GRAFOS QUE MODELAM REDES CONFIÁVEIS

Leandro da Silva Teixeira Centro de Análises de sistemas navais (Casnav) Ilha das Cobras s/n, Centro, Rio de Janeiro – RJ

Leandro.Teixeira@casnav.mar.mil.br

Leonardo Silva de Lima Departamento de Engenharia de Produção – CEFET-RJ

Av. Maracanã, 229 - 20271-110, Maracanã, RJ llima@cefet-rj.br

Nair Maria Maia de Abreu

Departamento de Engenharia de Produção – COPPE-UFRJ Ilha do Fundão, 21941-972, Rio de Janeiro, RJ

nair@pep.ufrj.br

RESUMO

A confiabilidade de uma rede pode ser avaliada a partir de parâmetros determinísticos e probabilísticos do grafo que a modela. Neste trabalho assume-se que os nós (vértices) desse grafo são todos confiáveis e que as falhas da rede estão associadas às probabilidades de falhas atribuídas de modo aleatório e independente às arestas do grafo. Como base nisso, para um dado número de vértices e arestas, uma classe de grafos com máxima confiabilidade é apresentada e um algoritmo que projeta tais grafos é exibido. PALAVRAS CHAVE: Grafos de Harary; confiabilidade; conectividade de aresta.

ABSTRACT

Deterministic and probabilistic parameters can be used to measure the reliability of a

graph that models a network. Consider that each node (vertex) of the network is reliable and its failure is related to the probabilities of the edge failures of the graph when these probabilities occur randomly and independently. In this work, when the number of edges and vertices are given, a class of graphs with maximum reliability and an algorithm that design that ones are presented.

KEYWORDS: Harary graphs; reliability; edge connectivity.

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1. Introdução

Redes são sistemas físicos, biológicos ou sociais caracterizados por um conjunto de entidades bem definidas que interagem dinamicamente entre si. Muitos sistemas podem ser representados na forma de redes, dentre eles, a Internet e a Web. As redes físicas incluem redes de distribuição de energia e água, redes de transporte e telecomunicações, redes de rádio e TV, dentre outras. Exemplos de redes sociais são as de relacionamento pessoal e/ou temático, as redes de comunidades, com as de e-mails, blogs, de pesquisadores e de publicações. Cadeias alimentares e redes de transmissão de doenças são exemplos de redes biológicas. Vivemos, portanto, num mundo rodeado por redes e, direta ou indiretamente, fazemos parte de quase todas elas. Por esta razão, o estudo e a modelagem de redes são de grande interesse na área científica.

A estrutura física de uma rede pode ser representada por um grafo. Desta forma, a utilização de ferramentas da teoria dos grafos é fundamental na determinação de propriedades referentes a aspectos topológicos dessas redes. Contudo, as redes modernas, como a World Wide Web, por possuírem milhões ou até mesmo bilhões de vértices, tornam ineficazes os métodos tradicionais de determinação de parâmetros determinísticos em grafos que as modelam. Desta forma, o estudo de confiabilidade de redes parece um caminho mais natural para se entender tais estruturas.

Os grafos considerados neste trabalho são simples e não-orientados denotados por G = (V, E) e tais que |V| = n vértices e |E| = m arestas. A conectividade de arestas de G, λ(G), é o menor número de arestas que devem ser removidas para desconectar G. O cardinal de conectividade de arestas, denotado por mi(G), é definido como a quantidade de conjuntos de cortes de arestas com cardinalidade i. O grau mínimo de G, , é o menor número de arestas incidentes a um vértice de G. A Figura 1.1 representa um grafo G com 5 vértices e 7 arestas, onde λ(G) = 2 e m2(G) = 1. O valor do primeiro parâmetro se justifica por G se tornar desconexo com a retirada das arestas (0,4) e (3,4), não sendo possível desconectá-lo com a retirada de um número menor que duas arestas. Assim, o conjunto formado por elas forma o único corte de cardinalidade mínima, o que justifica o valor do último parâmetro.

Figura 1.1: Grafo com λ(G) = 2 e m2(G) = 1.

Entende-se por vulnerabilidade o estudo de parâmetros capazes de medir a fragilidade de uma rede mediante a um ataque capaz de isolar um ou mais subconjuntos de vértices e/ou arestas do grafo que a modela. De acordo com Lima (2006), Reis Neto (2005) e Deng et al. (2004), os invariantes acima referidos e outros, tais como conectividade de vértices e conectividade algébrica, têm sido freqüentemente utilizados como medidas de vulnerabilidade de um grafo que modela uma rede. Uma rede é mais vulnerável que outra quando, em caso de ataque ou falha, a primeira está mais propensa à desconexão que a segunda. Por confiabilidade de rede (ou do grafo que a modela) entende-se a probabilidade que uma rede tem de permanecer conexa mesmo quando ocorrer a remoção de um ou mais de seus subconjuntos de vértices e/ou arestas. Assim,

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redes altamente confiáveis são estruturas fortes e diz-se que uma rede é mais confiável que outra se a probabilidade da primeira se desconectar for menor que a da segunda.

Kelmans (1966) definiu a probabilidade do grafo se tornar desconexo após a falha de algumas de suas arestas através da seguinte função probabilística:

(1)

A função (1) é probabilística devido à presença do parâmetro ρ ser um número real entre 0 e 1. Entretanto, ela também envolve o cálculo de parâmetros determinísticos de vulnerabilidade, como a conectividade de aresta, λ(G), e o cardinal de conectividade de aresta, mi(G). O modelo definido pela função (1) considera uma rede modelada por um grafo G não-orientado com n vértices e m arestas, onde os vértices são considerados perfeitamente confiáveis, não estão sujeitos a falhas, e cada aresta tem a mesma probabilidade de falha ρ, a ela associada, tais que duas a duas são independentes entre si. Assim, um grafo G é então considerado confiável quando P(G, ρ) é minimizada. Observe que a minimização de P(G, ρ) envolve a maximização de λ(G) e a minimização de mi(G). Bauer et al. (1985) estudaram uma classe de grafos capazes de minimizar P(G, ρ). Continuando nesta linha, quanto maior a conectividade de aresta de um grafo que modela uma rede, mais confiável esta rede será. Grafos com λ = 1 são os menos confiáveis, pois, basta a remoção de uma aresta para torná-los desconexos. Bauer et al. (1985) mostraram que os grafos mais confiáveis de acordo com a função (1) podem ser classificados da seguinte forma: (i) quando λ 3, tais grafos são um subconjunto dos grafos de Harary; (ii) quando λ = 2, os mais confiáveis são os grafos subdivisão uniforme. Neste trabalho, os grafos do caso (i) são apresentados, ou seja, uma classe de grafos com conectividade de aresta máxima e maior ou igual a 3, onde cada um dos grafos da classe é capaz de minimizar P(G, ρ), é exibida. Finalmente, um algoritmo de construção desses mesmos grafos é apresentado.

2. Síntese do problema Kelmans (1966) observou que, exceto em alguns casos óbvios, para minimizar ( , )P G ρ

é necessário determinar, para cada ρ, diferentes grafos. Além disso, ele observou que, se a probabilidade de falha ρ de uma aresta tomar um valor próximo a zero, o cálculo de ( , )P G ρ pode ser reduzido somente ao cálculo do primeiro termo da expressão (1), quando i é igual à conectividade de arestas λ. Neste caso, a expressão dada em (1) se transforma em

(2)

Ball e Provan (1983a) mostraram que, para todo i, λ ≤ i ≤ m, o cálculo de mi é um problema NP-hard. Desta forma, a aproximação dada em (2) é útil porque permite a existência de algoritmos eficientes para o cálculo de mλ, como os de Ball e Provan (1983b). Bauer et al. (1987) fizeram um estudo detalhado sobre os possíveis valores de ρ, dados no intervalo 0 < ρ ≤ ρ0, para os quais existe uma família de grafos capazes de minimizar (2) e, tal que, para qualquer grafo G’ não pertencente a tal família tem-se P(G’, ρ) > P(G, ρ). Logo, os grafos desta família precisam possuir máxima conectividade de arestas e mínima quantidade de cortes de arestas com cardinalidade igual a λ.

Considere G(n,m) o conjunto de todos os grafos com n vértices e m arestas. Dentre todos os grafos em G(n,m), tome aqueles com λ(G) máxima e denote este conjunto como Gλ(n,m). Um grafo G que minimiza ( , )P G ρ deve pertencer a Gλ(n,m) e, além disso, ter mínimo valor para mλ(G). Tais grafos pertencem ao conjunto (n,m), mais simplesmente denotado por , constituído por todos os grafos com n vértices, m arestas, máxima conectividade de arestas e

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mínima cardinalidade de conjuntos de cortes de aresta com cardinalidade λ(G). A Figura 2.1 mostra a relação de inclusão entre tais famílias.

Grafos com n vértices e m arestas ( G(n,m) )

Grafos max λ ( Gλ (n,m) )

Grafos max λ & min mλ

Figura 2.1: Cadeia de inclusão das classes de grafos com n vértices e m arestas

3. Grafos Elementares e Grafos Gerais de Harary

Ao se pensar numa rede como um grafo, quanto maior a conectividade de vértices e arestas o grafo tiver, menor será a probabilidade da rede se desconectar, Bondy e Murty (1980). Portanto, para n e m fixos, o problema de se determinar grafos com máxima conectividade de vértices e arestas é de grande interesse para o estudo da confiabilidade e vulnerabilidade de redes. Em vista disso, Harary (1962) desenvolveu um procedimento para construir um grafo k-conexo com n vértices e arestas. Tais grafos são extremais quando possuem o menor número de arestas de modo a se ter a conectividade de vértice igual à de aresta, que por sua vez, é igual ao grau mínimo que vale . No caso geral, k(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G). Diz-se que um grafo é max λ se ele possui a máxima conectividade de arestas dentre todos os grafos com n vértices. Harary (1962) mostrou que quando G possui máxima conectividade de arestas, ou seja, G é max λ, então k(G) = λ(G) = δ(G) = . Assim, os grafos com máxima conectividade de arestas ficaram conhecidos como grafos de Harary. Um algoritmo de construção para tais grafos, denominado Algoritmo de Harary, assim como um estudo detalhado sobre eles pode ser encontrado em Teixeira (2008), Lima (2006) e Gross e Yelen (1999). A Figura 3.1 exibe um grafo de Harary para n = 7 e k = 4.

Figura 3.1: Grafo de Harary com n = 7 e k = 4

Os grafos de Harary assim construídos têm máximas conectividades de vértice e aresta dentre todos os grafos com n vértices e conectividade de vértice k. Vale ressaltar que para alguns valores de n, m tais grafos não podem ser gerados pelo procedimento definido por Harary. Foi então que Bauer et al. (1985) resolveram determinar um procedimento capaz de resolver esta

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questão. Para isso, primeiro classificaram estes grafos em duas categorias: Grafos Elementares de Harary e Grafos Gerais de Harary. Os primeiros, subdivididos em dois tipos H0(q) e H1(q), são aqueles construídos pelo Algoritmo de Harary e os últimos, os do tipo H2(q) ou H3(q), são os não contemplados pelo referido algoritmo. Para estes, o procedimento de Bauer et al. (1985) os determina. Isto é feito da seguinte maneira. A partir da equação 2m = δn + r, para

, tal que m > n, é construído um grafo elementar de Harary ou do tipo H,r Z∈

0 r n≤ < 0(q) ou do tipo H1(q). Com a conexão de arestas ligando pares de vértices não adjacentes neste grafo, um grafo geral de Harary é então formado. Desta forma, todo grafo geral de Harary tem como subgrafo gerador um grafo elementar. Se δ é par, a inserção é feita num grafo do tipo

e, se δ é ímpar, num grafo elementar do tipo . Como r < n, adicionando-se no máximo arestas a ou a , o valor do grau mínimo não mudará e terá δ(H) = ou δ(H) = . Assim, todo grafo H0(q) é regular de grau 2q. Já o grafo H1(q) é regular de grau 2q + 1 quando n é par e, quando n é ímpar, H1(q) tem um vértice de grau 2q + 2 e n – 1 vértices de grau 2q + 1.

O Algoritmo de Harary, que constrói os grafos elementares, e o procedimento proposto por Bauer et al. (1985), que constrói os grafos gerais de Harary, podem ser resumidos no algoritmo desenvolvido por Hakimi (1969), apresentado a seguir, onde os parâmetros de entrada são n e m e um grafo elementar ou um grafo geral de Harary é gerado como saída.

Algoritmo de Hakimi

Entrada: n, m ∈Z, k < n e G = (V, E) o grafo trivial com V = {1,..., n} e E = ∅ .

1 – Faça

;

;

mq

n

r m qn

←

← −

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 – Para p = 1,..., q

Para i = 1,..., n-1

Para j = i + 1,..., n

se ou então

E ← E U {(i, j)}.

3 – Faça s ←

Para i = 1,..., s,

tome j = i + e

E ← E U {(i, j)}.

4 – Se r > s então

Conecte de modo aleatório (r-s) pares de vértices não adjacentes no grafo.

De acordo com os valores de entrada para n e m, Lima (2006) determinou a seqüência de graus dos grafos obtidos pelo Algoritmo de Hakimi. O Lema 3.1 descreve essa seqüência de graus.

Lema 3.1: Considerando m = qn + r, 0 ≤ r ≤ n - 1 e , os grafos construídos pelo Algoritmo de Hakimi possuem as seguintes características:

i) Se r = 0, G é 2q-regular;

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ii) Se n é par e , o grafo G é (2q + 1) - regular; se n é ímpar, existem n – 1 vértices com grau mínimo igual a 2q + 1 e somente um vértice com grau 2q + 2;

iii) Se , o grafo G tem 2r vértices com grau 2q + 1 e n – 2r vértices com grau 2q;

iv) Se , G tem grau mínimo igual a δ(G) = 2q + 1 e grau máximo no intervalo δ(G) + 1 ≤ Δ(G) ≤ δ(G) + r - .

Lima (2006) provou que os grafos que se enquadram no item (i) do Lema 1 são exatamente os grafos elementares de Harary do tipo H0(q). Os grafos do item (ii) são os grafos elementares do tipo H1(q). Já os grafos que se enquadram nos itens (iii) e (iv) do Lema 1, são os grafos gerais de Harary do tipo H2(q) e do tipo H3(q). O Exemplo 3.1 exibe o funcionamento do Algoritmo de Hakimi.

Exemplo 3.1: Considere n = 5 e m = 7. Do passo 1, q = 1, r = 2 e p =1. No passo 2, se i = 1 e j = 2, {1, 2} é uma aresta de G dado que . O grafo corrente está na Figura 3.1(a). Se i = 1, j = 3 ou j = 4, não haverá aresta entre i e j dado que a condição de congruência não é satisfeita, enquanto que para j = 5, a aresta {1, 5} é inserida a G. Veja a Figura 3.1(b). De modo semelhante, as arestas {2, 3}, {3, 4} e {4, 5} são inseridas. As arestas {1, 3} e {2, 4} são finalmente inseridas ao grafo corrente obedecendo à relação j = i + para s = 2. Assim, chega-se ao grafo da Figura 3.1(c).

(a) (b) (c)

Figura 3.1: Construção do grafo com n = 5 e m = 7 pelo algoritmo de Hakimi

(a) (b)

Figura 3.2: Grafos Gerais de Harary H2(q) construídos segundo o Algoritmo de Hakimi em (a) e segundo o procedimento de Bauer et al (1985) em (b).

O procedimento descrito acima constrói grafos extremais em relação à máxima conectividade de vértice e de aresta. Porém, isto ainda não é suficiente para garantir-se que tais

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grafos modelam redes confiáveis, pois para minimizar a função de confiabilidade (2) é preciso mostrar que os grafos de Harary, construídos pelo Algoritmo de Hakimi, têm também mínimo mλ. Para o caso dos grafos com n vértices e m arestas que obedecem à relação , os grafos de Harary podem não ser mínimo mλ. Desta forma,, na seção seguinte, grafos de Harary que minimizam a função de confiabilidade (2) são explicitados quando a relação é válida.

4. Grafos confiáveis quando

Nesta seção, são exibidos resultados teóricos obtidos por Bauer et al. (1985) que dão condições de existência para um subconjunto dos grafos de Harary confiáveis segundo a função de confiabilidade (1). De acordo com estes resultados teóricos foi possível desenvolver um algoritmo para construir grafos com o menor valor possível para mλ entre todos os grafos de máxima conectividade de arestas quando , o que é uma das contribuições deste trabalho.

4.1. Grafos Super- λ

Definição 4.1: Diz-se que G ∈ G (n, m) é um grafo super-λ se G satisfaz as seguintes propriedades:

(i) G tem conectividade de aresta de forma que ;

(ii) O número de conjunto de cortes de arestas de tamanho λ é igual ao número de vértices de grau λ, ou seja, mλ(G) = pλ(G).

É interessante observar que se G é um grafo super-λ, o número de vértices de grau mínimo determina o número de conjuntos de corte de arestas com cardinalidade λ já que todos os cortes de arestas são formados por arestas incidentes aos vértices de grau mínimo, conforme o Lema 4.1. Entretanto, nada se pode garantir a cerca do parâmetro mλ ser ou não mínimo.

Lema 4.1: Se G é um grafo super-λ e U é um conjunto de corte de ordem λ, então U determina um corte trivial em G, ou seja, um corte que resulta num vértice isolado.

Prova: Se G é super-λ, da Definição 4.1, mλ(G) = pλ(G). Logo, todo conjunto unitário constituído por cada vértice de grau mínimo define um corte trivial com λ arestas. Assim, não há nenhum outro corte com esta cardinalidade. ■

Teorema 4.2: [Bauer et al. (1985)]: Para 2m/n ≥ 3, os grafos de Harary são super-λ.

4.2. Grafos de Harary max λ & min mλ quando

É importante ressaltar que nem todo grafo de Harary super- λ é max λ & min mλ, uma vez que este grafo pode não conter o menor número possível de vértices com grau mínimo dentre todos aqueles com n vértices e m arestas. Assim, é possível existir números naturais n e m de forma que 2m/n ≥ 3, para os quais se pode construir um grafo de Harary com n vértices e m arestas que seja super-λ mas que não seja max λ & min mλ. Os grafos de Harary da Figura 4.1 são super-λ do tipo H3(1), sendo que o da Figura 4.1(a) não é max λ & min mλ, enquanto o da Figura 4.1(b) é.

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(a) (b)

Figura 4.1: (a) Grafo de Harary super-λ e não max λ & min mλ; (b) grafo de Harary super-λ e max λ & min mλ

Também, como uma contribuição deste trabalho, é apresentada a Proposição 4.3 que mostra que todos os grafos elementares de Harary são max λ & min mλ.

Proposição 4.3: Todo grafo de Harary H0(q) e H1(q) é max λ & min mλ.

Prova: Seja q = . Todo grafo de Harary G do tipo H0(q) ou H1(q) tem m = arestas e δ = λ = k = . Se G = H0(q), então G é regular de grau 2q; caso G = H1(q) quando δ ímpar e n par, G é regular de grau 2q + 1. Veja que em ambos os casos, os grafos obtidos são max λ. Pelo Teorema 4.2, estes mesmos grafos também são super-λ. Como o grafo resultante é regular, não é possível obter outro grafo com valor menor para mλ e portanto são max λ & min mλ.

Quando δ e n são ambos ímpares, pelo Lema 3.1, G H1(q) e tem n – 1 vértices de grau 2q+1 e apenas um de grau 2q+2. Sabe-se que a igualdade λ = δ é válida. Faça p denotar o número de vértices de grau mínimo δ. Considere a expressão 2m = nδ + r. O limite inferior para a soma dos graus (que é igual ao dobro do número de arestas) pode ser dado por 2m ≥ pδ + (n – p)(δ + 1), ou seja, 2m ≥ nδ + n – p. Substituindo-se 2m por nδ + r encontra-se p ≥ n – r. Assim, o menor número possível de vértices com grau igual a λ deve igual a n – r. Veja que neste caso, 2m = nδ + 1 e p é exatamente igual a n – r = n - 1. Logo, todo grafo de Harary G = H0(q) ou G = H1(q) é max λ & min mλ. ■

Como se pode ver na Figura 4.1, nem todos os grafos gerais de Harary são max λ & min mλ. Entretanto, Bauer et al. (1985) mostraram que existem grafos gerais de Harary com esta propriedade, como pode ser visto no Teorema 4.4.

Teorema 4.4 [Bauer et al.(1985)]: Para todos os números naturais n e m tais que , há grafos de Harary H2(q) e H3(q) que são max λ & min mλ .

O Teorema 4.4.garante que é sempre possível encontrar um grafo de Harary do tipo H2(q) ou H3(q) que é max λ & min mλ. No entanto, isto não significa que todos os grafos destes tipos são max λ & min mλ. E de fato, não são. O grafo H2(q) construído pelo Algoritmo de Hakimi é sempre max λ & min mλ, enquanto o do tipo H3(q) pode não ser, dado que sua construção é finalizada no Passo 4 do algoritmo. Neste passo, permite-se a inserção de arestas aleatórias ao subgrafo gerador regular maximal do grafo corrente. No procedimento de Bauer et al. (1985) ocorre o mesmo problema, pois o grafo H3(q) é construído a partir da inserção aleatória de arestas em um grafo H1(q). Assim, seria interessante saber construir grafos de Harary que seguramente sejam max λ & min mλ.

Como outra contribuição deste trabalho, é aqui apresentado um algoritmo que constrói grafos de Harary que sempre são max λ & min mλ. Tal procedimento é então denominado Algoritmo max & min mλ e constrói grafos de Harary na classe para λ ≥ 3. Desta forma, a partir de n e δ dados como entrada, os grafos assim construídos têm confiabilidade

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máxima e, ao final de sua execução, cada grafo de Harary obtido é max λ & min mλ . Os exemplos apresentados após o algoritmo ilustram o seu funcionamento.

Algoritmo max λ & min mλ: Constrói grafos de Harary pertencentes a , λ ≥ 3.

Entrada: n e δ Є IN, δ < n e H = (V, E) o grafo trivial, isto é, V = {0,..., n-1} e E = . ∅

1 – Inicie o grafo H com n vértices isolados numerados de 0 a n-1 no sentido horário.

2 – Faça ;

3 – Para i = 0,..., n-2

Para j = i +1,..., n-1

Se ou então

E ← E U {(i, j)}

Vá ao Passo 4

4 – Se δ par e n par então

Para i = 0,..., (n/2) – 2,

insira uma aresta entre o vértice i e o vértice (i + n/2)

Retorne o grafo H

Senão Vá ao Passo 5

5 – Se δ par e n ímpar então

Para i = 0,..., [(n-1) / 2] – 1

insira uma aresta entre o vértice i e o vértice [(n-1/2) + i]

Retorne o grafo H

Senão Vá ao Passo 6

6 - Se δ ímpar e n par então

Para i = 0,..., (n/2) – 1

insira uma aresta entre o vértice i e o vértice (i + n/2)

Para i = 0,..., (n/2) –2

insira uma aresta entre o vértice i e o vértice [i + (n/2) - 1]

Retorne o grafo H

Senão Vá ao Passo 7

7 – Se δ e n são ímpares então

insira uma aresta entre o vértice 0 e o vértice (n - 1) /2

insira uma aresta entre o vértice 0 e o vértice (n + 1) /2

Para i = 1,..., (n-3) /2

insira uma aresta entre o vértice i e o vértice [i + (n+1) /2]

insira uma aresta entre o vértice i e o vértice [i + (n - 1) /2]

Retorne o grafo H

Fim.

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Exemplo 4.1: Sejam n par e δ par. A construção é feita a partir de um grafo de Harary G’ do tipo . Sabe-se que 2m = nδ + r e como nδ é par, r ≤ n – 2 é também par. As arestas independentes que não pertencem a G’ são da forma (i, n/2 + 1) para i = 0,..., n/2 - 1. Assim, são encontrados r vértices que formam um conjunto de r/2 arestas independentes que inseridas de forma a obedecer às restrições mostradas vão formar um grafo com min mλ , como no grafo da Figura 4.2(b). Se a inserção fosse feita utilizando-se pelo menos duas arestas incidentes a um mesmo vértice, haveria pelo menos um vértice a mais em G com grau mínimo, que a quantidade de vértices com este grau no grafo obtido com inserção de arestas independentes.

A Figura 4.2(a) mostra um grafo G’ do tipo H0(2) com arestas. O grafo de Harary H2(2) = K6 – {(2,5)} é apresentado na Figura 4.2(b) e tem como subgrafo gerador o grafo G’ obtido pelo acréscimo de 2 arestas independentes em G.

(a) H0(2) (b) H2 (2)

Figura 4.2: Grafo H2 (2) em (b) construído a partir do Grafo H0 (2) em (a)

Exemplo 4.2: Sejam n ímpar e δ par. Como δ < n-1, o grafo não utiliza as arestas [i, (n-1) /2 + i], i = 0,... , [(n-1) /2] -1, como o grafo com n = 7 e m = 14 da Figura 4.3(a). Estas formam um conjunto de arestas independentes com n-1 vértices que podem ser usadas para formar um grafo H2(2). Neste caso, pelos mesmos motivos expostos no caso do Exemplo 4.1, r é par e não pode ser maior do que a n-1. Com isso, o conjunto das arestas independentes inseridas no grafo , a partir dos r vértices, deixa n – r vértices de grau δ, como o grafo com n = 7 e m = 16 da Figura 4.3(b).

(a) H 0(2) (b) H 2(2)

Figura 4.3: Grafo H 2 (2) em (b) construído a partir do Grafo H 0 (2) em (a)

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Conclusões Este trabalho mostra que os grafos de Harary são os modelos (não necessariamente únicos) de grafos mais confiáveis, segundo a medida de confiabilidade de um grafo dada pela função definida por Kelmans (1966). Desta forma, o interesse prático por redes que sigam o modelo de grafos de Harary é justificável, quando o interesse é construir redes que tenham baixa probabilidade de se tornarem redes desconexas diante de uma possível falha de um subconjunto de suas arestas. Os resultados teóricos obtidos neste trabalho confirmam os obtidos por Bauer et al. (1985) e mostram que todos os grafos elementares de Harary são confiáveis. Além disso, mostram que existem alguns grafos gerais de Harary que também possuem máxima confiabilidade, pelo menos quando se tem . Uma outra contribuição aqui apresentada foi mostrar que, a partir dos resultados teóricos, é possível desenvolver um algoritmo que exiba uma classe de grafos confiáveis quando a desigualdade é válida. O estudo de grafos confiáveis com n vértices e m arestas que obedecem à relação

, ou seja, grafos max λ & min mλ para λ = 2, é um tópico de interesse para investigação, pois nestes casos, é possível observar que os grafos de Harary não são os mais confiáveis dentre aqueles com n vértices e m arestas. Referências BALL, M., PROVAN, J. (1983a), "The complexity of counting cuts and computing the probability that a graph is connected", SIAM J. Comput., v. 12, pp. 777-788. BALL, M., PROVAN, J. (1983b), "Calculating bounds on reach ability and connectedness in stochastic networks", Networks, v. 13, pp. 253-278. BAUER, D., BOESCH, F., SUFFEL, C. (1985), "Combinatorial optimization problems in the analysis and design of probabilistic networks", Networks, v.15, pp. 257-271. BAUER, D., BOESCH, F., SUFFEL, C. (1987), “On the validity of a reduction of reliable network design to a graph extremal problem”, IEEE Transactions on circuits and systems, v.34, pp. 1579-1581. BOAVENTURA NETTO, P.O., Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos, ed.3, Editora Edgard Blucher, São Paulo, 2003. BONDY, J.A., MURTY, U.S.R., Graph Theory with Applications, Elsevier North Holland, Inc., New York, 1980. DENG, H., CHEN, J., LI, R., et al., "On the construction of most reliable networks", Discrete

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