Gráficos de Funções Trigonométricas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Gráficos de Funções Trigonométricas

1.Gráficos de funções trigonométricas

2.Limites de funções trigonométricas

3.Teorema do confronto

3

Para traçar o gráfico de uma funçãotrigonométrica, construímos uma tabela de valores,marcando os pontos resultantes e ligando-os por umacurva suave.

1. Gráficos de funções trigo-nométricas

x 0 ππππ/6 ππππ/4 ππππ/3 ππππ/2 2ππππ/3 3ππππ/4 5ππππ/6 ππππ

sen x 0,00 0,50 0,71 0,87 1,00 0,87 0,71 0,50 0,00

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Na figura acima, note que o valor máximo desen x é 1 e o mínimo é -1. A amplitude da função seno(ou da função cosseno) é definida como a metade dadiferença entre seus valores máximo e mínimo. Assim,a amplitude de f(x) = sen x é 1.

1. Gráficos de funções trigo-nométricas

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A natureza periódica da função seno torna-seevidente se observarmos que, quando x cresce além de2π, o gráfico passa a repetir-se indefinidamente,oscilando continuamente em torno do eixo x. O períodode uma função é a distância (sobre o eixo x) entreciclos sucessivos. Assim, o período de f(x) = sen x é 2π.

1. Gráficos de funções trigo-nométricas

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A figura acima mostra os gráficos de ao menosum ciclo das funções trigonométricas sen x, cos x etg x.

1. Gráficos de funções trigo-nométricas

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A figura acima mostra os gráficos de ao menosum ciclo das funções trigonométricas cossec x, sec xe cotg x.

1. Gráficos de funções trigo-nométricas

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A familiaridade com os gráficos das seisfunções trigonométricas básicas permite-nos traçargráficos de funções mais gerais como

y = a sen bx e y = a cos bx.

Note que a função y = a sen bx oscila entre –a ea e tem, assim, amplitude de |a|.

Alem disso, como bx = 0 quando x = 0 e bx = 2πquando x = 2π/b, decorre que a função y = a sen bxtem período de 2π/|b|.

1. Gráficos de funções trigo-nométricas

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Exemplo 1: Trace o gráfico de f(x) = 4 sen x.

1. Gráficos de funções trigo-nométricas

O gráfico tem as seguintes características:amplitude igual a 4 e período igual a 2π. A figura exibetrês ciclos do gráfico, a começar do ponto (0, 0).

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Exemplo 2: Trace o gráfico de f(x) = 3 cos 2x.

1. Gráficos de funções trigo-nométricas

O gráfico apresenta as seguintes características:amplitude igual a 3 e período igual a 2π/2 = π. A figuraexibe quase três ciclos do gráfico, partindo do ponto demáximo (0, 3).

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Exemplo 3: Trace o gráfico de f(x) = -2 tg 3x.

1. Gráficos de funções trigo-nométricas

O gráfico desta função tem período π/3. Asassíntotas verticais desta função tangente ocorrem em

x = …, -π/6, π/6, π/2, 5π/6, …

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Exemplo 3: Trace o gráfico de f(x) = -2 tg 3x.

1. Gráficos de funções trigo-nométricas

A figura acima exibe vários ciclos do gráfico, apartir da assíntota vertical x = - π/6.

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As funções seno e cosseno são contínuas emtoda a reta real. Assim, podemos aplicar asubstituição direta para calcular limites como:

2. Limites de funções trigo-nométricas

0

0

lim 0 0

lim cos cos 0 1x

x

sen x sen

x→

→

= =

= =

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Exemplo 4: Estime o valor de .

Pela tabela, vemos que o limite tende a 1. Istoé,

2. Limites de funções trigo-nométricas

0limx

sen xx→

X -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,05 0,10 0,15 0,20

0,9933 0,9963 0,9983 0,9996 0,9996 0,9983 0,9963 0,9933sen x

x

0lim 1x

sen xx→

=

15

2. Limites de funções trigo-nométricas

Pelo gráfico da função, vemos que ela seaproxima de 1 quando a expressão tende a zero, tantopela esquerda quanto pela direita.

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

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3. Teorema do confronto

Da trigonometria, temos:

02

1 1 1( )

x sen x x tg x

Isen x x tg x

π< < ⇒ < < ⇒

⇒ > >

02

1 1 1( )

x sen x x tg x

IIsen x x tg x

π− < < ⇒ > > ⇒

⇒ < <

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3. Teorema do confronto

Multiplicando as igualdades I e II por sen x,resulta

�0

02

1 cos

sen xsen x sen x sen x

xsen x x tg x

sen xx

x

π>

< < ⇒ > > ⇒

⇒ > >

�0

02

1 cos

sen xsen x sen x sen x

xsen x x tg x

sen xx

x

π<

− < < ⇒ > > ⇒

⇒ > >

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3. Teorema do confronto

Temos, portanto:

Considerando

0 cos 12 2

sen xpara x e x x

xπ π− < < ≠ < <

( ) cos

( )

( ) 1

g x x

sen xf x

xh x

=

=

=

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3. Teorema do confronto

e notando que

pelo teorema do confronto, temos

0 0

0 0

lim ( ) lim cos cos 0 1

lim ( ) lim 1 1x x

x x

g x x

h x→ →

→ →

= = =

= =

0lim 1x

sen xx→

=

20

3. Teorema do confronto

Exemplo 5: Determine o limite da expressão

0 0 0

0 0 0 0

5 5 5 5 5lim lim lim

3 5 3 3 5

5 5 5 5 5 5lim lim lim lim 1

3 5 3 5 3 3

x x x

x x x x

sen x x sen x x sen xx x x x x

x sen x sen xx x x

→ → →

→ → → →

= ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ = ⋅ =

0

5lim

3x

sen xx→

21

3. Teorema do confronto

Exemplo 6: Determine o limite da expressão

0 0

2 2

0 0

0 0

1 cos (1 cos ) (1 cos )lim lim

(1 cos )

1 coslim lim

(1 cos ) (1 cos )

0lim .lim 1. 0

1 cos 1 1

x x

x x

x x

x x xx x x

x sen xx x x x

sen x sen xx x

→ →

→ →

→ →

− − ⋅ += =⋅ +

−= = =⋅ + ⋅ +

= = =+ +

0

1 coslimx

xx→

−