Gerando triângulos pitagóricos

Os triângulos pitagóricos, em Geometria, são triângulos retângulos que satisfazem o teorema de Pitágoras (a2+b2=c2), com a, b e c números inteiros. Iremos mostrar a seguir um procedimento para, dado um número natural par qualquer, podemos gerar um triângulo desta natureza. O teorema de Pitágoras trabalha no sistema R², ou seja, em duas dimensões. Veremos também que este procedimento a ser mostrado pode se estender para o Rn. Primeiro, vamos construir o modelo matemático para triângulos pitagóricos no R². Para compreender este processo, vamos recordar um resultado importante da sequencia (A) dos números quadrados perfeitos. Trata-se da seguinte sequencia:

A = (1,4,9,16,25,36,49, ...)

Observe que a diferença entre um termo e seu anterior é sempre um número ímpar. Para provar porque, considere um número an qualquer desta sequencia. O seu termo geral é

an=n2. Assim, seu termo seguinte será: an+1=(n+1)2=n2+2n+1. Calculando a diferença

entre estes dois termos, obtemos: an+1−an=n2+2n+1−n2=2 n+1.Sabemos que

qualquer número natural ímpar pode ser escrito na forma 2 n+1, o que comprova a veracidade dessa diferença ser sempre um número ímpar. Vamos agora construir uma nova sequencia B formada por essas diferenças:

B=(2n+1 ,2 n+3 , 2n+5 , …,bk )

Tal sequencia é uma PA de razão r igual a 2. Então, aplicando a fórmula do termo geral, vamos concluir que:

bk=2 n+1+(k−1 ) .2=2 n+1+2 k−2=2 n+2k−1=2 ( n+k )−1

Assim, dado 2 números inteiros quadrados perfeitos da sequencia A, a diferença entre eles pode ser um número ímpar ou uma soma deles caso os mesmos não forem consecutivos. Então, calculando a soma destes termos da sequencia, obtemos:

Sk=[2n+1+2 (n+k )−1 ] k

2=k (2n+k )

Chamando Sk de r , podemos dizer que n é igual a:

n= r2k

− k2

Como n é um número inteiro, devemos ter:

2k|r e 2|k

Ou seja, k deve ser um número par e divisor de r2

.

Vamos considerar, agora, as soluções inteiras da equação n2+r=m2, onde são n2 e m2 são temos da sequencia A. Então o número de soluções inteiras desta equação será

exatamente o número de divisores pares de r2

.

Exemplo 1: Seja r = 48 . Então devemos resolver a seguinte equação:

Solução:

n2+48=m2

Temos que os divisores positivos de 24 são:

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

As soluções inteiras serão da forma:

Para k = 2: n = 242

−22=12−1=11

Verificação: 112+48=169=132=¿m=13 e n=11

Para k = 4: n = 244

−42=6−2=4

Verificação: 42+48=64=82=¿m=8 en=4

Para k = 6: n = 246

−62=4−3=1

Verificação: 12+48=49=72=¿m=7 en=1

Para k = 8: n = 248

−82=3−4=−1

Verificação: (−1)2+48=49=72=¿m=7 en=−1

Para k = 12: n = 2412

−122

=2−6=−4

Verificação: (−4)2+48=64=82=¿m=8 en=−4

Para k = 24: n = 2424

−242

=1−12=−11

Verificação: (−11)2+48=169=132=¿m=13 e n=−11

OBERVAÇÃO 1: Caso r seja um número ímpar é possível mostrar que a equação só

admite uma solução, dada por: n=r−12

e m= r+12

.

Generalizando, podemos tomar r como sendo um número quadrado perfeito, ou seja, r = t² desde que t seja um número par. Assim, a equação seria: n2+t ²=m2. Como m, n e t são números inteiros, as soluções desta equação nos fornecem triângulos pitagóricos da forma a2+b2=c2. O valor de n pode ser encontrado usando a fórmula:

n= t ²2 k

− k2

Sendo k um número inteiro divisor par de t ²2

.

OBERVAÇÃO 2: Caso r seja um número ímpar é possível mostrar que a equação só

admite uma solução, dada por: n= t ²−12

e m= t ²+12

.

EXEMPLO 2: Obter triângulos pitagóricos para t = 18 e t = 31.

Solução:

Calculando o valor de t ²2

, encontramos: 18²2

=162

D(162) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162}

Para k = 2: n = 162

2−2

2=81−1=80

Verificação: 802+18²=6724=822=¿802+18²=822

Para k = 6: n = 1626

−62=27−3=24

Verificação: 242+18²=900=302=¿242+18²=302

Para k = 18: n = 16218

−182

=9−9=0

Neste caso, não formamos um triangulo, pois um de seus lados é nulo. Os demais valores de k oferecem soluções negativas para n, o que não convém para nós neste caso.

Considerando t = 31, sendo um número ímpar, só teremos um triângulo pitagórico possível. O valor de n e m serão:

n=31²−12

=480

m=31²+12

=481

Logo, o triângulo pitagórico será: 4802+31²=4812