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Graduação em Engenharia Elétrica
TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA
PROF. FLÁVIO VANDERSON GOMES E-mail: [email protected]
Aula Número: 07
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
Curso de “Transmissão de Energia Elétrica” – Aula Número: 07 – PROF. FLÁVIO VANDERSON GOMES
Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.) Interpretação das Equações
Substituindo em (9) e (10)
Como
2
)().( CjLjryzj ⋅ω⋅⋅ω⋅+=⋅=β⋅+α
( )
+⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅= 222
21 rLCCL ωωωα
( )
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 222
21 rLCCL ωωωβ
Constante de Atenuação (NEPER/km)
Constante de Fase (rd/km)
(11)
(12)
As propriedades de e ajudam a explicar a variação da tensão e corrente em qualquer instante, em função da distância da linha.
x⋅αε xj ⋅⋅βε
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.)
Fator
Altera o valor da onda senoidal em módulo
A medida que x diminui (afasta-se da fonte) o primeiro termo de V e I diminui (característica de onda incidente); o segundo termo aumenta (característica de onda refletida)
Primeiro termo de V e I → Onda Incidente
Segundo termo de V e I → Onda Refletida
Os termos e amortecem as ondas ou as atenuam, logo α é denominado Coeficiente de Atenuação da LT
Fazendo r = 0 em (11) → α = 0, ou seja não haverá atenuação
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x⋅αε
x⋅αε x⋅−αε
( )
+⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅= 222
21 rLCCL ωωωα
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.) Fator
Pela fórmula de Euler logo este fator altera o valor da fase da onda. Na onda incidente, à medida que se afasta da fonte (x diminui), portanto diminui, logo a onda vai se atrasando em fase
Fator Pelas definições anteriores, verifica-se que este fator é quem
governa como a onda viaja na LT, ou seja, como varia o seu ângulo e módulo
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xj ⋅⋅βεxxj ⋅∠=⋅⋅ βε β 1
x⋅β
→β Constante de Fase (rd/km)
γβαγ ⋅+= j
→γ Constante de Propagação
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.) Velocidade de Propagação (v)
Onda incidente , cujo valor instantâneo vale
Para um ponto de fase constante, tem-se ( ) O sinal negativo deve-se ao fato de x diminuir a medida que afasta-se da fonte Fazendo-se r=0 em (12) teremos:
5
xjxAxV ⋅⋅⋅ ⋅⋅= βα εε1)(
)(2),( 1 xtsenAtxV x ⋅+⋅⋅⋅⋅= ⋅ βωε α
ctext =⋅+⋅ βω
( ) 0=⋅+⇒⋅+⋅dtdxxt
dtd βωβω
skmkmradsradvv /
//0 =→−=⇒=⋅+
βωβω
CLv
⋅=
1( )
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 222
21 rLCCL ωωωβ
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.) Comprimento de onda λ
Considere a figura abaixo Fase do ponto A: Fase do ponto B: Os pontos A e B estão na mesma amplitude. λ é a distância entre os
pontos A e B, cujas fases de oscilação estejam defasadas por 2π
6
ωπ
ωπ
βπλβωπλβω ⋅
⋅=⋅
=⋅
=∴⋅+⋅=⋅+−⋅+⋅2222)( v
v
xtxt
Tvfv
fv ⋅==
⋅⋅⋅
⋅=ππλ
22 kmTv 5000
60103 5
=⋅
≅⋅=λ
Comprimento de onda aproximado
)(2),( 1 xtsenAtxV x ⋅+⋅⋅⋅⋅= ⋅ βωε α
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.) Funcionamento da LT em vazio (Ir=0) nas abaixo
Tem-se as equações para a LT em vazio
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xjxRxjxR VVxV ⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅ ⋅⋅
+⋅⋅
= βαβα εεεε
22)(
xjC
R
xjC
R
ZV
ZV
xI ⋅⋅+−⋅⋅+ ⋅
−⋅
= )()(
22)( βαβα εε
Lembrete:
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Efeito Ferranti
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Efeito Ferranti
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.)
• Definição de Efeito Ferranti (Homenagem ao físico que o descobriu)
Aumento da tensão no receptor com relação à tensão no transmissor
Problema em linhas com λ/4
Principais implicações
Necessidade de aumento do nível de isolamento
Aumento das perdas por efeito corona
A corrente de carga, sendo muito elevada, limita ,por capacidade térmica, a
capacidade de transporte da corrente de energia da linha
A corrente de carga que a linha absorve das máquinas que a alimentam é, quando
opera em vazio ou pouca carga, é capacitiva (auto-excitação da máquina síncrona)
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.) Funcionamento da LT em curto (Vr=0)
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)()(2
)( −⇒−⋅
⋅
= ⋅−⋅R
xxCR VZIxV γγ εε
)()(2
)( +⇒+⋅
= ⋅−⋅
RxxR IIxI γγ εε
Lembrete:
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.) Funcionamento da LT em carga Primeiro Caso
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CR ZZ =
RCR IZV =
)()( xRVxV ⋅⋅= γε
)()( xRIxI ⋅⋅= γε
θϕ ∠=∠== RRRR
R ZZIV
xIxV)()(
÷
Terá fator de potência constante ao longo da linha: )()(.. θϕ coscospf R ==
Comporta-se como um circuito resistivo série, não necessitando de energia reativa externa para seus campos. A única energia absorvida pela LT é a energia ativa para suprir o efeito joule. Donde:
)()( xRVxV ⋅⋅= γε
)()( xRIxI ⋅⋅= γε
Uma linha que termina com sua impedância característica é
chamada de linha plana ou infinita.
C
RR Z
VI =
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.) Para avaliar a potência fornecida pela LT ao receptor, tem-se as relações:
Considerando-se r=0
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θ
θ
−∠=
∠=
°∠=
⋅=
RR
CC
RR
RRR
II
ZZ
VVIVN0 )(
2
θθ cosZ
VPIVN
C
RRRRR ⋅=⇒∠⋅= PR = Potência característica da LT
CLZZC == 0
CL
VPP R
R
2
0 ==
P0 =Potência natural da LT – SIL (Surge Impedance Loading)
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.) Segundo Caso
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CR ZZ ≠
θ
ϕ
∠=
∠=
CC
RRR
ZZ
ZZ
RRR
R
RR
ZIVZVI
⋅=
=
x
R
CRx
R
CR
ZZV
ZZVxV ⋅−⋅ ⋅
−⋅+⋅
+⋅= γγ εε 1
21
2)(
x
C
RRx
C
RR
ZZI
ZZIxI ⋅−⋅ ⋅
−⋅−⋅
+⋅= γγ εε 1
21
2)(
RC ZZ >
RC ZZ <
⇒−)(RV
⇒+)(RI
⇒+)(RV
⇒−)(RI
Se
Se
Se reflete com sinal contrário ao da onda incidente
Se reflete com sinal igual ao da onda incidente
Se reflete com sinal igual ao da onda incidente
Se reflete com sinal contrário ao da onda incidente
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
• Uma LT de 138 kV apresenta os seguintes parâmetros:
• Determine a) Circuito π nominal b) Constantes generalizadas c) Tensão no barramento transmissor e ângulo de potência, quando a LT
alimenta uma carga de 50 MVA com fator de potência 0,95 atrasado a uma tensão de 135 kV
d) Fluxo de Potência e Rendimento e) Regulação e Efeito Ferranti
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kmlHzf
kmFCkmmHL
kmr
10060
/008,0/355,1
/107,0
====
Ω=
µ
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
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Lembrete:
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
• As tensões incidente e refletida raramente são utilizadas no cálculo da tensão de uma linha de transmissão
• A razão de termos estudado a tensão e a corrente de uma LT em função de suas componentes incidente e refletida é que esta análise é muito útil para a compreensão perfeita de alguns fenômenos que ocorrem nas linhas de transmissão
• A forma mais conveniente das equações para os cálculos da corrente e da tensão é obtida pela introdução das função hiperbólicas
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• Reescrevendo as equações (I) de outra forma temos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )(II)
:Donde . e que se- tem,= Fazendo2
e 2
:que Sabemos
22
22
+=
+=
==
+=
−=
++−=
−++=
−−
−−
−−
lchIlshZVI
lshIZlchVV
IIVVlx
chsh
IZ
VI
IZVV
RC
Rs
RCRs
sxsx
xxRxx
C
Rx
xxRCxxRx
γγ
γγ
εεθεεθ
εεεε
εεεε
θθθθ
γγγγ
γγγγ
x
R
CRx
R
CR
ZZV
ZZVxV ⋅−⋅ ⋅
−⋅+⋅
+⋅= γγ εε 1
21
2)(
x
C
RRx
C
RR
ZZI
ZZIxI ⋅−⋅ ⋅
−⋅−⋅
+⋅= γγ εε 1
21
2)(
Relação entre Tensão, Corrente e Potência
Para LT trifásicas equilibradas a corrente é a de linha e a tensão entre fase e neutro.
Para encontrar a tensão e corrente nos terminais do gerador.
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
• Para resolver as equações é necessário, inicialmente, determinar os valores das funções hiperbólicas
• Sendo, em geral, estas em função de um número complexo (constante de propagação), as funções hiperbólicas também serão complexas e não poderão ser determinadas diretamente na tabelas usuais
• As equações que se seguem são os desenvolvimentos dos senos e cossenos hiperbólicos de variável complexa em termos de funções circulares e hiperbólicas de variáveis reais
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
• O circuito nominal π não representa, rigorosamente, a linha real
Não levam em consideração a distribuição uniforme dos parâmetros da LT
• Aumentando-se o comprimento da LT, as discrepâncias entre o circuito equivalente e a LT real aumentam consideravelmente
• No entanto, é possível encontrar um circuito equivalente para uma LT longa, que represente com precisão a LT real, no que se refere aos valores extremos da linha
Utilizando um rede com parâmetros concentrados
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• Circuito π Equivalente de uma LT
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Modelo do Circuito
Equações:
Identificando os termos de (1) e (2):
onde:
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
• Circuito π equivalente de uma LT de comprimento l
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
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)().( CjLjryzj ⋅ω⋅⋅ω⋅+=⋅=β⋅+α
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Relação entre Tensão, Corrente e Potência
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
Para uma LT trifásica, 60 Hz, tem-se os seguintes valores: R = 0,107 . 10-3 ohm/m L = 1,350 . 10-6 H/m C = 8,45 . 10-12 F/m Determine os circuitos pi-equivalente e pi-nominal da linha e compare os resultados (através da análise dos erros percentuais, abaixo). a) Considerar a linha com 362 km b) Considerar a linha com 100 km
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l = 362 km
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Uma LT de transmissão de 60 Hz com um só circuito tem 225 milhas (362 km) de extensão. A carga é de 125 MW com 100% de fator de potência, sendo a tensão de 200 kV. Determine o circuito π equivalente da LT e faça a comparação com o circuito π nominal.
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milhaslHzf
milhaFCmilhamHL
milhar
22560
/0136,0/18,2
/172,0
====
Ω=
µ
Relação entre Tensão, Corrente e Potência
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Análise Quantitativa do Funcionamento da LT
• Linhas de Transmissão Longas – Solução das Eq. Diferenciais (cont.)
• Definição de Efeito Ferranti (Homenagem ao físico que o descobriu)
Aumento da tensão no receptor com relação à tensão no transmissor
Problema em linhas com λ/4
Principais implicações
Necessidade de aumento do nível de isolamento
Aumento das perdas por efeito corona
A corrente de carga, sendo muito elevada, limita ,por capacidade térmica, a
capacidade de transporte da corrente de energia da linha
A corrente de carga que a linha absorve das máquinas que a alimentam é, quando
opera em vazio ou pouca carga, é capacitiva (auto-excitação da máquina síncrona)
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