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NOTA PRÉVIA

Os apontamentos que se seguem não são um texto matemático: não se procura, aqui, o

rigor de uma formulação matemática. O que se procura, nestas notas abreviadas sobre

os três operadores diferenciais – gradiente, divergência e rotacional – é, antes de mais,

a formação de uma intuição. O objectivo é o de, deste modo, fazer com que as equações

de Maxwell – que são escritas em termos de rotacional e divergência – possam ser mais

do que fórmulas com uma pura existência formal, evitando-se assim que o seu conteúdo

físico permaneça vago e nebuloso.

Apesar de uma interpretação em termos mecânicos poder ser considerada

filosoficamente ambígua – no sentido em que o campo electromagnético não deve ser

interpretado, e.g., como um fluido (como, de resto, o próprio Maxwell o fez amiúde) –

não resta qualquer dúvida de que uma tal interpretação física ajuda a construir uma

intuição útil – desde que esta precisão filosófica fique clara desde o início.

Assim, no caso da divergência, os conceitos de «fonte» e de «sorvedouro» são

fundamentais para se entender, em electrostática, o papel das cargas eléctricas positivas

e negativas, respectivamente. No caso do rotacional, a ideia de colocar um torniquete

(constituído por uma espécie de roda com pás) – em que o movimento rotativo depende

do momento angular transmitido ao dispositivo – parece, também, fundamental para

distinguir, e.g., o campo eléctrico conservativo em regime estacionário (onde 0∇× =E )

do campo eléctrico em regime não-estacionário (regulado pela equação de Maxwell-

Faraday, t∇× = − ∂ ∂E B ). No caso do gradiente, a ideia de um declive associado a

um conjunto de curvas de nível, é também fundamental – de forma a entender que este

operador diferencial nos informa, e.g., sobre qual a encosta de uma montanha que é

mais íngreme (e, portanto, menos recomendável para uma subida mais acessível).

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Comecemos por recordar a definição dos operadores diferenciais gradiente, divergência

e rotacional num sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Para tal

consideremos a base ortonormada { }1 2 3, ,= e e e , i.e., tem-se

1,0,m n mn

m nm n

δ=

⋅ = = ≠e e

e, nesta base do espaço vectorial 3 , definamos o operador nabla ∇ tal que

1 2 1x y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

e e e .

Sejam ( ), ,x y zΦ = Φ um campo escalar 3:Φ → e ( ), ,x y z=F F um campo

vectorial 3 3: →F tal que

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , , , , ,x y z x y zF F F F x y z F x y z F x y z= = + +F e e e .

Definem-se, então, os operadores diferenciais:

1 2 3

1 2 3

gradiente ,

divergência ,

rotacional .

yx z

y yx xz z

x y zFF F

x y zF FF FF F

y z z x x y

∂Φ ∂Φ ∂Φ→ ∇Φ = + +

∂ ∂ ∂∂∂ ∂

→ ∇⋅ = + +∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂→ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

e e e

F

F e e e

Como mnemónica usa-se, ainda, a definição alternativa de rotacional em termos do

«determinante» formal

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1 2 3

11 1 12 2 13 3

x y z

x y zF F F

∂ ∂ ∂∇× = = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

e e e

F e e e

em que

11

12

13

,

,

.

yz

x z

y x

FFy zF Fz x

F Fx y

∂∂∆ = −

∂ ∂∂ ∂

∆ = −∂ ∂∂ ∂

∆ = −∂ ∂

Definições

Um campo vectorial F diz-se conservativo quando existe um campo escalar Φ tal

que = ∇ΦF . Diz-se, neste caso, que Φ é o potencial associado a F .

Um campo vectorial F diz-se solenoidal quando 0∇⋅ =F .

Um campo vectorial F diz-se irrotacional quando 0∇× =F .

Facilmente se verificam as seguintes identidades:

( )( )

0,0.

∇⋅ ∇× =∇× ∇Φ =

F

Por exemplo,

( )

2 22 22 2

0

y yx xz z

y yx xz z

F FF FF Fx y z y z x z x y

F FF FF Fx y y x y z z y z x x z

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∇ ⋅ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =

F

uma vez que

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2 2

2 2

2 2

,

,

.

z z

x x

y y

F Fx y y x

F Fy z z yF F

z x x z

∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂

Assim, se um campo F é solenoidal, existe um campo vectorial A tal que = ∇×F A .

Por outro lado, se o campo F é irrotacional, então é conservativo. Ou seja,

0 ,0 .

∇⋅ = ⇒ =∇×∇× = ⇒ =∇Φ

F F AF F

Também de define o operador laplaciano 2∇ =∇⋅∇ . Tem-se,

( ) ( ) ( )

2 2 22

2 2 2

2 2 2 21 2 3

,

.x y z

x y z

F F F

∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ∇ Φ = + +

∂ ∂ ∂

∇ = ∇ + ∇ + ∇F e e e

Demonstra-se que

( ) ( ) 2∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇F F F .

Vejamos, agora, a definição de derivada direccional do campo escalar ( ), ,x y zΦ ao

longo de uma dada direcção. Seja, então, 1 2 3x y zu u u= + +u e e e um vector constante que

caracteriza a direcção em causa. O correspondente vector unitário u (em que ˆ 1=u ) é

dado por

1 2 31 2 32 2 2

ˆ x y zx y z

x y z

u u ua a a

u u u

+ += = = + +

+ +

e e euu e e eu

,

em que

2 2 2 2 2 2 2 2 2, ,yx z

x y z

x y x y x y

uu ua a au u u u u u u u u

= = =+ + + + + +

.

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Seja agora dado um ponto ( )0 0 0 0, ,P x y z e seja ( ), ,P x y z um ponto tal que

0

0

0

x

y

z

x x s ay y s az z s a

= += += +

em que 0s ≥ é um parâmetro que mede a distância entre o ponto P e o ponto 0P ,

tendo-se (note-se que 0 0P P P P= +

) portanto

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1 0 2 0 3 1 2 3 ˆx y zP P P P x x y y z z s a a a s= − = − + − + − = + + =e e e e e e u

.

Nestas condições, a derivada direccional de Φ ao longo da direcção u é

x y zd d x d y d z a a ad s x d s y d s z d s x y zΦ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ= + + = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ˆdd sΦ

∴ =∇Φ⋅u .

Por exemplo: se 2x y x zΦ = + e 1 2 32 2= − +u e e e , vem ( )1 2 3ˆ 2 2 3= − +u e e e e ainda

( ) 21 2 32 x y z x x∇Φ = + + +e e e , de forma que

24 2 2ˆ3

d x y z x xd sΦ + − += ∇Φ ⋅ =u

a que corresponde, e.g., um valor 5 3d d sΦ = para o ponto ( )1, 2, 1− . Em geral,

notando que se tem

cosdd s

θΦ= ∇Φ ,

onde θ é o ângulo entre o vector ∇Φ e o vector unitário u , infere-se que a derivada

direccional d d sΦ é a projecção do gradiente ao longo da direcção u . O valor

máximo da derivada direccional obtém-se quando 0θ = , i.e., quando a direcção de u

coincide com a direcção de ∇Φ . O gradiente dá-nos, portanto, o valor máximo da

derivada direccional do campo Φ no ponto em causa. Fazendo, ainda, ˆd d s=r u vem

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d dΦ =∇Φ⋅ r .

Quando se considera um deslocamento dr sobre uma superfície de nível

( ) 0, ,x y zΦ = Φ , é 0d Φ = pelo que 0d∇Φ⋅ =r , donde se tira que d∇Φ ⊥ r : a

direcção dada por ∇Φ é, assim, ortogonal à superfície de nível 0Φ = Φ . No caso

específico em que ( ),x yΦ = Φ , as linhas de força do campo vectorial ∇Φ são as

trajectórias ortogonais das curvas de nível 0Φ = Φ .

EXEMPLO 1

Consideremos o campo de temperaturas absolutas (i.e., medidas em graus Kelvin)

( ) 2 2, , 273T x y z x y x yz= − + + . Vejamos, então, qual a direcção em que a temperatura

cresce mais rapidamente quando se considera o ponto ( )1, 2, 3− . Tem-se

( ) ( )1 2 32 2T x y z y x z x y∇ = + + − + +e e e

e, no ponto em questão, obtém-se 1 2 34 7 2T∇ = − −e e e , a que corresponde a direcção

de máximo crescimento da temperatura. Com efeito,

2 2 24 7 2 69dd sΦ= ∇Φ = + + =

dá-nos precisamente a taxa desse crescimento máximo. Note-se, porém, que a

transferência de calor se dá na direcção T= − ∇q , i.e., das temperaturas mais altas para

as temperaturas mais baixas. Em electrostática, por razões análogas, escreve-se

= − ∇ΦE , i.e., as linhas de força do campo eléctrico dirigem-se dos potenciais mais

altos para os potenciais mais baixos.

EXEMPLO 2

Consideremos, agora, a superfície 3 2 1x y z = . Comecemos por determinar o vector

unitário n correspondente à respectiva normal no ponto ( )0 1, 2, 3P − . Como a direcção

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da normal é determinada por ∇Φ (dado que o gradiente é perpendicular às superfícies

( ) 0, ,x y zΦ = Φ ), tem-se

2 2 3 3 21 2 33 2x y z x y z x y∇Φ = + +e e e ,

1 2 3 1 2 3 1 2 32 2 2 2 2 2

36 12 4 9 3 9 39136 12 4 9 3 1

− + − + − +∇Φ∴ = = = =

∇Φ + + + +

e e e e e e e e en .

A equação da linha recta normal à superfície no ponto 0r é (com α=v n )

( ) 0 1 2 3, 9 3t t= + = − +r r v v e e e .

Logo, fazendo

( )1 2 30 0 0 0 0

0 0 1 0 2 0 3

, ,x y z

P x y zx y z

= + += + +

r e e er

r e e e

a equação da normal será

0

0

0

1 2 39 3 1

x

y

z

x x v tx y zy y v t

z z v t

= +− + −

∴ = + → = =−

= +.

O plano tangente, por sua vez, é o lugar geométrico dos vectores

( ) ( ) ( )0 0 0 1 0 2 0 3P P P P x x y y z z= = − = − + − + −u e e e

que são perpendiculares ao vector 1 2 391 9 3= = − +v n e e e , i.e., tais que

( ) ( ) ( )0 0 00 9 3 0x x y y z z⋅ = → − − − + − =u v

pelo que a respectiva equação será

( ) ( ) ( )9 1 3 2 3 0x y z− − + + − = .

EXEMPLO 3

Consideremos as equações de Maxwell.

0homogéneas

0

não-homogéneas

t

tρ

∂∇× + =

∂→∇⋅ =

∂∇× − =

∂→∇⋅ =

BE

B

DH J

D

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Em regime estacionário é 0t t∂ ∂ = ∂ ∂ =B D pelo que o campo eléctrico é

conservativo (pois 0∇× =E e, consequentemente, = − ∇ΦE ) e a densidade de

corrente eléctrica J é solenoidal (pois ∇× =H J e, consequentemente, 0∇⋅ =J ). Note-

se que – apenas em regime estacionário – é que, em rigor, se podem definir tensão e

corrente eléctricas pois, apenas neste caso, quer a lei das malhas quer a lei dos nós (dos

circuitos) são válidas. No vácuo, sem fontes do campo (i.e, 0ρ = e 0=J ), tem-se

0

0

00

εµ

= ∇ ⋅ =→

= ∇⋅ =D E EB H H

de forma que

( ) ( )

( ) ( )

2 20

2

0 0 0 0 20

t

t t tt

µ

µ µ ε µε

∂∇× = − ∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = −∇

∂→ ∂ ∂ ∂∂ ∇× ∇× = − ∇× = − ∇× = − ∇× = ∂ ∂ ∂ ∂

HE E E E E

H EE E HH

22

2 2

1 0c t

∂∴ ∇ − =

∂EE .

Esta última equação é a equação (de d’Alembert) de propagação das ondas

electromagnéticas no vácuo. Com efeito, a velocidade da luz no vácuo é 1299 792 458 msc −= (valor exacto, por definição) e é dada por

0 0

1cε µ

=

onde 7 10 4 10 H mµ π − −= × , de modo que

12 10 2

0

1 8.854187817 10 Fmc

εµ

− −= ≈ × .

Analogamente, vem

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

0 0 0 0 2t t tε ε ε µ

∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = −∇

∂ ∂ ∂∇× ∇× = ∇× = ∇× = − ∂ ∂ ∂

H H H H

E HH E

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22

2 2

1 0c t

∂∴ ∇ − =

∂HH .

Ou seja, no vácuo verifica-se sempre 2

22 2

1 0c t

∂∇ − = ∂

EH

.

Introduzindo o operador dalembertiano

22 2

2 2

1c t

∂= ∇ −

∂

a equação de d’Alembert escreve-se, então, nas duas formas alternativas 2

2

0,0.

==

EH

EXEMPLO 4

Consideremos o campo vectorial

( ) ( )1 22 2

, , 0, 0y x x yx y

− += ≠

+

e eF .

A intensidade deste campo é constante e dada por

( ) ( )2 2

2 21, , 0, 0

x yx y

x y

+= = ≠

+F .

Facilmente se verifica que se trata de um campo solenoidal pois

( )

( )

32 2

32 2

0.

x

yx

y

F x yx x y FF

F x yx yy x y

∂=

∂ + ∂∂→ ∇⋅ = + =

∂ ∂ ∂= −

∂ +

F

Porém, este campo que não é conservativo:

1 2 3

32 2 2 2

0x y

x yx y z x yx y x y

F F

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + +

e e e

F e

32 2

1x y

∴ ∇× =+

F e .

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O laplaciano deste campo vectorial é dado por 2 2 2

1 2x yF F∇ =∇ +∇F e e

de forma que

( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

2 22 2 22

2 2 5 5 32 2 2 2 2 2

2 22 2 22

2 2 5 5 32 2 2 2 2 2

2 3

23

x xx

y yy

y y xF F x y yFx y x y x y x y

x x yF F x y xFx y x y x y x y

−∂ ∂∇ = + = + =

∂ ∂ + + +

−∂ ∂∇ = + = − − = −

∂ ∂ + + +

( )2 1 2

32 2

y x

x y

−∴ ∇ =

+

e eF .

Note-se que, como 0∇⋅ =F , se tem

( )( )

1 2 3

2 1 232 2

2 2

10 0

y xx y z x y

x y

−∂ ∂ ∂∇ = − ∇× ∇× = − =

∂ ∂ ∂ +

+

e e ee eF F

o que, naturalmente, confirma o resultado anteriormente obtido. Num campo solenoidal

as linhas de força são fechadas. Isto significa que não existem pontos que sejam

«fontes» ou «sorvedouros» do campo. Num campo vectorial ( ),x yF uma curva

( )y y x= diz-se uma linha de força se, em cada ponto ( )0 0,x y , o vector ( )0 0,x yF é

tangente à curva. Assim, num campo vectorial

( ) ( ) ( )1 2, , ,x yx y F x y F x y= +F e e ,

as linhas de força respectivas satisfazem a equação diferencial

( )( )

,,

y

x

F x yd yd x F x y

= .

No exemplo em análise, vem então

2 21 12 2

d y x y d y x d x y x kd x y

= − → = − → = − + ,

onde 0k ≥ é uma constante de integração. Logo, fazendo 2 2c k= , obtém-se

2 2 2x y c+ = .

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Isto mostra que as linhas de força são circunferências centradas na origem.

EXEMPLO 5

Consideremos, agora, o campo vectorial

( ) ( )1 22 2

, , 0, 0x y x yx y+

= ≠+

e eF .

Trata-se, tal como o exemplo anterior, de um campo vectorial de amplitude constante,

com 1=F . Notemos, para começar, que se trata de um campo irrotacional:

( ) ( )

1 2 3

2 2 2 2

3 32 2 2 2

0

0 .

x y

y xx y z x yx y x y

F F

x y x y

x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ +

= − ++ +

=

e e e

F

Isto significa que este campo vectorial é conservativo: existe um potencial ( ),x yΦ tal

que = ∇ΦF , i.e.,

( ) ( )

( )

2 2

2 2

02 2

,

0

x

y

xF x y x y yx x y

y dF yy d yx y

∂Φ= = → Φ = + +Ψ∂ +

∂Φ Ψ= = → = → Ψ = Φ∂ +

( ) 2 20,x y x y∴ Φ = + +Φ .

Admitindo então que ( )0, 0 0Φ = , infere-se que 0 0Φ = e, portanto,

( ) 2 2,x y x yΦ = + .

Este campo não é solenoidal:

( ) ( )

2 2

3 3 2 22 2 2 2

1yx FF y xx y x yx y x y

∂∂∇ ⋅ = + = + =

∂ ∂ ++ +F .

Note-se que

( ) ( ) 2 0∇⋅ = ∇ ⋅ ∇Φ = ∇⋅∇ Φ = ∇ Φ ≠F .

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Logo, como o campo não é solenoidal, as linhas de forças são abertas. Com efeito, estas

satisfazem a equação diferencial

ln ln ln kd y y d y d x yy x k k y e xd x x y x x

= → = → = + → = → =

em que k é uma constante de integração. Mas então, introduzindo kc e= , infere-se que

as linhas de força são as rectas que passam pela origem, i.e.,

y c x= .

Com efeito, as equipotenciais serão as circunferências ( ), 0x y aΦ = ≥ , i.e., tais que

2 2 2x y a+ = .

Como o campo é irrotacional, tem-se

( ) ( ) ( )2 2

2 2

10x y

∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = → ∇ =∇ ∇⋅ = ∇ +

F F F F F

( )2 1 2

1 22 2 2 2 32 2

1 1 x yx yx y x y x y

+∂ ∂ ∴ ∇ = + = − ∂ ∂+ + +

e eF e e .

A origem ( ) ( ), 0, 0x y = é o ponto onde se localiza a fonte do campo. Se, em vez deste

campo, se tiver o campo

( ) ( )1 22 2

, , 0, 0x y x yx y+

= − = − ≠+

e eG F ,

a origem corresponderia, então, a um sorvedouro de G pois

2 2

1x y

∇⋅ = −+

G .

Consideremos, agora, um vector constante u , tal que

1 21 2 2 2

ˆ x yx y

x y

u uu u

u u

+= + → = =

+

e euu e e uu

.

A derivada direccional de Φ ao longo do vector u é então dada por

( )( )1 21 2

2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ x y x y

x y x y

u u xu y ux ydd s x y u u x y u u

+ ++Φ= ∇Φ⋅ = ⋅ = ⋅ =

+ + + +

e ee eu F u

um que s é a coordenada medida ao longo do eixo correspondente a u . Por exemplo, se

1 2= +u e e é ( )1 2ˆ 2= +u e e e, consequentemente,

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( )2 22

d x yd s x y

Φ +=

+.

Assim, e.g., no ponto ( ) ( ), 1,1x y = obtém-se

( )1,1 1dd sΦ

= .

O valor máximo da derivada direccional é precisamente ∇Φ e corresponde a 1=F

em qualquer ponto. Já a derivada direccional ao longo de u , calculada no ponto

( ) ( ), 1, 0x y = , assume o valor

( ) 11, 02

dd sΦ

= .

EXEMPLO 6

Vamos agora comparar o rotacional dos seguintes campos vectoriais:

( ) ( )

( )

( )

1 2

2

0 22

2

0 22

, ,

exp ,

exp .

a

b

c

x y y x

yy vb

xx va

ω= − +

= −

= −

v e e

v e

v e

Tem-se

3

2

0 32 2

2 ,0,

2 exp .

a

b

cx xv

a a

ω∇× =∇× =

∇× = − −

v ev

v e

O primeiro campo vectorial, av , tem um rotacional que é dirigido segundo o eixo z :

podemos imaginar que se trata de um fluido, em movimento, em que cada ponto tem,

em função do tempo, as coordenadas

( ) ( )( ) ( )

cos ,sin .

x t a ty t a t

ωω

==

Assim, o campo vectorial da velocidade é, efectivamente, dado por

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( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, sin cosad x d yx y a t t y xdt dt

ω ω ω ω= + = − + = − + v e e e e e e .

Note-se que a intensidade deste campo de velocidades é constante e dada por

( ) ( ) ( ) ( )2 2, , sin cosa av x y x y a t t aω ω ω ω= = + =v .

As linhas de força deste campo av são tais que

2 21 12 2

d y x y d y x d x y x kd x y

= − → = − → = − +

2 2 2 22k c x y c∴ = → + = .

Um torniquete, formado por uma roda hidráulica com pás (i.e., um roda de palhetas),

colocado em qualquer ponto do fluido irá rodar sempre com a mesma velocidade

angular ω . Já no caso do campo de velocidades ( )b yv , em nenhum ponto o torniquete

irá rodar: em qualquer ponto a velocidade do fluido dirige-se, sempre, segundo y , i.e.,

as linhas de força são as rectas

00bvd y d x x c

d x= → = → = .

Finalmente, no terceiro caso, em que se considera o campo de velocidades ( )c xv , o

torniquete roda com uma velocidade angular que depende da coordenada x : apesar de a

velocidade linear estar sempre orientada ao longo do eixo y , o fluido exerce um

momento angular que não é nulo e, assim, provoca a rotação de uma roda de palhetas

(excepto quando 0x = , caso em que o momento angular se anula).

EXEMPLO 7

Consideremos o campo vectorial

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 4 33x c z c x z x c y c z= + + − + + +F e e e .

Determinemos as constantes 1 2 3 4, , ec c c c de forma que este campo vectorial seja

simultaneamente irrotacional (e, portanto, conservativo) e solenoidal. Como,

1 2 3

1 2 3y yx xz z

x y z

F FF FF Fx y z y z z x x y

F F F

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∇× = = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

e e e

F e e e

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3 1 2

13 0

yz x

y z x

FF Fc c cy z xF F F

xz y

∂∂ ∂= = =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂== − =

∂∂ ∂

( ) ( )3 1 1 2 2 33 1 0c c c∴ + + − + =e e e .

Logo, se o campo é irrotacional, deverá ter-se

( ) ( )1

2 1 2 4 3

3

10 3 3

3

cc x z z x y c zc

== → = + − + − += −

F e e e

de modo que o campo será ainda solenoidal desde que

4 41 0 0 1yx zFF F c c

x y z∂∂ ∂

∇ ⋅ = + + = + + = → = −∂ ∂ ∂

F .

Ou seja, deverá ter-se:

( ) ( )1 2 33 3x z z x y z= + − + − −F e e e .

Admitamos, agora, que o respectivo potencial Φ é tal que = − ∇ΦF . Nestas condições,

vem

( )

( )

2

2

1 ,2

13 3 32

3 3 3

x

y

x

F x z x x z y zx

F z z x x z y z zy y

dF x y z x y x y zz z d z

∂Φ= + = − Φ = − − +Ψ∂

∂Φ ∂Ψ= − = − → = → Φ = − − + +Ξ

∂ ∂∂Φ ∂Φ Ξ

= − − = − = − + + = − + +∂ ∂

20

12

d z zd zΞ

∴ = → Ξ = +Φ .

Portanto, deve ter-se

2 20

1 132 2

x x z y z zΦ = − − + + +Φ .

Admitindo, então, que o potencial é nulo em ( )0, 0, 0 , infere-se por fim que

( ) ( ) ( )2 21, , 32

x y z z x z y xΦ = − + − .

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EXEMPLO 8

Um campo vectorial ( ), ,x y z=F F diz-se um campo de Beltrami se existir uma

constante real 0α ≠ tal que

( )α= ∇×F F .

Isto significa que um campo de Beltrami é paralelo ao seu próprio rotacional. Para um

certo valor próprio α , um campo de Beltrami é o campo próprio do operador

rotacional. Uma definição alternativa para um campo F de Beltrami é a seguinte:

( ) 0,× ∇× =F F

uma vez que 0× =F F . Note-se que, em rigor, não é necessário que α seja uma

constante para que F seja um campo de Beltrami: o que é necessário, apenas, é que

( )∇×F F , i.e., que se tenha ( ) 0× ∇× =F F . Comecemos por verificar que um campo

de Beltrami é necessariamente solenoidal. Com efeito, no caso em que α é uma

constante, vem

( ) 0α∇⋅ = ∇ ⋅ ∇× = F F .

Portanto, as linhas de força de um campo de Beltrami são fechadas. Consideremos, a

título de exemplo, o campo

( ) ( ) ( )1 2x yz F z F z= +F e e .

Facilmente se verifica que

1 2 3

1 20 0

0

y x

x y

d F d Fdd z d z d z

F F

∇× = = − +

e e e

F e e

pelo que, para ser um campo de Beltrami, terá de verificar as condições 2

2 2

2

2 2

0 cos sin

cos sin0

y x xxx

x y yy y

d F d F F z zFFd zd z

d F d F F z zF Fd z d z

β γαα α α

α γ βα αα

+ = = += − → → = = −+ =

1 2cos sin cos sinz z z zβ γ γ βα α α α

∴ = + + − F e e .

Note-se que um campo de Beltrami tem um rotacional que também é um campo de

Beltrami. De facto, seja = ∇×G F em que F é um campo de Beltrami. Então,

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( ) ( ) ( )1 1α α αα α

= ∇× = → ∇× = ∇× = → = ∇×F F G G F G G G

o que prova a afirmação.

EXEMPLO 9

São exemplos importantes de campos de Beltrami as ondas electromagnéticas com

polarizações circulares ortogonais. Para uma onda (no vácuo) com PCD (polarização

circular direita) o campo eléctrico escreve-se

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 2 0

, exp

exp2 x y

z t i t

Ez i i k z E z E z

ω

ω

ω=ℜ −

= + = +

E E

E e e

de forma que

( ) ( )1 2 3

01 2 0 1 2 00 0 exp

2y x

x y z

d E d E Ed k i i k zd z d z d z

E E E

ω∇× = = − + = +

e e e

E e e e e

0PCD kω ω∴ → ∇× =E E

o que prova que, efectivamente, se trata de um campo de Beltrami. Analogamente, para

uma onda com PCE (polarização circular esquerda), vem

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 2 0

, exp

exp2 x y

z t i t

Ez i i k z E z E z

ω

ω

ω=ℜ −

= − = +

E E

E e e

e, consequentemente,

( ) ( )1 2 3

01 2 0 1 2 00 0 exp

2y x

x y z

d E d E Ed k i i k zd z d z d z

E E E

ω∇× = = − + = − −

e e e

E e e e e

0PCE kω ω∴ → ∇× = −E E .

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EXEMPLO 10

Consideremos, agora, o campo de Beltrami

1 221

zz

− +=

+

e eF .

Comecemos por notar que

1 2 3

1 21 2 2 2

10 01 1

0

y x

x y

d F d F zdd z d z d z z z

F F

− + ∇× = = − + = − + +

e e ee eF e e

2

11 z

∴ ∇× = −+

F F .

Portanto, neste caso, trata-se de um campo de Beltrami ( )α= ∇×F F em que α não é

uma constante pois

( )21 zα = − + .

A definição geral de um campo de Beltrami F é, portanto, a de que se deve ter

( ) 0× ∇× =F F

o que se verifica neste exemplo. O campo é, ainda neste caso, solenoidal. Com efeito,

tem-se

0yx zFF F

x y z∂∂ ∂

∇ ⋅ = + + =∂ ∂ ∂

F

e as linhas de força do campo satisfazem, no plano 0z z= , a equação diferencial

( )( ) ( )0

0 0 0

1 1y

x

F zd y y x x cd x F z z z

= = − → = − + .

No plano 0z = as linhas de força correspondem a 0d x = , i.e., às rectas x c= .

Notemos que, em geral, se tem

( ) ( ) ( )α α α∇⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ ∇G G G .

Assim, no caso geral em que ( ), ,x y zα α= , obtém-se

1 2 3x y zα α αα ∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

e e e .

No caso concreto deste exemplo, em que ( )21 zα = − + , vem simplesmente

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3 32d zd zαα∇ = = −e e .

Assim, neste caso,

( )( ) ( ) ( )2

2

11

110

zz

α α α= ∇× = −

→ ∇⋅ = ⋅ ∇ = − ⋅ ∇ + +∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇× =

G F FG G F

G F

( ) ( ) ( )1 2 32

1 2 01 x yF F z

zα ∴ ∇⋅ = − + ⋅ − = +

G e e e .

Este resultado coincide, como não podia deixar de ser, com o facto de se ter

( ) ( )0yx FFx y

α α α∂∂

= ∇× = → ∇⋅ = + = = ∇⋅∂ ∂

F F G F G .

EXEMPLO 11

Consideremos, agora, a questão seguinte: em que condições é que a forma diferencial

d dΦ = ⋅F r

corresponde a uma forma diferencial exacta? Por definição, uma forma diferencial (ou

simplesmente uma diferencial) é exacta desde que = ∇ΦF , i.e., desde que o campo

vectorial ( ), ,x y zF seja irrotacional ou conservativo:

1 2 3x y z∂Φ ∂Φ ∂Φ

= + +∂ ∂ ∂

F e e e .

Logo, em geral, para se ter uma diferencial exacta

( ) ( ) ( ), , , , , ,x y zd d F x y z d x F x y z d y F x y z d zΦ = ⋅ = + +F r

é necessário que

yxx

x zy

y zz

FFFy xx

F FFy z x

F FFz z y

∂∂∂Φ==

∂ ∂∂∂ ∂∂Φ

= → =∂ ∂ ∂∂Φ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂

uma vez que se tem

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2 2

2 2

2 2

,

,

.

y x x y

z x x z

z y y z

∂ Φ ∂ Φ=

∂ ∂ ∂ ∂

∂ Φ ∂ Φ=

∂ ∂ ∂ ∂

∂ Φ ∂ Φ=

∂ ∂ ∂ ∂

Isto é equivalente a dizer que 0∇× =F . Consideremos, a título de exemplo, a forma

diferencial

( ) ( )3 2 22 3 1d x y z d x x d y x z d zΦ = − + + + .

Notando que, neste caso, se tem

( ) ( )1 2 3

2 2 22 3 2

3 2 2

3 3 2 2 6

2 3 1

z z x x zx y z

x y z x x z

∂ ∂ ∂∇× = = − − + − = −

∂ ∂ ∂− +

e e e

F e e e ,

infere-se que F não é conservativo e, consequentemente, a diferencial em causa não é

exacta. Já a forma diferencial

( ) ( )3 2 22 3 1d x y z d x x d y x z d zΦ = − + − + ,

em que se tem

( ) ( )1 2 3

2 22 3

3 2 2

3 3 2 2 0

2 3 1

z z x xx y z

x y z x x z

∂ ∂ ∂∇× = = − + + − =

∂ ∂ ∂− − −

e e e

F e e ,

é uma forma diferencial exacta. Para determinar o potencial ( ), ,x y zΦ neste caso, tem

de verificar-se então

( )

( ) ( )

( )

32 3

2 2 2

2 2 3 2 2

2,

,

3 1 3 3 1

x y zx x y x z y z

x x x y z zy y

dx z x y x z z x z x zz d z

∂Φ= −

∂ Φ = − +Ψ∂Φ ∂Ψ

= → + = → Ψ = Ξ∂ ∂∂Φ Ξ

= − − Φ = − +Ξ → − + = − −∂

01d zd zΞ

∴ = − → Ξ = − +Φ .

Conclui-se, deste modo, que o potencial procurado é dado por

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( ) 2 30, ,x y z x y x z zΦ = − − +Φ .

Por vezes, na literatura, uma diferencial exacta é também designada por forma

diferencial de Pfaff – em memória do matemático Johann Friedrich Pfaff (1765-1825).