Identidade trigonométrica 1

Identidade trigonométrica

Trigonometria

HistóriaFunções

Funções inversasAprofundamento

Referência

Lista de identidadesCORDIC

Teoria euclidiana

Lei dos senosLei dos cossenosLei das tangentes

Teorema de Pitágoras

Cálculo

Integração trigonométricaSubstituição trigonométrica

Integrais de funçõesDiferenciação trigonométrica

Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas e que é verdadeira para todosos valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funçõestrigonométricas devam ser simplificadas. Uma importante aplicação é a integração de funções não-trigonométricas:um truque comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e entãosimplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.

Notação

ÂngulosEsse artigo utiliza letras gregas tais como alfa (α), beta (β), theta (θ) e Phi (φ) para representar ângulos. Váriasunidades de ângulo são largamente utilizadas, incluindo graus, radianos e grados:

1 volta completa  = 360 graus = 2 radianos  =  400 grados.A tabela a seguir mostra as conversões para alguns ângulos comuns:

Graus 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°

Radianos

Grados 33⅓ grados 66⅔ grados 133⅓ grados 166⅔ grados 233⅓ grados 266⅔ grados 333⅓ grados 366⅔ grados

Graus 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

Radianos

Grados 50 grados 100 grados 150 grados 200 grados 250 grados 300 grados 350 grados 400 grados

Identidade trigonométrica 2

Funções trigonométricasAs funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo. Essas são abreviadas por sen(θ) e cos(θ),respectivamente, onde θ é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, como por exemplo sen θ and cos θ.A função tangente (tg ou tan) de um ângulo é a razão do seno e o cosseno de um mesmo ângulo:Finalmente, as funções trigonométricas de razão recíproca secante (sec), cossecante (csc) e cotangente (ctg), dasfunções cosseno, seno e tangente:

Tabela de Trigonometria daCyclopaedia (1728)

Funções inversas

As funções inversas trigonométricas são funções inversas parciais. Por exemplo afunção inversa de seno, (sen−1) ou arco seno (arcsen), deve satisfazer:

e

Função sen cos tan sec csc cot

Inversa arcsen arccos arctan arcsec arccsc arccot

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Identidades pitagóricasA relação básica entre seno e cosseno é a identidade trigonométrica fundamental:onde cos2 θ é igual (cos(θ))2 e sen2 θ é igual (sen(θ))2.Isto pode ser deduzido através do Teorema de Pitágoras, vindo da equação x2 + y2 = 1 para um círculo unitário. Essaequação pode ser resolvida tanto com seno quanto com cosseno:

Identidades relacionadasDividindo-se a identidade trigonométrica fundamental tanto por cos2 θ quanto sen2 θ, obter-se-á duas identidades:

É possível representar qualquer relação de função trigonométrica relacionada a outra:

Lista de relações entre funções trigonométricas.[1]

relacionado a

Simetria, translação e periodicidadeExaminando-se o círculo unitário, as seguintes propriedades trigonométricas podem ser estabelecidas:

Simetria

Ângulos replementares[2]

Ângulos complementares[3] Ângulos suplementares

Translação e periodicidadeTrocando-se valores de certos ângulos, é possível obter equivalências entre as funções trigonométricas. Funçõestrigonométricas são periódicas, e portanto, valores específicos de ângulo para as funções trigonométricas denotamum mesmo valor.

Adicionando-se π/2 Adicionando-se πPeríodo para tan e cot

[4]Adicionando-se 2π

Período para sen, cos, csc e sec[5]

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Teoremas de adiçãoA forma mais rápida de demonstrá-los é pela Fórmula de Euler. A fórmula da tangente segue das outras duas.

Seno [6][7]

Cosseno [7][8]

Tangente[7][9]

Arco seno [10]

Arco coseno [11]

Arco tangente[12]

Fórmulas de arco múltiplo

Tn

é o enésimo Polinômio de Chebyshev   [13]

Sn

é o enésimo polinômio de abertura

Fórmula de De Moivre, é a unidade imaginária [14]

Formulas de arco duplo, triplo e metadeEstas fórmulas podem ser demonstradas tanto pela soma quanto pela diferença de identidades ou pelas fórmulas dearcos múltiplos:

Fórmulas de arco duplo[15][16]

Fórmulas de arco triplo[13][17]

Fórmulas de arco metade[18][19]

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Fórmulas de redução de potênciasResolve-se com as fórmulas de duplo ângulo, isolando-se:

Produto para soma e soma para produtoOs produtos para somas e somas para produto podem ser provados por meio de substituições nos teoremas de adição.

Produto para soma[20]

Soma para produto[21]

CálculoSe as funções trigonométricas são definidas geometricamente, então suas derivadas podem ser encontradasprimeiramente verificando que e então usando a definição por limite da derivada e os teoremas de adição; se eles sãodefinidos por suas Séries de Taylor, então as derivadas podem ser encontradas pela diferenciação das séries depotências termo a termo.

O restante das funções trigonométricas pode ser diferenciado usando as identidades acima e as regras dediferenciação, por exemplo

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Referências[1][1] Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45[2] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15[3] The Elementary Identities (http:/ / jwbales. home. mindspring. com/ precal/ part5/ part5. 1. html)[4][4] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9[5] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8[6][6] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16[7] Eric W. Weisstein, Trigonometric Addition Formulas (http:/ / mathworld. wolfram. com/ TrigonometricAdditionFormulas. html) em

MathWorld.[8][8] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17[9][9] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18[10][10] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42[11][11] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43[12][12] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36[13] Eric W. Weisstein, Multiple-Angle Formulas (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Multiple-AngleFormulas. html) em MathWorld.[14][14] Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48[15] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26[16] Eric W. Weisstein, Double-Angle Formulas (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Double-AngleFormulas. html) em MathWorld.[17] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28[18] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22[19] Eric W. Weisstein, Half-Angle Formulas (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Half-AngleFormulas. html) em MathWorld.[20] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33[21] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39

Fontes e Editores da Página 7

Fontes e Editores da PáginaIdentidade trigonométrica  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=33032103  Contribuidores: Cambraia, Carlos Rosa, Daimore, E2m, Ebalter, Epinheiro, Helder.wiki, JCSantos,Joseolgon, Kam1kaz3, LeonardoRob0t, Leonardob, Luis Dantas, Mschlindwein, Nuno Tavares, Patrick, Polyethylen, Rmallmann, Roberto de Lyra, Rui Malheiro, Salgueiro, Wood Croft,Yanguas, pr4-ts.telepac.pt, Érico Júnior Wouters, 32 edições anónimas

Fontes, Licenças e Editores da ImagemFicheiro:Table of Trigonometry, Cyclopaedia, Volume 2.jpg  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ficheiro:Table_of_Trigonometry,_Cyclopaedia,_Volume_2.jpg  Licença: PublicDomain  Contribuidores: Brian0918, LaosLos

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