George Berkeley e Os Fundamentos Do Calc

Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 4, v. 1, n.1, p. 33-73, jan.-jun. 2015.

CDD: 192

GEORGE BERKELEY E OS FUNDAMENTOS DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ITALA MARIA LOFFREDO D’OTTAVIANO Centro de Lógica, Epistemologia e História da Ciência – CLE Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP Campinas, SP, Brasil [email protected] FÁBIO MAIA BERTATO Centro de Lógica, Epistemologia e História da Ciência – CLE Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP Campinas, SP, Brasil [email protected] Resumo: Neste artigo analisamos as críticas apresentadas por George Berkeley, em The analyst (1734), ao método das fluxões e à inconsistência intrínseca à noção de infinitésimo do cálculo diferencial e integral, introduzido por Isaac Newton. Procuramos mostrar que as críticas de Berkeley não eram de todo infundadas, uma vez que foram necessários quase duzentos anos para que viesse a ser introduzida por Karl Weierstrass a definição rigorosa de limite, que propiciou uma solução para o problema dos infinitésimos. São mencionadas ainda duas outras teorias contemporâneas, com abordagens distintas para a solução da questão do infinitésimo: a análise não-standard de Abraham Robinson e o cálculo diferencial paraconsistente proposto por Newton da Costa. Apesar de serem citados alguns autores importantes para o desenvolvimento do cálculo, este artigo não se propõe a analisar suas obras e não pretende apresentar uma história do cálculo diferencial e integral. Palavras-chave: George Berkeley, método das fluxões, infinitésimo, cálculo diferencial paraconsistente.

Itala D’Ottaviano & Fábio Bertato


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GEORGE BERKELEY AND THE FOUNDATIONS OF DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS Abstract: In this paper we analyze the criticisms made by George Berkeley, in The analyst (1734), to the method of fluxions and to the intrinsic inconsistency of the notion of infinitesimal of the differential and integral calculus, introduced by Isaac Newton. We argue that the criticisms of Berkeley were not altogether unfounded, since it took nearly two hundred years for the introduction of the rigorous definition of limit by Karl Weierstrass, which provided a solution to the problem of infinitesimals. Two other contemporary theories are also mentioned, with different approaches to the question of infinitesimals: the non-standard analysis of Abraham Robinson and the paraconsistent calculus proposed by Newton da Costa. Although some important authors for the development of calculus are mentioned, this article does not aim at analyzing his works and does not intend to present a history of differential and integral calculus. Keywords: George Berkeley, method of fluxions, infinitesimals, paraconsistent calculus.

1. Introdução Noções relacionadas com o “infinitésimo”, ou “magnitude infinitesimal”,

associadas às propriedades do contínuo (matemático ou físico, relativo a espaço, tempo e movimento), podem ser identificadas na filosofia e na geometria dos pitagóricos, de Anaxágoras de Clazômenas (c. 449-428 AEC), de Leucipo de Mileto (séc. V AEC) – criador da doutrina atomista –, de seu discípulo Demócrito de Abdera (c. 460-370 AEC) e de Aristóteles (384-322 AEC). Relacionam-se especialmente com as teorias de Eudoxo (c. 408-355 AEC), de Euclides de Alexandria (325-265 AEC) e, mais explicitamente, com os trabalhos de Arquimedes de Siracusa (287-212 AEC) (cf. BOYER, 1974; LINTZ, 2007a; CARVALHO, 2004). O termo infinitesimus, cunhado no latim utilizado nos séculos XVI e XVII, é formado a partir do radical infinit- e do sufixo -esimus. Além do uso em ordinais, este sufixo corresponde aproximadamente ao substantivo português avo, utilizado em números fracionários, como por exemplo, em 1/12

(“um doze avos”). Portanto, originalmente infinitésimo significava 1/ ou “a unidade dividida pelo infinito”, uma quantidade infinitamente pequena. Em linhas gerais, um infinitésimo é considerado uma magnitude não-nula menor do que qualquer outra magnitude não-nula da mesma classe.

George Berkeley e os fundamentos do cálculo


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Após a crise dos incomensuráveis,1 os matemáticos gregos desenvolveram o método que denominamos atualmente de método de exaustão, com o qual, por exemplo, “exauriam” a área entre o círculo e um polígono regular nele inscrito, aumentando o número de lados desse último. A fundamentação rigorosa do método da exaustão é devida a Eudoxo. Deste modo, era possível efetuar, de forma finita e precisa, cálculos de comprimentos, áreas e volumes de figuras geométricas. Seu método fundamenta-se no seguinte lema:

Se de uma grandeza qualquer se subtrair uma parte não menor do que sua metade, e do resto se subtrair não menos do que sua metade, e assim se prosseguir, restará ao final uma grandeza menor do que qualquer grandeza da mesma espécie.2

Arquimedes utiliza o método de exaustão de Eudoxo em suas obras De conoidibus et sphaeroidibus, Quadratura parabolae e O método3 (cf. HEATH, 1950), lidando com os infinitésimos sem magnitude, pois não são obtidos pela divisão de entes geométricos. Considera-se, tradicionalmente, que Arquimedes tenha se antecipado às noções fundamentais da teoria de limites, diferenciação e

1 É bem sabido que os pitagóricos assumiam que a aplicação sucessiva de um segmento u sobre outro AB terminaria após um número finito de passos. Em notação atual

significa que AB = (p/q)u. Tal não é o que ocorre com o lado de um quadrado e sua diagonal, e a prova desta incomensurabilidade é um exemplo clássico de reductio ad absurdum (cf. ARISTÓTELES, Analytica priora I, § 23, 25).

2 Tal lema, conhecido como “Lema de Arquimedes”, é uma das versões da primeira proposição do Livro X dos Elementos de EUCLIDES (2009). A teoria de Eudoxo é conhecida por meio da obra de Euclides, particularmente o Livro XII, como atesta Arquimedes no prefácio de sua obra De sphaera et cylindro.

3 Esta última obra, intitulada , só é conhecida graças ao palimpsesto encontrado em 1906 por Johan L. Heiberg, em Constantinopla. A importância da obra reside especialmente no método mecânico para resolução de problemas e o principal argumento, considerado por Arquimedes, é o de uma área como soma de infinitos segmentos de reta. Tal método é utilizado, por exemplo, para se calcular a área de um segmento de parábola determinado por uma corda. Em sua obra Quadratura parabolae, Arquimedes apresenta uma prova geométrica e sobre o resultado obtido, utilizando o

método mecânico, afirma ser “”, isto é, “sem prová-lo” (cf. HEATH, 1950).



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integração, desenvolvidas apenas a partir do final do século XVII. Todavia, há desacordo sobre tal afirmação (cf. BOYER, 1974; SMITH, 1958; LINTZ, 2007a).4

Acerca da contribuição dos árabes ao tema, em especial de Ibn al-Haytham, vide RASHED (1993-2010).

Já no século XVII, Johannes Kepler (1571-1630), Galileu Galilei (1564-1642) e seu discípulo Evangelista Torricelli (1608-1647) aplicaram, com relativo rigor e sucesso, o método infinitesimal à física e à matemática. Kepler utiliza transformações geométricas e métodos infinitesimais no cálculo do volume de inúmeros sólidos de revolução, em particular, no cálculo do volume de tonéis de vinho (cf. KEPLER, 1615, p. 551-646). Galileu utiliza propriedades dos infinitésimos, inclusive algumas relacionadas com sua ordem, no estudo de problemas da mecânica e da dinâmica, por exemplo no movimento de projéteis e queda livre de corpos (cf. GALILEU, 1638); em Galileu já encontramos a utilização do termo indivisível (cf. GALILEU, 1890-1909). Seu discípulo Bonaventura Cavalieri (1598-1647), em 1635, mesclando o método de exaustão e o método infinitesimal de Kepler, desenvolve um novo processo para o cálculo de áreas e volumes, podendo ser considerado um dos chamados precursores do cálculo diferencial e integral (cf. CAVALIERI, 1966; BARON, 1969). Torricelli interpreta os conceitos de derivada e de integral, tendo elucidado aspectos obscuros da obra de Cavalieri (cf. TORRICELLI, 1644).

Dentre os precursores do cálculo diferencial e integral podemos ainda destacar René Descartes (1596-1650), Pierre Simon de Fermat (1601-1655) e John Wallis (1616-1703) (cf. BOYER, 1974; LINTZ, 2007a, 2007b; CARVALHO, 2004; CARVALHO & D’OTTAVIANO, 2005, 2006).

Sir Isaac Newton (1624-1727) foi motivado em seus trabalhos, na matemática e na física, pela física de Aristóteles (cf. BARROW, 1670), pelo método axiomático de Euclides e pelos trabalhos de WALLIS (1693). Seus

4 O matemático e historiador da matemática Rubens Lintz, acerca do método da exaustão como precursor da teoria dos limites, chega a asseverar :“Esta afirmação absurda é mais uma consequência trágica do fato de não se colocar a matemática grega em sua devida perspectiva histórica [...] este erro lamentável [...] tem sido o responsável por uma das maiores deformações do pensamento histórico de que se tem notícia” (LINTZ, 2007a, p. 210-11). Para Lintz, o uso do método da exaustão pelos gregos decorre exatamente de seu cuidado em eliminar processos limites (cf. LINTZ, 2007a, p. 234).



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trabalhos mais relevantes para o cálculo diferencial e integral são Philosophiae naturalis principia mathematica (1687), Opticks (1704), Universal aritmethic (1707), Analysis per quantitatum series, fluxiones, ac differentias (1711), Methodus differentialis (1711) e The method of fluxions and infinite series (1736, originalmente De methodus fluxionum et serierum infinitarum, produzido em 1671) (cf. NEWTON, 1687, 1711, 1736, 1967-81).

Alguns dos trabalhos de Newton correspondem ao resultado da compilação de manuscritos mais antigos, que relutara em publicar assim que os produzira, como Opticks (1704), escrito originalmente em inglês, que inclui, como apêndices, os tratados Cubic curves, quadrature and rectification of curves by the use of infinite series e Method of fluxions, este último no qual são introduzidas as entidades denominadas fluxões e fluentes.5 Em Analysis per quantitatum series, fluxiones, ac differentias (1711), também uma compilação de vários tratados, a mais importante obra para o cálculo diferencial e integral é De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, no qual é introduzida a noção de momento de um fluente.

Newton introduz, através das entidades que define, dois tipos de problemas: encontrar a fluxão associada a fluentes dados, a partir de relações conhecidas entre os mesmos, o que corresponde ao processo de diferenciação do cálculo usual; e determinar a relação entre as fluxões de dois fluentes, dada a equação que traduz a relação existente entre tais fluentes, processo inverso ao primeiro e que corresponde ao processo de integração do cálculo usual.

Newton esperava dar, com o uso das fluxões e dos fluentes, mais consistência ao seu método infinitesimal, porém, não conseguiu justificar satisfatoriamente o desaparecimento, em operações com momentos dos fluentes, de certas quantidades ou incrementos, tacitamente considerados desprezíveis.

Independentemente de Newton, em 1684, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) publica a obra Nova methodus pro maximus et minimis, onde introduz e sistematiza seu cálculo diferencial, com a notação básica que seria adotada em definitivo, como, por exemplo, dx para expressar diferencial de x (LEIBNIZ, 1684; cf. LEIBNIZ, 1983). Em De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, Leibniz (1686) sistematiza o cálculo integral, estabelecendo a notação

5 O que Newton denomina de fluents ou flowing quantities, corresponde ao que denominamos atualmente de funções e, por sua vez, fluxions correspondem às derivadas.



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básica definitiva que viria a ser adotada, como a notação x, depois modificada

para xdx, da integração usual (ver também COUTURAT, 1903). Leibniz, em 1676, através de Henry Oldenburg, havia se comunicado

com Newton, o que, de acordo com BARON (1969), seria de grande significado matemático e se incorporaria às controvérsias envolvendo seus nomes, pela paternidade do cálculo, pelos próximos duzentos e cinquenta anos.

O objetivo específico da primeira parte deste artigo consiste em analisar as críticas de George Berkeley (1685-1753), em The analyst, publicado em 1734, ao método das fluxões e à inconsistência intrínseca à noção de infinitésimo do cálculo diferencial e integral introduzido por Newton no final do século XVII.6 Discutimos também sucintamente críticas semelhantes de matemáticos franceses, entre 1700 e 1706, ao cálculo diferencial introduzido de forma independente por Leibniz. Todavia, não nos propomos a uma discussão exaustiva sobre o desenvolvimento e sobre os tratamentos dos fundamentos do cálculo nos séculos XVIII e XIX.

Procuramos mostrar que as críticas de Berkeley não eram de todo infundadas, pois foram necessários quase duzentos anos até que Karl Weierstrass (1815-1897), com a aritmetização da análise matemática, viesse a introduzir a definição rigorosa de limite do cálculo diferencial e integral contemporâneo, tendo fornecido uma solução para o problema dos infinitésimos. Apesar de serem citados alguns autores importantes para o desenvolvimento do cálculo, também não nos propomos a uma análise de suas obras.

Duas outras teorias para a análise matemática, com abordagens distintas para a solução da inconsistência inerente à noção de infinitésimo de Newton e Leibniz, são ainda mencionadas, de modo bastante geral: a análise não-standard de Abraham Robinson (1918-1974), introduzida em 1961, com a utilização da teoria de modelos; e o cálculo diferencial paraconsistente introduzido por Newton da Costa em 2000, construído sobre uma lógica paraconsistente e uma teoria de conjuntos paraconsistente, e desenvolvido recentemente por Carvalho & D’Ottaviano. A análise não-standard de Robinson estende, sob certo ponto de vista, a análise matemática clássica; e o cálculo diferencial

6 As críticas feitas por Berkeley são dirigidas à prática matemática de sua época, seja dos matemáticos conterrâneos ou dos “matemáticos do continente”. Todavia, o alvo principal de Berkeley são aqueles “matemáticos infiéis”, discípulos de Newton.



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paraconsistente de da Costa estende, também sob certo ponto de vista, a análise clássica e a análise não-standard. Devido à complexidade formal de tais teorias, torna-se inviável, neste artigo, em face de seus objetivos, uma exposição detalhada de seus conteúdos.

Observamos ainda que foge do escopo deste artigo a apresentação de uma história do cálculo diferencial e integral, tendo em vista a abundante literatura sobre o tema.

A primeira parte do artigo utiliza como referências relevantes WISDOM (1953) e CANTOR (1984). Indicamos também CAJORI (1919), WISDOM (1939, 1941, 1942), GRATTAN-GUINNESS (1969) e JESSEPH (1993). Para a segunda seção, utilizamos CARVALHO (2004), CARVALHO & D’OTTAVIANO (2005, 2006) e D’OTTAVIANO & CARVALHO (2005).

2. A crítica de Berkeley, em The analyst, ao cálculo diferencial de Newton

As investigações de Berkeley em filosofia da matemática começaram

em seus dois notebooks, conhecidos como Philosophical commentaries (assim chamados pelo editor de BERKELEY, 1944), especialmente no Notebook B, cada um contendo aproximadamente quatrocentas notas sobre tópicos filosóficos, e em Of infinites (1707-8). Berkeley, ainda muito jovem, faz diversas observações críticas sobre a matemática. Os Philosophical commentaries (BERKELEY, 1944) foram escritos em 1707-8, antecipando suas doutrinas de An essay towards a new theory of vision (1709) e A treatise concerning the principles of human knowledge (1710).

Em An essay towards a new theory of vision, BERKELEY (1709) desenvolve cuidadosos comentários sobre as relações entre geometria e a percepção visual humana. No Treatise, um dos mais importantes trabalhos filosóficos de Berkeley, são discutidas questões relativas a ideias abstratas e à linguagem; à natureza da aritmética e números inteiros finitos; extensão espacial e divisibilidade infinita. Esses temas reaparecerão em séculos posteriores, nos trabalhos de grandes matemáticos, tais como Bernard Bolzano (1781-1848), Bernhard Riemann (1826-1866) e Felix Klein (1849-1925).

Dentre outras obras que devem ser citadas, relacionadas com suas críticas ao cálculo diferencial e integral introduzido por Newton, mencionamos



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De motu sive de motus principio & natura, et de causa communicationis motuum (1721) e Alciphron, or the minute philosopher (1732).

As reflexões filosóficas de Berkeley levaram-no a criticar profundamente a prática matemática contemporânea. As questões matemáticas discutidas por Berkeley, em análise, geometria e álgebra, estão interrelacionadas em sua obra com as investigações mais gerais concernentes à verdade matemática, ao rigor de demonstrações, à aplicabilidade da matemática ao mundo empírico e à abrangência e aos limites do conhecimento matemático. Essas mesmas questões viriam a dominar a pesquisa matemática durante o século XIX.

Desde os Philosophical commentaries, mais de vinte e cinco anos foram necessários para o amadurecimento de suas críticas, em especial as relativas ao cálculo diferencial introduzido por Newton em 1687, até a publicação de The analyst 7 (BERKELEY, 1734): mesmo não sendo a única obra de Berkeley que discute as inconsistências do método de Newton, é a mais citada na literatura.

De todas as críticas à metodologia do cálculo diferencial e integral, escritas no século XVIII, The analyst é a mais penetrante e bem fundamentada. Apesar da polêmica ser virtualmente ignorada pela maior parte dos matemáticos em sua prática, esta obra, com suas críticas filosoficamente motivadas, vislumbra e antecipa a pesquisa fundacional do século XIX.

Sua crítica se baseia não apenas nos conceitos centrais do cálculo infinitesimal, mas também na questão mais geral da legitimidade do infinito atual em matemática, questão já presente em seu Of infinites (escrito em 1707-08; BERKELEY, 1901) e discutida posteriormente sob distintos aspectos por Leopold Kronecker (1823-1891), Georg Cantor (1845-1918), David Hilbert (1862-1943), Luitzen Brouwer (1881-1966) e Henri Poincaré (1854-1912), entre outros.

7 Título original: The analyst; or a discourse addressed to an infidel mathematician. Wherein it is examined whether the object, principles, and inferences of the modern analysis are more distinctly conceived, or more evidently deduced, than religious mysteries and points of faith. Em português: “O analista; ou um discurso dirigido a um matemático infiel. Onde se examina se o objeto, os princípios e as inferências da análise moderna são mais distintamente concebidos ou mais obviamente deduzidos do que os mistérios religiosos e as questões de fé.” Ver a resenha crítica de CALAZANS (2010) que precede a tradução de BERKELEY (1734).



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The analyst contém as últimas contribuições substanciais de Berkeley à filosofia, mas segundo Wisdom, apesar de historiadores da matemática reconhecerem o valor desse trabalho, os filósofos em geral parecem ter interpretado que Berkeley simplesmente se envolvera em um processo de disputa com Isaac Newton (WISDOM, 1953).8

Berkeley ataca fortemente a lógica do método de fluxões, ou cálculo infinitesimal, argumentando que o infinitésimo de Newton era autocontraditório: o infinitésimo era um zero-incremento, uma quantidade finita de nenhum tamanho, tratada por Newton, em um estágio inicial, como grandeza finita e, em estágio posterior, como zero, de acordo com a conveniência; seu efeito era mantido, mesmo depois que ele se esvaía.

No método das fluxões de Newton, as quantidades infinitesimais são tratadas cinematicamente, de tal modo que as variações infinitesimais da variável tempo tornam-se parte do processo que gera magnitudes geométricas. As quantidades variáveis x são chamadas fluentes e o conceito de derivada é obtido a partir da noção de fluxão (denotada por x ): x é a fluxão do fluente

xx , é a fluxão do fluente x , etc.; inversamente, 𝑥 ́ é o fluente do qual x é a

fluxão.9 O momento de um fluente x é definido como o acréscimo ocorrido em x em um período indefinidamente pequeno (0) de tempo, denotado por �̇�0 (ou 0�̇�).10 As fluxões dos fluentes correspondem às velocidades, às taxas nas quais cada fluente varia num intervalo de tempo.

8 É preciso observar que, em The analyst, o nome de Newton nunca é explicitamente citado.

9“Agora aquelas Quantidades que considero como aumentando gradualmente e indefinidamente, chamarei a partir de agora de Fluentes [Fluents], ou Quantidades Fluentes [Flowing Quantities], e representá-los-ei pelas Letras finais do Alfabeto 𝑣, 𝑥, 𝑦 e 𝑧; distingui-los-ei de outras Quantidades, que nas Equações são consideradas conhecidas e determinadas, e que portanto são representadas pelas Letras iniciais a, b, c, &c. E as Velocidades pelas quais cada Fluente é aumentado pelo Movimento gerador (que posso chamar Fluxões [Fluxions], ou simplesmente Velocidades ou Celeridades [Celerities]), representarei pelas mesmas Letras pontuadas como �̇�, �̇�, �̇� e �̇�” (NEWTON, 1736, p. 20). “Para encontrar a Curva, coloque �́� para o Fluente de y, ӳ para o Fluente de �́�, &c.” (NEWTON, 1736, p. 263).

10 “Então multiplicando as Fluxões pelas quantidades evanescentes [vanishing quantities] o, teremos as várias quantidades �̇�0, �̇�0, �̇�0, �̇�0, &c. que também são evanescentes, e



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Vejamos um exemplo do uso desses conceitos por Newton. Com o objetivo de relacionar a curva dada por z = axm com a área por ela delimitada, Newton obtém, através de séries infinitas:

𝑧 + 0𝑦 = 𝑎𝑥𝑚 + 𝑎𝑚𝑥𝑚−10𝑥 +𝑎𝑚(𝑚 − 1)

2! 𝑥𝑚−2(0𝑥)2 + …

Sendo maxz , 0 não nulo, e assumindo que as potências de 0 maiores ou iguais a 2 podem ser desprezadas, Newton obtém, operando convenientemente,

�̇� = 𝑦 = 𝑎𝑚𝑥𝑚−1.

Entretanto, o desaparecimento das potências de 0 maiores do que 2

não é adequadamente justificado. Como caso particular do exemplo acima, analisamos o caso em que

m=2 e a=1, ou seja, 2xz :

0𝑦 = 2𝑥0𝑥 +2·1

2! 𝑥0(0𝑥)2 = 2𝑥0𝑥 + 1 · (0𝑥)2 ,

𝑦 = 2𝑥 + 0𝑥 ,

e, portanto,

�̇� = 𝑦 = 2𝑥 .

Através do método similar dos fluentes e fluxões, em que, de forma análoga ao caso anterior, há “acréscimos evanescentes” dos fluentes x, Newton obtém, a partir de

,)0(0 mxxayz

proporcionais às Fluxões respectivamente. Estes portanto podem agora representar os Momentos contemporâneos de 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣 &c.” (NEWTON, 1736, p. 253). Apesar de estabelecer a notação �̇�0, Newton utiliza em boa parte dos casos, a notação 0�̇�.



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o resultado

xamxy m 1 .

No caso particular em que 2xz , Newton obtém:

2)0(0 xxyz

e, portanto,

xxy 2 . 11

Em The analyst, Berkeley chama a atenção sobre a inconsistência do

método de fluxões, intrínseca à noção de infinitésimo, de duas formas distintas, que correspondem, de acordo com WISDOM (1953), “ao sumo da lucidez” – uma é relativa à fluxão de uma função potência e, a outra, à de um produto de

funções. Em sua crítica, Berkeley trabalha com a fluxão da função maxz , obtida por Newton.

Conforme desenvolvido acima, Newton obtém:

...)0(!2

)1(00 221

xx

mamxamxaxyz mmm

De acordo com Berkeley, até este ponto, o momento 0x é suposto como

sendo “algo”, uma grandeza. Mas o próximo passo de Newton é fazer com que 0 se torne zero, a partir da terceira parcela da série infinita, de modo a produzir a fluxão:

1 mamxy .

11 Na notação introduzida por Leibniz, adotada na literatura contemporânea, esse resultado corresponde a: 𝑑𝑦 𝑑𝑡⁄ = 𝑎𝑚𝑥𝑚−1 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ , de onde, determinando-se a razão entre 𝑑𝑦 𝑑𝑡⁄ e 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ , obtém-se: 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ = 𝑎𝑚𝑥𝑚−1. No caso particular em que 𝑧 = 𝑥2, temos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ = 2𝑥.



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Nesse sentido, Berkeley afirma que é introduzida, na consideração “do

0 como zero”, uma suposição contrária à primeira. Em outras palavras, todo incremento de x (“0 agora é nada!”) passa a não existir mais, sem qualquer justificativa adequada. A conclusão de Berkeley é, ipso facto, a seguinte: não pode

ser válido o resultado 1 mamxy , porque a ele Newton chega tendo suposto

inicialmente que 0 era “alguma coisa”. Berkeley rejeita as fluxões, como “fantasmas” de quantidades de

partida, e isso corresponde, em verdade, a um respeitável criticismo lógico. Ele não reconhece na intuição de Newton uma noção matemática significativa, capaz de assentar as bases de uma teoria satisfatória de limites e de derivadas.

Berkeley chama a atenção para o âmago do problema da criação e dos trabalhos de Newton e Leibniz. O erro por ele apontado é de muito interesse, e não é simples justificá-lo.

Quanto ao método para a obtenção da fluxão de um produto de funções, isto é, da função

h(x) = (f·g) (x),

com

fxggxfh )()( ,

Berkeley mostra que qualquer número de resultados distintos poderia ser obtido, o que não desenvolvemos aqui.

A controvérsia Berkeley versus Newton, em torno da lógica do método de fluxões, adquiriu tamanha magnitude que alguns importantes matemáticos se sentiram forçados a se posicionar de um ou de outro lado. Dentre aqueles que se manifestaram a favor de Berkeley podemos destacar Colin MacLaurin (1698-1746) e, a favor de Newton, James Jurin (1684-1750), então escrevendo sob o pseudônimo de Philalethes Cantabrigiensis, e Benjamin Robins (1707-1751) (cf. JURIN, 1734, 1735; ROBINS, 1735).

Berkeley, no âmbito dessa controvérsia, perguntava a si mesmo como o método de fluxões – assumindo-o como falso, e em oposição a Newton – podia produzir resultados corretos em geometria. Apresenta, então, um



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argumento engenhoso para dar conta disso. Em linhas bem gerais, teríamos, segundo Berkeley, uma compensação de erros ou, mais especificamente: um erro, introduzido na razão incremental, é compensado por um outro erro, na expressão das propriedades geométricas em termos de infinitésimos.

Assim, por exemplo, no cálculo da subtangente a uma curva em um dado ponto, aparecem duas quantidades finitas que se cancelam uma à outra. Newton, por sua vez, tratara essas quantidades como infinitésimos, fazendo-as desaparecer. Mas, na concepção de Berkeley, isso era ilegítimo, uma vez que duas quantidades que deveriam ser canceladas estavam sendo, ao contrário, simplesmente ignoradas por Newton. É interessante observar que essa interpretação de Berkeley foi aceita por matemáticos do porte de Joseph Louis Lagrange (1736-1813) e Lazare Nicolas Carnot (1753-1823) (cf. CARNOT, 1813).

Considerando tudo isso, para Berkeley, com o trabalho de Newton os fundamentos de geometria estariam destruídos.

Berkeley critica também a existência de infinitesimais de ordens distintas. Dada uma linha infinitamente pequena, existiria uma linha infinitamente menor que ela? Por exemplo, consideremos o seguinte argumento: se α é um infinitésimo, então é menor que qualquer grandeza; mas como α/2 é também um infinitésimo, temos α < α /2 ou α /2 < α?

Já em 1710, em seu A treatise concerning the principles of human knowledge, Berkeley havia estendido suas críticas a ideias abstratas em geral, de modo a incluir certos conceitos de matemática. Nesse sentido, rejeita a noção de linhas infinitamente divisíveis e crítica a doutrina dos infinitésimos, como absurda, tendo retomado esses comentários em The analyst.

Enquanto as passagens matemáticas no Treatise dizem respeito à percepção e existência do infinitamente pequeno, The analyst é menos direcionado a essa questão que ao exame das incoerências e inconsistências do cálculo diferencial. Suas observações sobre o infinitamente pequeno e os infinitésimos são recorrentes e muito repetidas, como por exemplo, na citação a seguir:

E ainda no calculus differentialis, cujo Método serve para todas as mesmas Intensões e Fins que os das Fluxões, nossos Analistas modernos não estão satisfeitos em considerar apenas as Diferenças de Quantidades finitas: eles também consideram as Diferenças dessas Diferenças, e as Diferenças das Diferenças das primeiras Diferenças. E assim



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continuadamente ad infinitum. Isto é, eles consideram Quantidades infinitamente menores que a menor Quantidade discernível; e outras infinitamente menores que aquelas infinitamente pequenas; e ainda outras infinitamente menores que as infinitesimais precedentes, e assim continuadamente sem fim ou limite. De tal forma que nós devemos admitir uma sucessão infinita de infinitésimos, cada um infinitamente menor que o anterior, e infinitamente maior que o seguinte. Como existem primeira, segunda, terceira, quarta, quinta, etc. Fluxões, assim existem Diferenças, primeira, segunda, terceira, quarta, quinta, etc. em uma Progressão infinita em direção a nada, do que você sempre se aproxima e nunca chega. E (o que é mais estranho) apesar de que você levaria Milhões de Milhões para a menor Quantidade dada, ela nunca será a maior. Pois este é um dos modestos postulata de nossos Matemáticos modernos, e é uma pedra-chave ou Fundamento de suas Especulações (BERKELEY, 1734, § VI).

Em 1862, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) escreve a Augustus de Morgan (1806-1871), sugerindo que Berkeley tinha razão e que, além disso, o procedimento de Newton envolvia “artifícios” e era “sofístico”.12

O filósofo Geoffrey Cantor observa que The analyst não deve ser interpretado apenas como uma mera controvérsia paroquial com Newton, para tanto sendo necessário entender como a matemática era concebida na primeira metade do século XVIII, período em que se considerava que a matemática deveria constituir o modelo do discurso racional (CANTOR, 1984). Sob esse enfoque, Berkeley procura mostrar que o matemático, ao aceitar o método das fluxões de Newton, longe de atuar como um argumentador competente empregava argumentos que envolviam inconsistências locais.

Observe-se, entretanto, que a análise de Berkeley não fazia referência apenas à matemática, ou mesmo à filosofia da matemática, mas também à filosofia. Berkeley procura examinar se o objetivo, princípios e inferências do cálculo de Newton são concebidos mais distintamente, ou dedutíveis com mais

12 “[...] e que é muito difícil entender a lógica pela qual Newton se propõe a provar que o momentum (como ele o chama) de um retângulo (ou produto) AB é igual a aB + bA, se os momenta dos lados (ou fatores) A e B forem denotados por a e b. Seu modo de eliminar ab pareceu-me há muito tempo (devo confessar) como envolvendo tanto artifício que mereceria ser chamado de sofístico; porém, não gostaria de dizer tanto publicamente” (Hamilton, 1862, apud CAJORI, 1919, p. 91-2).



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evidência e rigor, do que os mistérios religiosos e aspectos da fé. Para Cantor, The analyst contém as reações mais elaboradas de Berkeley ao deísmo e à racionalidade contemporâneos (CANTOR, 1984).

Ao lado de John Locke (1632-1704) e David Hume (1711-1776), Berkeley é um dos componentes da “santíssima trindade” dos filósofos empiristas britânicos, apesar de, doutrinariamente, opor-se aos dois.

Podemos considerar que o Treatise, Alciphron e The analyst, como outros de seus trabalhos, apontam para uma oposição crescente à atividade então caracterizada como free thinking, ou livre pensamento, doutrina que defendia a supremacia da razão e sua habilidade para lançar luz sobre todos os âmbitos da realidade. Por exemplo, a teoria da mente e da linguagem de Locke, em An essay concerning human understanding (1824 [1689]), consistia na tentativa de eliminação de todo mistério e obscuridade da filosofia, da ciência e da teologia.

Berkeley, que advogava a favor da razão, mas reconhecia suas limitações, estava plenamente comprometido com o ponto de vista de que mistérios constituíam uma parte essencial da teologia cristã e serviam a um propósito moral – enquanto a razão devia acompanhar e justificar a exegese da Bíblia, alguns aspectos da Bíblia não eram susceptíveis à razão, mas, antes, requeriam o exercício da fé.

A ansiedade de Berkeley em relação ao crescimento do deísmo e seus efeitos, da falta de fé e do ateísmo, atingira, por assim dizer, um pico em 1730. Em 1731, ao retornar da América, Berkeley estava firmemente decidido a combater o inimigo – aqueles que não aceitavam, em geral, as doutrinas teológicas, bem como não acatavam o sistema de moralidade social e a autoridade política.

A controvérsia teológica, social, intelectual e política sob a influência do free thinking produziu um contexto apropriado para a sua inclusão e discussão no The analyst, interpretada como um ataque ao ateísmo de Edmond Halley (1656-1742) e ao grupo de matemáticos sem religião. BERKELEY (1735, §III) observa: “[...] é bem sabido que diversas pessoas que zombam da Fé e dos Mistérios na Religião admitem a doutrina das Fluxões como verdadeira e certa”.

Berkeley argumenta que certos termos e símbolos do cálculo diferencial são vazios, promovendo uma “escuridão” capaz de gerar “confusão”. Cita termos abstratos como “gravidade”, “raízes de números negativos” e



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“infinitésimos”, com a intenção de mostrar que a matemática era não menos assolada por disputas sobre termos, do que o era a Divindade.13

Publicado The analyst, saem em defesa de Newton diversos matemáticos, entre eles, como já mencionado, Jurin, para quem BERKELEY

(1735, §XIII) escreve: “Eu nunca falei dele [Newton] como você [...]. A mesma adoração que você dedica a ele, eu dedico apenas à verdade”.

Para Berkeley, o procedimento adotado por Newton ao postular inicialmente que o incremento de uma quantidade fluente é finito e, a seguir, poucas linhas depois, igualá-lo a zero, corresponde à mais inconsistente maneira de argumentar; e, como tal, não seria aceita, pelos matemáticos, num argumento relativo à Divindade. Berkeley continua, então, afirmando que mistérios portanto existem, tanto nas Escrituras como no cálculo diferencial de Newton. Sugere, ademais, que a obscuridade do cálculo é, num certo sentido, mais inaceitável que os mistérios da religião, enunciando duas proporções e uma pergunta:

Questões acima da razão correspondem a mistérios da religião.

Questões contrárias à razão correspondem a inconsistências lógicas do cálculo diferencial.

Por que, então, não aceitar questões acima da razão e aceitar questões contrárias à razão?

WISDOM (1953) considera o criticismo de Berkeley, apesar de puramente destrutivo, um dos mais relevantes, relativamente ao cálculo diferencial. Como referência para o estudo da filosofia da matemática de Berkeley, indicamos JESSEPH (1993), e para a discussão do fundamento matemático, GRATTAN-GUINNESS (1969).

13 Convém recordar que Girolamo Cardano (1501-76), em sua célebre obra Ars Magna, afirmou sobre o uso de raízes de números negativos: “[...] mas porque tal resíduo é

negativo, por isso imaginarás √−15 [...] deixando de lado as torturas mentais, o produto

de 5 + √−15 e 5 − √−15 é 25 − (−15), que é +15, portanto este produto é 40. [...] Isso é verdadeiramente sofístico [...]” (CARDANO, 1968 [1545], p. 219-20). Apesar de parecer absurdo, o uso de raízes negativas era profícuo, logo foi assumido sem maiores problemas.



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3. Sobre o desenvolvimento do cálculo Apesar das críticas, os trabalhos de Newton e Leibniz, em especial os

de Leibniz, são muito divulgados. Os matemáticos suíços, irmãos Jacques Bernoulli (1654-1705) e Jean Bernoulli (1667-1748), que mantiveram assídua correspondência com Leibniz, são seus primeiros divulgadores (cf. BERNOULLI, 1744).

Jean Bernoulli foi professor do Marquês Guillaume F.A. de l’Hospital (1661-1704, grafia francesa moderna: l’Hôpital), que publica, em 1696, o primeiro livro sobre o cálculo infinitesimal – Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (DE L’HOSPITAL, 1696).

O livro do Marquês de l’Hospital apresenta o melhor tratamento, até então, para o caráter inconsistente das quantidades infinitesimais, o que se pode constatar na axiomatização utilizada, da qual apresentamos a seguir algumas definições e postulados.

Definições:

(i) Quantidades variáveis são aquelas que aumentam ou diminuem continuamente, quantidades constantes são as que permanecem fixas enquanto as outras variam.

(ii) A porção infinitamente pequena, segundo a qual uma quantidade variável continuamente aumenta ou diminui, é chamada diferencial. Postulados:

(i) Pode-se tomar, indiferentemente, qualquer uma de duas quantidades que diferem entre si por uma quantidade infinitamente pequena.

(ii) Uma linha curva pode ser considerada como uma coleção de infinitos segmentos, todos de comprimento infinitesimal, ou seja, pode ser aproximada por uma linha poligonal com quantidade infinita de lados, todos de comprimento infinitesimal.

Tratando mais adequadamente o problema das inconsistências do

infinitésimo, o livro de de l’Hospital esclarece a relação que existe entre a equação da reta tangente a uma curva dada por y = f (x), num de seus pontos, e os incrementos infinitesimais considerados. Entretanto, essa formulação



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também não foi suficiente para garantir a aceitação dos infinitésimos como base segura para o cálculo diferencial e integral.

Entre 1700 e 1706, matemáticos e filósofos da Academia Real de Ciências de Paris travaram acirrado debate sobre o cálculo diferencial e integral de Leibniz (e de Newton). Entre os defensores do cálculo estavam Pierre Varignon (1654-1722) e Joseph Saurin (1659-1737); entre os opositores está Michel Rolle (1652-1719).

Varignon acreditava na existência real dos infinitésimos, ao que parece, crendo ser esta também a convicção de Leibniz. Entretanto, depois de um período de silêncio, Leibniz declara na Academia de Paris sua descrença quanto à extensão material dos infinitésimos, considerando-os ficções úteis (cf. correspondência de Leibniz a Des Bosses, apud JESSEPH, 1993, p. 34). Nestas também deveriam ser incluídas as totalidades infinitas, apenas capazes de justificar propriedades de objetos com existência real (cf. PIN, 1987; JOVEN, 1997; CARVALHO, 2004).

Apesar do “desgaste” dos adeptos de Leibniz, os debates continuam, entre 1701 e 1706, envolvendo mais diretamente Saurin e Rolle, e só terminam após a ação conciliatória de uma comissão especialmente formada pela Academia para analisar a questão. Rolle e seu grupo saem satisfeitos, por considerarem que não havia justificativa rigorosa para a existência dos infinitésimos. Todavia, como nada chegou a ser apresentado, formalmente, que justificasse que o método infinitesimal não funcionasse bem na prática, Leibniz e seus seguidores não se consideraram derrotados.

JOVEN (1997) apresenta as discussões entre Rolle e Varignon na Academia Real de Ciências de Paris, entre 1700 e 1701, e as respostas de Leibniz a críticas sobre o que se considerava falta de rigor e novidade no trato com o infinito e com os infinitésimos e suas distintas ordens.

No âmago das discussões e disputas envolvendo o nascente cálculo diferencial e integral, é importante salientar que, dentre as diferenças fundamentais entre os trabalhos de Leibniz e Newton, destaca-se o estatuto das grandezas infinitesimais: por um lado, os infinitésimos ou diferenciais de Leibniz estão fortemente associados à lógica e à metafísica; os infinitésimos de Newton, por outro, relacionam-se mais fortemente com a física e com os fenômenos naturais, sendo que Newton utiliza os incrementos infinitesimais apelando para propriedades da dinâmica, tendo ele mesmo declarado que seu método era mais natural e geométrico que o de Leibniz.



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Leibniz, nas versões iniciais de seu cálculo, admitiu indivisíveis para caracterizar as ordens de grandezas não-finitas (cf. LEIBNIZ, 1686). Para Leibniz, as variáveis x percorrem uma sequência discreta de valores, muito próximos, e os diferenciais dx são as diferenças entre pares contíguos de variáveis, podendo assumir valores arbitrariamente pequenos, que podem ser eventualmente desconsiderados, sem prejuízo do resultado a ser obtido.

Newton não empregou esses termos. Em seus primeiros trabalhos, admite quantidades infinitamente pequenas, possivelmente como incrementos infinitesimais de quantidades finitas que variam no tempo: os momentos das quantidades fluentes correspondem às quantidades infinitesimais, “os acréscimos infinitamente pequenos pelos quais aquelas quantidades crescem durante cada intervalo de tempo infinitamente pequeno” (NEWTON, 1967-81, v. III, p. 80-1). Nos Principia, salienta que é fundamental que os acréscimos ou decréscimos das quantidades fluentes sejam compreendidos como limites de quantidades ou de razões entre quantidades que diminuem infinitamente.

Os debates repercutiram em problemas filosóficos mais gerais sobre a natureza, divindade, métodos da ciência e limites da razão e da experiência, rigor das demonstrações e aplicabilidade da matemática ao mundo empírico. Porém, o cálculo diferencial e integral sobreviveu às críticas e ataques acima mencionados, tanto na Inglaterra quanto no continente europeu. Restava a tarefa de consolidá-lo como área da matemática, com o estabelecimento de princípios claros e rigorosos que justificassem a existência e propriedades dos infinitésimos, sobre os quais o cálculo fora edificado por Leibniz e Newton – isso, entretanto, não foi conseguido pelos matemáticos no século XVIII.

Na Inglaterra, em particular devido à querela envolvendo a tentativa dos adeptos de Newton de atribuir a Leibniz plágio em relação aos trabalhos de Newton, o desenvolvimento do cálculo diferencial foi pouco significativo, se comparado ao da Europa Continental.

Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) relaciona as noções de limite e de diferencial, evitando o apelo às noções de infinto e infinitesimal (cf. PATY, 2005). Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), baseando-se na nascente teoria de limites, procura solucionar a inconsistência inerente ao conceito de infinitésimo, porém também sem sucesso; Cauchy trata os infinitésimos não mais como quantidades fixas, mas sim como variáveis tendendo a um limite, a zero, introduzindo importantes resultados relativos à continuidade e convergência de funções, séries, diferenciação e integração. A teoria de limites de Cauchy



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constitui o fundamento para a definição rigorosa de continuidade, convergência, derivada e integral, sendo Cauchy considerado o precursor do cálculo diferencial e integral contemporâneo (cf. CAUCHY, 1897 [1821], 1899 [1826-29]). Convém, entretanto, observar que sua teoria de limites é baseada em séries numéricas, com motivações bastante distintas das noções intuitivas de limite de Newton, eminentemente geométricas.

Grandes matemáticos contribuíram significativamente para a construção, fundamentação e consolidação do cálculo diferencial e integral, inclusive com base na teoria de limites, entre eles: Leonhard Euler (1707-1783), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), George Boole (1815-1864), Julius W.R. Dedekind (1831-1916), bem como os já mencionados d’Alembert, Bolzano, De Morgan, Kronecker, Riemann, Cantor e Hilbert.

Porém, somente quase duzentos anos depois dos trabalhos de Leibniz e Newton é que Weierstrass (considerado o “pai” da análise matemática contemporânea), por intermédio de sua aritmetização da análise matemática, já desenvolvida no século XVIII, soluciona questões remanescentes dos trabalhos de Cauchy e a questão conceitual envolvendo a inconsistência da noção de

infinitésimo, com sua definição rigorosa de limite, através dos ’s e δ’s (épsilons e deltas), e as correspondentes definições de continuidade, diferenciabilidade e outras noções afins. A definição de Weierstrass de limite de uma função real de variável real y = f(x), quando x tende a um número real a, o que denotamos por

bxfax

)(lim , é de fundamental relevância na história da análise matemática.

Tem-se bxfax

)(lim

se, e somente se, para toda vizinhança de raio

(infinitésimo) de b existe uma vizinhança de raio δ (infinitésimo) de a, tal que, para todo x pertencente à vizinhança de raio δ de a, f(x) pertence à vizinhança

de raio de b.14 Em símbolos:

)))(0()(()0()0()(lim

bxfaxxbxfax

14 Não se deve confundir o conceito de “vizinhança” com o conceito de “infinitesimal”. O primeiro significa o conjunto de números reais x, distintos de b (ou de a),

pertencentes a um intervalo real de raio (ou δ) positivo, isto é, cuja distância a b (ou a

a) é menor do que (ou δ).



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A publicação de sua obra só é iniciada nos últimos anos de sua vida,

em 1894. Entre os poucos artigos publicados enquanto era vivo, WEIERSTRASS (1854) introduz a teoria das funções abelianas. Suas obras completas são editadas entre 1894 e 1927 (WEIERSTRASS, 1894-1927), com uma reedição em 1967.

4. Sobre a análise não-standard de Robinson e o cálculo diferencial paraconsistente de da Costa

As novas técnicas matemáticas introduzidas pelo cálculo infinitesimal de

Leibniz e Newton, no final do século XVII, e o universo conceitual por elas gerado propiciaram o desenvolvimento de uma nova área da matemática, a análise matemática, que passa a caracterizar a matemática ocidental, com suas inovadoras noções de limite de funções, continuidade, infinitude, derivada e integral.

Mencionamos duas outras teorias para a análise matemática, com enfoques distintos para a solução da inconsistência inerente à noção de infinitésimo: a análise não-standard de Robinson e o cálculo diferencial paraconsistente de da Costa.

Tendo em vista que os resultados e discussões acerca da análise não-standard são bem conhecidos e que as obras de referência relacionadas são mais acessíveis, após breves considerações na seção 4.1, apresentamos maior detalhamento ao menos conhecido cálculo diferencial paraconsistente, na seção 4.2.

4.1. A análise não-standard de Abraham Robinson

O retorno recente à matemática das questões conceituais relativas aos infinitésimos ocorre com Abraham Robinson. A análise não-standard, introduzida por Robinson, pode ser considerada, sob certo ponto de vista, como uma extensão ou como uma alternativa à análise matemática clássica criada por Leibniz e Newton (cf. ROBINSON, 1996).

Conforme relata Luxemburg, no prefácio de ROBINSON (1996), a análise não-standard foi esboçada em 1960, tendo suas ideias iniciais sido apresentadas por



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Robinson, em novembro do mesmo ano, em seminário realizado na Universidade de Princeton e, em janeiro de 1961, no encontro anual da Association for Symbolic Logic, nos Estados Unidos. Em 1961, o artigo “Non-standard analysis” (ROBINSON, 1961) é publicado nos Proceedings of the Royal Academy of Sciences of Amsterdam. O livro Non-standard analysis é editado em 1966, sendo que, após revisão de Robinson em 1973, é publicada sua segunda edição em 1974, versão reeditada em 1996.

A denominação análise não-standard deve-se, segundo Robinson, principalmente ao fato de essa teoria envolver modelos não-standard da aritmética. A lógica subjacente à análise não-standard é uma lógica de ordem superior (clássica), com uma semântica (estruturas) não-standard (como referência para a teoria de modelos, ver CHANG & KEISLER, 1992).

São introduzidas por Robinson, na construção de sua análise, extensões do conjunto R dos números reais e do conjunto N dos números naturais, denotadas por *R e *N, respectivamente, e denominadas conjuntos dos números hiper-reais e conjunto dos números hipernaturais (ou hiperinteiros positivos). Pode-se considerar que a análise se fundamenta no fato de que corpos ordenados, que são modelos não-standard da teoria dos números reais, podem ser matematicamente interpretados como extensões não-arquimedianas do corpo dos reais, que externamente contêm elementos que se comportam como números infinitesimais.

ROBINSON & ZAKON (1967) e STROYAN & LUXEMBURG (1976) introduzem a análise não-standard de Robinson de forma mais compreensível, utilizando teoria de conjuntos e teoria de modelos. De acordo com STROYAN &

LUXEMBURG (1976), o tratamento dado por Robinson às quantidades infinitesimais reflete, de uma maneira precisa, as ideias originais de Leibniz.

Por ser construída sobre uma extensão do conjunto dos números reais, que contém infinitesimais e elementos infinitos, é que a análise não-standard pode ser considerada como uma extensão da análise clássica.

PIN (1987) analisa as críticas históricas ao método das fluxões de Newton e, especialmente, às ideias de Leibniz, concluindo que a redenção de Leibniz (e dos infinitésimos) ocorre, de certo modo, com Robinson, em sua análise não-standard:

A Análise não-standard vem outorgar razão à intuição de Leibniz, vem legitimar seu fundamento na aporia e, ao mesmo tempo, redimi-la dela, vem procurar um modelo em que duas magnitudes que diferem entre si



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por uma magnitude infinitamente pequena são – ao menos no registro, que interessava a Leibniz – equiparáveis entre si, sem que isso exclua tal diferença do próprio conceito de magnitude (PIN, 1987, p. 13).

4.2. O cálculo diferencial paraconsistente de Newton da Costa Há também, na literatura, reconstruções paraconsistentes do cálculo

diferencial e integral, que refletem bem certos aspectos teóricos e aplicados do cálculo clássico (cf. MORTENSEN, 1995)15.

A partir dessa outra perspectiva, DA COSTA (2000) propõe um cálculo diferencial paraconsistente, como uma teoria inconsistente, porém não-trivial,16 satisfazendo o assim chamado Princípio de l’Hospital, segundo o qual duas quantidades distintas, que diferem por não mais do que uma quantidade infinitamente pequena, podem ser consideradas iguais17.

15 MORTENSEN (1995, p. 56) assim se manifesta sobre o cálculo inconsistente por ele introduzido: “Repetindo um ponto anterior, não se está recomendando o cálculo inconsistente como sendo superior ou mais verdadeiro, apesar de seus elementos nilpotentes terem algumas das vantagens computacionais da GDS. O objetivo é apenas mostrar que ele existe, que a inconsistência permite uma quantidade razoável de cálculo sem colapso, e esperançosamente que teorias inconsistentes possam ser de interesse matemático”.

16 Uma teoria T, cuja linguagem possui um símbolo de negação “”, é dita consistente, se

não existir qualquer fórmula A de sua linguagem tal que A e A (negação de A) sejam ambas teoremas de T; caso contrário, dizemos que T é inconsistente. Uma teoria T é trivial, se toda fórmula de sua linguagem é teorema de T; caso contrário, T é não-trivial. Uma lógica é paraconsistente, se pode servir de base para teorias inconsistentes, porém não triviais, que são chamadas teorias paraconsistentes (cf. D’OTTAVIANO, 1990; DA COSTA, KRAUSE & BUENO, 2006). Nas lógicas paraconsistentes, o escopo do Princípio da (Não) Contradição é, num certo sentido, restrito. Em uma lógica paraconsistente lato sensu, não vale a Lei de Pseudo-Scotus ou o Princípio da Explosão, isto é, de uma fórmula e sua negação não se deduz, em geral, qualquer fórmula.

17 “Pede-se que se possam tomar indiferentemente, uma pela outra, duas quantidades que diferem entre si por não mais que uma quantidade infinitamente pequena: ou (o que é a mesma coisa) que uma quantidade que só é aumentada ou diminuída por uma



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As hierarquias de cálculos lógicos para o estudo de teorias inconsistentes e não-triviais, criadas por da Costa em 1963 – as hierarquias

nNFDCC nnnn 1,,,, , de cálculos proposicionais, cálculos de predicados de

primeira ordem com igualdade, cálculos de descrições e teorias de conjuntos paraconsistentes, respectivamente –, são bastante conhecidas e têm sido estudadas por discípulos e colaboradores brasileiros e de diversos outros países (cf. DA COSTA, 1974, 1993; D’OTTAVIANO, 1990; DA COSTA, KRAUSE &

BUENO, 2007). Motivado pela teoria de conjuntos clássica CHU, introduzida em

CHURCH (1974), DA COSTA (1986) introduz uma nova hierarquia de teorias de

conjuntos nCHU n 1, , também inconsistentes e aparentemente não-

triviais, cujos cálculos de predicados subjacentes são os sistemas

correspondentes nCn 1, , de da Costa (cf. DA COSTA, BÉZIAU & BUENO,

1998; CARVALHO, 2004). Zermelo propôs, em 1908, seu sistema de axiomas para a teoria de

conjuntos de acordo com a concepção axiomática de Hilbert, com a introdução de restrições no Axioma (esquema) da Separação (de Cantor) (cf. ZERMELO, 1908). Nas teorias paraconsistentes de conjuntos procura-se, em geral, eliminar, parcial ou totalmente, as restrições impostas a esse axioma.

Após uma pré-publicação de 1996, DA COSTA (2000) introduz um cálculo diferencial paraconsistente, cujo cálculo de predicados e teoria de

conjuntos subjacentes são, respectivamente, 1C e CHU1.

A linguagem da teoria clássica de conjuntos CHU, de CHURCH (1974), é a mesma da teoria de conjuntos Zermelo-Fraenkel (ZF), acrescida do símbolo

do descritor (). Os axiomas de CHU são introduzidos a partir dos axiomas de ZF e, diferentemente da teoria ZF, CHU possui conjunto universal. Um resultado importante é a equiconsistência de CHU relativamente a ZF.

TEOREMA (CHURCH, 1974): A teoria de conjuntos CHU é consistente se, e somente se, a teoria ZF é consistente.

outra quantidade infinitamente menor que ela possa ser considerada como permanecendo a mesma” (DE L’HOSPITAL, 1696, p. 2-3).



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Além disso, falando sem rigor, o que se pode fazer em ZF, pode ser feito em CHU (cf. DA COSTA, BÉZIAU & BUENO, 1998).

A teoria paraconsistente de conjuntos CHU1, aparentemente não-trivial, foi introduzida por da Costa (1986) a partir da teoria CHU (denotada

por CHU0, na hierarquia CHUn, 0 ≤ n ≤ 𝜔, de da Costa). A lógica subjacente a

CHU1 é o cálculo paraconsistente de predicados com igualdade

1C de da

Costa. Os axiomas de CHU1 são os mesmos de CHU0, nos quais a negação

clássica “” é substituída pela negação forte “*” da linguagem de

1C ,

acrescidos de um axioma que assegura a existência do complemento fraco de conjuntos e um axioma que assegura a existência das relações de Russell.

A teoria CHU1 é inconsistente, sendo que DA COSTA (1986) prova o seguinte resultado, bastante relevante.

TEOREMA: CHU0 (CHU) é consistente se, e somente se, CHU1 é não-trivial.

O sistema CHU1 é forte, em certo sentido “contém” CHU0 e, portanto, também ZF. As teorias dos ordinais e dos cardinais podem ser desenvolvidas em CHU1.

O Axioma da Escolha é independente dos demais axiomas de CHU1, o que possibilita uma boa adequação desse sistema como base para o desenvolvimento de teorias matemáticas.

Baseado na teoria clássica de conjuntos Zermelo-Fraenkel, DA COSTA (2000) introduz o anel dos números hiper-reais, denotado por A, e o quase-anel dos números hiper-reais estendidos A*. As estruturas algébricas (clássicas) A e A* são extensões do corpo R dos números reais standard; e os elementos de A e A* são chamados, respectivamente, de números hiper-reais e números hiper-reais generalizados. A partir de A*, da Costa propõe a construção do cálculo diferencial paraconsistente C,

cuja linguagem é a linguagem L= do sistema paraconsistente 1C , estendida à

linguagem de 1CHU , na qual lidamos com os elementos de A*.

A seguir, apresentamos, muito sucintamente, os conceitos gerais que fundamentam a introdução do cálculo diferencial paraconsistente. Além de fugir ao objetivo central deste artigo, uma exposição mais detalhada, mesmo dos resultados iniciais obtidos, traria um grau desnecessário de complexidade técnica e não estaria no escopo do texto (cf. CARVALHO, 2004).



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4.2.1. O anel A e o quase-anel A* dos números hiper-reais Tendo como teoria de conjuntos subjacente a teoria clássica Zermelo-

Fraenkel (ZF) (cf. HRBACEK & YECH, 1999), portanto no domínio da matemática tradicional, o anel R dos números reais é estendido ao hiperanel A dos números reais estendidos, através da introdução das variáveis infinitesimais e dos infinitésimos.

Fixemos um intervalo real I e o ponto a, pertencente ao interior de I. DEFINIÇÃO 4.2.1.1: Uma variável infinitesimal é uma função real

f : I R→R, tal que

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 0.

O conjunto das variáveis infinitesimais é denotado por V. DEFINIÇÃO 4.2.1.2: O conjunto dos números hiper-reais, denotado por A,

é definido por

A =def {r, f : r R f V} . Os elementos de A, que poderiam ser explicitamente denotados por

A(I, a), são também chamados números reais generalizados, ou, simplesmente, g-reais.

DEFINIÇÃO 4.2.1.3: Um infinitésimo é um hiper-real da forma 0, f , em que f é uma variável infinitesimal.

Observamos que, para todo rR, o conjunto dos hiper-reais da forma

r, f é dito mônada de r, o que denotamos por [r]; [0] é, portanto, o conjunto de

todos os infinitésimos. Cada rR pode ser identificado com o hiper-real da

forma r, 0, dito um número real standard. Como a função nula f (x) = 0 pode ser considerada uma variável infinitesimal, o número real 0, identificado com o

hiper-real 0, 0, pode ser considerado um infinitésimo. A igualdade, ou identidade de dois hiper-reais, é definida de forma usual.



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DEFINIÇÃO 4.2.1.4: A adição (+) e a multiplicação (×) de hiper-reais são

definidas por:

(i) r, f + s, g =def r + s, f + g;

(ii) r, f × s, g =def rs, rg + fs + fg.

De acordo com a definição acima, r, f = r, 0 + 0, f , ou

simplesmente r + 휀, em que r denota o hiper-real r, 0 e 휀 denota o

infinitésimo 0, f . Ou seja, r, f pode ser visto como

r, f = r + 휀 . O oposto de um hiper-real e a subtração em A são definidos naturalmente.

TEOREMA 4.2.1.5: A, +, ×, 0, 1, com as operações + e × acima definidas, e os elementos 0 e 1 representando, respectivamente, o hiper-real

nulo 0, 0 e, o hiper-real 1, 0, é um anel comutativo com unidade.

A estrutura de corpo <R, +, –, 0, 1 pode ser vista como um subanel

de A, +, ×, 0, 1, pela identificação de todo par da forma r, 0 com o número real r.

Os elementos de A do tipo r, f , com r≠ 0 e f (x) ≠ –r, para todo x,

são inversíveis, e seu inverso, denotado por r, f –1 , é definido por

𝑟, 𝑓−1 =𝑑𝑒𝑓 𝑟−1,−𝑓

𝑟(𝑓 + 𝑟) .

A divisão de dois hiper-reais s, g e r, f , com r≠ 0, é definida por

s, g r, f =def s, g × r, f –1. A relação de ordem <, de R, pode ser estendida a A, da seguinte forma:

r, f < s, g se, e somente se, r < s, ou r = s e f(x) < g(x), ∀xI.



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Observamos que a relação de ordem < é não-linear em A, pois dois hiper-reais podem ser não-comparáveis entre si.

Uma função f qualquer, definida em R, pode ser facilmente estendida a

uma hiperfunção f : AA. Dado r A, como r = r’, 0 + 0, g, denotando-se

0, g por 휀, temos que f(r) = f (r’ + 휀), sendo f, portanto, uma função de 휀.

DEFINIÇÃO 4.2.1.6: Dada uma função hiper-real f : B AA,

lim𝑥 → 𝑟

f (x) = b se, e somente se, x[r] implica que f (x) [b].

Como consequência, conceitos básicos do cálculo diferencial elementar

podem ser reformulados nessa linguagem dos infinitésimos, como por exemplo o conceito de continuidade de função.

Para a introdução do quase-anel A*, necessitamos de alguns conceitos introdutórios.

DEFINIÇÃO 4.2.1.7: Uma variável infinita é uma função v, v : I R, tal que

lim𝑥 → 𝑎

v(x) = ∞.

DEFINIÇÃO 4.2.1.8: Um número hiper-real infinito, ou simplesmente

um g-real infinito, é um par da forma v, 0, em que v é uma variável infinita. DEFINIÇÃO 4.2.1.9: O conjunto dos números hiper-reais estendidos,

denotado por A *, é definido por

A* =def {a : a A a é um hiper-real infinito}. Podemos estender as operações de adição e multiplicação e a relação de

igualdade (identidade) de A a A*, de modo que a nova estrutura A*, +, ×, 0, 1

conserve algumas das propriedades importantes do hiperanel A, +, ×, 0, 1. Entretanto, algumas cláusulas da definição de anel não são satisfeitas por essa



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estrutura, que será denominada, conforme DA COSTA (1996) e DA COSTA, BÉZIAU & BUENO (1998), um quase-anel.

DEFINIÇÃO 4.2.1.10: Dado um número hiper-real infinito u, 0, seu

inverso, denotado por u, 0–1, é o infinitésimo 0, u–1, isto é:

u, 0-1 =def 0, u–1,

com lim𝑥 → 𝑎

u–1 (x) = 0.

Analogamente, sob certas condições, se 0, f é um infinitésimo, então

f –1, 0 é o infinito inverso de 0, f ,

0, f –1 =def f –1, 0,

com lim𝑥 → 𝑎

f (x) = 0 e lim𝑥 → 𝑎

f –1 (x) = u, 0, com u variável infinita.

O quociente de dois hiper-reais infinitos de A* é o resultado da

multiplicação do primeiro pelo inverso do segundo. A relação de ordem de A, <, estende-se naturalmente a A*. Assim

como A, A* é uma estrutura não-arquimediana, pois, dados hiper-reais positivos a e b quaisquer, com a < b, não podemos garantir a existência de um

número natural standard n, tal que b < na, uma vez que podemos ter b A* – A.

4.2.2. O cálculo diferencial paraconsistente P Conceitos e tópicos do cálculo clássico podem ser expressos na

linguagem de infinitésimos e infinitos de A*, que constitui, de certa forma, um modelo de um cálculo com infinitésimos e infinitos, o qual pode ser formulado abstratamente, através de axiomatização.

Da Costa (cf. CARVALHO, 2004) não pretende apenas reformular as noções clássicas do cálculo dentro dessa linguagem de infinitésimos e infinitos, mas sim desenvolver um cálculo diferencial paraconsistente P, a partir de A*,



62

tendo como lógica subjacente o cálculo de predicados paraconsistente 𝐶1= e

tendo como teoria de conjuntos subjacente a teoria CHU1 de da Costa. A linguagem L de P é a linguagem de 𝐶1

=, estendida à linguagem de CHU1, com símbolos funcionais, na qual lidamos com os elementos de A*. Para isso, introduzimos constantes especiais para nomear os indivíduos da estrutura A*; o predicado <; as operações de A*; e três espécies de variáveis individuais, para denotarem, respectivamente, hiper-reais finitos (r, s, ...), infinitésimos (𝛿, 휀, ...), e infinitos (u, v, ...).

Passam a ser chamados, então, indistintamente hiper-reais de A*, os indivíduos da estrutura de quase anel A* (os números hiper-reais) e os nomes de indivíduos de A* (da linguagem estendida de 𝐶1

=). A definição do predicado de igualdade generalizada é fundamental para

a identificação do caráter inconsistente da teoria P. DEFINIÇÃO 4.2.2.1: O predicado de igualdade generalizada, ou identidade

generalizada entre termos de L, denotado por ≡, é definido por:

t1≡t2 =df t1 – t2 = 휀,

com t1 e t2 termos da linguagem, 휀 infinitésimo e = o predicado primitivo de igualdade de L (de 𝐶1

=).

Além disso, definimos (t1≡t2) por

t1 t2 =df t1≠t2 .

A definição de valoração para L, como uma função , do conjunto das fórmulas fechadas de L em {0, 1}, satisfaz as cláusulas usuais da definição de valoração paraconsistente (cf. DA COSTA & ALVES, 1977; ARRUDA & DA

COSTA, 1977), acrescidas das seguintes condições: (i) Para sentenças da forma t1≡t2,

(t1≡t2) = 1 se t1 – t2 = 휀 é válida em A*, com 휀 infinitesimal e

(t1≡t2) = 0, em caso contrário;



63

(ii) Para sentenças da forma t1 t2 (isto é (t1≡t2)),

(t1 t2) = 1 se t1≠t2 (isto é, (t1 = t2)) é válida em A* e

(t1 t2) = 0, em caso contrário.

A relação de ordem < é quase-linear em A *, em relação à identidade ≡, o que se traduz pela fórmula:

(t1<t2) (t2<t1) (t1≡t2), para t1 e t2 termos quaisquer.

Observamos que podemos ter t1≡t2, com t1 e t2 apresentando as partes reais idênticas e as partes infinitesimais incomparáveis.

A definição de valoração acima exibe o caráter inconsistente de certas

sentenças do cálculo paraconsistente, como é o caso de t1≡t2, no caso da

ocorrência simultânea de (t1≡t2) = 1 e ((t1≡t2) = 1. Muitos dos resultados conhecidos do cálculo diferencial clássico

podem ser estendidos ao hiperanel A e ao quase-anel A*, bem como podem ser obtidos novos resultados.

DEFINIÇÃO 4.2.2.2: Uma função hiper-real é uma função f, cujo

domínio é um subconjunto de A, com valores em A*, isto é,

f : B AA*. A definição de limite de uma função hiper-real, quando x tende a um

número real standard, é a usual, introduzida por Weierstrass.

DEFINIÇÃO 4.2.2.3: Dada uma hiper-função f : B AA*, e números reais standard r e b:

lim

𝑥 → 𝑎f (x) = b se, e somente se,

(휀> 0) (𝛿> 0) (x) (0 < |x – r| <𝛿 | f (x) – b|<휀) .



64

De acordo com a definição, temos, portanto, que

lim𝑥 → 𝑎

f (x) = b se, e somente se, (x) (xB) ((x≡r) ( f (x) ≡b)) .

Podemos também, na linguagem L, introduzir os conceitos de limite de

uma função hiper-real nos casos em que x, ou f (x), tendem ao infinito. CARVALHO (2004) e CARVALHO & D’OTTAVIANO (2005, 2006)

estudam e desenvolvem o cálculo proposto por da Costa, tendo introduzido definições generalizadas para os conceitos básicos e provado versões generalizadas de importantes teoremas do cálculo diferencial e integral clássicos.

Introduzem, entre outras, definições de hiperintervalo, sequências e hipersequências, funções contínuas e paracontínuas, derivada e integral de uma função em um dado intervalo.

A derivada de uma função hiper-real f : AA* em um número real standard r, pode ser definida de forma semelhante à definição clássica de derivada.

DEFINIÇÃO 4.2.2.4: A derivada de uma função hiper-real f : AA*, em um número real standard r, é um número real standard, denotado por f ’(r), tal que:

f (r + 휀) – f (r) = f ’(r) × 휀 + 𝛿,

em que 휀 é um infinitésimo arbitrário, e 𝛿 é um infinitésimo que depende de 휀,

e tem ordem superior à de 휀. De acordo com a definição, D será o valor da derivada de f em r, se

tivermos que

f (r + 휀) – f (r) ≡ D × 휀. Como salienta CARVALHO (2004), essa definição de derivada, através

de infinitésimos, contribui para simplificar os procedimentos do cálculo diferencial e integral, ao possibilitar a substituição de operações com limites por operações algébricas, muitas vezes elementares.



65

Entre os resultados demonstrados, citamos generalizações de regras de derivação, derivação de funções polinominais, resultados sobre máximos e mínimos, Teorema de Weierstrass, Teorema de Rolle, Teorema do Valor Intermediário, e Teorema do Valor Médio. O trabalho é limitado ao cálculo a uma variável.

Motivados por ROBINSON & ZAKON (1967) e STROYAN &

LUXEMBURG (1976), CARVALHO & D’OTTAVIANO introduzem os conceitos de superestrutura paraconsistente e de monomorfismo entre superestruturas, e demonstram um Teorema de Transferência, que “traduz” o cálculo diferencial clássico no cálculo diferencial paraconsistente de da Costa. Com esse teorema, é demonstrado que todo teorema do cálculo clássico, via uma “tradução”18 adequada, é também teorema do cálculo paraconsistente – é provado que o cálculo diferencial paraconsistente é uma extensão do cálculo diferencial clássico e da análise não-standard.

O tratamento infinitesimal proposto por da Costa não acarreta contradições conceituais ou trivialidade, e a reconstrução paraconsistente do cálculo diferencial clássico reflete muito de seus aspectos teóricos e aplicados e das ideias originais de Leibniz e Newton. 5. Considerações finais

Isaac Newton, ao que parece, trabalhava com uma noção intuitiva de

limite, sendo que a aceitação da tese de Berkeley por parte de Lagrange, Carnot e MacLaurin, entre outros, e as discussões entre os membros da Academia de Ciência de Paris no início do século XVIII, indicam o quanto os matemáticos se sentiam confusos e inseguros relativamente ao cálculo diferencial e integral no período, em especial, quanto às possíveis inconsistências inerentes à noção de infinitésimo.

Embora a teoria proposta por da Costa seja essencialmente distinta da análise não-standard em certos aspectos, no entanto, sua teoria também estende a de Robinson.

18 O termo “tradução” é utilizado de acordo com o introduzido por DA SILVA, D’OTTAVIANO & SETTE (1999) e FEITOSA & D’OTTAVIANO (2001).



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Corroborando as críticas de George Berkeley, em The analyst, os trabalhos de Robinson e de da Costa evidenciam a importância de se estabelecer, em bases lógica e conjuntista rigorosas, a linguagem sobre a qual a análise deve ser desenvolvida, a partir de definições rigorosas de infinitésimo e limite.

Finalizando, observamos que, mesmo não podendo considerar Berkeley como um grande e criativo matemático, devemos reconhecer a coragem e o mérito de sua crítica ao então nascente cálculo diferencial e integral de Newton e Leibniz, atribuindo-lhe um papel relevante na História da Matemática e nos Fundamentos da Análise Matemática.

Submetido: 02.01.2014; Revisado: 15.09.2014; Aceito: 13.10.2014

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George Berkeley e Os Fundamentos Do Calc

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