Grafos 1- Definições Preliminares 2- Formas de Representação 3- Métodos de Passeio (Pesquisa)...

Grafos

1 - Definições Preliminares

2 - Formas de Representação

3 - Métodos de Passeio (Pesquisa)

4 - Aplicações

Definições preliminares

Grafos são estruturas de dados largamente utilizadas na Ciência da Computação, sendo fundamental seu estudo e dos algoritmos para sua manipulação.

Exemplos de aplicações:

– Modelagem de circuitos digitais;

– Representação de processos em um sistema paralelo ou distribuído;

– Representação de lista encadeada;

– Árvores de decisão;

– Diagramas E-R;

– Diagrama UML;

– Máquinas de estado finito;

– Derivação de palavras em linguagens formais;

RunningRunning

I/OI/O

ReadyReady

1

23

4

Os três estados que um processo pode assumir num sistema operacional


nome endereço cidade estado

pessoa

possui

animal

Tipo_animal raçanome_animal

1

n

Um diagrama E-R


if (a > b) v[i] = f(i);else if (b > c) v[i] = g(i);

Assuma que os valores das expressões booleanas “(a > b)” e “(b > c)” são independentes e que, na média, ”(a > b)” é executado 25% do tempo e “(b > c)” 25% do tempo. Se o trecho de programa acima é executado 10.000 vezes, quantas vezes se espera que as funções f e g sejam executadas? a > b

v [ i ] = f [ i ] b > c

v [ i ] = g [ i ]

10.000 x 0,25= 2500 vezes75.000 vezes

75.000 x 0,25 = 1875 vezes

Um exemplo de árvore de decisão:


Um exemplo de máquina de estado finito

S0 S1

S2

10,1

0

1

0



Um exemplo de rede neural artificial

+Apply()

-Propability

GeneticOperator

Mutation

Selection

-TargetSolution

Population

-Code

Chromosome

+Evaluate()

FitnessScore

-Code

Gene

+Encode()

Encoder

+Decode()

Decoder

CrossOver

*

-gera

1

-possui1

*

-decodifica

1 *

-possui1

*-atua sobre 1 1..*

-gera

1 1..* *

-avalia

*

EvolutionaryModel

-possui

1 *


Um exemplo de diagrama de classes

Um grafo dirigido G é um par (N, A), onde N é um conjunto finito e A é uma relação binária entre os componentes de N. Assim:– G = (N, A)

– N = conjunto de nós (ou vértices) de G

– A = conjunto de arcos (ou arestas) de G

Em um grafo não-dirigido G = (N, A), o conjunto de arcos A consiste de um conjunto desordenado de pares de nós N.


1 - Grafo dirigido G1(N, A):

N = {1,2,3,4,5,6}

G1 A = {(1,2),(2,2),(2,4),(2,5),(4,1),

(4,5),(5,4),(6,3)}

2 - Grafo não-dirigido G2(N,A):

G2 N = {1,2,3,4,5,6}

A = {(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)}

1 2

6

3

54

1 2

6

3

54


Relação de Incidência: É definida entre nós e arcos.

1 - Grafo dirigido G1(N,A):

- Os arcos (2,2); (2,4) e (2,5) são

G1 incidentes do nó 2 (saem de 2).

- Os arcos (1,2) e (2,2) são inciden-

tes para o nó 2 (chegam em 2).


G2 - Os arcos incidentes no nó 2

são (1,2) e (2,5).

- O arco (3,6) é incidente nos

nós 3 e 6.

1 2

6

3

54

1 2

6

3

54


Relação de Adjacência: Dois nós são adjacentes se existe um arco interligando-os.


- O nó 2 é adjacente ao nó 1.

G1 - O nó 1 não é adjacente ao 2,

pois o arco (2,1) ao grafo G1.



G2 - Relação de adjacência é simétrica.



1 2

6

3

54

1 2

6

3

54


Grau de um nó: É medido pelo número de arcos incidentes.


- Grau = Grau Saída + Grau Entrada

G1 - O nó 1 possui grau 2 (1 + 1).

- O nó 2 possui grau 5 (3 + 2).


G2 - O nó 2 possui grau 4.

- O nó 6 possui grau 1.

- O nó 4 possui grau 0.

1 2

6

3

54

1 2

6

3

54


Um caminho c de um nó u para um nó u’ em um grafo G = (N, A) é a seqüência de nós <n0, n1, n2, ... nk >, onde u = n0 e u’ = nk, e (ni-1, ni) A para i = 1, 2, ..., k.

O tamanho de c é o número de arcos existentes em c.

Um caminho c é composto pelos nós n0,n1,n2,... nk e pelos arcos (n0, n1), (n1, n2), ..., (nk-1, nk).

- Quais os caminhos de 1 para 4 ?

c1 = <1, 2, 5, 4> e c2 = <1, 2, 4>

G1 - Quais os tamanhos de c1 e c2 ?

c1 = 3 e c2 = 2

- Quais são os arcos de c1 ?

<(1,2), (2,5), (5,4)>

1 2

6

3

54


Um grafo G = (N, A) possui um ciclo se existir um caminho c = <n0, n1, ... nk >, onde n0 = nk. Se não existir, o grafo é dito acíclico.

O caminho é simples se <n0, n1, ... nk > são diferentes.


- Ciclos de G1:

G1 <1,2,4,1>; <2,4,1,2>; <4,1,2,4>;

<1,2,4,5,4,1> (não simples) e

<2,2> (laço).


G2 - Ciclos de G2:

<1,2,5,1>; <2,5,1,2>; <5,1,2,5>

1 2

6

3

54

1 2

6

3

54


Grafos conectados: Um grafo não-dirigido G = (N, A) é conectado se cada par de nós é conectado por um caminho.

1 - Grafo não-dirigido G2(N,A)

G2 - Possui três componentes conectados:

{1, 2, 5}, {3, 6} e {4}

1 2

6

3

54

Um grafo não-dirigido é conectado se possuir exatamente um componente conectado, ou seja, se cada nó é alcançável a partir de cada um dos outros nós. Logo, o grafo G2 não é conectado.


Grafos fortemente conectados: um grafo dirigido G = (N, A) é fortemente conectado se cada dois nós são alcançáveis (um a partir do outro).

1 - Grafo dirigido G1(N,A)

G1 - Possui três componentes fortemente

conectados:

{1, 2, 4, 5}, {3} e {6}• Todos os pares em {1, 2, 4, 5} são mutuamente alcançáveis. Os nós {3, 6}

não formam um componente fortemente conectado, pois não é possível chegar em 6 a partir de 3.

• Um grafo dirigido é fortemente conectado se possuir exatamente um componente fortemente conectado. Logo, o grafo G1 não é fortemente conectado.

1 2

6

3

54


Um grafo é planar quando este pode ser desenhado (em uma folha de papel, isto é, em um plano) de forma que suas arestas se interceptem apenas em vértices.

No século dezoito Leonhard Euler-Matemático suíço (pronuncia-se “óiler”) observou que um grafo simples, conexo e planar (sem interseção de arestas) divide o plano em um número de regiões totalmente fechadas e uma região infinita exterior. Daí observou uma relação entre o número de n de vértices, o número a de arestas e o número r de regiões.

É a fórmula de Euler: n - a + r = 2

4 - 6 + 4 = 2


Grafos com valores: Quando os nós e/ou os arcos possuem valores.

Ex.: Distâncias entre localidades.

Rio Vit

Spa

Sal

Rec

Nat

13011325

1210

890

580

1710

2680

450


Existem basicamente duas formas para representar um grafo G = (N, A):

– Por intermédio de uma Lista de Adjacências

É a mais utilizada, pois fornece uma representação mais compacta de grafos esparsos ( |A| << |N|2 ).

– Por intermédio de uma Matriz de Adjacências

Utilizada quando o grafo é denso ( |A| |N|2 ), ou quando é necessário descobrir rapidamente se existe um arco conectando dois nós pré-definidos.

Formas de representação

Lista de adjacências para um grafo G = (N, A)

– Consiste em um vetor de |N| listas encadeadas, uma para cada elemento de N.

– Para cada u V , a lista de adjacências Adj[u] contém todos os nós v para os quais existe um arco (u, v) A.

Primeiro caso: Grafo Não-Direcionado

1 2

5

3

4

1

2

5

3

4

5

5

1

4

5

2

1

4

2

2

3

2

3

4 /

/

/

/

/


Segundo caso: Grafo Direcionado

1

2

5

3

4

4

5

2

5

4

6

2

/

/

/

/

/

6 6 /

1 2

4 5

3

6


Variável externa G

0 1

3 2

V0

V1

V2

V3

A(0,1) A(0,3)

A(1,2) A(1,3)

A(3,1) A(3,2)


Matriz de adjacências para um grafo G = (N, A)

– Assume-se que os nós são numerados da seguinte forma: 1, 2, 3, ..., |N|;

– A matriz de adjacências Adj para um grafo G = (N, A) possui dimensões |N| x |N| e elementos ai,j , de forma que:

1 se (i, j) A

ai,j =

0 caso contrário

{


Primeiro caso: Grafo Não-Direcionado

Para os grafos não-direcionados, os elementos da matriz são simétricos: Adj [ i ] [ j ] = Adj [ j ] [ i ]. Assim, com fins de economia de memória, pode-se armazenar apenas a matriz triangular superior ou inferior.

1 2

5

3

4

1

2

5

3

4

1 2 53 4

0 1 10 0

1 0 11 1

0 1 00 1

0 1 11 0

1 1 00 1

Tipos:

Adj = vetor[5] [5] de inteiros


Segundo caso: Grafo Direcionado

Na matriz de adjacências para grafos direcionados, as linhas representam os nós origem e as colunas, os nós destino.

1

2

5

3

4

1 2 53 4

0 1 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

Tipos

Adj = vetor[6] [6] de inteiros

1 2

4 5

3

6

6

6 0 0

0

1

1

0

0

00 0

0

0

1

0

0

1


• A matriz de adjacência é freqüentemente inadequada porque requer o conhecimento prévio do número de nós

• Mesmo que a matriz de adjacência seja esparsa, deve-se reservar espaço para todo possível arco entre dois nós. Se existir n nós, precisará de n2 alocações

• Lista ligada é interessante porque só aloca o espaço necessário, porém, a implementação é mais complexa porque não se pode prever o número de nós adjacentes a determinado nó, ou seja, o número de ponteiros é bastante variável

• Na representação de matriz está implícito a possibilidade de percorrer uma linha ou coluna

• Percorrer em linha é identificar todos os arcos emanando de determinado nó. Neste caso, a implementação ligada é mais eficiente

• Em coluna é identificar todos os arcos que terminam em determinado nó: vantagem para a matriz, já que não existe um método simples correspondente na implementação ligada


O objetivo dos métodos de passeio é explorar um grafo, de forma sistemática, obtendo informações sobre sua estrutura.

Uma questão interessante diz respeito ao ponto de início do passeio, pois não existe um referencial a ser considerado, como por exemplo, a raiz nas árvores.

Outra questão é relacionada às repetições nas visitas. Como garantir que um nó já foi visitado? Solução: colocar marcas nos nós já visitados.

A seqüência de nós visitados depende da escolha dos nós adjacentes. Para um determinado grafo podem existir diversas seqüências de passeio.

Métodos de passeio

Existem dois algoritmos principais para passeio em um grafo G = (N, A):

– Largura (Breadth-first search)

Todos os nós localizados a uma distância k de um nó s, escolhido arbitrariamente, são percorridos antes dos nós localizados a uma distância k+1 de s.

– Profundidade (Depth-first search)

Para um nó s, escolhido arbitrariamente, um de seus nós adjacentes é visitado, e para cada nó visitado, um dos nós adjacente a ele é visitado, até que se encontre um nó sem adjacentes. Nesse instante ocorre um “retorno” com o objetivo de visitar os nós restantes adjacentes à s.

Métodos de passeio

Largura (Breadth-first search)

1. Um nó, escolhido arbitrariamente, é visitado, marcado e colocado em uma fila Q;

2. Enquanto a fila Q não estiver vazia:

2.1. Retira-se um nó N da fila Q;

2.2. Para cada nó M (não marcado) adjacente à N:

2.2.1. Visita-se o nó M;

2.2.2. Coloca-se o nó M na fila Q;

2.2.3. Marca-se o nó M.

Métodos de passeio

Profundidade (Depth-first search)

1. Um nó, escolhido arbitrariamente, é visitado, marcado e colocado em uma pilha S;

2. Enquanto a pilha S não estiver vazia:

2.1. Retira-se um nó N da pilha S;

2.2. Para cada nó M (não marcado) adjacente à N:

2.2.1. Visita-se o nó M;

2.2.2. Coloca-se o nó M na pilha S;

2.2.3. Marca-se o nó M.

Métodos de passeio

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