1Grupos: Resumo

1 Definicoes basicas

Definicao 1.1 Um grupo e um conjunto G juntamente com uma operacao binaria

GG G

(a, b) 7 a b

que satisfaz os seguintes tres axiomas:

1. (Associatividade) Para quaisquer a, b, c G,

(a b) c = a (b c)

2. (Existencia de elemento neutro) Existe um elemento e G tal que, para todo a G,

a e = e a = a

3. (Existencia de inverso) Para qualquer elemento a G existe um elemento a1 G tal que

a a1 = a1 a = e

Se, alem dos tres axiomas acima, o grupo G satisfaz

4. (Comutatividade) Para quaisquer a, b G

a b = b a

entao G e chamado de grupo abeliano.

Observe que o elemento neutro e unico: se e, e G sao dois elementos neutros, entao e = e e = e. Damesma forma, o inverso de a G e unico: se b, b sao dois inversos de a entao b = b e = b (a b) =(b a) b = e b = b.

Definicao 1.2 Dado um grupo G, um subconjunto nao vazio H G e um subgrupo se o produto deG se restringe a H e faz de H um grupo. Em outras palavras, H e um subgrupo de G se

1. (H e fechado por produto) a, b H a b H ;

2. (H e fechado por inverso) a H a1 H .

De fato, o axioma 1 garante que podemos restringir o produto de G a H . O par (H, ) assim obtidoforma um grupo: a associatividade e automaticamente herdada da de G; como H 6= , temos que sea H entao e = a a1 H ; finalmente o axioma 2 garante a existencia de inversos.

Definicao 1.3 Dados dois grupos G e H , um homomorfismo (ou simplesmente morfismo) entre G eH e uma funcao f :G H compatvel com as operacoes de G e H : para quaisquer a, b G temos

f(a b) = f(a) f(b)

(note que o primeiro produto e o produto em G, enquanto que o segundo e o produto em H).

Um morfismo f :G H e um isomorfismo se ele for bijetor. Dois grupos G e H sao isomorfos (emsmbolos, G = H) se existe alguma bijecao entre eles. Grupos isomorfos sao iguais a menos do nomede seus elementos.

Note que um morfismo de grupos f :G H preserva identidade e inversos. De fato, como f(e e) =f(e) f(e) f(e) = f(e) f(e), multiplicando pelo inverso de f(e) H a` esquerda (por exemplo)temos que e = f(e). Por outro lado, como f(a a1) = f(a) f(a1) e = f(e) = f(a) f(a1) e,analogamente, e = f(a1) f(a), temos que f(a1) e o inverso de f(a): f(a1) = f(a)1.

22 Grupos que aparecem na Natureza

Exemplo 2.1 Seja R o conjunto dos numeros reais nao nulos com o produto usual. Este par (R, )e um grupo: a operacao e associativa, o elemento neutro e o 1 e o inverso de a e 1/a. Este grupo eabeliano. Da mesma forma, o conjunto dos reais positivos com a operacao produto (R>0, ) e um grupoabeliano, que e um subgrupo de (R, ).

O conjunto de todos os reais com a soma usual (R,+) tambem e um grupo abeliano, com elementoneutro 0 e inverso de a dado por a. Temos que (R>0, ) e (R,+) sao isomorfos: um isomorfismo e dadopelo logaritmo

log:R>0 R

que transforma a operacao do primeiro grupo na do segundo: log(ab) = log a+log b para todo a, b R>0.O morfismo inverso e dado pela exponenciacao exp:R R>0.

Exemplo 2.2 (Grupo Trivial) O conjunto unitario {e} com a operacao e e = e e um grupo (o menorgrupo do universo!) chamado de grupo trivial. Para qualquer grupo G, {e} G e um subgrupo de G.

Exemplo 2.3 (Inteiros Modulo n) Seja n um inteiro positivo. Seja Z/n o conjunto

Z/ndef= {0, 1, 2, . . . , n 1}

composto de smbolos i para 0 i < n, representando os possveis restos da divisao de um inteiro porn. A soma modulo n define uma operacao binaria + em Z/n:

a+ bdef= c

onde

cdef= resto da divisao de a+ b por n

=

{a+ b se a+ b < na+ b n se a+ b n

Entao (Z/n,+) e um grupo abeliano. O elemento neutro e 0 e o inverso de a e n a.

Agora seja

(Z/n)def= {a Z/n | (a, n) = 1}

Entao (Z/n) e um grupo onde a operacao e dada pelo produto modulo n: a b = c onde c e o resto dadivisao de ab por n. O elemento neutro de (Z/n) e 1 e o inverso de a e dado por x onde x e a solucaode ax 1 (mod n) (que existe pois (a, n) = 1).

Por exemplo, para n = 5 temos as seguintes tabelas de multiplicacao:

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

Z/5

1 2 3 4

1 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

(Z/5)

Assim, em (Z/5) temos por exemplo 31 = 2. Note que temos um isomorfismo :Z/4 (Z/5) dadopor (a) = 2a para 0 a < 3 (verifique!).

Exemplo 2.4 (Grupo Cclico) O grupo cclico Cn de ordem n e o grupo gerado por um elemento aque satisfaz uma unica relacao an = e. Assim, os elementos deste grupo sao as potencias de a

e, a, a2, a3, . . . , an1

e o produto e dado por

ai aj =

{ai+j se i+ j < nai+jn se i+ j n

Note que Z/n = Cn, sendo um isomorfismo :Z/n Cn dado por (i) = ai.

3Exemplo 2.5 (Grupo Linear) Seja GLn(R) o conjunto das matrizes nn com determinante nao nulo.Entao GLn(R) com o produto usual de matrizes forma um grupo, chamado grupo linear (a existenciade inverso decorre do fato do determinante ser diferente de zero). Note que como det(AB) = detAdetBpara todas as matrizes A,B GLn(R), temos que det:GLn(R) R e um morfismo do grupo linearpara o grupo multiplicativo dos reais nao nulos.

Exemplo 2.6 (Grupo Simetrico) Seja n um inteiro positivo e

[n]def= {1, 2, . . . , n}

Defina Sn como o conjunto de todas as n! permutacoes (i.e. bijecoes) : [n] [n] do conjunto [n]. Aoperacao e a composicao de funcoes. Isto faz de Sn um grupo (nao abeliano para n 3).Por exemplo, para n = 6 considere as permutacoes

=

(1 2 3 4 5 64 3 2 1 5 6

) =

(1 2 3 4 5 63 1 2 4 6 5

)

A notacao acima representa a permutacao S6 dada por (1) = 4, (2) = 3, (3) = 2, (4) = 1, (5) =5, (6) = 6 e analogamente para . Nesta notacao temos que

1 =

(1 2 3 4 5 64 3 2 1 5 6

)1 =

(1 2 3 4 5 62 3 1 4 6 5

)

e

=

(1 2 3 4 5 62 4 3 1 6 5

) =

(1 2 3 4 5 64 2 1 3 6 5

)

e podemos ver que 6= .Permutacoes tambem podem ser representadas atraves de suas decomposicoes em ciclos. Nestanotacao, escrevemos = (132)(56): isto significa que leva 1 em 3, 3 em 2 e 2 em 1 (primeiro ciclo), 5em 6 e 6 em 5 (segundo ciclo), e 4 (que nao esta representado) e fixo por . Da mesma forma, temos que1 = (231)(65) = (123)(56) = (56)(123), = 1 = (14)(23), = (143)(56) e = (124)(56).

Exemplo 2.7 (Grupo Diedral) Seja Dn Sn o subconjunto das permutacoes dos vertices de umpolgono regular de n lados correspondentes a`s simetrias deste polgono. Entao Dn e um subgrupo deSn, chamado de grupo diedral. Ele e composto por 2n elementos, n rotacoes e n reflexoes.

Por exemplo, para n = 4 seja = (1234) a rotacao com centro no quadrado de /2 no sentido horario e = (12)(34) a reflexao com relacao ao eixo que passa pelo centro do quadrado e pelo ponto medio daaresta 12 (veja a figura a seguir). Temos que

D4 = {e, , 2, 3, , , 2, 3}

Aqui, e, , 2, 3 correspondem a`s rotacoes de 0, /2, , 3/2 no sentido horario enquanto que os elementos, , 2, 3 correspondem a`s reflexoes com relacao a`s retas pontilhadas como na figura a seguir.

1 2

34

= (1234)

= (12)(34)

2 = (14)(23)

= (24)3 = (13)

Em geral, se denota a rotacao de 2/n no sentido horario e a reflexao com relacao ao eixo quepassa pelo centro do polgono e pelo ponto medio da aresta 12, temos que Dn e composto pelas rotacoese, , 2, . . . , n1 e pelas reflexoes , , 2, . . . , n1. Assim, Dn e gerado por e , que satisfazemas relacoes 2 = n = e e = 1.

43 Teorema de Lagrange

Teorema 3.1 (Lagrange) Seja G um grupo e H um subgrupo. Entao os subconjuntos de G da forma

g Hdef= {g h | h H}

(chamados de cosets ou classes laterais) formam uma particao de G.

Prova Dados g1, g2 G, devemos mostrar que ou g1 H = g2 H ou g1 H g2 H = . Suponha queg1 H g2 H 6= , isto e, que existe um x = g1h1 = g2h2 g1 H g2 H para algum h1, h2 H . Nestecaso, temos g1 = g2h2h

11 . Logo, como H e um subgrupo de G, temos que h2h

11 H = H e portanto

g1H = g2h2h11 H = g2H .

Corolario 3.2 Seja G um grupo finito.

1. se H e um subgrupo de G entao |H | divide |G|;

2. se g G, a ordem de g (isto e, o menor n > 0 tal que gn = e) divide |G|.

Prova Note que todos os cosets giH tem o mesmo tamanho (igual ao tamanho de H = eH), pois temosuma bijecao H giH dada pela multiplicacao por gi a` esquerda x 7 gix; a inversa e a multiplicacaopor g1i a` esquerda x 7 g

1i x. Assim, 1 segue do teorema de Lagrange, pois G e particionado em

um numero finito de conjuntos de tamanho |H |. Para provar 2, basta aplicar 1 ao subgrupo cclicoH = {e, g, g2, g3, . . . , gn1} de G gerado por g.

4 Subgrupos Normais e Grupo Quociente

Definicao 4.1 Um subgrupo N de um grupo G e dito normal (notacao: N G) se, para todo g G,gNg1 N . Note que se G e abeliano todo subgrupo de G e normal.

Note que para qualquer subgrupo H de G, gHg1def= {ghg1 | h H} tambem e um subgrupo de G,

chamado de conjugado de H . Se N e normal, entao gNg1 N e g1Ng N N gNg1, logogNg1 = N , de modo que a inclusao na definicao de grupo normal pode ser trocada pela igualdade.

Lemma 4.2 Se N e um grupo subgrupo normal, entao para quaisquer g, h G temos que

{x gNy hN

xy ghN

Prova Temos que x = gn1 e y = hn2 para n1, n2 N . Logo xy = gn1hn2. Por outro lado, como N enormal temos que h1n1h = n3 n1h = hn3 para algum n3 N (uma especie de comutatividaderelativa a N). Logo xy = ghn3n2 ghN .

O lema acima mostra que, para um subgrupo normal, podemos definir um produto no conjunto

G/Ndef= {gN | g G}

das classes laterais de H : o produto de duas classes laterais (gN) (hN) e a classe lateral ghN , operacaoesta que esta bem definida, isto e, independe de como voce escreva a classe lateral na forma gN : segN = gN e hN = hN entao g gN e h hN , logo gh ghN e portanto ghN ghN ; trocandoos papeis de g, g e h, h, temos a inclusao oposta, logo ghN = ghN .

O conjunto G/N com o produto acima e um grupo, chamado de quociente de G por N . De fato, aassociatividade segue da associatividade de G, a identidade e dada pelo coset N e o inverso de gN e ocoset g1N . Intutivamente, G/N e o grupo obtido comprimindo todos os elementos na classe lateralgN a um unico elemento.

5Teorema 4.3 (Teorema do Isomorfismo) Se :G H e um morfismo sobrejetor, entao

1. kerdef= {g G | (g) = e} e um subgrupo normal de G.

2. induz um isomorfismo

:G

ker

- H

g ker 7 (g)

Intuitivamente, ker conta as repeticoes do morfismo . Tomando o quociente G/ ker (i.e. compri-mindo estas repeticoes a um unico elemento) obtemos um morfismo injetor; como ja era sobrejetor,obtemos um morfismo bijetor.

Prova Escreva N = ker. Temos que se n N e g G entao (gng1) = (g)(n)(g)1 =(g)(g)1 = e. Logo gng1 N para todo n N , isto e, gNg1 N e N e normal.

Para o item 2, note primeiro que esta bem definido: se gN = gN entao g = gn para algum n e(g) = (gn) = (g)(n) = (g), logo nao depende da forma como representamos o coset gN .Temos que

(gN) (hN) = (g)(h) = (gh) = (gN hN)

o que mostra que e um morfismo de grupos.

Como e sobrejetor, temos que isto implica imediatamente que e sobrejetor e so falta mostrar que e injetor. Para isto, note que se f :G1 G2 e um morfismo qualquer de grupos, f e injetor se,e so se, ker f = {e}. De fato, a necessidade e clara; supondo ker f trivial, se f(a) = f(b) entaof(a)f(b)1 = e f(ab1) = e ab1 ker f = {e} a = b, mostrando que f e injetora.Aplicando este criterio para temos que

ker = {gN | (g) = e} = {gN | g N} = {N}

Ou seja, ker e trivial, o que encerra a prova.

Exemplo 4.4 Considere o subgrupo normal R>0 de C (que e abeliano). Entao C/R>0 = S1

def=

{z C | |z| = 1}. De fato, temos que o mapa :C S1 dado por (z) = z/|z| (i.e. o argumento

de z) e sobrejetor (pois (z) = z se z S1). E facil verificar que e um morfismo de grupos ja que|zw| = |z| |w|. Por outro lado, temos que ker = S1 pela definicao de S1. O resultado segue portantodo teorema do isomorfismo.

Note que temos uma interpretacao geometrica simples para o grupo C/R>0: as classes laterais de R>0sao as semi-retas partindo da origem; todos os pontos de uma semi-reta foram identificados a um unicoponto no quociente (deixe de ser preguicoso, pegue lapis e papel e faca um desenho). Como o argumentodo produto de dois numeros complexos z e w e igual a` soma dos argumentos de z e w (multiplicar somaangulos) temos que a operacao e a mesma de S1.

5 Acao de grupo

Definicao 5.1 Seja G um grupo e X um conjunto. Dizemos que G age sobre X se existe uma funcao

GX X

(g, x) 7 g x

satisfazendo os axiomas:

1. e x = x para todo x X ;

2. (g h) x = g (h x) para todo x X e g, h G.

Exemplo 5.2 O grupo diedral D4 age sobre os vertices 1, 2, 3, 4 do quadrado, permutando-os. Mastambem age sobre suas arestas 12, 23, 34, 41: por exemplo, temos que 12 = 12, 23 = 41, 34 =34, 41 = 23.

O grupo diedral ainda age sobre as coloracoes dos vertices do quadrado: por exemplo, se tomarmos Xcomo o conjunto de todas as coloracoes dos vertices do quadrado com 3 cores A,B,C, temos que porexemplo a coloracao ABBC (vertice 1 da cor A, vertice 2 da cor B, etc.) e levada por na coloracaoCABB.

6Exemplo 5.3 (Paridade) Vamos construir um morfismo :Sn Z/2 chamado morfismo pari-dade. Seja Z[x1, . . . , xn] o conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros nas variaveis x1, . . . , xn.Observe que Sn age em Z[x1, . . . , xn] atraves de permutacao das variaveis: definimos f(x1, . . . , xn) =f(x(1), . . . , x(n)) para f(x1, . . . , xn) Z[x1, . . . , xn].

Agora, dado Sn, considere o polinomio

Pdef=

1i

7Teorema 5.6 (Orbita-Estabilizador) Seja G um grupo finito e seja G X X uma acao de Gsobre um conjunto X. Entao, para qualquer x X,

|Orb(x)| =|G|

| Stab(x)|

Prova Seja n = |Orb(x)|. Escolha g1, . . . , gn G de modo que g1 x, . . . , gn x seja a orbita de x. Oteorema segue do fato de que cada elemento g G pode ser escrito de maneira unica como g = gi h comh Stab(x). De fato, temos que g x = gi x para algum i, logo g

1i g x = x g

1i g Stab(x), isto e,

g1i g = h g = gih para algum h Stab(x), mostrando a existencia desta fatoracao. Para mostrara unicidade, suponha que gih1 = gjh2 com h1, h2 Stab(x). Como gi x = (gih1) x = (gjh2) x = gj x,devemos ter i = j pela escolha dos elementos gi. Mas agora temos gih1 = gih2, logo multiplicando porg1i a` esquerda conclumos que h1 = h2 tambem.

Exemplo 5.7 Seja G um grupo com |G| = pn para algum primo p e n > 0. Vamos mostrar que existeum elemento z G diferente de e tal que zg = gz para todo g G.

Seja Z G o subgrupo formado pelos elementos z G que comutam com todos os elementos de G. Estesubgrupo e chamado de centro de G; nossa missao e mostrar que |Z| > 1. Defina a acao GG G via

g xdef= gxg1 para todo g G e todo x G. Note que z Z Stab(z) = G Orb(z) = {z}.

Como o espaco G e particionado em orbitas, temos pelo teorema anterior que

|G| = |Z|+i

|G|

| Stab(xi)|

onde xi G percorre representantes de orbitas distintas de tamanho maior do que 1. Mas como |G| = pn,cada termo no somatorio e divisvel por p, bem como |G|, logo p divide |Z| 1, mostrando que |Z| > 1.

6 Lema de Burnside

Definicao 6.1 Seja G X X uma acao do grupo G sobre conjunto X . Se g G, definimos oconjunto fixo de g como sendo o subconjunto de X dado por

Fix(g)def= {x X | g x = x}

Teorema 6.2 (Lema de Burnside) Seja G um grupo finito e seja GX X uma acao de G sobreo conjunto X. O numero de orbitas desta acao e dado por

1

|G|

gG

|Fix(g)|

Prova Primeiramente observe que

gG

|Fix(g)| =xX

| Stab(x)|

pois ambos os lados contam o numero de pares (g, x) G X tais que g x = x. Assim a expressaoacima e igual a

xX

| Stab(x)|

|G|=xX

1

|Orb(x)|

pelo teorema da orbita-estabilizador. Mas a ultima soma e exatamente o numero de orbitas, ja que cadaum dos |Orb(x)| elementos da orbita de x contribui com 1/|Orb(x)|, logo os elementos desta orbitacontribuem com 1 nesta soma.

8Exemplo 6.3 (Coloracoes) Vamos contar o numero de maneiras de colorirmos os vertices de umquadrado com 3 cores se duas pinturas sao equivalentes se uma pode ser levada na outra por umasimetria do quadrado. Na linguagem acima, devemos portanto calcular o numero de orbitas na acao deD4 sobre o espaco X de coloracoes dos vertices do quadrado com 3 cores.

Temos que calcular |Fix(g)| para g D4. Temos alguns casos a considerar:

1. g = e: neste caso, todas as coloracoes sao fixas, logo |Fix(g)| = 34;

2. g = , 3: aqui, somente as pinturas com uma unica cor sao fixas, logo |Fix(g)| = 3 para cadaum destes casos;

3. g = 2: vertices diagonalmente opostos devem ter mesma cor, logo |Fix(g)| = 32;

4. g = , 2: dois vertices de um mesmo lado do eixo de reflexao podem ser pintados arbitraria-mente, a pintura dos demais e determinada, logo |Fix(g)| = 32;

5. g = , 3: tres vertices podem ser pintados arbitrariamente, a pintura do remanescente edeterminada, logo |Fix(g)| = 33.

Desta forma, temos que o numero total de orbitas e

34 + 2 3 + 32 + 2 32 + 2 33

8= 21