GOMES, Alex Sandro. Concepções e representação de relações entre quantidades. Recife: UFPE,...

7/30/2019 GOMES, Alex Sandro. Concepes e representao de relaes entre quantidades. Recife: UFPE, 1995. Mestrado

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Universidade Federal de Pernambuco

Curso de Mestrado em Psicologia

Concepes e representao de relaes

entre quantidades

Alex Sandro Gomes

DissertaodeMestrado

rea de concentrao: Psicologia Cognitiva

Recife,1995


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ORIENTADORES:

Dr. Luciano de Lemos Meira (1 Orientador)

Dr. David William Carraher (2 Orientador)

BANCA EXAMINADORA:

Dr. Luciano de Lemos Meira (Presidente)

Dr. Jorge Tarcsio da Rocha FalcoDr. Paulo Figueiredo

COORDENADORA DO MESTRADO:

Dra. Lcia Browne Rego


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In memoriam:

Hildevnio Gomes de Lima


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Agradecimentos

Sem dvida devemos muito a muitas pessoas. No entanto, h determinadas

aes de nossos amigos, familiares, colegas ou conhecidos que tm o poder de nos

tocar de forma mais significativa que outras. Esses detalhes nos fazem encontrar

respostas muito importantes. Todas as pessoas que vou citar a seguir foram

importantes e isso de uma forma genrica. No entanto, referindo-me a cada um deles

eu gostaria de destacar o aspecto de nossas relaes que mais significativo, os quais

eu tomo como marcos tericos de apoio para continuar a fazer esse Mestrado,

enquanto pensava sobre o assunto que irei apresentar, enquanto escrevia esse

documento, enquanto vivia.

A minha me. Dessa mulher fantstica, gostaria de registrar a confiana

madura que ela depositou em mim e em meus sonhos (mesmo quando esses pareciam

no ter sentido). Lembro bem do momento quando tive o insight do caminho

profissional que eu iria tomar. Ainda me recordo do local e o que estava lendo. Ela

estava l, ela est aqui e em ambas assituaes h apenas um invariante1, uma frase:

Faa aquilo que o seu corao mandar, e eu estou fazendo.

E voc, pai. Voc soube, como ningum, respeitar-me e aos meus sonhos,

mesmo vendo que poderia ser mais til, de forma imediata, se agisse de outras

formas. E como se no bastasse, ainda me mostrou como analisar um momento

presente e como projetar um futuro.

A minha irm, assim como para qualquer pessoa com menos idade do que eu,

no quero apenas agradecer, mas alm disso, quero deixar um exemplo e uma frase:

Acredite em seus sonhos.

Ao amigo Artur... no sei se h teorias sobre o funcionamento das amizades.

Caso no haja, gostaria de sugerir que as investigaes comeassem a partir do

seguinte modelo terico: o follow up. O estudo seria basicamente voltado a

investigao do conjunto de comportamentos cooperativos e seus respectivos

retornos ou feedbacks. A metodologia... bem, a metodologia fica a cargo dos

interessados. O que gostaria de significar com essa sugesto de estudo o meu

1Qualquer referncia a termos de uso tcnico ter sido apenas mera coincidncia.


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v

profundo agradecimento a todo o apoio logstico e estratgico, e de carter

providencial que sempre dele recebi.

Ao meu Professor Luciano Meira. A literatura no campo da Metodologia

Cientfica destaca diferentes tipos de relaes que existem entre orientando e

orientador. Em um dos tipos, destaca-se a explorao do primeiro pelo segundo, que

tende a forar o aluno a engajar-se no seu projeto atual de pesquisa. Nesse caso, o

aluno torna-se apenas um trabalhador intelectual e o seu direito de ser criativo

encontra-se sob controle alheio. Em outros casos, o orientador exerce o papel de

educador, no sentido amplo da palavra, orientado o estudante no desenvolvimento de

meta-conhecimento a respeito do labor intelectual. Luciano soube orientar-me e

respeitar-mea partir do meu ponto de vista terico, das minhas limitaes tcnicas e

da minha maneira de trabalhar. Portanto, no meu caso particular, eu contei com um

verdadeiro educadorcomo orientador.

Ao Professor David Carraher. Houve momentos em minha vida, geralmente

antes de fazer alguma escolha importante, nos quais procurei identificar a melhor

pessoa para me orientar. Quando terminei a graduao em Engenharia, eu j sabia

que queria criar brinquedos educativos (a escolha), e portanto procurei identificar a

pessoa que melhor me orientaria nessa passagem. Hoje, iniciado no labor de criar

instrumentos didticos, tenho a convico que fui feliz na escolha dessa pessoa.

Todo profissional teve algum que o ensinou os primeiros passos. Com

cientistas tambm assim. Foi com o Professor Joo Pereira de Brito que tive minha

iniciao. Sob sua orientao fiz minha primeira reviso bibliogrfica e escrevi meu

primeiro artigo.

Ao todo, vivo a 9 anos no ambiente universitrio. Conheci muitos colegas, fuiorientado por diversos professores e fiz duas amigas. Cludia, pessoa do mesmo

signo que eu; e Maria, pessoa de uma enorme viso. Com cada uma delas aprendi um

pouco mais sobre carinhoe solidariedade.

Ao CNPq e ao povo brasileiro, agradeo todo o apoio financeiroque permitiu

realizar este estudo.

A todos os professores do mestrado: Alina, Jorge, Profa. Lcia, Analcia,

gostaria de agradecer todo o apoio moral e conceitual que sempre pude dispor.


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vi

Vera, Elaine e Irani gostaria de agradecer o acesso e a simpatia com os

quais me acolhem sempre que preciso.

diretoria da Escola Recanto Infantil, em nome da Professora Maria de

Ftima Morais e das coordenadoras Maria Ins Pires e Regina agradeo o carinho

com o qual me acolheram durante a coleta de dados deste estudo.

Aos alunos que participaram do mesmo, agradeo o tempo e a pacincia

dispensados.

A todas as pessoas que direta ou indiretamente contriburam para a realizao

deste trabalho, cujos nomes tenho receio de enunciar para evitar omisses, obrigado!

A Deus agradeo o fato de ter conhecido essas pessoas.


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vii

Resumo

No presente estudo investigou-se a natureza da relao existente entre os

conhecimentos empregados por adolescentes de primeiro grau maior e segundo grau

ao resolver problemas de comparao entre taxas de variao, apresentados em

diferentes tipos de fenmenos, a maneira como os alunos criam e utilizam sistemas

de representaes autnticos, e ainda como essas representaes so utilizadas

durante tratamentos cognitivos de determinados invariantes.

Participaram do estudo 18 alunos de 5 e 7 sries do primeiro grau e do 1

ano do segundo grau de uma escola particular da cidade do Recife. Os dados foram

coletados atravs de entrevistas clnicas que incluram: tarefas de produo de

desenhos e tarefas de interpretao de grficos cartesianos. Nas tarefas do primeiro

tipoo, descreviam-se duas ou mais etapas de um fenmeno fsico. Pedia-se os

sujeitos que desenhassem algo que representasse cada um dos fenmenos descritos.

No segundo grupo de tarefas, foram apresentados aos sujeitos grficos cartesianos

que representavam fenmenos fsicos. Pedia-se aos sujeitos que interpretassem as

relaes quantitativas expressas nesses grficos.

A anlise das produes dos alunos mostrou que esses, mesmo aqueles que

ainda no foram introduzidos s representaes grficas cartesianas, so capazes de

criar desenhos adequados representao de fenmenos descritos verbalmente. Alm

disso, h muitos aspectos geomtricos em seus desenhos que os tornam instrumentos

potenciais resoluo dos problemas. Foram identificados trs categorias de

produes em observando os dois seguintes critrios: a presena de silhuetas de

objetos fsicos nos desenho e a utilizao de regras escolares na construo dos

desenhos. A anlise qualitativa do uso desses mostrou que todos os trs tipos

desenhos so igualmente prticos representao de fenmenos fsicos e igualmente

teis resoluo dos problemas de comparar taxas.


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viii

Abstract

The present study investigated the nature of the relations between the

competencies of adolescents to solve rates comparison problems, involving different

kinds of phenomenon, and the way how students created and used paper and pencil

representation that can serve as instruments in the cognitive treatment of diverse

invariantes.

Eighteen students of 5th, 7th and 9th grades from a Brazilian private school,

in Recife, participated of the study. Data was collected throughout clinical

interviews, that included production and graphs interpretation tasks. In the first

group, there were described two or more phases of a physical phenomenon and asked

to the students to draw one representation to them. In the second group of tasks, there

were presented Cartesian graphs and asked to them about the quantitative relations

graphed.

The results showed that the students, as those who never had been instructed

about graphs systems, were capable to create adequate draws to represent the

phenomenons. There were many geometrical aspects in those draws that transformthen into potential instruments to the problems solving. There were identified three

groups of draws concerning the following criterias: the representation of physical

objects in the draws e the utilizations of school rules to the creation of those draws.

The analyses showed that all kinds of draws were equally practical to the

phenomenons representation and useful to problems solving involving rates

comparisons.


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ix

ndiceAGRADECIMENTOS ......................................................................................................................... iv

RESUMO ............................................................................................................................................. vii

ABSTRACT ........................................................................................................................................ viii

NDICE ................................................................................................................................................. ix

NDICE DE FIGURAS ........................................................................................................................ xi

NDICE DE PROTOCOLOS ............................................................................................................ xiii

NDICE DE TABELAS ....................................................................................................................... xv

CAPTULO 1: INTRODUO ............................................................................................................ 1

1O CONCEITO DE TAXA E AS RELAES COM OS CONCEITOS DE RAZO E PROPORO................. 2

1.1 O conceito de taxa ....................................................................................................... 2

1.2 Os conhecimentos sobre razo e proporo ............................................................... 4

1.3 Concluses ................................................................................................................. 11

2O PROCESSO DE REPRESENTAO ............................................................................................. 11

2.1 O conceito Vygotskiano de mediao ........................................................................ 12

2.2 A relao entre invariante e representao .............................................................. 13

3FORMAS E FUNES DA REPRESENTAO ................................................................................. 15

3.1 As Funes da representao .................................................................................... 16

3.2 Interpretar grficos e o conceito de taxa .................................................................. 21

3.3 As competncias dos alunos para representar .......................................................... 26

3.4 Concluses ................................................................................................................. 33

CAPTULO 2: MTODO ................................................................................................................... 34

1SUJEITOS ................................................................................................................................... 34

2MATERIAL ................................................................................................................................ 35

2.1 Tarefas ....................................................................................................................... 35

3PROCEDIMENTOS ...................................................................................................................... 39

CAPTULO 3: ANLISE DE DADOS .............................................................................................. 42

1CARACTERSTICAS DOS DESENHOS E AS RELAO COM OS CONHECIMENTO SOBRE TAXA........ 44

1.1 Os tipos bsicos de desenhos .................................................................................... 44

1.2 Anlise e discusso .................................................................................................... 79


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x

2OS CONHECIMENTOS SOBRE RELAES ENTRE QUANTIDADES E SUA REPRESENTAO............ 87

2.1 Estratgia 1: nfase em q ou t .............................................................................. 89

2.2 Estratgia 2: Relaciona q, t, q e t atravs de desigualdades ........................ 91

2.3 Estratgia 3: Soluo aditiva .................................................................................... 97

2.4 Estratgia 4: nfase na relao q/t .................................................................... 106

2.5 Estratgia 5: nfase na relao t/q .................................................................... 116

2.6 Estratgia 6: No considera as variaes q, nem as t, nem as razes ............... 125

2.7 Anlise ..................................................................................................................... 126

CAPTULO 4: CONCLUSES E IMPLICAES DIDTICAS ............................................... 130

1CONCLUSES .......................................................................................................................... 130

2IMPLICAES .......................................................................................................................... 136

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................ 138

ANEXO I - A DEFINIO MATEMTICA DO CONCEITO DE TAXA E AFINS ................ 146

1UM POUCO DA HISTRIA DO CONCEITO................................................................................... 146

2A TAXA DE VARIAO E A DERIVADA ..................................................................................... 148

2.1 Um exemplo da aplicao da derivada Fsica - O conceito de velocidade ......... 152

ANEXO II - AS TAREFAS ............................................................................................................... 154

1SIMPLES .................................................................................................................................. 154

2DUPLAS................................................................................................................................... 157

3TABELAS ................................................................................................................................. 159

4GRFICOS ............................................................................................................................... 160


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xi

ndice de figurasFIGURA 1-DIAGRAMA DAS TRANSFORMAES SIMULTNEAS OCORRIDAS NUM PROBLEMA

ENVOLVENDO O CONCEITO DE TAXA, TENDO COMO CONTEDO A DEFINIO DE VELOCIDADE ...... 3

FIGURA 2-EXEMPLO DA APRESENTAO DE UMA TAXA POR MEIO DO USO DE UM GRFICO CARTESIANO 4

FIGURA 3-EXEMPLOS DE MATERIAIS USADOS PORSPINILLO &BRYANT (1991).(A)AS DUAS FIGURAS

ONDE A COMPARAO OCORRE COM REFERENCIAIS DE METADE,(B) FIGURAS ONDE A

COMPARAO ATRAVESSA O REFERENCIAL DE METADE (UM RETNGULO TEM A>B E O OUTRO

A


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xii

FIGURA 18-DESENHO DA ALUNA J PARA A TAREFA TABELA-PLANTA ................................................... 60

FIGURA 19-DESENHO CRIADO PELO ALUNO A PARA REPRESENTAR A TAREFA VASO-DUPLO ................ 63

FIGURA 20-DESENHO DO ALUNO A PARA A TAREFA CAMINHO-CRESCENTE ....................................... 67

FIGURA 21-DESENHO FEITO PELO SUJEITO A PARA A TAREFA CAMINHO-TABELA .............................. 69

FIGURA 22-DESENHO CRIADO PELA ALUNA M PARA REPRESENTAR O MOVIMENTO COM VELOCIDADE

CONSTANTE DE UM CAMINHO ...................................................................................................... 74

FIGURA 23-DESENHO DO ALUNO P PARA A TAREFA VASO-CRESCENTE ................................................. 75

FIGURA 24-DESENHO DO ALUNO E NA TAREFA BALANO-CONSTANTE ................................................ 90

FIGURA 25-DESENHO CRIADO PELO ALUNO A PARA A TAREFA PLANTA-DUPLA.................................... 96

FIGURA 26-DESENHO DO ALUNO I NA TAREFA VASO-DECRESCENTE..................................................... 97

FIGURA 27-DESENHO DO ALUNO A NA TAREFA VASO-DECRESCENTE.A SEGUNDA TAXA Q/T

MENOR QUE A PRIMEIRA .............................................................................................................. 101

FIGURA 28-DESENHO CRIADO PELA ALUNA G NA TAREFA PLANTA-CRESCENTE ................................. 108

FIGURA 29-DESENHO DO SUJEITO F NA TAREFA BALANO CONSTANTE.............................................. 113

FIGURA 30-REPRESENTAO DA ALUNA J NA TAREFA PLANTA CONSTANTE....................................... 118

FIGURA 31-DESENHO DA ALUNA J CRIADO PARA A TAREFA PLANTA-CRESCENTE............................... 119

FIGURA 32-DESENHO QUE DESCREVE A VARIAO DE TEMPO COM RELAO A ALTURA DO BALANO,

CRIADO PELO ALUNO A, NA TAREFA BALANO-CRESCENTE.O ALUNO CRIA AS SRIES

ASSOCIANDO RETNGULOS S UNIDADES DE ALTURA PERCORRIDA.SEU DESENHO DEMONSTRA A

ESCOLHA DA ESTRATGIA DE COMPARAR AS TAXAS INVERTIDAS (T/Q E T/Q) ................. 122

FIGURA 33-DESENHO INDICANDO AS ALTURAS DO BALANO AO LONGO DO PERCURSO , PELO ALUNO A,

NA TAREFA BALANO-CRESCENTE.NESSE CASO O DESENHO CORRESPONDE A RELAO CORRETA

ENTRE AS TAXAS.O ALUNO USOU A ESTRATGIA DE COMPARAR AS TAXAS DIRETAS (Q/TE

Q/T) ...................................................................................................................................... 123

FIGURA 34-TERCEIRO DESENHO DO ALUNO A NA TAREFA BALANO-CRESCENTE.AQUI, RETNGULOS

REPRESENTAM INTERVALOS DE 1 S E AS ALTURAS DAS LINHAS INSCRITAS REPRESENTAM AS

ALTURAS SUCESSIVAS DA PLANTA............................................................................................... 124

FIGURA 35-VRIAS SECANTES DE UM GRFICO: APRESENTAO DA MESMA TAXA............................ 150

FIGURA 36-A DIFERENA ENTRE UMA SECANTA E UMA TANGENTE NUMA CURVA.............................. 150

FIGURA 37-A DIFERENA DE UMA SECANTE E UMA TANGENTE NO GRFICO ...................................... 151

FIGURA 38-INTERVALO ONDE A TAXA EST SENDO CALCULADA........................................................ 152


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xiii

ndice de protocolosPROTOCOLO 1-O ALUNO I EXPLICA O SEU DESENHO CRIADO PARA A TAREFA BALANO-CRESCENTE ... 47

PROTOCOLO 2-COMPARAO DAS VELOCIDADES DOS PRIMEIRO E SEGUNDO CAMINHES, NA TAREFA

CAMINHO-DUPLO PELO ALUNO J ................................................................................................. 50

PROTOCOLO 3-EXPLICAO DA REPRESENTAO DO ALUNO I NA TAREFA MAR-DECRESCENTE .......... 52

PROTOCOLO 4-O SISTEMA GRFICO CRIADO PELO ALUNO O NA TAREFA PLANTA-TABELA................... 55

PROTOCOLO 5-ALUNA J RESOLVENDO A TAREFA PLANTA-CRESCENTE ................................................. 57

PROTOCOLO 6-RESOLUO DA TAREFA PLANTA-CONSTANTE PELA ALUNA J ....................................... 58

PROTOCOLO 7-RESOLUO DA ALUNA J NA TAREFA PLANTA-DECRESCENTE ....................................... 59

PROTOCOLO 8-COMO A ALUNA J IDENTIFICA A DIFERENA ENTRE AS TAXAS NO DESENHO QUE FOI

CRIADO PARA A TAREFA QUE DESCREVE O CRESCIMENTO DE UMA PLANTA POR UMA SRIE DE DEZ

PARES DE VARIAES .................................................................................................................... 61

PROTOCOLO 9-ALUNO A TENTANDO ENCONTRAR A VARIAO A CADA MINUTO DA ALTURA DO NVEL

DE GUA NO PRIMEIRO VASO.DA TAREFA VASO-DUPLO. .............................................................. 64

PROTOCOLO 10-O ALUNO A DESCREVE O SEU DESENHO CRIADO PARA REPRESENTAR O MOVIMENTO

DESCRITO NA TAREFA CAMINHO-CRESCENTE .............................................................................. 67

PROTOCOLO 11-A CRIAO DE UM SISTEMA GRFICO PELO ALUNO A NA TAREFA CAMINHO-TABELA69

PROTOCOLO 12-COMPARAO ENTRE VELOCIDADE MDIAS DE DIFERENTES INTERVALOS DE TEMPO ,

ALUNO A NA TAREFA CAMINHO-TABELA .................................................................................... 71

PROTOCOLO 13-ALUNO P RESOLVENDO A TAREFA VASO-CRESCENTE (PARTE 1/3) .............................. 76



PROTOCOLO 16-O ALUNO E ESTIMA UMA RELAO COMPARANDO APENAS AS EXTENSES DOSINTERVALOS DE TEMPO, NA TAREFA BALANO-CONSTANTE ......................................................... 89

PROTOCOLO 17-O ALUNO E COMPARA APENAS A ALTURA PERCORRIDA PELO BALANO PARA

CONCLUIR QUAL A RELAO ENTRE AS TAXAS, TAREFA BALANO-DECRESCENTE ....................... 90

PROTOCOLO 18-ALUNO E UTILIZA A ESTRATGIAS DE COMPARAR AS QUANTIDADES ATRAVS DE

DESIGUALDADES.PRIMEIRA PARTE DA TAREFA VASO-DUPLO ....................................................... 92

PROTOCOLO 19-RELACIONAR AS VARIAES ATRAVS DE DESIGUALDADES PARECE SER SUFICIENTE

PARA O ALUNO A RESOLVER A PRIMEIRA PARTE DA TAREFA PLANTA-DUPLA ............................... 94

PROTOCOLO 20-EXEMPLO DE SOLUO ADITIVA EMITIDA PELO ALUNO I NA TAREFA VASO-

DECRESCENTE................................................................................................................................ 97

PROTOCOLO 21-CONTINUAO DO PROTOCOLO DA TAREFA VASO-DECRESCENTE COM O ALUNO I ...... 98


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xiv

PROTOCOLO 22-MUDANA DA ESTRATGIA ADITIVA PARA UMA ESTRATGIA MULTIPLICATIVA QUE

OCORREU ENQUANTO O ALUNO A AO RESOLVER UMA TAREFA QUE DESCREVIA O ENCHIMENTO DE

UM VASO NUMA SEQNCIA DECRESCENTE DE TAXAS. ............................................................... 102

PROTOCOLO 23-CONTINUAO...O ALUNO A ABANDONA A HIPTESE DE UMA RELAO ADITIVA

ENTRE AS VARIAES .................................................................................................................. 105

PROTOCOLO 24-RESOLUO DA TAREFA CAMINHO-DECRESCENTE PELO ALUNO J.ELE CALCULA O

VALOR UNITRIO: VARIAO DE POSIO EM 1 H. ...................................................................... 107

PROTOCOLO 25-EXPLICAO DA ALUNA G NA TAREFA PLANTA-CRESCENTE ..................................... 108

PROTOCOLO 26-A ALUNA G EXPLICA COMO OS INTERVALOS DE TEMPO FORAM REPRESENTADOS EM

SEU DESENHO, AINDA NA TAREFA PLANTA-CRESCENTE............................................................... 110

PROTOCOLO 27-O ALUNO F RESOLVENDO A TAREFA BALANO-CONSTANTE ..................................... 111

PROTOCOLO 28-A ALUNA J FOCALIZA A RELAO INVERSA T/Q PARA ENCONTRAR O RESULTADO DA

COMPARAO ENTRE AS TAXAS DESCRITAS NA TAREFA PLANTA-CONSTANTE............................ 117

PROTOCOLO 29-ERRO PROVOCADO PELO USO DA RAZO INVERSA NA COMPARAO FEITA PELO

ALUNO J NA TAREFA PLANTA-CRESCENTE ................................................................................... 118

PROTOCOLO 30-SOLUO CORRETA DO ALUNO A USANDO A ESTRATGIA DE COMPARAR RAZES

T/Q, NA TAREFA BALANO-CRESCENTE................................................................................... 120

PROTOCOLO 31-CONCLUSO DO ALUNO A, NA TAREFA BALANO-CRESCENTE, USANDO A TAXA T/Q121

PROTOCOLO 32-O USO DA ESTRATGIA DE RELACIONAR AS VARIAES ATRAVS DE DESIGUALDADES,

PELO ALUNO A, PARA REFORAR SUA CONCLUSO DA TAREFA BALANO-CRESCENTE .............. 124

PROTOCOLO 33-O ALUNO L NO CONSIDERA AS QUANTIDADES DESCRITAS COM A TAREFA BALANO-

CRESCENTE PARA COMPARAR AS TAXAS ..................................................................................... 125


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xv

ndice de tabelasTABELA 1-FORMAO DOS GRUPOS DE FENMENOS DE ACORDO COM A DIREO PREFERENCIAL DAS

TRANSFORMAES OCORRIDAS NOS MESMOS ............................................................................... 36

TABELA 2-AS DIMENSES DAS QUANTIDADES ENVOLVIDAS EM CADA FENMENO ............................... 37

TABELA 3-ORDENS DE APRESENTAO DOS GRUPOS DE TAREFAS ........................................................ 40

TABELA 4-RELAO DOS ALUNOS: IDADE, SRIE E ORDEM DAS TAREFAS ............................................ 40

TABELA 5-RESUMO DAS SEQNCIAS DE TAREFAS ............................................................................... 41

TABELA 6-DISTRIBUIO DOS TIPOS DE DESENHOS POR SRIE .............................................................. 81

TABELA 7-DISTRIBUIO DOS TIPOS DE DESENHOS PELOS TIPOS DE FENMENOS ................................. 82

TABELA 8-A OCORRNCIA DE DIFERENCIAO DAS TAXAS, POR SRIE ................................................ 82

TABELA 9-ACERTO DOS PROBLEMAS DE COMPARAO DE TAXAS, POR SRIE...................................... 83

TABELA 10-DIFERENCIAO DAS TAXAS PELOS TIPOS DE FENMENOS DESCRITOS .............................. 83

TABELA 11-DISTRIBUIO DO DESENHO DE VARIAES, TOTAIS OU TAXAS, POR SRIE....................... 84

TABELA 12-DISTRIBUIO DO DESENHO DE VARIAES, TOTAIS OU TAXAS, POR TIPO DE FENMENO

REPRESENTADO ............................................................................................................................. 84

TABELA 13-DISTRIBUIO DE ERROS E ACERTOS NAS TAREFAS DE INTERPRETAO DE GRFICOS ..... 85

TABELA 14-RESUMO DOS TIPOS DE ESTRATGIAS EMITIDAS PELOS ALUNOS DURANTE A RESOLUO DE

PROBLEMAS DE COMPARAR TAXAS ................................................................................................ 88

TABELA 15-DISTRIBUIO DAS ESTRATGIAS, POR SRIE................................................................... 127

TABELA 16-DISTRIBUIO DAS ESTRATGIAS, PELA ORDEM DE APRESENTAO DAS TAXAS ............ 127

TABELA 17-DISTRIBUIO DAS ESTRATGIAS, PELO TIPO DE FENMENO REPRESENTADO ................. 128

TABELA 18-DISTRIBUIO DOS ACERTOS, POR ESTRATGIA............................................................... 129


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1

Captulo 1: Introduo

De modo geral, os alunos no utilizam conceitos matemticos da maneira

como so formalmente ensinados na escola. Esse fato verifica-se na literatura com

relao, por exemplo, aos algoritmos de resoluo de problemas de proporo.

Carraher, Carraher & Schliemann (1986) demonstraram que o ensino do algoritmo

da regra de trs no implicava na utilizao desses procedimentos durante a

resoluo de problemas cotidianos fora da escola.

Em contrapartida, alguns estudos demonstraram que as crianas, desde muito

cedo, j tm conhecimentos preliminares sobre conceitos matemticos, tais como:

proporo (Spinillo & Bryant, 1991), funo (Piaget, Grize, Szeminska & Bang,

1968), nmero e operaes com nmeros (Piaget & Szeminska, 1981).

Um outro exemplo de descontinuidade ocorre com o ensino de grficos

cartesianos. A atividade com grficos envolve, entre outras coisas, o processo de sua

interpretao. Janvier (1978) analisou esse processo e mostrou que o mesmo

problemtico para a maioria dos adolescentes. Esse autor apresenta os tipos de erros

de interpretao mais freqentes e aponta algumas causas.Por outro lado, desde muito jovens e mesmo sem terem recebido instrues

formais sobre a construo de grficos, as crianas so capazes de criar

representaes para situaes-problema (Nemirovsky & Rubin, 1991), e de utilizar

seus desenhos para tratar conceitos matemticos (Meira, 1995). Suas estratgias,

mesmo que distintas daquelas ensinadas na escola, so bastante sofisticadas e

adequadas resoluo desses problemas (Nunes, 1994).

O estudo de diSessa, Hammer, Sherin & Kolpakowski (1991) analisou como

representaes de um grupo de alunos poderiam ser utilizadas como parte do

processo de instruo sobre sistemas grficos. Nesse caso particular, os sujeitos

tinham de criar representaes grficas prprias para fenmenos especficos.

Observou-se ento que essas representaes, mesmo sofisticadas e eficientes como

instrumento resoluo dos problemas, no eram organizadas de forma sistemtica

como os grficos cartesianos, mesmo que os estudantes tivessem sido instrudos

sobre esse contedo.

Neste captulo ser apresentado o conceito de taxa de variao e sua

emergncia em atividades que envolvem o uso de sistemas simblicos. Em seguida,


17/175

2

ser introduzido o conceito de representao, precisamente partir da anlise da

relao entre um objeto matemtico e sua representao. Esta ltima, definida como

sendo o processo pelo qual os indivduos atribuiem significados a formas grficas ou

simblicas, possue funo especfica que so exemplificadas e analisadas na terceira

parte deste captulo.

Logo a seguir, observa-se como o conceito de taxa tratado por meio do uso

de sistemas simblicos formais como os grficos cartesianos. Os autores mostram

que tipos de problemas ocorrem quando grficos cartesianos so usados como

instrumentos na resoluo de problemas envolvendo o conceito de taxa de variao.

Outros autores observaram, no entanto, que alguns alunos criam seus prprios

sistemas de representao. Seus desenhos, mesmo diferentes dos grficos

cartesianos, parecem ser eficazes no tratamento de conceitos especficos como:

velocidade, mudana e funo.

1O conceito de taxa e as relaes com os conceitosde razo e proporo

Neste Captulo ser analisado o conceito de taxa de variao: sua definio,

alguns sistemas de representao formais e algumas aplicaes. Do ponto de vista da

psicologia da aprendizagem, sero discutidos alguns estudos que analisam os

conhecimentos primitivos de crianas e adolescentes com relao aos conceitos de

razo, proporo e quantidades intensivas observando-se a ligao desses com a

aprendizagem do conceito de taxa.

1.1 O conceito de taxa mdia2

Formalmente, o conceito de taxa um caso particular do conceito de razo,

ou seja, a expresso dos tamanhos relativos de um par ordenado de nmeros ou

quantidades (Carraher, 1992b). Uma dessas quantidades corresponde medida da

variao de uma grandeza qualquer (com a exceo de quantidades temporais). A

segunda refere-se medida do intervalo de tempo decorrido durante a variao da

primeira (Nussenzveig, 1987).

2 Por simplicidade, usaremos o termo taxapara designartaxa mdia. Quando fizermos referncia auma taxa instantnea o mesmo ser especificado.


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o conceito de taxa e as relaes com os

conceitos de razo e proporo

4

Quando um fenmeno representado atravs de um grfico cartesiano, as

diferentes taxas so representadas atravs de diferentes inclinaes nesse grfico4.

Essas inclinaes so medidas a partir da direo horizontal, no sentido anti-horrio.

A comparao entre taxas ocorre atravs da comparao entre essas inclinaes. A

figura b abaixo apresenta como uma taxa de variao pode ser representada atravs

da inclinao de um segmento de reta (AB) desenhado num grfico. O valor dessa

inclinao depende das posies iniciais e finais do segmento, no importando o que

ocorre nos momentos intermedirios entre esses valores5.

Figura B - Grfico cartesiano de uma funo

O conceito de taxa est relacionado com os conhecimentos anteriores dos

alunos sobre razo e proporo. Pelo tipo de relao que envolve esse conceito

classificado como sendo uma relao de primeira ordem. A proporo, por sua vez, denominada relao de segunda ordem, por tratar-se de uma igualdades entre

relaes de primeira ordem6 (razes). Na seo a seguir sero analisados alguns

estudos que descrevem os conhecimentos que as crianas tm sobre os conceitos de

razo e proporo.

1.2 Os conhecimentos sobre razo e proporo

Alguns estudos sugerem que a base da compreenso do conceito de razoreside em atividades de julgamento perceptual no incio da infncia, sugerindo a

possibilidade de crianas muito jovens poderem apresentar alguma verso de

raciocnio proporcional. Lovett & Singer (1991) apresentaram a um grupo de

crianas cartelas com desenhos de flores e aranhas e perguntaram como estaria o

rosto de uma formiguinha que iria cair em cada arranjo. As respostas eram dadas

4 Veja a definio de tangente de um grfico na seo a taxa de variao e a derivada na pgina 154.

5 Observe no Apndice I as definies de secante e tangente e a sua aplicao na comparao entrediferentes taxas atravs do uso de grficos.

6 Os sentidos dados as expresses relaes de primeira ordeme relaes de segunda ordem so osmesmos adotados por Spinillo & Bryant (1991), analisado na prxima seo.


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5

pelas crianas em uma outra cartela onde estava representada uma escala do estado

emocional da formiguinha, desde muito triste at muito feliz. A criana tinha de

marcar uma posio na escala. Este estudo mostrou que a criana pode usar

informaes perceptuais e no quantitativas para estimar probabilidade atravs do

estabelecimento de relaes parte-parte, nesse caso, as quantidades de flores e de

aranhas.

O conceito de proporo tambm constitui o campo conceitual (Vergnaud,

1992) das estruturas necessrios resoluo de problemas de comparar taxas. Para

que exista uma relao de proporo faz-se necessrio que sejam estruturadas

relaes de igualdade ou de desigualdade, i.e., comparaes entre duas (ou mais)

relaes de primeira ordem (razes ou taxas de variao). As relaes de primeira

ordem podem ser parte-todo ou parte-parte, sendo as ltimas mais fceis de serem

compreendida que as primeiras (Spinillo & Bryant, 1991).

Singer, Kohn & Resnick (prelo), especulando sobre o conhecimento sobre

proporo, sugerem que esse pode ter algum fundo biolgico. Provavelmente inato

ou aprendido muito cedo, esse conhecimento permitiria que crianas muito novas

pudessem tomar decises diante de relaes proporcionais. Do ponto de vista da

evoluo, faz sentido que os organismos sejam capazes de tomar decises sobre

certas dimenses proporcionais, por exemplo, densidade de alimentos e velocidade

(p. 10). De acordo com esses autores, pode ser desvantajoso para um organismo ter

de realizar uma integrao de longo prazo de diferentes fontes. Os autores, ento,

imaginam que a apreenso direta de propores ocorre durante um nico passo

cognitivo, sem a necessidade de integrar duas ou mais variveis, isto , o conceito de

proporo seria aprendido de forma primitiva, direta, e no seria construdo via a

integrao de duas quantidades. Isso significa que a criana seria capaz de realizar

um julgamento sobre proporo sem ter de primeiro integrar outras dimenses.

Com relao ao conceito de velocidade, por exemplo, a criana realizaria o

julgamento sem ter de primeiro estimar o tempo, depois estimar a distncia, para

ento integr-las multiplicativamente determinando a velocidade. Fazendo-o

diretamente, a velocidade seria a nica quantidade a ser imaginada, percebida e

medida. Um resumo de situaes nas quais os conhecimentos que as crianas

pequenas tm sobre proporo e outros exemplos nos quais ocorre a utilizao de


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6

conhecimentos diretos de relaes proporcionais so apresentados em Singer, Kohn

& Resnick (prelo).

O conceito de proporo foi considerado por Piaget como sendo uma

aquisio do estgio das operaes formais. A criana, no estgio pr-operacional

concreto, reconhece claramente acontecimentos causais quando os encontra, i.e.,

reconhece as relaes de causa e efeito dos fenmenos. No entanto, no consegue

reconhecer adequadamente relaes proporcionais entre quantidades, pois no dispe

do equipamento intelectual necessrio para isso7. Ao contrrio, a criana no estgio

operacional concreto disporia dos equipamentos intelectuais necessrios para

reconhecer relaes como essas.

Segundo Piaget, h quatro os estgios no desenvolvimento do esquema de

proporcionalidade. Num primeiro estgio, pr-operacional, a criana consegue

estabelecer intuitivamente algumas das relaes entre quantidades envolvidas, sem

mostrar qualquer tentativa de quantificao. No segundo estgio, aparecem algumas

tentativas de quantificao, e as crianas conseguem ordenar sistematicamente

alguns exemplos de modo correto. Seus sucessos, porm restringem-se aos casos em

que suficiente considerar e quantificar apenas uma varivel8. Basta considerar a

nica varivel com valores diferentes nos dois grupos para responder corretamente.

No terceiro estgio, operatrio concreto final, a criana j busca uma quantificao

das duas variveis em jogo, porm no consegue alcanar essa quantificao em

termos de proporcionalidade. Suas tentativas permanecem aditivas, levando-os a

erros sistemticos em determinadas questes. Finalmente, no quarto estgio, a

criana torna-se capaz de reconhecer a impossibilidade de comparaes diretas entre

os valores das duas variveis em jogo, estabelecendo relaes quantitativas.

7Um exemplo de limitao desse tipo ocorreria quando o aluno tem de reconhecer uma relao deigualdade entre volumes iguais de lquidos, quando colocados em vasos de formas diferentes, mesmoo sujeito tendo acompanhado seu transvazamento a partir de quantidades iguais.

8 No caso, por exemplo, da tarefa de Quantificao de Probabilidade (Carraher, Schliemann &Carraher, 1986). Nessa tarefa o experimentador apresenta para a criana dois conjuntos de cartas.Cada carta pode ter uma de duas configuraes diferentes: possuir uma cruz ou no (cartas brancas).Os conjuntos so formados de cartas brancas e cartas com cruzes. Pergunta-se, ento, ao sujeito qual

dos dois conjuntos tem uma proporo maior de cartas com cruz ou brancas. A criana nesse estgioconsegue acertar sistematicamente as comparaes quando, por exemplo, o nmero de cartas comcruz constante (evento esperado), e apenas o nmero de cartas brancas varia, ou vice-versa. Ossujeitos nesse estgio conseguem, pois, ordenar as probabilidades quando a considerao de apenasuma varivel suficiente para realizao do julgamento correto.


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7

Alguns estudos demonstraram a capacidade que crianas pequenas tm de

realizar julgamentos em termos de uma relao de segunda ordem, em geral, nos

casos nos quais relaes de primeira ordem so comparadas. O estudo de Spinillo

(1992) avaliou o desempenho de crianas com idades por volta dos 6 anos ao realizar

julgamentos sobre proporo. Foram apresentadas diversas tarefas de proporo que

envolviam a distino entre relaes de primeira ordem entre dimenses

complementares de um estmulo (partes complementares de uma figura retangular,

dividida em duas parte pintadas com cores diferentes). A autora observou que essas

relaes tanto podiam ser estabelecidas atravs de comparaes parte-parte como

atravs de comparaes parte-todo, e que as crianas eram capazes de resolver

problemas de proporo quando as relaes de primeira ordem envolviam

comparaes parte-parte.

Em um trabalho anterior, Spinillo & Bryant (1991) tinham documentado que

as crianas estabeleciam relaes de segunda ordem entre algumas relaes parte-

parte, mas no entre outras. Segundo os autores, isso ocorria, porque entre relaes

de primeira ordem diferentes, a criana pode fazer julgamentos proporcionais usando

termos relacionais (por exemplo, maior do que versus menor do que,

maior/menor do que versus igual a), enquanto que entre relaes de primeira

ordem semelhantes9 a criana precisava usar cdigos absolutos que eram mais

sofisticados que os cdigos relativos.

Nas tarefas em Spinillo & Bryant (1991) foram solicitadas comparaes entre

dimenses complementares representadas no-numericamente: reas pintada e

no-pintada de retngulos. A rea A correspondia a parte pintada de azul de um

retngulo. A outra rea, B, correspondia parte deixada em branco deste mesmo

retngulo (figura c).

9Relaes de primeira ordem diferentes designam duas razes cuja diferena entre as mesmas podeser identificada facilmente atravs de um exame visual. o caso, por exemplo, de um par deretngulos que tm 1/4 e 3/4 de suas reas pintadas de azul. O segundo tipo, relaes de primeiraordem semelhantes so razes cuja diferena entre parte pintadas e parte no-pintadas so semelhantescomo, por exemplo, no caso em que 1/3 e 1/4 de suas reas so pintadas de azul.


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8

(a)

(b)

Figura C - Exemplos de materiais usados por Spinillo & Bryant(1991). (a) As duas figuras com a razo rea pintada:rea no-pintadaigual a 1/2; (b) figuras onde a comparao ocorre entre relaes de

primeira ordem diferentes (A>B e AB e o outro AB (ou AB e o outro A>B; (4) um retngulo tinha A


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9

relao forma como a criana resolvia os problemas de proporo, foi que

inicialmente ela o fazia atravs de uma comparao parte-parte, e no entre uma

parte e um todo e ela no podia coordenar uma tarefa de proporo na qual as

relaes de primeira ordem que ela tinha para trabalhar eram relaes parte-todo.

Esta concluso tambm foi evidenciada por Parrat-Dayan (1982, 1985). Outros

estudos que se preocuparam com as estratgias diretamente ligadas a julgamentos

perceptuais como meio para realizar julgamentos proporcionais encontram-se citados

em Spinillo (1993).

Para avaliar as contribuies do ensino formal da escola no desenvolvimento

da noo de proporcionalidade, Carraher, Carraher, Schliemann & Ruiz (1986)

observaram a compreenso de quantidades medidas por razes em situaes

familiares (comparao de preo por unidade) e em situaes menos familiares

(comparao entre velocidades, medidas em centmetros por segundo). O

desempenho de 49 adolescentes (de 10 a 16 anos), com ou sem instruo escolar

sobre proporo, foi comparado nessas duas situaes. Observou-se que o contedo

da tarefa afetou significativamente o desempenho. Em primeiro lugar, a porcentagem

de jovens que levava em considerao apenas uma das variveis foi bastante

reduzida (17%) em comparao com aquela obtida na tarefa de comparao de

preos (59%). Segundo, houve algumas respostas aditivas incorretas (10%), em

que os jovens pressupunham implicitamente que a cada segundo os carros deveria

percorrer um centmetro. Enquanto na tarefa de comparao de preos no foi

observada qualquer resposta do tipo aditiva. Observou-se ainda que o nvel de

escolaridade afetou significativamente apenas a tarefa menos familiar. Na tarefa

envolvendo o conceito de velocidade houve uma certa influncia da escolaridade

sobre o desempenho, uma vez que, dos oito sujeitos que mostraram respostas dequantificao correta, sete encontravam-se na srie mais avanada includa neste

estudo, sendo significativa a correlao entre a srie cursada e o nvel alcanado

nesta tarefa.

Do ponto de vista terico, os autores questionam a possibilidade de existncia

de uma fase, envolvendo comparaes aditivas e precedendo a quantificao

apropriada em problemas de proporcionalidade, como previa Piaget. Pois, se este

fosse, de fato, um estgio na construo do raciocnio proporcional, ele deveria

categoria limite em um senso restrito, porque algumas das notas de crianas na comparao dentro dametade, que no cruzam a metade como entre 1/3 e 1/4, foi melhor do que se podia esperar.


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10

aparecer em qualquer tarefa, independente do contedo. A explicao dos autores foi

que as respostas aditivas incorretas apareciam apenas quando era, de certa forma,

aceitvel para o sujeito a hiptese implcita de correspondncia um a um entre as

unidades das variveis em jogo. Quando esta hiptese no era intuitivamente aceita,

as respostas aditivas incorretas desapareciam.

H um outro tipo de estratgia aditiva, mais sofisticada que essa descrita

acima. Em um outro estudo no qual os sujeitos tinham de comparar medidas lineares

expressas numa planta baixa, foi usado um tipo de estratgia aditiva para resolver

problemas de proporo que, no entanto, preservava a razo entre as quantidades

(Carraher, 1986). Neste trabalho, a autora apresentou aos sujeitos (estudantes de

stima srie e mestres de obra, operrios da construo civil) problemas envolvendo

a utilizao de escalas para converso de medidas lineares. Foram utilizadas quatro

tipos de plantas baixas (blueprints) de construes com diferentes escalas: 1:100,

1:50, 1:40 e 1:33.3. A autora observou que a estratgia mais comumente empregada

foi uma denominada por rated addition, de acordo com a qual os sujeitos

encontravam uma simples razo (geralmente, 1/) e ento procediam adicionando

montantes de quantidades a cada uma das quantidades. Este mtodo deve ser

distinguido da soluo aditiva simples porque, ao contrrio dessa, a estratgia rated

addition mantm a razo constante. O que ocorre so adies simultneas; de um

lado o sujeito adiciona uma unidade a uma das quantidades, e depois procede

adio da quantidade correspondente a essa unidade, com relao taxa 1/. Esse

tipo de estratgia no gera erros sistemticos.

Em um outro estudo, Carraher, Carraher & Schliemann (1986) procuraram

verificar at que ponto era possvel fazer com que adolescentes se tornassem capazes

de resolver corretamente problemas de proporo aprendendo um algoritmo que

facilitasse a soluo desses problemas, e at onde essa aprendizagem em Matemtica

estaria condicionada ao nvel de desenvolvimento cognitivo do estudante. Estudantes

de 5, 6 e 7 sries foram submetidos as seguintes tarefas: a) Bonecos Alto e Baixo,

de Karplus; b) Problemas escolares; c) Quantificao de probabilidades, de Inhelder

e Piaget; e d) Equilbrio de uma balana, tambm de Inhelder e Piaget. As duas

primeiras tarefas foram aplicadas coletivamente e as duas ltimas individualmente.

Observou-se nos problemas escolares um desempenho inferior ao esperado, a partir

do desempenho nas tarefas que indicavam a habilidade de raciocnio proporcional.

Tal resultado sugere que a escola, ao tentar promover, por meio do ensino, a


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11

capacidade de resolver problemas de proporo, no tem aproveitado devidamente as

habilidades j existentes nos estudantes. Consistentemente com esta concluso,

observou-se entre os estudantes a utilizao mais freqente de estratgias intuitivas

ao uso da regra de trs, ensinada como o algoritmo para resoluo de problemas de

proporo.

1.3 Concluses

Nesse Captulo foram discutidos estudos que evidenciam as concepes das

crianas sobre razo e proporo. Alguns resultados colocam em questo a suposio

inicial de Inhelder & Piaget (1976) de que o esquema de proporcionalidade uma

aquisio das operaes formais, e portanto tardia (por volta dos 15 anos). O estudo

realizado por Spinillo & Bryant (1991) demonstrou que crianas com apenas 6 anos

de idade j eram capazes de fazer julgamentos corretos em problemas envolvendo

este tipo de relao. As crianas de 6 e 7 anos apresentavam um bom desempenho no

julgamento de proporcionalidade quando as relaes entre azul e branco em cada

uma das figuras encontravam-se separadas pelo limite do referencial de metade, i.e.,

uma das relaes menor que a metade e a outra maior do que esse valor (figura c.b).

O ensino de algoritmos como a regra de trs no contribui efetivamente para

tornar as crianas capazes de resolver problemas envolvendo os conceito de razo e

proporo em qualquer situao (Carraher, Carraher & Schliemann, 1986). Suas

estratgias intuitivas so muitas vezes adequadas para resolver os problemas. Em

alguns casos, no entanto, o uso de suas estratgias levam a erros sistemticos. Isso

ocorre, por exemplo, com a estratgia aditiva.

Discutidas algumas caractersticas das competncias relacionadas com os

conceitos de razo, proporo e taxa, sero discutidas a seguir o conceito de

representao, e finalmente a relao entre invariante e representao de um

conceito. Sero discutidas posies tericas de base com relao ao papel dos

sistemas simblicos na aprendizagem de um conceito.

2O processo da representao

Nesta seo ser discutida a funo mediadora do processo de representao

na atividade matemtica. Essa funo ser discutida luz da definio do conceito


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o processo da representao 12

vygotskiano de mediao. Por outro lado, ser discutida a relao entre o invariante

de um conceito e a sua representao.

2.1 O conceito Vygotskiano de mediaoO ponto de vista Vygotskiano com relao ao desenvolvimento cognitivo tem

reflexos na forma de sua definio metodolgica. O elemento tomado como central

em sua anlise foi a noo deprocessos de desenvolvimento, num contexto no qual o

desenvolvimento no visto como um processo de aquisies quantitativas de

capacidades, mas sim como um processo de evolues qualitativas. Por esse motivo,

a sua abordagem denominada muitas vezes de gentica, na qual desenvolvimento

no deve ser entendido como desenvolvimento ontogentico na forma adotada por

Piaget, por exemplo. A anlise vigotskiana de que a prpria natureza do

desenvolvimento muda. Essa mudana dos processos de desenvolvimento reflete-se

diretamente na organizao material da atividade dos indivduos, e o elemento

analtico adotado para analisar essa interao foi o princpio da mediao.

A apario de uma nova forma de desenvolvimento estaria associado

apario de uma nova forma de mediao. Dependendo do domnio no qual se

processa o desenvolvimento, essa mediao pode ocorrer em forma de instrumentos

ou sinais. Em alguns casos, transies no desenvolvimento esto relacionadas a

novas formas de mediao, em outras, elas esto relacionadas a verses mais

avanadas de uma forma existente de mediao. (Wertsch, 1985, p.22). A distino

entre funes mentais elementares e superiores encontra-se subjacente s noes

vigotskianas de transformaes qualitativas e o papel da mediao o de estabelecer

essa distino. A idia de Vygotsky era investigar de que forma, funes como:

memria, ateno, percepo e pensamento, primeiro aparecem em formaselementares e depois mudam para formas superiores. A discusso descreve como

ocorre a passagem das formas naturais para as formas sociais, ou culturais, de

desenvolvimento.

Para Vygotsky, so quatro os fatores principais que so usados para distinguir

funes elementares de funes superiores: (1) o deslocamento do controle do

ambiente para o indivduo, i.e., a emergncia de uma regulao voluntria; (2) a

emergncia de uma realizao consciente de processos mentais; (3) a origem social e

a natureza social das funes mentais superiores; e (4) o uso de sinais para mediar as

funes mentais superiores. O controle voluntrio, a realizao consciente e a


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natureza social das funes mentais superiores, pressupem a existncia de

instrumentos psicolgicos, ou sinais11, que podem ser usados na atividade de si

mesmo ou de outras pessoas. Isso conduz concluso de que a noo de mediao

analiticamente anterior a outros aspectos da construo terica de Vygotsky.

Wertsch (1985) sintetiza, em forma de princpio, a influncia que h entre os

processos de mediao e o desenvolvimento qualitativo descrito por Vygotsky,

quando afirma que em sua descrio da histria dos sinais como dispositivos

mnemnicos ou meios de clculo assim como em sua explicao da relao entre

pensamento e fala, Vygotsky imaginava um princpio superior de desenvolvimento.

Esse princpio, o qual deveria chamar-se princpio de descontextualizao de meios

mediadores, substitui aquele [princpio] da evoluo Darwiniana aps a emergncia

da cultura. A descontextualizao de meios mediadores o processo pelo qual o

significado de sinais tornam-se menos e menos dependentes de um nico contexto

espao-temporal no qual eles so usados. (pp. 32-33).

Os sistemas simblicos, devido ao seu papel mediador, encontram-se

relacionados com os invariantes dos conceitos.

Na seo a seguir sero discutidas algumas perspectivas com relao natureza da ligao entre invariantes e sua representao.

2.2 A relao entre invariante e representao

Piaget, por muito tempo, utilizou a noo de estrutura invariante (sistema

equilbrio-equilibrao) como central na sua anlise do desenvolvimento cognitivo.

No entanto, um grande nmero de pesquisas nos ltimos vinte anos tm indicado

algumas limitaes dessa posio. Resultados consistentemente observados no

teriam explicao na teoria. Os resultados mais relevantes so aqueles que mostram

que o tipo de situao influencia na forma como a criana resolve um problema e a

constatao de que a representao desempenha um papel significativo no raciocnio.

Vergnaud, entre outros, promoveu novos constructos tericos a partir da

posio piagetiana. A noo de invariante foi mantida no centro da descrio de

conceitos matemticos, mas deixou de ser o nico elemento importante dessa

descrio. As aes, como origem dos conceitos matemticos, foram substitudas poruma noo mais ampla, a de situao (Nunes, 1994). O conceito de situao passa a

11O termo sinal usado por Vygotsky no sentido de ter significado.


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desempenhar um papel mais central na teoria, pois os conceitos no so mais

definidos somente em termos de seus invariantes, mas tambm em termos das

situaes relacionadas ao invariante.

Vergnaud incluiu ainda a idia de que as representaes simblicas so

centrais descrio psicolgica dos conceitos matemticos, no se tratando apenas

de um subproduto das estruturas cognitivas. Um tipo de representao pode facilitar

o reconhecimento de certas semelhanas e obscurecer outras, enquanto uma segunda

forma de representao pode facilitar o reconhecimento tambm de outras

semelhanas e diferenas. Os sistemas simblicos de representao desempenham

um papel estruturante nos processos de raciocnio.

importante analisar o significado das formas simblicas que so utilizadas

na formao dos conceitos. Vergnaud (1982), observa que algumas formas de

representao facilitam a resoluo de problemas. Ele observou que para os

estudantes na faixa etria entre 11 e 12 anos, diagramas so mais apropriados do que

equaes quando o objetivo era resolver problemas de adio e subtrao. Ele

admite, ento, que diagramas so ...um tipo de equao com informaes adicionais

especificadas. (p. 56). Uma das caractersticas dos smbolos matemticos que um

mesmo smbolo pode ser usado para representar diversos conceitos. Vergnaud (1985)

considera essa caracterstica como sendo uma limitao das representaes

algbricas, um obstculo aprendizagem dos conceitos: Uma representao

algbrica faz perder muitas informaes porque identifica sob o mesmo smbolo (+,

-, =) conceitos elementares relativamente diferentes uns dos outros.(p. 85). O autor

explicita essas limitaes: Alguns sistemas simblicos no permitem representar

todos os problemas, ou no permitem distinguir entre a representao dos

problemas e a representao das solues (p. 89). Decorrem desse fato muitas das

dificuldades encontradas pelas crianas quando tm de ampliar para outras classes de

problemas, e a outras relaes, as suas concepes sobre um determinado conceito.

Portanto, Vergnaud (1991) afirma que s possvel existir o significado de

um conceito quando ocorrer a coordenao entre trs componentes: as relaes entre

o conceito e seu invariante; a estrutura da situao na qual o conceito utilizado; e as

formas simblicas que so usadas para represent-lo. Esta uma teoria sobre

conceitos, matemticos em particular. Para Vergnaud (1984) um conceito consiste

em uma trade de trs conjuntos.


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conceito = (S, I, )

S: o conjunto de situaes que do sentido ao conceito; I: o conjunto de

invariantes (ou teoremas-em-ao) que caracterizam a variedade de competncias

dos estudantes, esses invariantes so propriedades do conceito enquanto construtos

psicolgicos; e, : o conjunto de representaes simblicas que podem ser usadaspara representar essas propriedades e as situaes. Em outras palavras, o autor chama

S de referente, I de significado, e de significante. Nesse modelo, a representao de

um conceito tem a mesma importncia, para sua formao que tm o invariante e as

situaes nas quais esse pode ser tratado.

A posio terica de Duval (1992) difere um pouco do modelo de camposconceituais de Vergnaud. Duval conclui que o invariante, ou objeto matemtico,

mais importante que a sua representao. No entanto, esses elementos esto

intimamente relacionados, pois as representaes so absolutamente necessrias. Os

objetos matemticos no so acessveis diretamente percepo, ou numa

experincia intuitiva imediata como os objetos ditos reais ou fsicos. A

possibilidade de efetuar tratamentos sobre os objetos matemticos depende do

sistema de escrita escolhido. Com relao funo da representao, Duval concluique no servem apenas para comunicar, mas interagem com partes importantes da

cognio.

Na seo a seguir sero discutidos alguns estudos que analisam diferentes

funes da representao perante a atividade matemtica. Sero adotadas dois pontos

de vista: em primeiro lugar, analisou-se como sistemas de grficos formais podem

ser usados para representar objetos matemticos e, como desenhos peculiares dos

alunos tambm podem exercer o papel de representar materialmente um invariante.

3Formas e funes da representao

A capacidade de tratar o invariante de um conceito, num amplo conjunto de

situaes, por meio do uso de um vasto conjunto de sistemas simblicos

conseqncia do conhecimento sobre um conceito. Dos sistemas grficos usados no

ensino de Matemtica, o grfico cartesiano um dos que permite, atravs de sua

interpretao, comparar diferentes taxas. Nesses, taxas diferentes so codificadas por

diferentes inclinaes desenhadas a partir de dois pontos distintos do grfico (Ver no


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Anexo I a discusso sobre o conceito de tangente). No entanto, a interpretao de

grficos uma atividades problemtica para os alunos (Janvier, 1978). Um tipo

freqente de erro cometido a confuso entre a altura de um ponto no grfico com a

sua inclinao nas proximidades desse ponto.

Alm disso, alguns estudos demonstram como crianas representam

fenmenos atravs da criao de desenhos diferentes daqueles ensinados na escola.

Nessa seo trs tpicos foram analisados: as diferentes funes da representao na

atividade matemtica; a relao entre a interpretao de grficos e a compreenso do

conceito de taxa; e o processo espontneo de representar dos alunos.

3.1 As funes da representaoEm uma recente reviso, Nunes (1994) discutiu vrios estudos empricos que

evidenciam as funes de diferentes formas de representaes em determinados

processos de resoluo de problemas. Num dos estudos analisados, essa autora

observou um primeiro tipo de funo: determinados tipos de representao exercem

um melhor controle dos processos de computao. Em Marton & Neuman (1990),

uma amostra de crianas de 7 anos resolveu eficientemente problemas aditivos, com

uma parcela desconhecida, usando finger numbers, ou seja, o reconhecimento de

padres visuais que indicavam uma quantidade. Num problema como se sua

professora tiver 4 lpis e 10 crianas quiserem desenhar, quantos lpis ela precisa ir

buscar na sala de material?, bastava a criana levantar os dez dedos, separar quatro,

e reconhecia o padro que se formava. As crianas bem sucedidas diziam a resposta

correta sem contar os dedos. Como afirmou a autora, ...os dedos funcionam como

objetos simblicos (Nunes, 1994, p. 21).

As caractersticas de um sistema de numerao especfico influenciam no

processo de raciocnio. Para exemplificar essa fato, Nunes (1994) observou, por

exemplo, o que ocorria com as crianas das camadas populares do Brasil que eram

expostas a dois tipos de aritmtica: a escrita e a oral. A primeira, aprendida na escola,

pode ser caracterizada pelo papel estruturante que os smbolos escritos exercem

sobre o processo de computao. No entanto, depois que os nmeros so escritos no

papel, deixa-se de pensar nas quantidades representadas e passa-se a trabalhar com

dgitos. Essa representao tem caractersticas espaciais especficas, e.g., os smbolos

tm de ser alinhados. Alm disso, no processo de reagrupamento de colunas, os

dgitos so tratados igualmente, independente de seu valor relativo. Essas


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as funes da representao 17

caractersticas fazem com que o processo de controle do significado do resultado

fique enfraquecido.

Por outro lado, com a aritmtica oral, o processo de controle dos resultados

durante o clculo preservado. As quantidades permanecem representadas

explicitamente durante a computao. Os nmeros so tratados de acordo com o seu

valor relativo. Por exemplo, na aritmtica oral, duzentos e trinta mais cento e oitenta

so somados calculando-se: duzentos e trinta mais cem, trezentos e trinta; mais

oitenta, quatrocentos e dez. (Nunes, 1994, p. 21). A forma como os sistemas

simblicos oral e escrito so usados para resolver problemas envolvendo um sistema

de numerao tambm foi descrito em Schliemann, Santos & Costa (1992). Os

sujeitos resolveram contas oralmente preservando suas referncias s quantidades

fsicas (no caso, dinheiro). Os mesmos sujeitos, quando tentavam resolver as contas

usando cdigo escritos, demonstravam apenas um uso incorreto das tcnicas

aprendidas na escola. Efetivamente, suas representaes poderiam estar servindo

apenas para auxiliar no clculo mental, mas isso no ficou claro no estudo.

O uso de sistema simblico na resoluo de problemas aritmticos tambm

foi apresentado em Hatano (1994). Este autor descreveu como os grandes-mestres

utilizavam o baco para resolverem problemas desse tipo. Em sntese, os

grandes-mestres desenvolviam uma representao mental, com caractersticas

espaciais, que lhes permitia operar um baco mental com tanta eficincia como

operavam um baco fsico. Assim como na aritmtica escrita, o baco levava o

usurio a trabalhar com dgitos, e no com quantidades. Isso dificultava o processo

de controle dos resultados durante o clculo. O autor conclui que para todos os tipos

de representantes nos quais a referncia s quantidades fsicas perdida, a

influncia do sistema simblico, usado para simbolizar os nmeros sobre o processo

de clculo, provavelmente decorre do fato de que os smbolos tornam-se os objetos

sobre os quais operamos (p. 20).

Um outro papel dos sistemas simblicos analisada por Nunes (1994) a

influncia desses em processos de resoluo de problemas inseridos em prticas

culturais especficas. Basicamente, esse aspecto diz respeito atribuio de

significados s representaes em virtude de seu uso em prticas culturais anteriores.

A autora exemplificou este tpico demonstrando como o significado dos sinais + e

- so tratados no ensino bsico. Ambos so usados para indicar as operaes de


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soma e subtrao, no entanto, no se podem misturar duas operaes (p. 23). Com

a introduo do conjunto dos inteiros, o sinal de menos deixa de representar apenas

uma operao, para passar tambm a representar magnitudes negativas12. As crianas

demonstraram ter dificuldades ao resolver problemas que envolvam a descrio de

quantidades negativas, como na descrio de perdas e lucros de um agricultor. Os

alunos resolviam corretamente os problemas quando utilizavam o sistema oral de

representao, ao invs do sistema escrito. Uma anlise qualitativa demonstrou que

os erros dos alunos no podiam ser atribudos s dificuldades na compreenso dos

invariantes envolvidos na situao, mas pareciam resultar diretamente de problemas

relacionados notao.

Para avaliar a interferncia dos significados anteriores dos sinais de + e -,

os problemas foram apresentados em uma folha semelhante usada em armazns e

padarias nas quais se fazem anotaes das compras e pagamentos. Explicava-se para

os alunos que as anotaes indicavam lucros se fossem precedidas pelo sinal de mais

(+), e prejuzos, quando precedidas por um sinal de menos (-). Essa modificao

facilitou a compreenso dos significados dos nmeros negativos, por haver mudado a

interpretao dos sinais. No foram mais obtidos desempenhos significativamente

inferiores do que aqueles obtidos quando os problemas eram resolvidos na condio

oral. Os alunos saram-se to bem na condio escrita quanto na oral. Em sntese,

quando sistemas simblicos esto inseridos em determinadas prticas culturais, os

significados dos smbolos e as regras dessas prticas estruturam os processos de

raciocnio, ainda que em conflito com a anlise que os sujeitos fazem da situao-

problema (Nunes, 1994, p. 23).

Um terceiro exemplo de funo, analisado por Nunes (1994), revelou que a

maneira com a qual se representa uma situao-problema pode determinar o tipo de

esquema desenvolvido na anlise da mesma. A autora descreveu alguns resultados de

estudos sobre o conceito de rea os quais os alunos tm dificuldade em resolver

utilizando as medidas dos lados. Basicamente, havia dois grupos de alunos e ambos

tinham de resolver um problema de comparar duas reas diferentes. Os alunos do

primeiro grupo receberam duas rguas e o outro grupo de alunos recebeu 20

tijolinhos de 1 cm2. O nmero mdio de respostas erradas no grupo ao qual foram

dadas as rguas foi significativamente maior do que o nmero de respostas erradas

12Aspecto particularmente problemtico, tanto do ponto de vista da aprendizagem como do ponto devista epistemolgico no campo da Matemtica (Neto, 1995).


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observadas no outro grupo. Entre os alunos que dispunham de rguas, trs estratgias

foram mais freqentes: (1) medir os permetros dos retngulos e compar-los como

se fossem as reas; (2) calcular a rea e depois chegavam concluso que ainda no

sabiam qual das figuras tinha a maior rea; e (3) tentar utilizar a rgua como

instrumento de medida de rea, deslocando-a sucessivamente sobre a figura para

medir a rea. Este ltimo comportamento foi muito significativo, pois demonstrou a

insatisfao dos alunos em usar uma representao linear para comparar reas. Entre

os alunos que dispunham de tijolinhos, alguns tentaram cont-los, construindo uma

fileira junto base da figura. No entanto, um grupo significativo de alunos descobriu

uma frmula multiplicativa para o clculo da rea dos retngulos. Esta frmula

surgia a partir da constatao de que todas as fileiras tinham o mesmo nmero detijolinhos e apoiava-se claramente no esquema correspondncia um a muitos,

caracterstico da compreenso de problemas do tipo isomorfismo de medidas,

descrito em Vergnaud (1991). Quando foram apresentados ao problema que pedia

para comparar reas de um paralelogramo, os alunos que resolveram corretamente o

problema com os retngulos usando a estratgia de multiplicar as medidas dos lados,

geralmente confundiam o comprimento do lado inclinado com a altura, incidindo em

erro. Em contraste, muitos dos usurios dos tijolinhos conseguiram vencer essadificuldade, buscando identificar o nmero de tijolos por fileira e o nmero de

fileiras.

Meira (1991b) investigou, do ponto de vista da Teoria da Atividade13, como a

produo de representaes externas est relacionada com a atividade de resoluo

de problemas envolvendo o conceito de funo do primeiro grau. Foram observados

nove pares de alunos de oitava srie trabalhando em problemas sobre funes

lineares, instanciadas em trs diferentes dispositivos. Todos os pares receberamproblemas equivalentes, mas cada um dos grupos de trs pares tive apenas um dos

dispositivos para experimentar.

O primeiro dispositivo foi um conjunto de pesos, linhas e roldanas. Uma das

extremidades das linhas era fixa a roldanas que, ao girar, recolhiam as linhas. Na

outra extremidade havia um peso que mantinha a linha distendida no sentido vertical.

Neste caso, a altura inicial dos pesos, na ponta da linha, estaria associado ao termo

13Na Teoria da Atividade (Leontiev, 1947/1981) os componentes bsicos so as aes tomadas pelosagentes em meios sociais e materiais especficos. Essas aes envolvem aspectos cognitivos, sociais emateriais do mundo na forma de: (1) conhecimentos anteriores dos agentes; (2) sua interao comoutros; e (3) seu uso e produo de artefatos e convenes.


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independente da equao (b), o dimetro da roldana se referia ao coeficiente do

termo de primeiro grau (a), o nmero de voltas era representado pela varivel x e a

altura do peso em qualquer instante era simbolizado por y. A equao que

corresponderia posio dos pesos em funo no nmero de voltas seriay=ax+b.

O segundo dispositivo foi um sistema com molas de diferentes coeficientes de

elasticidade (K). Essas molas, dentro de limites prticos, respeitam a Lei de Hooke

(Resnick & Halliday, 1983). Essa lei diz que a fora exercida por uma mola, contra a

sua formao, diretamente proporcional ao seu deslocamento, e K a constante de

proporcionalidade. Essa relao tem a forma de uma equao do primeiro grau como

P Kx= , relacionando o peso suportado pela mola Pe a deformao observadax. O

comprimento da mola deformada, y, matematicamente expresso como sendo

y yM

Kn= +0 , onde yo o tamanho inicial da mola, M o peso de cada massa

pendurada mola, e n o nmero de massas penduradas na mola.

O terceiro dispositivo era um programa de computador que recebia um valor

de entrada e entregava um valor de sada. Para cada entrada, entre 0 e 5, o programa

mostrava um valor de sada segundo uma funo linear previamente programada. Os

estudantes no tinham acesso definio da funo, apenas podiam usar o programa

para obter os resultados das sadas.

Durante a seo de resoluo de problemas, tabelas de valores foram

extensamente produzidas por todos os alunos. Este tipo de representao serviu como

ferramenta que os alunos usaram para manipular os dados experimentais

relacionados aos dispositivos fsicos e para resolver problemas relacionados s

funes lineares. Muito provavelmente, tabelas, de uma forma geral, tinha uma

importncia particular na prtica de sala de aula dos alunos entrevistados.

O autor observou que tais produes, alm de servirem para auxiliar no

processamento cognitivo e dar suporte comunicao, tinham fundamental

importncia na organizao da atividade dos alunos. A relao entre a representao

e a atividade foi vista como uma relao dialtica. A representao externa feita em

papel tem a importante funo de moldar a atividade do indivduo, ao mesmo tempo

que o indivduo molda as representaes que produz. As representaes tm grande

importncia, principalmente quando ocorrem breakdowns na atividade dos sujeitos,

ou seja, quando ocorre a perda de uma linha de pensamento. Portanto, as


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representaes produzidas durante a atividade tm o papel de organizar, em um

sistema simblico, os aspectos circunstanciais envolvidos com sua atividade. Um

outro aspecto relativo ao papel de representaes est relacionado s inferncias

quantitativas. Nesse caso, as representaes servem como uma base material para

que quantidades sejam conduzidas e inferncias sejam feitas. O autor concluiu, ainda

com relao competncia em criar representaes e atribuir-lhes significado, que:

o conhecimento de representaes matemticas no apenas relembrado e aplicado

onde parece relevante. Ao contrrio, a competncia em criar representaes materiais

emerge em sua interao com as circunstncias de um especfico conjunto de fatores

sociais e materiais. Em particular, ferramentas matemticas, assim como tabelas de

valores, so apropriadas e continuamente transformadas conforme, por exemplo, asintenes comunicativas do estudante-designer ou a emergncia de situaes na qual

a manipulao do dispositivo fsico no possvel ou realizvel (p. 38).

A compreenso do conceito de taxa de variao tambm envolve a

capacidade de tratar seu invariante quando o mesmo apresentado por meio de

grficos cartesianos. No entanto, muitos estudos demonstraram que as crianas erram

com freqncia ao proceder com a interpretao de grficos. Na seo a seguir ser

caracterizado o processo de interpretao de grficos, identificando-se as principais

dificuldades encontradas pelos alunos e suas provveis causas.

3.2 Interpretar grficos e o conceito de taxa

Um estudo clssico sobre a interpretao de grficos foi realizado por Janvier

(1978). O autor observou como os estudantes percebiam a relao entre a forma dos

grficos e aspectos de um fenmeno descritos atravs deles. Com relao a essa

conexo, o autor afirmou que: no h interpretao sem situao (p. 3.6). Essasuposio inicial torna-se explcita quando o autor afirma que: a inteno principal

de nossa abordagem a de ilustrar a interferncia ou a influncia da situao

quando chamada na ao [de produzir e interpretar grficos] (p. 9.14). Essa tornou-

se central na anlise que o autor realizou sobre o processo de interpretao de

grficos.

Interpretar um grfico, segundo Janvier, consiste em colocar em forma verbal

informaes relacionadas a uma situao, fornecidas na forma grfica. Significa

descrever em palavras a relao que existe entre duas variveis descritas por meio de

um grfico. Segundo o autor, o processo de interpretao envolve uma relao


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interpretar grficos e o conceito de taxa 22

dialtica entre o conhecimento dos aspectos envolvidos com a situao e as formas

particulares dos grficos. Por um lado, qualquer pergunta feita sobre um grfico

refere-se s quantidades fsicas, e no s caractersticas grficas como tais; porm

seus elementos grficos so utilizados para simbolizar aspectos das situaes

descritas. As respostas produzidas pelo sujeito podiam ser induzidas pela forma do

grfico, pelos conhecimentos sobre a situao subjacente, ou pela combinao de

ambos. Esses dois fatores foram, de modo geral, considerados como continuamente

relacionados. Em outras palavras, as concluses dos alunos so influenciadas por

aspectos geomtricos dos grficos, por seus conhecimentos sobre a situao

subjacente, ou podia ainda tratar-se de uma influncia hbrida. Em suma, o sujeito

tinha que coordenar, durante o processo de interpretao, o grfico e a situao. Ainterpretao de grficos podia ser melhor descrita como uma progressiva integrao

dos vrios pedaos de informaes transmitidas pelo grfico com o conhecimento

circunstancial subjacente.

Os elementos bsicos da interpretao de grficos eram, portanto, as

associaes Caractersticas Grficas Fatos Circunstanciais. Habilidades deleitura claramente inadequadas podiam tambm impedir a associao a ser

estabelecida ou suspender a leitura do grfico por parte das crianas. Que distino

podia ser feita entre leitura e interpretao? A leitura trata da decodificao dos

aspectos geomtricos de um grfico sem a preocupao de referir-se organizao

circunstancial da situao. um processo usado como meio para que sejam

estabelecidas relaes entre aspectos do grfico e aspectos ligados a situao descrita

por ele. Em cada caso, a interpretao diferia da leitura, pois a relao

Caracterstica Grfica Fatos Circunstanciais era estabelecida bemdiferentemente. No entanto, para existir a interpretao, faz-se necessrio que haja a

leitura do grfico.

Para o autor, o tipo de pergunta apresentada criana interferiria no tipo de

procedimento utilizado para interpretar um grfico. Uma pergunta na qual as

palavras apenas exigissem uma descrio dos aspectos figurativos do grfico no

implicava numa interpretao por parte do sujeito. Alguns exemplos de perguntas

que podem no suscitar o processo de interpretao de um grfico de crescimento

(altura tempo) podem ser as seguintes: Qual a mdia das alturas de meninos aos 8

anos?, ou De quantos centmetros a mdia das alturas das meninas aumentou entre

as idades de 3 e de 8 anos? Nesses dois casos, o sujeito podia encontrar respostas


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para ambas as perguntas sem ter de reportar-se aos aspectos particulares do

fenmeno descrito pelo grfico. Por outro lado, uma pergunta que envolve

reformulaes intermedirias podem ser considerada como uma chamada

interpretao. Por exemplo, com relao ao grfico da figura e, a seguir, a pergunta:

Quando esto as meninas mais altas do que os meninos? um exemplo de

pergunta que requer interpretao.

A relao entre taxa de variao de uma quantidade e a sua representao

atravs de grficos foi analisada por Nemirovsky & Rubin (1991). Os autores

descreviam uma corrida de carros e pediam que essa fosse representada. Nesse caso,

a quantidade corresponde posio de um caminho e a variao corresponde a sua

velocidade. Foram realizados dois encontros de 90 minutos nos quais realizaram-se

12 seqncias de tradues de grficos de Posio Tempo para grficos de

Velocidade Tempo. Todos os estudantes cursavam o segundo grau e no haviam

tido qualquer instruo formal sobre conceitos do Clculo Infinitesimal, como:

limite, derivada, taxa de variao, integral.

Os problemas foram colocados atravs do desenho de grficos em uma

cartela, onde se perguntava ao estudante o que ele esperava da forma de uma funo,

conhecida a forma da outra. Por exemplo, era mostrado ao estudante um grfico de

posio e era pedido que antecipasse a forma do grfico da velocidade. Durante as

entrevistas, os estudantes escolhiam qual experimento iriam realizar. Eles podiam,

por exemplo, dirigir um caminho de brinquedo com as mos. O procedimento

prosseguiu com a produo/interpretao de grficos criados pelos alunos com

softwares especficos ou desenhando-os mo.

Os protocolos foram analisados para encontrar certas idias guia, queajudaram os estudantes a articular predies especficas e para as quais eles

expressaram uma certa consistncia. Muitas idias desse tipo correspondiam regras

sintticas, sem ligao com o significado que as formas grficas mantinham do

fenmeno representado. Por exemplo, linhas retas no grfico de velocidade

correspondiam a linhas retas no grfico de posio. Geralmente, um estudante

construa um conjunto de idias no compatveis com o ponto de vista formal,

parecendo emergir de diferentes aspectos da situao, entretanto, sem uma

consistncia interna. A maioria dos episdios de aprendizagem do estudo incluram

experincias nas quais contradies entre diferentes idias-chaves tornavam-se


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salientes para o estudante. Ficava ento mais claro para o estudante que este deveria

construir uma traduo semntica como uma prova de seu conhecimento

reorganizado. Isso novamente demonstra que a interpretao dependia da relao que

os indivduos criam entre as formas dos grficos e aspectos das situaes a que os

grficos se referem.

O processo de interpretao, caracterizado pelo estabelecimento de

associaes Caractersticas Grficas Fatos Circunstanciais, misturado comvrias estratgias de leitura, pode ser desordenado por vrios fatores, os quais

provocam fracassos ou muitos tipos de regresses a esse processo. Os fatores,

segundo Janvier, que podem provocar erros de interpretao so: (1) dificuldades

com relao situao apresentada, o que faria a criana interpretar um grfico sem

qualquer referncia s quantidades fsicas ou a qualquer tipo de conhecimento

anterior. Esse fator pode provocar a ocorrncia de associaes errneas; (2) a prpria

natureza da apresentao de um grfico pode ser determinante no processo de

interpretao; (3) a criana pode no ter conhecimento da causalidade de

determinadas grandezas diretamente envolvidas como: temperatura, tempo, altura,

largura etc.; (4) ainda com relao aos conhecimentos que os sujeitos tm de fatos

circunstanciais, a criana pode no ter o domnio de conceitos derivados das relaes

entre quantidades, como: acelerao, rapidez, crescimento, altura, aumento de peso

etc.; e, (5) erros ocorridos no processo de interpretao podem ainda ser devidos as

prprias caractersticas dos grficos, como: relaes entre a forma do mesmo e escala

etc. Janvier identificou alguns dos tipos de erros mais freqentes, os

GOMES, Alex Sandro. Concepções e representação de relações entre quantidades. Recife: UFPE,...

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