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gradiente, divergência e rotacional (revisitados)

2010

Prof. Carlos R. Paiva


[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL

(REVISITADOS)]

Página 1

NOTA PRÉVIA

Os apontamentos que se seguem não são um texto matemático: não se procura, aqui, o

rigor de uma formulação matemática. O que se procura, nestas notas abreviadas sobre

os três operadores diferenciais – gradiente, divergência e rotacional – é, antes de mais,

a formação de uma intuição. O objectivo é o de, deste modo, fazer com que as equações

de Maxwell – que são escritas em termos de rotacional e divergência – possam ser mais

do que fórmulas com uma pura existência formal, evitando-se assim que o seu conteúdo

físico permaneça vago e nebuloso.

Apesar de uma interpretação em termos mecânicos poder ser considerada

filosoficamente ambígua – no sentido em que o campo electromagnético não deve ser

interpretado, e.g., como um fluido (como, de resto, o próprio Maxwell o fez amiúde) –

não resta qualquer dúvida de que uma tal interpretação física ajuda a construir uma

intuição útil – desde que esta precisão filosófica fique clara desde o início.

Assim, no caso da divergência, os conceitos de «fonte» e de «sorvedouro» são

fundamentais para se entender, em electrostática, o papel das cargas eléctricas positivas

e negativas, respectivamente. No caso do rotacional, a ideia de colocar um torniquete

(constituído por uma espécie de roda com pás) – em que o movimento rotativo depende

do momento angular transmitido ao dispositivo – parece, também, fundamental para

distinguir, e.g., o campo eléctrico conservativo em regime estacionário (onde 0 E )

do campo eléctrico em regime não-estacionário (regulado pela equação de Maxwell-

Faraday, t E B ). No caso do gradiente, a ideia de um declive associado a

um conjunto de curvas de nível, é também fundamental – de forma a entender que este

operador diferencial nos informa, e.g., sobre qual a encosta de uma montanha que é

mais íngreme (e, portanto, menos recomendável para uma subida mais acessível).



(REVISITADOS)]

Página 2

Comecemos por recordar a definição dos operadores diferenciais gradiente, divergência

e rotacional num sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Para tal

consideremos a base ortonormada 1 2 3, , e e e , i.e., tem-se

1,

0,m n mn

m n

m n

e e

e, nesta base do espaço vectorial 3, definamos o operador nabla tal que

1 2 1x y z

e e e .

Sejam , ,x y z um campo escalar 3: e , ,x y zF F um campo

vectorial 3 3: F tal que

1 2 3, , , , , , , ,x y z x y zF F F F x y z F x y z F x y z F e e e .

Definem-se, então, os operadores diferenciais:

1 2 3

1 2 3

gradiente ,

divergência ,

rotacional .

yx z

y yx xz z

x y z

FF F

x y z

F FF FF F

y z z x x y

e e e

F

F e e e

Como mnemónica usa-se, ainda, a definição alternativa de rotacional em termos do

«determinante» formal



(REVISITADOS)]

Página 3

1 2 3

11 1 12 2 13 3

x y z

x y z

F F F

e e e

F e e e

em que

11

12

13

,

,

.

yz

x z

y x

FF

y z

F F

z x

F F

x y

Definições

Um campo vectorial F diz-se conservativo quando existe um campo escalar tal

que F . Diz-se, neste caso, que é o potencial associado a F .

Um campo vectorial F diz-se solenoidal quando 0 F .

Um campo vectorial F diz-se irrotacional quando 0 F .

Facilmente se verificam as seguintes identidades:

0,

0.

F

Por exemplo,

2 22 22 2

0

y yx xz z

y yx xz z

F FF FF F

x y z y z x z x y

F FF FF F

x y y x y z z y z x x z

F



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Página 4

uma vez que

2 2

2 2

2 2

,

,

.

z z

x x

y y

F F

x y y x

F F

y z z y

F F

z x x z

Assim, se um campo F é solenoidal, existe um campo vectorial A tal que F A .

Por outro lado, se o campo F é irrotacional, então é conservativo. Ou seja,

0 ,

0 .

F F A

F F

Também de define o operador laplaciano 2 . Tem-se,

2 2 22

2 2 2

2 2 2 2

1 2 3

,

.x y z

x y z

F F F

F e e e

Demonstra-se que

2 F F F .

Vejamos, agora, a definição de derivada direccional do campo escalar , ,x y z ao

longo de uma dada direcção. Seja, então, 1 2 3x y zu u u u e e e um vector constante que

caracteriza a direcção em causa. O correspondente vector unitário u (em que ˆ 1u ) é

dado por

1 2 3

1 2 32 2 2

ˆ x y z

x y z

x y z

u u ua a a

u u u

e e euu e e e

u,

em que



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Página 5

2 2 2 2 2 2 2 2 2, ,

yx zx y z

x y x y x y

uu ua a a

u u u u u u u u u

.

Seja agora dado um ponto 0 0 0 0, ,P x y z e seja , ,P x y z um ponto tal que

0

0

0

x

y

z

x x s a

y y s a

z z s a

em que 0s é um parâmetro que mede a distância entre o ponto P e o ponto 0P ,

tendo-se (note-se que 0 0P P P P ) portanto

0 0 0 1 0 2 0 3 1 2 3ˆ

x y zP P P P x x y y z z s a a a s e e e e e e u .

Nestas condições, a derivada direccional de ao longo da direcção u é

x y z

d d x d y d za a a

d s x d s y d s z d s x y z

ˆd

d s

u .

Por exemplo: se 2x y x z e 1 2 32 2 u e e e , vem 1 2 3ˆ 2 2 3 u e e e e ainda

2

1 2 32 xy z x x e e e , de forma que

24 2 2ˆ

3

d x y z x x

d s

u

a que corresponde, e.g., um valor 5 3d ds para o ponto 1, 2, 1 . Em geral,

notando que se tem

cosd

d s

,

onde é o ângulo entre o vector e o vector unitário u , infere-se que a derivada

direccional d ds é a projecção do gradiente ao longo da direcção u . O valor



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Página 6

máximo da derivada direccional obtém-se quando 0 , i.e., quando a direcção de u

coincide com a direcção de . O gradiente dá-nos, portanto, o valor máximo da

derivada direccional do campo no ponto em causa. Fazendo, ainda, ˆd dsr u vem

d d r .

Quando se considera um deslocamento dr sobre uma superfície de nível

0, ,x y z , é 0d pelo que 0d r , donde se tira que d r : a

direcção dada por é, assim, ortogonal à superfície de nível 0 . No caso

específico em que ,x y , as linhas de força do campo vectorial são as

trajectórias ortogonais das curvas de nível 0 .

EXEMPLO 1

Consideremos o campo de temperaturas absolutas (i.e., medidas em graus Kelvin)

2 2, , 273T x y z x y xyz . Vejamos, então, qual a direcção em que a temperatura

cresce mais rapidamente quando se considera o ponto 1, 2, 3 . Tem-se

1 2 32 2T x y z y x z x y e e e

e, no ponto em questão, obtém-se 1 2 34 7 2T e e e , a que corresponde a direcção

de máximo crescimento da temperatura. Com efeito,

2 2 24 7 2 69d

d s

dá-nos precisamente a taxa desse crescimento máximo. Note-se, porém, que a

transferência de calor se dá na direcção T q , i.e., das temperaturas mais altas para

as temperaturas mais baixas. Em electrostática, por razões análogas, escreve-se

E , i.e., as linhas de força do campo eléctrico dirigem-se dos potenciais mais

altos para os potenciais mais baixos.



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Página 7

EXEMPLO 2

Consideremos, agora, a superfície 3 2 1x y z . Comecemos por determinar o vector

unitário n correspondente à respectiva normal no ponto 0 1, 2, 3P . Como a direcção

da normal é determinada por (dado que o gradiente é perpendicular às superfícies

0, ,x y z ), tem-se

2 2 3 3 2

1 2 33 2x y z x y z x y e e e ,

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 2

36 12 4 9 3 9 3

9136 12 4 9 3 1

e e e e e e e e en .

A equação da linha recta normal à superfície no ponto 0r é (com v n )

0 1 2 3, 9 3t t r r v v e e e .

Logo, fazendo

1 2 3

0 0 0 0 0

0 0 1 0 2 0 3

, ,x y z

P x y zx y z

r e e er

r e e e

a equação da normal será

0

0

0

1 2 3

9 3 1

x

y

z

x x v tx y z

y y v t

z z v t

.

O plano tangente, por sua vez, é o lugar geométrico dos vectores

0 0 0 1 0 2 0 3P P P P x x y y z z u e e e

que são perpendiculares ao vector 1 2 391 9 3 v n e e e , i.e., tais que

0 0 00 9 3 0x x y y z z u v

pelo que a respectiva equação será

9 1 3 2 3 0x y z .

EXEMPLO 3

Consideremos as equações de Maxwell.



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Página 8

0homogéneas

0

não-homogéneas

t

t

BE

B

DH J

D

Em regime estacionário é 0t t B D pelo que o campo eléctrico é

conservativo (pois 0 E e, consequentemente, E ) e a densidade de

corrente eléctrica J é solenoidal (pois H J e, consequentemente, 0 J ). Note-

se que – apenas em regime estacionário – é que, em rigor, se podem definir tensão e

corrente eléctricas pois, apenas neste caso, quer a lei das malhas quer a lei dos nós (dos

circuitos) são válidas. No vácuo, sem fontes do campo (i.e, 0 e 0J ), tem-se

0

0

0

0

D E E

B H H

de forma que

2 2

0

2

0 0 0 0 20

t

t t tt

HE E E E E

H EE E H

H

22

2 2

10

c t

EE .

Esta última equação é a equação (de d’Alembert) de propagação das ondas

electromagnéticas no vácuo. Com efeito, a velocidade da luz no vácuo é

1299 792 458 msc (valor exacto, por definição) e é dada por

0 0

1c

onde 7 1

0 4 10 Hm , de modo que



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Página 9

12 1

0 2

0

18.854187817 10 Fm

c

.

Analogamente, vem

2 2

2

0 0 0 0 2t t t

H H H H

E HH E

22

2 2

10

c t

HH .

Ou seja, no vácuo verifica-se sempre

22

2 2

10

c t

E

H.

Introduzindo o operador dalembertiano

22 2

2 2

1

c t

a equação de d’Alembert escreve-se, então, nas duas formas alternativas

2

2

0,

0.

E

H

EXEMPLO 4

Consideremos o campo vectorial

1 2

2 2, , 0, 0

y xx y

x y

e eF .

A intensidade deste campo é constante e dada por

2 2

2 21, , 0, 0

x yx y

x y

F .

Facilmente se verifica que se trata de um campo solenoidal pois

32 2

32 2

0.

x

yx

y

F x y

xx y FF

F x yx y

yx y

F



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Página 10

Porém, este campo que não é conservativo:

1 2 3

32 2 2 2

0x y

x y

x y z x yx y x y

F F

e e e

F e

32 2

1

x y

F e .

O laplaciano deste campo vectorial é dado por

2 2 2

1 2x yF F F e e

de forma que

2 22 2 22

2 2 5 5 32 2 2 2 2 2

2 22 2 22

2 2 5 5 32 2 2 2 2 2

2 3

23

x xx

y y

y

y y xF F x y yF

x yx y x y x y

x x yF F x y xF

x yx y x y x y

2 1 2

32 2

y x

x y

e eF .

Note-se que, como 0 F , se tem

1 2 3

2 1 2

32 2

2 2

10 0

y x

x y zx y

x y

e e e

e eF F

o que, naturalmente, confirma o resultado anteriormente obtido. Num campo solenoidal

as linhas de força são fechadas. Isto significa que não existem pontos que sejam

«fontes» ou «sorvedouros» do campo. Num campo vectorial ,x yF uma curva

y y x diz-se uma linha de força se, em cada ponto 0 0,x y , o vector 0 0,x yF é

tangente à curva. Assim, num campo vectorial

1 2, , ,x yx y F x y F x y F e e ,

as linhas de força respectivas satisfazem a equação diferencial



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Página 11

,

,

y

x

F x yd y

d x F x y .

No exemplo em análise, vem então

2 21 1

2 2

d y xy d y x d x y x k

d x y ,

onde 0k é uma constante de integração. Logo, fazendo 2 2c k , obtém-se

2 2 2x y c .

Isto mostra que as linhas de força são circunferências centradas na origem.

EXEMPLO 5

Consideremos, agora, o campo vectorial

1 2

2 2, , 0, 0

x yx y

x y

e eF .

Trata-se, tal como o exemplo anterior, de um campo vectorial de amplitude constante,

com 1F . Notemos, para começar, que se trata de um campo irrotacional:

1 2 3

2 2 2 2

3 32 2 2 2

0

0 .

x y

y x

x y z x yx y x y

F F

x y x y

x y x y

e e e

F

Isto significa que este campo vectorial é conservativo: existe um potencial ,x y tal

que F , i.e.,

2 2

2 2

02 2

,

0

x

y

xF x y x y y

x x y

y dF y

y d yx y

2 2

0,x y x y .

Admitindo então que 0, 0 0 , infere-se que 0 0 e, portanto,



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Página 12

2 2,x y x y .

Este campo não é solenoidal:

2 2

3 3 2 22 2 2 2

1yxFF y x

x y x yx y x y

F .

Note-se que

2 0 F .

Logo, como o campo não é solenoidal, as linhas de forças são abertas. Com efeito, estas

satisfazem a equação diferencial

ln ln ln kd y y d y d x yy x k k y e x

d x x y x x

em que k é uma constante de integração. Mas então, introduzindo kc e , infere-se que

as linhas de força são as rectas que passam pela origem, i.e.,

y c x .

Com efeito, as equipotenciais serão as circunferências , 0x y a , i.e., tais que

2 2 2x y a .

Como o campo é irrotacional, tem-se

2 2

2 2

10

x y

F F F F F

2 1 21 2

2 2 2 2 32 2

1 1 x y

x yx y x y x y

e eF e e .

A origem , 0, 0x y é o ponto onde se localiza a fonte do campo. Se, em vez deste

campo, se tiver o campo

1 2

2 2, , 0, 0

x yx y

x y

e eG F ,

a origem corresponderia, então, a um sorvedouro de G pois

2 2

1

x y

G .

Consideremos, agora, um vector constante u , tal que



(REVISITADOS)]

Página 13

1 2

1 22 2

ˆ x y

x y

x y

u uu u

u u

e euu e e u

u.

A derivada direccional de ao longo do vector u é então dada por

1 21 2

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ x y x y

x y x y

u u xu yux yd

d s x y u u x y u u

e ee eu F u

um que s é a coordenada medida ao longo do eixo correspondente a u . Por exemplo, se

1 2 u e e é 1 2ˆ 2 u e e e, consequentemente,

2 22

d x y

d s x y

.

Assim, e.g., no ponto , 1,1x y obtém-se

1,1 1d

d s

.

O valor máximo da derivada direccional é precisamente e corresponde a 1F

em qualquer ponto. Já a derivada direccional ao longo de u , calculada no ponto

, 1, 0x y , assume o valor

1

1, 02

d

d s

.

EXEMPLO 6

Vamos agora comparar o rotacional dos seguintes campos vectoriais:

1 2

2

0 22

2

0 22

, ,

exp ,

exp .

a

b

c

x y y x

yy v

b

xx v

a

v e e

v e

v e

Tem-se



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Página 14

3

2

0 32 2

2 ,

0,

2exp .

a

b

c

x xv

a a

v e

v

v e

O primeiro campo vectorial, av , tem um rotacional que é dirigido segundo o eixo z :

podemos imaginar que se trata de um fluido, em movimento, em que cada ponto tem,

em função do tempo, as coordenadas

cos ,

sin .

x t a t

y t a t

Assim, o campo vectorial da velocidade é, efectivamente, dado por

1 2 1 2 1 2, sin cosa

d x d yx y a t t y x

dt dt v e e e e e e .

Note-se que a intensidade deste campo de velocidades é constante e dada por

2 2, , sin cosa av x y x y a t t a v .

As linhas de força deste campo av são tais que

2 21 1

2 2

d y xy d y x d x y x k

d x y

2 2 2 22k c x y c .

Um torniquete, formado por uma roda hidráulica com pás (i.e., um roda de palhetas),

colocado em qualquer ponto do fluido irá rodar sempre com a mesma velocidade

angular . Já no caso do campo de velocidades b yv , em nenhum ponto o torniquete

irá rodar: em qualquer ponto a velocidade do fluido dirige-se, sempre, segundo y , i.e.,

as linhas de força são as rectas

00

bvd yd x x c

d x .

Finalmente, no terceiro caso, em que se considera o campo de velocidades c xv , o

torniquete roda com uma velocidade angular que depende da coordenada x : apesar de a

velocidade linear estar sempre orientada ao longo do eixo y , o fluido exerce um

momento angular que não é nulo e, assim, provoca a rotação de uma roda de palhetas

(excepto quando 0x , caso em que o momento angular se anula).



(REVISITADOS)]

Página 15

EXEMPLO 7

Consideremos o campo vectorial

1 1 2 2 3 4 33x c z c x z x c y c z F e e e .

Determinemos as constantes 1 2 3 4, , ec c c c de forma que este campo vectorial seja

simultaneamente irrotacional (e, portanto, conservativo) e solenoidal. Como,

1 2 3

1 2 3

y yx xz z

x y z

F FF FF F

x y z y z z x x y

F F F

e e e

F e e e

3 1 2

13 0

yz x

y z x

FF Fc c c

y z x

F F F

xz y

3 1 1 2 2 33 1 0c c c e e e .

Logo, se o campo é irrotacional, deverá ter-se

1

2 1 2 4 3

3

1

0 3 3

3

c

c x z z x y c z

c

F e e e

de modo que o campo será ainda solenoidal desde que

4 41 0 0 1yx z

FF Fc c

x y z

F .

Ou seja, deverá ter-se:

1 2 33 3x z z x y z F e e e .

Admitamos, agora, que o respectivo potencial é tal que F . Nestas condições,

vem

2

2

1,

2

13 3 3

2

3 3 3

x

y

x

F x z x x z y zx

F z z x x z y z zy y

dF x y z x y x y z

z z d z



(REVISITADOS)]

Página 16

2

0

1

2

dz z

d z

.

Portanto, deve ter-se

2 2

0

1 13

2 2x x z y z z .

Admitindo, então, que o potencial é nulo em 0, 0, 0 , infere-se por fim que

2 21, , 3

2x y z z x z y x .

EXEMPLO 8

Um campo vectorial , ,x y zF F diz-se um campo de Beltrami se existir uma

constante real 0 tal que

F F .

Isto significa que um campo de Beltrami é paralelo ao seu próprio rotacional. Para um

certo valor próprio , um campo de Beltrami é o campo próprio do operador

rotacional. Uma definição alternativa para um campo F de Beltrami é a seguinte:

0, F F

uma vez que 0 F F . Note-se que, em rigor, não é necessário que seja uma

constante para que F seja um campo de Beltrami: o que é necessário, apenas, é que

F F , i.e., que se tenha 0 F F . Comecemos por verificar que um campo

de Beltrami é necessariamente solenoidal. Com efeito, no caso em que é uma

constante, vem

0 F F .

Portanto, as linhas de força de um campo de Beltrami são fechadas. Consideremos, a

título de exemplo, o campo

1 2x yz F z F z F e e .

Facilmente se verifica que

1 2 3

1 20 0

0

y x

x y

d F d Fd

d z d z d z

F F

e e e

F e e



(REVISITADOS)]

Página 17

pelo que, para ser um campo de Beltrami, terá de verificar as condições

2

2 2

2

2 2

0 cos sin

cos sin0

y x x

xx

x y yy y

d F d F F z zFF

d zd z

d F d F F z zF F

d z d z

1 2cos sin cos sinz z z z

F e e .

Note-se que um campo de Beltrami tem um rotacional que também é um campo de

Beltrami. De facto, seja G F em que F é um campo de Beltrami. Então,

1 1

F F G G F G G G

o que prova a afirmação.

EXEMPLO 9

São exemplos importantes de campos de Beltrami as ondas electromagnéticas com

polarizações circulares ortogonais. Para uma onda (no vácuo) com PCD (polarização

circular direita) o campo eléctrico escreve-se

01 2 0

, exp

exp2

x y

z t i t

Ez i i k z E z E z

E E

E e e

de forma que

1 2 3

01 2 0 1 2 00 0 exp

2

y x

x y z

d E d E Edk i i k z

d z d z d z

E E E

e e e

E e e e e

0PCD k E E

o que prova que, efectivamente, se trata de um campo de Beltrami. Analogamente, para

uma onda com PCE (polarização circular esquerda), vem

01 2 0

, exp

exp2

x y

z t i t

Ez i i k z E z E z

E E

E e e

e, consequentemente,



(REVISITADOS)]

Página 18

1 2 3

01 2 0 1 2 00 0 exp

2

y x

x y z

d E d E Edk i i k z

d z d z d z

E E E

e e e

E e e e e

0PCE k E E .

EXEMPLO 10

Consideremos, agora, o campo de Beltrami

1 2

21

z

z

e eF .

Comecemos por notar que

1 2 3

1 21 2 2 2

10 0

1 1

0

y x

x y

d F d F zd

d z d z d z z z

F F

e e e

e eF e e

2

1

1 z

F F .

Portanto, neste caso, trata-se de um campo de Beltrami F F em que não é

uma constante pois

21 z .

A definição geral de um campo de Beltrami F é, portanto, a de que se deve ter

0 F F

o que se verifica neste exemplo. O campo é, ainda neste caso, solenoidal. Com efeito,

tem-se

0yx z

FF F

x y z

F

e as linhas de força do campo satisfazem, no plano 0z z , a equação diferencial

0

0 0 0

1 1y

x

F zd yy x x c

d x F z z z .

No plano 0z as linhas de força correspondem a 0d x , i.e., às rectas x c .

Notemos que, em geral, se tem



(REVISITADOS)]

Página 19

G G G .

Assim, no caso geral em que , ,x y z , obtém-se

1 2 3x y z

e e e .

No caso concreto deste exemplo, em que 21 z , vem simplesmente

3 32d

zd z

e e .

Assim, neste caso,

2

2

11

11

0

zz

G F FG G F

G F

1 2 32

12 0

1x yF F z

z

G e e e .

Este resultado coincide, como não podia deixar de ser, com o facto de se ter

0yx

FF

x y

F F G F G .

EXEMPLO 11

Consideremos, agora, a questão seguinte: em que condições é que a forma diferencial

d d F r

corresponde a uma forma diferencial exacta? Por definição, uma forma diferencial (ou

simplesmente uma diferencial) é exacta desde que F , i.e., desde que o campo

vectorial , ,x y zF seja irrotacional ou conservativo:

1 2 3x y z

F e e e .

Logo, em geral, para se ter uma diferencial exacta

, , , , , ,x y zd d F x y z d x F x y z d y F x y z d z F r

é necessário que



(REVISITADOS)]

Página 20

yxx

x zy

y zz

FFF

y xx

F FF

y z x

F FF

z z y

uma vez que se tem

2 2

2 2

2 2

,

,

.

y x x y

z x x z

z y y z

Isto é equivalente a dizer que 0 F . Consideremos, a título de exemplo, a forma

diferencial

3 2 22 3 1d x y z d x x d y x z d z .

Notando que, neste caso, se tem

1 2 3

2 2 2

2 3 2

3 2 2

3 3 2 2 6

2 3 1

z z x x zx y z

x y z x x z

e e e

F e e e ,

infere-se que F não é conservativo e, consequentemente, a diferencial em causa não é

exacta. Já a forma diferencial

3 2 22 3 1d x y z d x x d y x z d z ,

em que se tem

1 2 3

2 2

2 3

3 2 2

3 3 2 2 0

2 3 1

z z x xx y z

x y z x x z

e e e

F e e ,

é uma forma diferencial exacta. Para determinar o potencial , ,x y z neste caso, tem

de verificar-se então



(REVISITADOS)]

Página 21

3

2 3

2 2 2

2 2 3 2 2

2,

,

3 1 3 3 1

x y zx x y x z y z

x x x y z zy y

dx z x y x z z x z x z

z d z

01d

zd z

.

Conclui-se, deste modo, que o potencial procurado é dado por

2 3

0, ,x y z x y x z z .

Por vezes, na literatura, uma diferencial exacta é também designada por forma

diferencial de Pfaff – em memória do matemático Johann Friedrich Pfaff (1765-1825).

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