Grupos de extensões para certas categorias de...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DECAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica

GILMAR DE SOUSA FERREIRA

Grupos de extensões para certas categorias derepresentações graduadas de uma álgebra de

Lie graduada

Campinas2019

Gilmar de Sousa Ferreira

Grupos de extensões para certas categorias derepresentações graduadas de uma álgebra de Lie

graduada

Tese apresentada ao Instituto de Matemática,Estatística e Computação Científica da Uni-versidade Estadual de Campinas como partedos requisitos exigidos para a obtenção dotítulo de Doutor em Matemática.

Orientador: Adriano Adrega de Moura

Este exemplar corresponde à versãofinal da Tese defendida pelo aluno Gil-mar de Sousa Ferreira e orientada peloProf. Dr. Adriano Adrega de Moura.

Campinas2019

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaAna Regina Machado - CRB 8/5467

Ferreira, Gilmar de Sousa, 1984- F413g FerGrupos de extensões para certas categorias de representações graduadas

de uma álgebra de Lie graduada / Gilmar de Sousa Ferreira. – Campinas, SP :[s.n.], 2019.

FerOrientador: Adriano Adrega de Moura. FerTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

Fer1. Lie, Álgebra de. 2. Cohomologia (Matemática). 3. Extensões de grupos

(Matemática). 4. Sequências espectrais (Matemática). I. Moura, AdrianoAdrega de, 1975-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto deMatemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Extension groups for certain categories of graded representationsfor a graded Lie algebraPalavras-chave em inglês:Lie algebrasCohomologyGroup extensions (Mathematics)Spectral sequences (Mathematics)Área de concentração: MatemáticaTitulação: Doutor em MatemáticaBanca examinadora:Adriano Adrega de Moura [Orientador]Marcos Benevenuto JardimKostiantyn IusenkoVyacheslav FutornyLucio CentroneData de defesa: 06-11-2019Programa de Pós-Graduação: Matemática

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-1497-2164- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/3262981472033415

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Tese de Doutorado defendida em 06 de novembro de 2019 e aprovada

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). ADRIANO ADREGA DE MOURA

Prof(a). Dr(a). MARCOS BENEVENUTO JARDIM

Prof(a). Dr(a). KOSTIANTYN IUSENKO

Prof(a). Dr(a). VYACHESLAV FUTORNY

Prof(a). Dr(a). LUCIO CENTRONE

A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no

SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

Agradecimentos

Agradeço aos familiares e amigos que estiveram presentes nesse período, emparticular a minha esposa Aline, meus filhos Gabriel e Analu, e ao meu orientador Adriano.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamentode Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001 e tambémcom apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - Código deFinanciamento 140676/2014-7.

ResumoDada uma álgebra de Lie graduada pelos inteiros não negativos com partes graduadasde dimensões finitas, estudamos aspectos cohomológicos da subcategoria plena de suasrepresentações graduadas, com partes graduadas de dimensões finitas. Em particular,obtemos uma versão da Sequência Espectral de Lyndon-Hochschild-Serre nesta categoria ealguns resultados parciais sobre o cálculo dos grupos de extensões entre os objetos simplesda mesma. No caso de uma álgebra de correntes truncada sobre sl2, com grau máximomenor ou igual a 3, descrevemos completamente todos os grupos de extensões entre taisobjetos.

AbstractGiven a graded Lie algebra over the nonnegative integers with finite-dimensional gradedpieces, we study cohomological aspects of the full subcategory of its graded representationswith finite-dimensional graded pieces. In particular, we obtain a version of the Lyndon-Hochschild-Serre Spectral Sequence in this category as well as partial results concerningthe computation of the extension groups between its simple objects. In the case of atruncated current algebra over sl2, with maximal degree at most 3, we completely describeall extension groups between such objects.

Lista de símbolos

F Corpo algebricamente fechado de característica 0

A subcategoria abeliana da categoria dos espaços vetoriais

F funtor aditivo

Hl“ pHn

qnPZ objeto graduado de A

GradpAq categoria dos objetos graduados e morfismos de grau 0

CocomppAq categoria dos cocomplexos em A

Hn n-ésimo funtor de cohomologia

RnF n-ésimo funtor derivado à direita de F

Ml,l“ pMp,q

qpp,qqPZˆZ objeto bi-graduado

pEl,lr , dl,l

r qrě1 sequência espectral

κ˚ funtor pull-back por κ

Pκ funtor adjunto à esquerda do funtor pull-back por κ

l álgebra de Lie

Modl categoria dos l-módulos

Fplq categoria dos l-módulos de dimensão finita

Uplq álgebra envelopante de l

Z nl funtor dos n-invariantes em Modl

G nl funtor dos n-invariantes em Modln

Gpaq subcategoria plena dos a-módulos Z-graduados com partes graduadasde dimensão finita

Dκ funtor adjunto à direita do funtor pull-back por κ

Da funtor dual graduado

Grpaq subcategoria plena de Gpaq com objetos concentrados em grau r

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 COHOMOLOGIA, SEQUÊNCIAS ESPECTRAIS E FUNTORES AD-JUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1 Cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Sequências Espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Sequência Espectral de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4 Funtores Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 ÁLGEBRAS DE LIE E ÁLGEBRAS DE LIE GRADUADAS . . . . . 392.1 Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Álgebras Envelopantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Álgebras Graduadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.1 Restrição de Objetos Projetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.2 Pull-back, Dualidade e Translação de Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.3 Módulos Truncados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.4 Invariantes e Dualidade para Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . 53

3 RESOLUÇÕES PROJETIVAS E INJETIVAS . . . . . . . . . . . . . 543.1 Objetos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 Adjunções e equivalências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Apresentações Projetivas e Injetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Resolução de Chevalley-Eilenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 GRUPOS DE EXTENSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1 Redução ao Caso de Extensões da Representação Trivial . . . . . . . 634.2 Uma Sequência de Lyndon–Hochschild–Serre . . . . . . . . . . . . . 684.3 Aplicações a Álgebras Truncadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10

Introdução

O interesse pelo estudo de representações graduadas de álgebras de Lie temcrescido bastante nos últimos anos. Uma das motivações para tal interesse é o relaciona-mento de tais categorias com aquela das representações de dimensão finita das álgebras deKac-Moody afim quantizadas. Embora nossa motivação para estudarmos tais categoriasnessa tese seja exatamente este relacionamento, em particular na direção de se entender aestrutura das chamadas afinizações minimias de grupos quânticos, é importante mencionarque o estudo das mesmas tem ido muito além das motivações originais, tendo se tornadouma área de pesquisa interessante por si só.

Sejam g uma álgebra de Lie simples de dimensão finita sobre um corpo al-gebricamente fechado de característica zero F, g “ g b Frt, t´1

s sua álgebra de laços egrts “ gb Frts sua álgebra de correntes. Após os artigos [Cha01,CM06,CM07], ficou claroque boa parte do estudo da estrutura dos módulos de Kirillov-Reshetikhin (as afinizaçõesminimais correspondentes às representações com peso máximo múltiplo de um peso funda-mental) podia ser feita trabalhando-se com certas representações graduadas para grts. Issomotivou o artigo [CG07] onde foi mostrado que a categoria dos módulos graduados paragrts com partes graduadas de dimensão finita tem várias propriedades interessantes. Emparticular, ela é uma categoria de peso máximo no sentido de Cline-Parshall-Scott.

Mais adiante foi explorado o fato que os limites clássicos de boa parte dosmódulos de Kirillov-Reshetikhin (todos se g é de tipo clássico) fatoram a módulos paraa álgebra quociente de grts pelo ideal gb t2Frts. É fácil ver que essa álgebra é isomorfaao produto semidireto g˙ gad sendo gad a representação adjunta de g vista como álgebrade Lie com a estrutura trivial. Isso motivou o estudo mais sistemático de representaçõesgraduadas para esta álgebra [CG09]. Em particular, foi mostrado que certas subcategoriassão equivalentes a categorias de módulos para certas álgebras de Koszul. Os limites clássicosdos módulos de Kirillov-Reshetikhin que fatoram a representações de g˙ gad, pertencem atais subcategorias. De fato, várias afinizações minimias mais gerais que módulos de Kirillov-Reshetikhin também têm limites clássicos em tais subcategorias [CG11,Mou10,MP11] e sãoobjetos projetivos nelas. Embora não trataremos deste assunto aqui, deixando para explorareste aspecto num futuro próximo, é interessante observar que as mesmas propriedadeshomológicas dessas subcategorias que garantem sua Koszulidade foram usadas em [CG11]para obter uma fórmula para os caráteres graduados das coberturas projetivas de seusobjetos simples e, em particular, para tais afinizações minimais. Estas fórmulas são defato recursivas, expressando o caráter graduado de um certo objeto projetivo coma somaalternada dos caráteres de outros objetos projetivos cujos pesos máximos são menores.Para um dado objeto projetivo P com quociente simples V , o coeficiente multiplicando a

Introdução 11

parcela desta soma referente ao projetivo P 1 é

p´1qr dim ExtnpV, V 1q

sendo V 1 o quociente simples de P 1, r o grau no qual V 1 está concentrado e n “ r ´ s,sendo s o grau no qual V está concentrado. Desta forma, o cálculo dos grupos de extensõesentre objetos graduados simples para g˙ gad desempenha papel crucial nesta fórmula.

Porém, nem toda afinização minimal tem limite clássico que se fatora a ummódulo para grtsg b t2Frts se g for de tipo excepcional ou Dn. Por exemplo, se g é detipo G2, precisamos considerar grts “ gb t3Frts. Nestes casos, provavelmente não temosKoszulidade, mas talvez tenhamos propriedades “próximas” de Koszulidade de modo queconsigamos estudar os caráteres dos limites clássicos de afinizações minimais de maneirasemelhante. Este trabalho é dedicado a dar um primeiro passo nessa direção, aprofundandoo estudo dos aspectos cohomológicos de tais categorias, em especial relacionado ao cálculodos grupos de extensões entre objetos simples. É interessante ressaltar que

Ext1pV, V 1q

para quaisquer dois módulos simples de dimensão finita (não necessariamente graduados)para álgebras do tipo gb A, sendo A uma F-álgebra associativa com unidade, foi descritoem completa generalidade em [K10]. Tal resultado foi estendido para álgebra de funçõesequivariantes em [NS15]. Porém, pouca informação existe para os grupos de extensões deordem superior [BDMN15,FM94].

Uma das principais técnicas para este tipo de estudo é a utilização das sequên-cias espectrais. Sequências espectrais, em particular a Sequência Espectral de Lyndon–Hochschild–Serre, aparecem no estudo de álgebras de Lie desde meados do século 20,como pode ser visto em [HS53]. Esta foi a técnica utilizada em [BDMN15,NS15] acimamencionados. A mesma técnica também foi usada em [BDMN15] para provar outros resul-tados, em particular, uma conjectura antiga de Feigin sobre a finitude da dimensão dosgrupos de cohomologia Hn

pgrts,Fq. Trocando-se grts por grtsgb trFrts, tal finitude seguede uma das chamadas conjecturas fortes de Macdonald, demonstrada em [FGT08]. Partesubstancial do presente trabalho é dedicada a obter uma versão da Sequência Espectral deLyndon–Hochschild–Serre adaptada à categoria de representações que é o foco de nossosestudos.

Passamos à descrição da organização do trabalho e seus principais resultados.Os dois primeiros capítulos contém os pré-requisitos para o trabalho. No primeiro capítulofazemos uma recordação sobre cohomologia, sequências espectrais e funtores adjuntos.Sequências espectrais são apresentadas a partir de um par exato, mas essa não é a únicaforma de definição que pode ser feita, de fato, uma abordagem alternativa pode ser vistamais explicitamente em [CE56]. No segundo capítulo introduzimos a terminologia básica

Introdução 12

sobre álgebras de Lie graduadas e suas representações e revisamos alguns resultados quenos serão relevantes.

No terceiro capítulo introduzimos a categoria de interesse do nosso estudo, acategoria plena das representações graduadas onde cada parte graduada possui dimensãofinita. A denotamos por G . Os objetos simples de G são todos concentrados em algum grau.Passamos então ao estudo de vários funtores nesta categoria e à descrição de apresentaçõesprojetivas e injetivas. O principal resultado do capítulo nos mostra que, sob certas condições,a Resolução de Chevally-Eilenberg é ainda uma resolução projetiva da representação trivialem G .

Os resultados principais do trabalho se encontram no quarto capítulo. Asprimeiras duas seções são dedicadas a obter uma variação da Sequência Espectral deLyndon–Hochschild–Serre que faça sentido em G , culminando no Teorema 4.2.6. Na últimaseção, aplicamos este teorema, assim como alguns resultados da Seção 4.1, ao caso deálgebras de Lie graduadas truncadas, isto é, com um número finito de partes gradudasnão nulas. O objetivo é descrever os grupos de extensões entre os objetos simples de G ou,mais geralmente, ExtnpF,Mq sendo F a representação trivial e M um módulo concentradoem algum grau. Em particular, o Teorema 4.3.1 é uma versão mais precisa do Teorema4.2.6 neste contexto e, a princípio, fornece um procedimento recursivo para calculargrupos de extensões para álgebras truncadas em grau k ` 1 a partir do conhecimento dosmesmos para álgebras truncadas em grau k. Infelizmente, a teoria desenvolvida ainda nãoé suficientemente forte para nos permitir fazer o cálculo de extensões de maneira geral.Todavia, no caso especial da álgebra de Lie ser da forma

sl2 b FrtstkFrts,

conseguimos usar nossos resultados para calcular todos os grupos de extensões entreobjetos simples para os casos k ď 4: Teoremas 4.3.8 e 4.3.10. Alguns resultados parciaispara álgebras mais gerais também foram obtidos nesta direção.

13

1 Cohomologia, Sequências Espectrais e Fun-tores Adjuntos

Este capítulo tem como objetivo principal relembrar e fixar notação sobrecohomologia e sequências espectrais, em particular a de Grothendieck, que serão usadasno Capítulo 4 da tese. Como se trata de um material bem conhecido, omitiremos asdemonstrações, que podem ser encontradas por exemplo em [HS70,Rot08].

Ao longo do capítulo, A, B e C denotarão subcategorias abelianas da categoriados espaços vetoriais sobre um corpo F, isto é, cada objeto será um espaço vetorial e cadamorfismo será uma transformação linear. Também, todo funtor F : A Ñ B será aditivoe, para cada morfimo A Ñ B em A, imagem deste morfismo por F será denotado porF pAÑ Bq ou F pAq Ñ F pBq (F pBq Ñ F pAq, no caso em que F seja contravariante).

Lembramos que um subobjeto de A P A é um objeto B P A tal que existe ummonomorfismo B Ñ A em A. Uma sequência

¨ ¨ ¨ Ñ An´1ϕn´1ÝÑ An

ϕnÝÑ An`1 Ñ ¨ ¨ ¨

em A é dita uma sequência exata em An se a imagem de ϕn´1 é o núcleo de ϕn. A sequênciaacima é dita uma sequência exata se é exata em cada An para n P Z. Uma sequência exata

0 Ñ AÑ B Ñ C Ñ 0

em A é dita uma sequência exata curta. Uma análise de um morfismo ϕ : AÑ B em A éuma fatoração

ϕ : A εÑ C

µÑ B

em A onde ε é um epimorfismo e µ é um monomorfismo. Necessariamente, as sequências

0 Ñ kerpϕq Ñ AεÑ C Ñ 0 e 0 Ñ C

µÑ B Ñ B Impϕq Ñ 0

em A são exatas curtas e C – Impϕq.

1.1 CohomologiaUm objeto graduado de A, ou simplesmente um objeto graduado, quando não há

perigo de confusão, é uma família pHnqnPZ

1, indexada em Z, de objetos de A. É frequentedenotar um objeto graduado de A por Hl. Diz-se que um objeto graduado Hl de A é não1 O índice pode ser subscrito ao invés de sobrescrito. No texto, utilizaremos o índice sobrescrito para

falar de cohomologias e subscrito para falar de homologias

Capítulo 1. Cohomologia, Sequências Espectrais e Funtores Adjuntos 14

negativo se Hn“ 0 para todo n ă 0. Dados Hl e Jl dois objetos graduados de A e a P Z,

um morfismo graduado de grau a é uma família pϕn : HnÑ Jn`aq em A. É frequente

denotar um morfismo graduado por ϕl. A categoria cujo objetos são os objetos graduadosde A e os morfismos são os morfismos graduados de grau 0, denotada por GradpAq é umacategoria abeliana.

Um cocomplexo em A, ou simplesmente um cocomplexo, quando não há perigode confusão, é um par ordenado pCl, Bl

q, onde Cl é um objeto graduado de A e Bl :Cl

Ñ Cl é um morfismo graduado de grau 1 satisfazendo BnBn´1“ 0 para todo n P Z.

Dado um cocomplexo pCl, Blq sobre A, o morfismo Bl é chamado de diferencial e Bn

é chamada de n-ésima diferencial para todo n P Z. Dados dois cocomplexos pCl, Blq e

pDl, δlq sobre A, um morfismo de cocomplexos ϕl : pCl, Bl

q Ñ pDl, δlq é um morfismo

graduado ϕl : ClÑ Dl de grau 0 satisfazendo δnϕn “ ϕn`1

Bn para todo n P Z. A

categoria onde os objetos são os cocomplexos em A e os morfismos são os morfismos decocomplexos, denotado por CocomppAq, é uma categoria abeliana. Um cocomplexo podeser “visualizado” através de uma sequência

pCl, Blq : ¨ ¨ ¨ Ñ Cn´1 Bn´1

Ñ Cn Bn

Ñ Cn`1Ñ ¨ ¨ ¨ , (1.1)

chamada de cadeia cocomplexa em A. Dados uma cadeia cocomplexa pCl, Blq em A e um

funtor F : A Ñ B, defini-se a um funtor CocomppAq Ñ CocomppBq, também denotadopor F , que transforma a cadeia cocomplexa (1.1) na cadeia cocomplexa

`

F pClq,F pBl

q˘

: ¨ ¨ ¨ Ñ F pCn´1q

F pBn´1qÑ F pCn

qF pBnqÑ F pCn`1

q Ñ ¨ ¨ ¨

sobre B.

Dado um cocomplexo pCl, Blq em A, como BnBn´1

“ 0, temos que ImpBn´1q Ď

KerpBnq Ď Cn. Defini-se o n-ésimo grupo de cohomologia de Cl por

H npCl, Bl

q “ KerpBnq ImpBn´1q.

Dados um outro cocomplexo pDl, δlq sobre A e um morfismo de cocomplexos ϕl :

pCl, Blq Ñ pDl, δl

q, pela propriedade do núcleo, o diagrama abaixo

KerpBnq //

Cn

ϕn

Bn // Cn`1

ϕn`1

Kerpδnq // Dn δn // Dn`1

em A pode ser completado de tal forma que seja comutativo. Pela propriedade de conúcleo,existe um único morfismo

H npϕl

q : H npCl, Bl

q Ñ H npDl, δl

q


tal que o diagrama abaixo

Cn´1 //

ϕn´1

KerpBnq

//H npClq

H npϕlq

// 0

Dn´1 // Kerpδnq //H npDlq // 0

em A é comutativo. Esta definição dá origem a funtor aditivo

H n : CocomppAq Ñ A

denominado n-ésimo funtor de cohomologia.

Proposição 1.1.1. Para cada sequência exata curta

0 Ñ pCl1 , B

l1 q

ϕl1Ñ pCl

2 , Bl2 q

ϕl2Ñ pCl

3 , Bl3 q Ñ 0,

em CocomppAq, existe uma sequência exata longa

¨ ¨ ¨ Ñ H npCl

1 , Bl1 q

H npϕl1 q

ÝÑ H npCl

2 , Bl2 q

H npϕl2 q

ÝÑ H npCl

3 , Bl3 q ÝÑ H n`1

pCl1 , B

l1 q Ñ ¨ ¨ ¨ .

(1.2)em A natural no sentido que, se

0 // pCl1 , B

l1 q

ϕl1 //

χl1

pCl2 , B

l2 q

ϕl2 //

χl2

pCl3 , B

l3 q

//

χl3

0

0 // pDl1 , δ

l1 q

ψl1 // pDl

2 , δl2 q

ψl2 // pDl

3 , δl3 q

// 0

é uma diagrama comutativo com linhas exatas em CocomppAq, o diagrama

H npCl

2 , Bl2 q

H npϕl2 q//

H npχl2 q

H npCl

3 , Bl3 q

//

H npχl3 q

H n`1pCl

1 , Bl1 q

H n`1pχl1 q

H n`1pϕl1 q//H n`1

pCl2 , B

l2 q

H n`1pχl2 q

H npDl

2 , δl2 q

H npψl2 q//H n

pDl3 , δ

l3 q

//H n`1pDl

1 , δl1 q

H n`1pψl1 q//H n`1

pDl2 , δ

l2 q

é comutativo com linhas exatas em A.

Os morfismos H npCl

3 , Bl3 q ÝÑ H n`1

pCl1 , B

l1 q que aparecem em (1.2) denominam-

se morfismos de conexão.

Um objeto I P A é dito injetivo em A se, para cada monomorfismo µ : AÑ B

e para cada morfismo ϕ : AÑ I, existe um morfismo ψ : B Ñ I tal que o diagrama abaixo

I

A // µ//

ϕ

OO

B

ψ__

é comutativo em A. Dado A P A, um cocomplexo pIl, Blq não negativo em A é dito uma

corresolução de A em A se:


(i) H npIlq “ 0 para todo n ą 0, isto é, o cocomplexo é acíclico;

(ii) KerpB0q – A.

Note que um cocomplexo pIl, Blq não negativo em A é uma corresolução de A em A se, e

somente se, a sequência0 Ñ AÑ I0 B0

Ñ I1 B1Ñ I2

Ñ ¨ ¨ ¨

é uma sequência exata em A. Uma corresolução pIl, Blq de A em A é dita uma corresolução

injetiva de A em A se In é um objeto injetivo em A para todo n ě 0.

Dados dois cocomplexos pCl, Blq e pDl, δl

q sobre A e um par de morfismosde cocomplexos

ϕl, ψl : pCl, Blq Ñ pDl, δl

q,

um morfismo graduado τl : ClÑ Dl de grau ´1 é uma cohomotopia entre ϕl e ψl,

denotado por τl : ϕl– ψl, se

ϕn ´ ψn “ δn´1τn ` τn`1Bn para todo n P Z.

Os dois fatos essenciais sobre cohomotopias são dados pela proposição abaixo.

Proposição 1.1.2. Sejam pCl, Blq e pDl, δl

q dois cocomplexos sobre A,

ϕl, ψl : pCl, Blq Ñ pDl, δl

q

dois morfismos de cocomplexos e τl : ϕl– ψl uma cohomotopia entre ϕl e ψl. Então

H npϕl

q “ H npψl

q : H npCl, Bl

q Ñ H npDl, δl

q.

Além disso, para cada funtor aditivo F : A Ñ B, F pτlq : F pCl

q Ñ F pDlq é uma

cohomotopia entre F pϕlq e F pψl

q.

O próximo teorema, conhecido como Teorema da Comparação, tem papelfundamental no Capítulo 4.

Teorema 1.1.3. Sejam A,B P A, pCl, Blq uma corresolução de A em A e pIl, δl

q umacorresolução injetiva de B em A. Então, para cada morfismo ϕ : A Ñ B, a menos decohomotopia, existe um único morfismo de cocomplexos ψl : pCl, Bl

q Ñ pIl, δlq tal que

o diagrama0 // A //

ϕ

C0

ψ0

B0// C1

ψ1

B1// C2

ψ2

//

0 // B // I0 δ0// I1 δ1

// I2 //

é comutativo com linhas exatas em A.


Um morfismo de cocomplexos ψl : pCl, Blq Ñ pIl, δl

q que faz o diagramaacima ser comutativo é denominado uma extensão de ϕ : AÑ B.

Um complexo em A, ou simplesmente um complexo, quando não há perigo deconfusão, é um par ordenado pCl, Blq, onde Cl é um objeto graduado de A e Bl : Cl Ñ Cl

é um morfismo graduado de grau ´1 satisfazendo BnBn`1 “ 0 para todo n P Z. Fazendo

Dn“ C´n e δn “ B´n para todo n P Z

tem-se que pDl, δlq é um cocomplexo sobre A. Defini-se, dualmente, o conceito demorfismo

de complexos, o conceito de cadeia complexa, o conceito de n-ésimo grupo do homologia, oconceito de n-ésimo funtor de homologia, o conceito de resolução projetiva e o conceito dehomotopia. Existem também duas proposições e um teorema análogos às duas proposiçõese ao teorema acima.

Dize-se que uma categoria abeliana A possui suficientes injetivos se cadaobjeto possui uma corresolução injetiva em A. Suponha que A possua suficientes injetivose, para cada objeto A P A, fixe uma corresolução injetiva pIl

A , BlAq. Para cada funtor

aditivo F : A Ñ B e cada inteiro não negativo n, o n-ésimo funtor derivado à direitade F calculado em A, denotado por RnF pAq, é o n-ésimo grupo de cohomologia de`

F pIlA q,F pB

lAq˘

. Lembramos que a associação AÑ RnF pAq não depende da particularescolha da corresolução injetiva pIl

A , BlAq. Se B P A é um outro objeto e ϕ : A Ñ B

é um morfismo, define-se RnF pϕq : RnF pAq Ñ RnF pBq como sendo H npψl

q, ondeψl : pIl

A , BlAq Ñ pIl

B , BlBq é uma extensão ϕ dada pelo Teorema da Comparação (Teorema

1.1.3).

Vamos enumerar algumas propriedades dos funtores derivados à direita:

1. Os funtores derivados à direita RnF são aditivos para todo n ě 0 e RnF pAq “ 0para todo n ă 0 e para cada objeto A P A;

2. Quando F é exato à esquerda, existe uma equivalência natural entre R0F e F ;

3. Para cada objeto injetivo I P A,

RnF pIq “ 0, para todo n ą 0; (1.3)

4. Para cada sequência exata curta

0 Ñ AÑ B Ñ C Ñ 0

em A existe uma sequência exata longa

R0F pAq Ñ R0F pBq Ñ R0F pCq Ñ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ Ñ RnF pAq Ñ RnF pBq Ñ RnF pCq Ñ Rn`1F pAq Ñ ¨ ¨ ¨ ,


em A, tal que R0F pAq Ñ R0F pBq é um monomorfismo quando F é exato àesquerda.

Se A é uma categoria com suficientes injetivos, dados dois objetos A,B P A,defini-se o n-ésimo grupo de extensões de A por B, denotado por ExtnApA,Bq, como sendoRn HomApA,´qpBq. Mais precisamente, dada uma corresolução injetiva pIl

B , BlBq de B,

ExtnApA,Bq é o n-ésimo grupo de cohomologia da cadeia cocomplexa

0 Ñ HomApA, I0Bq Ñ HomApA, I

1Bq Ñ HomApA, I

2Bq Ñ ¨ ¨ ¨ .

Diz-se que uma categoria abeliana A possui suficientes projetivos se cada objetopossui uma resolução projetiva. Dados dois objetos numa categoria A que possua suficientesinjetivos e projetivos, para cada resolução projetiva pPl, Blq de A, o n-ésimo grupo decohomologia de

0 Ñ HomApP0, Bq Ñ HomApP1, Bq Ñ HomApP2, Bq Ñ ¨ ¨ ¨

coincide com ExtnApA,Bq.

1.2 Sequências EspectraisUm objeto bi-graduado de A, ou simplesmente um objeto bi-graduado, quando

não há perigo de confusão, é uma família pMp,qqpp,qqPZˆZ, indexada em Zˆ Z, de objetos

de A. É frequente denotar um objeto bi-graduado de A por Ml,l. Diz-se que um objetobi-graduado Ml,l de A é do tipo primeiro quadrante quando Mp,q

“ 0 se p ă 0 ouq ă 0. Dados Ml,l e Nl,l dois objetos bi-graduados de A e pa, bq P Zˆ Z, um morfismobi-graduado de bi-grau pa, bq é uma família pϕp,q : Mp,q

Ñ Np`a,q`bq em A. É frequente

denotar um morfismo bi-graduado por ϕl,l. A categoria cujo objetos são os objetosbi-graduados de A e os morfismos são os morfismos bi-graduados de bi-grau p0, 0q é umacategoria abeliana.

Uma cofiltração de um objeto graduadoMlP GradpAq é uma família pFl

p qpPZ,indexada em Z, de objetos de A tal que

F np`1 Ď F n

p ĎMn para todo pn, pq P Zˆ Z.

Uma cofiltração pFlp qpPZ de Ml é dita uma cofiltração do tipo finito se, para cada n P Z,

existem ps, tq P Zˆ Z, com s ď t, satisfazendo

0 “ F nt Ď F n

t´1 Ď ¨ ¨ ¨ Ď F ns`1 Ď F n

s “Mn.


Uma cofiltração de um cocomplexo pCl, Blq é uma família pFl

p , Blp qpPZ, indexada em Z,

de objetos de A tal que pFlp qpPZ é uma cofiltração de Cl e o diagrama

// Cn´1 Bn´1// Cn Bn // Cn`1 //

// F n´1p

Bn´1p

//

OO

F np

Bnp//

OO

F n`1p

//

OO

// F n´1p`1

Bn´1p`1//

OO

F np`1

Bnp`1//

OO

F n`1p`1

//

OO

é comutativo, onde as setas verticais são as inclusões. Como BnpF np q “ ImpBnp q para todo

pn, pq P Zˆ Z, alternativamente, pode-se definir uma cofiltração de pCl, Blq como sendo

uma cofiltração pFlp qpPZ de Cl tal que

BnpF n

p q Ď F n`1p Ď Cn`1 para todo pn, pq P Zˆ Z.

Uma cofiltração pFlp , B

lp qpPZ de um cocomplexo pCl, Bl

q em A induz uma cofiltraçãopΦl

p qpPZ do objeto graduado`

H npCl, Bl

q˘

nPZ em A definindo

Φnp “ Im

´

H n`

pFlp , B

lp q Ñ pCl, Bl

q˘

¯

. (1.4)

A verificação que a definição acima é uma cofiltração vem da observação do diagramacomutativo abaixo

H npFl

p`1, Blp`1q

//

%% %%

H npFl

p , Blp q

//

%% %%

H npCl, Blq

rΦ

$$ $$

::

::

Φnp

99

99

Φnp`1

99

99

em A, onde

H npFl

p`1, Blp`1q Ñ

rΦ Ñ H npFl

p , Blp q e H n

pFlp , B

lp q Ñ Φn

p Ñ H npCl, Bl

q

são análises de H npFl

p`1, Blp`1q Ñ H n

pFlp , B

lp q e H n

pFlp , B

lp q Ñ H n

pCl, Blq respecti-

vamente erΦ Ñ Φn

p`1 Ñ Φnp

é uma análise de rΦ Ñ Φnp . Caso F n

t “ 0 e F ns “ Cn, para alguns n, s, t P Z, então

H npFl

t , Blt q “ 0, F n

s Ñ Cn“ 1Cn e

Φnt “ Im

`

H npFl

t , Blt q Ñ H n

pCl, Blq˘

“ 0

eΦns “ Im

´

H n`

pF ns , B

ls q Ñ pCn, Bl

q˘

¯

“ H npCl

q.


Ou seja, caso a cofiltração pFlp , B

lp qpPZ seja do tipo finito, então a cofiltração pΦl

p qpPZ é dotipo finito.

Sejam pCl, Blq um cocomplexo em A e µl : pDl, δl

q Ñ pCl, Blq um mono-

morfismo. Para cada n P Z, tem-se um diagrama em A

0 // Dn µn//

δn

Cn //

Bn

CnDn //

Ωn

0

0 // Dn`1 µn`1// Cn`1 // Cn`1Dn`1 // 0

que é comutativo no lado esquerdo e pode ser completado no lado direito, pela propriedadede conúcleo, de tal que maneira que seja comutativo. Defini-se assim um cocomplexopCl

Dl,Ωlq que é o quociente de pCl, Bl

q por pDl, δlq.

Fixe um cocomplexo pCl, Blq e uma cofiltração pFl

p , Blp qpPZ de pCl, Bl

q emA. Para cada p P Z, tem-se uma sequência exata curta

0 Ñ pFlp`1, B

lp`1q

ilp`1Ñ pFl

p , Blp q

πlpÑ pFl

p Flp`1,Ωl

p q Ñ 0, (1.5)

em CocomppAq e, consequentemente, uma sequência exata longa (Proposição 1.1.1)

¨ ¨ ¨ Ñ H npFl

p`1, Blp`1q Ñ H n

pFlp , B

lp q Ñ H n

pFlp F

lp`1,Ωl

p q

Ñ H n`1pFl

p`1, Blp`1q Ñ ¨ ¨ ¨ .

Para cada par de inteiros pp, qq P Zˆ Z, introduzindo-se as notações

Dp,q1 “ H p`q

pFlp , B

lp q e Ep,q

1 “ H p`qpFl

p Flp`1,Ωl

p q (1.6)

para os pp` qq-ésimos grupos de cohomologias de pFlp , B

lp q e pFl

p Flp`1,Ωl

p q,

αp,q1 “ H p`qpilp q : Dp,q

1 Ñ Dp´1,q`11 e βp,q1 “ H p`q

pπpq : Dp,q1 Ñ Ep,q

1

para os morfismos induzidos por ilp e πlp , e

γp,q1 : Ep,q1 Ñ Dp`1,q

1

para o morfismo de conexão, a sequência exata longa acima pode ser re-escrita como

¨ ¨ ¨ Ñ Dp`1,q´11

α1ÝÑ

p´1,1q

Dp,q1

β1ÝÑ

p0,0q

Ep,q1

γ1ÝÑ

p1,0q

Dp`1,q1 Ñ ¨ ¨ ¨ , (1.7)

onde os subíndices nas setas acima indicam o bi-grau do morfismo correspondente.

Um par exato em A é uma quíntupla

pDl,l, El,l, αl,l, βl,l, γl,lq,


onde Dl,l e El,l, são objetos bi-graduados de A e αl,l : Dl,lÑ Dl,l, βl,l : Dl,l

Ñ

El,l e γl,l : El,lÑ Dl,l são morfismos bi-graduados de bi-graus pa, bq, pc, dq e pe, fq,

respectivamente,Dl,l αl,l

// Dl,l

βl,l

El,l

γl,l

\\

(1.8)

tal que para cada pp, qq P Zˆ Z, a sequência

¨ ¨ ¨ Ñ Dpćá,q´d´b αÝÑ

pa,bq

Dpć,q´d βÝÑ

pc,dq

Ep,q γÝÑ

pe,fq

Dpè,q`fÑ ¨ ¨ ¨ ,

é exata em A. O morfismo bi-graduado dl,l : El,lÑ El,l de grau pc` e, d` fq definido

pordp,q “ βp`c,q`dγp,q : Ep,q

Ñ Ep`cè,q`d`f

é denominado diferencial do par exato. Denote a imagem de dp,q por Bp`cè,q`d`f e seunúcleo por Zp,q.

Cada cofiltração pFlp , B

lp qpPZ de um cocomplexo pCl

p , Blp q sobre A dá origem,

por (1.7), a um par exato. Aplicando a Proposição 1.1.1 no diagrama comutativo

0 // pFlp`1, B

lp`1q

//

πlp`1

pFlp , B

lp q

//

pFlp F

lp`1,Ωl

p q// 0

0 // pFlp`1F

lp`2,Ωl

p`1q// pFl

p Flp`2,Ωlq // pFl

p Flp`1,Ωl

p q// 0

em CocomppAq com linhas exatas, obtemos o diagrama comutativo

Ep,q1

γp,q1 // Dp`1,q1

βp`1,q1

Ep,q1

// Ep`1,q1

em A, mostrando que o morfismo de conexão Ep,q1 Ñ Ep`1,q

1 é a composta βp`1,q1 γp,q1 , isto

é, a diferencial desse par exato é o morfismo de conexão da sequência exata curta decocomplexos sobre A

0 Ñ pFlp`1F

lp`2,Ωl

p`1q Ñ pFlp F

lp`2,Ωl

q Ñ pFlp F

lp`1,Ωl

p q Ñ 0. (1.9)

Descreveremos agora uma maneira de se obter um novo par exato em A

Dl,l2

αl,l2 // Dl,l

2

βl,l2

El,l2

γl,l2

[[

,


denominado de par exato derivado, a partir de (1.8). Seja

Dp,q εp,qÝÑ Impαp,qq µ

pà,q`b

ÝÑ Dpà,q`b (1.10)

uma análise de αp,q. Defina

Ep,q2 “ Zp,q

Bp,q, Dp,q2 “ Impαpá,q´bq

eαp,q2 “ εp,qµp,q.

Para definir γp,q2 , lembrando que µpè,qè é o núcleo de βpè,q`f , o lado esquerdo dodiagrama abaixo

Zp,q κp,q //

rγp,q

Ep,q

γp,q

Dpè,q`f2

µpè,q`f// Dpè,q`f βpè,q`f

// Dp`cè,q`d`f

pode ser completado de maneira única de tal forma que ele se torna comutativo em A.Considerando agora uma análise

dpćé,q´d´f : Epćé,q´d´fÑ Bp,q

Ñ Ep,q,

como dp,qdpćé,q´d´f “ 0, dpćé,q´d´f pode ser escrito como

Epćé,q´d´f σp,qÑ Bp,q ιp,q

Ñ Zp,q κp,qÑ Ep,q

e, utilizando o fato que γp,qdpćé,q´d´f “ pγp,qβpć,q´dqγpćé,q´d´f “ 0, tem-se que

Epćé,q´d´f σp,qÑ Bp,q ιp,q

Ñ Zp,q rγp,qÝÑ Dpè,q`f

2µpè,q`fÝÑ Dpè,q`f

é o morfimo nulo. Como σp,q é um epimorfismo e µpè,q`f é um monomorfismo, tem-se que

Bp,q ιp,qÑ Zp,q rγp,q

ÝÑ Dpè,q`f2

é o morfismo nulo. Pela propriedade do conúcleo, existe um único morfismo

γp,q2 : Ep,q2 Ñ Dpè,q`f

2 ,

tal que o diagrama abaixo

Zp,q

πp,q

||

rγp,q

$$

Ep,q2 γp,q2

// Dpè,q`f2


é comutativo em A, onde πp,q2 é o conúcleo de ιp,q. Para definir βp,q2 , aplicando o Lema daSerpente (Lema III 5.1 de [HS70]) nas linhas intermediárias do diagrama comutativo emA

Zpáé,q´b´frγpáé,q´b´f

//

κpáé,q´b´f

Dpá,q´b

2αpá,q´b2 //

µpá,q´b

Dp,q2

Epáé,q´b´fγpáé,q´b´f

//

ιpá`c,q´b`dσpá`c,q´b`d

Dpá,q´b εpá,q´b //

βpá,q´b

Dp,q2

0

// 0

0 // Zpá`c,q´b`d κpá`c,q´b`d //

πpá`c,q´b`d

Epá`c,q´b`d dpá`c,q´b`d //

Epá`2cè,q´b`2d`f

Epá`c,q´b`d

2// Impγpá`c,q´b`dq // Epá`2cè,q´b`2d`f

,

(1.11)existe um morfismo

βp,q2 : Dp,q2 Ñ Epá`c,q´b`d

2 ,

tal que a sequência

Zpáé,q´b´f rγÝÑ Dpá,q´b

2α2ÝÑ Dp,q

2β2ÝÑ Epá`c,q´b`d

2 ÝÑ Impγpá`c,q´b`dq (1.12)

é exata em A. Resta verificar apenas que a quíntupla acima é um par exato. Por (1.12), asequência

Zpáé,q´b´f rγÝÑ Dpá,q´b

2α2ÝÑ Dp,q

2

em A é exata. Como rγpáé,q´b´f “ γpáé,q´b´f2 πpáé,q´b´f e πpáé,q´b´f é epimorfismo,tem-se que a sequência

Epáé,q´b´f γ2ÝÑ Dpá,q´b

2α2ÝÑ Dp,q

2

em A é exata. Por (1.11) e pelas definições de rγpá`c,q´b`d e γpá`c,q´b`d2 , o diagrama

Zpá`c,q´b`d κ //

π

rγ

%%

Epá`c,q´b`d

γ

xx

Epá`c,q´b`d2

//

γ2

Impγpá`c,q´b`dq

Dpá`cè,q´b`d`f2

µ// Dpá`cè,q´b`d`f

em A é comutativo. Por (1.12), a sequência

Dp,q2

β2ÝÑ Epá`c,q´b`d

2 ÝÑ Impγpá`c,q´b`dq

em A é exata. Como Impγpá`c,q´b`dq Ñ Dpá`cè,q´b`d`f é um monomorfismo, a sequência

Dp,q2


2 ÝÑ Impγpá`c,q´b`dq Ñ Dpá`cè,q´b`d`f


em A é exata em Epá`c,q´b`d2 . Substituindo

Epá`c,q´b`d2 ÝÑ Impγpá`c,q´b`dq Ñ Dpá`cè,q´b`d`f

porEpá`c,q´b`d

2γ2ÝÑ Dpá`cè,q´b`d`f

2µÝÑ Dpá`cè,q´b`d`f

e pelo fato de µpá`cè,q´b`d`f se monomorfismo, tem-se que a sequência

Dp,q2


2γ2ÝÑ Dpá`cè,q´b`d`f

2

em A é exata. Logo, a sequência

Epáé,q´b´f γ2ÝÑ

pe,fq

Dpá,q´b2

α2ÝÑ

pa,bq

Dp,q2

β2ÝÑ

pcá,d´bq

Epá`c,q´b`d2

γ2ÝÑ

pe,fq

Dpá`cè,q´b`d`f2 (1.13)

em A é exata, mostrando que a quíntupla definida acima é um par exato.

Para cada cofiltração pFlp , B


p , Blp q sobre A defini-

se por indução uma sequência de pares exatos: (1.7) define o primeiro par exato e opr ` 1q-ésimo par exato é o par exato derivado do r-ésimo par exato

Dl,lr

αl,lr // Dl,l

r

βl,lr

El,lr

γl,lr

[[

. (1.14)

O r-ésimo par exato definido nessa sequência é denominado o r-ésimo par derivado de(1.7). O r-ésimo par derivado de (1.7) tem as seguintes propriedades:

1. A sequência longa

Ep´r`1,q`r´2r

γrÝÑ

p1,0q

Dp´r`2,q`r´2r

αrÝÑ

p´1,1q

Dp´r`1,q`r´1r

βrÝÑ

pr´1,1´rq

Ep,qr

γrÝÑ

p1,0q

Dp`1,qr (1.15)

em A é exata;

2.

Dp,qr “ Impαp`1,q´1

1 αp`2,q´21 ¨ ¨ ¨αp`r´2,q´r`2

1 αp`r´1,q´r`11 q

“ Im`

H p`qpilp`1i

lp`2 ¨ ¨ ¨ i

lp`r´2i

lp`r´1q

˘

para todo r ą 1, onde ill é definida em (1.5);

3. O bi-grau da diferencial dl,lr é pr, 1´ rq;

4. Ep,qr “ Kerpdp,qr´1q Impdp´r`1,q`r´2

r´1 q para todos r ą 1 e pp, qq P Zˆ Z.


Tem-se que (1.15) segue iterando (1.13). Daí 3 é consequência imediata desta. A afirmação4 ocorre iterando a construção do par derivado e 2 vem da expansão diagrama

Dp`3,q´3 ε // Dp`2,q´22

µ//

ε2

%% %%

Dp`2,q´2 ε // Dp`1,q´12

µ//

ε2

%% %%

Dp`1,q´1 ε // Dp,q2

µ// Dp,q

Dp`1,q´13

ε3

&& &&

99

µ299

Dp,q3

::

µ2::

Dp,q488

µ388

até o necessário (para calcular Dp,qr a primeira linha deve começar em Dp`r´1,q´r`1 e

terminar em Dp,q), onde εl,l e µl,l são definidos em (1.10) e Dp,qr

εrÑ Dp´1,q`1

r`1µrÑ Dp´1,q`1

r

é uma análise de αp,qr para r ą 1 (o diagrama acima mostra, por exemplo, que Dp`3,q´3 ε3ε2εÝÑ

Dp,q4

µµ2µ3ÝÑ Dp,q é uma análise de α3).

Uma sequência espectral em A é uma família de pares ordenados pEl,lr , dl,l

r qrě1,indexada em nos inteiros positivos, onde El,l

r é um objeto bi-graduado e dl,lr : El,l

r Ñ

El,lr é um morfismo bi-graduado de bi-grau pr, 1´ rq satisfazendo dp,qr dp´r,q`r´1

r “ 0 e

Ep,qr “ Kerpdp,qr´1q Impdp´r`1,q`r´2

r´1 q

para todos r ą 1 e pp, qq P ZˆZ. O objeto bi-graduado El,lr é chamado de r-ésima página

da sequência espectral. A r-ésima página de uma sequência espectral pode ser “visualizada”através de um diagrama:

¨ q ¨

##

¨ ¨

$$

¨ ¨ ¨

¨ ¨

$$

¨

$$

¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨

$$

¨ ¨

$$

¨ ¨ ¨ ¨

¨

$$

¨ ¨ ¨ ¨

$$

¨ ¨ ¨

¨

$$

¨ ¨ ¨

##

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

##

¨ ¨ ¨ ¨

¨ //¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ p

¨ ¨

OO

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

Para cada cofiltração pFlp , B


p , Blp q em A a sequência

dos r-ésimos pares derivados dão origem a uma sequência espectral em A, denominada desequência espectral derivada de (1.7).


Sejam pEl,lr , dl,l

r qrě1 uma sequência espectral em A e pp, qq P Z ˆ Z. ComoEp,q

2 é um subquociente de Ep,q1 , existem subobjetos Zp,q

2 e Bp,q2 de Ep,q

1 satisfazendo

Bp,q2 Ď Zp,q

2 Ď Ep,q1

e Ep,q2 – Zp,q

2 Bp,q2 . Como Ep,q

3 é um subquociente de Ep,q2 , pelo Teorema da Correspondência

(Teorema 2.14 de [Rot08]), existem subobjetos Zp,q3 e Bp,q

3 de Ep,q1 satisfazendo

Bp,q2 Ď Bp,q

3 Ď Zp,q3 Ď Zp,q

2 Ď Ep,q1

e Ep,q3 – Zp,q

3 Bp,q3 . Continuando o raciocínio, encontra-se uma sequência

Bp,q2 Ď Bp,q

3 Ď ¨ ¨ ¨ Ď Bp,qr Ď Zp,q

r Ď ¨ ¨ ¨ Ď Zp,q3 Ď Zp,q

2 Ď Ep,q1

satisfazendo Ep,qr – Zp,q

r Bp,qr para r ą 1. Defini-se

Zp,q8 “

č

rą1Zp,qr , Bp,q

8 “ď

rą1Bp,qr

e o termo limite da sequência espectral

Ep,q8 “ Zp,q

8 Bp,q8 .

Uma sequência espectral pEl,lr , dl,l

r qrě1 converge a um objeto graduado Hl,denotado por

Ep,qr ñ Hp`q,

se existe uma cofiltração de Hl do tipo finito pFlp qpPZ tal que, para cada pp, qq P Zˆ Z,

valeEp,q8 – F p`q

p F p`qp`1 .

Seja pFlp , B

lp qpPZ uma cofiltração do tipo finito de um cocomplexo pCl, Bl

q

sobre A e relembre a definição de pΦlp qpPZ dada em (1.4). Fixado pp, qq P ZˆZ, a sequência

espectral derivada de (1.7), tem as seguintes propriedades para r suficientemente grande:

1. Ep`r,q1 “ 0;

2. Ep´r,q1 “ 0;

3. Ep,qr “ Ep,q

8 ;

4. Dp,qr “ 0;

5. Dp´r,qr “ Φp`q´r

p´1 ;

6. A sequência0 ÝÑ Φp`r

p`1αrÝÑ Φp`r

pβrÝÑ Ep,q

r ÝÑ 0

é exata em A;


7. Ep,qr ñ H p`q

pCl, Blq.

Como a filtração é do tipo finito, existem ps0, t0q P Zˆ Z tal que

F p`q`rt0 “ 0 e F p`q´r

s0 “ Cp`q´r.

Caso p` r ě t0, isto é, r suficientemente grande, tem-se que

F p`q`rp`r F p`q`r

p`r`1 “ 00 “ 0,

donde Ep`r,q1 “ H p`q`r

pFlp`rF

lp`r`1,Ωp`rq “ 0. Isso verifica 1. Caso p´r`1 ď s0 tem-se

queF p`q´rp´r F p`q´r

p´r`1 “ Cp`q´rCp`q´r

“ 0,

donde Ep´r,q1 “ H p`q´r

pFlp´rF

lp´r`1,Ωp´rq “ 0. Isso verifica 2. Para r suficientemente

grande, Ep`r,q`1´rr “ 0 e Ep´r,q`r´1

r “ 0, já que são subquocientes de Ep`r,q`1´r1 “ 0 e

Ep´r,q`r´11 “ 0, respectivamente. Assim, dp´r,q`r´1

r e dp,qr são morfismos nulos, ou seja,Ep,qr`1 – Ep,q

r e daíBp,qr Ď Bp,q

r`1 Ď Zp,qr`1 Ď Zp,q

r Ď Ep,q1

eZp,qr B

p,qr – Zp,q

r`1Bp,qr`1 –

´

Zp,qr`1B

p,qr

¯

´

Bp,qr`1B

p,qr

¯

.

Logo, Bp,qr`1B

p,qr “ 0, isto é, Bp,q

r`1 – Bp,qr , e Zp,q

r`1Bp,qr “ Zp,q

r Bp,qr , isto é, Zp,q

r`1 – Zp,qr .

Pela definição de termo limite, Zp,q8 – Zp,q

r , Bp,q8 – Bp,q

r e 3 é verificado. Escolhendo r sufici-entemente grande tal que F p`q´1

p`r´1 “ F p`qp`r´1 “ F p`q`1

p`r´1 “ 0, tem-se que H p`qpFl

p`r´1q “ 0.Como

Dp,q2 “ Im

`

H p`qpFl

p`r´1q Ñ H p`qpFl

p`1q˘

,

4 segue. Escolhendo r suficientemente grande tal que F p`q´rp´r`1 “ Cp`q´r, tem-se que

ip`q´rp´r`1ip`q´rp´r`2 ¨ ¨ ¨ i

p`q´rp´2 ip`q´rp´1

é o morfismo F p`q´rp´1 Ñ Cp`q´r. Logo, 5 é verificado. A afirmação 6 é (1.15) para r

suficientemente grande e 7 vem da definição de convergência de uma sequência espectral,considerando a cofiltração pΦl

p qpPZ de`

H npCl, Bl

q˘

nPZ.

Concentremos a atenção agora para uma sequência espectral pEl,lr , dl,l

r qrě1

em A tal que cada página é do tipo primeiro quadrante. Fixado pp, qq P Zě0 ˆ Zě0, dador suficientemente grande para que p´ r ă 0 e q ´ r ` 1 ă 0, tem-se que Ep´q,q`r´1

“ 0 eEp`r,q´r`1

“ 0. Daí, Ep,qr`1 “ Ep,q

r . Logo,

Ep,q8 – Ep,q

r , para r suficientemente grande.

Suponha que a sequência espectral convirja para um objeto graduado Hl em A nãonegativo tal que a filtração do tipo finito pFl

p qpPZ satisfaça

0 “ F nn`1 Ď F n

n Ď ¨ ¨ ¨ Ď F n1 Ď F n

0 “ Hn, para todo n ě 0. (1.16)


A sequência espectral pEl,lr , dl,l

r qrě1 e o objeto graduado Hl tem as seguintes proprieda-des:

1. H0– E0,0

8 ;

2. A sequência0 ÝÑ E1,0

8 ÝÑ H1ÝÑ E0,1

8 ÝÑ 0

é exata em A;

3. E0,nr`1 – Kerpd0,n

r q, para todos r ą 0 e n ě 0;

4. Para todos r ą n` 1 ą 1, E0,nr`1 – En,0

r . Em particular, E0,n8 – En,0

r ;

5. E0,nr`1 Ď E0,n

r , para todos r ą 0 e n ě 0. Em particular, E0,n8 Ď E0,n

r ;

6. A sequência0 ÝÑ Impdn´r,r´1

r q ÝÑ En,0r ÝÑ En,0

r`1 ÝÑ 0

é exata em A para todos r ą 1 e n ě 0. Em particular, En,0r`1 é o conúcleo de dn´r,r´1

r ;

7. Para todos r ą n ě 1, En,0r`1 – En,0

r . Em particular, En,08 – En,0

r ;

8. Para todos n ě 0 e r ą 1 existe uma epimorfismo En,0r Ñ En,0

8 ;

9. En,08 Ď Hn para todo n ě 0;

10. A sequência0 ÝÑ E1,0

2 ÝÑ H1ÝÑ E0,1

2d2ÝÑ E2,0

2 ÝÑM2

é exata em A.

Como0 “ F 0

1 Ď F 00 “ H0

e E0,08 – F 0

0 F01 , 1 é imediato. Como

0 “ F 12 Ď F 1

1 Ď F 10 “ H1,

E0,18 – F 1

0 F11 e E1,0

8 – F 11 F

12 , tem-se que E0,1

8 – H1E1,0

8 . Daí segue 2. Como E´r,n`r´1“

0,E0,nr`1 – Kerpd0,n

r q Impd´r,n`r´1r q – Kerpd0,n

r q0 – Kerpd0,nr q.

Daí segue 3. Como Er,n`1´rr “ 0, 4 é consequência de 3. Como Kerpd0,n

r q é um subobjetode E0,n

r , 5 segue de 3. Como En`r,1´r“ 0,

En,0r`1 – Kerpdn,0r q Impdn´r,r´1

r q – En,0 Impdn´r,r´1

r q.


Daí resulta 6. Como En´r,r´1“ 0, 7 é consequência de 6. A afirmação 8 é imediata de 6.

Como0 “ F n

n`1 Ď F nn Ď F n

0 “ Hn

e En,08 – F n

n Fnn`1, 9 é imediato. Para 10, tem-se a sequência exata curta

0 ÝÑ Kerpd0,12 q ÝÑ E0,1

2d2ÝÑ E2,0

2 ÝÑ E2,02 Impd0,1

2 q ÝÑ 0

em A. Por 3, 4, 6 e 7, também temos a sequência exata

0 ÝÑ E0,18 ÝÑ E0,1

2d2ÝÑ E2,0

2 ÝÑ E2,08 ÝÑ 0.

Considerando a inclusão E2,08 Ñ H2 dada em 9 e a sequência exata

0 ÝÑ E1,08 ÝÑ H1

ÝÑ E0,18

dada em 2, obtêm-se a sequência exata

0 ÝÑ E1,08 ÝÑ H1 ϕ

ÝÑ E0,12

d2ÝÑ E2,0

2ψÝÑ H2,

onde ψ é a composição H1ÝÑ E0,1

8 ÝÑ E0,12 e ψ é a composição E2,0

2 ÝÑ E2,08 Ñ H2.

Segue agora de 7 que E1,08 – E1,0

2 .

Considere uma sequência pEl,lr , dl,l

r qrě1 em A e um objeto graduado Hl emA como no parágrafo anterior tal que a cofiltração pFl

p qpPZ que satisfaça (1.16). Comopela definição de sequência espectral temos

En,08 – F n

n , En´1,18 – F n

n´1Fnn , ¨ ¨ ¨ , E0,n

8 – HnF n

1

se A é uma categoria semissimples temos que

Hn– En,0

8 ‘ En´1,18 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ E0,n

8 . (1.17)

Considere um sequência espectral pEl,lr , dl,l

r qrPZ em A e um objeto graduadoHl em A como no parágrafo anterior tal que a cofiltração pFl

p qpPZ que satisfaça (1.16) esuponha que exista uma reta R tal que

Ep,q2 “ 0, para todo pp, qq R R.

Fixado n ě 0, vamos olhar para a reta S : p` q “ n. Caso S e R não se intersectem noprimeiro quadrante temos que Ep,n´p

8 “ 0, já que este é um subquociente de Ep,n´p2 “ 0, e

0 “ F nn “ ¨ ¨ ¨ “ F n

0 “ Hn.

Caso S e R se intersectem no primeiro quadrante e sejam concorrentes, seja pp0, n´ p0q

tal intersecção p0 P t0, . . . , nu. Então

0 “ F n0 “ ¨ ¨ ¨ “ F n

p0`1 Ď F np0 “ ¨ ¨ ¨ “ F n

0 “ Hn e Hn– Ep0,n´p0

8 .


Como o domínio de dp0´r0,pn´p0q`r0´1r0 e o contradomínio de dp0,n´p0

r0 estão sobre a reta

pr0 ´ 1qp` r0q “ pr0 ´ 1qp0 ` r0pn´ p0q, (1.18)

caso R seja diferente desta para qualquer r0 ě 1 tem-se que essas diferenciais são nulas e

Hn– Ep0,n´p0

8 – Ep0,n´p02 . (1.19)

Caso R tenha a forma (1.18) para algum valor de r0, tem-se que dp0´r,pn´p0q`r´1r e dp0,n´p0

r

são nulas para r ‰ r0 eHn

– Ep0,n´p08 – Ep0,n´p0

r0 .

A principal aplicação de sequências espectrais é o cálculo do cocomplexo totalde um bicocomplexo, que será relembrado na próxima seção.

1.3 Sequência Espectral de GrothendieckUm bi-cocomplexo em A é uma trinca ordenada pMl,l,∆l,l

h ,∆l,lv q, onde

Ml,l é um objeto bi-graduado de A, ∆l,lh : Ml,l

ÑMl,l é um morfismo bi-graduado degrau p1, 0q e ∆l,l

v : Ml,lÑMl,l é um morfismo bi-graduado de grau p0, 1q satisfazendo

∆p`1,qh ∆p,q

h “ 0, ∆p,q`1v ∆p,q

v “ 0 e ∆p,q`1h ∆p,q

v “ ∆p`1,qv ∆p,q

h para todo pp, qq P Zˆ Z.

Um bi-cocomplexo pode ser “visualizado” através de um diagrama:

¨ q ¨ ¨ ¨∆h // ¨

¨ ¨ ¨

∆v

OO

¨ ¨∆h

//

∆v

OO

¨

∆v

OO

¨ ¨ ¨

∆v

OO

∆h

// ¨ ¨ ¨

¨∆h

// ¨∆h

// ¨

∆v

OO

∆h

// ¨

∆v

OO

∆h

// ¨∆h

// ¨

¨ //¨ ¨

∆v

OO

¨ ¨ p

¨ ¨

OO

¨

∆v

OO

¨ ¨ ¨

Dado um bi-cocomplexo pMl,l,∆l,lh ,∆l,l

v q e p P Z, tem-se uma cadeia co-complexa

pMp,l,∆p,lv q : ¨ ¨ ¨ ÑMp,q´1 ∆p,q´1

vÑ Mp,q ∆p,q

vÑ Mp,q`1

Ñ ¨ ¨ ¨ .

De uma maneira análoga, para cada q fixo, tem-se uma cadeia cocomplexa

pMl,q,∆l,qh q : ¨ ¨ ¨ ÑMp´1,q ∆p´1,q

hÑ Mp,q ∆p,q

hÑ Mp`1,q

Ñ ¨ ¨ ¨ .


Para cada n P Z, seja

Cn“

à

p`q“n

Mp,q“à

pPZMp,n´p,

e, para cada p P Z, seja

F np “

à

iěp

Mi,n´i “Mp,n´p ‘Mp`1,n´p´1 ‘Mp`2,n´p´2 ‘ ¨ ¨ ¨ .

Fixado pp, qq P Zˆ Z, sejam ιp,q : Mp,qÑ Cp`q a inclusão com respeito a soma direta e

Bp`q : Cp`q

Ñ Cp`q`1

o único morfismo tal que

Bp`qιp,q “ ιp`1,q∆p,q

h ` p´1qpιp,q`1∆p,qv .

Segue que pFlp qpPZ é uma cofiltração de pCl

q que satisfaz BnpF np q Ď F n`1

p para todopn, pq P Z ˆ Z, dando origem a um morfismo Bnp : F n

p Ñ F n`1p . O cocomplexo total de

pMl,l,∆l,lh ,∆l,l

v q em A é definido por pCl, Blq. A primeira cofiltração do cocomplexo

total de pMl,l,∆l,lh ,∆l,l

v q em A é definida por pFlp , B

lp qpPZ. Fixado p P Z, como o

diagrama0 // F n

p`1//

Bnp`1

F np

//

Bnp

Mp,n´p //

p´1qp∆p,n´pv

0

0 // F n`1p`1

// F n`1p

//Mp,n´p`1 // 0

é comutativo para todo n P Z, tem-se que a primeira página da sequência espectral derivadade (1.7) com relação a primeira filtração do complexo total é

Ep,q1 “ H p`q

pFlp F

lp`1,Ωpq “ H q

pMp,l, p´1qp∆p,lv q “ H q

pMp,l,∆p,lv q. (1.20)

A diferencial dp,q1 : Ep,q1 Ñ Ep`1,q

1 , por (1.9), é o morfismo de conexão para a sequênciaexata curta

0 Ñ`

Mp`1,l´1, p´1qp`1,l´1∆p`1,l´1˘Ñ

`

Mp`1,l´1‘Mp,l,Ωl

˘

Ñ`

Mp,l, p´1qp∆p,lv

˘

Ñ 0

em CocomppAq, com

Ωp`qpxp`1,q´1 ` xp,qq “ p´1qp`1∆p`1,q´1

v pxp`1,q´1q `∆p,qh pxp,qq ` p´1qp∆p,q

v pxp,qq

para todos xp`1,q´1 P Mp`1,q´1 e xp,q P Mp,q. Para determinar dp,q1 , basta analisar odiagrama

Mp`1,q´1 ‘Mp,q π //

Ωp`q

Mp,q // 0

0 //Mp`1,q µ//Mp`1,q ‘Mp,q`1


da seguinte forma: dado x PMp,q tal que ∆p,qv pxq “ 0, tem-se que

$

&

%

πpxq “ x

µ`

∆p,qh pxq

˘

“ Ωp`qpxq

donde dp,q1`

x ` Imp∆p,q´1q˘

“ ∆p,qh pxq ` Imp∆p`1,q´1

h q. Como ∆p,lh : pMp,l,∆p,l

v q Ñ

pMp`1,l,∆p`1,lv q é um morfismo de cocomplexos, tem-se que

dp,q1 “ H qp∆p,l

h q.

Notando que pEl,q1 , dl,q

1 q é um cocomplexo em A para cada q P Z, pode-se escrever

Ep,q2 “ H p

pEl,q1 , dl,q

1 q “ H p`

H qpMl,l,∆l,l

v q,H qp∆l,l

h q˘

(1.21)

que é denominada de primeira cohomologia iterada do bi-cocomplexo pMl,l,∆l,lh ,∆l,l

v q.

O bi-cocomplexo transposto de pMl,l,∆l,lh ,∆l,l

v q é definido por

Np,q“M q,p, δp,qh “ ∆q,p

v e δp,qv “ ∆q,ph .

O cocomplexo total de pNl,l, δl,lh , δl,l

v q coincide com o cocomplexo total de

pMl,l,∆l,lh ,∆l,l

v q.

A primeira cofiltração de pNl,l, δl,lh , δl,l

v q é denominada de segunda cofiltração do com-plexo total do bi-cocomplexo pMl,l,∆l,l

h ,∆l,lv q. A primeira página da sequência espectral

derivada de (1.7) com respeito a segunda cofiltração é

Ep,q1 “ H q

pNp,l, δp,lv q “ H qpMl,p,∆l,p

h q. (1.22)

A diferencial da primeira página é dada por

dp,q1 “ H qpδp,lh q “ H q

p∆l,pv q

e a segunda página é dada por

Ep,q2 “ H p

pEl,q1 , dl,q

1 q “ H p`

H qpMl,l,∆l,l

h q,H qp∆l,l

v q˘

, (1.23)

que é denominada de segunda cohomologia iterada do bi-cocomplexo pMl,l,∆l,lh ,∆l,l

v q.

O teorema abaixo é denominado Teorema da Sequência Espectral de Grothen-dieck. Como consequência imediata dele, temos o Teorema da Sequência Espectral deLyndon-Hochschild-Serre, tanto para teoria de grupos como para teoria de álgebras deLie. Pela sua importância teórica, ao contrário do que vinha acontecendo, incluímos umademonstração para este teorema (Teorema 10.47 de [Rot08]).


Teorema 1.3.1. Sejam G : A Ñ B e F : B Ñ C funtores aditivos. Suponha que F

seja exato à esquerda e que A e B possuam suficientes injetivos. Suponha ainda queRqF

`

GpJq˘

“ 0 para todo q ą 0 e todo objeto J P A injetivo. Então, para cada A P A,existe uma sequência espectral E tal que

Ep,qr ñ Rp`q

pF ˝ G qpAq,

com Ep,q2 “ RqF

`

RpG pAq˘

.

Demonstração. Seja pIl, Blq uma coresolução injetiva de A. Para simplificar a notação,

sejam

Hn“ H n

pG pIlq,G pB

lqq, Bn

“ ImpG pIn´1Ñ Inqq, Zn

“ KerpG pIn Ñ In`1qq,

RnF “ F n e RnG “ G n,

para todo n ě 0. Pela notação, Z0“ H0 e pela definição de funtores derivados à direita,

Hn“ G n

pAq. Para cada p ě 0, temos as sequências exatas curtas

0 Ñ Bp`1Ñ Zp`1

Ñ Hp`1Ñ 0 e 0 Ñ Zp

Ñ G pIpq Ñ Bp`1Ñ 0.

Fixado p ě 0, sejam

pBp`1,l, δp`1,lq : 0ÝÑBp`1,0 δp`1,0

ÝÑ Bp`1,1 δp`1,1ÝÑ Bp`1,2

¨ ¨ ¨ (1.24)

pHp,l, δp,lq : 0 ÝÑ Hp,0 δ

p,0

ÝÑ Hp,1 δp,1

ÝÑ Hp,2¨ ¨ ¨ (1.25)

coresoluções injetivas de Bp`1 e Hp, respectivamente. Introduza a notação Z0,q“ H0,q para

todo q ě 0. Pelo Lema da Ferradura (Proposição 6.24 de [Rot08]), existem corresoluçõesinjetivas

pZp`1,l, φp`1,lq : 0 ÝÑ Zp`1,0 φp`1,0

ÝÑ Zp`1,1 φp`1,1ÝÑ Zp`1,2

¨ ¨ ¨ (1.26)

pDp,l, φp,lq : 0 ÝÑ Dp,0 φ

p,0

ÝÑ Dp,1 p,φ1

ÝÑ Dp,2¨ ¨ ¨ (1.27)

de Zp`1 e G pIpq, respectivamente, tais que as sequências

0 Ñ Bp`1,qÑ Zp`1,q

Ñ Hp`1,qÑ 0 e 0 Ñ Zp,q

Ñ Dp,qÑ Bp`1,q

Ñ 0,

são ainda exatas curtas, para p, q ě 0. Defina Mp,q“ F pDp,q

q,

∆p,qv “ F pφ

p,qq e ∆p,q

h “ F pDp,qÑ Bp`1,q

Ñ Zp`1,qÑ Dp`1,q

q (1.28)

para todos p, q ě 0. Essa definição dá origem à um bicocomplexo M em A. Seja pCl, Blq

o cocomplexo total de pMl,l,∆l,lh ,∆l,l

v q.

Calcularemos a segunda página da sequência espectral associada a primeiracofiltração do cocomplexo total de pMl,l,∆l,l

h ,∆l,lv q. Fixe p ě 0. Como pDp,l, φ

l

p q é


uma corresolução injetiva de G pIpq, lembrando da definição de funtores derivados à direita,tem-se que

Ep,q1

1.20“ H q

pMp,l,∆p,lv q–F q

pG pIpqqhipótese“

$

&

%

F pG pIpqq, se q “ 0

0, caso o contrário.

Assim, com exceção da reta q “ 0, isto é, do cocomplexo

pEl,01 , dl,0

1 q “ pF ˝ G qpIl, Blq : 0 Ñ F pG pI0

qq Ñ G pF pI1qq Ñ F pG pI2

qq Ñ ¨ ¨ ¨ .

a primeira página é nula, e por seguinte a segunda página, já que esta é obtida porsubquocientes da primeira página. Como tal reta não é da forma (1.18), pelos comentáriosem volta dessa equação, tem-se que

H npCl, Bl

q – En,02 “ pF ˝ G qnpAq. (1.29)

Calcularemos agora a segunda página da sequência espectral associada a segundacofiltração do cocomplexo total de M . Fixe p ě 0. Para cada q ě 0, as sequências

0 Ñ Bq`1,pÑ Zq`1,p

Ñ Hq`1,pÑ 0 e 0 Ñ Zq,p

Ñ Dq,pÑ Bq`1,p

Ñ 0,

cindem, já que Bq,p`1 e Zq,p são injetivos. Como F é aditivo, as sequências

0 Ñ F pBq`1,pq Ñ F pZq`1,p

q Ñ F pHq`1,pq Ñ 0

e0 Ñ F pZq,p

q ÑM q,pÑ F pBq`1,p

q Ñ 0,

são exatas curtas. Desta forma, temos que

F pDq,pÑ Bq`1,p

q

é epimorfismo eF pBq`1,p

Ñ Zq`1,pÑ Dq`1,p

q

é monomorfismo, para cada q ě 0. Pela definição de ∆q,ph dada em (1.28), temos que

Imp∆q,ph q “ F pBq`1,p

q e Kerp∆q,ph q “ F pZq,p

q. Assim, temos as sequências exatas curtas

0 Ñ Imp∆q´1,ph q Ñ Kerp∆q,p

h q Ñ F pHq,pq Ñ 0, (1.30)

quando q ě 1, e0 Ñ F pH0,p

q ÑM0,pÑ Imp∆0,p

h q Ñ 0. (1.31)

Portanto,

Ep,q1

1.22– H q

pMl,p,∆l,ph q

$

&

%

(1.30)– F pHq,p

q se q ě 1(1.31)– F pH0,p

q, se q “ 0.


Ou seja, Ep,q1 “ F pHq,p

q, para p, q ě 0. Para a segunda página, fixado q, pHq,l, δq,lq é

uma corresolução injetiva de G qpAq. Assim,

Ep,q2

1.23“ H p

pF pHq,lq,F pδ

q,lqq – F p

`

G qpAq

˘

.

Logo, pela proposição item 7 na página 27, para esta segunda filtração,

Ep,qr ñ H p`q

pCl, Blq

(1.29)– pF ˝ G qp`qpAq,

e Ep,q2 “ F p

`

G qpAq

˘

.

1.4 Funtores AdjuntosSejam F : A Ñ B e G : B Ñ A funtores aditivos. Dizemos que F é adjunto à

esquerda de G se existe uma equivalência natural de bifuntores ϕ : HomB`

F plq,l˘

Ñ

HomA`

l,G plq˘

, onde

ϕVM : HomB`

F pV q,M˘

Ñ HomA`

V,G pMq˘

é uma transformação linear. Neste caso, também diremos que que G é adjunto à direita deF e denotamos tal fato por ϕ : F % G . Dizemos que ϕ é uma adjunção. A naturalidadede ϕ é equivalente à igualdade

ϕV 1M 1

´

h ˝ g ˝`

F pfq˘

¯

“ G phq ˝ ϕVMpgq ˝ f, (1.32)

para quaisquer h P HomBpM,M 1q, g P HomB

`

F pV q,M˘

e f P HomApV1, V q. Uma

adjunção dá origem a duas transformações naturais,

ε : 1A Ñ G ˝F , V ÞÑ εV “ ϕVF pV qp1F pV qq : V Ñ G`

F pV q˘

, (1.33)

denominada unidade, e

δ : F ˝ G Ñ 1B, M ÞÑ δM “ ϕ´1p1G pMqq : F

`

G pMq˘

ÑM, (1.34)

denominada counidade. Essas transformações determinam completamente a ϕ, uma vezque

ϕVMpgq “ G pgq ˝ εV , para todo g P HomB`

F pV q,M˘

, (1.35)

eϕ´1VMpfq “ δM ˝F pfq, para todo f P HomA

`

V,G pMq˘

.

Vamos destacar, na proposição abaixo, um fato que usaremos recorrentementesobre funtores adjuntos.

Proposição 1.4.1. Seja F um funtor aditivo adjunto à esquerda de um funtor aditivo G .Então F é exato à direita e G é exato à esquerda. Além disso,


1. Se F é exato, então a imagem de qualquer objeto injetivo por G é injetivo;

2. Se G é exato, então a imagem de qualquer objeto projetivo por F é projetivo.

Sejam R e S álgebras associativas com unidade sobre o corpo F e κ : S Ñ R

um homomorfismo de álgebras associativas com unidade. Para cada R-módulo M , sejaκ˚pMq o mesmo espaço vetorial M e com estrutura de S-módulo dada por

s ¨ v “ κpsqm, para todos s P S e m PM.

Dados R-módulos M e N e um homomorfismo de R-módulos g : M Ñ N , temos que

κ˚pgq :“ g : κ˚pMq Ñ κ˚pNq

é um homomorfismo de S-módulos. De fato,

gps ¨mq “ gpκpsqmq “ κpsq`

gpmq˘

“ s ¨`

gpmq˘

, para todos s P S e m PM.

Assim, pela definição nos morfismos, κ˚ : ModR Ñ ModS dá origem a funtor aditivo eexato, denominado de “funtor pull-back por κ”. Em particular, se T é uma outra álgebraassociativa com unidade sobre o corpo F e ν : T Ñ S é um homomorfismo de álgebrasassociativas com unidade, segue que

pκνq˚ “ ν˚κ˚.

Defina Pκ : ModS Ñ ModR por

PκpV q “ RbS V, Pκpfq “ 1Rbf, para todos V, V 1 P ModS e f P HomModRpV, V1q,

onde a estrutura de S-módulo à direita em R é dada por

r ¨ s “ rκpsq, para todos r P R e s P S.

Pela importância da proposição abaixo no decorrer da tese, forneceremos umademonstração (Teorema 12.5 [HS70]).

Proposição 1.4.2. Sejam R e S álgebras associativas com unidade sobre F e κ : S Ñ R

um homomorfismo de álgebras associativas com unidade. Então, o funtor Pκ é adjuntoà esquerda do funtor pull-back por κ. Em particular, para cada S-módulo projetivo V ,PκpV q é um R-módulo projetivo. Caso R seja um S-módulo à direita plano, para cadaR-módulo injetivo M , κ˚pMq é um S-módulo injetivo.

Demonstração. Dados objetos V P ModS e M P ModR, seja

ϕVM : HomModR`

PκpV q,M˘

Ñ HomModS`

V, κ˚pMq˘


dada por`

ϕVMpgq˘

pvq “ gp1b vq, para todos g P HomModR`

PκpV q,M˘

e v P V.

Para mostrar que ϕVM está bem definida, precisamos mostrar que ϕVMpgq é um homo-morfismo de S-módulos. Fixado s P S, temos que

`

ϕVMpgq˘

psvq “ gp1b svq “ g`

1κpsq b v˘

“ g`

κpsq b v˘

“ g`

κpsqp1b vq˘

“ κpsqgp1b vq “ s ¨´

`

ϕVMpgq˘

pvq¯

,

para qualquer v P V . Daí segue que ϕVMpgq é um homomorfismo de S-módulos, paraqualquer g P HomModR

`

PκpV q,M˘

. Mostraremos agora que ϕVM é linear. Fixadosg, h P HomModR

`

PκpV q,M˘

e t P F, temos que`

ϕVMpg ` thq˘

pvq “ pg ` thqp1b vq “ gp1b vq ` t`

hp1b vq˘

“`

ϕVMpgq˘

pvq `´

t`

ϕVMphq˘

¯

pvq “`

ϕVMpgq ` tϕVMphq˘

pvq

para todo v P V . Logo, ϕVMpg`thq “ ϕVMpgq`tϕVMphq, donde ϕVM é uma transformaçãolinear. Mostremos agora a naturalidade de ϕ. Para isto, fixe h P HomModRpM,M 1

q,g P HomModR

`

F pV q,M˘

e f P HomModSpV1, V q. Daí, para cada u P V 1, temos, por um

lado que´

ϕV 1M 1

`

h ˝ g ˝Pκpfq˘

¯

puq “ h´

g`

Pκpfqp1b uq˘

¯

“ h´

g`

1b fpuq˘

¯

,

e por outro que`

κ˚phq ˝ ϕVMpgq ˝ f˘

puq “ κ˚phq´

ϕVMpgq`

fpuq˘

¯

“ h´

g`

1b fpuq˘

¯

.

Pela igualdade (1.32), segue que ϕ é natural. Assim, mostramos que ϕ é uma transformaçãonatural. Resta mostrar que é uma equivalência natural. Dados V P ModS e M P ModR,seja

ψVM : HomModS`

V, κ˚pMq˘

Ñ HomModR`

PκpV q,M˘

dada por

pψVMpfqqpr b vq “ rfpvq, para todos f P HomModS`

V, κ˚pMq˘

, r P R e v P V.

Dado g P HomModR`

PκpV q,M˘

, temos que

ψVM`

ϕVMpgq˘

prbvq “ r´

`

ϕVMpgq˘

pvq¯

“ rgp1bvq “ gprbvq, para todos r P R e v P V.

Assim, ψVM ˝ ϕVM “ 1HomModR

`

PκpV q,M˘. Agora, dado f P HomModS

`

V, κ˚pMq˘

, temosque

´

ϕVM`

ψVMpfq˘

¯

pvq “ pψVMpfqqp1b vq “ 1fpvq “ fpvq, para todo v P V.


Daí, ϕVM ˝ ψVM “ 1HomModS

`

V,κ˚pMq˘. Logo,

ψVM “ pϕVMq´1,

donde ϕ é um equivalência natural. O restante das afirmações é consequência imediata daproposição 1.4.1, juntamente com o fato de que κ˚ é um funtor exato e, caso R seja umS-módulo à direita plano, Pκ é um funtor exato.

39

2 Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Gradua-das

Este capítulo tem a intenção de relembrar algumas definições de álgebras deLie e destacar algumas propriedades importantes de representações de álgebras de Liegraduadas. Todos os espaços vetoriais e tensores serão sobre um corpo fixado F, excetoquando dito ou denotado o contrário. Mais detalhes podem ser encontrados em [Hum72].

2.1 Álgebras de LieSeja l um espaço vetorial. Um colchete de Lie em l é uma aplicação bilinear

r, s : lˆ lÑ l, satisfazendorx, xs “ 0

e a identidade de Jacobi

rx, ry, zss ` ry, rz, xss ` rz, rx, yss “ 0,

para quaisquer x, y, z P l.

Uma álgebra de Lie é um par pl, r, sq, onde l é um espaço vetorial e r, s é umcolchete de Lie em l. É comum fazer referência “à álgebra de Lie l”, ficando subentendidoo colchete r, s. Dada outra álgebra de Lie c, um homomorfismo de álgebras de Lie é umatransformação linear κ : lÑ c tal que

κprx, ysq “ rκpxq, κpyqs, para todos x, y P l.

Um isomorfismo de álgebras de Lie é um homomorfismo de álgebras de Lie bijetor. Aclasse de todas as álgebras de Lie juntamente com os homomorfismos de álgebras de Lie éuma categoria denotada por Lie.

Exemplo 2.1.1. Seja Alg a categoria das álgebras associativas com unidade. Para cadaálgebra associativa com unidade A P Alg, seja LpAq o espaço vetorial A com colchetedado por

ra, bs “ ab´ ba, para todos a, b P A.

Temos que LpAq é uma álgebra de Lie, onde o colchete é usualmente chamado de comutador.Dada outra álgebra associativa com unidade B e um homomorfismo de álgebras associativascom unidade φ : AÑ B, é imediato que φ é um homomorfismo de álgebras de Lie. Temosassim definido um funtor L : Alg Ñ Lie. Um caso particular é glpV q “ L

`

EndFpV q˘

, aÁlgebra de Lie do Grupo Geral Linear, onde V é um espaço vetorial.

Capítulo 2. Álgebras de Lie e Álgebras de Lie Graduadas 40

Dada uma álgebra de Lie l, um subespaço c Ď l é uma subálgebra de Lie se

rx, ys P c, para todos x, y P c.

Um subespaço n Ď l é um ideal se

rx, ys P n, para todos x P n e y P l.

Dado um ideal n de l, o espaço vetorial ln é uma álgebra de Lie com o colchete sendo

rx` n, y ` ns “ rx, ys ` n.

Dados uma álgebra de Lie l, uma subálgebra c e um ideal n, dizemos que l é produtosemidireto de c por n se l “ c‘ n como espaços vetoriais. Denotamos tal fator por

l “ c˙ n.

Uma representação de uma álgebra de Lie l é um homomorfismo de álgebras deLie κ : lÑ glpV q, onde V é um espaço vetorial. Neste caso, dizemos que V é um l-módulo.Escrevendo

`

κpxq˘

pvq “ xv, para todos x P l e v P V,

temos que uma representação é equivalente a uma operação lˆ V Ñ V satisfazendo:

1. px` tyqv “ xv ` tpyvq,

2. xpv ` tuq “ xv ` tpxuq,

3. rx, ysv “ xpyvq ´ ypxvq,

para todos x, y P l, u, v P V e t P F.

Exemplo 2.1.2. O corpo F é um l-módulo, para qualquer álgebra de Lie l, chamada derepresentação trivial, definindo

xt “ 0, para todos x P l e t P F.

Exemplo 2.1.3. Seja n um ideal de uma álgebra de Lie l. Então, n é um l-módulodefinindo

xv “ rx, vs, para todos x P l e v P n.

Essa representação é denominada de representação adjunta.

Exemplo 2.1.4. Dados l-módulos V e U , onde l é uma álgebra de Lie, o espaço vetorialHomFpV, Uq é um l-módulo definindo

pxfqpvq “ x`

fpvq˘

´ fpxvq, para todos x P l, f P HomFpV, Uq e v P V.

Em particular, o espaço dual V ˚ é um l-módulo.


Exemplo 2.1.5. Dados l-módulos V e U , onde l é uma álgebra de Lie, o espaço vetorialV b U é um l-módulo definindo

xpv b uq “ pxvq b u` v b pxvq, para todos x P l, v P V e u P U.

Sejam l uma álgebra de Lie e V um l-módulo. Um subespaço U Ď V é uml-submódulo se

xu P U, para todos x P l e u P U.

Dado um l-submódulo de um l-módulo V , o espaço vetorial V U é um l-módulo definindo

xpv ` Uq “ pxvq ` U, para todos x P l e v P V.

Dados uma álgebra de Lie l e l-módulos V e U , dizemos que uma transformaçãolinear f : V Ñ U é um homomorfismo de l-módulos se

fpxvq “ x`

fpvq˘

, para todos x P l e v P V.

Um isomorfismo de l-módulos é um homomorfismo de l-módulos bijetor. Denotamos porHomlpV, Uq o subconjunto das transformações lineares V Ñ U que são homomorfismos del-módulos. A classe dos l-módulos juntamente com os homomorfismos de l é uma categoriaabeliana denotada por Modl. Dada uma Álgebra de Lie l, denota-se por Fplq a categoriaonde os objetos são os l-módulos de dimensão finita e os morfismos são os homomorfismosde l-módulos.

Sejam l uma álgebra de Lie e n um ideal de l. Dado um l-módulo V , seja

V n“ tv P V : xv “ 0, para todo x P nu.

Então, V n é um l-submódulo de V , denominado submódulo dos invariantes por n. Dadooutro l-módulo U e um homomorfismo de l-módulos f : V Ñ U , é fácil concluir quefpV n

q Ď Un. Então, f induz um homomorfismo de l-módulos f n : V nÑ Un. A definição

Z nl pV q “ V n, Z n

l pfq “ f n (2.1)

dá origem a um funtor aditivo Z nl : Modl Ñ Modl, denominado “funtor dos n-invariantes

em Modl”.

Proposição 2.1.6. Sejam l uma álgebra de Lie e n um ideal de l. Então, o funtor Z nl é

exato à esquerda.

Demonstração. Seja0 Ñ V

fÑ U

gÑ W

uma sequência exata em Modl. Então

Kerpf nq “ Kerpfq X V n

“ 0X V n“ 0


egn ˝ f n

“ pg ˝ fqn “ 0n“ 0.

Seja agora u P Kerpgnq “ UnXKerpgq. Assim, gpuq “ 0, donde, pela exatidão da sequência,

existe v P V , tal que fpvq “ u. Dado x P n, segue que

0 “ xu “ xfpvq “ fpxvq,

pois u P Un. Logo, xv P Kerpfq “ 0, donde, v P V n e u “ f npvq. Assim, a sequência

0 Ñ V n fnÑ Un gn

Ñ W n

é exata.

Observação 2.1.7. Dados uma álgebra de Lie l, um ideal n e um l-módulo V ,

HomnpF, V q Ñ V n, f ÞÑ fp1q,

é um isomorfismo de l-módulos.

Sejam l uma álgebra de Lie e n um ideal de l. Dada uma representaçãoκ : lÑ glpV q, suponha que

nV “ 0,

isto é, κpnq “ 0. Então, existe uma única representação pκ : lnÑ glpV q tal que κ “ pκ ˝ π,onde π : lÑ ln é a projeção canônica. Em detalhes,

πpxqv “ xv, para todo x P l. (2.2)

Como nV n“ 0, para todo l-módulo V , seja G n

l pV q o espaço vetorial V n com estrutura de ln-módulo dada por (2.2). É rotina checar que, dados outro l-módulo U e um homomorfismo del-módulos f : V Ñ U , G n

l pfq :“ f n : G nl pV q Ñ G n

l pUq é um homomorfismo de ln-módulos.Temos assim definido um funtor G n

l : Modl Ñ Modln.

2.2 Álgebras EnvelopantesDada uma álgebra de Lie l, uma álgebra universal envelopante de l é um par

pA, ιlq, onde A é uma álgebra associativa com unidade e ιl : lÑ LpAq é um homomorfismode álgebras de Lie satisfazendo a seguinte propriedade universal: para cada homomorfismode álgebras de Lie κ : lÑ LpBq, onde B é uma álgebra associativa com unidade, existeum único homomorfismo de álgebras associativas com unidade φ : AÑ B tal que φιl “ κ.É fácil concluir que dadas duas álgebras universais envelopantes pA, ιlq e pA1, ι1lq de umaálgebra de Lie l, existe um único isomorfismo de álgebras universais com unidade φ : AÑ A1

tal que φιl “ ι1l.


Para mostrar que dada uma álgebra de Lie l existe uma álgebra universalenvelopante de l, sejam T plq a álgebra livre sobre alguma base de l e I o ideal bilateral deT plq gerado pelos elementos

xy ´ yx´ rx, ys, com x, y P l.

Sejam Uplq o quociente T plqI e ιl : lÑ Uplq é a composição

lÑ T plqπÑ Uplq,

sendo π a projeção canônica. O par pUplq, ιlq é uma álgebra universal envelopante de l.

Dado um homomorfismo de álgebras de Lie κ : lÑ c, seja Upκq : Uplq Ñ Upcq

o único homomorfismo de álgebras associativas tal que

ιb ˝ κ “ Upκq ˝ ιl.

Essa definição dá origem a um funtor U : Lie Ñ Alg. A propriedade universal da álgebrauniversal envelopante pode ser caracterizada pela proposição abaixo.

Proposição 2.2.1. Existe uma adjunção U % L tal que ι : 1Lie Ñ L ˝ U é a unidade.

O próximo teorema é conhecido como Torema de Poincaré-Birkhoff-Witt (PBW)e sua demonstração pode ser encontrada em [Hum72].

Teorema 2.2.2. Seja l uma álgebra de Lie e B uma base completamente ordenada de l.Então,

tιlpx1q ¨ ¨ ¨ ιlpxnq : n ě 0, xj P B, para j “ 1, . . . , n e x1 ď ¨ ¨ ¨ ď xnu

é uma base de Uplq.

Observação 2.2.3. Segue do Teorema de PBW que ιl : l Ñ L`

Uplq˘

é homomorfismoinjetor de álgebras de Lie. Assim, identificamos l com sua imagem. Desta maneira,

l Ď Uplq, para toda álgebra de Lie l P Lie.

Dada uma subálgebra de Lie c de l, identificamos Upcq como sendo a subálgebra associativacom unidade de Uplq gerada por

tx1 ¨ ¨ ¨ xn P Uplq : n ě 0 e xj P cu.

Seja l uma álgebra de Lie. Dada uma representação κ : l Ñ glpV q da álge-bra de Lie l, pela propriedade universal da álgebra universal envelopante, existe umarepresentação φ : Uplq Ñ EndFpV q da álgebra associativa com unidade Uplq que estendeκ. Reciprocamente, cada representação φ : Uplq Ñ EndFpV q da álgebra associativa comunidade Uplq dá origem a uma representação κ “ Lpφq|l : l Ñ glpV q da álgebra de Lie


l tal que φ é uma extensão de κ. Essa associação dá origem a uma equivalência entre acategoria Modl e ModUplq. De agora em diante, não faremos distinção entre elas.

Dado um homomorfismo de álgebras de Lie κ : lÑ c, seja

κ˚ “`

Upκq˘˚ : Modc Ñ Modl

o funtor pull-back por Upκq definido na página 36.

Observação 2.2.4. Sejam l uma álgebra de Lie, c uma subálgebra de Lie de l e κ : lÑglpV q uma representação. Se φ : c Ñ l é a inclusão, φ é um homomorfismo de álgebrasde Lie e κ ˝ φ : c Ñ glpV q é uma representação. Denominamos a representação κ ˝ φ derestrição a c. A estrutura de c-módulo da restrição a c é a mesma do funtor φ˚, sendoassim, o c-módulo φ˚pV q será ainda denotado por V . Dessa maneira podemos identificarModl Ď Modc.

Lema 2.2.5. Sejam κ : lÑ c um homomorfismo de álgebras de Lie, n um ideal de c e m

um ideal de l. Então, se κpmq “ n,

Z ml ˝ κ

˚“ κ˚ ˝Z n

c .

Demonstração. Considere um objeto V P Modl. Mostremos primeiramente que κ˚pV nq Ď

`

κ˚pV q˘m. Dados v P κ˚pV n

q e x P m, temos que

xv “ κpxqv “ 0,

pois κpxq P n e v P V n. Logo, v P`

κ˚pV q˘m. Mostremos agora que

`

κ˚pV q˘mĎ κ˚pV n

q.Dados v P

`

κ˚pV q˘m e y P n, como κpmq “ n, existe x P m tal que y “ κpxq. Assim,

yv “ κpxqv “ xv “ 0.

Logo, v P V n, e o resultado segue.

Proposição 2.2.6. Sejam l uma álgebra de Lie, n um ideal de l e σ : lÑ ln a projeçãocanônica. Então o funtor σ˚ : Modln Ñ Modl é adjunto à esquerda do funtor G n

l :Modl Ñ Modln. Em particular, G n

l transforma objetos injetivos em objetos injetivos.

Demonstração. Dados V P Modl e W P Modln defina

ϕWV : HomModl

`

σ˚pW q, V˘

Ñ HomModln

`

W,G nl pV q

˘

por`

ϕWV pγq˘

pwq “ γpwq para todos γ P HomModl

`

σ˚pW q, V˘

e w P W . De fato, γpwq PV n, pois se x P n, xγpwq “ γpxwq “ γ

`

σpxqw˘

“ γp0q “ 0. É rotina checar que

ψVW : HomModln

`

W,G nl pV q

˘

Ñ HomModl

`

σ˚pW q, V˘

dado por`

ψVW pβq˘

pwq “ βpwq, para todos β P HomModln

`

W,G nl pV q

˘

e w P W , é seumorfismo inverso e que ϕ é natural em W e V . Agora, como σ˚ é exato, pela Proposição1.4.1, a segunda afirmação do lema segue.


Dados uma álgebra de Lie l e um ideal n de l, é um fato conhecido sobreálgebras de Lie que Upnq é um l-módulo com a estrutura

ζ ¨ η “ rζ, ηs “ ζη ´ ηζ, para todos ζ P Uplq e η P Upnq. (2.3)

Em outras palavras, L`

Upnq˘

é um ideal da álgebra de Lie L`

Uplq˘

e (2.3) é a representaçãoadjunta. Supondo que l “ c˙ n é um produto semidireto de álgebras de Lie, temos quea restrição a c da representação adjunta é uma representação κ1 : c Ñ gl

`

Upnq˘

. Poroutro lado, como Upnq é uma álgebra associativa, a multiplicação pela esquerda dá origema uma representação κ2 : n Ñ gl

`

Upnq˘

. Logo, existe uma única transformação linearκ : lÑ gl

`

Upnq˘

tal que a restrição a c é κ1 e a restrição a n é κ2.

Lema 2.2.7. A transformação linear κ : lÑ gl`

Upnq˘

é uma representação.

Demonstração. Devemos mostrar que κprx, ysq “ κpxq ˝ κpyq ´ κpyq ˝ κpxq, para todox, y P l. Se x, y P c ou x, y P n isso é verdade, pois κ1 e κ2 são representações. Pelalinearidade de κ, basta mostrar o caso em que x P c e y P n. Neste caso, para cadaη P Upnq,

κpxq`

κpyqpηq˘

“κ1pxq`

κ2pyqpηq˘

“κ1pxqpyηq

“xpyηq ´ pyηqx

“pxyqη ´ pyxqη ` ypxηq ´ ypηxq

“rx, ysη ` yrx, ηs

“κ2prx, ysqpηq ` κ2pyq`

κ1pxqpηq˘

“`

κ2prx, ysq ` κ2pyq ˝ κ1pxq˘

pηq

“`

κprx, ysq ` κpyq ˝ κpxq˘

pηq.

Logo, o resultado segue.

2.3 Álgebras GraduadasUma Z-graduação de uma Álgebra de Lie a é uma sequência de subespaços

tarpsupPZ tal quea “

à

pPZarps e rarps, arqss Ď arp` qs,

para todos p, q P Z. Uma álgebra de Lie Z-graduada é um par constituido de uma álgebrade Lie a e uma Z-graduação. Um morfismo de álgebras de Lie Z-graduadas é um morfismosde álgebras de Lie ϕ : a Ñ b tal que ϕparpsq Ď brps. De maneira análoga, definem-seos conceitos de a-módulos Z-graduados e morfismos de a-módulos Z-graduados. UmaZ-graduação em a induz uma Z-graduação na álgebra universal envelopante Upaq onde


a p-ésima parte graduada é o subespaço vetorial gerado ou pelos elementos da formax1x2 ¨ ¨ ¨ xk para algum k ě 0, com xi P arqis e q1 ` q2 ` ¨ ¨ ¨ ` qk “ p.

Dada uma álgebra de Lie Z-graduada a, denote por Gpaq a subcategoria plenados a-módulos Z-graduados M tais que dimpM rpsq ă 8, para todo p P Z. Caso existax P ar0szt0u, então Upaq R Gpaq, já que tx1x2 ¨ ¨ ¨ xk : xi “ x, i “ 1, . . . , k, k ą 0u é umsubconjunto linearmente independente e infinito de Upaqr0s. Um objeto M P Gpaq é geradoem grau p se

M rqs “ Upaqrq ´ psM rps, para todo q P Z.

Observação 2.3.1. O corpo F será um objeto em Gpaq munido da graduação Fr0s “ F eFrps “ 0, para p ‰ 0.

2.3.1 Restrição de Objetos Projetivos

Nesta subseção, fixe duas álgebras de Lie Z-graduadas a e b. Denote porGradpaq e Gradpbq a categoria dos a-módulos Z-graduados e dos b-módulos Z-graduados,respectivamente.

Seja κ : bÑ a um homomorfismo de álgebras de Lie Z-graduadas. Para cadaM P Gradpbq, consideremos a estrutura de a-módulo em Homb

´

κ˚`

Upaq˘

,M¯

utilizandoa multiplicação pela direita de Upaq, isto é,

px ¨ fqpηq “ fpηxq, para todos x P a, f P Homb

´

κ˚`

Upaq˘

,M¯

e η P Upaq. (2.4)

Considerando em κ˚`

Upaq˘

a graduação em Upaq, dizemos que f P Homi

´

κ˚`

Upaq˘

,M¯

é de grau p sef

ˆ

´

κ˚`

Upaq˘

¯

rks

˙

ĎM rp` ks, para todo k P Z

e denotamos porˆ

Homb

´

κ˚`

Upaq˘

,M¯

˙

rps sua parte graduada de grau p. Seja

QκpMq “à

pPZ

˜

ˆ

Homb

´

κ˚`

Upaq˘

,M¯

˙

rps

¸

e, para cada ψ P HomGradpbqpM,Nq, defina Qκpψq : QκpMq Ñ QκpNq por`

Qκpψq˘

pfq “ ψ ˝ f.

É rotina checar que a definição acima da origem a funtor aditivo Qκ : Gradpbq Ñ Gradpaq.

Lema 2.3.2. Seja κ : bÑ a um homomorfismo de álgebras de Lie Z-graduadas. Então ofuntor Qκ é exato.


Demonstração. Considere a sequência exata curta

0 Ñ AψÑ B

ϕÑ C Ñ 0

em Gradpbq.

1. Qκpψq é um monomorfismo. Se f P QκpAq satisfaz`

Qκpψq˘

pfq “ 0, então ψ ˝ f “ 0.Como ψ é um monomorfismo, segue que f “ 0 donde Qκpψq é um monomorfismo.

2. Im`

Qκpψq˘

Ď Ker`

Qκpϕq˘

. Dado f P QκpAq, temos que`

Qκpϕq˘

´

`

Qκpψq˘

pfq¯

“

ϕ ˝ ψ ˝ f “ 0, já que ϕ ˝ ψ “ 0, por hipótese.

3. Ker`

Qκpϕq˘

Ď Im`

Qκpψq˘

. Dado g P QκpBq tal que`

Qκpϕq˘

pgq “ 0, temos queϕ`

gpηq˘

“ 0, para todo η P Upaq. Pela exatidão da sequência acima, existe a P A talque gpηq “ ψpaq. Como ψ é um monomorfismo, é bem definida a função f : Upaq Ñ A

fpηq “ a, se gpηq “ ψpaq.

É rotina checar que f é um homomorfismo de b-módulos. Se g é de grau p e η é degrau k então gpηq é de grau k`p como também o elemento a P A tal que gpηq “ ψpaq.Assim, fpηq possui grau k` p e f tem grau p. Se g “ g1` ¨ ¨ ¨ ` gn, onde gi tem graupi e tp1, . . . , pnu é um conjunto de inteiros distintos, então gi P Ker

`

Qκpϕq˘

e daráorigem a um homomorfismo de b-módulos fi como acima. Assim, fi terá grau pi ef “ f1` ¨ ¨ ¨ ` fn P QκpAq satisfaz gpηq “ ψpaq “ ψ

`

fpηq˘

, ou seja, g “`

Qκpψq˘

pfq

e g P Im`

Qκpψq˘

.

4. Qκpϕq é um epimorfismo. Sejam c um subespaço vetorial Z-graduado de a tal quea “ κpbq ‘ c e β1 uma base ordenada de c constituída de elementos homogêneos.Defina

β “ tx1 ¨ ¨ ¨ xn : xj P β1 e x1 ď ¨ ¨ ¨ ď xnu.

Por PBW, cada η P Upaq pode ser escrito de maneira única

η “ÿ

bPβ

χbb, com χb P Upbq.

Seja h P QκpCq. Como ϕ é um epimorfismo, para cada b P β, existe vb P B tal queϕpvbq “ hpbq. Defina g : Upaq Ñ B por

gpηq “ÿ

bPβ

χbvb, se η “ÿ

bPβ

χbb.

É rotina checar, como no item acima, que g P QκpBq e que h “ ϕ ˝ g, uma vez quehpbq “ ϕpvbq “ ϕ

`

gpbq˘

, para todo b P β. Assim, h “`

Qκpϕq˘

pgq e Qκpϕq é umepimorfismo.


Proposição 2.3.3. Seja κ : b Ñ a um homomorfismo de álgebras de Lie Z-graduadas.Então κ˚ : Gradpaq Ñ Gradpbq é adjunto à esquerda do funtor Qκ : Gradpbq Ñ Gradpaq.Em particular, κ˚ transforma objetos projetivos em objetos projetivos.

Demonstração. Dados M P Gradpbq e V P Gradpaq, defina

ψVM : HomGradpbq`

κ˚pV q,M˘

Ñ HomGradpaq`

V,QκpMq˘

por´

`

ψVMpfq˘

pvq¯

pηq “ fpηvq para todos f P HomGradpbq`

κ˚pV q,M˘

, v P V e η P Upaq.Vamos mostrar que ψVM está bem definida.

Sejam f P HomGradpbq`

κ˚pV q,M˘

e, primeiramente, v P V rps. Se η P`

Upaq˘

rqs

então´

`

ψVMpfq˘

pvq¯

pηq PM rp` qs,

mostrando que`

ψVMpfq˘

pvq é uma transformação linear de grau p e ψVMpfq é umatransformação linear de grau 0. Para mostrar que

`

ψVMpfq˘

pvq é um homomorfismo deb-módulos, seja y P b. Então

´

`

ψVMpfq˘

pvq¯

py ¨ ηq “ f`

py ¨ ηqv˘

“ f`

pκpyqηqv˘

“ f`

κpyqpηvq˘

“ f`

y ¨ pηvq˘

“ y`

fpηvq˘

“ y

ˆ

´

`

ψVMpfq˘

pvq¯

pηq

˙

.

Logo,`

ψVMpfq˘

pvq P`

QκpMq˘

rps. Supondo agora que v “ v1 ` ¨ ¨ ¨ ` vn é soma deelementos homogêneos, então

`

ψVMpfq˘

pvq “`

ψVMpfq˘

pv1q ` ¨ ¨ ¨ ``

ψVMpfq˘

pvnq é somade elementos homogêneos também e

`

ψVMpfq˘

pvq P QκpMq. Para verificar que ψVMpfq éum homomorfismo de a-módulos, seja x P a. Então,

´

`

ψVMpfq˘

pxvq¯

pηq “ f`

ηpxvq˘

“ f`

pηvqx˘

“

´

`

ψVMpfq˘

pvq¯

pηxq “

ˆ

x´

`

ψVMpfq˘

pvq¯

˙

pηq.

Agora, é rotina checar que ψ é natural em V eM . Agora, como a transformaçãolinear

ϕVM : HomGradpaq`

V,QκpMq˘

Ñ HomGradpbq`

κ˚pV q,M˘

definida por`

ϕVMpgq˘

pmq “`

gpmq˘

p1q, para todo m PM , satisfazˆ

´

ψVM`

ϕVMpgq˘

¯

pvq

˙

pηq “`

ϕVMpgq˘

pηvq “`

gpηvq˘

p1q

“

´

η`

gpvq˘

¯

p1q “`

gpvq˘

p1ηq “`

gpvq˘

pηq

e´

ϕVM`

ψVMpfq˘

¯

pvq “´

`

ψVMpfq˘

pvq¯

p1q “ fp1vq “ fpvq


para todos v P V e η P Upaq, temos que ϕVM é a inversa de ψVM . Finalmente, a segundaafirmação decorre imediatamente do Lema 2.3.2 e da Proposição 1.4.1.

Com as equivalências naturais construídas na Proposição 2.3.3 pode-se mostrarde uma maneira direta a segunda afirmação desta. De fato, seja V P Gradpaq um objetoprojetivo e considere um diagrama da forma

κ˚pV q

χ

M ε // // N

em Gradpbq. Aplique o funtor Qκ nesse diagrama. Como ele é exato tem-se que o diagrama

V

θ

ψV κ˚pV qp1κ˚pV qq//Qκ

`

κ˚pV q˘

Qκpχq

QκpMqQκpεq

// //QκpNq

pode ser completado. Defina θ “ ϕVMprθq, ou seja, rθ “ ψVMpθq. Assim,

ψV Npχq1.35“ Qκpχq ˝ ψV κ˚pV qp1κ˚pV qq “ Qκpεq ˝ rθ “ Qκpεq ˝ ψVMpθq

1.35“ Qκpεq ˝Qκpθq ˝ ψV κ˚pV qp1κ˚pV qq “ Qκpεθq ˝ ψV κ˚pV qp1κ˚pV qq 1.35

“ ψV Npεθq.

Como ψV N é um isomorfismo, segue que χ “ εθ. Assim o diagrama pode ser completado eκ˚pV q é projetivo em Gradpbq.

Lema 2.3.4. Seja a uma álgebra de Lie Z-graduada. Se M P Gpaq é projetivo, então Mtambém é projetivo como elemento de Gradpaq.

Demonstração. Considere um diagrama da forma

M

ϕ

U ε // // V

em Gradpaq. Seja V 1 “ Impϕq e U 1 “ ε´1pV 1q. Como estes são a imagem e pré-imagem

de objetos em Gpaq eles estão em Gpaq. Assim, o diagrama abaixo pode ser completado

M

ϕ1

ψ

~~

U 1ε1 // //

j

V 1

i

Uε // // V

em Gpaq, onde i e j são as inclusões e ϕ “ iϕ1. Logo, M é um objeto projetivo emGradpaq.


Corolário 2.3.5. Seja κ : b Ñ a um homomorfismo de álgebras de Lie Z-graduadas.Então o funtor κ˚ : Gpaq Ñ Gpbq transforma resoluções projetivas em resoluções projetivas.

Demonstração. Seja P P Gpaq um objeto projetivo. Pelo Lema 2.3.4 P é um objetoprojetivo em Gradpaq. Pela Proposição 2.3.3 κ˚pP q é um objeto projetivo em Gradpbq,donde é um objeto projetivo em Gpbq, já que esta é uma subcategoria plena. Assim, κ˚

transforma objetos projetivos em objetos projetivos. Como ele também é exato, ele preservaresoluções.

2.3.2 Pull-back, Dualidade e Translação de Grau

Sejam a e b álgebras de Lie Z-graduadas e κ : b Ñ a um homomorfismode álgebras de Lie Z-graduadas. O funtor pull-back por κ, κ˚ : Moda Ñ Modb, ébem comportado com respeito a graduações no sentido que, dados M,N P Gpaq e f PHomGpaqpM,Nq, então

κ˚pMq, κ˚pNq P Gpbq e κ˚pfq P HomGpbq`

κ˚pMq, κ˚pNq˘

.

Temos então definido um funtor Gpaq Ñ Gpbq que ainda será denotado por κ˚. PelaObservação 2.2.4, podemos identificar Gpaq Ď Gpbq quando κ é a inclusão.

Exemplo 2.3.6. Sejam a uma álgebra de Lie Z-graduada, g “ ar0s e ev : aÑ g a projeçãocom respeito a decomposição de a em partes graduadas. Então, para cada A P Gpgq,

arrs ev˚pAq “ 0, para todo r ‰ 0.

Sejam a uma álgebra de Lie Z-graduada e i Ď a um ideal Z-graduado. DadoM P Gpaq, tM i

XM rpsupPZ é uma graduação em M i, donde M iP Gpaq. Assim como o

funtor pull-back, os funtores Z ia e G i

a definem funtores Gpaq Ñ Gpaq e Gpaq Ñ Gpaiq queainda serão denotados por Z i

a e G ia, respectivamente.

Dada uma álgebra de Lie Z-graduada a e um objeto M P Gpaq, seja M˚rps

o subespaço dos funcionais lineares f : M Ñ F de grau p, isto é, fpM rqsq “ 0, se queq ‰ ´p. Seja

DapMq “

à

pPZM˚rps. (2.5)

É fácil verificar que DapMq é um a-submódulo de M˚ e que h P Da

pMq se, e somentese, hpM rpsq ‰ 0 apenas para um número finito de índices p P Z. Dados um outro objetoN P Gpaq e um morfismo f : M Ñ N , defina

Dapfq : Da

pNq Ñ DapMq,

`

Dapfq

˘

phq “ h ˝ f, para todos h P DapNq.

Essa definição dá origem a um funtor aditivo contravariante Da : Gpaq Ñ Gpaq, chamadode “funtor dual graduado”.


Proposição 2.3.7. Seja a uma álgebra de Lie Z-graduada e suponha que F seja umobjeto injetivo em Fpar0sq. Então Da : Gpaq Ñ Gpaq é um funtor contravariante exatoe Da

˝ Da é equivalente ao funtor identidade. Em particular, transforma corresoluçõesinjetivas (projetivas) em resoluções projetivas (injetivas).

Demonstração. Considere uma sequência exata curta

0 ÑM 1 fÑM

gÑM2

Ñ 0

em Gpaq.

1. Ker`

Dapgq

˘

“ t0u. Dado h P Ker`

Dapgq

˘

, então h˝g “ 0. Como g é um epimorfismo,h “ 0.

2. Im`

Dapgq

˘

Ď Ker`

Dapfq

˘

. Dado h P DapM2

q, Dapfq

`

Dapgqphq

˘

“ ph ˝ gq ˝ f “

h ˝ pg ˝ fq “ 0.

3. Ker`

Dapfq

˘

Ď Im`

Dapgq

˘

. Seja h P DapMq tal que hf “ 0. Então, Ker

`

g˘

“

Im`

f˘

Ď Ker`

h˘

. Logo, existe um funcional linear ph : M2Ñ F tal que phg “ h.

Como g é epimorfismo phpM2rpsq “ t0u, se hpM rpsq “ t0u, donde ph P Da

pM2q. Logo,

h “`

Dapgq

˘

pphq.

4. Dapfq é epimorfismo. Dado um funcional linear h P pM 1

q˚rps, como F é um objeto

injetivo em Fpar0sq, existe um funcional linear ph : M Ñ F tal que phpmq “ 0, sem P M rqs, com q ‰ ´p, e hpm1

q “ ph`

fpm1q˘

, para todo m1P M 1

r´ps. Assim,ph P Da

pMq e, como h tem grau p, h “`

Dapfq

˘

pphq.

Assim, Da é exato. Para mostrar que é involutivo, para cada M P Gpaq, considere agora atransformação linear ΨM : M Ñ Da

`

DapMq

˘

dada por`

ΨMpmq˘

phq “ hpmq, para todos m PM e h P DapMq. (2.6)

Como, para cada x P a, m PM e DapMq temos

`

ΨMpxmq˘

phq “ hpxmq “ ´pxhqpmq “ ´`

ΨMpmq˘

pxhq “´

x`

ΨMpmq˘

¯

phq,

segue que ΨM é um morfismo de a-módulos Z-graduados. Como ΨM é um monomorfismo,e dimpM rpsq “ dim

´

`

pM rpsq˚˘˚¯

“ dimˆ

´

Da`

DapMq

˘

¯

rps

˙

, para todo p P Z, a Propo-

sição 2.3.11 garante que ΨM é um isomorfismo em Gpaq. É fácil ver que Ψ : 1Gpaq Ñ Da˝Da

é uma equivalência natural.

Lema 2.3.8. Sejam a e b álgebras de Lie Z-graduadas e κ : bÑ a um homomorfismo deálgebras de Lie Z-graduadas. Então, para cada V P Gpaq, as ações de b em κ˚

`

HomFpV,Fq˘

e HomF`

κ˚pV q,F˘

coincidem. Em particular, o funtor dual graduado comuta com o funtorpull-back por κ.


Demonstração. Fixe V P Gpaq, v P V e x P b. Se f P κ˚`

HomFpV,Fq˘

, então

px ¨ fqpvq “ pϕpxq ¨ fqpvq “ ´f`

κpxq ¨ v˘

.

Por outro lado, se g P HomF`

κ˚pV q,F˘

, então

px ¨ gqpvq “ ´gpx ¨ vq “ ´gpκpxq ¨ vq.

Logo, as ações coincidem. Em particular, olhando apenas para as partes graduadas,κ˚ ˝Da

“ Db˝ κ˚.

Dada uma álgebra de Lie Z-graduada a, o funtor τr : Gpaq Ñ Gpaq, chamado“funtor translação de grau por r”, onde r P Z, é definido nos objetos preservando a estruturade a-módulo e com a graduação

`

τrpMq˘

rps “M rp´ rs, para todos p P Z e M P Gpaq.

O funtor τr não altera os morfismos e, para cada s P Z,

τr ˝ τs “ τr`s.

2.3.3 Módulos Truncados

Nesta subseção, fixe uma álgebra de Lie Z-graduada a. Para cada p P Z, sejaGppaq a subcategoria plena de Gpaq dada pelos objetos M P Gpaq tais que

M rqs “ 0, para todo q ‰ p.

Se M P Gppaq é um objeto, então

arqsM “ 0, para todo q ‰ 0.

Cada V P Fpar0sq pode ser interpretado como um objeto em G0paq equipado com agraduação V r0s “ V e V rps “ 0, quando p ‰ 0 (vide observação 2.3.1). Desta formaidentificamos Fpar0sq com G0paq e temos que Gppaq “ τp

`

G0paq˘

, para todo p P Z.

Um objeto M P Gpaq é dito truncado inferiormente em grau p, com p P Z, seM rqs “ 0, para todo q ă p. Denote por Bpaq a subcategoria plena dos objetos truncadosinferiormente. Dados dois objetos M,N P Bpaq, suas Z-graduações induzem uma Z-graduação no produto tensorial M b N onde a q-ésima parte graduada é o subespaçovetorial gerado pelos elementos da forma mb n, com m PM ris, n P N rjs e i` j “ q. Acategoria Bpaq é tensorial, no sentido que se M,N P Bpaq, então M bN P Bpaq.

De uma maneira dual, um objeto M P Gpaq é dito truncado superiormente emgrau p, com p P Z, se M rqs “ t0u, para todo q ą p. Denote por B˚paq a subcategoria plenados objetos truncados superiormente. Como Bpaq, B˚paq é uma categoria tensorial.


Todos os funtores visto até o momento restringem-se a funtores nessas categoriase os funtores induzidos continuarão com a mesma notação. A demonstração da proposiçãoa seguir é imediata.

Proposição 2.3.9. A imagem de Bpaq (respectivamente B˚paq) pelo funtor dual graduadoé B˚paq (respectivamente Bpaq).

2.3.4 Invariantes e Dualidade para Produtos Tensoriais

Nesta subseção, fixe uma álgebra de Lie Z-graduada a.

Lema 2.3.10. Sejam i Ď a um ideal Z-graduado e M,N P Gpaq objetos. Se M i“ M ,

entãopM bNqi “M bN i.

Demonstração. Como a inclusão M bN iĎ pM bNqi é óbvia, vamos mostrar que pM b

Nqi Ď M bN i. Sejamÿ

iPI

mi b ni P M bN i, com mi linearmente independentes, e x P i.

Então0 “ x

´

ÿ

iPI

mi b ni

¯

“ÿ

iPI

mi b pxniq.

Como mi, com i P I, foram escolhidos linearmente independentes, o resultado segue.

A demonstração do lema a seguir é imediata.

Lema 2.3.11. Sejam M,N P Gpaq e f P HomGpaqpM,Nq um monomorfismo. Então, sedimpM rpsq – dimpN rpsq, para todo p P Z, f é um isomorfismo.

Lema 2.3.12. SejamM,N P Bpaq. Então DapMqbDa

pNq – DapMbNq como a-módulos

Z-graduados.

Demonstração. Considere o morfismo ϕ : DapMq bDa

pNq Ñ DapM bNq definido por

pϕpf b gqqpmb nq “ fpmqgpnq.

Então ϕ é um monomorfismo de a-módulos Z-graduados. Agora, como espaços vetoriais, ap-ésima parte graduada da esquerda é`

DapMq bDa

pNq˘

rps –à

rPZDapMqrrs bDa

pNqrp´ rs –à

rPZpM r´rsq˚ b pN rr ´ psq˚

tem a mesma dimensão que a p-ésima parte graduada da direita, pois,

DapM bNqrps – pM bN r´psq˚ – p

à

rPZM r´rsbN rr´psq˚ –

à

rPZpM r´rsq˚bpN rr´psq˚,

para cada p P Z. Agora, o resultado segue da Lema 2.3.11.

54

3 Resoluções Projetivas e Injetivas

Neste capítulo, fixaremos uma álgebra de Lie Z-graduada a tal que dimparqsq ă8 e arps “ 0 para todo p, q P Z, p ă 0. Denote por g a parte graduada ar0s e por a` oideal

à

pą0arps.

Com essa notação, é imediato que a é o produto semidireto

a “ g˙ a`.

O objetivo deste capítulo é encontrar os objetos simples em Gpaq, resoluçõesprojetivas e corresoluções injetivas para os objetos simples em Gpaq e mostrar que Bpaq éuma categoria com suficientes projetivos e B˚paq é uma categoria com suficientes injetivos.

3.1 Objetos simplesSeja P` um conjunto que parametrize a classes de isomorfismos dos objetos

simples em Fpgq. Para cada λ P P`, escolha um objeto simples V pλq para representar essaclasse. Defina Λ “ P` ˆ Z e V pλ, rq “ τrpV pλqq, para cada pλ, rq P Λ (consulte Subseções2.3.2 e 2.3.3).

Proposição 3.1.1. Para cada objetos simples M P Gpaq, existe um único φ P Λ tal queM – V pφq como objetos de Gpaq.

Demonstração. Como M ‰ t0u, existe r P Z tal que M rrs ‰ t0u. Seja N “ ‘qěrM rqs.Então, N é um subobjeto de M e N ‰ t0u. Logo, M “ N donde M rks “ 0, para k ă r.Seja agora U “ ‘pąrM rps. Então, U é um subobjeto de M e U ‰ M . Logo, U “ t0udonde M rks “ 0, para cada k ą r. Assim, M “ M rrs. Em particular, M é um objetosimples em Fpgq e existe único λ P S tal que M – V pλq, como g-módulos. Neste caso,M – V pλ, rq.

3.2 Adjunções e equivalênciasSejam b uma álgebra de Lie Z-graduada e κ : bÑ a um morfismo de álgebras

de Lie Z-graduadas. A álgebra associativa com unidade Upaq é um Upbq-módulo à direitadefinindo

η ¨ ξ “ η`

rκpξq˘

, para todos η P Upaq e ξ P Upbq, (3.1)

Capítulo 3. Resoluções Projetivas e Injetivas 55

onde rκ : Upbq Ñ Upaq é o único morfismo de álgebras associativas com unidade tal querκpxq “ κpxq, para todo x P b. Para cada V P Bpbq, definimos uma Z-graduação emUpaq bUpbq V como a p-ésima parte graduada sendo o subespaço gerado pelos elementosda forma

x1x2 ¨ ¨ ¨ xkbv, onde xi P arqis, para i “ 1, . . . , k, v P V rqs e q1`¨ ¨ ¨` qk` q “ p. (3.2)

assim como pelos elementos da forma 1b v, com v P V rps.

Proposição 3.2.1. Suponha que κ`

br0s˘

“ g. Considere a estrutura de Upbq-móduloà direita em Upaq dada por (3.1) e, para cada V P Bpbq, considere em Upaq bUpbq V aZ-graduação dada por (3.2). Então Upaq bUpbq V P Gpaq, onde a estrutura de a-módulo éa multiplicação pela esquerda.

Demonstração. Pode-se escolher c um subespaço vetorial Z-graduado de a tal que a “

c‘ κpbq1 e uma base ordenada β1 de c composta de elementos homogêneos. Seja β Ď Upaq

o subconjunto composto pelo elemento 1 assim como pelos elementos da forma x1x2 ¨ ¨ ¨ xk,com xj P β

1, j “ 1, . . . , k, k ą 0, e x1 ď x2 ď ¨ ¨ ¨ ď xk. Segue do Teorema de PBW que βé um subconjunto linearmente independente. Denote por Upcq o subespaço gerado por β econsidere a graduação semelhante à de Upaq. Temos que

`

Upcq b V˘

rps –p´rà

q“0

´

`

Upcq˘

rqs¯

b`

V rp´ qs˘

,

onde r é um inteiro tal que V rks “ t0u, para todo k ă r. Por hipótese, gX c “ 0, dondecada elemento de β tem grau positivo, com exceção do 1, isto é, o grau de x1x2 ¨ ¨ ¨ xk épelo menos k. Assim,

dim´

`

Upcq˘

rqs¯

ď dimpcqq ` 1

e`

Upcq˘

rqs tem dimensão finita, donde também`

Upcq b V˘

rps.

Agora, dada uma base β2 de V composta por elementos homogêneos, a trans-formação linear ψ : Upcq b V Ñ Upaq bUpbq V que satisfaz

ψpbb vq “ bb v, para todos b P β e v P β2

é um isomorfismo linear graduado. Assim,`

Upaq bUpbq V˘

rps tem dimensão finita, paratodo p P Z.

Proposição 3.2.2. Existe uma adjunção ϕ : Pκ % κ˚, onde

Pκ “ Upaq bUpbq l : Bpbq Ñ Bpaq1 No caso Fpgq seja uma categoria semissimples c pode se escolhido de tal maneira que pertencá a

categoria Bpgq


e κ˚ : Bpaq Ñ Bpbq é definido na página 44. Em particular, PκpV q é um objeto projetivoem Bpaq, para cada objeto projetivo V P Bpbq. Se κ é um monomorfismo de álgebras deLie Z-graduadas, então κ˚pMq é um objeto injetivo em Bpbq, para cada objeto injetivoM P Bpaq.

Demonstração. A demonstração é a mesma da Proposição 1.4.2 e notar que se κ é mono-morfismo então b – κpbq e que Upaq é um κpbq-módulo livre.

Dados uma álgebra de Lie Z-graduada b e um homomorfismo de álgebras deLie Z-graduadas κ : bÑ a, defina

I κ “ Da˝Pκ ˝Db : B˚pbq Ñ B˚paq.

Temos uma proposição análoga à Proposição 3.2.2.

Proposição 3.2.3. Sejam b uma álgebra de Lie Z-graduada e κ : bÑ a um homomorfismode álgebras de Lie Z-graduadas. Então, existe uma adjunção ψ : κ˚ % I κ. Em particular,I κpV q é um objeto injetivo em V P B˚paq, para cada objeto injetivo V P B˚pbq e κ˚pMqé um objeto projetivo em B˚pbq, para cada objeto projetivo M P B˚paq.

Quando κ : ar0s Ñ a é a inclusão, Pκ e I κ serão denotados por Pa e I a,respectivamente.

Proposição 3.2.4. Considere Upa`q com a estrutura de a-módulo definida no Lema 2.2.7e considere Upa`q b ev˚plq sendo um funtor Bpgq Ñ Bpaq, onde ev˚ é como no Exemplo2.3.6. Então, existe uma equivalência natural

ϕ : Upa`q b ev˚plq – Pa.

Além disso,Upa`q b ev˚pV q “ Pa`pV q, para cada V P Bpgq,

como a`-módulos Z-graduados. Em particular, Pa`pV q P Bpaq.

Demonstração. Fixe V P Bpgq, η P Upa`q, v P V , x P g e y P a`. Por definição, Pa`pV q éo a`-módulo Upa`q b V com a multiplicação pela esquerda. Agora, a estrutura usual dea`-módulo no produto tensorial Upa`q b ev˚pV q nos dá

ypη b vq “ pyηq b v ` η b pevpyqvq “ pyηq b v ` η b p0vq “ pyηq b v,

que também é a multiplicação pela esquerda. Logo, a estrutura de a`-módulo coincide.Podemos então equipar Pa`pV q com uma estrutura de a-módulo.


Para a primeira afirmação, considere a transformação linear ϕV : Upa`q bev˚pV q Ñ PapV q dada por ϕV pη b vq “ η b v, para todos η P Upa`q e v P V . Por PBW,ϕV é um isomorfismo linear. Além disso, se x P g e y P a`,

ϕV pxpη b vqq “ ϕV`

pxηq b v ´ pηxq b v ` η b pxvq˘

“ pxηq b v ``

´ pηxq b v ` η b pxvq˘

“ xpη b vq “ x`

ϕV pη b vq˘

,

eϕV

`

ypη b vq˘

“ ϕV`

pyηq b v˘

“ pyηq b v “ ypη b vq “ y`

ϕV pη b vq˘

.

Assim, ϕ é um isomorfismo de a-módulos Z-graduados. É rotina checar a naturalidade emV .

3.3 Apresentações Projetivas e InjetivasPara a adjunção da Proposição 3.2.2 seja δ : Pκ ˝ κ

˚Ñ 1Bpaq a counidade (ver

a definição em (1.34)).

Proposição 3.3.1. Sejam b uma álgebra de Lie Z-graduada e κ : bÑ a um homomorfismode álgebras de Lie Z-graduadas. Então,

(a) Para cada M P Bpaq tal que κ˚pMq P Bpbq é um objeto projetivo,

Pκ

`

κ˚pMq˘ δMÑM Ñ 0

é uma apresentação projetiva;

(b) A apresentação projetiva acima é uma cobertura projetiva, caso M P Grpaq, paraalgum r P Z, e κ

`

br0s˘

“ ar0s.

Demonstração. Tem-se que δM : Pκ

`

κ˚pMq˘

Ñ M satisfaz δpη bmq “ ηm para todosη P Upaq e m P M . Como δMp1 b mq “ m para todo m P M , segue que δM é umepimorfismo.

Supondo que M P Grpaq para algum r P Z, N P Bpaq e

h P HomGpaq

´

N,Pκ

`

κ˚pMq˘

¯

é tal que δMh é um epimorfismo, mostraremos que h é um epimorfismo. Dado m PM existen P N tal que δMphpnqq “ m. Em particular, hpnq tem grau r. Como Pκ

`

κ˚pMq˘

rrs “

Upgq bUpbq M , segue que hpnq “ÿ

iPI

µi bmi, com µi P Upgq e mi P M , para todo i P I.

Pela definição de δM , m “ÿ

iPI

µimi. Segue da hipótese que µi “ rκpξiq, onde ξi P Upbq e

rκ : Upbq Ñ Upaq é definido em (3.1). Logo,

µi bmi “ 1µi bmi “ 1rκpξiq bmi “ 1 ¨ ξi bmi “ 1b ξi ¨mi “ 1b rκpξiqmi “ µimi


e, dado η P Upaq,

ηbm “ ηp1bmq “ η

ˆ

1bÿ

iPI

µimi

˙

“ η

ˆ

ÿ

iPI

1bµimi

˙

“ η

ˆ

ÿ

iPI

µibmi

˙

“ ηhpnq “ hpηnq.

Assim, h é um epimorfismo.

Para a adjunção da Proposição 3.2.3 seja ε : 1B˚paq Ñ I κ ˝ κ˚ a unidade (ver a

definição em (1.33)).

Proposição 3.3.2. Sejam b uma álgebra de Lie Z-graduada e κ : bÑ a um homomorfismode álgebras de Lie Z-graduadas. Então,

(a) Para cada M P B˚paq tal que κ˚pMq P B˚pbq é um objeto injetivo,

0 ÑMεMÑ I κ

`

κ˚pMq˘

é uma apresentação injetiva;

(b) A apresentação injetiva acima é uma cobertura injetiva, caso M P Grpaq, para algumr P Z, e κ

`

br0s˘

“ ar0s.

Proposição 3.3.3. Seja M P Bpaq um objeto projetivo. Então M é também é um objetoprojetivo em Gpaq. Em particular, para qualquer par de objetos M,N P Bpaq,

ExtnBpaqpM,Nq – ExtnGpaqpM,Nq, para todo n ě 0.

Demonstração. Seja r P Z tal que M rps “ 0 quando p ă r e considere um diagrama daforma

M

ϕ

U ε // // V

em Gpaq. Sejam V 1 “ÿ

pěr

V rps e U 1 “ ε´1pV 1q. Note que ϕpMq Ď V 1. Então, V 1, U 1 P Bpaq

e temos um diagramaM

ϕ1

ψ

~~

U 1 ε1 // //

j

V 1

i

Uε // // V

em Bpaq que pode ser completado, já que M é um objeto projetivo em Bpaq, onde i, j sãoas inclusões e ϕ “ iϕ1. Assim podemos o completar o primeiro diagrama com jψ.

Em particular, cada resolução projetiva em Bpaq é uma resolução projetiva emGpaq.


Proposição 3.3.4. Seja M P B˚paq um objeto injetivo. Então M é também é um objetoinjetivo em Gpaq. Em particular, para qualquer par de objetos M,N P B˚paq,

ExtnB˚paqpM,Nq – ExtnGpaqpM,Nq, para todo n ě 0.

3.4 Resolução de Chevalley-EilenbergDe agora em diante, suponha que Fpgq seja uma categoria semissimples. A

primeira consequência dessa hipótese é a proposição abaixo.

Proposição 3.4.1. A categoria Gpgq é semissimples.

Demonstração. Seja V P Gpgq um objeto e W Ď V um subobjeto. Como Fpgq é semis-simples, para cada p P Z, existe um objeto U rps P Fpgq tal que V rps “ W rps ‘ U rps.Defina

U “ ‘pPZU rps.

Segue que U P Gpgq e V “ W ‘ U .

Proposição 3.4.2. Para cada par de objetos V P Bpgq e W P B˚pgq, PapV q P Bpaq éum objeto projetivo e I apW q P B˚paq é um objeto injetivo. Além disso, a categoria Bpaqpossui suficientes projetivos e a categoria B˚paq possui suficientes injetivos.

Demonstração. Como a categoria Gpgq é semissimples, pela Proposição 3.4.1, segue queV é um objeto projetivo e W um objeto injetivo. Assim, pelas Proposições 3.2.2 e 3.2.3,segue que PapV q P Bpaq é um objeto projetivo e I apW q P B˚paq é um objeto injetivo. Asegunda parte é consequência imediata da Proposição 3.4.1 combinada com as Proposições3.3.1 e 3.3.2.

A Z-graduação de a induz uma Z-graduação em ^na` onde a q-ésima parte

graduada é o subespaço vetorial gerado pelos elementos da forma x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn, comxi P arqis, q1 ď q2 ď ¨ ¨ ¨ ď qn e q1 ` ¨ ¨ ¨ ` qn “ q, para todo n P Z. Consideremos aResolução de Chevally–Eilenberg da álgebra a`, [HS70],

pPl, Blq : ¨ ¨ ¨ Ñ P2B2Ñ P1

B1Ñ P0 Ñ 0, (3.3)

onde Pn “ Upa`q b ev˚p^na`q, para n ě 0, e as diferenciais são dadas pelas fórmulas

Bnpη b x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq “nÿ

i“1p´1qi`1ηxi b x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ¨ ¨ ¨ ^ xn

`ÿ

1ďiăjďnp´1qi`jη b rxi, xjs ^ x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxj ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn,

(3.4)


para η P Upa`q, xi P a`, i “ 1, . . . , n e n ą 0. Definindo a p-ésima parte graduada de Pncomo a definida no produto tensorial como na página 52 temos uma Z-graduação. Com aestrutura de a-módulo dada pelo lema 2.2.7 em Upa`q e a estrutura usual de a-módulousual no produto tensorial temos que Pn – Pa`p^

na`q P Bpaq. O lema abaixo mostra queas diferenciais são homomorfismo de a-módulos Z-graduados.

Lema 3.4.3. As diferenciais da Resolução de Chevalley–Eilenberg são homomorfismo dea-módulos Z-graduados. Em particular, (3.3) é uma resolução projetiva do corpo F emGpaq.

Demonstração. A única coisa que precisa ser demonstrada é que são homomorfismos deg-módulos. Fixe η P Upa`q, xi P a`, i “ 1, . . . , n, n ą 0 e z P g. Para simplificar a notação,denotaremos x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xn simplesmente por x1 ¨ ¨ ¨ xn. Como

zpη b x1 ¨ ¨ ¨ xnq “ z`

ηp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘

“ pzηqp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq

“ rz, ηsp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq ´ pηzqp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq

“ rz, ηsp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq ´ η`

zpx1 ¨ ¨ ¨ xnq˘

temos que

Bn`

zpη b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘

“ rz, ηs`

Bnp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘

´ η´

Bn`

zp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘

¯

.

Logo, seBn`

zp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘

“ z`


teremos que

Bn`

zpη b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘

“ rz, ηs`


´ η´

z`


¯

“ rz, ηs`


´ pηzq`


“ pzηq`


“ z´

η`


¯

“ z´

Bn`

ηp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘

¯

“ z`

Bnpη b x1 ¨ ¨ ¨ xnq˘

.

Assim, basta verificar que δn é homomorfismo de a-módulos Z-graduados para os elementosda forma 1b x1 ¨ ¨ ¨ xn. Tendo em mente que

zp1b x1 ¨ ¨ ¨ xnq “nÿ

p“11b x1 . . . rz, xps . . . xn,


obtemos

Bn`

z ¨ p1b x1 . . . xnq˘

“ÿ

1ďiăpďnp´1qi`1xi b x1 . . . pxi . . . rz, xps . . . xn (3.5)

`

nÿ

p“1p´1qp`1

rz, xps b x1 . . . pxp . . . xn (3.6)

`ÿ

1ďpăiďnp´1qi`1xi b x1 . . . rz, xps . . . pxi . . . xp (3.7)

`ÿ

1ďiăjăpďnp´1qi`j1b rxi, xjsx1 . . . pxi . . . pxj . . . rz, xps . . . xn (3.8)

`ÿ

1ďiăpďnp´1qi`p1b rxi, rz, xpssx1 . . . pxi . . . pxp . . . xn (3.9)

`ÿ

1ďiăpăjďnp´1qi`j1b rxi, xjsx1 . . . pxi . . . rz, xps . . . pxj . . . xn (3.10)

`ÿ

1ďpăjďnp´1qj`p1b rrz, xps, xjsx1 . . . pxp . . . pxj . . . xn (3.11)

`ÿ

1ďpďiăjďnp´1qi`j1b rxi, xjsx1 . . . rz, xps . . . pxi . . . pxj . . . xn. (3.12)

Por outro lado

z ¨ Bnp1b x1 . . . xn bmq “nÿ

r“1p´1qr`1

rz, xrs b x1 . . . pxr . . . xn (3.13)

`ÿ

1ďqărďnp´1qr`1xr b x1 . . . rz, xqs . . . pxr . . . xn (3.14)

ÿ

1ďrăqďnp´1qr`1xr b x1 . . . pxr . . . rz, xqs . . . xn (3.15)

`ÿ

1ďrăsďnp´1qr`s1b rrz, xrs, xssx1 . . . pxr . . . pxs . . . xn (3.16)

`ÿ

1ďrăsďnp´1qr`s1b rxr, rz, xsssx1 . . . pxr . . . pxs . . . xn (3.17)

`ÿ

1ďqărăsďnp´1qr`s1b rxr, xssx1 . . . rz, xqs . . . pxr . . . pxs . . . xn

(3.18)

`ÿ

1ďrăqăsďnp´1qr`s1b rxr, xssx1 . . . pxr . . . rz, xqs . . . pxs . . . xn

(3.19)

`ÿ

1ďrăsăqďnp´1qr`s1b rxr, xssx1 . . . pxr . . . pxs . . . rz, xqs . . . xn.

(3.20)

Agora basta notar que (3.5) “ (3.15), (3.6) “ (3.13), (3.7) “ (3.14), (3.8) “ (3.20), (3.9)“ (3.17), (3.10) “ (3.19), (3.11) “ (3.16) e (3.12) “ (3.18), donde Bn é um homomorfismode a-módulos. Como (3.3) é uma resolução de F e Pn é projetivo, pela Proposição 3.2.4, asegunda afirmação segue.


Tem-se que (3.3) é uma resolução projetiva de F tanto em Bpaq quanto emBpa`q, pelo Lema 3.4.3. Dado V P Bpgq e tensorizando (3.3) por V temos uma resoluçãoprojetiva

pP Vl , B

Vlq : ¨ ¨ ¨ Ñ P2 b ev˚pV q d2b1V

Ñ P1 b ev˚pV q d1b1VÑ P0 b ev˚pV q Ñ 0, (3.21)

de ev˚pV q em Bpaq assim como em Bpa`q, já que o funtor lb ev˚pV q é exato nas duascategorias, com Pn b ev˚pV q “ Pa`p^

na` b V q. Em particular, se V P Grpaq, para algumr P Z, (3.21) é uma resolução projetiva de V em Bpaq e em Bpa`q.

Observação 3.4.4. Dado M P Grpaq, para algum r P Z, aplique o funtor Da em (3.21)para V “M˚

“ DapMq. Então, o cocomplexo

`

Da`pP Vl q,D

a`pBVlq˘

0 Ñ Da``

Pa`pM˚q˘

Ñ D`a`

Pa`pa`q bM˚˘

Ñ D`a`

Pa`p^2a` bM

˚q˘

Ñ ¨ ¨ ¨ (3.22)

é uma coresolução injetiva de M em B˚paq e B˚pa`q.

63

4 Grupos de Extensões

Sejam a, a`, g e Fpgq como no Capítulo 3 com Fpgq semissimples. Este capítuloé motivado pela seguinte pergunta natural: Calcule ExtnGpaqpV,W q sendo V e W objetossimples de Gpaq. A primeira seção deste capítulo mostra que esta pergunta é equivalenteà de calcular ExtnGpa`qpF,Mq com M P Grpaq para algum r P Z. Em vários contextos,o cálculo deste último é feito utilizando-se a chamada Sequência Espectral de Lyndon–Hochschild–Serre (LHS). Porém, este procedimento não é diretamente aplicável no nossocontexto como explicado abaixo.

Originalmente, LHS é obtida do Teorema 1.3.1 com G “ HomipF,lq e F “

HomaipF,lq. Tentando aplicar o Teorema 1.3.1 para G “ HomGpiqpF,lq tem-se o contra-tempo que G pMq não é um ai-módulo quando i ‰ a` pois, se x P arps com p ą 0, então,para cada ψ P G pMq,

px` iqψ “ xψ tem grau p e xψ R G pMq.

Tentando aplicar o Teorema 1.3.1 para G “ HomipF,lq tem-se o contratempo que, comouma corresolução injetiva em Gpaq não é necessariamente uma corresolução injetiva emModi,

RqG ‰ Extqi pF,lq.

Assim, boa parte da segunda seção deste capítulo é dedicada a calcular RqG

quando G “ HomipF,lq : B˚paq Ñ B˚paiq e i Ď a` é um ideal concentrado em algumgrau. Neste caso, o Teorema 4.2.6 apresenta uma variação da Sequência Espectral LHSpara a categoria Gpaq. Na terceira seção aplicamos o resultado no caso em que a é truncadaem grau k0 ` 1, isto é, ark0s ‰ 0 e arks “ 0, para todo k ą k0, obtendo para i “ ark0s oTeorema 4.3.1, que garante a existência de uma sequência espectral pEl,l

r , dl,lr qrą0 tal que

Ep,qr ñ Extp`qGpaqpF,Mq,

comEp,q

2 “ ExtpGpaark0sq

´

F,`

^qpark0sq

˘˚bM

¯

,

para todo M P Grpaq.

4.1 Redução ao Caso de Extensões da Representação TrivialLema 4.1.1. Seja κ : gÑ a a inclusão. Dados V P Bpgq eM P Bpaq, existe um isomorfismode g-módulos

ϕVM : HomBpa`q`

Upa`q b V,M˘

Ñ HomBp0q`

V, κ˚pMq˘

Capítulo 4. Grupos de Extensões 64

natural em V e M .

Demonstração. A Proposição 1.4.2 aplicada a Pa` e ao pull-back da inclusão 0 Ñ a`

garante a existência do isomorfismo linear ϕVM natural em V e M . Para verificar que éum isomorfismo de g-módulos, sejam x P g, v P V e g P HomBpaqpPκpV q,Mq. Daí`

ϕVMpxgq˘

pvq “ pxgqp1b vq “ x`

gp1b vq˘

´ g`

xp1b vq˘

“ x´

`

ϕVMpgq˘

pvq¯

´ g`

1b pxvq˘

“ x´

`

ϕVMpgq˘

pvq¯

´`

ϕVMpgq˘

pxvq

“

´

x`

ϕVMpgq˘

¯

pvq.

Logo, ϕVM é um morfismo de g-módulos.

Proposição 4.1.2. Sejam M P Grpaq e N P Gspaq, onde r, s P Z. Então

ExtnBpaqpM,Nq –`

ExtnBpa`qpM,Nq˘g para todo n ě 0.

Demonstração. Para calcularmos ExtnBpa`qpM,Nq, aplique HomBpa`qpl, Nq em (3.21) comV “M . Assim,

ExtnBpa`qpM,Nq – H n`

HomBpa`qpPMl , Nq,HomBpa`qpB

Ml , Nq

˘

.

Como Fpgq é semissimples, cada objeto é projetivo, donde g : Fpgq Ñ Fpgq é exato ecomuta com o funtor cohomologia, já que este funtor é equivalente a HomgpF,lq. Logo,

`

ExtnBpa`qpM,Nq˘g–

´

H n`

HomBpa`qpPMl , Nq,HomBpa`qpB

Ml , Nq

˘

¯g

– H n

ˆ

”

HomBpa`qpPMl , Nq

ıg

,”

HomBpa`qpBMl , Nq

ıg˙

Agora, para quaisquer objetos W,U P Bpaq, tem-se que

HomBpaqpW,Uq “`

HomBpa`qpW,Uq˘g. (4.1)

De fato, um morfismo f P HomBpaqpW,Uq é um morfismo de grau 0 tal que xf “ 0,para todo x P a. Por outro lado, um morfismo g P

`

HomBpa`qpW,Uq˘g é um morfismo

g P HomBpa`qpW,Uq tal que yg “ 0, para todo y P g. Mas, como g P HomBpa`qpW,Uq, g éum morfismo de grau 0 tal que zg “ 0, para todo z P a`. Logo, as definições coincidem e(4.1) segue. Assim,

`

ExtnBpa`qpM,Nq˘g–H n

ˆ

”

HomBpa`qpPMl , Nq

ıg

,”

HomBpa`qpBMl , Nq

ıg˙

(4.1)– H n

`

HomBpaqpPMl , Nq,HomBpaqpB

Ml , Nq

˘

–ExtnBpaqpM,Nq,

e o resultado segue.


Proposição 4.1.3. Sejam M P Grpaq e N P Gspaq, onde r, s P Z. Então

ExtnBpaqpM,Nq – ExtnBpaqpF,M˚bNq para todo n ě 0.

Demonstração. Pela Proposição 4.1.2, basta mostrar o resultado para a` no lugar de a.Note agora que Gp0q é a categoria dos espaços vetoriais Z-graduados com partes graduadasde dimensão finita. Lembramos que para quaisquer espaços vetoriais de dimensão finita A,B e C tem-se que

HomF`

AbB,C˘

– HomF`

A,HomFpB,Cq˘

.

Para calcular ExtnBpa`qpM,Nq, aplique HomBpa`qpl, Nq em (3.21) com V “M . Daí, peloLema 4.1.1,

HomBpa`q`

PMn , N

˘

– HomBp0q`

ev˚p^na`q bM,N˘

– HomF`

p^na`qrs´ rs bM,N

˘

– HomF`

p^na`qrs´ rs,HomFpM,Nq

˘

– HomBp0q`

^na`,HomFpM,Nq

˘

– HomBpa`q`

Pn,HomFpM,Nq˘

.

Como tais isomorfismos são naturais, são compatíveis com as diferenciais, no sentido queo cocomplexo HomBpa`q

`

PlpMq, N˘

é isomorfmo ao cocomplexo

HomBpa`q`

PlpFq,HomFpM,Nq˘

.

Como HomF`

M,N˘

–M˚bN como g-módulos, o resultado segue.

Pelas Proposições 3.3.3, 4.1.2 e 4.1.3, para calcular

ExtnGpaq`

V,W q,

onde V e W são objetos simples de Gpaq, é suficiente calcular

ExtnBpa`qpF,Mq

para todo M P Grpaq e para todo r P Z.

Pelo Lema 4.1.1, existe um isomorfismo natural de g-módulos

ϕn : HomBpa`q`

Pa`p^na`q,M

˘

Ñ HomBp0qp^na`,Mq

para todo M P Grpaq. Para cada n ě 1. Em particular, se M é concentrado em algumgrau r P Z temos que

HomBp0qpN,Mq “ HomFpN rrs,Mq

para todo N P Bpa`q, e podemos entender ϕn como um isomorfismo de

HomBpa`q`

Pa`p^na`q,M

˘

Ñ HomF`

p^na`qrrs,M

˘

.


A composta ϕn ˝ δn ˚˝ ϕn´1 dá origem há um homomorfismo de g-módulos

∆n : HomF`

p^n´1a`qrrs,M

˘

Ñ HomF`

p^na`qrrs,M

˘

.

Para f P HomF`

p^n´1a`qrrs,M

˘

, xi P a`, i “ 1, . . . , n, temos

`

∆npfq

˘

px1^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq “nÿ

i“1p´1q1`ixifpx1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq

`ÿ

1ďiăjďnp´1qi`jfprxi, xjs ^ x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxj ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq

“ÿ

1ďiăjďnp´1qi`jfprxi, xjs ^ x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxj ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq,

já que fpx1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq PM e xM “ 0 para todo x P a`, pois M é concentradoem grau r. Note que ∆0

“ 0. Um raciocínio análogo ao da demonstração do Lema 3.4.3mostra que δn : ^na` Ñ ^

n´1a` definido por

δnpx1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ xnq “ÿ

1ďiăjďnp´1qi`jrxi, xjs ^ x1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pxi ^ . . .^ pxj ^ . . .^ xn (4.2)

é um homomorfismo de g-módulos para todo n ą 1. Complete a definição fazendo δ0 “ 0.Temos que ∆n

“ δ˚n para todo n ě 0. Logo, temos um isomorfismo ϕl entre os complexos´

HomBpa`q`

Pa`p^la`q,M

˘

,HomBpa`q`

Bl,M˘

¯

e`

HomF`

p^la`qrrs,M

˘

,HomFpδl,Mq˘

.

Esse raciocínio demonstra a proposição abaixo.

Proposição 4.1.4. Seja M P Grpaq. Então,

ExtnBpa`qpF,Mq –g H n`

HomF`

p^la`qrrs,M

˘

,HomFpδl,Mq˘

para todo n ě 0.

Corolário 4.1.5. Seja M P Grpaq com r ă 0. Então

ExtnBpaqpF,Mq “ 0 para todo n ě 0.

Demonstração. Pela Proposição 4.1.2, basta mostrar o resultado para a` no lugar de a.Pela Proposição 4.1.4, como

p^na`qrrs “ 0 para todo n ě 0,

o cocomplexo que iremos calcular a cohomologia é nulo, logo a cohomologia é nula.

Proposição 4.1.6. Suponha que a` seja uma álgebra de Lie abeliana. Então, seM P Grpaq,para algum r P Z, temos que

ExtnBpaqpF,Mq – Homgpp^na`qrrs,Mq para todo n ě 0. (4.3)


Demonstração. Como a` é abeliana, segue que (4.2) dada na Proposição 4.1.4 é nula,donde

H n`

HomF`

p^la`qrrs,M

˘

,HomFpδl,Mq˘

– HomF`

p^la`qrrs,M

˘

.

Logo, pela Proposição 4.1.4 temos que

ExtnBpa`qpF,Mq – HomBp0qp^na`,Mq – HomF

`

p^na`qrrs,M

˘

.

Daí, pela Proposição 4.1.2,

ExtnBpaqpF,Mq –”

HomF`

p^na`qrrs,M

˘

ıg

– Homg

`

p^na`qrrs,M

˘

.

Supondo que arks “ 0 para k ą 1, temos que a` é uma álgebra de Lie abeliana.Sejam pλ, rq, pµ, sq P Λ. Combinando as Proposições 4.1.3 e 4.1.6 temos que

ExtnBpaq`

V pλ, rq, V pµ, sq˘

– ExtnBpaq`

F, V pλ, rq˚ b V pµ, sq˘

– Homg

`

p^na`qrs´ rs, V pλ, rq

˚b V pµ, sq

˘

.

Como ^na` é concentrado em grau n, segue que p^na`qrs´ rs “ 0 caso n ‰ s´ r. Logo,juntando isso ao fato que Homg

`

p^na`qrs ´ rs, V pλ, rq˚ b V pµ, sq

˘

– Homg

`

p^na`qrs ´

rs b V pλ, rq, V pµ, sq˘

e à Proposição 3.3.3, segue que

ExtnGpaq`


–

$

&

%

0 caso n ‰ s´ r

Homg

`

p^na`qrs´ rs b V pλ, rq, V pµ, sq

˘

caso n “ s´ r.

(4.4)Esse resultado é a Proposição 3.2 de [CG09].

Teorema 4.1.7. Sejam a “ gb Frts, pλ, rq, pµ, sq P Λ. Então

Ext1Gpaq

`


“

$

&

%

0 se s´ r ‰ 1

Homg

`

V pλq b g, V pµq˘

caso contrário.

Demonstração. Se M P Gpaq é um objeto concentrado em grau t o Teorema 4.1.4 dá que

Ext1Bpa`qpF,Mq “

kerpδ˚2 qImpδ˚1 q

rts – Homg

´

`

kerpδ1q Impδ2q˘

rts,M¯

(4.5)

Como δ1 é identicamente nula,`

kerpδ1q˘

rts “ a`rts. Assim, para t ď 0,`

kerpδ1q˘

rts “ 0 eExt1

Bpa`qpF,Mq “ 0, por (4.5). Como g é simples, em particular não é abeliana, existemx, y P g com rx, ys ‰ 0. Se t ą 1, a equação a` b “ t possui solução com inteiros positivos,logo

δ2pxb ta^ y b tbq “ rx, ys b ta`b ‰ 0,


donde, por (4.29), a restrição de δ2 à parte de grau t é um epimorfismo e, por (4.5),Ext1

Bpa`qpF,Mq “ 0. Agora, para t “ 1, p^2a`qrts “ 0 e, por (4.29), a restrição de δ2

à parte de grau 1 é nula, donde Ext1Bpa`qpF,Mq “ Homgpg,Mq, por (4.5). Tomando

M “`

V pλ, rq˘˚b V pµ, sq o resultado segue combinando as Proposições 3.3.3, 4.1.2 e

4.1.3.

Assim encerramos essa seção com um método alternativo para se calcular ogrupo de extensões entre objetos simples. Na próxima seção introduziremos mais ummétodo para se calcular o grupo de extensões entre objetos simples que pode ser usadopara complementar o método visto acima e de fato isso será feito na Seção 4.3.

4.2 Uma Sequência de Lyndon–Hochschild–SerreNesta seção fixe um ideal i Ď a` Z-graduado de a, σ : a Ñ ai a projeção

canônica e π : Upa`q Ñ Upa`iq o único homomorfismo de álgebras associativas comunidade tal que πpxq “ x` i para todo x P a`. Pela Proposição 2.2.6,

G “ G ia : B˚paq Ñ B˚paiq

é um funtor exato à esquerda que transforma objetos injetivos de B˚paq em objetos injetivosde B˚paiq. Seja F “ HomB˚paiqpF,lq : B˚paiq Ñ Fpgq. Segue então de (1.3) que

RqF pG pIqq“ExtqB˚paiq`

F,G pIq˘

“ 0, para todos q ą 0 e objeto injetivo I P B˚paq,

donde estamos nas condições do Teorema 1.3.1. Assim, para cada M P B˚paq, existe umasequência espectral pEl,l

r , dl,lr qrě1 tal que

Ep,qr ñ Rp`q

pF ˝ G qpMq,

comEp,q

2 “ RpF`

RqpG qpMq

˘

“ExtpB˚paiq`

F,RqG pMq˘

.

O lema abaixo melhora substancialmente esse resultado.

Lema 4.2.1. Existe uma equivalência natural ϕ : F ˝ G Ñ HomB˚paqpF,lq.

Demonstração. Dado M P B˚paq, seja

ϕM : HomB˚paiqpF,M iq Ñ HomB˚paqpF,Mq

definida por`

ϕMpfq˘

p1q “ fp1q para toda f P HomB˚paiqpF,M iq. Para verificar que ϕMpfq

é um homomorfismo de a-módulos, seja x P a e veja que´

x ¨`

ϕMpfq˘

¯

p1q “ x´

`

ϕMpfq˘

p1q¯

´`

ϕMpfq˘

px1q “ x`

fp1q˘

´ 0(2.2)“ px` iqfp1q “ f

`

px` iq1˘

“ 0.


Logo, ϕM está bem definida. Para mostrar que é um homomorfismo de g-módulos, sejax P g. Então, para cada f P HomB˚paiqpF,M i

q,

ϕMpx ¨ fq(2.2)“ ϕM

`

px` iq ¨ fq “ ϕMp0q “ 0 “ x ¨`

ϕMpfq˘

.

É rotina checar que ϕ é natural em M e que

ψM : HomB˚paqpF,Mq Ñ HomB˚paiqpF,M iq

definida por`

ψMpgq˘

p1q “ gp1q é a inversa de ϕM .

Corolário 4.2.2. Existe uma sequência espectral pEl,lr , dl,l

r qrě1 tal que

Ep,qr ñ Extp`qB˚paqpF,Mq,

comEp,q

2 “ RpF`

RqpG qpMq

˘

“ExtpB˚paiq`

F,RqG pMq˘

,

para cada M P B˚paq.

Demonstração. Basta aplicar o Teorema 1.3.1 e o Lema 4.2.1.

A seguir, iremos procurar condições sobre i para que seja possível calcularRqpG qpMq com M P Grpaq para algum r P Z.

A Proposição 3.2.4 fornece uma estrutura de a-módulo em Pa`pV q, a saber

x ¨ η b v “ px ¨ ηq b v ` η b`

evpxqv˘

para todos x P a, η P Upa`q e v P V, (4.6)

onde x¨η é dado pelo Lema 2.2.7. A mesma proposição fornece uma estrutura de ai-móduloem PaìpV q, a saber

px` iq ¨`

πpηqbv˘

“`

πpx ¨ηq˘

bv`πpηqb`

evpxqv˘

para todos x P a, η P Upa`q e v P V,

já que π é um homomorfismo de a-módulos. Tem-se que σ˚`

PaìpV q˘

é um a-módulocom estrutura

x¨`

πpηqbv˘

“`

πpx¨ηq˘

bv`πpηqb`

evpxqv˘

para todos x P a, η P Upa`q e v P V. (4.7)

Lembramos ainda que (2.2) define uma estrutura de ai-módulo em Homi

`

Pa`pV q,F˘

por

px` iq ¨ f “ xf para toda f P Homi

`

Pa`pV q,F˘

.

Proposição 4.2.3. (i) Existe um equivalência natural

ϕ : Homi

`

Pa`plq,F˘

Ñ HomF

´

σ˚`

Paìplq˘

,F¯

,

de funtores Bpgq Ñ Moda tal que ϕM preserva as partes graduadas para todoM P Bpgq;


(ii) Existe um equivalência natural

ϕ : Homi

`

Pa`plq,F˘

Ñ HomF`

Paìplq,F˘

,

de funtores Bpgq Ñ Modai tal que ϕM preserva as partes graduadas para todoM P Bpgq.

Demonstração. As duas partes são demonstradas de maneira análoga com a mesmaequivalência natural. Demonstraremos que ela é um homomorfismo de a-módulos. DadoM P Bpgq, defina

ϕM : Homi

`

Upa`q b ev˚pMq,F˘

Ñ HomF`

Upaìq b ev˚pMq,F˘

por`

ϕMpfq˘`

πpηq bm˘

“ fpη bmq para f P Homi

`

Upa`q b ev˚pMq,F˘

, η P Upaq e m PM.

Para mostrar que ϕM está bem definida, note que, como i ¨ f “ 0, então Upaqi ¨ f “ 0.Logo, se η ´ ζ P Upaqi,

0 “`

pη´ζq¨f˘

p1bmq “ ´f`

pη´ζqp1bmq˘

“ fpζbmq´fpηbmq, para qualquer m PM.

Agora, para mostrar que é homomorfismo de a-módulos, sejam x P a, f P Homi

`

Upa`q b

ev˚pMq,F˘

e m PM . Então, por um lado`

ϕMpx ¨ fq˘`

πpηq bm˘

“ px ¨ fqpη bmq “ ´f`

x ¨ pη bmq˘

(4.6)“ ´f

`

px ¨ ηq bm˘

´ f´

η b`

evpxqm˘

¯

.

Por outro lado,´

x ¨`

ϕMpfq˘

¯

`

πpηq bm˘

“ ´`

ϕMpfq˘`

x ¨ pπpηq bmq˘

(4.7)“ ´

`

ϕMpfq˘`

πpx ¨ ηq bm˘

´`

ϕMpfq˘

´

πpηq b`

evpxqm˘

¯

“ ´f`

px ¨ ηq bm˘

´ f´

η b`

evpxqm˘

¯

.

Agora é rotina checar que ϕM preserva partes graduadas, que é natural em M , e que ohomomorfismo

ψM : HomF`

Upaìq b ev˚pMq,F˘

Ñ Homi

`

Upa`q b ev˚pMq,F˘

, g ÞÑ g ˝ pπ b 1Mq

é o morfismo inverso de ϕM .

Relembre a definição do funtor dos i-invariantes em Moda definida em (2.1).

Corolário 4.2.4. Temos que:


(i) Existe uma equivalência natural

Z ia ˝Da

˝Pa` – σ˚ ˝Dai˝Paì

de funtores Bpgq Ñ B˚paq;

(ii) Existe uma equivalência natural

G ia ˝Da

˝Pa` – Dai˝Paì

de funtores Bpgq Ñ B˚paiq.

Demonstração. Basta repetir a demonstração da Proposição 4.2.3 e utilizar o Lema 2.3.8para mostrar que Da

˝ σ˚ “ σ˚ ˝Dai.

O Corolário 4.2.4 indica um outro cocomplexo para se estudar os funtoresderivados de G i

a. Analisaremos as diferenciais desse novo cocomplexo. Queremos encontrarhomomorfismos de a-módulos Z-graduados

∆n : Paìp^na`q Ñ Paìp^

n´1a`q

para todo n ě 1 tais que

Dai`

Paip^n´1a`q

˘ Daip∆nq//

ψ^n´1a`

Dai`

Paip^na`q

˘

ψ^na`

G ia

´

Da`

Pap^n´1a`q

˘

¯ G ia

`

DapBnq

˘

// G ia

´

Da`

Pap^na`q

˘

¯

com ψ dada na demonstração da Proposição 4.2.3 e Bn dada em (3.3). Assim, basta que∆n satisfaça

∆n ˝ π b 1^na` “ π b 1^n´1a` ˝ Bn.

Como π b 1^na` é um epimorfismo, para a existência de ∆n é suficiente que

Kerpπ b 1^na`q “`

Upa`q ¨ i˘

b^na` Ď Kerpπ b 1^n´1a` ˝ Bnq.

Mas, como Bn é homomorfismo de a-módulos, em particular de i-módulos, temos que

Bn

´

`

Upa`qï˘

b^na`

¯

Ď i¨´

Bn`

Upa`qb^na`

˘

¯

Ď`

Upa`qï˘

b^n´1a` Ď Kerpπb1^n´1a`q.

Logo, temos garantida a existência de ∆n e que esse homomorfismo de a-módulos Z-graduados satisfaz

∆npπpηq b y1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ ynq “nÿ

i“1p´1qi`1πpηyiq b y1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pyi ¨ ¨ ¨ ^ yn

`ÿ

1ďiăjďqp´1qi`jπpηq b ryi, yjs ^ y1 ^ ¨ ¨ ¨ ^ pyi ^ ¨ ¨ ¨ ^ pyj ^ ¨ ¨ ¨ ^ yn,

(4.8)

para todos η P Upa`q e yj P a` com j “ 1, . . . , n. Essa análise demonstra parcialmente aproposição abaixo.


Proposição 4.2.5. Temos os seguintes isomorfismos

RnZ iapMq –B˚paq σ

˚

ˆ

Dai´

H n

`

Paìp^la` bM

˚q,∆l b 1M˚

˘

¯

˙

eRnG i

apMq –B˚paiq Dai´

H n

`

Paìp^la` bM

˚q,∆l b 1M˚

˘

¯

para todo M P Grpaq e r P Z.

Demonstração. Juntando o Corolário 4.2.4 com a análise acima, só falta serem verificadosos seguintes fatos:

Paìp^la` bM

˚q “ Paìp^

la`q bM˚,

H n˝ σ˚ ˝Dai

“ σ˚ ˝Dai˝H n e H n

˝Dai“ Dai

˝H n.

Mas o primeiro decorre da definição de Pai e o segundo e terceiro dos funtores σ˚ e Dai

serem exatos.

A Proposição 4.2.5 dá que

σ˚`

RnG iapMq

˘

– RnZ iapMq (4.9)

para todo M P Grpaq e r P Z. Pela dificuldade do cálculo do funtor derivado RnG iapMq

iremos primeiramente calcular o funtor derivado RnZ iapMq, uma vez que a estrutura de

ai-módulo dada por (2.2) recupera o funtor derivado desejado, uma vez que σ˚ ˝G ia “ Z i

a.De fato, dados V P Gpaq, x P a e v P pσ˚ ˝ G i

aqpV q “ V i temos que

x ¨ v “ σpxqv(2.2)“ xv.

Logo, a ação de a em pσ˚ ˝G iaqpV q coincide com a ação em Z i

apV q. Ainda pela dificuldadedo cálculo de RnZ i

apMq, iremos calcular sua estrutura apenas de b-módulo graduado,isto é, sua restrição κ˚

`

RqZ iapMq

˘

, onde κ : bÑ a é a inclusão e b “ g˙ i.

Como o funtor pull-back é exato e comuta com os funtores dos i-invariantes emModa e o dual graduado temos

κ˚ ˝H n˝Z i

a ˝Da“ H n

˝ κ˚ ˝Z ia ˝Da

“ H n˝Z i

b ˝ κ˚˝Da

“ H n˝Z i

b ˝Db˝ κ˚.

Como, para calcular κ˚`

RqZ iapMq

˘

devemos aplicar κ˚ ˝H n˝Z i

a ˝Da em (3.21) comV “M˚, podemos aplicar H n

˝Z ib ˝Db

˝κ˚ em (3.21) com V “M˚. Mas pelo Corolário2.3.5, κ˚ aplicado em (3.21) com V “M˚ é uma resolução projetiva de κ˚pM˚

q “M˚ emBpbq. Portanto,

κ˚`

RqZ iapMq

˘

– RqZ ibpMq. (4.10)


Para a álgebra de Lie b, temos que br0s “ g, b` “ i e Upb`iq “ F. Então, a primeiraparcela de (4.8) é nula, já que ηyi P b` ¨ F “ 0. Temos ainda que Pb`i “ Fbl. Supondoainda i um ideal abeliano, a segunda parcela de (4.8) também é nula e daí a Proposição4.2.5 dá isomorfismos de g-módulos

pσκq˚`

RqG iapMq

˘ (4.9)– κ˚

`

RqZ iapMq

˘ (4.10)– RqZ i

bpMq–D i`

p^qiq bM˚

˘

. (4.11)

O seguinte teorema é o resultado principal deste trabalho e pode ser visto comouma versão da sequência espectral de Lyndon–Hochschild–Serre em G paq.

Teorema 4.2.6. Seja i Ď a` um ideal graduado concentrado em algum grau. Então existeuma sequência espectral pEl,l



comEp,q

2 “ ExtpGpaiq´

F,`

^qpiq˘˚bM

¯

,

para todo M P Grpaq.

Demonstração. Suponha p concentrado em grau k. Em particular i possui dimensão finitae D i

`

p^qiq bM˚

˘

“`

^qpiq˘˚bM . Como i Ď a` devemos ter k ą 1. Como i é um ideal,

temos que ri, is Ď i. Como a é graduada devemos ter ri, is Ď ar2ks. Assim,

ri, is Ď iX ar2ks “ 0,

já que i é concentrado em grau k e 2k ‰ k. Logo i é abeliano. Aplicando (4.11) temos que

RqG iapMq –g

`

^qpiq˘˚bM, (4.12)

para todo M P Grpaq. Assim, RqG iapMq é concentrado em grau r´ qk e qualquer que seja

a ação de a` neste devemos ter

a` ¨RqG i

apMq “ 0.

Logo o isomorfismo dado em (4.12) é de a-módulo e o resultado segue do Corolário4.2.2.

4.3 Aplicações a Álgebras TruncadasSupondo a truncada em grau k0 ` 1 e tomando i “ ark0s o Teorema 4.2.6 pode

ser reescrito na forma abaixo.


Teorema 4.3.1. Seja a truncada em grau k0 ` 1. Para cada M P Grpaq, existe umasequência espectral pEl,l



comEp,q

2 “ ExtpG`

apark0sq˘

´

F,`

^qpark0sq

˘˚bM

¯

.

Corolário 4.3.2. Sejam a truncada em grau k0 ` 1 e pλ, rq, pµ, sq P Λ. Então existe umasequência espectral pEl,l


Ep,qr ñ Extp`qGpaqpV pλ, rq, V pµ, sqq,

comEp,q

2 “ ExtpG`

apark0sq˘

`

V pλ, rq b ^qpark0sq, V pµ, sq˘

.

Demonstração. Basta utilizar o Teorema 4.3.1 com M “ V pλ, rq˚ b V pµ, sq em conjuntocom a Proposição 4.1.3.

Exemplo 4.3.3. Sejam a uma álgebra de Lie truncada em grau 2 e pλ, rq, pµ, sq P Λ.Como apar1sq – g, a segunda página da sequência espectral dada pelo Corolário 4.3.2 é

Ep,q2 “

$

&

%

0 se p ‰ 0,

HomGpgq`

V pλ, rq b ^qpar1sq, V pµ, sq˘

se p “ 0,

já que a categoria Gpgq é semissimples. Mais precisamente temos que a segunda página édada por

Ep,q2 “

$

&

%

0 se pp, qq ‰ p0, s´ rq,

Homg

`

V pλq b ^r´spar1sq, V pµq˘

se pp, qq “ p0, r ´ sq.

Escolhendo uma reta qualquer que contenha o ponto p0, r ´ sq e não seja da forma (1.18),segue que

ExtnGpaq`


– E0,n2 “

$

&

%

0 se n ‰ s´ r,

Homg

`

V pλq b ^r´spar1sq, V pµq˘

se n “ r ´ s.

Assim, recuperamos o resultado dado em (4.4). Por um raciocínio análogo, dadoM P Grpaq,o Teorema 4.3.1 dá que

ExtnGpaqpF,Mq –

$

&

%

0 se n ‰ r,

Homg

`

F,`

^rpar1sq

˘˚bM

¯

se n “ r.


A princípio, o Teorema 4.3.1 parece nos fornecer um método indutivo, sobre ograu de truncamento da álgebra, para se calcular grupos de extensões. Assim, uma vezresolvido o problema para álgebras truncadas em grau 2, passamos para álgebras truncadasem grau 3 para mostrar que esse processo não é tão simples assim.

Suponha que a uma álgebra de Lie truncada em grau 3 eM P Grpaq para algumr P Z. Como apar2sq é truncada em grau 2, pelo Exemplo 4.3.3 temos que a segundapágina Ep,q

2 da sequência espectral dada pelo Teorema 4.3.1 é

ExtpG`

apar2sq˘

´

F,`

^qpar2sq

˘˚bM

¯

–

$

&

%

0 se p` 2q ‰ r,

Homg

´

^ppar1sq b ^qpar2sq,M

¯

se p` 2q “ r.

(4.13)Veja que p ` 2q “ r é da forma (1.18) para r0 “ 2. Assim, sabemos que a sequênciaespectral converge na página 3, mas a complexidade de trabalhar com a diferencial dasegunda página é, em geral, a mesma ou maior do que a de se trabalhar com a diferencialde (4.2) para calcular o grupo de extensões de forma direta.

De fato, uma vez que`

HomF`

N,M˘˘g

– Homg

`

N,M˘

,

as Proposições 4.1.2 e 4.1.4 implicam que ExtnGpaqpF,Mq é o n-ésimo grupo de cohomologiado complexo

¨ ¨ ¨δ˚n´1ÝÑ Homg

`

p^n´1a`qrrs,M

˘ δ˚nÝÑ Homg

`

p^na`qrrs,M

˘ δ˚n`1ÝÑ ¨ ¨ ¨ (4.14)

E daí temos que

ExtnGpaqpF,Mq “kerpδ˚n`1q

Impδ˚nqrrs – Homg

´

`

kerpδnq Impδn`1q˘

rrs,M¯

(4.15)

Para calcular p^na`qrrs, lembramos o seguinte fato sobre potências exteriores de espaçosvetoriais. Dados m,n P Zą0 e família Vi, 1 ď i ď m, de espaços vetoriais, temos

^n

ˆ

mà

i“1Vi

˙

–à

~nPZmn

^n1pV1q b ^

n2pV2q b ¨ ¨ ¨ b ^nmpVmq

onde

Zmn :“#

pn1, . . . , nmq P Změ0 :mÿ

i“1ni “ n

+

.

Em particular, se cada espaço Vi for graduado e concentrados em grau i, temosˆ

^n

ˆ

mà

i“1Vi

˙˙

rrs –à

~nPZmn rrs^n1pV1q b ^

n2pV2q b ¨ ¨ ¨ b ^nmpVmq (4.16)

onde

Zmn rrs :“#

pn1, . . . , nmq P Zmn :mÿ

i“1ini “ r

+

.


Evidentemente, cada uma dessas parcelas será diferente de zero se, e só se,

ni ď dimpViq para todo 1 ď i ď m. (4.17)

Aplicando isso à família Vi “ aris, temos

p^na`qrrs –

à

~pPZmn rrs^p1par1sq b ^p2par2sq b ¨ ¨ ¨ b ^pk0 park0sq. (4.18)

Como estamos supondo k0 “ 2, segue que

p^na`qrrs –

à

p,q

^ppar1sq b ^qpar2sq, (4.19)

onde a soma é sobre as soluções pp, qq P Z2ě0 da equação p` 2q “ r. Em particular, como

^ppar1sq b ^qpar2sq “ 0 se p ą m1 :“ dimpar1sq ou q ą m2 :“ dimpar2sq

segue queExtnGpaqpF,Mq “ 0 se r ą m :“ m1 ` 2m2. (4.20)

Além disso, segue de (4.19) que as partes possivelmente não nulas de (4.13) e do complexo(4.14) são fortemente relacionadas e dependentes das soluções da equação Diofantinap` 2q “ r.

Proposição 4.3.4. Com as hipóteses e notações fixadas acima, temos:

(i) Se r “ 0, ExtnGpaqpF,Mq “ 0 se n ‰ 0.

(ii) Se r “ 1, ExtnGpaqpF,Mq “ 0 se n ‰ 1 e Ext1GpaqpF,Mq – Homgpar1s,Mq.

(iii) Se r “ m ´ 1, ExtnGpaqpF,Mq “ 0 se n ‰ m1 ` m2 ´ 1 e Extm1`m2´1Gpaq pF,Mq –

Homgppar1sq˚,Mq.

(iv) Se r “ m, ExtnGpaqpF,Mq “ 0 se n ‰ m1 `m2 e Extm1`m2Gpaq pF,Mq – HomgpF,Mq.

Demonstração. Para r “ 0, 1,m´ 1,m, a segunda página da sequência espectral consisteapenas de Ep,q

2 com pp, qq a única solução de p` 2q “ r, a saber

p0, 0q, p1, 0q, pm1 ´ 1,m2q, pm1,m2q,

respectivamente. Portanto, ela converge na segunda página e daí, nesses casos, os únicosgrupos de extensões que não são nulos são

Extp`qGpaqpF,Mq – Ep,q2 .

Usando (4.13) e o fato que, se V P Fpgq e dimpV q “ d, então

^d´1V –g V

˚, (4.21)

todos os itens da proposição seguem. A mesma conclusão segue utilizando (4.14) já que(4.19) nos diz que apenas um termo do complexo será não nulo nestes casos.


Corolário 4.3.5. Com as hipóteses e notações fixadas acima da Proposição 4.3.4 epλ, rq, pµ, sq P Λ, temos:

(i) Se s “ r, ExtnGpaq`


“ 0 se n ‰ 0.

(ii) Se s “ r ` 1, ExtnGpaq`


“ 0 se n ‰ 1 e Ext1Gpaq

`


–

Homg

`

V pλ, rq b ar1s, V pµ, sq˘

.

(iii) Se s “ r `m´ 1, ExtnGpaq`


“ 0 se n ‰ m´ 1 e

Extm1`m2´1Gpaq

`


– Homg

`

V pλ, rq b par1sq˚, V pµ, sq˘

.

(iv) Se s “ r `m, ExtnGpaq`


“ 0 se n ‰ m1 `m2 e

Extm1`m2Gpaq

`


– Homg

`


.

A demonstração da Proposição 4.3.4 se baseia no fato que, para r P t0, 1,m´1,mu, a equação p` 2q “ r tem única solução satisfazendo

0 ď p ď m1 e 0 ď q ď m2. (4.22)

Assim, é natural considerarmos a seguir os casos em que esta equação tem exatamenteduas soluções sob estas condições. As soluções em Z2 são

pr ´ 2k, kq com k P Z. (4.23)

Em particular, se tivermos exatamente duas soluções satisfazendo (4.22), elas tem que serda forma pp, qq e pp´ 2, q ` 1q sendo pp, qq a solução que maximiza p` q. Neste caso, asegunda página da sequência espectral consiste apenas de Ep,q

2 e Ep´2,q`12 . Em particular,

ExtnGpaqpF,Mq “ 0 se n ‰ p` q, p` q ´ 1. (4.24)

Continuaremos a análise utilizando (4.14) ao invés da sequência espectral. Dequalquer maneira, precisamos saber a estrutura de a` e, por isso, vamos então supor

m1 “ m2 :“ d,

que é o caso quandoa “ gb Frtspgb t3Frtsq (4.25)

sendo d “ dimpgq. Neste caso, (4.22) se torna

0 ď p, q ď d. (4.26)


Denote por Sr o conjunto solução de p ` 2q “ r satisfazendo (4.26). Analisando (4.23),obtemos a seguinte tabela dos valores de r para os quais #Sr “ 2. Na tabela tambémindicamos a condição imposta sobre d, os elementos de Sr e o valor máximo de p` q.

r d Sr p` q max2 ě 2 p2, 0q, p0, 1q 2

3d´ 2 ě 2 pd, d´ 1q, pd´ 2, dq 2d´ 13 ě 3 p3, 0q, p1, 1q 3

3d´ 3 ě 3 pd´ 1, d´ 1q, pd´ 3, dq 2d´ 24 2 ou 3 p2, 1q, p0, 2q 35 3 ou 4 p3, 1q, p1, 2q 46 3 p2, 2q, p0, 3q 47 3 ou 4 p3, 2q, p1, 3q 5

(4.27)

De agora em diante, supomos que a é da forma (4.25) com g semissimplessobre C. Em particular, se g “ sl2, segue de (4.27) que #Sr ď 2 para todo r. Neste caso,seremos capazes de resolver completamente o cálculo de ExtnGpaqpF,Mq, como veremos noTeorema 4.3.8. Antes de passarmos para sl2, para fins ilustrativos, observe que, para r “ 2,utilizando (4.27), (4.14) se torna

0 Ñ Homg

`

ar2s,M˘ δ˚2ÝÑ Homg

`

p^2ar1s,M

˘

Ñ 0 Ñ 0 Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨ . (4.28)

De agora em diante, trabalharemos com g “ sl2 munida da base tx, y, husatisfazendo

rx, ys “ h, rh, xs “ 2x, e rh, ys “ ´2y.

A categoria Fpsl2q é semissimples e, portanto, todo módulo é injetivo e, para todomonomorfismo f : A Ñ B em Fpsl2q, f˚C é um epimorfismo para todo C P Fpsl2q.Lembramos que, para cada m P Zě0, existe única, a menos de isomorfismo, representaçãosimples de dimensão m` 1, que denotaremos por V pmq. Tal representação é gerada porum vetor v satisfazendo

hv “ mv, xv “ 0 “ ym`1v.

Em particular, V p0q “ F é isomorfa à representação trivial e V p2q é isomorfa a representaçãoadjunta. O vetor v é dito um vetor de peso máximo para V pmq sendo m seu peso. ComoFpgq é semissimples, se f : A Ñ B é um homomorfismo em Fpsl2q, V é um submódulosimples de A e v P V é um vetor de peso máximo, segue que

f |V ‰ 0 ô fpvq ‰ 0 ô f |V é um monomorfismo. (4.29)

Lembramos também o Teorema de Clebsh-Gordan:

V pmq b V pnq –mintm,nuà

p“0V pm` n´ 2pq. (4.30)


Como aplicação de (4.30) podemos desenvolver bases no produto tensorialde representações de sl2 que serão usadas nos próximos teoremas. Sejam A, B e Crepresentações de sl2 isomorfas a V p2q e

v0 P A, (4.31)

w0 P B e u0 P C vetores de peso máximo 2. Defina

v1 “ yv0 e v2 “ yv1.

Tem-se quehv1 “ 0, hv2 “ ´2v2, xv1 “ 2v0 e xv2 “ 2v1.

De maneira análoga, defina w1, w2, u1 e u2. Por (4.30) tem-se que

AbB – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q.

Considere em AbB os vetoresv0 b w0, (4.32)

v0 b w1 ´ v1 b w0 (4.33)

ev1 b w1 ´ v0 b w2 ´ v2 b w0. (4.34)

Lema 4.3.6. Na notação do parágrafo anterior temos que (4.32) é um vetor de pesomáximo 4, (4.33) é um vetor de peso máximo 2 e (4.34) é um vetor de peso máximo 0.

Demonstração. Observando que

hpv0 b w0q “ 2pv0 b w0q ` 2pv0 b w0q “ 4pv0 b w0q,

hpv0 b w1 ´ v1 b w0q “ 2pv0 b w1q ´ 2pv1 b w0q “ 2pv0 b w1 ´ v1 b w0q,

hpv1bw1´v0bw2´v2bw0q “ p0`0qpv1bw1q´p2´2qpv0bw2q´p´2`2qpv2bw0q “ 0

expv0 b w0q “ 0b w0 ` v0 b 0 “ 0,

xpv0 b w1 ´ v1 b w0q “ 2pv0 b w0q ´ 2pv0 b w0q “ 0,

xpv1 b w1 ´ v0 b w2 ´ v2 b w0q “ 2pv0 b w1q ` 2pv1 b w0q ´ 2pv0 b w1q ´ 2pv1 b w0q “ 0

vemos que v0 b w0, v0 b w1 ´ v1 b w0 e v1 b w1 ´ v0 b w2 ´ v2 b w0 são vetores de pesomáximo 4, 2 e 0.


Agora, novamente por (4.30) tem-se que

AbB b C – V p6q ‘`

V p4q˘‘2

‘`

V p2q˘‘3

‘ V p0q.

Considere em AbB b C os vetores

v0 b w0 b u0, (4.35)

v0 b w0 b u1 ´ v0 b w1 b u0, (4.36)

v1 b w0 b u0 ´ v0 b w1 b u0, (4.37)

v0 b w1 b u1 ´ v0 b w2 b u0 ´ v0 b w0 b u2, (4.38)

v1 b w0 b u1 ´ v0 b w0 b u2 ´ v2 b w0 b u0, (4.39)

v1 b w1 b u0 ´ v0 b w2 b u0 ´ v2 b w0 b u0 (4.40)

e

v1bw2bu0´v2bw1bu0`v2bw0bu1´v0bw2bu1`v0bw1bu2´v1bw0bu2. (4.41)

Lema 4.3.7. Na notação do parágrafo anterior temos que (4.35) é um vetor de pesomáximo 6, (4.36) e (4.37) são vetores de peso máximo 4, (4.38), (4.39) e (4.40) são vetoresde peso máximo 2 e (4.41) é um vetor de peso máximo 0.

A demonstração segue raciocínio análogo ao do Lema 4.3.6.

Teorema 4.3.8. Se M P Grpaq, então

ExtnGpaqpF,Mq – Homsl2pN,Mq

onde N é dado por:

N “ V p0q se pn, rq “ p0, 0q, p6, 9q;

N “ V p2q se pn, rq “ p1, 1q, p5, 8q;

N “ V p4q ‘ V p2q se pn, rq “ p2, 3q, p4, 6q;


N “ 0, caso contrário.


Demonstração. Os casos r “ 0, 1, 8, 9 foram tratados na Proposição 4.3.4. Resta então2 ď r ď 7. Denotaremos por zn a imagem de z b tn P sl2rts pela projeção canônicasl2rts Ñ a.

Para r “ 2 temos que estudar o cocomplexo (4.28). Como sl2-módulos, temosque ^2

par1sq – ar2s – V p2q. Observando que tomando v0 “ h1 ^ x1 satisfazemos (4.31) evemos que h1 ^ x1 é um vetor de peso máximo 2. Como

δ2ph1 ^ x1q “ ´2x2,

segue de (4.29) que a restrição de δ2 à parte de grau 2 é um isomorfismo e, assim,

ExtnGpaqpF,Mq “ 0 para todo n.

Para r “ 3, usando (4.18) e (4.27), (4.14) se torna

0 Ñ 0 Ñ Homsl2

`

ar1s b ar2s,M˘ δ˚3Ñ Homsl2

`

^3par1sq,M

˘

Ñ 0 Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨ .

E, por (4.15),Ext3

GpaqpF,Mq “ Homsl2

´

`

kerpδ3q Impδ4q˘

r3s,M¯

(4.42)

eExt2


´

`

kerpδ2q Impδ3q˘

r3s,M¯

. (4.43)

Como sl2-módulos temos que ^3par1sq – V p0q e ar1s b ar2s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q.

Observando que tomando v0 “ h1 ^ x1 ^ y1 satisfazemos (4.31) e vemos que h1 ^ x1 ^ y1

é um vetor de peso máximo 0. Como

δ3ph1^x1^y1q “ ´rh, xs2^y1`rh, ys2^x1´rx, ys2^h1 “ 2y1^x2`2x1^y2´h1^h2 ‰ 0,(4.44)

segue de (4.29) que a restrição de δ3 à parte de grau 3 é um monomorfismo e, por (4.42),Ext3

GpaqpF,Mq “ 0. Além disso, a restrição de δ2 à parte de grau 3 é nula já que ar3s “ 0.Portanto temos kerpδ2qr3s “ p^2a`qr3s –

`

V p4q‘V p2q˘

‘ Impδ3q e, por (4.43), concluímosque o único grupo de extensão que não é nulo é

Ext2GpaqpF,Mq – Homsl2

`

V p4q ‘ V p2q,M˘

.

Para r “ 4, (4.14) se torna

0 Ñ 0 Ñ Homsl2

`

^2par1sq,M

˘ δ˚3Ñ Homsl2

`

^2par1sq b ar2s,M

˘

Ñ 0 Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

E, por (4.15),Ext3


´

`

kerpδ3q Impδ4q˘

r4s,M¯

(4.45)

eExt2


´

`

kerpδ2q Impδ3q˘

r4s,M¯

. (4.46)


Como sl2-módulos temos que ^2par1sq b ar2s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q e ^2

par2sq – V p2q.Observando que tomando v0 “ h1 ^ x1 e w0 “ x2 satisfazemos (4.33) e vemos queh1 ^ x1 ^ h2 ´ 2x1 ^ y1 ^ x2 é um vetor de peso máximo 2. Como

δ3`

h1 ^ x1 ^ h2 ´ 2x1 ^ y1 ^ x2˘

“ ´rh, xs2 ^ h2 ` 2rx, ys2 ^ x2 `

:0rh, hs3 ^ x1

´ 2:0

rx, xs3 ^ y1 ´

:0rx, hs3 ^ h1 ` 2p

:0ry, xs3 ^ x1q

“ 4h2 ^ x2 ‰ 0, (4.47)

segue de (4.29) que a restrição de δ3 à parte de grau 4 é um epimorfismo e, por (4.46),Ext2

GpaqpF,Mq “ 0. Além disso, a restrição de δ4 é nula já que p^4a`qr4s “ 0 e, por (4.45),concluímos que o único grupo de extensão não nulo é


`

V p4q ‘ V p0q,M˘

.


0 Ñ 0 Ñ 0 Ñ HomF`

ar1s b ^2par2sq,M

˘ δ˚4Ñ HomF

`

^3par1sq b ar2s,M

˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

E, por (4.15),Ext4


´

`

kerpδ4q Impδ5q˘

r5s,M¯

(4.48)

eExt3


´

`

kerpδ3q Impδ4q˘

r5s,M¯

. (4.49)

Como sl2-módulos temos que ^3par1sq b ar2s – V p2q e ar1s b ^2

par2sq – V p4q ‘ V p2q ‘V p0q. Observando que tomando v0 “ h1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 satisfazemos (4.31) e vemos queh1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 é um vetor de peso máximo 2. Como

δ4ph1 ^ x1 ^ y1 ^ x2q “ ´

:0rh, xs2 ^ y1 ^ x2 ` rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ´

:0

rh, xs3 ^ x1 ^ y1

´ rx, ys2 ^ h1 ^ x2 `

:0rx, xs3 ^ h1 ^ y1 ´

:0

ry, xs3 ^ h1 ^ x1

“ ´2px1 ^ x2 ^ y2q ` h1 ^ h2 ^ x2,

segue de (4.29) que a restrição de δ4 à parte de grau 5 é um monomorfismo e, por(4.48), Ext4

GpaqpF,Mq “ 0. Além disso, a restrição de δ3 à parte de grau 5 é nula já quep^

2a`qr5s “ 0. Portanto temos que kerpδ3qr5s “ p^3a`qr5s “`

V p4q ‘ V p0q˘

‘ Impδ4q e,por (4.49) concluímos que o único grupo de extensão não nulo é


`

V p4q ‘ V p0q,M˘

.


0 Ñ 0 Ñ 0 Ñ Homsl2

`

^3par2sq,M

˘ δ˚4Ñ Homsl2

`

p^2par1sq b ^2

par2sq,M˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨


E, por (4.15),Ext4


´

`

kerpδ4q Impδ5q˘

r6s,M¯

(4.50)

eExt3


´

`

kerpδ3q Impδ4q˘

r6s,M¯

. (4.51)

Como sl2-módulos temos que ^2par1sqb^2

par2sq – V p4q‘V p2q‘V p0q e ^3par2sq – V p0q.

Observando que tomando v0 “ h2 ^ x2 ^ y2 satisfazemos (4.31) e vemos que h2 ^ x2 ^ y2


δ4ph1 ^ x1 ^ h2 ^ y2q “ ´rh, xs2 ^ h2 ^ y2 `

:0rh, hs3 ^ x1 ^ y2

´

:0rh, ys3 ^ x1 ^ h2 ´

:0

rx, hs3 ^ h1 ^ y2

`

:

0rx, ys3 ^ h1 ^ h2 ´

:0

rh, ys4 ^ h1 ^ x1

“ 2ph2 ^ x2 ^ y2q, (4.52)

segue de (4.29) que a restrição de δ4 à parte de grau 6 é um epimorfismo e, por (4.51),Ext3

GpaqpF,Mq “ 0. Além disso, a restrição de δ5 é nula já que p^5aqr6s “ 0 e, por (4.50),concluímos que o único grupo de extensão não nulo é


`

V p4q ‘ V p2q,M˘

.


0 Ñ 0 Ñ 0 Ñ 0 Ñ Homsl2

`

ar1sb^3par2sq,M

˘ δ˚5Ñ Homsl2

`

^3par1sqb^2

par2sq,M˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

Como sl2-módulos temos que ^3par1sq b ^2

par2sq – ar1s b ^3par2sq. Observando que

tomando v0 “ h1^x1^ y1^h2^x2 satisfazemos (4.31) e vemos que h1^x1^ y1^h2^x2


δ5ph1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2q “ ´

:0rh, xs2 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ` rh, ys2 ^ x1 ^ h2 ^ x2

´

:0rh, hs3 ^ x1 ^ y1 ^ x2 `

:0

rh, xs3 ^ x1 ^ y1 ^ h2

´

:0rx, ys ´ 2^ h1 ^ h2 ^ x2 `

:0

rx, hs3 ^ h1 ^ y1 ^ x2

´

:0rx, xs3 ^ h1 ^ y1 ^ h2 ´

:

0ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ x2

`

:0

ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ h2 ´

:0

rh, xs4 ^ h1 ^ x1 ^ y1,

segue de (4.29) que a restrição de δ5 é um isomorfismo e, assim,

ExtnGpaqpF,Mq “ 0, par todo n.


Corolário 4.3.9. Se pλ, rq, pµ, sq P Λ, então

ExtnGpaq`


– Homsl2

`

V pλ, rq bM,V pµ, sq˘

onde M é dado por

M “ V p0q, se pn, s´ rq “ p0, 0q, p6, 9q;

M “ V p2q, se pn, s´ rq “ p1, 1q, p5, 8q;

M “ V p4q ‘ V p2q se pn, s´ rq “ p2, 3q, p4, 6q;


M “ 0 caso contrário.

Agora vamos estudar o caso a “ sl2 b Frtspsl2 b t4Frtsq. A sequência espectraldada pelo Teorema 4.3.1 tem como segunda página

Ep,q2 “ Extp

G`

apar3sq˘

´

F,`

^qpar3sq

˘˚bM

¯

.

para cada M P Grpaq. Como apar3sq – sl2 b Frtspsl2 b t3Frtsq a segunda página dasequência espectral não seja nula devemos ter que

pp, r ´ 3qq P tp0, 0q, p1, 1q, p2, 3q, p3, 4q, p3, 5q, p4, 6q, p5, 8q, p6, 9qu (4.53)

pelo Teorema 4.3.8.

Teorema 4.3.10. Sejam a o quociente de sl2rts pelo ideal sl2b t4Frts e M P Grpaq. Então

ExtnGpaqpF,Mq – Homsl2pN,Mq

com N dado por:

N “ V p0q se pn, rq “ p0, 0q, p3, 7q, p6, 11q, p9, 18q;

N “ V p2q se pn, rq “ p1, 1q, p2, 4q, p7, 14q, p8, 17q;

N “ V p4q se pn, rq “ p2, 3q, p7, 15q;

N “ V p6q se pn, rq “ p4, 9q, p5, 9q;



N “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q se pn, rq “ p4, 8q, p5, 10q;

N “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q se pn, rq “ p3, 6q, p6, 12q;

N “ 0 caso contrário.

Demonstração. Denotaremos zn a imagem de z b tn P sl2rts pela projeção canônicasl2rts Ñ a. Chamamos a atenção para o fato que

xi P aris, (4.54)


hi ^ xi P ^2parisq (4.55)

são vetores de peso máximo 2, para i “ 1, 2, 3 e

hi ^ xi ^ yi P ^3parisq (4.56)

é um vetor de peso máximo 0, para i “ 1, 2, 3. Para r “ 0, 1 e 5 (4.53) dá que segundapágina da sequência espectral consiste apenas de

E0,02 , E1,0

2 e E3,02 ,

respectivamente. Portanto ela converge na segunda página e daí, nesses casos, os únicosgrupos de extensões não nulos são, por (1.17) e (1.19)

ExtnGpaqpF,Mq –

$

’

’

’

&

’

’

’

%

Homsl2

`

V p0q,M˘

se pn, rq “ p0, 0q

Homsl2

`

V p2q,M˘

se pn, rq “ p1, 1q

Homsl2

`

V p4q ‘ V p0q,M˘

se pn, rq “ p3, 5q.

Para r “ 2 (4.53) dá que a segunda página é nula e

ExtnGpaqpF,Mq “ 0 par todo n.


0 Ñ HomF`

par3s,M˘ δ˚2Ñ Homsl2

`

ar1s b ar2s,M˘ δ˚3Ñ Homsl2

`

p^3par1sq,M

˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

E por (4.15)Ext3


`

kerpδ3q Impδ4q,M˘

, (4.57)

Ext2GpaqpF,Mq “ Homsl2

`


(4.58)

eExt1


`


. (4.59)

Como sl2-módulos temos que ^3par1sq – V p0q, ar1s b ar2s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q e

ar3s – V p2q. Combinando (4.54) e (4.33) vemos que x1 ^ h2 ´ h1 ^ x2 é um vetor de pesomáximo 2. Como

δ2px1 ^ h2 ´ h1 ^ x2q “ ´rx, hs3 ` rh, xs3 “ 4x3,

segue de (4.29) que a restrição de δ2 à parte graduada de grau 3 é um epimorfismo e, por(4.59),

Ext1GpaqpF,Mq “ 0,


Por (4.44) a restrição de δ3 à parte de grau 3 é um monomorfismo e, por (4.57),

Ext3GpaqpF,Mq “ 0.

Além disso, como kerpδ2q “ V p4q ‘ Impδ3q, por (4.58) concluímos que o único grupo deextensão que não é nulo é, por (4.58),


`

V p4q,M˘

.


0 Ñ 0 Ñ Homsl2

`

^2par2sq ‘ ar1s b ar3s,M

˘ δ˚3Ñ Homsl2

`

^2par1sq b ar2s,M

˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

E por (4.15)Ext3


`


(4.60)

eExt2


`


. (4.61)

Como sl2-módulos temos que ^2par1sq b ar2s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q, ^2

par2sq – V p2qe ar1s b ar3s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q. Combinando (4.55), (4.54), (4.32) vemos que θ “x1 ^ y1 ^ h2 ` h1 ^ x1 ^ y2 ´ h1 ^ y1 ^ x2 é vetor de peso máximo 4. Como, lembrandode (4.56),

δ3`

h1 ^ x1 ^ x2˘

“ ´

:0rh, xs2 ^ x2 ` rh, xs3 ^ x1 ´

:0rx, xs3 ^ h1 “ ´2px1 ^ x3q

e

δ3`

θ˘

“ ´

:0rx, ys2 ^ h2 ´ rh, xs2 ^ y2 ` rh, ys2 ^ x2

` rx, hs3 ^ y1 ` rh, ys3 ^ x1 ´ rh, xs3 ^ y1

´ ry, hs3 ^ x1 ´ rx, ys3 ^ h1 ` ry, xs3 ^ h1

“ 2ph1 ^ h3 ` 2y1 ^ x3 ` 2x1 ^ y3q, (4.62)

segue de (4.29) que a restrição de δ3 à parte de grau 4 é um monomorfismo, já que por(4.47) a imagem da restrição de δ3 à parte de grau 4 contém uma cópia de V p2q, e, por(4.60),


Além disso, como kerpδ2q “ V p2q ‘ Impδ3q, por (4.61) concluímos que o único grupo deextensão não nulo é, por (4.61),


`

V p2q,M˘

.


0 Ñ 0 Ñ Homsl2

`

^2par3sq,M

˘ δ˚3Ñ Homsl2

`

^3par2sq ‘

`

ar1s b ar2s b ar3s˘

,M˘

δ˚4Ñ Homsl2

`

^2par1sq b ^2

par2sq ‘`

^3par1sq b ar3s

˘

,M˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨


E por (4.15)Ext4


`


, (4.63)


`


(4.64)

eExt2


`


. (4.65)

Como sl2-módulos temos que Como sl2-módulos temos que ^2par1sq b ^2

par2sq – V p4q ‘V p2q ‘ V p0q, ^3

par1sq b ar3s – V p2q, ^3par2sq – V p0q, ar1s b ar2s b ar3s – V p6q ‘

`

V p4q˘‘2

‘`

V p2q˘‘3

‘ V p0q e ^2par3sq – V p2q. Como, por (4.55),

δ3py1 ^ x2 ^ x3q “ ´ry, xs3 ^ x3 `

:0ry, xs4 ^ x2 ´

:0

rx, xs5 ^ y1 “ h3 ^ x3,



Além disso, como a restrição de δ4 à ^2par1sq b ^2

par2sq é um monomorfismo, por (4.52),e como

δ4pa1 ^ b1 ^ c1 ^ d3q “ ´ra, bs2 ^ c1 ^ d3 ` ra, cs2 ^ b1 ^ d3 ´

:

0ra, ds4 ^ b1 ^ c1

´rb, cs2 ^ a1 ^ d3 `

:

0rb, ds4 ^ a1 ^ c1 ´

:0

rc, ds4 ^ a1 ^ b1,

“ δ3pa1 ^ b1 ^ c1q ^ d3

para todos a, b, c, d P sl2, temos que a restrição de δ4 à ^3par1sq b ar3s é ∆3 b 1ar3s, onde

∆3 é a restrição δ3 à parte graduada de grau 3, que por (4.44) é um monomorfismo, dondeconcluímos que a restrição de δ4 à parte graduada de grau 6 é um monomorfismo e, por(4.63),


Como kerpδ3q “`

V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q˘

‘ Impδ4q, concluímos que o único grupo deextensão não nulo é, por (4.64),


`

V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q,M˘

.


¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`

ar1s b ^2par3sq ‘ ^2

par2sq b ar3s,M˘ δ˚4Ñ

Homsl2

`


par1sq b ar2s b ar3s,M˘ δ˚5Ñ

Homsl2

`

^3par1sq b ^2

par2sq,M˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

E por (4.15)Ext5


`


, (4.66)



`


(4.67)

eExt3


`


. (4.68)


par2sq – V p2q, ar1s b ^3par2sq – V p2q,

^2par1sq b ar2s b ar3s – V p6q ‘

`

V p4q˘‘2

‘`

V p2q˘‘3

‘ V p0q, ar1s b ^2par3sq – V p4q ‘

V p2q ‘ V p0q e ^2par2sq b ar3s – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q. Observando que por (4.53) apenas

as páginas Ep1,2q2 e Ep3,1q2 da sequência espectral do Teorema 4.3.1 são não nulas vemos que

Ext5GpaqpF,Mq “ 0,

por (1.19), o que dá que a restrição de δ5 à parte de grau 7 é um monomorfismo, por(4.66). Observe que dados a, b, c, d P sl2 temos que

δ4pa1 ^ b1 ^ c2 ^ d3q “ ´ra, bs2 ^ c2 ^ d3 ` ra, cs3 ^ b1 ^ d3 ´

:

0ra, ds4 ^ b1 ^ c2

´rb, cs3 ^ a1 ^ d3 `

:

0rb, ds4 ^ a1 ^ c2 ´

:0

rc, ds5 ^ a1 ^ b1

“ δ3pa1 ^ b1 ^ c2q ^ d3. (4.69)

Combinando (4.54) e (4.55) vemos que h2 ^ x2 ^ x3 e x1 ^ h3 ^ x3 são vetores de pesomáximo 4. Como, por (4.69),

δ4px1 ^ y1 ^ x2 ^ x3q “ ´rx, ys2 ^ x2 ^ x3 `

:

0rx, xs3 ^ y1 ^ x3 ´ ry, xs3 ^ x1 ^ x3

“ ´ph2 ^ x2 ^ x3q ´ px1 ^ h3 ^ x3q,

δ4ph1 ^ x1 ^ h2 ^ x3q “ ´rh, xs2 ^ h2 ^ x3 `

:0rh, hs3 ^ x1 ^ x3 ´

:0

rx, hs3 ^ h1 ^ x3

“ 2ph2 ^ x2 ^ x3q,

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 7 contém uma cópia de`

V p4q˘‘2. Combinando (4.54), (4.55) e (4.33) vemos que h2 ^ x2 ^ h3 ´ 2x2 ^ y2 ^ x3 e

h1 ^ h3 ^ x3 ´ 2x1 ^ x3 ^ y3 são vetores de peso máximo 2. Como

δ4px1 ^ h2 ^ x2 ^ y2q “ ´rx, hs3 ^ x2 ^ y2 `

:

0rx, xs3 ^ h2 ^ y2 ´ rx, ys3 ^ h2 ^ x2

´

:0rh, xs4 ^ x1 ^ y2 `

:0

rh, ys4 ^ x1 ^ y2 ´

:0rx, ys4 ^ x1 ^ y2

“ ´ph2 ^ x2 ^ h3 ´ 2x2 ^ y2 ^ x3q.

e, por (4.69) e (4.62),

δ4pθq “ 2ph1 ^ h3 ` 2y1 ^ x3 ` 2x1 ^ y3q ^ x3

“ 2ph1 ^ h3 ^ x3 ´ 2x1 ^ x3 ^ y3q,


onde θ “ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x3 ` h1 ^ x1 ^ y2 ^ x3 ´ h1 ^ y1 ^ x2 ^ x3, segue de (4.29) que aimagem da restrição de δ4 à parte de grau 7 contém uma cópia de

`

V p2q˘‘2. Combinando

(4.54), (4.55) e (4.41) vemos que

θ “ h1 ^ y1 ^ h2 ^ x3 ` 2x1 ^ y1 ^ y2 ^ x3 ´ h1 ^ y1 ^ x2 ^ h3

´h1 ^ x1 ^ y2 ^ h3 ` h1 ^ x1 ^ h2 ^ y3 ´ 2x1 ^ y1 ^ x2 ^ y3


δ4ph1 ^ y1 ^ h2 ^ x3 ` 2x1 ^ y1 ^ y2 ^ x3q “ ´prh, ys2 ^ h2 ` 2rx, ys2 ^ y2q ^ x3

p

:0rh, hs3 ^ y1 ` 2rx, ys3 ^ y1q ^ x3

´pry, hs3 ^ h1 `

:0ry, ys3 ^ x1q ^ x3

“ ´4h2 ^ y2 ^ x3 ´ 2y1 ^ h3 ^ x3

´2h1 ^ x3 ^ y3,

δ4p´h1 ^ y1 ^ x2 ^ h3 ´ h1 ^ x1 ^ y2 ^ h3q “ prh, ys2 ^ x2 ` rh, xs2 ^ y2q ^ h3

´prh, xs3 ^ y1 ` rh, ys3 ^ x1q ^ h3

pry, xs3 ^ h1 ` rx, ys3 ^ h1q ^ h3

“ 4x2 ^ y2 ^ h3 ´ 2y1 ^ h3 ^ x3

`2x1 ^ h3 ^ y3

e

δ4ph1 ^ x1 ^ h2 ^ y3 ´ 2x1 ^ y1 ^ x2 ^ y3q “ ´prh, xs2 ^ h2 ´ rx, ys2 ^ x2q ^ y3

`p

:0rh, hs3 ^ x1 ´

:0

rx, xs3 ^ y1q ^ y3

´prx, hs3 ^ h1 ´ ry, xs3 ^ x1q ^ y3

“ 3h2 ^ x2 ^ y3 ´ 2h1 ^ x3 ^ y3

`x1 ^ h3 ^ y3.

temos que

δ4pθq “ ´p4x2 ^ y2 ^ h3 ` 4h2 ^ y2 ^ x3

´3h2 ^ x2 ^ y3q ´ p4h1 ^ x3 ^ y3 ` 4y1 ^ h3 ^ x3 ´ 3x1 ^ h3 ^ y3q

e segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 7 contém uma cópia deV p0q. Como

kerpδ4q – V p6q ‘ V p2q ‘ Impδ5q e kerpδ3q – V p0q ‘ Impδ4q,

por (4.67) e (4.68), concluímos que os únicos grupos de extensão não nulos são


`

V p6q ‘ V p2q,M˘

e Ext3GpaqpF,Mq “ Homsl2

`

V p0q,M˘

.



¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`

ar2s b ^2par3sq,M

˘ δ˚4Ñ

Homsl2

`

^2paqr1s b ^2

par3sq ‘ ar1s b ^2par2sq b ar3s,M

˘ δ˚5Ñ

Homsl2

`

^3par1sq b ar2s b ar3s ‘ ^2

paqr1s b ^3par2sq,M

˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨ .

E por (4.15)Ext5


`


, (4.70)


`


(4.71)

eExt3


`


. (4.72)

Como sl2-módulos temos que ^2paqr1s b ^3

par2sq – V p2q, ^3par1sq b ar2s b ar3s –

V p4q‘V p2q‘V p0q, ar1sb^2par2sqbar3s – V p6q‘

`

V p4q˘‘2‘`

V p2q˘‘3‘V p0q, ^2

paqr1sb^

2par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q e ar2s b ^2

par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q. Combinando(4.55) e (4.31) vemos que h1 ^ x1 ^ h3 ^ x3 é um vetor de peso máximo 4. Como

δ4ph1 ^ x1 ^ h3 ^ x3q “ ´rh, xs2 ^ h3 ^ x3 “ ´2x2 ^ h3 ^ x3,

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 8 contém uma cópia deV p4q. Combinando agora (4.55) e (4.33) vemos que θ “ h1^x1^x3^y3´h1^y1^h3^x3


δ4pθq “ ´rh, xs2 ^ x3 ^ y3 ` rx, ys2 ^ h3 ^ x3

“ ´2x2 ^ x3 ^ y3 ` h2 ^ h3 ^ x3,

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 8 contém uma cópia deV p2q. Combinando (4.55) e (4.34) vemos que φ “ 2x1 ^ y1 ^ x3 ^ y3 ´ h1 ^ x1 ^ h3 ^ y3 ´

h1 ^ y1 ^ h3 ^ x3 é um vetor de peso máximo 0. Como

δ4pφq “ ´2rx, ys2 ^ x3 ^ y3 ` rh, xs2 ^ h3 ^ y3 ` rh, ys2 ^ h3 ^ x3

“ ´2h2 ^ x3 ^ y3 ` 2x2 ^ h3 ^ y3 ´ 2y2 ^ h3 ^ x3,

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 8 contém uma cópia deV p0q. Assim, a restrição de δ4 à parte de grau 10 é um epimorfismo e, por (4.72),


Combinando (4.54), (4.56) e (4.31) vemos que h1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ x3 é um vetor de pesomáximo 4. Como

δ5ph1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ x3q “ rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ x3

´rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ x3 ´ ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ x3

“ 2x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ` h1 ^ h2 ^ x2 ^ x3

`h1 ^ x1 ^ h3 ^ x3,


segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ5 à parte de grau 8 contém uma cópia de V p4q.Combinando agora (4.54), (4.55), (4.56), (4.31) e (4.33) vemos que θ1 “ h1^x1^h2^x2^y2

e θ2 “ h1^ x1^ y1^ x2^ h3´ h1^ x1^ y1^ h2^ x3 são vetores de peso máximo 2. Como

δ5pθ1q “ ´rh, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ` rh, ys3 ^ x1 ^ h2 ^ x2

´rx, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ´ rx, ys3 ^ h1 ^ h2 ^ x2

“ ph1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ` 2x1 ^ h2 ^ x2 ^ y3 ` 2y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3q

`2p´h1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ` x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ´ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3q

e

δ5pθ2q “ rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ h3 ´ rh, xs3 ^ x1 ^ y1 ^ h3 ´ rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ h3

rh, xs2 ^ y1 ^ h2 ^ x3 ´ rh, ys2 ^ x1 ^ h2 ^ x3 ` ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ x3

“ ph1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ` 2x1 ^ h2 ^ x2 ^ y3 ` 2y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3q

`2p´x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ` x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ´ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y3q

`2px1 ^ y1 ^ h3 ^ x3 ´ 2h1 ^ x1 ^ x3 ^ y3q

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 8 contém uma cópiade

`

V p2q˘‘2. Combinando (4.54), (4.56) e (4.34) vemos que φ “ φ1 ` 2φ2 ` 2φ3 é um

vetor de peso máximo 0, onde φ1 “ h1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ h3, φ2 “ h1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ y3 eφ3 “ h1 ^ x1 ^ y1 ^ y2 ^ x3. Como

δ5pφ1q “ ´rh, xs2 ^ y1 ^ h2 ^ h3 ` rh, ys2 ^ x1 ^ h2 ^ h2

`rx, hs3 ^ h1 ^ y1 ^ h3 ´ ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ h3

“ ´2y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ` 2x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3

´2h1 ^ y1 ^ h3 ^ x3 ` 2h1 ^ x1 ^ h3 ^ y3,

δ5pφ2q “ rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ y3 ´ rh, xs3 ^ x1 ^ y1 ^ y3

´rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ y3 ´ ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ y3

“ ´2x1 ^ x2 ^ y2 ^ y3 ´ 2x1 ^ y1 ^ x3 ^ y3

`h1 ^ h2 ^ x2 ^ y3 ` h1 ^ x1 ^ h3 ^ y3

e

δ5pφ3q “ ´rh, xs2 ^ y1 ^ y2 ^ x3 ´ rh, ys3 ^ x1 ^ y1 ^ x3

´rx, ys2 ^ h1 ^ y2 ^ x3 ` rx, ys3 ^ h1 ^ y1 ^ x3

“ 2y1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ´ 2x1 ^ y1 ^ x3 ^ y3

`h1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ` h1 ^ y1 ^ h3 ^ x3


temos que

δ5pφq “ ´2y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ` 2x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ´ 2x1 ^ x2 ^ y2 ^ y3

`2h1 ^ h2 ^ x2 ^ y3 ` 4y1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ` 2h1 ^ h2 ^ y2 ^ x3

`2ph1 ^ x1 ^ h3 ^ y3 ´ 2x1 ^ y1 ^ x3 ^ x3q

e segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 8 contém uma cópia deV p0q. Assim, a restrição de δ5 à parte de grau 8 é um monomorfismo e, por (4.70),

Ext5GapF,Mq “ 0.

Como kerpδ4q “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ Impδ5q, concluímos que o único grupo de extensãonão nulo é


`

V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q,M˘

.


¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`

^3par3sq,M

˘ δ˚4Ñ

¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`

ar1s b ar2s b ^2par3sq ‘ ^3

par2sq b ar3s,M˘ δ˚5Ñ

Homsl2

`

^2paqr1s b ^2

par2sq b ar3s ‘ ^3par2sq b ^2

par3sq,M˘ δ˚6Ñ

Homsl2

`

^3par1sq b ^3

par2sq,M˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨ .

E por (4.15)Ext6


`


, (4.73)


`


, (4.74)


`


(4.75)

eExt3


`


. (4.76)

Como sl2-módulos temos que ^3paqr1s b ^3

par2sq – V p0q, ^2par1sq b ^2

par2sq b ar3s –V p6q‘

`

V p4q˘‘2

‘`

V p2q˘‘3

‘V p0q, ^3par1sqb^2

par3sq – V p2q, ar1sb ar2sb^2par3sq –

V p6q ‘`

V p4q˘‘2

‘`

V p2q˘‘3

‘ V p0q, ^3paqr2s b ar3sV p2q e ^3

par3sq – V p0q. Combinando(4.56) e (4.31) vemos que σ “ h1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 é um vetor de peso máximo 0.Como

δ6pσq “ rh, xs3 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ y2 ´ rh, ys3 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2

`rx, hs3 ^ h1 ^ y1 ^ x2 ^ y2 ` rx, ys3 ^ h1 ^ y1 ^ h2 ^ x2

´ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ` ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ h2 ^ y2

“ 2x1 ^ y1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ` 2x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y3

´2h1 ^ y1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ` h1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3

´2h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ y3 ´ h1 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3,


segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 9 é um monomorfismo.Assim, por (4.73),


Combinando agora (4.56) e (4.31) vemos que h3 ^ x3 ^ y3 é um vetor de peso máximo 0.Como

δ4ph1 ^ x2 ^ h3 ^ y3q “ ´rh, xs3 ^ h3 ^ y3 “ 2ph3 ^ x3 ^ y3q,

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ4 à parte de grau 9 é um epimorfismo.Assim, por (4.76),


Dados a, b, c, d, e P sl2 temos que

δ5pa1 ^ b1 ^ c2 ^ d2 ^ e3q “ ´ra, bs2 ^ c2 ^ d2 ^ e3 ` ra, cs3 ^ b1 ^ d2 ^ e3

´ra, ds3 ^ b1 ^ c2 ^ e3 ´ rb, cs3 ^ a1 ^ d2 ^ e3

`rb, ds3 ^ a1 ^ c2 ^ e3

“ δ4pa1 ^ b1 ^ c2 ^ d2q ^ e3. (4.77)

Combinando (4.54), (4.55) e (4.35) vemos que h1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 é um vetor de pesomáximo 6. Como, por (4.77),

δ5ph1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ x3q “ 0

segue de (4.29) que o núcleo da restrição de δ5 à parte de grau 9 contém uma cópia deV p6q. Combinando (4.54), (4.55), (4.36) e (4.37) vemos que θ1` 2θ2 e θ1` 2θ3 são vetoresde peso máximo 4, onde θ1 “ h1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3, θ2 “ ´h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 eθ3 “ ´x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3. Como, por (4.77),

δpθ1 ` 2θ2q “ 2px1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ´ 2x1 ^ x2 ^ x3 ^ y3q

eδpθ1 ` 2θ3q “ 2p2x1 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ´ h1 ^ x2 ^ h3 ^ x3q

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ5 à parte de grau 9 contém uma cópiade

`

V p4q˘‘2. Combinando (4.54), (4.55), (4.56), (4.33), (4.38), (4.39) e (4.40) vemos que

φ “ h1^x1^y1^h3^x3, φ1´φ5´φ6, φ2´φ4´φ6 e φ3´φ4´φ5 são vetores de peso máximo2, onde φ1 “ h1^x1^x2^y2^h3, φ2 “ x1^y1^h2^x2^h3, φ3 “ 2x1^y1^x2^y2^x3,φ4 “ h1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3, φ5 “ h1 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 e φ6 “ ´h1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y3.Como

δ5pφq “ ´rh, xs2 ^ y1 ^ h3 ^ x3 ` rh, ys2 ^ x1 ^ h3 ^ x3 ´ rx, ys2 ^ h1 ^ h3 ^ x3

“ h1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ` 2y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ` 2x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3


e, por (4.77),

δ5pφ1 ´ φ5 ´ φ6q “ ´ph1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ` 2y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ` 2x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3q

`2ph1 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ x2 ^ h3 ^ y3q

´2ph2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q,

δ5pφ2 ´ φ4 ´ φ6q “ ph1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ` 2y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ` 2x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3q

´2px1 ^ h2 ^ x3 ^ y3 ` x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ x2 ^ h3 ^ y3q

`2ph2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q

e

δ5pφ2 ´ φ4 ´ φ6q “ ´2ph1 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ x2 ^ h3 ^ y3q

`2px1 ^ h2 ^ x3 ^ y3 ` x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ x2 ^ h3 ^ y3q

´2ph2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q


V p2q˘‘4. Como a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 9 é uma cópia de V p0q segue

que o núcleo da restrição de δ5 à parte de grau 9 contém uma cópia de V p0q. Assim temosque kerpδ5q “ V p6q ‘ Impδ6q e kerpδ4q “ V p6q ‘ Impδ5q concluímos que os únicos gruposde extensões não nulos são


`

V p6q,M˘

“ Ext5GpaqpF,Mq.


¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`


par2sq b ^2par3sq,M

˘ δ˚5Ñ

Homsl2

`

^2paqr1s b ar2s b ^2

par3sq ‘ ar1s b ^3par2sq b ar3s,M

˘ δ˚6Ñ

Homsl2

`

^3par1sq b ^2

par2sq b ar3s,M˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨ .

E por (4.15)Ext6


`


, (4.78)


`


(4.79)

eExt4


`


. (4.80)


par2sqbar3s – V p4q‘V p2q‘V p0q, ^2paqr1sb

ar2sb^2par3sq – V p6q‘

`

V p4q˘‘2‘`

V p2q˘‘3‘V p0q, ar1sb^3

par2sqbar3s – V p4q‘V p2q‘V p0q, ar1s b ^3

par3sq – V p2q e ^2par2sq b ^2

par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q. Observando


que por (4.53) apenas as páginas E1,3 e E3,2 da sequência espetral do Teorema 4.3.1 sãonão nulas vemos que

Ext6GapF,Mq “ 0

e, por (4.78), a restrição de δ6 à parte de grau 10 é um monomorfismo. Dados a, b, c, d, e P sl2temos que


´

:0ra, ds4 ^ b1 ^ c2 ^ e3 `

:0

ra, es4 ^ b1 ^ c2 ^ d3

´rb, cs3 ^ a1 ^ d3 ^ e3 `

:0rb, ds4 ^ a1 ^ c2 ^ e3

´

:0

rb, es4 ^ a1 ^ c2 ^ d3 ´

:0rc, ds5 ^ a1 ^ b1 ^ e3

`

:0

rc, es5 ^ a1 ^ b1 ^ d3 ´

:0

rd, es6 ^ a1 ^ b1 ^ c2

“ δ3pa1 ^ b1 ^ c2q ^ d3 ^ e3 (4.81)

e


´ra, ds3 ^ b2 ^ c2 ^ e3 `

:0ra, es4 ^ b2 ^ c2 ^ d2

´

:0rb, cs4 ^ a1 ^ d2 ^ e3 `

:0

rb, ds4 ^ a1 ^ c2 ^ e3

´

:0

rb, es5 ^ a1 ^ c2 ^ d2 ´

:0

rc, ds4 ^ a1 ^ b2 ^ e3

`

:0

rc, es5 ^ a1 ^ b2 ^ d2 ´

:0

rd, es5 ^ a1 ^ b2 ^ c2

“ δ4pa1 ^ b2 ^ c2 ^ d2q ^ e3. (4.82)

Combinando (4.55) e (4.31) vemos que h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 é um vetor de peso máximo 4.Como

δ5px1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q “ ´ph2 ^ x2 ^ h3 ^ x3q,

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ5 à parte de grau 10 contém uma cópia deV p4q. Combinando agora (4.54), (4.55), (4.56) e (4.33) vemos que x2^ y2^h3^ x3´h2^

x2 ^ x3 ^ y3 e x1 ^ h3 ^ x3 ^ y3 são vetores de peso máximo 2. Como, por (4.81)

δ5px1 ^ y1 ^ h2 ^ h3 ^ x3q “ 2px1 ^ h3 ^ x3 ^ y3q

e, por (4.82),

δ5px1^h2^x2^y2^h3´h1^h2^x2^y2^x3q “ ´2px2^y2^h3^x3´h2^x2^x3^y3q,



V p2q˘‘2. Combinando (4.54) e (4.34) vemos que θ “ h1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ` 2x1 ^ h2 ^

x2 ^ y2 ^ y3 ` 2y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3 é um vetor de peso máximo 0. Como, por (4.82),

δ5pθq “ 2p2x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ´ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ´ h2 ^ x2 ^ h3 ^ y3q,

segue de (4.29) que a imagem de δ5 à parte de grau 10 contém uma cópia de V p0q. Assima restrição de δ5 à parte de grau 10 é um epimorfismo e, por (4.80),

Ext4GapF,Mq “ 0.

Como kerpδ5q “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ Impδ6q e kerpδ4q “ Impδ5q concluímos que o únicogrupo de extensão não nulo é, por (4.79),


`

V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q,M˘

.


¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`

ar2s b ^3par3sq,M

˘

δ˚5Ñ Homsl2

`

^2par1sq b ^3

par3sq ‘ ar1s b ^2par2sq b ^2

par3sq,M˘

δ˚6Ñ Homsl2

`

^3par1sq b ar2s b ^2

par3sq ‘ ^2par1sq b ^3

par2sq b ar3s,M˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

E por (4.15)Ext6


`


, (4.83)


`


, (4.84)

eExt4


`


. (4.85)


par2sqbar3s – V p4q‘V p2q‘V p0q, ^3par1sqb

ar2sb^2par3sq – V p4q‘V p2q‘V p0q, ar1sb^3

par3sq – V p6q‘`

V p4q˘‘2‘`

V p2q˘‘3‘V p0q,

ar1s b ^2par2sq b ^2

par3sq – V p2q e ar2s b ^3par3sq – V p2q. Combinando (4.54), (4.55),

(4.56) e (4.31) vemos que h1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 e h1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3 sãovetores de peso máximo 4. Como

δ6ph1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3q “ rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ h3 ^ x3

´rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ h3 ^ x3

“ ´2x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ` h1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3

e

δ6ph1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q “ rh, ys3 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ x3

´rx, ys3 ^ h1 ^ h2 ^ x2 ^ x3

“ ´2x1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` h1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3



V p4q˘‘2. Combinando (4.54), (4.55) e (4.33) vemos que θ1 “ h1^x1^h2^x2^y2^h3´

2x1^ y1^h2^x2^ y2^x3 e θ2 “ h1^x1^ y1^h2^h3^x3´ 2h1^x1^ y1^x2^x3^ y3

são vetores de peso máximo 2. Como

δ6pθ1q “ ´rh, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ` rh, ys3 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3

´rx, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ´ 2rx, ys3 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3

`2ry, hs3 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ´ 2ry, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3

“ 2ph1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ` y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3q

` 2p2x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ´ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ y3 ´ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3q

e

δ6pθ2q “ ´rh, xs2 ^ y1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ` rh, ys2 ^ x1 ^ h2 ^ h3 ^ x3

´ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ h3 ^ x3 ´ 2rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ x3 ^ y3

`2rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` 2ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ x3 ^ y3

“ 2p2x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ´ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ y3q

´ 2ph1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ´ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ y3q

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 11 tem uma cópia de`

V p2q˘‘2. Combinando (4.54), (4.55) e (4.34) vemos que θ “ h1^ y1^ h2^ x2^ y2^ x3´

h1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ y3 ` x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 é um vetor de peso máximo 0.Como

δ6pθq “ ´rh, ys3 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ´ ry, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ^ x3

`ry, xs3 ^ h1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ` rh, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ y3

`rx, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ^ y3 ` rx, ys3 ^ h1 ^ h2 ^ x2 ^ y3

´ry, hs3 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3

“ ´2y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ´ 2h1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ` h1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3

´2x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ` 2h1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3 ´ h1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ y3

´2y1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ y3

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 11 tem uma cópia deV p0q. Assim concluímos que o núcleo da restrição de δ6 à parte de grau 11 é uma cópia deV p0q e, por (4.83),


`

V p0q,M˘

.

Combinando (4.54), (4.56) e (4.33) vemos que x2^h3^x3^y3 é um vetor de peso máximo2. Como

δ5ph1 ^ x1 ^ h3 ^ x3 ^ y3q “ ´2px2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q


segue de (4.29) que a restrição de δ5 à parte de grau 11 é um monomorfismo. Assim, por(4.85),


Como kerpδ5q “ V p6q ‘ V p2q ‘ Impδ6q concluímos que o único grupo de extensões nãonulo é, por (4.84),


`

V p6q ‘ V p2q,M˘

.


¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`

ar1s b ar2s b ^3par3sq ‘ ^3

par2sq b ^2par3sq,M

˘

δ˚6Ñ Homsl2

`

^3par1sq b ^3


par2sq b ^2par3sq,M

˘

δ˚7Ñ Homsl2

`

^3par1sq b ^3

par2sq,M˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

E por (4.15)Ext7


`


, (4.86)


`


, (4.87)

eExt5


`


. (4.88)


par2sqbar3s – V p2q, ^3par1sqb^3

par3sq – V p0q,^

2par1sqb^2

par2sqb^2par3sq – V p6q‘

`

V p4q˘‘2‘`

V p2q˘‘3‘V p0q, ar1sbar2sb^3

par3sq –V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q e ^3

par2sq b ^2par3sq – V p2q. Combinando (4.54), (4.56) e (4.31)

vemos que h1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3 é um vetor de peso máximo 2. Como

δ7ph1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3q “ ´rh, ys3 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3

`rx, ys3 ^ h1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3

´ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3

`ry, xs3 ^ h1 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3

“ ´2x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3

`h1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3

`2h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3

´h1 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ7 à parte de grau 12 é um monomorfismo e,assim por (4.86),



Combinando (4.56) e (4.31) vemos que h1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y3 é um vetor de pesomáximo 0. Como

δ6ph1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y3q “ ´rh, xs2 ^ y1 ^ h3 ^ x3 ^ y3

`rh, ys2 ^ x1 ^ h3 ^ x3 ^ h3

´rx, ys2 ^ h1 ^ h3 ^ x3 ^ y3

“ 2y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 ` 2x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

`h1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 12 tem uma cópia deV p0q. Combinando (4.54), (4.55) e (4.31) vemos que x1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 é um vetor depeso máximo 4. Como

δ6px1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3q “ ´ry, hs3 ^ x1 ^ x2 ^ h3 ^ x3

“ ´2px1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 12 tem uma cópia deV p4q. Combinando (4.54), (4.55), (4.56), (4.31) e (4.33) vemos que h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3

e h1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 ´ x1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 são vetores de peso máximo 2. Como

δ6pθ1q “ ´rx, ys2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 “ ´ph2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3q

e

δ6pθ2q “ rx, ys3 ^ h1 ^ x2 ^ x3 ^ y3

`ry, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ x3 ^ y3

“ h1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

´x1 ^ h2 ^ h3 ^ x3 ^ y3,

onde θ1 “ x1^y1^x2^y2^h3^x3 e θ2 “ h1^x1^x2^y2^x3^y3´x1^y1^h2^x2^x3^y3,segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ6 à parte de grau 12 tem uma cópia de`

V p4q˘‘2. Assim concluímos que a restrição de δ6 à parte de grau 12 é um epimorfismo e,

por (4.88),Ext5

GpaqpF,Mq “ 0

e, como ker pδ6q “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q Impδ7q, o único grupo de extensão não nuloé, por (4.87),


`

V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q,M˘

.


¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`

^2par2sq b ^3

par3sq,M˘

δ˚6Ñ Homsl2

`


par3sq ‘ ar1s b ^3par2sq b ^2

par3sq,M˘

δ˚7Ñ Homsl2

`

^3par1sq b ^2

par2sq b ^2par3sq,M

˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨


E por (4.15)Ext7


`


, (4.89)


`


, (4.90)

eExt5


`


. (4.91)


par2sqb^2par3sq – V p4q‘V p2q‘V p0q, ar1sb

^3par2sqb^2

par3sq – V p4q‘V p2q‘V p0q, ^2par1sqbar2sb^3

par3sq – V p4q‘V p2q‘V p0qe ^2

par2sq b ^3par3sq – V p2q. Observando que por (4.53) apenas as páginas E3,3 e E1,4

da sequência espetral do Teorema 4.3.1 são não nulas vemos que

Ext7GapF,Mq “ 0

e, por (4.78), à restrição de δ7 a parte de grau 13 é um monomorfismo. Combinando (4.55),(4.56) e (4.31) vemos que h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 é um vetor de peso máximo 2. Como

δ6px1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^ y3q “ rx, ys3 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3 “ ´ph2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q



Assim concluímos que o único grupo de extensão não nulo é, por (4.90),


`

V p4q ‘ V p0q,M˘

.


¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`


par3sq,M˘

δ˚7Ñ Homsl2

`



par2sq b ^2par3sq,M

˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

E por (4.15)Ext7


`


(4.92)

eExt6


`


. (4.93)


par2sq b ^2par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q,


par3s – V p2q e ar1s b ^2par2sq b ^3

par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q.Combinando (4.54), (4.55), (4.56) e (4.31) vemos que x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 é umvetor de peso máximo 4. Como

δ7ph1 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3q “ rh, ys3 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3

“ 2x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3


segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ7 à parte de grau 14 contém uma cópia deV p4q. Combinando (4.54), (4.56) e (4.31) vemos que h1^ x1^ y1^ x2^ h3^ x3^ y3 é umvetor de peso máximo 2. Como

δ7ph1 ^ x1 ^ y1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q “ rh, ys2 ^ x1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

´rx, ys2 ^ h1 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

“ ´2x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

`h1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3,

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ7 à parte de grau 14 contém uma cópia deV p2q. Combinando (4.55), (4.56) e (4.34) e vemos que θ “ 2x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ x3 ^

y3´ h1^ x1^ h2^ x2^ y2^ h3^ y3´ h1^ y1^ h2^ x2^ y2^ h3^ x3 é um vetor de pesomáximo 0. Como

δ7pθq “ rx, ys3 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ x3 ^ y3 ` ry, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ x3 ^ y3

´rh, xs3 ^ x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ y3 ´ rx, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ y3

`rh, ys3 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ´ ry, hs3 ^ h1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3

“ ´4h1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3 ` x1 ^ h2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

´4y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3,

segue de (4.29) que a imagem da restrição de δ7 à parte de grau 14 contém uma cópia deV p0q, logo é epimorfismo. Assim, por (4.93),concluímos que

Ext6GpaqpF,Mq “ 0

e o único grupo de extensão não nulo, por (4.92), é


`

V p2q,M˘

.


¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`

^3par2sq b ^3

par3sq,M˘

δ˚7Ñ Homsl2

`

^2par1sq b ^2

par2sq b ^3par3sq,M

˘

δ˚8Ñ Homsl2

`

^3par1sq b ^3

par2sq b ^2par3sq,M

˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

E por (4.15)Ext8


`


, (4.94)


`


(4.95)

eExt6


`


. (4.96)



par2sqb^2par3sq – V p2q, ^2

par1sqb^2par2sqb

^3par3sq – V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q e ^3

par2sq b ^3par3sq – V p0q. Combinando (4.55), (4.56)

e (4.31) vemos que h1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 é um vetor de peso máximo 2.Como

δ8ph1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3q “ ´rh, ys3 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3

´ry, hs3 ^ h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3

“ 2x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

´2h1 ^ x1 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

segue de (4.29) que a restrição de δ8 à parte de grau 15 é um monomorfismo. Assim, por(4.94),


Combinando (4.56) e (4.31) vemos que h2^ x2^ y2^ h3^ x3^ y3 é vetor de peso máximo0. Como

δ7px1 ^ y1 ^ x1 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q “ ´rx, ys2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

“ ´ph2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q

segue de (4.29) que a restrição de δ7 à parte de grau 15 é um epimorfismo e, por (4.96),


Assim, kerpδ7q “ V p4q ‘ Impδ8q e concluímos que o único grupo de extensão não nulo é,por (4.95),


`

V p4q,M˘

.


¨ ¨ ¨ Ñ 0 Ñ Homsl2

`


par3sq,M˘

δ˚8Ñ Homsl2

`

^3par1sq b ^2

par2sq b ^3par3sq,M

˘

Ñ 0 Ñ ¨ ¨ ¨

E por (4.15)Ext8


`


(4.97)

eExt7


`


. (4.98)


par2sq b ^3par3sq – V p2q e ar1s b ^3

par2sq b^

3par3sq – V p2q. Combinando (4.54), (4.56) e (4.31) vemos que x1^h2^x2^y2^h3^x3^y3


δ8ph1 ^ x1 ^ y1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3q “ ´rh, ys2 ^ x1 ^ h2 ^ x2 ^ h3 ^ x3 ^ y3

“ 2x1 ^ h2 ^ x2 ^ y2 ^ h3 ^ x3 ^ y3,


segue de (4.29) que a restrição de δ8 à parte de grau 16 é um isomorfismo e, por (4.97) e(4.98), temos que

ExtnGpaqpF,Mq “ 0, para todo n.

Para r “ 17 temos que`

^npa`q

˘

r17s “ 0, se n ‰ 8, e`

^8pa`q

˘

r17s – V p2q.Logo, por (4.15)


`

V p2q,M˘

.

Para r “ 18 temos que`

^npa`q

˘

r18s “ 0, se n ‰ 9, e`

^9pa`q

˘

r18s – V p0q.Logo, por (4.15)


`

V p0q,M˘

.

Corolário 4.3.11. Se pλ, rq, pµ, sq P Λ, nas hipóteses do teorema anterior,

ExtnGpaq`


– Homsl2

`

V pλ, rq bM,V pµ, sq˘

com M dado por:

M “ V p0q se pn, s´ rq “ p0, 0q, p3, 7q, p6, 11q, p9, 18q;

M “ V p2q se pn, s´ rq “ p1, 1q, p2, 4q, p7, 14q, p8, 17q;

M “ V p4q se pn, s´ rq “ p2, 3q, p7, 15q;

M “ V p6q se pn, s´ rq “ p4, 9q, p5, 9q;


M “ pV p6q ‘ V p2q se pn, s´ rq “ p4, 7q, p5, 11q;

M “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q se pn, s´ rq “ p4, 8q, p5, 10q;

M “ V p6q ‘ V p4q ‘ V p2q ‘ V p0q se pn, s´ rq “ p3, 6q, p6, 12q;

M “ 0 caso contrário.

104

Referências

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