volume de C1= 83= 512 cm3

II. Volume de C2= (8 + 2)3= 103= 1 000 cm3

III. Regra de trs: Volume (cm3) Custo (R$)

512 5,12

1 000 x

5 12 512

100010

,

xx reais= = Da,

05 A superfcie da gua sempre fica na horizontal, paralela aosolo. Como os ngulos alternos internos de retas paralelasso iguais, deve-se ter:

h

30

y

y

60

60

4

4

4

x

x

20 3

I. Tgx

x604

34

3

4 3

3= = = =

II. Volume de gua =

23

[(4 cm) (4 cm) ( 20 3 cm)] =

= (4 cm) (4 cm) y+ 1

2(4 cm) (4 cm) x

Dividindo por (4 cm) (4 cm), obtm-se:

40 3

312

= + y x

40 3

312

= + =y y4 3

338 3

3

III. x + y =42 3

314 3=

IV. sen 60 =h

x yh

h cm+

= = =3

2 14 3

32

21

01 I. S = (V 2) 360 = 72 (ngulo reto)

V 2 =72 90

360

( )o

o

V 2 = 18 V = 20II. Sendo no nmero de lados da base, o prisma ter 2n

vrtices (nem uma das bases e nna outra base).Da: 2 n = 20 n = 10 (a base um decgono).

III. O prisma ter 30 arestas (10 em uma base, 10 na outrabase e 10 laterais).

Resposta: Prisma decagonal; 30 arestas.

02 D rea de uma caixa, em cm2 :

A = 2 (14 20 + 14 40 + 20 40) = 3 280 cm2= 0,328 m2

rea total de 10 000 caixas: 10 000 A = 3 280 m2

03 C

No caminho, no mximo, cabero:

I. No comprimento: 5 caixas.II. Na largura: 2 caixas.III. Na altura: 2 caixas. Logo, em uma viagem, o caminho poder levar, no

mximo, 5 2 2 = 20 caixas. Assim, ele ter de fazer, no

mnimo,

240

20 12= viagens.

04 D

Sendo a, be cas dimenses do paraleleppedo B, deve-seter:

Escala =medida em A

medida emB

1

10

Dacm

a

cm

b

cm

c

a c

=

=8 5 2 5 4 1

10

85

:, ,

mm

b cm

c cm

=

=

25

40

Logo, o volume de B ser:

a b c = 85 000 cm3



10/17

10

GEOMETRIA LIVRO 2

2aSrie Ensino Mdio

05 A

Sendo a, b, cas dimenses do paraleleppedo, tem-se:

I. Diagonal: D = a b c a b c2 2 2 2 2 25 2 50+ + = + + =

II. Atotal= 2ab + 2ac + 2bc = 94

III. Produto notvel: (a + b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc

(a + b + c)2= 50 + 94 a + b + c = 144 12=

IV. P.A. de razo R: (a, b, c) a = b R

c = b + R

123

V. a + b + c = 12 (b R) + b + (b + R) = 12 b = 4

a = 4 R

c = 4 + R

123

VI. a2+ b2+ c2= 50 (4 R)2+ 42+ (4 + R)2= 50 16 8R + R2+ 16 + 16 + 8R + R2= 50

2R2= 2

R = 1 P.A.: (3, 4, 5)

ou

R = 1 P.A.: (5, 4, 3)

Logo, V = a b c = 3 4 5 = 60 m3.

06 A

S(x) = (2x + 180) (2x + 270 + 135 2)

S(x) = 4x2+ 540x + 360 + 48 600

S(x) = 4x2+ 900x + 48 600

07 A

As dimenses da caixa so (60 20x), (60 2x) ex, onde

0 < x < 30, e a altura da bola 2 3 cm = 6 cm. Pode-se ter:I. Para 1 camada (x = 6 cm):

Node bolas =60 2

660 2

6 68 8 1 64

= =

x x x

II. Para 2 camadas (x = 2 6 cm = 12 cm):

Node bolas =60 2

660 2

6 66 6 2 72

= =

x x x

III. Para 3 camadas (x = 3 6 cm = 18 cm):

Node bolas =60 2

660 2

6 64 4 3 48

= =

x x x

IV. Para 4 camadas (x = 4 6 cm = 24 cm):

Node bolas = 60 26

60 26 6

2 2 4 16

= =x x x

Logo, o mximo sero 72 bolas.

08 C

ba

c Tem-se:

123

ab = 14

ac = 10

bc = 5

Multiplicando membro a membro, obtm-se:

a2b2c2= 14 10 5 abc = ( ) ( )2 7 2 5 5 10 7 =

09 I. rea = 6 a2= 18 a2= 3a = 3cm (aresta do cubo).

II. A maior distncia entre dois pontos de um cubo adiagonal d = a 3 .

Logo, d = 3 3 = 3 cm.

10 A

Volume de gua: 40 cm 10 cm (20 6) cm = 20 cm 10 cm (40 x) cm.

Da:

40 10 14 = 20 10 (40 x) 2 14 = 40 x

x = 12 cm

01 D

a

a

a

a

a

aa

A

B C

D

Base

A

B C

D

3 cm

a

I. Abase= 6 a a2 23

43 3

2

=

II. Alateral= 6 [a 3] = 18aIII. A

lateral= 2 A

base

18 2 3 32

18

3 3

2 3

2

2

a a

aa

a cm

=

=

=

IV. Volume = V = Abase (Altura)

Va

V

V cm

=

=

=

3 32

3

3 4 3 32

3

54 3

2

3

02

8 m

123

1230,6 m

2,7 m

gua

0,9 m

B

C

DE

F x

x

A

8m

8m

15 m

15 m



11/17

GEOMETRIALIVRO 2

112aSrie Ensino Mdio

x

0,90,9

B15

E

D

CF

0,61,8

2,7 0,9 = 1,8

15

A

I. Semelhana de tringulo: x x m

15

0 6

1 85= =

,

,

II. A gua forma um prisma de base triangular e altura8 m. Da, o volume da gua :

Vgua= Abase altura

Vgua=x 0,6

28 =

5 0,62

8=12 m3

03 Tem-se:

Abase= Aseco= S1+ S2, em que:

3 m

2 m

2 m

7 m

3 m

S2

S1 2 m

4 m

I. S1=( )7 5 2

2

+ = 12 m2

II. S2= 3 2 = 6 m2

Da:

Abase= S1+ S2= 12 + 6 = 18 m2

Vpiscina= 18 3 = 54 m3

04

H

60

6cm

2 cm

Tem-se:

I. A Ab cmb= 62 3

46 3

22

II. sen 60 =H H

H cm6

32 6

3 3 = =

III. V = Ab H V = 6 3 3 3 V = 54 cm3

05 C

No tringulo sombreado, 52= 42+ h225 16 = h2

h2= 9 h = 3.

4 4

5h

5

8

Logo, a rea da base do prisma ser:

A A mb b

8 3

212 2 ou

p

A mb

+ +

=

= =

5 5 8

29

9 1 4 4 12 2

Assim, o volume ser:

V = Ab H V = 12 3 V = 36 m3


01 D

Pelo Princpio de Cavalieri, as pilhas tm o mesmo volume.

02 D

I. Vcoluna

=a

H m2 2

334

1 34

105 3

2 = =

II. 10 Vcoluna

=105 3

225 3 3 = m

Logo, custo = 25 3 200 5 000 3 =( ) .reais reais

Utilizando 3 1 73 , , obtm-se custo 5 000 (1,73) =

= 8 650 reais.

03 E

Ab

V Ab H V V

= =

=

62 3

46 3

6 3 2 12 3

2

04 Sendox

a medida da aresta da base, tem-se:

y

123

123

AB

(Figura 1)

2a

3a

Q

z

P

xx

xx

xx

Qy

Ox

xx

xx

BA

P

z123

123

(Figura 2)

Na figura 1, tem-se:

I. 6x = 3a x =a2


12/17

12

GEOMETRIA LIVRO 2

2aSrie Ensino Mdio

II. Semelhana de tringulos:

y

a

x

xy

a a

2 6

2

6 3= = =

z

a

x

x

a a

2

4

62

8

6

4

3= = =

Na figura 2 (prisma), tem-se:

A x x B

z2x

y

Q

dP

z y

III. d2= (2x)2+ (z y)2

d

a a a

d a a

d a a

Logo PQ d a

22 2

2 2 2

2

22

4

3 3

2 2

2

+

+

, .

05

2120

2

(base)

I. Abase=1

22 2 120 3 3 =sen cm

II. V = Abase Altura = 3 6 3 183 = cm

06

B

HC

D

E

2 2

2h

2

A3

32

No tringulo CDH:

22= 32

2

+ h24 = 9

4+ h2

h2=74

72

=h

AEDC=3

72

2

3 7

4

=

AABCE= 3 2 = 6

Abase=3 7

46 2+

cm

(base invertida do prisma)

Vprisma= Abase Altura

Vprisma=3 7

46 10

15 7

260 3+

= +

cm

ou

Vprisma

=15 7 120

2

15 7 8

23+ =

+( )cm

07 C

7

1 m

3 m

LX 10 x

10 m

7 m

J

I H

GF

E

D C

BA

x 2

9+

4 m

I. (JI)2= 32+ x2JI = x2 9+

II. AEFIJ+ AFGHI= 77

7 x + 9 + 7 10 x = 772

+ + ( ) =

+ + =

+ = +

+

( )

7 9 10 77

9 10 11

9 1

9

2

2

2

2

x x

x x

x x

x == + +

=

=

x x

x

x

2 2 1

2 8

4

III. Vpiscina= Vparalel. Vprisma trian.

Vpiscina= (10 7 4) 3 42

7

Vpiscina= 280 42 Vpiscina= 238 m

3

Vpiscina= 238 000 litros

IV. Emxhoras, deve-se ter:

(8 000 L) x = 238 000 L

x = 29,75 h

Observando que 0,75 h = 0,75 (60 min) = 45 min, obtm-se

x = 29 h 45 min.


13/17

GEOMETRIALIVRO 2

132aSrie Ensino Mdio

09 D

5

3

3 3

22

BA

E

DC

3

3

2

h

32

A B

C

D

E

(base)

I. Na base:

3

32

36 9 43 3

22

22

+ =h h h

II. Abase= AABCE+ ACDE

Abase

= (3 2) +12

3 h

Abase

= 6 +9 3

4 III. V = Abase (Altura do prisma)

V

V

= +

= +( )

69 3

45

3045 3

410 D

(base)

5

x

5

3 2 3

8

2

x

I. 52= 32+ x2x = 4

II. Abase

= ( )8 +2 x2

Abase

=( )8 2 4

220

+ =

III. V = Abase (Altura do prisma)

V = 20 5 V = 100 m3

08 B

V = Ab H

V

5 34

4 32

V = 25 3

V = 75 unidades de volume 5

4 3


14/17


15/17

Resolues de ENEM e vestibulares

GEOMETRIALIVRO 2

12aSrie Ensino Mdio

01 B

x

A

8

3cm

O

3 x

30

sen 30 =3 1

26

AOAO cm= =

Logo:

AO + (3 x) = 8

6 + 3 x = 8

x = 1 cm

02 Trs eixos perpendiculares determinam diedros de 90

(pense em um canto de parede e prolongue as arestas),

conforme a figura seguinte.

S

1,5

1,5

d

F

F

F

F

F

F

Tem-se que:

d

d

d

d

d angstrons

2 2 2

2

1 5 1 5

2 1 5

1 5 2

1 5 1 4

2 1

= +

=

= = =

( , ) ( , )

( , )

,

, ,

,

Assim, a distncia entre dois quaisquer dos seis tomos deflor d = 2,1 angstrons ou 2 (1,5) = 3,0 angstrons. Logo,a menor distncia 2,1 angstrons.

03 B

Ao retirar uma pirmide de cada vrtice, as faces que eramtodas inicialmente triangulares, viraram faces hexagonais; e,em cada vrtice, surge uma face pentagonal. Da, tem-se:

Face da bola (no inflada)Face do icosaedro

Fica no lugar do vrtice(pentgono)

Corte do vrtice, bico,pirmide

I. 20 faces triangulares no icosaedro 20 faces hexago-nais no polgono da bola (F

6= 20).

II. 12 vrtices no icosaedro 12 faces pentagonais nopolgono da bola (F

5

= 12).III. 2A = 5F

5+ 6F

62A = 5 12 + 6 20 2A = 180

A = 90.Ento, 90 7 cm = 630 cm = 6,3 m.

04 E

Si= (V 2) 360

7 200 = (V 2) 360

V 2 = 20

V = 22

05 C

Sendo F e V os nmeros de faces e de vrtices, deve-se ter:

I. 2A = 3 F 60 = 3 F F = 20 (icosaedro de Plato)II. V + F = A + 2 V + 20 = 30 + 2 V = 12III. So 12 vrtices, cada um commarestas. Da: 2A = m V60 = m 12m = 5 Assim, o icosaedro de Plato tem 12 vrtices, cada um com

5 arestas.


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2

GEOMETRIA LIVRO 2

2aSrie Ensino Mdio

06 D

0,25 dam = 25 dm

0,72 hm = 720 dm

20 cm = 2 dm

Asala= 720 25 = 18 000 dm2

Aladrilho= 22= 4 dm2

Nmero de ladrilhos assentados =18 000

44 500

Node ladrilhos usados, incluindo os inutilizados:

45004

1004 500 4 680+ =

07 B

Sejaxa medida no real, tem-se que:

Escala = medidana plantamedida real

140 000

4 1

40 000x

x = 160 000 cm = 1,6 km

08 C

O menor nmero de caixas ocorre quando a caixa mxima.

I. Aresta da caixa = m.d.c. (30, 72, 6) = 6II. Vgalpo= 30 72 6 = 12 960 m

3

III. Vcaixa= 63

= 216 m3

Da, node caixas =12 960

21660 .

09 D

Sendo a, b, cas dimenses do paraleleppedo, tem-se:

I. a b c k

a k

b k

c k2 3 4

2

3

4

=

=

=

=

II. AT= 2ab + 2ac + 2bc = 208

ab + ac + bc = 104 2k 3k + 2k 4k + 3k 4k = 104

6k2+ 8k2+ 12k2= 104

26k2= 104

k2= 4

k = 2

Da,

a = 4 cm

b = 6 cm

c = 8 cm

e V = abc = 192 cm3= 0,192 dm3

123

10 B

Fato que ajuda: as figuras semelhantes apresentam os ngulos respectiva-

mente iguais e as linhas correspondentes proporcionais.Sendo k a razo de semelhana (constante de propor-cionalidade, razo entre duas linhas correspondentes), a

razo entre as respectivas reas correspondentes ser k2

e a razo entre os respectivos volumes correspondentesser k3.

Sendo a, b, cas dimenses da caixa maior e a, b, c asrespectivas dimenses correspondentes da caixa menor,deve-se ter:

I.

a ka

a

a

b

b

c

ck b kb

c kc

= =

=

123

II. V

V

abc

a b ck

v

vk,

= =3 3 3

22

III.A

Ak

( ) =2 3

232 4

Veja a demonstrao:

A = 2 (ab + ac + bc) A = 2 (ka kb + ka kc + kb kc) A = 2k2(ab + ac + bc)

A = 2 (ab + ac + bc)

A

A

k a b a c b c

a b a c b c

A

Ak

( )

( )

+ ++ +

= =2

2

22

11 B

a = 2

22

h 3

Atrea total

Abrea da base

Alrea lateral


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GEOMETRIALIVRO 2

32a Srie Ensino Mdio

I A

aua

II A ah ua

III A A

b

l

t l

. . .

. . .

.

63

46

2 3

46 3

6 6 2 3 12 3

2 2

++

= +

=

2

12 3 2 6 3

24 3

A

A

A ua

b

t

t . .

12 Considerando ABCD uma das bases do prisma, a alturado prisma ser 2 m (distncia entre as bases paralelas eiguais).

3h h

h h

45

45 45

45

4545

3

(trapzio, base do prisma)

O volume V = 8 000 L = 8 m3desse prisma tambm :

V = Abase

(altura do prisma) = 8

( )2 3 3

22 8

h h+ +

=

2h2+ 6h 8 = 0

h2+ 3h 4 = 0

h m dm mou

h n m

= =

=

1 10

4

(

conv

o conv

)

( )

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