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GRAVIDADE E GRAVIMETRIA Aula 04

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL DE MINAS GERAIS Câmpus Inconfidentes

GRAVIDADE E POTENCIAL DA GRAVIDADE

Supomos que iremos realizar medidas gravitacionais em um determinado local da superfície terrestre (nesse caso podemos desconsiderar a aceleração de Coriolis).

Assim, resta somente o termo relacionado a aceleração centrífuga. Uma vez que esta aceleração está sempre presente e, é usualmente adicionada a força de atração gravitacional, resultando no que conhecemos como gravidade.

g = a + ac

aceleração centrífuga

força de atração gravitacional gravidade

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Fonte: vetor da gravidade (SNEEUW, 2006)

GRAVIDADE E POTENCIAL DA GRAVIDADE

A aceleração centrífuga é conservativa. Portanto, deve existir um potencial centrífugo correspondente a ela.

W = V + Vc

Potencial centrífugo

Potencial gravitacional de atração Potencial da gravidade

Vc = 0,5ω2R2cos2ϕ

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Fonte: Sneeuw, 2006

Aceleração centrífuga sobre superfície terrestre considerando um Referencial Topocêntrico

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

0º ou 0 rad 30º ou π/6 rad 45º ou π/4 rad 60º ou π/3 rad 90º ou π/2 rad

cos 1 √3/2 √2/2 0,5 0

sen 0 0,5 √2/2 √3/2 1

tan 0 √3/3 1 √3 NA

cosθ= CA/H senθ= CO/H tanθ= CO/CA = senθ/cosθ CA

CO H

θ

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Transformação entre Referencial Terrestre e Referencial Topocêntrico

Referencial Topocêntrico

Referencial Terrestre

EXERCÍCIOS 1 – Calcule o potencial centrífugo e o ângulo zenital da aceleração centrífuga de Inconfidentes-MG (ϕ = -22,317820). Qual é o efeito centrífugo sobre a medida da gravidade? 2 – As agências espaciais preferem construir plataformas de lançamento no Equador. Calcule a redução de peso de um foguete de 10 toneladas que foi lançado no Equador em relação ao seu lançamento em Inconfidentes-MG.

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GRAVIMETRIA ...é a medida da gravidade.

Unidades de Medida

A gravidade normalmente é medida em unidades de aceleração. No sistema de unidades SI, a medida de aceleração padrão é igual a 1 metro por segundo ao quadrado (m/s2). Outra unidade usual é o Gal (abreviatura de Galileu), que é igual a 1 centímetro por segundo ao quadrado. O miliGal (10-3×Gal) é muito utilizado para representar pequenas variações do campo gravitacional.

GRAVIMETRIA Medida da aceleração da gravidade

O instrumento que mede a aceleração da gravidade é conhecido como gravímetro.

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GRAVIMETRIA Medida da aceleração da gravidade

Em uma de suas formas mais simples, o gravímetro contém uma mola conectada à um objeto pequeno e compacto (massa de prova). A atração gravitacional faz com que o objeto se desloque, esticando ou comprimindo a mola. A mudança de comprimento da mola reflete a atração gravitacional exercida no objeto. Este tipo de gravímetro serve para realizar medidas relativas, ou seja, medidas que refletem a diferença na aceleração de gravidade entre duas posições diferentes. Desta forma, o gravímetro necessita ser calibrado a partir de medidas onde o valores absolutos da aceleração da gravidade são conhecidos.

GRAVIMETRIA Medida da aceleração da gravidade

Os valores de aceleração de gravidade absolutos são determinados por gravímetros absolutos, que utilizam uma massa de prova dentro de um tubo no qual quase todo o ar é retirado, formando um vácuo. A massa de prova, neste caso, sofre queda-livre. Nos gravímetros absolutos modernos, a posição é medida com um interferômetro a laser e o tempo é medido com um relógio atômico ou o maser de hidrogênio. Esses gravímetros fornecem precisão de até 0,002 mGal e costumam ser bem mais caros do que os relativos.

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GRAVIMETRIA Gravidade Relativa

Na maioria das aplicações, somente a variação da gravidade relativa a uma estação principal é necessária. As Leituras das Medições são gravadas em estações secundárias para que as diferenças relativas sejam conhecidas. O espaçamento das estações varia; •  2 a 3 km2 para pesquisas regionais •  8 a 10 por km2 para pesquisa de hidrocarbonetos •  5 a 50 m para trabalhos de precisão, como arqueologia •  0,5 m para trabalhos de Microgravidade

Medidor de Gravidade baseado em pendulo

GRAVIMETRIA

Christiaan Huygens (1629-1695) desenvolveu uma matemática utilizando o pendulo para manutenção do tempo e a mensuração da gravidade em seu livro Horologium Oscillatorium.

Um pendulo matemático é um pendulo fictício composto por um ponto de massa m preso a uma linha de massa desprezível e de comprimento l, que pode oscilar sem atrito em torno do ponto de articulação. O Movimento da massa é restrito a um arco circular entorno do ponto de equilíbrio.

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Medidor de Gravidade baseado em pendulo

GRAVIMETRIA

A gravidade tenta “puxar” a massa pra baixo. Se a massa não esta em equilíbrio ela irá tangenciar a componente g*sen(φ) dirigida para o ponto de equilíbrio. Basicamente a gravidade é medida utilizando:

Onde T é o período de oscilação

Medidor de Gravidade baseado em pendulo

GRAVIMETRIA

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Medidor de Gravidade baseado em mola

GRAVIMETRIA

Se prendermos uma massa na extremidade de uma mola, a força da gravidade irá deformar a mola. Assim, a medida desta deformação irá fornecer a gravidade.

Medidor de Gravidade baseado em mola

GRAVIMETRIA

Considere a mola suspensa verticalmente e sem massa, nestas condições o seu comprimento é chamado de l0. depois de prender uma massa na extremidade da mola o seu comprimento é alterado e será chamado l. De acordo com a lei de Hooke, temos:

Onde k é a constante da mola.

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Medidor de Gravidade baseado em mola

GRAVIMETRIA

Este tipo de gravímetro pode ser utilizado como:

1 – um gravímetro relativo:

2 – determinando o fator k em dois pontos de gravidade conhecida:

Medidor de Gravidade baseado em queda-livre

GRAVIMETRIA

O princípio da queda-livre:

A equação do movimento da queda de um corpo de prova resulta no valor da gravidade.

A equação diferencial integrada duas vezes.

Considerando os valores inicia das variáveis v0 e z0 igual a 0.

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Medidor de Gravidade baseado em queda-livre

GRAVIMETRIA

O princípio da queda-livre é utilizado por gravímetros absolutos. Neste equipamentos o corpo de prova é um prisma que é submetido a queda-livre num tubo a vácuo e sua altura é medida por um laser interferométrico. A comparação das medidas obtidas define o padrão da queda auxiliado ao tempo obtido entre estes intervalos utilizando um relógio atômico. Estes equipamentos possuem uma precisão relativa abaixo de 10-9 que equivale a um intervalo de 1 a 10 μGal.

Medidor de Gravidade baseado em queda-livre

GRAVIMETRIA

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VELOCIDADE ANGULAR DE ROTAÇÃO

•  De acordo com Gemael (2012), as pequenas oscilações da velocidade de rotação terrestre são negligenciadas, aceitando-se ω como constante, o que permite o cálculo de um valor aproximado apenas dividindo 2π pelo número de segundos médios contidos num dia sideral:

ω = 2π/86164,099 = 7,292115139x10-5 rad/s

A União Geodésica e Geofísica Internacional recomendou, em dezembro de 1979 na Assembleia de Camberra, a adoção do seguinte valor:

ω = 7,292115x10-5 rad/s

SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS •  O potencial gravitacional W deverá conter toda a informação

sobre o campo gravitacional.

•  A forma mais simples de usar o potencial gravitacional para caracterizar irregularidades do campo gravitacional é utilizar suas Superfícies Equipotenciais e suas linhas de força.

•  A Superfície Equipotencial é a superfície na qual o potencial gravitacional é constante. Obviamente, existe um número infinito de superfícies equipotenciais, uma para cada valor de potencial. Nelas as linhas de força são curvas e o gradiente do potencial é tangente em todos os pontos, essas linhas de força do campo gravitacional da Terra são chamadas de linhas de prumo.

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SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS

Fonte: CATALÃO (2000).

SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS Propriedades

•  Nunca se cruzam;

•  São superfícies contínuas;

•  O raio de curvatura varia suavemente de ponto pra ponto (exceto locais onde exista grande variação de massa);

•  São convexas em todos os pontos.

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SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS

Movendo-se ao longo de uma superfície equipotencial, não há variação no potencial e consequentemente não há trabalho no sentido estático. Contudo, esse movimento não pode ser nem contra ou nem a favor da direção da força de atração gravitacional.

A consequência é que as linhas de força devem ser todas perpendiculares às superfícies equipotenciais. Sendo a direção da linha de prumo frequentemente referida pela direção da vertical, as superfícies equipotenciais definem a direção horizontal, assim estas também são chamadas de linhas de nível.

REDES GRAVIMÉTRICAS

•  Uma rede gravimétrica é similar a uma rede de nivelamento.

•  Elas possuem um grau de liberdade e necessitam de um ponto com valor de gravidade conhecida.

•  A diferença principal entre uma rede de nivelamento e uma rede gravimétrica está no fato de que os gravímetros relativo exibem o comportamento do desvio. Isto não requer pontos adicionais. Requer apenas que ao menos um dos pontos da rede seja medido duas vezes para se determinar a constante do desvio.

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REDES GRAVIMÉTRICAS

Perfil/Seção Transversal Passo-a-Passo Estrela

1-2-3-4-3-2-1 1-2-1-2-3-2-3-4-3-4 1-2-1-3-1-4-1

QUESTÕES

1.  Qual a forma e dimensão da Terra?

2.  Defina força da gravidade.

3.  Como se estuda o campo gravitacional?

4.  Qual a maneira de se obter as altitudes Ortométricas?

5.  Represente numa figura a altura geométrica, altura geoidal e a altitude ortométrica.

6.  O que se entende por Geóide e Superfície Equipotencial?

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OBSERVAÇÃO DA GRAVIDADE Basicamente 3 procedimentos são utilizados no estabelecimento de uma rede gravimétrica:

1.  O método da Seção Transversal – cada ponto é observado 2 vezes (exceto o ponto final). Deve existir uma variação de tempo entre as medidas realizadas no mesmo ponto.

2.  O método do Passo-a-Passo – cada ponto é observado 3 vezes (exceto o ponto final). A revisita são em intervalos de tempo curto. Este aspecto é vantajoso no caso do desvio não ser linear.

3.  O método Estrela – as medidas do ponto central são utilizadas para a determinação do desvio. Todos os outros pontos são pontas soltas na rede. Erros grosseiros não podem ser determinados.

OBSERVAÇÃO DA GRAVIDADE

De todos os métodos mencionados o Passo-a-Passo é o mais utilizado por ser mais preciso na realização da rede. Na realidade uma mistura desses métodos pode ser utilizada.

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GRAVIDADE RELATIVA

Vamos denotar como yn(tk) como a observação da gravidade em um ponto n em função do tempo k. Porque vamos assumir que estamos trabalhando com determinações da gravidade relativas ao ponto n (gn) de gravidade conhecida, mas com viés b desconhecido.

E também assumir que o desvio é linear ao longo do tempo dtk e com ε, como os possíveis ruídos associados a medida, temos a seguinte equação:

GRAVIDADE RELATIVA

O viés é eliminado pela subtração do medida obtida no primeiro ponto em relação ao ponto de gravidade conhecida n (gn). Resultando na seguinte equação:

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EXERCÍCIOS 1.  Dada um pequena rede gravimétrica e, supondo que os pontos são

medidos na ordem 1-2-3-2-1-4-1, conforme ilustra a figura abaixo:

•  Escreva o modelo de observação linear y = Ax.

“Lembre-se que y1(t1) não deve aparecer como uma medida isolada, uma vez que ela é subtraída de todas as outras medidas existentes”.

EXERCÍCIOS (Solução) 1.  Dada um pequena rede gravimétrica e, supondo que os pontos são

medidos na ordem 1-2-3-2-1-4-1, conforme ilustra a figura abaixo:

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EXERCÍCIOS 1.  Dada um pequena rede gravimétrica e, supondo que os pontos são

medidos na ordem 3-2-1-4-1-2-3, conforme ilustra a figura abaixo:

•  Escreva o modelo de observação linear y = Ax.

“Lembre-se que y3(t1) não deve aparecer como uma medida isolada, uma vez que ela é subtraída de todas as outras medidas existentes”.

DÚVIDAS?

e-mail: luciano.barbosa@ifsuldeminas.edu.br

Fonte: BOLSTAD P., 2012.