Gradiene, Derivada Direcional, Rotacional, Laplaciano

Física Matemática – Physics ACT

DERIVADA DIRECIONAL

A derivada direcional é um valor escalar que representa a derivada de um campo

escalar ao longo de um vetor

�� ,

� � �� · ��

OPERADOR GRADIENTE

O gradiente pode ser usado para determinar a direção de máximo crescimento ou decrescimento de um fluxo em um campo escalar, pois nos mostra a alteração no valor de uma quantidade por unidade de tempo.

�� ̂ � ��

�� ̂ � ��

Gradiente em outras coordenadas:

Coordenadas cilíndricas:

�� 1

��

��

Coordenadas esféricas:

�� ! !̂ � 1

!��" "� � 1

!�#$ "��


DIVERGENTE

O divergente mede a magnitude de uma fonte ou um sorvedouro de um campo vetorial em um determinado ponto. Assim ele pode ser considerado um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.

�� · %�� %&�� %'�� %(��

O divergente de um vetor %�� multiplicado por função escalar � é dado por:

�� · ��%�� ) ��* · %�� ) �� · %��*

Prova:

�� · ��%�� %�� ̂ � ��%��

�� ̂ � ��%��

Efetuando as derivadas temos

�� · )�%��* � +�� ̂ � ��

�� ̂ � �� , · %�� -�%&�� %'�� %(�� . �

Onde

+�� ̂ � ��

�� ̂ � �� , · %�� ) ��* · %��

e

-�%&�� %'�� %(�� . � � �) �� · %��*

Assim temos

�� · ��%�� ) ��* · %�� ) �� · %��*


Divergente em outras coordenadas:


�� · %�� 1�

��%/ �� 1�

%0� � �%(��


�� · %�� 1!�#$ " - 1

!�#$ "��!1%2 ��! � ! ��#$" %3 ��" � ! �%4� .

ROTACIONAL

É um operador que calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam do vetor normal a superfície. O rotacional de um campo vetorial é também um campo vetorial.

�� 5 %�� 67778

9 : ��

��

��%& %' %( ;<

<<=

Existe uma relação entre rotacional e aspectos rotacionais do movimento. Imagine um campo

vetorial %�� que representa o campo de velocidade de um fluido e consideramos uma partícula

situada no ponto ��, �, ��. As partículas situadas numa vizinhança deste ponto, tendem a

rotacionar ao redor do eixo formado pelo vetor �� 5 %��; o comprimento deste vetor é a

velocidade com que as partículas se movem ao redor deste eixo. Se �� 5 %�� 0, o fluido é

chamado de irrotacional, ou seja, está livre de rotações na vizinhança do ponto ��, �, ��*.


Rotacional em outras coordenadas: Coordenadas cilíndricas:

�� 5 %�� 1�

67778

��

��

��%/ �%0 %( ;<

<<=


�� 5 %�� 67778

!̂ !"� !�#$"��!

��"

��%/ !%3 !�#$"%0;<

<<=

APLICAÇÕES SUCESSIVAS DE ��

LAPLACIANO: Divergente de gradiente

�� · �� ²�� ̂ � �

�� ̂ � �� . ��

�� ̂ � �� ̂ � ��

�� ²�

��² ��̂ 5 �̂� � �²��² ��̂ 5 �̂� � �²�

��² �� 5 ��

Ou seja

��²� � �²��² � �²�

��² � �²��²

Laplaciano em outras coordenadas:


��1� � 1�

��

�� 1�²

�²�� ² � �²�

��²



��1� � 1!1�#$" -�#$" �

�! �!² ��! � � �

�" ��#$" ��"� � 1

�#$"�²�� ² .

ROTACIONAL DO GRADIENTE:

�� 5 �� 677778

9 : ��

��

��

��

�� ;<

<<<= � A �²�

�� B �²��C �̂ � A �²�

�� B �²��C �̂ � A �²�

�� B �²��C ��

Então �� 5 �� 0, Gradientes são irrotacionais*

DIVERGENTE DO ROTACIONAL:

��. �� 5 V�� 677778

��

��

��

��

��

��%& %' %( ;<<<<=

��. �� 5 V�� 0 ROTACIONAL DO ROTACIONAL:

�� 5 ) �� 5 V��* � �� . V�� B ��. ��V��

A demonstração é um pouco longa, porém nada trabalhosa. EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES:

�� 5 EV�� 5 ) �� 5 V��*F

A equação de Navier-Stokes descreve o escoamento de um fluido newtoniano. Permite encontrar os campos de velocidade e de pressão em um escoamento.


* Campos conservativos

Um campo vetorial %�� é conservativo numa região R do espaço se %�� para alguma função

escalar � definida em R. Nesse caso, a função � é chamada função potencial de %�� na região R e a

imagem de um ponto de R pela � é o potencial neste ponto.

Um campo vetorial %�� é conservativo se, e somente se, ele pode ser escrito como o gradiente de

um campo escalar, ou seja:

%�� φ

Onde � é o potencial desse campo %��

E para qualquer campo conservativo o rotacional é igual a zero.

�� 5 V�� 0

Porém nem todo campo irrotacional é conservativo.

Para um campo conservativo temos também que:

H ��φdx � 0

Dessa forma temos definido um campo conservativo.

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