GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

E.E. Prof. João Evangelista da Costa

Plano de aula semanal 2º bimestre 2020

Professor: Lucas Tavares de Castro Disciplina: Matemática.

Série/Ano: 8ºB

Período de realização: 15/06 a 19/06/2020

Quantidade de aula:6

Tema/Conteúdo: Dizima periódica – Fração geratriz. Sequencias

recursivas e não recursivas.

Habilidades a serem trabalhadas: (EF08MA05) Reconhecer e utilizar

procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima

periódica. (EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência

numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de

um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.

(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica

recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que

permita indicar os números seguintes.

Atividades a serem realizadas: Acompanhar CMSP e através de material

disponibilizado por esse meio, realizar a copia da matéria/roteiro de

estudo e realizar as atividades preferencialmente de forma legível e

buscar tirar duvidas a distancia.

Recursos utilizados: Arquivos digitais, aplicativo do CMSP, Google sala

de aula.

Instrumento de verificação da aprendizagem: Avaliação por atividades

encaminhadas digitalmente.

1) Como verificar e corrigir dados patrocinados https://youtu.be/TH3FaNRb8Po

2) Como baixar e logar no Aplicativo CMSP (Recuperar RA e Senha - Alunos e Professores)- Atualizado https://youtu.be/6zEsuzQSX5A 3) Como usar o CHAT e fazer live no CMSP - Alunos e Professores https://youtu.be/szeTE65GM0s 4) Como o aluno acessa as turmas criadas pela SED no Google Classroom - CMSP https://youtu.be/Nn7JVVKngoE 5) Verificando sua navegação e corrigindo dados patrocinados no Aplicativo do Centros de Mídias SP https://youtu.be/TH3FaNRb8Po 6) Como resetar a senha do aluno na SED https://youtu.be/gnrILgXVM6I 7) Como acessar a SED - Primeiro Acesso https://youtu.be/GLGx_JRUs7w

8) Como baixar emulador Android para usar o app CMSP no pc

https://youtu.be/qU_Tg0hYGeI

Lembrem-se de acessar o blog do João, toda semana serão postadas as

atividades de todas as disciplinas:

https://joaoevangelista149280874.wordpress.com/bem-vindoa/

Eu postarei no Google sala de aula as mesmas atividades/conteúdo que eu

enviar para o blog.

Entretanto no Google sala de aula e no chat do aplicativo do cmsp eu posso

interagir com vocês.

Código do Google sala de aula para quem quiser optar por entrar direto: ol4gpdc

Lembrando que você deve se identificar sempre caso use um email pessoal

que não tenha seu nome completo.

Vocês podem mandar suas duvidas e atividades, pelo Google sala de aula ou

pelo cmsp de terça a sexta a tarde, que eu estarei respondendo quando

possível.

Peço que entrem em contato (respeitando o distanciamento social) com seus

colegas para que todos acessem pelo menos o blog do João e baixem as

atividades/matéria.

Uma dica que passo é que o representante de classe crie um grupo no

‘whatsapp’ para que um possa ajudar o outro.

Dizima periódica – Fração geratriz.

Uma dízima periódica é um número decimal cujas casas decimais são

compostas por grupos de um ou mais algarismos que se repetem infinitamente,

ou seja, que são periódicos. As dízimas periódicas podem ser escritas na forma

de fração, por isso, elas pertencem ao conjunto dos números racionais (Q).

Fração geratriz é aquela que quando dividimos seu numerador pelo

denominador, o resultado será uma dízima periódica (número decimal

periódico).

Os números decimais periódicos apresentam um ou mais algarismos

que se repetem infinitamente. Esse algarismo ou algarismos que se repetem

representam o período do número.

Quando o parte decimal é composta apenas pelo período, a dizima é

classificada como simples. Já quando além do período existir, na parte decimal,

algarismos que não se repetem, a dízima será composta.

Contudo, nem sempre as casas decimais de uma dízima periódica são

compostas apenas por seu período. Às vezes, aparecem alguns números

intrusos entre a vírgula e o período de um decimal periódico. Intrusos!?

Exatamente. O grupo de um ou mais números que não se repete, e que pode

aparecer em uma dízima periódica antes da formação de seu período, costuma

ser chamado de intruso, ou de antiperíodo.

Quando os algarismos infinitos de um número decimal não exato não

possuem nenhum padrão, ou seja, não possuem período, eles não são dízimas

periódicas. Neste caso, estamos diante de números irracionais, como os

seguintes exemplos:

Representação da dizima periódica:

A forma mais comum de representar uma dízima periódica é com as

chamadas reticências, três pontinhos que indicam que os algarismos da dízima

se repetem infinitamente. Contudo, também é possível representar a mesma

dízima sem repetir o período e acrescentar as reticências. Para isto, basta

escrever o decimal periódico apenas até o término de seu período, e em

seguida, adicionar uma barra acima do número que representa o período.

Faremos a leitura normalmente, e por fim, adicionaremos a palavra

periódico, exemplo: 2,666... se lê Dois virgula seis periódico.

Calculo da fração geratriz:

Encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica muitas vezes é

necessário para que possamos efetuar cálculos, por exemplo, em expressões

numéricas. Para descobrir a fração geratriz de uma dízima periódica simples,

podemos seguir os seguintes passos:

1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita, por exemplo x, de

forma a escrever uma equação do 1º grau.

2º passo: Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10.

Para descobrir qual será o múltiplo, devemos identificar quantos casas

decimais devemos "andar" para que o período fique antes da vírgula.

3º passo: Diminuir a equação encontrada da equação inicial.

4º passo: Isolar a incógnita.

Exemplos:

1) A fração geratriz do número 0,8888...

Primeiro vamos escrever a equação do 1º grau, igualando o número a x:

x = 0,8888...

Observe que o período é composto por um único algarismo (8). Assim

sendo, temos que "andar" apenas uma casa para ter o período na frente da

vírgula. Assim, multiplicaremos a equação por 10.

10 x = 10 . 0,8888...

10 x = 8,888...

Agora vamos diminuir as duas equações, ou seja:

Isolando o x, encontramos a fração geratriz:

Você pode agora tirar a prova real, basta dividir 8 por 9, vai ver que vai

obter 0,888...

Vamos ver outro exemplo:

2) Transforme o número decimal 0,454545... em fração.

Iremos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. A única diferença

é que agora o período é composto de 2 algarismos (45). Neste caso, teremos

que "andar" duas casas, e então iremos multiplicar por 100.

Isolando o x, descobrimos que a fração geratriz é igual a 45/99.

Você pode ainda simplificar essa fração, caso tenha percebido que

ambos os números são divisíveis por 9.

45/9 = 5 e 99/9 = 11 então 45/99 é igual a 5/11.

Você pode dividir 45 por 99 e vai obter o mesmo resultado de 5/11,

experimente.

3) Vamos ver um exemplo de dizima composta. Qual a fração geratriz de

2,3616161...?

Neste exemplo, a dízima periódica é composta, pois o algarismo 3, que

aparece depois da vírgula, não se repete.

Escrevendo a equação inicial, temos:

x = 2,3616161...

Como a dízima é composta, devemos primeiro multiplicar essa equação

por 10, pois com isso, passamos o 3 para a frente da vírgula (algarismo que

não se repete).

10 x = 23,616161...

Agora vamos escrever a outra equação multiplicando ambos os lados da

equação inicial por 1000, pois assim, conseguimos passar o período para a

frente da vírgula.

1000 x = 2361,616161...

(Você pode fazer a multiplicação diretamente por 10.000 neste caso, se

identificar o procedimento em seu todo.)

Em seguida, faremos a subtração dessas duas equações e isolaremos o

x para encontrar a fração geratriz.

Agora vamos aos exercícios.

1) Qual a fração geratriz de 0,8333... ?

2) Identifique qual é o período do exercício anterior e seu intruso.

3) Encontre a fração geratriz de 6,3777... .

4) Um menino estava na aula de matemática e a professora propôs uma

atividade com fichas. Cada ficha tinha um número e a regra era colocar as

fichas em ordem crescente. Observe a resolução do menino e determine V

para verdadeiro e F para falso a cada sentença abaixo.

Sequencias recursivas e não recursivas.

Na matemática, a sequência numérica ou sucessão numérica

corresponde a uma função dentro de um agrupamento de números. De tal

modo, os elementos agrupados numa sequência numérica seguem uma

sucessão, ou seja, uma ordem no conjunto.

As sequências numéricas podem ser finitas ou infinitas, por exemplo:

SF = (2, 4, 6, ..., 8)

SI = (2,4,6,8...)

Note que quando as sequências são infinitas, elas são indicadas pelas

reticências no final. Além disso, vale lembrar que os elementos da sequência

são indicados pela letra a.

Por exemplo, na sequencia SI:

1° elemento: a1 = 2

4° elemento: a4 = 8

O último termo da sequência é chamado de enésimo, sendo

representado por an. Nesse caso, o an da sequência finita acima seria o

elemento 8.

Uma sequência é dita recursiva ou recorrente quando determinado

termo pode ser calculado em função de termos antecessores (Isso é a

chamada lei de recorrência).

Por exemplo, na sequência (5,9,13,17...), observe que sempre somamos

4 para obter o próximo termo.

Outro exemplo, na sequencia (18,15,12, 9...) cada termo é obtido

subtraindo 3 do anterior.

As sequências não recursivas são aquelas que não dependem de

termos anteriores para determinarmos o próximo termo, pode-se determinar o

valor de um elemento da sequência apenas pela sua posição.

Por exemplo, na sequência (7,14,21,28...) não é necessário saber o

último termo para determinar o seguinte. Observe que neste caso essa

sequencia é formada por múltiplos de 7.

Já no caso da sequência (2,3,5,7,11...) pode-se perceber que ela é

formada pelos números primos.

Sequencia recursiva:

Para verificar a recursividade de uma sequência,se faz necessário

conhecer o primeiro termo, a regra de formação dessa sequência e o termo

anterior ao que quer obter.

Exemplo: (3,8,13,18...)

Tenho uma sequencia cuja primeiro termo é 3, e o segundo é 8.

A regra de formação pode ser deduzida como an= an-1 + 5, para n>1

sendo a1 =3. Por que? Veja:

a1=3

a2 = 3+5 = 8 Observe que a2 = (a2-1) +5, onde a2-1 =a1 e a1 é igual a 3

(pois já sabemos qual é o 1º termo), logo para descobrir a2 eu devo somar o a1

(3) com 5 para obter 8.

Repetindo essa lógica se pode obter os demais termos, mesmo que não

se saiba quais eles são.

a3 = 8+5 = 13 Observe que a3 = a3-1 +5, onde a3-1 =a2 e a2 é igual a 8,

logo para descobrir a3 eu devo somar o a2 (8) com 5.

a4 = 13+5 = 18

a5= (a5-1) + 5, sabemos que a4 = 18 e somado a 5 fica 23, então a5=23.

O mesmo se aplica a símbolos/imagens por exemplo, imagine que os

números anteriores representavam por exemplo cubos, a lógica é a mesma,

afinal estes objetos podem ser representados por números que representam

sua quantidade.

Neste caso podemos fazer ate um fluxograma que indica o processo:

Sequencia não recursiva:

Observe agora a sequencia (2, 16, 54...)

Pode-se perceber que a ‘regra’ (termo geral) dela é an= (n3) *2, para n

≥1.

1=1³∙2= 2

2=23∙2=16

Percebeu, eu não preciso saber qual o termo anterior.

3=3³∙2=54

Posso ate encontrar demais termos, como a4 basta seguir a regra de

formação que você percebeu.

4=4³∙2=128

Para determinar qualquer termo dessa sequencia podemos utilizar o

fluxograma:

Note que qualquer termo dessa sequencia pode ser obtido com base na

posição n que ele ocupa por meio do seu termo geral an= (n3) *2.

Atividade:

1) Escreva os próximos três termos de cada sequência.Em seguida,

complete o fluxograma por meio do qual seja possível obter os termos da

sequência.

2)Pesquise Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas. Faça

no caderno de forma legível e diga o que entendeu deca uma e de exemplos.