Gráficos de MU e MUV -...
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Gráficos de MU e MUV
1. (Ufpr 2013) No gráfico abaixo, cada ponto indica o módulo da velocidade instantânea de um atleta medida ao final de cada quilômetro percorrido em uma maratona de 10 km. Com base nas informações contidas nesse gráfico e considerando que o atleta partiu do repouso, analise as seguintes afirmativas: 1. O movimento do atleta é uniformemente acelerado nos primeiros 3 km. 2. Entre os quilômetros 4 e 5, o atleta pode ter se deslocado com velocidade constante. 3. As informações são insuficientes para calcular o tempo que o atleta levou para percorrer os
10 km.
Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é
verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é
verdadeira. c) Somente a afirmativa 3 é
verdadeira. d) Somente as afirmativas 1 e 2
são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 2 e 3
são verdadeiras.
2. (Enem 2012) Para melhorar a mobilidade urbana na rede metroviária é necessário minimizar o tempo entre estações. Para isso a administração do metrô de uma grande cidade adotou o seguinte procedimento entre duas estações: a locomotiva parte do repouso em aceleração constante por um terço do tempo de percurso, mantém a velocidade constante por outro terço e reduz sua velocidade com desaceleração constante no trecho final, até parar. Qual é o gráfico de posição (eixo vertical) em função do tempo (eixo horizontal) que representa o movimento desse trem?
a) b) c)
d) e)
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3. (G1 - ifpe 2012) Toda manhã, um ciclista com sua bicicleta pedala na orla de Boa Viagem
durante 2 horas. Curioso para saber sua velocidade média, ele esboçou o gráfico velocidade escalar em função do tempo, conforme a figura abaixo. A velocidade média, em km/h, entre o intervalo de tempo de 0 a 2 h, vale:
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 4. (G1 - cftmg 2012) Um corpo tem seu movimento representado pelo gráfico abaixo.
Ao final de duas horas de movimento, seu deslocamento, em km, será igual a a) 0. b) 20. c) 40. d) 80. 5. (Espcex (Aman) 2012) O gráfico abaixo representa a velocidade(v) de uma partícula que se
desloca sobre uma reta em função do tempo(t). O deslocamento da partícula, no intervalo de
0 s a 8 s, foi de:
a) –32 m
b) –16 m
c) 0 m d) 16 m e) 32 m
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6. (Epcar (Afa) 2012) Considere um móvel deslocando-se numa trajetória horizontal e
descrevendo um movimento retilíneo uniformemente acelerado e retrógrado. A alternativa que contém o gráfico que melhor representa o movimento descrito pelo móvel é
a)
b)
c)
d) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O Quadro que segue mostra a idade(t) e a altura(h) de uma árvore.
t (anos) m (metros)
0 0
10 2
30 10,9
50 20,3
70 26,3
90 30,5
7. (Feevale 2012) O esboço do gráfico da altura da árvore (h) em função da idade(t) que melhor representa os dados indicados no quadro é:
a) b) c)
d) e)
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8. (Uel 2011) No circuito automobilístico de Spa Francorchamps, na Bélgica, um carro de
Fórmula 1 sai da curva Raidillion e, depois de uma longa reta, chega à curva Les Combes.
A telemetria da velocidade versus tempo do carro foi registrada e é apresentada no gráfico a seguir.
Qual das alternativas a seguir contém o gráfico que melhor representa a aceleração do carro de F-1 em função deste mesmo intervalo de tempo?
a) b)
c) d)
e)
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9. (Ufsm 2011) Um carro se desloca com velocidade constante num referencial fixo no solo. O
motorista percebe que o sinal está vermelho e faz o carro parar. O tempo de reação do motorista é de frações de segundo. Tempo de reação é o tempo decorrido entre o instante em que o motorista vê o sinal vermelho e o instante em que ele aplica os freios. Está associado ao tempo que o cérebro leva para processar as informações e ao tempo que levam os impulsos nervosos para percorrer as células nervosas que conectam o cérebro aos membros do corpo. Considere que o carro adquire uma aceleração negativa constante até parar. O gráfico que pode representar o módulo da velocidade do carro (v) em função do tempo (t), desde o instante em que o motorista percebe que o sinal está vermelho até o instante em que o carro atinge o repouso, é
a) b) c)
d) e) 10. (Epcar (Afa) 2011) Duas partículas, A e B, que executam movimentos retilíneos uniformemente variados, se encontram em t = 0 na mesma posição. Suas velocidades, a partir desse instante, são representadas pelo gráfico abaixo.
As acelerações experimentadas por A e B têm o mesmo módulo de 20,2m s . Com base
nesses dados, é correto afirmar que essas partículas se encontrarão novamente no instante a) 10 s b) 50 s c) 100 s d) 500 s 11. (Eewb 2011) O gráfico abaixo representa a velocidade em função do tempo de um objeto
em movimento retilíneo. Calcule a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 5h.
a) 5,0 m/s b) 5,5 m/s c) 6,0 m/s d) 6,5 m/s
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12. (G1 - ifsc 2011) O gráfico a seguir apresenta o movimento de um carro.
Em relação ao tipo de movimento nos trechos I, II e III, assinale a alternativa correta. a) I – acelerado; II – repouso; III – MRUv. b) I – retardado; II – repouso; III – retrógrado. c) I – acelerado; II – MRU; III – retrógrado. d) I – acelerado; II – repouso; III – progressivo. e) I – acelerado; II – repouso; III – retrógrado. 13. (Espcex (Aman) 2011) O gráfico abaixo indica a posição (S) em função do tempo (t) para
um automóvel em movimento num trecho horizontal e retilíneo de uma rodovia.
Da análise do gráfico, pode-se afirmar que o automóvel a) está em repouso, no instante 1 min. b) possui velocidade escalar nula, entre os instantes 3 min e 8 min. c) sofreu deslocamento de 4 km, entre os instantes 0 min e 3 min. d) descreve movimento progressivo, entre os instantes 1 min e 10 min. e) tem a sua posição inicial coincidente com a origem da trajetória. 14. (Unesp 2011) No gráfico a seguir são apresentados os valores da velocidade V, em m/s, alcançada por um dos pilotos em uma corrida em um circuito horizontal e fechado, nos primeiros 14 segundos do seu movimento. Sabe-se que de 8 a 10 segundos a trajetória era retilínea. Considere g = 10 m/s
2 e que para completar uma volta o piloto deve percorrer uma
distância igual a 400 m.
A partir da análise do gráfico, são feitas as afirmações:
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I. O piloto completou uma volta nos primeiros 8 segundos de movimento. II. O piloto demorou 9 segundos para completar uma volta. III. A força resultante que agiu sobre o piloto, entre os instantes 8 e 10 segundos, tem módulo
igual a zero. IV. Entre os instantes 10 e 12 segundos, agiu sobre o piloto uma força resultante, cuja
componente na direção do movimento é equivalente a três vezes o seu peso. São verdadeiras apenas as afirmações a) I e III. b) II e IV. c) III e IV. d) I, III e IV. e) II, III e IV. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um objeto que não pode ser considerado uma partícula é solto de uma dada altura sobre um lago. O gráfico ao lado apresenta a velocidade desse objeto em função do tempo. No tempo t = 1, 0s, o objeto toca a superfície da água. Despreze somente a resistência no ar.
15. (Uel 2011) Qual a profundidade do lago? a) 1 m b) 5 m c) 7 m d) 100 m e) 1000 m 16. (Ufpe 2010) Um motorista dirige um carro com velocidade constante de 80 km/h, em linha
reta, quando percebe uma “lombada” eletrônica indicando a velocidade máxima permitida de
40 km/h. O motorista aciona os freios, imprimindo uma desaceleração constante, para
obedecer à sinalização e passar pela “lombada” com a velocidade máxima permitida.
Observando-se a velocidade do carro em função do tempo, desde o instante em que os freios
foram acionados até o instante de passagem pela “lombada”, podemos traçar o gráfico a
seguir.
Determine a distância percorrida entre o instante t = 0, em que os freios foram acionados, e o
instante t = 3,0 s, em que o carro ultrapassa a “lombada”. Dê sua resposta em metros.
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17. (Unemat 2010) O gráfico em função do tempo mostra dois carros A e B em movimento
retilíneo. Em t = 0 s os carros estão na mesma posição.
Com base na análise do gráfico, é correto afirmar. a) Os carros vão estar na mesma posição nos instantes t = 0 s e t = 4,0 b) Os carros não vão se encontrar após t = 0, porque a velocidade de A é maior que a do carro
B c) Os carros vão se encontrar novamente na posição S = 10 m d) Os carros não vão se encontrar, porque estão em sentidos contrários. e) Os instantes em que os carros vão estar na mesma posição é t = 0 s e t = 8,0 s 18. (Mackenzie 2010) Dois automóveis A e B se movimentam sobre uma mesma trajetória
retilínea, com suas velocidades variando com o tempo de acordo com o gráfico a seguir. Sabe-
se que esses móveis se encontram no instante 10 s. A distância entre eles, no instante inicial (t
= 0 s), era de
a) 575 m b) 425 m c) 375 m d) 275 m e) 200 m
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19. (Uerj 2010) Um trem de brinquedo, com velocidade inicial de 2 cm/s, é acelerado durante
16 s.
O comportamento da aceleração nesse intervalo de tempo é mostrado no gráfico a seguir.
Calcule, em cm/s, a velocidade do corpo imediatamente após esses 16 s.
20. (Ufc 2010) O gráfico da velocidade em função do tempo (em unidades arbitrárias),
associado ao movimento de um ponto material ao longo do eixo x, é mostrado na figura abaixo.
Assinale a alternativa que contém o gráfico que representa a aceleração em função do tempo correspondente ao movimento do ponto material.
a) b)
c) d)
e)
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21. (Unemat 2010) Um corpo possui movimento retilíneo, com velocidade variando no decorrer
do tempo, conforme o gráfico abaixo.
Assinale a alternativa correta. a) A aceleração do corpo é nula no intervalo de tempo IV. b) A aceleração do corpo é constante no intervalo de tempo IV. c) A aceleração do corpo é nula no intervalo de tempo I. d) A aceleração do corpo é maior no intervalo de tempo III do que no intervalo de tempo I. e) A aceleração do corpo é variável nos intervalos de tempo II e IV. 22. (Pucpr 2010) Um motociclista dirige uma motocicleta ao longo de uma estrada reta como mostrado no diagrama velocidade x tempo.
A respeito dessa situação, assinale a alternativa correta: a) Entre os instantes t = 3 s e t = 5 s o movimento é acelerado. b) A aceleração no intervalo de tempo entre t = 5 s e t = 7 s vale – 4 m/s
2.
c) O deslocamento do motociclista entre os instantes t = 3 s e t = 5 s foi de 20 m. d) A aceleração no intervalo de tempo entre t = 5 s e t = 7 s vale 2 m/s
2 .
e) A aceleração no intervalo de tempo entre t = 0 e t = 3 s é nula. 23. (Udesc 2009) O movimento de uma bola sobre uma trajetória retilínea é descrito de acordo
com a seguinte equação: x = 5 + 16t - 2t2, em que x é medido em metros e t em segundos.
a) Faça o esboço do gráfico da posição em função do tempo.
b) Calcule a velocidade da bola em t = 4,0 s.
c) Calcule a distância percorrida pela bola e o seu deslocamento em t = 5,0 s.
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24. (Ufpe 2008) A figura a seguir representa a velocidade de uma partícula em movimento
retilíneo, em função do tempo. Determine qual gráfico a seguir pode representar corretamente
a correspondente posição da partícula em função do tempo.
25. (Pucmg 2007) O gráfico mostra a velocidade como função do tempo de dois objetos em
movimento retilíneo, que partem da mesma posição.
O instante em que os móveis A e B novamente se encontram será aproximadamente:
a) t = 10 s b) t = 0,4 s c) t = 4,8 s d) t = 2,5 s
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Gabarito: Resposta da questão 1:
[E] 1. Incorreta. Não podemos afirmar sobre o movimento nos primeiros 3 km, pois só temos informações pontuais. Resposta da questão 2: [C] 1º Trecho: movimento acelerado (a > 0) o gráfico da posição em função do tempo é uma
curva de concavidade para cima. 2º Trecho: movimento uniforme (a = 0) o gráfico da posição em função do tempo é um
segmento de reta crescente. 3º Trecho: movimento desacelerado (a < 0) o gráfico da posição em função do tempo é
uma curva de concavidade para baixo. Resposta da questão 3: [D]
A “área” no diagrama vt é numericamente igual ao espaço percorrido (d). Dividimos a figura em 2 partes e calculamos a “área” da seguinte forma:
1 2d A trapézio A retângulo 10 2 1/2 1 0 1 6 10 16 km.
Mas o tempo total gasto é t = 2 h. Então a velocidade média é:
mv d/t 16/2 8 km/h.
Resposta da questão 4: [A] No gráfico da velocidade em função do tempo, a “área” (A) entre a linha do gráfico e o eixo t dá
o deslocamento escalar.
0 1 1 2
1 40 1 40S S S 20 20
2 2
S 0.
Δ Δ Δ
Δ
Resposta da questão 5: [C] As áreas da figura abaixo representam o deslocamento. Como uma é positiva e a outra negativa de mesmo módulo, o deslocamento total é nulo.
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Resposta da questão 6:
[D] O enunciado nos informa que o movimento é uniformemente acelerado e retrógrado. Com isso, podemos concluir que: – sua velocidade possui um sinal negativo por estar se deslocando contra a orientação da
trajetória (movimento retrógrado); – sua aceleração é constante com sinal igual ao da velocidade, ou seja, negativo (movimento
uniformemente acelerado). [A] Falsa. Aparentemente temos uma parábola em um gráfico de espaço (S) por tempo (t),
voltada para cima, ou seja, é um gráfico de movimento uniformemente variado (parábola em Sxt) com aceleração positiva (voltada para cima).
[B] Falsa. Temos uma reta em um gráfico de espaço por tempo, o que representa um movimento uniforme, ou seja, com velocidade constante e aceleração igual a zero.
[C] Falsa. Temos uma reta em um gráfico de velocidade por tempo, o que representa um movimento uniformemente variado, porém com uma inclinação que representa uma aceleração positiva.
[D] Verdadeira. Temos uma reta em um gráfico de aceleração por tempo, que nos informa que a aceleração é constante e negativa, conforme o enunciado. Resposta da questão 7: [A] Construindo o gráfico:
Resposta da questão 8: [D] Observe o gráfico abaixo
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Resposta da questão 9:
[B] Até a acionar os freios a velocidade permanece constante. Como a aceleração é constante, a velocidade decresce linearmente com o tempo. Resposta da questão 10:
[D] Dados: v0A = 50 m/s; v0B = -50 m/s; aA = -0,2 m/s
2 (reta decrescente); aB = 0,2 m/s
2 (reta
crescente). Adotando origem no ponto de partida e lembrando que a equação horária do espaço no MUV é
2
0 0
1S S v t at
2 , temos:
2
A
2
B
S 50 t 0,1 t
S 50 t 0,1 t
No encontro, SA = SB:
2 2 250 t 0,1 t 50 t 0,1 t 100 t 0,2 t 0 t 100 0,2 t 0
t 0 (não convém)
100t t 500 s.
0,2
Resposta da questão 11:
[D] A área da figura sombreada é numericamente igual ao deslocamento.
S 30 60 27 117kmΔ . S 117 117
Vm km / h m / s 6,5m / st 5 5x3,6
Δ
Δ .
Resposta da questão 12: [E] No trecho I, a declividade da curva espaço-tempo está aumentando, portanto o módulo da velocidade está aumentando, logo o movimento é acelerado. No trecho II, o espaço é constante, portanto o móvel está em repouso. No trecho III, o espaço diminui linearmente com o tempo, tratando-se de um movimento uniforme retrógrado.
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Resposta da questão 13:
[B] Note que entre 3 e 8 min a posição não varia. Portanto, o carro está parado. Resposta da questão 14: [E] Analisando cada uma das afirmativas: I. Falsa. O espaço percorrido pelo piloto de 0 a 8 segundos é dado pela “área” do triângulo
abaixo da linha do gráfico, correspondente a esse intervalo de tempo.
0,8
8 80S 320
2
m. Como a volta tem 400 m, ele ainda não completou uma volta.
II. Verdadeira. Fazendo a “área” de 0 a 9 segundos:
0,9
9 1S 80 400
2
m. O piloto completou uma volta.
III. Verdadeira. Entre 8 s e 10 s o movimento é retilíneo e uniforme, portanto a resultante das
forças atuantes sobre o piloto é nula. IV. Verdadeira. Calculando o módulo da desaceleração no intervalo de 10 s a 12 s:
|a| =| v | | 20 80 | 60
t 12 10 2
|a| = 30 m/s
2.
Sendo M a massa do piloto, a intensidade da resultante na direção do movimento é:
R = m |a| R = M (30).
O peso do piloto é: P = M g P = M (10).
Fazendo a razão entre essas forças: R M(30)
R 3 P.P M(10)
Resposta da questão 15: [C] Pela leitura do gráfico, conclui-se que o objeto atinge a superfície do lago no instante t = 1 s, com velocidade de 10 m/s, pois a partir desse instante sua velocidade começa a diminuir, chegando ao fundo do lago no instante t = 3,5 s, quando a velocidade se anula. A profundidade do lago (h2) pode ser calculada pela “área” (A2) da figura abaixo da linha do gráfico entre t = 1 s a t = 3,5 s.
2 2
2
1 9h " A " 3,5 1 1 4,5 2,5
2
h 7 m.
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Resposta da questão 16:
50 metros Resolução:
Dados: 0v = 80 km/h; v = 40 km/h; tΔ = 3 s = (3/3.600) h.
Entre os instantes 0 e 3 segundos, o motorista desacelera uniformemente o carro, tal que a área hachurada do trapézio sob a reta entre esses instantes deve ser igual ao espaço
percorrido ( SΔ ), desde o instante em que o motorista aciona os freios até chegar à lombada
eletrônica.
1 3 180(80 40) 0,05 km
2 3.600 3.600 = 0,05Km = 50 metros.
Resposta da questão 17:
[A] De acordo com o enunciado, no instante t = 0, os dois móveis estão na mesma posição, portanto essa é um instante de encontro. Adotando essa posição como origem (S0 = 0), montemos as funções horárias dos espaços para os dois movimentos: Móvel A: descreve movimento uniforme (MU) com velocidade de 10 m/s. Então:
SA = S0 + v t SA = 10 t. Móvel B: descreve movimento uniformemente variado (MUV) a partir do repouso (v0 = 0). A
aceleração escalar é:
a =
v
t=
105
2m/s
2.
Então:
SB = S0 + v0 t + 2a
t2
SB = 25
t2
.
Igualando as funções horárias:
SB = SA 2 25
t 10t t 4 t 02
t(t – 4) = 0
t = 0 ou t = 4 s.
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Resposta da questão 18:
[A]
Calculemos a aceleração escalar de cada móvel, lembrando que:
va
t.
a1 =
245 301,5 m/s
10 0 e a2 =
230 ( 10)2 m/s
10 0.
Sendo S = S0 + v0t + 1
2at
2, a função horária do espaço para um MUV, temos:
SA = S0A + 30t + 0,75t2 e SB = S0B – 10t – t
2. Igualando as funções para t = 10 s, e fazendo S0A
= 0, temos:
30(10) + 0,75(10)2 = S0B – 10(10) – (10)
2 375 = S0B – 200 S0B = 575 m, que é a distância
inicial entre os móveis, pois supusemos o móvel A partindo da origem.
Uma solução mais simples é usar a propriedade da “área” no gráfico vt, calculando os
espaços percorridos de 0 a 10 s para cada móvel.
A
(45 30)10S 375 m
2 e
B
( 10 30)10S 200 m
2. A distância entre eles é, então: d
= 375 + 200 = 575 m. Resposta da questão 19:
Lembrando que no gráfico da aceleração escalar em função do tempo a variação da
velocidade é numericamente igual a área entre a linha do gráfico e o eixo dos tempos, como
destacado na figura, temos:
v = v1 + v2 + v3 = v = (6 4) – (4 3) + (6 4) = 24 –12 + 24 = 36 cm/s.
Mas v = v – v0. Então: v – 2 = 36 v = 38 cm/s.
Resposta da questão 20: [A] Nos intervalos de tempo em que a velocidade escalar é constante (1 s a 2 s; 3 s a 4 s e 5 s a 6 s) a aceleração escalar é nula. Nos intervalos 0 a 1 s; 2 s a 3 s; 4 s a 5 s e 6 s a 7 s, a velocidade varia linearmente com o tempo, sendo, então, a aceleração escalar constante.
Podemos, então, fazer
va
t. Assim:
De 0 a 1 s: a =
21 01 m/ s ;
1 0
De 2 s a 3 s: a =
4 13
3 2m/s
2;
De 4 s a 5 s: a =
1 45
5 4m/s
2;
De 6 s a 7 s: a =
0 ( 1)1
7 6m/s
2.
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Resposta da questão 21:
[B] Como o movimento é retilíneo, a aceleração tem módulo igual ao módulo da aceleração escalar, dado por:
| v || a |
t
. Assim:
aI = aII (constante) 0; aIII = 0; aIV 0 (constante) Resposta da questão 22: [B] Analisemos cada intervalo: – De 0 a 3 s: o movimento é uniformemente acelerado; a aceleração escalar é
a1 = 1
1
v 82,7
t 3
m/s
2.
O espaço percorrido é calculado pela “área” de 0 a 3 s
1
3 8S 12
2
m.
– De 3 s a 5 s: o movimento é uniforme, com velocidade escalar v2 = 8 m/s.
O espaço percorrido é:
S2 = v2 t2 8 2 = 16 m. – De 5 s s 7 s: o movimento é uniformemente retardado; a aceleração escalar é:
a3 = 3
3
v 0 8 84
t 7 5 2
m/s
2.
O espaço percorrido é:
3
2 8S 8
2
m.
Resposta da questão 23:
O gráfico solicitado entre t = 0 e t = 10 s.
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Se x = 5 + 16.t – 2.t2 então v = 16 – 4.t v = 16 – 4.4 = 16 – 16 = 0 m/s
Em t = 0 s S = 5 m e em t = 5 s S = 5 + 16.5 – 2.(5)2 = 5 + 80 – 50 = 35 m.
Desta forma como a partícula avança até a posição máxima em t = 4 s S = 5 + 16.4
– 2.(4)2 = 5 + 64 – 32 = 37 m, a distância percorrida é (37 – 5) + (37 – 35) = 32 + 2 = 34
m. O deslocamento é 35 – 5 = 30 m.
Resposta da questão 24: [C] Resposta da questão 25: [A]