Grupos de Lie - ime.unicamp.brsmartin/cursos/grupolie-2013/gruplie100913.pdf · Os grupos aos quais...

Grupos de Lie

Luiz A. B. San Martin

9 de Setembro de 2013

Conteúdo

1 Introdução 111.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I Grupos topológicos 19

2 Grupos topológicos 212.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Vizinhanças do elemento neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Grupos Metrizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6 Ações de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.1 Descrição algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.2 Ações contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7 Espaços quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7.1 Grupos quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7.2 Grupos compactos e conexos . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.8 Homeomorfismo G/Gx → G · x . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.9 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Medida de Haar 573.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 Construção da medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.5 Aplicações a grupos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3

4 CONTEÚDO

3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

II Grupos e álgebras de Lie 83

4 Grupos de Lie e suas álgebras de Lie 854.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2 Álgebra de Lie de um grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.1 Campos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3 Aplicação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4.1 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4.2 Representações adjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.5 Equações diferenciais ordinárias invariantes . . . . . . . . . . . 1134.6 Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5 Subgrupos de Lie 1215.1 Definição e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.2 Subálgebras e subgrupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3 Ideais e subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.4 Limites de produtos de exponenciais . . . . . . . . . . . . . . 1345.5 Subgrupos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.6 Subgrupos conexos por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.7 Estrutura de variedade em G/H, H fechado . . . . . . . . . . 1435.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6 Homomorfismos e Recobrimentos 1536.1 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.1.1 Imersões e submersões . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.1.2 Gráficos e diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 1576.1.3 Extensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.2 Recobrimento universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.3 Apêndice: espaços de recobrimento (resumo) . . . . . . . . . . 1716.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

CONTEÚDO 5

7 Expansões em séries 1777.1 Série de Taylor e álgebra envelopante . . . . . . . . . . . . . . 1777.2 Diferencial da aplicação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 1837.3 Série de Baker-Campbell-Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . 1877.4 Estrutura diferenciável analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

III Tipos de álgebras de Lie e seus grupos simples-mente conexos 199

8 Grupos de Automorfismos 2018.1 Automorfismos de grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.2 Grupo Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.3 Produto semi-direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.4 Grupos derivados e série central descendente . . . . . . . . . . 2138.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9 Grupos solúveis e nilpotentes 2239.1 Grupos solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.2 Grupos nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

10 Grupos compactos 23510.1 Exemplos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23610.2 Álgebras de Lie compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23710.3 Grupo fundamental finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

10.3.1 Teorema de extensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.4 Álgebras semi-simples compactas . . . . . . . . . . . . . . . . 245

10.4.1 Componentes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.4.2 Construção de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24610.4.3 Subálgebras de Cartan e elementos regulares . . . . . . 247

10.5 Grupo fundamental de Aut (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

11 Grupos semi-simples 253

6 CONTEÚDO

IV Grupos de Transformações 255

12 Quocientes e ações de grupos de Lie 25712.1 Ações de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25712.2 Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

12.2.1 Fibrados principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26712.2.2 Fibrados associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

12.3 Espaços homogêneos e fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 28012.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

13 Geometria invariante 28713.1 Tensores invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

13.1.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28713.1.2 Tensores invariantes em espaços homogêneos . . . . . . 28713.1.3 Tensores bi-invariantes em grupos de Lie . . . . . . . . 288

13.2 Formas-volume e integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29013.2.1 Medidas de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29013.2.2 Apêndice: Medidas de Borel e formas-volume . . . . . 29413.2.3 Espaços homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

13.3 Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29713.4 Grupos de Lie complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

13.4.1 Varieades complexas e pseudo-complexas . . . . . . . . 29713.4.2 Grupos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

13.5 Variedades simpléticas e órbitas co-adjuntas . . . . . . . . . . 30013.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

13.6.1 Medidas de Borel e formas-volume . . . . . . . . . . . 303

A Variedades diferenciáveis 307A.1 Campos de vetores e colchetes de Lie . . . . . . . . . . . . . . 307A.2 Formas-volume e integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314A.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

B Integrabilidade de distribuições 319B.1 Imersões e subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319B.2 Distribuições características e teorema de Frobenius . . . . . . 323B.3 Unicidade e variedades integrais maximais . . . . . . . . . . . 330B.4 Cartas adaptadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333B.5 Variedades integrais são quase-regulares . . . . . . . . . . . . . 336

CONTEÚDO 7

B.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

8 CONTEÚDO

Prefácio

Os grupos aos quais esses métodos se aplicam diretamente são os denomina-dos grupos de Lie,este tipo de coisa vai pra prefácio– segunda parte: teoria que precisa de álgebra de Lie.

9

10 CONTEÚDO

Capítulo 1

Introdução

Este capítulo introdutório tem um carácter informal. Seu objetivo é propiciarao leitor uma visão geral da teoria, discutindo alguns dos resultados principaisatravés de exemplos, que são ao mesmo tempo concretos e ilustrativos e porisso mesmo são centrais dentro da teoria.A definição formal de um grupo de Lie será feita adiante no capítulo 4.

Para todos efeitos, um grupo de Lie consiste num grupo G cujo produto

(g, h) ∈ G×G 7−→ gh ∈ G

é uma aplicação diferenciável. Um exemplo rico o bastante para cobrir boaparte da teoria e ao qual deve-se recorrer sempre como guia, é o grupo lineargeralGl (n,R). Os elementos deste grupo são as matrizes n×n inversíveis comentradas reais, ou, o que é essencialmente a mesma coisa, as transformaçõeslineares inversíveis de um espaço vetorial real de dimensão finita.A seguir serão discutidos alguns aspectos do grupo Gl (n,R). A primeira

observação é que este conjunto é um aberto do espaço vetorial das matrizesn × n, isto é, de Rn2 . Ele é formado por duas componentes conexas, deter-minadas pelo sinal do determinante. Uma delas é

Gl+ (n,R) = {g ∈ Gl (n,R) : det g > 0},

que é um subgrupo de Gl (n,R). A outra componente conexa é formada pelasmatrizes com determinante < 0 e não é um subgrupo.A estrutura de grupo em Gl (n,R) é dada pelo produto usual de matrizes.

Se X = (xij) e Y ∈ (yij) são matrizes n × n, então Z = XY = (zij) é dado

11

12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

por

zij =

n∑k=1

xikykj,

que é uma aplicação polinômial de grau dois nas variáveis xij, yij. Portanto,o produto é uma aplicação diferenciável. Por esta razão Gl (n,R) é um grupode Lie.A grande força da teoria dos grupos de Lie está baseada na existência

das álgebras de Lie associadas aos grupos. As álgebras de Lie possibilitamtransportar métodos da álgebra linear ao estudo de objetos não lineares,como são os grupos de Lie. Uma álgebra de Lie é definida como sendo umespaço vetorial g munido de um produto (colchete) [·, ·] : g × g → g quesatisfaz as seguintes propriedades.

1. Bilinearidade, isto é, [·, ·] é linear em cada uma das variáveis ou aindao colchete é distributivo em relação às operações de espaço vetorial.

2. Anti-simetria, isto é, [A,B] = −[B,A], para A,B ∈ g.

3. Identidade de Jacobi: para A,B,C ∈ g,

[A, [B,C]] = [[A,B], C] + [B, [A,C]].

Os elementos da álgebra de Lie de um grupo de Lie são equações diferenci-ais ordinárias (campos de vetores) no grupo, que satisfazem uma propriedadede simetria proveniente da estrutura multiplicativa do grupo (campos de ve-tores invariantes por translações, veja o capítulo 4). Enquanto que os elemen-tos do grupo são obtidos através das soluções dessas equações dadas pelosseus fluxos.Em outras palavras, a álgebra de Lie é um objeto linear que aproxima o

grupo: para se obter os elementos da álgebra de Lie deve-se derivar curvas nogrupo. O procedimento contrário consiste em resolver equações diferenciais.Por isso, nos primeiros decenios do desenvolvimento da teoria era empregadoo termo grupo infinitesimal , ao invés de álgebra de Lie.No caso de Gl (n,R), sua álgebra de Lie é o espaço vetorial das matrizes

n× n, munido do colchete dado pelo comutador de matrizes1

[A,B] = BA− AB.1A ordem inversa que aparece neste comutador deve-se à escolha dos campos invariantes

à direita a ser feita logo mais.

13

Essa álgebra de Lie será denotada por gl (n,R). Para estabelecer a relaçãoentre a álgebra e o grupo, considere, para cada matriz A ∈ gl (n,R), o campode vetores

g 7→ Ag

no espaço da matrizes. Este campo induz a equação diferencial linear

dg

dt= Ag. (1.1)

Esta equação é nada mais nada menos que o sistema lineardx

dt= Ax, x ∈

Rn, repetido n vezes, uma vez para cada coluna da matriz g. A soluçãofundamental do sistema linear em Rn é dada por

exp (tA) =∑n≥0

1

n!(tA)n ,

o que garante que a solução da equação (1.1) com condição inicial g (0) = 1(onde 1 denota a matriz identidade n × n) é g (t) = exp (tA). Esta soluçãoestá inteiramente contida em Gl (n,R), pois as exponenciais são matrizesinversíveis. Além do mais, a curva

g : R→ Gl (n,R)

é um homomorfismo quando se considera a estrutura aditiva de grupo em R,já que vale a fórmula exp ((t+ s)A) = exp (tA) exp (sA). A imagem dessehomomorfismo é o que se denomina de grupo a 1-parâmetro do grupo de Lie.Em suma, existe uma construção natural que associa para cada elemento

da álgebra de Lie um subgrupo do grupo de Lie. Essa é a construção básicapara o desenvolvimento da teoria, pois é a aplicação exponencial que esta-belece o vinculo entre o colchete na álgebra de Lie e o produto no grupo,determinando (quase que) completamente a estrutura do grupo de Lie a par-tir da álgebra de Lie. Esse vinculo é realizado através fórmulas que envolvem[·, ·], exp e o produto no grupo.Um bom exemplo é a chamada fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.

Essa fórmula se escreve, para A e B na álgebra de Lie, como

exp (A) exp (B) = exp (S (A,B))


onde S (A,B) é uma série (similar a uma série de Taylor), que envolve apenasA e B e seus colchetes sucessivos. Os primeiros termos dessa série são

S (A,B) = A+B +1

2[A,B] +

1

12[[A,B], B]− 1

12[[A,B], A] + · · · (1.2)

e os demais termos envolvem colchetes com quatro ou mais elementos. Asérie S (A,B) converge se A e B são suficientemente pequenos, mostrandoque para esses valores de A e B, o produto exp (A) exp (B) é completamentedeterminado pela álgebra de Lie, isto é, pelos colchetes entre seus elementos.Esse tipo de relação entre o colchete e o produto, pode ser propagado (via

prolongamento analítico) a todo grupo permitindo mostrar que, a menos depropriedades topológicas globais (como o grupo ser conexo e simplesmenteconexo), existe um único grupo de Lie associado a uma álgebra de Lie dada.Outra fórmula ilustrativa é dada pela expansão de Taylor do comutador

de exponenciais dado pela curva

α (t) = exp (tB) exp (tA) exp (−tB) exp (−tA)

no grupo linear Gl (n,R). Usando reiteradamente a derivada

d

dt(exp (tA)) = A exp (tA) = exp (tA)A,

verifica-se que α′ (0) = 0 e

α′′ (0) = [A,B].

Como α (0) isso significa que

α (t) = 1 +t2

2[A,B] + · · ·

cujo termo relevante é [A,B]. Isso apresenta o colchete como o objeto infini-tesimal associado ao comutador no grupo. Derivadas deste tipo se estendema campos de vetores em geral. Foi essa expansão de Taylor que levou aoconceito de colchete de Lie de campos de vetores, como é denominado hojeem dia. Esse conceito foi introduzido por Sophus Lie, o que fez com que todateoria levasse o seu nome.Essas fórmulas, apesar de ilustrativas da relação entre os grupos e as

álgebras de Lie, são pouco utilizadas tecnicamente na teoria. Apesar de

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que a derivada segunda na expansão de Taylor acima dá a idéia eurísticade que a passagem do grupo para a álgebra de Lie se dá por intermédio deduas derivadas. Esse de fato é o procedimento efetivado pelas representaçõesadjuntas definidas no capítulo 4.Outros exemplos de grupos de Lie com suas respectivas álgebras de Lie

são os seguintes:

1. Se G é um grupo de Lie abeliano então sua álgebra de Lie é abeliana,isto é, o colchete [·, ·] é identicamente nulo (e vice-versa no caso degrupos conexos, pela fórmula de Campbell-Hausdorff). Os grupos deLie abelianos conexos serão descritos no capítulo 6, seção 6.2.

2. SejaG = O (n) = {g ∈ Gl (n,R) : ggT = gTg = 1}

o grupo das matrizes ortogonais. Sua álgebra de Lie é a subálgebra dematrizes anti-simétricas:

so (n) = {A ∈ gl (n,R) : A+ AT = 0}.

O colchete em so (n) é o comutador de matrizes. A razão para issoé que A é uma matriz anti-simétrica se, e só se, exp tA é uma matrizortogonal para todo t ∈ R.

3. O grupo Gl (n,C) das matrizes complexas n×n inversíveis é um grupode Lie pela mesma razão que Gl (n,R) o é. A álgebra de Lie Gl (n,C)é a álgebra de Lie gl (n,C) das matrizes complexas n× n.

O programa da teoria de Lie consiste em estudar os grupos de Lie atravésde suas álgebras de Lie. Isso significa que deve-se classificar e descreveras propriedades estruturais dos grupos de Lie reduzindo-os às propriedadescorrespondentes das álgebras de Lie.Outros resultados que ilustram o poder das álgebras de Lie no estudo dos

grupos de Lie são os seguintes:

1. Se G é um grupo de Lie com álgebra de Lie g então os subgrupos de Gsão descritos pelas subálgebras de Lie de g. Aqui não deve-se considerartodos os subgrupos, mas apenas a classe dos chamados subgrupos deLie e, novamente, a relação funciona bem para os subgrupos conexos.Alguns exemplos desses subgrupos foram apresentados acima.


2. Os homomorfismos entre grupos de Lie são obtidos através dos homo-morfismos entre as respectivas álgebras Lie. Esses últimos são apli-cações lineares, ao contrário dos primeiros.

?????O teorema de existência e unicidade do recobrimento simplesmenteconexo de um grupo de Lie e seus corolários fornecem uma descrição bastantecompleta dos grupos de Lie que possuem uma mesma álgebra de Lie, ou sejados grupos globais que são localmente isomorfos. O ponto de partida dessesresultados é um grupo de Lie G com álgebra de Lie g. Por essa razão essesresultados não reduzem completamente a descrição dos grupos conexos àsálgebras de Lie. Para completar o quadro falta determinar as álgebras deLie que admitem um grupo de Lie. A resposta a isso é a melhor possível, jáque toda álgebra de Lie real de dimensão finita é álgebra de Lie de algumgrupo de Lie (e, portanto, de um único grupo de Lie conexo e simplesmenteconexo).?????No caso da classificação dos grupos de Lie a redução é feita da seguinte

forma: se G1 e G2 são grupos de Lie com mesma álgebra de Lie (isto é,com álgebras de Lie isomorfas) então os grupos são localmente isomorfos.Isso significa que existe um difeomorfismo entre vizinhanças dos elementosneutros de G1 e G2, respectivamente, que respeita o produto nos grupos(compare com a fórmula de Campbell-Hausdorff (1.2) e veja o capítulo 6,para mais detalhes). Esse isomorfismo pode não ser global. A globalizaçãodo isomorfismo depende de propriedades dos espaços topológicos subjacentesaos grupos (na verdade de seus grupos fundamentais, apenas). O que se podeprovar é que se G1 e G2 (ou melhor, os espaços topológicos subjacentes) sãoconexos e simplesmente conexos então eles são isomorfos se suas álgebras deLie são isomorfas.De forma complementar, se g é uma álgebra de Lie (sobre o corpo R e de

dimensão finita) então existe um grupo de Lie G simplesmente conexo cujaálgebra de Lie é isomorfa a g. Dessa forma, a classificação das álgebras deLie fornece a classificação dos grupos de Lie conexos e simplesmente conexos:dada uma álgebra de Lie existe um, e apenas um (a menos de isomorfismo),grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com a álgebra de Lie dada.Os demais grupos de Lie conexos (não necessariamente simplesmente

conexos) são da forma G = G/D com G simplesmente conexo e D um sub-grupo discreto contido no centro de G. Nesse caso D coincide (ou melhor éisomorfo) com o grupo fundamental de G, o que significa que a álgebra de Lie

1.1. EXERCÍCIOS 17

e o grupo fundamental determinam completamente um grupo de Lie conexo.Um situação típica do que foi descrito acima é o caso dos grupos abelianos

R (grupo aditivo da reta real) e S1 (grupo dos números complexos z com|z| = 1, ou seja, o grupo quociente R/Z dos números reais com a somamódulo 2π). Esses grupos têm a mesma álgebra de Lie, são localmenteisomorfos, mas obviamente não são globalmente isomorfos. Aliás, a menosde isomorfismo, R e S1 são os únicos grupos de Lie conexos de dimensão 1. Arazão disso é que quaisquer duas álgebras de Lie de dimensão 1 são isomorfas,pois elas são abelianas (isto é, [·, ·] ≡ 0). Além do mais, R é simplesmenteconexo e pode-se mostrar que um subgrupo discreto D ⊂ R é isomorfo a Z oque acarreta que R/D ≈ R/Z.Em geral a classificação dos grupos de Lie conexos consta de três passos:

1) a classificação das álgebras de Lie reais; 2) determinar, para cada álgebrade Lie real g (ou melhor, para sua classe de isomorfismo de álgebras deLie), um grupo de Lie simplesmente conexo G cuja álgebra de Lie seja g; 3)

encontrar o centro Z(G)de G e os subgrupos discretos D ⊂ Z

(G).

Deve-se observar que essa classificação funciona bem para grupos conexos,uma vez que são esses os grupos que podem ser acessados pelas álgebras deLie, através de soluções de equações diferenciais.Decomposição de LeviGrupos Simples Clássicos, complexos e reais. complexificações????

• CompactosO (n), SO (n), U (n), SU (n), Sp (n),

• Não compactosSl (n,R), Sl (n,C), Sl (n,H) = SU∗ (2n), Sp (n,R), Sp (n,C), O (p, q),SO (p, q), U (p, q), SU (p, q)

1.1 Exercícios

1. Demonstre a fórmula de Campbell-Hausdorff (1.2) e a fórmula ?? parao grupo linear Gl (n,R). (Sugestão: tome exponenciais do tipo exp tA,exp tB e coloque em evidência os termos tk.)

2. Seja A uma matriz n× n. Se expA =∑

k≥01k!Ak mostre que A é anti-

simétrica (A+AT = 0) se, e só se, exp tA é uma matriz ortogonal para


todo t ∈ R. (Sugestão: considere a curva α (t) = exp tA (exp tA)T .)

3. Seja Sl (n,R) = {g ∈ Gl (n,R) : det g = 1} o grupo das matrizesunimodulares. Assuma que Sl (n,R) é um subgrupo de Lie e verifique,usando exponenciais, que sua álgebra de Lie é

sl (n,R) = {A ∈Mn×n (R) : trA = 0}.

4. Seja SU (2) o grupo das matrizes unitárias 2× 2, isto é,

SU (2) = {g ∈M2×2 (C) : gTg = ggT = id, det g = 1}.

Assuma que SU (2) é um subgrupo de Lie de matrizes inversíveis everifique, usando exponenciais, que sua álgebra de Lie é o espaço dasmatrizes anti-hermitianas

su (2) = {A ∈M2×2 (C) : A+ AT

= 0, trA = 0}.

Verifique que su (2) é uma álgebra de Lie real com dim su (2) = 3(onde o colchete de Lie é dado pelo comutador de matrizes). Verifiquetambém que su (2) é isomorfa às seguintes álgebras de Lie: 1) so (3) ={A ∈ M3×3 (R) : A + AT = 0} (com o comutador); 2) R3 munido doproduto vetorial ∧.

5. Seja H = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ R} a álgebra do quatérnions.Escreva ξ = a + ib + jc + kd como ξ = (a+ ib) + j (c− id), isto é,ξ = z + jw com z, w ∈ C. A multiplicação à esquerda por ξ podeser vista como uma aplicação linear de C2. Calcule a matriz dessaaplicação na base {1, j} e mostre que a aplicação

φ : a+ bi+ cj + dk = z + jw 7−→(z −ww z

)∈M2×2 (C)

é um homomorfismo injetor. Mostre também que a restrição de φ àesfera {ξ ∈ H : |ξ| = 1} é uma bijeção sobre SU (2) e conclua que SU (2)é conexo e simplesmente conexo. Determine o centro de SU (2) e todosos grupos de Lie conexos com álgebra de Lie su (2) ≈ so (3) ≈ (R3,∧).

Parte I

Grupos topológicos

19

Capítulo 2

Grupos topológicos

Diversas propriedades dos grupos de Lie dependem apenas de sua topologiae não da estrutura de variedade diferenciável. Nesse capítulo serão estudadasalgumas dessas propriedades, que valem para grupos topológicos mais gerais.O objetivo aqui não é fazer um desenvolvimento exaustivo da teoria dosgrupos topológicos, mas apenas estabelecer uma linguagem e demonstraralguns resultados úteis para os grupos de Lie.O elemento neutro de um grupo G será denotado por 1. Para um subcon-

junto A ⊂ X de um espaço topológico se denota por A◦, A e ∂A o interior,fecho e fronteira de A, respectivamente.

2.1 Introdução

Um grupo topológico é um grupo cujo conjunto subjacente está munido deuma topologia compatível com o produto no grupo, no sentido em que

1. o produto p : G × G → G, p (g, h) = gh, é uma aplicação contínua,quando se considera G×G com a topologia produto e

2. a aplicação ι : G→ G, ι (g) = g−1, é contínua (e, portanto, um home-omorfismo, já que ι−1 = ι).

Essas duas propriedades podem ser condensadas tomando a aplicaçãoq : G × G → G, definida por q (g, h) → gh−1. De fato, q é contínua se p eι são contínuas e, reciprocamente, se q é contínua então g → (1, g) → g−1 écontínua e, portanto, p (g, h) = q (g, h−1) é contínua.

21

22 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS

Cada elemento g de um grupo G define, naturalmente, as seguintes apli-cações:

• translação à esquerda Eg : G→ G, Eg (h) = gh,

• translação à direita Dg : G→ G, Dg (h) = hg e

• conjugação (ou automorfismo interno) Cg : G→ G, Cg (h) = ghg−1.

Segue das definições que Eg ◦ Eg−1 = Dg ◦ Dg−1 = id. Além do mais,Cg = Eg ◦ Dg−1 portanto todas essas aplicações são bijeções de G. No casode grupos topológicos essas aplicações são contínuas pois Eg = p ◦ sg,1 eDg = p ◦ sg,2 onde sg,1 (h) = (g, h) e sg,2 (h) = (h, g) são aplicações contínuasG → G × G. A continuidade das translações e as fórmulas (Eg)

−1 = Eg−1 ,(Dg)

−1 = Dg−1 e (Cg)−1 = Cg−1 , mostram que essas aplicações são, na ver-

dade, homeomorfismos de G. As fórmulas a seguir relacionam as translaçõescom a inversa ι.

• Dg ◦ Eh = Eh ◦Dg.

• Eg ◦ ι = ι ◦Dg−1 .

• Dg ◦ ι = ι ◦ Eg−1 .

Deve-se observar que a continuidade das translações e das conjugaçõesdependem de uma propriedade mais fraca que a continuidade de p, já que,por exemplo Eg é contínua se, e só se, a “aplicação parcial” h 7→ gh écontínua. Em geral aplicações definidas em espaços produtos podem sercontínuas em cada variável sem que seja contínua. Esse fenômeno leva àdefinição de grupo semi-topológico, que é um grupo em que o produto éparcialmente contínuo, isto é, todas as translações são contínuas. Exemplosde grupos semi-topológicos e não topológicos serão apresentados abaixo.

Exemplos:

1. Subgrupos de Gl (n,R): Gl (n,C), O (n) Sl (n,R), Sl (n,C), Gl (n,H).

2. (Rn,+).

3. Qualquer grupo em que o conjunto subjacente é munido da topologiadiscreta (em que todos os conjuntos são abertos).

2.1. INTRODUÇÃO 23

4. Num corpo ordenado (K,+, ·,≤) pode-se definir a topologia da ordem,que é gerada pelos intervalos abertos. Em relação a essa topologia aoperação + define um grupo topológico, enquanto que o produto defineum grupo topológico em K∗ = K \ {0}.

5. O círculo S1 tem uma estrutura de grupo natural que é dada peloproduto de números complexos de módulo 1: S1 = {z ∈ C : |z| =1}. Com a topologia canônica S1 é um grupo topológico. De formaalternativa, o produto em S1 é dado pelo quociente S1 = R/Z, em queo produto é dado pela soma módulo 1 de números reais.

6. Exemplos mais gerais que o anterior são dados pelos cilindros Tk×Rm =Rm+k/Zk =

(Rk/Zk

)× Rm, com topologias canônicas. (Veja abaixo

produtos e quocientes de grupos topológicos.)

7. Seja (C \ {0}, ·) munido da topologia gerada pela base de abertos, queé formada pelos intervalos abertos das retas verticais ra = {a + ix ∈C : x ∈ R}. Esse grupo não é topológico em relação a essa topologia.De fato, a translação à esquerda Eeiθ é uma rotação de ângulo θ ∈ R.A imagem do aberto ra = {a + ix ∈ C : x ∈ R} não é aberto se, porexemplo, θ = −π/2.

8. Sejam G um grupo topológico e X um espaço topológico. Denote porA (X,G) o conjunto das aplicações contínuas f : X → G. Este con-junto tem uma estrutura de grupo com o produto (fg) (x) = f (x) g (x).Introduza em A (X,G) a topologia compacto-aberto, que tem comobase de abertos os conjuntos do tipo

AK,U = {f ∈ A (X,G) : f (K) ⊂ U}

onde K ⊂ X é compacto e U ⊂ G é aberto. Com essas estruturasA (X,G) é um grupo topológico. De fato, o produto em A (X,G) ×A (X,G) é homeomorfo a A (X,G×G) por (f, g) 7→ h onde h (x) =(f (x) , g (x)), com a topologia compacto-aberta emA (X,G×G). SejaqA (f, g) = fg−1. Através da identificação entre esses espaços, q−1

A (AK,U)é o conjunto das funções h : X → G×G tais que h (K) ⊂ q−1 (U). Istoé,

q−1A (AK,U) = AK,q−1(U)

onde a vizinhança do segundo membro é vista em A (X,G×G). Por-tanto, o grupo é topológico.


9. Como caso particular do exemplo anterior, seja {Gi}i∈I uma família degrupos indexada pelo conjunto I. O produto cartesiano G =

∏i∈I Gi

é o conjunto formado pelas aplicações f : I →⋃i∈I Gi tais que f (i) ∈

Gi para todo i ∈ I. O produto cartesiano admite uma estrutura degrupo em que o produto é dado componente a componente: (fg) (i) =f (i) g (i). A topologia produto em

∏i∈I Gi é gerada por abertos do

tipo∏

i∈I Ai com Ai ⊂ Gi abertos, i ∈ I e Ai = Gi a menos de umnúmero finito de índices (topologia compacto-aberta em que I tem atopologia discreta). Como o produto é feito componente a componentee cada Gi é um grupo topológico, G é grupo topológico com a topologiaproduto.

Em particular, se I é um conjunto finito,∏

i∈I Gi = G1×· · ·×Gn, seuselementos são n-uplas g = (g1, . . . , gn), gi ∈ Gi, a multiplicação é dadapor

gh = (g1h1, . . . , gnhn)

com a topologia produto, gerada por subconjuntos do tipo A1×· · ·×Ancom Ai ⊂ Gi aberto.

10. Este exemplo ilustra um grupo com uma topologia em que o produtoé uma aplicação contínua, mas ι (g) = g−1 não é contínua. Considere ogrupo aditivo (R,+) com R munido da topologia (topologia de Sorgen-frey) gerada pela base dada pelos intervalos [a, b), a < b. O produto éuma aplicação contínua pois se x + y ∈ [a, b) então para algum ε > 0,x+ y+ ε < b, o que garante que [a, b) contém [x, x+ ε/2) + [y, y+ ε/2)(= {z + w : z ∈ [x, x + ε/2) e w ∈ [x, x + ε/2)}). Isso significa que oaberto [x, x + ε/2) × [y, y + ε/2) está contido em p−1[a, b), mostrandoque p é contínua. Por outro lado, ι (x) = −x não é contínua pois, porexemplo, (−2,−1] = ι−1[1, 2) não é aberto.

11. Este exemplo ilustra o caso de um grupo G em que a inversa ι (g) = g−1

é contínua e p é parcialmente contínua (isto é, G é semi-topológico), masnão contínua. Tome o grupo aditivo (R2,+) com R2 munido da topolo-gia gerada pelas bolas siamesas, que são definidas da seguinte forma:tome duas bolas de mesmo raio com centros numa mesma reta verticale que se tangenciam. A bola siamesa correspondente é a união do in-terior das bolas juntamente com o ponto de tangência. O conjunto dasbolas siamesas forma uma base para topologia. Munido dessa topologiaa inversa em R2 é contínua (por simetria em relação à origem), assim

2.1. INTRODUÇÃO 25

como as translações. No entanto, o produto p = + não é contínuo. Defato, (1, 0) + (−1, 0) = (0, 0). Tome uma bola siamesa B com tangên-cia em (0, 0) e sejam B1 e B2 bolas siamesas com pontos de tangênciaem (1, 0) e (−1, 0), respectivamente. Então, B1 + B2 não está con-tida B, como pode ser verificado geometricamente. Isso significa queB1×B2 não está contido em p−1 (B). Como B, B1 e B2 são elementosarbitrários da base para a topologia, segue que p não é contínua em((1, 0) , (−1, 0)).

2

Se A é um subconjunto de G e g ∈ G a translação Eg (A) é denotadasimplesmente por gA = {gx : x ∈ A}. O fato de que as translações sãohomeomorfismos implica que gA é aberto ou fechado seA é aberto ou fechado,respectivamente. A mesma observação vale para as translações à direita Ag.De forma mais geral, seja B ⊂ G e escreva

A ·B = AB = {xy ∈ G : x ∈ A, y ∈ B}.

Por definição AB =⋃x∈B Ax =

⋃x∈A xB. Dessa forma, se A (ou B) é

aberto, então AB é aberto por ser união de abertos. Deve-se observar, que amesma afirmação não vale para conjuntos fechados. Por exemplo, em (R2,+)

tome os conjuntos fechados A = {(x,

1

x

): x > 0}, B = {

(−x, 1

x

): x > 0}.

Então a soma A + B está contida no semi-plano y > 0 e, no entanto, (0, 0)está no fecho de A+B. Vale, no entanto, a seguinte afirmação.

Proposição 2.1 Se K ⊂ G é compacto e F ⊂ G é fechado então KF e FKsão fechados.

Demonstração: Se x ∈ KF então x é limite de uma rede kαfα comkα ∈ K, fα ∈ F e α ∈ D onde D é um conjunto dirigido. Como K é com-pacto existe uma subrede kαj tal que k = limαj kαj ∈ K, o que implica quek−1 = limαj kαj , pela continuidade da inversa. Usando agora a continuidadedo produto, se vê que a subrede fαj = k−1

αj

(kαjfαj

)converge a f = k−1x que

pertence ao conjunto fechado F pois fαj ∈ F . Portanto, x = kf com k ∈ Ke f ∈ F , isto é, x ∈ KF . Do mesmo jeito se mostra que FK é fechado. 2

Juntamente com a notação AB, surgem naturalmente as notações A2 =A · A, A3 = A2 · A = A · A2, etc.


Para A ⊂ G é usada a notação A−1 = {x−1 ∈ G : x ∈ A}. Comoι (g) = g−1 é um homeomorfismo, A−1 = ι (A) é aberto ou fechado se, e sóse, A é aberto ou fechado, respectivamente.Uma vizinhança U da identidade é dita simétrica se U = U−1. Não é

difícil construir vizinhanças simétricas. De fato, se V é uma vizinhança qual-quer de 1 então V −1 também é uma vizinhança e V ∩ V −1 é uma vizinhançasimétrica.

2.2 Vizinhanças do elemento neutro

Seja U ⊂ G um aberto não vazio e tome g ∈ U . Então, g−1U e Ug−1

são vizinhanças do elemento neutro de G. Reciprocamente, se V é umavizinhança de 1 então, dado g ∈ G, gV e V g são vizinhanças de g. Essasobservações têm como consequência que toda informação sobre a topologia deG está concentrada no conjunto das vizinhanças abertas do elemento neutro.O conjunto dessas vizinhanças é denotado por V (1) ou simplesmente V.A proposição a seguir lista algumas propriedades de V, que serão usadasposteriormente para descrever a topologia de G.

Proposição 2.2 Seja G um grupo topológico e denote por V o conjunto dasvizinhanças abertas do elemento neutro 1. Então, valem as seguintes pro-priedades:

T1) O elemento neutro 1 pertence a todos os subconjuntos U ∈ V.

T2) Dados dois conjuntos U, V em V, U ∩ V está em V.

GT1) Para todo U ∈ V, existe V ∈ V tal que V 2 ⊂ U

GT2) Dado U ∈ V, U−1 ∈ V.

GT3) Para todo g ∈ G e U ∈ V, gUg−1 ∈ V.

Demonstração: As propriedades (T1) e (T2) valem para as vizinhançasde um ponto num espaço topológico qualquer. A propriedade (GT1) éequivalente ao produto ser contínuo em 1. De fato, p−1 (U) ⊂ G × Gé um aberto contendo (1, 1). Portanto existe um aberto V de G, com(1, 1) ∈ V × V ⊂ p−1 (U). Isso significa que V 2 = p (V × V ) ⊂ U . Já apropriedade (GT2) foi comentada acima e é equivalente à continuidade em

2.2. VIZINHANÇAS DO ELEMENTO NEUTRO 27

1 da aplicação ι. Por fim (GT3) segue de que g1g−1 = 1 e Cg (x) = gxg−1 écontínua. 2

As propriedades enunciadas nesta proposição caracterizam completamenteo conjunto das vizinhanças da identidade.

Definição 2.3 Um sistema de vizinhanças da identidade (ou elemento neu-tro) em um grupo G é uma família de conjuntos V satisfazendo as pro-priedades da proposição anterior.

Será mostrado abaixo que um sistema de vizinhanças da identidade definede forma única a topologia de um grupo topológico. Para isso será necessárioum lema que garante a continuidade de aplicações a partir da continuidadeem um único ponto. Resultados análogos a esse lema são utilizados constan-temente na teoria.Uma topologia T num grupoG é dita invariante à esquerda se gA é aberto

de T para todo g ∈ G e A ∈ T . Uma topologia é invariante à esquerda se, esó se, as translações à esquerda são contínuas (e, portanto, homeomorfismos).Da mesma forma se definem as topologias invariantes à direita.Se T é uma topologia invariante à esquerda em G então a topologia

produto em G×G é invariante à esquerda pois (g, h) (A×B) = (gA)× (hB)se A,B ⊂ G e (g, h) ∈ G × G. Da mesma forma, a topologia produto éinvariante à direita em G×G se for invariante à direita em G.

Lema 2.4 Suponha que T seja uma topologia em G invariante à esquerda eà direita. Então, G é um grupo topológico se, e somente se,

1. p é contínua em (1, 1) e

2. ι : G→ G, ι (g) = g−1, é contínua em 1.

Demonstração: É claro que as condições são necessárias. A demonstraçãoda suficiência requer as seguintes igualdades, cujas demonstrações são ime-diatas.

1. Dado (g, h) ∈ G × G sejam E(g,h) e D(g,h) a translação à esquerdae à direita em G × G, respectivamente. Então p ◦ E(g,1) = Eg ◦ p ep ◦D(1,g) = Dg ◦ p.

2. Dado g ∈ G, ι ◦ Eg = Dg−1 ◦ ι.


Agora, tome (g, h) ∈ G × G. Então p ◦ E(g,1) ◦ D(1,h) = Eg ◦ Dh ◦ p. Osegundo membro dessa igualdade é uma aplicação contínua em (1, 1) poisEg ◦Dh é homeomorfismo. Portanto, p ◦ E(g,1) ◦D(1,h) é contínua em (1, 1).Mas E(g,1) ◦ D(1,h) é um homeomorfismo, daí que p é contínua em (g, h) =E(g,1) ◦D(1,h) (1, 1).Por outro lado, Dg−1 ◦ ι é contínua em 1, portanto, ι ◦ Eg é contínua em

1 e daí que ι é contínua em g = Eg (1). 2

Para caracterizar a topologia de G a partir dos sistemas de vizinhançasda identidade deve-se lembrar que um sistema fundamental de vizinhançasde um ponto x num espaço topológico X é uma família F de abertos de Xtal que cada elemento de F contém x e se A ⊂ X é um aberto com x ∈ Aentão existe B ∈ F tal que B ⊂ A.

Proposição 2.5 Seja G um grupo e suponha que V é um sistema de vizin-hanças da identidade em G. Então, existe uma única topologia T que tornaG um grupo topológico de tal forma que V é um sistema fundamental devizinhanças do elemento neutro em relação a T .

Demonstração: Defina T como sendo a família dos subconjuntos A ⊂ Gtais que para todo g ∈ A, existe U ∈ V tal que gU ⊂ A. É claro que osconjuntos ∅ e G são elementos de T . Para ver que T é uma topologia tomeA,B ∈ T e x ∈ A∩B. Então, existem U, V ∈ V tais que xU ⊂ A e xV ⊂ B.Pela propriedade (T2), U ∩ V ∈ V. Mas,

x (U ∩ V ) = xU ∩ xV ⊂ A ∩B,

mostrando que A∩B ∈ T . A definição de T mostra que uma união qualquerde conjuntos em T é um elemento de T .Agora as vizinhanças abertas de 1 em relação a T são os elementos de

V. De fato, a própria definição de T mostra que os elementos de V sãovizinhanças de 1. Por outro lado, seja U uma vizinhança de 1 em relaçãoa T . Então, existe V ∈ V tal que 1 · V ⊂ U . Portanto, V é um sistemafundamental de vizinhanças de 1 em relação a T .A definição de T e a propriedade (GT3) garantem que T é invariante

à direita e à esquerda. De fato, uma translação à esquerda gU , u ∈ V, étambém uma translação à direita da forma gU = (gUg−1) g. Por (GT3) seU ∈ V então gUg−1 ∈ V. Portanto, pelo lema anterior para garantir queG munido de T é grupo topológico, basta verificar que p e ι são contínuas

2.2. VIZINHANÇAS DO ELEMENTO NEUTRO 29

em (1, 1) e 1, respectivamente. Mas essas continuidades são equivalentes àspropriedades (GT1) e (GT2), respectivamente, concluindo a demonstraçãode que G é grupo topológico com a topologia T .Por fim, suponha que T ′ é outra topologia satisfazendo as mesmas con-

dições. Então, V é um sistema fundamental de vizinhanças de 1 em relaçãoa T ′. Realizando translações à esquerda, vê-se que gV , com V variando emV é um sistema fundamental de vizinhanças de g ∈ G. Portanto, para todoA ∈ T ′ e g ∈ A, existe V ∈ V tal que gV ⊂ A. Daí que todo aberto deT ′ é aberto de T , isto é, T ′ ⊂ T . Alterando o papéis de T e T ′, segue queT = T ′, concluindo a demonstração. 2

Exemplo: Uma situação ilustrativa da construção feita acima é quandoos elementos de V são subgrupos de G. Nesse caso, as condições para Vse reduzem a (T2) e (GT3) pois se U e V são subgrupos então 1 ∈ V ∩ Ue V 2 = V −1 = V . Um exemplo de um sistema V desse tipo é construidono grupo Z. Dado um número primo p > 0 seja Vp a família de subgruposVn = pnZ, n ≥ 1. Como Z é abeliano, a condição (GT3) é automaticamentesatisfeita. Já a condição (T2) vale pois pnZ ∩ pmZ = pmax{n,m}Z. Portanto,V define uma topologia em Z tornando-o um grupo topológico. Essa é achamada topologia p-ádica em Z. 2

A descrição feita da topologia em termos das vizinhanças da identidadeestabelece o princípio de que toda descrição topológica em G de ver feitaatravés dessas vizinhanças. A proposição abaixo segue esse principio ao darum critério para que a topologia seja de Hausdorff em termos das vizinhançasda identidade.

Proposição 2.6 Seja G um grupo topológico. Então, as seguintes condiçõessão equivalentes:

1. A topologia de G é Hausdorff.

2. {1} é um conjunto fechado.

3.⋂U∈V(1) U = {1}.

Demonstração: Numa topologia Hausdorff todo conjunto unitário é fe-chado, em particular {1} é fechado. Suponha que {1} seja fechado. Para


mostrar que a interseção das vizinhanças se reduz ao elemento neutro deve-se mostrar que para todo x 6= 1, existe U ∈ V tal que x /∈ U . Como {1} éfechado, existe tal V ∈ V tal que 1 /∈ x−1V , isto é, x /∈ V . Por fim, assumaque a interseção se reduz a {1} e tome x 6= 1. Então existe U ∈ V tal quex /∈ U . Por (GT1) existe V ∈ V tal que V 2 ⊂ U . Então, V ∩ xV −1 = ∅,pois z ∈ V ∩ xV −1 deve satisfazer z = u = xv−1, u, v ∈ V , e daí quex = uv ∈ V 2 ⊂ U , contradizendo a escolha de U . Consequentemente, osabertos V e xV −1 separam 1 de x. Tome agora y 6= z arbitrários. Então,existem abertos U1 e U2 com y−1z ∈ U1 e 1 ∈ U2 e U1 ∩U2 = ∅. Portanto, osabertos yU1 e yU2 separam z de y. 2

2.3 Grupos Metrizáveis

Uma distância d : G×G→ R+ num grupo G é dita invariante à esquerda sed (gx, gy) = d (x, y) para todo g, x, y ∈ G. Em outras palavras, d é invarianteà esquerda caso as translações à esquerda Eg são isometrias. As distânciasinvariantes à direita são definidas de maneira análoga. Uma distância é bi-invariante se ela é ao mesmo tempo invariante à esquerda e à direita.Uma condição necessária para que um espaço topológico seja metrizável é

que todo ponto admita um sistema fundamental de vizinhanças enumerável.No caso de grupos topológicos essa condição também é suficiente e, comoantes, basta verificá-la no elemento neutro.

Teorema 2.7 Seja G um grupo topológico e suponha que exista um sistemade vizinhanças da identidade que seja enumerável. Então, existem dE e dDdistâncias invariantes à direita e à esquerda, respectivamente, que são com-patíveis com a topologia de G.

Este teorema não será demonstrado aqui. No caso em que G é um grupode Lie a condição de enumerabilidade é satisfeita pois localmente G é home-omorfo a Rn. Portanto, grupos de Lie são metrizáveis. No entanto, paragrupos de Lie, em particular, existe uma construção mais simples que ada demonstração geral do teorema 2.7, utilizando métricas Riemannianasem variedades diferenciáveis. Essa demonstração será apresentada posterior-mente.Em todo caso, vale a pena ressaltar que o teorema garante a existên-

cia tanto de uma distância invariante à direita quanto de uma invariante à

2.4. HOMOMORFISMOS 31

esquerda. Porém, pode não existir uma distância bi-invariante num grupometrizável.

Exemplos: Alguns exemplos de distâncias invariantes são:

1. Seja |·| uma norma qualquer em Rn e d (x, y) = |x− y|. Então d é umadistância bi-invariante em (Rn,+).

Observe que uma distância definida por uma norma no espaço de ma-trizes n× n não é necessariamente invariante quando restrita ao grupoGl (n,R).

2. Seja G um grupo compacto metrizável por uma distância d′. Defina

d (g, h) = supx∈G

d′ (gx, gy) .

Então d é uma distância invariante à esquerda em G, compatível comsua topologia. A distância d pode ser vista também da seguinte maneira:denote por Hom (G) o grupo dos homeomorfismos de G e seja ρ : G→Hom (G) a aplicação ρ (g) = Eg. Então d é a restrição a ρ (G) da dis-tância em Hom (G) que define a convergência uniforme em relação ad′.

2

2.4 Homomorfismos

Proposição 2.8 Sejam G1 e G2 grupos topológicos e φ : G1 → G2 umhomomorfismo. Então, φ é contínuo se, e somente se, φ for contínuo noelemento neutro 1 ∈ G1.

Demonstração: Basta mostrar que a continuidade em 1 acarreta a con-tinuidade em todos os pontos. Como φ é homomorfismo, φ ◦ Eg = Eφ(g) ◦ φpara todo g ∈ G. O segundo membro é contínuo em 1. Portanto, φ ◦ Egé contínuo em 1 e como Eg é homeomorfismo, segue que φ é contínuo emg = Eg (1). 2


Dados os grupos G e H o produto cartesiano G ×H é um grupo com oproduto definido componente a componente: (g, x) (h, y) = (gh, xy), g, h ∈G e x, y ∈ H. As projeções π1 : G × H → G e π2 : G × H → H sãohomomorfismos.O gráfico grafφ de uma aplicação φ : G→ H é o conjunto dos elementos

da forma (x, φ (x)) com x ∈ G. Como (x, φ (x)) (y, φ (y)) = (xy, φ (x)φ (y)),a aplicação φ é um homomorfismo de grupos se, e só se, o seu gráfico é umsubgrupo de G×H.Quando isso ocorre, os grupos G e grafφ são isomorfos, já que a aplicação

l : x ∈ G 7→ (x, φ (x)) ∈ grafφ

é um isomorfismo. A inversa de l é a projeção p : grafφ→ G, p (x, φ (x)) = x,que é a restrição ao gráfico da projeção π1 na primeira coordenada.Reciprocamente, um subgrupo Γ ⊂ G ×H é o gráfico de um homomor-

fismo φ : G → H se, e só se, a restrição de π1 a Γ é um isomorfismo. Nessecaso φ = π2 ◦ l.No contexto topológico os gráficos dos homomorfismos contínuos são ca-

racterizados através dos subgrupos fechados.

Proposição 2.9 Sejam G e H grupos topológicos tal que H é de Hausdorff.Uma aplicação φ : G → H é um homomorfismo contínuo se, e só se, o seugráfico

grafφ = {(x, φ (x)) ∈ G×H : x ∈ G}é um subgrupo fechado de G×H homeomorfo a G, pela projeção p (x, φ (x)) =x.

Demonstração: Pelos comentários acima só falta verificar que φ é contínuase, e só se, seu gráfico é fechado e homeomorfo a G. Mas, essa propriedadevale para aplicações em geral. (Se φ é contínua então l (x) = (x, φ (x))é um homeomorfismo cuja inversa é p (x, φ (x)) = x. Além do mais, sejaθ : G × H → H × H a aplicação dada por θ (x, y) = (φ (x) , y). Entãografφ = θ−1 (∆H), onde ∆H = {(y, y) ∈ H × H : y ∈ H} é a diagonal deH×H. Essa diagonal é fechada se, e só se H é de Hausdorff. Portanto, grafφé fechado. Reciprocamente, se o gráfico é fechado e homeomorfo ao domínioentão (F ×G) ∩ grafφ é um fechado de grafφ para todo fechado F ⊂ H.Segue que φ−1 (F ) = π1 ((F ×G) ∩ grafφ) é fechado em G e, portanto, φ écontínua.) 2

2.5. SUBGRUPOS 33

2.5 Subgrupos

Seja G um grupo topológico e H um subgrupo de G. Como H é subconjuntode G ele pode ser munido com a topologia induzida, cujos abertos são daforma A ∩H com A aberto em G. Então, H torna-se um grupo topológico.De fato, denote por pH : H ×H → H o produto em H, que é a restrição aH do produto p de G. Para todo subconjunto A ⊂ G vale p−1

H (A ∩H) =p−1 (A)∩(H ×H). Em particular, se A é aberto, p−1

H (A ∩H) é um aberto datopologia induzida em H×H pela topologia produto em G×G. No entanto,essa topologia induzida coincide com a topologia produto de H. Daí que pHé contínua. Da mesma forma se mostra que ιH (h) = h−1 é contínua em H.Um subgrupoH ⊂ G com a topologia induzida é denominado de subgrupo

topológico de G.A seguir serão apresentados alguns resultados envolvendo propriedades

topológicas dos subgrupos deG. Em algumas demonstrações se usa o seguintelema de caráter geral.

Lema 2.10 Seja X um espaço topológico e φ : X → X um homeomorfismo.Suponha que A ⊂ X é um subconjunto invariante por φ, isto é, φ (A) ⊂ A.Então A e A◦ também são invariantes. Além do mais, se φ (A) ⊂ A entãoφ(A)⊂ A.

Demonstração: Tome x ∈ A e U uma vizinhança de φ (x). Então φ−1 (U) éuma vizinhança de x. Portanto, existe y ∈ A∩φ−1 (U) e como A é invariante,e φ (y) ∈ A ∩ U , mostrando que A é invariante.Seja x ∈ A◦ e tome um aberto U com x ∈ U ⊂ A. Então φ (x) ∈ φ (U) ⊂

A, pois A é invariante. Como φ é homeomorfismo, φ (U) é aberto, e, portantoφ (x) ∈ A◦.Como A é invariante, o seu complementar em X também é invariante.

Daí que a ∂A = A ∩ Ac é invariante.Suponha que φ (A) ⊂ A. Como φ é homeomorfismo, φ (A) = φ

(A). Por-

tanto, φ(A)⊂ φ (A) = A. 2

Proposição 2.11 Seja H ⊂ G um subgrupo. Então seu fecho H também ésubgrupo. Além do mais, se H é normal o mesmo ocorre com H.

Demonstração: Deve-se mostrar que xy ∈ H se x, y ∈ H. Para issosuponha em primeiro lugar que x ∈ H. Então, Ex deixa H invariante e


o lema acima garante que Ex(H)⊂ H. Mas, isso significa que se y ∈ H

então xy ∈ H. Portanto, dados x ∈ H e y ∈ H, xy ∈ H. Esta frase podeser interpretada dizendo que Dy (H) ⊂ H para todo y ∈ H. Mas, Dy éhomeomorfismo, portanto Dy

(H)⊂ H, para todo y ∈ H, o que significa que

xy ∈ H se x, y ∈ H.Por um argumento semelhante, a inversa ι deixa invariante H, mostrando

que H é subgrupo.Por fim, dizer que H é normal é o mesmo que dizer que H é invariante

pelas conjugações Cg, g ∈ G. Pelo lema 2.10 segue que H também é invari-ante por Cg, isto é, H é normal. 2

Os subgrupos fechados desempenham um papel central no estudo dasações dos grupos topológicos (e de Lie), pois no caso de ações contínuas, ossubgrupos que fixam um ponto (subgrupos de isotropia) são fechados. Aproposição 2.11 mostra a existência de uma grande quantidade de subgruposfechados. Por outro lado, a situação com o interior H◦ de um subgrupo H éainda mais simples, já que ou o interior é vazio ou é o próprio H, isto é, Hé aberto e nesse caso fechado, como mostram as proposições a seguir.

Proposição 2.12 Seja H ⊂ G um subgrupo e suponha que H◦ 6= ∅. Então,H é aberto.

Demonstração: Suponha que exista x ∈ H◦ . Então para todo y ∈ H,o conjunto yx−1 (H◦) é aberto, contém y e está contido em H. Isso mostraque y ∈ H◦ e, portanto, H ⊂ H◦, isto é, H = H◦. 2

Proposição 2.13 Suponha que H é um subgrupo aberto de G. Então, H éfechado.

Demonstração: Uma classe lateral gH de H é obtida de H por umatranslação à esquerda. Portanto, se H é aberto, o mesmo ocorre com gH.Mas o grupo G é a união de H com as classes laterais gH, g /∈ H. Issosignifica que o complementar de H em G é uma união de abertos, e daí queH é fechado. 2

Um subconjunto A de um espaço topológico X que é ao mesmo tempoaberto e fechado é união de componentes conexas de X, isto é, se uma com-ponente conexa C ⊂ X satisfaz C ∩ A 6= ∅ então C ⊂ A. Esta observação

2.5. SUBGRUPOS 35

juntamente com a proposição 2.13 mostra que os subgrupos abertos de G sãouniões de componentes conexas de G. Em particular, se o grupo é conexo eleé o único de seus subgrupos abertos.Em todo caso, as componentes conexas de G estão relacionadas com os

grupos abertos. Essas componentes são descritas a seguir a partir da com-ponente conexa G0 que contém o elemento neutro 1 ∈ G. Essa componenteconexa é denominada componente da identidade (ou do elemento neutro).

Proposição 2.14 Denote por G0 a componente conexa do elemento neutro.Então G0 é um subgrupo fechado e normal de G. Qualquer outra componenteconexa é uma classe lateral gG0 = G0g de G0. Reciprocamente, toda classelateral gG0 = G0g é uma componente conexa de G.

Demonstração: Uma translação à esquerda Eg, g ∈ G, é um home-omorfismo, portanto Eg leva componentes conexas de G em componentesconexas. Em particular, se g ∈ G0, então Eg (G0) está contido em uma com-ponente conexa de G. Porém, 1 ∈ G0 e Eg (1) = g ∈ G0. Isso implica queEg (G0) ⊂ G0. Tomando, então g, h ∈ G0, vê-se que gh ∈ G0. Analogamente,o conjunto ι (G0) está contido em uma componente conexa de G que só podeser G0 pois ι (1) = 1. Isso mostra que G0 é subgrupo. Para ver que é normal,basta repetir o mesmo argumento com as conjugações Cg, g ∈ G, levando emconta que Cg (1) = 1. Por fim, por ser componente conexa, G0 é fechado.Como G0 é normal, gG0 = G0g para todo g ∈ G. É claro que gG0 =

Eg (G0) é conexo e, portanto, gG0 ⊂ C onde C é uma componente conexaG. Suponha por absurdo que gG0 6= C. Então, G0 = Eg−1 (gG0) 6= g−1C eG0 ⊂ C, contradizendo o fato de que G0 é componente conexa, já que g−1Cé conexo. 2

Em geral a componente da identidade não é um subgrupo aberto. Porexemplo, em (R,+) considere o subgrupo Q ⊂ R munido da topologia in-duzida. Então, a componente da identidade se reduz a {0}, que não é abertoinduzido.Uma condição para que a componente da identidade G0 seja um aberto é

que o grupo seja localmente conexo, no sentido em que todo ponto tem umavizinhança aberta conexa. Os grupos de Lie por serem localmente homeo-morfos a Rn são localmente conexos, assim a proposição a seguir asseguraque as componentes conexas desses grupos são abertas.


Proposição 2.15 Suponha que G é localmente conexo. Então, G0 é umsubgrupo aberto.

Demonstração: Como G é localmente conexo, existe uma vizinhançaconexa U do elemento neutro. É claro que U ⊂ G0. Portanto, G0 tem inte-rior não vazio, e daí que é aberto. 2

Por fim, será mostrado o seguinte resultado sobre a forma de gerar grupos,que é bastante útil no estudo dos grupos de Lie.

Proposição 2.16 Suponha G conexo e tome uma vizinhança U do elementoneutro. Então, G =

⋃n≥1 U

n.

Demonstração: Seja V = U ∩ U−1 uma vizinhança simétrica contidaem U . Como

⋃n≥1 V

n ⊂⋃n≥1 U

n basta mostrar que G =⋃n≥1 V

n. Aunião

⋃n≥1 V

n é fechada por produtos. Além do mais, como V é simétrico,(V n)−1 = V n. Isso implica que

⋃n≥1 V

n é um subgrupo de G, que tem inte-rior não vazio pois V ⊂

⋃n≥1 V

n. Portanto,⋃n≥1 V

n é um subgrupo aberto.Como G é conexo, G =

⋃n≥1 V

n. 2

2.6 Ações de grupos

2.6.1 Descrição algébrica

Uma ação à esquerda de um grupo G num conjunto X é uma função queassocia a g ∈ G uma aplicação a (g) : X → X e que satisfaz as propriedades:

1. a (1) = idX , isto é, a (1) (x) = x, para todo x ∈ X e

2. a (gh) = a (g) ◦ a (h).

Essas propriedades garantem que cada a (g) é uma bijeção, já que

a(g−1)a (g) = a (1) = a (g) a

(g−1)

= idX .

Visto de outra maneira, uma ação à esquerda é um homomorfismo a : G →B (X), onde B (X) é o grupo das bijeções de X, com o produto dado pelacomposta de duas aplicações.

2.6. AÇÕES DE GRUPOS 37

Uma ação à direita é definida de maneira análoga substituindo a se-gunda propriedade por a (gh) = a (h) ◦ a (g).De forma alternativa, uma ação à esquerda é definida como sendo uma

aplicação φ : G×X → X satisfazendo φ (1, x) = x e φ (gh, x) = φ (g, φ (h, x)),g, h ∈ G e x ∈ X. A relação entre φ e a é a óbvia: φ (g, x) = a (g) (x), istoé, a (g) é a aplicação parcial φg de φ quando a primeira coordenada é fixada:φg (x) = φ (g, x).A outra aplicação parcial associada a φ é obtida fixando x ∈ X: φx :

G→ X, φx (g) = φ (g, x) = a (g) (x).Normalmente, os símbolos a ou φ são suprimidos na notação para ações

de grupos. Assim uma ação à esquerda escreve-se apenas g (x), g · x ou gxao invés de a (g) (x). Para ações à direita é mais conveniente escrever o valorde a (g) em x como (x) a (g) aparecendo então as notações (x) g, x · g ou xg.Com essas notações uma ação à esquerda satisfaz 1x = x e g (hx) = (gh)x,já uma ação à direita satisfaz x1 = x e (xg)h = x (gh).Se a é uma ação à esquerda de G em X então a aplicação a′ definida por

a′ (g) = a (g−1) é uma ação à direita e vice-versa. No que segue serão tratadasapenas a ações à esquerda. As propriedades enunciadas são automaticamentetransferidas para as ações à direita substituindo a (g) por a (g−1).Dado x ∈ X, sua órbita por G, denotada por G · x ou Gx, é definida

como sendo o conjunto

G · x = {gx ∈ X : g ∈ G}.

Mais geralmente, se A ⊂ G então Ax = {gx : g ∈ A}. Em outras palavras,Ax = φx (A). Cada órbita é uma classe de equivalência da relação de equiv-alência x ∼ y se existe g ∈ G tal que y = gx. Por isso, duas órbitas ou sãodisjuntas ou coincidem.Um subconjunto B ⊂ X é G-invariante se gB ⊂ B para todo g ∈ G. Um

conjunto invariante é união de órbitas de G. Se B é um conjunto invarianteentão a restrição da ação a G×B define uma ação G×B → B de G em B.Em particular o grupo G age em suas órbitas.O conjunto Gx dos elementos de G que fixam x é denominado de sub-

grupo de isotropia ou estabilizador de x:

Gx = {g ∈ G : gx = x}.

O subgrupo de isotropia é de fato um subgrupo de G, pois (gh)x = g (hx),portanto gh fixa x se gx = hx = x. Além do mais, g−1x = x se gx = x, poisa (g−1) = a (g)−1.


Os subgrupos de isotropia são obtidos um dos outros pela seguinte relação:

Proposição 2.17 Dados x, y ∈ X, suponha que y = gx com g ∈ G. Então,Gy = gGxg

−1, onde Gx e Gy denotam os subgrupos de isotropia.

Demonstração: Por definição h ∈ Gy se, e só se, h (gx) = gx. Aplicandog−1 a esta igualdade segue que (g−1hg)x = x, isto é, g−1hg ∈ Gx. Portanto,h ∈ Gy se, e só se, h ∈ gGxg

−1. 2

As ações de um grupo G são distinguidas em classes de acôrdo com aspropriedades de suas órbitas e grupos de isotropia.

Definição 2.18 Seja a uma ação de G em X.

1. A ação é dita efetiva se ker a = {g ∈ G : a (g) = idX} = {1}.

2. A ação é dita livre se os subgrupos de isotropia se reduzem ao elementoneutro de G, isto é, se gx = x para algum x ∈ X, então g = 1.

3. A ação é dita transitiva se X é uma órbita de G, isto é, para todopar de elementos x, y ∈ X existe g ∈ G tal que gx = y.

É claro, a partir das definições, que ações livres são efetivas, no entantonem toda ação efetiva é livre. Em termos do homomorfismo a : G→ B (X),uma ação é efetiva se, e só se, ker a = {1}, isto é, se a é injetora. Portanto,numa ação efetiva, G é isomorfo à sua imagem a (G) por a. Por essa razão,uma ação efetiva é também denominada de ação fiel.Deve-se observar que a restrição da ação a uma órbita é uma ação tran-

sitiva. Portanto, toda afirmação sobre ações transitivas se aplica à restriçãoda ação a uma órbita.Um caso particular de ação de grupo se dá nos espaços quocientes. Seja

H ⊂ G um subgrupo e denote por G/H o conjunto das classes lateraisgH, g ∈ G. Então a aplicação (g, g1H) 7→ g (g1H) = (gg1)H define umaação à esquerda natural de G em G/H. Denotando por π : G → G/H aaplicação sobrejetora (projeção) canônica π (g) = gH essa ação fica escritacomo gπ (g1) = π (gg1).Evidentemente a ação de G em G/H é transitiva. Por outro lado toda

ação transitiva se identifica (ou melhor, está em bijeção) com um espaçoquociente de G.


Proposição 2.19 Suponha que a ação de G em X é transitiva e tome x ∈X. Então, aplicação ξx : gGx ∈ G/Gx 7→ gx ∈ X é uma bijeção entreG/Gx e X. A aplicação ξx é equivariante no sentido em que gξx (g1H) =ξx ((gg1)H), g, g1 ∈ G, isto é, ξx comuta com as ações de G em G/H e X,respectivamente. Além do mais, se y = gx então ξy = ξx ◦Dg.

Demonstração: Em primeiro lugar, a aplicação é bem definida pois se g1

e g2 estão na mesma classe lateral, isto é, g1Gx = g2Gx então g−12 g1 ∈ Gx, o

que significa que g−12 g1x = x, isto é, g1x = g2x. Por definição a aplicação é

sobrejetora se, e só se, a ação é transitiva. Agora, suponha que g1x = g2x.Então g−1

2 g1x = x, isto é, g−12 g1 ∈ Gx e daí que g1Gx = g2Gx, mostrando a

injetividade da aplicação.Seja y = ξ (g1H). Então y = g1x, e, portanto, gy = g (g1x) = (gg1)x.

Daí que gξ (g1H) = ξ ((gg1)H).Por fim, se y = gx então ξy (h) = h (gx) = (hg)x = ξx (hg), mostrando

que ξy = ξx ◦Dg. 2

A aplicação ξx da proposição acima está relacionada com a aplicaçãoparcial φx através do seguinte diagrama comutativo

Gφx−→ X

↓ π ↗ξx

G/H

Em virtude dessa identificação, um quocienteG/H é também chamado deespaço homogêneo, como são chamados normalmente os conjuntos ondeos grupos agem transitivamente. O ponto x escolhido para estabelecer aidentificação entre X e G/Gx é denominado de origem ou base do es-paço homogêneo X. A identificação de X com G/Gx depende da escolha daorigem. No entanto, alterando x não muda substancialmente o espaço quo-ciente, pois numa ação transitiva os subgrupos de isotropia são conjugadosentre si, como mostra a proposição 2.17. De fato, se H ⊂ G é um subgrupoentão para todo g ∈ G a aplicação

hH 7−→ g (hH) g−1 =(ghg−1

) (gHg−1

)estabelece uma bijeção entre G/H e G/gHg−1.


Os fatos descritos acima sobre ações transitivas se aplicam de imediato àsórbitas de uma ação qualquer G ×X → X. Nesse caso, a restrição da açãosobre uma órbita G ·x é transitiva o que permite identificar G ·x com G/Gx.Toda a discussão acima se estende de forma análoga a ações à direita,

onde os espaços homogêneos são os quocientes H \G, formados pelas classeslaterais Hg, g ∈ G.Num espaço homogêneo G/H, isto é, na presença de uma ação transitiva,

as ações livres são aquelas em que o subgrupo de isotropia H se reduz a {1}.Nesse caso, o espaço homogêneo se identifica a G. Já as ações transitivas eefetivas são descritas a seguir pelos subgrupos normais contidos no grupo deisotropia.

Proposição 2.20 Seja G uma ação transitiva em X = G/H. Então, a açãoé efetiva se, e somente se, H não contém subgrupos normais de G, além de{1}.

Demonstração: Suponha que N ⊂ H é um subgrupo normal de G, istoé, gNg−1 ⊂ N para todo g ∈ G. É claro que H é o grupo de isotropia daorigem. Mas, pela proposição 2.17, os subgrupos de isotropia são conjugadosentre si. Portanto, qualquer h ∈ N está contido em todos os subgrupos deisotropia. Mas isso significa que hy = y, para todo y ∈ X, isto é, h = idX .Portanto, se a ação é efetiva, N = {1}.Reciprocamente, o subgrupo normal ker a = {g ∈ G : ∀y ∈ X, gy = y}

está contido em H. Portanto, se H não contém subgrupos normais, além dotrivial, então ker a = {1} e a ação é efetiva. 2

2.6.2 Ações contínuas

No contexto topológico deve-se considerar ações contínuas no seguinte sen-tido.

Definição 2.21 Seja G um grupo topológico e X um espaço topológico. Umaação de G em X é contínua se a aplicação φ : G×X → X, φ (g, x) = gx, écontínua.

Se H ⊂ G é um subgrupo, a restrição a H da ação de G em X é umaação de H. Tomando em H a topologia induzida, a restrição de uma açãocontínua também é contínua.

2.7. ESPAÇOS QUOCIENTES 41

No caso de uma ação contínua, os objetos introduzidos anteriormenteadmitem boas propriedades topológicas.De fato, se φ é contínua então as aplicações parciais φx : G→ X, x ∈ X,

e φg : X → X, g ∈ G, são contínuas. Além do mais, como a (g) = φg ea (g)−1 = a (g−1) segue que para cada g ∈ G, a (g) : X → X é homeomor-fismo de X.A proposição a seguir aborda os grupos de isotropia das ações contínuas.

Proposição 2.22 Suponha que a ação de G em X seja contínua e que Xseja espaço de Hausdorff. Então, qualquer subgrupo de isotropia Gx, x ∈ X,é fechado.

Demonstração: Em termos da aplicação φ, o subgrupo de isotropia é dadopor

Gx = {g ∈ G : φ (g, x) = x} = φ−1x {x}.

Como X é Hausdorff, segue que Gx é fechado. 2

2.7 Espaços quocientes

Oo instrumento para analisar as órbitas de uma ação é a bijeção G/Gx ≈G · x da proposição 2.19. Para considerar essa bijeção do ponto de vista decontinuidade é necessário introduzir topologias nos quocientes G/H, que serádiscutida nessa seção.Em geral no quociente de um espaço topológico por uma relação de equiv-

alência se define a seguinte topologia:

Definição 2.23 Seja Y um espaço topológico e ∼ uma relação de equivalên-cia em Y . Denote por Y/ ∼ o conjunto das classes de equivalência de ∼ epor π : Y → Y/ ∼ a aplicação sobrejetora canônica, que a cada y ∈ Y associasua classe de equivalência. A topologia quociente em Y/ ∼ é aquela emque um subconjunto A ⊂ Y/ ∼ aberto se, e só se, π−1 (A) é aberto em Y . Deforma equivalente, F ⊂ Y/ ∼ é fechado se, e só se, π−1 (F ) é fechado em Y .

A topologia quociente é a mais fina (que contém a maior quantidadede abertos possível) que torna a projeção canônica π : Y → Y/ ∼ umaaplicação contínua. A continuidade, em relação à topologia quociente, defunções definidas em Y/ ∼ é verificada através da seguinte propriedade.


Proposição 2.24 Sejam Y e Z espaços topológicos em que Y é munido darelação de equivalência ∼. Então, uma aplicação f : Y/ ∼ → Z é contínuase, e somente se, f ◦ π : Y → Z é contínua:

Yπ ↓ ↘Y/ ∼ −→ Z

Demonstração: Se f é contínua então f ◦ π é contínua, pois π é contínua.Reciprocamente, suponha que f ◦ π é contínua e seja A ⊂ Z um aberto. En-tão (f ◦ π)−1 (A) = π−1 (f−1 (A)) é aberto em Y . Pela definição da topologiaquociente, segue que f−1 (A) é aberto em Y/ ∼, concluindo a demonstração.2

No caso em que G é um grupo e H ⊂ G um subgrupo, o quociente G/Hé o conjunto das classes de equivalência da relação de equivalência em Gem que x ∼ y se, e só se, xH = yH. Portanto, G/H pode ser munido datopologia quociente por essa relação de equivalência, quando G é um grupotopológico.

Proposição 2.25 Sejam G um grupo topológico, H ⊂ G um subgrupo eπ : G → G/H a projeção canônica. Então, π é uma aplicação aberta emrelação à topologia quociente. Se além do mais H é compacto então π é umaaplicação fechada.

Demonstração: Tome um aberto A ⊂ G. Então, π−1 (π (A)) = AH =⋃h∈H Ah é aberto de G. Daí que π (A) é aberto na topologia quociente.Já se H é compacto e F ⊂ G é fechado então π−1 (π (F )) = FH é com-

pacto pela proposição 2.1, mostrando que π é aplicação fechada. 2

Deve-se observar também que, em geral a projeção não é uma aplicaçãofechada. Por exemplo, se G = R2, H = {0} × R e F = {(x, y) ∈ R2 : −π <x < π e y = tgx} então π (F ) não é fechado.A topologia quociente tem um bom comportamento em relação ao pro-

duto cartesiano de grupos. Sejam G1 e G2 grupos topológicos e H1 ⊂ G1,H2 ⊂ G2 subgrupos. O produto H1×H2 é um subgrupo de G1×G2 e o quo-ciente (G1 ×G2) / (H1 ×H2) se identifica com (G1/H1) × (G2/H2) atravésda bijeção

φ : (g1, g2) (H1 ×H2) 7−→ (g1H1, g2H2) .


Essa bijeção é um homeomorfismo em relação às topologias quocientes nos es-paços homogêneos. Isso pode ser visto facilmente pela definição de topologiaquociente e o seguinte diagrama comutativo:

G1 ×G2id−→ G1 ×G2

↓ ↓(G1 ×G2) / (H1 ×H2)

φ−→ (G1/H1)× (G2/H2)

Proposição 2.26 A topologia quociente em G/H é de Hausdorff se, e so-mente se, H é fechado.

Demonstração: A aplicação π : G→ G/H é contínua e H = π−1{x} se xé a origem de G/H. Portanto, se G/H é Hausdorff, H é fechado.Reciprocamente, suponha que H é fechado. Para mostrar que G/H é de

Hausdorff deve-se mostrar que a diagonal

∆ = {(x, x) ∈ G/H ×G/H : x ∈ G/H}é fechada na topologia produto emG/H×G/H, que coincide com a topologiaquociente em (G×G) / (H ×H). Por definição ∆ é fechado se, e só se,p−1 (∆) é um conjunto fechado em G × G onde p : G × G → G/H × G/Hé a projeção canônica. Mas, p (g, h) ∈ ∆ se e só se gH = hH, isto é, seh−1g ∈ H. Portanto,

p−1 (∆) = q−1 (H)

onde q é a aplicação contínua q (x, y) = x−1y. Daí que se H é fechado entãop−1 (∆) é fechado e G/H é de Hausdorff. 2

Proposição 2.27 A ação de G em G/H é contínua em relação à topologiaquociente.

Demonstração: A aplicação φ : G × G/H → G/H que define a ação fazparte do seguinte diagrama comutativo

G×G p−→ Gid ↓↓ π ↓ πG×G/H φ−→ G/H

SejaA ⊂ G/H um aberto. Então, p−1π−1 (A) é aberto e daí que (id× π)−1 (A)é um aberto em G×G. Mas, isso significa que φ−1 (A) é aberto em G×G/H,pela definição da topologia quociente. 2


2.7.1 Grupos quocientes

Uma situação especial dos quocientes considerados acima acontece quando osubgrupo H é normal em G. Nesse caso o quociente G/H tem uma estruturade grupo, definida por (gH) (hH) = (gh)H e a projeção canônica π : G →G/H é um homomorfismo. Com a topologia quociente esse grupo passa aser um grupo topológico. Para ver isso basta recorrer à proposição 2.24 eescrever o diagrama

G×G p−→ Gπ ↓↓ π ↓ π

G/H ×G/H φ−→ G/H

onde φ denota o produto emG/H. Então, da mesma forma que na proposição2.27 mostra-se que φ é contínua. Por outro lado, a continuidade da inversaem G/H provém da comutatividade do diagrama

Gι−→ G

↓ π ↓ πG/H

ι−→ G/H

juntamente com a proposição 2.24.Em relação à topologia quociente, a projeção π : G→ G/H é um homo-

morfismo contínuo e uma aplicação aberta.

2.7.2 Grupos compactos e conexos

Nesta seção serão demonstrados dois resultados uteis para verificar, via es-paços quocientes, que certos grupos topológicos são compactos ou conexos.O primeiro diz respeito à compacidade. Na sua demonstração será uti-

lizada a propriedade de interseção finita, que caracteriza os espaços com-pactos: um espaço topológico K é compacto se, e só se, para uma famíliaF de fechados vale

⋂F∈F F 6= ∅ se ela satisfizer a propriedade de interseção

finita, isto é, se toda interseção finita F1 ∩ · · · ∩ Fk de elementos de F fornão vazia. Nesse caso pode-se assumir, sem perda de generalidade, que Fé completa, isto é, fechada por interseção finita de seus elementos, pois afamília de todas as interseções finitas de elementos de F também satisfaz apropriedade da inteseção finita.


Proposição 2.28 Seja G um grupo topológico e H ⊂ G um subgrupo. Se He G/H são compactos então G é compacto.

Demonstração: Seja F uma família completa de fechados em G satisfa-zendo a propriedade da interseção finita. A compacidade de H garante queas projeções π (F ), F ∈ F , são fechados em G/H (veja a proposição 2.25).A família {π (F )}F∈F também satisfaz a propriedade de interseção finita, jáque

π (F1 ∩ · · · ∩ Fk) ⊂ π (F1) ∩ · · · ∩ π (Fk) .

Agora, a hipótese de que G/H é compacto garante a existência de g ∈ G talque

gH ∈⋂F∈F

π (F ) .

Isso significa que todo F ∈ F intercepta a classe lateral gH. Como F é umafamília completa, se concluí que

(F1 ∩ gH) · · · ∩ (Fs ∩ gH) = (F1 ∩ · · · ∩ Fs) ∩ gH 6= ∅

para todo F1, . . . , Fs ∈ F . Isso significa que a família de fechados F∩gH, F ∈F , satisfaz a hipótese de interseção finita. Usando novamente a compacidadede H (e, portanto de gH) se conclui que(⋂

F∈FF

)∩ gH =

⋂F∈F

(F ∩ gH) 6= ∅.

Daí que⋂F∈F F 6= ∅, concluindo a demonstração. 2

É claro que se G é compacto então G/H também é compacto, uma vezque a projeção canônica π : G → G/H é contínua e sobrejetora. Por outrolado, se H é fechado e G compacto então H também é compacto. Portanto,a recíproca ao teorema acima é verdadeira com a hipótese adicional de queH é fechado.

Proposição 2.29 Suponha que H e G/H são conexos. Então, G é conexo.

Demonstração: Suponha por absurdo que A,B ⊂ G são abertos nãovazios, disjuntos e tais que A∪B = G. Então, π (A) e π (B) são abertos nãovazios tais que π (A)∪ π (B) = G/H. Como G/H é conexo, π (A)∩ π (B) 6=


∅. Isso significa que existe uma classe lateral gH que intercepta ambos osconjuntos A e B. Então, A∩gH e B∩gH são abertos disjuntos e não vazios.Mas,

gH = (A ∪B) ∩ gH = (A ∩ gH) ∪ (B ∩ gH) ,

o que contradiz o fato de que H é conexo, já que gH é homeomorfo a H. 2

Quanto à reciproca da proposição anterior, é claro que G/H é conexose G for conexo. No entanto, pode ocorrer que tanto G quanto G/H sejamconexos, mas H não seja conexo.Na seção 2.9 serão apresentados alguns exemplos que ilustram aplicações

das proposições anteriores para demonstrar que certos grupos topológicos sãocompactos ou conexos.

2.8 Homeomorfismo G/Gx → G · xUma órbita G · x de uma ação contínua G×X → X admite duas topologiasnaturais. Uma delas é a topologia induzida de X. Por outro lado, G · x estáem bijeção com o quociente G/Gx. Por intermédio dessa bijeção pode-secolocar uma topologia em G · x declarando que um subconjunto A ⊂ G · xé aberto se o conjunto correspondente em G/Gx for um aberto da topologiaquociente.A discussão a seguir tem por objetivo comparar essas topologias, anal-

isando a propriedade de homeomorfismo da aplicação ξx : G/Gx → G · x, nocaso de uma ação transitiva.

Proposição 2.30 Seja G × X → X uma a ação contínua e transitiva deG em X. Fixe x ∈ X e considere a bijeção ξx : G/Gx → X dada porξx (gGx) = gx. Então, ξx é contínua em relação à topologia quociente emG/Gx.

Demonstração: Pela proposição 2.24 basta mostrar que ξx ◦ π é contínua.Agora, ξx ◦π (g) = ξx (gH) = gx, isto é, ξx ◦π = φx que é contínua se a açãoé contínua. 2

A situação ideal seria poder identificar, como espaços topológicos, o es-paço X onde se dá uma ação transitiva com o quociente G/Gx. Em geral

2.8. HOMEOMORFISMO G/GX → G ·X 47

isso não é possível, pois a aplicação ξx pode não ser homeomorfismo por nãoser aplicação aberta, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo: Se G é um grupo a aplicação g ∈ G 7→ Eg define uma ação(à esquerda) de G em si mesmo por translações à esquerda. Essa ação éclaramente transitiva e o subgrupo de isotropia Gg = {1} para todo g ∈ G.Portanto, para cada g ∈ G existe um diagrama

Gφg−→ G

↓ π ↗ξg

G/{1} = G

onde ξg (h) = hg. Em particular, ξ1 (h) = h é a aplicação identidade. Dessaforma, para exibir um exemplo de uma ação contínua em que ξx não é umaaplicação aberta basta mostrar a existência de um grupo munido de duastopologias T1 e T2 com T2 ⊂

6=T1. Nesse caso

ξ1 = id : (G, T1) −→ (G, T2)

é contínua, mas não aberta. Se ambas topologias tornam G um grupotopológico então a ação à esquerda de G em G é contínua.Um exemplo de um grupo desses é dado pela reta real (R,+). Tome T1

como sendo a topologia usual. Quanto a T2, considere um fluxo irracional notoro T2, isto é, a imagem em R2/Z2 de uma reta r ⊂ R2, com inclinação irra-cional. Esse conjunto é um subgrupo de T2 isomorfo a R, porém a topologiainduzida sobre a imagem é uma topologia T2 em R estritamente contida natopologia a usual. Em ambas topologias R é um grupo topológico, pois atopologia T2 é a que torna R um subgrupo topológico de T2. 2

A seguir será apresentado um resultado de caráter geral garantindo queξx é uma aplicação aberta, dentro do contexto do teorema das categorias deBaire. Antes disso é conveniente reduzir o problema a um único ponto.

Lema 2.31 Suponha que exista x0 ∈ X tal que para toda vizinhança abertaU ∈ V (1), o conjunto U · x0 = ξx0 (U) contém x0 em seu interior. Então, ξxé uma aplicação aberta para todo x ∈ X e, portanto, é um homeomorfismo.

Demonstração: Considere em primeiro lugar ξx0 . Neste caso, dado umaberto V ⊂ G deve-se mostrar que V · x0 é um aberto, isto é, se g ∈ V então


gx0 é ponto interior de V ·x0. Por hipótese, se g ∈ V então U = g−1V ∈ V (1)é tal que U ·x0 é uma vizinhança de x0. Isso implica que V ·x0 = (gU) ·x0 =g (U · x0) é uma vizinhança de gx0, já que g é um homeomorfismo. Issomostra que ξx0 é aplicação aberta.Agora, se x = hx0 então ξx = ξx0 ◦ Dh. Portanto, se ξx0 é aplicação

aberta, o mesmo ocorre com ξx. 2

O resultado geral provado a seguir sobre o homeomorfismo G/Gx → Xvale quando X é um espaço de Baire, isto é, a união enumerável de conjuntosde interior vazio ainda tem interior vazio. Exemplos de espaços de Baire sãoos espaços métricos completos ou os espaços topológicos que são de Hausdorffe localmente compactos. O seguinte lema será utilizado na demonstraçãodesse resultado.

Lema 2.32 Sejam G um grupo topológico, D ⊂ G um subconjunto denso eU ∈ V (1) uma vizinhança da identidade. Então,

G =⋃g∈D

gU.

Demonstração: Tome uma vizinhança simétrica W ⊂ U . Então, dadox ∈ G existe g ∈ D tal que g ∈ xW , isto é, x−1g ∈ W . A simetria de Wgarante que g−1x ∈ W , o que significa que x ∈ gW ⊂ gU , concluíndo ademonstração. 2

Proposição 2.33 Seja G×X → X uma ação contínua e transitiva. Supo-nha que G seja separável (isto é, admite um conjunto enumerável denso) eque X seja um espaço de Baire. Então, as aplicações ξx : G/Gx → X sãohomeomorfismos.

Demonstração: Tome x0 ∈ X, U ∈ V (1) uma vizinhança aberta eW umavizinhança simétrica tal que W 2 ⊂ U . Pelo lema 2.31 é suficiente mostrarque U ·x0 é vizinhança de x0. Seja gn uma sequência densa em G. Pelo lemaanterior, os conjuntos gnW cobrem G e, portanto, os conjuntos gnW · x0

cobrem X. No entanto, X é um espaço de Baire, o que garante que paraalgum n0, gn0W · x0 tem interior não vazio, isto é, contém gn0g · x0 em seu

2.9. EXEMPLOS 49

interior para algum g ∈ W . Como gn0g é homeomorfismo, segue que x0 éponto interior de g−1g−1

n0(gn0W · x0). Mas,

g−1g−1n0

(gn0W · x0) = g−1W · x0 ⊂ U · x0,

concluindo a demonstração. 2

Por fim deve-se observar que no caso de ações diferenciáveis de grupos deLie será mostrado posteriormente, com o auxílio do cálculo diferencial, queas aplicações ξx são homeomorfismos (na verdade difeomorfismos).

2.9 Exemplos

A seguir são apresentados alguns exemplos de ações de grupos que fornecemhomeomorfismos entre quocientes e certos espaços.

1. O grupo G = Gl (n,R) age em Rn de maneira canônica: φ (g, x) = gx,g ∈ Gl (n,R), x ∈ Rn. Essa ação é contínua pois φ é restrição deuma aplicação polinômial (de grau 2) Mn (R) × Rn → Rn. Existemexatamente duas órbitas, a origem {0} e o seu complementar Rn \ {0}.É evidente que a origem é uma órbita. Para ver que o seu comple-mentar também é uma órbita, tome e1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rn \ {0} ex = (x1, . . . , xn) 6= 0. Então existe uma matriz g ∈ Gl (n,R) tal quege1 = x. De fato, é possível estender x a uma base {x, v2, . . . , vn−1} deRn. Denote por {e1, . . . , en} a base canônica de Rn. Então, g definidapor ge1 = x e gei = vi, i = 2, . . . , n é um elemento de Gl (n,R) quesatisfaz o desejado.

O subgrupo de isotropia em 0 é todo Gl (n,R). Já o subgrupo deisotropiaGe1 em e1 é formado pelas matrizes (em relação à base canônica)da forma (

1 b0 C

)(2.1)

com b uma matriz linha 1 × (n− 1) e C ∈ Gl (n− 1,R) e portanto éhomeomorfo a Gl (n− 1,R) × Rn−1. Os grupos de isotropia em x 6= 0são conjugados de Ge1 . As condições da proposição 2.33 são satisfeitasaqui. Portanto, o quociente Gl (n,R) /Ge1 é homeomorfo ao cilindroRn \ {0}.


As mesmas considerações valem para o subgrupo Gl+ (n,R) = {g ∈Gl (n,R) : det g > 0}, com duas diferenças. Em primeiro lugar sen = 1 deve-se tomar R+ no lugar de R. Em geral, a matriz C em (2.1)deve ter determinante positivo. Dessa forma o grupo de isotropia Ge1

é homeomorfo a Gl+ (n− 1,R)× Rn−1.

Os homeomorfismosGl+ (n,R) /Ge1 ≈ Rn\{0} eGe1 ≈ Gl+ (n− 1,R)×Rn−1, juntamente com a proposição 2.29 permitemmostrar queGl+ (n,R)é conexo. De fato, Gl+ (1,R) = R+ é conexo. Como R2\{0} é conexo eno caso n = 2, o grupo de isotropiaGe1 ≈ Gl+ (1,R)×R é conexo, segueque Gl+ (2,R). Procedendo por indução a proposição 2.29 garante queGl+ (n,R) é conexo.

Como consequência, Gl (n,R) tem duas componentes conexas que sãoGl+ (n,R) e Gl− (n,R) = {g ∈ Gl (n,R) : det g < 0}, que é uma classelateral de Gl+ (n,R) em Gl (n,R).

A ação de canônica Gl (n,R) em Rn induz, por restrição, ações de seussubgrupos. Essas ações são todas contínuas, no entanto a estruturadas órbitas varia de acordo com o subgrupo. Alguns exemplos sãoapresentados nos itens a seguir.

2. Seja O (n) ⊂ Gl (n,R). As órbitas são as esferas

Sr = {x ∈ Rn : |x| = r} r ≥ 0.

(A norma |·| utilizada aqui é a proveniente do produto interno canônico,lembrando que esse produto interno está implícito na definição deO (n).)O argumento para mostrar que as esferas são as órbitas é semelhanteao utilizado acima, estendendo vetores não nulos a bases, tomando ocuidado agora de escolher bases ortonormais. O subgrupo de isotropiaem e1 (ou em λe1, λ 6= 0) é formado pelas matrizes ortogonais que têma forma de (2.1), isto é, pelas matrizes da forma(

1 00 C

)com C ∈ O (n− 1). Esse grupo é isomorfo a O (n− 1). Pela proposição2.33 o quociente O (n) /O (n− 1) é homeomorfo à esfera de dimensãon− 1. Pela proposição 2.28 que O (n) é compacto, já que as esferas sãocompactas e O (1) se reduz a dois pontos.

2.9. EXEMPLOS 51

Os mesmos argumentos do item anterior permitem mostrar que as ór-bitas de SO (n) = {g ∈ O (n) : det g = 1} também são as esferas. Nessecaso o grupo de isotropia em e1 é isomorfo a SO (n− 1). Nesse casopode-se usar a proposição 2.29 para provar por indução que SO (n) éconexo, já que SO (2) ≈ S1 é conexo, assim como as esferas Sn.

Daí segue que O (n) tem duas componentes conexas SO (n) e a classelateral formada pelos elementos de O (n) com determinante −1.

3. O grupo Sl (n,R) = {g ∈ Gl (n,R) : det g = 1} age transitivamente emRn \{0}, como pode ser verificado através do argumento de construçãode bases. Assim, Sl (n,R) tem exatamente duas órbitas em sua açãocanônica em Rn. Nesse caso os subgrupos de isotropia são homeomorfosa Sl (n− 1,R) × Rn−1. Como nos casos anteriores, uma aplicação daproposição 2.29, permite provar, por indução que Sl (n,R) é conexo.

4. Assim como nos exemplos anteriores pode-se aplicar a proposição 2.29para mostrar, via a ação em Cn, que os grupos Gl (n,C) e Sl (n,C) sãoconexos. A diferença para o caso real é que aqui Gl (1,C) ≈ C \ {0} éconexo (ao contrário de R \ {0}), permitindo iniciar a indução.Da mesma forma os grupos U (n) e SU (n) são compactos e conexos.

5. Novamente, seja G = Gl (n,R) e seja X = Pn−1 o espaço projetivodos subespaços de dimensão um de Rn. Se V ∈ Pn−1 e g ∈ Gl (n,R)gV = {gx : x ∈ V } é um subespaço de Rn de dimensão 1, e daí quegV ∈ Pn−1. A aplicação V 7→ gV define uma ação de Gl (n,R) emPn−1. Esta ação é contínua em relação à seguinte topologia quocienteem Pn−1. Dado v ∈ Rn, denote por [v] o subespaço gerado por v. Sev 6= 0, [v] ∈ Pn−1. Existe portanto uma aplicação sobrejetora π : v ∈Rn \ {0} 7→ [v] ∈ Pn−1. Os abertos de Pn−1 são os conjuntos A ⊂ Pn−1

tais que π−1 (A) é aberto, isto é, a topologia em Pn−1 é a topologiaquociente pela relação de equivalência v ∼ w se v = aw, a 6= 0, emRn \{0}. Com essa topologia a ação de Gl (n,R) é contínua. Essa açãoé transitiva e subgrupo de isotropia em [e1] é formado pelas matrizesdo tipo (

a b0 C

)com a ∈ R, b uma matriz linha 1 × (n− 1) e C ∈ Gl (n− 1,R). Aprojeção π é equivariante em relação às ações de G em Rn \ {0} e


Pn−1. Como no caso da ação em Rn, essa ação induz ações de todosos grupos lineares, isto é, dos subgrupos de Gl (n,R). Essas ações sãodenominadas de ações projetivas.

6. Analogamente às ações projetivas, o grupo Gl (n,R) age na Grassman-niana Grk (n), formada pelos subespaços de Rn de dimensão k. A açãoé dada por (g, V ) 7→ gV onde gV é a imagem do subespaço V pela apli-cação linear g. Essa ação de Gl (n,R) também é transitiva e é contínuaem relação à seguinte topologia em Grk (n): denote por Bk (n) o con-junto das matrizes n×k de posto k, munido da topologia induzida pelatopologia do espaço vetorial de todas as matrizes n × k. Existe umaaplicação sobrejetora π : Bk (n) → Grk (n) que associa a uma matrizp ∈ Bk (n) o espaço vetorial gerado pelas colunas de p. Definindo emBk (n) a relação de equivalência p ∼ q se existe a ∈ Gl (k,R) tal quep = qa. Então, Grk (n) se identifica ao conjunto das classes de equiv-alência Bk (n) / ∼ e π : Bk (n) → Grk (n) com a projeção canônicaBk (n)→ Bk (n) / ∼. Isso define a topologia quociente em Grk (n) cu-jos abertos são os conjuntos A ⊂ Grk (n) tais que π−1 (A) é aberto emBk (n).

Seja V0 ∈ Grk (n) o subespaço gerado pelos primeiros k vetores dabase canônica. Então o subgrupo de isotropia em V0 é formado pelasmatrizes do tipo (

P Q0 R

)com P ∈ Gl (k,R) e Q ∈ Gl (n− k,R).

7. Seja Z um campo de vetores em uma variedade diferenciável M declasse C1 e suponha que Z seja completo, isto é, as soluções maximaisde Z se estendem ao intervalo (−∞,+∞). O fluxo de Z denotado Zt,t ∈ R, é definido a partir das trajetórias t 7→ Zt (x) é a trajetória de Zque em t = 0 passa por x. O fluxo satisfaz as propriedades Z0 (x) = xe Zt+s (x) = Zt (Zs (x)). Portanto, (t, x) 7→ Zt (x) define uma açãode R em M . Os teoremas de dependência de soluções em relação àscondições iniciais garantem que essa ação é contínua. As órbitas dessaação são as trajetórias do campo. Já os subgrupos de isotropia em xsão descritos como: 1) Gx = R se x é uma singularidade do campo devetores, isto é, Z (x) = 0; 2) Gx = {0} se a trajetória x não é uma

2.10. EXERCÍCIOS 53

curva fechada e 3) Gx = ωZ se a trajetória que passa por x é periódicade período ω.

2.10 Exercícios

1. Seja G×X → X uma ação contínua do grupo topológico G no espaçotopológico X. Seja A ⊂ X um subconjunto G-invariante. Mostre que arestrição G×A→ A da ação a A também é contínua, com a topologiainduzida em A.

2. Seja G um grupo topológico tal que {1} é fechado. Mostre que seH ⊂ G é subgrupo abeliano então o fecho H também é abeliano.

3. Seja H ⊂ G um subgrupo e denote por N (H) = {g ∈ G : gHg−1 ⊂ H}o seu normalizador. Mostre que se H é fechado então N (H) é fechado.

4. Seja G um grupo topológico de Hausdorff. Mostre que o centralizador{g ∈ G : ∀x ∈M, gx = xg} do conjunto M é um subgrupo fechado.

5. Sejam G um grupo topológico de Hausdorff e K1, K2 ⊂ G subconjuntoscompactos. Mostre que existem vizinhanças do elemento neutro V eW tal que K1V ∩K2V = ∅ e WK1 ∩WK2 = ∅. (Sugestão: K1K

−12 e

K−12 K1 são compactos.)

6. Sejam G um grupo topológico e K,F ⊂ G fechados com K compacto.Mostre que KF é fechado.

7. Seja G um grupo topológico conexo e não compacto. Seja tambémV ⊂ G uma vizinhança compacta do elemento neutro. Verifique quepara todo k ≥ 1, V k é compacto. Use isso para provar que para todok ≥ 1, V k+1 contém propriamente V k.

8. Um subgrupo D de um grupo topológico G é discreto se existe umavizinhança V da identidade tal que V ∩ D = {1}. Mostre que se Dé discreto, com vizinhança V , então gV ∩ D = {g} para todo g ∈ D.Mostre também que se G é de Hausdorff então D é fechado.

9. Seja G um grupo topológico localmente conexo. Mostre que se D ⊂ Gé um subgrupo discreto então a projeção π : G→ G/D é uma aplicaçãode recobrimento.


10. Sejam G um grupo topológico e D ⊂ G um subgrupo discreto. Mostreque se G é conexo e D é subgrupo normal então D está contido nocentro Z (G) de G. (Sugestão: para x ∈ D considere a aplicação g ∈G 7→ gxg−1 ∈ D.)

11. Sejam G um grupo topológico e H ⊂ G um subgrupo. Suponha queD ⊂ G é um subgrupo discreto. Mostre que D ∩ H é um subgrupodiscreto de H.

12. Seja G um grupo (não necessariamente topológico) agindo no espaçotopológico X tal que para todo g ∈ G a aplicação induzida g : X → Xé homeomorfismo. Defina a relação de equivalência em X por x ∼ y sex e y pertencem à mesma G-órbita. Mostre que a projeção canônicaX → X/ ∼ é uma aplicação aberta sobre a topologia quociente.

13. Seja X um espaço topológico e x ∼ y uma relação de equivalência emX. Mostre que o espaço das classes de equivalência X/ ∼, munidoda topologia quociente, é de Hausdorff se, e só se, a relação é umsubconjunto fechado de X ×X.

14. Dada uma ação contínua G×X → X do grupo topológico G no espaçoX, seja F ⊂ X um subconjunto fechado. Mostre que o semigupoSF = {g ∈ G : g (F ) ⊂ F} é fechado. Conclua que o subgrupoGF = {g ∈ G : g (F ) = F} também é fechado.

15. Seja G um grupo topológico e H um subgrupo fechado. Mostre quese H e G/H são localmente compactos então G também é localmentecompacto. (Sugestão: adapte a demonstração do teorema ??.)

16. SejaG um grupo compacto e tome x ∈ G. Mostre que o fecho {xn : n ≥ 1}do conjunto das potências de x é um subgrupo.

17. Um subsemigrupo S de um grupo é um conjunto fechado pelo produto:se x, y ∈ S então xy ∈ S (não necessariamente x−1 ∈ S). Mostre queum subsemigrupo fechado de um grupo compacto é um grupo (use oexercício anterior).

18. Sejam G um grupo topológico e H1 ⊂ H2 ⊂ G subgrupos. Definaπ : G/H1 → G/H2 por π (gH1) = gH2. Verifique que esta aplicaçãoé bem definida e mostre que ela é contínua e aberta (em relação às


topologias quocientes). Mostre também que π é equivariante, isto é,gπ (x) = π (gx), x ∈ G/H1.

19. Seja G um grupo topológico localmente conexo e H ⊂ G subgrupofechado localmente conexo. Mostre que se H não é conexo então G/Hnão é simplesmente conexo. (Sugestão: considere a componente daidentidade H0 de H.)

20. Seja G um grupo topológico compacto e φ : G→ R um homomorfismocontínuo. Mostre que φ ≡ 0.

21. Use o exercício anterior para mostrar que se G ⊂ Gl (n,R) é um grupocompacto então para todo g ∈ G, det g = 1 ou −1.

22. Seja G um grupo topológico e suponha que o o grupo comutador [G,G](isto é, o subgrupo de G gerado pelos comutadores xyx−1y−1, x, y ∈ G)seja denso. Mostre que se H é um grupo abeliano e φ : G → H é umhomomorfismo, então φ é trivial, isto é, φ (x) = 1 para todo x ∈ G.

23. Mostre que os únicos subgrupos fechados de (R,+) são o próprio R eos subgrupos da forma Zx, x ∈ R.

24. Mostre que O (n) é compacto e que Sl (n,R) não é compacto.

25. Sejam O (n) o grupo das matrizes n × n ortogonais (ggT = gTg = 1)e SO (n) = {g ∈ O (n) : det g = 1}. Mostre que SO (n) é conexopor caminhos, sem usar a proposição 2.29. (Sugestão: escreva a formacanônica de Jordan de uma matriz ortogonal). Conclua que O (n) temduas componentes conexas.

26. Mostre que Gl (n,R) tem duas componentes conexas: {g : det g > 0} e{g : det g < 0}. (Use o fato de que qualquer matriz g pode ser escritacomo g = ks com k ∈ O (n) e s positiva definida.)

27. Considere a ação de Sl (n,R) no espaço projetivo real Pn−1, dada porg[v] = [gv], onde [v] denota subespaço gerado por 0 6= v ∈ Rn. Mostreque essa ação é transitiva. Mostre que a restrição dessa ação a SO (n)também é transitiva.

28. Dê exemplo de um subgrupo G ⊂ Gl (n,R), não compacto, cuja açãoem Pn−1 não é transitiva.


29. Substitua, nos exercícios anteriores, Pn−1 pela Grassmanniana Grk (n)dos subespaços de dimensão k de Rn.

30. Mostre que um grupo compacto admite uma distância bi-invariante.

31. Denote por S (∞) o grupo de todas as bijeções (permutações) de N.Para cada n ∈ N seja Sn (∞) o subgrupo de Sn (∞) formado peloselementos que fixam cada um dos inteiros de {1, . . . , n}. Mostre que oconjunto Sn (∞), n ≥ 1, forma um sistema de vizinhanças da identi-dade de S (∞), dando origem a uma topologia em S (∞), que o tornagrupo topológico. Mostre que essa topologia é totalmente desconexa.

Capítulo 3

Medida de Haar

Uma medida de Haar num grupo topológico G é uma medida sobre a σ-álgebra dos conjuntos borelianos de G (isto é, a σ-álgebra gerada pelos con-juntos abertos), que é invariante por translações no grupo. Pode-se tomarmedidas de Haar invariantes à esquerda ou invariantes à direita. Neste capí-tulo será feita a construção de medidas de Haar em grupos topológicos lo-calmente compactos. Será demonstrada também a unicidade da medida deHaar, a menos da multiplicação por uma constante positiva.A leitura deste capítulo requer um conhecimento prévio de teoria da me-

dida.

3.1 Introdução

Seja (X,F , µ) um espaço de medida onde F é uma σ-álgebra de subconjun-tos de X (σ-álgebra dos conjuntos mensuráveis) e µ é uma medida σ-finitadefinida sobre F . Dada uma aplicação mensurável g : X → X em relação aF (isto é, g−1 (A) ∈ F se A ∈ F), define-se uma nova medida g∗µ sobre Fpor

g∗µ (A) = µ(g−1A

).

A medida µ é invariante por g se g∗µ = µ, o que significa que para todoconjunto mensurável A ∈ F , vale µ (g−1A) = µ (A). Em termos de integraisa medida transladada g∗µ satisfaz a igualdade∫

f (x) (g∗µ) (dx) =

∫f ◦ g (x)µ (dx)

57

58 CAPÍTULO 3. MEDIDA DE HAAR

para toda função f : X → R integrável em relação a µ. Essa igualdade servecomo definição de g∗µ uma vez que se f = 1A é a função característica doconjunto A (1A (x) = 1 se x ∈ A e 1A (x) = 0 se x /∈ A) então g∗µ (A) =∫1A (x) (g∗µ) (dx) e µ (g−1A) =

∫1A ◦ g (x)µ (dx).

Passando às medidas de Haar, seja G um grupo topológico e denote porF a σ-álgebra dos Borelianos de G (σ-algebra gerada pelos abertos de G). Astranslações deG são aplicações mensuráveis, pois são contínuas. Uma medidade Haar µ invariante à esquerda em G é uma medida sobre F (medida deBorel) tal que para toda translação à esquerda Eg vale (Eg)∗ µ = µ, isto é,para um conjunto Boreliano A vale µ (gA) = µ (A). De maneira análoga sedefinem as medidas de Haar à direita, que satisfazem µ (Ag) = µ (A).Deve-se observar que se µ é uma medida de Haar e a > 0 então a me-

dida aµ, também é uma medida de Haar, pois (Eg)∗ (aµ) = a((Eg)∗ µ

)(ou

(Dg)∗ (aµ) = a((Dg)∗ µ

)no caso invariante à direita).

Teorema 3.1 Seja G grupo topológico localmente compacto de Hausdorff.Então G admite uma única (a menos de multiplicação por uma constante a >0) medida de Haar µ 6= 0 invariante à esquerda (respectivamente invarianteà direita). Essa medida satisfaz as seguintes propriedades:

1. Se K é compacto então µ (K) <∞.

2. Se U 6= ∅ é aberto então µ (U) > 0.

3. µ é regular, isto é, se A é um conjunto Boreliano

(a) µ(A) = inf µ(U) com A ⊂ U e U aberto (regularidade exterior) e

(b) µ (A) = supµ (K) com K ⊂ U compacto (regularidade interior).

Esse teorema sobre as medidas de Haar será demonstrado nas seçõessubsequentes deste capítulo. Na demonstração pode-se considerar apenasas medidas invariantes à esquerda. Isso porque se µ é uma medida de Haarinvariante à esquerda em G então µ = ι∗µ onde ι é a inversa de G é invarianteà direita. De fato, se A é um conjunto Boreliano então

µ (Ag) = µ(g−1A−1

)= µ

(A−1

)= µ (A) .

Reciprocamente, se µ é invariante à direita então µ é invariante à esquerda.Isso significa que as medidas de Haar invariantes à esquerda e à direita sãofacilmente obtidas umas das outras pela aplicação inversa.

3.2. CONSTRUÇÃO DA MEDIDA DE HAAR 59

Em geral, as medidas invariantes à esquerda e à direita não coincidem.Um grupo G é dito unimodular se as medidas de Haar invariante à esquerdae à direita coincidem. Por exemplo, os grupos abelianos são unimodulares,pois as translações à esquerda e à direita são iguais.

Exemplos:

1. O exemplo guia para as medidas de Haar é a medida de Lebesgue λem R (ou mais geralmente em Rn), que é invariante por translações àesquerda ou à direita pois o grupo é abeliano. Portanto a medida deLebesgue é uma medidda de Haar normalizada por λ ([0, 1]n) = 1.

2. Um grupoGmunido da topologia discreta é localmente compacto. Umamedida de Haar µ é dada por µ{x} = 1 para todo x ∈ G. No casoem que G é finito pode-se normalizar a medida de Haar colocandoµ{x} = 1/|G|, de tal forma que µ (G) = 1.

3. Os grupos de Lie são localmente compactos e de Hausdorff. Portanto,admitem medidas de Haar. Como será visto adiante no capítulo 4 aconstrução das medidas de Haar num grupo de Lie não requer o teoremageral acima, já que nesse caso a medida pode ser definida via uma formavolume invariante.

2

3.2 Construção da medida de Haar

Será feita aqui a construção de uma medida de Haar invariante à esquerdano grupo localmente compacto G. Com isso se obtém também uma medidainvariante à direita aplicando a inversa no grupo.Denote por K a família dos subconjuntos compactos de G e como antes

seja V (1) o conjunto das vizinhanças abertas de 1.O método para construir uma medida de Haar segue o que se denomina

procedimento de Caratheodory. Ele consiste nos seguintes passos:

1. Construir uma pré-medida em K, isto é, uma aplicação λ : K → R+,que é monotônica, subaditiva e aditiva em compactos disjuntos (vejaa proposição 3.8, abaixo).


2. Definir, a partir de λ, uma função λ∗ definida nos abertos de G. Essafunção é monotônica, σ-subaditiva e σ-aditiva (veja a proposição 3.12,abaixo).

3. Estender λ∗ a uma medida exterior µe definida em todos os subcon-juntos de G. Essa medida exterior é monotônica e σ-subaditiva (veja aproposição 3.13, abaixo).

4. A teoria de medida garante então que µe é σ-aditiva nos conjuntosmensuráveis de µe (veja definição abaixo).

5. Por fim prova-se que os conjuntos Borelianos são mensuráveis. (Veja aproposição 3.16, abaixo).

Nesse esquema a única passagem que é específica para grupos topológicosé o item (1). As demais valem em espaços localmente compactos de Hausdorffgerais.Para realizar a construção deve-se fixar de uma vez por todas um com-

pacto K0 ⊂ G de interior não vazio. A existência de K0 vem da hipótesede que G é localmente compacto. Esse compacto serve para normalizar amedida de Haar, da mesma forma que o cubo [0, 1]n normaliza a medida deLebesgue em Rn.A definição da pré-medida em K passa pelo seguinte conceito:

• Sejam ∅ 6= K ⊂ G compacto e ∅ 6= V ⊂ G aberto. Os conjuntosabertos xV , x ∈ K, recobrem K e portanto existem subrecobrimentosfinitos.1 O índice de K em relação a V , denotado por (K : V ), é omenor n tal que existe um conjunto finito {x1, . . . , xn} ⊂ K com

K ⊂ x1V ∪ · · · ∪ xnV.

Obviamente (K : V ) ≥ 1 pois K 6= ∅.

Para um aberto dado V ∈ V (1) defina λV : K → R+ por

λV (K) =(K : V )

(K0 : V ).

1A escolha das translações xV leva a uma medida de Haar invariante à esquerda. Omesmo argumento se aplica às translações V x, obtendo invariancia à direita.


Lema 3.2 A aplicação λV : K → R+, V ∈ V (1), satisfaz as seguintespropriedades:

1. λV (K1) ≤ λV (K2) se K1 ⊂ K2.

2. λV (K1 ∪K2) ≤ λV (K1) + λV (K2).

3. λV (K1 ∪K2) = λV (K1) + λV (K2) se K1V−1 ∩K2V

−1 = ∅.

Demonstração: Essas propriedades seguem quase que imediatamente dadefinição de índice:

1. Se {x1, . . . , x(K2:V )} é tal que K2 ⊂ x1V ∪ · · · ∪ x(K2:V )V então essesabertos também recobrem K1 ⊂ K2. Daí que (K1 : V ) ≤ (K2 : V ) e,portanto λV (K1) ≤ λV (K2).

2. Sejam {x1, . . . , x(K1:V )} e {y1, . . . , y(K2:V )} tais que K1 ⊂ x1V ∪ · · · ∪x(K1:V )V e K2 ⊂ y1V ∪· · ·∪y(K2:V )V . Então, a união desses (K1 : V ) +(K2 : V ) abertos recobremK1∪K2. Daí que (K1 ∪K2 : V ) ≤ (K1 : V )+(K2 : V ) e, portanto λV (K1 ∪K2) ≤ λV (K1) + λV (K2).

3. Tome F = {x1, . . . , x(K1∪K2:V )} ⊂ K1∪K2 tal queK1∪K2 ⊂ x1V ∪· · ·∪x(K1∪K2:V )V e tome x ∈ F∩K1. Então, xV ∩K2 = ∅ pois se z ∈ xV ∩K2

então z ∈ K2 e z = xv com v ∈ V . Isto é, x = zv−1 ∈ K2V−1 ∩ K1

contradizendo a hipótese. Da mesma forma, se y ∈ F ∩ K2 entãoyV ∩K1 = ∅. Portanto,

K1 ⊂⋃

x∈F∩K1

xV e K2 ⊂⋃

y∈F∩K2

yV.

Daí que se n (respectivamente m) é o número de elementos em F ∩K1

(respectivamente em F ∩ K2) então n ≥ (K1 : V ) e m ≥ (K2 : V ).Como n + m = (K1 ∪K2 : V ), segue que (K1 ∪K2 : V ) ≥ (K1 : V ) +(K2 : V ). Portanto, λV (K1 ∪K2) ≥ λV (K1) + λV (K2) e a igualdadesegue do item anterior.

2

As propriedades enunciadas no lema acima estão relacionadas com a teoriade medida. O próximo lema, também de demonstração imediata, consideraa invariância de λV .


Lema 3.3 Se g ∈ G então λV (gK) = λV (K).2

Demonstração: Como na demonstração do lema anterior, tudo se reduz auma propriedade do índice. Seja {x1, . . . , xn} ⊂ K tal que K ⊂ x1V ∪ · · · ∪xnV . Então, gK ⊂ gx1V ∪ · · · ∪ gxnV e {gx1, . . . , gxn} ⊂ gK. Tomandoem particular n = (K : V ), segue que o número minimo de transladadosde V que cobrem gK é ≤ (K : V ). Isto é, (gK : V ) ≤ (K : V ). Substi-tuindo K por gK e g por g−1, se obtém a desigualdade contrária e daí que(gK : V ) = (K : V ). Da definição de λV se conclui que λV (gK) = λV (K). 2

Para definir λ independentemente de V será usada a seguinte propriedadeadicional dos índices.

Lema 3.4 (K : V ) ≤ (K : K◦0) (K0 : V ) onde K◦0 é o interior de K0.

Demonstração: Tome {x1, . . . , xn} ⊂ K e {y1, . . . , ym} ⊂ K0 tal queK ⊂ x1K

◦0 ∪ · · · ∪ xnK◦0 e K0 ⊂ y1V ∪ · · · ∪ ymV , onde n = (K : K◦0) e

m = (K0 : V ). Então,

K ⊂n⋃i=1

xiK◦0 ⊂

n⋃i=1

m⋃j=1

xiyjV.

Portanto K é recoberto por xiyjV , i = 1, . . . , n, j = 1 . . . , n. Daí que(K : V ) ≤ mn = (K : K◦0) (K0 : V ). 2

Corolário 3.5 0 ≤ λV (K) ≤ (K : K◦0).

As desigualdades desse corolário mostram que, para qualquer aberto V ,a aplicação λV : K → R+ pode ser vista como um elemento do produtocartesiano

P =∏K∈K

[0, (K : K◦0)]

dos intervalos compactos [0, (K : K◦0)] ⊂ R, que independem de V . Esseproduto também é compacto.

2A invariância à esquerda de λV enunciada nesse lema se deve à escolha das coberturaspor abertos do tipo xV . A escolha por abertos V x acarretaria invariância à direita.


Olhando uma aplicação λV como um elemento de P pode-se definir, paracada aberto V 6= ∅, o conjunto

M (V ) = {λU ∈ P : U ∈ V (1) , U ⊂ V }.

Denote por C (V ) o fecho de M (V ) em P.

Lema 3.6⋂

V ∈V(1)

C (V ) 6= ∅.

Demonstração: Como P é compacto, basta verificar que a família de fecha-dos C (V ) ⊂ P satisfaz a propriedade de interseção finita. Tome V1, . . . , Vk ∈V (1) e escreva V = V1 ∩ · · · ∩ Vk. Por definição λV ∈ M (Vi), i = 1, . . . , k.Daí que

λV ∈ C (V1) ∩ · · · ∩ C (Vk)

mostrando que essa interseção é não vazia. 2

Agora é possivel definir a pré-medida desejada λ nos compactos.

Definição 3.7 Escolha λ ∈⋂

V ∈V(1)

C (V ) e o interprete como uma aplicação

λ : K → R.

As propriedades enunciadas no lema 3.2 para as aplicações λV se esten-dem a λ por continuidade. Essa continuidade será usada da seguinte forma:tome um compacto K ∈ K e denote por pK : P → [0, (K : K◦0)] a projeçãodo produto cartesiano P =

∏K∈K

[0, (K : K◦0)] em sua K-componente. Essa

projeção é contínua pela definição da topologia produto. Além do mais, seξ ∈ P é visto como uma aplicação ξ : K → R então ξ (K) = pK (ξ).

Proposição 3.8 A aplicação λ : K → R+ (λ ∈ P) é uma pré-medida fini-tamente aditiva no sentido em que λ ≥ 0, λ (∅) = 0 e satisfaz as seguintespropriedades:

1. λ (K1) ≤ λ (K2) se K1 ⊂ K2.

2. λ (K1 ∪K2) ≤ λ (K1) + λ (K2).

3. λ (K1 ∪K2) = λ (K1) + λ (K2) se K1 ∩K2 = ∅.


4. λ (K1 ∪ · · · ∪Kn) ≤∑n

i=1 λ (Ki).

Além do mais λ (K) ≤ (K : K◦0).

Demonstração: Em primeiro lugar, λ ≥ 0. De fato, tome um compactoK e U ∈ V (1). Então, por definição λU (K) ≥ 0. Olhando λU como umelemento do produto cartesiano P, se obtém a igualdade λU (K) = pK (λU).Daí que a projeção pK é ≥ 0 em qualquer conjuntoM (V ). Por continuidade,pK ≥ 0 em C (V ). Como λ ∈ C (V ) para todo V ∈ V (1), segue que λ (K) =pK (λ) ≥ 0. A demonstração de que λ (∅) = 0 é similar.O mesmo argumento de continuidade se aplica na demonstração das pro-

priedades enunciadas:

1. Seja V ∈ V (1). Por definição um elemento deM (V ) é da forma λU comU ⊂ V . Pelo lema 3.2 vale a desigualdade λU (K1) ≤ λU (K2) se K1 ⊂K2, que traduzido em termos das projeções pK significa pK1 (λU) ≤pK2 (λU). Portanto, pK1 ≤ pK2 em M (V ). Por continuidade segue quepK1 (ξ) ≤ pK2 (ξ) para todo ξ no fecho C (V ) deM (V ). Mas λ pertencea C (V ) para todo V , daí que pK1 (λ) ≤ pK2 (λ), isto é, λ (K1) ≤ λ (K2).

2. A demonstração é similar ao item (1), tomando agora as projeçõespK1∪K2 , pK1 e pK2 .

3. Como G é de Hausdorff3 existe V ∈ V (1) tal que K1V−1 ∩K2V

−1 = ∅(veja o exercício 5 do capítulo 2). A mesma propriedade vale para todoaberto U com 1 ∈ U ⊂ V , isto é, K1U

−1 ∩K2U−1 = ∅. Portanto, pelo

lema 3.2 (3) vale a desigualdade λU (K1 ∪K2) = λU (K1) + λU (K2)para todo λU ∈M (V ). Pela continuidade das projeções pK1∪K2 , pK1 epK2 se conclui que λ (K1 ∪K2) = λ (K1) + λ (K2), já que λ ∈ C (V ).

4. A subaditividade finita segue por indução da propriedade (2).

Por fim a última afirmação segue do corolário 3.5 pelo mesmo argumentode continuidade. 2

Paralelamente as propriedades da proposição acima relacionadas à teoriade medida pode-se enunciar a invariância de λ.

3Nessa passagem a hipótese de que G é de Hausdorff é essencial para separar os com-pactos K1 e K2.


Proposição 3.9 Se g ∈ G então λ (gK) = λ (K) para todo compacto K.

Demonstração: A demonstração segue do lema 3.3 e da continuidade dasprojeções pK , K ∈ K. Fixe g ∈ G eK ∈ K. Pelo lema 3.3, λU (gK) = λU (K)para todo λU ∈M (V ), isto é, U ⊂ V . Isso significa que pgK (λU) = pK (λU)para todo U ⊂ V . Por continuidade da projeção pK segue que pgK (ξ) =pK (ξ) para todo ξ ∈ C (V ). Como λ ∈ C (V ), segue que pgK (λ) = pK (λ),isto é, λ (gK) = λ (K), concluíndo a demonstração. 2

O seguinte enunciado conclui a discussão sobre a pré-medida λ, mostrandoque o compacto K0, escolhido inicialmente, normaliza λ.

Proposição 3.10 λ (K0) = 1.

Demonstração: De fato, se U ∈ V (1) então λU (K0) = 1 por definição,o que significa que pK0 (λU) = 1. Por continuidade, pK0 (ξ) = 1 para todoξ ∈ C (V ) e, portanto, pK0 (λ) = 1, isto é, λ (K0) = 1. 2

Uma vez definida a pré-medida λ sobre os compactos a construção damedida de Haar segue o procedimento que vale em geral para espaços local-mente compactos. Em primeiro lugar se define uma aplicação λ∗ sobre osconjuntos abertos, definindo para um aberto U ,

λ∗ (U) = sup{λ (K) : K ∈ K, K ⊂ U} ∈ [0,+∞).

Em seguida se de define uma aplicação µe em conjuntos arbitrários A ⊂ Gpor

µe (A) = inf{λ∗ (U) : A ⊂ U, U aberto} ∈ [0,+∞).

Da mesma forma que λ essas aplicações são invariantes à esquerda. Defato, se g ∈ G e U é aberto então K ⊂ gU se, e só se g−1K ⊂ U e K écompacto se, e só se, g−1K é compacto. Assim,

λ∗ (gU) = sup{λ (gK) : K ∈ K, K ⊂ U}= sup{λ (K) : K ∈ K, K ⊂ U}= λ∗ (U) .

De forma análoga µe (gA) é o ínfimo de λ∗ (gU) com A ⊂ U e daí queµe (gA) = µ (A).


A medida de Haar µ será dada pela restrição de µe aos conjuntos Bore-lianos. Deve-se mostrar é que essa restrição é de fato uma medida σ-aditiva,o que será feito a seguir. Os argumentos para isso envolvem apenas teoriada medida e não são específicos para grupos topológicos.O primeiro passo é a demonstração da σ-subaditividade e aditividade de

λ∗. Para demonstrar isso será necessário o seguinte lema topológico.

Lema 3.11 Sejam X um espaço topológico de Hausdorff, U, V ⊂ X abertose K ⊂ U ∪ V compacto. Então, existem compactos K1 ⊂ U e K2 ⊂ V talque K = K1 ∪K2.4

Demonstração: Os conjuntos L1 = K \ U e L2 = K \ V são compactos.Da inclusão K ⊂ U ∪V segue que L1 ⊂ V , L2 ⊂ U e L1∩L2 = ∅. A hipótesede que X é Hausdorffgarante a existência de abertos V1 e V2 com V1∩V2 = ∅,L1 ⊂ V1 e L2 ⊂ V2.Defina os compactos K1 = K \ V1 e K2 = K \ V2. Então, K1 ∪ K2 =

K \ (V1 ∩ V2) = K pois V1 ∩ V2 = ∅. Além do mais, K1 = K ∩ V c1 ⊂ K ∩ Lc1

e como Lc1 = Kc ∪ U , segue que

K1 ⊂ K ∩ (Kc ∪ U) = ∅ ∪ (K ∩ U) ⊂ U.

Da mesma forma K2 ⊂ V , concluindo a demonstração. 2

Proposição 3.12 λ∗ é uma pré-medida5 σ-aditiva no sentido em que λ∗ ≥ 0,λ∗ (∅) = 0 e satisfaz as seguintes propriedades:

1. λ∗ é monótona, isto é, λ∗ (U1) ≤ λ∗ (U2) se U1 ⊂ U2.

2. λ∗ é σ-subaditiva, isto é, λ∗

( ⋃n≥1

Un

)≤∑

n≥1 λ∗ (Un).

3. λ∗ é σ-aditiva: λ∗

( ⋃n≥1

Un

)=∑

n≥1 λ∗ (Un) se os abertos são dois a

dois disjuntos.

4Neste lema aparece novamente a necessidade de se trabalhar com espaços Hausdorff.5O prefixo “pré”se deve a que o conjunto dos abertos não forma uma σ-álgebra.


Demonstração: Segue direto da definição que λ∗ ≥ 0 e que λ∗ (∅) = 0.Já se U1 ⊂ U2 são abertos e K ⊂ U1 é compacto então K ⊂ U2. Portanto,supK⊂U1 λ (K) ≤ supK⊂U2 λ (K), isto é, λ∗ (U1) ≤ λ∗ (U2).Antes de mostrar a σ-subaditividade e aditividade dos itens (2) e (3)

deve-se mostrar o caso de união e soma finitas.Tome abertos U e V . Se K é compacto com K ⊂ U ∪V então, pelo lema

acima existem compactos K1 ⊂ U e K2 ⊂ V tal que K = K1 ∪ K2. Pordefinição λ∗ (U) ≥ λ (K1) e λ∗ (V ) ≥ λ (K2) e portanto

λ∗ (U) + λ∗ (V ) ≥ λ (K1) + λ (K2) ≥ λ (K1 ∪K2) = λ (K)

pela aditividade de λ. Daí que supK⊂U∪V λ (K) ≤ λ∗ (U) + λ∗ (V ), isto é,λ∗ (U ∪ V ) ≤ λ∗ (U) + λ∗ (V ).Suponha além do mais que U ∩ V = ∅ e tome compactos C1 ⊂ U e

C2 ⊂ V . Então, C1 ∩ C2 = ∅ e

λ (C1) + λ (C2) = λ (C1 ∪ C2) ≤ λ∗ (U ∪ V ) .

Tomando supremo se obtém λ∗ (U) + λ∗ (V ) ≤ λ∗ (U ∪ V ), que com a de-sigualdade anterior fornece λ∗ (U ∪ V ) = λ∗ (U) + λ∗ (V ).Por indução, segue

λ∗

(n⋃i=1

Ui

)≤

n∑i=1

λ∗ (Ui)

em que vale a igualdade se os abertos Ui são dois a dois disjuntos.Agora tome uma sequência Un de abertos e um compacto K ⊂

⋃n≥1

Un.

Então, existe n tal que K ⊂n⋃i=1

Ui. Por subaditividade

λ (K) ≤ λ∗

(n⋃i=1

Ui

)≤

n∑i=1

λ∗ (Ui) ≤∑i≥1

λ∗ (Ui) .

Tomando supremo, segue que λ∗

( ⋃n≥1

Un

)≤∑

n≥1 λ∗ (Un).

Se os abertos da sequência são dois a dois disjuntos então para todo inteirom vale

λ∗

(⋃n≥1

Un

)≥ λ∗

(m⋃i=n

Un

)=

m∑n=1

λ∗ (Un) .


E como m é arbitrário se obtém

∑n≥1

λ∗ (Un) ≤ λ∗

(⋃n≥1

Un

)

mostrando a σ-aditividade de λ∗. 2

Agora é possível mostrar que a aplicação µe satisfaz propriedades semel-hantes.

Proposição 3.13 µe é uma medida exterior no sentido em que µe ≥ 0,µe (∅) = 0 e satisfaz as seguintes propriedades:

1. µe (A1) ≤ µe (A2) se A1 ⊂ V2.

2. µe

( ⋃n≥1

An

)≤∑

n≥1 µe (An).

Demonstração: Segue direto da definição que µe ≥ 0 e µe (∅) = 0. Amonotonicidade também é quase imedita: se A2 ⊂ U com U aberto entãoA1 ⊂ U e daí que µe (A1) ≤ λ∗ (U). Tomando o ínfimo em relação a U ⊃ A2,segue que µe (A1) ≤ µe (A2).A σ-subaditividade é imediata se µe (An) = ∞ para algum n. Suponha

então que para todo n ≥ 1, µe (An) < ∞. Nesse caso, dados ε > 0 e n ≥ 1existe um aberto Un ⊃ An tal que

λ∗ (Un) < µe (An) +ε

2n.

Então,⋃n≥1

An ⊂⋃n≥1

Un e portanto, pela σ-subaditividade de λ∗ vale

µe

(⋃n≥1

An

)≤ λ∗

(⋃n≥1

An

)≤∑n≥1

λ∗ (Un)

<∑n≥1

µe (An) +∑n≥1

ε

2n

=∑n≥1

µe (An) + ε.


Como ε > 0 é arbitrário vale a σ-subaditividade µe

( ⋃n≥1

An

)≤∑

n≥1 µe (An).

2

A seguinte proposição estabelece a relação entre as aplicações λ, λ∗ e µe.

Proposição 3.14 Se U ⊂ G é aberto então µe (U) = λ∗ (U). Já se K écompacto então µe (K◦) ≤ λ (K) ≤ µe (K).

Demonstração: Se V é aberto com U ⊂ V então λ∗ (U) ≤ λ∗ (V ), já queλ∗ é monótona. Portanto µe (U) = infV⊃U λ∗ (V ) = λ∗ (U).Se K é compacto e V é aberto com K ⊂ V então λ (K) ≤ λ∗ (V ), por

definição de λ∗. Portanto,

λ (K) ≤ infV⊃K

λ∗ (V ) = µe (K) .

Por outro lado, se L ⊂ K◦ é compacto então L ⊂ K e daí que λ (L) ≤ λ (K)pela monotonicidade de λ. Portanto,

µe (K◦) = supL⊂K◦

λ (L) ≤ λ (K) .

2

Corolário 3.15 Se K é compacto então µe (K) <∞.

Demonstração: De fato, seja K0 o compacto básico de interior não vazio.Então, λ (K0) = 1 pela proposição 3.10. Tome {x1, . . . , xn} ⊂ K tal queK ⊂ x1K

◦0 ∪ · · · ∪ x1K

◦0 . Então,

µe (K) ≤n∑i=1

µe (xiK◦0) ≤

n∑i=1

λ (xiK0) ≤ n.

2

Conforme já foi mencionado a medida de Haar µ é dada pela restriçãode µe à σ-álgebra dos conjuntos de Borel. Para que essa restrição seja defato uma medida falta verificar que ela é σ-aditiva. Para isso serão usadosos seguintes fatos gerais de teoria da medida.


Um subconjunto A é µe-mensurável se para todo subconjunto X se tema igualdade

µe (X) = µe (X ∩ A) + µe (X ∩ Ac) ,

que é equivalente a µe (X) ≥ µe (X ∩ A)+µe (X ∩ Ac) já que µe é subaditiva.Denote por M a família dos conjuntos µe-mensuráveis. Então, valem osseguintes resultados que não serão demonstrados aqui6:

1. M é uma σ-álgebra (∅ ∈ M, se A ∈M então Ac ∈M eM é fechadopor uniões enumeráveis).

2. µe é σ-aditiva em M, isto é, µe

( ⋃n≥1

An

)=∑

n≥1 µe (An) se os con-

juntos An ∈M são dois a dois disjuntos.

Esses resultados garantem que a restrição de µe aM é uma medida. Alémdo mais essa medida é completa no sentido em que se µe (A) = 0 e B ⊂ Aentão B ∈ M e µe (B) = 0. Isso porque A é µe-mensurável se µe (A) = 0,pois dado um conjunto X a monotonicidade de µe garante que

µe (X) = µe (A) + µe (X) ≥ µe (A ∩X) + µe (X ∩ Ac) .

Além do mais se B ⊂ A e µe (A) = 0 então µe (B) = 0 novamente pelo fatode que µe é monotonica.Em vista desses resultados para concluir a construção da medida de Haar

basta verificar subconjuntos de Borel são µe-mensuráveis, o que é feito aseguir.

Proposição 3.16 Os conjuntos Borelianos são µe-mensuráveis.

Demonstração: Basta mostrar que os abertos são mensuráveis, já queMé uma σ-álgebra. Seja U um aberto e tome um subconjunto arbitrário X.Se µe (X) = ∞ então a desigualdade µe (X) ≥ µe (X ∩ U) + µe (X ∩ U c) ésatisfeita trivialmente.Assuma portanto que µe (X) < ∞ e tome ε > 0. Então, existe um

aberto V ⊃ X tal que µe (X) ≤ λ∗ (V ) < µe (X) + ε. Tome um compactoC ⊂ V ∩ U tal que λ∗ (V ∩ U) − ε < λ (C) ≤ λ∗ (V ∩ U). Tome também

6Veja, por exemplo a seção 11 de Halmos [21].


um compacto D ⊂ V ∩ Cc tal que λ∗ (V ∩ Cc) − ε < λ (D) ≤ λ∗ (V ∩ Cc).Então, V ∩ U c ⊂ V ∩ Cc pois C ⊂ U , daí que

µe (V ∩ U c)− ε ≤ µe (V ∩ Cc)− ε < λ (D)

pois µe (V ∩ Cc) = λ∗ (V ∩ Cc). Portanto,

µe (X ∩ U) + µe (X ∩ U c)− 2ε ≤ µe (V ∩ U) + µe (V ∩ U c)− 2ε

≤ λ (C) + λ (D) = λ (C ∪D)

já que C∩D = ∅, pois D ⊂ D ⊂ V ∩Cc. Mas, C∪D é um compacto contidono aberto (V ∩ U) ∪ (V ∩ Cc) ⊂ V . Portanto, pela definção de λ∗ segue que

λ (C ∪D) ≤ λ∗ (V ∩ U) ∪ (V ∩ Cc) ≤ λ∗ (V ) .

Mas pela escolha de V , λ∗ (V ) < µe (X) + ε. Essas desigualdades mostramque

µe (X ∩ U) + µe (X ∩ U c) < µe (X) + 3ε

e como ε > 0 é arbitrário, segue a desigualdade desejada µe (X ∩ U) +µe (X ∩ U c) ≤ µe (X), mostrando que o aberto U é µe-mensurável. 2

Por fim as propriedades enunciadas no teorema 3.1 foram quase todasdemonstradas ao longo da construção. São elas:

1. µ (K) <∞ se K é compacto pelo corolário 3.15.

2. Se U 6= ∅ é aberto então µ (U) > 0. De fato, seja K0 o compactoescolhido para normalizar a medida de Haar. Então, µ (K0) ≥ λ (K0) =1 pela proposição 3.14. Dado um aberto U 6= ∅ existe {x1, . . . , xn} ⊂K0 tal que K0 ⊂ x1U ∪ · · · ∪ xnU , de onde se tira que

µ (K0) ≤n∑i=1

µ (x1U) =n∑i=1

µ (U) = nµ (U)

o que mostra que µ (U) > 0.

3. Regularidade exterior: para um Boreliano A, µ(A) = inf µ(U) comA ⊂ U e U aberto. Essa é a própria definição de µe = µ.


4. Regularidade interior: se U é aberto então µ (U) = supµ (K) comK ⊂ U compacto. De fato, µ (U) = λ∗ (U) = supK⊂U λ (K). Mas pelaproposição 3.14 vale a desigualdade µe (K◦) ≤ λ (K) ≤ µe (K) = µ (K).Daí que

µ (U) = supK⊂U

λ (K) ≤ supK⊂U

µ (K) ≤ µ (U)

pois µ (K) ≤ µ (U) se K ⊂ U . Isso mostra que os abertos são in-ternamente regulares. Porém, um teorema geral em teoria da medidagarante que uma medida é regular se os compactos são externamenteregulares e os abertos internamente regulares.7 Portanto, µ é de fatouma medida regular.

3.3 Unicidade

A idéia da demonstração da unicidade (a menos de multiplicação por umaconstante positiva) da medida de Haar vem da observação de que duas medi-das µ e ν em G satisfazem ν = aµ, a > 0, se e só se, a medida produto µ× νem G×G é invariante pelo homeomorfismo r : G×G→ G×G que inverte ascoordenadas, r (x, y) = (y, x). De fato, se ν = aµ então µ×ν = a (µ× µ), queé r-invariante. Por outro lado, se A,B ⊂ G são conjuntos mensuráveis entãoµ × ν (A×B) = µ (A) ν (B) enquanto que µ × ν (r (A×B)) = µ (B) ν (A).Daí que µ (A) ν (B) = µ (B) ν (A) e se, por exemplo, A é compacto de interiornão vazio então 0 < µ (A) , ν (A) <∞. Portanto,

ν (B) =ν (A)

µ (A)µ (B)

e a constante positiva que relaciona µ e ν é dada por a = ν (A) /µ (A).Ao longo desta seção µ e ν são medidas de Haar em G invariantes à

esquerda, satisfazendo as propriedades do teorema 3.1.A demonstração da invariância de µ × ν por r usa os seguintes homeo-

morfismos de G×G:

1. s (x, y) = s (x, xy) cuja inversa é s−1 (x, y) = (x, x−1y).

2. t = rsr−1, isto é, t (x, y) = (yx, y) cuja inversa é t−1 (x, y) = (y−1x, y).

7Veja, por exemplo a seção 52 de Halmos [21] e mais especificamente o teorema F.

3.3. UNICIDADE 73

3. q = s−1rs, isto é, q (x, y) = (xy, y−1) cuja inversa é q−1 = q.

Essas aplicações são mensuráveis em relação à σ-álgebra dos Borelianosde G × G. Como elas são homeomorfismos, a imagem direta de um con-junto mensurável por uma delas também é mensurável. Para ver como esseshomeomorfismos alteram a medida produto deve-se encontrar essas imagensdiretas.Para isso define-se as seguintes notações: sejam π1, π2 : G × G → G as

projeções na primeira e segunda componente, respectivamente. SeX ⊂ G×Ge x ∈ G então Xx = π−1

1 {x} ∩X e Xx = π−12 {x} ∩X denotam as fibras de

X em relação à primeira e segunda projeções, respectivamente.As aplicações s e s−1 fixam a primeira coordenada e são translações à

esquerda na segunda coordenada. Com isso as fibras das imagens de umsubconjunto X ⊂ G×G são facilmente descritas por

(s (X))x = xXx

(s−1 (X)

)x

= x−1Xx.

Permutando as coordendas se obtém de forma análoga

(s (X))y = yXy(s−1 (X)

)y= y−1Xy.

A partir dessas igualdades se obtém a seguinte invariância da medida pro-duto.

Proposição 3.17 A medida µ× ν é invariante por s, s−1, t e t−1.

Demonstração: Seja X ⊂ G × G um conjunto mensurável. Então, peloteorema de Fubini

µ× ν (s (X)) =

∫G×G

ν ((s (X))x)µ (dx)

=

∫G

ν (xXx)µ (dx) =

∫G

ν (Xx)µ (dx)

= µ× ν (X)

isto é, µ× ν é s-invariante. A mesma demonstração vale para s−1 e analoga-mente para t e t−1, permutando as coordenadas. 2

A medida produto não é necessariamente invariante pelo homeomorfismoq, pois ele é a inversa na segunda componente. Esse homeomorfismo, noentanto, será utilizado na seguinte propriedade de mensurabilidade.


Proposição 3.18 Seja A ⊂ G um conjunto Borel mensurável. Então, afunção y ∈ G 7→ µ (Ay) ∈ [0,+∞) é mensurável, para qualquer medida deHaar µ.

Demonstração: Tome o retângulo A × G. Se y ∈ G então q (A× {y}) =Ay × {y−1} já que q (x, y) = (xy, y−1). Portanto, a fibra de q (A×G) sobrey−1 ∈ G em relação à projeção π2 é dada por

q (A×B)y−1

= Ay.

A afirmação segue então do teorema de Fubini, que garante que o integrandode

µ× ν (q (A×B)) =

∫B−1

µ (Ay) ν (dy) B ⊂ G

é mensurável. 2

Voltando aos homeomorfismos s e t, a invariância da medida produto poressas aplicações permite mostrar o seguinte lema que estabelece uma fórmulaentre integrais em relação a µ e a ν.

Lema 3.19 Sejam f : G → [0,+∞) uma função mensurável e A ⊂ Gmensurável com 0 < µ (A) <∞. Então,∫

G

f (x) ν (dx) =1

µ (A)

∫G

f(x−1)ν(Ax−1

)µ (dx) . (3.1)

Demonstração: Amedida produto µ×ν é invariante por s−1 e t portanto étambém invariante também por u = s−1t, que é dada por u (x, y) = (yx, x−1).Seja 1A a função característica de A. Então,

µ (A)

∫G

f (y) ν (dy) =

∫G

1A (x)µ (dx)

∫G

f (y) ν (dy)

=

∫G×G

1A (x) f (y) (µ× ν) (d (x, y))

pelo teorema de Fubini. Como µ×ν é u-invariante, a composta do integrandocom u não altera a última integral que coincide portanto com∫

G×G1A (yx) f

(x−1)µ× ν (d (x, y)) =

∫G

f(x−1) ∫

G

1A (yx) ν (dy)µ (dx)

3.4. FUNÇÃO MODULAR 75

por uma nova aplicação do teorema de Fubini. Mas, 1A (yx) = 1Ax−1 (y) eportanto ∫

G

1A (yx) ν (dy) = ν(Ax−1

),

que se for substituido na igualdade acima fornece

µ (A)

∫G

f (y) ν (dy) =

∫G

f(x−1)ν(Ax−1

)µ (dx)

concluíndo a demonstração. 2

Agora é possível concluir a demonstração da unicidade da medida deHaar. Seja K ⊂ G um compacto de interior não vazio. Então, para todoy ∈ G o transladado Ky também é compacto de interior não vazio e portanto0 < µ (Ky) <∞ para todo y ∈ G e qualquer medida de Haar µ que satisfaçaas condições do teorema 3.1. Seja B ⊂ G um conjunto mensurável arbitrárioe aplique a igualdade (3.1) com A = K, f (x) = 1B (x−1) /ν (Kx) e µ = ν.Então,∫

G

1B (x−1)

ν (Kx)ν (dx) =

1

ν (K)

∫G

1B (x)

ν (Kx−1)ν(Kx−1

)ν (dx) =

ν (B)

ν (K).

Novamente por (3.1) o primeiro termo acima é dado por∫G

1B (x−1)

ν (Kx)ν (dx) =

1

µ (K)

∫G

1B (x)

ν (Kx−1)ν(Kx−1

)µ (dx) =

µ (B)

µ (K).

Daí que ν (B) /ν (K) = µ (B) /µ (K), isto é, µ (K) ν (B) = ν (K)µ (B).Como 0 < µ (K) , ν (K) <∞, segue que para todo mensurável B ⊂ G,

ν (B) =ν (K)

µ (K)µ (B)

concluindo a demonstração da unicidade.

3.4 Função modular

A função modular é uma função (na verdade um homomorfismo) em G avalores reais que compara as medidas de Haar invariantes à esquerda com asinvariantes à direita.


Para defini-la seja µ uma medida de Haar invariante à esquerda no grupotopológico G Hausdorff e localmente compacto. Se g ∈ G então (Dg)∗ µ((Dg)∗ µ (A) = µ (Ag−1)) também é uma medida de Haar invariante à es-querda, pois as translações à esquerda comutam com a translações à direita.Pela unicidade da medida de Haar existe um real ∆ (g) > 0 tal que 8

(Dg)∗ µ = ∆ (g)µ.

Por definição ∆ (g) é a função modular de G. Essa definição não de-pende da escolha de µ pois se ν = aµ, a > 0, então (Dg)∗ (aµ) = a (Dg)∗ (µ) =∆ (g) ν.Se o grupo G é unimodular então a medida de Haar invariante à esquerda

µ também é invariante à direita e assim ∆ (g) = 1 para todo g. Recipro-camente, se ∆ é constante = 1 então µ é invariante à direita e o grupo éunimodular.A função modular pode ser calculada a partir de um único conjunto Borel

mensurável A tal que 0 < µ (A) <∞ (por exemplo, A pode ser um compactode interior não vazio). Isso porque µ (Ag−1) = ∆ (g)µ (A) e, portanto,

∆ (g) = µ(Ag−1

)/µ (A) .

Esta igualdade mostra também que µ (Ag−1) > 0 se 0 < µ (A) < ∞, já que∆ (g) > 0.As seguintes propriedades da função modular ∆ são obtidas de imediato.

1. ∆ é homomorfismo a valores no grupo multiplicativo dos reais positivos.De fato, se g, h ∈ G e A é mensurável tal que 0 < µ (A) <∞ então

∆ (gh) =µ (Ah−1g−1)

µ (A)=µ (Ah−1g−1)

µ (Ah−1)

µ (Ah−1)

µ (A)= ∆ (g) ∆ (h) .

2. ∆ é mensurável, pois se 0 < µ (A) <∞ então ∆ (g) = µ (Ag−1) /µ (A)e a proposição 3.18 garante que g ∈ G 7→ µ (Ag−1) ∈ [0,+∞) é men-surável.

8Nessa passagem deve-se tomar o seguinte cuidado: a demonstração da unicidade pres-supos que as medidas satisfazem as propriedades do teorema 3.1. Isso ocorre com a medida(Dg)∗ µ, como pode ser verificado sem dificuldades.

3.4. FUNÇÃO MODULAR 77

Dessas propriedade se obtém uma outra forma de ver a função modular∆. Ela é a derivada de Radon-Nikodym de µ em relação a µ onde µ = ι∗µé a medida de Haar invariante à direita obtida de µ pela inversa. De fato,pelo lema 3.19 se f : G→ [0,+∞) é mensurável e 0 < µ (A) <∞ então,∫

G

f (x)µ (dx) =1

µ (A)

∫G

f(x−1)µ(Ax−1

)µ (dx) .

Substituindo µ (Ax−1) = ∆ (x)µ (A) se obtém∫G

f (x)µ (dx) =

∫G

f(x−1)

∆ (x)µ (dx)

=

∫G

f (x) ∆(x−1)µ (dx) .

Tomando f (x) ∆ (x) no lugar de f (x) segue que∫G

f (x) µ (dx) =

∫G

f (x) ∆ (x)µ (dx) .

O fato de que a função modular∆ é mensurável é, na verdade, consequên-cia de sua continuidade que é uma propriedade mais forte e será demonstradaa seguir.O seguinte lema sobre grupos topológicos será usado para provar a con-

tinuidade de ∆.

Lema 3.20 No grupo topológico G sejam K um compacto e U um aberto talque K ⊂ U . Então, existe um aberto V com 1 ∈ V tal que KV ⊂ U .

Demonstração: Se x ∈ K então 1 ∈ x−1U e portanto existe um abertoVx com 1 ∈ Vx tal que Vx ⊂ V 2

x ⊂ x−1U . Como os abertos xVx recobremK existe {x1, . . . , xn} ⊂ K tal que K ⊂ x1Vx1 ∪ · · · ∪ xnVxn . O abertoV = Vx1 ∩ · · · ∩ Vxn , que contém 1, satisfaz KV ⊂ U . Para ver isso tomey ∈ K. Então, existe i = 1, . . . , n tal que y ∈ xiVxi . Portanto,

yV ⊂ xiVxiV ⊂ xiV2xi⊂ U

pois V 2xi⊂ x−1

i U . Como y ∈ K é arbitrário isso mostra que KV ⊂ U . 2

Proposição 3.21 A função modular ∆ é continua.


Demonstração: Como ∆ é homomorfismo basta mostrar sua continuidadeno elemento neutro 1. No entanto, como ∆ é homomorfismo é suficientemostrar a semi-continuidade superior em 1, isto é, mostrar que para todoδ > 0 existe uma vizinhança V ∈ V (1) tal que se g ∈ V então ∆ (g) < 1 + δ.De fato, a existência da vizinhança V garante que para todo g na vizinhançasimétricaW = V ∩V −1 vale ∆ (g) < 1+δ. Como g−1 ∈ W , vale também que∆ (g)−1 = ∆ (g−1) < 1 + δ, isto é, ∆ (g) > 1/ (1 + δ). Daí que dado ε > 0, se0 < δ < min{ε, ε/ (1− ε)} e g ∈ W então 1− ε < ∆ (g) < 1 + ε, mostrandoque ∆ é continua em 1.Para mostrar a semi-continuidade superior tome um compacto K ⊂ G

de interior não vazio. Como 0 < µ (K) < ∞, a função modular é dada por∆ (g) = µ (Kg−1) /µ (K) e a semi-continuidade superior em 1 se traduz naafirmação de que para todo ε > 0 existe uma vizinhança V ∈ V (1) tal quese g ∈ V então µ (Kg−1) < µ (K) + ε.Agora pode-se aplicar a regularidade exterior de µ. Dado ε > 0 seja U

um aberto com K ⊂ U tal que µ (U) < µ (K) + ε. Pelo lema anterior existeV ∈ V (1) tal que KV −1 ⊂ U . Então, Kg−1 ⊂ U para todo g ∈ V e daí que

µ(Kg−1

)≤ µ (U) < µ (K) + ε

se g ∈ V , mostrando a semi-continuidade superior e concluindo a demon-stração. 2

Por fim um comentário sobre grupos de Lie: para esses grupos a presençada estrutura diferenciável permite uma construção bem mais simples dasmedidas de Haar via integração em relação a formas diferenciais. Nesse casoas funções modulares ficam definidas a partir de determinantes de aplicaçõeslineares (dadas pela representação adjunta. Veja seção 4.6 do capitulo 4.)

3.5 Aplicações a grupos compactos

Se G é um grupo compacto Hausdorff então, qualquer medida de Haar emG satisfaz µ (G) <∞, já que as medidas de Haar são finitas em compactos.Nesse caso é usual tomar a medida de Haar normalizada que a torna umamedida de probabilidade, isto é, µ (G) = 1. Essa normalização simplifica asfórmulas que envolvem a integração em relação à medida de Haar.Por outro lado, a proposição a seguir mostra que um grupo localmente

compacto Hausdorff é compacto se, e só se, a medida de Haar de G é finita.

3.5. APLICAÇÕES A GRUPOS COMPACTOS 79

Proposição 3.22 Seja G um grupo topologico localmente compacto de Haus-dorff com medida de Haar µ. Então, µ (G) =∞ se G não é compacto

Demonstração: Seja K uma vizinhança compacta e simétrica do elementoneutro. A união

H =⋃n≥1

Kn

é um subgrupo de G que satisfaz µ (H) > 0, já que K ⊂ H e µ (K) > 0. SeH é compacto então existem infinitas classes laterais gH, g ∈ G, pois G nãoé compacto. Como µ (gH) = µ (H) > 0 e duas classes laterais distintas sãodisjuntas, segue que µ (G) >∞.Por outro lado se H não é compacto então para todo n ≥ 1 a inclusão

Kn ⊂ V n+1 é própria, pois caso contrário existiria n0 tal que Kn0+k = Kn0 eH =

⋃Kn = Kn0 , contradizendo a hipótese de que H não é compacto.

Agora, se g ∈ Kn+1 \Kn então, gK ∩Kn−1 = ∅ pois se existisse z ∈ gK ∩Kn−1 então z = gk = k1 · · · kn−1, com k, ki ∈ K. Mas, isso implica que g =k1 · · · kn−1k

−1 ∈ Kn. Por outro lado, gK ⊂ V n+2 pois g ∈ V n+1. Escolhendoentão uma sequência gn ∈ K10n+1 \K10n, n ≥ 1, se obtém gnK ∩ gmK = ∅se n 6= m. Como µ (gnK) = µ (K) > 0, a σ-aditividade garante que

µ

(⋃n≥1

gnK

)=∑n≥1

µ (K) =∞

concluíndo a demonstração de que µ (G) =∞. 2

Outra propriedade que é satisfeita pelos grupos compactos em geral é abi-invariância das medidas de Haar.

Proposição 3.23 SejaK um grupo compacto de Hausdorff. Então, a funçãomodular ∆ ≡ 1 e portanto K é unimodular.

Demonstração: A função modular ∆ : G → R+ é um homomorfismocontínuo. Portanto, sua imagem ∆ (K) é um subgrupo compacto do grupomultiplicativo R+. Como o único subgrupo compacto de R+ é {1}, se concluique ∆ (K) = {1} e portanto ∆ é constante = 1. 2

Antes de prosseguir deve-se observar que uma função contínua f : K → Rdefinida num grupo compacto HausdorffK é integrável em relação à medida


de Haar. Isso porque f é limitada e, portanto as integrais de sua parte posi-tiva f+ (x) = max{f (x) , 0} e de sua parte negativa f− (x) = −min{f (x) , 0}são finitas. Daí que∫

f (x)µ (dx) =

∫f+ (x)µ (dx)−

∫f− (x)µ (dx)

é bem definida.Em muitas situações a integração em relação à medida de Haar num

grupo compacto é utilizada para obter objetos invariantes pela ação do grupo.Por exemplo, suponha que K ⊂ Gl (V ) é um subgrupo compacto de trans-formações lineares do espaço vetorial de dimensão finita V (em relação àtopologia induzida por Gl (V )). Tome v0 ∈ V . Então, a aplicação f : K → Vdefinida por f (k) = k · v0 é contínua e portanto integrável. Isso significa que

vinv =

∫K

f (k)µ (dk) =

∫K

(k · v0)µ (dk)

é um vetor bem definido em V . Esse vetor é fixado por todo g ∈ K. De fato,

g · vinv =

∫K

(k · (gv0))µ (dk) =

∫K

(kg · v0)µ (dk)

=

∫K

(k · v0)((Dg)∗ µ

)(dk)

= vinv

pois (Dg)∗ µ = µ.Uma aplicação típica dessa integração é dada pela proposição a seguir.

Proposição 3.24 Sejam K um grupo compacto Hausdorff e ρ : K → Gl (V )uma representação contínua de K no espaço vetorial real V de dimensãofinita. Então, existe um produto interno (·, ·) em V , que é K-invariante, istoé, ρ (k) é isometria para todo k ∈ K.

Demonstração: Seja µ a medida de Haar de K normalizada por µ (K) =1. Tome um produto interno qualquer B (·, ·) em V e defina a aplicação(·, ·) : V × V → R por

(u, v) =

∫K

B (ρ (k)u, ρ (k) v)µ (dk) . (3.2)

3.5. APLICAÇÕES A GRUPOS COMPACTOS 81

Essa integral é bem definida pelo fato de µ ser uma medida finita e a funçãok ∈ K 7→ B (ρ (k)u, ρ (k) v) ∈ R (com u e v fixados) ser contínua e, portanto,integrável. Como B é bilinear e simétrica o mesmo vale para (·, ·). Se u = ventão o integrando de (13.2) B (ρ (k)u, ρ (k)u) > 0 para todo k ∈ K. Issoimplica que (u, u) ≥ 0 e se u 6= 0 então (u, u) > 0 pois B (ρ (k)u, ρ (k)u) écontínua como função de k. Portanto, (·, ·) é de fato um produto interno emV . Para ver que ele é K-invariante, tome g ∈ K. Como ρ (kg) = ρ (k) ρ (g),segue que

(gu, gv) =

∫K

B (ρ (kg)u, ρ (kg) v)µ (dk)

=

∫K

B (ρ (k)u, ρ (k) v)((Dg)∗ µ

)(dk) .

Mas, como µ é invariante por translações à direita, a última integral se reduzao segundo membro de (13.2), o que mostra que (ρ (g)u, ρ (g) v) = (u, v),concluíndo a demonstração. 2

Em outras palavras a proposição acima assegura que qualquer represen-tação de dimensão finita de um grupo de Lie compacto assume valores nogrupo O (n), das isometrias de um produto interno (esses grupos de isome-trias são conjugados entre si).

Proposição 3.25 Sejam K um grupo compacto Hausdorff e ρ : K → Gl (V )uma representação contínua de K no espaço vetorial real V . Então, V sedecompõe numa soma direta

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn

onde cada subespaço Vi é invariante por K (isto é, ρ (k)W ⊂ W se k ∈ K)e irredutível (isto é, não admite subespaços invariantes além dos triviais {0}e Vi).

Demonstração: Tome um produto interno (·, ·) em V que é K-invariante.Se V é irredutível não há nada a demonstrar (a decomposição contém umúnico termo). Caso contrário, seja {0} 6= W ⊂ V um subespaço invariantepor K. Então, W⊥ também é invariante pois se u ∈ W , v ∈ W⊥ e k ∈ Kentão

(ρ (k) v, u) =(v, ρ

(k−1)u)

= 0


já que ρ (k−1)u ∈ W .Se W e W⊥ são irredutíveis então a decomposição desejada é V = W ⊕

W⊥. Caso contrário, da mesma forma que V , W (ou W⊥) se escreve comosoma direta de subespaços invariantes e ortogonais entre si. Decompondodessa forma, sucessivamente, os subespaços invariantes se chega à decom-posição de V em invariantes irredutíveis, já que em cada passo as dimensõesdos subespaços diminuem. 2

3.6 Exercícios

1. Sejam G e H grupos localmente compactos com medidas de Haar µG eµH , respectivamente. Mostre que µG × µH é uma medida de Haar emG×H. Generalize para um produto finito de grupos topológicos.

2. Seja G um grupo localmente compacto e de Hausdorff com medida deHaar invariante à esquerda µ. Dado um subgrupo compacto K ⊂ Gdenote por π : G → G/K a projeção canônica e defina π∗µ (A) =µ (π−1 (A)) para um conjunto Boreliano A ⊂ G/K (considerado coma topologia quociente). Mostre que π∗µ é uma medida bem definidasobre os Borelianos de G/K invariante pela ação de G. Em particular,se K é normal então π∗µ é uma medida de Haar em G/K.

3. Sejam K um grupo compacto Hausdorff com medida de Haar µ e ρ :K → Gl (V ) uma representação contínua de K no espaço vetorial dedimensão finita V . Tome v ∈ V e seja w ∈ V dado por

w =

∫K

(ρ (k) v)µ (dk) .

Mostre que w é um ponto fixo de K, isto é ρ (k)w = w para todok ∈ K.Use essa informação para mostrar que se a representação é irredutível(isto é, os únicos subespaços invariantes são {0} e V ) então para todov ∈ V , ∫

K

(ρ (k) v)µ (dk) = 0.

4. convolução

Parte II

Grupos e álgebras de Lie

83

Capítulo 4

Grupos de Lie e suas álgebrasde Lie

O objetivo deste capítulo é introduzir os conceitos de grupos de Lie e suasálgebras de Lie. A álgebra de Lie g de um grupo de Lie G é definida como oespaço dos campos invariantes (à esquerda ou à direita, conforme a escolha),com o colchete dado pelo colchete de Lie de campos de vetores. Os fluxosdos campos invariantes estabelecem a aplicação exponencial exp : g → G,que é o principal elo de ligação entre g e G. Essas construções utilizamexaustivamente resultados sobre campos de vetores em variedades e seuscolchete de Lie. Um apanhado desses resultados pode ser encontrado noapêndice A.

Outro instrumento de ligação entre os grupos de Lie e suas álgebras de Liesão as representações adjuntas. As fórmulas envolvendo essas representaçõessão desenvolvidas neste capítulo. Essas fórmulas são utilizadas ao longo detoda a teoria.

Além dos campos invariantes são discutidas também as equações diferen-ciais ordinárias invariantes dependentes do tempo, em grupos de Lie.

Ao final do capítulo é feita a construção da medida de Haar a partir deformas-volume.

85

86 CAPÍTULO 4. GRUPOS DE LIE E SUAS ÁLGEBRAS DE LIE

4.1 Definição

Um grupo de Lie é um grupo cujo conjunto subjacente tem uma estruturade variedade diferenciável, de tal forma que a aplicação produto

p : (g, h) ∈ G×G 7−→ gh ∈ G

é diferenciável.Tanto a estrutura de variedade diferenciável de G, quanto a diferencia-

blidade de p, pressupoem um grau de diferenciabilidade Ck, 1 ≤ k ≤ ω.Para desenvolver boa parte da teoria é necessário tomar apenas derivadas deprimeira ordem em G e no fibrado tangente TG, e assim supor que G e psão de classe C2. No entanto, não existe perda de generalidade em assumirque G e p são analíticas (Cω), pois é possível provar que se p é de classe C2

então p é analítica em relação à estrutura de variedade analítica contida naestrutura Ck, 1 ≤ k ≤ ∞ (veja o capítulo 7).1

De qualquer maneira se assume que G é de classe C∞ assim como oproduto p.Dado g ∈ G, as translações à esquerda e à direita Eg : G → G e Dg :

G → G, são definidas respectivamente por Eg (h) = gh e Dg (h) = hg.Essas aplicações são diferenciáveis pois Eg = p ◦ sg,1 e Dg = p ◦ sg,2 ondesg,1 (h) = (g, h) e sg,2 (h) = (h, g) são aplicações diferenciáveis G → G × G.Na verdade, ambas as translações, à esquerda e à direita, são difeomorfismos,já que Eg ◦ Eg−1 = Dg ◦ Dg−1 = id. Da mesma forma, os automorfismosinternos Cg = Eg ◦Dg−1 , g ∈ G, são difeomorfismos.Ao contrário dos grupos topológicos a definição de grupo de Lie não exige

a priori que a inversa ι (g) = g−1 seja diferenciável ou sequer contínua. Arazão para isso é que a diferenciabilidade de p implica a de ι através doteorema da função implícita, como será demonstrado na proposição abaixo.A seguir a diferencial de uma aplicação f no ponto x será denotada por

d (f)x. Outras notações são definidas no apêndice A.

Proposição 4.1 Num grupo de Lie G a aplicação ι : g ∈ G 7→ g−1 ∈ G é

1O quinto problema de Hilbert (dos 24 formulados em 1900) pergunta quais grupostopológicos são diferenciáveis. Como consequência desse problema foi demonstrado que umgrupo topológico é de Lie se for uma uma variedade topológica (localmente Euclidiano).Mais geralmente, um grupo localmente compacto é de Lie se não admite “subgrupospequenos” (alguma vizinhança do elemento neutro só contém o subgrupo trivial). VejaMontgomery-Zippin [44] e Yang [67].

4.1. DEFINIÇÃO 87

um difeomorfismo. A diferencial de ι é dada por

dιg = − (dEg−1)1◦ (dDg−1)g .

Em particular, (dι)1 = −id.

Demonstração: Dado (g, h) ∈ G × G, a diferencial parcial do produto pem relação à segunda variável é

∂2p (g, h) = d (Eg)h .

Como Eg é difeomorfismo, segue que d (Eg)h é bijetora e, em particular,sobrejetora. O teorema da função implícita, garante então que para c ∈ Gfixo a equação p (g, h) = c tem uma solução diferenciável local h = φc (g)escrevendo h como função de g, isto é, p (g, φc (g)) = c. Quando c = 1,φ1 = ι, mostrando que ι é diferenciável. Daí segue que ι é difeomorfismo,pois sua inversa ι−1 coincide com ι, isto é, ι ◦ ι = id.Ainda pelo teorema da função implícita, a diferencial dιg é dada por

dιg = − (∂2p)−1(g,g−1) ◦ (∂1p)(g,g−1)

onde (∂jp)(x,y) denota a diferencial de p em relação à variável j = 1, 2, noponto (x, y). Essas diferenciais parciais são dadas por (∂2p)(x,y) = d (Ex)ye (∂1p)(x,y) = d (Dy)x. Portanto, (∂1p)(g,g−1) = d (Dg−1)g e (∂2p)

−1(g,g−1) =(

d (Eg)g−1)−1

= d (Eg−1)1, de onde segue a fórmula do enunciado.

Por fim, no caso em que g = 1, D1 (g) = g é a aplicação identidade, por-tanto, (dD1)1 é a aplicação identidade do espaço tangente T1G. Da mesmaforma, (dE1)1 = id e daí que dι1 : T1G→ T1G é −id. 2

A proposição acima mostra que todo grupo de Lie é um grupo topológico,conforme definido no capítulo 2.Muitas vezes é conveniente usar a seguinte notação simplificada para as

diferenciais das translações em um grupo de Lie G. Seja t 7→ gt uma curvadiferenciável em G e tome h ∈ G. Usando as seguintes notações

hg′t = d (Eh)gt (g′t) g′th = d (Dh)gt (g′t) ,

os cálculos de derivadas em G podem ser feitos como se fossem em um grupode matrizes. Por exemplo, (g2

t )′= g′tgt + gtg

′t ou ainda de gtg

−1t = 1 obtém-se(

gtg−1t

)′= g′tg

−1t + gt

(g−1t

)′= 0. Portanto,(g−1t

)′= −g−1

t g′g−1t ,


que é a fórmula para dιg da proposição acima.Sejam G e H grupos de Lie. Então, o produto cartesiano G×H admite a

estrutura de variedade produto e a estrutura de grupo produto (g1, h1) (g2, h2) =(g1g2, h1h2), tornando G × H um grupo de Lie. De fato, a diferenciabili-dade do produto é consequência de que cada coordenada é diferenciável. Demaneira mais geral, se Gi, i = 1, . . . , k, é um número finito de grupos de Lieentão o produto direto G1 × · · · × Gk é um grupo de Lie com as estruturasproduto, de grupo e de variedade diferenciável.Posteriormente serão feitas outras construções com grupos de Lie, tais

como o quociente de um grupo por um subgrupo e o produto semi-direto.

Exemplos:

1. Seja G um grupo qualquer munido da topologia discreta. Com estatopologia G tem uma estrutura de variedade diferenciável de dimensão0 em que o produto é diferenciável. Portanto, todo grupo G pode servisto como um grupo de Lie. Um grupo de Lie desses é denominadode grupo de Lie discreto (Este exemplo é puramente formal, já quea estrutura diferenciável discreta não acrescenta informação alguma àestrutura algébrica do grupo G.)

2. Se G é um grupo de Lie então suas componentes conexas são sub-variedades abertas. Em particular a componente conexa do elementoneutro G0 é um subgrupo normal aberto e fechado. A restrição a G0

do produto em G é diferenciável (pois G0 é aberto), o que torna G0 umgrupo de Lie.

3. Qualquer espaço vetorial de dimensão finita V sobre R é um grupo deLie abeliano, com a operação + em V .

4. Seja Gl (n,R) o grupo das transformações lineares inversíveis de Rn, ouo que é a mesma coisa, o grupo das matrizes n × n inversíveis. Essegrupo é um subconjunto aberto do espaço vetorialMn (R) das matrizesn× n, e portanto, é uma variedade diferenciável. O produto no grupoGl(n,R) é proveniente do produto usual de matrizes. Se X = (xij) eY ∈ (yij) são matrizes n× n, então Z = XY = (zij) é dado por

zij =

n∑k=1

xikykj,

4.1. DEFINIÇÃO 89

que é um polinômio de grau dois nas variáveis xij, yij e, portanto, éuma aplicação diferenciável. Por esta razão Gl (n,R) é um grupo deLie. Se V é um espaço vetorial real de dimensão finita, denote porGl (V ) o grupos das transformações lineares inversíveis de V . Tomandouma base de V define-se um isomorfismo entre Gl (V ) e Gl (n,R) porh ∈ Gl (V ) 7→ [h] ∈ Gl (n,R) onde [h] denota a matriz de h em relaçãoà base fixada. Esse grupo serve de exemplo guia no estudo dos gruposde Lie.

5. Seja A uma álgebra associativa sobre R, isto é, A é um espaço vetorialreal munido de um produto · : A×A → A, que é bilinear (distributivo)e associativo. Suponha que dimA < ∞ e que A tem um elementoneutro multiplicativo 1. Um elemento x ∈ A admite inversa (bilateral)se existe y ∈ A tal que xy = yx = 1. Nesse caso y = x−1. O conjuntoG (A) dos elementos inversíveis de A

G (A) = {x ∈ A : ∃x−1}

é um grupo com o produto de A. Por outro lado, G (A) é um conjuntoaberto (não vazio) de A (com a topologia de espaço vetorial real).De fato, considere a aplicação E : A → L (A) que a x ∈ A associaa translação à esquerda Ex : A → A, Ex (y) = x · y, que é umatransformação linear de A. A aplicação E é um homomorfismo deálgebras associativas: é linear e Exy = Ex ◦ Ey. O que implica, emparticular, que Ex−1 = (Ex)

−1, quando x ∈ G (A). Além do mais, aexistência de elemento neutro muliplicativo garante que E é injetora,pois Ex = 0 implica que 0 = Ex (1) = x · 1 = x. Portanto, a funçãodetEx é um polinômio não nulo em A. Como detEx 6= 0 se, e só se,x ∈ G (A), segue que G (A) é um aberto não vazio (e além do maisdenso). Portanto, G (A) é um grupo de Lie, pois o produto, sendo umaaplicação bilinear de um espaço de dimensão finita, é diferenciável.

É claro queGl (n,R) é o caso particular em queA é a álgebra associativadas matrizes n× n.

6. Um caso particular do exemplo anterior é a álgebraH dos quatérnions,com coeficientes reais, que tem dimensão quatro e é gerada por {1, i, j, k},onde 1 é o elemento neutro da multiplicação e os demais produtos dosgeradores são:

ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j, i2 = j2 = k2 = −1.


Essa álgebra é associativa e todo elemento não nulo em H admite umainversa. De fato, o conjugado de q = a + bi + cj + dk é definido porq = a− bi− cj − dk e vale a igualdade

qq = |q|2 = a2 + b2 + c2 + d2

e, portanto, q (q/|q|2) = 1, mostrando que se q 6= 0 então sua inversa édada por q−1 = q/|q|2. Portanto, H∗ = H \ {0} é um grupo de Lie, jáque o produto é uma aplicação polinomial.

7. Seja G o grupo das matrizes n×n triangulares superiores com entradasdiagonais iguais a 1:

G =

1 · · · ∗.... . .

...0 · · · 1

.

Como conjunto G está em bijeção com o espaço vetorial Rn(n−1)

2 . Por-tanto, G tem uma estrutura de variedade diferenciável. Em relação aesta estrutura, o produto em G (produto de matrizes) é diferenciável,tornando G um grupo de Lie.

2

Adiante serão demonstrados diversos resultados que garantem que certossubgrupos de grupos de Lie são também grupos de Lie. A partir dessesresultados será fácil produzir uma ampla gama de exemplos de grupos deLie.Os fibrados tangente TG e cotangente T ∗G de um grupo de Lie G são

facilmente descritos pelas translações (à esquerda ou à direita) emG. De fato,dado g ∈ G a diferencial da translação à esquerda d (Eg)1 é um isomorfismoentre T1G e TgG, pois Eg é um difeomorfismo. Por isso a aplicação

(g, v) ∈ G× T1G 7−→ d (Eg)1 (v) ∈ TG

é uma bijeção. Essa aplicação pode ser reescrita como ∂2p (g, 1) (v) de ondese vê que ela é diferenciável pois p é de classe C∞. Sua inversa é dada porv ∈ TG 7→

(π (v) , dEπ(v)−1v

)∈ G × T1G onde π : TG → G é a projeção

4.2. ÁLGEBRA DE LIE DE UM GRUPO DE LIE 91

canônica. Essa inversa também é diferenciável, o que mostra que TG édifeomorfo a G× T1G.Da mesma maneira,

(g, v) ∈ G× T1G 7−→ d (Dg)1 (v) ∈ TG

define um difeomorfismo entre G×T1G e TG, identificando TG com G×T1Gatravés de translações à direita.Uma identifiação semelhante ocorre com o fibrado cotangente T ∗G. Dado

g ∈ G as transpostas d (Eg−1)∗1

: T ∗1G → T ∗gG e d (Dg−1)∗g

: T ∗1G → T ∗gG sãoisomorfismos, e definem os difeomorfismos

• (g, α) ∈ G× T ∗1G 7−→ d (Eg−1)∗1

(α) ∈ T ∗G e

• (g, α) ∈ G× T ∗1G 7−→ d (Dg−1)∗1

(α) ∈ T ∗G.

Em outras palavras, os fibrados tangente e cotangente de grupos deLie são triviais. Essa trivialidade permite definir as chamadas formas deMaurer-Cartan, que são 1-formas diferenciais em G a valores em T1G. Elassão definidas por translação à direita ou à esquerda por

ωdg (v) = d (Dg−1)g (v) e ωeg (v) = d (Eg−1)g (v)

para g ∈ G e v ∈ TgG.Uma variedade diferenciável M cujo fibrado tangente TM é trivial é

chamada de paralelizável. As variedades diferenciáveis subjacentes a gru-pos de Lie são paralelizáveis, o que mostra que nem toda variedade admiteuma estrutura de grupos de Lie. Por exemplo a esfera S2 não é uma variedadeparalelizável, portanto não existe nenhum produto em S2 que é diferenciávele satisfaz os axiomas de grupo. Com o desenvolvimento da teoria serão vistasoutras condições necessárias, de caráter topológico, para que uma variedadediferenciável admita uma estrutura de grupo de Lie. Uma delas é que o grupofundamental π1 (G) deve ser abeliano (veja o capítulo 6).

4.2 Álgebra de Lie de um grupo de Lie

O primeiro passo no estudo dos grupos de Lie consiste na construção dasálgebras de Lie associadas. Uma álgebra de Lie consiste de um espaço ve-torial g munido de um produto (colchete) [·, ·] : g × g → g que satisfaz aspropriedades:


1. O colchete [·, ·] é bilinear, isto é, linear em cada uma das variáveis.

2. Anti-simetria, isto é, [A,B] = −[B,A], para A,B ∈ g.

3. Identidade de Jacobi: para A,B,C ∈ g,

[A, [B,C]] = [[A,B], C] + [B, [A,C]].

Um subespaço h ⊂ g de uma álgebra de Lie g é uma subálgebra de Liese for fechado pelo colchete. Nesse caso h é também uma álgebra de Lie.Um exemplo de álgebra de Lie é dado pelo espaço vetorial dos campos

de vetores sobre uma variedade diferenciável (C∞) munido do colchete de Liede campos de vetores. Outro exemplo é a álgebra gl (n,R) formada pelasmatrizes reais n× n com o colchete dado pelo comutador de matrizes

[A,B] = AB −BA.

A seguir será definida a álgebra de Lie de um grupo de Lie G como umasubálgebra da álgebra de Lie dos campos de vetores sobre G, formada porcampos invariantes em G.

4.2.1 Campos invariantes

Definição 4.2 Seja G um grupo de Lie. Um campo de vetores X em G édito

• invariante à direita se para todo g ∈ G, (Dg)∗X = X. Em detalhes:d (Dg)h (X (h)) = X (hg) para todo g, h ∈ G.

• O campo de vetores X é invariante à esquerda se para todo g ∈ G,(Eg)∗X = X, isto é, d (Eg)h (X (h)) = X (hg).

Os campos invariantes à direita ou à esquerda são completamente de-terminados por seus valores no elemento neutro 1 ∈ G, pois para todog ∈ G a condição de invariância à direita, por exemplo, implica que X (g) =d (Dg)1 (X (1)). Portanto, cada elemento do espaço tangente T1G determinaum único campo invariante à direita e um único campo invariante à esquerda.Dado A ∈ T1G a notação Ad indica o campo invariante à direita tal que

Ad (1) = A. Já Ae denota o campo invariante à esquerda correspondente.Explicitamente,

Ad (g) = d (Dg)1 (A) Ae (g) = d (Eg)1 (A) .


Denote por Invd o conjunto dos campos invariantes à direita. Este con-junto é um subespaço vetorial (sobre R) do espaço de todos os campos devetores emG, já que (Dg)∗ é uma aplicação linear sobre os campos de vetores.Analogamente, o conjunto Inve dos campos invariantes à esquerda também éum subespaço vetorial (em geral, diferente do subespaço dos campos invari-antes à direita). As aplicações A ∈ T1G 7→ Ad ∈ Invd e A ∈ T1G 7→ Ae ∈ Inve

são isomorfismos entre os espaços vetoriais correspondentes.

Exemplos:

1. Seja G = Gl (n,R) o grupo linear geral, que é um conjunto aberto doespaço vetorial das matrizes Mn (R). Fixando g ∈ G, as translações àesquerda e à direita Eg (h) = gh e Dg (h) = hg são restrições a Gl (n,R)de transformações lineares de Mn (R) = Rn2 . O fibrado tangente a Gse identifica com G×Mn (R). Daí que um campo de vetores X em Gé nada mais nada menos que uma aplicação X : G → Mn (R). Alémdo mais, por essa identificação, as transformações lineares Eg e Dg

satisfazem d (Eg)h = Eg e d (Dg)h = Dg para quaisquer g, h ∈ G.A partir dessas observações é possível descrever os campos invariantesem Gl (n,R). Suponha que X : G → Mn (R) é invariante à direita.Então, para todo g ∈ G,

X (g) = d (Dg)1 (X (1)) = Dg (X (1)) = X (1) g.

Portanto, os campos invariantes à direita são da forma X (g) = Agcom A uma matriz em T1G. A equação diferencial definida por X é osistema linear

dg

dt= Ag

no espaço das matrizes. O fluxo de X é dado por Xt (g) = etAg, ondeeA =

∑k≥0

1k!Ak é a exponencial de matrizes.

De forma análoga, os campos invariantes à esquerda são da forma

X (g) = gA que estão associados aos sistemas linearesdg

dt= gA. Os

seus fluxos têm a forma Xt (g) = getA.

Em Gl (n,R) existem campos invariantes à esquerda que não são invari-antes à direita e vice-versa. De fato, suponha que o campo X (g) = Agcoincide com o campo Y (g) = gB, isto é, Ag = gB para todo g ∈ G.


Em particular, para g = 1, deve-se ter A = B. Daí que Ag = gAe, portanto, A comuta com todas as matrizes em Gl (n,R). Mas, issoocorre se, e somente se, A = a ·1, a ∈ R, isto é, A é uma matriz escalar.Portanto, o campo invariante à direita X (g) = Ag não é invariante àesquerda se A não é uma matriz escalar.

2. O grupo G (A) dos elementos inversíveis de uma álgebra associativa Aé um grupo de Lie (veja o exemplo 5 na seção anterior). Da mesmaforma que no caso Gl (n,R) as translações à esquerda e à direita sãolineares e dessa forma os campos invariantes também são lineares eseus fluxos são determinados pela exponencial eA =

∑k≥0

1k!Ak, em

que as potências são dadas pelo produto em A. Isso porque a sérieetA =

∑k≥0

1k!tkAk é uma série de potências em t ∈ R com raio de

convergência ∞, cuja derivada é dada pela soma das derivadas.

3. Como caso particular do item anterior, as translações à direita noquatérnions H∗ = H \ {0} são restrições de transformações lineares,por isso, os campos invariantes à direita são da forma Xq (x) = qx comq ∈ H e a exponencial é dada por eq =

∑k≥0

1k!qk.

4. SejaG = (Rn,+). Fixando v ∈ Rn, as translações à esquerda e à direitacoincidem e são dadas por

Ev (x) = Dv (x) = x+ v.

Portanto, d (Ev)y = d (Dv)y = id para todo y ∈ Rn. Isso significa queos campos invariantes são constantes, isto é, X (x) = v, com v ∈ Rnfixado. A equação diferencial correspondente é x = v cujo fluxo é atranslação Xt (x) = x+ tv.

2

A álgebra de Lie de um grupo de Lie é definida em qualquer um dosespaços de campos invariantes Invd ou Inve munido com o colchete de Lie.O lema a seguir coloca isso em termos precisos.

Lema 4.3 Sejam X e Y campos invariantes à direita num grupo de Lie G.Então, o colchete de Lie [X, Y ] é invariante à direita. A mesma afirmaçãovale para campos invariantes à esquerda.


Demonstração: É consequência da seguinte fórmula geral: sejam M umavariedade, X, Y campos de vetores em M e φ um difeomorfismo de M . En-tão φ∗[X, Y ] = [φ∗X,φ∗Y ] (veja seção A.1, no apêndice A). Aplicando estafórmula a φ = Dg (ou Eg) e X, Y , campos invariantes, chega-se à invariânciado colchete. 2

Dito de outra maneira, os espaços Invd e Inve são subálgebras de Lie daálgebra de Lie de todos os campos de vetores em G. Em particular, ambosos espaços vetoriais admitem estruturas de álgebra de Lie. A álgebra de Liedo grupo G é qualquer uma das álgebras de Lie Invd ou Inve.Os argumentos a seguir mostram que essas álgebras de Lie são, em es-

sência, as mesmas, isto é, são isomorfas, não existindo, portanto, nenhumaambiguidade na terminologia.O espaço tangente T1G é isomorfo tanto a Invd quanto a Inve. Através dos

isomorfismos o colchete de Lie restrito aos subespaços de campos invariantesinduz colchetes [·, ·]d e [·, ·]e em T1G. Esses colchetes são dados, para A,B ∈T1G, por

• [A,B]d = [Ad, Bd] (1) e

• [A,B]e = [Ae, Be] (1).

O seguinte lema permite relacioná-los.

Lema 4.4 Sejam A ∈ T1G e ι (g) = g−1 a inversa em G. Então,

(ι)∗(Ad)

= (−A)e e (ι)∗ (Ae) = (−A)d .

Em detalhes: (dι)g−1(Ad (g−1)

)= −Ae (g) e (dι)g−1 (Ae (g−1)) = −Ad (g).

Demonstração: Escreva Y = (ι)∗(Ad). Então,

(Eg)∗ (Y ) = (Eg)∗ (ι)∗(Ad).

Usando a regra da cadeia e a igualdade Eg◦ι = ι◦Dg−1 , segue que (Eg)∗ (Y ) =(ι ◦Dg−1)∗

(Ad). Este segundo membro é igual a (ι)∗

(Ad)

= Y , pela regrada cadeia e pelo fato que Ad é invariante à direita. Portanto, (Eg)∗ (Y ) = Ye daí que Y é invariante à esquerda. Agora, Y (1) = (dι)1

(Ad (1)

). Mas

Ad (1) = A e (dι)1 = −id, daí que Y (1) = −A, mostrando que Y = (−A)e.A outra igualdade é provada da mesma maneira, ou então aplicando ι∗ naigualdade já demonstrada. 2


Proposição 4.5 Sejam A,B ∈ T1G. Então, [A,B]d = −[A,B]e.

Demonstração: Por definição [A,B]d = [Ad, Bd] (1). Aplicando dι1 = −ida essa igualdade obtém-se

−[A,B]d = (dι)1 [A,B]d = (dι)1

([Ad, Bd] (1)

).

Mas, pelo lema anterior (e pela propriedade de homomorfismo de ι∗), ι∗[Ad, Bd] =[ι∗A

d, ι∗Bd] = [Ae, Be]. Daí que

−[A,B]d = [Ae, Be] (1) = [A,B]e,


Alterando um pouco o ponto de vista, esta proposição, mostra que asestruturas de álgebra de Lie em T1G induzidas por Invd e Inve são isomorfas,no sentido em que existe uma aplicação linear inversível L : T1G → T1Gtal que L[A,B]d = [LA,LB]e. De fato, tome L = −id. Então, L[A,B]d =−[A,B]d enquanto que [LA,LB]e = [A,B]e, portanto −id é um isomorfismo.Visto ainda de outra maneira, a proposição anterior mostra que a aplicaçãoι∗ define um isomorfismo entre Invd e Inve munidos do colchete de Lie decampos de vetores.

Definição 4.6 A álgebra de Lie de G, denotada por g ou L (G), é qual-quer uma das álgebras de Lie isomorfas Invd, Inve, (T1G, [·, ·]d) ou ainda(T1G, [·, ·]e).

Para o desenvolvimento da teoria pode-se escolher qualquer uma dessasálgebras de Lie para representar g. A diferença principal está, é claro, naescolha entre invariância à direita e à esquerda. Dependendo da realizaçãoque for tomada, algumas fórmulas são alteradas, mudando a ordem em queaparecem os elementos que a constituem. No entanto, escolhendo de antemãoo tipo de campo invariante, todas as fórmulas são desenvolvidas de forma co-erente. Um critério para a escolha entre os campos invariantes à esquerda ouà direita surge no momento de estudar ações de grupos. Se forem considera-das ações à esquerda (o que ocorre quando se escreve o valor de uma funçãof como f (x)) então os campos que interessam são os invariantes à direita.Já em ações à direita (quando se escreve uma função f como (x) f), o queconta são os campos invariantes esquerda.

Exemplos:


1. Conforme foi calculado nos exemplos da seção anterior, os campos in-variantes à direita em Gl (n,R) são da forma XA (g) = Ag, com A umamatriz n × n, enquanto que os invariantes à esquerda são da formaYA (g) = gA.

Em coordenadas locais o colchete de Lie de dois campos é dado por

[X, Y ] = dY (X)− dX (Y ) .

Para uma matriz A o campo XA se estende uma aplicação linear noespaço das matrizes. Portanto, dXA = XA. Assim, aplicando essafórmula do colchete a XA e XB, obtém-se

[XA, XB] (g) = B (Ag)− A (Bg) ,

isto é, [XA, XB] = XBA−AB. Por outro lado, o colchete de Lie decampos invariantes à esquerda é dado por [YA, YB] = XAB−BA. Dessaforma, as álgebras de Lie Invd e Inve se identificam com o espaço dasmatrizes n × n. Em Invd o colchete é dado por [A,B] = BA − AB,enquanto que em Inve o colchete é dado por [A,B] = AB −BA.

2. Se A é uma álgebra associativa, então a álgebra de Lie do grupo deLie G (A) é dada por comutadores em A, da mesma forma que emGl (n,R).

3. Para o grupo dos quatérnions H∗ sua álgebra de Lie é o próprio H como colchete dado pelo comutador

[p, q] = qp− pq.

4. Os campos invariantes em (Rn,+) são os campos constantes. Como ocolchete de Lie de campos constantes se anula (como segue da fórmulado colchete em coordenadas, veja a proposição A.5), a álgebra de Liedo grupo abeliano (Rn,+) é abeliana, isto é, satisfaz [·, ·] ≡ 0.

5. Se G e H são grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamenteentão a álgebra de Lie de G×H é g× h, onde o colchete é dado por

[(X1, Y1) , (X2, Y2)] = ([X1, X2], [Y1, Y2]) .

De maneira, mais geral, a álgebra de Lie de um produto direto G1 ×· · · × Gk é o produto direto g1 × · · · × gk de suas álgebras de Lie, emque o colchete é dado coordenada a coordenada.


6. Se G é um grupo de Lie discreto, dimG = 0 e, portanto, g = {0}.

2

Outros exemplos de álgebras de Lie de grupos de Lie serão dados nopróximo capítulo, sobre subgrupos de Lie de grupos de Lie.

4.3 Aplicação exponencial

A aplicação exponencial exp : g → G é o objeto central usado para trans-portar ao grupo de Lie G propriedades de sua álgebra de Lie g. A idéia básicade sua construção é que, por definição, os elementos de g são equações difer-enciais ordinárias em G (campos invariantes), que possuem fluxos, os quaissão formados por difeomorfismos locais deG. Os elementos formadores dessesfluxos se identificam naturalmente a elementos de G, permitindo construir,a partir de X ∈ g, um subgrupo de G parametrizado por t ∈ R (subgrupo a1-parâmetro). A aplicação exponencial é construida a partir desses subgru-pos.Para colocar esses comentários de maneira precisa, seja X um campo

invariante (à esquerda ou à direita em G). Denote por Xt o seu fluxo. Emprincípio Xt é um fluxo local, isto é, para t fixado, o domínio domXt de Xt éo subconjunto aberto de G das condições iniciais cujas soluções se prolongamaté t.A invariância de X acarreta a seguinte simetria do fluxo Xt: suponha,

por exemplo, que X ∈ Invd, tome g, h ∈ G com h ∈ domXt e considere acurva α (t) = Xt (h) g. O seu domínio é um intervalo aberto de R, contendo0 com α (0) = hg pois X0 (h) = h. Além do mais, pela regra da cadeiaα′ (t) = d (Dg)Xt(h) (X (Xt (h))), e como X é invariante à direita segue que

α′ (t) = X (Xt (h) g) = X (α (t)) .

Portanto, α é solução de dg/dt = X (g) com condição inicial α (0) = hg, istoé, α (t) = Xt (hg). Isso significa que

Xt (hg) = Xt (h) g X ∈ Invd. (4.1)

Tomando em particular h = 1, fica Xt (g) = Xt (1) g. Isto é, a soluçãoque passa por g é obtida por translação à direita da solução que passa peloelemento neutro.

4.3. APLICAÇÃO EXPONENCIAL 99

De maneira análoga, se mostra que

gYt (h) = Yt (gh) Y ∈ Inve. (4.2)

(e Yt (g) = gYt (1)) se Y é campo invariante à esquerda.Como as trajetórias são obtidas umas das outras por translação, elas se

prolongam ao mesmo intervalo de R, isto é, as soluções maximais dos camposinvariantes têm todas os mesmos intervalos de definição. Isso permite mostrarque os campos invariantes são completos, isto é, suas trajetórias se prolongama (−∞,+∞).

Proposição 4.7 Um campo invariante (à esquerda ou à direita) é completo.

Demonstração: Tome um campo X invariante à direita, cujo fluxo édenotado por Xt. Seja (α, ω) com α < 0 e ω > 0 o intervalo comum dassoluções maximais maximais t 7→ Xt (g), g ∈ G. Suponha por absurdo queω <∞. Defina as curvas{

x (t) = Xt (1) t ∈ (α, ω)y (t) = Xt−ω/2

(Xω/2 (1)

)t ∈ (α + ω/2, 3ω/2) .

Ambas são soluções da equação diferencial g = X (g). Como x (ω/2) =y (ω/2) = Xω/2 (1) a unicidade de soluções garante que x (t) = y (t) no inter-valo (α + ω/2, ω), que é a interseção dos domínios de definição das curvas.Portanto, as duas curvas definem uma solução z (t) cujo domínio de definiçãoé a união (α, 3ω/2) dos intervalos de definição de x e y. Como z (0) = 1,isso contradiz o fato de que o intervalo da solução maximal é (α, ω). Daí queω =∞. Da mesma forma, α = −∞, concluíndo a demonstração. 2

Uma outra consequência das propriedades de invariância (4.1) e (4.2) sãoas seguintes igualdades:

• SeX ∈ Invd entãoXt+s (1) = Xt (Xs (1)) = Xt (1)Xs (1) = Xs (1)Xt (1).

• Se Y ∈ Inve então Yt+s (1) = Yt (Ys (1)) = Yt (1)Ys (1) = Ys (1)Yt (1).

Essas igualdades significam que se X ∈ Invd e Y ∈ Inve então suastrajetórias que passam pela origem

{Xt (1) : t ∈ R} e {Yt (1) : t ∈ R}

são subgrupos de G. Na verdade esses subgrupos coincidem caso X (1) =Y (1).


Proposição 4.8 SejamX e Y campos de vetores invariantes à direita e à es-querda, respectivemente„que coincidem no elemento neutro, isto é, X (1) =Y (1). Então suas trajetórias Xt (1) e Yt (1), que passam pelo elemento neutrocoincidem para todo t ∈ R.

Demonstração: Basta verificar que a curva α (t) = Xt (1) satisfaz aequação diferencial g = Y (g), o que segue do seguinte cálculo de derivada

α′ (t) =d

dtXt+s (1)|s=0 =

d

dtXt (1)Xs (1)|s=0

=(dEα(t)

)1

(X (1)) = Y (α (t)) .

2

Uma vez feita essa discussão dos campos invariantes pode-se definir aaplicação exponencial num grupo de Lie.

Definição 4.9 Seja X ∈ T1G. Então, expX =(Xd)t=1

(1) = (Xe)t=1 (1).Como é usual expX também se escreve como eX . Isso define uma aplicaçãoexp : g→ G onde g = T1G é a álgebra de Lie de G.

A aplicação exponencial é bem definida pois os campos invariantes sãocompletos, daí que a solução de g = X (g) que passa pelo elemento neutroquando t = 0 se estende a t = 1.Se Z é um campo de vetores e a ∈ R então as trajetórias de Z e aZ

coincidem e seus fluxos satisfazem (aZ)t = Zat. Aplicando essa observaçãoaos campos Xd e Xe se vê que suas trajetórias pelo elemento neutro sãodadas por (

Xd)t(1) = (Xe)t (1) = exp tX.

Pelas propriedades enunciadas acima dessas trajetórias segue que a aplicaçãoexponencial t 7→ exp (tX), X ∈ g, é um homomorfismo, isto é,

exp (t+ s)X = exp (tX) exp (sX) = exp (sX) exp (tX)

e sua imagem {exp (tX) : t ∈ R} é um subgrupo de G. Esse subgrupo édenominado de subgrupo a 1-parâmetro gerado por X ∈ g.A seguinte proposição reúne propriedades da aplicação exponencial e dos

fluxos dos campos invariantes, que foram discutidas acima.


Proposição 4.10 Valem as seguintes afirmações:

1. Se X é campo invariante à direita então Xt = Eexp(tX), isto é, Xt (g) =exp (tX) g.2

2. Se X é campo invariante à esquerda então Xt = Dexp(tX), isto é,Xt (g) = g exp (tX).

3. exp 0 = 1.

4. Se n ∈ Z então (expX)n = exp (nX) para todo n ∈ Z. Em particular,(expX)−1 = exp (−X).

Exemplos:

1. Como foi visto os campos invariantes à direita emGl (n,R) são da formaX (g) = Ag, com A matriz n× n. A equação diferencial associada a Xé o sistema linear

dg

dt= Ag

no espaço das matrizes. Sua solução fundamental é dada pela expo-nencial de matrizes expA =

∑k≥0

1k!Ak, que coincide, portanto, com a

aplicação exponencial em Gl (n,R).

2. Se A é uma álgebra associativa, então aplicação exponencial do grupode Lie G (A) é dada por expA =

∑k≥0

1k!Ak,da mesma forma que em

Gl (n,R).

3. Em (Rn,+) os campos invariantes são constantes: X (x) = x + v. Ofluxo de um campo desses é dado pelas translações Xt (x) = x + tv.Tomando x = 0, vê-se que

exp (tv) = tv.

Em particular, exp (v) = v e exp = id.

2Nessa afirmação X denota ao mesmo tempo um campo invariante e um elementode T1G. Essa ambiguidade aparente vem do isomorfismo entre os espaços dos camposinvariantes e o espaço tangente T1G.


4. Se G e H são grupos de Lie com álgebras de Lie g e h respectivamenteentão exp (X, Y ) = (expX, expY ) se (X, Y ) ∈ g× h, a álgebra de Liede G×H. Isso se deve a que os campos invariantes à direita no produtodireto G × H são da forma (X, Y ) com X campo invariante à direitaem G e Y campo invariante à direita em H. Portanto, suas soluçõespodem ser encontradas coordenada a coordenada.

A mesma observação vale para um produto direto G1×· · ·×Gk onde aexponencial é dada pelo produto cartesiano das exponenciais em cadagrupo.

2

Além das propriedades algébricas da aplicação exponencial, enunciadasna proposição 4.10, sua diferenciabilidade também é relevante. A aplicaçãoexponencial foi definida através da solução da equação diferencial dg/dt =X (g), com X campo invariante. O conjunto das equações definidas (porexemplo) pelos campos invariantes à direita pode ser colocada numa únicaequação dependente do parâmetro A ∈ T1G, escrevendo

dg

dt= f (A, g) (4.3)

onde f : T1G×G→ TG é dada por f (A, g) = (dDg)1 (A). No caso em queG e p são de classe pelos menos C2, f é de classe ≥ C1. Portanto as soluçõesde (4.3) dependem diferenciavelmente do parâmetro A. Isso significa que aaplicação exponencial exp : g→ G é uma aplicação diferenciável.A diferencial de exp é amplamente utilizada no desenvolvimento da teoria.

Existe uma fórmula para essa diferencial em termos de uma série cujos termossucessivos são colchetes de elementos em g. Essa fórmula será demonstradano capítulo 7. Um de seus casos particulares é a expressão enunciada abaixopara a diferencial da exponencial na origem 0 ∈ g. Para ler a expressão a serescrita deve-se levar em conta que exp 0 = 1, assim, (d exp)0 é uma aplicaçãolinear g→ T1G = g.

Proposição 4.11 (d exp)0 = id.

Demonstração: Dado A ∈ g, (d exp)0 (A) =d

dtexp (0 + tA)|t=0 . Mas essa

derivada é exatamente A pois a curva exp (tA) é solução de dg/dt = Ad (g).Portanto, (d exp)0 (A) = A, concluindo a demonstração. 2


Corolário 4.12 Existem uma vizinhança U de 0 ∈ g e uma vizinhança Vde 1 em G tal que exp|U : U → V é um difeomorfismo.

Demonstração: Segue do teorema da função inversa e do fato que (d exp)0 =id é inversível. 2

Corolário 4.13 Seja G um grupo de Lie conexo e tome g ∈ G. Então,existem X1, . . . , Xs ∈ g tal que

g = exp (X1) · · · exp (Xs) .

Demonstração: Como G é conexo, a vizinhança V do corolário anteriorgera G, isto é,

G =⋃n≥1

V n.

Um elemento de V n é da forma g1 · · · gn com gi = expXi ∈ V . Portanto,um elemento de V n é um produto de exponenciais, o mesmo ocorrendo comg ∈ G arbitrário. 2

Pelo corolário anterior todo elemento de um grupo de Lie conexo G éum produto de exponenciais, que em geral envolve mais de um fator, poisnem todo elemento de G é da forma expX, isto é, nem sempre a aplicaçãoexponencial é sobrejetora. O exercício 14 ao final do capítulo mostra que issoocorre no grupo Gl (2,R).De acordo com o corolário 4.12 a aplicação exp−1 : V → U é um difeo-

morfismo entre um aberto de G e um aberto de um espaço vetorial. Portanto,exp−1 pode ser considerada uma carta, ou sistema de coordenadas local, deG. Essa carta é denominada de sistema de coordenadas de primeiraespécie.Um outro tipo de sistema de coordenadas nas vizinhanças do elemento

neutro, obtida por exponenciais, é dada pela seguinte aplicação: tome umabase {X1, . . . , XN} de g e considere a aplicação

ψ : (t1, . . . , tN) ∈ RN 7−→ et1X1 · · · etNXN ∈ G. (4.4)

Ela satisfaz ψ (0) = 1 e dψ0 = id, pois para cada elemento ei da base canônicade Rn, vale

dψ0 (ei) =∂ψ

∂ti(0) =

d

dtiψ (0, . . . , ti, . . . , 0)|ti=0 = Xi.


Portanto, dψ0 é isomorfismo o que acarreta que em alguma vizinhança de0 ∈ RN , ψ é um difeomorfismo. Uma aplicação dessas é chamada de sistemade coordenadas de segunda espécie.

4.4 Homomorfismos

Sejam G e H grupos de Lie. Um homomorfismo φ : G → H diferenciávelentre G e H é chamado de homomorfismo de grupos de Lie. A mesmaterminologia se aplica a isomorfismos e automorfismos de grupos de Lie.A condição de ser diferenciável faz parte da definição de homomorfismo

de grupos de Lie. Para verificar se um homomorfismo φ : G → H entregrupos de Lie é diferenciável basta verificar a diferenciabilidade em um únicoponto. De fato, valem as igualdades

φ ◦Dg = Dφ(g) ◦ φ φ ◦ Eg = Eφ(g) ◦ φ.

Da primeira delas se obtém φ = Dφ(g) ◦ φ ◦ Dg−1 . Aplicando a regra dacadeia se vê que se φ é diferenciável no elemento neutro 1 então φ também édiferenciável em g ∈ G.Levando em conta o principio de que os grupos de Lie devem ser estudados

através das álgebras de Lie, os homomorfismos entre grupos de Lie serãodescritos através de homomorfismos entre suas álgebras de Lie.Um homomorfismo entre as álgebras de Lie g e h é uma aplicação linear

θ : g→ h que satisfaz θ[X, Y ] = [θX, θY ] para todoX, Y ∈ g. A relação entreos homomorfismos de grupos e álgebras de Lie é fornecida pela diferencial noelemento neutro. Essa relação será provada a seguir usando algumas fórmulasenvolvendo homomorfismos de grupos e exponenciais.

Lema 4.14 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respec-tivamente. Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável e tome X ∈ g.Então, para todo g ∈ G, vale

dφg(Xd (g)

)= Y d (φ (g)) dφg (Xe (g)) = Y e (φ (g))

onde Y = dφ1 (X).

Demonstração: Como Xd é campo invariante à direita,

dφg(Xd (g)

)= dφg ◦ d (Dg)1 (X) = d (φ ◦Dg)1 (X) .


Mas, o último termo coincide com

d (φ ◦Dg)1 (X) = d(Dφ(g) ◦ φ

)1

(X) = d(Dφ(g)

)◦ dφ1 (X)

e daí que dφg(Xd (g)

)= d

(Dφ(g)

)◦ dφ1 (X) = Y d (φ (g)), que é a igualdade

do enunciado. A demmonstração para os campos invariantes à esquerda ésemelhante. 2

Dois campos de vetores X e Y são ditos φ-relacionados se dφx (X (x)) =Y (φ (x)). Nesse caso as trajetórias de Y são as imagens por φ das trajetóriasde X (veja o apêndice A). O lema anterior garante que os campos invari-antes à direita (ou à esquerda) definidos por X ∈ T1G e Y = dφ1 (X) sãoφ-relacionados. Como as trajetórias dos campos invariantes são dadas pelasrespectivas exponenciais, segue do lema acima a seguinte fórmula fundamen-tal para homomorfismos.

Proposição 4.15 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h,respectivamente. Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável e tomeX ∈ g. Então,

φ (exp (X)) = exp (dφ1 (X)) . (4.5)

Uma outra propriedade dos campos φ-relacionados é que seus colchetesde Lie também são φ-relacionados (veja a proposição A.2 no apêndice A).Segue então do lema 4.14 a propriedade de homomorfismos da diferencialdφ1.

Proposição 4.16 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h,respectivamente. Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável. Então,dφ1 : g→ h é homomorfismo, isto é,

dφ1[X, Y ] = [dφ1X, dφ1Y ] (4.6)

com o colchete invariante à direita ou à esquerda.

Demonstração: Se Z = dφ1 (X) eW = dφ1 (Y ) entãoXd e Zd assim comoY d e W d são φ-relacionados. Portanto, pela proposição A.2 do apêndice A,[X, Y ]d e [Z,W ]d são φ-relacionados. Daí que

[Z,W ]d = [Z,W ]d (1) = dφ1[X, Y ]d.


O mesmo vale para os campos invariantes à esquerda. 2

O homomorfismo dφ1 entre as álgebras de Lie é às vezes denominado dehomomorfismo infinitesimal associado a φ.A última proposição afirma que homomorfismos de grupos de Lie in-

duzem homomorfismos de álgebras de Lie. O procedimento inverso, isto é,a construção homomorfismos de grupos que “estendem”homomorfismos deálgebras de Lie, nem sempre é possível. Por exemplo, se G = S1 e H = Rentão dim g = dim h = 1 e, portanto, existem isomorfismos entre g e h. Mas,nenhum isomorfismo é da forma dφ1, pois o único homomorfismo G → H éconstante, já que S1 é compacto e {0} é o único subgrupo de R contido numcompacto (veja o exercício 20 do capítulo 2). O que está em jogo aqui sãopropriedades topológicas globais do dominio G (o seu grupo fundamental).Essa questão será amplamente discutida no capítulo 6 e é relevante paraestudar classes de isomorfismos de grupos de Lie a partir das álgebras de Lie.

Exemplo: O determinante det : Gl (n,R) → R \ {0} é um homomorfismosobre o grupo multiplicativo real. Esse homomorfismo é diferenciável. Paraobter d (det)1 tome uma matriz A e uma curva gt = (aij (t))ni,j=1 ∈ Gl (n,R)tal que g0 = 1 e a′ij (0) = A. A derivada do produto

det (gt) =∑σ

(−1)σ a1σ(1) (t) · · · anσ(n) (t)

em t = 0 vale trA. Portanto, d (det)1 (A) = trA. Como pode ser verificadodiretamente, a aplicação A ∈ gl (n,R) 7→ trA ∈ R é um homomorfismo deálgebras de Lie. 2

4.4.1 Representações

Um caso particular de homomorfismo entre grupos de Lie é quando o contra-domínio é um grupo linear Gl (V ). Nesse caso, o homomorfismo é chamadorepresentação deG no espaço vetorial V . O espaço V é chamado de espaçoda representação e dimV sua dimensão.Seja ρ é uma representação de dimensão finita (diferenciável) de G em

V . A álgebra de Lie do grupo Gl (V ) é denotada por gl (V ), ela coincidecom o espaço vetorial das transformações lineares V → V com o colchetedado pelo comutador. A diferencial de ρ na identidade dρ1 : g → gl (V )


é um homomorfismo de álgebras de Lie e como tal uma representação emV da álgebra de Lie g. Essa representação é denominada representaçãoinfinitesimal associada a ρ. É comum denotar a representação infinitesimalcom a mesma notação (isto é, ρ = dρ1). A fórmula que relaciona as duasrepresentações é dada pela proposição 4.15:

ρ (expX) = exp (dρ1 (X)) . (4.7)

A exponencial no segundo membro é a do grupo linear e, portanto, pode serescrita como a soma de uma série de potências.

Exemplos:

1. Seja G = Gl (n,R). Sua representação canônica em Rn é a aplicaçãoidentidade. A representação infinitesimal correspondente também é aidentidade, isto é, associa a um elemento de gl (n,R) a transformaçãolinear correspondente de Rn. Essa afirmação segue de

d

dt(exp (tX))|t=0 = X.

2. Novamente, seja G = Gl (n,R) e considere o produto tensorial

Tk =⊗k

Rn = Rn ⊗ · · · ⊗ Rn

e, para g ∈ G, defina a transformação linear ρk (g) : Tk → Tk, de talforma que nos produtos tensoriais v1 ⊗ · · · ⊗ vk, v1, . . . , vk ∈ Rn, vale

ρk (g) (v1 ⊗ · · · ⊗ vk) = gv1 ⊗ · · · ⊗ gvk.

A aplicação ρk é uma representação de Gl (n,R). Sua representaçãoinfinitesimal é calculada pela derivada

d

dt

(etXv1 ⊗ · · · ⊗ etXvk

)|t=0

=k∑i=1

v1 ⊗ · · · ⊗Xvi ⊗ · · · ⊗ vk.

2


Se ρ é uma representação de G em V então a representação dual de ρ,denotada por ρ∗, é a representação de G no dual V ∗ de V definida por

ρ∗ (g) (α) = α ◦ ρ (g)−1 g ∈ G,α ∈ V ∗.

Se g é a álgebra de Lie de G então a representação infinitesimal correspon-dente é dada por

ρ∗ (X) (α) = −α ◦ ρ (X) X ∈ g, α ∈ V ∗.

4.4.2 Representações adjuntas

Existe uma representação natural de um grupo de Lie G em sua álgebrade Lie. Essa representação é construida da seguinte forma: um elementog ∈ G define o automorfismo interno Cg (x) = gxg−1. É claro que Cg (1) = 1,portanto d (Cg)1 é uma aplicação linear g→ g. Dados g, h ∈ G,

Cg ◦ Ch (x) = g(hxh−1

)g−1 = Cgh (x) ,

o que implica que d (Cg)1◦d (Ch)1 = d (Cgh)1. Daí que a aplicação g 7→ d (Cg)1

é uma representação de G em g, isto é, um homomorfismo de G em Gl (g).

Definição 4.17 A representação adjunta Ad : G→ Gl (g), de G em suaálgebra de Lie g é definida por

Ad (g) = d (Cg)1 = d (Eg ◦Dg−1)1= d (Dg−1 ◦ Eg)1

.

A representação Ad é diferenciável.De acordo com a proposição 4.16, para qualquer g ∈ G, Ad (g) = d (Cg)1

é um homomorfismo de g. Na verdade um automorfismo, uma vez queAd (g)−1 = Ad (g−1). Isso significa que a imagem de Ad está contida nogrupo dos automorfismos Aut (g) de g (que é um grupo de Lie como seráverificado no próximo capítulo).Uma fórmula bastante utilizada em relações envolvendo a representação

adjunta é obtida aplicando a proposição 4.15 a φ = Cg. Dessa proposição seobtém que Cg (expX) = exp

((dCg)1 (X)

), isto é,

g exp (X) g−1 = exp (Ad (g)X) . (4.8)

Como Ad é uma representação diferenciável, pode-se considerar sua rep-resentação infinitesimal, que é uma representação da álgebra de Lie g em si


mesma, isto é, um homomorfismo de álgebras de Lie g → gl (g). Como serádemonstrado abaixo, a representação infinitesimal é nada mais nada menosque a representação adjunta de g, que é definida a seguir.

Definição 4.18 Seja g uma álgebra de Lie. Sua representação adjunta,é a aplicação ad : g→ gl (g) definida por

ad (X) (Y ) = [X, Y ].

A identidade de Jacobi garante que a aplicação ad é de fato um homomor-fismo de álgebras de Lie, onde o colchete em gl (g) é dado pelo comutador.Uma aplicação linear D : g→ g é denominada derivação, se

D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ].

A propriedade de Jacobi para colchetes em álgebras de Lie garante que asaplicações ad (X), X ∈ g, são derivações de g. Elas são denominadas dederivações internas de g.

Proposição 4.19 Seja G um grupo de Lie, com álgebra de Lie g, com ocolchete dado pelos campos invariantes à esquerda. Então, d (Ad)1 (X) =ade (X) para todo X ∈ g e vale a igualdade

Ad (expX) = exp (ade (X)) . (4.9)

(O subíndice “e”foi colocado para enfatizar que o colchete é dado pelos cam-pos invariantes à esquerda).

Demonstração: SejaX um campo invariante à esquerda. Então, d (Ad)1 (X)é uma aplicação linear g→ g. Para calculá-la, seja Y outro campo invarianteà esquerda. Para t ∈ R vale

Ad (exp (tX)) (Y ) = d(Eexp(tX) ◦Dexp(−tX)

)1

(Y )

= d(Dexp(−tX)

)exp(tX)

(d(Eexp(tX)

)1

(Y )).

Como Y é invariante por translações à esquerda,

d(Eexp(tX)

)1

(Y ) = Y (exp (tX)) .


Agora, o fluxo Xt de X é dado por Xt = Dexp(tX). Usando esse fluxo aigualdade acima se reescreve como

Ad (exp (tX)) (Y ) = d (X−t)Xt(1) (Y (Xt (1))) .

Derivando esta igualdade em relação a t e usando a fórmula que define ocolchete de Lie de campos de vetores chega-se a

d

dt(Ad (exp (tX)) (Y ))|t=0 = [X, Y ] (1) .

Como X e Y são campos invariantes à esquerda, a última igualdade significaque

d

dt(Ad (exp (tX)))|t=0 = ade (X) ,

mostrando que ad é a representação infinitesimal associada a Ad. A segundafórmula do enunciado é um caso particular de (4.7), que vale para represen-tações em geral. 2

A igualdade [X, Y ]e = −[X, Y ]d implica que ade (X) = −add (X), X ∈ go que acrescenta um sinal nas fórmulas da proposição anterior, para o casodos campos invariantes à direita.

Proposição 4.20 Se na proposição anterior forem tomados campos invari-antes à direita então d (Ad)1 (X) = −add (X) para todo X ∈ g e

Ad (expX) = exp (−add (X)) . (4.10)

As fórmulas (4.8) e (4.9) (ou (4.10)) formam a base para estabelecerrelações entre as propriedades de um grupo de Lie G e sua álgebra de Lieg. O primeiro membro de (4.8) envolve o produto em G enquanto que osegundo membro de (4.9) depende do colchete em g. Ambos são ligados aum termo intermediário envolvendo Ad (g), g ∈ G. Numa aplicação típicade (4.8) e (4.9) uma propriedade de G acarreta numa propriedade Ad (g),g ∈ G, derivando (4.8), uma nova derivada, agora de (4.9), leva a umapropriedade de ad (X), X ∈ g. O procedimento recíproco é feito através deduas “integrais”. Esse processo que envolve duas derivadas está no espíritoda proposição A.6 do apêndice A, no qual o colchete de Lie é interpretadocomo a derivada segunda de um comutador.


O caso dos grupos abelianos no exemplo a seguir é ilustra o método deaplicar as fórmulas (4.8) e (4.9).

Exemplo: Seja G um grupo abeliano. Então, sua álgebra de Lie é abeliana.De fato, por exp (tAd (g)X) = exp (tX) para todo g ∈ G, X ∈ g e t ∈ R. Aderivada dessa igualdade, em t = 0, fornece Ad (g)X = X para todo g ∈ G,X ∈ g, isto é, Ad (g) = id para todo g ∈ G. Portanto, por (4.9) se Y ∈ gentão id = Ad (exp tY ) = exp (tade (Y )). Derivando esse último termo emt = 0 se obtém ade (Y ) = 0 para todo Y ∈ g, o que significa que a álgebrade Lie é abeliana.Reciprocamente, G é abeliano se for conexo e g for abeliana. Nesse caso

deve-se começar aplicando (4.9) para concluir queAd (exp tY ) = exp (tade (Y )) =1 se Y ∈ g. Daí que por (4.8), eY eXe−Y = eX , isto é, eY eX = eXeY para todoX, Y ∈ g. Mas, G é gerado por exponenciais, já que é conexo. Portanto, doiselementos quaisquer g = eX1 · · · eXn e h = eY1 · · · eYm de G comutam. 2

Como foi observado acima, cada Ad (g), g ∈ G, é um automorfismo de g.Pode-se então considerar Ad como um homomorfismo de grupos Ad : G →Aut (g), onde Aut (g) denota o grupo dos automorfismos de g. A imagem deAd é um subgrupo de Aut (g). No próximo capítulo será provado que essaimagem é um subgrupo de Lie.Já o núcleo ker Ad é um subgrupo fechado de G, pois o Ad é uma apli-

cação diferenciável e, em particular, contínua, a valores no grupo Gl (g). Aproposição a seguir descreve esse núcleo.

Proposição 4.21 Seja

Cent (G0) = {g ∈ G : ∀h ∈ G0, gh = hg}

o centralizador da componente conexa do elemento neutro G0. Então,ker Ad = Cent (G0).

Demonstração: É consequência da fórmula

exp (Ad (g)X) = g (expX) g−1

e do corolário 4.13. Em primeiro lugar, se g ∈ Cent (G0) então

exp (Ad (g)X) = expX


para todo X ∈ g, pois expX ∈ G0. Mas, exp é um difeomorfismo ao redorda origem, isto é, existe uma vizinhança V ⊂ g de 0 tal que exp é injetoranessa vizinhança. Portanto, Ad (g)X = X para todo X ∈ V . Isso ímplicaque Ad (g) = id pois para todo Y ∈ g existe r ∈ R tal que rY ∈ V e comoAd (g) é linear, segue que Ad (g)Y = Y . Isso mostra que Cent (G) ⊂ ker Ad.Por outro lado, se g ∈ ker Ad então, Ad (g)X = X para todo X ∈ g e

daí queexp (X) = g (expX) g−1.

Isto significa que g comuta com todos os elementos da forma expX, X ∈ g.Portanto, g comuta com produtos de exponenciais exp (X1) · · · exp (Xs), istoé, g comuta com os elementos de G0. 2

Corolário 4.22 O centro Z (G) = {g ∈ G : ∀h ∈ G, gh = hg} está contidoem ker Ad e ambos coincidem se G é conexo.

Demonstração: De fato, Z (G) ⊂ Cent (G0) e vale a igualdade se G = G0.2

O centro de um grupo é um subgrupo abeliano. Segue então do corolárioacima que ker Ad é abeliano caso G seja conexo. Essa afirmação não vale emgeral. Por exemplo, se G é um grupo discreto então G = ker Ad, que nãoprecisa ser abeliano.A proposição acima (principalmente o corolário) está em concordância

com o fato de que o núcleo ker ad da representação adjunta de g é o seucentro

z (g) = {X ∈ g : ∀Y ∈ g, [X, Y ] = 0}.Será mostrado posteriormente que o centro Z (G) é um subgrupo de Lie deG. Sua álgebra de Lie é o centro z (g) de g.

Exemplos:

1. Em Gl (n,R), Ad (g) coincide com a conjugação Cg, pois Cg se estendea uma transformação linear no espaço das matrizes, portando coincidecom Ad (g) que é sua diferencial na identidade. Em outras palavras, seX ∈ gl (n,R) e g ∈ Gl (n,R) então

Ad (g)X = gXg−1.

4.5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS INVARIANTES 113

O centro de Gl (n,R) é o subgrupo das matrizes escalares a · 1, 0 6= a ∈R. Apesar de Gl (n,R) ter duas componentes conexas a expressão paraAd (g) confirma de imediato que Z (Gl (n,R)) = ker Ad.

2. Num grupo abeliano G a representação adjunta é trivial: Ad (g) = idpara todo g ∈ G, pois Cg = id.

2

A representação dual Ad∗ da representação adjunta Ad é denominada derepresentação co-adjunta.

4.5 Equações diferenciais ordinárias invariantes

Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dada curva A : (a, b) → g

definida no intervalo (a, b) ⊂ R pode-se definir em G a equação diferencialordinária, dependente do tempo, por translação à direita como

dg

dt= dDg (A (t)) , (4.11)

Em notação mais compacta a equação acima pode ser escrita como g =A (t) g. Da mesma forma, pode-se escrever a equação obtida por translaçãoà esquerda

dg

dt= dEg (A (t)) = gA (t) . (4.12)

Os teoremas de existência e unicidade de soluções se aplicam a essasequações sob condições bastante gerais para A. Isso porque as equaçõesdependem diferenciavelmente de g. Quanto à dependência em relação a t,que provém de A, deve-se assumir que A é mensurável e localmente integrável(em relação à medida de Lebesgue restrita ao intervalo (a, b)), no sentido emque para todo t ∈ (a, b) existe ε > 0 tal que A (·) restrita a (t− ε, t+ ε)é integrável. Essa condição é satisfeita, por exemplo, no caso em que A écontínua ou contínua por pedaços.Nessas condições a teoria de existência e unicidade de soluções de equações

diferenciais ordinárias garante que, dada uma condição inicial (t0, g0) ⊂(a, b) × G existe δ > 0 e uma única solução φ : (t0 − δ, t0 + δ) → G comφ (t0) = g0. Essa solução é uma função absolutamente contínua, que tem de-rivada em quase todos os pontos de (t0 − δ, t0 + δ) e nesses pontos a equação é


satisfeita. Além do mais, pela dependência contínua em relação às condiçõesiniciais, δ pode ser escolhido de tal forma que para todo (t, g) nas vizin-hanças de (t0, g0) a solução com condição inicial (t, g) está definida em todoo intervalo (t0 − δ, t0 + δ).As equações diferenciais invariantes generalizam as equações definidas pe-

los campos invariantes à direita e à esquerda e têm propriedades muito semel-hantes às mesmas. Por exemplo, uma translação à direita de uma soluçãode (4.11) também é solução. De fato, dados α (t) com α′ (t) = A (t)α (t) eg ∈ G, defina β (t) = Dg (α (t)). Então,

β′ (t) = dDg (α′ (t)) = dDgdDα(t) (A (t)) = dDβ(t) (A (t)) ,

isto é, β também é solução de (4.11). Da mesma forma, a equação (4.12) éinvariante à esquerda.Em particular, as soluções de ambas equações são obtidas transladando (à

direita ou à esquerda, respectivamente) as soluções que passam pelo elementoneutro.Sendo assim, para cada s ∈ (a, b) denote por φd (s, t) a solução da equação

invariante à direita (4.11) com condição inicial φd (s, s) = 1, definida numintervalo aberto I ⊂ (a, b) que contém s. Então, a solução com condiçãoinicial (s, g), g ∈ G, é a translação à direita por g: φd (s, t) g. Em particular,se g = φd (u, s) então, como função de t o produto φd (s, t)φd (u, s) é umasolução com condição inicial (u, 1). Daí que vale a fórmula

φd (u, t) = φd (s, t)φd (u, s) . (4.13)

Para a equação invariante à esquerda (4.12) a situação é semelhante: seφe (s, t) é a solução com condição inicial (s, 1) então gφe (s, t) é a solução comcondição inicial (s, g) e vale a igualdade

φe (u, t) = φe (u, s)φe (s, t) . (4.14)

Note que em particular, qualquer solução com condição inicial (s, g), g ∈G, tem o mesmo intervalo maximal de definição. O objetivo agora é provarque esse intervalo maximal coincide com o domínio de definição (a, b) de A.Isso generaliza a proposição 4.7.

Proposição 4.23 Seja A : (a, b) → g uma curva mensurável e localmenteintegrável. Então, para todo t0 ∈ (a, b) e g0 ∈ G, existe uma única soluçãoψ : (a, b)→ G de (4.11), definida em todo o intervalo (a, b), tal que ψ (t0) =g0. O mesmo resultado vale para (4.12).

4.6. MEDIDA DE HAAR 115

Demonstração: Tome c ∈ (a, b) e suponha, para fixar as idéias que t0 < c.Deve-se mostrar que a solução t 7→ φd (t0, t) se prolonga até c. Para isso,observe que para cada s ∈ [t0, c] existe δs > 0 tal que a solução com condiçãoinicial (s, 1) está definida no intervalo (s− δs, s+ δs). Por compacidade exis-tem finitos elementos s1 < · · · < sk tal que t0 = s1, c = sk e para cada i asolução φd (si, t) se prolonga até si+1. Aplicando, reitradamente, a fórmula(4.13) obtém-se então que

φd (t0, c) = φd (sk−1, c) · · ·φd (s1, s2)φd (t0, s1)

está bem definida, concluíndo a demonstração. 2

4.6 Medida de Haar

A construção geral de medidas de Haar em grupos localmente compactos,feita no capítulo 3, pode ser bem simplificada no caso de grupos de Lie.Isso porque em variedades diferenciáveis pode-se definir medidas através deformas-volume, o que facilita a construção de medidas invariantes em gruposde Lie.Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e denote por g∗ o dual

de g. Uma forma-volume ν em g é uma n-forma não nula onde n = dim g.Por exemplo, se α1, . . . , αn é uma base de g∗ então ν = α1 ∧ · · · ∧ αn é uman-forma em g. O espaço das n-formas tem dimensão 1 e, portanto, as quesão não nulas são multiplas umas das outras.Uma forma-volume ν em g define uma forma-volume invariante em G

(também denotada por ν) por translação:

νg =((dEg)1

)∗ν ∈

n∧T ∗gG.

Essa forma é invariante à esquerda, isto é, (Eg)∗ ν = ν para todo g ∈ G.

Uma forma-volume invariante em G não se anula em nenhum ponto de G edepende apenas de seu valor no elemento neutro. Além do mais, se ν 6= 0é uma forma-volume invariante então qualquer outra forma invariante é umaν de ν com a ∈ R.Seja µν a medida de Borel associada à forma-volume ν invariante à

esquerda (veja a seção A.2 no apêndice A). Então, µν é invariante por


translações à esquerda ((Eg)∗ ν = ν implica que (Eg)∗ · µν = µE∗gν = µν).

Portanto ela é uma medida de Haar (invariante à esquerda) em G. Duas me-didas de Haar não nulas construídas dessa forma são obtidas uma da outrapor reescalonamento, pois se ν1 = aν, a 6= 0, então, µν1 = |a|µν . Essasmedidas cobrem todas as medidas de Haar num grupo de Lie, pelo teoremade unicidade das medidas de Haar em grupos localmente compactos.As medidas de Haar invariantes à direita são obtidas da mesma maneira,

através de formas-volume invariantes à direita.Conforme foi discutido no capítulo 3, as medidas invariantes à esquerda

não são necessariamente invariantes à direita, sendo que a relação entreelas é dada pela função modular ∆. Seja νd uma forma-volume invari-ante à direita. Sua translação à esquerda é (Eg)

∗ νd = (Ad (g) ν)d. Porém,Ad (g) ν = det Ad (g) · ν, daí que Egνd = det Ad (g) · νd.Em particular, a forma-volume invariante à esquerda νe, que é dada por

νeg =((dEg)1

)∗ν (onde ν = νd1), satisfaz

νe = det Ad (g) · νd. (4.15)

Passando às medidas de Haar, sejam µνe e µνd as medidas definidas por νe e

νd, respectivamente. Da igualdade acima segue que

µνe = |det Ad (g)|µνd

(veja A.2 no apêndice A). Isso significa que |det Ad (g)| é a derivada deRadon-Nikodym µνe em relação a µνd . Pela seção 3.4 do capítulo 3 a funçãomodular deG é∆ (g) = |det Ad (g)| (ou sua inversa∆ (g−1) = |det Ad (g−1)|,dependendo da ordem em que se tome a derivada de Radon-Nikodym).

4.7 Exercícios

1. Mostre que um campo de vetores invariante à direita X no grupo deLie G também é invariante à esquerda se, e só se, Ad (g)X = X paratodo g ∈ G. Mostre também que isso ocorre se, e só se, exp tX ∈ Z (G)para todo t ∈ R.

2. Num grupo de Lie G considere um novo produto g ∗ h = hg. Denotepor G∗ o grupo com esse produto. Mostre que G∗ ainda é um grupo deLie, isomorfo a G. Como se relacionam os campos invariantes em G eG∗?


3. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Denote por ω a formade Maurer-Cartan obtida por translações à direita. Mostre que ω éinvariante à direita. Tome uma base X1, . . . , Xn de g e sejam ckij suasconstantes de estrutura, definidas por [Xi, Xj] =

∑k c

kijXk. Escreva

ω (·) = ω1 (·)X1 + · · ·+ ωn (·)Xn

em que cada ωi (·) é uma 1-forma a valores reais. Mostre que dωk =−∑

k ckijω

i ∧ ωj.

4. Dê exemplo de um grupo de Lie cuja variedade subjacente é difeomorfaa algum Rn, mas o produto não é abeliano.

5. Uma aplicação afim de um espaço vetorial V real é uma aplicação daforma g (x) = Px + v com P : V → V linear e v ∈ V . Verifique que gé inversível se, e só se, P é inversível. Mostre que o grupo Af (V ) dasaplicações afins inversíveis é um grupo de Lie se dimV <∞. Descrevaos campos invariantes em Af (V ) e a álgebra de Lie af (V ) de Af (V ).

6. Descreva as conjugações e as adjuntas no grupo afim Af (n) = Af (Rn)e na álgebra de Lie correspondente af (n).

7. Mostre que num grupo de Lie os campos de vetores invariantes à direitacomutam com os campos invariantes à esquerda. Mostre que se G éconexo então um campo de vetores X é invariante à direita se, e só se,[X, Y ] = 0 para todo campo de vetores Y invariante à esquerda. (Useo fato de que todo elemento de um grupo de Lie conexo é produto deexponenciais.)

8. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão finita. Uma derivação de g éuma transformação linear D : g→ g que satisfaz D[X, Y ] = [DX, Y ] +[X,DY ] para quaisquer X, Y ∈ g. Mostre que D é derivação se, e só se,exp (tD) é automorfismo de g, para todo t ∈ R. (Sugestão: considereas equações diferenciais satisfeitas por etD[X, Y ] e [etDX, etDY ].)

9. Mostre que os homomorfismos contínuos (R,+) → (R,+) são apli-cações analíticas.

10. Seja G um grupo de Lie. Mostre que existe uma vizinhança U daidentidade que não contém nenhum subgrupo de G, exceto o trivial{1}.


11. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dados X, Y ∈ g,use as fórmulas (4.8) e (4.9) para mostrar que [X, Y ] = 0 se, e só se,etXesY = esY etX para todo s, t ∈ R. Mostre também que nesse casoeX+Y = eXeY .

12. Encontre os homomorfismos diferenciáveis Gl (n,R) → R. (Sugestão:encontre os homomorfismos infinitesimais θ : gl (n,R)→ R.)

13. Mostre que todo subgrupo a 1-parâmetro de O (3) é fechado. Essaafirmação é verdadeira em O (n), n > 3?

14. Mostre que exp : gl (2,R) → Gl+ (2,R) não é sobrejetora. (Sugestão:use a forma canônica de Jordan para mostrar que as partes reais dosauto-valores de g = expA são iguais se forem negativas.)

15. Mostre que todo elemento de Sl (2,R) pode ser escrito como um produtoeXeY , X, Y ∈ sl (2,R). (Sugestão: use o processo de ortonormalizaçãode Gram-Schmidt para escrever uma matriz g = kt com k matriz orto-gonal e t triangular superior.)

16. Mostre que toda matriz complexa n×n é exponencial de alguma matriz.(Sugestão: reduza o problema a um bloco de Jordan.)

17. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Mostre que se φ : R→ Gé um homomorfismo diferenciável então φ (t) = exp (tX) para algumX ∈ g.

18. Seja G um grupo de Lie e g = A (t) g uma equação diferencial ordináriainvariante à direita em G. Denote por gt uma solução dessa equação.Mostre que ht = Ad (gt) satisfaz a equação diferencial h = ad (A (t))h.

19. A forma de Cartan-Killing de uma álgebra de Lie g é a forma bilin-ear simétrica 〈·, ·〉 definida por 〈X, Y 〉 = tr (ad (X) ad (Y )), X, Y ∈ g.Mostre que toda derivação D de g é anti-simétrica em relação à formade Cartan-Killing, isto é, 〈DX, Y 〉+ 〈X,DY 〉 = 0 para todo X, Y ∈ g.Mostre também que um automorfismo φ de g é uma “isometria” daforma de Cartan-Killing, isto é, 〈φX, φY 〉 = 〈X, Y 〉, para todo X, Y ∈g.

20. Seja G um grupo de Lie compacto com álgebra de Lie g. Mostre queos auto-valores de ad (X), X ∈ g, são puramente imaginários e conclua


que a forma de Cartan-Killing de g é negativa semi-definida (〈X,X〉 ≤ 0para todo X ∈ g).

21. Seja G um grupo de Lie conexo e ρ : G → Gl (V ) uma representaçãode G no espaço vetorial V , com dimV < ∞. Seja β uma forma bi-linear em V . Mostre que os elementos de ρ (G) são isometrias de β(β (ρ (g)u, ρ (g) v) = β (u, v)) se, e só se, os elementos da representaçãoinfinitesimal são transformações lineares anti-simétricas em relação aβ.

22. Dado um grupo de Lie conexo G com álgebra de Lie g, sejam z (g) ={X ∈ g : ∀Y ∈ g, [X, Y ] = 0} o centro de g e Z (G) = {g ∈ G : ∀h ∈G, gh = hg} o centro de G. Mostre que para todo X ∈ z (g), expX ∈Z (G). Reciprocamente, X ∈ z (g) se para todo t ∈ R, exp (tX) ∈Z (G).

23. Seja G um grupo de Lie conexo tal que Z (G) é um sugrupo dis-creto. Seja H =Ad(G) a imagem da representação adjunta. Mostreque Z (H) = {1}. (Tome Ad (g) ∈ Z (H) e mostre que getXg−1 = etX

para t ∈ R e X na álgebra de Lie de G.)

24. Seja g uma álgebra de Lie tal que [X, [Y, Z]] = 0 para todo X, Y, Z ∈ g.Mostre que o produto ∗, dado por

X ∗ Y = X + Y +1

2[X, Y ]

define em g uma estrutura de grupo. Mostre também que esse grupoé de Lie se g é uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre R, de talforma que sua álgebra de Lie coincide com g.

25. No exercício anterior suponha que g é de dimensão finita, de tal formaque torna g um grupo de Lie, com álgebra de Lie isomorfa a g. DadosX, Y ∈ g, considere a curva α (t) = etXetY e−tXe−tY e calcule α′ (0) eα′′ (0).

26. Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente,e φ : G→ H um homomorfismo diferenciável tal que dφ1 é isomorfismo.Mostre que kerφ é um subgrupo discreto. Mostre também que se G eH são conexos então φ é uma aplicação de recobrimento. Conclua quese H é simplesmente conexo, então φ é isomorfismo.


27. SejamG um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g eH um subgrupode Lie com subálgebra h ⊂ g. Suponha que para um elemento g ∈ Gvale

g =∑k≥0

Ad (g)k h.

Mostre que existe um inteiro k ≥ 1 tal que o produto (gH)k = gH · · · gH(k vezes) tem interior não vazio em G. Use isso para concluir que todoelemento de G é produto de elementos de gH ou de Hg−1.

Capítulo 5

Subgrupos de Lie

Nesse capítulo serão estudados os subgrupos de um grupo de Lie sob o pontode vista do cálculo diferencial. Isso significa que serão considerados os sub-grupos que são também grupos de Lie, com uma estrutura de subvariedadediferenciável. A álgebra de Lie de um subgrupo de Lie é uma subálgebra daálgebra de Lie do grupo ambiente (subespaço do espaço tangente no elementoneutro). Um dos objetivos é establecer a bijeção entre as subálgebras de Lie eos subgrupos de Lie, o que é feito recorrendo aos teoremas de integrabilidadede distribuições. (Um apanhado da teoria de integrabilidade de distribuiçõesse encontra no apêndice B, assim como diversos conceitos e resultados sobresubvariedades, que são utilizados neste capítulo.)

Serão abordados também resultados que garantem que um subgrupo ab-strato é um subgrupo de Lie. Um desses resultados é o célebre teorema dosubgrupo fechado de Cartan, que garante que um subgrupo abstrato que é aomesmo tempo um subconjunto fechado admite uma estrutura de variedademergulhada que o torna um subgrupo de Lie. Outro resultado nessa direçãogarante que se um subgrupo é um conjunto conexo por caminhos então eleé um subgrupo de Lie. Ambos os resultados utilizam, de maneira crucial, aconstrução dos subgrupos de Lie, a partir das subálgebras de Lie. As técni-cas desenvolvidas para a demonstração do teorema de Cartan serão usadasao final do capítulo para construir uma estrutura diferenciável no espaçoquociente G/H, se H é fechado.

121

122 CAPÍTULO 5. SUBGRUPOS DE LIE

5.1 Definição e exemplos

Definição 5.1 Seja G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo. Então, Hé um subgrupo de Lie de G se H é uma subvariedade imersa de G tal que oproduto H ×H → H é diferenciável em relação à estrutura intrínseca de H.

(Conforme definido no apêndice B, uma subvariedade imersa da variedadeM é um subconjunto N ⊂ M , que admite uma estrutura de variedade talque a inclusão i : N ↪→ M é uma imersão. A estrutura diferenciável em Né a estrutura intrínseca mencionada na definição.)Na definição de subgrupo de Lie deve-se prestar atenção à exigência de que

o produto em H é diferenciável em relação à estrutura intrínseca. A questãoé que se H é um subgrupo e uma subvariedade imersa então a restrição aH ×H do produto em G fornece uma aplicação diferenciável H ×H → G,que assume valores em H. Isso não garante automaticamente que a aplicaçãocorrespondente H × H → H (produto em H) seja diferenciável ou sequercontínua em relação à estrutura intrínseca, o que é necessário para que Hseja um grupo de Lie (veja um exemplo disso abaixo).Um caso bastante geral no qual o produto H × H → H é diferen-

ciável é quando H é uma subvariedade imersa quase-regular (ou quase-mergulhada — veja a definição no apêndice B). Nesse caso a aplicaçãodiferenciável H ×H → G assume valores em H e, portanto, é diferenciávelem relação à topologia intrínseca (pela proposição B.3). Em particular, sub-grupos que são subvariedades mergulhadas são automaticamente subgruposde Lie, pois as subvariedades mergulhadas são quase-regulares. Ou ainda,se o subgrupo H é a imagem inversa de um valor regular de uma aplicaçãodiferenciável f : G→M então H também é subgrupo de Lie, pois essas var-iedades de nível são subvariedades mergulhadas (abaixo serão apresentadosalguns exemplos de subgrupos desse tipo).Cabe ressaltar que nos teoremas a serem demonstrados a estrutura difer-

enciável no subgrupo é construída como subvariedade integral maximal deuma distribuição integrável. Essas subvariedades são quase-regulares, comosegue da proposição B.25. Em suma, para o desenvolvimento da teoria não seperderia muito em generalidade ao assumir, na definição de subgrupo de Lie,que H é um subgrupo e ao mesmo tempo uma subvariedade quase-regular.1

Uma outra forma de ver os subgrupos de Lie vem da observação de quese H ⊂ G é um subgrupo de Lie de G então a inclusão j : H ↪→ G é um

1Alguns autores adotam essa definição como, por exemplo Varadarajan [60].

5.1. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS 123

homomorfismo, que é uma imersão injetora. Por outro lado, se φ : L→ G éum homomorfismo diferenciável e injetor então sua imagem é um subgrupode Lie. De fato, a igualdade φ ◦Eg = Eφ(g) ◦ φ implica, pela regra da cadeia,que se g ∈ G então

dφg =(dEφ(g)

)1◦ dφ1 ◦ (dEg−1)g .

Daí que φ tem posto constante. O teorema do posto assegura então que seφ é injetora então φ é imersão e, portanto, sua imagem é um subgrupo deLie (veja corolário 6.2 no capítulo 6). Dessa forma uma definição alternativaé que um subgrupo de Lie de G é a imagem de um homomorfismo injetorφ : L → G, onde L é um grupo de Lie. (Posteriormente, será demonstradono capítulo 6 que a imagem de um homomorfismo diferenciável φ : L → Gqualquer é um subgrupo de Lie de G sem a hipótese de que φ é injetora.)

Exemplos:

1. Se G é um grupo de Lie então a componente conexa do elemento neu-tro G0 é um subgrupo aberto e portanto subgrupo de Lie, já que assubvariedades abertas são mergulhadas.

2. Se G é um grupo de Lie então qualquer subgrupo a 1-parâmetro

{exp (tX) : X ∈ g, t ∈ R}

é subgrupo de Lie. De fato, se a curva t 7→ exp (tX) é fechada tem-seuma imersão injetora de S1 → G. Caso contrário o grupo a 1-parâmetroé uma imersão injetora R → G. Em ambos os casos, t 7→ exp (tX) éum homomorfismo injetor e diferenciável. Portanto sua imagem é umsubgrupo de Lie.

3. Se H é subgrupo de Lie de G e L é um subgrupo de Lie de H então Ltambém é subgrupo de Lie de G, como segue direto da definição. Emparticular, a componente conexa do elemento neutro H0 de H, que éum subgrupo normal de H, também é subgrupo de Lie de G.

4. Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável. Então, φ tem postoconstante e daí que kerφ = φ−1{1} é uma subvariedade mergulhada.Portanto, kerφ é um subgrupo de Lie de G.


5. O toro bidimensional T2 ≈ S1×S1 é um grupo de Lie. Ele é isomorfo aoquociente R2/Z2. Seja π : R2 → R2/Z2 ≈ T2 o homomorfismo definidopelo quociente. As retas π (rα) onde rα = {x (1, α) ∈ R2 : x ∈ R} sãosubgrupos de T2 e, ao mesmo tempo, subvariedades quase-regulares dedimensão 1 (veja o exemplo no inicio do apêndice B). Portanto, π (rα)é subgrupo de Lie. Se α é racional o subgrupo é fechado (e compacto),já se α é irracional o subgrupo é denso.

Da mesma forma, seja πn : Rn → Rn/Zn a projeção canônica sobreo toro Tn. Se V ⊂ Rn é um subespaço vetorial então πn (V ) é umsubgrupo de Lie Tn. Este exemplo se estende ainda aos cilindros Rn/Zk,0 ≤ k ≤ n.

6. Seja O (n) o subgrupo das matrizes ortogonais n × n. Para verificarque O (n) é um subgrupo de Lie de Gl (n,R) considere a aplicaçãoτ : Gl (n,R) → Mn×n (R) dada por τ (g) = gTg. É claro que O (n) =τ−1{1}. Por outro lado, se A é uma matriz então dτ g (A) = ATg +

gTA =(gTA

)T+ gTA. Daí que o núcleo de dτ g é dado por

ker dτ g = {(gT)−1

B : BT +B = 0},

que é a translação à esquerda por(gT)−1

do espaço das matrizesanti-simétricas. Portanto, τ tem posto constante em todo ponto deGl (n,R). Em particular O (n) = τ−1{1} é uma subvariedade mergul-hada de Gl (n,R), o que mostra que o grupo ortogonal é subgrupo deLie.

A componente conexa do elemento neutro de O (n) é SO (n) = {g ∈O (n) : det g = 1}, que também é um subgrupo de Lie.

7. Outros grupos de Lie lineares, isto é, subgrupos de Lie de Gl (n,R) são:

(a) Grupo linear especial, Sl (n,R) = {g ∈ Gl (n,R) : det g = 1} =ker (det).

(b) Grupo unitário, U (n) das matrizes complexas n × n tais gTg =ggT = 1. Este grupo, assim como O (n) é uma subvariedade mer-gulhada, imagem inversa de valor regular de τ (g) = ggT.

5.2. SUBÁLGEBRAS E SUBGRUPOS DE LIE 125

(c) Grupo simplético real, Sp (n,R) formado pelas matrizes reais n×ntais que gTJg = gJgT = J onde

J =

(0 −idn×n

idn×n 0

).

Esse grupo é imagem inversa de valor regular de τ (g) = gJgT.

2

5.2 Subálgebras e subgrupos de Lie

O princípio que norteia a construção da teoria dos grupos de Lie é o de obterinformações sobre a estrutura dos grupos de Lie a partir das álgebras de Lie.Seguindo esse princípio os subgrupos de Lie de um grupo G são estudadosrelacionado-os às subálgebras da álgebra de Lie g de G.A inclusão j : H ↪→ G de um subgrupo de Lie H no grupo de Lie G

é um homomorfismo diferenciável. Como foi visto no capítulo anterior, adiferencial dj1 no elemento neutro é um homomorfismo de álgebras de Lie.No entanto, dj1 é a inclusão do espaço tangente T1H no espaço tangente T1G.Essa inclusão é um homomorfismo. Portanto, T1H é uma subálgebra de Liede g, o que significa que a álgebra de Lie de um subgrupo de Lie se identifica(é isomorfa) a uma subálgebra da álgebra de Lie do grupo. Essas observaçõesvalem tanto para a álgebra de Lie dos campos invariantes à direita quanto àesquerda. Aliás, a igualdade [·, ·]d = − [·, ·]e mostra que umm subespaço deT1G é subálgebra de [·, ·]d se, e só se, é subálgebra de [·, ·]e.Olhando a álgebra de Lie h de H como uma subálgebra de g, a aplicação

exponencial de H é nada mais nada menos que a restrição da aplicação ex-ponencial de G. Isso segue da proposição 4.15. De fato, escreva expH eexpG as aplicações exponenciais de H e G, respectivamente. Como a in-clusão j é um homomorfismo diferenciável, a proposição 4.15 mostra quej (expH X) = expG (dj1 (X)). Identificando h com um subconjunto de g, essaigualdade significa que a exponencial em H coincide com a restrição a h daaplicação exponencial em G.O objetivo agora é obter os subgrupos de Lie deG a partir das subálgebras

de Lie de g. A técnica empregada para isso vem da teoria de distribuiçõesem variedades diferenciáveis (veja B). A teoria de distribuições permitirá


obter todos os subgrupos de Lie conexos a partir das subálgebras de Lie. Nocaso não conexos a questão é mais delicada pois a componente conexa daidentidade de um subgrupo de Lie também é um subgrupo de Lie e ambostêm a mesma álgebra de Lie.

Exemplo: Em geral pode ocorrer que as subálgebras de Lie de subgruposde Lie distintos coincidam. Por exemplo, os espaços tangentes na identidadetanto de O (n) quanto de SO (n) são os mesmos, portanto esses subgruposde Lie de Gl (n,R) têm a mesma álgebra de Lie (subálgebra das matrizesanti-simétricas). 2

A idéia da construção dos subgrupos a partir das subálgebras vem dasseguintes observações. Seja H ⊂ G um subgrupo de Lie cuja álgebra de Lieé h. Para todo g ∈ H a translação à direita Dg deixa H invariante, isto é,DgH ⊂ H e a restrição de Dg a H é um difeomorfismo de H. Isso implicaque para todo h ∈ H a imagem por d (Dg)h do espaço tangente ThH ⊂ ThGé o subespaço ThgH. Em particular, o espaço tangente a H em g é d (Dg)1 h.Da mesma forma, Dg é um difeomorfismo entre H e a classe lateral Hg e daíque o espaço tangente a Hg em g é d (Dg)1 h.As expressões para os espaços tangentes mostram que o subgrupo conexo

H, assim como suas classe laterais Hg, são subvariedades integrais conexasda distribuição ∆d

h em G definida por

∆dh (g) = d (Dg)1 h. (5.1)

Essa distribuição depende apenas de h. Os mesmos comentários valem para adistribuição ∆e

h (g) = d (Eg)1 h, invariante à esquerda definida por H. Nessecaso as variedades integrais são as classes laterais gH.A idéia então consiste em reverter esses argumentos. Dada uma sub-

álgebra de Lie h pode-se definir a distribuição ∆dh como em (5.1) ou por

translações à esquerda ∆eh = d (Eg)1 h. A partir daí o subgrupo de Lie conexo

com álgebra de Lie h será dado pela variedade integral conexa maximal de∆dh ou de ∆e

h que passa pelo elemento neutro 1. Essa estratégia reproduzem dimensões maiores construção dos subgrupos a 1-parâmetro e suas classelaterais.A integrabilidade das distribuições∆d

h e∆eh segue de uma aplicação imedi-

ata do teorema de Frobenius, que garante que uma distribuição de dimensãoconstante é integrável se o colchete de Lie entre campos de vetores tangentes


ainda é tangente à distribuição (veja o teorema B.11 no apêndice B). Maisespecificamente, a versão do teorema de Frobenius enunciada no CorolárioB.16 se aplica diretamente a uma base de campos invariantes definida poruma base de h.A seguir será apresentada uma demonstração direta da integrabilidade

das distribuições ∆dh e ∆e

h, que exibe explicitamente as variedades integrais.Essa demonstração está baseada na idéia de distribuições características, quesão integráveis (veja o teorema B.9). A questão é que a distribuição ∆d

h alémde ser invariante à direita é também invariante pelas translações à esquerdaEeY se Y ∈ h. O mesmo vale para ∆e

h, invertendo os papéis das translaçõesà direita e à esquerda. O lema a seguir permite demonstrar essa invariância.

Lema 5.2 Sejam h uma subálgebra de Lie e X, Y ∈ h. Então, Ad(eY)X ∈

h.

Demonstração: De fato,

Ad(eY)X = ead(Y )X =

∑k≥

1

k!ad (Y )kX.

Como h é subálgebra, cada termo da série pertence a h. Portanto, a somada série está de h, que é um subespaço vetorial fechado. 2

Lema 5.3 Se Y ∈ h então (dEeY )x(∆dh (x)

)= ∆d

h

(eY x

)para qualquer x ∈

G.

Demonstração: Para g, x ∈ G e X ∈ g vale

(dEg)x(Xd (x)

)= (dEg)x ◦ (dDx)1 (X) = d (Dx ◦ Eg)1 (X)

= (dDgx)1 ◦ d (Dg−1 ◦ Eg)1(x)

= (Ad (g)X)d (gx) .

Em particular se X ∈ h e g = eY , Y ∈ h, então pelo lema Ad(eY)X ∈ h e

daí que(Ad(eY)X)d (

eY x)∈ ∆

(eY x

), isto é, (dEeY )x

(Xd (x)

)∈ ∆

(eY x

).

Como ∆dh (x) = {Xd (x) : X ∈ h}, se conclui que (dEeY )x

(∆dh (x)

)⊂

∆d(eY x

)e a igualdade vale pois as dimensões coincidem. 2

Com esse lema pode-se construir variedades integrais das distribuiçõesinvariantes.


Teorema 5.4 Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e h ⊂ g umasubálgebra de Lie. Então, as distribuições ∆d

h (g) = d (Dg)1 h e ∆eh (g) =

d (Eg)1 h são integráveis.

Demonstração: Considere a distribuição invariante à direita ∆dh. Tome

uma uma base {X1, . . . , Xk} de h e para g ∈ G defina a aplicação ρ : Rk → Gpor

ρ (t1, . . . , tk) = et1X1 · · · etkXkg.Suas derivadas parciais são dadas por

dρ

dti(t1, . . . , tk) = d (Eet1X1 ···eti−1Xi−1 )zi

(Xdi (zi)

)onde zi = etiXi · · · etkXxg. Essas derivadas parciais pertencem a ∆d

h (zi), comopode-se ver por aplicações sucessivas do lema anterior. Isso significa que aimagem de dρt, está contida em ∆d

h (ρ (t)) para todo t ∈ Rk Por outro lado,

dρ

dti(0) = Xd

i (g) ,

o que garante que a diferencial dρ0 na origem é injetora. Portanto, dρt éinjetora numa vizinhança U de 0 e como as dimensões coincidem, se concluique a restrição de ρ a U é uma variedade integral de ∆d

h.A distribuição invariante à esquerda ∆d

h é tratada da mesma forma mul-tiplicando as exponenciais à direita: get1X1 · · · etkXx . 2

Como mencionado acima, esse teorema é uma consequência do teoremade Frobenius. Além dessas demonstrações, no exercício 7 do capítulo 7 seindica uma outra construção de variedades integráveis, usando a fórmula dadiferencial da aplicação exponencial. Ainda sobre o teorema acima deve-seobservar que a aplicação ρ não é em geral uma imersão em todo Rk. Umexemplo disso é sugerido no exercício 3, ao final do capítulo.Uma vez tendo a integrabilidade das distribuições ∆d

h e ∆eh pode-se consi-

derar suas variedades integrais conexas maximais, que fornecem um subgrupode Lie com álgebra de Lie h e suas classes laterais. De acordo o apêndice Bvalem as seguintes afirmações:

1. Para cada g ∈ G existem variedades integrais conexas maximais para∆dh e ∆e

h. Essas variedades são denotadas por Idh (g) e Ieh (g), respecti-

vamente. (Veja a proposição B.20.)


2. Se N ⊂ G é uma variedade integral conexa de ∆dh (respectivamente de

∆eh) com g ∈ N então N é uma subvariedade aberta de Idh (g) (respec-

tivamente de Ieh (g)). (Veja a proposição B.20.)

3. As variedades integrais conexas maximais são subvariedades quase-regulares. (Veja a proposição B.25. Aqui se usa a hipótese de queG é uma variedade paracompacta.)

A invariância à direita de ∆dh implica que I

dh (g)h = DhI

dh (g) é uma var-

iedade integral conexa de ∆dh. Como gh ∈ Idh (g)h se concluí que Idh (g)h ⊂

Idh (gh). Essa inclusão é uma igualdade pois Idh (g) = Dh−1(Idh (g)h

)⊂

Dh−1(Idh (gh)

)e este último termo é uma variedade integral conexa. Daí

que as variedades integrais conexas maximais são dadas por

• Idh (g) = Idh (1) g. Da mesma forma, Ieh (g) = gIeh (1).

Agora é possível demonstrar o teorema de existência de um subgrupo deLie com subálgebra de Lie dada.

Teorema 5.5 Dado um grupo de Lie G com álgebra de Lie g, seja h ⊂ guma subálgebra. Então, as subvariedades integrais conexas maximais Idh (1)e Ieh (1) são dadas por

Idh (1) = Ieh (1) = {eY1 · · · eYs : s ≥ 0, Yi ∈ h}. (5.2)

Esse conjunto é um subgrupo de Lie com álgebra de Lie h. Suas classeslaterais são as variedades integrais maximais Idh (1) g = Idh (g) e gIeh (1) =Ieh (g).

Demonstração: Tudo se reduz a demonstrar a igualdade (5.2). Para issodefina em Idh (1) a relação g ∼ h se existem Y1, . . . , Ys ∈ h tal que

g = eY1 · · · eYsh,

que é obviamente uma relação de equivalência. Afirmação: as classes deequivalência dessa relação de equivalência são conjuntos abertos. De fato,tome g ∈ Idh (1) e {X1, . . . , Xk} uma base de h. Então, como na demon-stração do teorema 5.4 a aplicação

ρ (t1, . . . , tk) = et1X1 · · · etkXkg


define uma variedade integral N com g ∈ N . Por definição se h ∈ N entãoh ∼ g e como N ⊂ Idh (1) é aberto, segue que g pertence ao interior de suaclasse de equivalência. Isso mostra que qualquer classe de equivalência éaberta. Portanto, as classes de equivalência são conjuntos abertos e fechadose como Idh (1) é conexo, se concluí que g ∼ h se g, h ∈ Idh (1). Daí queIdh (1) = {eY1 · · · eYs : s ≥ 0, Yi ∈ h}, já que o segundo membro é a classe deequivalência de 1.Da mesma forma, as subvariedades integrais (t1, . . . , tk) 7→ get1X1 · · · etkXk ,

g ∈ Ieh (1), mostram a igualdade do enunciado para Ieh (1).Agora, a expressão (5.2) mostra de imediato que Idh (1) = Ieh (1) é sub-

grupo. Por fim, esse subgrupo é de Lie pois uma variedade integral conexamaximal é quase-regular. 2

Como complemento ao teorema anterior falta verificar a unicidade dosubgrupo de Lie conexo com subálgebra de Lie dada.

Proposição 5.6 Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Então, paraqualquer subálgebra de Lie h ⊂ g, existe um único subgrupo conexo H ⊂ G,cuja álgebra de Lie é h.

Demonstração: De fato, se H é um subgrupo de Lie conexo com álgebrade Lie h então H é gerado por exponenciais expH X, X ∈ h. Como a apli-cação exponencial em H é a restrição da exponencial em G, se conclui que Hé dado por (5.2), o que mostra a unicidade de H. A existência foi garantidano teorema acima. 2

Notação: O único subgrupo conexo H com álgebra de Lie h é denotadopor 〈exp h〉. Esta notação é consistente com a fórmula (5.2) que diz que H égerado pelo conjunto exp h.Os resultados acima mostram que todo subgrupo de Lie conexo é uma

variedade integral de uma distribuição e, consequentemente, é uma subvar-iedade quase-regular.Em geral, distribuições integráveis admitem cartas adaptadas (veja a

seção B.4 no apêndice B). No caso particular da distribuição ∆dh (ou ∆d

h), cu-jas variedades integrais são as classes laterais de 〈exp h〉, uma carta adaptadaao redor da identidade é dada pela exponencial em G da seguinte forma:

Proposição 5.7 Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e h ⊂ guma subálgebra. Suponha que e ⊂ g é um subespaço vetorial que complementa


h em g = e⊕ h. Então, existem abertos 0 ∈ V ⊂ e, 0 ∈ U ⊂ h e 1 ⊂ W ⊂ Gtal que a aplicação ψ : V ×U → W definida por ψ (X, Y ) = (expX) (expY ) éum difeomorfismo e, portanto, uma carta adaptada a∆h. Em outras palavras,W = (expV ) (expU).

Demonstração: A aplicação ψT : h × e → G dada por ψT (X, Y ) =(expX) (expY ) é bem definida. Sua diferencial em (0, 0) é a aplicação iden-tidade, isto é, a inclusão de V × h em g. Portanto, ψ é um difeomorfismolocal nas vizinhanças da origem, garantindo a existência das vizinhanças U eW do enunciado. Para cada Y ∈ e, ψ ({Y } × h) está contido na classe lateral(expY ) 〈exp h〉, que é variedade integral de ∆h. Daí que ψ é carta adaptada.2

Exemplos:

1. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão finita. A imagem de suarepresentação adjunta ad : g → gl (g) é a álgebra de Lie de transfor-mações lineares

ad (g) = {ad (X) ∈ gl (g) : X ∈ g}.

O único subgrupo conexo 〈exp (ad (g))〉 de Gl (g) cuja álgebra de Lieé ad (g) é denotado por Int (g). Como exp ad (X) = Ad (expX) oselementos de Int (g) são automorfismos de g. Eles são denominados deautomorfismos internos de g. SeG é conexo então Int (g) é a imagemda representação adjunta de G, pois tanto G quanto 〈exp (ad (g))〉 sãogerados por exponenciais.

2. O teorema de Ado2 garante que toda álgebra de Lie de dimensão finitag admite uma representação fiel (isto é, injetora) ρ : g → gl (V ) dedimensão finita dimV = n. Nesse caso g é isomorfa à sua imagemρ (g). Portanto, se g é uma álgebra de Lie real então ela é isomorfaa uma subálgebra de Lie de gl (n,R) do grupo de Lie Gl (n,R). Daíque o subgrupo G = 〈exp ρ (g)〉 é um grupo de Lie com álgebra de Lieisomorfa a g. Em suma, toda álgebra de Lie sobre R é (isomorfa) aálgebra de Lie de algum grupo de Lie. Esse é o conteúdo do que seconhece pelo terceiro teorema de Lie.

2Veja o capítulo 10 de Álgebras de Lie [53].


2

5.3 Ideais e subgrupos normais

O objetivo desta seção é particularizar para subgrupos normais as relaçõesestabelecidas na seção anterior entre subgrupos de Lie e subálgebras de Lie.Sejam g uma álgebra de Lie e v um subespaço de g. O normalizador

de v em g, denotado por n (v) é definido por

n (v) = {X ∈ g : ad (X) v ⊂ v}.

Segue da identidade de Jacobi que n (v) é uma subálgebra de g. Claramentev é uma subálgebra se, e só se, v ⊂ n (v) e v é um ideal de g se n (v) = g,isto é, se [X, v] ⊂ v para todo X ∈ g.Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e tome um subespaço v ⊂ g.

O normalizador de v em G, denotado por N (v) é definido por

N (v) = {g ∈ G : Ad (g) v = v}.

Como Ad é um homomorfismo o normalizador N (v) é um subgrupo de G.

Proposição 5.8 Seja H um subgrupo de Lie de G e denote por h sua álgebrade Lie. Suponha que g ∈ G normaliza H, isto é, gHg−1 ⊂ H. Então, gnormaliza h, isto é, Ad (g) h = h.

Demonstração: Para X ∈ h, vale a fórmula:

g exp (tX) g−1 = exp (tAd (g)X) ,

para todo t ∈ R. O fato de que g normaliza H implica que exp (tAd (g)X) éuma curva em H. Ela é diferenciável em relação à estrutura intrínseca de He sua derivada em t = 0 é Ad (g)X. Portanto, Ad (g)X está em T1H ⊂ T1G,isto é, em h. Isso mostra a inclusão Ad (g) h ⊂ h e, portanto, a igualdadeAd (g) h = h. 2

Corolário 5.9 Se H é um subgrupo de Lie normal de G então sua álgebrade Lie h é um ideal da álgebra de Lie g de G.

5.3. IDEAIS E SUBGRUPOS NORMAIS 133

Demonstração: DadoX ∈ g, a proposição anterior garante queAd (exp (tX)) h =h, para todo t ∈ R. Em particular, se Y ∈ h então a curva Ad (exp (tX))Y ⊂h, o que implica que sua derivada em t = 0 está em h. Mas,

d

dtAd (exp (tX))Y|t=0 = [X, Y ]e


A recíproca a esse corolário deve afirmar que se h é um ideal de g então〈exp h〉 é um subgrupo normal. Essa recíproca não vale caso G não sejaconexo (veja exemplo abaixo). A demonstração no caso conexo é apresentadaa seguir.

Proposição 5.10 Sejam G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g eh ⊂ g um ideal. Então, H = 〈exp h〉 é um subgrupo normal de G.

Demonstração: Como H é produto de exponenciais de elementos de h,basta mostrar que g (expX) g−1 ∈ H se g ∈ G e X ∈ h. Mas,

g (expX) g−1 = exp (Ad (g)X) .

Portanto basta mostrar que Ad (g) h = h para todo g ∈ G. Para isso tomeY ∈ g. Então, ad (Y ) h ⊂ h pois h é ideal. Como a transformação linearad (Y ) deixa h invariante, o mesmo ocorre com sua exponencial. Portanto,Ad(eY)h = ead(Y )h = h para todo Y ∈ g. Agora usando a hipótese de que

G é conexo, todo elemento g ∈ G é um produto de exponenciais e, portanto,Ad (g) h = h, concluindo a demonstração. 2

Na teoria de grupos os subgrupos normais aparecem como núcleos dehomomorfismos. Conforme mencionado no exemplo 4 da seção 5.1 o núcleode um homomorfismo diferenciável φ é um subgrupo de Lie. Sua álgebra deLie é o ideal ker (dφ)1 (veja a proposição 6.1).

Exemplo: Foi mostrado na proposição 5.10 que num grupo de Lie conexoG o subgrupo 〈exp h〉 é normal se h é um ideal. A hipótese de que G é conexoé essencial, como mostra o seguinte exemplo. Seja Rθ o subgrupo finito de

rotações em R2 gerado pelo ângulo θ =2π

q, onde q é um inteiro > 2 (por

exemplo se θ = π/2, Rθ tem quatro elementos). O conjunto G = Rθ × R2 é


um subgrupo de Lie do grupo das transformações afins de R2. A componenteconexa da identidade de G é {1}×R2 e a quantidade de componentes conexasde G é igual a ordem de Rθ. A álgebra de Lie g de G é a álgebra abelianabidimensional (R2). Qualquer subespaço de g é um ideal e o subgrupo conexoassociado se identifica ao subespaço. No entanto, esses subgrupos não sãonormais se tiverem dimensão 1, pois as rotações em Rθ não deixam invariantenenhum subespaço de dimensão 1. 2

5.4 Limites de produtos de exponenciais

Nesta seção serão calculados dois limites envolvendo produtos de exponen-cias. Esses limites serão utilizados posteriormente na demonstração do teo-rema do subgrupo fechado de Cartan.Tome G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Ao longo desta seção

serão fixadas vizinhanças U e W de 0 ∈ g e 1 ∈ G, respectivamente, tais queexp : U → W é um difeomorfismo.TomeX, Y ∈ g e considere a curva α (t) = exp (tX) exp (tY ), com α (0) =

1. Se t é suficientemente pequeno, α (t) ∈ W definindo, portanto, a curvaβ (t) ∈ U por exp β (t) = α (t). Um cálculo imediato mostra que

α′ (0) = X + Y.

Como d (exp)1 = id, segue que β′ (0) = α′ (0) = X + Y . Isso garante que emalgum intervalo contendo 0 ∈ R,

β (t) = t (X + Y ) + o (t)

com limt→0

o (t)

t= 0. Em outras palavras,

exp (tX) exp (tY ) = exp (t (X + Y ) + o (t)) . (5.3)

Essa expressão permite mostrar o limite abaixo, conhecido com a fórmulado produto de Lie.

Proposição 5.11 Dados X, Y ∈ g vale

exp (X + Y ) = limn→∞

(exp

(X

n

)exp

(Y

n

))n. (5.4)

5.4. LIMITES DE PRODUTOS DE EXPONENCIAIS 135

Demonstração: Substituindo t =1

nem (5.3) fica

exp

(X

n

)exp

(Y

n

)= exp

(1

n(X + Y ) + o

(1

n

)).

Como limn→∞

o (1/n)

1/n= 0, segue que

limn→∞

exp

(1

n(X + Y ) + o

(1

n

))n= exp (X + Y ) ,


Esta proposição será utilizada abaixo para garantir que o conjunto doselementos de g cuja exponencial pertence ao subgrupo fechado H é um sube-spaço vetorial. A seguir, será demonstrado outro lema que vai garantir queesse conjunto é uma subálgebra.Dados X, Y ∈ g, considere a curva

α (t) = exp (tX) exp (tY ) exp (−tX) exp (−tY ) ,

que satisfaz α (0) = 0. Se t é suficientemente pequeno, α (t) está na vizin-hança W , onde exp : U → W é difeomorfismo. Para esses valores de t,

α (t) = exp (β (t))

com β (t) ∈ U ⊂ g, uma curva diferenciável. Essa curva β pode ser escritaem termos de fluxos de campos de vetores em U . De fato, denote por log :W → U a inversa de exp e seja X = log∗X

d o campo de vetores em U

induzido por X. Então, exp leva trajetórias de X em trajetórias de X.Dessa forma, definindo Y da mesma forma e levando em conta que o fluxodo campo invariante à direita Xd é dado por Xd

t (g) = exp (tX) g, a curva βé dada por

β (t) = Xt ◦ Yt ◦ X−t ◦ Y−t (0) .

As duas primeiras derivadas em t = 0, de uma curva de dessas, definidapor composta de fluxos de campos de vetores num espaço vetorial, pode sercalculada usando as propriedades dos fluxos (veja proposição A.6 no apêndiceA). Por esses cálculos,

β′ (0) = 0 e β′′ (0) = −2[X, Y ] (0) .


Mas, [X, Y ]d = [X, Y ] (0). Portanto, nas vizinhanças de 0 ∈ R, β (t) =

−t2[X, Y ]d + o (t) com limt→0

o (t)

t2= 0. Em termos das exponenciais esta ex-

pressão para β se escreve

exp (tX) exp (tY ) exp (−tX) exp (−tY ) = exp(−t2[X, Y ]d + o (t)

). (5.5)

Proposição 5.12 Dados X, Y ∈ g vale

exp (−[X, Y ]d) = limn→∞

(eXn e

Yn e−

Xn e−

Yn

)n2.

Demonstração: Substituindo t =1

nem (5.5) fica

eXn e

Yn e−

Xn e−

Yn = exp

(− 1

n2[X, Y ]d + o

(1

n

)).

Como limn→∞

o (1/n)

1/n2= 0, tomando a potência n2, segue que

limn→∞

exp

(− 1

n2[X, Y ]d + o

(1

n

))n2= exp (−[X, Y ]d) ,


5.5 Subgrupos fechados

O teorema do subgrupo fechado de Cartan assegura que qualquer subgrupofechado H de um grupo de Lie G é, de fato, um subgrupo de Lie, isto é,admite uma estrutura de variedade diferenciável que o torna um subgrupode Lie. Esse é um dos resultados clássicos da teoria dos grupos de Lie e éamplamente utilizado nas mais diversas situações.Seja H ⊂ G um subgrupo fechado. A estratégia para demonstrar que

H é subgrupo de Lie consiste em definir, a partir de H, uma subálgebra deLie h ⊂ g e mostrar e construir a estrutura diferenciável em H a partir daestrutura em 〈exp h〉. Dito isso, defina

hH = {X ∈ g : ∀t ∈ R, exp tX ∈ H}. (5.6)

Com os limites da seção anterior é fácil verificar que hH é uma subálgebrade Lie de g.

5.5. SUBGRUPOS FECHADOS 137

Proposição 5.13 Dado um grupo de Lie G com álgebra de Lie g, seja H ⊂G um subgrupo fechado. Então, hH é subálgebra de Lie de g.

Demonstração: O conjunto hH é não vazio pois 0 ∈ hH . Tome X, Y ∈ hH .Os subgrupos a 1-parâmetro gerados por X e aX coincidem se 0 6= a ∈ R.Portanto, aX ∈ hH , a ∈ R. A fórmula do produto de Lie (5.4) garante queX+Y ∈ hH , poisH é fechado. Da mesma maneira, a proposição 5.12 garanteque hH é fechado pelo colchete, concluíndo a demonstração. 2

O lema a seguir, além de ser a parte principal da demonstração do teoremado subgrupo fechado, é utilizado diversas vezes em outras situações, princi-palmente na construção de estrutura diferenciável nos espaços quocientes.

Lema 5.14 Dado um subgrupo fechado H seja hH a subálgebra definida em(5.6). Escolha um subespaço e tal que g = hH ⊕ e. Então, existem U ⊂ hH eV ⊂ e (dominios de uma carta adaptada, como na proposição 5.7) tais quese W = eUeV então

H ∩W = eU . (5.7)

Demonstração: Por definição 〈exp hH〉 ⊂ H, portanto expU ⊂ H ∩W .Além do mais

H ∩W = eU(H ∩ eV

)pois para X ∈ U e Y ∈ V , eXeY ∈ H se, e só se, eY = e−XeXeY ∈ H. Dessaforma, deve-se encontrar V tal que H ∩ eV = {1}.Supondo por absurdo que não exista tal aberto V , então existe uma se-

quência Yn ∈ e com Yn 6= 0 tal que yn = eYn ∈ H e limYn = 0, isto é,lim yn = 1.Tome vizinhanças compactas 0 ∈ V ′′ ⊂ V ′ ⊂ e tais que 2V ′′ = V ′′+V ′′ ⊂

V ′ (por exemplo, bolas V ′ = B [0, δ] e V ′′ = B [0, δ/10], em relação a algumanorma). Se n é suficientemente grande então Yn ∈ V ′′ e, por compacidadeexiste um inteiro N (n) ≥ 1 tal que N (n)Yn /∈ V ′′.Seja kn o menor inteiro positivo tal que knYn /∈ V ′′. Então, (kn − 1)Yn ∈

V ′′ e daí que

knYn = (kn − 1)Yn + Yn ∈ V ′′ + V ′′ ⊂ V ′.

Por compacidade, pode-se assumir que knYn converge a Y ∈ V ′. ComoknYn /∈ V ′′, segue que Y não pertence ao interior de V ′′ e daí que Y 6= 0.


Tomando exponenciais, se obtém yknn = eknYn ∈ H e yknn → y = eY 6= 1.Portanto, y ∈ H, já que H é fechado.A partir daí chega-se a uma contradição mostrando que etY ∈ H para todo

t ∈ R. De fato, suponha em primeiro lugar que t = p/q é racional (p, q ∈ Z,q > 0). Se an é o quociente da divisão de pkn por q então pkn = anq+ bn com0 ≤ bn < q. Dividindo essa igualdade por q e multiplicando por Yn se obtém

tknYn = anYn + (bn/q)Yn.

Tomando limites o primeiro membro converge a tY , enquanto que (bn/q)Yn →0, pois bn < q e Yn → 0. Portanto, limn→+∞ anYn = tY . Daí que

etY = limn→∞

eanYn = limn→∞

(eYn)an ∈ H,

já que(eYn)an ∈ H e H é fechado. Isso prova que etY ∈ H, se t é racional.

Usando novamente o fato de que H é fechado, a continuidade da aplicaçãoexponencial garante que etY ∈ H para todo t ∈ R. Mas isso contradiz adefinição de hH , já que Y está no subespaço e complementar de hH e Y 6= 0,concluindo a demonstração. 2

Agora é possível enunciar e concluir a demonstração do teorema de Cartando subgrupo fechado.

Teorema 5.15 Todo subgrupo fechado H de um grupo de Lie G é subgrupode Lie. De forma mais precisa: um subgrupo fechado H admite uma estruturade variedade mergulhada que o torna um subgrupo de Lie. Sua álgebra deLie é hH (definida em (5.6)).

Demonstração: Seja ψ : V × U → W , ψ (X, Y ) = eXeY a carta adaptadaao redor do elemento neutro proveniente do lema 5.14 com H ∩ W = eU .Então, para todo h ∈ H, o conjunto Wh = eV eUh é uma vizinhança de h emG. Essa vizinhança satisfaz

H ∩Wh =(Hh−1 ∩W

)h = (H ∩W )h = eUh.

Portanto, o difeomorfismo Dh ◦ ψ : V × U → W satisfaz Dh ◦ ψ ({0} × U) =H ∩Wh. Como h ∈ H é arbitrário, isso mostra que H é uma subvariedademergulhada de G (veja a proposição B.1). Em particular H é uma subvar-iedade quase-regular, e portanto um grupo de Lie. Aplicando novamente o

5.5. SUBGRUPOS FECHADOS 139

lema 5.14 se vê que o espaço tangente a H no elemento neutro é hH , portantoessa é a álgebra de Lie de H. 2

O teorema do subgrupo fechado admite a seguinte recíproca.

Proposição 5.16 Se H ⊂ G é um subgrupo de Lie mergulhado, então H éfechado.

Demonstração: Como H é uma subvariedade mergulhada existe umacarta

ψ : U × V ⊂ Rk × Rn−k → W ⊂ G

com (0, 0) ∈ U × V e 1 ∈ W tal que ψ (0, 0) = 1 e H ∩W = ψ (U × {0}).Nesse caso H ∩W é fechado em W pois U × {0} é fechado em U × V . Issoimplica que H ∩W = H ∩W . Mas, H também é subvariedade e essa igual-dade mostra que T1H = T1H e daí que H é um subgrupo aberto e portantofechado de H. Consequentemente H é fechado em G. 2

Os resultados desta seção mostram que um subgrupo de Lie H ⊂ G éfechado se, e só se, a subvariedade H é mergulhada. No entanto, a demon-stração do teorema do subgrupo fechado vai além. Ela mostra que H é umsubgrupo de Lie mergulhado se H for localmente fechado, no sentido emque todo h ∈ H admite uma vizinhança W tal que H ∩ W é fechado emW . Isso porque o lema 5.14 continua valendo com a hipótese de que H élocalmente fechado ao redor de 1. Segue dessa observação a seguinte conse-quência.

Corolário 5.17 Se H é um subgrupo localmente fechado de um grupo de LieG então H é fechado.

Exemplo: Alguns exemplos de subgrupos fechados de grupos de Lie são osseguintes:

1. Dado x ∈ G sejaZ (x) = {y ∈ G : yx = xy}

o centralizador de x em G. Então, Z (x) é um subgrupo fechado se G éum grupo de Lie (ou mesmo se G é um grupo topológico de Hausdorff).De fato, y ∈ Z (x) se, e só se, Cx (y) = xyx−1 = y, isto é, Z (x) é oconjunto dos pontos em que as aplicações contínuas Cx e id coincidem.Como G é espaço topológico de Hausdorff esse conjunto é fechado.


2. SejaZ (G) = {x ∈ G : ∀y ∈ G, xy = yx}

o centro do grupo G. Então, Z (G) é fechado se G é um grupo deLie (ou mesmo se G é um grupo topológico de Hausdorff). De fato,Z (G) =

⋂x∈G Z (x) e cada Z (x) é fechado pelo exemplo anterior.

3. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão finita. Denote por Aut (g)o grupo dos automorfismos de g, isto é, g ∈ Aut (g) se g : g → g éuma transformação linear inversível e g[X, Y ] = [gX, gY ] para todoX, Y ∈ g. É claro que Aut (g) é um subgrupo de Gl (g). Seja gnuma sequência em Aut (g) tal que g = lim gn está em Gl (g). Comoformas bilineares entre espaços de dimensão finita são contínuas, asigualdades gn[X, Y ] = [gnX, gnY ], n ≥ 1, passam ao limite, mostrandoque g ∈ Aut (g). Portanto, Aut (g) é um subgrupo fechado de Gl (g) ecomo tal é um grupo de Lie. A álgebra de Lie de Aut (g) é a álgebradas derivações Der (g) de g, pois se D : g → g é uma transformaçãolinear então exp tD ∈ Aut (g) se, e só se, D ∈ Der (g).

4. O grupo Gl (n,C) das transformações lineares complexas inversíveisé um subgrupo de Gl (2n,R). Uma transformação linear g de R2n écomplexa se, e só se, ela comuta com J : R2n → R2n, que correspondeà multiplicação por i em Cn. A partir daí é fácil verificar que Gl (n,C)é um subgrupo fechado de Gl (2n,R) e, portanto, é um grupo de Lie.

5. Os exemplos de grupos lineares apresentados na introdução são fecha-dos e, portanto, subgrupos de Lie. São eles:

• O (n), SO (n), U (n), SU (n), Sp (n), Sl (n,R), Sl (n,C), Sl (n,H) =SU∗ (2n), Sp (n,R), Sp (n,C), O (p, q), SO (p, q), U (p, q), SU (p, q).

2

5.6 Subgrupos conexos por caminhos

Teorema 5.18 Seja G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo. Suponhaque para todo h ∈ H existe uma curva C1 ligando 1 a h. Então, H é umsubgrupo de Lie e uma subvariedade quase-regular.

5.6. SUBGRUPOS CONEXOS POR CAMINHOS 141

A condição do teorema é equivalente a que H é conexo por caminhosdiferenciáveis, já que um caminho entre g e h arbitrários pode ser obtido portranslação de um caminho entre 1 e g−1h.A estratégia para demonstrar esse teorema é parecida com a demonstração

do teorema de Cartan. Em primeiro lugar se considera o subconjunto hH ⊂g = T1G formado pelas derivadas x0 das curvas xt ∈ H, de classe C1, comx0 = 1.

Lema 5.19 O conjunto hH definido acima é uma subálgebra de Lie.

Demonstração: A curva constante xt = 1 está em H, daí que 0 ∈ hH .Sejam xt e yt duas curvas C1 contidas em H com x0 = y0 = 1 e denote porX = x0 e Y = y0 suas derivadas na origem. Se r ∈ R então a derivada emt = 0 de xrt é igual a rX o que mostra que hH é fechado por multiplicaçãopor escalar. Por outro lado, a derivada em t = 0 da curva xtyt ∈ H é igual aX + Y . Portanto, hH é um subespaço vetorial.Para obter o colchete considere para cada t a curva s 7→ Cxt (ys) =

xtysx−1t ∈ H. Sua derivada em s = 0 é

(dCxt)1 (Y ) = Ad (xt) (Y ) ,

portanto a curva t 7→ zt = Ad (xt) (Y ) está em hH , assim como sua derivada.Se t é suficientemente pequeno pode-se escrever xt = ewt de tal forma quezt = Ad (xt) (Y ) = ead(wt) (Y ). Então,

z0 = d (exp)0 (ad (w0)) (Y ) = ad (w0) (Y ) = [X, Y ]

o que mostra que [X, Y ] ∈ hH . 2

Agora para demonstrar o teorema 5.18 basta verificar que H = 〈exp hH〉.Em primeiro lugar, tome h ∈ H e uma curva xt ∈ H ligando o elementoneutro a h. Então, xt+sx−1

t ∈ H e, portanto,

xtx−1t =

d

ds

(xt+sx

−1t

)|s=0∈ h.

Isso significa que a curva xt é tangente à distribuição ∆dhH

(x) = (dDx)1 hH .Portanto, xt está inteiramente contida numa variedade integral I de ∆d

hH

(veja B.23). Como x0 = 1, a variedade integral I que contém xt só pode ser〈exp h〉, o que mostra que H ⊂ 〈exp hH〉.


Para a inclusão contrária mostra-se que H tem interior não vazio em〈exp hH〉: seja {X1, . . . , Xn} uma base de hH e tome curvas x1

t , . . ., xnt em H

com xi0 = Xi. Defina a aplicação

ψ : (t1, . . . , tn) 7−→ x1t1· · ·xntn ∈ H ⊂ 〈exp hH〉,

cujo domínio é um aberto de Rn, que contém a origem. Essa aplicação temclasse C1 e suas derivadas parciais na origem são dadas por

∂ψ

∂ti(0) = Xi.

Pelo teorema da função inversa a imagem de ψ tem interior não vazio em〈exp hH〉. Como essa imagem está contida em H, se conclui que H é sub-grupo aberto de 〈exp hH〉 e, portanto H = 〈exp hH〉, pois 〈exp hH〉 é conexo,concluíndo a demonstração do teorema 5.18.Um corolário imediato do teorema acima é que se um subgrupo H ⊂ G é

ao mesmo tempo uma subvariedade conexa então esta subvariedade é quase-regular e H é subgrupo de Lie. Na verdade, vale o seguinte resultado maisgeral.

Corolário 5.20 Seja G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo. Suponhaque H é uma subvariedade com uma quantidade no máximo enumerável decomponentes conexas. Suponha também que a componente conexa H0 quecontém o elemento neutro é subgrupo. Então, H é subgrupo de Lie e subvar-iedade quase-regular.

Demonstração: De fato, H0 é uma subvariedade conexa e portanto conexapor caminhos. Portanto o teorema garante que H0 é subgrupo de Lie e umasubvariedade quase-regular. Por outro lado seja g um elemento de uma com-ponenente conexa H1. Então gH0 = Eg (H0) é um conexo que contém g,portanto gH0 ⊂ H1. Daí que H0 = g−1 (gH0) ⊂ g−1H1, o que mostra queH1 = gH0. Consequentemente as componentes conexas de H são classeslaterais de H0 e variedades integrais maximais de ∆h. Pelo corolário B.26,H é uma subvariedade quase-regular e é um grupo de Lie. 2

5.7. ESTRUTURA DE VARIEDADE EM G/H, H FECHADO 143

5.7 Estrutura de variedade em G/H, H fe-chado

Sejam G é um grupo Lie e H um subgrupo fechado de G. O objetivodesta seção é construir uma estrutura de variedade diferenciável em G/H,compatível com a topologia quociente. Conforme foi visto no capítulo 2 atopologia quociente em G/H é Hausdorff se H é fechado. As propriedadesda estrutura diferenciável são enunciadas a seguir.

Teorema 5.21 Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado.Então, existe uma estrutura diferenciável em G/H, compatível com a topolo-gia quociente, que satisfaz:

1. dimG/H = dimG− dimH.

2. A projeção canônica π : G→ G/H é uma submersão.

3. Uma função f : G/H →M é diferenciável se, e só se, f ◦ π é diferen-ciável.

4. A ação natural a : G × G/H → G/H é diferenciável. (Essa ação édada por a (g, xH) = (gx)H, isto é, g (xH) = (gx)H.)

5. Para cada g ∈ G a aplicação induzida g : G/H → G/H, xH 7→ gxH éum difeomorfismo.

A estrutura diferenciável definida neste teorema é denominada, natural-mente, de estrutura diferenciável quociente.A construção de um atlas para a estrutura de variedade diferenciável

em G/H está baseada na boa carta adaptada garantida pelo Lema 5.14(melhorada no lema 5.22 abaixo).Denote por g e h as álgebras de Lie de G e H, respectivamente e seja

e ⊂ g um subespaço vetorial de g tal que g = e⊕h. As cartas em G/H serãodifeomorfismos definidos em abertos de e a valores em abertos de G/H.Pelo lema 5.14 existem V , U eW com 0 ∈ V ⊂ e, 0 ∈ U ⊂ h e 1 ∈ W ⊂ G

tal que a aplicação ψ : V × U → W , definida por

ψ (Y,X) = eY eX ,


é um difeomorfismo. O aberto W = eV eU e satisfaz W ∩ H = eU , que é omesmo que eV ∩ H = {1}. (Aqui a ordem dos fatores eY eX foi trocada emrelação ao lema 5.14 para ter ψ (Y,X) ∈ eYH.)No que segue será conveniente supor que W está contido num aberto

análogo W1 = eV1eU1 com 0 ∈ V ⊂ V1 ⊂ e, 0 ∈ U ⊂ U1 ⊂ h e W1 ∩H = eU1

e satisfazendo as condições

• W 2 ⊂ W1 e W−1W ⊂ W1.

Nesse caso o sistema de coordenadas adaptado ψ : V × U → W é arestrição de ψ1 : V1 × U1 → W1. Essa situação pode ser obtida diminuindoconvenientemente os abertos V1 e U1 e restringindo ψ1.A construção do atlas em G/H será feita com o auxílio da extensão de ψ

a V ×H, definida por Ψ : V ×H → G,

Ψ (Y, h) = eY h.

Essa aplicação é diferenciável por ser a composta de aplicações diferenciáveis.Sua diferencial, calculada em A ∈ e e Bd (h), B ∈ h, é dada por

dΨ(Y,h)

(A,Bd (h)

)=

d

dtΨ(Y + tA, etBh

)|t=0

=d

dt

(eY+tAetBh

)|t=0

=d

dtDh

(eY+tAetB

)|t=0

= (dDh)(eY ,0)

(dψ(Y,0) ((A,B))

),

isto é,dΨ(Y,h)

(A,Bd (h)

)= d (Dh ◦ ψ)(Y,0) (A,B) . (5.8)

Lema 5.22 Com as notações acima Ψ (Y, h) = eY h é um difeomorfismosobre eVH, que é um conjunto aberto de G.

Demonstração: Em primeiro lugar, Ψ é injetora. De fato, suponha queeY1h1 = eY2h2. Então, e−Y2eY1 = h2h

−11 . O primeiro membro dessa igualdade

está em W1, já que W−1W ⊂ W1. Como o segundo membro está em H,segue que

e−Y2eY1 ∈ W1 ∩H = eU1 ,

isto é, eY1 = eY2eX1 , para algum X1 ∈ U1. Isso significa que ψ1 (Y1, 0) =ψ1 (Y2, X1), portanto X1 = 0 e Y1 = Y2 pois ψ1 : V1 × U1 → W1 é difeo-morfismo. Portanto, h1 = h2 e Ψ é injetora. Segue que Ψ é bijetora sobreeVH.

5.7. ESTRUTURA DE VARIEDADE EM G/H, H FECHADO 145

Por fim a expressão (5.8) mostra que dΨ(Y,h) é isomorfismo, o que garanteque Ψ é difeomorfismo local e portanto sua imagem eVH é um conjuntoaberto. A bijetividade de Ψ permite concluir então que Ψ é difeomorfismo.2

Agora pode-se definir o atlas que define a estrutura diferenciável emG/H.

Definição 5.23 Dado g ∈ G defina σg : V → G/H por

σg (Y ) = π (g expY ) = gπ (expY ) ,

isto é, σg = g ◦ π ◦ Ψ|V×{1} . (No segundo membro dessa última expressão gé interpretado como um homeomorfismo de G/H.)

O conjunto de aplicações σg, g ∈ G, forma um atlas de uma estruturadiferenciável em G/H. A demonstração disso é feita nos seguintes itens:

1. σg = g ◦ σ1, como segue direto da definição.

2. A imagem σg (V ) é um aberto deG/H em relação à topologia quociente.

De fato, σ1 (V ) = π(eV)

= π(eVH

)que é aberto, pois eVH é aberto

e π é aplicação aberta. Daí que σg (V ) = g (σ1 (V )) também é abertopois g : G/H → G/H é homeomorfismo.

3. σg : V → σg (V ) é bijetora.

Basta verificar a injetividade: se σg (Y1) = σg (Y2) então existem h1, h2 ∈H tal que geY1h1 = geY2h2, isto é, eY1h1 = eY2h2, o que significa queΨ (Y1, h1) = Ψ (Y2, h2) e, portanto Y1 = Y2 pela injetividade de Ψ.

4. σg : V → σg (V ) é homeomorfismo.

Por construção σg é contínua. Para verificar que é uma aplicação abertase observa que se A ⊂ V então σg (A) = gπ

(eA)

= gπ(eAH

). Se A é

aberto então eAH = Ψ (A×H) é aberto, o que implica que σg (A) éaberto em G/H.

5. Para g1, g2 ∈ G a função de transição σ−1g2◦ σg1 é dada por

σ−1g2◦ σg1 (Y ) = p

(Ψ−1

(g−1

2 g1Ψ (Y, 1)))

(5.9)

= p(Ψ−1

(g−1

2 g1eY))


onde p : V ×H → V é a projeção.

Tome Y, Z ∈ V tal que σg1 (Y ) = σg2 (Z). Isso significa que g1eY está

na mesma classe lateral que g2eZ , isto é, existe h ∈ H tal que

g1Ψ (Y, 1) = g1eY = g2e

Zh = g2Ψ (Z, h) .

Essa igualdade se reescreve como Ψ (Z, h) = g−12 g1Ψ (Y, 1) = g−1

2 g1eY .

Usando o fato de que Ψ é bijetora se vê que Z é a primeira coordenadade Ψ−1

(g−1

2 g1eY), conforme enunciado.

(Deve-se observar que o domínio de definição de σ−1g2◦ σg1 é o conjunto

aberto{Y ∈ V : g−1

2 g1eY ∈ eVH} = g−1

1 g2

(eVH

)∩ eV

que não é vazio se g2

(eVH

)∩ g1e

V 6= ∅, isto é, se σg1 (V )∩σg2 (V ) 6= ∅.Além do mais, se Y está nesse domínio de definição entãoΨ−1

(g−1

2 g1eY)

está bem definido, portanto a fórmula (5.9) faz sentido.)

Essas afirmações mostram que as aplicações σg são as cartas de um atlasdiferenciável em G/H =

⋃g∈G σg (V ). O item (4) garante que σg é um

sistema de coordenadas para um aberto ao redor de gH. Já o item (5)mostra que as funções de transição são diferenciáveis, por serem compostasde aplicações diferenciáveis, isto é, σ−1

g2◦ σg1 = p ◦Ψ−1 ◦ Eg−12 g1

◦ exp.Com isso se conclui a construção da estrutura de variedade diferenciável

em G/H. As demais propriedades enunciadas no teorema 5.21 são obtidasda seguinte forma:

1. dimG/H = dimG−dimH, pois dimG/H = dimV = dim e = dim g−dim h = dimG− dimH.

2. A projeção canônica π : G → G/H é uma submersão. De fato, arestrição πg de π à subvariedade geV é um difeomorfismo sobre a viz-inhança coordenada σg (V ). Isso porque σ−1

g ◦ πg é a inversa do difeo-morfismo Y ∈ V 7→ geY ∈ geV . Daí que a restrição de dπg a Tg

(geV)

é isomorfismo, portanto a diferencial é sobrejetora.

3. O critério de diferenciabilidade para uma função f : G/H →M é con-sequência imediata de que π : G→ G/H é uma submersão sobrejetora.Em todo caso, se f ◦ π é diferenciável então a restrição f ◦ πg tam-bém é diferenciável e a diferenciabilidade de f em g segue do fato queπg : geV → σg (V ) é difeomorfismo. A recíproca é evidente.


4. A ação canônica a : G × G/H → G/H entra no seguinte diagramacomutativo

G×G p−→ Gid ↓↓ π ↘ ↓ πG×G/H a−→ G/H

Deste diagrama e do critério de diferenciabilidade para funções definidasem G/H, segue de imediato que a é diferenciável, já que π ◦ p é difer-enciável.

5. Dado g ∈ G a aplicação xH 7→ gxH é diferenciável por ser uma apli-cação parcial da ação a. Sua inversa é dada por xH 7→ g−1xH, quetambém é diferenciável, portanto ambas são difeomorfismos.

Por fim, se H é subgrupo normal e fechado então G/H é um grupo,cujo produto p : G/H × G/H → G/H é diferenciável, pois é definido pelodiagrama

G×G p−→ Gπ ↓↓ π ↘ ↓ π

G/H ×G/H p−→ G/H

(compare com a proposição 2.27). Nesse caso π é um homomorfismo diferen-ciável. Sua diferencial dπ1 é um homomorfismo de álgebras de Lie sobrejetor,cujo núcleo é h, que é um ideal de g. Portanto, a álgebra de Lie de G/H,sendo a imagem de dπ1, é isomorfa a g/ ker dπ1 = g/h.

Proposição 5.24 Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo normale fechado. Então, G/H é um grupo de Lie com a estrutura quociente. Suaálgebra de Lie é isomorfa à álgebra quociente g/h.

5.8 Exercícios

1. Mostre que todo subgrupo de Lie conexo de (Rn,+) é fechado.

2. Descreva os sugbrupos de Lie conexos do grupo de Heisenberg, isto é,o grupo de Lie das matrizes da forma 1 x y

0 1 z0 0 1

x, y, z ∈ R.


Mostre que todos esses subgrupos são fechados. Algum deles é com-pacto?

3. Este exercício tem por objetivo fornecer um exemplo de que a apli-cação ρ definida na demonstração do teorema 5.4 não é uma imersãoem todo Rk. Tome g = gl (n,R) e h a subálgebra das matrizes trian-gulares superiores com 0’s na diagonal. Escolha a base de h dada porX1 = E23 + E13, X2 = E12 e X3 = E23 onde Eij denota a matriz comentrada não nula = 1 somente na posição ij. Mostre que a aplicação(t1, t2, t3) 7→ et1X1et2X2et3X3 não é uma imersão.

4. Seja G ⊂ Gl (n,R) um subgrupo de Lie com álgebra de Lie g ⊂gl (n,R). Mostre que se G é compacto então os auto-valores de todamatriz X ∈ g são puramente imaginários.

5. Sejam G1 e G2 grupos de Lie e H1 ⊂ G1 e H2 ⊂ G2 subgrupos de Lie.Mostre que H1 ×H2 é subgrupo de Lie de G1 ×G2.

6. Sejam G com álgebra de Lie g e V ⊂ g um subespaço vetorial. Definaa distribuição ∆V (g) = (dDg)1 (V ). Mostre que se V não é subálgebrade Lie então ∆V não é integrável.

7. Dado um grupo de Lie G sejam H1, H2 ⊂ G subgrupos de Lie com H1

conexo. Mostre que se H1 ∩ H2 contém um aberto intrínseco de H1

então H1 ⊂ H2.

8. Mostre que os seguintes subgrupos do grupo linear são grupos de Lie:O (n); SO (n); Sl (n,R) = {g ∈ Gl (n,R) : det g = 1}; U (n); SU (n);Sp (n,R) = {g ∈ Gl (2n,R) : gJgT = J} onde J é a matriz escrita emblocos n× n como

J =

(0 −11 0

);

subgrupo das matrizes triangulares superiores (aij = 0 se i > j). De-screva suas álgebras de Lie.

9. Sejam dados um subgrupo discreto D e um subgrupo conexo H de umgrupo de Lie G. Suponha que H normaliza D, isto é, para todo h ∈ H,hDh−1 ⊂ D e mostre que h centraliza D, isto é, hd = dh, d ∈ D,h ∈ H. Conclua que um subgrupo normal e discreto de um grupo deLie conexo está contido no centro.


10. Dado um grupo de Lie G, mostre que seu centro Z (G) é um subgrupode Lie cuja álgebra de Lie é o centro z (g) = {X ∈ g : ∀Y ∈ g, [X, Y ] =0} da álgebra de Lie g de G. Conclua que Z (G) é um subgrupo discretose, e só se, z (g) = {0}.

11. Dê exemplo de um grupo de Lie conexo G tal que z (g) = {0} mas queZ (G) é infinito.

12. Uma álgebra de Lie g (de dimensão finita) é simples se dim g > 1 e osúnicos ideais de g são os triviais {0} e g. Seja G um grupo de Lie cujaálgebra de Lie g é simples. Mostre que o centro Z (G) é discreto.

13. Dados um subgrupo de Lie H de G e g ∈ G, mostre que gHg−1 ésubgrupo de Lie, cuja álgebra de Lie é Ad (g) h, onde h é a álgebra deLie de H.

14. Seja H ⊂ G um subgrupo de Lie conexo. Mostre que H é normal emseu fecho H. Dê exemplo de um subgrupo H não conexo que não énormal em seu fecho.

15. Seja H um subgrupo de Lie conexo e não fechado de G. Mostre quea álgebra de Lie de H está contida propriamente na álgebra de Lie deseu fecho H.

16. Suponha que H ⊂ G é um subgrupo de Lie conexo e não fechado.Mostre que existe uma sequência hn ∈ H tal que hn →∞ (isto é, paratodo compacto K ⊂ H existe n ∈ N tal que hn /∈ K) em relação àtopologia intrínseca e, no entanto, hn → 1 na topologia de G.

17. Dado um grupo de Lie G, com álgebra de Lie g, tome vizinhançasV ⊂ g e U ⊂ G das origens tais que exp : V → U é difeomorfismo.Denote por log : U → V a inversa de exp. Seja H ⊂ G um subgrupode Lie conexo com álgebra de Lie h. Mostre que se log (U ∩H) ⊂ hentão H é fechado.

18. Suponha que H ⊂ G é um subgrupo de Lie conexo com álgebra de Lieh ⊂ g. Denote por N (H) = {g ∈ G : gHg−1 ⊂ H} o normalizador deH e n (h) = {X ∈ g : ad (X) h ⊂ h} o normalizador de h em g. Mostreque o normalizador N (H) de H é um subgrupo fechado. Suponhatambém que H é conexo e mostre que sua álgebra de Lie é n (h). Dê


exemplo de um subgrupo de Lie não conexo H tal que N (H) é fechadoe, no entanto, a álgebra de Lie de N (H) não coincide com n (h).

19. Seja G um grupo de Lie conexo e ρ : G→ Gl (V ) uma representação dedimensão finita deG. Mostre que ρ (G) é um subgrupo de Lie deGl (V ).Qual é a álgebra de Lie de ρ (G)? Generalize para um homomorfismodiferenciável ρ : G→ H.

20. Seja g uma álgebra de Lie (sobre R e dim g <∞). Denote por Aut (g) ogrupo dos automorfismos de g. Mostre que a álgebra de Lie de Aut (g)é a álgebra das derivações de g (veja o exemplo ao final da seção 5.5).

21. Um grupo de matrizes G é algébrico se existem polinômios Pi, i =1, . . . , r no espaço das matrizes tal que G = {g : Pi (g) = 0}. Mostreque um grupo algébrico de matrizes sobre R ou C é grupo de Lie edescreva a álgebra de Lie em termos dos polinômios. Dê exemplos degrupos algébricos.

22. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Tome elementosX, Y ∈ g que geram g (isto é, X e Y não estão contidos em nenhumasubálgebra própria de g ou, o que é equivalente, os colchetes sucessivosentre X e Y geram g). Mostre que os grupos a 1-parâmetro exp tX eexp tY geram G.

23. Seja G um grupo de Lie e S ⊂ G um subsemigrupo de G, isto é, seg, h ∈ S então gh ∈ S (sendo que g−1 pode não pertencer a S). Seja ga álgebra de Lie de G e considere o conjunto

L (S) = {X ∈ g : ∀t ≥ 0, exp tX ∈ S}.

Suponha que 1 ∈ S e mostre que L (S) satisfaz as seguintes pro-priedades: (i) L (S) é um cone convexo, isto é, dados X, Y ∈ L (S)e a, b reais > 0 então aX + bY ∈ L (S); (ii) L (S) é um cone de Lie,isto é, se ±X ∈ L (S) então exp tad (X) (L (S)) = L (S) para todot ∈ R. (Sugestão: use as fórmulas da seção 5.4.)

24. Mostre a unicidade da estrutura quociente: duas estruturas de var-iedade diferenciável em G/H que satisfazem as propriedades do teo-rema 5.21 são difeomorfas.


25. Sejam G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g e H,N ⊂ Gsubgrupos de Lie, com álgebras de Lie h e n, respectivamente. Suponhaque g = h+ n e que N é subgrupo normal. Mostre que G = HN .

26. Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado. Suponhaque H contenha um subgrupo fechado L, que é normal em G. Mostreque existe um difeomorfismo φ : G/H → (G/L) / (H/L) tal que paratodo g ∈ G e x ∈ G/H, vale φ (gx) = π (g)φ (x), onde π : G→ G/L éa projeção canônica.

27. Este exercício apresenta um caso em que a decomposição do lema 5.22é global. Seja G = Gl (n,R) e K = O (n). Denote por e o espaço dasmatrizes simétricas n × n. Mostre que a aplicação ψ : e × K → Gdada por ψ (X, k) = eXk é um difeomorfismo. Faça o mesmo comG = Sl (n,R) e K = SO (n).

Capítulo 6

Homomorfismos eRecobrimentos

Os resultados sobre subgrupos de Lie demonstrados anteriormente permitemobter diversas informações sobre homomorfismos entre grupos de Lie. A idéiaaqui é que o gráfico de um homomorfismo φ : G→ H é um subgrupo do grupoproduto G×H isomorfo a G através da projeção π1 : G×H → G, π1 (x, y) =x, e vice-versa, se o gráfico de uma aplicação φ é um subgrupo então φ éhomomorfismo. Caso o homomorfismo φ seja contínuo ou diferenciável, o seugráfico tem propriedades topológicas ou diferenciáveis. Uma das aplicaçõesobtidas é a demonstração de que qualquer homomorfismo entre as álgebrasde Lie se “estende” aos grupos caso o domínio seja simplesmente conexo.Juntando essas extensões com a construção de uma estrutura de grupo deLie no recobrimento universal de um grupo dado se obtém uma descriçãodos grupos de Lie conexos a partir dos simplesmente conexos. As classes deisomorfismos dos grupos conexos e simplesmente conexos estão em bijeçãocom as classes de isomorfismos das álgebras de Lie de dimensão finita.

6.1 Homomorfismos

6.1.1 Imersões e submersões

Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável. Então, φ é de postoconstante, pois para todo g ∈ G, vale φ ◦ Eg = Eφ(g) ◦ φ o que acarreta

dφg = d(Eφ(g)

)1◦ (dφ)1 ◦ d (Eg−1)g .

153

154 CAPÍTULO 6. HOMOMORFISMOS E RECOBRIMENTOS

Por outro lado, kerφ é um subgrupo de Lie (fechado).

Proposição 6.1 A álgebra de Lie de kerφ é o ideal ker (dφ)1.

Demonstração: Seja g a álgebra de Lie de G e denote por k a álgebrade Lie de kerφ. Tome X ∈ g. Como para todo t ∈ R, vale φ (exp tX) =exp (dφ)1 (tX) = 1, segue que φ (exp tX) = 1 se, e só se, (dφ)1 (tX) = 0. Istoé, X ∈ kerφ se, e só se, X ∈ k. 2

Pelo fato de ter posto constante φ é uma imersão se dφ1 é injetora, isto é,se kerφ = {0}. Nesse caso, kerφ é um subgrupo discreto. Vice-versa se kerφé um subgrupo discreto então φ é uma imersão pois, nesse caso, kerφ = {0}.Em particular, se kerφ = {1} então φ é uma imersão.

Corolário 6.2 Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável e injetorentre grupos de Lie. Então, φ é uma imersão e sua imagem é um subgrupode Lie de H.

(Para a última afirmação deste corolário veja a proposição ??.)Em geral, para homomorfismos não necessariamente injetores, vale o se-

guinte teorema de isomorfismo.

Proposição 6.3 Sejam G e H grupos de Lie e φ : G → H um homomor-fismo diferenciável. Então, G/ kerφ é um grupo de Lie. Seja φ (g kerφ) =φ (g) o homomorfismo que torna o diagrama

Gφ−→ imφ ⊂ H

↓ π ↗φ

G/ kerφ

comutativo (onde π : G → G/ kerφ é o homomorfismo canônico). Então, φé uma imersão injetora em H, o que implica que imφ é um subgrupo de Liede H isomorfo a G/ kerφ.

Demonstração: O fato de que G/ kerφ é grupo de Lie foi provado nocapítulo 12 (veja a proposição 5.24). A diferenciabilidade de φ (em relaçãoà estrutura quociente) é consequência da proposição ??, já φ ◦ π = φ é difer-enciável. Por fim, por definição φ é aplicação injetora, o que implica que sua


imagem é subgrupo de Lie isomorfo a G/ kerφ. 2

Já a sobrejetividade de um homomorfismo diferenciável ocorre, essenci-almente, só nos casos em que o homomorfismo for uma submersão, comomostram as proposições a seguir.

Proposição 6.4 Seja φ : G→ H um homomorfismo diferenciável e suponhaque a componente da identidade H0 de H está na imagem de φ. Suponhatambém que G tem no máximo uma quantidade enumerável de componentesconexas (ou que G é completamente separável). Então, (dφ)1 é sobrejetora,o que implica que φ é uma submersão.

Demonstração: Seja G0 a componente da identidade de G. Então,H0 ⊂

⋃g∈G φ (gG0) =

⋃g∈G φ (g)φ (G0). Pelo teorema de Baire pelo menos

um dos conjuntos φ (g)φ (G0)∩H0 tem interior não vazio. Como essas com-ponentes são isomorfas, todas as que interceptam H0 têm interior não vazio.Em particualar, φ (G0) é um subgrupo de interior não vazio em H0 e, por-tanto, φ (G0) = H0. Portanto, pela proposição anterior, H0 é isomorfo a

G0/ (kerφ ∩G0), através do isomorfismo φ. Isso implica que(dφ)

1é subre-

jetora e, portanto, que (dφ)1 é sobrejetora, concluíndo a demonstração. 2

A reciproca da proposição anterior é uma consequência imediata do teo-rema da aplicação aberta.

Proposição 6.5 Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável entregrupos de Lie. Suponha que dφ1 é sobrejetora. Então, φ é uma aplicaçãoaberta e H0 ⊂ imφ.

Demonstração: O teorema da aplicação aberta garante que se dφ1 ésobrejetora então existe uma vizinhança aberta U da identidade tal que arestrição de φ a U é uma aplicação aberta. Em particular, φ (U) é abertoe, portanto, a imagem de φ é um subgrupo de interior não vazio. Mas, porhipótese H é conexo e daí que a imagem de φ coincide com H.Seja V ⊂ G um aberto e tome x ∈ V . Então, existe um aberto W ⊂ U

tal que xW ⊂ V . Como φ é homomorfismo, φ (xW ) = φ (x)φ (W ). Mas, porconstrução de U , φ (W ) é aberto e daí que φ (x)φ (W ) é um aberto contendoφ (x) e contido em φ (V ), mostrando que φ (V ) é aberto e, portanto, φ é


aplicação aberta. 2

Quando o homomorfismo é tanto uma imersão quanto uma submersão,ele apresenta a propriedade topológica interessante de ser uma aplicação derecobrimento.Uma aplicação f : A → B é um recobrimento se para todo x ∈ B existe

uma vizinhança conexa V 3 x tal que a restrição de f a cada componenteconexa C de f−1 (V ) é um homeomorfismo entre C e V .Aplicações de recobrimento ocorrem no caso de quocientes por subgrupos

discretos, lembrando que D ⊂ G é discreto se existe um aberto U tal queU ∩D = {1} (veja exercício 8 do capítulo 2).

Proposição 6.6 Sejam G um grupo topológico localmente conexo e D ⊂ Gum subgrupo discreto. Então, a projeção canônica π : G → G/D é umaaplicação de recobrimento.

Demonstração: Tome um aberto U com U ∩D = {1} e seja V � 1 abertoconexo com V −1 = V e V 2 ⊂ U . Para g ∈ G a projeção π (gV ) é umavizinhança conexa de x = gH e vale

π−1 (π (gV )) =⋃d∈D

gV d.

Os abertos gV d que formam essa união são conexos e satisfazem gV d1 ∩gV d2 6= ∅ se, e só se, d1 = d2. De fato, se y ∈ gV d1 ∩ gV d2 entãog−1y = v1d1 = v2d2 com v1, v2 ∈ V . Daí que v−1

2 v1 = d2d−11 ∈ U ∩ D

de onde se conclui que v1 = v2 e d1 = d2. Portanto, π−1 (π (gV )) é união decomponentes conexas homeomorfas a π (gV ), mostrando que π é uma apli-cação de recobrimento. 2

Proposição 6.7 Sejam G e H grupos de Lie, com álgebras de Lie g e hrespectivamente. Seja φ : G → H um homomorfismo sobrejetor e suponhaque φ é um difeomorfismo local, isto é, (dφ)1 : g → h é um isomorfismo deálgebras de Lie. Então, φ é uma aplicação de recobrimento.

Demonstração: O teorema de isomorfismo combinado com a hipótese deque φ é sobrejetora garante que H é isomorfo a G/ kerφ, através do iso-morfismo φ definido na proposição 6.3. Além do mais, kerφ é um subgrupo


discreto pois (dφ)1 é isomorfismo. Daí que a proposição anterior garante queφ é uma aplicação de recobrimento. 2

Corolário 6.8 Suponha que o homomorfismo diferenciável φ : G → H éuma imersão. Então, φ : G→ imφ é uma aplicação de recobrimento.

6.1.2 Gráficos e diferenciabilidade

Dados os grupos G e H, uma aplicação φ : G → H é um homomorfismo degrupos se, e só se, o seu gráfico grafφ = {(x, φ (x)) : x ∈ G} é um subgrupode G × H. Quando isso ocorre, os grupos G e grafφ são isomorfos, via aprojeção p : grafφ→ G, p (x, φ (x)) = x, cuja inversa é

l : x ∈ G 7→ (x, φ (x)) ∈ grafφ.

O homomorfismo φ é recuperado por l pela fórmula φ = π2 ◦ l.No contexto topológico um homomorfismo φ : G→ H é contínuo se, e só

se seu gráfico é um subgrupo fechado no caso em que H é de Hausdorff (veja2.9).Um critério semelhante vale para os homomorfismos diferenciáveis.

Proposição 6.9 Sejam G e H grupos de Lie. Uma aplicação φ : G→ H éum homomorfismo diferenciável se, e só se, o seu gráfico

grafφ = {(x, φ (x)) ∈ G×H : x ∈ G}

é um subgrupo de Lie fechado de G × H difeomorfo a G, pela projeçãop (x, φ (x)) = x.

Demonstração: Se o gráfico é um subgrupo de Lie fechado difeomorfo aG via a projeção então a igualdade φ = π2 ◦ l mostra que φ é diferenciável.A recíproca é consequência de um resultado geral sobre aplicações entre

variedades: se φ é diferenciável então seu gráfico é uma subvariedade mer-gulhada e fechada, difeomorfa ao domínio. Por isso se φ é diferenciável entãografφ é subgrupo de Lie. 2

No caso de um homomorfismo diferenciável φ a álgebra de Lie de seugráfico grafφ é o gráfico graf (dφ)1 de (dφ)1, que é o espaço tangente a grafφ


no elemento neutro (1, 1). Esse gráfico é uma subálgebra por ser o gráfico deum homomorfismo de álgebras de Lie.A interpretação da diferenciabilidade em termos do gráfico combinada

com o teorema do subgrupo fechado permite mostrar que homomorfismoscontínuos entre grupos de Lie são, na verdade, diferenciáveis.

Teorema 6.10 Sejam G e H grupos de Lie e φ : G→ H um homomorfismocontínuo. Então, φ é diferenciável.

Demonstração: Pode-se supor sem perda de generalidade que G é conexo,já que o homomorfismo φ é diferenciável se, e só se ele é diferenciável no ele-mento neutro. Além do mais, se grafφ ⊂ G×H é fechado então graf

(φ|G0

)⊂

G0 ×H também é fechado pois G0 é fechado em G.Agora, a continuidade de φ implica que grafφ é um subgrupo fechado, e

portanto de Lie, de G × H homeomorfo a G via a projeção p : grafφ → G.Então, pelo corolário 6.2, p é uma imersão por ser injetora e pela proposição6.4, p é uma submersão, por ser sobrejetora.Daí que p é um difeomorfismo, o que garante que φ = π2 ◦ p−1 é diferen-

ciável. 2

Exemplo: O teorema acima é uma generalização ampla do fato de que oshomomorfismos contínuos do grupo aditivo R são diferenciáveis. Para essecaso pode-se dar a seguinte demonstração elementar: se φ : R→ R é um ho-momorfismo então para todo inteiro n ∈ Z, φ (n) = nφ (1) e φ (1) = nφ (1/n),isto é, φ (1/n) = 1/nφ (1). Isso implica que φ é linear quando R é visto comoespaço vetorial sobre Q, isto é, φ (p/q) = p/qφ (1). Se além do mais φ é con-tínuo então ele é linear também sobre R. Em particular, φ é diferenciável. 2

6.1.3 Extensões

O teorema 6.10 explorou a propriedade de subgrupo do gráfico de um ho-momorfismos, juntamente com o teorema do subgrupo fechado. O próximopasso é explorar a mesma propriedade, levando em conta agora construçãode subgrupos conexos a partir das subálgebras de Lie. O que se obtém daísão “extensões”de homomorfismos de álgebras de Lie a homomorfismos degrupos de Lie. Em geral essas extensões só podem ser feitas localmente. O


caso global só funciona com a hipótese de que o domínio é simplesmenteconexo.Sejam g e h álgebras de Lie. Da mesma forma que para aplicações entre

grupos, uma aplicação θ : g → h é um homomorfismo se, e só se, o seugráfico é uma subálgebra da álgebra produto g × h. Reciprocamente, umsubespaço v de g× h é o gráfico de um homomorfismo θ : g→ h se, e só se,v é uma subálgebra isomorfa a g pela projeção g× h, restrita a v. O gráficodo homomorfismo θ será denotado por g (θ).Suponha agora que g e h são as álgebras de Lie dos grupos de Lie G e

H, respectivamente. Então g× h é a álgebra de Lie de G×H. Seja G (θ) =〈exp g (θ)〉 o único subgrupo de Lie conexo de G × H cuja álgebra de Lie ég (θ). O que seria desejável é que G (θ) fosse o gráfico de um homomorfismoG → H, que estende θ, isto é, cuja diferencial é θ. No entanto, G (θ) nemsempre é o gráfico de uma aplicação entre G e H, como mostra o exemplo aseguir.

Exemplo: Seja G = S1 e H = R. Suas álgebras de Lie coincidem comR, a álgebra abeliana unidimensional. Os homomorfismos θ : R→ R são daforma θa (X) = aX, a ∈ R. O gráfico de θa é a reta ra de equação u = av,(u, v) ∈ R2 e o subgrupo G (θa) ⊂ S1 × R é imagem de ra pela projeçãocanônica R × R → S1 × R. Geometricamente, os grupos G (θa) são espiraisse a 6= 0 e o círculo S1 × {0} se a = 0. Apenas no caso a = 0, G (θa) é ográfico de uma aplicação S1 → R. 2

Antes de olhar a existência de estensões de homomorfismos de álgebrasde Lie, a seguinte proposição assegura a unicidade dessas extensões, no casoem que o domínio é conexo.

Proposição 6.11 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h,respectivamente. Sejam também φ, ψ : G→ H homomorfismos diferenciáveistais que (dφ)1 = (dψ)1. Suponha que G é conexo. Então, φ = ψ.

Demonstração: Se X ∈ g então

φ(eX)

= edφ1(X) = edψ1(X) = ψ(eX)

daí que φ e ψ coincidem num produto eX1 · · · eXk , Xi ∈ g. Portanto, φ = ψ,pois G é conexo. 2


No caso em queG não é conexo, as extensões não são únicas. Por exemplo,seG é um grupo discreto então (dφ)1 = 0 para qualquer homomorfismo. Mas,se φ é homomorfismo então Ch◦φ também é homomorfismo para todo h ∈ H.Em geral (se H não é abeliano), Ch ◦ φ 6= φ.Apesar de G (θ) não ser em geral o gráfico de uma aplicação, localmente

ele é o gráfico de um homomorfismo local, no seguinte sentido:

Definição 6.12 Um homomorfismo local entre os grupos de Lie G e H éuma aplicação φ : U → H com 1 ∈ U ⊂ G vizinhança da identidade, tal queφ (g1g2) = φ (g1)φ (g2) sempre que g1, g2 e g1g2 estejam em U . Isso implicaque se g, g−1 ∈ U então φ (g−1) = φ (g)−1. Se além do mais φ : U → V ⊂ Hé difeomorfismo então φ é um isomorfismo local . Nesse caso φ−1 também éum homomorfismo local.

Para verificar que θ se estende a um homomorfismo local, denote porp : G (θ) → G sua restrição a G (θ) ⊂ G × H da projeção na primeiracoordenada. É claro que p é um homomorfismo diferenciável G (θ) → G. Adiferencial d (p)1 de p no elemento neutro é a restrição a g (θ) da projeçãog×h→ g, de onde segue que d (p)1 : g (θ)→ g é um isomorfismo de álgebrasde Lie, pois g (θ) é o gráfico de um homomorfismo.

Proposição 6.13 Seja θ : g → h um homomorfismo. Então, existe umhomomorfismo local diferenciável φ : U ⊂ G→ H tal que (dφ)1 = θ.

Demonstração: Como (dp)1 é um isomorfismo, existem vizinhanças daidentidade V ′ ⊂ G (θ) e U ′ ⊂ G tal que a restrição pV : V ′ → U ′ de p aV ′ é um difeomorfismo. Seja φ a inversa de pV , isto é, p

(φ (x)

)= x para

todo x ∈ U .′ Por definição p (x, y) = x, se y ∈ H, daí que φ é da formaφ (x) = (x, φ (x)) com φ (x) ∈ H, para todo x ∈ U ′. Isso define a aplicaçãoφ : U ′ → H e como φ (x) percorre V ′ quando x varia em U ′, o gráfico de φ éV ′.Para obter o homomorfismo local, seja V ⊂ V ′ uma vizinhança de 1 tal

que V 2 ⊂ V ′ e defina U = pV . Restringindo as aplicações a V e U , φ é umhomomorfismo local. De fato, se g1, g2 e g1g2 estão em U , então φ (g1) =(g1, φ (g1)), φ (g2) = (g2, φ (g2)) e φ (g1g2) = (g1g2, φ (g1g2)) pertencem a V .Mas, G (θ) é um subgrupo de G×H o que garante que

(g1, φ (g1)) (g2, φ (g2)) = (g1g2, φ (g1)φ (g2)) ∈ G (θ) .


Então, (g1g2, φ (g1)φ (g2)) ∈ V ′ pois V 2 ⊂ V ′. Como p é injetora e p (g1g2, φ (g1)φ (g2))coincide com p (g1g2, φ (g1g2)) segue que φ (g1g2) = φ (g1)φ (g2).Por fim, φ é diferenciável pois seu gráfico é a subvariedade V de G×H. 2

Corolário 6.14 Dois grupos de Lie são localmente isomorfos se, e só se,suas álgebras de Lie são isomorfas.

Demonstração: Pela proposição um isomorfismo entre as álgebras de Liese estende a um isomorfismo local entre os grupos. Vice-versa, a diferencialdφ1 é um isomorfismo de álgebras de Lie se φ é um isomorfismo local. 2

O objetivo agora é estender o homomorfismo local a todo grupo G.Levando em conta propriedades topológicas globais de G, deve-se buscarcondições para que G (θ) seja o gráfico de uma aplicação G→ H.A próxima proposição garante que, no caso conexo, G (θ) cumpre um dos

requisitos para ser gráfico de uma aplicação, qual seja o de que para todog ∈ G existe h ∈ H tal que (g, h) ∈ G (θ).

Proposição 6.15 Com as notações acima, a imagem da projeção p : G (θ)→G é a componente conexa G0 do elemento neutro de G. Em particular, p ésobrejetora se G é conexo.

Demonstração: Como d (p)1 é um isomorfismo, sua imagem tem interiornão vazio em G e, portanto, é um subgrupo aberto, que contém a compo-nente conexa do elemento neutro. Por outro lado a imagem de p é conexapois G (θ) é conexo. 2

Agora é possível provar o teorema principal de extensões de homomorfis-mos. Esse teorema é conhecido como o principio da monodromia.

Teorema 6.16 Sejam G e H com álgebras de Lie g e h, respectivamente.Suponha que G seja conexo e simplesmente conexo. Então, para todo ho-momorfismo θ : g → h existe um único homomorfismo φ : G → H tal queθ = (dφ)1.

Demonstração: Como anteriormente, seja g (θ) ⊂ g × h o gráfico de θe G (θ) ⊂ G × H o subgrupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie é g (θ).Por hipótese G é conexo, portanto a proposição 6.15 garante que a projeção


p : G (θ) → G é um homomorfismo diferenciável sobrejetor. Sua diferenciald (p)1 é um isomorfismo. Dessa forma, pela proposição 6.7, p é uma aplicaçãode recobrimento. Porém, por hipótese G é simplesmente conexo. Portanto,p é um homeomorfismo. Isso garante que G (θ) é o gráfico de uma apli-cação φ : G → H. A posteriori φ é um homomorfismo diferenciável, já queG (θ) é um subgrupo de Lie. Por fim, d (φ)1 = θ, já que o espaço tangente àidentidade de G (θ) é o gráfico de θ. A unicidade segue da proposição 6.11. 2

Como consequência desse teorema se conclui que a menos de isomorfismo,existe no máximo um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebrade Lie g.

Corolário 6.17 Sejam G1 e G2 grupos de Lie conexos e simplesmente conexoscom álgebras de Lie isomorfas. Então, G1 e G2 são isomorfos.

Demonstração: Sejam g1 e g2 as álgebras de Lie de G1 e G2, respectiva-mente e θ : g1 → g2 um isomorfismo. Denote por φ : G1 → G2 e ψ : G2 → G1

os homomorfismos com (dφ)1 = θ e (dψ)1 = θ−1. Pela unicidade das exten-sões, segue que φ◦ψ = idG2 e ψ ◦φ = idG1 , isto é, ψ

−1 = φ é um isomorfismoentre G1 e G2. 2

6.2 Recobrimento universal

O objetivo desta seção é concluir um dos programas da teoria de grupos deLie, que é o de descrever os grupos de Lie conexos a partir das álgebras deLie. Essa descrição se resume na seguinte afirmação:

Teorema 6.18 Seja g uma álgebra de Lie real g com dim g <∞. Então,

1. Existe um único (a menos de isomorfismo) grupo de Lie conexo e sim-plesmente conexo G (g) com álgebra de Lie g.

2. Se G é grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g então G ≈ G (g) /Γ,onde Γ ⊂ G (g) é um subgrupo discreto central, isto é, Γ está con-

tido no centro Z(G (g)

)de G (g). Nesse caso Γ é isomorfo ao grupo

fundamental π1 (G).

6.2. RECOBRIMENTO UNIVERSAL 163

Por esse teorema pode-se classificar os grupos de Lie conexos a partir deuma classificação (a menos de isomorfismo) das álgebras de Lie reais e de uma

descrição dos centros Z(G (g)

)dos grupos simplesmente conexos G (g).

A unicidade de G (g) foi garantida pelo principio da monodromia (teorema6.16) e seu corolário 6.17.A parte essencial na demonstração do teorema 6.18 está na existência do

grupo conexo e simplesmente conexo G (g), com álgebra de Lie g. O quese refere ao quociente G = G (g) /Γ será obtido facilmente por uma novaaplicação do principio da monodromia.A existência de G (g) é garantida em dois passos:

1. Se g é uma álgebra de Lie real de dimensão finita então existe um grupode Lie conexo G com álgebra de Lie (isomorfa a) g. Esse resultado deexistência é conhecido como o terceiro teorema de Lie

2. Se G é o grupo de Lie do item anterior então o recobrimento sim-plesmente conexo G de G admite uma estrutura de grupo de Lie cujaálgebra de Lie é (isomorfa a) g.

Dada uma álgebra de Lie g a estratégia para mostrar a existência de umgrupo de Lie G cuja álgebra de Lie é (isomorfa a) g consiste em construirum grupo de Lie H de tal forma que sua álgebra de Lie h contenha umasubálgebra g1 isomorfa a g, pois então 〈exp g1〉 é o grupo procurado.Os candidatos naturais para desempenhar o papel de H são os grupos

lineares, que de fato resolvem o problema em virtude do seguinte resultadosobre álgebras de Lie.

Teorema de Ado:Toda álgebra de Lie real de dimensão finita admite umarepresentação fiel (isto é, injetora), também de dimensão finita.1

A imagem de uma representação fiel de g é uma álgebra de Lie de matrizesisomorfa a g e, portanto, é a álgebra de Lie de algum grupo conexo.Agora pode-se fixar um grupo de Lie conexo G com álgebra de Lie g e

aplicar a teoria de espaços de recobrimentos para construir uma estrutura degrupo de Lie no espaço G, recobrimento universal simplesmente conexo de

1Veja Álgebras de Lie [53], capítulo 10. A demonstração do teorema de Ado é bastanteenvolvente do ponto de vista algébrico. No entanto a demonstração é trivial para álgebrasde Lie com centro {0}, como ocorre com as álgebras semi-simples.


G. (Veja um resumo dessa teoria no apêndice a este capítulo.) A existênciado espaço G se deve a que G é localmente conexo. Além do mais, G é umavariedade diferenciável, localmente difeomorfa a G.

Teorema 6.19 Seja G um grupo de Lie conexo. Denote por π : G → G orecobrimento universal da variedade subjacente e escolha um elemento 1 ∈ Gcom π

(1)

= 1. Então, existe um único produto em G, que o torna um grupo

de Lie, de tal forma que 1 é o elemento neutro e π é um homomorfismo. Asálgebras de Lie de G e G são isomorfas.

Demonstração: O produto em G é obtido através do levantamento doproduto em p : G × G → G da seguinte maneira: seja q : G × G → G aaplicação diferenciável dada por

q (x, y) = p (π (x) , π (y)) .

Como G×G é simplesmente conexo, existe uma única aplicação diferenciávelp : G× G→ G, levantamento de q, tal que p

(1, 1)

= 1:

G× G p−→ G↓ π q ↘ ↓ π

G×G p−→ G

O produto em G definido por p satisfaz os axiomas de grupo. Isso sedemonstra explorando reiteradamente a existência e unicidade de levanta-mentos como segue:

1. 1 é elemento neutro, pois a aplicação x ∈ G 7→ p(

1, x)∈ G é um

levantamento de x ∈ G 7→ q(

1, x)∈ G. Esta aplicação é nada mais

nada menos que a projeção π : G → G. Como p(

1, 1)

= 1 segue

que p(

1, x)

= x pois o único levantamento que fixa um ponto é a

identidade. Da mesma forma, se mostra que p(x, 1)

= x.

2. O único levantamento ι da aplicação x ∈ G 7→ π (x)−1 ∈ G, que satisfazι(

1)

= 1 define a inversa em G. De fato, a aplicação x ∈ G 7→


p (x, ι (x)) ∈ G é um levantamento da aplicação constante x ∈ G 7→1 ∈ G. Como x ∈ G 7→ 1 ∈ G também é um levantamento e ambascoincidem em 1, segue que p (x, ι (x)) é constante, igual a 1, mostrandoque ι (x) = x−1.

3. A associatividade segue do fato que as aplicações G3 → G determinadaspelos produtos x (yz) e (xy) z são levantamentos da aplicação G3 →G dada por π (x) π (y) π (z). Ambos os levantamentos coincidem em(

1, 1, 1), portanto eles coincidem.

As construções de q e p mostram que

πp (x, y) = q (x, y) = p (πx, πy)

portanto, π é um homomorfismo. Reciprocamente, essas igualdades mostramque qualquer levantamento de q satisfaz a propriedade de homomorfismo. Daunicidade dos levantamentos segue então a unicidade do produto em G.Por fim dπ1 é um isomorfismo entre as álgebras de Lie de G e G. 2

Na construção do teorema acima o ponto de partida foi um grupo de Lieconexo G arbitrário. O fato de π ser um homomorfismo sobrejetor, garanteentão que G é isomorfo ao quociente G/ kerπ. Com isso as seguintes obser-vações concluem a demonstração da primeira parte do item (2) do teorema6.18.

1. Γ = ker π é um subgrupo discreto, pois π é um isomorfismo local.

2. Se Γ ⊂ L é um subgrupo normal e discreto do grupo conexo L entãoΓ ⊂ Z (L) (veja o exercício 10 do capítulo 2). De fato, tome γ ∈ Γ e sejaU ⊂ L um aberto tal que γU ∩ Γ = {γ}. A continuidade da aplicaçãol ∈ L 7→ lγl−1 ∈ G implica lγl−1 ∈ γU para l numa vizinhança Vdo elemento neutro. Como D é normal, segue que lγl−1 = γ, isto é, lcomuta com γ se l ∈ V . Como x ∈ L qualquer é produto de elementosde V se conclui que γ comuta com x, isto é, γ ∈ Z (L).

A única afirmação do teorema 6.18 que falta verificar é o isomorfismo entreo subgrupo discreto e o grupo fundamental, o que segue do que seguinte fatogeral.


Proposição 6.20 Sejam G um grupo conexo e simplesmente conexo e Γ ⊂G um subgrupo discreto e normal (isto é, Γ ⊂ Z

(G)). Então, Γ é isomorfo

a π1 (G), G = G/Γ.

Demonstração: O recobrimento universal de G é π : G→ G. Portanto, ogrupo fundamental π1 (G) é isomorfo ao grupo Λ dos levantamentos contínuosde π, isto é, o grupo das aplicações contínuas θ : G→ G tais que π ◦ θ = π.Se g ∈ Γ então a translação à direita Dg ∈ Λ, o que permite definir o

homomorfismog ∈ Γ 7→ Dg ∈ Λ,

que é injetor pois se Dg = id então g = 1. Para ver que ele é sobrejetor tomeθ ∈ Λ. Então, πθ (1) = π (1), o que significa que θ (1) ∈ Γ. Agora, Dθ(1) e θsão dois levantamentos de π com a mesma condição inicial Dθ(1) (1) = θ (1).Como o levantamento é único, se conclui que Dθ(1) = θ, mostrando o isomor-fismo entre Γ e Λ ≈ π1 (G). 2

Corolário 6.21 O grupo fundamental de um grupo de Lie conexo G é abeliano.

Demonstração: De fato, se G = G/Γ então Γ ≈ π1 (G) é central e, por-tanto, abeliano. 2

Corolário 6.22 Dois grupos de Lie conexos são localmente isomorfos se, esó se, seus recobrimentos universais são isomorfos.

A seguir são apresentados alguns exemplos concretos de grupos de Liesimplesmente conexos e seus centros. No capítulo 9 é feita uma análise geraldos grupos nilpotentes e solúveis e em capítulos subsequêntes serão consid-erados os grupos semi-simples, compactos e não-compactos.

Exemplos:

1. O grupo aditivo (R,+) é o único grupo de Lie simplesmente conexo dedimensão 1 pois as álgebras de Lie unidimensionais são todas isomorfas.Seja Γ ⊂ R é um subgrupo discreto com Γ 6= {0}. Então,

ω = inf{x ∈ Γ : x > 0}


existe e é nescessáriamente > 0. Como Γ é fechado, ω ∈ Γ e daí queZω ⊂ Γ. A inclusão contrária é verdadeira pois se x ∈ Γ então épossível escrever x = nω + q com n ∈ Z e 0 ≤ q < ω. Nesse casoq = x−nω ∈ Γ o que força q = 0, pois o contrário contradiz a definiçãode ω.

Em suma, Γ = Zω e R/Γ ≈ S1, mostrando R e S1 são os únicos gruposde Lie conexos de dimensão 1.

2. Um grupo de Lie conexo é abeliano se, e só se, sua álgebra de Lie forabeliana. Dessa forma, para determinar esses grupos basta exibir umgrupo simplesmente conexo abeliano G e determinar seus subgruposdiscretos (pois todos eles estão contidos no centro de G). Como Gpode-se tomar o grupo aditivo Rn. Os subgrupos discretos de Rn sãoisomorfos a Zk, k = 1, . . . , n. De fato, vale o seguinte resultado: seja Vum espaço vetorial real de dimensão n e H ⊂ V um subgrupo discretodo grupo aditivo de V tal que H 6= {1}. Então, existe um conjuntolinearmente independente {v1, . . . , vk}, 1 ≤ k ≤ n, tal que

H = {n1v1 + · · ·+ nkvk : ni ∈ Z}.

A demonstração disso é feita por indução sobre n. Em primeiro lugar,para n = 1, os subgrupos discretos da reta real R são da forma Zω comω ∈ R e, portanto, da forma desejada (veja o exemplo anterior).Para n ≥ 2, suponha que V é munido de um produto interno 〈·, ·〉. Ofato de H ser discreto garante que ínfimo

inf{|v| ∈ R : v ∈ H, v 6= 0}

é atingido, isto é, existe v1 ∈ H tal que |v1| é mínimo entre os compri-mentos dos elementos não nulos de H. Seja 〈v1〉 o espaço gerado porv1. O subgrupo 〈v1〉∩H = Zv1, já que v1 tem comprimento mínimo emH. Além do mais, a escolha de v1 garante que a bola B (0, |v1| /3) ⊂ Vde centro 0 e raio |v1| /3 intercepta H apenas na origem.

Denote por p : V → V/〈v1〉 a projeção canônica sobre o espaço quo-ciente V/〈v1〉 de dimensão n − 1 e considere o subgrupo p (H). Estesubgrupo é discreto em V/〈v1〉. Isso é mostrado verificando que a bola

U = B

(0,

1

3|v1|)satisfaz p (U) ∩ p (H) = {0}. Considere o conjunto

p−1 (p (U)) = U + 〈v1〉.


Um elemento x desse conjunto é da forma x = av1 + u, a ∈ R, u ∈ U .Suponha av1 +u ∈ H. Então, existe b com |b| ≤ 1

2tal que bv1 +u ∈ H.

Mas, bv1 +u ⊂ B (0, |v1|) pois |bv1| ≤1

2|v1| e |u| ≤

1

3|v1|. Pela escolha

de v1, segue que bv1 + u = 0, o que implica que u ∈ 〈v1〉. Isso mostraque

p−1 (p (U)) ∩H = 〈v1〉 ∩H.Como esta igualdade é equivalente a p (U) ∩ p (H) = {0}, o subgrupop (H) é discreto em V/〈v1〉.Pela hipótese de indução existem elementos linearmente independentesw2, . . . , wk ∈ V/〈v1〉, 1 ≤ k ≤ n tal que

p (H) = Z · w2 + · · ·+ Z · wk.

Tomando representantes esses elementos se escrevem como w1 = 〈v1〉,i = 2, . . . , k. O conjunto {v1, v2, . . . , , vk} é linearmente independenteem V . Por construção todo elemento de x ∈ H se escreve como

x = av1 + n2v2 + · · ·+ nkvk

com ni ∈ Z. Para concluir a demonstração falta verificar que a ∈ Z.Mas n2v2 + · · ·+ nkvk ∈ H e, portanto, av1 ∈ H e daí que a ∈ Z.Essa descrição dos subgrupos discretos mostra que, a menos de con-jugação (escolha de uma base), os subgrupos discretos de Rn são daforma

Zk = {(x1, . . . , xk, 0, . . . , , 0) : xi ∈ Z}.Portanto, os grupos de Lie abelianos conexos são da forma Rn/Zk,n ≥ 0, k = 0, . . . , n. No caso em que k = n, Rn/Zn é o toro Tn,enquanto que Rn/Zk ≈ Rn−k ×Tk. Em particular, os únicos grupos deLie conexos abelianos que são compactos são os toros Tn, n ≥ 0.

3. O grupo afim Af (1) tem dimensão dois e duas componentes conexas.Sua álgebra de Lie af (1) é a única álgebra de Lie bidimensional que nãoé abeliana. A componente conexa da identidade Af (1)0 é difeomorfa aR+×R, que é simplesmente conexo. Por outro lado, o centro de Af (1)é trivial pois se (a, v) ∈ Af (1) comuta com (b, w) então aw + v =bv + w. Se isso ocorre para todo (b, w), então v = 0 (tomando w = 0)


e, portanto, a = 1. Consequentemente, Af (1)0 é o único grupo deLie conexo não-abeliano de dimensão dois. (Existem, portanto, quatrogrupos de Lie conexos de dimensão dois: os abelianos R2, T1 ×R e T2

juntamente com o não-abeliano Af (1)0.)

4. O grupo conexo Gl+ (2,R) tem a seguinte estrutura geométrica: seja guma matriz 2× 2, inversível. As colunas de g formam uma base de R2.O processo de ortonormalização de Gram-Schmidt aplicado a essa baseconsiste em multiplicar g à direita por uma matriz triangular superiorda forma

t =

(a x0 b

)com a, b > 0, obtendo a matriz gt = u cujas colunas formam uma baseortonormal, isto é, u é uma matriz ortogonal. Como det g > 0 e det t =ab, segue que detu > 0, isto é, u ∈ SO (2). Portanto, Gl+ (2,R) =SO (2)T onde T é o grupo das matrizes triangulares superiores comentradas positivas na diagonal. Os grupos SO (2) e T são conexos comSO (2) difeomorfo ao círculo S1 e T difeomorfo a R3.

A aplicação φ : SO (2) × T → Gl+ (2,R), dada por φ (u, t) = ut éum difeomorfismo. A demonstração disso segue os seguintes passos:foi verificado que φ é sobrejetora. Por outro lado, φ é injetora poisSO (2)∩T = {1} (e dai que u1t1 = u2t2 implica que u−1

1 u2 = t1t−12 = 1),

além do mais, dφ(u,t) é um isomorfismos para cada (u, t) (a verificaçãodisto usa o fato de que a única matriz anti-simétrica que é ao mesmotempo triangular superior é a matriz nula). Portanto, Gl+ (2,R) édifeomorfo ao cilindro S1×R3 e seu recobrimento universal é difeomorfoa R4.

Os mesmos argumentos valem para Sl (2,R) que se decompõe em Sl (2,R) =SO (2)T1 onde T1 é o grupo das matrizes triangulares superiores dedeterminante 1 e elementos positivos na diagonal. Esse grupo é difeo-morfo a R2 e assim Sl (2,R) é difeomorfo a S1 ×R2 e seu recobrimentosimplesmente conexo é difeomorfo a R3.

5. A álgebra H dos quatérnions, com coeficientes reais, tem dimensãoquatro e é gerada por {1, i, j, k}, onde 1 é o elemento neutro da multi-plicação e os demais produtos dos geradores são:

ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j, i2 = j2 = k2 = −1.


Essa álgebra é associativa e todo elemento não nulo em H admite umainversa (por exemplo i (−i) = 1, isto é, i−1 = −i). Portanto, H∗ =H \ {0} é um grupo de Lie, pois o produto é uma aplicação polinomial.As translações à direita emH∗ são restrições de transformações lineares,por isso, os campos invariantes à direita são da forma Xa (x) = ax coma ∈ H. O cálculo do colchete de Lie entre esses campos mostra que aálgebra de Lie de H∗ é o próprio H com o colchete dado pelo comutador

[a, b] = ba− ab.

O conjugado de z = a+bi+cj+dk ∈ H é definido por z = a−bi−cj−dk.A expressão 〈z, w〉 = zw define um produto interno em H de tal formaque {1, i, j, k} é uma base ortonormal. A esfera unitária

{q ∈ H : |q| = 1}

é um subgrupo de Lie deH∗, denotado por Spin (3). Em outras palavras,

Spin (3) = {z ∈ H : zz = 1} = {z ∈ H : z−1 = z}.

A álgebra de Lie de Spin (3) é o espaço tangente ao elemento neutro queé a subálgebra de H formada pelos quatérnions puramente imaginários(isto é, z = −z). Essa álgebra de Lie é isomorfa a so (3). Portanto,Spin (3) é o único grupo simplesmente conexo com álgebra de Lie so (3).

Como a álgebra de Lie de SO (3) também é so (3), a teoria geral garanteque existe um homomorfismos sobrejetor φ : Spin (3) → SO (3) cujonúcleo é um subgrupo discreto central de Spin (3). Esse homomorfismoé dado concretamente pela representação adjunta de Spin (3) em suaálgebra de Lie, a álgebra dos quatérnions puramente imaginários. Emtermos do produto de quatérnions Ad (z) (w) = zwz−1 = zwz, z ∈Spin (3) e w = −w. Para todo z ∈ Spin (3), Ad (z) é uma isometria.Portanto, a imagem de Ad é um subgrupo conexo de dimensão trêsde SO (3), daí que Ad (Spin (3)) = SO (3), isto é, Ad : Spin (3) →SO (3) é um homomorfismo sobrejetor. O núcleo de Ad é o centro deSpin (3), que é Z (Spin (3)) = {±1}. Portanto, Spin (3) → SO (3) éum recobrimento duplo, e daí que o grupo fundamental de SO (3) éisomorfo a Z2 = ker Ad.

2

6.3. APÊNDICE: ESPAÇOS DE RECOBRIMENTO (RESUMO) 171

6.3 Apêndice: espaços de recobrimento (re-sumo)

A seguir estão catalogados alguns resultados sobre espaços de recobrimento,que foram utilizados na construção do recobrimento universal de um grupode Lie.

1. Uma aplicação entre espaços topológicos localmente conexos f : A→ Bé uma aplicação de recobrimento se para todo x ∈ B, uma vizinhançaV 3 x tal que a restrição de f a cada componente conexa C de f−1 (V )é um homeomorfismo entre C e V .

2. SejaX um espaço topológico conexo e localmente conexo por caminhos.Então, existe um recobrimento π : X → X, que é simplesmente conexo,isto é, o grupo fundamental π1

(X)é trivial. Esse recobrimento é único

(a menos de homeomorfismo) e é denominado de recobrimento universalde X.

3. Em particular, uma variedade diferenciável conexaM pode-se conside-rar o seu recobrimento universal π : M → M . Nesse caso, M tambémé uma variedade diferenciável e π é um difeomorfismo local. (As cartasde M são definidas compondo as cartas de M com a projeção π, emdomínios devidamente escolhidos.)

4. Aplicações contínuas podem ser levantadas ao recobrimento universalde acordo com o seguinte enunciado: seja X um espaço topológicoconexo e localmente conexo por caminhos e π : X → X o seu re-cobrimento universal. Sejam Y um espaço simplesmente conexo ef : Y → X uma aplicação contínua. Tome x ∈ X, z ∈ X e y ∈ Ytal que π (z) = x e f (y) = x. Então, existe um único levantamentof = fx,y,z : Y → X tal que f (y) = z e π ◦ f = f , isto é, tal que oseguinte diagrama é comutativo:

X↗f

↓ π

Yf−→ X


5. No item anterior se X e Y são variedades e f diferenciável então ftambém é diferenciável.

6. Um caso particular de levantamento de aplicações contínuas (ou difer-enciáveis) é quando se toma Y = X e f = π. Então, um levantamentoπx,y,z satisfaz π ◦ πx,y,z = π e é homeomorfismo de X (a inversa deπx,y,z é πx,z,y).

Toda aplicação θ : X → X que satisfaz π ◦ θ = π é um levantamentode π. Além do mais, o conjunto Λ dos levantamentos contínuos de πforma um grupo com a composição.

7. Se x ∈ X e y ∈ π−1{x} são fixados então os levantamentos πx,y,z,z ∈ π−1{x} exaurem o grupo Λ do item anterior. Portanto, Λ está embijeção com π−1{x}.

8. O grupo Λ é isomorfo ao grupo fundamental π1 (X). Isomorfismos sãoobtidos fixando x ∈ X e y ∈ π−1{x}: uma curva contínua fechadaα : [0, 1] → X com α (0) = α (1) = x se levanta de maneira única auma curva α : [0, 1] → X com α (0) = y. Se [α] ∈ π1 (X, x) denota aclasse de homotopia de α então a aplicação [α] 7→ πx,y,α(1) ∈ Λ é bemdefinida e estabelece um isomorfismo entre π1 (X, x) e Λ.

6.4 Exercícios

1. Seja φ : G → H um homomorfismo contínuo e inversível entre gruposde Lie. Mostre que φ é um isomorfismo, isto é, φ−1 é homomorfismodiferenciável. Faça o mesmo para o caso de um isomorfismo local.

2. Sejam G e H grupos de Lie conexos e denote por G e H seus reco-brimentos simplesmente conexos. Mostre que G× H é o recobrimentouniversal de G × H. Generalize para um produto com mais de doisfatores.

3. Mostre que, a menos de isomorfismo, existem exatamente dois gruposde Lie conexos com álgebra de Lie so (3).

4. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita tal que [X, [Y, Z]] = 0para todo X, Y, Z ∈ g. Encontre o grupo de Lie conexo e simplesmenteconexo associado a g. (Veja o exercício 24 do capítulo 4.)


5. Seja g uma álgebra de Lie com dim g = 2. Mostre que se g não éabeliana então existe uma base {X, Y } de g tal que [X, Y ] = Y . SejaG o grupo afim da reta, isto é, G = (R \ {0}) × R com o produto(a, x) (b, z) = (ab, az + x). Mostre que a álgebra de Lie g de G (dim g =2) é não abeliana e encontre uma base de g como acima. Descreva todosos grupos de Lie conexos de dimensão 2.

6. Sejam G um grupo de Lie conexo com dimG = 2 e exp : g → G suaaplicação exponencial. Mostre que exp é uma aplicação de recobri-mento.

7. SejaK um grupo de Lie abeliano compacto. Mostre que o conjunto doselementos x ∈ K de ordem finita (isto é, xk = 1, para algum k ∈ N) édenso em K.

8. Dado o grupo G = Sl (2,R) considere os subgrupos K = SO (2) e T osubgrupo das matrizes(

λ x0 λ−1

)λ > 0, x ∈ R.

Defina a aplicação δ : K × T → G por δ (k, t) = kt. Mostre queδ é difeomorfismo. (Sugestões: para a sobrejetividade use o processode ortonormalização de Gram-Schmidt. Para a injetividade mostreque K ∩ T = {1}. Por fim mostre que δ é um difeomorfismo local.)(Compare com o exercício 5 do capítulo 12.)

9. Use o exercício anterior para mostrar que Sl (2,R) é difeomorfo a S1 ×R2, tem grupo fundamental Z e o seu recobrimento universal ˜Sl (2,R)

é difeomorfo a R3. Mostre também que o centro de ˜Sl (2,R) é isomorfoa Z.

10. Mostre que o grupo fundamental de Sl (n,R) coincide com o grupofundamental de SO (n). (Sugestão: use o exercício 5 do capítulo 12.)O que se pode dizer sobre os grupos fundamentais de Gl (n,R), Sl (n,C)e Gl (n,C)?

11. Descreva todos os grupos de Lie conexos cuja álgebra de Lie é sl (2,R).


12. Sejam G o grupo das matrizes 1 x z0 1 y0 0 1

com x, y, z ∈ R e Γ ⊂ G o subgrupo das matrizes com entradas em Z.Mostre que a variedade G/Γ não admite uma estrutura de grupo quea transforma num grupo de Lie.

13. Denote por Sl (2,Z) o conjunto das matrizes 2 × 2 com entradas in-teiras e determinante 1. Verifique que Sl (2,Z) é um subgrupo fechadode Sl (2,R). Mostre que não existe nenhuma estrutura de grupo navariedade Sl (2,R) /Sl (2,Z), que a torna um grupo de Lie.

14. Seja G um grupo de Lie conexo e φ : G → G um homomorfismo talque dφ1 = id. Mostre que φ = id. Dê um exemplo para mostrar queeste resultado não vale se G não é conexo.

15. Mostre que se G é grupo de Lie conexo então dois homomorfismoscontínuos φ, ψ : G → H são iguais se suas diferenciais coincidem emalgum ponto.

16. Seja g uma álgebra de Lie e denote por G o grupo de Lie conexo esimplesmente conexo cuja álgebra de Lie é g. Mostre que o grupo dosautomorfismos de G é isomorfo a Aut (g).

17. Dados os grupo de Lie conexos G e H denote por π : G→ G e π : H →H os recobrimentos universais. Seja φ : G → H um homomorfismodiferenciável. Mostre que existe um único homomorfismo φ : G → Htal que π ◦ φ = φ ◦ π.

18. Mostre que o grupo dos automorfismos de um grupo de Lie conexo temestrutura de grupo de Lie. (Use os exercícios anteriores.)

19. Sejam G um grupo de Lie conexo e H um subgrupo fechado e conexo.Mostre que G é simplesmente conexo se H e G/H são simplesmenteconexos. (Sugestão: escreva G = G/D, verifique que G/H ≈ G/H ′

onde H ′ = π−1 (H) e π : G → G é a projeção canônica. Verifique


que H = H ′/ (H ′ ∩D) e mostre que H ′ não é conexo. Por fim con-sidere o recobrimento G/H ′0 → G/H ′ ≈ G/H.) (Outra sugestão: usea sequência exata longa de homotopia para fibrações.)

Capítulo 7

Expansões em séries

– Álgebra universal (junto com Campbell-Hausdorff, depois de fazer paragrupos lineares).– álgebra universal e operadores diferenciais invariantes.– série de Taylor num grupo de Lie– Fórmula de Campbell-Hausdorff. estrutura analítica única num grupo

de Lie (C-H)

7.1 Série de Taylor e álgebra envelopante

???????O que se entende por uma álgebra universal envelopante da álgebra de Lie

g é uma álgebra associativa U(g) que “contém”g e tal que toda representaçãoρ de g se “estende”a uma representação de U(g). De maneira mais formal,uma álgebra associativa U é uma álgebra universal envelopante de g se existeum homomorfismo injetor

i : g −→ U

de g a valores na álgebra de Lie cujo colchete é o comutador em U , quesatisfaz

i) a imagem i(g) gera U como álgebra associativa e

ii) se ρ : g → gl(V ) é uma representação de g em V , então existe umarepresentação ρ : U → gl(V ) que satisfaz

ρ ◦ i(X) = ρ(X),

177

178 CAPÍTULO 7. EXPANSÕES EM SÉRIES

para todo X ∈ g. Aqui, ρ é uma representação de uma álgebra asso-ciativa, isto é, satisfaz

ρ(XY ) = ρ(X)ρ(Y ),

onde o produto do primeiro membro é o produto da álgebra e o dosegundo membro é a composta usual de transformações lineares em V .Em outras palavras, U é uma álgebra universal envelopante se para todarepresentação ρ de g existe uma representação ρ tal que o diagrama

g

6

U(g)

-

HHHHHHHHjgl(V )ρ

iρ

comuta.

?????Duas álgebras universais envelopantes são isomorfas como álgebras asso-

ciativas. Para ver isso, a primeira coisa que se observa é que o homomorfismoi : g→ U define uma representação µ de g em U por multiplicação à esquerda:

µ(X)(a) = i(X)a X ∈ g, a ∈ U.

O fato de µ ser uma representação é conseqüência imediata de que i é umhomomorfismo. Dessa forma, se i1 : g → U1 é uma outra álgebra universalenvelopante, então existe uma representação µ1 de g em U1 que define por suavez uma representação µ1 de U em U1. Como µ1(g) gera µ1(U), os elementosde µ1(U) são também dados por multiplicação à esquerda em U1. Assim, se1 ∈ U1 denota a unidade de U1, então a aplicação

φ1 : a ∈ U 7−→ µ1(a)1

define um homomorfismo de U a valores em U1. Da mesma forma existeum homomorfismo φ : U1 → U . Compondo esses homomorfismos, obtém-seo homomorfismo φ ◦ φ1 de U , que restrito a i(g), é a identidade. Por essarazão, φ ◦ φ1 é a identidade mostrando que esses homomorfismos definemisomorfismos entre U e U1.

7.1. SÉRIE DE TAYLOR E ÁLGEBRA ENVELOPANTE 179

????Essa discussão permite considerar como álgebra universal envelopante de

g qualquer uma das álgebras envelopantes isomorfas entre si. Uma tal álgebraserá denotada genericamente por U(g). Existe, no entanto, uma realizaçãocanônica de U(g), que é, na verdade, a utilizada como álgebra universalenvelopante de g. Para a construção dessa realização canônica, é convenienteque se façam antes as seguintes considerações sobre ideais e quocientes deálgebras associativas.Dada uma álgebra associativa A, um ideal à esquerda é uma subálgebra

I tal que

ab ∈ I

se b ∈ I e a ∈ A. Mesmo que A seja uma álgebra com unidade, não se pedeque I contenha a unidade. De maneira semelhante, define-se o que vem aser um ideal à direita e um ideal bilateral . Este último é um ideal invariantepor multiplicações à direita e à esquerda. Como um ideal I é em particularum subespaço de A, é possível formar o espaço quociente A/I. No caso emque I é um ideal bilateral, o produto em A passa ao quociente, definindo emA/I o produto

(a+ I) (b+ I) = ab+ I

para a, b ∈ A. Esse produto é bem definido, pois se a′ e b′ são equivalentes aa e b, respectivamente, então

ab− a′b′ = a(b− b′) + (a− a′)b′

e como I é um ideal bilateral, o segundo membro dessa expressão está emI. Esse produto define em A/I uma álgebra associativa tal que a projeçãocanônica

π : A −→ A/I

é um homomorfismo. Essa definição de álgebra quociente requer que I sejabilateral. Em geral, se I é um ideal à esquerda ou à direita mas não bilateral,o produto em A não passa ao quociente. Um exemplo disso pode ser vistona álgebra associativa gl (2) das matrizes 2× 2. O subespaço I das matrizesda forma (

0 ∗0 ∗

)


é um ideal à esquerda, já que essas são as matrizes que anulam o primeirovetor da base. As matrizes

X =

(1 00 0

)e X ′ =

(1 10 0

)são equivalentes módulo I. No entanto, tomando

Y =

(0 01 0

),

XY = 0 e X ′Y = X e X + I 6= I, já que X /∈ I.Dado um subconjunto C ⊂ A, o ideal bilateral gerado por C é o menor

ideal I desse tipo que contém C. No caso em queA contém elemento unidade,esse ideal coincide com o subespaço gerado por todos os produtos da forma

azb

com a, b ∈ A e z ∈ C. De fato, I contém todos os produtos desse tipo e,portanto, o subespaço gerado pelos mesmos. Reciprocamente, o subespaçogerado por esses produtos é claramente um ideal bilateral que contém C, poisA é uma álgebra com unidade.Com esses comentários, a realização canônica da álgebra universal enve-

lopante é construída a partir de g seguindo a idéia básica de que U(g) é umaálgebra associativa gerada por g (já que a aplicação i : g→ U(g) é injetora)e, portanto, os elementos de U(g) devem ser justaposições associativas deelementos de g. Dessa forma, considera-se a álgebra associativa livre geradapor g. Essa é a álgebra tensorial

T (g) =∑k

k⊗g

de g. Seus elementos são combinações lineares finitas de monômios da forma

X1 · · ·Xk

com o produto indicando o produto tensorial dos elementos Xi ∈ g, i =1, . . . k, (o símbolo ⊗ de produto tensorial é omitido tanto por razões deeconomia de notação quanto para enfatizar que o produto é obtido porjustaposição —formal —dos elementos de g). A álgebra T (g) é uma álgebra

7.1. SÉRIE DE TAYLOR E ÁLGEBRA ENVELOPANTE 181

associativa que contém e é gerada por g. No entanto, a inclusão g ↪→ T (g)não é um homomorfismo de g a valores na álgebra de Lie definida em T (g)pelo comutador. Isso porque, para X, Y ∈ g, XY − Y X é diferente de[X, Y ], pois o primeiro é um elemento de ordem dois de T (g), enquanto queo segundo é um elemento de g, isto é, de ordem um. O homomorfismo se con-segue tomando uma álgebra quociente de T (g). Assim, a álgebra universalenvelopante pode ser construída como

U(g) = T (g) /I

onde I é o ideal bilateral de T (g) gerado por elementos (não-homogêneos)da forma

XY − Y X − [X, Y ] ∈ T (g)

com X, Y ∈ g. Os elementos dessa álgebra quociente são representados,da mesma forma, por combinações lineares de monômios do tipo X1 · · ·Xk

(representantes em T (g)) com a diferença que em U(g) existem igualdadesentre elementos não-homogêneos. Por exemplo,

X1 · · ·XY · · ·Xk = X1 · · ·Y X · · ·Xk +X1 · · · [X, Y ] · · ·Xk

em U(g), mas não em T (g). Os produtos em U(g) são, da mesma forma,dados por justaposição de monômios. Passando ao quociente a inclusão deg em T (g), obtém-se uma aplicação de g em U(g) que é, por construção umhomomorfismo quando se considera em U(g) o colchete dado pelo comutador.Essa aplicação de g em U(g) é injetora, pois o ideal I tem interseção nula comg, já que os elementos de I são gerados por elementos de ordem dois ou maisda álgebra tensorial. Por fim, uma representação ρ de g no espaço vetorial Vse estende a uma representação ρ de U(g) que é definida nos monômios por

ρ(X1 · · ·Xk) = ρ(X1) · · · ρ(Xk). (7.1)

O procedimento para ver que ρ é de fato uma representação é o seguinte: emprimeiro lugar, estende-se ρ à álgebra tensorial T (g). Isso é possível, poisT (g) é a álgebra associativa livre gerada por g e, portanto, qualquer aplicaçãode g a valores numa álgebra associativa se estende a um homomorfismo deT (g). Feito isso, o fato de que ρ é uma representação de álgebra de Liegarante que o ideal I definido acima está contido no núcleo da representaçãode T (g). Passando ao quociente, isso define uma representação de U(g), quenos monômios é dada por ρ como acima.


Essa realização de U(g) como combinações lineares finitas de monômiosnos elementos de g em que se identifica XY − Y X com [X, Y ] é a que éutilizada sempre como álgebra universal envelopante de g.Um resultado central sobre as álgebras universais envelopantes é o teo-

rema de Poincaré-Birkhoff-Witt. Esse teorema, de natureza puramente com-binatória, fornece bases de U(g) ordenando os monômios de acordo comordens em bases de g da mesma forma que nos dois exemplos anteriores.Explicitamente, tem-se

Teorema 7.1 (Poincaré-Birkhoff-Witt) Seja g uma álgebra de Lie (de di-mensão finita ou não) e {Xi}i∈J uma base de g ordenada por uma ordem noconjunto dos índices J . Então, os monômios do tipo

Xi1 · · ·Xik i1 ≤ · · · ≤ ik (7.2)

formam uma base de U(g). Em particular, se dim g <∞ e

β = {X1, . . . , Xn}

é uma base ordenada de g, então os monômios

Xm11 · · ·Xmn

n

com mi ≥ 0 formam uma base de U(g).

???????????

7.2. DIFERENCIAL DA APLICAÇÃO EXPONENCIAL 183

7.2 Diferencial da aplicação exponencial

A exponencial exp : g→ G no grupo de Lie G é uma aplicação diferenciável.Sua diferencial na origem d (exp)0 : g→ g é a identidade de g = T1G. O fatode que d (exp)0 é isomorfismo implica que exp é um difeomorfismo local nasvizinhanças de 0, o que permite obter diversas relações entre a álgebra deLie g e o grupo G. Outras relações dessa natureza podem ser desenvolvidasatravés da expressão para a diferencial de exp em outros elementos da álgebrade Lie g.Dado X ∈ g a diferencial d (exp)X é uma aplicação linear entre g = T1G

e o espaço tangente TexpXG. Transladando à esquerda obtém-se a aplicaçãolinear TX : g→ g dada por

TX = dEexp(−X) ◦ d (exp)X . (7.3)

Essa aplicação é dada por uma série de potências em ad (X).

Teorema 7.2 Dado X ∈ g seja TX a translação à esquerda de d (exp)X ,definida em (7.3). Então,

TX =∑k≥0

1

(k + 1)!(ad (X))k . (7.4)

Nesta expressão para TX está pressuposto que a estrutura de álgebra deLie em g = T1G é dada pelo colchete entre campos invariantes à direita. Casoseja usado o colchete entre campos invariantes à esquerda, deve-se mudar osinal de ad. Dessa forma, denote por add (X) a adjunta obtida pelos camposinvariantes e por ade a obtida pelos campos invariantes à esquerda. Entãoade (X) = −add (X). Com essas notações a fórmula para a diferencial daexponencial é dada por

TX =∑k≥0

1

(k + 1)!(add (X))k =

∑k≥0

(−1)k

(k + 1)!(ade (X))k .

Essas séries podem ser escritas de forma mais concisa, levando em conta quea série de potências ∑

k≥0

1

(k + 1)!zk


na variável z representa a função (real ou complexa) f (z) =ez − 1

z. Por-

tanto, TX = f (ad (X)), isto é,

TX =eadd(X) − 1

add (X)=

1− e−ade(X)

ade (X).

A demonstração do teorema 7.4 será feita em duas partes. Em primeirolugar a fórmula para a diferencial da exponencial será deduzida para os gruposlineares, isto é, para os subgrupos de Gl (n,R). Posteriormente, usando oteorema de Ado, que garante o isomorfismo local entre um grupo de Liequalquer e um grupo linear, a fórmula será estendida aos grupos de Liegerais.Dados X, Y ∈ g, TX (Y ) = dEexp(−X) · d (exp)X (Y ) é a derivada

d

dt(exp (−X) exp (X + tY ))|t=0 = exp (−X)

d

dt(exp (X + tY ))|t=0 .

No caso de um grupo linear exp (X) é dado pela série de potências∑

k≥0

1

k!Xk,

o que possibilita calcular a derivadad

dt(exp (X + tY ))|t=0 explicitamente

como uma série de potências em ad. A seguir essa derivada será calculadaatravés de manipulações de séries. Essas manipulações envolvem a mudançade ordem e a associatividade de termos de séries de potências, que são justi-ficadas pela convergência absoluta das séries envolvidas.Pela convergência absoluta da série da exponencial, vale

d

dt(exp (X + tY ))|t=0 =

∑k≥1

1

k!

d

dt(X + tY )k|t=0 .

A derivada de um produto de matrizes fornece

d

dt(X + tY )k|t=0 =

k−1∑i=0

Xk−i+1Y X i.

Portanto,d

dt(exp (X + tY ))|t=0 =

∑k≥1

k−1∑i=0

1

k!Xk−i+1Y X i. (7.5)

As parcelas dessa soma são reescritas através da seguinte fórmula de comu-tação, que é válida em uma álgebra associativa qualquer.

7.2. DIFERENCIAL DA APLICAÇÃO EXPONENCIAL 185

Lema 7.3 Seja A uma álgebra associativa e tome x, y ∈ A.

1. Denotando add(x)y = yx − xy, tem-se, para todo n ≥ 1, a fórmula decomutação à esquerda

yxn =

n∑p=0

(n

p

)xp(add(x)n−py)

2. A fórmula de comutação à esquerda é dada por

xny =n∑p=0

(np

)(ade(x)n−py)xp.

onde ade(x)y = xy − yx é a adjunta à esquerda.

Demonstração: Por indução. Para n = 1,

yx = xy + [x, y]d

que é a igualdade do enunciado. Para n+ 1,

yxn+1 = (yxn)x

=∑n

p=0

(np

)xp(ade(x)n−p+1y) +

∑np=0

(np

)xp+1(ade(x)n−py)

pela hipótese de indução aplicada aos níveis n e 1. Substituindo-se p porp+ 1 na segunda soma dessa igualdade, tem-se

xn+1y =∑n

p=0

(np

)xp(ade(x)n−p+1y) +

∑n+1p=1

(n

p− 1

)xp(ade(x)n+1−py)

= ade(x)n+1y + xn+1y +∑n

p=1

((np

)+

(n

p− 1

))xp(ade(x)n+1−py),

que é a fórmula de comutação à direita. A fórmula de comutação à direitasegue com o mesmo tipo de indução. 2

Colocando a fórmula de comutação à direita (que envolve colchete decampos invariantes à direita entre campos lineares), na expressão (7.5), segue

qued

dt(exp (X + tY ))|t=0 é dado por

∑k≥1

k−1∑i=0

i∑j=0

1

k!

(ij

)Xk−i−1X i−jad (X)j (Y ) =

∑k≥1

k−1∑i=0

i∑j=0

1

k!

(ij

)Xk−j−1ad (X)j (Y ) .


A idéia agora é escrever essa soma como série de potências em ad (X)j (Y ).Para isso seus termos são reordenados da seguinte forma

∑k≥1

k−1∑i=0

i∑j=0

=∑k≥1

k−1∑j=0

k−1∑i=j

=∑j≥1

∑k≥j+1

k−1∑i=j

,

obtendo para a diferencial a expressão

∑j≥1

∑k≥j+1

1

k!Xk−j−1ad (X)j (Y )

(k−1∑i=j

(ij

)). (7.6)

A soma colocada entre parênteses é avaliada pelos seguinte lema sobre coe-ficientes binomiais.

Lema 7.4∑k−1

i=j

(ij

)=

(k

j + 1

).

Demonstração: Segue por indução a partir da igualdade(nj

)+

(n

j + 1

)=

(n+ 1j + 1

).

2

Portanto, a expressão (7.6) para a derivada se reduz a∑j≥1

∑k≥j+1

1

k!

(k

j + 1

)Xk−j−1ad (X)j (Y ) =

∑j≥1

∑k≥j+1

1

(j + 1)! (k − j + 1)!Xk−j−1ad (X)j (Y ) .

Pondo r = k − j + 1, chega-se finalmente a∑j≥1

1

(j + 1)!

(∑r·≥0

1

r!Xr

)ad (X)j (Y ) ,

isto é,d

dt(exp (X + tY ))|t=0 = eX

∑j≥1

1

(j + 1)!ad (X)j (Y ) .

Multilicando à esquerda por e−X segue que

TX =∑j≥1

1

(j + 1)!ad (X)j (Y ) ,

7.3. SÉRIE DE BAKER-CAMPBELL-HAUSDORFF 187

concluíndo a demonstração do teorema 7.4 para os grupos lineares.O caso geral segue do teorema de representação de Ado e do seguinte

lema.

Lema 7.5 Sejam G e H dois grupos de Lie com mesma álgebra de Lie g detal forma que exista um homomorfismo φ : G→ H com dφ1 = id. Para X ∈g denote por expGX e expH X as exponenciais em G e H respectivamente.Defina TGX = d

(EexpG(−X)

)expGX

◦d (exp)X . Definindo THX da mesma forma,

vale TGX = THX .

Demonstração: Como φ é homomorfismo, tem-se φ (expG Y ) = expH Y ,para todo Y ∈ g. Em outras palavras, φ ◦ expG = expH . Aplicando a regrada cadeia, segue que

dφexpGX◦ d (expG)X = d (expH)X .

Aplicando, nessa igualdade, a translação à esquerda dEexpH(−X), fica

d(EexpH(−X)

)expH X

◦ dφexpGX◦ d (expG)X = THX . (7.7)

Porém, φ ◦ EexpG(−X) = Eφ(expG(−X)) ◦ φ = EexpH(−X) ◦ φ, pois φ é homo-morfismo. Substituindo esta igualdade em (7.7), usando a regra da cadeia,chega-se a dφ1 ◦ TGX = THX . Portanto, T

GX = THX , já que dφ1 = id. 2

Para concluir a demonstração do teorema 7.2 no caso geral, basta agoraaplicar duas vezes o lema acima usando o teorema de Ado que garante quetoda álgebra de Lie é isomorfa a uma álgebra linear. Seja G um grupo deLie com álgebra de Lie g. Tomando uma representação fiel ρ de g e o grupoconexo gerado por exp ρ (g) chega-se a um grupo linearG1 cuja álgebra de Lieé (isomorfa) a g. Por outro lado, seja G o recobrimento universal de G, quecoincide com o recobrimento universal deG1. Então, existem homomorfismosπ : G → G e π1 : G → G, nas condições do lema acima. Usando a notaçãodesse lema, conclui-se que T GX = TGX e T GX = TG1X . Portanto, TGX = TG1X ,mostrando que TGX é dado pela série do teorema 7.2.

7.3 Série de Baker-Campbell-Hausdorff

Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. A aplicação exp : g → Gse restringe a um difeomorfismo exp : V → U ao redor da origem, com


0 ∈ V ⊂ g e 1 ∈ U ⊂ G abertos. Se X, Y ∈ V são suficientemente pequenosentão o produto eXeY ainda é um elemento de U , o que permite escrever

eXeY = ec(X,Y ).

A aplicação c é a expressão do produto em G em coordenadas locais.A série de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) fornece uma expressão para

c (X, Y ) como a soma de uma série, cujos termos são colchetes sucessivosentre X e Y . Essa série é escrita como

c (X, Y ) = X + Y +∑n≥2

ck (X, Y )

em que os termos cn (X, Y ), n ≥ 2, são homogêneos de ordem n, isto é,são somas de colchetes com k fatores (X ou Y ). Por exemplo, os primeirostermos da fórmula são

c2 (X, Y ) = −1

2[X, Y ]

c3 (X, Y ) = c3 =1

12[[X, Y ] , Y ]− 1

12[[X, Y ] , X] .

Assim como a fórmula da diferencial da exponencial a fórmula para asérie BCH é universal, no sentido em que as expressões dadas para os termoshomogêneos são as mesmas, independente do grupo de Lie (na verdade, daálgebra de Lie).A seguir será apresentada uma demonstração da convergência da série

BCH (para X e Y pequenos), assim como uma fórmula indutiva, que fornececn (X, Y ) a partir dos termos de menor grau.A série BCH é definida localmente (ao redor do elemento neutro) e é

expressa em termos de colchetes de Lie. Dessa forma, se g é uma álgebra deLie fixa, a série é a mesma para quaisquer grupos de Lie com álgebra de Lieg, pois os grupos são localmente isomorfos. Em vista disso será adotada aqui,para a análise da série BCH, a mesma estratégia utilizada para a fórmula dadiferencial da exponencial. A estratégia consiste em lança mão do teoremade Ado e fazer os cálculos com exponenciais de matrizes, que facilita osargumentos, principalmente o de convergência da série.Dito isso, o primeiro membro da igualdade eXeY = ec(X,Y ) se escreve como


a soma da série

eXeY =

(∑n≥0

1

n!Xn

)(∑n≥0

1

n!Y n

)

=∑n≥0

(n∑j=0

1

j!

1

(n− j)!XjY n−j

)=

∑n≥0

en (X, Y ) .

Essa última série converge normalmente para quaisquerX, Y , pois isso ocorrecom a série da exponencial. (A convergência é em relação a uma normapré-estabelecida, por exemplo, a norma de operador que satisfaz ‖XY ‖ ≤‖X‖ · ‖Y ‖.)Considere agora a série do logaritmo

log (1 + x) =∑k≥1

(−1)k+1

kxk,

que converge absolutamente se |x| < 1. Essa série inverte a exponencial nosentido em que

log (expx) = log (1 + (expx− 1))

=∑k≥1

(−1)k+1

k(expx)k = x

se | expx − 1| < 1. Portanto, substituindo a série para eXeY na série dologaritmo se obtém

c (X, Y ) =∑k≥1

(−1)k+1

k

(∑n≥0

en (X, Y )

)k

=∑k≥1

(−1)k+1

k

(∑n≥0

n∑j=0

1

j!

1

(n− j)!XjY n−j

)k

.

Essa série converge normalmente se X e Y são suficientemente pequenos talque

∥∥eXeY − 1∥∥ < 1. Portanto, os termos da série podem ser rearranjados


(permutados e associados), obtendo novas séries ainda normalmente conver-gentes. Na série aparecem monômios em X e Y da forma X i1Y j1 · · ·X isY js

de grau n = i1 + j1 + · · ·+ is + js (provenientes da potência k da série entreparênteses). Juntando os monômios de mesmo grau n no termo cn (X, Y ), seobtém a série convergente

c (X, Y ) =∑n≥1

cn (X, Y ) (7.8)

como na série BCH. Esses argumentos demonstram a seguinte afirmação:

Proposição 7.6 Existe ρ > 0 tal que se |X|, |Y | < ρ então c (X, Y ) é dadopela série convergente (7.8) em que o termo cn (X, Y ) é um polinômio ho-mogêneo em X, Y da forma

cn (X, Y ) =∑

aI,JXi1Y j1 · · ·X isY js

com n = i1 + j1 + · · ·+ is + js e I = (i1, . . . , is), J = (j1, . . . , js).

Falta deduzir a fórmula recursiva para cn. Dessa fórmula ficará evidenteque cn (X, Y ) é um elemento de Lie, isto é, uma soma de colchetes sucessivosentre X e Y . A idéia para obter a fórmula recursiva é escrever a série parac (tX, tY ) com |t| < 1, observando que cn (tX, tY ) = tncn (X, Y ), já quecn (X, Y ) é um polinômio de grau n em X e Y . Dessa forma,

c (tX, tY ) =∑n≥1

cn (X, Y ) tn

é uma sére de potências em t, absolutamente convergente se |t| < 1. Suaderivada é dada por c (tX, tY )′ =

∑n≥0 (n+ 1) cn+1 (X, Y ) tn. Se essa deri-

vada for convenientemente calculada, pode-se obter cn (X, Y ), comparandoos termos de duas séries de potências.O cálculo da derivada c (tX, tY )′ se faz através da igualdade etXetY =

ec(tX,tY ) e da fórmula da diferencial da exponencial. Os cálculos serão feitospara o colchete de campos invariantes à direita, isto é, [X, Y ] = Y X−XY , nocaso de um grupo linear. Nesse caso, d (exp)Z = eZTZ onde TZ = φ (ad (Z)),isto é, TZ é a série de potências da função

φ (z) =ez − 1

z

calculada em z = ad (Z).Para calcular c (tX, tY )′ deve-se introduzir as seguintes funções:


1. η (z) = φ (z)−1 = zez−1

. Essa função satisfaz η (−z) = η (z) + z, pois

η (−z)− z =z

1− e−z − z =e−z

1− e−z

=1

ez − 1= η (z) .

2. ψ (z) = η (z) + z2. Essa função é par, pois ψ (−z) = η (−z)− z

2= ψ (z).

(Observe que ψ (z) = zez−1

+ z2

= z2ez+1ez−1

= z2

coth z2.) A série de potências

de ψ envolve apenas termos de grau par. Como ψ (0) = η (0) = 1, essasérie será escrita como

ψ (z) = 1 +∑k≥1

a2kz2k. (7.9)

Essa série pode ser obtida pelos seguintes cálculos formais

ψ (z) =z

ez − 1+z

2

=z

2+

1

1 +(z2!

+ z2

3!+ · · ·

)=

z

2+ 1−

(z

2!+z2

3!+ · · ·

)+

(z

2!+z2

3!+ · · ·

)2

+ · · ·

Proposição 7.7 Escreva f (t) = c (tX, tY ). Então

c (tX, tY )′ = f ′ (t) = ψ (ad (f (t))) (X + Y ) +1

2[f (t) , X − Y ] . (7.10)

Demonstração: É conveniente derivar separadamente cada um dos t’sde c (tX, tY ). Para isso escreva F (u, v) = c (uX, vY ), de tal forma queeuXevY = eF (u,v) e

c (tX, tY )′ =∂F

∂u(t, t) +

∂F

∂v(t, t) .

A derivada em relação a v é, em primeiro lugar,

∂

∂veuXevY = euXevY Y


(lembrando que X e Y são matrizes). Por outro lado,

d

dvec(uX,vY ) = d (exp)c(uX,vY )

(∂F

∂v(u, v)

)= ec(uX,vY )Tc(uX,vY )

(∂F

∂v(u, v)

).

onde Tc(tX,tY ) é como na fórmula da diferencial da exponencial. Igualando asduas derivadas, se obtém

∂F

∂v(u, v) = T−1

c(uX,vY ) (Y ) ,

observando que Tc(tX,tY ) tem inversa se X e Y são suficientemente pequenos.Mas T−1

c(uX,vY ) = η (ad (c (uX, vY ))) pois η (z)φ (z) = 1, portanto

∂F

∂v(u, v) = η (ad (c (uX, vY ))) (Y )

= ψ (ad (c (uX, vY ))) (X)− 1

2ad (c (uX, vY )) (X)

Para obter a derivada em relação a u é melhor derivar a igualdade e−vY e−uX =e−c(uX,vY ), obtendo

e−vY e−uXX = e−c(uX,vY )T−c(uX,vY )

(∂F

∂u(u, v)

),

isto é,

∂F

∂u(u, v) = η (−ad (c (uX, vY ))) (X)

= ψ (−ad (c (uX, vY ))) (X) +1

2ad (c (uX, vY )) (X)

= ψ (ad (c (uX, vY ))) (X) +1

2ad (c (uX, vY )) (X) ,

pois a função ψ é par.Por fim, somando as duas derivadas parciais, segue que

c (tX, tY )′ = ψ (ad (c (tX, tY ))) (X + Y ) +1

2ad (c (tX, tY )) (X − Y )


que é a igualdade do enunciado. 2

Agora é possível a fórmula de recorrência para cn (X, Y ), comparando oscoeficientes das séries de potências na igualdade (7.10). Antes de mais nada,o primeiro termo c1 (X, Y ) é dado por

c1 (X, Y ) =1

2c (tX, tY )′t=0 = X + Y

pois ψ (0) = 1.

Teorema 7.8 A fórmula de recursão para cn = cn (X, Y ) é dada por c1 =X + Y e

(n+ 1) cn+1 =1

2[cn, X − Y ]

+∑

2≤2k≤n

a2k

∑Jk,n

ad (cj1) · · · ad (cj2k) (X + Y )

onde a a segunda soma se estende aos multindices Jk,n = (j1, . . . , j2k) com2k elementos ji ≥ 1 cuja soma é j1 + · · ·+ j2k = n.

Demonstração: O primeiro membro de (7.10) é dado por

c (tX, tY )′ =∑n≥0

(n+ 1) cn+1tn. (7.11)

No segundo membro a série do último termo é

1

2ad (c (tX, tY )) (X − Y ) =

1

2

∑n≥1

ad (cn) (X − Y ) tn (7.12)

já a série do primeiro termo é dada por

ψ (ad (c (tX, tY ))) (X + Y ) = X + Y +∑k≥1

a2k (ad (c (tX, tY )))2k (X + Y )

= X + Y +∑k≥1

a2k

(∑j≥1

ad (cj) tj

)2k

(X + Y ) .


Nessa última série o coeficiente do termo tn, n ≥ 1, é dado por∑2≤2k≤n

a2k

∑j1+···+j2k=n

ad (cj1) · · · ad (cj2k) (X + Y ) . (7.13)

Por fim, igualando o n-ésimo termo de (7.11) com a soma do n-ésimotermo de (7.12) e de (7.13) se obtém a igualdade do enunciado. 2

O teorema acima permite calcular, em principio os termos da série BCH,apesar de que o processo indutivo se torna rapidamente complicado. Osprimeiro termos da série são os seguintes:

1. c1 (X, Y ) = X + Y .

2. 2c2 (X, Y ) = 12

[c1, X − Y ] = 12

[X + Y,X − Y ] = − [X, Y ], isto é,

c2 (X, Y ) = −1

2[X, Y ] .

(O sinal − vem do fato que o colchete é entre campos invariantes àdireita.)

3. Para n = 3 a fórmula de recursão é

3c3 =1

2[c2, X − Y ] + a2

∑j1+j2=2

ad (cj1) ad (cj2) (X + Y )

=1

2[c2, X − Y ] + a2ad (c1) ad (c1) (X + Y ) .

Como c1 = X + Y , o último termo se anula e

c3 =1

12[[X, Y ] , Y ]− 1

12[[X, Y ] , X] .

7.4 Estrutura diferenciável analítica

A convergência da série de Baker-Campbell-Hausdorffmostra que a aplicaçãoproduto num grupo de Lie G é analítica quando visto num sistema de coor-denadas de primeira espécie. De fato, a definição de c (X, Y ) pela igualdadeeXeY = ec(X,Y ) significa que c : V0 × V0 → V0 é a expressão do produtop : G × G → G em coordendas locais dado por uma carta exp : V0 → U0,

7.4. ESTRUTURA DIFERENCIÁVEL ANALÍTICA 195

definida ao redor do elemento neutro. Isto é, c = log ◦p ◦ (exp× exp), ondelog = exp−1 : U0 → V0.A série BCH c (X, Y ) =

∑n≥0 cn (X, Y ) é uma série de potências, no

sentido em que os termos cn são polinômios de grau n nas variáveis X, Y .Conforme foi verificado na seção anterior, essa série é normalmente conver-gente numa vizinhança V × V ⊂ V0 × V0 da origem. Portanto, a aplicaçãoproduto é analítica na carta de G, ao redor do elemento neutro, definida porexp : V → U = exp (V ). Translações dessa carta definem em G um atlasanalítico no qual a aplicação produto é analítica.

• Definição do atlas analítico: Comece com um sistema de coor-denadas exp : V0 → U0 tal que V0 × V0 está contido no domínio deconvergência da série BCH. A partir daí escolha V ⊂ V0 com −V = Ve tal que se U = expV então U2 ⊂ U0. Agora defina para cada g ∈ Ga carta ϕg : V → gU por ϕg (X) = geX . O conjunto de cartas

A = {ϕg : V → gU, g ∈ G}

é um atlas em G pois os abertos gU , g ∈ G, cobrem G.

Proposição 7.9 O atlas ϕg : V → gU , g ∈ G, definido por ϕg (X) = geX éanalítico. O produto p : G×G→ G é uma aplicação analítica em relação aesse atlas.

Demonstração: Dados g, h ∈ G com gU∩hU 6= ∅, a aplicação de mudançade cartas é dada por ϕ−1

h ◦ ϕg : Vg → Vh onde Vg = ϕ−1g (gU ∩ hU). Se

x ∈ gU ∩ hU então x = geX = heY com X ∈ Vg, Y ∈ Vh e

Y = ϕ−1h ◦ ϕg (X) .

A igualdade geX = heY implica que h−1g = eY e−X ∈ U2 ⊂ U0. Daí queexiste Z ∈ V0 tal que h−1g = eZ . Agora,

eY = h−1geX = eZeX

e como Z,X estão no domínio de convergência de c, segue que Y = c (Z,X).Isso significa que ϕ−1

h ◦ ϕg = c (Z, ·) com Z dado por h−1g = eZ , fixado. Issomostra que as aplicações ϕ−1

h ◦ ϕg, g, h ∈ G, são analíticas.


Para ver a analiticidade do produto sejam g, h ∈ G e tome as cartasϕg × ϕh : V × V → gU × hU e ϕgh : V → ghU . Então,

p(geX , heY

)= geXheY = gheAd(h−1)XeY

o que mostra que p escrita nessas cartas é a aplicação

(X, Y ) 7→ c(Ad(h−1)X, Y

),

que é a composta de uma aplicação analítica por uma aplicação linear. Por-tanto, analítica. 2

7.5 Exercícios

1. Seja G um grupo compacto não abeliano. Mostre que a aplicação ex-ponencial em G não é difeomorfismo local.

2. Denote por s o espaço vetorial das matrizes simétricas n × n. Mostreque a restrição a s da aplicação exponencial é uma imersão injetora,cuja imagem é o conjunto S das matrizes simétricas positivas definidas.(Sugestão: se X é matriz simétrica então existe uma matriz ortogonalg tal que gXg−1 é diagonal. Use isso juntamente com a fórmula parad (exp).)

3. Seja G o grupo das matrizes reais n× n triangulares superiores, cujoselementos diagonais são positivos. Mostre que a aplicação exponencialem G é difeomorfismo.

4. Use BCH para mostrar que se xt e yt são curvas C1 num grupo de LieG então existe uma curva wt também C1 tal que para todo t, wt2 =xtytx

−1t y−1

t .

5. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dados X, Y ∈ g,mostre que [X, Y ] = 0 se etnXetnY e−tnXe−tnY = 1 para uma sequênciaconvergente tn ∈ R com tn 6= tm se n 6= m. (Sugestão: use o fato quea aplicação exponencial é analítica.)


6. Tome os seguintes elementos da álgebra de Lie g = gl (2,R):

X =

(0 −ππ 0

)Y =

(1 00 2

).

Mostre que a série BCH para c (X, Y ) não converge.

7. Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e h ⊂ g uma subál-gebra. Dado g ∈ G defina as aplicações θd, θe : h → G por θd (X) =eXg e θe (X) = geX . Use a fórmula da diferencial da exponencialpara mostrar que para todo X, Y ∈ h,

(dθd)X

(Y ) ∈ ∆dh (θ (X)) e

(dθe)X (Y ) ∈ ∆eh (θ (X)), onde ∆d

h (g) = d (Dg)1 h e ∆eh (g) = d (Eg)1 h.

Obtenha a partir daí uma demonstração alternativa da integrabilidadedas distribuições ∆d

h e ∆eh (veja proposição ??).

8. Dê exemplo de um grupo solúvel simplesmente conexo G cuja aplicaçãoexponencial não é difeomorfismo.

Parte III

Tipos de álgebras de Lie e seusgrupos simplesmente conexos

199

Capítulo 8

Grupos de Automorfismos

8.1 Automorfismos de grupos de Lie

Os grupos de automorfismos dos grupos de Lie são estudados através dosgrupos de automorfismos de suas álgebras de Lie. Seja g uma álgebra de Liereal de dimensão finita. Conforme foi visto no capítulo 5 o grupo Aut (g) dosautomorfismos de g é um subgrupo fechado do grupo linear Gl (g) (veja umdos exemplos ao final da seção 5.5).Portanto, Aut (g) é um grupo de Lie. Sua álgebra de Lie é formada pelas

derivações de g. Deve-se lembrar que uma derivação de uma álgebra de Lieg é uma aplicação linear D : g→ g que satisfaz

D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ] para todo X, Y ∈ g.

O conjunto de todas as derivações de g é denotado por Der (g). Não é difí-cil verificar Der (g) é um álgebra de Lie (subálgebra da álgebra de Lie dastransformações lineares de g). Para ver que Der (g) é a álgebra de Lie deAut (g) basta verificar que D é uma derivação de g se, e somente se, paratodo t ∈ R, etD é automorfismo de g. Mas, se X, Y ∈ g então a derivada daigualdade etD[X, Y ] = [etDX, etDY ] em t = 0 mostra que D é derivação seetD é automorfismo. Reciprocamente, se D é derivação então as curvas

α(t) = etD[X, Y ] e β(t) = [etDX, etDY ]

satisfazem a equação diferencial linear γ′ = Dγ, γ ∈ g, e têm a mesmacondição inicial α(0) = [X, Y ] = β(0). Portanto, α = β o que mostra queetD é automorfismo, para todo t ∈ R.

201

202 CAPÍTULO 8. GRUPOS DE AUTOMORFISMOS

Dado X ∈ g sua adjunta ad (X) é uma derivação de g, como segue daidentidade de Jacobi. As derivações do tipo ad (X) são as chamadas deriva-ções internas de g. O conjunto das derivações internas é ad (g), a imagemda representação adjunta de g. Portanto, ad (g) uma subálgebra de Der (g).Se D é uma derivação e X ∈ g então a definição de derivação é equivalente a

[D, ad (X)] = ad (DX) .

Essa igualdade mostra que ad (g) é, na verdade, um ideal de Der (g). Emgeral a inclusão ad (g) ⊂ Der (g) é própria, como mostra o exemplo dasálgebras abelianas em que toda aplicação linear é derivação e, no entanto,ad (g) = {0}.Como a álgebra de Lie de Aut (g) é Der (g) é claro que ad (g) integrável

a um subgrupo conexo de Aut (g). Esse subgrupo é denotado por Int (g) eseus elementos são denominados de automorfismos internos de g. A razãodesse nome é que Int (g) está relacionado com os grupos dos automorfismosinternos de um grupo de Lie G, cuja álgebra de Lie é g. Os elementos deInt (g) são produtos de exponenciais de sua álgebra de Lie ad (g), isto é, seg ∈ Int (g) então

g = ead(X1) · · · ead(Xn)

com Xi ∈ g.Passando agora aos grupos de Lie serão considerados apenas os automor-

fismos contínuos e, portanto, diferenciáveis. Dessa forma, na discussão aseguir subentende-se que um automorfismo de um grupo de Lie é diferen-ciável. O grupo dos automorfismos de G é denotado por AutG.Se τ é um automorfismo de G então pela proposição 4.16 do capítulo 4

sua diferencial na origem dτ 1 é um automorfismo da álgebra de Lie g. Issodefine a aplicação δ : AutG→ Autg por δ (τ) = (dτ)1. Pela regra da cadeiaessa aplicação é um homomorfismo de grupos.

Proposição 8.1 Se G é conexo então δ é injetora.

Demonstração: Deve-se mostrar que dois automorfismos τ e σ coincidemse dτ 1 = dσ1. Assumindo a igualdade das diferenciais, a fórmula τ (expX) =exp (dτ 1 (X)) (veja proposição 4.15) mostra que τ (expX) = σ (expX) paratodo X ∈ g. Pelo fato de τ e σ serem homomorfismos isso implica que elescoincidem nos elementos que são produtos de exponenciais. Mas, G é conexo,portanto seus elementos são produtos exponenciais, mostrando que τ = σ. 2

8.1. AUTOMORFISMOS DE GRUPOS DE LIE 203

Deve-se observar que δ pode não ser injetora se G não é conexo. Porexemplo, se G é um grupo discreto então δ é constante, mas em geral existemautomorfismos diferentes da identidade (como os automorfismos internos Cgse g /∈ Z (G)).Já a sobrejetividade de δ vem do teorema 6.16, que garante que todo

automorfismo de g se estende a um automorfismo de G desde que o gruposeja simplesmente conexo.

Proposição 8.2 Se G é conexo e simplesmente conexo então δ é sobrejetora.

Novamente, a condição de que G é simplesmente conexo é essencial, comovai ficar claro adiante, quando forem determinados alguns grupos de auto-morfismos de grupos não simplesmente conexos.As proposições anteriores juntas fornecem o grupo de automorfismos de

um grupo de Lie simplesmente conexo.

Proposição 8.3 Se G é grupo de Lie conexo e simplesmente conexo entãoAut (G) é isomorfo a Aut (g). Um isomorfismo é dado por δ : Aut (G) →Aut (g), δ (τ) = dτ 1. Essa bijeção define em Aut (G) uma estrutura diferen-ciável que o torna um grupo de Lie.

Nessa descrição a estrutura diferenciável em Aut (G) provém de Aut (g),através da bijeção δ : Aut (G) → Aut (g). Isso significa que para verificar adiferenciabilidade de uma aplicação f definida em Aut (G) deve-se olhar adiferenciabilidade da composta f ◦ δ−1.Os vinculos entre as estruturas diferenciáveis em G e Aut (G) são dados

pela diferenciabilidade da ação α : Aut (G) × G → G, α (τ , x) = τ (x) e dasaplicações avaliação obtidas dessa ação αx : Aut (G)→ G, x ∈ G, dadas porαx (τ) = α (τ , x) = τ (x).Para ver a diferenciabilidade da aplicação αx escreva x = eX1 · · · eXk com

X1, . . . , Xk ∈ g. Dado θ ∈ Aut (g) seja τ = δ−1 (θ) ∈ Aut (G) sua extensão.Então,

αx (τ) = τ(eX1)· · ·φ

(eXk)

= eθ(X1) · · · eθ(Xk),

isto é,(αx ◦ δ−1

)(θ) = eθ(X1) · · · eθ(Xk). Essa aplicação é composta de apli-

cações diferenciáveis (produto, exponencial e a restrição das aplicações line-ares θ 7→ θ (Xi)).


Lema 8.4 A ação α : Aut (G)×G→ G, α (τ , x) = τ (x) é diferenciável.

Demonstração: Tome um sistema de coordenadas em G da forma exp :V ⊂ g → U ⊂ G, 0 ∈ V ⊂ g e 1 ∈ U ⊂ G. Então, para cada g ∈ G aaplicação X ∈ V 7→ geX ∈ gU é um sistema de coordenadas ao redor de g.A aplicação fg : Aut (g) × V 7→ Aut (G) × gU , fg (θ,X) =

(τ , geX

)(onde

dτ 1 = θ, isto é, τ = δ (θ)) deve ser vista como um sistema de coordenadasem Aut (G)×G.A composta α ◦ fg : Aut (g)× V → G é dada por

α ◦ fg (θ,X) = τ(geX

)= τ (g)φ

(eX)

= τ (g) eθ(X).

Essa aplicação é composta de aplicações diferenciáveis (o produto em G, aavaliação αg, a exponencial e a aplicação linear θ 7→ θ (X)). Portanto, α ◦ fgé diferenciável, o que garante a diferenciabilidade da ação. 2

Deve-se observar que nessa demonstração se requer que G seja simples-mente conexo apenas para garantir que Aut (G) é grupo de Lie. Os argu-mentos em si, exigem apenas que G seja conexo. Esse lema foi antecipado àdiscussão dos grupos de automorfismos dos grupos conexos, pois a diferen-ciabilidade da ação (ou melhor a continuidade) será utilizada para mostrarque Aut (G) é grupo de Lie se G é conexo.Em geral, no caso não simplesmente conexo, o grupo de automorfismos

Aut (G) de um grupo de LieG pode ser bem diferente deAut (g). De qualquerforma, se G é conexo então AutG é isomorfo à imagem de δ já que δ éinjetora pela proposição 8.1. Em outras palavras, Aut (G) se identifica a umsubgrupo deAut (g), isto é, a um subgrupo deAutG, onde G é o recobrimentosimplesmente conexo de G. Esse subgrupo é a imagem do homomorfismoAutG → AutG, que a τ ∈ AutG associa o único automorfismo τ ∈ AutGque satisfaz dτ 1 = dτ 1.Para descrever a imagem desse homomorfismo, seja D ⊂ G o subgrupo

discreto central tal que G = G/D e denote por π : G→ G = G/D a projeçãocanônica. Essa projeção satisfaz (dπ)1 = idg (já que as álgebras de Lie de Ge G são identificadas entre si).

Lema 8.5 π ◦ τ = τ ◦ π.


Demonstração: Basta mostrar que os homomorfismos π ◦ τ e τ ◦ π co-incidem nas exponenciais dos elementos de g, já que os grupos G e G sãoconexos e, portanto, seus elementos são produtos de exponenciais.Denote por exp a exponencial em G e por exp a exponencial em G. Como

dπ1 = idg, valeπ (expX) = expX.

Aplicando τ a ambos os membros, e usando a igualdade τ (expX) = exp (dτ 1X),obtém-se

τ ◦ π (expX) = exp (dτ 1X) .

Por outro lado, τ (expX) = exp (dτ 1X). Aplicando π a essa igualdade eusando o fato que dπ1 = idg, chega-se a

π ◦ τ (expX) = exp (dτ 1X) ,

uma vez que exp dτ 1 = dτ 1. Portanto, τ ◦ π e π ◦ τ coincidem nas exponen-ciais, concluindo a demonstração. 2

Agora, sejaAutDG = {σ ∈ AutG : σ (D) = D} (8.1)

o subgrupo de AutG que deixa invariante o núcleo de π. Como D é fechadoAutDG é um subgrupo fechado de AutG. De fato, se σn → σ com σn ∈AutDG e d ∈ D então σn (d)→ σ (d), pois a ação é contínua. Como σn (d) ∈D, se conclui que σ (d) ∈ D e σ ∈ AutDG. (Veja o exercício 14 do capítulo2.) Portanto, AutDG é subgrupo de Lie de AutG.

Proposição 8.6 Seja G um grupo conexo. Então AutG é isomorfo a AutDGonde G = G/D. O isomorfismo é dado por ` : τ 7→ τ onde τ ∈ Aut (G) e τé o único automorfismo de G tal que dτ 1 = dτ 1.

Demonstração: Antes de mais nada observe que ` é de fato um homomor-fismo de grupos pois é a composta dos homomorfismos δ : AutG → Autg,dado pela diferencial, com a extensão Autg→ AutG.Pela proposição 8.1, o homomorfismo δ é injetor e como Autg e AutG

são isomorfos, segue que ` é injetora. Isso implica que AutG é isomorfo àimagem de ` em AutG. Deve-se mostrar então que AutDG coincide com aimagem de `.


Para isso tome x ∈ D. Então, pelo lema 8.5, π ◦ τ (x) = τ ◦ π (x) =τ (1) = 1, o que significa que τ (x) ∈ D. Como x ∈ D é arbitrário, issomostra que τ (D) ⊂ D. Aplicando o mesmo raciocinio a τ−1 = τ−1 segue queτ−1 (D) ⊂ D e daí que τ (D) = D, isto é, τ ∈ AutDG. Portanto a imagemde ` está contida em AutDG.Por outro lado, tome σ ∈ AutDG. Então, σ passa ao quociente, definindo

um homomorfismo σ′ : G → G tal que σ′ ◦ π = π ◦ σ. Este homomorfismoé dado por σ′ (xD) = σ (x)D, que é bem definido pois σ (D) = D. Comoπ : G→ G = G/D satisfaz dπ1 = idg e σ′◦π = π◦σ se conclui que dσ1 = dσ′1,isto é, σ = ` (σ′) o que mostra que AutDG está contido na imagem de `, con-cluindo a demonstração. 2

Corolário 8.7 Se G é conexo então AutG é grupo de Lie e sua ação em Gé diferenciável.

Demonstração: De fato, AutG é isomorfo a AutDG que é um subgrupo deLie fechado de AutG. O isomorfismo fornece então uma estrutura de grupode Lie em AutG. A demonstração da diferenciabilidade da ação foi feita nolema 8.4. 2

Um automorfismo σ ∈ AutD

(G)satisfaz a condição da definição em

(8.1), isto é, σ (D) = D se, e só se, tanto σ quanto σ−1 deixam D invariante:σ (D) ⊂ D e σ−1 (D) ⊂ D. Uma dessas inclusões não implica a outra a nãoser em casos especiais, como, por exemplo, quando D é finito. De fato, seσ (D) ⊂ D então a aplicação σ|D : D → D é injetora, pois σ é injetora. SendoD finito, a aplicação injetora σ|D é também sobrejetora, que por sua vez éequivalente a σ−1 (D) ⊂ D. Em geral, existem automorfismos σ de G tal queσ (D) ⊂ D mas D não é invariante por σ−1. Quando isso ocorre, σ passaao quociente definindo um homomorfismo σ′ de G/D por σ′ (xD) = σ (x)D.Esse homomorfismo deixa de ser injetor. De fato, se σ−1 (D) não está contidoem D então existem x ∈ G e d ∈ D com x = σ−1 (d) e tal que x /∈ D. Nessecaso, σ (x) = d o que implica que as classes laterais σ (x)D e D coincidem,mas xD 6= D.

Exemplo: Considere o toro Tn = Rn/Zn. O grupo dos automorfismosde Rn é Gl (n,R), portanto, de acordo com a proposição 8.6, o grupo dos


automorfismos de Tn é dado por

AutZnRn = {g ∈ Gl (n,R) : g (Zn) = Zn}.

Uma transformação linear inversível g ∈ Gl (n,R) deixa Zn invariante, isto é,satisfaz g (Zn) ⊂ Zn se, e só, se a matriz de g, na base canônica, tem entradasinteiras. Portanto, a condição para que g ∈ AutZnRn é que tanto g quantog−1 sejam matrizes com entradas inteiras. Isso força (pela regra de Cramer)que det g = 1. Reciprocamente, se g ∈ Gl (n,R) tem entradas inteiras edet g = 1 então sua inversa também tem entradas inteiras. Portanto, ogrupo dos automorfismos de Tn é (isomorfo a) o grupo discreto

Sl (n,Z) = {g = (xij) ∈ Gl (n,R) : det g = 1, xij ∈ Z}.

2

Um automorfismo interno de um grupoG é uma conjugação da forma Cx :G → G da forma Cx (z) = xzx−1, com x ∈ G fixado. Esses automorfismossatisfazem as igualdades Cx ◦ Cy = Cxy e C−1

x = Cx−1 o que implica que oconjunto dos automorfismos internos é um subgrupo de AutG. Esse subgruposerá denotado por IntG. Se τ é um automorfismo qualquer de G então valea igualdade τ ◦ Cx ◦ τ−1 = Cτ(x), que mostra, de imediato, que IntG é umsubgrupo normal de AutG.A estrutura de grupo de IntG é descrita observando que a aplicação x ∈

G 7→ Cx ∈ IntG é um homomorfismo de grupos. O núcleo dessa aplicação éo centro Z (G) de G e sua imagem, é claro, é todo grupo IntG. Dessa forma,IntG é isomorfo a G/Z (G). Esse grupo é também isomorfo à imagem Ad (G)da representação adjunta de G, que é um subgrupo de Aut (g).No caso em queG é conexo os seus elementos são produtos de exponenciais

e a fórmulaAd(eX)

= ead(X)

mostra que Ad (G) é formado por produtos de exponenciais do tipo ead(X).Em outras palavras, Ad (G) é um subgrupo do grupo Int (g) dos automor-fismos internos de g. Por outro lado, a mesma fórmula acima mostra quetodo automorfismo interno de g se estende a um automorfismo interno deG (mesmo que G não seja simplesmente conexo). Portanto, vale a seguintecaracterização de IntG.


Proposição 8.8 Seja G um grupo de Lie conexo. Então, Int (G) é isomorfoa Int (g). Em particular, grupos de Lie conexos, localmente isomorfos têmgrupos de automorfismos internos isomorfos.

A questão agora é descrever a álgebra de Lie de AutG (para G conexo),que é denotada por aut (G). Foi mencionado acima que se G é simplesmenteconexo então aut (G) é isomorfa à álgebra das derivações Der (g). Por esseisomorfismo aut (G) é vista como uma álgebra de Lie de transformações line-ares de g. Numa outra realização aut (G) pode ser vista como uma subálgebrade Lie da álgebra de Lie Γ (G) dos campos de vetores em G. Isso porque ogrupo de Lie AutG age diferenciavelmente em G e, portanto, induz uma açãoinfinitesimal, que associa a X ∈ aut (G) o campo de vetores X em G dadopor

X (x) =d

dt(exp (tX)x)|t=0 x ∈ G.

(veja o capítulo 12). O campo X é chamado de automorfismo infinitesimalde G. Essa ação infinitesimal X → X é fiel (isto é, injetora), pois se X = 0então exp tX = id para todo t ∈ R o que implica que X = 0 em aut (G).(Aliás, sempre que ação de um grupo for efetiva sua ação infinitesimal cor-respondente é fiel.) Daí que aut (G) é identificada com a álgebra de Lie dosautomorfismos infinitesimais de G.Coforme foi visto acima o grupo de Lie AutG do grupo conexo G é um

subgrupo de AutG do recobrimento universal de G. Dessa forma aut (G) é

uma subálgebra de aut(G). Através dos automorfismos infinitesimais é fácil

identificar essa subálgebra. De fato, se G = G/D então AutG é o subgrupodos elementos que deixam D invariante. Daí que

aut (G) = {Z ∈ aut(G)

: ∀x ∈ D, Z (x) = 0}.

8.2 Grupo Afim

Seja G um grupo. Uma transformação afim à esquerda em G é a compostade uma translação à esquerda por um homomorfismo de G. Isto é, umaaplicação α : G→ G é afim se for do tipo

α (x) = xg (y) = Ex ◦ g (y)

8.2. GRUPO AFIM 209

com g : G → G um homomorfismo e x ∈ G fixado. De maneira análoga sedefine uma transformação afim à direita, por β (y) = g (y)x. Evidentementeesses conceitos generalizam o conceito de transformação afim de um espaçovetorial, considerado como um grupo abeliano, em que os homomorfismossão as aplicações lineares e as translações à esquerda e à direita são iguais.As transformações afins serão indicadas pelas suas componentes (g, y)

com um subíndice e ou d caso seja necessário distinguir a transformação àesquerda e à direita.O conjunto das transformações afins contém a aplicação identidade (dada

por (id, 1)) e é fechado por composição. De fato, um cálculo simples mostraque

1. (g, y)e ◦ (h, z)e = (g ◦ h, yg (z))e,

2. (g, y)d ◦ (h, z)d = (g ◦ h, g (z) y)d.

Essas expressões mostram que um transformação afim (g, x) é bijetorase, e só se, o homomorfismo g o for. Nesse caso, a inversa também é umatransformação afim que é dada por (g, x)−1 = (g−1, g−1 (x−1)) (tanto no casodo produto à esquerda quanto à direita).Em vista desses comentários, dado um grupo G, se define o seu grupo

afim à esquerda AfeG como sendo o produto cartesiano AutG × G munidoda multiplicação, descrita acima, dada pela composição de transformaçõesafins à esquerda. Essa multiplicação satisfaz, de fato, os axiomas de grupo,uma vez que a composta é associativa. De maneira análoga se define o grupoafim à direita AfdG. Caso não seja necessário distinguir as estruturas àesquerda ou a direita, os grupos afins serão denotados indistintamente porAfG.Ambos os grupos afins contém de maneira natural os grupos AutG (que

é isomorfo ao subgrupo AutG×{1}) e o grupo G (que é isomorfo a {1}×G).Além do mais, a conjugação

(g, 1) (1, x) (g, 1)−1 = (g, 1) (1, x)(g−1, 1

)= (1, g (x))

(que vale tanto para o grupo afim à esquerda quanto à direita) mostra que osubgrupo {1} ×G é normal em AfG.Suponha agora que G seja um grupo de Lie conexo. Então, AutG é

grupo de Lie e sua ação em G é diferenciável. Já as expressões dos produtosà esquerda e à direita no grupo afim envolvem os produtos em G e AutG e a


ação deAutG emG. Daí se vê que esses produtos são aplicações diferenciáveise, portanto o grupo afim (à esquerda ou à direita) é um grupo de Lie.

Proposição 8.9 Se G é conexo então AfG é grupo de Lie.

O próximo objetivo será o de determinar a álgebra de Lie af (G) deAfG. O espaço vetorial subjacente é, sem duvida, dado pelo produto di-reto aut (G) × g das álgebras de Lie de AutG e G, respectivamente. Ocolchete, no entanto, não é um produto direto. Para calculá-lo observa-se,em primeiro lugar que aut (G) × {0} e {0} × g são subálgebras de af (G)pois essas são as álgebras de Lie dos subgrupos AutG× {1} e {1} ×G, res-pectivamente. Isso significa que em af (G) = aut (G) × g valem os colchetes[(X, 0) , (Y, 0)] = ([X, Y ], 0) e [(0, X) , (0, Y )] = (0, [X, Y ]).Resta então determinar um colchete do tipo [(X, 0) , (0, Y )] com X ∈

aut (G) e Y ∈ g, o que é feito derivando conjugações. Tomando exponenciaisnos subgrupos AutG × {1} e {1} × G se obtém exp t (X, 0) =

(etX , 1

)e

exp s (0, Y ) =(1, esY

). Portanto,

Cexp t(X,0)

(es(0,Y )

)=(etX , 1

) (1, esY

) (e−tX , 1

)=(1, etX

(esY))

onde etX é visto como um automorfismo de G. Daí que

Ad (exp (t (X, 0))) (0, Y ) =d

dsCexp t(X,0)

(es(0,Y )

)|s=0

=(0, d

(etX)

1(Y )).

Agora, d(etX)

1é um grupo a 1-parâmetro em Aut (g). Existe então uma

derivação D ∈ Der (g) tal que d(etX)

1= etD. Substituindo essa exponencial

na expressão acima chega-se ao colchete desejado

[(X, 0) , (0, Y )] = ad ((X, 0)) (0, Y ) =d

dtAd (exp (t (X, 0))) (0, Y )|t=0 = (0, DY ) .

A derivação D que aparece nessa fórmula é um elemento de aut (G) vistocomo uma subálgebra de Der (g) pois provém de um grupo a 1-parâmetro deautomorfismos de G. Em suma a álgebra de Lie de Af (G) é dada da seguinteforma.

Proposição 8.10 O colchete de Lie em af (G) = aut (G)× g é dado por[(D1, X1) , (D2, X2)] = ([D1, D2], D1X2 −D2X1 + [X1, X2]) ,

com Di ∈ aut (G) ⊂ Der (g) e Xi ∈ g.Esta seção é concluída com a observação, fácil de ser verificada, de que

se H ⊂ AutG é um subgrupo de Lie então H ×G é um subgrupo de Lie deAfG.

8.3. PRODUTO SEMI-DIRETO 211

8.3 Produto semi-direto

O produto semi-direto de dois grupos é uma construção que generaliza oproduto direto e é bastante utilizada na descrição dos grupos de Lie simples-mente conexos. Os ingredientes dessa construção são dois grupos G e H eum homomorfismo diferenciável τ : G→ Aut (H). Cada par (g, h) ∈ G×Hdefine duas aplicações afins de H uma à esquerda e outra à direita, dadas porhτ (g) (x) e τ (g) (x)h, x ∈ H. Através da composta dessas aplicações afinsse obtém duas estruturas de grupo em G×H, que se denomina de produtosemi-direto (à esquerda ou à direita) de G e H definido por τ . Os produtossão dados explicitamente por

1. (g1, h1) (g2, h2) = (g1g2, h1τ (g1) (h2)).

2. (g1, h1) (g2, h2) = (g1g2, τ (g1) (h2)h1).

Em ambos os casos o elemento neutro é (1, 1) e a inversa é

(g, h)−1 =(g−1, τ

(g−1) (h−1)).

O produto semi-direto é denotado por G×τ H (ou por G×eτ H e G×dτ H sefor necessário distinguir o produto à esquerda e à direita, respectivamente).Como τ é um homomorfismo diferenciável, os produtos dados acima sãodiferenciáveis e, portanto, o produto semi-direto de grupos de Lie é grupo deLie.Um caso particular do produto semi-direto é evidentemente o grupo afim

de AfH, que é o produto semi-direto AutH ×id H. Outro caso particularse obtém quando τ é constante igual a id. O produto semi-direto se reduzentão ao produto direto G×H dos grupos G e H (isso se for considerado oproduto à esquerda, pois no produto a diretia aparece G×H∨, onde H∨ é ogrupo definido pela multiplicação (h1, h2) 7→ h2h1.Qualquer produto semi-diretoG×τH contém cópias de suas componentes:

o subconjunto G×{1} ⊂ G×τ H é um subgrupo isomorfo a G enquanto que{1} ×H é um subgrupo isomorfo a H, que é normal em G×τ H. Em geral,G × {1} não é normal. Aliás, um cálculo simples com conjugações mostraque G × {1} é normal no produto semi-direto se, e só se, τ 6= id, isto é, oproduto é direto. Os subgrupos G × {1} e {1} × H são denotados apenaspor G e H, respectivamente. Eles são subgrupos de Lie por serem fechados.


A álgebra de Lie de um produto semi-direto G×τ H é dado pelo produtosemi-direto de suas álgebras de Lie, como é definido a seguir1.

Definição 8.11 Sejam g e h álgebras de Lie e ρ : g → Der (h) um homo-morfismo de álgebras de Lie. O produto semi-direto g×ρ h é a álgebra de Lieem g× h dada pelo colchete

[(X1, Y1) , (X2, Y2)] = ([X1, X2], ρ (X1)Y2 − ρ (X2)Y1 + [Y1, Y2]) .

Uma álgebra de Lie l é isomorfa a um produto semi-direto g×ρ h se, e sóse l = g1⊕ h1 (soma direta de espaços vetoriais) tal que g1 é uma subálgebraisomorfa a g e h1 é um ideal isomorfo a h.Dado um produto semi-direto G×τH sejam g e h as álgebras de Lie de G

e H, respectivamente. O homomorfismo τ : G→ AutH é diferenciável e suadiferencial ρ = dτ 1 no elemento neutro é um homormorfismo ρ : g→ aut (H)das álgebras de Lie correspondentes. Porém, aut (H) é uma subálgebra daálgebra das derivações Der (h). Faz sentido então escrever o produto semi-direto g×ρ h com ρ = dτ 1.

Proposição 8.12 A álgebra de Lie G×τ H é g×ρ h onde ρ = dτ 1.

Demonstração: A demonstração é análoga ao cálculo, feito acima, docolchete na álgebra de Lie do grupo afim AfG: g e h são subálgebras deLie e para determinar um colchete do tipo [(X, 0) , (0, Y )] deve-se derivar aconjugação

Cexp t(X,0)

(es(0,Y )

)=(1, τ

(etX) (esY)).

Essa derivada faz aparecer o homomorfismo ρ e a fórmula do colchete noproduto semi-direto. 2

A construção do produto semi-direto é muito útil para obter os gruposde Lie simplesmente conexos associados a uma determinada álgebra de Lie.Isso porque o grupo simplesmente conexo de um produto g×ρ h é o produtosemi-direto dos grupos correspondentes. De fato, sejam G e H os grupos sim-plesmente conexos com álgebra de Lie g e h respectivamente. O grupo AutHé isomorfo a Auth, cuja álgebra de Lie é Der (h). Como G é simplesmenteconexo, o homomorfismo ρ : g → Der (h) se estende a um homomorfismo

1Veja Álgebras de Lie [53], capítulo 1.

8.4. GRUPOS DERIVADOS E SÉRIE CENTRAL DESCENDENTE 213

τ : G→ AutH, o que permite construir G×τ H, cuja álgebra de Lie é g×ρ h.Certamente, G×τ H é simplesmente conexo, pois é o produto cartesiano deespaços simplesmente conexo. Dessa forma, o único grupo de Lie conexoe simplesmente conexo com álgebra de Lie g ×ρ h é o produto semi-diretoG×τ H.A construção do produto semi-direto tem grande relevância teórica para o

desenvolvimento da teoria em virtude do resultado de álgebras de Lie conhe-cido por teorema de decomposição de Levi2. Esse teorema afirma que todaálgebra de Lie de dimensão finita pode ser decomposta como um produtosemi-direto de uma subálgebra semi-simples por um ideal solúvel.Portanto, o problema de determinar os grupos de Lie conexos e simples-

mente conexos associados a uma álgebra de Lie se divide em determinar essesgrupos para cada uma das duas grandes classes de álgebras de Lie, as solúveise as semi-simples.

8.4 Grupos derivados e série central descen-dente

Nesta seção serão estudadas propriedades das séries derivada e central descen-dentes de um grupo de Lie. Para isso se utiliza reiteradamente a construçãodo produto semi-direto de grupos de Lie, feita na seção anterior.A construção do produto semi-direto fornece também informações sobre

subgrupos normais de grupos de Lie simplesmente conexos, como mostra aproposição a seguir.

Proposição 8.13 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo eH ⊂ G um subgrupo de Lie normal e conexo. Então, H é fechado e G/H ésimplesmente conexo.

Demonstração: A álgebra de Lie h de H é um ideal da álgebra de Lieg de G. Isso permite formar a álgebra de Lie quociente q = g/h. Seja Qo grupo de Lie conexo e simplesmente conexo cuja álgebra de Lie é q. Ohomomorfismo canônico θ : g → g/h induz um homomorfismo φ : G → Qtal que θ = dφ1. A álgebra de Lie do núcleo kerφ coincide com ker θ, isto é,com h. Como H e a componente conexa da identidade de kerφ têm a mesma

2Veja Álgebras de Lie [53], capítulos 5.


álgebra de Lie esses grupos são iguais. Por outro lado, kerφ é um subgrupofechado e daí que H = (kerφ)0 também é fechado.Na verdade kerφ é conexo pois a aplicação G/ (kerφ)0 → G/ kerφ = Q

é uma aplicação de recobrimento, o que mostra que (kerφ)0 = kerφ, pois Qé simplesmente conexo. Daí que H = kerφ e G/H = Q, o que mostra queG/H é simplesmente conexo. 2

É possível mostrar que o subgrupo H da proposição anterior tambémé simplesmente conexo3. A proposição a seguir mostra isso numa situaçãoparticular que serve para os grupos derivados de G.

Proposição 8.14 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexoe H ⊂ G um subgrupo de Lie normal e conexo. Suponha que dimG =dimH + 1. Então, H é simplesmente conexo.

Demonstração: Seja h ⊂ g a subálgebra de Lie de H e tome X ∈ g \ h,de tal forma que g = RX ⊕ h. Como h é ideal essa igualdade diz que g éisomorfa ao produto semi-direto R ×θ h, onde θ : R → Der (h) é dada porθ (t) = ad (tX)|h . Portanto, G é isomorfo ao produto semi-direto R×H, ondeH é simplesmente conexo com álgebra de Lie h. A diferencial do isomorfismoG ≈ R× H associa a álgebra de Lie de H com a álgebra de Lie de {0}× H.O que mostra que H e H são isomorfos, pois esses grupos são conexos. Daíque H é simplesmente conexo. 2

Esses resultados sobre subgrupos normais serão aplicados a seguir parao grupo derivado de um grupo de Lie. Em geral, se G é um grupo en-tão seu grupo derivado G′ é definido como sendo o subgrupo gerado peloscomutadores [x, y] = xyx−1y−1, x, y ∈ G. Os sucessivos grupos derivadosG(k) são definidos indutivamente por G(k) =

(G(k−1)

)′, onde se coloca G =

G(0). Esses subgrupos são normais (como segue da igualdade u [g, h]u−1 =[ugu−1, uhu−1]) e para cada k ≥ 0, G(k)/G(k+1) é um grupo abeliano.De maneira análoga, se define indutivamente as álgebras derivadas de

uma álgebra de Lie pondo g(0) = g, g′ o subespaço gerado pelos colchetes[X, Y ], X, Y ∈ g e g(k+1) =

(g(k))′. Essas álgebras derivadas são ideais de g

e para cada k ≥ 0 o quociente g(k)/g(k+1) é uma álgebra de Lie abeliana4.

3Veja Varadarajan [60], Teorema 3.18.2.4Veja Álgebras de Lie [53], capítulos 1 e 2.


Proposição 8.15 Se G é grupo de Lie conexo então G′ é subgrupo de Lienormal e conexo.

Demonstração: De fato, G′ é subgrupo conexo por caminhos diferen-ciáveis. Isso por que se g, h ∈ G então existem caminhos diferenciáveis gte ht, t ∈ [0, 1], com g0 = g e h0 = h. Portanto, a curva gthtg−1

t h−1t é um

caminho diferenciável entre o elemento neutro o comutador [g, h]. Agora,se g = [g1, h1] · · · [gk, hk] é um elemento genérico de G′ então o produto doscaminhos entre o elemento neutro e os comutadores fornece um caminhodiferenciável entre 1 e g. Isso mostra que G′ é conexo. Por fim G′ é subgrupode Lie pelo teorema 5.18. 2

O próximo passo é verificar que a álgebra de Lie L (G′) de G′ é a álgebraderivada g′. Para ver isso, considere o comutador

α (t) = e√tXe√tY e−

√tXe−

√tY t ≥ 0.

Então, a derivada à direita α′ (0) = − [X, Y ] (veja proposição 5.12). Issosignifica que qualquer colchete entre elementos de g é a derivada de umacurva em G′. Portanto, g′ ⊂ L (G′).

Proposição 8.16 Seja G grupo de Lie conexo. Então, a álgebra de Lie deG′ é L (G′) = g′ e daí que G′ = 〈exp g′〉.

Demonstração: Falta verificar a inclusão L (G′) ⊂ g′. Para isso suponhaem primeiro lugar que G é simplesmente conexo. Nesse caso a proposição8.13 garante que 〈exp g′〉 é subgrupo fechado. Portanto, G/〈exp g′〉 é grupode Lie com álgebra de Lie g/g′. Essa álgebra de Lie é abeliana, o que implicaqueG/〈exp g′〉 é grupo abeliano, o que implica que os comutadores deG estãocontidos em 〈exp g′〉, pois se é homomorfismo canônico p : G → G/〈exp g′〉é homomorfismo canônico então p [g, h] = [p (g) , p (h)] = 1. Daí que G′ ⊂〈exp g′〉 e, portanto L (G′) ⊂ g′.Para o caso geral em que G = G/Γ, com G simplesmente conexo e Γ

subgrupo discreto central, seja π : G→ G o homomorfismo canônico. Então,π(G′)

= G′, pois π é sobrejetor. Pelo primeiro parágrafo L(G′)

= g′ e

como dπ1 é isomorfismo, segue que L (G′) = g′, concluíndo a demonstração.2

No caso em que G é simplesmente conexo as proposições 8.13 e 8.14fornecem propriedades adicionais para o grupo derivado.


Proposição 8.17 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo.Então, o grupo derivado G′ é fechado e simplesmente conexo. O quocienteG/G′ é simplesmente conexo.

Demonstração: A proposição 8.13 garante de imediato que G′ é fechado eque G/G′ é simplesmente conexo. A demonstração de que G′ é simplesmenteconexo é obtida por aplicações reiteradas da proposição 8.14. A questão éque qualquer subespaço V com g′ ⊂ V ⊂ g é um ideal de g pois os colchetespertencem a g′. Daí que existem ideais g1, . . . , gk, k = dim g− dim g′, com

g ⊃ g1 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ g′

e dim gi = dim gi+1 + 1. Os subgrupos Gi = 〈exp gi〉 são normais. Pelaproposição 8.14, G1 é simplesmente conexo. Por indução se conclui que ossubgrupos Gi assim como G′ são simplesmente conexos. 2

Os demais grupos derivados G(k) são definidos indutivamente a partir doanterior, isto é, G(k) é o grupo derivado de G(k−1). Portanto, as afirmaçõesfeitas para o grupo G′ valem, por indução, para G(k), k ≥ 2.

Corolário 8.18 Seja G um grupo de Lie conexo. Então, os grupos derivadosG(k) são subgrupos de Lie, com álgebras de Lie L

(G(k)

)= g(k). Se, além do

mais, G é simplesmente conexo então G(k), k ≥ 0, é fechado e simplesmenteconexo. Os quocientes G(k)/G(i), k ≤ i, são simplesmente conexos.

Demonstração: Falta apenas observar queG(k)/G(i) é simplesmente conexose k < i+ 1. Mas isso segue direto da proposição 8.13. 2

Corolário 8.19 Seja G um grupo de Lie conexo. Então, sua série derivada

G = G(0) ⊃ · · · ⊃ G(k) ⊃ · · ·

se estabiliza, isto é, existe k0 tal que G(k) = G(k0) se k ≥ k0.

Demonstração: De fato, a série derivada

g = g(0) ⊃ · · · ⊃ g(k) ⊃ · · ·


se estabiliza pois dim g(k+1) < dim g(k) se g(k+1) 6= g(k). O mesmo ocorreentão com os grupos derivados G(k) = 〈exp g(k)〉. 2

(Compare o corolário acima com o exercício 15 ao final do capítulo.)Um tratamento semelhante pode ser dado à série central descendente

G = G1 ⊃ G2 ⊃ · · · ⊃ Gk ⊃ · · ·

que é definida indutivamente por G1 = G, G2 = G′ e Gk+1 =[G,Gk

]é o

subgrupo gerado pelos comutadores [x, y] = xyx−1y−1, x ∈ G, y ∈ Gk. Osgrupos Gk são são normais e para cada k ≥ 0, Gk/Gk+1 é um grupo abeliano.De maneira análoga, a série central descendente

g = g1 ⊃ g2 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ · · ·

da álgebra de Lie g é definida por g1 = g, g2 = g′ e gk+1 =[g, gk

], que é

o subespaço gerado pelos colchetes [X, Y ], X ∈ g e Y ∈ gk. Cada gk é umideal de g e os quocientes gk/gk+1 são álgebras de Lie abelianas5.Os grupos Gk são conexos por caminhos pois são gerados por comuta-

dores [g, h] que estão ligados ao elemento neutro por caminhos diferenciáveis.Portanto, eles são subgrupos de Lie. Quando G é simplesmente conexo, aproposição 8.13 garante que cada Gk é fechado e os quocientes G/Gk sãosimplesmente conexos.O objetivo agora é mostrar que a álgebra de Lie L

(Gk)de Gk coincide

com gk. Essa igualdade já foi demonstrada para k = 2 pois G2 = G′ e g2 = g′.Por indução sobre k se prova que gk ⊂ L

(Gk)de forma análoga ao que foi

feito para a álgebra derivada: tomando X ∈ g, Y ∈ gk−1, o comutador

α (t) = e√tXe√tY e−

√tXe−

√tY t ≥ 0

tem derivada à direita α′ (0) = − [X, Y ], o que garante que [X, Y ] ∈ L(Gk)

se X ∈ g e Y ∈ gk−1. Daí que gk ⊂ L(Gk).

O seguinte lema será utilizado para provar a inclusão contrária.

Lema 8.20 Sejam G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Seg ∈ G e Y ∈ gk−1 então existe Z ∈ gk tal que Ad (g)Y = Y + Z.

5Veja Álgebras de Lie [53], capítulos 1 e 2.


Demonstração: Suponha em primeiro lugar que g = eX , X ∈ g. Então,

Ad(eX)Y = ead(X) = Y +

∑i≥1

1

i!ad (X)i Y

e a soma da série pertence a gk pois [X, Y ] ∈ gk.Em geral, g = eX1 · · · eXs e Ad (g)Y = Ad

(eX1)· · ·Ad

(eXs)Y = Y + Z

com Z ∈ gk pois Ad(eXi)gk = gk. 2

Agora, para provar a inclusão contrária é suficiente tomar um grupo sim-plesmente conexo. Isso porque se π : G → G = G/Γ é a projeção canônica

então π(Gk)

= Gk e daí que as álgebras de Lie de Gk e de Gk coincidem.

Proposição 8.21 A álgebra de Lie L(Gk)de Gk coincide com gk, isto é,

Gk = 〈exp gk〉.

Demonstração: Falta verificar a inclusão Gk ⊂ 〈exp gk〉, que será feitapor indução sobre k. Tome G simplesmente conexo. Então, pela proposição8.13, 〈exp gk〉 é fechado e G/〈exp gk〉 é grupo de Lie com álgebra de Lie g/gk.Denote por p : G→ G/〈exp gk〉 o homomorfismo canônico.Assumindo o resultado para k − 1, deve-se verificar que ghg−1h−1 ∈

〈exp gk〉 se g ∈ G e h ∈ Gk−1. Para isso, suponha em primeiro lugar queh = eY com Y ∈ gk−1. Então, pelo lema anterior

geY g−1 = exp Ad (g)Y = exp (Y + Z)

com Z ∈ gk. Então,

p(geY g−1e−Y

)= p (exp (Y + Z)) p

(e−Y

)= 1

já que p (exp (Y + Z)) = edp1(Y+Z) = edp1Y pois Z ∈ gk. Portanto, geY g−1e−Y ∈〈exp gk〉, conforme o desejado.Para o caso geral em que h é um produto de exponenciais deve-se usar a

seguinte igualdade sobre comutadores

[g, h1h2] = [g, h1] · h1 [g, h2]h−11 .

Por exemplo se h = eY1eY2 com Yi ∈ gk−1 então[g, eY1eY2

]=[g, eY1

]· eY1

[g, eY2

]e−Y1 ,


que pertence a 〈exp gk〉, pois isso ocorre com os comutadore[g, eY1

]e[g, eY2

](pela primeira parte) e com eY1

[g, eY2

]e−Y1 , já que 〈exp gk〉 é subgrupo nor-

mal. Dessa forma, por indução, se obtém[g, eY1 · · · eY2

]∈ 〈exp gk〉 se g ∈ G

e Yi ∈ gk−1, concluindo a demonstração. 2

Analogamente ao que ocorre com a série derivada, a série central descen-dente de G se estabiliza, pois isso ocorre ao nível da álgebra de Lie.

8.5 Exercícios

1. Seja g a álgebra de Lie de Heisenberg, isto é, a álgebra de Lie dasmatrizes da forma 0 x z

0 0 y0 0 0

x, y, z ∈ R.

Encontre as álgebras Der (g) e ad (g) das derivações e derivações inter-nas, respectivamente.

2. Suponha que uma álgebra de Lie g seja um produto semi-direto, isto é,existem uma subálgebra h e um ideal n tal que g = h ⊕ n. Denotepor G o grupo conexo e simplesmente conexo associado a g e seja〈exp n〉 o subgrupo conexo com álgebra de Lie n. Mostre que 〈exp n〉 ésimplesmente conexo.

3. Sejam G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e h ⊂ g umideal. Mostre que 〈exp h〉 é fechado.

4. Seja D : Rn → Rn uma transformação linear que não tem auto-valoresimáginarios (em particular kerD = {0}). Construa o produto semi-direto h = R ×ρ Rn, onde ρ : R → gl (n,R) é dada por ρ (t) = tD.Mostre que existe um único grupo de Lie conexo com álgebra de Lie h.

5. Seja G um grupo de Lie e denote por End (G) o semigrupo dos en-domorfismos diferenciáveis de G. Verifique que se G é simplesmenteconexo então End (G) é isomorfo ao semigrupo End (g) dos endomor-fismos de g. Descreva End (G) no caso em que G = G/D não é sim-plesmente conexo.


6. Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebrade Lie g. Uma derivação D ∈ Der (g) define um grupo a 1-parâmetroexp tD ∈ Aut (G) e, por consequencia, um fluxo φt em G. Esse fluxodefine, por sua vez, o campo de vetores D (x) = d

dtφt em G denominado

de automorfismo infinitesimal de G. Mostre que D é obtido, a partirde D, pela seguinte fórmula

D (expX) = d (exp)X (DX) .

7. Seja D um automorfismo infinitesimal de um grupo de Lie. Mostre quese X é campo invariante (à direita ou à esquerda) então [D,X] tambémé campo invariante.

8. Dê exemplo de um grupo de Lie conexo, mas não simplesmente conexoG tal que Aut (G) não é conexo.

9. Dado um produto semi-direto G×τ H, sejam g, h e g×ρ h as álgebrasde Lie de G, H e G ×τ H, respectivamente (com ρ = dτ 1). Escreva aexpressão da exponencial exp (X, Y ), X ∈ g, Y ∈ h, em termos de τ edas exponenciais de G e de H.

10. SejamG um grupo de Lie eD ⊂ G um subgrupo discreto. Seja tambémφ ∈ Aut (G) um automorfismo tal que φ (D) = D. Essa propriedadegarante que φ passa ao quociente e define um difeomorfismo φ de G/D.Suponha que o único ponto fixo de φ em G seja o elemento neutro emostre que os pontos fixos de φ em G/D são isolados.

Aplique o resultado ao caso em que G/D é o toro Tn e mostre que se1 não é autovalor de g ∈ Sl (n,R) então o número de pontos fixos daaplicação induzida em Tn é finito.

11. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e fibrado tangente TG ≈G× g. Seja p : G×G→ G o produto em G. Mostre que a diferencialdp : TG × TG → TG define uma estrutura de grupo de Lie em TGisomorfo ao produto semi-direto G ×Ad g (com g visto como grupoabeliano).

12. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Suponha queos únicos ideais de g são os triviais {0} e g e que o centro do grupoZ (G) = {1}. Mostre as seguintes afirmações:


(a) G é simples como grupo abstrato, isto é, os únicos subgruposnormais de G são {1} e G.

(b) Todo automorfismo de g se estende a um automorfismo de G.Conclua que Aut (G) é isomorfo a Aut (g).

13. Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo. Mostre que seH ⊂ G é um subgrupo de Lie conexo então H não é denso em G.

14. Sejam G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e H ⊂ G éum subgrupo de Lie conexo. Mostre que se o fecho H de H é subgruponormal então H = H, isto é, H é fechado.

15. Dê exemplo de um grupoG cuja série derivadaG = G(0) ⊃ · · · ⊃ G(k) ⊃· · · não se estabiliza, isto é, G(k+1) 6= G(k) para todo k ≥ 0. Faça omesmo para a série central descendente G = G0 ⊃ · · · ⊃ Gk ⊃ · · · .(Sugestão: considere “matrizes triangulares inferiores”num espaço dedimensão infinita com base {e1, e2, . . .}.)

Capítulo 9

Grupos solúveis e nilpotentes

sistemas de coordenadas globais de primeira (nilpotente) e segunda (solúvel)espécie

9.1 Grupos solúveis

Os sucessivos grupos derivados G(k) de um grupo G são definidos indutiva-mente por G(0) = G e G(k) =

(G(k−1)

)′, o subgrupo gerado pelos comutadores

[x, y] = xyx−1y−1, x, y ∈ G(k). Esses subgrupos são normais (como segue daigualdade u [g, h]u−1 = [ugu−1, uhu−1]) e para cada k ≥ 0, G(k)/G(k+1) é umgrupo abeliano. O conjunto de grupos encaixados

G = G(0) ⊃ · · · ⊃ G(k) ⊃ · · ·é chamado de série derivada de G.Conforme ficou estabelecido na seção 8.4 do capítulo 8 se G é grupo de

Lie conexo então cada G(k) é subgrupo de Lie conexo. Suas álgebra de LieL(G(k)

)são as álgebras derivadas g(k), que são definidas indutivamente por

g(0) = g e g(k) = [g(k−1), g(k−1)]. A série derivada de g é o conjunto de ideais

g = g(0) ⊃ · · · ⊃ g(k) ⊃ · · · .Um grupo G é solúvel se sua série derivada termina no grupo trivial, isto

é, se G(k) = {1} para algum k ≥ 0 (nesse caso G(i) = {1} para i ≥ k). Damesma forma a álgebra de Lie g é solúvel se g(k) = {0} para algum k ≥ 0.A igualdade L

(G(k)

)= g(k), que é equivalente a G(k) = 〈exp g(k)〉, mostra

de imediato que G(k) = {1} se, e só se, g(k) = {0}. Daí que vale o seguintecritério para que um grupo de Lie conexo seja solúvel.

223

224 CAPÍTULO 9. GRUPOS SOLÚVEIS E NILPOTENTES

Proposição 9.1 Um grupo de Lie conexo G é solúvel se, e só se, sua álgebrade Lie g é solúvel.

Um exemplo típico de álgebra de Lie solúvel é a álgebra das matrizestriangulares1: a1 · · · ∗

.... . .

...0 · · · an

n×n

.

Essa é a álgebra de Lie do grupo S das matrizes triangulares cujos elementosdiagonais são > 0. A variedade subjacente a S é Rn+×RN , N = n (n− 1) /2,isto é, um espaço euclidiano. Essa propriedade vale para todo grupo de Liesolúvel conexo e simplesmente conexo.A demonstração desse fato requer as seguintes informações sobre álgebras

de Lie solúveis.Uma decomposição de Jordan-Hölder de uma álgebra de Lie é uma se-

quência de subálgebras g = g0 ⊃ g1 ⊃ · · · ⊃ gk = {0} tal que para cadai = 1, . . . , k, gi+1 é um ideal de gi e os únicos ideais de gi/gi+1 são os triviais(isto é, gi/gi+1 é uma álgebra simples ou dim gi/gi+1 = 1).A proposição a seguir mostra que álgebras de Lie solúveis admitem de-

composições de Jordan-Hölder em que os quocientes sucessivos tem dimensãoum. (Na verdade, vale a recíproca. Uma decomposição dessas só ocorre emálgebras de Lie solúveis.)

Proposição 9.2 Seja g uma álgebra de Lie solúvel. Então, existe uma se-quência de subálgebras

g = g0 ⊃ g1 ⊃ · · · ⊃ gk = {0}

tal que gi+1 é um ideal em gi e dim gi = dim gi+1 + 1 para i = 0, . . . , k − 1.

Demonstração: Comece com a série derivada g = g(0) ⊃ g′ ⊃ · · · ⊃g(k) = {0} em que cada termo é um ideal de g. A inclusão entre dois termossucessivos g(i) ⊃ g(i+1) dessa série pode ser complementada por subespaçosvetoriais

g(i) ⊃ V1 ⊃ · · · ⊃ Vl ⊃ g(i+1)

1Compare com o “teorema de Lie”em Álgebras de Lie [53], capítulo 2.

9.1. GRUPOS SOLÚVEIS 225

de tal forma que as dimensões variam de um em um. Como [g(i), g(i)] ⊂ g(i+1),segue que [Vj, Vr] ⊂ g(i+1). Em particular, [Vj, Vj+1] ⊂ g(i+1) ⊂ Vj+1,mostrando que Vj+1 é ideal em Vj, o que conclui a demonstração. 2

Essa proposição mostra na verdade que a série derivada

g = g(0) ⊃ · · · ⊃ g(s) ⊃ {0}

pode ser incluída numa decomposição de Jordan-Hölder. Um pequeno tra-balho adicional permite mostrar que qualquer ideal de g pertence a umadecomposição dessas.

Proposição 9.3 Sejam g uma álgebra de Lie solúvel e h ⊂ g um ideal.Então, existe uma decomposição Jordan-Hölder

g = g0 ⊃ g1 ⊃ · · · ⊃ gk = {0}

tal que h = gi para algum i.

Demonstração: A subálgebra h também é solúvel, pois h(i) ⊂ g(i). Por-tanto, existe uma decomposição

h = h0 ⊃ h1 ⊃ · · · ⊃ hs = {0}

com dim (hi/hi+1) = 1. Por outro lado, g/h também é solúvel (pois (g/h)(i) =π(g(i))2). Existe, portanto uma sequência

g/h = l0 ⊃ l1 ⊃ · · · ⊃ lr = {0}

com dim (li/li+1) = 1. Seja π : g → g/h a projeção canônica. Então,π−1 (li+1) tem co-dimensão 1 em π−1 (li), daí que

g = π−1 (l0) ⊃ · · · ⊃ h = π−1 (lr) ⊃ h1 ⊃ · · · ⊃ hs = {0}

é a decomposição desejada. 2

Voltando aos grupos de Lie, pode-se provar agora que os grupos solúveisconexos e simplesmente conexos são difeomorfos a espaços euclidianos.

2Veja Álgebras de Lie [53], capítulo 1.


Proposição 9.4 Seja G um grupo solúvel conexo e simplesmente conexocom álgebra de Lie g. Tome uma decomposição de Jordan-Hölder

g = g0 ⊃ g1 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ gk+1 = {0}

com dim (gi/gi+1) = 1. Então, cada um dos subgrupos conexos 〈exp gi〉 é fe-chado e difeomorfo a um espaço euclidiano (Rn para algum n). Em particularG = 〈exp gi〉 é um espaço euclidiano.

Demonstração: Denote por Gi o grupo de Lie conexo e simplesmenteconexo com álgebra de Lie gi. A demonstração consiste em reconstruir Gpor sucessivos produtos semi-diretos R×sGi+1 ≈ Gi. Essa construção é feitade tal forma que, para cada i, 〈exp gi〉 é isomorfo a Gi.O isomorfismo R ×s Gi+1 ≈ Gi é dado como na proposição 8.14, já que

gi = 〈X〉 ⊕ gi+1 com X ∈ gi \ gi+1. Daí que procedendo por indução, emprimeiro lugar Gk ≈ R pois dim gk = 1. Então,

Gk−1 ≈ R×s R

onde a segunda componente é o subgrupo com álgebra de Lie gk. Da mesmaforma Gk−2 é isomorfo a R×s (R×s R) obtendo, por fim G ≈ G0 por produ-tos semi-diretos sucessivos cuja variedade é difeomorfa a Rk+1. 2

Corolário 9.5 Seja G um grupo solúvel conexo e simplesmente conexo comálgebra de Lie g. Se H ⊂ G é um subgrupo normal e conexo então H éfechado e difeomorfo a um espaço euclidiano. O quociente G/H também éespaço euclidiano.

Demonstração: De fato, e h é a álgebra de Lie de H então h é ideal eH = 〈exp h〉. O ideal pertence a uma decomposição de Jordan-Hölder de gpela proposição 9.3, portanto a proposição anterior garante que H é espaçoeuclidiano. A proposição 8.13 do capítulo 8, garante que H é fechado e queG/H é simplesmente conexo. Portanto, o grupo de Lie solúvel G/H tambémé difeomorfo a um espaço euclidiano. 2

As boas propriedades dos subgrupos normais conexos enunciadas nessecorolário valem também para os subgrupos que não são normais, como mostrao próximo resultado.

9.2. GRUPOS NILPOTENTES 227

Proposição 9.6 Seja G um grupo solúvel conexo e simplesmente conexo.Se H ⊂ G é um subgrupo conexo então H é fechado e simplesmente conexoe, portanto, difeomorfo a um espaço euclidiano.

Demonstração: Suponha em primeiro lugar que o subgrupo conexo H éfechado. A demonstração de que H é simplesmente conexo se faz por induçãosobre a dimensão de G. Se dimG = 1, não há nada a demonstrar, pois nessecaso G ≈ R e H = {1} ou H = G.Pela hipótese de indução o resultado vale para os subgrupos do grupo

derivado G′, já que dimG′ < dimG e pelos resultados acima G′ é simples-mente conexo. O quociente G/G′ é isomorfo a Rn pois é abeliano e sim-plesmente conexo. Seja π : G → G/G′ o homomorfismo canônico. Então,π (H) = H/H∩G′ é isomorfo a um subgrupo conexo Rn, que é um subespaçovetorial. Isto é, H/H ∩G′ é simplesmente conexo, o que garante que H ∩G′é conexo (pois H/ (H ∩G′)0 → H/H ∩G′ é uma aplicação de recobrimento).Segue da hipótese de indução que H ∩G′ é simplesmente conexo.Consequentemente H/H ∩G′ e H ∩G′ são simplesmente conexos, o que

implica que H é simplesmente conexo (veja exercício 19 do capítulo 6). Issoconclui a demonstração de que se H é conexo e fechado então H é simples-mente conexo.Por fim, se H é conexo então o seu fecho H é conexo e fechado, portanto

simplesmente conexo. Mas, H é subgrupo normal de H. A proposição 8.13do capítulo 8 garante então que H (visto como subgrupo de H) é fechado.Isto é, H = H, concluíndo a demonstração. 2

9.2 Grupos nilpotentes

Dado um grupo G sua série central descendente

G = G1 ⊃ G2 ⊃ · · · ⊃ Gk ⊃ · · ·

que é definida indutivamente por G1 = G, G2 = G′ e Gk+1 =[G,Gk

]é o

subgrupo gerado pelos comutadores [x, y] = xyx−1y−1, x ∈ G, y ∈ Gk. Osgrupos Gk são são normais e para cada k ≥ 0, Gk/Gk+1 é um grupo abeliano.De maneira análoga, a série central descendente

g = g1 ⊃ g2 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ · · ·


da álgebra de Lie g é definida por g1 = g, g2 = g′ e gk+1 =[g, gk

], que é

o subespaço gerado pelos colchetes [X, Y ], X ∈ g e Y ∈ gk. Cada gk é umideal de g e os quocientes gk/gk+1 são álgebras de Lie abelianas3.Um grupo G é nilpotente se sua série central descendente termina no

grupo trivial, isto é, se Gk = {1} para algum k ≥ 0 (nesse caso Gi = {1}para i ≥ k). Da mesma forma a álgebra de Lie g é nilpotente se gk = {0}para algum k ≥ 0.Se G é um grupo de Lie conexo então a proposição 8.21 do capítulo 8

mostra que a álgebra de Lie L(Gk)deGk coincide com gk, o que é equivalente

a Gk = 〈exp gk〉. Essa igualdade mostra de imediato que Gk = {1} se, e sóse, gk = {0}. Daí que vale o seguinte critério para que um grupo de Lieconexo seja nilpotente.

Proposição 9.7 Um grupo de Lie conexo G é nilpotente se, e só se, suaálgebra de Lie g é nilpotente.

A série central descendente está contida na série derivada, no sentido emque Gk+1 ⊂ G(k) e gk+1 ⊂ g(k+1). Portanto, os grupos (assim como as álge-bras de Lie) nilpotentes são também solúveis. Dessa forma as propriedadesdos grupos solúveis conexos descritas na seção anterior valem para os gruposnilpotentes conexos. Daí que um grupo de Lie nilpotente, conexo e simples-mente conexo é difeomorfo a um espaço euclidiano, assim como cada um deseus subgrupos conexos.No caso nilpotente essa situação é aprimorada pelo fato de que aplicação

exponencial exp : g → G é um difeomorfismo, o que não vale para grupossolúveis em geral (veja um exemplo abaixo).

Teorema 9.8 Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmenteconexo. Então, a aplicação exponencial exp : g→ G é um difeomorfismo.

Dito de outra maneira, nos grupos de Lie nilpotentes simplesmente conexosa aplicação exponencial é um sistema de coordenadas global de primeira es-pécie.Na demonstração do teorema 9.8 serão utilizadas as seguintes propriedades

elementares das álgebras de Lie nilpotentes4:

3Veja Álgebras de Lie [53], capítulos 1 e 2.4Veja Álgebras de Lie [53], capítulos 1 e 2.


1. Se g é nilpotente então as adjuntas ad (X), X ∈ g, são transfor-mações lineares nilpotentes5. Isso porque ad (X) (Y ) = [X, Y ] ∈ g2,ad (X)2 (Y ) ∈ g3 e assim por diante, de tal forma que ad (X)k = 0 segk+1 = {0}.

2. Uma álgebra de Lie nilpotente g tem centro z (g) 6= {0}. De fato, segk+1 é a primeira potência de g que se anula então gk 6= {0} está contidono centro de g, pois

[g, gk

]= gk+1 = {0}.

3. Seja g uma álgebra de Lie nilpotente. Então, toda subálgebra de g énilpotente. Se h ⊂ g é um ideal então g/h é nilpotente.

O primeiro passo na demonstração do teorema 9.8 será verificar que expé um difeo local. A fórmula da diferencial de exp, demonstrada no capítulo7 fornece

d (exp)X = dEeX ◦ TX = dEeX ◦ead(X) − 1

ad (X).

Como ad (X), X ∈ g, é nilpotente, seus auto-valores são nulos. Portanto, os

auto-valores de TX =ead(X) − 1

ad (X)são iguais a φ (0) = 1 onde φ (t) =

et − 1

t.

Isso implica que TX e, portanto, d (exp)X é injetora. Como as dimensões dodomínio e da imagem coincidem, segue que d (exp)X é bijetora. Como x ∈ gé arbitrário isso significa que exp é um difeo local.Dessa forma, para mostrar que exp é difeomorfismo basta mostrar que é

uma bijeção.A demonstração de que a exp é bijetora é feita por indução sobre a di-

mensão de G. Em primeiro lugar, se dimG = 1 e G é simplesmente conexoentão tanto G quanto g coincidem com R e exp é a identidade.Para o passo de indução considere o centro z (g) de g. Então, z (g) 6= {0}

e dim (g/z (g)) < dim g. Seja H = 〈exp z (g)〉 (adiante será verificado queH = Z (G)). Pelo corolário 9.5 H é fechado e G/H é simplesmente conexo.A álgebra de Lie de G/H é álgebra nilpotente g/z (g).Pela hipótese de indução as exponenciais em H e G/H são sobrejetoras.

Denote por π : G→ G/H o homomorfismo canônico.

5O teorema de Engel fornece uma recíproca a essa afirmação. Veja Álgebras de Lie[53], capítulo 2.


Agora, tome g ∈ G. Então, existe X = dπ1 (X) ∈ g/h, X ∈ g, tal queeX = π (g). Então,

π(eX)

= eX = π (g) .

Isso significa que existe h ∈ H tal que g = eXh. Pela sobrejetividade daexponencial em H, existe Y ∈ z (g) tal que h = eY . Isto é,

g = eXeY = eX+Y

pois [X, Y ] = 0. Isso mostra que g está na imagem da exponencial, concluíndoa demonstração de que exp é sobrejetora.Para verificar a injetividade, tome X, Y ∈ g tal que eX = eY . Então,

edπ1(X) = π(eX)

= π(eY)

= edπ1(X),

onde π : G → G/H é como acima. Pela hipótese de indução, segue quedπ1 (X) = dπ1 (Y ), o que significa que existe Z ∈ z (g) tal que X = Y + Z.No entanto, Z comuta tanto com X e Y . Daí que

eX = eY+Z = eY eZ

e, portanto, eZ = 1, o que implica que Z = 0, pois pela hipótese de induçãoa exponencial é injetora em H. Isto é, X = Y mostrando a injetividade daexponencial.O teorema 9.8 tem as seguintes consequências.

Corolário 9.9 Se G é um grupo de Lie nilpotente e conexo. Então, exp :g→ G é uma aplicação de recobrimento.

Demonstração: Escreva G = G/D com G simplesmente conexo e D dis-creto e central. O homomorfismo canônico π : G → G é uma aplicação derecobrimento e vale expG = π ◦ expG, o que garante que expG é um recobri-mento já que expG é difeomorfismo. 2

Corolário 9.10 Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo com álgebra deLie g. Então, os subgrupos conexos de G são da forma exp h, onde h ⊂ g éuma subálgebra.

Demonstração: De fato, se H é conexo então a exponencial em H é so-brejetora, pois H é nilpotente. 2


Corolário 9.11 Seja G um grupo nilpotente conexo. Se z (g) é o centro daálgebra de Lie g de G. Então o centro de G é dado por

Z (G) = exp z (g) .

Demonstração: Como G é conexo vale a inclusão exp z (g) ⊂ Z (G). Paraa inclusão contrária tome g ∈ Z (G) e seja X ∈ g tal que g = eX . Então,para todo h ∈ G, heXh−1 = eX de onde se conclui que

eAd(h)X = eX

e, portanto Ad (h)X = X, pela injetividade da exponencial. Aplicando essaigualdade e h = etY , Y ∈ g, t ∈ R, se obtém

etad(Y )X = Ad(etY)X = X.

A derivada em relação a t mostra que ad (Y )X = 0, isto é, X ∈ z (g), con-cluíndo a demonstração. 2

Corolário 9.12 Seja G = G/D um grupo de Lie nilpotente e conexo, com G

simplesmente conexo. Então, G é difeomorfo ao “cilindro”Rn × Z(G)/D,

n = dim G− dimZ(G).

Demonstração: Pelo corolário anterior Z(G)

= exp z (g). Tome um

subespaço V que complementa z (g) em g. A aplicação f : V ×Z(G)/D →

G definida por f (X, gD) = π(eXg

)é o difeomorfismo desejado. De fato, f

faz parte do seguinte diagrama comutativo

V × z (g)exp−→ G

id ↓ ↓ π ◦ exp ↓ πV × Z

(G)/D

f−→ G

onde exp na linha de cima é dada por (X, Y ) 7→ eXeY = eX+Y . O dia-grama mostra que f é difeo local pois as exponenciais envolvidas são difeo-morfismos e as projeções (denotadas por π) são aplicações de recobrimento.Do diagrama se vê também que f é sobrejetora. Agora, se f (X1, g1D) =

f (X2, g2D) então existe z = eZ ∈ Z(G)tal que eX1 = eX2eZ , o que implica

que X1 = X2 e, portanto, g1D = g2D. 2


Corolário 9.13 Se umm grupo nilpotente e conexo é compacto então ele éabeliano.

Demonstração: Segue de imediato do corolário anterior, já que se G écompacto então n = dim G− dimZ

(G)

= 0. 2

Deve-se observar que a exponencial em grupos solúveis não é, em geral,um difeomorfismo como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo: Seja A uma matriz real n× n e suponha que A tenha um auto-valor puramente imaginário não nulo. Seja g a álgebra de Lie solúvel dematrizes da forma (

tA v0 0

)com v uma matriz coluna n× 1 e t ∈ R. Os auto-valores de

ad

(tA 00 0

)são 0 e tλ onde λ é auto-valor de A. Existe, portanto, X ∈ g tal que ad (X)tem auto-valor não nulo em 2πiZ. Isso implíca que para qualquer grupo Gcom álgebra de Lie g a aplicação exponencial exp : g → G tem pontos sin-gulares e, portanto, não pode ser difeomorfismo. 2

Por fim um comentário relevante sobre a construção do grupo conexoe simplesmente conexo G cuja álgebra de Lie g é nilpotente. O fato daexponencial exp : g→ G ser difeomorfismo permite definir em g (ou melhorno espaço vetorial subjacente) um produto c : g × g → g que torna g umgrupo de Lie isomorfo a G. Esse produto é dado pela igualdade

eXeY = ec(X,Y ).

A fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH), demonstrada no capítulo 7fornece uma expressão para c (X, Y ) em termos do colchete em g. No casoem que g é nilpotente essa fórmula é um polinômio em X e Y , que estádefinida para todo par (X, Y ) e é uma aplicação diferenciável. Isso significaque g munido com o produto dado por BCH é um grupo de Lie com álgebrade Lie g. Esse é um método eficiente para construir o grupo de Lie conexo esimplesmente conexo com álgebra de Lie g.


Por exemplo, se g3 = {0} então a fórmula BCH é dada por

c (X, Y ) = X + Y +1

2[X, Y ] .

Esse é um produto que define g como um grupo de Lie.

9.3 Exercícios

1. Mostre um grupo solúvel simplesmente conexo G admite um sistemade coordenadas global de segunda espécie. Isto é, existe uma base{X1, . . . , Xn} da álgebra de Lie g de G tal que a aplicação

(t1, . . . , tn) ∈ Rn 7−→ et1X1 · · · etnXn

é um difeomorfismo.

2. Dados um grupo G e H ⊂ G um subgrupo normal mostre que G ésolúvel se, e só se, H e G/H são normais. Dê um exemplo que mostreque essa propriedade não vale para grupos nilpotentes.

3. Seja G um grupo nilpotente simplesmente conexo. Mostre que o centroZ (G) é conexo e coincide com 〈exp z (g)〉.

4. SejaG um grupo de Lie com álgebra de Lie g, nilpotente e não abeliana.Mostre que G não é compacto. (Use o exercício anterior.)

5. Faça o mesmo que o exercício anterior substituindo nilpotente porsolúvel não abeliana.

6. Seja G um grupo de Lie nilpotente simplesmente conexo com álgebrade g. Mostre que o centro Z (G) de G é o grupo conexo (e simplesmenteconexo) exp z (g), onde z (g) é o centro de g. (Use o fato de que seX ∈ gsatisfaz Ad (g)X = X para todo g ∈ G então X ∈ z (g).) Dê exemplode um grupo de Lie cujo centro não é conexo.

7. Denote por N o conjunto das transformações lineares nilpotentes emgl (n,R).

(a) Mostre que se X ∈ N então g = expX é unipotente, isto é, g−1 énilpotente. Mostre também que se exp tX é unipotente para todot ∈ R então X ∈ N .


(b) Seja U ∈ Gl (n,R) o conjunto dos elementos unipotentes. Mostreque exp : N → U é bijetora. (Use as séries de potências daexponencial e do logaritmo.)

(c) Dê exemplo de uma matriz X não nilpotente tal que expX éunipotente.

8. Seja G um grupo nilpotente simplesmente conexo com álgebra de Lieg. Dada uma derivação D ∈ Der (g) construa o automorfismo infinites-imal D como no exercício 6 do capítulo 8. Mostre que no sistema decoordenadas global, dado pela exponencial, D (X) = D (X) para todoX ∈ g.

9. Dado um produto semi-direto de álgebras de Lie p = g ×ρ h, mostreque se g e h são solúveis então p também é solúvel.

10. Dê exemplos de álgebras Lie g e h e um produto semi-direto p = g×ρ htal que g e h são nilpotentes, mas p não é nilpotente.

11. Considere as séries formais na variável x com coeficientes reais, expx =∑k≥0

1

k!xk e log (1 + x) =

∑k≥1

(−1)k+1

kxk. Substitua na série do

logaritmo x por expx− 1 e verifique a igualdade

log (expx) = log (1 + (expx− 1)) = x.

Use essa igualdade para mostrar que se A e B matrizes reais n × nnilpotentes então eA = eB se, e só se, A = B.

12.

13. Quando aplicadas a uma transformação linear nilpotente A ambas asséries são polinômios em A e, portanto, dão origem a transformaçõeslineares bem definidas. A expressão formal garante portanto que seexpA = expB então,

A = log (expA) = log (expB) = B.

Capítulo 10

Grupos compactos

Neste capítulo serão estudados os grupos simplesmente conexos que são re-cobrimentos universais de grupos compactos. Como será demonstrado nessecapítulo a álgebra de Lie g de um grupo compacto G se decompõe na somadireta g = z (g)⊕ k onde z (g) é o centro de g e k é uma álgebra semi-simples.O grupo simplesmente conexo associado a g é o produto direto dos grupossimplesmente conexos de z (g) e de k. Esse último é compacto, como resultadodo teorema de H. Weyl, que será demonstrado aqui.– este capítulo exige conhecimento de sistemas de raízes a álgebras reais.– toro maximal × subálgebra de Cartan– formas reais compactas de álgebras de Lie complexas– forma real de grupo complexo.– Métricas bi-invariantes “diagrama”.– Estrutura e representações.– Teorema de Peter-Weyl– exemplos: S3 = H|x|=1 = SU (2).– sai de grupo compacto → álgebra compacta e vice-versa, sai de ál-

gebra compacta → grupo compacto (essa volta exige o teorema do grupofundamental finito)– determinar explicitamente o grupo fundamental de Aut0 (g), g com-

pacta (índice de conectividade)– ad (X), X ∈ g, e Ad (g), g ∈ G, é semi-simples.– diferentes definições de álgebra de Lie compacta: 1) Inn (g) é um grupo

compacto; 2) g admite um produto interno (·, ·) invariante (ad (X) é anti-simétrica em relação ao produto interno); 3) a forma de Cartan-Killing énegativa definida; (parece que a (2) é a melhor a ser adotada).

235

236 CAPÍTULO 10. GRUPOS COMPACTOS

– Helgason VII, 6 para o grupo fundamental de compacto semi-simples.

10.1 Exemplos preliminares

– exemplo su (n) numa seção aparte, (talvez no início).– O exercício 19 mostra que SU (n) é simplesmente conexo, tomando

SU (n) /SU (n− 1) = S2n−1.Os grupos de Lie compactos e conexos se dividem em duas classes prin-

cipais, os abelianos e os semi-simples. Um grupo compacto qualquer G é oproduto direto de um grupo semi-simples por um abeliano, que necessaria-mente está contido no centro Z (G) de G (veja o teorema ?? ???)Conforme foi descrito no capítulo 6 os grupos de Lie abelianos conexos

são os cilindros Rn/Zk, k ≤ n. Em particular, os grupos de Lie abelianoscompactos e conexos são completamente conhecidos, isto é, são os toros Tn =Rn/Zn, n ≥ 1.A parte principal da teoria dos grupos de Lie compactos consiste no estudo

dos grupos semi-simples. Isso vai ocupar a maior parte deste capítulo. Comopreparação prévia se apresentará nesta seção o grupo das matrizes unitáriasunimodulares, que serve de modêlo para os resultados da teoria.Se A é uma matriz complexa n × n, denote por A∗ = A

Tsua complexa

conjugada. Para cada n ≥ 1, define-se

SU (n) = {g ∈ Gl (n,C) : g∗g = gg∗ = id, det g = 1}.

Esse é um grupo de Lie cuja álgebra de Lie é o espaço das matrizes anti-hermitianas:

su (n) = {A ∈ gl (n,C) : A+ A∗ = 0},já que exp tA ∈ SU (n), t ∈ R, se, e só se, A ∈ su (n).Para cada n ≥ 1 o grupo SU (n) é compacto e conexo pois SU (n) age

transitivamente na esfera S2n−1 com grupo de isotropia SU (n− 1). ComoSU (1) = {1} é compacto e conexo a afirmação segue por indução sobre n(veja o capítulo 2). Por outro lado, se n ≥ 2 a álgebra de Lie su (n) é simples,isto é, tem apenas os ideais triviais {0} e su (n) (veja ???). Portanto, SU (n),n ≥ 2, faz parte da classe dos grupos compactos conexos e semi-simples.Como acontece com os grupos de matrizes a representação adjunta de

SU (n) em su (n) é dada pela conjugação

Ad (g)A = gAg−1 g ∈ SU (n) , A ∈ su (n) .

10.2. ÁLGEBRAS DE LIE COMPACTAS 237

O núcleo de Ad é o centro de SU (n), que por sua vez é formado pelasmatrizes escalares z · id ∈ SU (n). Para que isso aconteça é necessário quezn = det (z · id) = 1. Portanto, o centro Z (SU (n)) é dado pelas raízesn-ésimas da identidade

Z (SU (n)) = {z · id : z ∈ C, zn = 1}.

Esse grupo é ciclico de ordem n e é gerado por qualquer raiz primitivaω da unidade (por exemplo ω = e2πi/n). É claro que o grupo adjuntode SU (n), isto é, a imagem de sua representação adjunta é isomorfo aSU (n) /Z (SU (n)). Como su (n) é uma álgebra de Lie simples, o grupo ad-junto SU (n) /Z (SU (n)) coincide com o grupo dos automorfismos internosde su (n).

10.2 Álgebras de Lie compactas

No capítulo 3 foi demonstrado, via integração pela medida de Haar, quese ρ : G → Gl (V ) é uma representação real de dimensão finita do gurpocompacto HausdorffG então existe um produto interno (·, ·) em V invariantepor ρ (g), g ∈ G (veja proposição 13.5).Em particular se G é um grupo de Lie compacto então existe um produto

interno (·, ·) em sua álgebra de Lie g em relação ao qual Ad (g) é isometriapara todo g ∈ G, isto é,

(Ad (g)Y,Ad (g)Z) = (Y, Z) Y, Z ∈ g.

A fórmulaAd (exp tX) = exp (tad (X)), t ∈ R, garante então que exp (tad (X))é isometria de (·, ·) para todo X ∈ g. Isso implica que ad (X) é anti-simétricaem relação a esse produto interno ou, como se diz em teoria de álgebras deLie, o produto interno é invariante pela representação adjunta de g.Esse fato sugere a introdução da seguinte classe de álgebras de Lie, cuja

definição é puramente algébrica.

Definição 10.1 Uma álgebra de Lie real g é dita compacta se existe em g

um produto interno (·, ·) invariante, isto é,

(ad (X)Y, Z) + (Y, ad (X)Z) = 0 X, Y, Z ∈ g.


As álgebras de Lie dos grupos de Lie compactos são compactas. Reci-procamente, será mostrado ao longo deste capítulo que uma álgebra de Liecompacta é a álgebra de Lie de algum grupo compacto. A relação entre ambasas classes de álgebras e grupos de Lie só não é completamente fechada porqueexistem grupos de Lie não compactos com álgebras de Lie compactas. Porexemplo, uma álgebra abeliana é compacta, já que qualquer produto internoé invariante. Apesar delas serem álgebras de Lie de toros compactos elas sãotambém álgebras de Lie de grupos não compactos, como os simplesmenteconexos difeomorfos a Rn.Esse exemplo da álgebra abeliana é essencialmente único, pois como será

mostrado a seguir uma álgebra de Lie compacta g se decompõe na somadireta de seu centro z (g) com um ideal semi-simples k. Esse ideal também éuma álgebra compacta e segue do teorema de Weyl que o grupo simplesmenteconexo com álgebra de Lie k é compacto.Antes de prosseguir deve-se observar que se h ⊂ g é uma subálgebra da

álgebra compacta g então h também é compacta. Isso porque a restrição a hdo produto interno em g é um produto interno invariante em h.O primeiro passo da descrição de g é obter sua decomposição em soma

direta de ideais.Em geral, seja ρ : h → gl (V ) uma representação de uma álgebra de Lie

no espaço vetorial real V tal que para todo X ∈ g, ρ (X) é anti-simétricaem relação a um produto interno (·, ·). Então, se W ⊂ V é um subespaçoinvariante o mesmo ocorre com o seu complementar ortogonal W⊥, pois seu ∈ W , v ∈ W⊥ e X ∈ h então

(ρ (X) v, u) = − (v, ρ (X)u) = 0

já que ρ (X)u ∈ W . Isso fornece a decomposição V = W ⊕W⊥ nos sube-spaços invariantes W e W⊥. Decompondo os subespaços sucessivamenteschega-se a uma decomposição

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn

em subespaços invariantes e irredutíveis pela representação ρ. (Veja a proposição3.25 do capítulo 3.)Essa decomposição pode ser aplicada à representação adjunta de uma ál-

gebra de Lie compacta g. Nesse caso um subespaço invariante é um idealde g. Para tratar a irredutibilidade deve-se usar os seguintes conceitos de


álgebras de Lie: uma álgebra de Lie h é simples se dim h > 1 e sua repre-sentação adjunta é irredutível, isto é, se os únicos ideais de h são os triviais{0} e h. Já h semi-simples se h = h1⊕ · · · ⊕ hn, em que cada hi é um idealsimples (isto é, hi é álgebra de Lie simples). Esses ideais são chamados decomponentes simples de h. Sabe-se que centro z (h) de uma álgebra de Liesemi-simples é nulo, o que segue, aliás, diretamente das definições:

1. Se h é simples então z (h) = {0} ou z (h) = h, já que z (h) é ideal. Mas,se z (h) = h então h é abeliana e como dim h > 1 qualquer um de seussubespaços seria um ideal. Portanto, z (h) = {0}.

2. Se h = h1⊕· · ·⊕hn então as componentes comutam entre si pois se a eb são ideais com a∩ b = {0} então [X, Y ] = 0 se X ∈ a e Y ∈ b, já que[X, Y ] ∈ a∩ b. Agora, escreva Z ∈ z (h) como Z = Z1 + · · ·+Zn, dadopela decomposição de h. Tome X ∈ hj. Então, [X,Z] = [X,Zj] = 0,portanto Zk ∈ z (hj) = {0}. Isto é, Zj = 0 para qualquer indice j e daíque Z = 0.

Outra propriedade a ser utilizada na demonstração abaixo é que se h ésemi-simples então h é o subespaço gerado pela união das imagens de ad (X)com X ∈ h1. De fato, o subespaço gerado por essa união é invariante pelarepresentação adjunta e portanto deve coincidir com h se essa álgebra forsimples. No caso semi-simples esse argumento garante que cada componentesimples está contida no subespaço gerado pelas imagens das adjuntas. E daíque a álgebra semi-simples, que é a soma direta das componentes simplestambém satisfaz essa propriedade.Com esses conceitos a decomposição de uma álgebra de Lie compacta é

dada da seguinte forma:

Teorema 10.2 Uma álgebra de Lie compacta g se decompõe como

g = z (g)⊕ h

onde z (g) é o centro de g e h é um ideal semi-simples. Essa decomposição éúnica pois h = z (h)⊥.

1Essa afirmação é equivalente a dizer que h′ = h, onde h′ é a álgebra derivada de h.Veja capítulo 3 de Álgebras de Lie [53].


Demonstração: Tome uma decomposição de g em subespaços invariantese irredutíves pela representação adjunta e escreva essa decomposição como

g = i1 ⊕ · · · ⊕ im ⊕ h1 ⊕ · · · ⊕ hn (10.1)

de tal forma que dim ij = 1 e dim hj > 1. Cada uma dessas componentes éum ideal de g. Elas comutam entre si pois são ideais com interseção nula.Além do mais os ideais hj com dim hj > 1 são simples, pois um ideal a ⊂ hjde hj também é ideal de g, já que hj comuta com as demais componentes.Escreva i = i1⊕ · · ·⊕ im e h = h1⊕ · · ·⊕ hn. Então, h é semi-simples pois

é soma de ideais simples e i é abeliano pois dim ij = 1. Como i comuta comh, segue que i ⊂ z (g). Na verdade, essa inclusão é uma igualdade, pois casocontrário z (g)∩ h 6= {0}. Mas, z (g)∩ h ⊂ z (h) = {0}, pois h é semi-simples.A unicidade é consequência do fato de que se h uma álgebra semi-simples

que complementa z (g) então, h = z (g)⊥. Para isso é suficiente verificar queh ⊂ z (g)⊥ devido às dimensões dos subespaços. Por sua vez é suficientemostrar que se X ∈ h então a imagem de ad (X) é ortogonal a z (g), pois hé gerado pelas imagens de ad (X), X ∈ h. Mas, isso segue de imediato dainvariância do produto interno, já que se Y = ad (X) (W ), W ∈ h, entãopara todo Z ∈ z (g), vale

(Z, Y ) = (Z, ad (X) (W )) = − (ad (X) (Z) ,W ) = 0,


Na proposição acima o ideal semi-simples h assim como suas componentessimples são álgebras de Lie compactas. Isso porque toda subálgebra de umaálgebra compacta também é compacta. Segue dessa observação que umaálgebra de Lie compacta g é semi-simples se, e só se, z (g) = {0}.O produto interno invariante (·, ·) numa álgebra de Lie compacta não é

único. Por exemplo, a (·, ·), a > 0, também é invariante ou ainda, a somadireta de produtos internos invariantes nas componentes da decomposição(10.1) também é um produto interno invariante, de tal forma que o conjuntodos produtos internos invariantes é um cone de dimensão igual ao número decomponentes em (10.1).Existe, no entanto uma escolha natural baseada na forma de Cartan-

Killing de g, que é definida por

〈X, Y 〉 = tr (ad (X) ad (Y )) X, Y ∈ g.


Proposição 10.3 Seja g álgebra de Lie compacta. Então, sua forma deCartan-Killing 〈·, ·〉 é negativa semi-definida. Além do mais, para X ∈ g,〈X,X〉 = 0 se, e só se, X ∈ z (g). Além do mais, se g é semi-simples então〈·, ·〉 é negativa definida2.

Demonstração: Se X ∈ g então ad (X) é anti-simétrico em relação aum produto interno, portanto seus auto-valores são puramente imaginários.Sejam ia1, . . . , ian ∈ iR os auto-valores de ad (X). Então,

〈X,X〉 = tr(ad (X)2) = −

(a2

1 + · · ·+ a2k

)≤ 0,

o que mostra que 〈·, ·〉 é negativa semi-definida. Ainda dessa expressão seconclui também que 〈X,X〉 = 0 se, e só se, os auto-valores de ad (X) sãotodos nulos. Mas, por ser anti-simétrica, ad (X) é uma transformação linearsemi-simples ad (X) = 0 se, e só se, seus auto-valores se anulam. Portanto〈X,X〉 = 0 se, e só se, X ∈ z (g).Por fim, se g é semi-simples então z (g) = {0}. Portanto, 〈X,X〉 = 0

implica que X = 0, mostrando que a forma de Cartan-Killing é negativadefinida. Reciprocamente, se 〈·, ·〉 é negativa definida então z (g) = {0} e g ésemi-simples. 2

Em geral, para uma álgebra de Lie arbitrária a forma de Cartan-Killingé invariante pela representação adjunta. A proposição acima garante entãoque −〈·, ·〉 é um produto interno invariante numa álgebra g compacta e semi-simples. Dentre os produtos internos invariantes o negativo da forma deCartan-Killing fornece uma escolha natural pois é definido intrinsecamentea partir da álgebra de Lie. Para álgebras compactas em geral pode-se tomara forma de Cartan-Killing na componente semi-simples e estender com umproduto interno arbitrário no centro.

Proposição 10.4 Seja g uma álgebra semi-simples compacta. Então, ogrupo Aut (g) dos automorfismos de g é compacto.

Demonstração: O grupo Aut (g) é um subgrupo fechado de Gl (g). Alémdo mais, se φ é um automorfismo de g então ad (φX) = φad (X)φ−1 o queimplica que φ é isometria da forma de Cartan-Killing. Como 〈·, ·〉 é negativa

2Um dos critérios de Cartan generaliza essa última afirmação mostrando que umaálgebra de Lie é semi-simples se, e só se, sua forma de Cartan-Killing é não degenerada.Veja o capítulo 3 de [53]


definida o seu grupo de isometrias é compacto, daí que Aut (g) é compacto. 2

Consequentemente, a componente conexa da identidadeAut0 (g) deAut (g)é um grupo de Lie compacto. A álgebra de Lie desses grupos é Der (g), aálgebra das derivações de g. No caso em que g é semi-simples Der (g) é iso-morfa a g pela representação adjunta. De fato, por um lado ad é injetora poisker ad = z (g) = {0}. Por outro lado, um teorema de álgebras de Lie garanteque se g é semi-simples (não necessariamente compacta) então toda derivaçãode g é interna, isto é, se D ∈ Der (g) então existe X ∈ g tal que D = ad (X).Isso mostra a sobrejetividade de ad, concluíndo que ad : g → Der (g) é umisomorfismo. Portanto, Aut0 (g) é um grupo compacto e conexo com álgebrade Lie (isomorfa a) g. Reciprocamente, se Aut0 (g) compacto então g é umaálgebra compacta por ser a álgebra de Lie de um grupo compacto.Na verdade se g é uma álgebra de Lie semi-simples (não necessariamente

compacta) então Aut0 (g) é o menor grupo de Lie com álgebra de Lie g. Defato, se G é um grupo conexo com álgebra de Lie g então Ad : G→ Aut0 (g) éum difeomorfismo local pois ad : g→ Der (g) é isomorfismo. Isso implica queAd é sobrejetora, pois sua imagem é um subgrupo aberto deAut0 (g). Daí queAut0 (g) ≈ G/Z (G) e portanto, Aut0 (g) é o quociente de qualquer grupo deLie G com álgebra de Lie g. Tomando em particular G = Aut0 (g) se vê queAut0 (g) ≈ Aut0 (g) /Z (Aut0 (g)) de onde se conclui que Z (Aut0 (g)) = {1}.(Veja também o exercício 23 do capítulo 4.) Esses fatos são incluídos naproposição a seguir, para referência futura.

Proposição 10.5 Seja g uma álgebra de Lie semi-simples então o centro deAut0 (g) é trivial e Aut0 (g) = G/Z (G) para todo grupo de Lie conexo comálgebra de Lie g. Além do mais Aut0 (g) é compacto se, e só se, g é umaálgebra compacta.

As observações dos parágrafos anteriores mostram que se g é álgebra deLie compacta e semi-simples então existe pelo menos um grupo compacto Gcom álgebra de Lie g, que é Aut0 (g). Na próxima seção será demonstradoque na verdade todo grupo de Lie com essa álgebra de Lie é compacto.

10.3 Grupo fundamental finito

Seja g uma álgebra de Lie semmi-simples compacta e denote por G o grupode Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. O objetivo

10.3. GRUPO FUNDAMENTAL FINITO 243

dessa seção é apresentar uma primeira demonstração do teorema de Weylque garante que G é compacto. Por esse teorema todo grupo de Lie conexocom álgebra de Lie g é compacto. A afirmação de que G é compacto éequivalente a que o grupo fundamental de Aut0 (g) seja finito (daí o títuloda seção). Isso porque Aut0 (g) é um grupo compacto cuja álgebra de Lie éDer (g) ≈ g, como foi visto na seção anterior.Posteriormente será apresentada uma outra demonstração do teorema de

Weyl, que se utiliza da estrutura algébrica e geométrica das álgebras e dosgrupos de Lie compactos. Apesar de mais envolvente a essa outra demon-stração terá a vantagem de fornecer o grupo fundamental de Aut0 (g). Ademonstração apresentada aqui é existencial e tem uma abordagem maisanalítica. Ela está baseada no seguinte teorema de extensão de homomorfis-mos.

Teorema 10.6 Suponha que H é um grupo de Lie conexo e D ⊂ H umsubgrupo discreto e central tal que H/D é compacto. Seja θ : D → R+ umhomomorfismo a valores no grupo multiplicativo dos reais. Então, existe umhomomorfismo diferenciável φ : H → R+ que estende θ, isto é, φ (d) = θ (d)se d ∈ D.

Antes de demonstrar esse teorema de extensão ele será utilizado paraprovar o teorema de Weyl.A idéia é que se G é um grupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie g é

semi-simples então o único homomorfismo φ de G a valores em R+ é o trivialφ ≡ 1 (veja o lema 10.9 abaixo). Por outro lado, se g é uma álgebra de Liesemi-simples compacta e Aut0 (g) = G/D então a compacidade de Aut0 (g)permite mostrar que o grupo abeliano D é finitamente gerado. Dessa forma,se D fosse infinito existiria um homomorfismo não trivial θ : D → R+. Peloteorema de extensão θ seria a restrição de um homomorfismo não trivialφ : G→ R+, contradizendo o fato de que g é semi-simples. Para efetivar essademonstração são necessários os seguintes lemas demostrados em sequência.

Lema 10.7 Sejam G um grupo Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado tal queG/H é compacto. Então, existe um compacto de interior não vazio C tal que1 ∈ C◦ e G = C◦H. Além do mais pode-se tomar C tal que C−1 = C.

Demonstração: Seja V uma vizinhança compacta de 1 ∈ G tal queV −1 = V . Então, para cada x = gH ∈ G/H o conjunto V x = {hx : h ∈ V } é


uma vizinhança de x em G/H. Os conjuntos V x cobrem G/H e como G/H écompacto, existem x1 = g1H, . . . , xn = gnH tal que G/H = V x1 ∪ · · · ∪V xn.Então, C = V ∪ V g1 ∪ · · · ∪ V gn é o compacto desejado. De fato, por con-strução 1 ∈ V ◦ ⊂ C◦ e se g ∈ G então gH ∈ V xi para algum i, o que implicaque g ∈ V giH. Por fim tomando a união de C com g−1

1 V −1 ∪ · · · ∪ g−1n V −1

se obtém um novo compacto que satisfaz as propriedades desejadas. 2

Lema 10.8 Seja g uma álgebra de Lie semi-simples compacta e denote porG o grupo conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. EscrevaAut0 (g) = G/D onde D é o grupo fundamental π1 (Aut0 (g)). Então, D éfinitamente gerado.

Demonstração: Seja C = C−1 o compacto simetrico do lema anterior emque 1 ∈ C◦ e

G = C◦D =⋃d∈D

C◦d.

O conjunto C2 é compacto e como os abertos C◦d cobrem C2 existe umconjunto finito {d1, . . . , dn} ⊂ D tal que C2 ⊂ C◦d1 ∪ · · · ∪ C◦dn. Seja D1 osubgrupo de D gerado por {d1, . . . , dn}.O lema será consequência da igualdadeD = (C2 ∩D)D1. De fato, C2∩D

é finito pois C2 é compacto e D é discreto. Com D1 é finitamente gerado,essa igualdade mostra o lema.Para provar que D = (C2 ∩D)D1 seja p : G → G/D1 o homomorfismo

canônico. Então, p (C2) tem interior não vazio no grupo G/D1, pois C◦ 6= ∅.Além do mais, π (C2) é um subgrupo. De fato sejam g, h ∈ C2. Então,existem c1, c2 ∈ C◦ e d1, d2 ∈ D1 tais que g = c1d1 e h = c2d2. Então,gh−1 = c1c

−12 d1d

−12 e, portanto

p (g) p (h)−1 = p(gh−1

)= p

(c1c−12

)∈ p

(C2)

pois C−1 = C. Consequentemente p (C2) é um subgrupo aberto do grupoconexo G/D1, dessa forma p (C2) = G/D1. 2

Lema 10.9 Suponha que G é um grupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie gé semi-simples. Então, o único homomorfismo diferenciável φ : G→ R+ é otrivial φ (g) = 1 para todo g ∈ G.

10.4. ÁLGEBRAS SEMI-SIMPLES COMPACTAS 245

Demonstração: Basta mostrar que o homomorfismo infinitesimal dφ1 :g → R é identicamente nulo, pois G é conexo. Como R é uma álgebraabeliana dφ1 se anula num colchete, isto é,

dφ1[X, Y ] = [dφ1X, dφ1Y ] = 0.

Mas, g é semi-simples e daí que g′ = g, onde g′ é a álgebra derivada. Istosignifica que g é gerado pelos colchetes [X, Y ], X, Y ∈ g. Portanto, dφ1 éidenticamente nulo, concluíndo a demonstração. 2

Agora é possível enunciar formalmente e demonstrar o teorema deWeylda finitude do grupo fundamental.

Teorema 10.10 Seja g uma álgebra de Lie semi-simples compacta e denotepor G o grupo simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Então, G é com-pacto.

Demonstração: Seja D ≈ π1 (Aut0 (g)) o subgrupo discreto central talque Aut0 (g) = G/D. Deve-se mostrar que D é finito, já que Aut0 (g) é com-pacto. Pelo lema 10.8, o grupo abeliano D é finitamente gerado e portantoisomorfo a Zk×Zm1×· · ·×Zmn . Suponha por absurdo que D não é finito detal forma que k ≥ 1. Então, existe um homomorfismo não trivial θ : D → R+

do tipo θ (d) = ep(d) onde p é a projeção numa das componentes de Zk. Peloteorema 10.6 existe um homomorfismo φ : G → R+ que estende θ. Essehomomorfismo é não trivial o que é uma contradição pelo lema 10.9. 2

10.3.1 Teorema de extensão

10.4 Álgebras semi-simples compactas

10.4.1 Componentes simples

????A forma de Cartan-Killing de uma álgebra de Lie compacta g é nãodegenerada, portanto pelo critério de Cartan g é semi-simples e como talpode ser decomposta em soma direta de ideais simples

u = u1 ⊕ · · · ⊕ us.


Nessa decomposição cada ideal simples uj é também uma álgebra de Liecompacta pois a restrição a um ideal da forma de Cartan-Killing de umaálgebra de Lie coincide com a forma de Cartan-Killing do ideal.Em suma, toda álgebra de Lie semi-simples compacta é soma direta de

álgebras de Lie simples, cada uma delas compacta. Dessa forma, para descr-ever as álgebras de Lie compactas basta considerar as que são simples.

10.4.2 Construção de Weyl

As álgebras simples compactas são obtidas através da seguinte construção deWeyl: seja u uma álgebra de Lie simples compacta e denote por g a álgebracomplexificada de u. Da teoria das álgebras de Lie reais, sabe-se que g ésimples. (De fato, em principio g é semi-simples, pelo critério de Cartan.Mas se g não fosse simples então u seria a álgebra realificada de uma álgebrasimples complexa. No entanto, um cálculo explicito da forma de Cartan-Killing mostra que essas álgebras não são compactas. De forma alternativa,toda álgebra complexa tem elementos não elipticos.)Por ser uma álgebra complexa simples g é uma das álgebras de Lie da

classificação Cartan-Killing. Já a álgebra u é uma forma real compacta deg. Como duas formas reais compactas de g são isomorfas, a classificaçãodas álgebras complexas também classifica as álgebras simples compactas: acada diagrama de Dynkin corresponde uma única classe de equivalência deálgebras de Lie compactas simples e vice-versa toda álgbra compacta simplesé obtida de um diagrama de Dynkin.Dada uma álgebra de Lie complexa g uma de suas formas reais compactas

é construída da seguinte forma: seja h ⊂ g uma subálgebra de Cartan edenote por Π ∈ h∗ o seu conjunto de raízes. Para cada α ∈ Π seja Hα ∈ hdefinido por α (·) = 〈Hα, ·〉 e denote por hR o subespaço de h, gerado sobreR, por Hα, α ∈ Π. Seja

gα = {X ∈ g : ∀H ∈ h, [H,X] = α (H)X}

o auto-espaço associado aos auto-valores α (H), H ∈ h. Então, dimC gα = 1e

g = h⊕∑α∈Π

gα. (10.2)

Esta decomposição em soma direta é chamada de decomposição em espaçosde raízes de g.


A partir da decomposição (10.2) de g se constrói uma forma real com-pacta, usanda a chamada construção de Weyl , que é amplamente utilizadano estudo dos grupos de Lie compactos.Para essa construção o primeiro passo consiste em obter uma base de

Weyl , que é formada por uma base de h e por elementos Xα ∈ gα tais que〈Xα, X−α〉 = 1 e [Xα, Xβ] = mα,βXα+β com mα,β ∈ R. A existência de basessatisfazendo essas condições é provada na teoria de álgebras de Lie.Dada uma base de Weyl, o subespaço u gerado, sobre R, por

ihR Aα = Xα −X−α iSα = i (Xα +X−α)

é uma forma real compacta de g. A menos de isomorfismo toda álgebra deLie simples compacta é construída dessa maneira através de uma base deWeyl da álgebra complexificada.????, dimR uα = 2.

u = t⊕∑α∈Π

uα (10.3)

Os colchetes entre os geradores da decomposição (10.3) é dado pela se-guinte tabela????– colchetes [Aα, ...]????

10.4.3 Subálgebras de Cartan e elementos regulares

Como no caso das álgebras semi-simples complexas as subálgebras de Cartande u desempenham um papel central na sua descrição.Em geral se g é uma álgebra de Lie então h ⊂ g é uma subálgebra de

Cartan se h é nilpotente e coincide com o seu normalizador em g, isto é,se [X, h] ⊂ h então X ∈ h. As seguintes afirmações resumem a teoria dassubálgebras de Cartan.

1. As subálgebras de Cartan de g têm todas a mesma dimensão. Essadimensão comum se denomina posto de g.

2. Os elementos regulares de g são definidos da seguinte forma: dadoX ∈ g denote por m0 (X) a multiplicidade de 0 como raiz do polinômiocaracteristico de ad (X). Então, X ∈ g é um elemento regular g sem0 (X) ≤ m0 (Y ) para todo Y ∈ g.


Se X é regular então m0 (X) coincide com o posto de g. Seja g0 (X)a componente da decomposição primária de ad (X) correspondente aoauto-valor 0. Então, g0 (X) é uma subálgebra de Cartan e recipro-camente, toda subálgebra de Cartan é da forma g0 (X) para algumelemento regular X.

3. Seja g uma álgebra sobre C então as subálgebras de Cartan são con-jugadas, isto é, se h1 e h2 são subálgebras de Cartan então existeφ ∈ Aut (g) tal que h1 = φh2.

4. Seja g uma álgebra de Lie real e gC a álgebra complexificada. Se h ⊂ gé uma subálgebra de Cartan então hC ⊂ gC é subálgebra de Cartan degC.

5. Para uma álgebra semi-simples g (real ou complexa) as subálgebras deCartan são abelianas.

6. 〈·.·〉 é não degenerada em uma subálgebra de Cartan.

o que será demonstrado, diretamente, a seguir para as álgebras semi-simples compactas.????

Proposição 10.11 Sejam u uma álgebra compacta e t ⊂ u uma subálgebrade Cartan. Então, t é abeliana maximal.

Demonstração: Tome x ∈ t, arbitrário. Para verificar que t é abelianadeve-se mostrar que t ⊂ z (X) = ker ad (X). Por ser subálgebra t é invari-ante por ad (X). Mas, t é subálgebra nilpotente, portanto a restrição ad (X)|té uma transformação linear nilpotente. Mas, ad (X) é semi-simples, assimcomo a restrição ad (X)|t . Dessa forma, ad (X)|t é tanto semi-simples quantonilpotente. Isso implica que ad (X)|t = 0, isto é, t ⊂ ker ad (X), concluíndoa demonstração. 2

????

Lema 10.12 Se T : V → V é anti-simétrica em relação ao produto interno(·, ·) então kerT 2 = kerT .


Demonstração: É claro que kerT ⊂ kerT 2. Por outro lado, tomex ∈ kerT 2. Então (T 2x, y) = 0 para todo y ∈ V . Em particular, (T 2x, x) = 0e como T é anti-simética, segue que (Tx, Tx) = 0. Portanto, Tx = 0,mostrando que x ∈ kerT 2. 2

Proposição 10.13 Seja u uma álgebra compacta e suponha que t ⊂ u sejauma subálgebra abeliana maximal, no sentido em que se t ⊂ t′ com t′ abelianaentão t = t′. Então, t é uma subálgebra de Cartan.

Demonstração: Como por hipótese t é abeliana, basta mostrar que elacoincide com o seu próprio normalizador. Para isso observa-se em primeirolugar que se X /∈ t então existe Y ∈ t tal que [X, Y ] 6= 0, pois caso con-trário o subespaço gerado por t e X seria uma álgebra abeliana que contémt propriamente, contrariando a hipótese.Agora, suponha por absurdo que existe X /∈ t tal que [X, t] ⊂ t e tome

Y ∈ t com [X, Y ] 6= 0. Então, [Y, [Y,X]] = 0 pois [Y,X] ∈ t, que é abe-liana. Em outras palavras, X ∈ ker ad (Y )2. Pelo lema anterior, segue queY ∈ ker ad (Y ), isto é, [Y,X] = 0, o que é absurdo. 2

Corolário 10.14 Seja u uma álgebra compacta. Então, para todo X ∈ uexiste uma subálgebra de Cartan t ⊂ u tal que X ∈ t.

Demonstração: De fato, basta tomar uma subálgebra abeliana maximal tcontendo X. A existência de t se prova facilmente considerando o conjuntode todas as subálgebras abelianas que contém X. Esse conjunto é não vazio(pois contém o subespaço gerado por X) e, pela proposição, dentre essassubálgebras as que tem dimensão máxima são de Cartan. 2

Corolário 10.15 Seja u uma álgebra compacta. Então, toda subálgebra deCartan t ⊂ u é abeliana.

Demonstração: De fato, seja ???? 2

??????????elementos regulares


Seja u uma álgebra compacta. Um elemento X ∈ u é regular se a mul-tiplicidade m0 (X) do auto-valor 0 de ad (X) é minima. Como ad (X) ésemi-simples, m0 (X) coincide com dim ker ad (X). Portanto, X é regular se,e só se, z (X) = ker ad (X) tem dimensão minima dentre as dimensões doscentralizadores dos elementos Y ∈ u.

Proposição 10.16 Seja X um elemento regular. Então, z (X) = ker ad (X)é a única subálgebra de Cartan que contém X.

Demonstração: De fato, pelo corolário 10.14 existe uma subálgebra deCartan t tal que X ∈ t. Por outro lado, seja t uma subálgebra de Cartan quecontém X. Como t é abeliana, ela contém z (X). Isso implica que t = z (X),pois t é o próprio normalizador. 2

A proposição anterior tem como corolário imediato se uma subálgebra deCartan t contém um elemento regular X ∈ t, então, t = z (X).O próximo passo é?????

Proposição 10.17 Sejam u uma álgebra compacta e t uma subálgebra deCartan de u. Então, para todo X ∈ u existe k0 ∈ Int (u) tal que k0X ∈ t.

Demonstração: Sejam H ∈ t um elemento regulare e considere a função

k ∈ Int (u) 7−→ (kX,H) ∈ R

onde (·, ·) denota um produto interno invariante.Essa função é contínua e, como Int (u) é compacto, ela assume um mínimo

em algum k0 ∈ Int (u). Portanto, para qualquer Y ∈ u, a função f : R → Rdada por

f (t) =(etad(Y )k0X,H

)assume um mínimo em t = 0.Como exp (tad(Y )) é uma isometria de (·, ·) tem-se(

k0X, e−tad(Y )H

).

Derivando chega-se a

f ′ (0) = (k0X, [Y,H]) = 0,


que é o mesmo que

([H, k0X], Y ) = 0, (10.4)

pois ad(H) é anti-simétrica. Como Y ∈ u é arbitrário, isso implica que[H, k0X] = 0, isto é, k0X ∈ z (H) = t, concluíndo a demonstração. 2

????Dentro da construção de Weyl as subálgebras de Cartan são dadas nas

proposições a seguir.

Proposição 10.18 Seja u a forma real compacta construída acima. Então,o subespaço t = ihR é uma subálgebra de Cartan de u e é abeliana.

Demonstração: Em primeiro lugar t é abeliana pois h é abeliana e t ⊂ h.Por definição uma subálgebra de Cartan deve ser nilpotente e coincidir como seu normalizador. A primeira condição é satisfeita por t, que é abeliana.Para a segunda condição tome X ∈ u e escreva X = H +

∑αXα, de acôrdo

com a decomposição (10.3). Se nessa decomposição Xα 6= 0 para alguma raizα então existe H ′ ∈ t tal que [H ′, Xα] 6= 0 e, é claro, [H ′, Xα] ∈ uα. Issosignifica que se [X, t] ⊂ t então para toda raiz α, Xα = 0, isto é, X ∈ t,mostrando que t é o próprio normalizador. 2

Proposição 10.19 Mantenha as notações da proposição anterior. Então,valem as seguintes afirmações.

1. Seja t1 uma subálgebra de Cartan de u. Então, existe k ∈ Int (u) talque t1 = k · t. Em particular todas as subálgebras de Cartan de u sãoabelianas.

2. Para todo X ∈ u existe k ∈ Int (u) tal que k ·X ∈ t.

Demonstração: ?? 2

??


10.5 Grupo fundamental de Aut (g)

Proposição 10.20 Seja g uma álgebra de Lie compacta. Então, seu grupode automorfismos Aut (g) é compacto.

Demonstração: Pela proposição ?? do capítulo 5, o grupo dos automor-fismos é um subgrupo fechado de Gl (g). Por outro lado, os elementos deAut (g) são isometrias da forma de Cartan-Killing. Mas, −〈·, ·〉 é um pro-duto interno e, portanto, o seu grupo de isometrias SO (−〈·, ·〉) é compacto.Daí que Aut (g) é compacto. 2

Teorema 10.21 Seja g uma álgebra de Lie compacta e semi-simples. De-note por G o único grupo de Lie simplesmente conexo com álgebra de Lie g.Então, G é compacto.

Demonstração: ???Varadarajan pg 345 Zhelobenko é melhor, 2

????

10.6 Exercícios

1. Seja K um grupo de Lie compacto. Mostre que o conjunto dos elemen-tos x ∈ K de ordem finita é denso em K.

2.

Capítulo 11

Grupos semi-simples

253

254 CAPÍTULO 11. GRUPOS SEMI-SIMPLES

Parte IV

Grupos de Transformações

255

Capítulo 12

Quocientes e ações de gruposde Lie

Neste capítulo são estudadas as ações diferenciáveis de grupos de Lie com oobjetivo de descrever as órbitas dessas ações. O modêlo para as órbitas são osespaço quocientes G/H. No caso em que H é fechado G/H admite estruturade variedade diferenciável, que foi construída no capítulo 5. Dessa forma,um dos objetivos é verificar que uma órbita G · x é uma subvariedade imersadifeomorfa ao espaço quociente G/Gx, com Gx os subgrupo de isotropia emx, que é fechado quando as ações são contínuas. Nessa direção um pontode vista conveniente é olhar as órbitas como variedades integrais maximaisde uma distribuição singular (veja apêndice B), o que fornece a informaçãoadicional de que elas são subvariedades imersas quase-regulares.

12.1 Ações de grupos

Os diversos conceitos e resultados desenvolvidos no estudo das ações de gru-pos topológicos continuam valendo para grupos de Lie. Em particular, umaação do grupo de Lie G é uma aplicação φ : G×M → M , φ (g, x) = gx, talque a aplicação parcial g 7→ φg, φg (x) = φ (g, x) é um homomorfismo de Gno grupo das transformações inversíveis de M . A ação é diferenciável se φfor uma aplicação diferenciável.Nesse caso as aplicações parciais φg : M → M e φx : G → M , φg (x) =

φx (g) = φ (g, x) são diferenciáveis para todo g ∈ G e x ∈ M . Da igualdade(φg)−1

= φg−1 , segue que essas aplicações são difeomorfismos, isto é, o ho-

257

258 CAPÍTULO 12. QUOCIENTES E AÇÕES DE GRUPOS DE LIE

momorfismo g 7→ φg assume valores no grupo Dif (M), dos difeomorfismosde M . Como anteriormente o difeomorfismo φg é denotado apenas por g.No caso de uma ação diferenciável o subgrupo de isotropia Gx = {g ∈

G : gx = x} é fechado e, portanto, um subgrupo de Lie de G. Existe umabijeção natural entre a órbita G·x e o espaço homogêneo G/Gx. Adiante serámostrado que G · x é uma subvariedade de M e que a bijeção com G/Gx é,de fato, um difeomorfismo, quando em G/Gx é considerado com a estruturaquociente.A álgebra de Lie gx do grupo de isotropia Gx é denominada de álgebra de

isotropia em x. A álgebra de Lie de um subgrupo de Lie H é formada peloselementos X ∈ g tais que exp (tX) ∈ H para todo t ∈ R. Dessa forma, aálgebra de isotropia gx é dada por X ∈ g tal que exp (tX)x = x para todot ∈ R. Para g ∈ G e x ∈ M , vale a igualdade Ggx = gGxg

−1, o que ímplicaque ggx = Ad (g) (gx).Como ocorre normalmente na teoria dos grupos de Lie, uma técnica fun-

damental no estudo das ações de grupos surge com a introdução do objetoinfinitesimal correspondente.

Definição 12.1 Sejam g uma álgebra de Lie e M uma variedade diferen-ciável. Denote por Γ (TM) a álgebra de Lie dos campos de vetores em Mmunido do colchete de Lie. Uma ação infinitesimal de g em M é um homo-morfismo de g→ Γ (TM).

Uma ação diferenciável de G em M induz uma ação infinitesimal de gda seguinte maneira: dados X ∈ g e x ∈ M , a curva em M definida port 7→ exp (tX)x é diferenciável. Sua derivada na origem

X (x) =d

dt(exp (tX)x)|t=0 =

d

dtφx (exp (tX))|t=0 = (dφx)1 (X) .

é um vetor tangente a x ∈ M . Portanto x ∈ M 7→ X (x) ∈ TxM define umcampo de vetores em M .O fluxo Xt de X é exatamente exp (tX) (ou melhor φexp(tX)). De fato,

para todo x ∈ X a curva t 7→ exp (tX)x é uma trajetória de X pois

d

dt(exp (tX)x) =

d

ds(exp ((t+ s)X)x)|s=0 = X (exp (tX)) .

Por consequência os campos de vetores X são completos seus fluxos exp (tX)são definidos globalmente, para todo t ∈ R. Além do mais, o campo invari-ante à direita X ∈ g e o campo associado X são φx-relacionados, para todo


x ∈ M , pois φx ◦ Eexp tX = φexp tX ◦ φx, isto é, φx faz o intercâmbio entre osfluxos de X e de X.Do último comentário segue que a aplicação X ∈ g 7→ X ∈ Γ (TM) é

uma ação infinitesimal (quando X é visto como campo invariante à direita).De fato, como os campos X, Y ∈ g são φx-relacionados, os seus colchetestambém são φx-relacionados, portanto

[X, Y ] (x) = (dφx)1 [X, Y ] = [X, Y ] (x) .

Proposição 12.2 A aplicação X ∈ g 7→ X ∈ Γ (TM) é um homomorfismose g é a álgebra de Lie dos campos de vetores invariantes à direita em G.

Nesta proposição aparece o colchete de Lie entre campos invariantes àdireita em G pelo fato de que está implicito que a ação de G em M é umaação à esquerda. Caso se considre ações à direita, a mesma aplicação X 7→X define um homomorfismo cujo domínio é a álgebra de Lie dos camposinvariantes à esquerda.A translação dos campos X pelos elementos de G é dada pela seguinte

fórmula, que é bastante útil.

Proposição 12.3 Dados g ∈ G e X ∈ g, vale g∗X = ˜(Ad (g)X), isto é,

(dg)g−1x

(X (gx)

)= ˜(Ad (g)X) (x) .

Demonstração: Basta verificar que as translações, por g, das trajetórias

de X são trajetórias de ˜Ad (g)X. Como o fluxo é Xt = exp (tX), a translaçãoda trajetória de X que passa por g−1x é

getXg−1x = etAd(g)Xx

e o segundo membro é a trajetória de ˜Ad (g)X iniciada em x. 2

Em notação simplificada (como descrita na seção 4.1) a fórmula da proposiçãoacima pode ser escrita como

gX (x) = ˜gXg−1 (gx) ,

isto é, ela é obtida por divisão e multiplicação por g.Como caso particular de ação infinitesimal, considere a ação de G em

G/H, onde H um subgrupo fechado. Nesse caso, vale a seguinte descriçãode X.


Proposição 12.4 Sejam G um grupo de Lie e H um subgrupo fechado e de-note por π : G→ G/H a projeção canônica. Tome X um campo invariante àdireita em G. Então, X é a projeção de X, isto é, X e X são π-relacionados,isto é, π∗X = X.

Demonstração: De fato, π = φx0 onde x0 2

A álgebra de Lie gx do grupo de isotropia Gx é formada por X ∈ g talque exp (tX)x = x para todo t ∈ R. Derivando essa igualdade se vê que, emtermos da ação infinitesimal, gx é dada por

gx = {X ∈ g : X (x) = 0},

isto é, gx é o núcleo da aplicação X ∈ g 7→ X (x) ∈ TxM . Já o núcleo{X : X ≡ 0} do homomorfismo X 7→ X é a álgebra de Lie do núcleo dohomomorfismo a que define a ação.

Exemplos: .

1. Considere a ação canônica de Gl (n,R) em Rn, (g, x) 7→ gx. Se A ∈gl (n,R) é uma matriz então

A (x) =d

dt

(etAx

)|t=0

= Ax,

isto é, o campo de vetores A induzido pela representação é nada maisnada menos que o campo de vetores linear em Rn definido pela matrizA. A propriedade de homomorfismo aqui significa que o colchete deLie dos campos de vetores A e B é o campo linear definido pela matrizBA− AB.

2. O exemplo anterior se generaliza para representação de grupos: seρ : G → Gl (n,R) é uma representação (diferenciável) de G, entãoa aplicação G × Rn → Rn, definida por (g, x) 7→ ρ (g)x define umaação de G em Rn. A ação infinitesimal correspondente é dada por

X (x) = dρ1 (X)x

se X ∈ g, a álgebra de Lie de G. Essa ação corresponde à representaçãoinfinitesimal de g.


3. Um grupo de Lie G age em si mesmo por translações à esquerda. Comoo fluxo de um campo invariante à direita é dado por translações ãesquerda da exponencial, segue que X é o campo invariante à direitacorrespondente a X ∈ g.

4. Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável. Então G age àesquerda em H por (g, h) ∈ G×H 7→ φ (g)h. Da mesma forma que noexemplo anterior, X é o campo invariante à direita em H determinadopor dφ1 (X).

5. O grupo linear G = Gl (n,R) age na esfera de raio 1, Sn−1 ⊂ Rn(em relação ao produto interno canônicao), através da identificação daesfera com o conjunto das semi-retas em Rn iniciadas na origem. Umasemi-reta intercepta Sn−1 num único ponto e vice-versa um elementode Sn−1 define uma semi-reta estabelecendo uma bijeção entre os doisconjuntos.

Se r é uma semi-reta iniciada na origem e g ∈ Gl (n,R) então gr é umasemi-reta, o que define a ação (g, r) 7→ gr no conjunto das semi-retase, portanto, em Sn−1. Para x ∈ Sn−1 e g ∈ Gl (n,R) a ação é denotadapor g ∗ x. Por definição g ∗ x é a intersecção com Sn−1 do raio geradopor gx, isto é,

g ∗ x =gx

|gx|onde |gx| denota a norma euclidiana. Essa ação é diferenciável. A açãoinfinitesimal correspondente é dada por

A (x) =d

dt

(etA ∗ x

)|t=0

=d

dt

(etAx

|etAx|

)|t=0

.

O cálculo desta derivada fornece

A (x) = Ax− 〈Ax, x〉x,

que é o vetor tangente à Sn−1 em x obtido pela projeção de Ax ao longoda semi-reta gerada por x.

6. Uma pequena alteração no exemplo anterior fornece uma ação deGl (n,R)no espaço projetivo Pn−1 formado pelos subespaços de dimensão um deRn. De fato, basta substituir as semi-retas pelas retas correspondentes.


Ao identificar o espaço tangente a Pn−1 em [x] com o espaço tangente aSn−1 em x ∈ Sn−1, a expressão de A coincide com a que foiapresentadaacima.

2

Nessa altura dos acontecimentos é natural perguntar se as ações infini-tesimais são provenientes de ações de grupos de Lie, no sentido em que se gé uma álgebra de Lie real de dimensão finita e θ : g → Γ (TM) uma açãoinfinitesimal de g então existe um grupo de Lie G cuja álgebra de Lie é g euma ação φ : G ×M → M tal que θ é a ação infinitesimal correspondentea φ. Uma condição necessária para que isso aconteça é que os campos devetores θ (X), X ∈ g, sejam completos, uma vez que os campos X obtidos deuma ação de grupo são campos completos. Pode-se provar que essa condiçãoé suficiente, isto é, uma ação infinitesimal é integrável a uma ação global deum grupo de Lie conexo desde que os campos de vetores correspondentes se-jam completos1. Em particular, se M é uma variedade compacta, toda açãoinfinitesimal é proveniente de uma ação global. O exemplo a seguir ilustra ocaso de uma ação infinitesimal que pode ser integrada a uma ação local, masnão global, pois os campos de vetores não são completos.

Exemplo: A imagem da aplicação

x ∈ R 7−→(x1

)∈ R2

é a reta horizontal r que passa por(

01

). O conjunto das retas que passam

pela origem e cruzam r é aberto e denso na reta projetiva P1. Dessa forma, aaplicação acima define ummergulho de R num conjunto aberto e denso de P1.A restrição da ação canônica de Gl (2,R) a esse conjunto aberto denso defineuma ação local de Gl (2,R) em R por transformações lineares fracionárias.De fato, seja g ∗ p, g ∈ Gl (2,R) e p ∈ P1 a ação na reta projetiva. Se p é

o subespaço gerado por(x1

)e g =

(a bc d

)então g ∗ p é o subespaço

gerado por (ax+ bcx+ d

).

1Veja R. Palais, A global formulation of the Lie theory of transitive groups, Memoirsof AMS, 22 (1957).


Se cx+ d 6= 0 esse vetor gera o mesmo subespaço que((ax+ b) / (cx+ d)

1

).

Usando a notação

g ∗ x =ax+ b

cx+ d,

a aplicação φ (g, x) = g ∗ x define uma ação local de Gl (2,R) em R. É claroque φ não está definida em todo Gl (2,R)×R, porém para os valores em queestá definida vale g ∗ (h ∗ x) = (gh) ∗ x. Em todo caso φ está definida nasvizinhanças de (1, x) para todo x ∈ R o que permite definir os campos devetores

A (x) =d

dt

(etA ∗ x

)|t=0

= d (φx)1 (A)

onde φx é a aplicação parcial φx (g) = φ (g, x). Como φ é a restriçào de umaação global, A 7→ A define uma ação infinitesimal de gl (2,R) em R. Paracalcular A escreva

A =

(α βγ δ

)etA =

(at btct dt

).

Então,

A (x) =d

dt

(atx+ btctx+ dt

)|t=0

.

Como a0 = d0 = 1 e c0 = d0 = 0, segue que

A (x) = β + (α− δ)x− γx2.

Esses campos de vetores estão associados às equações diferenciais de Ricattie, em geral, eles não são completos. 2

Uma das aplicações da ação infinitesimal emM induzida pela ação de umgrupo de Lie G está no estudo das órbitas de G. A razão é que as órbitaspodem ser obtidas como as variedades integrais maximais da distribuiçãodefinida pela ação infinitesimal.Seja φ : G×M → M e θ : g→ Γ (TM), θ (X) = X, a ação infinitesimal

correspondente. Para x ∈M defina o subespaço ∆g (x) ⊂ TxM por

∆g (x) = {X (x) ∈ TxM : X ∈ g}.


A aplicação x 7→ ∆g (x) é uma distribuição emM . Pela própria definição, ∆g

é uma distribuição diferenciável, pois ela é gerada pelos campos de vetoresX, X ∈ g. Em geral, a dimensão de ∆g não constante. Por exemplo, para aação canônica de Gl (n,R) em Rn, ∆g se reduz a 0 na origem, enquanto que∆g (x) é todo o espaço tangente se x 6= 0. Em geral, dim ∆g = dim g−dim gxpois gx é o núcleo da aplicação linear X ∈ g→ X (x) ∈ TxM .

Proposição 12.5 A distribuição ∆g é invariante pela ação de G, isto é,g∗∆g = ∆g, ou melhor

dgx∆g (x) = ∆g (gx)

para todo g ∈ G.

Demonstração: A translação por g ∈ G de um campo X é dada pela

fórmula g∗X = ˜Ad (g)X. Isso implica que para todo g ∈ G e x ∈ X, vale

dgx

(X (x)

)= ˜Ad (g)X (gx) .

Como a distribuição ∆g é gerada pelos campos X, X ∈ g, isso implicaque dgx∆g (x) ⊂ ∆g (gx). A inclusão contrária se obtém da mesma formatransladando por g−1, ao invés de g. 2

Essa proposição mostra que a distribuição ∆g é característica (veja adefinição B.8). Portanto, pelo teorema B.9 essa distribuição é integrável.

Proposição 12.6 A distribuição ∆g é integrável.

As variedades integrais dessa distribuição fornecem as órbitas da ação deG. Para ver isso seja Ig (x) a variedade integral maximal de ∆g, que passapor x. Pelo fato da distribuição ser G-invariante (pela proposição 12.5),conclui-se que para cada g ∈ G o conjunto gIg (x) é uma variedade integralda distribuição. É claro que gx ∈ gIg (x) o que implica que gIg (x) ⊂ Ig (gx).Esta inclusão não é própria, pois se fosse g−1 (Ig (gx)) seria uma variedadeintegral de ∆g, que conteria Ig (x). Vale portanto a igualdade

gIg (x) = Ig (gx) g ∈ G, x ∈M. (12.1)

Em particular, o lema a seguir mostra que se G é conexo então seus elementospreservam as variedades integrais maximais.


Lema 12.7 Com as notações anteriores, suponha que G seja conexo. Então,gIg (x) = Ig (gx) = Ig (x) para todo g ∈ G e x ∈ M . Isto é, as variedadesintegrais maximais de ∆g são G-invariantes.

Demonstração: Dado g ∈ G escreva g = eXk · · · eX1 e defina a curvacontínua α : [0, k]→M por

α (t) = e(t−i+1)XieXi−1 · · · eX1x t ∈ [i− 1, i].

Essa curva é uma concatenação de trajetórias dos campos Xi, que são tan-gentes a ∆g. Portanto a curva está contida numa única variedade integralmaximal de ∆g. O seu ponto inicial é x e o ponto final é gx. Daí queIg (gx) = Ig (x), mostrando o lema. 2

A partir da invariança do lema se obtém, no caso conexo, uma açãoG × Ig (x) → Ig (x) sobre cada variedade integral maximal. Essas açõessão diferenciáveis, pois as variedades integrais são quase-regulares. Além domais, a órbita G · x está contida em Ig (x). Na verdade, o seguinte resultadomostra que G · x = Ig (x), obtendo uma caracterização das órbitas de G emtermos da ação infinitesimal.

Teorema 12.8 Suponha que G seja conexo. Então, para todo x ∈ M aórbita G ·x coincide com a variedade integral maximal Ig (x) de ∆g que passapor x.

Demonstração: A idéia é provar que as G-órbitas são conjuntos abertosnas variedades integrais. Seja X1, . . . , Xk uma base de g e tome y ∈ Ig (x).Defina a aplicação

(t1, . . . , tk) 7−→ et1X1 · · · etkXky.

A imagem dessa aplicação está contida na órbita G · y. Além do mais, suadiferencial na origem é gerada pelas derivadas parciais Xi (y), que por suavez geram o espaço tangente ∆g (y) a Ig (x). Portanto, y está no interiorda imagem (em relação à topologia intrínseca de Ig (x)). Isso implica quey ∈ (G · y)◦ e daí que as órbitas G · y são abertas em Ig (x). Porém, o com-plementar de uma órbita é uma união de órbitas. Assim, G · x é aberto efechado (e 6= ∅) no conjunto conexo Ig (x), mostrando que G · x = Ig (x). 2


Corolário 12.9 Em geral as órbitas dos grupos não conexos são uniões devariedades integrais maximais de ∆g.

Demonstração: De fato, a órbita G0 · x da componente da identidade éIg (x). Então,

G · x =⋃g∈G

gG0 · x =⋃g∈G

gIg (x) =⋃g∈G

Ig (gx) .

2

O próximo objetivo é fazer a identificação de uma órbitaG·x com o espaçohomogêneo G/Gx. Conforme foi visto no capítulo 2 a aplicação ψx : G/Gx →G · x definida por ψx (gGx) = gx é bijetora. Essa aplicação é contínua ediferenciável em relação à estrutura quociente, uma vez que ψx ◦π = φx ondeφx (g) = gx é a aplicação parcial da ação φ : G ×M → M . Como a órbitaG ·x é uma subvariedade quase-regular, φx é diferenciável a valores em G ·x.Da proposição ??, segue que ψx também é diferenciável.

Proposição 12.10 A aplicação ψx : G/Gx → G · x é um difeomorfismo.

Demonstração: Como ψx é diferenciável e bijetora, basta verificar queela é um difeomorfismo local, o que é equivalente a que sua diferencial sejabijetora em todo ponto. Como ψx ◦ π = φx a imagem da diferencial da ψ emgGx ∈ G/Gx coincide com a imagem da diferencial (dφx)g. Pela observação

acima esta última é formada pelos vetores X (gx), isto é, a imagem é ∆g (g).Como G · x é variedade integral da distribuição, segue que dψx é sobrejetoraem todo ponto. Então, essas diferenciais são bijetoras pois as dimensões deG/Gx e G · x coincidem com dimG− dimGx. 2

Um caso particular coberto por esta proposição é o da ação transitiva,quando existe uma única órbita, que é a própria variedade M . Nesse casoψx : G/Gx → M é um difeomorfismo. Nesse caso os espaços tangentesTzM , z ∈M , coincidem com ∆g (z), o que significa que todo vetor tangentev ∈ TzM é da forma v = X (z) para algum X ∈ g.Por fim, vale o seguinte resultado sobre ações transitivas da componente

conexa da identidade.

12.2. FIBRADOS 267

Proposição 12.11 Suponha que a ação de G em M é transitiva e seja Cuma componente conexa de M . Então, a restrição da ação de G à suacomponente conexa da identidade G0 é uma ação transitiva de G0 em C.

Demonstração: Antes de mais nada, a restrição a G0 de fato defineações nas componentes conexas de M , pois se g ∈ G0, então g (C) estácontido numa componente conexa de M , por continuidade da ação. Comog (C) e 1 (C) estão necessariamente na mesma componente conexa, segue queg (C) ⊂ C.Dado x ∈ C a órbita G0x é uma subvariedade própria de C. Como a

ação de G é transitiva, C ⊂ Gx, o que implica que C ⊂⋃g∈GG0 (gx) (já que

C ⊂⋃g∈G{gx}). No entanto, para todo g ∈ G, G0 (gx) = (gG0g

−1) gx =g (G0x), já que G0 é subgrupo normal. Portanto, C ⊂

⋃g∈G g (G0x). Essa

união é no máximo enumerável, uma vez que isso ocorre com a quantidadede componentes conexas de G. Pelo teorema de categorias, segue que pelomenos um dos conjuntos g (G0x) é aberto. Mas, eles esses conjuntos sãodifeomorfos entre si. Portanto, G0x é aberto em C o que pela proprosiçãoanterior mostra que G0x = C. 2

12.2 Fibrados

Nessa seção serão discutidos os conceitos de fibrado principal e seus fibra-dos associados. Esses conceitos surgem de forma natural ao se consideraraplicações entre diferentes espaços homogêneos.

12.2.1 Fibrados principais

Um fibrado principal P (M,G), (muitas vezes denotado simplesmente porP →M) se constitui do espaço total P da baseM , ambos espaços topológicose do grupo estrutural G. Esses espaços estão relacionados da seguinte forma:

1. O grupo G age livremente à direita em P : (p, a) 7→ pa, p ∈ P , a ∈ G.(Isto é, se pa = p para algum p então a = 1.)

2. O espaço das órbitas dessa ação é M . Isso significa que existe umaaplicação sobrejetora

π : P −→M


tal que as órbitas de G são os conjuntos π−1{x}, x ∈M .

3. P é localmente trivial no sentido em que para todo x ∈M existe umavizinhança U de x e uma aplicação bijetora, denominada de trivializa-ção local,

ψ : π−1 (U) −→ U ×G,

que é da formaψ (p) = (π (p) , φ (p))

onde φ : π−1 (U)→ G é uma aplicação que satisfaz

φ (pa) = φ (p) a (12.2)

para todo p ∈ π−1 (U) e a ∈ G.

O fibrado P → M é dito fibrado topológico se as aplicações envolvidasna definição são contínuas (e homeomorfismos quando bijetoras). O fibradoprincipal é de classe Ck, k ≥ 1, se os espaços envolvidos são variedades difer-enciáveis de classe Ck (em particular G deve ser grupo de Lie) e as aplicaçõesenvolvidas são diferenciáveis de classe Ck (e difeomorfismos no caso das bi-jeções). Nesse caso a projeção π : P → M torna-se uma submersão, poisatravés da trivialização local ψ ela se identifica com a projeção na primeiracoordenada U ×G→ U .As fibras do fibrado principal são denotadas por Px = π−1{x}, x ∈ M ,

ou Pp = π−1{π (p)}, p ∈ P .

Exemplos:

1. O produtoM ×G é um fibrado principal com grupo estrutural G, cujaação à direita é Rh (x, g) = (x, g)h = (x, gh). Em particular, um grupoG pode ser visto como fibrado principal em que a base se reduz a umponto M = {x}. Esse produto é chamado de fibrado trivial .

2. Seja M uma variedade diferenciável e TM seu fibrado tangente. Ofibrado fibrado das bases ou fibrado dos referenciais de M é o conjuntoBM de todas as bases de TM . Isto é, um elemento p de BM é umabase

{f1, . . . , fn} (12.3)

12.2. FIBRADOS 269

de algum espaço tangente TxM , x ∈ M . De forma equivalente, p ∈BM pode ser visto como uma aplicação linear inversível (referencial)p : Rn → TxM , x ∈M . Dada a aplicação p, o conjunto

{p (e1) , . . . , p (en)},

onde {e1, . . . en} é a base canônica de Rn, é uma base de TxM . Vice-versa, a base (12.3) determina a aplicação p : Rn → TxM dada por

p (x1, . . . , xn) = x1f1 + · · ·+ xnfn .

A projeção BM → M associa a p : Rn → TxM o ponto x ∈ M , de talforma que a fibra BMx é o conjunto dos referenciais de TxM .

O grupo Gl (n,R) age à direita em BM por

(p, g)→ pg = p ◦ g,

com p ∈ BM e g ∈ Gl (n,R). Essa ação é livre pois os elementos deBM são transformações lineares inversíveis ( p◦g = p se e só se g = 1) etransitiva nas fibras pois dada a transformação linear p : Rn → TxM asdemais são da forma q = p◦g para algum g ∈ Gl (n,R). Essa construçãodefine BM como um fibrado principal de grupo estrutural Gl (n,R) ebase M . A condição de trivialização local se obtém tomando cartas deM . Através das cartas se obtém para todo x ∈ M uma vizinhança Ue campos de vetores X1, . . . , Xn definido em U (campos coordenados)que são linearmente independentes em todo ponto de U , esse fibradoé localmente trivial (os campos definem seções de BM). Essas seçõessão suficientes para garantir que BM é localmente trivial e tem umaestrutura de variedade diferenciável (veja a discussão abaixo).

3. Denote por Bk (n) o conjunto formado pelas transformações linearesinjetoras

p : Rk −→ Rn.

(os elementos de Bk (n) se identificam aos conjuntos de k elementoslinearmente independentes de Rn ou ainda às das matrizes n × k deposto k.)

O grupo GL (k,R) age em Bk (n) por multiplicação à direita de ma-trizes. Essa ação é livre pois os elementos de Bk (n) são transformaçõeslineares injetoras.


O quociente por essa ação à direita é a Grassmanniana Grk (n) dossubespaços de dimensão k de Rn. De fato, as imagens das aplicaçõeslineares em Bk (n) são subespaços de dimensão k de Rn. Isso defineuma aplicação

p ∈ Bk (n) 7−→ imp ∈ Grk (n) ,

cujas fibras coincidem com as órbitas de Gl (k,R). De fato, se p eq = pa são dois elementos numa mesma órbita então as imagens de pe q coincidem. Por outro lado, se as imagens de p e q coincidem entãoé possível escrever p−1q onde p−1 denota a inversa de p como aplicaçãode Rk sobre sua imagem. Então p−1q ∈ Gl (k,R) e como q = p (p−1q),isso mostra que dois elementos com mesma imagem estão numa mesmaórbita de Gl (k,R).

Por essa construção, fica definido o fibrado principal Bk (n) (Grk (n) ,Gl (k,R))com grupo estrutural Gl (k,R).

O fato de que esse fibrado é localmente trivial pode ser visto direta-mente, construindo seções locais, ou indiretamente olhando esse fibradocomo um fibrado associado do fibrado Gl (n,R) (Grk (n) , P ) obtido daação transitiva de Gl (n,R) em Glk (n).

No caso em que k = 1, a Grassmanniana é o espaço projetivo Pn−1.Nesse caso Bk (n) é nada mais nada menos que Rn − {0} e a projeção

Rn − {0} −→ Pn−1

é a identificação canônica das retas de Rn.

4. Como variação do exemplo anterior considere, ao invés de todas asbases de um subespaço de dimensão k, somente as bases ortonormais(em relação a um produto interno fixado em Rn). Isso fornece a var-iedade de Stiefel Stk (n) que é constituída pelos conjuntos linearmenteindependentes de Rn, com k elementos, que são ortonormais. De formaequivalente, p ∈ Stk (n) pode ser visto como uma transformação linear

p : Rk −→ Rn

que é uma isometria entre os produtos internos canônicos de Rk e deRn. Ou ainda, pode-se pensar p ∈ Stk (n) como uma matriz n × k. Acondição de ser isometria se traduz aqui pela condição

pTp = 1

12.2. FIBRADOS 271

onde pT significa a transposta da matriz e 1 é a matriz identidade k×k.A projeção

Stk (n) −→ Grk (n)

dada pela imagem de um elemento define um fibrado principal comgrupo estrutural O (k).

No caso em que k = 1, Stk (n) é a esfera Sn−1 e a projeção

Sn−1 −→ Pn−1

é dada por identificação de antípodas na esfera.

5. Seja M uma variedade e M seu recobrimento universal. A aplicaçãocanônica de recobrimento M → M define um fibrado principal cujogrupo estrutural é o grupo fundamental de M .

2

Um morfismo entre dois fibrados principais P (M,G) e Q (N,H) é umaaplicação φ : P → Q tal que existe um homomorfismo θ : G → H satisfa-zendo φ (pa) = φ (p) θ (a), p ∈ Q e a ∈ G. Essa condição para φ garanteque a imagem de uma fibra de P está contida numa fibra de Q. Portanto,φ induz uma aplicação f : M → N , entre as bases dos fibrados, que é dadapor f (x) = π (φ (p)) para qualquer p ∈ Px, onde π : Q→ N é a projeção deQ. Os fibrados P e Q são isomorfos se θ é isomorfismo e φ bijetora. Nessecaso φ−1 : Q→ P juntamente com θ−1 definem um morfismo entre Q (N,H)e P (M,G). No caso particular em que G = H e θ = id, o morfismo édenominado de endomorfismo (automorfismo no caso inversível). Se φ e θsão injetoras então a imagem de φ é um subfibrado principal de Q. Jáse M = N , G ⊂ H e θ : G ↪→ H é a inclusão então P é chamado de umaG-redução de Q.A condição de trivialidade local na definição de um fibrado principal

P → M é para que P seja um feixe bem organizado de grupos (ou gruposde Lie no caso diferenciável).Essa condição também está ligada à idéia básica da definição de variedade

diferenciável. Esta é feita tomando as cartas e o ponto principal é o tipode condição que deve satisfazer as funções de mudança de coordenadas (decartas, isto é, α1α

−12 onde α1 e α2 são cartas da variedade). Por exemplo

o grau de diferenciabilidade de uma variedade é determinado pelo grau dediferenciabilidade dessas funções de mundanças de coordenadas.


De forma análoga, um fibrado principal também pode ser definido comouma variedade em que as funções de mudança de coordenadas pertencema uma determinada classe de transformações. Essa afirmação está mais oumenos ímplicita na seguinte discussão:Seja ψ : π−1 (U) −→ U × G uma trivialização local como previsto na

definição e φ : π−1 (U)→ G a segunda coordenada de ψ. O conjunto

ψ−1{(x, 1) : x ∈M}

é uma subvariedade em π−1 (U) e como a primeira coordenada de ψ é aprojeção sobreM , essa subvariedade cruza cada fibra π−1{x}, x ∈ U , em umúnico ponto. Chame esse ponto de σ (x). Então σ : U → P é uma seçãolocal de P , isto é, satisfaz π (σ (x)) = x. Por definição de φ, tem-se queφ (σ (x)) = 1 e devido a (12.2) φ é dada a partir de σ por

φ (σ (x) a) = φ (σ (x)) a = a

com a ∈ G e, portanto, σ (x) a percorrendo toda a fibra sobre x. Como ψé completamente determinada por φ, ela é também determinada por σ. Deforma explicíta,

ψ (σ (x) a) = (x, φ (σ (x) a)) = (x, a) , (12.4)

o que mostra que a existência da seção local garante a existência da triviali-zação.Sejam ψ1 : π−1 (U1)→ U1×G e ψ2 : π−1 (U2)→ U2×G duas trivializações

locais tais que U1 ∩ U2 6= ∅. Use as notações φ1 e φ2 para as segundascoordenadas e σ1 e σ2 para as seções correspondentes.Como σ1 (x) e σ2 (x) pertencem à mesma fibra, para cada x ∈ U1 ∩ U2

existe θ (x) ∈ G tal que

σ2 (x) = σ1 (x) θ (x) .

Isso define uma função θ : U1 ∩ U2 → G, que fornece a mudança de coorde-nadas ψ1ψ

−12 . De fato, por (12.4),

ψ−12 (x, a) = σ2 (x) a

e portanto

ψ1ψ−12 (x, a) = ψ1 (σ2 (x) a) = ψ1 (σ1 (x) θ (x) a) = (x, θ (x) a) ,

12.2. FIBRADOS 273

isto é, a mudança de coordenadas é nada mais nada menos que multiplicaçãoà esquerda por θ (x). Por essa razão a função θ é chamada de função detransição entre as trivializações ψ1 e ψ2 (nessa ordem).A função de transição fornece a mudança de coordenadas entre duas tri-

vializações, mas não as trivializações propriamente ditas. Apesar disso, épossível reconstruir o fibrado se forem dadas funções de transição compatíveisda seguinte forma:Seja ψ3 uma terceira trivialização com domínio U3 que intercepta U1∩U2.

Denote por θij a função de transição entre ψi e ψj (nessa ordem). Então,

• ψ1ψ−12 (x, a) = (x, θ12 (x) a)

• ψ2ψ−13 (x, a) = (x, θ23 (x) a)

• ψ3ψ−11 (x, a) = (x, θ31 (x) a)

Compondo as duas primeiras se obtém a terceira. A composta é

ψ1ψ−12 ψ2ψ

−13 = ψ1ψ

−12 (x, θ23 (x) a) = (x, θ12θ23 (x) a) ,

que comparada com a terceira fornece

θ31 (x) = θ12 (x) θ23 (x) . (12.5)

Essa igualdade é denomonada de propriedade de cociclo, que é satisfeitapelas aplicações θij que definem as funções de transição de um fibrado dado.Reciprocamente, vale o seguinte teorema, que não será demonstrado aqui.2

Teorema 12.12 Sejam M uma variedade e G um grupo de Lie. Suponhaque existam aplicações θ : U → G com U aberto de M de tal forma que seusdomínios cubramM e tal que para cada três dessas aplicações cujos domíniosse interceptam a condição (12.5) seja satisfeita. Então, existe um único (amenos de isomorfismo) fibrado principal P com grupo estrutural G e comtrivializações com funções de transição dadas pelas aplicações a valores emG.

2Veja, por exemplo, a proposição I.5.2 em Kobayashi-Nomizu [38], no contexto difer-enciável ou o teorema 5.3.2 em Husemoller [32] para fibrados topológicos.


12.2.2 Fibrados associados

Os ingredientes que entram na definição de um fibrado associado são umfibrado principal π : P → M e uma ação à esquerda do grupo estrutural Gnum espaço F .O grupo G age à direita no produto P×F por g (p, v) = (pg, g−1v), g ∈ G

e (p, v) ∈ P ×F . Essa ação determina uma relação de equivalência em P ×Fem que (p, v) ∼ (q, w) se, e só se, existe g ∈ G tal que q = pg e w = g−1v.A classe de equivalência do par (p, v) ∈ P × F é denotada por p · v ou por[p, v].O conjunto E das classes de equivalência de ∼ é denominado de fibrado

associado a P com fibra tipo F e base M . Esse fibrado associado é deno-tado por E = P ×G F . As seguintes observações justificam a terminologiaempregada.

1. Se (p, v) ∼ (q, w) então p e q estão na mesma fibra de P . Portanto,a aplicação πE : P ×G F → M definida por πE (p · v) = π (p) é bemdefinida, o que torna E = P ×G F um fibrado sobre M .

As fibras de E → M são denotadas por Ex = π−1{x}, x ∈ M , ouEξ = π−1

E {πE (ξ)}, ξ = p · v ∈ E.

2. Dado p ∈ P os pares (p, v) e (p, w) são equivalentes se, e só se, v = w.De fato, (p, v) ∼ (p, w) se existe a ∈ G tal que p = pa e w = a−1v.Como a ação deG em P é livre, segue que a = 1 e, portanto, w = v. Emoutras palavras, fixando p ∈ P cada classe de equivalência p·v ∈ P×GFé determinado por um único v ∈ F .

3. Cada p ∈ P determina uma bijeção

v ∈ F 7−→ p · v ∈ Ex x = π (p) . (12.6)

De fato, pelo item anterior essa aplicação é injetora. Por outro lado,um elemento de Ex tem a forma q · w com q ∈ Pp. Então, q = pa,a ∈ G, o que implica que q · w = pa · w = paa−1 · aw = p · aw tem aforma p · v, mostrando que a aplicação (12.6) é sobrejetora.Normalmente se usa a mesma letra p para indicar essa bijeção, o quejustifica a notação p · v para a classe de (p, v).

A bijeção do último item acima significa que os elementos de P parame-trizam as fibras do fibrado associado E →M , isto é, cada p ∈ P parametriza

12.2. FIBRADOS 275

a fibra Ex, x = π (p) pela fibra tipo F . Dois elementos p e q na mesma fibrafornecem diferentes parametrizações, que são obtidas uma da outra a partirda ação de G em F . De fato, se q = pa, a ∈ G, então q · v = pa · v = p · av.Portanto, a bijeção definida por q se obtém daquela definida por p compondocom a ação de a ∈ G.Os fibrados associados admitem trivializações locais herdadas das trivial-

izações do fibrado principal. De fato, seja χ : U → P uma seção local de P .Então, a aplicação ψχ : U × F → π−1

E (U) definida por (x, v) 7→ χ (x) · v éuma bijeção, que trivializa o fibrado associado sobre U . Se χ1 é outra seçãolocal então na interseção dos domínios das seções vale χ1 (x) = χ (x) a (x)com a (x) ∈ G. Portanto, χ1 (x) · v = χ (x) · av e se ψχ1 é a trivializaçãocorrespondente a χ1 então ψχ1 e ψχ estão relacionadas por

ψ−1χ ◦ ψχ1 (x, v) = (x, av) . (12.7)

Essa aplicação leva fibra em fibra e a aplicação entre as fibras é provenienteda ação de G.No contexto dos fibrados diferenciáveis não é difícil construir uma es-

trutura de variedade diferenciável num fibrado associado, a partir dessastrivializações locais:

Proposição 12.13 Seja π : P → M um fibrado principal diferenciável esuponha que ação de G em F seja diferenciável. Então, P ×G F é uma var-iedade diferenciável tal que a projeção πE : P ×G F →M é uma submersão.Além do mais as fibras Ex são subvariedades fechadas e mergulhadas e asparametrizações v ∈ F 7→ p · v ∈ Ex, x = π (p), são difeomorfismos.

Demonstração: De fato, tomando seções locais χ : U → P as trivializaçõesdescritas acima mudam de acordo com as aplicações diferenciáveis (x, v) 7→(x, a (x) v). Essas trivializações fornecem, portanto, um atlas diferenciávelpara P ×G F .A projeção πE é uma submersão, pois na identificação local do fibrado

com U × F ela se identifica à projeção na primeira coordenada. Isso mostraque as fibras são subvariedades fechadas e mergulhadas. Por fim, tomandocartas locais de E como produtos do tipo U×F se vê que as parametrizaçõespor elementos de P são difeomorfismos. 2

Exemplos: .


1. Dada uma variedade diferenciável M , com dimM = n, o fibrado dasbases BM foi construído acima, como referênciais do fibrado tangenteTM . O grupo estrutural de BM é Gl (n,R). Reciprocamente, TM seobtém de BM identificando-o como o fibrado associado BM×Gl(n,R)Rn,construído a partir da ação linear canônica de Gl (n,R) em Rn. De fato,existe uma bijeção, quase que tautológica, entre TM e BM×Gl(n,R)Rn,que é definida, associando à classe de (p, v) ∈ BM×Rn o vetor tangentep (v) ∈ TxM , x = π (p) (onde p : Rn → TxM , vem da definição deBM).Essa aplicação é bem definida pelo fato de que o fibrado associado foiconstruído a partir da ação canônica de Gl (n,R) em Rn. De fato, se(p, v) e (q, w) = (pa, a−1v) pertencem à mesma classe de equivalênciaentão q (w) = pa (a−1v) = pv.

2. A construção acima de TM se generaliza aos fibrados vetoriais. SejaP (M,G) um fibrado principal e ρ : G→ Gl (V ) uma representação deG no espaço vetorial V . Então, G atua à esquerda em V . O fibradoassociado obtido a partir dessa ação é denotado por E = P ×ρ V . Esteé fibrado vetorial no sentido em que i) é composto de uma aplicaçãoπ : E → M ; ii) cada fibra tem estrutura de espaços vetorial (obtidaatravés das bijeções v 7→ p · v, p ∈ P ); iii) existem trivializações locaisU × V → π−1 (U), que se transformam umas nas outras por aplicaçõesque levam fibras em fibras e são lineares nas fibras, como segue dafórmula (12.7).

Se dimV < ∞ e P é um fibrado diferenciável então P ×ρ V é umavariedade diferenciável. No entanto, a construção feita acima continuavalendo para representações bem mais gerais que as representações dedimensão finita.

Qualquer fibrado vetorial (isto é, E →M , satisfazendo as três condiçõesacima) pode ser construído como um fibrado associado. Isso é feito defi-nindo o fibrado das bases BE de E →M , da mesma forma que foi feitoacima para BM , pelos isomorfismos lineares p : Rk → Ex, k = dimEx.Então, E →M se obtém como fibrado associado de BE.

3. Se M é uma variedade diferenciável então os fibrados tensoriais de Msão obtidos como fibrados associados de BM . Por exemplo, o fibradoco-tangente T ∗M é o fibrado associado BM ×ρ∗ (Rn)∗ obtido atravésda representação canônica dual ρ∗: se g ∈ Gl (n,R) e α ∈ (Rn)∗ é umfuncional linear então ρ∗ (g) (α) = α ◦ g−1.

12.2. FIBRADOS 277

2

Dois casos particulares de fibrados associados merecem atenção especial.Esses casos serão apresentados nas proposições a seguir.

Proposição 12.14 Sejam P (M,G) um fibrado principal e G/H um espaçohomogêneo de G. O subgrupo H age à direita em P . Denote por P/H o con-junto das órbitas dessa ação. Então, P/H se identifica ao fibrado associadoP ×G G/H, obtido pela ação canônica de G em G/H.

Demonstração: Denote por x0 = 1H a origem de G/H. Um elemento deP/H é uma órbita à direita pH, p ∈ P . Defina a aplicação que a pH ∈ p/Hassocia a classe p · x0 ∈ P ×G G/H. Sobre esta aplicação valem as seguintesafirmações:

1. está bem definida pois se q = ph ∈ pH então q ·x0 = ph ·x0 = p ·hx0 =p · x0.

2. É injetora pois se q · x0 = p · x0 então q = pg e x0 = g−1x0. A últimaigualdade significa que g−1 ∈ H e, portanto, g ∈ H. Da primeiraigualdade segue que qH = pH.

3. É sobrejetora pois dado q · x ∈ P ×G G/H então existe g ∈ G tal queg−1x = x0. Isso implica que p · x0 = q · x se p = qg−1, mostrando queq · x está na imagem da aplicação.

Em suma, pH 7→ p ·x0 é uma bijeção, identificando P/H com P ×GG/H.2

A identificação dada na proposição anterior se escreve em coordenadaslocais de forma bastante simples: se U × G ≈ π−1 (U) é uma trivializaçãolocal de P então obtém-se uma ação à direita de H em U × G, que pordefinição (veja (12.2)) é dada por (z, g)h 7→ (z, gh), z ∈ U , g ∈ G e h ∈ H.O conjunto das órbitas em π−1 (U) se identifica então a U ×G/H. Por outrolado, os elementos de π−1

E (U) podem ser escritos como (z, 1) · x com z ∈ Ue x ∈ G/H (pois (z, 1) ∈ U ×G se identifica a um elemento de π−1 (U)). Nofibrado trivial U ×G a bijeção entre P/H e P ×G G/H é dada por

(z, gH) ∈ (U ×G) /H 7−→ (z, 1) · gH ∈ (U ×G)×G G/H.

Através dessa descrição local da identificação P/H ≈ P ×G G/H, segue deimediato que ela é um difeomorfismo no caso de fibrados diferenciáveis.


Proposição 12.15 Suponha que P (M,G) seja um fibrado principal e φ :G→ H seja um homomorfismo de grupos (de Lie). O grupo G age à esquerdaem H por (g, h) 7→ φ (g)h. Denote por P ×φ H o fibrado associado obtidodessa ação. Então, P ×φ H é um fibrado principal com grupo estrutural H.

Demonstração: Defina a ação à direita de H em P ×φ H por (p · h)h1 =p · (hh1). Essa ação é livre pois se p · (hh1) = p · h então existe g ∈ G tal quep = pg e hh1 = φ (g)−1 h. A primeira igualdade implica que g = 1. Substi-tuindo isso na segunda igualdade, segue que hh1 = h, isto é, h1 = 1. Além domais, a ação é transitiva nas fibras pois p : h ∈ H 7→ p ·h é uma bijeção entreH e a fibra. Para concluir que essa ação à direita define P×φH →M só faltaverificar as condições de trivialização local. Mas, isso segue das trivializaçõesdos fibrados associados em geral. 2

Um caso particular da proposição acima é quando G = H e φ = id. Nessecaso P ×id G é isomorfo a P pela aplicação que leva a classe p · g ∈ P ×id Gno elemento pg ∈ P . Isto é, P pode ser visto como um fibrado associado delemesmo.Uma seção de um fibrado associado π : E = P ×G F → M é uma

aplicação σ : M → E tal que π ◦ σ = id. Essas seções podem ser definidaspor aplicações equivariantes definidas no espaço total P e a valores em F .De fato, dada a seção σ defina fσ : P → F por

fσ (p) = p−1 (σ (π (p)))

onde p−1 : Eπ(p) → F é a inversa da bijeção definida por p ∈ P entre a fibratipo F e a fibra Eπ(p) de E sobre π (p). Essa aplicação é equivariante, isto é,satisfaz

fσ (pa) = a−1 · f (p) (12.8)

pois (pa)−1 = a−1 ◦ p−1.Reciprocamente, seja f : P → F equivariante e defina a aplicação f :

P → P ×G F por f (p) = p · f (p). Se a ∈ G então

f (pa) = pa · f (pa) = pa · a−1f (p) ,

pois f é equivariante. Daí que f (pa) = f (p), isto é, f é constante nas fibrasde P . Isso permite definir a aplicação σf : M → P ×G F por

σf (x) = p · f (p)

12.2. FIBRADOS 279

para qualquer p ∈ Px, que é uma seção pois p · f (p) está na fibra sobre x.Em resumo, existe uma bijeção entre as seções do fibrado associado P ×G

F → M com as aplicações equivariantes P → F . A bijeção é dada porσ 7→ fσ cuja inversa é f 7→ σf , já que pelas definições σfσ = σ e fσf = f .A função fσ é chamada de função equivariante associada à seção σ.Numa trivialização local a bijeção σ 7→ fσ é descrita da seguinte forma:

seja χ : U → P uma seção local sobre U ⊂ M . Então, (x, g) ∈ U × G 7→χ (x) g ∈ P é uma trivialização local de P sobre U e o fibrado associadoP ×G F admite a trivialização local

(x, v) ∈ U × F 7→ χ (x) · v ∈ P ×G F

Se σ : M → P ×G F é uma seção então sua restrição a U é dada, via aidentificação do fibrado com U × F , por σ (x) = (x, τ (x)), com τ : U → F .Isto é, a trivialização local associa σ (x) = (x, τ (x)) com χ (x)·τ (x) ∈ P×GFe daí que fσ (χ (x)) = τ (x). Como fσ é equivariante, segue que a expressãolocal de fσ é dada por

fσ (x, g) = fσ (χ (x) g) = g−1fσ (χ (x)) = g−1τ (x) . (12.9)

Dessa expressão segue de imediato que em fibrados diferenciáveis fσ édiferenciável se, e só se, τ é diferenciável. Portanto, a bijeção σ 7→ fσ preservaa diferenciabilidade.

Proposição 12.16 Sejam P → M e P ×G F → M fibrados diferenciáveis.Então, uma seção σ : M → P ×G F é diferenciável se, e só se, sua funçãoequivariante fσ : P → F é diferenciável.

Em geral, um fibrado associado pode não admitir seções. Por exemplo,um fibrado principal P → M , visto como fibrado associado dele mesmo sóadmite seções se for globalmente trivial. A proposição a seguir relaciona aexistência de seções em P ×G G/H com H-reduções de P .

Proposição 12.17 Seja P um fibrado principal com grupo estrutural G.Seja H ⊂ G um subgrupo e tome uma seção σ de P ×GG/H. Então, f−1

σ {o}é invariante à direita por H, onde o = 1H é a origem de G/H. Se além domais P e σ são diferenciáveis e H é fechado então f−1

σ {o} é uma H-reduçãodiferenciável de P .


Demonstração: Se h ∈ H então fσ (ph) = h−1fσ (p), pois fσ é equivari-ante. Daí que se p ∈ f−1

σ {o} então fσ (ph) = h−1 (o) = o, mostrando quef−1σ {o} é invariante por H. Para ver o caso diferenciável, tome uma trivial-ização local (x, g) ∈ U ×G 7→ χ (x) g ∈ P dada uma seção χ : U ⊂M → P .Por (12.9) fσ é dada em U ×G por

fσ (x, g) = g−1τ (x)

se σ (x) = (x, τ (x)). Daí que f−1σ {o} = {(x, g) : τ (x) = g (o)}. Fixe x0 ∈ U

e tome uma seção diferenciável ξ : V ⊂ G/H → G tal que V ⊂ G/H é abertoe τ (x0) ∈ V (para a existência dessa seção veja a proposição 12.18 abaixo).Essa seção satisfaz p ◦ ξ = id onde p : G→ G/H é a projeção canônica. Issosignifica que ξ (y) (o) = y para todo y ∈ V . Portanto, ξ (τ (x)) (o) = τ (x) oque implica que o par (x, ξ (τ (x))) ∈ f−1

σ {o}. Isso significa que ξ ◦ τ é umaseção local diferenciável definida no aberto τ−1 (V ) que contém x0. Como x0

é arbitrário isso mostra que f−1σ {o} é de fato um fibrado diferenciável. 2

12.3 Espaços homogêneos e fibrados

Seja G um grupo. Se H ⊂ G é um subgrupo então H age à direita em G.Essa ação é livre, as órbitas são as classes laterais gH e o espaço das órbitasé G/H. No caso em que G é grupo de Lie e H é um subgrupo fechadoentão a partir da construção feita anteriormente da estrutura de variedadediferenciável em G/H, prova-se que a projeção canônica π : G→ G/H defineum fibrado principal diferenciável.

Proposição 12.18 Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo fe-chado. Então, G→ G/H é um fibrado principal com grupo estrutural H.

Demonstração: Falta apenas verificar a condição de trivialidade local.Para isso serão usadas as notações envolvidas no teorema 5.21. Foram con-struídas cartas locais em G/H como a restrição de π aos conjuntos da formageV . Se Vg denota a imagem de uma carta dessas então os elementos de Vgsão da forma lH com l = geY , Y ∈ V . Então, a aplicação lH 7→ geY é umaseção diferenciável de G→ G/H, concluíndo a demonstração. 2

Sejam G um grupo e H1 ⊂ H2 subgrupos de G. Então, existe umaaplicação sobrejetora natural G/H1 → G/H2, que associa à classe lateral gH1


a classe lateral gH2, que contém gH1. Essa aplicação é de fato a projeção deum fibrado associado, como mostra a seguinte construção.

Proposição 12.19 Sejam G um grupo de Lie e H1 ⊂ H2 subgrupos fecha-dos de G. Então G/H1 é um fibrado sobre G/H2 com a projeção canônicaG/H1 → G/H2, dada por gH1 7→ gH2. Se H1 é normal em H2 entãoG/H1 → G/H2 é um fibrado principal com grupo estrutural H2/H1.

Demonstração: Pela proposição 12.14 o fibrado associado G ×H2 H2/H1

se identifica ao quociente da ação à direita de H1 em G, isto é, se identificaa G/H1. Ainda pela proposição 12.14 a projeção π : G/H1 → G/H2 levaa classe lateral à direita gH1 em G/H1 na projeção de g em G/H2, isto é,π (gH1) = gH2. Por fim, se H1 é normal em H2 então a ação de H2 emH2/H1 provém do homomorfismo canônico H2 → H2/H1. Portanto, a úl-tima afirmação segue da proposição 12.15. 2

12.4 Exercícios

1. Sejam G um grupo de Lie conexo e H um subgrupo fechado. Seja tam-bém K um subgrupo compacto e suponha que dimK−dim (K ∩H) =dimG/H. Mostre que K age transitivamente em G/H.

2. Dados um grupo de Lie G e dois subgrupos H,L ⊂ G com H fechado,mostre que L tem uma órbita aberta em G/H e, se só se, existe g ∈ Gtal que g = h+ Ad (g) l, onde g, h e l são as álgebras de Lie de G, H eL, respectivamente.

3. Sejam G um grupo de Lie conexo e H,K ⊂ G dois subgrupos tais queH é fechado e K é compacto. Denote por g, h e k as álgebras de Lie deG, H e K respectivamente. Mostre que se g = h + k então G = HK.Faça o mesmo assumindo que g = h+ Ad (g) k, para algum g ∈ G.

4. Com as notações do exercício anterior, suponha que H ∩ K = {1}e que g = h ⊕ Ad (g) k para todo g ∈ G. Mostre que a aplicação(h, k) ∈ H ×K 7→ hk ∈ G é um difeomorfismo.

5. Use o exercício anterior para mostrar que Sl (n,R) = TSO (n) = SO (n)Tonde T é o subgrupo das matrizes triangulares superiores cujas entradas


diagonais são > 0. Interprete a decomposição Sl (n,R) = SO (n)T ,aplicando o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt às colunasde uma matriz.

6. Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado. Mostre quese G/H é simplesmente conexo então H é conexo.

7. Prove que∆g é integrável, mostrando que a aplicação ψx : G/Hx →M ,definida por ψx (gHx) = gx é uma imersão, que define uma variedadeintegral de ∆g, que passa por x.

8. Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado. Mostre quese f : G/H → M é uma submersão então f ◦ π : G → M também ésubmersão, onde π : G→ G/H é a projeção canônica.

9. Um “flag” de subespaços de Rn é uma família de subespaços f =(V1 ⊂ · · · ⊂ Vk) de Rn. Dada uma sequência finita de inteiros r ={r1, . . . , rk} com 0 < r1 ≤ · · · ≤ rk ≤ n, denote por Fn (r) o conjuntode todos os flags f = (V1 ⊂ · · · ⊂ Vk) com dimVi = ri.

Mostre que Gl (n,R) age transitivamente em Fn (r), estabelecendo umabijeção entre Fn (r) com o espaço homogêneo Gl (n,R) /Q, onde Q éalgum grupo de isotropia. Determine Q e mostre que Q é fechado.Conclua que Fn (r) é uma variedade diferenciável.

Mostre que os subgrupos Sl (n,R) e SO (n) agem transitivamente emFn (r) e escreva Fn (r) como espaços homogêneos Sl (n,R) /P e SO (n) /M .Conclua que Fn (r) é compacto. (Sugestão: para SO (n) use o exercício1.)

10. Faça o mesmo que o exercício anterior para o caso dos flags com-plexos, isto é, formados por subespaços de Cn. Substitua Gl (n,R)por Gl (n,C), Sl (n,R) por Sl (n,C) e SO (n) por SU (n).

11. Use ações transitivas de gupos para construir topologias e estruturasdiferenciáveis nos seguintes conjuntos:

(a) Conjunto das bases de Rn.(b) Conjunto das bases ordenadas de Rn.(c) Conjunto das bases ortonormais de Rn (em relação a um produto

interno fixado).


(d) Conjunto dos produtos internos de Rn.(e) Conjunto das estruturas complexas em R2n (isto é, aplicações li-

neares J : R2n → R2n tais que J2 = −id).

(f) Conjunto das formas simpléticas em R2n (isto é, formas bilinearesanti-simétricas e não degeneradas).

(g) Conjunto das formas quadráticas em Rn de assinatura dada.(h) Conjunto dos elementos conjugados a um elemento x de um grupo

de Lie G (isto é, {gxg−1 : g ∈ G}).

12. Seja β uma base ordenada de Cn. A subálgebra de Borel de sl (n,C)definida por β é a subálgebra bβ cujos elementos são as transformaçõeslineares, que escritas na base β são triangulares superiores. Denotepor B = {bβ : β é base} o conjunto das subálgebras de Borel. Mostreque Sl (n,C) age transitivamente em B e verifique que, como espaçohomogêneo, B coincide com FnC (r) onde r = (1, 2, . . . , n− 1).

13. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Duas subálgebrash1, h2 ⊂ g são ditasG-conjugadas se existe g ∈ G tal queAd (g) h1 = h2.Construa uma estrutura diferenciável no conjunto das subálgebras G-conjugadas a uma subálgebra de Lie h ⊂ g dada.

14. Dados um grupo de Lie G e H ⊂ G um subgrupo fechado, suponha queG/H seja compacto. Denote por h a álgebra de Lie de H e mostre queo conjunto das subálgebras G-conjugadas a h (veja o exercício anterior)é compacto.

15. Seja K um grupo compacto e K × M → M uma ação diferenciávelde K na variedade conexa M . Dado x0 ∈ M suponha que a órbitaK · x0 tenha dimensão > 0. Mostre que se a representação isotrópicaem Tx0M é irredutível então M é compacta.

16. Use a fórmula g∗X = ˜(Ad (g)X) para mostrar, diretamente a partir dadefinição de colchete de Lie, que a aplicação X 7→ X é um homomor-

fismo de álgebras de Lie, isto é, [X, Y ] = [X, Y ].

17. Seja G×M →M uma ação diferenciável do grupo de Lie na variedadeM . Denote por g a álgebra de Lie de G e tome uma curva contínuaA : (a, b) ⊂ R→ g. Essa curva define a equação diferencial, dependente


do tempo, x = A (t) (x) em M . Mostre que as soluções dessa equaçãodiferencial são dadas por φ (t, s) (x) onde φ (t, s) ∈ G é a solução deg = A (t) g, g ∈ G, com condição inicial φ (s, s) = 1.

18. Sejam G um grupo de Lie, G×M → M uma ação diferenciável de Ge F ⊂M um subconjunto fechado. Defina

gF = {X ∈ g : ∀t ∈ R, exp (tX) · F ⊂ F}

(isto é, exp (tX) · x ∈ F se x ∈ F ). Mostre que gF é uma subálgebrade Lie. (Sugestão: use os limites da seção 5.4.)

19. Descreva as órbitas das representações adjunta e co-adjunta do grupode Heisenberg, isto é, o grupo das matrizes 3× 3 da forma 1 x z

0 1 y0 0 1

.

20. Descreva as órbitas da representação adjunta do grupo Sl (2,R).

21. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e denote por g∗ o dualde g. Considere a representação co-adjunta de G em g∗. Tome α ∈ g∗e verifique que a álgebra de isotropia da órbita G · α de α é dada por

gα = {X ∈ g : α ◦ ad (X) = 0}.

Fixando α ∈ g∗ defina a forma bilinear anti-simétrica ωα (X, Y ) =α[X, Y ], X, Y ∈ g. Mostre que se e ⊂ g é um subespaço complementara gα, isto é, g = e ⊕ gα, então a restrição de ωα a e é não degenerada(isto é, se ωα (X, Y ) = 0 para todo Y ∈ e então X = 0). Conclua queas órbitas da representação co-adjunta têm dimensão par.

22. Sejam G um grupo de Lie e φ : G→ G um automorfismo de G. Mostreque o conjunto dos pontos fixos H = {x ∈ G : φ (x) = x} é umsubgrupo de Lie de G.

Suponha, por outro lado, que φ é involutiva, isto é, φ2 = id e considerea aplicação xH ∈ G/H 7→ xφ (x−1) ∈ G. Mostre que essa aplicação éuma imersão injetora.


23. Seja G×M →M uma ação analítica do grupo de Lie G (analítico) navariedade analítica conexa M . Denote por k o máximo das dimensõesdas órbitas de G. Mostre que o conjunto dos pontos x ∈ M tais quedim (G · x) = k é um conjunto aberto e denso de M .

24. Mostre que se G×M → M é uma ação diferenciável do grupo de LieG na variedade diferenciávelM então a função x 7→ dim (G · x) é semi-contínua inferiormente, isto é, para todo b ∈ R o conjunto {x ∈ M :dim (G · x) > b} é aberto.

25. Dada uma ação diferenciável G × M → M do grupo de Lie G navariedade diferenciável M , seja G · x uma órbita de G. Verifique queo fecho G · x é um conjunto G-invariante e, portanto, uma união deG-órbitas. Mostre que, para todo y ∈ G · x, sua órbita G · y satisfazdim (G · y) ≤ dim (G · x). Dê exemplos de ações em que dim (G · y) =dim (G · x) para algum y ∈ G · x. Dê também exemplos de ações emque dim (G · y) < dim (G · x) para todo y ∈ G · x.

26. Seja G ×M → M uma ação diferenciável do grupo de Lie G na var-iedade diferenciável M . Defina em M a relação de equivalência dadapelas G-órbitas: x ∼ y se, e só se, y = gx para algum g ∈ G. As-suma que a ação de G é livre e construa no espaço das órbitas M/ ∼uma estrutura de variedade diferenciável, cuja topologia é a topologiaquociente e tal que a projeção canônica M →M/ ∼ é uma submersão.

27. Dada uma ação diferenciável G ×M → M tome x ∈ M e seja Gx ogrupo de isotropia. Mostre que a aplicação g ∈ Gx 7→ (dg)x é uma rep-resentação de Gx em TxM . Encontre sua representação infinitesimal,em termos dos campos X (para isso use o exercício 4 do apêndice A).

28. Sejam G um grupo de Lie e H1 ⊂ H2 subgrupos fechados. Mostreque se G/H2 e H2/H1 são compactos então G/H1 é compacto. Faça omesmo substituindo “compacto”por “conexo”.

29. Dados um grupo de Lie G e Γ ⊂ G um subgrupo discreto e normalconsidere o grupo quociente G/Γ e a projeção canônica π : G→ G/Γ.Mostre que se Γ1 ⊂ G/Γ é um sugrupo discreto de G/Γ então π−1 (Γ1)é um sugrupo discreto de G.


30. Dados um grupo de Lie G e um subgrupo fechado Γ ⊂ G suponha queρ : Γ → H seja um homomorfismo diferenciável no grupo de Lie H.A partir do fibrado principal G→ G/Γ, construa, como na proposição12.15, o fibrado principal G×ρH sobre G/Γ. Mostre que se ρ se estendea um homomorfismo diferenciável G→ H então G×ρ H é um fibradotrivial.

Capítulo 13

Geometria invariante

– geometria em espaços homogêneos (métricas e outras estruturas invari-antes, conexões invariantes, ações hamiltonianas, etc.). Fibrado tangente eco-tangente de espaços homogêneos.O objetivo deste capítulo é apresentar diversas estruturas geométricas

invariantes em grupos de Lie e seus espaços homogêneos.

13.1 Tensores invariantes

13.1.1 Tensores

13.1.2 Tensores invariantes em espaços homogêneos

Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado e escreva M =G/H. Denote por x0 = 1 ·H a origem de M . Se h ∈ H então h (x0) = x0,o que implica que sua diferencial dhx0 é uma aplicação linear do espaçotangente Tx0M nele mesmo. Essa diferencial define, portanto, uma aplicaçãoρ : H → Gl (Tx0M), que é um homomorfismo de grupos, pela regra da cadeia.Isso significa que ρ é uma representação de H no espaço tangente Tx0M , queé denominada representação linear isotrópica de G/H.

Proposição 13.1 Sejam G um grupo de Lie. Se H ⊂ G é um subgrupofechado denote por x0 = 1 · H a origem de G/H. Se ξ0 é um tensor sobreo espaço tangente Tx0G/H então existe um tensor G-invariante ξ em G/Htal que ξx0 = ξ0 se, e só se, ρ (h) ξ0 = ξ0, onde ρ (h), h ∈ H, denota arepresentação linear em Tx0G/H e em seus tensores.

287

288 CAPÍTULO 13. GEOMETRIA INVARIANTE

Demonstração: ??? 2

13.1.3 Tensores bi-invariantes em grupos de Lie

Um tensor bi-invariante num grupo de Lie G é um tensor que é invariantetanto por translações à esquerda quanto por translações à direita. Esses ten-sores são vistos como casos particulares dos tensores invariantes em espaçoshomogêneos se G for identificado com um espaço homogêneo do grupo G×G.De fato, considere a ação (G×G)×G→ G definida por ((g, h) , x)→ gxh−1.Essa ação é claramente transitiva e o grupo de isotropia no elemento neutro1 ∈ G é a diagonal

∆G = {(h, h) ∈ G×G : h ∈ G},

que é um subgrupo de Lie fechado. Portanto, G se identifica a G × G/∆G.Se (g, g) ∈ ∆G então sua ação em G é dada pela conjugação Cg. Portanto, arepresentação linear isotropica é nada mais nada menos que a representaçãoadjunta

Ad (g) = d (Cg)1 .

Portanto, a proposição 13.1 acarreta de imediato o seguinte critério para aexistência de tensores bi-invariantes.

Proposição 13.2 Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dadoum tensor ξ0 em g, existe um tensor bi-invariante ξ em G, cujo valor noelemento neutro 1 ∈ G é ξ0 se, e só se, Ad (g) ξ0 = ξ0.

Em geral, um tensor invariante à direita (por exemplo) se modifica,quando transladado à esquerda, pela representação adjunta do grupo. Defato, seja ξ um tensor sobre g e denote por ξe e ξd os tensores invariantes àesquerda e à direita, respectivamente, obtidos por translação de ξ. Então,valem as seguintes fórmulas.

Proposição 13.3 As translações dos tensores ξe e ξd são dadas por

1. Egξd = (Ad (g) ξ)d.

2. Dgξe = (Ad (g−1) ξ)

e.

13.1. TENSORES INVARIANTES 289

Demonstração: ??? 2

Uma consequência imediata da primeira igualdade é que ξe é tambéminvariante à direita se, e só se, Ad (g) ξ = ξ para todo g ∈ G.

Corolário 13.4 Um tensor ξe = ξd em G é bi-invariante se, e só se, o seuvalor ξ no elemento neutro é invariante por Ad (g) para todo g ∈ G, isto é,Ad (g) ξ = ξ.


13.2 Formas-volume e integração

13.2.1 Medidas de Haar

Uma medida de Haar num grupo topológico G é uma medida sobre a σ-álgebra dos conjuntos borelianos de G (isto é, a σ-álgebra gerada pelos con-juntos abertos), que é invariante por translações no grupo. Pode-se tomarmedidas de Haar que são ou invariantes à esquerda ou invariantes à direita.Em geral uma medida invariante por uma transformação é definida da

seguinte forma: seja (X,F , µ) um espaço de medida onde F é uma σ-álgebrade subconjuntos de X (σ-álgebra dos conjuntos mensuráveis) e µ é uma me-dida σ-finita definida sobre F . Dada uma aplicação g : X → X mensurávelem relação a F (isto é, g−1 (A) ∈ F se A ∈ F), define-se uma nova medidag · µ sobre F por

g · µ (A) = µ(g−1A

).

A medida µ é invariante por g se g · µ = µ, o que significa que para todoconjunto mensurável A ∈ F , vale µ (g−1A) = µ (A). Em termos de integraisa medida transladada g · µ satisfaz a igualdade∫

f (x) (g · µ) (dx) =

∫f ◦ g (x)µ (dx)

para toda função f : X → R integrável em relação a µ. Essa igualdade servecomo definição de g · µ uma vez que se f = 1A é a função característica doconjunto A (1A (x) = 1 se x ∈ A e 1A (x) = 0 se x /∈ A) então g · µ (A) =∫f (x) (g · µ) (dx) e µ (g−1A) =

∫f ◦ g (x)µ (dx).

Passando às medidas de Haar, seja G um grupo topológico e denote porF a σ-álgebra dos borelianos de G. As translações de G são aplicaçõesmensuráveis, pois são contínuas. Uma medida de Haar µ à esquerda emG é uma medida sobre F tal que para toda translação à esquerda Eg valeEg ·µ = µ. De maneira análoga se define as medidas de Haar à direita. Deve-se notar que se µ é uma medida de Haar e t é um real positivo então a medidareescalonada tµ, também é uma medida de Haar, pois Eg · tµ = tEg · µ.Um teorema geral em teoria da medida garante que G é um grupo local-

mente compacto então G admite uma única (a menos de reescalonamento)medida de Haar invariante à esquerda, assim como uma única invariante àdireita. Em geral essas medidas podem ser diferentes, isto é, uma medidainvariante à esquerda não é necessariamente invariante à direita e vice-versa(esse aspecto será discutido abaixo).

13.2. FORMAS-VOLUME E INTEGRAÇÃO 291

Apesar de existir a construção geral de medidas de Haar em grupos lo-calmente compactos, no caso de grupos de Lie pode-se fazer uma construçãodireta usando formas-volume com as quais se faz a teoria de integração emvariedades diferenciáveis.Seja então G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e denote por g∗ o dual

de g. Uma forma-volume ν em g é uma n-forma não nula onde n = dim g.Por exemplo, se α1, . . . , αn é uma base de g∗ então ν = α1 ∧ · · · ∧ αn é uman-forma em g. O espaço das n-formas tem dimensão 1 e, portanto, as quesão não nulas são multiplas umas das outras.Uma forma-volume ν em g define uma forma-volume invariante em G

(também denotada por ν) por translação:

νg =((dEg)1

)∗ν ∈

n∧T ∗gG.

Essa forma é invariante à esquerda, isto é, (Eg)∗ ν = ν para todo g ∈ G.

Uma forma-volume invariante em G não se anula em nenhum ponto de G edepende apenas de seu valor no elemento neutro. Além do mais, se ν 6= 0 éuma forma-volume invariante então qualquer outra invariante é da forma aνcom a ∈ R.Seja µν a medida de Borel associada à forma-volume ν invariante à

esquerda (veja A.2). Então, µν é invariante por translações à esquerda((Eg)

∗ ν = ν implica que Gg · µν = µE∗gν = µν) e, portanto, é uma medidade Haar (invariante à esquerda) em G. Duas medidas de Haar não nulasconstruídas dessa forma são obtidas uma da outra por reescalonamento, poisse ν1 = aν, a 6= 0, então, µν1 = |a|µν .Medidas de Haar invariantes à direita são obtidas da mesma maneira,

através de formas-volume invariantes à direita.Conforme mencionado acima, as medidas invariantes à esquerda não são

necessariamente invariantes à direita. A relação entre elas se obtém a partirda proposição 13.3. De fato, seja νd uma forma-volume invariante à dire-ita. Sua translação à esquerda é Egνd = (Ad (g) ν)d. Porém, Ad (g) ν =det Ad (g) · ν, daí que Egνd = det Ad (g) · νd.Em particular, a forma-volume invariante à esquerda νe, que é dada por

νeg =((dEg)1

)∗ν (onde ν = νd1), satisfaz

νe = det Ad (g) · νd. (13.1)

Passando às medidas de Haar, sejam µνe e µνd as medidas definidas por νe e


νd, respectivamente. Da igualdade acima segue que

µνe = |det Ad (g)|µνd

(veja A.2).A função ∆ (g) = |det Ad (g)| é conhecida pelo nome de função modular

do grupo G. O grupo é dito unimodular se ∆ (g) = 1 para todo g ∈ G. Oque é equivalente a dizer que as medidas de Haar em G são bi-invariantes.Deve-se mencionar que as medidas de Haar construídas acima, a partir

de formas-volume, cobrem todas as medidas de Haar num grupo de Lie. Issoporque o teorema de unicidade (a menos de reescalonamento) das medidasde Haar em grupos localmente compactos garante que se µ é uma medida deHaar então µ = aµν para alguma forma volume ν e a > 0. Isto é, µ = µaν .Outra observação é que se o grupo G é compacto então qualquer medida

de Haar µ é finita, isto é, µ (G) < ∞ (veja A.2). Nesse caso, é naturalnormalizar a medida de Haar de tal forma que µ (G) = 1 (dividindo porµ (G) se for 6= 1), isto é, com µ uma medida de probabilidade. Como seráverificado abaixo, os grupos compactos são unimodulares. Portanto, nessesgrupos de Lie existe uma única medida de Haar com µ (G) = 1.A existência de medidas de Haar em grupos de Lie possibilita utilizar

técnicas de integração para demonstrar diversos resultados sobre grupos deLie. A seguir são apresentados alguns resultados dessa natureza.

Proposição 13.5 Seja K um grupo compacto e ρ : K → Gl (V ) uma repre-sentação de K no espaço vetorial real V de dimensão finita. Então, existeum produto interno (·, ·) em V , que é K-invariante, isto é, ρ (k) é isometriapara todo k ∈ K.

Demonstração: Seja µ a a medida de Haar de K normalizada por µ (K) =1. Tome um produto interno qualquer B (·, ·) em V e defina a aplicação(·, ·) : V × V → R por

(u, v) =

∫K

B (ρ (k)u, ρ (k) v)µ (dk) . (13.2)

Essa integral é bem definida pelo fato de µ ser uma medida finita e afunção k ∈ K 7→ B (ku, kv) ∈ R (com u e v fixados) ser contínua e, por-tanto, integrável. Como B é bilinear e simétrica o mesmo vale para (·, ·).Além do mais, (u, u) ≥ 0 pois o integrando de (13.2) é ≥ 0. Ainda mais,


B (ρ (k)u, ρ (k)u) > 0 para todo k já que B é um produto interno. Então,(u, u) > 0 se u 6= 0 pelo fato de B ser contínua. . Portanto, (·, ·) é um pro-duto interno em V . Para ver que (·, ·) é K-invariante, tome h ∈ K. Comoρ (kh) = ρ (k) ρ (h), segue que

(hu, hv) =

∫K

B (ρ (kh)u, ρ (kh) v)µ (dk) =

∫K

B (ρ (k)u, ρ (k) v) (Dh · µ) (dk) .

Mas, como µ é invariante por translações à esquerda, a última integral sereduz ao segundo membro de (13.2), o que mostra que (hu, hv) = (u, v),concluíndo a demonstração. 2

Em outras palavras proposição acima assegura que qualquer represen-tação de dimensão finita de um grupo de Lie compacto assume valores nogrupo O (n), das isometrias de um produto interno (esses grupos de isome-trias são conjugados entre si). Em particular, a representação adjunta Ad :K → Gl (k), onde k é a álgebra de Lie de K, assume valores num grupo orto-gonal, o que significa que existe um produto interno em k tal que Ad (k) é umaisometria desse produto interno, para todo k ∈ K. Como o determinante deuma isometria é ±1, segue que

Corolário 13.6 Os grupos compactos são unimodulares.

Os grupos não compactos por sua vez tem medida de Haar infinita, comoserá mostrado abaixo. Antes disso observa-se que se µ é a medida de Haar dogrupo G então µ (U) > 0 para todo aberto U ⊂ G, já que uma forma-volumeinvariante ν não se anula em G.

Proposição 13.7 Seja G um grupo de Lie não compacto e denote por µ suamedida de Haar. Então, µ (G) =∞.

Demonstração: Seja G0 a componente da identidade de G. Existemduas possibilidades, ou G0 é compacto ou não. Se G0 for compacto então Gtem infinitas componentes conexas, duas a duas disjuntas e tais que µ (C) =µ (G0) para toda componente conexa C. Portanto, a soma µ (G) =

∑C µ (C)

não é finita.Por outro lado se G0 não é compacto, basta mostrar que µ (G0) = ∞.

Para isso, tome uma vizinhança do elemento neutro V ⊂ G0 que é simétricae compacta. Então, V k é compacto para todo k ≥ 1. Isso implica que a


inclusão V k ⊂ V k+1 é própria para todo k ≥ 1, pois caso contrário V k+r = V k

e portanto G0 =⋃V l = V k, contradizendo o fato de que G0 não é compacto.

Agora, para cada k tome gk ∈ V k+1 \ V k. Então, gkV ∩ V k−1 = ∅, já quese existisse z ∈ gkV ∩ V k−1 então z = gkv = v1 · · · vk−1, com v, vi ∈ V , o queimplicaria que gk ∈ V k. Por outro lado, gkV ⊂ V k+2 pois gk ∈ V k+1. Segueentão que gkV ∩ glV = ∅ se |l − k| > 4. Porém, µ (gkV ) = µ (V ) > 0 paratodo k ≥ 1. Portanto, G0 contém infinitos conjuntos dois a dois disjuntostodos eles com mesma medida positiva. Isso mostra que µ (G0) = ∞, con-cluíndo a demonstração. 2

Deve-se observar que a demonstração acima envolve apenas a topologiade G e vale, portanto, para um grupo localmente compacto qualquer.

13.2.2 Apêndice: Medidas de Borel e formas-volume

Seja X um espaço topológico e denote por F a σ-álgebra dos conjuntosborelianos de X, isto é, F é a σ-álgebra gerada pelos conjuntos abertos datopologia de X. Uma medida de Borel em X é uma medida positiva e σ-aditiva sobre F .Dada uma aplicação T : X → X mensurável em relação a F (isto é,

T−1 (A) ∈ F se A ∈ F), define-se uma nova medida T · µ sobre F por

T · µ (A) = µ(T−1A

).

A medida µ é invariante por T se T · µ = µ, o que significa que para todoconjunto mensurável A ∈ F , vale µ (T−1A) = µ (A). Em termos de integraisa medida transladada g · µ satisfaz a igualdade∫

f (x) (T · µ) (dx) =

∫f ◦ T (x)µ (dx)

para toda função f : X → R integrável em relação a µ. Essa igualdade servecomo definição de T · µ uma vez que se f = 1A é a função característica doconjunto A (1A (x) = 1 se x ∈ A e 1A (x) = 0 se x /∈ A) então (T · µ) (A) =∫f (x) (T · µ) (dx) e µ (T−1A) =

∫f ◦ T (x)µ (dx).

No caso em que o espaço topológico é uma variedade diferenciável é pos-sível definir medidas de Borel a partir de formas-volume em M , isto é, n-formas diferenciais onde n = dimM . Isso é feito da seguinte maneira: seja νuma forma-volume em M e seja

dx = dx1 ∧ · · · ∧ dxn


a forma-volume emRn definida a partir das coordenadas canônica (x1, . . . , xn)de Rn. Se φ : U ⊂ Rn → V ⊂M é uma carta de M então existe uma funçãowφ : U → Rn tal que as restrições de ν e λ a V e U , respectivamente,satisfazem

φ∗ν = wφdx.

Agora, seja f : V → R uma função contínua com suporte compacto eescreva fφ = f ◦ φ. Então, existe a integral∫

fφ (x) |wφ (x)| dx. (13.3)

Seja ψ outra carta de M com imagem V e escreva η = φ−1 ◦ ψ. Então,

wψ = det (dη)wφ ◦ η,

pois η∗dx = det (dη) dx. Por outro lado, dada a função f vale fψ = fφ ◦φ−1 ◦ψ = fφ ◦ η. Portanto,∫

fψ (x) |wψ (x)| dx =

∫fφ ◦ η (x) |det (dη)wφ ◦ η (x)| dx

Mas, a fórmula de mudança de variaveis na integral multipla (integral deLebesgue em Rn) diz que para uma função g vale∫

g ◦ η (x) dx =

∫g (x)

∣∣det (dη)−1∣∣ dx.

Portanto,∫fφ ◦ η (x) |det (dη)wφ ◦ η (x)| dx =

∫fφ (x) |wφ (x)| dx.

Esta igualdade mostra que a integral em (A.5) não depende do sistema decoordenadas escolhido em V .Isso garante que o funcional linear, dado pela integral,

f 7−→∫fφ (x) |wφ (x)| dx

define uma medida de Borel em V . Como isso pode ser feito para qualquersistema de coordenadas e duas dessas medidas coincidem nas intersecções


dos domínios dos sistemas de coordenadas, se conclui que a forma-volume νdefine uma medida de Borel em M . Essa medida é denominada de medidade Borel associada à forma-volume ν e é donotada por µν .Sejam agora ν1 e ν duas formas-volume relacionadas por ν1 = gν, onde

g é uma função. Usando a definição local dada em (A.5) (e o fato de queφ∗ (gν) = gφ∗ (ν)) se vê de imediato que µν1 = |g|µν , isto é, µν1 é absoluta-mente contínua em relação a µν com densidade |g|. Em particular, se ν nãose anula em nenhm ponto então para qualquer ν1 existe uma função g comν1 = gν e a medida µν1 é absolutamente contínua em relação a µν .Suponha agora que h : M → M seja um difeomorfismo e que a forma-

volume ν não se anula em nenhum ponto de M . Então, a forma-volume h∗νtambém não se anula e as medidas µν e µh∗ν são equivalentes, isto é, uma éabsolutamente contínua em relação à outra. Além do mais, pode-se escreverh∗ν = gν com g (x) 6= 0 para todo x ∈M e valem as igualdades µh∗ν = |g|µνe µν = (1/ |g|)µh∗ν . Em particular, µh∗ν = µh∗ν se, e só se, h

∗ν = ν. Poroutro lado da definição de µν segue que

µh∗ν = h · µν .

Por fim, deve-se observar que se M é variedade compacta então uma me-dida de Borel µν , definida a partir de uma forma-volume (contínua), é finita,isto é, µν (M) < ∞. Isso porque no caso em que M é compacta pode-setomar um número finito de cartas cujos domínios são abertos relativamentecompactos. Então, as funções wφ, definidas a partir das cartas, são uniforme-mente limitadas, o que garante que

µν (M) =

∫µ (dx) <∞.

13.3. MÉTRICAS RIEMANNIANAS 297

??? Outros exemplos de grupos unimodulares.??? medida de Haar (localmente compacto em geral ou só formas-volume???;

obs. grupo de Lie é orientável (paralelizável), produto de convolução; medi-das quase-invariantes)

13.2.3 Espaços homogêneos

– integração sobre grupos de Lie e espaços homogêneos. Existência de medi-das invariantes. Medidas quase-invariantes (ver Warner (apêndice); Helgason(vol. 2), Mostow, etc.).– Fórmulas integrais para decomposições de Cartan, Iwasawa, etc. , fór-

mulas integrais

13.3 Métricas Riemannianas

• G/H (H fechado) temmétrica invariante junto com ação efetiva (H nãotem subgrupos normais) implica H compacto. Demonstração: tome arepresentação isotrópica ρ no espaço tangente à origem.

1. ρ é representação fiel. De fato, tome uma decomposição g = h⊕me uma carta adaptada na origem eY eX , Y ∈ h, X ∈ m suficiente-mente pequenos. Se h ∈ ker ρ então Ad (h)X = X mod h, X ∈ m.?????

13.4 Grupos de Lie complexos

13.4.1 Varieades complexas e pseudo-complexas

– Teorema de função implicita para aplicações holomorfas (???), – colchetede Lie e J . – subvariedades complexas. – teorema de Frobenius parasubvariedades (distribuição invariante por J ???as variedades integrais sãocomplexas)– espaços homogêneos complexos;.subgrupo fechado não é subgrupo de

Lie complexo.?????Uma variedade complexa M é definida por um atlas cujas cartas assumem

valores em Cn e as transformações de coordenadas são aplicações holomorfas


entre abertos de Cn (uma aplicação f : U ⊂ Cn → Cn é holomorfa seela é diferenciável sobre C ou, de forma equivalente, se f , vista como umaaplicação de R2n, é diferenciável e sua diferencial dfx em cada ponto é umatransformação linear complexa, isto é, comuta com a multiplicação por i =√−1).As variedades complexas são, em particular, variedades reais, interpre-

tando Cn como R2n. Como tal elas são necessariamente variedades analíticasuma vez que as transformações holomorfas são aplicações analíticas. Se M éuma variedade complexa então cada espaço tangente TxM é (tem a estruturade) um espaço vetorial complexo.As variedades complexas podem ser vistas como variedades reais munidas

de uma estrutura adicional dada por uma estrutura quase-complexa, queamplia o conceito de variedade complexa.

Definição 13.8 SejaM uma variedade diferenciável. Uma estrutura quase-complexa (ou pseudo-complexa) numa variedade diferenciável M é um ten-sor J tal que para cada x ∈ M o valor Jx em x é uma aplicação linearJx : TxM → TxM tal que J2

x = −id.

Deve-se observar que se M admite uma estrutura quase-complexa entãodimM é par pois os auto-valores de cada Jx são ±i e eles aparecem aos pares.Se M é uma variedade complexa então os espaços tangentes TxM são es-

paços vetoriais sobre C. Nesse caso a multiplicação por i em cada TxM defineuma estrutura quase-complexa em M . Variedades complexas são, portanto,pseudo-complexas. Já a caracterização das variedades pseudo-complexas quesão complexas é dada pelo teorema de Newlander-Nirenberg. Esse teoremautiliza o tensor de Nijenhuis da estrutura J , que é definido por

NJ(X, Y ) = J [X, Y ]− [JX, Y ]− [X, JY ]− J [JX, JY ]. (13.4)

onde X e Y são campos de vetores em M .

Teorema 13.9 SejaM uma variedade quase-complexa com estrutura J . En-tão, M é uma variedade complexa se, e só se, NJ = 0. Nesse caso a multi-plicação por i em TxM coincide com J .

Uma aplicação holomorfa entre as variedades M e N munidas de estru-turas quase-complexas JM e JN é uma aplicação diferenciável f : M → Ntal que dfx ◦ JMx = JNf(x) ◦ dfx para todo x ∈ M . Se M e N são variedadescomplexas então toda aplicação holomorfa é analítica.

13.4. GRUPOS DE LIE COMPLEXOS 299

13.4.2 Grupos complexos

Um grupo de Lie complexo ...Visto sob a perspectiva de que uma variedade complexa é uma variedade

real com estrutura adicional define-se um grupo de Lie complexo como sendoum grupo de Lie real munido de uma estrutura quase-complexa integráveltal que o produto é uma aplicação holomorfa. No caso de um grupo deLie as estruturas complexas que aparecem são invariantes e, portanto sãodefinidas na álgebra de Lie. Essas estruturas são, portanto, completamentedeterminadas pela álgebra linear na álgebra de Lie g de G.Para discutir isso tome, em primeiro lugar, um grupo de Lie complexo G

e seja J a estrutura complexa dada pela multiplicação por i em cada espaçotangente, isto é, Jg : TgG→ TgG, g ∈ G. Pelo fato de que o produto p é umaaplicação holomorfa, segue que as translações à esquerda Eg e à direita Dg,g ∈ G, são também aplicações holomorfas. Isso significa que para quaisquerg, h ∈ G valem Jgh ◦ d (Eg)h = d (Eg)h ◦ Jh e Jhg ◦ d (Dg)h = d (Dg)h ◦ Jh.Em outras palavras, J é uma estrutura complexa bi-invariante (invariante àesquerda e à direita). Tomando nessas igualdades h = 1 se obtém para g ∈ Gque

Jg = d (Eg)1 ◦ J1 ◦ d (Eg)−11 = d (Dg)1 ◦ J1 ◦ d (Dg)

−11 ,

o que mostra que

1. J é completamente determinada pelo seu valor J1 na origem e

2. para todo g ∈ G a aplicação J1 : g→ g satisfaz

J1 ◦ Ad (g) = Ad (g) ◦ J1. (13.5)

Esta igauldade significa que Ad (g) é uma transformação linear com-plexa em relação a J1.

3. Além do mais, substituindo g na fórmula anterior por exp tX, X ∈ g,e derivando em relação a t (em t = 0) se obtém

J1 ◦ ad (X) = ad (X) ◦ J1 (13.6)

para todo X ∈ g. Em outras palavras, as transformações linearesad (X), X ∈ g, são complexas em relação a J1.

O significado disso é que g é uma álgebra de Lie sobre o corpo doscomplexos, no sentido em que se J1 for interpretado como multiplicação


por i =√−1 então g tem uma estrutura de espaço vetorial complexo

de tal forma que o colchete [·, ·] é bilinear sobre C. De fato, com essainterpretação a igauldade (13.6) significa que i[X, Y ] = [X, iY ], o queacarreta na bilinearidade sobre C.

Teorema 13.10 Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e suponhaque exista uma aplicação J : g→ g com J2 = −id que satisfaça:

1. J comuta com Ad (g) para todo g ∈ G e

2. o tensor de Nijenhuis

NJ(X, Y ) = J [X, Y ]− [JX, Y ]− [X, JY ]− J [JX, JY ].

se anula para todo X, Y ∈ g.

Então, existe uma estrutura complexa em G que o torna um grupo de Liecomplexo. Nesse caso J1 = I.

Demonstração: Defina a estrutura quase-complexa J em G por

Jg = dEg ◦ I ◦ dEg−1 .

É claro que J2g = −id 2

13.5 Variedades simpléticas e órbitas co-adjuntas

– Representação co-adjunta e forma simplética. representação co-adjunta.forma simplética nas órbitas. Ações hamiltonianas (?) e aplicação momento.

13.6 Exercícios

Medidas de Haar

1. Sejam K um grupo de Lie compacto e ρ : K → Gl (V ) uma represen-tação dimensão finita de K. Seja ρ (K) ·v uma órbita da representaçãoe denote por co (ρ (K) · v) o fecho convexo dessa órbita. Mostre queexiste w ∈ co (ρ (K) · v), que é ponto fixo de K, isto é, ρ (k)w = wpara todo k ∈ K. Discuta a possibilidade de retirar a hipótese de quedimV <∞.


2. Sejam K um grupo de Lie compacto e ρ : K → Gl (V ) uma represen-tação irredutível de K no espaço vetorial V real e de dimensão finita.Mostre que se existe um cone convexo próprio C ⊂ V invariante por K(isto é, ρ (k)C ⊂ C para todo k ∈ K) então dimV = 1.

3. Considere o grupo de Heisenberg G formado pelas matrizes 1 x z0 1 y0 0 1

.

Escreva a expressão da medida de Haar de G nas coordenadas (x, y, z),isto é, na forma f (x, y, z) dxdydz. Faça o mesmo no sistema de coor-denadas dado pela exponencial.

4. Mostre que um grupo de Lie conexo e nilpotente é unimodular. Dêexemplos de grupos solúveis conexos que não são unimodulares.

5. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Mostre que se aálgebra derivada g′ = [g, g] coincide com g então G é unimodular.

6. Seja K um grupo compacto com álgebra de Lie k. Mostre que paratodo X ∈ k os auto-valores de ad (X) são puramente imaginários.

7. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita. A forma de Cartan-Killing de g é a forma bilinear 〈·, ·〉 definida por

〈X, Y 〉 = tr (ad (X) ad (Y )) X, Y ∈ g.

Mostre que se g é a álgebra de Lie de um grupo compacto então suaforma de Cartan-Killing é negativa semi-definida, isto é, 〈X,X〉 ≤ 0para todo X ∈ g. (Use a existência de produto interno invariante pelarepresentação adjunta.)

8. Dado um grupo de Lie compacto K seja ρ : K → Gl (V ) uma represen-tação de dimensão finita de K. Use a existência de produtos internosinvariantes para mostrar que se W ⊂ V é um subespaço K-invariante(isto é, ρ (k)W ⊂ W para todo k ∈ K) então existe um subespaço in-variante W ′ tal que V = W ⊕W ′. Mostre também que V se decompõeem soma direta V = V1⊕· · ·⊕Vi com cada Vi um subespaço invarianteirredutível.


9. SejaK um grupo de Lie compacto com álgebra de Lie k. Use o exercícioanterior para mostrar que k se decompõe em soma direta

k = a1 ⊕ · · · ⊕ as ⊕ k1 ⊕ · · · ⊕ kr

onde cada ai é um ideal com dim ai = 1 e ki é um ideal simples (isto é,que não contém ideais, além dos triviais) com dim ki > 1. Mostre quea = a1 ⊕ · · · ⊕ as é o centro de k.

10. Seja G um grupo unimodular e D ⊂ G um subgrupo discreto. Mostreque G/D é orientável.

11. G/H é orientável se, e só se, deth > 0 para a representação isotrópica.

????Grupos complexos:

1. Seja g uma álgebra de Lie com colchete [·, ·]. Dada uma J : g→ g umaestrutura complexa em g defina um novo colchete [·, ·]J por

[X, Y ]J =1

2([X, Y ]− [JX, JY ]) .

Verifique que [·, ·]J é anti-simétrico e mostre que [·, ·]J satisfaz a iden-tidade de Jacobi se, e só se, o tensor de Newlander-Nirenberg NJ cor-respondente a J se anula (isto é, J define uma estrutura complexainvariante —unilateral —nos grupos de Lie com álgebra de Lie g).

2. Com as notações do exercício anterior dê exemplo de uma álgebra deLie g não abeliana e um estrutura complexa J tal que [·, ·]J ≡ 0.

3. O “Lema de Schur”tem o seguinte enunciado: seja V um espaço ve-torial complexo, com dimV < ∞, e G um grupo de transformaçõeslineares inversíveis de V que seja irredutível, isto é, os únicos sube-spaços W ⊂ V invariantes por G são os triviais {0} e V . Tome umatransformação linear T : V → V que comuta com todos os elementosde V . Então, T é escalar, isto é, T = a · 1, a ∈ C.Suponha que o grupo irredutível G é de Lie, conexo e tal que trX = 0para todo X na álgebra de Lie g de G. Mostre que o centro de G éfinito.


4. Estenda o exercício anterior ao caso de grupos de Lie conexos irre-dutíveis de transformações lineares sobre um espaço vetorial real dedimensão finita.

5. Uma álgebra de Lie g (de dimensão finita) é simples se dim g > 1 e osúnicos ideais de g são os triviais {0} e g. Mostre que para todo X ∈ g,tr (ad (X)) = 0.

6. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão finita e denote por Aut0 (g)a componente da identidade de seu grupo de automorfismos. Suponhaque g seja simples e mostre que o centro de Aut0 (g) é finito. (Use osexercícios anteriores.)

7. Seja g uma álgebra de Lie sobre R, de dimensão finita e simples. Mostreque existe grupo de Lie conexo e simplesmente conexo G cuja álgebrade Lie é g. O que acontece com C no lugar de R?

13.6.1 Medidas de Borel e formas-volume



T · µ (A) = µ(T−1A

).


f (x) (T · µ) (dx) =

∫f ◦ T (x)µ (dx)


∫f ◦ T (x)µ (dx).



dx = dx1 ∧ · · · ∧ dxn

a forma-volume emRn definida a partir das coordenadas canônica (x1, . . . , xn)de Rn. Se φ : U ⊂ Rn → V ⊂M é uma carta de M então existe uma funçãowφ : U → Rn tal que as restrições de ν e λ a V e U , respectivamente,satisfazem

φ∗ν = wφdx.


fφ (x) |wφ (x)| dx. (13.7)







g ◦ η (x) dx =

∫g (x)

∣∣det (dη)−1∣∣ dx.

Portanto,∫fφ ◦ η (x) |det (dη)wφ ◦ η (x)| dx =


Esta igualdade mostra que a integral em (A.5) não depende do sistema decoordenadas escolhido em V .


Isso garante que o funcional linear, dado pela integral,

f 7−→∫fφ (x) |wφ (x)| dx

define uma medida de Borel em V . Como isso pode ser feito para qualquersistema de coordenadas e duas dessas medidas coincidem nas intersecçõesdos domínios dos sistemas de coordenadas, se conclui que a forma-volume νdefine uma medida de Borel em M . Essa medida é denominada de medidade Borel associada à forma-volume ν e é donotada por µν .Sejam agora ν1 e ν duas formas-volume relacionadas por ν1 = gν, onde


volume ν não se anula em nenhum ponto de M . Então, a forma-volume h∗νtambém não se anula e as medidas µν e µh∗ν são equivalentes, isto é, uma éabsolutamente contínua em relação à outra. Além do mais, pode-se escreverh∗ν = gν com g (x) 6= 0 para todo x ∈M e valem as igualdades µh∗ν = |g|µνe µν = (1/ |g|)µh∗ν . Em particular, µh∗ν = µh∗ν se, e só se, h




µν (M) =

∫µ (dx) <∞.

Apêndice A

Variedades diferenciáveis

A.1 Campos de vetores e colchetes de Lie

Um campo de vetores numa variedade diferenciável M é uma aplicaçãoX : M → TM que satisfaz X (x) ∈ TxM para x ∈M .O campo X induz a equação diferencial ordinária em M dada por

dx

dt= X (x) . (A.1)

Se X é diferenciável então para todo x0 ∈ M existe uma única soluçãomaximal com condição inicial x (0) = x0. Essa solução é denotada por t 7→Xt (x0). O seu domínio de definição é um intervalo (α, ω) ⊂ R que contém 0.Fixando t ∈ R, a aplicação Xt : x 7→ Xt (x) é um difeomorfismo local

de M no sentido em que o domínio domXt de Xt é um aberto de M eXt : domXt → Xt (domXt) é um difeomorfismo. O domínio domXt é oconjunto dos elementos de M , cuja solução maximal se estende até t, isto é,o seu intervalo de definição (α, ω) contém t. O campo é dito completo sedomXt = M para todo t ∈ R. De forma equivalente, X é completo se todasas soluções maximais estão definidas em R = (−∞,+∞).O conjunto de difeomorfismos locais Xt, t ∈ R, é denominado de fluxo

do campo de vetores. A menos de restrição de domínios, o fluxo satisfaz apropriedade de homomorfismo: Xt+s = Xt◦Xs, isto é, se Xs (x) e Xt (Xs (x))estão definidos então Xt+s (x) está definido e vale a igualdade Xt+s (x) =Xt (Xs (x)). Isto se deve à unicidade das soluções de (A.1), com condiçõesiniciais dadas. É claro que domXt+s = Xs (domXs)∩domXt. Em particular,os elementos do fluxo comutam entre si: Xt ◦Xs = Xs ◦Xt e X−t = (Xt)

−1.

307

308 APÊNDICE A. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS

Em suma, Xt satisfaz as seguintes propriedades que o caracterizam:

1. X0 = id.

2.d

dtXt (x) = X (Xt (x)).

3. Xt+s = Xt ◦Xs = Xs ◦Xt.

O campo X é obtido do seu fluxo pela segunda das igualdades acima.Muitas vezes X é denominado de gerador infinitesimal de seu fluxo.Seja φ : M → N uma aplicação diferenciável. Os campos de vetores X

em M e Y em N são ditos φ-relacionados se dφ aplica X em Y , isto é, sedφx (X (x)) = Y (φ (x)) para qualquer x ∈ M . Nesse caso a imagem por φde uma trajetória de X é uma trajetória de Y . Em termos dos fluxos issosignifica que

φ ◦Xt = Yt ◦ φ.Dado um campo X em M nem sempre existe um campo em N que é

φ-relacionado com X. Por exemplo, se φ não é injetora e φ (x) = φ (y) comdφx (X (x)) 6= dφy (X (y)) então não pode existir um campo φ-relacionadocom X.No entanto, se φ : M → N é um difeomorfismo e X é um campo em M

então existe um único campo em N , denotado por φ∗X, que é φ-relacionadocom X. Esse campo é definido por

(φ∗X) (y) = dφφ−1(y)

(X(φ−1 (y)

)).

Definição A.1 Sejam X e Y dois campos de vetores. O colchete de Lieentre eles é definido por

[X, Y ] (x) =d

dt

(d (X−t)Xt(x) (Y (Xt (x)))

)|t=0

. (A.2)

Se os campos de vetores X e Y são de classe Ck então [X, Y ] é um campode vetores de classe Ck−1 (veja a fórmula abaixo em coordenadas locais).O colchete de Lie preserva campos φ-relacionados.

Proposição A.2 Sejam φ : M → N uma aplicação diferenciável e X1, X2

campos em M . Suponha que os campos Y1 e Y2 sejam φ-relacionados comX1 e X2, respectivamente. Então, que os campos [X1, X2] e [Y1, Y2] tambémsão φ-relacionados.

A.1. CAMPOS DE VETORES E COLCHETES DE LIE 309

Demonstração: Segue direto da definição de colchete de Lie juntamentecom a regra da cadeia e a igualdade φ◦Xt = Yt◦φ seX e Y são φ-relacionados.2

Em particular, se φ é um difeomorfismo então

φ∗[X, Y ] = [φ∗X,φ∗Y ]. (A.3)

Esta igualdade significa que a aplicação X 7→ φ∗X é um homomorfismo deálgebras de Lie.Outras propriedades do colchete de Lie são obtidas a partir de sua ex-

pressão em coordenadas locais a ser deduzida abaixo.Seja U um aberto de Rn. Um campo de vetores X em U se identifica a

uma aplicação diferenciável X : U ⊂ Rn → Rn. O seu fluxo Xt é diferen-ciável, isto é, existe d (Xt)x se x está no domínio de Xt.

Lema A.3d

dt(d (Xt)x)|t=0 = d (X)x.

Demonstração: Dado v ∈ Rn, considere a aplicação

β (t, s) = Xt (x+ sv)

cujo domínio é uma vizinhança da origem em R2. A diferencial d (Xt) é dadapela derivada parcial

∂β

ds(t, 0) = d (Xt)x (v) .

Portanto,d

dt(d (Xt)x)|t=0 =

∂2β

∂t∂s(0, 0) =

∂2β

∂s∂t(0, 0) .

Mas,∂β

dt(0, s) = X (x+ sv). Derivando esta igualdade em relação a s, chega-

se à fórmula do lema. 2

Por outro lado, a fórmula para derivada de t 7→ d (Xt)x é obtida facilmentea partir da derivada em t = 0. De fato,

d

dt(d (Xt)x) =

d

ds(d (Xt+s)x)|s=0 =

d

ds

(d (Xs)Xt(x) ◦ d (Xt)x

)|s=0

.

Portanto, pelo lema, vale


Proposição A.4d

dt(d (Xt)x) = d (X)Xt(x) ◦ d (Xt)x.

Esta fórmula significa que a curva t 7→ d (Xt)x satisfaz a equação diferen-cial

dg

dt= d (X)Xt(x) ◦ g

no espaço das transformações lineares de Rn. Esta equação diferencial élinear e seus coeficientes não são constantes, a menos que Xt (x) = x paratodo t, isto é, x é um singularidade do campo X.

Proposição A.5 Seja X : U ⊂ Rn → Rn um campo de vetores diferenciáveldefinido no aberto U ⊂ Rn. Então, para todo x ∈ U vale

[X, Y ] (x) = dYx (X (x))− dXx (Y (x)) . (A.4)

Demonstração: A fórmula da derivada de um produto fornece

d

dtd (X−t)Xt(x) (Y (Xt (x)))|t=0 =

d

dt

(d (X−t)Xt(x)

)|t=0

(Y (x))+d

dt(Y (Xt (x)))|t=0 .

O segunda derivada do segundo membro é dYx (X (x)). Para a primeira deve-se derivar o produto d (X−t)Xt(x) d (Xt)x = id. Usando o lema A.3 segue queddt

(d (X−t)Xt(x)

)|t=0

= dXx, o que conclui a demonstração. 2

Da expressão em coordenadas locais segue facilmente que o colchete deLie satisfaz as seguintes propriedades.

1. Bilinearidade sobre R: Se X, Y e Z são campos de vetores e a ∈ Rentão

[aX + Y, Z] = a[X,Z] + [Y, Z].

2. Anti-simetria: [X, Y ] = −[Y,X].

3. Identidade de Jacobi: [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]].

Em particular, o espaço vetorial dos campos de vetores de classe C∞ formauma álgebra de Lie, quando munido do colchete de Lie de campos de vetores.Usando ainda a expressão do colchete de Lie em coordenadas locais segue

que se X, Y são campos de vetores em M e f : M → R é uma função


diferenciável então [X, Y ]f = X (Y f)−Y (Xf), ondeXf significa a derivadadirecional de f na direção de X, isto é, Xf (x) = dfx (X (x)).Deve-se observar que o colchete de Lie [X, Y ] (x) depende dos valores de

X e Y nas vizinhanças de x e não apenas dos valores em x (veja as fórmulas aseguir). De fato, ao multiplicar os campos por funções f : M → R o colchetenão fica multiplicado por f , mas satisfaz a seguinte igualdade

[X, fY ] = f [X, Y ] + (Xf)Y.

Isso significa que o colchete de Lie não tem um comportamento tensorial.A proposição a seguir fornece uma interpretação analítica do colchete de

Lie, como primeiro termo na expansão de Taylor do comutador dos fluxosdos campos de vetores.

Proposição A.6 Sejam X, Y : U → Rn campos de vetores diferenciáveisdefinidos no aberto U ⊂ Rn. Fixe x ∈ U e considere a curva

α (t) = Xt ◦ Yt ◦X−t ◦ Y−t (x)

definida em um intervalo aberto de 0 ∈ R. Então, α′ (0) = 0 e α′′ (0) =2[Y,X] (x).

Demonstração: O cálculo da derivada primeira de α depende apenasda definição de Xt: defina as curvas α1 (t) = Yt ◦ X−t ◦ Y−t (x) e α2 (t) =X−t ◦ Y−t (x). Então,

α′ (t) = X (α (t)) + d (Xt)α1(t) (Y (α1 (t)))

−d (Xt)α1(t) ◦ d (Yt)α2(t) (X (α2 (t)))

−d (Xt ◦ Yt ◦X−t)Y−t(x) (Y (Y−t (x))) .

Avaliando em t = 0, segue que α′ (0) = 0. O cálculo da derivada segundaenvolve a proposição anterior. Derivando cada um dos termos de α′ (t) eavaliando em t = 0, obtém-se:

1. dXx (α′ (0)) = 0.

2.d

dt(d (Xt)x) (Y (x))|t=0 + 0 + d (Y )x (α′1 (0)).

3. − d

dt(d (Xt)x) (X (x))|t=0 −

d

dt(d (Yt)x) (X (x))|t=0 − d (X)x (α′2 (0))


4. − d

dt(d (Xt)x) (Y (x))|t=0 −

d

dt(d (Yt)x) (Y (x))|t=0

+d

dt(d (Xt)x) (Y (x))|t=0 + d (Y )x ((Y (x)).

Da mesma forma são calculadas as derivadas:

α′1 (0) = Y (x)−X (x)− Y (x) = −X (x) α′2 (0) = −X (x)− Y (x) .

Usando esses valores e o lema acima, o segundo termo fica

d (X)x (Y (x))− d (Y )x (X (x)) .

Já o terceiro termo é dado por

−d (X)x (X (x))− d (Y )x (X (x)) + d (X)x (X (x)) + d (X)x (Y (x)) .

Enquanto que quarto termo é

−d (X)x (Y (x))− d (Y )x (Y (x)) + d (X)x (Y (x)) + d (Y )x (Y (x)) .

Somando esses três termos chega-se, por fim, ao resultado desejado

α′′ (0) = 2 (d (X)x (Y (x))− d (Y )x (X (x))) = 2[Y,X] (x) .

2

Por fim, vale o seguinte critério para a comutatividade dos fluxos doscampos de vetores em termos dos colchetes de Lie.

Proposição A.7 Sejam X e Y campos de vetores em M . Então, as seguin-tes afirmações são equivalentes:

1. X e Y comutam, isto é, [X, Y ] = 0.

2. (Xt)∗ Y = Y para todo t.

3. (Yt)∗X = X para todo t.

4. Xt ◦ Ys = Ys ◦Xt para todo s, t.


Demonstração: Suponha que [X, Y ] = 0, tome x ∈M e considere a curvaα (t) = d (X−t)Xt(x) (Y (Xt (x))) ∈ TxM . Deve-se mostrar que α é constanteigual a α (0) = Y (x), pois isso implica que Y (Xt (x)) = d (Xt)x (Y (x)) queé o mesmo que (Xt)∗ Y = Y , pois x é arbitrário. Evidentemente α′ (0) =[X, Y ] (x) = 0 pela definição do colchete de Lie. Para os outros valores de t,

vale α′ (t) =d

dsα (t+ s)|s=0 e

d

dsα (t+ s)|s=0 = d (X−t)Xt(x)

d

ds

(d (X−s)X−s(Xt(x)) Y (Xs (Xt (x)))

)= d (X−t)Xt(x) [X, Y ] (Xt (x))

= 0.

Portanto, α′ (t) = 0, mostrando que (Xt)∗ Y = Y . A mesma demonstraçãogarante que (Yt)∗X = X, já que o colchete de Lie é anti-simétrico.Assuma que (Xt)∗ Y = Y . Então, as imagens por Xt das trajetórias de Y

também são trajetórias de Y , isto é, Xt ◦ Ys = Ys ◦Xt. Por fim, se os fluxosde X e Y comutam então o comutador de Xt e Yt é constante. A proposiçãoA.6 garante então que [X, Y ] = 0. 2


A.2 Formas-volume e integração



T · µ (A) = µ(T−1A

).


f (x) (T · µ) (dx) =

∫f ◦ T (x)µ (dx)


∫f ◦ T (x)µ (dx).


dx = dx1 ∧ · · · ∧ dxn

a forma-volume emRn definida a partir das coordenadas canônicas (x1, . . . , xn)de Rn. Se φ : U ⊂ Rn → V ⊂M é uma carta de M então existe uma funçãowφ : U → Rn tal que as restrições de ν e λ a V e U , respectivamente,satisfazem

φ∗ν = wφdx.


fφ (x) |wφ (x)| dx. (A.5)

A.2. FORMAS-VOLUME E INTEGRAÇÃO 315







g ◦ η (x) dx =

∫g (x)

∣∣det (dη)−1∣∣ dx.

Portanto,∫fφ ◦ η (x) |det (dη) |wφ ◦ η (x)| dx =


Esta igualdade mostra que a integral em (A.5) não depende do sistema decoordenadas escolhido em V .Isso garante que o funcional linear, dado pela integral,

f 7−→∫fφ (x) |wφ (x)| dx

define uma medida de Borel em V . Como isso pode ser feito para qualquersistema de coordenadas e duas dessas medidas coincidem nas intersecçõesdos domínios dos sistemas de coordenadas, se conclui que a forma-volume νdefine uma medida de Borel em M . Essa medida é denominada de medidade Borel associada à forma-volume ν e é donotada por µν .Sejam agora ν1 e ν duas formas-volume relacionadas por ν1 = gν, onde


volume ν não se anula em nenhum ponto de M . Então, a forma-volume h∗ν


também não se anula e as medidas µν e µh∗ν são equivalentes, isto é, uma éabsolutamente contínua em relação à outra. Além do mais, pode-se escreverh∗ν = gν com g (x) 6= 0 para todo x ∈M e valem as igualdades µh∗ν = |g|µνe µν = (1/ |g|)µh∗ν . Em particular, µh∗ν = µh∗ν se, e só se, h




µν (M) =

∫µ (dx) <∞.

A.3. EXERCÍCIOS 317

A.3 Exercícios

1. Um campo de vetores X num aberto de Rn pode ser escrito em coor-denadas como

X =∑i

ai∂

∂xi

onde ∂∂xisão os campos constantes na direção das coordenadas. Usando

essa notação, mostre que se X =∑

i ai ∂∂xi

e Y =∑

i bi ∂∂xi

então

[X, Y ] =∑i,j

(ai∂bj

∂xi− bi∂a

j

∂xi

)∂

∂xj.

2. Sejam X e Y campos de vetores na variedade M e f : M → R umafunção diferenciável. Denote por Xf : M → R a derivada direcionalXf (x) = dfx (X (x)). Mostre que

[X, Y ]f = XY f − Y Xf.

(Sugestão: faça os cálculos em coordenadas locais. Em XY f apareceuma derivada de segunda ordem de f que se cancela com o que apareceem Y Xf .)

3. Mostre que a expressão (13.4) que define o tensor de Nijenhuis tem, defato, um comportamento tensorial, isto é, é linear (sobre R) em X e Y .

4. Dado um campo de vetores X na variedade M , suponha que x ∈ Mseja uma singularidade de x, isto é, X (x) = 0. Mostre que se Y1 e Y2

são campos de vetores então [X, Y1] (x) = [X, Y2] (x) se Y1 (x) = Y2 (x).Conclua que é possível definir, sem ambiguidade, a aplicação lineardX : TxM → TxM por dx (v) = [X, Y ] (x), onde Y é um campo devetores tal que Y (x) = v.

Verifique que se M é um aberto de Rn então dX se identifica a −dXx,com o campo visto como uma aplicação X : M → Rn.

5. Um campo de vetores linear em Rn é definido por XA (x) = Ax ondeA é uma matriz n×n. Mostre que [XA, XB] = XBA−AB. Use isso paramostrar que se as matrizes A e B comutam então∑

k≥0

1

k!(A+B)k =

(∑k≥0

1

k!Ak

)(∑k≥0

1

k!Bk

).


6. Na variedade unidimensional S1, parametrizada pelo ângulo θ, con-sidere os campos de vetores X (θ) = cos θ d

dθe Y (θ) = senθ d

dθ. Mostre

que a subálgebra de Lie de campos de vetores gerada por X e Y temdimensão 3 e é isomorfa a sl (2,R).

Apêndice B

Integrabilidade de distribuições

B.1 Imersões e subvariedades

Sejam V e M variedades diferenciáveis. Uma imersão f : V → M é umaaplicação diferenciável tal que para todo x ∈ V , dfx é injetora. Quando f éuma imersão injetora o conjunto L = f (V ) é chamado de subvariedadeimersa de M . Nesse caso a aplicação V → f (V ) é bijetora, o que permitetransferir a estrutura diferenciável de V a f (V ), denominada de estruturaintrínseca. A topologia subjacente a essa estrutura diferenciável é chamadade topologia intrínseca da subvariedade.Outra topologia natural na subvariedade imersa f (V ) ⊂M é a topologia

induzida, como subconjunto de M . Como a imersão f é uma aplicaçãocontínua, todo aberto da topologia induzida é um aberto intrínseco. Porém,em geral, as duas topologias são diferentes (veja exemplos abaixo). Quandoas topologias coincidem a subvariedade imersa é chamada de subvariedaderegular ou subvariedade mergulhada. Nesse caso a imersão é chamada demergulho ou imersão regular.A seguinte proposição apresenta uma caracterização bem conhecida das

subvariedades mergulhadas.

Proposição B.1 Um subconjunto N ⊂ M é uma subvariedade mergulhadase, e só se, a seguinte condição é satisfeita: para todo x ∈ N existem i) umavizinhança W de x em M ; ii) vizinhanças da origem V ⊂ Rk e U ⊂ Rp eiii) um difeomorfismo ψ : V × U → W tal que ψ (V × {0}) = W ∩N .

No estudo da integrabilidade de distribuições é necessário considerar uma

319

320 APÊNDICE B. INTEGRABILIDADE DE DISTRIBUIÇÕES

classe de imersões mais ampla que os mergulhos. Essa classe é formada pelassubvariedades imersas quase-regulares, que são definidas a seguir.

Definição B.2 Uma subvariedade imersa L = f (V ) é dita quase-regular(ou quase-meergulhada) se a seguinte condição for satisfeita:

• Seja N um espaço topológico localmente conexo e φ : N → M umaaplicação contínua. Suponha que φ assume valores em L. Então, φ :N → L é contínua em relação à topologia intrínseca.

Se uma aplicação contínua φ : N → M assume valores em L então φ :N → L é contínua em relação à topologia induzida. Em particular, se essatopologia coincide com a topologia intrínseca então a condição de quase-regularidade é satisfeita. Em outras palavras, toda subvariedade mergulhadaé quase-regular.Os seguintes exemplos ajudam a esclarecer o conceito de subvariedade

quase-regular.

Exemplos:

1. A imersão φ : (0,+∞)→ R2 dada por

φ (t) =

{(cos (t− π/2) , sen (t− π/2)) se 0 < t ≤ 2π(t− 2π,−1) se t ≥ 2π

&%'$

-V

é injetora, de classe C1, e não é quase-regular. De fato, seja ψ :(−ε, ε) → R2 com ε > 0 suficientemente pequeno definida por ψ (t) =(cos (t− π/2) , sen (t− π/2)). Então ψ é contínua a valores em R2, masφ não é contínua na topologia intrínseca. De fato, se V é o aberto (datopologia intrínseca) indicado na figura então ψ−1 (V ) é um intervalodo tipo (−δ, 0] contido em (−ε, ε).

B.1. IMERSÕES E SUBVARIEDADES 321

2. Considere o toro bi-dimensional T2 = R2/Z2, com a projeção canônicaπ : R2 → T2. Se r é uma reta parametrizada em R2 sua projeção π (r)é uma subvariedade imersa de T2. Em particular, as retas passandopela origem rα = {t (1, α) : t ∈ R} definem imersões π (rα) ↪→ T2.Se α é racional então π (rα) é uma curva fechada em T2 e a imersãocorrespondente é um mergulho. Já se α é irracional π (rα) é denso emT2. Nesse caso a imersão não é um mergulho, pois, por exemplo, umintervalo do tipo {t (1, α) : t ∈ (−ε, ε)} é um aberto intrínseco mas nãona topologia induzida.

No entanto, as imersões π (rα), são quase-regulares. Para ver issotome φ : N → T2 contínua com φ (N) ⊂ π (rα) e N localmenteconexo. A continuidade de φ na topologia intrínseca é uma questãolocal. Tomando restrições de φ a vizinhanças de N pode-se assumirque φ (N) está contido num retângulo aberto do tipo

R = π{(t− αs, αt+ s) : x ∈ I1, y ∈ I2}= π (I1 · (1, α) + I2 · (−α, 1))

com I1 e I2 intervalos abertos de R. Se I1 e I2 são suficientementepequenos a aplicação

(t, s) ∈ I1 × I2 7→ π (t (1, α) + s (−α, 1)) ∈ T2

é um homeomorfismo. Portanto, a projeção p2 sobre a reta geradapor (−α, 1) está bem definida em R. Esta projeção é uma aplicaçãocontínua. Daí que p2 ◦ φ é uma aplicação contínua sobre o intervaloI2 (−α, 1). Porém, a intersecção de π (rα) com o retângulo R tem nomáximo uma quantidade enumerável de componentes conexas. Cadacomponente conexa é da forma

(π (rα) ∩ πI2 (−α, 1)) + π (I1 (1, α)) .

Isso significa que p2◦φ assume valores num conjunto enumerável. Comoessa aplicação é contínua, ela deve ser constante. Portanto, φ (N) ∩ Restá contido num intervalo do tipo I1 (1, α) + (−αs0, s0). Sendo assim,seja A ⊂ R um aberto intrínseco. Então, φ−1 (A) = φ−1 (B) onde B éum aberto de T2, garantindo que φ é contínua em relação à topologiaintrínseca.


2

A propriedade de continuidade que aparece na definição de subvariedadequase-regular se estende à diferenciabilidade em relação à estrutura diferen-ciável intrínseca da subvariedade, como mostra o resultado a seguir.

Proposição B.3 Seja L uma subvariedade quase-regular e N uma variedadediferenciável conexa. Se uma aplicação diferenciável φ : N → M assumevalores em L então ela é diferenciável em relação à estrutura diferenciávelintrínseca de L.

Demonstração: Tome y ∈ N e escreva x = φ (y) ∈ L. Pela forma localdas imersões existe uma vizinhança intrínseca U de x ∈ L de tal forma quea inclusão de U em M é equivalente à inclusão canônica de uma vizinhançaV da origem em Rk na vizinhança V ×W da origem em Rk × Rl.Como L é quase-regular φ−1 (U) é um aberto de N que contém y. Então,

a restrição de φ a φ−1 (U) é equivalente a uma aplicação z 7→ (f (z) , g (z)) ∈V ×W , que assume valores em V × {0}, isto é, tal que g (z) = 0. Então,z 7→ f (z) ∈ V é equivalente à restrição de φ a φ−1 (U) com V difeomorfo aU , em relação à topologia intrínseca. Como f é diferenciável, segue que φ édiferenciável. 2

Corolário B.4 Na situação do lema acima, se φ : N →M é imersão entãoφ : N → L também é imersão. Em particular, se dimN = dimL então φ éum difeomorfismo local.

Demonstração: Uma vez que φ : N → L é diferenciável, a imagem desua diferencial está contida no espaço tangente a L e portanto φ : N → L éimersão. 2

Corolário B.5 Se L é subvariedade quase-regular com dimL = k entãoo conjunto pressuposto por L admite uma única estrutura de subvariedadeimersa de dimensão k.

Demonstração: Aplique o corolário acima à identidade id de L. 2

B.2. DISTRIBUIÇÕES CARACTERÍSTICAS ETEOREMADEFROBENIUS323

B.2 Distribuições características e teorema deFrobenius

Seja M uma variedade diferenciável. Uma distribuição ∆ em M é umaaplicação que a cada x ∈ M associa um subespaço ∆ (x) ⊂ TxM , do espaçotangente a x. A distribuição ∆ é regular , ou não singular , se dim ∆ (x) éconstante como função de x e singular caso contrário. A dimensão constantede ∆ (x) no caso de uma distribuição regular é chamada de dimensão dadistribuição.Uma subvariedade integral de ∆ é uma imersão φ : N →M tal que1

∀x ∈ N, φ∗ (TxN) = ∆ (φ (x)) .

Definição B.6 Uma distribuição ∆ em M é dita integrável em x ∈ M seexiste uma variedade integral de ∆ contendo x. A distribuição é integrávelse for integrável em todo x ∈M .

Um campo de vetores local em M é um campo de vetores definido numsubconjunto aberto U ⊂ M , isto é, uma aplicação X : U → TM tal queX (x) ∈ TxM , para todo x ∈ U .Um campo local X em M é tangente a ∆ se X (x) ∈ ∆ (x) para x no

domínio de X.

Definição B.7 Uma distribuição ∆ em M é diferenciável em x ∈ M seexistem campos de vetores diferenciáveis X1, . . . , Xk definidos em uma viz-inhança de x que são

1. tangentes a ∆.

2. {X1 (x) , . . . , Xk (x)} gera ∆ (x).

Uma distribuição é diferenciável se o for em todo x ∈M . O conjunto decampos X1, . . . , Xk é chamado de parametrização de ∆, centrada em x.

1Estão sendo consideradas aqui apenas variedades integrais com a mesma dimensãoque a distribuição. De forma mais geral, uma variedade integral é tal que seus espaçostangentes estão contidos na distribuição.


Em geral uma parametrizaçãoX1, . . . , Xk, centrada em x, pode não geraro espaço tangente nos pontos y 6= x. No entanto, se a distribuição é regularisso acontece numa vizinhança de x pois se {X1 (x) , . . . , Xm (x)} são linear-mente independentes então {X1 (y) , . . . , Xm (y)} também são linearmenteindependentes numa vizinhança de x. (Isso pode ser verificado localmentetomando campos num aberto de Rn, n = dimM . A matriz n × k cujascolunas são as coordenadas dos campos X1, . . . , Xk tem posto m em x. Pelacontinuidade do determinante essa matriz tem posto m numa vizinhança dex. Veja o lema B.13 abaixo.)Um conceito central no estudo da integrabilidade é o de distribuição car-

acterística, definida a seguir.

Definição B.8 Seja M uma variedade e ∆ uma distribuição em M .

1. Um campo de vetores X definido num aberto U ⊂ M preserva a dis-tribuição ∆ se

Xt∗ (∆ (x)) ⊂ ∆ (Xt (x))

para todo x ∈ U e t ∈ R tal que Xt (x) está definido. Nesse caso se dizque a distribuição é invariante por X.

2. Um campo de vetores X : U → TM é característico da distribuição ∆se X preserva ∆ e é tangente a ∆, isto é, X (y) ∈ ∆ (y) para todo yno domínio de X.

3. Uma distribuição ∆ é característica em x ∈M se ela admite uma para-metrização por campos característicos, centrada em x. Isto é, existemcampos característicos X1, . . . , Xk definidos numa vizinhança de x talque

∆ (x) = ger{X1 (x) , . . . , Xk (x)}.A distribuição é característica se o for em todos os pontos de M .

Uma vez estabelecidos esses conceitos é possível enunciar e demonstrar oseguinte critério de integrabilidade de distribuições.

Teorema B.9 Para uma distribuição ∆ são equivalentes:

1. ∆ é característica.

2. ∆ é diferenciável e integrável.


Demonstração: Suponha ∆ característica. Então ∆ é diferenciável pordefinição. Falta portanto mostrar que ∆ é integrável, isto é, que todo x ∈Mestá contido em uma variedade integral.Fixe x ∈ M . Como ∆ é característica em x, existem campos caracterís-

ticos de ∆, X1, . . . , Xk, definidos numa vizinhança de x tal que

∆ (x) = ger{X1 (x) , . . . , Xk (x)}.

Para alguma vizinhança U da origem em Rk, a expressão

ρ (τ) = ρ (t1, . . . , tk) = X1t1◦ · · · ◦Xk

tk(x)

com τ = (t1, . . . , tk) ∈ U faz sentido e define uma aplicação diferenciávelρ : U →M .A construção da variedade integral será feita mostrando que ρ é uma

imersão quando restrita a alguma vizinhança V ⊂ U . Para isso deve-secalcular a imagem da diferencial dρτ de ρ em τ . Essa imagem é gerada pelas

derivadas parciais∂ρ

∂ti(τ) na direção das diferentes coordenadas ti. Usando

o fato de que a derivada em relação a t de Xt (x) é X (Xt (x)), a derivadaparcial fica sendo

∂ρ

∂ti(τ) = X1

t1∗ ◦ · · · ◦Xi−1ti−1∗

(X i (zi)

)(B.1)

onde zi = X iti◦ · · · ◦Xk

tk(x). Avaliando essa expressão em τ = 0, se obtém

∂ρ

∂ti(0) = X i (x) .

Como a imagem de dρ0 é gerada por essas derivadas parciais, isso mostra queessa imagem coincide com ∆ (x) e daí que ρ tem posto máximo na origem.Consequentemente, a restrição de ρ a alguma vizinhança V da origem é umaimersão.Essa restrição é uma subvariedade integral de ∆. Para ver isso observe

em primeiro lugar que

X1t1∗ ◦ · · · ◦X

ktk∗ (∆) = ∆

pois cada X i é um campo característico e portanto preserva ∆. Isso jun-tamente com a expressão das derivadas parciais de ρ em (B.1) e o fato de


que X i (zi) ∈ ∆ (zi) (pois X i é tangente), permite concluir que se τ ∈ U

então∂ρ

∂ti(τ) ∈ ∆ (ρ (τ)) e daí que a im (dρτ ) ⊂ ∆ (ρ (τ)). Essa inclusão é na

verdade uma igualdade se τ ∈ V pois x e ρ (τ) são respectivamente o pontoinicial e final de uma curva que é a concatenação de trajetórias de camposcaracterísticos de ∆. Como a dimensão de ∆ não varia ao longo das tra-jetórias dos campos característicos, dim ∆ (ρ (τ)) = dim ∆ (x) e esta coincidecom dim (im (dρτ )) pois ρ é uma imersão em V . Com isso fica concluída ademonstração de que ∆ é integrável.A recíproca é consequência do lema B.18 abaixo que garante que uma

distribuição integrável é invariante por seus campos tangentes. Dessa formase ∆ é diferenciável e integrável então os campos de suas parametrizaçõessão automaticamente característicos, o mesmo ocorrendo com a distribuição.2

O teorema de Frobenius fornece uma condição suficiente para que umadistribuição regular diferenciável seja integrável. Essa condição é expressaem termos de involutividade de acôrdo com a seguinte definição.

Definição B.10 Uma distribuição ∆ é chamada involutiva se a seguintecondição for satisfeita:

• Sejam X : U → TM e Y : V → TM campos locais com U ∩ V 6= ∅ etais que X e Y sejam tangentes a ∆. Então, [X, Y ] : U ∩ V → TM éum campo local tangente a ∆.

Com esses conceitos é possível enunciar o teorema de Frobenius.

Teorema B.11 Seja ∆ uma distribuição diferenciável e regular. Suponhaque ∆ é involutiva. Então, ∆ é integrável.

A demonstração do teorema de Frobenius consiste em mostrar que umadistribuição regular e involutiva é característica. Para isso são usados osseguintes resultados.

Lema B.12 Sejam U ⊂ Rn um aberto e A uma aplicação diferenciável de-finida em U e a valores no espaço das matrizes m× k com k ≤ m. Suponhaque o posto de A (y) seja k para todo y ∈ U e sejam a : U → Rk e b : U → Rmaplicações tais que b é diferenciável e

A (y) a (y) = b (y)


para todo y ∈ U . Então, a também é diferenciável.

Demonstração: Tome y0 ∈ U . O fato de que o posto de A (y0) é k permiteque fazer uma permutação nas linhas de A de tal forma que

A =

(B (y)C (y)

)com B (y) matriz k × k e detB (y0) 6= 0. Escrevendo A dessa forma, acontinuidade de detB (y) garante B (y) é inversível para y em alguma vi-zinhança U1 de y0. A inversa B (y)−1 é diferenciável pois ela é da forma

1

detB (y)Q (B (y)) com Q um polinômio nas entradas de B (y). Por outro

lado, para todo y ∈ U1,

a (y) =(B (y)−1 0

)( B (y)C (y)

)a (y) =

(B (y)−1 0

)b (y)

e portanto a é diferenciável em U1. Como y0 é arbitrário, isso mostra a dife-renciabilidade de a. 2

Lema B.13 Sejam Z e Y 1, . . . , Y k campos diferenciáveis no aberto U ⊂ Rntais que

Z (y) =k∑j=1

aj (y)Y j (y) .

Suponha que Y 1 (y0) , . . . , Y k (y0) é linearmente independente em y0 ∈ U .Então os coeficientes aj são diferenciáveis em alguma vizinhança de y0.

Demonstração: Seja A (y), y ∈ U , a matriz n × k cuja j-ésima coluna éformada pelas coordenadas de Y j. Visto como transformação linear de Rkem Rn, A (y) é dada por

A (y) (u1, . . . , uk) = u1Y1 (y) + · · ·+ ukY

k (y)

portanto se b (y) é a matriz coluna das coordenadas de Z e a a matriz colunacujas entradas são os coeficientes aj então A (y) a (y) = b (y). Como os cam-pos Y j são linearmente independentes em y0, A (y0) é de posto k o mesmoocorrendo com A (y) numa vizinhança de y0 pela continuidade do determi-nante. O lema anterior mostra então que a é diferenciável nessa vizinhançade y0. 2


Teorema B.14 Sejam ∆ uma distribuição, U um aberto de M e suponhaque existam campos de vetores X e Y 1, . . . , Y k, definidos em U tais que

Lema B.15 1. X e Y j, j = 1, . . . , k, são tangentes a ∆ e

2. {Y 1 (x) , . . . , Y k (x)} gera ∆ (x) para todo x ∈ U .Tome x ∈ U e seja J um intervalo tal que se t ∈ J então Xt (x) ∈ U .

Então,∆ (Xt (x)) = Xt∗∆ (x) (B.2)

para todo t ∈ J .

Demonstração: A inclusão em (B.2) é equivalente a

X−t∗∆ (Xt (x)) = ∆ (x) .

Para verificar essa inclusão, defina as funções vi a valores em TxM por

vi (t) = (X−t)∗(Y i (Xt (x))

), i = 1, . . . , k.

É suficiente mostrar que vi (t) ∈ ∆ (x), t ∈ J . Para isso, no entanto, ésuficiente mostrar que para todo funcional linear λ : TxM → R tal que∆ (x) ⊂ kerλ vale

λ (vi (t)) = 0 t ∈ J.

De fato, isso mostra que vi está na interseção dos núcleos dos funcionais line-ares que se anulam em∆ (x). Essa intersecção é exatamente∆ (x). Tomandoum funcional λ que se anula em ∆ (x), defina

wi (t) = λ (vi (t)) w = (w1, . . . , wk) .

Pela definição de colchete de dois campos de vetores (veja a demonstraçãoda proposição A.7),

v′i (t) = X−t∗([X, Y i] (Xt (x))

).

Porém, pelo lema B.13 e pelo fato que a distribuição é involutiva, pode-seescrever

[X, Y j] (y) =k∑j=1

bij (y)Y j (y)


com bij funções diferenciáveis em U . Escrevendo aij (t) = bij (Xt (x)), obtém-se

v′i (t) = X−t∗

(k∑j=1

aij (t)Y j (Xt (x))

)=

k∑j=1

aij (t) vj (t) .

Como λ é linear w′i (t) = λ (v′i (t)). Portanto w satisfaz a equação diferencial

w′i (t) =k∑j=1

aij (t)wj (t) .

Esta é uma equação diferencial linear em que os coeficientes são contínuose, portanto, admite uma única solução condição inicial w (0) dada. Essasolução é definida em todo intervalo J . Porém, wi (0) = 0 pois vi (0) =Y i (x) ∈ ∆ (x). Daí que wi (t) = 0 para todo t ∈ J o que conclui a demon-stração. 2

Com esses lemas preparatórios a demonstração do teorema de Frobeniusse obtém facilmente.

Demonstração do Teorema de Frobenius: Dado x ∈M , tome camposY 1, . . . , Y k definidos numa vizinhança U de x tal que {Y 1 (y) , . . . , Y k (y)} éuma base de ∆ (y) para todo y ∈ U . Pelo lema B.13 e pelo teorema B.14os campos Y 1, . . . , Y k são característicos para ∆. Isso mostra que uma dis-tribuição regular e involutiva é característica e, portanto, integrável. 2

Em geral, para aplicar o teorema de Frobenius não é necessário verificara condição de involutividade para todos os campos tangentes à distribuição.De fato, a seguinte consequência do lema B.13 mostra que para verificar ainvolutividade de uma distribuição ∆ basta calcular colchetes em bases de∆.

Corolário B.16 Seja ∆ uma distribuição regular em M e suponha que paratodo x ∈ M existam campos de vetores X1, . . . , Xk tangentes a ∆, definidosnuma vizinhança de x tais que {X1 (x) , . . . , Xk (x)} gera ∆ (x) e os colchetes[Xi, Xj] são tangentes a ∆. Então, ∆ é integrável.


Demonstração: De fato, se os campos geram ∆ em x então eles geram ∆numa vizinhança de x, o que garante que ∆ é diferenciável. Além do mais,pelo lema B.13 se Y e Z são campos tangentes a ∆ então nas vizinhanças dex, Y =

∑aiXi e Z =

∑biXi com os coeficientes diferenciáveis. Portanto,

[Y, Z] =∑i,j

aibj[Xi, Xj] +∑i,j

(Xibj −Xiaj)Xj

o que mostra que ∆ é involutiva. 2

B.3 Unicidade e variedades integrais maxi-mais

Os teoremas de integrabilidade demonstrados acima, em particular o teoremade Frobenius, são teoremas de existência e têm caráter local. Resultados decaráter global, assim como a unicidade de variedades integrais são obtidos,com bastante generalidade, por uma aplicação do lema de Zorn, que permiteestender variedades integrais.Nesse sentido um papel central é desempenhado pelo conceito de var-

iedade integral maximal , que é uma subvariedade integral conexa L de∆, quenão está contida propriamente em nenhuma subvariedade integral conexa.Abaixo será demonstrada a existência de variedades integrais maximais paradistribuições características. Para isso serão utilizados alguns lemas.

Lema B.17 Seja N ↪→ M uma imersão e suponha que o campo X de Mseja tangente a N , isto é, X (x) ∈ TxN para todo x ∈ N .Então para todo x ∈ N existem uma vizinhança V ⊂ N de x e ε > 0 tal

que se y ∈ V então Xt (y) ∈ N para |t| < ε. Além do mais Xt : V → N ,|t| < ε, é um difeomorfismo sobre um aberto de N .

Demonstração: Devido à forma local das imersões, pode-se supor semperda de generalidade que M é um produto V × W ⊂ Rk × Rl com V eW vizinhanças da origem e que N = V × {0}. Nessa situação, tome umavizinhança da origem V1 ×W1 ⊂ V ×W e ε > 0 suficientemente pequeno detal forma que Xt (V1 ×W1) ⊂ V ×W .

B.3. UNICIDADE E VARIEDADES INTEGRAIS MAXIMAIS 331

O fato de X ser tangente a N permite definir, por restrição, um campoX de V × {0}. Uma trajetória α de X satisfaz

α′ (t) = X (α (t)) = X (α (t))

e portanto é também uma trajetória de X. O teorema de unicidade dassoluções das equações diferenciais garante então que as trajetórias de X ini-ciadas em V × {0} permanecem em V × {0}.Dessa forma, se |t| < ε, Xt (V1 × {0}) ⊂ V × {0}, o que mostra o lema.

2

Lema B.18 Suponha que ∆ seja uma distribuição integrável e seja X umcampo tangente a ∆. Então, X preserva ∆.

Demonstração: Seja U o domínio de X e tome y ∈ U e L uma variedadeintegral de ∆ passando por y. Pelo lema anterior existem ε > 0 e V ⊂ L∩U(dependendo de y e L) tal que Xs é um difeomorfismo de V sobre um abertode L para |s| < ε. Portanto Xs aplica espaços tangentes a L sobre seusespaços tangentes, isto é,

Xs∗∆ (z) = ∆ (Xs (z))

para z ∈ V . Em particular, essa igualdade vale para z = y e |s| < ε.Seja agora x ∈ domXt. Suponha t > 0 e defina

m = sup{s ∈ [0, t] : ∀σ ∈ [0, s], Xσ∗ (∆ (x)) ⊂ ∆ (Xσ (x))}.

Aplicando a primeira parte da demonstração a y = Xm (x), se verifica quem = t, mostrando o lema. 2

Lema B.19 Seja ∆ uma distribuição característica e N1 e N2 variedadesintegrais de ∆. Então, N1 ∩ N2 é uma subvariedade aberta tanto de N1

quanto de N2.

Demonstração: Assuma N1 ∩ N2 6= ∅ e tome x ∈ N1 ∩ N2. SejamX1, . . . , Xk campos característicos de ∆ definidos numa vizinhança de x com

∆ (x) = ger{X1 (x) , . . . , Xk (x)}.


Definaρ (t1, . . . , tk) = X1

t1◦ · · · ◦Xk

tk(x) .

Como na demonstração do teorema B.9, ρ : U → M é uma imersão paraalgum aberto U contendo a origem de Rk. Pelo lema B.17, se U é suficien-temente pequeno, ρ (U) ⊂ N1 ∩N2 e as aplicações ρ : U → N1 e ρ : U → N2

são imersões. Como as dimensões de U , N1 e N2 são iguais, pode-se su-por, diminuindo U se necessário, que essas imersões são mergulhos. Portantoρ (U) é subvariedade aberta tanto de N1 quanto de N2 e daí que N1 ∩ N2 éum aberto nas duas variedades integrais. 2

Proposição B.20 Seja ∆ uma distribuição característica. Então, cada x ∈M está contido em uma única variedade integral maximal I (x) de ∆. Alémdo mais se N ⊂ M é uma variedade integral conexa de ∆ com x ∈ N entãoN é uma subvariedade aberta de I (x).

Demonstração: Denote por F o conjunto das variedades integrais de ∆.Seja

Fx = {N ∈ F : x ∈ N}.

Então Fx 6= ∅ pois ∆ é integrável. Além do mais a ordem parcial ≺ em F serestringe a Fx.Seja H uma cadeia de Fx, isto é, um subconjunto totalmente ordenado de

Fx. Deve-se mostrar que H admite um majorante em Fx para poder aplicaro princípio da maximalidade de Hausdorff. Defina

N =⋃n∈H

N.

Então N ∈ Fx e majora H. De fato, defina uma estrutura de variedade emN da seguinte forma: tome y ∈ N . Então algum N ∈ H contém y. Como Né subvariedade, suas cartas ao redor de y definem cartas de N . Fazendo issopara todo y ∈ N , fica definido um conjunto de cartas cujos domínios cobremN . Duas cartas definidas dessa maneira se relacionam diferenciavelmentepois se y ∈ N1 ∩ N2 então N1 ≺ N2 ou N2 ≺ N1 e uma delas é variedadeaberta da outra. Assim, define-se um atlas em N de tal forma que N ésubvariedade aberta de N para todo N ∈ H. Com esta estrutura N é umasubvariedade integral de ∆ que contém x e portanto N ∈ Fx.

B.4. CARTAS ADAPTADAS 333

Como todo subconjunto ordenado de Fx admite um majorante, o princí-pio da maximalidade garante que Fx admite elementos maximais. Um ele-mento maximal de Fx é uma variedade integral maximal que passa por x.Para verificar a unicidade, suponha que x ∈ N1 ∩N2 com N1 e N2 maxi-

mais. Pelo teorema de unicidade local (teorema B.19), N1 ∩N2 é aberta emN1 e em N2 e, portanto, N1 ∪N2 admite estrutura de subvariedade integralconexa contendo N1 e N2 como subvariedades abertas. Como N1 e N2 sãomaximais, se conclui que N1 = N2.A última afirmação segue do fato de que qualquer variedade integral

conexa está contida numa variedade integral conexa maximal, como um sub-conjunto aberto, pelo lema anterior. 2

A unicidade das variedades integrais maximais garante que duas dessasvariedades ou são disjuntas ou coincidem (essa propriedade não vale para var-iedades integrais quaisquer, só para as maximais). Dessa forma as variedadesintegrais maximais são as classes de equivalência da relação de equivalênciax ∼∆ y se x e y pertencem à uma mesma variedade integral maximal de ∆.

B.4 Cartas adaptadas

As cartas adaptadas (também conhecidas por vizinhanças tubulares) mostramque as variedades integrais de uma distribuição integrável estão bem posi-cionadas umas em relação às outras.

Definição B.21 Seja ∆ uma ditribuição integrável emM . Uma carta adap-tada (ou sistema de coordenadas adaptado) a ∆, centrada em x, é um dife-omorfismo ψ : U × V → W , onde U ⊂ Rk e V ⊂ Rn−k são abertos contendoa origem e W é um aberto contendo x, que satisfaz as seguintes condições:

1. ψ (0, 0) = x.

2. dim ∆ (x) = k.

3. Para todo z ∈ V o conjunto ψ (U × {z}) está contido numa variedadeintegral maximal de ∆.

4. A aplicação ψ0 : U → ψ (U × {y}), ψ0 (x) = ψ (0, y) é uma variedadeintegral de ∆.


A vizinhança W é chamada de domínio do sistema de coordenadas adap-tado (ou carta adaptada).Uma carta adaptada também é denominada de vizinhança tubular (da

variedade integral que passa por x).

Será mostrado abaixo que as distribuições características admitem cartasadaptadas, centradas em quaisquer pontos de M . Para isso serão utilizadosos lemas abaixo.

Proposição B.22 Seja ∆ uma distribuição característica. Então, para todox ∈M existe uma carta adaptada ψ : U ×V →M , com U ⊂ Rk e V ⊂ Rn−kvizinhanças da origem e tal que ψ (0, 0) = x.

Demonstração: Fixe x ∈M e considere a imersão

ρ : (t1, . . . , tk) 7−→ X1t1◦ · · · ◦Xk

tk(x)

definida em alguma vizinhança V da origem de Rk e com X1, . . . , Xk cam-pos característicos que geram ∆ (x). A imagem ρ cobre uma vizinhança davariedade integral que passa por x. Para construir a carta adaptada suponhaque n = dimM . Então existe uma imersão

φ : W −→M

comW uma vizinhança da origem em Rn−k tal que φ (0) = x e φ é transversala ρ em x, isto é,

im (dφ0) ∩ im (dρ0) = {0} e im (dφ0)⊕ im (dρ0) = TxM.

Seja ψ : V ×W →M definida por

ψ (v, w) = X1t1◦ · · · ◦Xk

tk(φ (w))

se v = (t1, . . . , tk) ∈ V . Então alguma restrição de ψ é uma carta adaptada.De fato, é claro que ψ (0, 0) = x. Por outro lado, o valor de dψ(0,0) em(v, w) ∈ Rk × Rn−k é

dψ(0,0) (v, w) = dρ0 (v) + dφ0 (w)

o que mostra que dψ(0,0) é um isomorfismo. Portanto, existem vizinhançasV1 ⊂ V e W1 ⊂ W tal que a restrição de ψ a V1 ×W1 é um difeomorfismo.

B.4. CARTAS ADAPTADAS 335

Agora, os pontos ψ (v, w), ψ (0, w) e φ (w) estão numa mesma variedadeintegral pois ψ (v, w) é obtido de φ (w) por aplicações sucessivas de trajetóriasde campos tangentes a ∆, que pelo lema B.17 não saem das variedades inte-grais. Fixando w, o lema B.17 garante que a aplicação

(t1, . . . , tk) 7−→ X1t1◦ · · · ◦Xk

tk(φ (w))

é diferenciável na estrutura intrínseca de I (ψ (0, w)) e como essa aplicaçãocoincide com ρ se w = 0, a restrição de ψ é uma carta adaptada. 2

A existência de cartas adaptadas possibilita a demonstração de diversaspropriedades das variedades integrais de uma distribuição integrável. Umadelas é que as variedades integrais conexas são subvariedades quase-regulares,como será provado na seção seguinte.Outra propriedade útil está relacionada aos campos tangentes à dis-

tribuição:

Proposição B.23 Seja xt uma curva de classe C1 tangente à distribuiçãointegrável ∆. Então, xt está inteiramente contida numa variedade integralmaximal de ∆. Em particular, se um campo de vetores X é tangente a ∆então suas trajetórias estão contidas em variedades integrais maximais.

Demonstração: Denote por I (x) a variedade integral maximal que passapor x0 e suponha que xt está definida no intervalo (α, ω). Seja

m = sup{t ∈ (α, ω) : ∀s ∈ [0, t], Xs (x) ∈ I (x)}.

Então, m = ω. De fato, supondo por absurdo que m < ω, tome uma cartaadaptada ψ : V ×W → M centrada em xm e considere a curva yt = ψ−1xtem V × W . Como xt é tangente à distribuição, yt é tangente a V × {0}.Portanto se zt denota a projeção de yt na segunda coordenada, segue que zttem derivada nula e, portanto, é constante. Isso implica que yt está contidaem V × {0}, contradizendo a hipótese de que m é o supremo. 2

Deve ser enfatizado que a propriedade das trajetórias da proposição acimasó vale em relação às variedades integrais maximais e não para variedadesintegrais quaisquer.


B.5 Variedades integrais são quase-regulares

A existência de cartas adaptadas a distribuições integráveis permite mostrarque as variedades integrais maximais de distribuições integráveis são subvar-iedades quase-regulares.Antes de mostrar isso serão feitas as seguintes observações sobre a topolo-

gia de uma variedade e de suas subvariedades. Para uma variedade diferen-ciável M as seguintes condições são equivalentes:

1. M é paracompacta, isto é, todo recobrimento deM por abertos admiteum subrecobrimento localmente finito.

2. Cada componente conexa de M é uma união enumerável de subcon-juntos compactos.

3. As componentes conexas de M são completamente separáveis, istoé, admitem sistemas fundamentais de vizinhanças enumeráveis (sat-isfazem o segundo axioma de enumerabilidade).

Quanto às subvariedades, vale o seguinte resultado.

Proposição B.24 Seja L ⊂ M é subvariedade imersa conexa e suponhaque M é paracompacta. Então, L, com a topologia intrínseca, também éparacompacta e, portanto, admite um sistema fundamental de vizinhançasenumerável.

Demonstração: Como a variedade M é paracompacta ela admitem umamétrica Riemanniana. Essa métrica induz uma métrica Riemanniana em N ,já que N é subvariedade imersa. Como as variedades Riemannianas conexassão metrizáveis, segue que N é metrizável. Consequentemente N é paracom-pacta, devido a um teorema de Stone que garante que os espaços métricossão paracompactos. 2

O fato de que uma subvariedade imersa conexa ser completamente sep-arável é central na demonstração a seguir de que as variedades integraismaximais são quase-regulares.

Proposição B.25 Seja ∆ uma distribuição diferenciável e integrável M eassuma que M é paracompacta. Então, suas variedades integrais maximaissão quase-regulares.

B.6. EXERCÍCIOS 337

Demonstração: Tomando uma variedade integral maximal I ⊂M deve-severificar que uma aplicação contínua φ : N → M com N localmente conexoe φ (N) ⊂ I é contínua em relação à topologia intrínseca, isto é, φ é contínuaem todo x ∈ N . Em outras palavras, deve-se verificar que φ−1 (V ) é umavizinhança de x para toda vizinhança intrínseca V de φ (x). Para isso bastatomar V dentro do domínio W de uma carta adaptada centrada em φ (x),pois se φ−1 (V ∩W ) é uma vizinhança de x, o mesmo ocorre com φ−1 (V ) ⊃φ−1 (V ∩W ). Pode-se assumir, também sem perda de generalidade, que Né conexo, pois se U é uma vizinhança conexa de x tal que φ−1 (V ) ∩ U évizinhança de x então φ−1 (V ) é vizinhança de x.Sejam, portanto, φ : N → W uma aplicação contínua, com N conexo e

W o domínio de uma carta adaptada ψ : U × V → W centrada em φ (x) talque φ (N) ⊂ I ∩W .Denote por p : W → ψ ({0} × V ) a projeção em W equivalente à pro-

jeção U × V → V . Essa aplicação é contínua assim como p ◦ φ. Porém, aimagem de p◦φ é no máximo enumerável. De fato, essa imagem coincide comI ∩ ψ ({0} × V ), pois φ assume valores em I, e esse conjunto é no máximoenumerável, já que caso contrário I conteria uma quantidade não enumerávelde abertos dois a dois disjuntos, contradizendo a proposição anterior.Portanto p ◦ φ já que N é conexo. Segue que φ (N) está contido na com-

ponente conexa de I ∩W que contém φ (x). Mas, essa componente conexaé precisamente ψ (U × {0}) e a topologia intrínseca deste conjunto coincidecom a topologia induzida de ψ (U × V ). Isso implica que φ é contínua emrelação à topologia intrínseca de I, concluíndo a demonstração. 2

O argumento central da demonstração acima está enumerabilidade daintersecção I ∩ ψ ({0} × V ), que provém da completa separabilidade da var-iedade integral I. A mesma demonstação vale, portanto, na seguinte situaçãomais geral.

Corolário B.26 Suponha que N seja uma união enumerável de variedadesintegrais maximais de ∆. Então, N é quase-regular.

B.6 Exercícios

1. Considere a seguinte propriedade de separação para um subconjuntoD ⊂ R: para todo x, y ∈ D existe z ∈ R \ D entre x e y. Verifique


subconjuntos enumeráveis satisfazem essa propriedade. Mostre que seD satisfaz a propriedade e f : N → R é uma função contínua com Nconexo e f (N) ⊂ D então f é constante. Mostre que se uma funçãocontínua f : N → Rn é tal que N é conexo e f (N) é no máximoenumerável, então f é constante.

2. Mostre que as trajetórias de um campo de vetores numa variedadediferenciável são subvariedades quase-regulares (com dimensão 0 ou 1).(Use o teorema do fluxo tubular para equações diferenciais.)

3. Seja ∆ uma distribuição característica na variedade M . Suponha queF seja uma família de campos de vetores tais que para todo x ∈ Mo subespaço F (x) = {X (x) : X ∈ F} coincide com ∆ (x). Mostreque dados x, y numa mesma variedade integral de ∆ existem camposX1, . . . , Xk ∈ F e t1, . . . , tk ∈ R tal que y = X1

t1◦ · · · ◦Xk

tk(x). (Não é

necessário supor que os campos estejam definidos em toda a variedadeM , mas apenas em abertos deM . A hipótese sobre F (x) assegura quea união dos domínios dos campos em F coincide com M .)

4. Seja Γ (TM) a álgebra de Lie dos campos de vetores (C∞) na variedadeM (munido do colchete de Lie). Seja g uma álgebra de Lie de dimensãofinita de Γ (TM). Defina a distribuição ∆g (x) = {X (x) : X ∈ g}.Mostre que ∆g é integrável.

A g-órbita de x ∈M é definida como sendo o conjunto

Og (x) = {X1t1◦ · · · ◦Xk

tk(x) ∈M : k ≥ 1, X i ∈ g}

(para os valores de ti onde os fluxos e compostas estão definidos).Mostre que para todo x ∈M , Og (x) é uma variedade integral maximalde ∆g.

5. Sejam M uma variedade e ∆ uma distribuição característica em M .Suponha que f : N → M é uma imersão tangente a ∆, isto é, paratodo dfy (TyN) = ∆ (f (y)) para todo y ∈ N . Mostre que f (N) estácontida numa única variedade integral maximal de ∆.

6. Se M e N são duas variedades e f : M → N , mostre que f é difer-enciável se, e só se, o gráfico de f é uma subvariedade de M × Ndifeomorfa a M .

B.6. EXERCÍCIOS 339

7. Seja L uma subvariedade integral maximal de uma distribuição difer-enciável e integrável. Mostre que se L é localmente fechada então elaé fechada. Subvariedade integral que não é fechada não é localmentefechada.

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Índice

açãoà direita, 37à esquerda, 36contínua, 40diferenciável, 257efetiva, 38fiel, 38infinitesimal, 258livre, 38projetiva, 51transitiva, 38

Álgebra associativa, 89álgebra de isotropia, 258álgebra de Lie

semi-simples, 239simples, 149, 239

álgebra de Lie, 12, 91compacta, 237, 245de um grupo de Lie, 96nilpotente, 228solúvel, 223

álgebra de Lie derivada, 214, 223aplicação

de recobrimento, 156equivariante, 39exponencial, 100holomorfa, 298

aplicação de recobrimento, 171automorfismo

álgebra de Lie, 201

infinitesimal, 208, 220interno, 131de álgebra de Lie, 202de grupo de Lie, 207

serie desérie de, 188

basede espaço homogêneo, 39de Weyl, 247

bolas siameses, 24

Campbell-Hausdorfffórmula de, 13

campo característico, 324campo de vetores, 307

completo, 307campo invariante

à direita, 92à esquerda, 92

campos de vetoresφ-relacionados, 105, 308

cartaadaptada, 333

Cartansubálgebra de, 246

centralizador, 111centro

de álgebra de Lie, 112de grupo de Lie, 112

colchete de Lie, 308

347

348 ÍNDICE

componente conexada identidade, 35

cone de Lie, 150conjugação, 22constantes de estrutura, 116

decomposiçãode Jordan-Hölder, 224em espaços de raízes, 246

derivação, 109, 117, 201interna, 109, 202

distribuiçãocaracterística, 324diferenciável, 323integrável, 323invariante, 324involutiva, 326não singular, 323regular, 323singular, 323

elemento de Lie, 190elemento regular

de álgebra de Lie, 247, 250equação diferencial

de Ricatti, 263espaço homogêneo, 39estabilizador, 37estrutura quociente, 143

unicidade, 150exponencial, 100

fibra tipo, 274fibrado

associado, 274das bases, 268dos referenciais, 268principal, 267trivial, 268

vetorial, 276fluxo, 307forma

de Cartan-Killing, 118de Maurer-Cartan, 91

forma realcompacta, 247

fórmulade Campbell-Hausdorff, 13do produto de Lie, 134

fórmulas de comutação, 185função de transição, 273função equivariante

de seção de fibrado, 279função modular, 292

em grupos de Lie, 116em grupos localmente compactos,

76

gerador infinitesimal, 308grupo

a 1-parâmetro, 13afim à direita, 209afim à esquerda, 209de automorfismos, 201infinitesimal, 12linear, 11, 93nilpotente, 228semi-topológico, 22solúvel, 223topológico, 21unimodular, 59, 292

grupo afim, 117, 173grupo de automorfismos, 140grupo de Lie, 86

discreto, 88grupo derivado, 214, 223grupo estrutural, 267

ÍNDICE 349

grupo quociente, 147grupo topológico

localmente compacto, 54grupo unimodular, 76

Haarmedida de, 57, 115, 290

Hilbertquinto problema de, 86

homomorfismode grupos de Lie, 104infinitesimal, 106local, 160

idealde álgebra de Lie, 132

idealà esquerda, 179à direita, 179bilateral, 179

imersão, 319regular, 319

isomorfismolocal, 160, 166

isotropia, 37

lema de Schur, 302localmente fechado, 139

medidade Borel, 294, 303, 314de forma-volume, 305e forma-volume, 296, 315

medida de Haar, 57, 115, 290mergulho, 319morfismos

de fibrados principais, 271

Nijenhuis

tensor de, 298normalizador, 132

órbita, 37origem

de espaço homogêneo, 39

paralelizável, 91posto

de álgebra de Lie, 247principio da monodromia, 161produto

semi-direto, 211produto interno

invariante, 80, 237pseudo-complexa, estrutura, 298

quase-complexa, estrutura, 298quatérnion, 89, 169quatérnions, 94, 97

recobrimentoaplicação, 156

redução de fibrado principal, 271representação

fiel, 163representação, 106

adjuntaálgebra de Lie, 108grupo de Lie, 108

dimensão de, 106espaço de, 106infinitesimal, 107isotrópica, 287

representação co-adjunta, 112representação dual, 107

seção de fibrado, 278seção local, 272

350 ÍNDICE

semigrupo, 150série central descendente, 217, 227série de Baker-Campbell-Hausdorff, 188série derivada, 216, 223sistema de coordenadas

primeira espécie, 103segunda espécie, 104

sistemas de vizinhançasda identidade, 27fundamental, 28

Sorgenfreytopologia, 24

subálgebra de Lie, 92subfibrado principal, 271subgrupo

aberto, 34central, 162de isotropia, 37de Lie, 122discreto, 53, 156, 162discreto de Rn, 167fechado, 33, 138topológico, 331-parâmetro, 100

subvariedadeimersa, 319mergulhada, 319regular, 319

subvariedadequase-mergulhada, 122, 320quase-regular, 122, 320

teoremade Ado, 131, 163de decomposição de Levi, 213de Engel, 229de Frobenius, 126, 326de isomorfismo

para grupos de Lie, 154de Lieterceiro, 163

terceiro, 131de Newlander-Nirenberg, 298de Poincaré-Birkhoff-Witt, 182de Weylgrupo fundamental finito, 245

do subgrupo fechado, 136terceiro teorema de Lie, 163terceiro teorema de Lie, 131topologia

de Hausdorff, 29de Sorgenfrey, 24intrínseca, 319quociente, 41

transformação afimà direita, 209à esquerda, 208

translaçãoà direita, 22, 86à esquerda, 22, 86

variedade complexa, 297variedade de Stiefel, 270variedade integral, 323

maximal, 330vizinhança

simétrica, 26tubular, 334

Weylbase de, 247construção de, 246, 247teorema degrupo fundamental finito, 245

ÍNDICE 351

Comentários acumulados:

1. No começo de tudo:

– Grupos semi-simples e decomposições de Cartan e Iwasawa.– var-iedades flag; grupos de Weyl como normalizadores. Métrica de Borel ecampos gradientes. Decomposição de Jordan de g ∈ G.

– introdução aos grupos algébricos– representações (já aparece um começo no cap. homomorfismos); rep-

resentações de grupos compactos.– semigrupos– espaços simétricos (compactos, não-compactos...)– pontos fixos de automorfismos (grupos de Vinberg).– Linearização local de ações (grupos compactos (Cartan) e grupos semi-

simples).– flags.– métricas invariantes e bi-invariantes, suas conexões e geodésicas.– teorema de Palais, representação infinitesimal e global (local).– existem apenas três grupos de Lie (dim <∞) (ou melhor álgebras de

Lie de campos de vetores) agindo em dim = 1 (R).

1. Nilpotentes e solúveis:

– bases de Malcev.– Campbell-Hausdorff não converge em geral para solúveis???– exemplo solúvel exp não é sobrejetora, injetora.

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