Grupos de Lie - Instituto de Matemática, Estatística e...

Grupos de Lie

Luiz A. B. San Martin

21 de Abril de 2014

Conteúdo

1 Introdução 31.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I Grupos topológicos 13

2 Grupos topológicos 172.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Vizinhanças do elemento neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Grupos Metrizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Ações de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.1 Descrição algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.2 Ações contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7 Espaços quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7.1 Grupos quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7.2 Grupos compactos e conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8 Homeomorfismo G/Gx → G · x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.9 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Medida de Haar 473.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Construção da medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Representações de grupos compactos 674.1 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Relações de ortogonalidade de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Representações regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4 Teorema de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4

4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

II Grupos e álgebras de Lie 87

5 Grupos de Lie e suas álgebras de Lie 915.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Álgebra de Lie de um grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.1 Campos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3 Aplicação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.1 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.4.2 Representações adjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.5 Equações diferenciais ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.6 Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6 Subgrupos de Lie 1216.1 Definição e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2 Subálgebras e subgrupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.3 Ideais e subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.4 Limites de produtos de exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.5 Subgrupos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.6 Subgrupos conexos por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.7 Estrutura de variedade em G/H, H fechado . . . . . . . . . . . . . . . 1396.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7 Homomorfismos e recobrimentos 1477.1 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.1.1 Imersões e submersões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.1.2 Gráficos e diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.2 Extensões de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.3 Recobrimento universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.4 Apêndice: espaços de recobrimento (resumo) . . . . . . . . . . . . . . . 1607.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8 Expansões em séries 1658.1 Diferencial da aplicação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.2 Série de Baker-Campbell-Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.3 Estrutura diferenciável analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5

III Tipos de álgebras de Lie e seus grupos simplesmenteconexos 179

9 Grupo afim e produto semi-direto 1839.1 Automorfismos de grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.2 Grupo Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.3 Produto semi-direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.4 Grupos derivados e série central descendente . . . . . . . . . . . . . . . 1939.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10 Grupos solúveis e nilpotentes 20110.1 Grupos solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20110.2 Grupos nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20410.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

11 Grupos compactos 21111.1 Álgebras de Lie compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21111.2 Grupo fundamental finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

11.2.1 Teorema de extensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21811.3 Álgebras de Lie compactas e complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

11.3.1 Truque unitário de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22011.3.2 Diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22311.3.3 Subálgebras de Cartan e elementos regulares . . . . . . . . . . . 225

11.4 Toros maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23011.5 Centro e raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23511.6 Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24211.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

12 Grupos semi simples não compactos 24512.1 Decomposições de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

12.1.1 Decomposições das álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 24512.1.2 Decomposições globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

12.2 Decomposições de Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25212.2.1 Decomposições das álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 25312.2.2 Decomposições globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

12.3 Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25812.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

IV Grupos de Transformações 261

13 Ações de grupos de Lie 26513.1 Ações de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

13.1.1 Órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26913.2 Teorema de Lie-Palais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

13.3 Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27713.3.1 Fibrados principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27713.3.2 Fibrados associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

13.4 Espaços homogêneos e fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28813.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

14 Geometria invariante 29314.1 Variedades complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

14.1.1 Grupos de Lie complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29714.2 Formas diferenciais e cohomologia de De Rham . . . . . . . . . . . . . 29914.3 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31014.4 Variedades simpléticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

14.4.1 Representação coadjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31514.4.2 Aplicação momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

14.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

V Apêndices 329

A Campos de vetores e colchetes de Lie 331A.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

B Integrabilidade de distribuições 339B.1 Imersões e subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339B.2 Distribuições características e teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . 342B.3 Unicidade e variedades integrais maximais . . . . . . . . . . . . . . . . 347B.4 Cartas adaptadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350B.5 Variedades integrais são quase-regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352B.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

Índice 359

Para

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Prefácio

O objetivo deste livro é oferecer um texto introdutório aos grupos de Lie, apresentandoa teoria a partir de seus princípios fundamentais.O conceito de grupo se tornou um dos conceitos básicos da matemática contem-

porânea e de suas aplicações. Isso se deve tanto à sua simplicidade como estruturaalgébrica quanto ao fato de que a ideia de simetria, num sentido amplo, é formalizadavia invariantes por grupos de transformações.Os grupos de Lie formam uma classe especial de grupos, que são estudados via

os métodos do cálculo diferencial e integral. Como estrutura matemática um grupode Lie é a combinação da estrutura algébrica de grupo com a estrutura de variedadediferenciável. Os grupos de Lie começaram a ser estudados por volta de 1870 comogrupos de simetrias de equações diferenciais e das diversas geometrias que haviamsurgido até então. Desde essa época a teoria dos grupos de Lie, ou o que se chama maisgeralmente de teoria de Lie, teve um grande desenvolvimento e estabeleceu ramificaçõesnas mais diversas áreas da matemática e de suas aplicações.Os métodos para estudar os grupos de Lie estão baseados na construção de suas

álgebras de Lie, o que foi feito inicialmente por Sophus Lie na década de 1870. (Aliás,a teoria leva o seu nome em virtude dessa construção.) Uma vez tendo a álgebra de Liede um grupo de Lie a ideia toda consiste em transferir propriedades da álgebra de Liea propriedades do grupo de Lie. Esse processo de transferência é muito bem sucedido,o que permite descrever os grupos de Lie, que são objetos tipicamente não lineares,através da álgebra linear embutida nas álgebras de Lie.Neste livro são desenvolvidos os resultados que estabelecem a relação entre os grupos

e álgebras de Lie. Ele foi dividido em quatro partes, mais uma quinta parte comapêndices.O corpo principal da teoria dos grupos de Lie e sua classificação a partir das álgebras

de Lie é desenvolvido nas partes 2 e 3. A parte 2 contém 4 capítulos aonde se definea álgebra de Lie de um grupo de Lie e são demonstradas as fórmulas que relacionam,através da aplicação exponencial, o produto no grupo e o colchete de Lie na álgebra.São considerados aí também os subgrupos de Lie de um grupo de Lie e suas relaçõescom as subálgebras de Lie assim como outros conceitos usuais da teoria de gruposcomo homomorfismos, subgrupos normais e os espaços quocientes. Os resultados daparte 2 desembocam num teorema de existência e unicidade de grupo de Lie com umaálgebra de Lie dada. Sendo que a unicidade vale para um grupo de Lie que satisfaça apropriedade topológica global de ser conexo e simplesmente conexo.

1

2

O pré-requisito necessário para a leitura da parte 2 é o cálculo diferencial em va-riedades diferenciáveis, incluindo aí a teoria de existência e unicidade para equaçõesdiferenciais ordinárias (campos de vetores). Pode-se interpretar como parte da teoriade existência e unicidade o conceito de colchete de Lie de campos de vetores, que sãodiscutidos no primeiro dos apêndices ao final do livro, devido à sua relevância paratodo o texto.A parte 2 não exige um conhecimento de álgebras de Lie. Os poucos conceitos

usados são definidos quando necessários. Ao contrário da parte 3 cujo objetivo é obtertodos grupos de Lie a partir das álgebras de Lie. Nesse ponto os resultados maisprofundos de classificação das álgebras de Lie semi simples entram de forma decisiva.Quanto às outras partes do livro, a parte 1 considera grupos topológicos. O único

capítulo dessa parte que é necessário para a leitura do resto do livro é primeiro quetrata de propriedades topológicas de grupos. Essas propriedades são satisfeitas pelosgrupos de Lie e são amplamente utilizadas. Os outros dois capítulos sobre grupostopológicos (medidas de Haar e representações de grupos compactos) fazem uso depré-requisitos distintos do resto do livro (teoria da medida e um pouco de análisefuncional) e aparecem apenas de forma marginal nos desenvolvimentos subsequentes.Já a parte 4 trata de ações de grupos de Lie. São estudadas as órbitas de uma ação

demonstrando que elas são subvariedades diferenciáveis. Ainda nesse capítulo são in-troduzidos os conceitos de fibrado principal e fibrado associado, cujas fibras são gruposde Lie ou espaços onde agem grupos de Lie. Além do mais, se faz uma introdução àuma vasta área da geometria diferencial, que estuda estruturas geométricas invariantesem espaços homogêneos.No inicio de cada parte se encontra um resumo mais detalhado de cada uma delas.

Esses resumos dão indicação de quais os resultados principais dos diferentes capítulose como eles se interconectam.Foi incluído também um capítulo introdutório que tem o objetivo de apresentar um

panorama informal das relações entre os grupos de Lie e as álgebras de Lie, incluindouma discussão sobre a classificação dos grupos de Lie.Como sugestão para uma primeira leitura fica seguinte sequência de capítulos, que

apresenta os fundamentos da teoria de grupos de Lie: capítulos 2, 5, 6, 7, 8 (até a seção8.1), 9, 10, 11 (até a seção 11.2) e 13.

Guará —Barão Geraldo, abril de 2014.

Capítulo 1

Introdução

Este capítulo introdutório tem um carácter informal. Seu objetivo é propiciar ao leitoruma visão panorâmica da teoria desenvolvida neste livro, discutindo alguns dos resul-tados principais através de exemplos. Os exemplos apresentados são ao mesmo tempoconcretos e ilustrativos e por isso centrais dentro da teoria.A definição formal de um grupo de Lie será feita adiante no capítulo 5. Para todos

efeitos, um grupo de Lie consiste num grupo G cujo produto

(g, h) ∈ G×G 7−→ gh ∈ G

é uma aplicação diferenciável. Um exemplo rico o bastante para cobrir boa parte dateoria e ao qual deve-se recorrer sempre como guia, é o grupo linear geral Gl (n,R). Oselementos deste grupo são as matrizes n× n inversíveis com entradas reais, ou, o queé essencialmente a mesma coisa, as transformações lineares inversíveis de um espaçovetorial real de dimensão finita.A seguir serão discutidos alguns aspectos do grupo Gl (n,R). A primeira observação

é que este conjunto é um aberto do espaço vetorial das matrizes n×n, isto é, de Rn2 . Eleé formado por duas componentes conexas, determinadas pelo sinal do determinante.Uma delas é

Gl+ (n,R) = g ∈ Gl (n,R) : det g > 0,que é um subgrupo de Gl (n,R). A outra componente conexa é formada pelas matrizescom determinante < 0 e não é um subgrupo.A estrutura de grupo em Gl (n,R) é dada pelo produto usual de matrizes. Se

X = (xij) e Y ∈ (yij) são matrizes n× n, então Z = XY = (zij) é dado por

zij =

n∑k=1

xikykj,

que é uma aplicação polinômial de grau dois nas variáveis xij, yij. Portanto, o produtoé uma aplicação diferenciável. Por esta razão Gl (n,R) é um grupo de Lie.A grande força da teoria dos grupos de Lie está baseada na existência das álgebras

de Lie associadas aos grupos. As álgebras de Lie possibilitam transferir métodos daálgebra linear ao estudo de objetos não lineares, como são os grupos de Lie. Uma

3

4 Capítulo 1. Introdução

álgebra de Lie é uma estrutura algébrica por excelência. Ela é definida como sendoum espaço vetorial g munido de um produto (colchete) [·, ·] : g× g→ g que satisfaz asseguintes propriedades.

1. Bilinearidade, isto é, [·, ·] é linear em cada uma das variáveis ou ainda o colcheteé distributivo em relação às operações de espaço vetorial.

2. Anti-simetria, isto é, [X, Y ] = −[Y,X], para X, Y ∈ g.

3. Identidade de Jacobi: para X, Y, Z ∈ g,

[X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]].

Os elementos da álgebra de Lie de um grupo de Lie são equações diferenciais or-dinárias (campos de vetores) no grupo, que satisfazem uma propriedade de simetriaproveniente da estrutura multiplicativa do grupo (campos de vetores invariantes portranslações, veja o capítulo 5). Enquanto que os elementos do grupo são obtidos atravésdas soluções dessas equações dadas pelos seus fluxos. Normalmente o espaço vetorialsubjacente à álgebra de Lie de um grupo de Lie é identificado com o espaço T1G dosvetores tangentes ao elemento neutro 1 ∈ G.Em outras palavras, a álgebra de Lie é um objeto linear que aproxima o grupo:

para se obter os elementos da álgebra de Lie deve-se derivar curvas no grupo. O pro-cedimento contrário consiste em resolver equações diferenciais. Por isso, nos primeirosdecenios do desenvolvimento da teoria era empregado o termo grupo infinitesimal,ao invés de álgebra de Lie.No caso de Gl (n,R), sua álgebra de Lie é o espaço vetorial das matrizes n × n,

munido do colchete dado pelo comutador de matrizes1

[A,B] = BA− AB.

Essa álgebra de Lie será denotada por gl (n,R). Para estabelecer a relação entre aálgebra e o grupo, considere, para cada matriz A ∈ gl (n,R), o campo de vetores

g 7→ Ag

no espaço da matrizes. Este campo induz a equação diferencial linear

dg

dt= Ag. (1.1)

Esta equação é nada mais nada menos que o sistema lineardx

dt= Ax, x ∈ Rn, repetido

n vezes, uma vez para cada coluna da matriz g. A solução fundamental do sistemalinear em Rn é dada por

etA =∑n≥0

1

n!(tA)n ,

1A ordem inversa que aparece neste comutador deve-se à escolha dos campos invariantes à direitaa ser feita logo mais.

5

o que garante que a solução da equação (1.1) com condição inicial g (0) = 1 (onde 1denota a matriz identidade n×n) é g (t) = etA. Esta solução está inteiramente contidaem Gl (n,R), pois as exponenciais são matrizes inversíveis. Além do mais, a curva

g : R→ Gl (n,R) g (t) = etA

é um homomorfismo quando se considera a estrutura aditiva de grupo em R, já quevale a fórmula e(t+s)A = etAesA. A imagem desse homomorfismo é o que se denominade subgrupo a 1-parâmetro do grupo de Lie.Em suma, existe uma construção natural que associa a cada elemento da álgebra de

Lie um subgrupo do grupo de Lie. Essa construção define a aplicação exponencialdo grupo de Lie. Ela é básica para o desenvolvimento da teoria, pois é a aplicaçãoexponencial que estabelece o vínculo entre o colchete na álgebra de Lie e o produto nogrupo, determinando (quase que) completamente a estrutura do grupo de Lie a partirda álgebra de Lie. Esse vinculo é realizado através fórmulas que envolvem [·, ·], exp eo produto no grupo.Um exemplo é a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff (veja o capítulo 8).

Essa fórmula se escreve, para X e Y na álgebra de Lie, como

eXeY = ec(X,Y )

onde c (X, Y ) é uma série (similar a uma série de Taylor), que envolve apenas X e Ye seus colchetes sucessivos. Os primeiros termos dessa série são

c (X, Y ) = X + Y +1

2[X, Y ] +

1

12[[X, Y ], Y ]− 1

12[[X, Y ], X] + · · · (1.2)

e os demais termos envolvem colchetes com quatro ou mais elementos. A série c (X, Y )converge se X e Y são suficientemente pequenos, mostrando que para esses valores deX e Y , o produto eXeY é completamente determinado pela álgebra de Lie, isto é, peloscolchetes entre seus elementos. Isso acarreta que o produto no grupo é completamentedeterminado localmente, ao redor do elemento neutro, pelo colchete na álgebra de Lie.Esse tipo de relação entre o colchete e o produto, pode ser propagado a todo grupo

permitindo mostrar que, a menos de propriedades topológicas globais (como o gruposer conexo e simplesmente conexo), existe um único grupo de Lie associado a umaálgebra de Lie dada.Outra fórmula é a expansão de Taylor do comutador de exponenciais dado pela

curvaα (t) = etBetAe−tBe−tA (1.3)

no grupo linear Gl (n,R). Usando reiteradamente a derivada

d

dtetA = AetA = etAA,

verifica-se que α′ (0) = 0 eα′′ (0) = 2[A,B].


Como α (0) = 1 isso significa que

α (t) = 1 + t2[A,B] + · · ·

cujo termo relevante é [A,B]. Isso apresenta o colchete como o objeto infinitesimalassociado ao comutador no grupo. Derivadas deste tipo se estendem a campos devetores em geral. Foi essa expansão de Taylor que levou ao conceito de colchete de Liede campos de vetores, como é denominado hoje em dia. Esse conceito foi introduzidopor Sophus Lie, o que fez com que toda teoria levasse o seu nome.Essas fórmulas, apesar de ilustrativas da relação entre os grupos e as álgebras de

Lie, não são as mais utilizadas como subsidio técnico da teoria. A passagem dos gruposde Lie às álgebras de Lie e vice-versa em geral se dá através das representações adjuntasdefinidas no capítulo 5. Essas representações fornecem fórmulas que relacionam con-jugações Cg (x) = gxg−1 no grupo, suas diferenciais Ad (g), que são aplicações linearesda álgebra de Lie e as diferenciais de Ad (g) que são dadas unicamente pelo colchetena álgebra de Lie. Ao aplicar essas fórmulas para passar dos grupos às álgebras deLie deve-se derivar duas vezes (eventualmente funções diferentes). O processo inverso,da álgebra ao grupo de Lie, envolve duas integrais, que geralmente são obtidas pelosteoremas de existência e unicidade de equações diferenciais ordinárias. A derivada se-gunda na expansão de Taylor da conjugação em (1.3) dá uma idéia heurística de que apassagem do grupo para a álgebra de Lie se dá por intermédio de duas derivadas.Outros exemplos de grupos de Lie com suas respectivas álgebras de Lie são os

seguintes:

1. Se G é um grupo de Lie abeliano então sua álgebra de Lie é abeliana, isto é,o colchete [·, ·] é identicamente nulo (e vice-versa no caso de grupos conexos,pela fórmula de Campbell-Hausdorff). Os grupos de Lie abelianos conexos serãodescritos no capítulo 7, seção 7.3.

2. SejaG = O (n) = g ∈ Gl (n,R) : ggT = gTg = 1

o grupo das matrizes ortogonais. Sua álgebra de Lie é a subálgebra de matrizesanti-simétricas:

so (n) = A ∈ gl (n,R) : A+ AT = 0.

O colchete em so (n) é o comutador de matrizes. A razão para isso é que Aé uma matriz anti-simétrica se, e só se, etA é uma matriz ortogonal para todot ∈ R. De forma alternativa, O (n) é uma subvariedade do espaço das matrizescujo espaço tangente no elemento neutro 1 se identifica ao subespaço das matrizesanti-simétricas.

3. O grupo Gl (n,C) das matrizes complexas n × n inversíveis é um grupo de Liepela mesma razão que Gl (n,R) o é. A álgebra de Lie Gl (n,C) é a álgebra de Liegl (n,C) das matrizes complexas n× n.

7

O programa da teoria de Lie consiste em estudar os grupos de Lie através de suasálgebras de Lie. Isso significa que a ideia é descrever as propriedades dos grupos de Liereduzindo-os a propriedades correspondentes das álgebras de Lie. Essa descrição deve,em última instância, abordar propriedades estruturais que permitam a classificação dosgrupos de Lie em termos das álgebras de Lie. Dentro desse programa dois conceitos dateoria de grupos abstratos desempenham um papel central. São eles os subgrupos e oshomomorfimos entre grupos. Esses conceitos são devidamente tratados via álgebras deLie e os resultados são os melhores possíveis:

1. Subgrupos: Se G é um grupo de Lie com álgebra de Lie g então os subgru-pos de G estão em bijeção com as subálgebras de Lie de g, com duas ressalvasfortes sobre os subgrupos que entram nessa bijeção. A primeira é que deve-seconsiderar apenas os subgrupos de Lie, que são subgrupos e ao mesmo temposubvariedades diferenciáveis, tais que as subestruturas os tornam grupos de Lie.A segunda ressalva é que a bijeção só inclui os grupos de Lie conexos. Isso porquea aplicação exponencial só vê a componente conexa do grupo de Lie que contémo elemento neutro.

Nessa bijeção se associa a um subgrupo de Lie uma subálgebra de Lie tomandoderivadas (duas vezes, como mencionado acima). Já no processo inverso umsubgrupo de Lie é obtido de uma subálgebra de Lie como variedade integral deuma distribuição. (Para a bijeção veja o capítulo 6. A teoria de distribuições éapresentada no apêndice B.)

Em relação aos sugrupos de Lie não é possível deixar de mencionar o célebreteorema de Cartan do subgrupo fechado, que afirma que se um subgrupo de G éum conjunto fechado então ele é automaticamente um subgrupo de Lie.

2. Homomorfismos: Se φ : G→ H é um homomorfismo diferenciável entre gruposde Lie então sua diferencial dφ1 : T1G → T1H é uma aplicação linear entre osespaços tangentes nos elementos neutros que são os espaços vetoriais subjacentesàs álgebras de Lie g e h de G e H, respectivamente. Essa aplicação linear acabasendo um homomorfismo entre as álgebras de Lie g e h. A construção recíprocanão funciona com toda a generalidade devido a restrições topológicas globais dodomínio G. O que acontece é que um homomorfismo θ : g → h dá origem a umhomomorfismo local entre os grupos G e H, definido ao redor do elemento neutrode G e a valores numa vizinhança do elemento neutro de H. A única obstruçãopara que esse homomorfismo se estenda a todo G é o seu grupo fundamental, detal forma que se G é conexo e simplesmente conexo então θ : g→ h é a diferencialde um homomorfismo φ : G→ H (veja o capítulo 7).

Um bom exemplo desse fenomeno é dado pelos grupos (R,+) e S1 = z ∈ C :|z| = 1. Suas álgebras de Lie são isomorfas (ambas tem dimensão 1), existemhomomorfismos R → S1 (t 7→ eait), mas não existem homomorfismos S1 → R.Ao redor dos elementos neutros esses grupos são isomorfos.


Esses comentários sobre homomorfismos estão em conformidade com o que foimencionado acima que fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff determina local-mente o produto no grupo de Lie a partir do colchete na álgebra de Lie.

Essa análise dos homomorfismos, principalmente o teorema de extensão aos grupossimplesmente conexos, dá origem à descrição de todos os grupos de Lie conexos, apartir de uma eventual classificação das álgebras de Lie. Essa descrição se resume emdois itens (veja o capítulo 7).

1. Dada uma álgebra de Lie g (real de dimensão finita) existe um único grupo deLie G conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. A unicidade vem doteorema de extensão mensionado acima: um isomorfismo entre as álgebras de Liedefine um isomorfismo entre os grupos de Lie conexos e simplesmente conexos. Aexistência é provada em dois passos: i) a construção de algum grupo de Lie G comálgebra de Lie isomorfa a g (no capítulo 7 isso é feito com o auxílio do teoremade Ado, que garante que toda álgebra de Lie é isomorfa a uma subálgebra Lie dematrizes). ii) A construção formal de uma estrutura de grupos de Lie no espaçorecobrimento universal G de um grupo de Lie G.

2. Um grupo de Lie conexo qualquer é o quociente de um grupo de Lie simplesmenteconexo G por um subgrupo discreto Γ ⊂ G contido no centro de G.

Essa descrição funciona bem para grupos conexos, uma vez que são esses os gru-pos que podem ser acessados pelas álgebras de Lie, através de soluções de equaçõesdiferenciais.Um exemplo é dado pelos grupos de dimensão 1. O grupo aditivo (R,+) é sim-

plesmente conexo e sua álgebra de Lie é a única (a menos de isomorfismo) álgebra deLie de dimensão 1. Portanto, qualquer grupo de Lie conexo e simplesmente conexo dedimensão 1 é isomorfo a (R,+). Um subgrupo discreto de R é da forma ωZ com ω > 0.Daí que qualquer grupo de dimensão 1 é isomorfo a R ou a R/ωZ ≈ S1.Em geral a classificação dos grupos de Lie conexos consta de três passos: 1) a

classificação das álgebras de Lie reais; 2) determinar, para cada álgebra de Lie realg (ou melhor, para sua classe de isomorfismo de álgebras de Lie), um grupo de Lie

simplesmente conexo G cuja álgebra de Lie seja g; 3) encontrar o centro Z(G)de G

e os subgrupos discretos Γ ⊂ Z(G).

A partir desse ponto surge a necessidade de um desenvolvimento mais aprofundadoda teoria de álgebras de Lie. Elas são divididas em duas grandes classes, as álgebras deLie solúveis e as semi simples. O teorema de decomposição de Levi combina esses doistipos de álgebras de Lie, através da construção do produto semi-direto, para fornecertodas as álgebras de Lie de dimensão finita (veja o capítulo 9). Essa decomposiçãodas álgebras de Lie se estende ao grupos de Lie simplesmente conexos, de tal formaque tudo se reduz a determinar separadamente os grupos simplesmente conexos paraas álgebras de Lie solúveis e para as semi simples.

9

No caso solúvel prova-se que as variedades subjacentes dos grupos conexos e sim-plesmente conexos são difeomorfos a espaços Euclidianos Rn. Como é comum quandose trata de álgebras solúveis a demonstração desse fato é feita por indução, partindo dogrupo (R,+) de dimensão 1 (veja o capítulo 10). Um exemplo típico de grupo solúvelé o grupo das matrizes triangulares superiores a1 · · · ∗

.... . .

...0 · · · an

a1, . . . , an > 0,

cuja variedade é difeomorfa a (R+)n × Rn(n−1)/2.O caso semi simples apresenta uma riqueza maior de detalhes e uma geometria

mais envolvente. Ao contrário das álgebras solúveis, as álgebras de Lie semi simplesreais são classificadas ao ponto de ser possível distingui-las uma a uma. Um dosprimeiros grandes resultados da teoria de Lie, ainda dos finais do século XIX, é aclassificação por W. Killing e E. Cartan das álgebras de Lie simples complexas (e,portanto, das semi simples que são somas diretas de simples). Essa classificação édescrita pelos diagramas de Dynkin que estão reproduzidos no capítulo 11 (na seção11.3.2). A classificação fornece quatro séries de álgebras de matrizes (denominadasde álgebras clássicas), que são sl (n,C) (matrizes complexas de traço zero), so (n,C)(matrizes complexas anti-simétricas (separadas em dimensão par e ímpar) e sp (n,C)(matrizes simpléticas complexas). Além das séries existem 5 álgebras de Lie específicas(chamadas de excepcionais), que atendem pelos seus nomes de protótipo E6, E7, E8,F4 e G2.A classificação das álgebras simples reais é obtida das álgebras complexas pelo

processo de complexificação. As álgebras reais se dividem em dois tipos, as compactase as não compactas.Como indica o nome, as álgebras de Lie compactas estão ligadas aos grupos com-

pactos (apesar de sua definição ser puramente algébrica). As álgebras reais simples es-tão em bijeção com as álgebras complexas simples através do chamado truque unitáriode Weyl, que diz que uma álgebra simples complexa é a complexificada de uma única(a menos de isomorfismo) álgebra real compacta (veja o capítulo 11). As álgebras com-pactas clássicas são su (n) (matrizes anti-hermitianas de traço zero que complexifica asl (n,C)), so (n) (matrizes anti-simétricas, que complexifica a sl (n,C) e sp (n,C) (ma-trizes quaternionicas anti-hermitianas, que se complexifica a sp (n,C)). Um resultadocentral sobre essas álgebras é o teorema de Weyl do grupo fundamental finito, queafirma que um grupo de Lie é compacto se sua álgebra de Lie é semi simples com-pacta. Esse teorema permite classificar os grupos de Lie compactos, acrescentandoaos semi simples produtos Cartesianos por toros (veja o capítulo 11). Além do grupoO (n), mencionado acima (que não é conexo), outros exemplos de grupos compactos dematrizes são:

1. SO (n) = g ∈ O (n) : det g = 1, com álgebra de Lie so (n). Essas álgebras deLie são simples se n 6= 2 e n 6= 4. A álgebra so (2) é abeliana enquanto que so (4)


é semi simples e se decompõe em duas componentes simples isomorfas a so (3).Os grupos SO (n) não são simplesmente conexos.

2. SU (n) = g ∈ Gl (n,C) : ggT = gTg = 1, det g = 1, com álgebra de Lie su (n),que é simples para n ≥ 2. Os grupos SU (n), n ≥ 2, são simplesmente conexos.

3. U (n) o mesmo que SU (n) sem a restrição do determinante, com álgebra de Lieu (n) (que é definida como su (n), sem a restrição do traço. Essas álgebras de Lienão são semi simples.

4. Sp (n), com álgebra de Lie sp (n). Esses grupos são simplesmente conexos. Seuselementos são dados por matrizes quaternionicas unitárias, isto é, matrizes comentradas em H que satisfazem ggT = id.

As álgebras simples não compactas também são classificadas (confira as tabelasno capítulo 12). Os grupos de Lie correspondentes tem a propriedade de que suasvariedades subjacentes são difeomorfas ao produto Cartesiano de um grupo compactopor um espaço Euclidiano RN . Um produto desses é dado ou por uma decomposiçãode Cartan ou por uma decomposição de Iwasawa (veja capítulo 12). Juntando essefato com o teorema de decomposição de Levi e a informação sobre os grupos solúveissimplesmente conexos chega-se à conclusão que todo grupo de Lie conexo e simples-mente conexo é difeomorfo ao produto Cartesiano de um grupo de Lie compacto porum espaço Euclidiano.Alguns exemplos de grupos semi simples não compactos são listados a seguir:

1. Sl (n,R) = g ∈ Gl (n,R) : det g = 1.

2. Sl (n,C) = g ∈ Gl (n,C) : det g = 1.

3. Sp (n,R) = g ∈ Gl (2n,R) : gJgT = 1, det g = 1 onde

J =

(0 −1n×n

1n×n 0

).

4. SO (p, q) = g ∈ Gl (p+ q,R) : gIp,qgT = 1, det g = 1 onde

Ip,q =

(1p×p 0

0 −1q×q

).

5. SU (p, q) = g ∈ Gl (p+ q,C) : gIp,qgT = 1, det g = 1.

1.1 Exercícios

1. Encontre os três primeiros termos da fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff(1.2) para o grupo linear Gl (n,R), espandindo o produto etAetB e colocando emevidência os termos tk, k = 0, 1, 2, 3.

1.1. Exercícios 11

2. Seja g uma álgebra de Lie que satisfaz [X, [Y, Z]] = 0 para todo X, Y, , Z ∈ g, detal forma que a série de Baker-Campbell-Hausdorff se reduz a

c (X, Y ) = X + Y +1

2[X, Y ].

Mostre que o produto X ∗ Y = c (X, Y ) define uma estrutura de grupo em g.

3. Seja A uma matriz n× n. Se expA =∑

k≥01k!Ak mostre que A é anti-simétrica

(A + AT = 0) se, e só se, exp tA é uma matriz ortogonal para todo t ∈ R.(Sugestão: considere a curva α (t) = exp tA (exp tA)T .)

4. Seja Sl (n,R) = g ∈ Gl (n,R) : det g = 1 o grupo das matrizes unimodulares.Assuma que Sl (n,R) é um subgrupo de Lie e verifique, usando exponenciais, quesua álgebra de Lie é

sl (n,R) = A ∈Mn×n (R) : trA = 0.

5. Seja SU (2) o grupo das matrizes unitárias 2× 2, isto é,

SU (2) = g ∈M2×2 (C) : gTg = ggT = id, det g = 1.

Assuma que SU (2) é um subgrupo de Lie de matrizes inversíveis e verifique, us-ando exponenciais, que sua álgebra de Lie é o espaço das matrizes anti-hermitianas

su (2) = A ∈M2×2 (C) : A+ AT

= 0, trA = 0.

Verifique que su (2) é uma álgebra de Lie real com dim su (2) = 3 (onde o colchetede Lie é dado pelo comutador de matrizes). Verifique também que su (2) é iso-morfa às seguintes álgebras de Lie: 1) so (3) = A ∈ M3×3 (R) : A + AT = 0(com o comutador); 2) R3 munido do produto vetorial ∧.

6. Seja H = a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ R a álgebra do quatérnions. Escrevaξ = a+ib+jc+kd como ξ = (a+ ib)+j (c− id), isto é, ξ = z+jw com z, w ∈ C.A multiplicação à esquerda por ξ pode ser vista como uma aplicação linear deC2. Calcule a matriz dessa aplicação na base 1, j e mostre que a aplicação

φ : a+ bi+ cj + dk = z + jw 7−→(z −ww z

)∈M2×2 (C)

é um homomorfismo injetor. Mostre também que a restrição de φ à esfera ξ ∈ H :|ξ| = 1 é uma bijeção sobre SU (2) e conclua que SU (2) é conexo e simplesmenteconexo. Determine o centro de SU (2) e todos os grupos de Lie conexos comálgebra de Lie su (2) ≈ so (3) ≈ (R3,∧).

7. Encontre os espaços tangentes dos grupos lineares (subgrupos de Gl (n,R)) apre-sentados no texto e verifique que esses espaços tangentes são subálgebras de Liede gl (n,R) (com o colchete dado pelo comutador de matrizes).

Parte I

Grupos topológicos

13

15

Resumo

Essa parte consta de três capítulos sobre grupos topológicos. O único deles cuja leituraé essencial para o resto do livro é o capítulo 2, que dá um tratamento aos conceitosbásicos da teoria de grupos do ponto de vista topológico. A função desse capítulo éestabelecer a linguagem que é usada ao longo de toda a teoria de grupos de Lie. Sãoconsiderados aí os conceitos de subgrupos (abertos, fechados, etc.), as componentesconexas dos grupos topológicos, os espaços quocientes (que herdam naturalmente atopologia quociente) e os grupos topológicos quocientes. Os espaços quocientes, comsuas respectivas topologias, estão intimamente relacionados com as órbitas das açõescontínuas dos grupos topológicos, por isso é feita uma discussão sobre os homeomor-fismos entre as órbitas e os espaços quocientes. Os conceitos topológicos apresentadosnesse capítulo serão posteriormente abordados dentro do universo diferenciável dosgrupos de Lie.O capítulo 3 faz a construção das medidas de Haar em grupos topológicos localmente

compactos de Hausdorff. Sua unicidade, a menos de escala, é demonstrada. A medidade Haar é um objeto central na teoria de grupos topológicos, e em particular de gruposde Lie, pois ela permite o uso de métodos do cálculo integral no estudo desses grupos. Oambiente no qual o capítulo 3 se desenvolve é o da teoria da medida. Ele é independentedo resto do livro, mesmo porque a construção da medida de Haar para grupos de Lie sefaz de uma maneira tecnicamente mais simples através de formas volumes invariantes(como descrito na seção 5.6). A leitura do capítulo 3 pode ser postergada sem nenhumprejuízo, a menos da informação contida no enunciado do teorema 3.1.O capítulo 4 traz uma introdução à bela teoria de representação de grupos com-

pactos, que generaliza a teoria das séries de Fourier para funções periódicas e que foidesenvolvida inicialmente por I. Schur e H. Weyl nos primórdios do século XX. Os resul-tados principais desse capítulo são as relações de ortogonalidade de Schur e o teoremade Peter-Weyl, que dizem de forma clara como é o espaço L2 de um grupo compacto,munido de sua medida de Haar. Nesse capítulo se usam alguns resultados de análisefuncional e como o capítulo sobre medidas de Haar ele não é essencial para o resto dotexto a menos de alguns resultados iniciais sobre decomposições de representações quesó serão aplicados no capítulo 11, sobre grupos de Lie compactos.

Capítulo 2

Grupos topológicos

Diversas propriedades dos grupos de Lie dependem apenas de sua topologia e não daestrutura de variedade diferenciável. Nesse capítulo serão estudadas algumas dessaspropriedades, que valem para grupos topológicos mais gerais. O objetivo aqui nãoé fazer um desenvolvimento exaustivo da teoria dos grupos topológicos, mas apenasestabelecer uma linguagem e demonstrar alguns resultados úteis para os grupos de Lie.O elemento neutro de um grupo G será denotado por 1. Para um subconjunto

A ⊂ X de um espaço topológico se denota por A, A e ∂A o interior, fecho e fronteirade A, respectivamente.

2.1 Introdução

Um grupo topológico é um grupo cujo conjunto subjacente está munido de umatopologia compatível com o produto no grupo, no sentido em que

1. o produto p : G × G → G, p (g, h) = gh, é uma aplicação contínua, quando seconsidera G×G com a topologia produto e

2. a aplicação ι : G→ G, ι (g) = g−1, é contínua (e, portanto, um homeomorfismo,já que ι−1 = ι).

Essas duas propriedades podem ser condensadas tomando a aplicação q : G ×G → G, definida por q (g, h) → gh−1. De fato, q é contínua se p e ι são contínuase, reciprocamente, se q é contínua então g → (1, g) → g−1 é contínua e, portanto,p (g, h) = q (g, h−1) é contínua.Cada elemento g de um grupo G define, naturalmente, as seguintes aplicações:

• translação à esquerda Eg : G→ G, Eg (h) = gh,

• translação à direita Dg : G→ G, Dg (h) = hg e

• conjugação (ou automorfismo interno) Cg : G→ G, Cg (h) = ghg−1.

17

18 Capítulo 2. Grupos topológicos

Segue das definições que Eg Eg−1 = Dg Dg−1 = id. Além do mais, Cg = Eg Dg−1

portanto todas essas aplicações são bijeções de G. No caso de grupos topológicos essasaplicações são contínuas poisEg = psg,1 eDg = psg,2 onde sg,1 (h) = (g, h) e sg,2 (h) =(h, g) são aplicações contínuasG→ G×G. A continuidade das translações e as fórmulas(Eg)

−1 = Eg−1 , (Dg)−1 = Dg−1 e (Cg)

−1 = Cg−1 , mostram que essas aplicações são, naverdade, homeomorfismos de G. As fórmulas a seguir são consequências imediatas dasdefinições.

• Dg Eh = Eh Dg.

• Eg ι = ι Dg−1 .

• Dg ι = ι Eg−1 .

Deve-se observar que a continuidade das translações e das conjugações dependemde uma propriedade mais fraca que a continuidade de p, já que, por exemplo Eg écontínua se, e só se, a “aplicação parcial” h 7→ gh é contínua. Em geral aplicaçõesdefinidas em espaços produtos podem ser contínuas em cada variável sem que sejacontínua. Esse fenômeno leva à definição de grupo semi-topológico, que é um grupoem que o produto é parcialmente contínuo, isto é, todas as translações são contínuas. Aseguir são apresentados diversos exemplos de grupos topológicos. São incluidos tambémalguns exemplos de grupos semi-topológicos e não são topológicos.

Exemplos:

1. Os grupos lineares (subgrupos de Gl (n,R)) mencionados na introdução são gru-pos topológicos com a topologia induzida do espaço das matrizes, dentre elesGl (n,C), O (n) Sl (n,R), Sl (n,C), Gl (n,H).

2. (Rn,+) com a topologia usual, que inclui (R,+). O grupo multiplicativo (R×, ·)também é topologico com a mesma topologia.

3. Mais geralmente, num corpo ordenado (K,+, ·,≤) pode-se definir a topologiada ordem, que é gerada pelos intervalos abertos. Em relação a essa topologia aoperação + define um grupo topológico, enquanto que o produto define um grupotopológico em K× = K \ 0.

4. Qualquer grupo em que o conjunto subjacente é munido da topologia discreta(em que todos os conjuntos são abertos).

5. O círculo S1 tem uma estrutura de grupo natural que é dada pelo produto denúmeros complexos de módulo 1: S1 = z ∈ C : |z| = 1. Com a topologiacanônica S1 é um grupo topológico. De forma alternativa, o produto em S1 édado pelo quociente S1 = R/Z, em que o produto é dado pela soma módulo 1de números reais. (Adiante serão considerados quocientes de grupos topológicos,em geral.)

2.1. Introdução 19

6. Exemplos mais gerais que o anterior são dados pelos cilindros Tk×Rm = Rm+k/Zk =(Rk/Zk

)×Rm, com topologias canônicas. (Veja abaixo produtos e quocientes de

grupos topológicos.)

7. Seja (C \ 0, ·) munido da topologia gerada pela base de abertos, que é formadapelos intervalos abertos das retas verticais ra = a+ ix ∈ C : x ∈ R. Esse gruponão é topológico em relação a essa topologia. De fato, a translação à esquerda Eeiθé uma rotação de ângulo θ ∈ R. A imagem do aberto r1 = 1 + ix ∈ C : x ∈ Rnão é aberto se, por exemplo, θ = −π/2.

8. Sejam G um grupo topológico e X um espaço topológico. Denote por A (X,G) oconjunto das aplicações contínuas f : X → G. Este conjunto tem uma estruturade grupo com o produto (fg) (x) = f (x) g (x), cuja inversa é ι (f) (x) = f (x)−1.Introduza em A (X,G) a topologia compacto-aberto, que tem como base de aber-tos os conjuntos do tipo

AK,U = f ∈ A (X,G) : f (K) ⊂ U

onde K ⊂ X é compacto e U ⊂ G é aberto. Com essas estruturas A (X,G)é um grupo topológico. De fato, o produto Cartesiano A (X,G) × A (X,G) éhomeomorfo a A (X,G×G) por (f, g) 7→ h onde h (x) = (f (x) , g (x)), com atopologia compacto-aberta em A (X,G×G). Seja qA (f, g) = fg−1. Através daidentificação entre esses espaços, q−1

A (AK,U) é o conjunto das funções h : X →G×G tais que h (K) ⊂ q−1 (U). Isto é,

q−1A (AK,U) = AK,q−1(U)

onde a vizinhança do segundo membro é vista em A (X,G×G). Portanto, ogrupo é topológico.

9. Como caso particular do exemplo anterior, seja Gii∈I uma família de gruposindexada pelo conjunto I. O produto Cartesiano G =

∏i∈I Gi é o conjunto

formado pelas aplicações f : I →⋃i∈I Gi tais que f (i) ∈ Gi para todo i ∈ I.

O produto Cartesiano admite uma estrutura de grupo em que o produto é dadocomponente a componente: (fg) (i) = f (i) g (i). A topologia produto em

∏i∈I Gi

é gerada por abertos do tipo∏

i∈I Ai com Ai ⊂ Gi abertos, i ∈ I e Ai = Gi amenos de um número finito de índices (topologia compacto-aberta em que I tema topologia discreta). Como o produto é feito componente a componente e cadaGi é um grupo topológico, G é grupo topológico com a topologia produto.

Em particular, se I é um conjunto finito,∏

i∈I Gi = G1×· · ·×Gn, seus elementossão n-uplas g = (g1, . . . , gn), gi ∈ Gi, a multiplicação é dada por

gh = (g1h1, . . . , gnhn)

com a topologia produto, gerada por subconjuntos do tipo A1 × · · · × An comAi ⊂ Gi aberto.


10. Este exemplo ilustra um grupo com uma topologia em que o produto é umaaplicação contínua, mas ι (g) = g−1 não é contínua. Considere o grupo aditivo(R,+) com R munido da topologia (topologia de Sorgenfrey) gerada pela basedada pelos intervalos [a, b), a < b. O produto é uma aplicação contínua pois sex + y ∈ [a, b) então para algum ε > 0, x + y + ε < b, o que garante que [a, b)contém [x, x+ ε/2) + [y, y+ ε/2) (= z+w : z ∈ [x, x+ ε/2) e w ∈ [x, x+ ε/2)).Isso significa que o aberto [x, x + ε/2) × [y, y + ε/2) está contido em p−1[a, b),mostrando que p é contínua. Por outro lado, ι (x) = −x não é contínua pois, porexemplo, (−2,−1] = ι−1[1, 2) não é aberto.

11. Este exemplo ilustra o caso de um grupo G em que a inversa ι (g) = g−1 écontínua e p é parcialmente contínua (isto é, G é semi-topológico), mas nãocontínua. Tome o grupo aditivo (R2,+) com R2 munido da topologia geradapelas bolas siamesas, que são definidas da seguinte forma: tome duas bolasde mesmo raio com centros numa mesma reta vertical e que se tangenciam. Abola siamesa correspondente é a união dos interiores das bolas juntamente como ponto de tangência. O conjunto das bolas siamesas forma uma base paratopologia. Munido dessa topologia a inversa em R2 é contínua (por simetria emrelação à origem), assim como as translações. No entanto, o produto p = + nãoé contínuo. De fato, (1, 0) + (−1, 0) = (0, 0). Tome uma bola siamesa B comtangência em (0, 0) e sejam B1 e B2 bolas siamesas com pontos de tangência em(1, 0) e (−1, 0), respectivamente. Então, B1 +B2 não está contida B, como podeser verificado geometricamente. Isso significa que B1 × B2 não está contido emp−1 (B). Como B, B1 e B2 são elementos arbitrários da base para a topologia,segue que p não é contínua em ((1, 0) , (−1, 0)).

2

Se A é um subconjunto de G e g ∈ G a translação Eg (A) é denotada simplesmentepor gA = gx : x ∈ A. O fato de que as translações são homeomorfismos implicaque gA é aberto ou fechado se A é aberto ou fechado, respectivamente. A mesmaobservação vale para as translações à direita Ag. De forma mais geral, seja B ⊂ G eescreva

A ·B = AB = xy ∈ G : x ∈ A, y ∈ B.

Por definição AB =⋃x∈B Ax =

⋃x∈A xB. Dessa forma, se A (ou B) é aberto, então

AB é aberto por ser união de abertos. Deve-se observar, que a mesma afirmação nãovale para conjuntos fechados. Por exemplo, em (R2,+) tome os conjuntos fechados

A = (x,

1

x

): x > 0, B =

(−x, 1

x

): x > 0. Então a soma A + B está contida

no semi-plano y > 0 e, no entanto, (0, 0) está no fecho de A + B. Vale, no entanto, aseguinte afirmação.

Proposição 2.1 Se K ⊂ G é compacto e F ⊂ G é fechado então KF e FK sãofechados.

2.2. Vizinhanças do elemento neutro 21

Demonstração: Se x ∈ KF então x é limite de uma rede kαfα com kα ∈ K, fα ∈ F eα ∈ D onde D é um conjunto dirigido. Como K é compacto existe uma subrede kαj talque k = limαj kαj ∈ K, o que implica que k−1 = limαj k

−1αj, pela continuidade da inversa.

Usando agora a continuidade do produto, se vê que a subrede fαj = k−1αj

(kαjfαj

)con-

verge a f = k−1x que pertence ao conjunto fechado F pois fαj ∈ F . Portanto, x = kfcom k ∈ K e f ∈ F , isto é, x ∈ KF . Do mesmo jeito se mostra que FK é fechado. 2

Juntamente com a notação AB, surgem naturalmente as notações A2 = A · A,A3 = A2 · A = A · A2, etc.Para A ⊂ G é usada a notação A−1 = x−1 ∈ G : x ∈ A. Como ι (g) = g−1 é um

homeomorfismo, A−1 = ι (A) é aberto ou fechado se, e só se, A é aberto ou fechado,respectivamente.Uma vizinhança U da identidade é dita simétrica se U = U−1. Não é difícil

construir vizinhanças simétricas. De fato, se V é uma vizinhança qualquer de 1 entãoV −1 também é uma vizinhança e V ∩ V −1 é uma vizinhança simétrica.

2.2 Vizinhanças do elemento neutro

Seja U ⊂ G um aberto não vazio e tome g ∈ U . Então, g−1U e Ug−1 são vizinhançasdo elemento neutro de G. Reciprocamente, se V é uma vizinhança de 1 então, dadog ∈ G, gV e V g são vizinhanças de g. Essas observações têm como consequência quetoda informação sobre a topologia de G está concentrada no conjunto das vizinhançasabertas do elemento neutro. O conjunto dessas vizinhanças é denotado por V (1) ousimplesmente V. A proposição a seguir lista algumas propriedades de V, que serãousadas posteriormente para descrever a topologia de G.

Proposição 2.2 Seja G um grupo topológico e denote por V o conjunto das vizin-hanças abertas do elemento neutro 1. Então, valem as seguintes propriedades:

T1) O elemento neutro 1 pertence a todos os subconjuntos U ∈ V.

T2) Dados dois conjuntos U, V em V, U ∩ V está em V.

GT1) Para todo U ∈ V, existe V ∈ V tal que V 2 ⊂ U

GT2) Dado U ∈ V, U−1 ∈ V.

GT3) Para todo g ∈ G e U ∈ V, gUg−1 ∈ V.

Demonstração: As propriedades (T1) e (T2) valem para as vizinhanças de umponto num espaço topológico qualquer. A propriedade (GT1) é equivalente ao pro-duto ser contínuo em 1. De fato, p−1 (U) ⊂ G × G é um aberto contendo (1, 1).Portanto existe um aberto V de G, com (1, 1) ∈ V × V ⊂ p−1 (U). Isso significaque V 2 = p (V × V ) ⊂ U . Já a propriedade (GT2) foi comentada acima e é equiva-lente à continuidade em 1 da aplicação ι. Por fim (GT3) segue de que g1g−1 = 1 e


Cg (x) = gxg−1 é contínua. 2

As propriedades enunciadas nesta proposição caracterizam completamente o con-junto das vizinhanças da identidade.

Definição 2.3 Um sistema de vizinhanças da identidade (ou elemento neutro) emum grupo G é uma família de conjuntos V satisfazendo as propriedades da proposição2.2.

Será mostrado abaixo que um sistema de vizinhanças da identidade define de formaúnica a topologia de um grupo topológico. Para isso será necessário um lema quegarante a continuidade de aplicações a partir da continuidade em um único ponto.Resultados análogos a esse lema são utilizados constantemente na teoria.Uma topologia T num grupo G é dita invariante à esquerda se gA é aberto de

T para todo g ∈ G e A ∈ T . Uma topologia é invariante à esquerda se, e só se, astranslações à esquerda são contínuas (e, portanto, homeomorfismos). Da mesma formase definem as topologias invariantes à direita.Se T é uma topologia invariante à esquerda em G então a topologia produto em

G × G é invariante à esquerda pois (g, h) (A×B) = (gA) × (hB) se A,B ⊂ G e(g, h) ∈ G×G. Da mesma forma, a topologia produto é invariante à direita em G×Gse for invariante à direita em G.

Lema 2.4 Suponha que T seja uma topologia em G invariante à esquerda e à direita.Então, G é um grupo topológico se, e somente se,

1. p é contínua em (1, 1) e

2. ι : G→ G, ι (g) = g−1, é contínua em 1.

Demonstração: É claro que as condições são necessárias. Para demonstrar a suficiên-cia sejam E(g,h) e D(g,h) a translação à esquerda e à direita em G×G, respectivamente.Então, segue imediato das definições que pE(g,1) = Eg p e pD(1,g) = Dg p. Daí quese (g, h) ∈ G×G então, pela associatividade do produto, pE(g,1) D(1,h) = Eg Dh p.O segundo membro dessa igualdade é uma aplicação contínua em (1, 1) pois Eg Dh éhomeomorfismo. Portanto, p E(g,1) D(1,h) é contínua em (1, 1). Mas E(g,1) D(1,h) éum homeomorfismo, daí que p é contínua em (g, h) = E(g,1) D(1,h) (1, 1).Por outro lado, Dg−1 ι é contínua em 1, portanto, ι Eg é contínua em 1 e daí que

ι é contínua em g = Eg (1). 2

Para caracterizar a topologia de G a partir dos sistemas de vizinhanças da identi-dade deve-se lembrar que um sistema fundamental de vizinhanças de um ponto xnum espaço topológico X é uma família F de abertos de X tal que cada elemento deF contém x e se A ⊂ X é um aberto com x ∈ A então existe B ∈ F tal que B ⊂ A.

2.2. Vizinhanças do elemento neutro 23

Proposição 2.5 Seja G um grupo e suponha que V é um sistema de vizinhanças daidentidade em G, como na definição 2.3. Então, existe uma única topologia T que tornaG um grupo topológico de tal forma que V é um sistema fundamental de vizinhançasdo elemento neutro em relação a T .

Demonstração: Defina T como sendo a família dos subconjuntos A ⊂ G tais quepara todo g ∈ A, existe U ∈ V com gU ⊂ A, juntamente com ∅. Para ver que T é umatopologia tome A,B ∈ T e x ∈ A ∩ B. Então, existem U, V ∈ V tais que xU ⊂ A exV ⊂ B. Pela propriedade (T2), U ∩ V ∈ V. Mas,

x (U ∩ V ) = xU ∩ xV ⊂ A ∩B,

mostrando que A ∩ B ∈ T . A definição de T mostra que uma união qualquer deconjuntos em T é um elemento de T .Agora as vizinhanças abertas de 1 em relação a T são os elementos de V. De fato,

a própria definição de T mostra que os elementos de V são vizinhanças de 1. Poroutro lado, seja U uma vizinhança de 1 em relação a T . Então, existe V ∈ V tal que1 · V ⊂ U . Portanto, V é um sistema fundamental de vizinhanças de 1 em relação a T .A definição de T e a propriedade (GT3) garantem que T é invariante à direita e à

esquerda. De fato, uma translação à esquerda gU , u ∈ V, é também uma translação àdireita da forma gU = (gUg−1) g. Por (GT3) se U ∈ V então gUg−1 ∈ V. Portanto,pelo lema anterior para garantir que G munido de T é grupo topológico, basta verificarque p e ι são contínuas em (1, 1) e 1, respectivamente. Mas essas continuidades sãoequivalentes às propriedades (GT1) e (GT2), respectivamente, concluindo a demon-stração de que G é grupo topológico com a topologia T .Por fim, suponha que T ′ é outra topologia satisfazendo as mesmas condições. En-

tão, V é um sistema fundamental de vizinhanças de 1 em relação a T ′. Realizandotranslações à esquerda, vê-se que gV , com V variando em V é um sistema fundamentalde vizinhanças de g ∈ G. Portanto, para todo A ∈ T ′ e g ∈ A, existe V ∈ V tal quegV ⊂ A. Daí que todo aberto de T ′ é aberto de T , isto é, T ′ ⊂ T . Alternando opapéis de T e T ′, segue que T = T ′, concluindo a demonstração. 2

Exemplo: Uma situação ilustrativa da construção feita acima é quando os elementosde V são subgrupos de G. Nesse caso, as condições para V se reduzem a (T2) e (GT3)pois se U e V são subgrupos então 1 ∈ V ∩ U e V 2 = V −1 = V . Um exemplo deum sistema V desse tipo é construido no grupo Z. Dado um número primo p > 0 sejaVp a família de subgrupos Vn = pnZ, n ≥ 1. Como Z é abeliano, a condição (GT3)é automaticamente satisfeita. Já a condição (T2) vale pois pnZ ∩ pmZ = pmaxn,mZ.Portanto, V define uma topologia em Z tornando-o um grupo topológico. Essa é achamada topologia p-ádica em Z. 2

A descrição feita da topologia em termos das vizinhanças da identidade estabeleceo princípio de que toda descrição topológica em G é feita através dessas vizinhanças.A proposição abaixo segue esse principio ao dar um critério para que a topologia sejade Hausdorff em termos das vizinhanças da identidade.


Proposição 2.6 Seja G um grupo topológico. Então, as seguintes condições são equiv-alentes:

1. A topologia de G é Hausdorff.

2. 1 é um conjunto fechado.

3.⋂U∈V(1) U = 1.

Demonstração: Numa topologia Hausdorff todo conjunto unitário é fechado, emparticular 1 é fechado. Suponha que 1 seja fechado. Para mostrar que a interseçãodas vizinhanças se reduz ao elemento neutro deve-se mostrar que para todo x 6= 1,existe U ∈ V tal que x /∈ U . Como 1 é fechado, existe tal V ∈ V tal que 1 /∈ x−1V ,isto é, x /∈ V . Por fim, assuma que a interseção do item (3) se reduz a 1 e tomex 6= 1. Então existe U ∈ V tal que x /∈ U . Por (GT1) existe V ∈ V tal que V 2 ⊂ U .Então, V ∩ xV −1 = ∅, pois z ∈ V ∩ xV −1 deve satisfazer z = u = xv−1, u, v ∈ V , e daíque x = uv ∈ V 2 ⊂ U , contradizendo a escolha de U . Consequentemente, os abertos Ve xV −1 separam 1 de x. Tome agora y 6= z arbitrários. Então, existem abertos U1 e U2

com y−1z ∈ U1 e 1 ∈ U2 e U1∩U2 = ∅. Portanto, os abertos yU1 e yU2 separam z de y. 2

2.3 Grupos Metrizáveis

Uma distância d : G×G→ R+ num grupoG é dita invariante à esquerda se d (gx, gy) =d (x, y) para todo g, x, y ∈ G. Em outras palavras, d é invariante à esquerda casoas translações à esquerda Eg são isometrias. As distâncias invariantes à direita sãodefinidas de maneira análoga. Uma distância é bi-invariante se ela é ao mesmo tempoinvariante à esquerda e à direita.Uma condição necessária para que um espaço topológico seja metrizável é que todo

ponto admita um sistema fundamental de vizinhanças enumerável. No caso de gru-pos topológicos essa condição também é suficiente e, como antes, basta verificá-la noelemento neutro.

Teorema 2.7 Seja G um grupo topológico e suponha que exista um sistema de vizin-hanças da identidade que seja enumerável. Então, existem dE e dD distâncias invari-antes à direita e à esquerda, respectivamente, que são compatíveis com a topologia deG.

Este teorema não será demonstrado aqui. No caso em que G é um grupo de Lie acondição de enumerabilidade é satisfeita pois localmente G é homeomorfo a Rn. Por-tanto, grupos de Lie são metrizáveis. No entanto, para grupos de Lie, em particular,existe uma construção mais simples que a da demonstração geral do teorema 2.7, uti-lizando métricas Riemannianas em variedades diferenciáveis. Essa demonstração seráapresentada posteriormente.

2.4. Homomorfismos 25

Em todo caso, vale a pena ressaltar que o teorema garante a existência tanto deuma distância invariante à direita quanto de uma invariante à esquerda. Porém, podenão existir uma distância bi-invariante num grupo metrizável.

Exemplos: Alguns exemplos de distâncias invariantes são:

1. Seja |·| uma norma qualquer em Rn e d (x, y) = |x− y|. Então d é uma distânciabi-invariante em (Rn,+).

Observe que uma distância definida por uma norma no espaço de matrizes n× nnão é necessariamente invariante quando restrita ao grupo Gl (n,R).

2. Seja G um grupo compacto metrizável por uma distância d′. Defina

d (g, h) = supx∈G

d′ (gx, gy) .

Então d é uma distância invariante à esquerda em G, compatível com sua topolo-gia. A distância d pode ser vista também da seguinte maneira: denote porHom (G) o grupo dos homeomorfismos de G e seja ρ : G→ Hom (G) a aplicaçãoρ (g) = Eg. Então d é a restrição a ρ (G) da distância em Hom (G) que define aconvergência uniforme em relação a d′.

2

2.4 Homomorfismos

Proposição 2.8 Sejam G e H grupos topológicos e φ : G → H um homomorfismo.Então, φ é contínuo se, e somente se, φ for contínuo no elemento neutro 1 ∈ G.

Demonstração: Basta mostrar que a continuidade em 1 acarreta a continuidadeem todos os pontos. Como φ é homomorfismo, φ Eg = Eφ(g) φ para todo g ∈ G.O segundo membro é contínuo em 1. Portanto, φ Eg é contínuo em 1 e como Eg éhomeomorfismo, segue que φ é contínuo em g = Eg (1). 2

Dados os grupos G e H o produto cartesiano G × H é um grupo com o produtodefinido componente a componente: (g, x) (h, y) = (gh, xy), g, h ∈ G e x, y ∈ H. Asprojeções π1 : G×H → G e π2 : G×H → H são homomorfismos.O gráfico grafφ de uma aplicação φ : G→ H é o conjunto dos elementos da forma

(x, φ (x)) com x ∈ G. Como (x, φ (x)) (y, φ (y)) = (xy, φ (x)φ (y)), a aplicação φ é umhomomorfismo de grupos se, e só se, o seu gráfico é um subgrupo de G×H.Quando isso ocorre, os grupos G e grafφ são isomorfos, já que a aplicação

l : x ∈ G 7→ (x, φ (x)) ∈ grafφ


é um isomorfismo. A inversa de l é a projeção p : grafφ→ G, p (x, φ (x)) = x, que é arestrição ao gráfico da projeção π1 na primeira coordenada.Reciprocamente, um subgrupo Γ ⊂ G × H é o gráfico de um homomorfismo φ :

G→ H se, e só se, a restrição de π1 a Γ é um isomorfismo. Nesse caso φ = π2 l.No contexto topológico os gráficos dos homomorfismos contínuos são caracterizados

através dos subgrupos fechados.

Proposição 2.9 Sejam G e H grupos topológicos tal que H é de Hausdorff. Umaaplicação φ : G→ H é um homomorfismo contínuo se, e só se, o seu gráfico

grafφ = (x, φ (x)) ∈ G×H : x ∈ G

é um subgrupo fechado de G×H homeomorfo a G, pela projeção p (x, φ (x)) = x.

Demonstração: Pelos comentários acima só falta verificar que φ é contínua se, e sóse, seu gráfico é fechado e homeomorfo a G. Mas, essa propriedade vale para aplicaçõesem geral. (Se φ é contínua então l (x) = (x, φ (x)) é um homeomorfismo cuja inversaé p (x, φ (x)) = x. Além do mais, seja θ : G × H → H × H a aplicação dada porθ (x, y) = (φ (x) , y). Então grafφ = θ−1 (∆H), onde ∆H = (y, y) ∈ H ×H : y ∈ H éa diagonal de H ×H. Essa diagonal é fechada se, e só se H é de Hausdorff. Portanto,grafφ é fechado. Reciprocamente, se o gráfico é fechado e homeomorfo ao domínioentão (F ×G) ∩ grafφ é um fechado de grafφ para todo fechado F ⊂ H. Segue queφ−1 (F ) = π1 ((F ×G) ∩ grafφ) é fechado em G e, portanto, φ é contínua.) 2

2.5 Subgrupos

Seja G um grupo topológico e H um subgrupo de G. Como H é subconjunto de Gele pode ser munido com a topologia induzida, cujos abertos são da forma A ∩ Hcom A aberto em G. Então, H torna-se um grupo topológico. De fato, denote porpH : H×H → H o produto em H, que é a restrição a H do produto p de G. Para todosubconjunto A ⊂ G vale p−1

H (A ∩H) = p−1 (A)∩ (H ×H). Dessa igualdade segue quese A ⊂ G é aberto então p−1

H (A ∩H) é um aberto da topologia induzida em H × Hpela topologia produto em G × G. No entanto, essa topologia induzida coincide coma topologia produto de H. Daí que pH é contínua. Da mesma forma se mostra queιH (h) = h−1 é contínua em H.Um subgrupo H ⊂ G com a topologia induzida é denominado de subgrupo

topológico de G.A seguir serão apresentados alguns resultados envolvendo propriedades topológicas

dos subgrupos de G. Em algumas demonstrações se usa o seguinte lema de carátergeral.

Lema 2.10 Seja X um espaço topológico e φ : X → X um homeomorfismo. Suponhaque A ⊂ X é um subconjunto invariante por φ, isto é, φ (A) ⊂ A. Então A e A

também são invariantes. Além do mais, se φ (A) ⊂ A então φ(A)⊂ A.

2.5. Subgrupos 27

Demonstração: Tome x ∈ A e U uma vizinhança de φ (x). Então φ−1 (U) é umavizinhança de x. Portanto, existe y ∈ A∩φ−1 (U) e como A é invariante, e φ (y) ∈ A∩U ,mostrando que A é invariante.Seja x ∈ A e tome um aberto U com x ∈ U ⊂ A. Então φ (x) ∈ φ (U) ⊂ A, pois

A é invariante. Como φ é homeomorfismo, φ (U) é aberto, e, portanto φ (x) ∈ A.Como A é invariante, o seu complementar em X também é invariante. Daí que a

∂A = A ∩ Ac é invariante.Suponha que φ (A) ⊂ A. Como φ é homeomorfismo, φ (A) = φ

(A). Portanto,

φ(A)⊂ φ (A) = A. 2

Proposição 2.11 Seja H ⊂ G um subgrupo. Então seu fecho H também é subgrupo.Além do mais, se H é normal o mesmo ocorre com H.

Demonstração: Deve-se mostrar que xy ∈ H se x, y ∈ H. Para isso suponhaem primeiro lugar que x ∈ H. Então, Ex (H) = H e o lema acima garante queEx(H)⊂ H. Mas, isso significa que se y ∈ H então xy ∈ H. Portanto, dados x ∈ H

e y ∈ H, xy ∈ H. Esta frase se interpreta dizendo que Dy (H) ⊂ H para todo y ∈ H.Mas, Dy é homeomorfismo, portanto Dy

(H)⊂ H, para todo y ∈ H, o que significa

que xy ∈ H se x, y ∈ H.Por um argumento semelhante, a inversa ι deixa invariante H, mostrando que H é

subgrupo.Por fim, dizer que H é normal é o mesmo que dizer que H é invariante pelas con-

jugações Cg, g ∈ G. Pelo lema 2.10 segue que H também é invariante por Cg, isto é,H é normal. 2

Os subgrupos fechados desempenham um papel central no estudo das ações dosgrupos topológicos (e de Lie), pois no caso de ações contínuas, os subgrupos que fixamum ponto (subgrupos de isotropia) são fechados. A proposição 2.11 mostra a existênciade uma grande quantidade de subgrupos fechados. Por outro lado, a situação com ointerior H de um subgrupo H é ainda mais simples, já que ou o interior é vazio ou éo próprio H, isto é, H é aberto e nesse caso fechado, como mostram as proposições aseguir.

Proposição 2.12 Seja H ⊂ G um subgrupo e suponha que H 6= ∅. Então, H éaberto.

Demonstração: Suponha que exista x ∈ H. Então para todo y ∈ H, o conjuntoyx−1 (H) é aberto, contém y e está contido emH. Isso mostra que y ∈ H e, portanto,H ⊂ H, isto é, H = H. 2

Proposição 2.13 Suponha que H é um subgrupo aberto de G. Então, H é fechado.


Demonstração: Uma classe lateral gH de H é obtida de H por uma translação àesquerda. Portanto, se H é aberto, o mesmo ocorre com gH. Mas o grupo G é a uniãode H com as classes laterais gH, g /∈ H. Isso significa que o complementar de H emG é uma união de abertos, e daí que H é fechado. 2

Um subconjunto A de um espaço topológico X que é ao mesmo tempo aberto efechado é união de componentes conexas de X, isto é, se uma componente conexaC ⊂ X satisfaz C∩A 6= ∅ então C ⊂ A. Esta observação juntamente com a proposição2.13 mostra que os subgrupos abertos de G são uniões de componentes conexas de G.Em particular, se o grupo é conexo ele é o único de seus subgrupos abertos.Em todo caso, as componentes conexas de G estão relacionadas com os subgrupos

abertos. Essas componentes são descritas a seguir a partir da componente conexaG0 que contém o elemento neutro 1 ∈ G. Essa componente conexa é denominadacomponente da identidade (ou do elemento neutro).

Proposição 2.14 Denote por G0 a componente conexa do elemento neutro. EntãoG0 é um subgrupo fechado e normal de G. Qualquer outra componente conexa é umaclasse lateral gG0 = G0g de G0. Reciprocamente, toda classe lateral gG0 = G0g é umacomponente conexa de G.

Demonstração: Uma translação à esquerda Eg, g ∈ G, é um homeomorfismo,portanto Eg leva componentes conexas de G em componentes conexas. Em particular,se g ∈ G0, então Eg (G0) está contido em uma componente conexa de G. Porém,1 ∈ G0 e Eg (1) = g ∈ G0. Isso implica que Eg (G0) ⊂ G0. Tomando, então g, h ∈ G0,vê-se que gh ∈ G0. Analogamente, o conjunto ι (G0) está contido em uma componenteconexa de G que só pode ser G0 pois ι (1) = 1. Isso mostra que G0 é subgrupo. Paraver que é normal, basta repetir o mesmo argumento com as conjugações Cg, g ∈ G,levando em conta que Cg (1) = 1. Por fim, por ser componente conexa, G0 é fechado.Como G0 é normal, gG0 = G0g para todo g ∈ G. É claro que gG0 = Eg (G0) é

conexo e, portanto, gG0 está contido numa componente C conexa G. Suponha porabsurdo que gG0 6= C. Então, G0 = Eg−1 (gG0) 6= g−1C, contradizendo o fato de queG0 é componente conexa, já que g−1C é conexo. 2

Em geral a componente da identidade não é um subgrupo aberto. Por exemplo,em (R,+) considere o subgrupo Q ⊂ R munido da topologia induzida. Então, acomponente da identidade se reduz a 0, que não é aberto induzido.Uma condição para que a componente conexa da identidade G0 seja um aberto é

que o grupo seja localmente conexo, no sentido em que todo ponto tem uma vizin-hança aberta conexa. Os grupos de Lie por serem localmente homeomorfos a Rn sãolocalmente conexos, assim a proposição a seguir assegura que as componentes conexasdesses grupos são abertas.

Proposição 2.15 Suponha que G é localmente conexo. Então, G0 é um subgrupoaberto.

2.6. Ações de grupos 29

Demonstração: Como G é localmente conexo, existe uma vizinhança conexa U doelemento neutro. É claro que U ⊂ G0. Portanto, G0 tem interior não vazio, e daí queé aberto. 2

Por fim, será mostrado o seguinte resultado sobre a forma de gerar grupos conexos,que é bastante útil no estudo dos grupos de Lie.

Proposição 2.16 Suponha G conexo e tome uma vizinhança U do elemento neutro.Então, G =

⋃n≥1 U

n.

Demonstração: Seja V = U ∩ U−1 uma vizinhança simétrica contida em U . Como⋃n≥1 V

n ⊂⋃n≥1 U

n basta mostrar que G =⋃n≥1 V

n. A união⋃n≥1 V

n é fechada porprodutos. Além do mais, como V é simétrico, (V n)−1 = V n. Isso implica que

⋃n≥1 V

n

é um subgrupo de G, que tem interior não vazio pois V ⊂⋃n≥1 V

n. Portanto,⋃n≥1 V

n

é um subgrupo aberto. Como G é conexo, G =⋃n≥1 V

n. 2

2.6 Ações de grupos

2.6.1 Descrição algébrica

Uma ação à esquerda de um grupo G num conjunto X é uma função que associa ag ∈ G uma aplicação a (g) : X → X e que satisfaz as propriedades:

1. a (1) = idX , isto é, a (1) (x) = x, para todo x ∈ X e

2. a (gh) = a (g) a (h).

Essas propriedades garantem que cada a (g) é uma bijeção, já que

a(g−1)a (g) = a (1) = a (g) a

(g−1)

= idX .

Visto de outra maneira, uma ação à esquerda é um homomorfismo a : G → B (X),onde B (X) é o grupo das bijeções de X, com o produto dado pela composta de duasaplicações.Uma ação à direita é definida de maneira análoga substituindo a segunda pro-

priedade por a (gh) = a (h) a (g).De forma alternativa, uma ação à esquerda é definida como sendo uma aplicação

φ : G×X → X satisfazendo

1. φ (1, x) = x e

2. φ (gh, x) = φ (g, φ (h, x)), g, h ∈ G e x ∈ X.


A relação entre φ e a é a óbvia: φ (g, x) = a (g) (x), isto é, a (g) é a aplicação parcialφg de φ quando a primeira coordenada é fixada: φg (x) = φ (g, x).A outra aplicação parcial associada a φ é obtida fixando x ∈ X, isto é, φx : G→ X,

φx (g) = φ (g, x) = a (g) (x).Normalmente, os símbolos a ou φ são suprimidos na notação para ações de grupos.

Assim uma ação à esquerda escreve-se apenas g (x), g · x ou gx ao invés de a (g) (x).Para ações à direita é mais conveniente escrever o valor de a (g) em x como (x) a (g)aparecendo então as notações (x) g, x · g ou xg. Com essas notações uma ação àesquerda satisfaz 1x = x e g (hx) = (gh)x, já uma ação à direita satisfaz x1 = x e(xg)h = x (gh).Se a é uma ação à esquerda de G em X então a aplicação a′ definida por a′ (g) =

a (g−1) é uma ação à direita e vice-versa. No que segue serão tratadas apenas a ações àesquerda. As propriedades enunciadas são automaticamente transferidas para as açõesà direita substituindo a (g) por a (g−1).Dado x ∈ X, sua órbita por G, denotada por G · x ou Gx, é definida como sendo

o conjuntoG · x = gx ∈ X : g ∈ G.

Mais geralmente, se A ⊂ G então Ax = gx : g ∈ A, isto é, Ax = φx (A). Cada órbitaé uma classe de equivalência da relação de equivalência x ∼ y se existe g ∈ G tal quey = gx. Por isso, duas órbitas ou são disjuntas ou coincidem.Um subconjunto B ⊂ X é G-invariante se gB ⊂ B para todo g ∈ G. Um conjunto

invariante é união de órbitas de G. Se B é um conjunto invariante então a restrição daação a G×B define uma ação G×B → B de G em B. Em particular o grupo G ageem suas órbitas.O conjunto Gx dos elementos de G que fixam x é denominado de subgrupo de

isotropia ou estabilizador de x:

Gx = g ∈ G : gx = x.

O subgrupo de isotropia é de fato um subgrupo de G, pois (gh)x = g (hx), portantogh fixa x se gx = hx = x. Além do mais, g−1x = x se gx = x, pois a (g−1) = a (g)−1.Os subgrupos de isotropia são obtidos um dos outros pela seguinte relação:

Proposição 2.17 Dados x, y ∈ X, suponha que y = gx com g ∈ G. Então, Gy =gGxg

−1, onde Gx e Gy denotam os subgrupos de isotropia.

Demonstração: Por definição h ∈ Gy se, e só se, h (gx) = gx. Aplicando g−1 a estaigualdade segue que (g−1hg)x = x, isto é, g−1hg ∈ Gx. Portanto, h ∈ Gy se, e só se,h ∈ gGxg

−1. 2

As ações de um grupo G são distinguidas em classes de acordo com as propriedadesde suas órbitas e grupos de isotropia.

Definição 2.18 Seja a uma ação de G em X.


1. A ação é dita efetiva se ker a = g ∈ G : a (g) = idX = 1. Isto é, se gx = xpara todo x ∈ X então g = 1.

2. A ação é dita livre se os subgrupos de isotropia se reduzem ao elemento neutrode G, isto é, se gx = x para algum x ∈ X, então g = 1.

3. A ação é dita transitiva se X é uma órbita de G, isto é, para todo par deelementos x, y ∈ X existe g ∈ G tal que gx = y.

É claro, a partir das definições, que ações livres são efetivas, no entanto nem todaação efetiva é livre. Numa ação efetiva ker a = 1 portanto G é isomorfo à sua imagema (G) por a. Por essa razão, uma ação efetiva é também denominada de ação fiel.Deve-se observar que a restrição da ação a uma órbita é uma ação transitiva. Por-

tanto, toda afirmação sobre ações transitivas se aplica à restrição da ação a uma órbita.Um caso particular de ação de grupo se dá nos espaços quocientes. Seja H ⊂ G

um subgrupo e denote por G/H o conjunto das classes laterais gH, g ∈ G. Entãoa aplicação (g, g1H) 7→ g (g1H) = (gg1)H define uma ação à esquerda natural de Gem G/H. Denotando por π : G → G/H a aplicação sobrejetora (projeção) canônicaπ (g) = gH essa ação fica escrita como gπ (g1) = π (gg1).Evidentemente a ação de G em G/H é transitiva. Por outro lado toda ação tran-

sitiva se identifica (ou melhor, está em bijeção) com um espaço quociente de G.

Proposição 2.19 Suponha que a ação de G em X é transitiva e tome x ∈ X. Então,aplicação ξx : gGx ∈ G/Gx 7→ gx ∈ X é uma bijeção entre G/Gx e X. A aplicaçãoξx é equivariante no sentido em que gξx (g1H) = ξx ((gg1)H), g, g1 ∈ G, isto é, ξxcomuta com as ações de G em G/H e X, respectivamente. Além do mais, se y = gxentão ξy = ξx Dg.

Demonstração: Em primeiro lugar, a aplicação é bem definida pois se g1 e g2 estãona mesma classe lateral, isto é, g1Gx = g2Gx então g−1

2 g1 ∈ Gx, o que significa queg−1

2 g1x = x, isto é, g1x = g2x. Por definição a aplicação é sobrejetora se, e só se, a açãoé transitiva. Agora, suponha que g1x = g2x. Então g−1

2 g1x = x, isto é, g−12 g1 ∈ Gx e

daí que g1Gx = g2Gx, mostrando a injetividade da aplicação.Seja y = ξx (g1H). Então y = g1x, e, portanto, gy = g (g1x) = (gg1)x. Daí que

gξx (g1H) = ξx ((gg1)H).Por fim, se y = gx então ξy (h) = h (gx) = (hg)x = ξx (hg), mostrando que

ξy = ξx Dg. 2

A aplicação ξx da proposição acima está relacionada com a aplicação parcial φxatravés do seguinte diagrama comutativo

G/H

?

G -

*

Xφx

π

ξx


Em virtude dessa identificação, um quociente G/H é também chamado de espaçohomogêneo, como são chamados normalmente os conjuntos onde os grupos agemtransitivamente. O ponto x escolhido para estabelecer a identificação entre X e G/Gx

é denominado de origem ou base do espaço homogêneo X. A identificação de Xcom G/Gx depende da escolha da origem. No entanto, alterando x não muda substan-cialmente o espaço quociente, pois numa ação transitiva os subgrupos de isotropia sãoconjugados entre si, como mostra a proposição 2.17. De fato, se H ⊂ G é um subgrupoentão para todo g ∈ G a aplicação

hH 7−→ g (hH) g−1 =(ghg−1

) (gHg−1

)estabelece uma bijeção entre G/H e G/gHg−1.Os fatos descritos acima sobre ações transitivas se aplicam de imediato às órbitas

de uma ação qualquer G×X → X. Nesse caso, a restrição da ação sobre uma órbitaG · x é transitiva o que permite identificar G · x com G/Gx.Toda a discussão acima se estende de forma análoga a ações à direita, onde os

espaços homogêneos são os quocientes H \G, formados pelas classes laterais Hg, g ∈ G.Num espaço homogêneo G/H, isto é, na presença de uma ação transitiva, as ações

livres são aquelas em que o subgrupo de isotropia H se reduz a 1. Nesse caso, oespaço homogêneo se identifica a G. Já as ações transitivas e efetivas são descritas aseguir pelos subgrupos normais contidos no grupo de isotropia.

Proposição 2.20 Seja G uma ação transitiva em X = G/H. Então, a ação é efetivase, e somente se, H não contém subgrupos normais de G, além de 1.

Demonstração: Suponha que N ⊂ H é um subgrupo normal de G, isto é, gNg−1 ⊂N para todo g ∈ G. É claro que H é o grupo de isotropia da origem. Mas, pelaproposição 2.17, os subgrupos de isotropia são conjugados entre si. Portanto, qualquerh ∈ N está contido em todos os subgrupos de isotropia. Mas isso significa que hy = y,para todo y ∈ X, isto é, h = idX . Portanto, se a ação é efetiva, N = 1.Reciprocamente, o subgrupo normal ker a = g ∈ G : ∀y ∈ X, gy = y está con-

tido em H. Portanto, se H não contém subgrupos normais, além do trivial, entãoker a = 1 e a ação é efetiva. 2

Uma forma de obter uma ação de um grupo G num espaço vetorial V é via umarepresentação de G em V que é um homomorfismo ρ : G → Gl (V ), onde Gl (V )é o grupo das transformações lineares inversíveis de V . O espaço V é chamado deespaço da representação e dimV sua dimensão. A representação define a açãoa : G× V → V dada por a (g, v) = ρ (g) v.

2.6.2 Ações contínuas

No contexto topológico deve-se considerar ações contínuas no seguinte sentido.

Definição 2.21 Seja G um grupo topológico e X um espaço topológico. Uma ação deG em X é contínua se a aplicação φ : G×X → X, φ (g, x) = gx, é contínua.


Se H ⊂ G é um subgrupo, a restrição a H da ação de G em X é uma ação deH. Tomando em H a topologia induzida, a restrição de uma ação contínua também écontínua.No caso de uma ação contínua, os objetos introduzidos anteriormente admitem boas

propriedades topológicas.De fato, se φ é contínua então as aplicações parciais φx : G → X, x ∈ X, e

φg : X → X, g ∈ G, são contínuas. Além do mais, como a (g) = φg e a (g)−1 = a (g−1)segue que para cada g ∈ G, a (g) : X → X é homeomorfismo de X.

Proposição 2.22 Suponha que a ação de G em X seja contínua e que X seja espaçode Hausdorff. Então, qualquer subgrupo de isotropia Gx, x ∈ X, é fechado.

Demonstração: Em termos da aplicação φ, o subgrupo de isotropia é dado por

Gx = g ∈ G : φ (g, x) = x = φ−1x x.

Como X é Hausdorff, segue que Gx é fechado. 2

Uma variação do conceito de ação do grupo G no espaço topológico X são as açõeslocais em que os elementos de um aberto de G são homeomorfismos locais de X, istoé, homeomorfismos entre abertos de X. Formalmente, o que se denomina ação local(à esquerda) contínua é uma aplicação φ : V ⊂ G×X → X, satisfazendo as seguintescondições:

1. O domínio V ⊂ G×X é um aberto tal que

(a) para todo x ∈ X o aberto Vx = V ∩ (G× x) contém (1, x);

(b) dados g ∈ G e x ∈ X se (g−1, x) ∈ V então (g, (g−1, x)) ∈ V .

2. φ (1, x) = x, para todo x ∈ X.

3. φ (g, φ (h, x)) = φ (gh, x) se (g, φ (h, x)), (h, x) e (gh, x) são elementos de V (istoé, φ (h, x) ∈ Vg, x ∈ Vh e x ∈ Vgh).

Numa ação local o conjunto aberto Vg = V ∩ (g ×X), g ∈ G, é o domínio daaplicação parcial φg : Vg → X. Em princípio o conjunto Vg pode ser vazio. No entanto,o conjunto dos elementos g ∈ G tais que Vg 6= ∅ é aberto e não vazio. De fato, V1 = Xe se (g, x) ∈ V então elementos do tipo (h, x) ∈ V se h é próximo de g. Isto é, seVg 6= ∅ então Vh 6= ∅ para h próximo de g.Se Vg 6= ∅ então a condição (1b) garante que Vg−1 6= ∅ e a aplicação parcial φg :

X → X é homeomorfismo Vg e Vg−1 . De fato, se (g, x) ∈ V , isto é x ∈ Vg, então pelacondição (1b), (g−1, (g, x)) ∈ V . Daí que faz sentido escrever a condição (3) e obterφ (g−1, φ (g, x)) = φ (1, x) = x. Isto é, φg (x) ∈ Vg−1 e φg−1φg (x) = x. Invertendo ospapéis entre g e g−1 se vê que φg : Vg → Vg−1 é um homeomorfismo.


2.7 Espaços quocientes

O instrumento para analisar as órbitas de uma ação é a bijeção G/Gx ≈ G · x daproposição 2.19. Para considerar essa bijeção do ponto de vista de continuidade énecessário introduzir topologias nos quocientes G/H, que será discutida nessa seção.Em geral no quociente de um espaço topológico por uma relação de equivalência se

define a seguinte topologia:

Definição 2.23 Sejam Y um espaço topológico e ∼ uma relação de equivalência emY . Denote por Y/ ∼ o conjunto das classes de equivalência de ∼ e por π : Y → Y/ ∼a aplicação sobrejetora canônica, que a cada y ∈ Y associa sua classe de equivalência.A topologia quociente em Y/ ∼ é aquela em que um subconjunto A ⊂ Y/ ∼ abertose, e só se, π−1 (A) é aberto em Y . De forma equivalente, F ⊂ Y/ ∼ é fechado se, esó se, π−1 (F ) é fechado em Y .

A topologia quociente é a mais fina (que contém a maior quantidade de abertospossível) que torna a projeção canônica π : Y → Y/ ∼ uma aplicação contínua. A con-tinuidade, em relação à topologia quociente, de funções definidas em Y/ ∼ é verificadaatravés da seguinte propriedade.

Proposição 2.24 Sejam Y e Z espaços topológicos em que Y é munido da relação deequivalência ∼. Então, uma aplicação f : Y/ ∼ → Z é contínua se, e somente se,f π : Y → Z é contínua:

Y/ ∼?

Y

-

HHHHHHHjZ

f

πf π

Demonstração: Se f é contínua então f π é contínua, pois π é contínua. Recipro-camente, suponha que f π é contínua e seja A ⊂ Z um aberto. Então (f π)−1 (A) =π−1 (f−1 (A)) é aberto em Y . Pela definição da topologia quociente, segue que f−1 (A)é aberto em Y/ ∼, concluindo a demonstração. 2

No caso em que G é um grupo eH ⊂ G um subgrupo, o quociente G/H é o conjuntodas classes de equivalência da relação de equivalência em G em que x ∼ y se, e só se,xH = yH. Portanto, G/H pode ser munido da topologia quociente por essa relaçãode equivalência, quando G é um grupo topológico.

Proposição 2.25 Sejam G um grupo topológico, H ⊂ G um subgrupo e π : G→ G/Ha projeção canônica. Então, π é uma aplicação aberta em relação à topologia quociente.Se além do mais H é compacto então π é uma aplicação fechada.

2.7. Espaços quocientes 35

Demonstração: Tome um aberto A ⊂ G. Então, π−1 (π (A)) = AH =⋃h∈H Ah é

aberto de G. Daí que π (A) é aberto na topologia quociente.Já se H é compacto e F ⊂ G é fechado então π−1 (π (F )) = FH é compacto pela

proposição 2.1, mostrando que π é aplicação fechada. 2

Deve-se observar também que, em geral a projeção não é uma aplicação fechada.Por exemplo, se G = R2, H = 0 × R e F = (x, y) ∈ R2 : −π/2 < x < π/2 ey = tg (x) então π (F ) não é fechado.A topologia quociente tem um bom comportamento em relação ao produto carte-

siano de grupos. Sejam G1 e G2 grupos topológicos e H1 ⊂ G1, H2 ⊂ G2 subgrupos.O produto H1×H2 é um subgrupo de G1×G2 e o quociente (G1 ×G2) / (H1 ×H2) seidentifica a (G1/H1)× (G2/H2) através da bijeção

φ : (g1, g2) (H1 ×H2) 7−→ (g1H1, g2H2) .

Essa bijeção é um homeomorfismo em relação às topologias quocientes nos espaçoshomogêneos. Isso pode ser visto facilmente pela definição de topologia quociente e oseguinte diagrama comutativo:

G1 ×G2id−→ G1 ×G2

↓ ↓(G1 ×G2) / (H1 ×H2)

φ−→ (G1/H1)× (G2/H2)

Proposição 2.26 A topologia quociente em G/H é de Hausdorff se, e somente se, Hé fechado.

Demonstração: A aplicação π : G→ G/H é contínua e H = π−1x se x é a origemde G/H. Portanto, se G/H é Hausdorff, H é fechado.Reciprocamente, suponha que H é fechado. Para mostrar que G/H é de Hausdorff

deve-se mostrar que a diagonal

∆ = (x, x) ∈ G/H ×G/H : x ∈ G/H

é fechada na topologia produto emG/H×G/H, que coincide com a topologia quocienteem (G×G) / (H ×H). Por definição ∆ é fechado se, e só se, p−1 (∆) é um conjuntofechado em G × G onde p : G × G → G/H × G/H é a projeção canônica. Mas,p (g, h) ∈ ∆ se e só se gH = hH, isto é, se h−1g ∈ H. Portanto,

p−1 (∆) = q−1 (H)

onde q é a aplicação contínua q (x, y) = x−1y. Daí que se H é fechado então p−1 (∆) éfechado e G/H é de Hausdorff. 2

Proposição 2.27 A ação de G em G/H é contínua em relação à topologia quociente.


Demonstração: A aplicação φ : G × G/H → G/H que define a ação faz parte doseguinte diagrama comutativo

G×G p−→ Gid ↓↓ π ↓ πG×G/H φ−→ G/H

Seja A ⊂ G/H um aberto. Então, p−1π−1 (A) é aberto e daí que (id× π)−1 φ−1 (A)é um aberto em G × G. Mas, isso significa que φ−1 (A) é aberto em G × G/H, peladefinição da topologia quociente. 2

2.7.1 Grupos quocientes

Uma situação especial dos quocientes considerados acima acontece quando o subgrupoH é normal em G. Nesse caso o quociente G/H tem uma estrutura de grupo, definidapor (gH) (hH) = (gh)H e a projeção canônica π : G → G/H é um homomorfismo.Com a topologia quociente esse grupo passa a ser um grupo topológico. Para ver issobasta recorrer à proposição 2.24 e escrever o diagrama

G×G p−→ Gπ ↓↓ π ↓ π

G/H ×G/H φ−→ G/H

onde φ denota o produto em G/H. Então, da mesma forma que na proposição 2.27mostra-se que φ é contínua. Por outro lado, a continuidade da inversa em G/H provémda comutatividade do diagrama

Gι−→ G

↓ π ↓ πG/H

ι−→ G/H

juntamente com a proposição 2.24.Em relação à topologia quociente, a projeção π : G → G/H é um homomorfismo

contínuo e uma aplicação aberta.

2.7.2 Grupos compactos e conexos

Serão demonstrados aqui dois resultados úteis para verificar, via espaços quocientes,que certos grupos topológicos são compactos ou conexos.O primeiro diz respeito à compacidade. Na sua demonstração será utilizada a

propriedade de interseção finita, que caracteriza os espaços compactos: um espaçotopológico K é compacto se, e só se, para uma família F de fechados vale

⋂F∈F F 6= ∅

se ela satisfizer a propriedade de interseção finita, isto é, se toda interseção finitaF1 ∩ · · · ∩ Fk de elementos de F for não vazia. Nesse caso pode-se assumir, sem

2.7. Espaços quocientes 37

perda de generalidade, que F é completa, isto é, fechada por interseção finita de seuselementos, pois a família de todas as interseções finitas de elementos de F tambémsatisfaz a propriedade da inteseção finita.

Proposição 2.28 Seja G um grupo topológico e H ⊂ G um subgrupo. Se H e G/Hsão compactos então G é compacto.

Demonstração: Seja F uma família completa de fechados em G satisfazendo apropriedade da interseção finita. A compacidade de H garante que as projeções π (F ),F ∈ F , são fechados em G/H (veja a proposição 2.25). A família π (F )F∈F tambémsatisfaz a propriedade de interseção finita, já que

π (F1 ∩ · · · ∩ Fk) ⊂ π (F1) ∩ · · · ∩ π (Fk) .

Agora, a hipótese de que G/H é compacto garante a existência de g ∈ G tal que

gH ∈⋂F∈F

π (F ) .

Isso significa que todo F ∈ F intercepta a classe lateral gH. Como F é uma famíliacompleta, se concluí que

(F1 ∩ gH) · · · ∩ (Fs ∩ gH) = (F1 ∩ · · · ∩ Fs) ∩ gH 6= ∅

para todo F1, . . . , Fs ∈ F . Isso significa que a família de fechados F ∩ gH, F ∈ F ,satisfaz a hipótese de interseção finita. Usando novamente a compacidade de H (e,portanto de gH) se conclui que(⋂

F∈FF

)∩ gH =

⋂F∈F

(F ∩ gH) 6= ∅.

Daí que⋂F∈F F 6= ∅, concluindo a demonstração. 2

É claro que se G é compacto então G/H também é compacto, uma vez que aprojeção canônica π : G → G/H é contínua e sobrejetora. Por outro lado, se H éfechado e G compacto então H também é compacto. Portanto, a recíproca ao teoremaacima é verdadeira com a hipótese adicional de que H é fechado.

Proposição 2.29 Suponha que H e G/H são conexos. Então, G é conexo.

Demonstração: Suponha por absurdo que A,B ⊂ G são abertos não vazios, dis-juntos e tais que A ∪ B = G. Então, π (A) e π (B) são abertos não vazios tais queπ (A) ∪ π (B) = G/H. Como G/H é conexo, π (A) ∩ π (B) 6= ∅. Isso significa queexiste uma classe lateral gH que intercepta ambos os conjuntos A e B. Então, A∩ gHe B ∩ gH são abertos disjuntos e não vazios. Mas,

gH = (A ∪B) ∩ gH = (A ∩ gH) ∪ (B ∩ gH) ,


o que contradiz o fato de que H é conexo, já que gH é homeomorfo a H. 2

Quanto à reciproca da proposição anterior, é claro que G/H é conexo se G forconexo. No entanto, pode ocorrer que tanto G quanto G/H sejam conexos, mas H nãoseja conexo.Na seção 2.9 serão apresentados alguns exemplos que ilustram aplicações das proposições

anteriores para demonstrar que certos grupos topológicos são compactos ou conexos.

2.8 Homeomorfismo G/Gx → G · xUma órbita G · x de uma ação contínua G×X → X admite duas topologias naturais.Uma delas é a topologia induzida de X. Por outro lado, G · x está em bijeção com oquociente G/Gx. Por intermédio dessa bijeção pode-se colocar uma topologia em G · xdeclarando que um subconjunto A ⊂ G · x é aberto se o conjunto correspondente emG/Gx for um aberto da topologia quociente.A discussão a seguir tem por objetivo comparar essas topologias, analisando a

propriedade de homeomorfismo da aplicação ξx : G/Gx → G · x, no caso de uma açãotransitiva.

Proposição 2.30 Seja G × X → X uma a ação contínua e transitiva de G em X.Fixe x ∈ X e considere a bijeção ξx : G/Gx → X dada por ξx (gGx) = gx. Então, ξxé contínua em relação à topologia quociente em G/Gx.

Demonstração: Pela proposição 2.24 basta mostrar que ξx π é contínua. Agora,ξx π (g) = ξx (gH) = gx, isto é, ξx π = φx que é contínua se a ação é contínua. 2

A situação ideal seria poder identificar, como espaços topológicos, o espaço X ondese dá uma ação transitiva com o quociente G/Gx. Em geral isso não é possível, pois aaplicação ξx pode não ser homeomorfismo por não ser aplicação aberta, como mostrao exemplo a seguir.

Exemplo: Se G é um grupo a aplicação g ∈ G 7→ Eg define uma ação à esquerda deG em si mesmo. Essa ação é claramente transitiva e o subgrupo de isotropia Gg = 1para todo g ∈ G. Portanto, para cada g ∈ G existe um diagrama

G/1 = G

?

G -

*

Gφg

πξg

onde ξg (h) = hg. Em particular, ξ1 (h) = h é a aplicação identidade. Dessa forma,para exibir um exemplo de uma ação contínua em que ξx não é uma aplicação aberta

2.8. Homeomorfismo G/Gx → G · x 39

basta mostrar a existência de um grupo munido de duas topologias T1 e T2 com T2 ⊂6=T1.

Nesse casoξ1 = id : (G, T1) −→ (G, T2)

é contínua, mas não aberta. Se ambas topologias tornam G um grupo topológico entãoa ação à esquerda de G em G é contínua.Um exemplo de um grupo desses é dado pela reta real (R,+). Tome T1 como sendo

a topologia usual. Quanto a T2, considere um fluxo irracional no toro T2, isto é, aimagem em R2/Z2 de uma reta r ⊂ R2, com inclinação irracional. Esse conjunto é umsubgrupo de T2 isomorfo a R, porém a topologia induzida sobre a imagem é uma topolo-gia T2 em R estritamente contida na topologia a usual. Em ambas topologias R é umgrupo topológico, pois a topologia T2 é a que torna R um subgrupo topológico de T2. 2

A seguir será apresentado um resultado de caráter geral garantindo que ξx é umaaplicação aberta, dentro do contexto do teorema das categorias de Baire. Antes dissoé conveniente reduzir o problema a um único ponto.

Lema 2.31 Suponha que exista x0 ∈ X tal que para toda vizinhança aberta U ∈ V (1),o conjunto U · x0 = ξx0 (U) contém x0 em seu interior. Então, ξx é uma aplicaçãoaberta para todo x ∈ X e, portanto, é um homeomorfismo.

Demonstração: Considere em primeiro lugar ξx0 . Neste caso, dado um abertoV ⊂ G deve-se mostrar que V · x0 é um aberto, isto é, se g ∈ V então gx0 é pontointerior de V · x0. Por hipótese, se g ∈ V então U = g−1V ∈ V (1) é tal que U · x0 éuma vizinhança de x0. Isso implica que V ·x0 = (gU) ·x0 = g (U · x0) é uma vizinhançade gx0, já que g é um homeomorfismo. Isso mostra que ξx0 é aplicação aberta.Agora, se x = hx0 então ξx = ξx0 Dh. Portanto, se ξx0 é aplicação aberta, o mesmo

ocorre com ξx. 2

O resultado geral provado a seguir sobre o homeomorfismo G/Gx → X vale quandoX é um espaço de Baire, isto é, a união enumerável de conjuntos de interior vazio aindatem interior vazio. Exemplos de espaços de Baire são os espaços métricos completos ouos espaços topológicos que são de Hausdorff e localmente compactos. O seguinte lemaserá utilizado na demonstração desse resultado.

Lema 2.32 Sejam G um grupo topológico, D ⊂ G um subconjunto denso e U ∈ V (1)uma vizinhança da identidade. Então,

G =⋃g∈D

gU.

Demonstração: Tome uma vizinhança simétrica W ⊂ U . Então, dado x ∈ G existeg ∈ D tal que g ∈ xW , isto é, x−1g ∈ W . A simetria de W garante que g−1x ∈ W , oque significa que x ∈ gW ⊂ gU , concluíndo a demonstração. 2


Proposição 2.33 Seja G×X → X uma ação contínua e transitiva. Suponha que Gseja separável (isto é, admite um conjunto enumerável denso) e que X seja um espaçode Baire. Então, as aplicações ξx : G/Gx → X são homeomorfismos.

Demonstração: Tome x0 ∈ X, U ∈ V (1) uma vizinhança aberta e W uma viz-inhança simétrica tal que W 2 ⊂ U . Pelo lema 2.31 é suficiente mostrar que U · x0 évizinhança de x0. Seja gn uma sequência densa em G. Pelo lema anterior, os conjuntosgnW cobrem G e, portanto, os conjuntos gnW · x0 cobrem X. No entanto, X é umespaço de Baire, o que garante que para algum n0, gn0W ·x0 tem interior não vazio, istoé, contém gn0g · x0 em seu interior para algum g ∈ W . Como gn0g é homeomorfismo,segue que x0 é ponto interior de g−1g−1

n0(gn0W · x0). Mas,

g−1g−1n0

(gn0W · x0) = g−1W · x0 ⊂ U · x0,

concluindo a demonstração. 2

Por fim deve-se observar que no caso de ações diferenciáveis de grupos de Lie serámostrado posteriormente, com o auxílio do cálculo diferencial, que as aplicações ξx sãohomeomorfismos (na verdade difeomorfismos).

2.9 Exemplos

A seguir são apresentados alguns exemplos de ações de grupos que fornecem homeo-morfismos entre quocientes e certos espaços concretos.

1. O grupo G = Gl (n,R) age em Rn de maneira canônica: φ (g, x) = gx, g ∈Gl (n,R), x ∈ Rn. Essa ação é contínua pois φ é restrição de uma aplicaçãopolinômial (de grau 2) Mn (R)× Rn → Rn. Existem exatamente duas órbitas, aorigem 0 e o seu complementar Rn\0. É evidente que a origem é uma órbita.Para ver que o seu complementar também é uma órbita, tome e1 = (1, 0, . . . , 0) ∈Rn \ 0 e x = (x1, . . . , xn) 6= 0. Então existe uma matriz g ∈ Gl (n,R) tal quege1 = x. De fato, é possível estender x a uma base x, v2, . . . , vn−1 de Rn.Denote por e1, . . . , en a base canônica de Rn. Então, g definida por ge1 = x egei = vi, i = 2, . . . , n é um elemento de Gl (n,R) que satisfaz o desejado.

O subgrupo de isotropia em 0 é todo Gl (n,R). Já o subgrupo de isotropia Ge1

em e1 é formado pelas matrizes (em relação à base canônica) da forma(1 b0 C

)(2.1)

com b uma matriz linha 1× (n− 1) e C ∈ Gl (n− 1,R) e portanto é homeomorfoa Gl (n− 1,R) × Rn−1. Os grupos de isotropia em x 6= 0 são conjugados deGe1 . As condições da proposição 2.33 são satisfeitas aqui. Portanto, o quocienteGl (n,R) /Ge1 é homeomorfo ao cilindro Rn \ 0.

2.9. Exemplos 41

As mesmas considerações valem para o subgrupo Gl+ (n,R) = g ∈ Gl (n,R) :det g > 0, com duas diferenças. Uma é que se n = 1 deve-se tomar R+ no lugarde R. Outra diferença é que a matriz C em (2.1) deve ter determinante positivo.Dessa forma o grupo de isotropia Ge1 é homeomorfo a Gl+ (n− 1,R)× Rn−1.

Os homeomorfismos Gl+ (n,R) /Ge1 ≈ Rn \ 0 e Ge1 ≈ Gl+ (n− 1,R) × Rn−1,juntamente com a proposição 2.29 permitem mostrar que Gl+ (n,R) é conexo. Defato, Gl+ (1,R) = R+ é conexo. Como R2 \0 é conexo e no caso n = 2, o grupode isotropia Ge1 ≈ Gl+ (1,R) × R é conexo, segue que Gl+ (2,R). Procedendopor indução a proposição 2.29 garante que Gl+ (n,R) é conexo.

Como consequência, Gl (n,R) tem duas componentes conexas que são Gl+ (n,R)e Gl− (n,R) = g ∈ Gl (n,R) : det g < 0, que é uma classe lateral de Gl+ (n,R)em Gl (n,R).

A ação de canônica Gl (n,R) em Rn induz, por restrição, ações de seus subgrupos.Essas ações são todas contínuas, no entanto a estrutura das órbitas varia de acordocom o subgrupo. Alguns exemplos são apresentados nos itens a seguir.

2. Seja O (n) ⊂ Gl (n,R). As órbitas são as esferas

Sr = x ∈ Rn : |x| = r r ≥ 0.

(A norma |·| utilizada aqui é a proveniente do produto interno canônico, lem-brando que esse produto interno está implícito na definição de O (n).) O argu-mento para mostrar que as esferas são as órbitas é semelhante ao utilizado acima,estendendo vetores não nulos a bases, tomando o cuidado agora de escolher basesortonormais. O subgrupo de isotropia em e1 (ou em λe1, λ 6= 0) é formado pelasmatrizes ortogonais que têm a forma de (2.1), isto é, pelas matrizes da forma(

1 00 C

)com C ∈ O (n− 1). Esse grupo é isomorfo a O (n− 1). Pela proposição 2.33o quociente O (n) /O (n− 1) é homeomorfo à esfera de dimensão n − 1. Pelaproposição 2.28 segue que O (n) é compacto, já que as esferas são compactas eO (1) se reduz a dois pontos.

Os mesmos argumentos do item anterior permitem mostrar que as órbitas deSO (n) = g ∈ O (n) : det g = 1 também são as esferas. Nesse caso o grupo deisotropia em e1 é isomorfo a SO (n− 1). Nesse caso pode-se usar a proposição2.29 para provar por indução que SO (n) é conexo, já que SO (2) ≈ S1 é conexo,assim como as esferas Sn.

Daí segue que O (n) tem duas componentes conexas SO (n) e a classe lateralformada pelos elementos de O (n) com determinante −1.

3. O grupo Sl (n,R) = g ∈ Gl (n,R) : det g = 1 age transitivamente em Rn \ 0,como pode ser verificado através do argumento de construção de bases. Assim,


Sl (n,R) tem exatamente duas órbitas em sua ação canônica em Rn. Nesse casoos subgrupos de isotropia são homeomorfos a Sl (n− 1,R) × Rn−1. Como noscasos anteriores, uma aplicação da proposição 2.29, permite provar, por induçãoque Sl (n,R) é conexo.

4. Assim como nos exemplos anteriores pode-se aplicar a proposição 2.29 paramostrar, via a ação em Cn, que os grupos Gl (n,C) e Sl (n,C) são conexos. Adiferença para o caso real é que aqui Gl (1,C) ≈ C \ 0 é conexo (ao contráriode R \ 0), permitindo iniciar a indução.

Da mesma forma os grupos U (n) e SU (n) são compactos e conexos.

5. Novamente, seja G = Gl (n,R) e sejaX = Pn−1 o espaço projetivo dos subespaçosde dimensão um de Rn. Se V ∈ Pn−1 e g ∈ Gl (n,R) gV = gx : x ∈ V é umsubespaço de Rn de dimensão 1, e daí que gV ∈ Pn−1. A aplicação V 7→ gVdefine uma ação de Gl (n,R) em Pn−1. Esta ação é contínua em relação à seguintetopologia quociente em Pn−1. Dado v ∈ Rn, denote por [v] o subespaço geradopor v. Se v 6= 0, [v] ∈ Pn−1. Existe portanto uma aplicação sobrejetora π : v ∈Rn \ 0 7→ [v] ∈ Pn−1. Os abertos de Pn−1 são os conjuntos A ⊂ Pn−1 tais queπ−1 (A) é aberto, isto é, a topologia em Pn−1 é a topologia quociente pela relaçãode equivalência v ∼ w se v = aw, a 6= 0, em Rn \ 0. Com essa topologia a açãode Gl (n,R) é contínua. Essa ação é transitiva e o subgrupo de isotropia em [e1]é formado pelas matrizes do tipo (

a b0 C

)com a ∈ R, b uma matriz linha 1 × (n− 1) e C ∈ Gl (n− 1,R). A projeção π éequivariante em relação às ações de G em Rn \0 e Pn−1. Como no caso da açãoem Rn, essa ação induz ações de todos os grupos lineares, isto é, dos subgruposde Gl (n,R). Essas ações são denominadas de ações projetivas.

6. Analogamente às ações projetivas, o grupoGl (n,R) age na GrassmannianaGrk (n),formada pelos subespaços de Rn de dimensão k. A ação é dada por (g, V ) 7→ gVonde gV é a imagem do subespaço V pela aplicação linear g. Essa ação deGl (n,R) também é transitiva e é contínua em relação à seguinte topologia emGrk (n): denote por Bk (n) o conjunto das matrizes n× k de posto k, munido datopologia induzida pela topologia do espaço vetorial de todas as matrizes n× k.Existe uma aplicação sobrejetora π : Bk (n)→ Grk (n) que associa a uma matrizp ∈ Bk (n) o espaço vetorial gerado pelas colunas de p. Definindo em Bk (n)a relação de equivalência p ∼ q se existe a ∈ Gl (k,R) tal que p = qa. En-tão, Grk (n) se identifica ao conjunto das classes de equivalência Bk (n) / ∼ eπ : Bk (n)→ Grk (n) com a projeção canônica Bk (n)→ Bk (n) / ∼. Isso define atopologia quociente em Grk (n) cujos abertos são os conjuntos A ⊂ Grk (n) taisque π−1 (A) é aberto em Bk (n).

2.10. Exercícios 43

Seja V0 ∈ Grk (n) o subespaço gerado pelos primeiros k vetores da base canônica.Então o subgrupo de isotropia em V0 é formado pelas matrizes do tipo(

P Q0 R

)com P ∈ Gl (k,R) e Q ∈ Gl (n− k,R).

7. Seja Z um campo de vetores em uma variedade diferenciável M de classe C1 esuponha que Z seja completo, isto é, as soluções maximais de Z se estendemao intervalo (−∞,+∞). O fluxo de Z denotado Zt, t ∈ R, é definido a partirdas trajetórias t 7→ Zt (x) é a trajetória de Z que em t = 0 passa por x. Ofluxo satisfaz as propriedades Z0 (x) = x e Zt+s (x) = Zt (Zs (x)). Portanto,(t, x) 7→ Zt (x) define uma ação de R em M . Os teoremas de dependência desoluções em relação às condições iniciais garantem que essa ação é contínua. Asórbitas dessa ação são as trajetórias do campo. Já os subgrupos de isotropia emx são descritos como: 1) Gx = R se x é uma singularidade do campo de vetores,isto é, Z (x) = 0; 2) Gx = 0 se a trajetória x não é uma curva fechada e 3)Gx = ωZ se a trajetória que passa por x é periódica de período ω.

2.10 Exercícios

1. Seja G×X → X uma ação contínua do grupo topológico G no espaço topológicoX. Seja A ⊂ X um subconjunto G-invariante. Mostre que a restrição G×A→ Ada ação a A também é contínua, com a topologia induzida em A.

2. Seja G um grupo topológico tal que 1 é fechado. Mostre que se H ⊂ G ésubgrupo abeliano então o fecho H também é abeliano.

3. Seja H ⊂ G um subgrupo e denote por N (H) = g ∈ G : gHg−1 ⊂ H o seunormalizador. Mostre que se H é fechado então N (H) é fechado.

4. Seja G um grupo topológico de Hausdorff. Mostre que o centralizador g ∈ G :∀x ∈M, gx = xg do conjunto M é um subgrupo fechado.

5. Sejam G um grupo topológico de Hausdorff e K1, K2 ⊂ G subconjuntos com-pactos. Mostre que existem vizinhanças do elemento neutro V e W tal queK1V ∩ K2V = ∅ e WK1 ∩ WK2 = ∅. (Sugestão: K1K

−12 e K−1

2 K1 são com-pactos.)

6. SejamG um grupo topológico eM um espaço métrico. Uma aplicação f : G→Mé uniformemente contínua se para todo ε > 0 existe U ∈ V (1) tal que se xy−1 ∈ Uentão d (f (x) , f (y)) < ε. Mostre que se G é compacto e f : G→ M é contínuaentão f é uniformemente contínua.


7. Seja G um grupo topológico conexo e não compacto. Seja também V ⊂ G umavizinhança compacta do elemento neutro. Verifique que para todo k ≥ 1, V k écompacto. Use isso para provar que para todo k ≥ 1, V k+1 contém propriamenteV k.

8. Um subgrupo Γ de um grupo topológico G é discreto se existe uma vizinhançaV da identidade tal que V ∩Γ = 1. Mostre que se Γ é discreto, com vizinhançaV , então gV ∩Γ = g para todo g ∈ Γ. Mostre também que se G é de Hausdorffentão Γ é fechado.

9. Seja G um grupo topológico localmente conexo. Mostre que se Γ ⊂ G é umsubgrupo discreto então a projeção π : G→ G/Γ é uma aplicação de recobrimento(veja a definição na seção 7.4).

10. Sejam G um grupo topológico e Γ ⊂ G um subgrupo discreto. Mostre que seG é conexo e Γ é subgrupo normal então Γ está contido no centro Z (G) de G.(Sugestão: para x ∈ Γ considere a aplicação g ∈ G 7→ gxg−1 ∈ Γ.)

11. Sejam G um grupo topológico e H ⊂ G um subgrupo. Suponha que Γ ⊂ G é umsubgrupo discreto. Mostre que Γ ∩H é um subgrupo discreto de H.

12. Seja G um grupo (não necessariamente topológico) agindo no espaço topológicoX tal que para todo g ∈ G a aplicação induzida g : X → X é homeomorfismo.Defina a relação de equivalência em X por x ∼ y se x e y pertencem à mesmaG-órbita. Mostre que a projeção canônica X → X/ ∼ é uma aplicação abertasobre a topologia quociente.

13. Seja X um espaço topológico e x ∼ y uma relação de equivalência em X. Mostreque o espaço das classes de equivalência X/ ∼, munido da topologia quociente, éde Hausdorff se, e só se, a relação é um subconjunto fechado de X ×X.

14. Seja G um grupo compacto e tome x ∈ G. Mostre que o fecho xn : n ≥ 1 doconjunto das potências de x é um subgrupo.

15. Um subsemigrupo S de um grupo é um conjunto fechado pelo produto: se x, y ∈ Sentão xy ∈ S (não necessariamente x−1 ∈ S). Mostre que um subsemigrupofechado de um grupo compacto é um grupo (use o exercício anterior).

16. Dada uma ação contínua G×X → X do grupo topológico G no espaço X, sejaF ⊂ X um subconjunto fechado. Mostre que o semigrupo SF = g ∈ G : g (F ) ⊂F é fechado. Conclua que o subgrupo GF = g ∈ G : g (F ) = F também éfechado.

17. Sejam G um grupo topológico e H1 ⊂ H2 ⊂ G subgrupos. Defina π : G/H1 →G/H2 por π (gH1) = gH2. Verifique que esta aplicação é bem definida e mostreque ela é contínua e aberta (em relação às topologias quocientes). Mostre tambémque π é equivariante, isto é, gπ (x) = π (gx), x ∈ G/H1.


18. Sejam G um grupo topológico e H1 ⊂ H2 subgrupos fechados. Mostre que seG/H2 e H2/H1 são compactos então G/H1 é compacto. Faça o mesmo substi-tuindo “compacto”por “conexo”.

19. Sejam G um grupo topológico localmente conexo e H ⊂ G subgrupo fechadolocalmente conexo. Mostre que seH não é conexo então G/H não é simplesmenteconexo. (Sugestão: considere a componente da identidade H0 de H.)

20. SejamG um grupo topológico compacto e φ : G→ R um homomorfismo contínuo.Mostre que φ ≡ 0.

21. Mostre que se G ⊂ Gl (n,R) é um grupo compacto então para todo g ∈ G,det g = 1 ou −1.

22. Seja G um grupo topológico e suponha que o o grupo comutador [G,G] (istoé, o subgrupo de G gerado pelos comutadores xyx−1y−1, x, y ∈ G) seja denso.Mostre que se H é um grupo abeliano e φ : G → H é um homomorfismo, entãoφ é trivial, isto é, φ (x) = 1 para todo x ∈ G.

23. Mostre que os únicos subgrupos fechados de (R,+) são o próprio R e os subgruposda forma Zx, x ∈ R.

24. Mostre que O (n) é compacto e que Sl (n,R) não é compacto.

25. Mostre que SO (n) é conexo por caminhos, sem usar a proposição 2.29. (Sugestão:escreva a forma canônica de Jordan de uma matriz ortogonal).

26. Considere a ação de Sl (n,R) no espaço projetivo real Pn−1, dada por g[v] = [gv],onde [v] denota subespaço gerado por 0 6= v ∈ Rn. Mostre que essa ação étransitiva. Mostre que a restrição dessa ação a SO (n) também é transitiva.

27. Dê exemplo de um subgrupo G ⊂ Gl (n,R), não compacto, cuja ação em Pn−1

não é transitiva.

28. Substitua, nos exercícios anteriores, Pn−1 pela Grassmanniana Grk (n) dos sube-spaços de dimensão k de Rn.

29. Mostre que um grupo compacto admite uma distância bi-invariante.

30. Denote por S (∞) o grupo de todas as bijeções (permutações) de N. Para cadan ∈ N seja Sn (∞) o subgrupo de Sn (∞) formado pelos elementos que fixam cadaum dos inteiros de 1, . . . , n. Mostre que o conjunto Sn (∞), n ≥ 1, forma umsistema de vizinhanças da identidade de S (∞), dando origem a uma topologiaem S (∞), que o torna grupo topológico. Mostre que essa topologia é totalmentedesconexa.


31. Uma função f : X → R, no espaço topológico X é semicontinua superiormente(respectivamente inferiormente) se dado ε > 0 existe um aberto U 3 x0 tal quef (U) ⊂ (−∞, f (x0) + ε) (respectivamente f (U) ⊂ (f (x0)− ε,+∞)). SejamG um grupo topológico e φ : G → (R,+) um homomorfismo. Mostre que φé contínuo se for semicontinuo superiormente (ou inferiormente) em 1. Faça omesmo para um homomorfismo φ : G→ (R×, ·).

Capítulo 3

Medida de Haar

Uma medida de Haar num grupo topológico G é uma medida sobre a σ-álgebra dosconjuntos borelianos de G (isto é, a σ-álgebra gerada pelos conjuntos abertos), queé invariante por translações no grupo. Pode-se tomar medidas de Haar invariantes àesquerda ou invariantes à direita. Neste capítulo será feita a construção de medidasde Haar em grupos topológicos localmente compactos. Será demonstrada também aunicidade da medida de Haar, a menos da multiplicação por uma constante positiva.A leitura deste capítulo requer um conhecimento prévio de teoria da medida.

3.1 Introdução

Seja (X,F , µ) um espaço de medida onde F é uma σ-álgebra de subconjuntos de X(σ-álgebra dos conjuntos mensuráveis) e µ é uma medida σ-finita definida sobre F .Dada uma aplicação mensurável g : X → X em relação a F (isto é, g−1 (A) ∈ F seA ∈ F), define-se uma nova medida g∗µ sobre F por

g∗µ (A) = µ(g−1A

).

A medida µ é invariante por g se g∗µ = µ, o que significa que para todo conjunto men-surável A ∈ F , vale µ (g−1A) = µ (A). Em termos de integrais a medida transladadag∗µ satisfaz a igualdade∫

f (x) (g∗µ) (dx) =

∫f g (x)µ (dx)

para toda função f : X → R integrável em relação a µ. Essa igualdade serve comodefinição de g∗µ uma vez que se f = χA é a função característica do conjunto A(χA (x) = 1 se x ∈ A e χA (x) = 0 se x /∈ A) então g∗µ (A) =

∫χA (x) (g∗µ) (dx) e

µ (g−1A) =∫χA g (x)µ (dx).

Passando às medidas de Haar, seja G um grupo topológico e denote por F a σ-álgebra dos Borelianos de G (σ-algebra gerada pelos abertos de G). As translações deG são aplicações mensuráveis, pois são contínuas. Uma medida de Haar µ invariante àesquerda em G é uma medida sobre F (medida de Borel) tal que para toda translação

47

48 Capítulo 3. Medida de Haar

à esquerda Eg vale (Eg)∗ µ = µ, isto é, para um conjunto Boreliano A vale µ (gA) =µ (A). De maneira análoga se definem as medidas de Haar invariantes à direita, quesatisfazem µ (Ag) = µ (A).Deve-se observar que se µ é umamedida de Haar e a > 0 então a medida aµ, também

é uma medida de Haar, pois (Eg)∗ (aµ) = a((Eg)∗ µ

)(ou (Dg)∗ (aµ) = a

((Dg)∗ µ

)no

caso invariante à direita).

Teorema 3.1 Seja G grupo topológico localmente compacto de Hausdorff. Então,G admite uma única (a menos de multiplicação por uma constante a > 0) medida deHaar µ 6= 0 invariante à esquerda (respectivamente invariante à direita). Essa medidasatisfaz as seguintes propriedades:

1. Se K é compacto então µ (K) <∞.

2. Se U 6= ∅ é aberto então µ (U) > 0.

3. µ é regular, isto é, se A é um conjunto Boreliano então

(a) µ(A) = inf µ(U) com A ⊂ U e U aberto (regularidade exterior) e

(b) µ (A) = supµ (K) com K ⊂ A compacto (regularidade interior).

Esse teorema sobre as medidas de Haar será demonstrado nas seções subsequentesdeste capítulo. Na demonstração pode-se considerar apenas as medidas invariantes àesquerda. Isso porque se µ é uma medida de Haar invariante à esquerda em G entãoµ = ι∗µ é invariante à direita se ι é a inversa de G. De fato, se A é um conjuntoBoreliano então

µ (Ag) = µ(g−1A−1

)= µ

(A−1

)= µ (A) .

Vice-versa, se µ é invariante à direita então µ é invariante à esquerda. Isso significaque as medidas de Haar invariantes à esquerda e à direita são obtidas umas das outraspela aplicação inversa.Em geral, as medidas invariantes à esquerda e à direita não coincidem. Um grupo G

é dito unimodular se as medidas de Haar invariante à esquerda e à direita coincidem,isto é, elas são bi-invariantes. Por exemplo, os grupos abelianos são unimodulares, poisas translações à esquerda e à direita são iguais.

Exemplos:

1. O exemplo guia para as medidas de Haar é a medida de Lebesgue λ em R (oumais geralmente em Rn), que é invariante por translações à esquerda ou à direitapois o grupo é abeliano. Portanto a medida de Lebesgue é uma medidda de Haarnormalizada por λ ([0, 1]n) = 1.

2. Um grupo G munido da topologia discreta é localmente compacto. Uma medidade Haar µ é dada por µx = 1 para todo x ∈ G. No caso em que G é finitopode-se normalizar a medida de Haar colocando µx = 1/|G|, de tal forma queµ (G) = 1.

3.2. Construção da medida de Haar 49

3. Os grupos de Lie são localmente compactos e de Hausdorff. Portanto, admitemmedidas de Haar. Como será visto adiante no capítulo 5 a construção das medidasde Haar num grupo de Lie não requer o teorema geral acima, já que nesse caso amedida pode ser definida via uma forma volume invariante.

2

Antes de entrar na demonstração do teorema 3.1 vale observar que se G é um grupocompacto Hausdorff então, qualquer medida de Haar em G satisfaz µ (G) <∞, já queas medidas de Haar são finitas em compactos. Por outro lado, a proposição a seguirmostra que um grupo localmente compacto Hausdorff é compacto se, e só se, a medidade Haar de G é finita.

Proposição 3.2 Seja G um grupo topologico localmente compacto de Hausdorff commedida de Haar µ. Então, µ (G) =∞ se G não é compacto

Demonstração: Seja K uma vizinhança compacta e simétrica do elemento neutro.A união

H =⋃n≥1

Kn

é um subgrupo de G que satisfaz µ (H) > 0, já que K ⊂ H e µ (K) > 0. Se H écompacto então existem infinitas classes laterais gH, g ∈ G, pois G não é compacto.Como µ (gH) = µ (H) > 0 e duas classes laterais distintas são disjuntas, segue queµ (G) >∞.Por outro lado se H não é compacto então para todo n ≥ 1 a inclusão Kn ⊂ Kn+1

é própria, pois caso contrário existiria n0 tal que Kn0+k = Kn0 , k ≥ 1, e H =⋃Kn =

Kn0 , contradizendo a hipótese de que H não é compacto.Agora, se g ∈ Kn+1\Kn então, gK∩Kn−1 = ∅ pois se existisse z ∈ gK∩Kn−1 então

z = gk = k1 · · · kn−1, com k, ki ∈ K. Mas, isso implica que g = k1 · · · kn−1k−1 ∈ Kn.

Por outro lado, gK ⊂ Kn+2 pois g ∈ Kn+1. Escolhendo então uma sequência gn ∈K10n+1 \K10n, n ≥ 1, se obtém gnK∩gmK = ∅ se n 6= m. Como µ (gnK) = µ (K) > 0,a σ-aditividade garante que

µ

(⋃n≥1

gnK

)=∑n≥1

µ (K) =∞

concluíndo a demonstração de que µ (G) =∞. 2

3.2 Construção da medida de Haar

Será feita aqui a construção de uma medida de Haar invariante à esquerda no grupolocalmente compacto G. Com isso se obtém também uma medida invariante à direitaaplicando a inversa no grupo.


Denote por K a família dos subconjuntos compactos de G e como antes seja V (1)o conjunto das vizinhanças abertas de 1.O método para construir uma medida de Haar segue o que se denomina procedi-

mento de Caratheodory. Ele consiste nos seguintes passos:

1. Construir uma pré-medida em K, isto é, uma aplicação λ : K → R+, que émonotônica, subaditiva e aditiva em compactos disjuntos (veja a proposição 3.8,abaixo).

2. Definir, a partir de λ, uma função λ∗ nos abertos deG. Essa função é monotônica,σ-subaditiva e σ-aditiva (veja a proposição 3.12, abaixo).

3. Estender λ∗ a uma medida exterior µe definida em todos os subconjuntos deG. Essa medida exterior é monotônica e σ-subaditiva (veja a proposição 3.13,abaixo).

4. A teoria de medida garante então que µe é σ-aditiva nos conjuntos mensuráveisde µe (veja definição abaixo).

5. Por fim prova-se que os conjuntos Borelianos são mensuráveis. (Veja a proposição3.16, abaixo).

Nesse esquema a única passagem que é específica para grupos topológicos é o item(1). As demais valem em espaços localmente compactos de Hausdorff gerais.Para realizar a construção deve-se fixar de uma vez por todas um compactoK0 ⊂ G

de interior não vazio. A existência de K0 vem da hipótese de que G é localmentecompacto. Esse compacto serve para normalizar a medida de Haar, da mesma formaque o cubo [0, 1]n normaliza a medida de Lebesgue em Rn.A definição da pré-medida em K passa pelo seguinte conceito:

• Sejam ∅ 6= K ⊂ G compacto e ∅ 6= V ⊂ G aberto. Os conjuntos abertos xV ,x ∈ K, recobrem K e portanto existem subrecobrimentos finitos.1 O índice deK em relação a V , denotado por (K : V ), é o menor n tal que existe um conjuntofinito x1, . . . , xn ⊂ K com

K ⊂ x1V ∪ · · · ∪ xnV.

Obviamente (K : V ) ≥ 1 pois K 6= ∅.

Para um aberto dado V ∈ V (1) defina λV : K → R+ por

λV (K) =(K : V )

(K0 : V ).

Lema 3.3 A aplicação λV : K → R+, V ∈ V (1), satisfaz as seguintes propriedades:

1A escolha das translações xV leva a uma medida de Haar invariante à esquerda. O mesmoargumento se aplica às translações V x, obtendo invariância à direita.


1. λV (K1) ≤ λV (K2) se K1 ⊂ K2.

2. λV (K1 ∪K2) ≤ λV (K1) + λV (K2).

3. λV (K1 ∪K2) = λV (K1) + λV (K2) se K1V−1 ∩K2V

−1 = ∅.

Demonstração: Essas propriedades seguem quase que imediatamente da definiçãode índice:

1. Se x1, . . . , x(K2:V ) é tal que K2 ⊂ x1V ∪ · · · ∪ x(K2:V )V então esses abertostambém recobrem K1 ⊂ K2. Daí que (K1 : V ) ≤ (K2 : V ) e, portanto λV (K1) ≤λV (K2).

2. Sejam x1, . . . , x(K1:V ) e y1, . . . , y(K2:V ) tais que K1 ⊂ x1V ∪ · · · ∪ x(K1:V )V eK2 ⊂ y1V ∪ · · · ∪ y(K2:V )V . Então, a união desses (K1 : V ) + (K2 : V ) abertosrecobrem K1 ∪ K2. Daí que (K1 ∪K2 : V ) ≤ (K1 : V ) + (K2 : V ) e, portantoλV (K1 ∪K2) ≤ λV (K1) + λV (K2).

3. Tome F = x1, . . . , x(K1∪K2:V ) ⊂ K1 ∪ K2 tal que K1 ∪ K2 ⊂ x1V ∪ · · · ∪x(K1∪K2:V )V e tome x ∈ F ∩K1. Então, xV ∩K2 = ∅ pois se z ∈ xV ∩K2 entãoz ∈ K2 e z = xv com v ∈ V . Isto é, x = zv−1 ∈ K2V

−1 ∩ K1 contradizendo ahipótese. Da mesma forma, se y ∈ F ∩K2 então yV ∩K1 = ∅. Portanto,

K1 ⊂⋃

x∈F∩K1

xV e K2 ⊂⋃

y∈F∩K2

yV.

Daí que se n (respectivamente m) é o número de elementos em F ∩ K1 (res-pectivamente em F ∩ K2) então n ≥ (K1 : V ) e m ≥ (K2 : V ). Como n +m = (K1 ∪K2 : V ), segue que (K1 ∪K2 : V ) ≥ (K1 : V ) + (K2 : V ). Portanto,λV (K1 ∪K2) ≥ λV (K1) + λV (K2) e a igualdade segue do item anterior.

2

As propriedades enunciadas no lema acima estão relacionadas com a teoria de me-dida. O próximo lema, também de demonstração imediata, considera a invariância deλV .

Lema 3.4 Se g ∈ G então λV (gK) = λV (K).2

Demonstração: Como na demonstração do lema anterior, tudo se reduz a umapropriedade do índice. Seja x1, . . . , xn ⊂ K tal que K ⊂ x1V ∪ · · · ∪ xnV . Então,gK ⊂ gx1V ∪· · ·∪ gxnV e gx1, . . . , gxn ⊂ gK. Tomando em particular n = (K : V ),segue que o número minimo de transladados de V que cobrem gK é ≤ (K : V ). Istoé, (gK : V ) ≤ (K : V ). Substituindo K por gK e g por g−1, se obtém a desigual-dade contrária e daí que (gK : V ) = (K : V ). Da definição de λV se conclui que

2A invariância à esquerda de λV enunciada nesse lema se deve à escolha das coberturas por abertosdo tipo xV . A escolha por abertos V x acarretaria invariância à direita.


λV (gK) = λV (K). 2

Para definir λ independentemente de V será usada a seguinte propriedade adicionaldos índices.

Lema 3.5 (K : V ) ≤ (K : K0) (K0 : V ) onde K0 é o interior de K0.

Demonstração: Tome x1, . . . , xn ⊂ K e y1, . . . , ym ⊂ K0 tal que K ⊂ x1K0 ∪

· · · ∪ xnK0 e K0 ⊂ y1V ∪ · · · ∪ ymV , onde n = (K : K0) e m = (K0 : V ). Então,

K ⊂n⋃i=1

xiK0 ⊂

n⋃i=1

m⋃j=1

xiyjV.

Portanto K é recoberto por xiyjV , i = 1, . . . , n, j = 1 . . . , n. Daí que (K : V ) ≤ mn =(K : K0) (K0 : V ). 2

As seguintes desigualdades seguem de imediato desse lema e da definição de λV .

Corolário 3.6 0 ≤ λV (K) ≤ (K : K0).

As desigualdades desse corolário mostram que, para qualquer aberto V , a aplicaçãoλV : K → R+ pode ser vista como um elemento do produto cartesiano

P =∏K∈K

[0, (K : K0)]

dos intervalos compactos [0, (K : K0)] ⊂ R, que independem de V . Esse produtotambém é compacto.Olhando uma aplicação λV como um elemento de P pode-se definir, para cada

aberto V 6= ∅, o conjunto

M (V ) = λU ∈ P : U ∈ V (1) , U ⊂ V .

Denote por C (V ) o fecho de M (V ) em P.

Lema 3.7⋂

V ∈V(1)

C (V ) 6= ∅.

Demonstração: Como P é compacto, basta verificar que a família de fechadosC (V ) ⊂ P satisfaz a propriedade de interseção finita. Tome V1, . . . , Vk ∈ V (1) eescreva V = V1 ∩ · · · ∩ Vk. Por definição λV ∈M (Vi), i = 1, . . . , k. Daí que

λV ∈ C (V1) ∩ · · · ∩ C (Vk)

mostrando que essa interseção é não vazia. 2

Agora é possivel definir a pré-medida desejada λ nos compactos.


Definição da pré-medida λ sobre K: Escolha qualquer elemento λ ∈⋂

V ∈V(1)

C (V ),

que é interpretado como uma aplicação λ : K → R.As proposições a seguir mostram que λ ∈

⋂V ∈V(1)

C (V ) é, de fato, uma pré-medida

invariante sobre K. Para provar isso as propriedades enunciadas no lema 3.3 paraas aplicações λV serão estendidas a λ por continuidade. A continuidade é usada daseguinte forma: tome um compacto K ∈ K e denote por pK : P → [0, (K : K0)] aprojeção do produto cartesiano P =

∏K∈K

[0, (K : K0)] em sua K-componente. Essa

projeção é contínua pela definição da topologia produto. Além do mais, se ξ ∈ P évisto como uma aplicação ξ : K → R então ξ (K) = pK (ξ).

Proposição 3.8 A aplicação λ : K → R+ (λ ∈ P) é uma pré-medida finitamenteaditiva no sentido em que λ ≥ 0, λ (∅) = 0 e satisfaz as seguintes propriedades:

1. λ (K1) ≤ λ (K2) se K1 ⊂ K2.

2. λ (K1 ∪K2) ≤ λ (K1) + λ (K2).

3. λ (K1 ∪K2) = λ (K1) + λ (K2) se K1 ∩K2 = ∅.

4. λ (K1 ∪ · · · ∪Kn) ≤∑n

i=1 λ (Ki).

Além do mais λ (K) ≤ (K : K0).

Demonstração: Em primeiro lugar, λ ≥ 0. De fato, tome um compacto K eU ∈ V (1). Então, por definição λU (K) ≥ 0. Olhando λU como um elemento doproduto cartesiano P, se obtém a igualdade λU (K) = pK (λU). Daí que a projeçãopK é ≥ 0 em qualquer conjunto M (V ). Por continuidade, pK ≥ 0 em C (V ). Comoλ ∈ C (V ) para todo V ∈ V (1), segue que λ (K) = pK (λ) ≥ 0. A demonstração deque λ (∅) = 0 é similar.O mesmo argumento de continuidade se aplica na demonstração das propriedades

enunciadas:

1. Seja V ∈ V (1). Por definição um elemento de M (V ) é da forma λU com U ⊂ V .Pelo lema 3.3 vale a desigualdade λU (K1) ≤ λU (K2) se K1 ⊂ K2, que traduzidoem termos das projeções pK significa pK1 (λU) ≤ pK2 (λU). Portanto, pK1 ≤ pK2

em M (V ). Por continuidade segue que pK1 (ξ) ≤ pK2 (ξ) para todo ξ no fechoC (V ) deM (V ). Mas λ pertence a C (V ) para todo V , daí que pK1 (λ) ≤ pK2 (λ),isto é, λ (K1) ≤ λ (K2).

2. A demonstração é similar ao item (1), tomando agora as projeções pK1∪K2 , pK1 epK2 .


3. Como G é de Hausdorff existe V ∈ V (1) tal que K1V−1 ∩ K2V

−1 = ∅ (vejao exercício 5 do capítulo 2)3 . A mesma propriedade vale para todo aberto Ucom 1 ∈ U ⊂ V , isto é, K1U

−1 ∩ K2U−1 = ∅. Portanto, pelo lema 3.3 (3)

vale a desigualdade λU (K1 ∪K2) = λU (K1) + λU (K2) para todo λU ∈ M (V ).Pela continuidade das projeções pK1∪K2 , pK1 e pK2 se conclui que λ (K1 ∪K2) =λ (K1) + λ (K2), já que λ ∈ C (V ).

4. A subaditividade finita segue por indução da propriedade (2).

Por fim a última afirmação segue do corolário 3.6 pelo mesmo argumento de con-tinuidade. 2

Paralelamente às propriedades da proposição acima, relacionadas à teoria de me-dida, vale a invariância de λ.

Proposição 3.9 Se g ∈ G então λ (gK) = λ (K) para todo compacto K.

Demonstração: A demonstração segue do lema 3.4 e da continuidade das projeçõespK , K ∈ K. Fixe g ∈ G e K ∈ K. Pelo lema 3.4, λU (gK) = λU (K) para todoλU ∈ M (V ), isto é, U ⊂ V . Isso significa que pgK (λU) = pK (λU) para todo U ⊂ V .Por continuidade da projeção pK segue que pgK (ξ) = pK (ξ) para todo ξ ∈ C (V ).Como λ ∈ C (V ), segue que pgK (λ) = pK (λ), isto é, λ (gK) = λ (K), concluíndo ademonstração. 2

O seguinte enunciado conclui a discussão sobre a pré-medida λ, mostrando que ocompacto K0, escolhido inicialmente, normaliza λ.

Proposição 3.10 λ (K0) = 1.

Demonstração: De fato, se U ∈ V (1) então λU (K0) = 1 por definição, o que sig-nifica que pK0 (λU) = 1. Por continuidade, pK0 (ξ) = 1 para todo ξ ∈ C (V ) e, portanto,pK0 (λ) = 1, isto é, λ (K0) = 1. 2

Uma vez definida a pré-medida λ sobre os compactos a construção da medida deHaar segue um procedimento que vale em geral para espaços localmente compactos.Em primeiro lugar se define uma aplicação λ∗ sobre os conjuntos abertos, definindopara um aberto U ,

λ∗ (U) = supλ (K) : K ∈ K, K ⊂ U ∈ [0,+∞).

Em seguida se define uma aplicação µe em conjuntos arbitrários A ⊂ G por

µe (A) = infλ∗ (U) : A ⊂ U ⊂ G, U aberto ∈ [0,+∞).

3Nessa passagem a hipótese de que G é de Hausdorff é essencial para separar os compactos K1 eK2.


Da mesma forma que λ essas aplicações são invariantes à esquerda. De fato, seg ∈ G e U é aberto então K ⊂ gU se, e só se g−1K ⊂ U e K é compacto se, e só se,g−1K é compacto. Assim,

λ∗ (gU) = supλ (gK) : K ∈ K, K ⊂ U= supλ (K) : K ∈ K, K ⊂ U= λ∗ (U) .

De forma análoga µe (gA) é o ínfimo de λ∗ (gU) com A ⊂ U e daí que µe (gA) = µ (A).A medida de Haar µ será dada pela restrição de µe aos conjuntos Borelianos. O

teorema que deve ser demonstrado é que essa restrição é de fato uma medida σ-aditiva,o que será feito a seguir. Os argumentos para isso envolvem apenas teoria da medidae não são específicos para grupos topológicos.O primeiro passo é a demonstração da σ-subaditividade e aditividade de λ∗. Para

demonstrar isso será necessário o seguinte lema topológico.

Lema 3.11 Sejam X um espaço topológico de Hausdorff, U, V ⊂ X abertos e K ⊂U ∪ V compacto. Então, existem compactos K1 ⊂ U e K2 ⊂ V tal que K = K1 ∪K2.4

Demonstração: Os conjuntos L1 = K \U e L2 = K \V são compactos. Da inclusãoK ⊂ U ∪V segue que L1 ⊂ V , L2 ⊂ U e L1∩L2 = ∅. A hipótese de que X é Hausdorffgarante a existência de abertos V1 e V2 com V1 ∩ V2 = ∅, L1 ⊂ V1 e L2 ⊂ V2.Defina os compactosK1 = K\V1 eK2 = K\V2. Então,K1∪K2 = K\(V1 ∩ V2) = K

pois V1 ∩ V2 = ∅. Além do mais, K1 = K ∩ V c1 ⊂ K ∩ Lc1 e como Lc1 = Kc ∪ U , segue

queK1 ⊂ K ∩ (Kc ∪ U) = ∅ ∪ (K ∩ U) ⊂ U.

Da mesma forma K2 ⊂ V , concluindo a demonstração. 2

Proposição 3.12 λ∗ é uma pré-medida5 σ-aditiva no sentido em que λ∗ ≥ 0, λ∗ (∅) =0 e satisfaz as seguintes propriedades:

1. λ∗ é monotônica, isto é, λ∗ (U1) ≤ λ∗ (U2) se U1 ⊂ U2.

2. λ∗ é σ-subaditiva, isto é, λ∗

( ⋃n≥1

Un

)≤∑

n≥1 λ∗ (Un).

3. λ∗ é σ-aditiva: λ∗

( ⋃n≥1

Un

)=∑

n≥1 λ∗ (Un) se os abertos são dois a dois disjun-

tos.

4Neste lema aparece novamente a necessidade de se trabalhar com espaços Hausdorff.5O prefixo “pré”se deve a que o conjunto dos abertos não é uma σ-álgebra.


Demonstração: Segue direto da definição que λ∗ ≥ 0 e que λ∗ (∅) = 0. Já seU1 ⊂ U2 são abertos e K ⊂ U1 é compacto então K ⊂ U2. Portanto, supK⊂U1 λ (K) ≤supK⊂U2 λ (K), isto é, λ∗ (U1) ≤ λ∗ (U2).Antes de mostrar a σ-subaditividade e aditividade dos itens (2) e (3) deve-se mostrar

o caso de união e soma finitas.Tome abertos U e V . Se K é compacto com K ⊂ U ∪ V então, pelo lema acima

existem compactos K1 ⊂ U e K2 ⊂ V tal que K = K1 ∪K2. Por definição λ∗ (U) ≥λ (K1) e λ∗ (V ) ≥ λ (K2) e portanto

λ∗ (U) + λ∗ (V ) ≥ λ (K1) + λ (K2) ≥ λ (K1 ∪K2) = λ (K)

pela aditividade de λ. Daí que supK⊂U∪V λ (K) ≤ λ∗ (U)+λ∗ (V ), isto é, λ∗ (U ∪ V ) ≤λ∗ (U) + λ∗ (V ).Suponha além do mais que U ∩V = ∅ e tome compactos C1 ⊂ U e C2 ⊂ V . Então,

C1 ∩ C2 = ∅ eλ (C1) + λ (C2) = λ (C1 ∪ C2) ≤ λ∗ (U ∪ V ) .

Tomando supremo se obtém λ∗ (U) + λ∗ (V ) ≤ λ∗ (U ∪ V ), que com a desigualdadeanterior fornece λ∗ (U ∪ V ) = λ∗ (U) + λ∗ (V ).Por indução, segue

λ∗

(n⋃i=1

Ui

)≤

n∑i=1

λ∗ (Ui)

em que vale a igualdade se os abertos Ui são dois a dois disjuntos.Agora tome uma sequência Un de abertos e um compacto K ⊂

⋃n≥1

Un. Então,

existe n tal que K ⊂n⋃i=1

Ui. Por subaditividade

λ (K) ≤ λ∗

(n⋃i=1

Ui

)≤

n∑i=1

λ∗ (Ui) ≤∑i≥1

λ∗ (Ui) .

Tomando supremo, segue que λ∗

( ⋃n≥1

Un

)≤∑

n≥1 λ∗ (Un).

Se os abertos da sequência são dois a dois disjuntos então para todo inteiro m vale

λ∗

(⋃n≥1

Un

)≥ λ∗

(m⋃i=n

Un

)=

m∑n=1

λ∗ (Un) .

E como m é arbitrário se obtém∑n≥1

λ∗ (Un) ≤ λ∗

(⋃n≥1

Un

)mostrando a σ-aditividade de λ∗. 2

Agora é possível mostrar que a aplicação µe satisfaz propriedades semelhantes.


Proposição 3.13 µe é uma medida exterior no sentido em que µe ≥ 0, µe (∅) = 0 esatisfaz as seguintes propriedades:

1. µe (A1) ≤ µe (A2) se A1 ⊂ V2.

2. µe

( ⋃n≥1

An

)≤∑

n≥1 µe (An).

Demonstração: Segue direto da definição que µe ≥ 0 e µe (∅) = 0. A monotonicidadetambém é quase imedita: se A2 ⊂ U com U aberto então A1 ⊂ U e daí que µe (A1) ≤λ∗ (U). Tomando o ínfimo em relação a U ⊃ A2, segue que µe (A1) ≤ µe (A2).A σ-subaditividade é imediata se µe (An) = ∞ para algum n. Suponha então que

para todo n ≥ 1, µe (An) < ∞. Nesse caso, dados ε > 0 e n ≥ 1 existe um abertoUn ⊃ An tal que

λ∗ (Un) < µe (An) +ε

2n.

Então,⋃n≥1

An ⊂⋃n≥1

Un e portanto, pela σ-subaditividade de λ∗ vale

µe

(⋃n≥1

An

)≤ λ∗

(⋃n≥1

An

)≤∑n≥1

λ∗ (Un)

<∑n≥1

µe (An) +∑n≥1

ε

2n

=∑n≥1

µe (An) + ε.

Como ε > 0 é arbitrário vale a σ-subaditividade µe

( ⋃n≥1

An

)≤∑

n≥1 µe (An). 2

A seguinte proposição estabelece a relação entre as aplicações λ, λ∗ e µe.

Proposição 3.14 Se U ⊂ G é aberto então µe (U) = λ∗ (U). Já se K é compactoentão µe (K) ≤ λ (K) ≤ µe (K).

Demonstração: Se V é aberto com U ⊂ V então λ∗ (U) ≤ λ∗ (V ), já que λ∗ émonotonica. Portanto µe (U) = infV⊃U λ∗ (V ) = λ∗ (U).Se K é compacto e V é aberto com K ⊂ V então λ (K) ≤ λ∗ (V ), por definição de

λ∗. Portanto,λ (K) ≤ inf

V⊃Kλ∗ (V ) = µe (K) .

Por outro lado, se L ⊂ K é compacto então L ⊂ K e daí que λ (L) ≤ λ (K) pelamonotonicidade de λ. Portanto,

µe (K) = supL⊂K

λ (L) ≤ λ (K) .

2


Corolário 3.15 Se K é compacto então µe (K) <∞.

Demonstração: De fato, seja K0 o compacto básico de interior não vazio. Então,λ (K0) = 1 pela proposição 3.10. Tome x1, . . . , xn ⊂ K tal que K ⊂ x1K

0 ∪ · · · ∪

xnK0 . Então,

µe (K) ≤n∑i=1

µe (xiK0) ≤

n∑i=1

λ (xiK0) ≤ n.

2

Conforme já foi mencionado a medida de Haar µ é dada pela restrição de µe à σ-álgebra dos conjuntos de Borel. Para que essa restrição seja de fato uma medida faltaverificar que ela é σ-aditiva, complementando a subaditividade da proposição 3.13.Para isso serão usados os seguintes fatos gerais de teoria da medida.Um subconjunto A é µe-mensurável se para todo subconjunto X se tem a igual-

dadeµe (X) = µe (X ∩ A) + µe (X ∩ Ac) ,

que é equivalente a µe (X) ≥ µe (X ∩ A) + µe (X ∩ Ac) já que µe é subaditiva. DenoteporM a família dos conjuntos µe-mensuráveis. Então, valem os seguintes resultadosque não serão demonstrados aqui6:

1. M é uma σ-álgebra (∅ ∈ M, se A ∈M então Ac ∈M eM é fechado por uniõesenumeráveis).

2. µe é σ-aditiva emM, isto é, µe

( ⋃n≥1

An

)=∑

n≥1 µe (An) se os conjuntos An ∈

M são dois a dois disjuntos.

Esses resultados garantem que a restrição de µe aM é uma medida. Além do maisessa medida é completa no sentido em que se µe (A) = 0 e B ⊂ A então B ∈ M eµe (B) = 0. Isso porque A é µe-mensurável se µe (A) = 0, pois dado um conjunto X amonotonicidade de µe garante que

µe (X) = µe (A) + µe (X) ≥ µe (A ∩X) + µe (X ∩ Ac) .

Além do mais se B ⊂ A e µe (A) = 0 então µe (B) = 0 novamente pelo fato de que µeé monotonica.Em vista desses resultados para concluir a construção da medida de Haar basta

verificar subconjuntos de Borel são µe-mensuráveis, o que é feito a seguir.

Proposição 3.16 Os conjuntos Borelianos são µe-mensuráveis.

6Veja, por exemplo a seção 11 de Halmos [18].


Demonstração: Basta mostrar que os abertos são mensuráveis, já que M é umaσ-álgebra. Seja U um aberto e tome um subconjunto arbitrário X. Se µe (X) = ∞então a desigualdade µe (X) ≥ µe (X ∩ U) + µe (X ∩ U c) é satisfeita trivialmente.Assuma portanto que µe (X) < ∞ e tome ε > 0. Então, existe um aberto V ⊃ X

tal que µe (X) ≤ λ∗ (V ) < µe (X) + ε. Tome um compacto C ⊂ V ∩ U tal queλ∗ (V ∩ U) − ε < λ (C) ≤ λ∗ (V ∩ U). Tome também um compacto D ⊂ V ∩ Cc talque λ∗ (V ∩ Cc)− ε < λ (D) ≤ λ∗ (V ∩ Cc). Então, V ∩ U c ⊂ V ∩ Cc pois C ⊂ U , daíque

µe (V ∩ U c)− ε ≤ µe (V ∩ Cc)− ε < λ (D)

pois µe (V ∩ Cc) = λ∗ (V ∩ Cc). Portanto,

µe (X ∩ U) + µe (X ∩ U c)− 2ε ≤ µe (V ∩ U) + µe (V ∩ U c)− 2ε

≤ λ (C) + λ (D) = λ (C ∪D)

já que C ∩ D = ∅, pois D ⊂ D ⊂ V ∩ Cc. Mas, C ∪ D é um compacto contido noaberto (V ∩ U) ∪ (V ∩ Cc) ⊂ V . Portanto, pela definção de λ∗ segue que

λ (C ∪D) ≤ λ∗ (V ∩ U) ∪ (V ∩ Cc) ≤ λ∗ (V ) .

Mas pela escolha de V , λ∗ (V ) < µe (X) + ε. Essas desigualdades mostram que

µe (X ∩ U) + µe (X ∩ U c) < µe (X) + 3ε

e como ε > 0 é arbitrário, segue a desigualdade desejada µe (X ∩ U) + µe (X ∩ U c) ≤µe (X), mostrando que o aberto U é µe-mensurável. 2

Por fim as propriedades enunciadas no teorema 3.1 foram verificadas ao longo daconstrução. São elas:

1. µ (K) <∞ se K é compacto pelo corolário 3.15.

2. Se U 6= ∅ é aberto então µ (U) > 0. De fato, seja K0 o compacto escolhido paranormalizar a medida de Haar. Então, µ (K0) ≥ λ (K0) = 1 pela proposição 3.14.Dado um aberto U 6= ∅ existe x1, . . . , xn ⊂ K0 tal que K0 ⊂ x1U ∪ · · · ∪ xnU ,de onde se tira que

µ (K0) ≤n∑i=1

µ (x1U) =

n∑i=1

µ (U) = nµ (U)

o que mostra que µ (U) > 0.

3. Regularidade exterior: para um Boreliano A, µ(A) = inf µ(U) com A ⊂ U e Uaberto. Essa é a própria definição de µe = µ.


4. Regularidade interior: se U é aberto então µ (U) = supµ (K) com K ⊂ Ucompacto. De fato, µ (U) = λ∗ (U) = supK⊂U λ (K). Mas pela proposição 3.14vale a desigualdade µe (K) ≤ λ (K) ≤ µe (K) = µ (K). Daí que

µ (U) = supK⊂U

λ (K) ≤ supK⊂U

µ (K) ≤ µ (U)

pois µ (K) ≤ µ (U) se K ⊂ U . Isso mostra que os abertos são internamenteregulares. Porém, um teorema geral em teoria da medida garante que umamedidaé regular se os compactos são externamente regulares e os abertos internamenteregulares.7 Portanto, µ é de fato uma medida regular.

3.3 Unicidade

Sejam µ1 e µ2 medidas de Haar invariantes à esquerda. Então,

µ = µ1 + µ2

também é uma medida de Haar invariante à esquerda. As medidas µ1 e µ2 são absolu-tamente continuas em relação à µ, pois se A é um conjunto Boreliano com µ (A) = 0então µ1 (A) + µ2 (A) = 0, o que implica que µ1 (A) = µ2 (A) = 0.Portanto, pelo teorema de Radon-Nikodym existe uma função mensurável (derivada

de Radon-Nikodym) f : G→ R+ tal que

µ1 (A) =

∫A

f (x)µ (dx)

para todo conjunto mensurável A.Dito isso, a ideia da demonstração consiste em verificar que f é (quase sempre)

constante, pois segue daí que µ1 é um múltiplo de µ. O mesmo argumento se aplica aµ2 o que garante que as medidas são múltiplas umas das outras.Para provar que f é quase sempre constante seja F (x, y) = f (y−1x). Se A,B ⊂ G

são conjuntos mensuráveis então∫A×B

F (x, y) (µ× µ) (d (x, y)) =

∫B

(∫A

f(y−1x

)µ (dx)

)µ (dy)

=

∫B

(∫A

f (x)µ (dx)

)µ (dy)

=

∫A×B

f (x) (µ× µ) (d (x, y)) .

7Veja, por exemplo a seção 52 de Halmos [18] e mais especificamente o teorema F.

3.4. Função modular 61

Como A e B são arbitrários essa igualdade implica que o conjunto N = (x, y) :F (x, y) 6= f (x) satisfaz µ× µ (N) = 0, isto é,

0 = µ× µ (N) =

∫N

(µ× µ) (d (x, y))

=

∫G

(∫G

χN (x, y)µ (dy)

)µ (dx)

=

∫G

µ (Nx)µ (dx)

onde Nx = (x ×G)∩N . Isso implica que para µ-quase todo x vale µ (Nx) = 0. Mas,(x, y) ∈ Nx se, e só se, f (y−1x) 6= f (x). Portanto, se µ (Nx0) = 0 então f (y−1x0) =f (x0) para todo y a menos de um conjunto de medida nula (o próprio Nx). Daí quef (x) é quase sempre constante, o que mostra que µ1 = a1µ para a1 > 0.Por fim, os mesmos argumentos mostram que µ2 = a2µ, a2 > 0, concluindo que

µ1 = aµ2, a = a1a−12 .

3.4 Função modular

A função modular é uma função (na verdade um homomorfismo) em G a valores reaisque compara as medidas de Haar invariantes à esquerda com as invariantes à direita.Para defini-la seja µ uma medida de Haar invariante à esquerda no grupo topológico

G Hausdorff e localmente compacto. Se g ∈ G então (Dg)∗ µ ((Dg)∗ µ (A) = µ (Ag−1))também é uma medida de Haar invariante à esquerda, pois as translações à esquerdacomutam com a translações à direita. Pela unicidade da medida de Haar existe umreal ∆ (g) > 0 tal que

(Dg)∗ µ = ∆ (g)µ.

Por definição ∆ (g) é a função modular de G. Essa definição não depende daescolha de µ pois se ν = aµ, a > 0, então (Dg)∗ (aµ) = a (Dg)∗ (µ) = ∆ (g) ν.Se o grupo G é unimodular então a medida de Haar invariante à esquerda µ também

é invariante à direita e assim ∆ (g) = 1 para todo g. Reciprocamente, se ∆ é constante= 1 então µ é invariante à direita e o grupo é unimodular.A função modular pode ser calculada a partir de um único conjunto Borel mensu-

rável A tal que 0 < µ (A) <∞ (por exemplo, A pode ser um compacto de interior nãovazio). Isso porque por definição µ (Ag−1) = ∆ (g)µ (A) e, portanto,

∆ (g) = µ(Ag−1

)/µ (A) .

Esta igualdade mostra também que µ (Ag−1) > 0 se 0 < µ (A) <∞, já que ∆ (g) > 0.Por essa forma de escrever ∆ se obtém a seguinte propriedade de homomorfismo de ∆.

Proposição 3.17 ∆ é homomorfismo a valores no grupo multiplicativo dos reais po-sitivos.


Demonstração: Se g, h ∈ G e A é mensurável tal que 0 < µ (A) <∞ então

∆ (gh) =µ (Ah−1g−1)

µ (A)=µ (Ah−1g−1)

µ (Ah−1)

µ (Ah−1)

µ (A)= ∆ (g) ∆ (h) .

2

A seguir será demonstrado que ∆ é contínua. Para isso será usado o seguinte lematopológico.

Lema 3.18 No grupo topológico G sejam K um compacto e U um aberto tal que K ⊂U . Então, existe um aberto V com 1 ∈ V tal que KV ⊂ U .

Demonstração: Se x ∈ K então 1 ∈ x−1U e portanto existe um aberto Vx com 1 ∈ Vxtal que Vx ⊂ V 2

x ⊂ x−1U . Como os abertos xVx recobrem K existe x1, . . . , xn ⊂ Ktal que K ⊂ x1Vx1 ∪ · · · ∪ xnVxn . O aberto V = Vx1 ∩ · · · ∩ Vxn , que contém 1, satisfazKV ⊂ U . Para ver isso tome y ∈ K. Então, existe i = 1, . . . , n tal que y ∈ xiVxi .Portanto,

yV ⊂ xiVxiV ⊂ xiV2xi⊂ U

pois V 2xi⊂ x−1

i U . Como y ∈ K é arbitrário isso mostra que KV ⊂ U . 2

Proposição 3.19 A função modular ∆ é contínua e, portanto, mensurável.

Demonstração: Como ∆ é homomorfismo basta mostrar sua continuidade no ele-mento neutro 1. No entanto, como ∆ é homomorfismo é suficiente mostrar a semi-continuidade superior em 1, isto é, mostrar que para todo δ > 0 existe uma vizinhançaV ∈ V (1) tal que se g ∈ V então ∆ (g) < 1 + δ. De fato, a existência da vizinhançaV garante que para todo g na vizinhança simétrica W = V ∩ V −1 vale ∆ (g) < 1 + δ.Como g−1 ∈ W , vale também que ∆ (g)−1 = ∆ (g−1) < 1+δ, isto é, ∆ (g) > 1/ (1 + δ).Daí que dado ε > 0, se 0 < δ < minε, ε/ (1− ε) e g ∈ W então 1−ε < ∆ (g) < 1+ε,mostrando que ∆ é contínua em 1.Para mostrar a semi-continuidade superior tome um compacto K ⊂ G de in-

terior não vazio. Como 0 < µ (K) < ∞, a função modular é dada por ∆ (g) =µ (Kg−1) /µ (K) e a semi-continuidade superior em 1 se traduz na afirmação de quepara todo ε > 0 existe uma vizinhança V ∈ V (1) tal que se g ∈ V então µ (Kg−1) <µ (K) + ε.Agora pode-se aplicar a regularidade exterior de µ. Dado ε > 0 seja U um aberto

com K ⊂ U tal que µ (U) < µ (K) + ε. Pelo lema anterior existe V ∈ V (1) tal queKV −1 ⊂ U . Então, Kg−1 ⊂ U para todo g ∈ V e daí que

µ(Kg−1

)≤ µ (U) < µ (K) + ε

se g ∈ V , mostrando a semi-continuidade superior e concluindo a demonstração. 2

Uma outra forma de ver a função modular ∆ é derivada de Radon-Nikodym damedida de Haar µ invariante à direita à medida invariante à esquerda µ.

3.4. Função modular 63

Proposição 3.20 Seja µ uma medida de Haar invariante à esquerda. Então, ∆ éderivada de Radon-Nikodym de µ = ι∗µ em relação a µ.

Demonstração: Fixe um conjunto mensurável A tal que 0 < µ (A) < ∞ de talforma que ∆ (g) = µ (Ag−1) /µ (A). Essa igualdade mostra, em particular que a funçãog 7→ µ (Ag−1) é contínua, já que ∆ é contínua. Por essa continuidade, se K ⊂ G écompacto então existe a integral∫

G

χK (x)µ(Ax−1

)µ (dx) .

Essa integral é determinada pela seguinte sequência de igualdades∫G

χK (x)µ(Ax−1

)µ (dx) =

∫G

χK (x)

∫G

χAx−1 (y)µ (dy)µ (dx)

=

∫G

χK (x)

∫G

χA (yx)µ (dy)µ (dx)

=

∫G

∫G

χK (x)χA (yx)µ (dx)µ (dy)

pelo teorema de Fubini. Usando a invariância à esquerda de µ e trocando novamentea ordem de integração essa última integral fica sendo∫

G

χA (x)

∫G

χK(y−1x

)µ (dy)µ (dx) =

∫G

χA (x)

∫G

χK (yx) µ (dy)µ (dx)

=

∫G

χA (x)

∫G

f (y) µ (dy)µ (dx) ,

pela invariância à direita de µ. Portanto,∫G

χK (x)µ(Ax−1

)µ (dx) = µ (A) µ (K)

de onde se conclui que

µ (K) =1

µ (A)

∫G

χK (x)µ(Ax−1

)µ (dx)

=

∫G

χK (x) ∆ (x)µ (dx) .

Seja µ′ a medida definida por

µ′ (B) =

∫B

∆ (x)µ (dx) .

Então, µ′ é regular, pois ∆ é contínua e coincide com µ nos compactos. Como µ tam-bém é regular, deve-se ter µ = µ′, concluindo a demonstração. 2


Por fim um comentário sobre grupos de Lie: para esses grupos a presença da es-trutura diferenciável permite uma construção bem mais simples das medidas de Haarvia integração em relação a formas diferenciais. Nesse caso as funções modulares ficamdefinidas a partir de determinantes de aplicações lineares dadas pela representaçãoadjunta. (Veja seção 5.6 do capitulo 5.) A construção via formas volume fornecerádiversos exemplos concretos de medidas de Haar.

3.5 Exercícios

1. Sejam G e H grupos localmente compactos com medidas de Haar µG e µH , res-pectivamente. Mostre que µG×µH é uma medida de Haar em G×H. Generalizepara um produto finito de grupos topológicos.

2. Seja G um grupo localmente compacto e de Hausdorff com medida de Haarinvariante à esquerda µ. Dado um subgrupo compacto K ⊂ G denote por π :G→ G/K a projeção canônica e defina π∗µ (A) = µ (π−1 (A)) para um conjuntoBoreliano A ⊂ G/K (considerado com a topologia quociente). Mostre que π∗µé uma medida bem definida sobre os Borelianos de G/K invariante pela ação deG. Em particular, se K é normal então π∗µ é uma medida de Haar em G/K.

3. Sejam K um grupo compacto Hausdorff com medida de Haar µ e ρ : K → Gl (V )uma representação contínua de K no espaço vetorial de dimensão finita V . Tomev ∈ V e seja w ∈ V dado por

w =

∫K

(ρ (k) v)µ (dk) .

Mostre que w é um ponto fixo de K, isto é ρ (k)w = w para todo k ∈ K.Use essa informação para mostrar que se a representação é irredutível (isto é, osúnicos subespaços invariantes são 0 e V ) então para todo v ∈ V ,∫

K

(ρ (k) v)µ (dk) = 0.

4. Sejam µ e ν duas medidas de probabilidade sobre os Borelianos de um grupotopológico G. O produto de convolução µ ∗ ν entre µ e ν é definido porµ∗ν = p∗ (µ× ν) onde p : G×G→ G é o produto emG e µ×ν é a medida produtoem G × G. Mostre que se A ⊂ G é um conjunto Boreliano então µ ∗ ν (A) =∫Gν (g−1A)µ (dg). Mostre também que se µ é medida de Haar no grupo compacto

G então µ ∗ µ = µ.

5. Seja K um grupo compacto Hausdorff com medida de Haar µ. Este exercícioindica uma demonstração de que o conjunto C (K) das funções contínuas em K édenso no espaço de Hilbert L2 (K,µ). (Esse fato não é restrito à medida de Haarmas vale para espaços com medida regular.) Suponha por absurdo que C (K) 6=L2 (K,µ) e verifique que existe f ∈ L2 (K,µ) tal que

∫Kf (x) g (x)µ (dx) = 0

para toda g ∈ C (K).

3.5. Exercícios 65

(a) Sejam C ⊂ K um compacto e An, n ∈ N e uma sequência de abertos em Ktal que C =

⋂n

An. Use o lema de Urysohn para construir uma sequência de

funções contínuas fn que converge pontualmente à função característica χCde C.

(b) Use o item anterior (e a regularidade de µ) para mostrar que∫Cf (x)µ (dx) =

0 para todo compacto C.

(c) Use a regularidade interior de µ para mostrar que∫Af (x)µ (dx) = 0 para

conjunto Boreliano A.

(d) Mostre que f = 0 quase sempre, via as igualdades∫f<0 f (x)µ (dx) = 0 =∫

f>0 f (x)µ (dx).

Capítulo 4

Representações de gruposcompactos

Neste capítulo serão provados alguns resultados sobre representações de grupos com-pactos. A maior parte das demonstrações envolve integração em relação à medida deHaar, que é finita. Por isso se assume de uma vez por todas que os grupos são deHausdorff.O resultado principal é o teorema de Peter-Weyl, que juntamente com as relações

de ortogonalidade de Schur, generaliza a construção das séries de Fourier sobre S1.

4.1 Representações

Um grupo compacto (Hausdorff) K é unimodular, pois a função modular ∆ : K → R+

é um homomorfismo contínuo. Portanto, sua imagem ∆ (K) é um subgrupo compactodo grupo multiplicativo R+. Como o único subgrupo compacto de R+ é 1, se concluique ∆ (K) = 1 e daí que ∆ é constante = 1. Por isso a medida de Haar µ ébi-invariante e será escolhida sempre com a normalização µ (K) = 1.O uso de técnicas de integração em grupos compactos é grandemente favorecido pelo

fato de que funções contínuas são integráveis. Isso porque se f : K → R é contínuaentão f é limitada e, portanto as integrais de sua parte positiva f+ (x) = maxf (x) , 0e de sua parte negativa f− (x) = −minf (x) , 0 são finitas. Daí que∫

f (x)µ (dx) =

∫f+ (x)µ (dx)−

∫f− (x)µ (dx)

é bem definida. Da mesma forma funções contínuas a valores em espaços vetoriais reaisde dimensão finita são integráveis.Emmuitas situações a integração em relação à medida de Haar num grupo compacto

é utilizada para obter objetos invariantes pela ação do grupo. Por exemplo, seja K umgrupo compacto e ρ : K → Gl (V ) uma representação de K no espaço vetorial real

67

68 Capítulo 4. Representações de grupos compactos

de dimensão finita V . Se ρ é contínua então para todo v0 ∈ V a aplicação f : K → Vdefinida por f (k) = k · v0 é contínua e portanto integrável. Isso significa que

vinv =

∫K

f (k)µ (dk) =

∫K

ρ (k) v0µ (dk)

é um vetor bem definido em V . Esse vetor é fixado por todo g ∈ K. De fato,

ρ (g) · vinv = ρ (g)

∫K

ρ (k) v0µ (dk) =

∫K

ρ (gk) v0µ (dk) ,

pela linearidade da integral. Portanto,

ρ (g) · vinv =

∫K

ρ (k) v0

((Eg)∗ µ

)(dk)

= vinv

pois (Eg)∗ µ = µ. Essa invariância significa que vinv é auto-vetor associado ao auto-valor 1 de todo ρ (g), g ∈ K. Daí se conclui, por exemplo que se algum ρ (g) não temauto-valor 1 então

∫Kρ (k) v0µ (dk) = 0 para todo v0 ∈ V .

O mesmo método de integração é usado na proposição a seguir, que é fundamentalna teoria de representações de grupos compactos.

Proposição 4.1 Sejam K um grupo compacto Hausdorff e ρ : K → Gl (V ) umarepresentação contínua de K no espaço vetorial real (respectivamente complexo) Vde dimensão finita. Então, existe um produto interno (respectivamente um produtoHermitiano) (·, ·) em V , que é K-invariante, isto é, (ρ (k)u, ρ (k) v) = (u, v) para todok ∈ K, u, v ∈ V .1

Demonstração: Seja µ a medida de Haar de K normalizada por µ (K) = 1. Tomeum produto interno qualquer B (·, ·) em V e defina a aplicação (·, ·) : V × V → R por

(u, v) =

∫K

B (ρ (k)u, ρ (k) v)µ (dk) . (4.1)

Essa integral é bem definida pelo fato de µ ser uma medida finita e a função k ∈ K 7→B (ρ (k)u, ρ (k) v) ∈ R (com u e v fixados) ser contínua e, portanto, integrável. ComoB é bilinear e simétrica o mesmo vale para (·, ·). Se u = v então o integrando de (4.1)B (ρ (k)u, ρ (k)u) > 0 para todo k ∈ K. Isso implica que (u, u) ≥ 0 e se u 6= 0 então(u, u) > 0 pois B (ρ (k)u, ρ (k)u) é contínua como função de k. Portanto, (·, ·) é defato um produto interno em V . Para ver que ele é K-invariante, tome g ∈ K. Comoρ (kg) = ρ (k) ρ (g), segue que

(ρ (g)u, ρ (g) v) =

∫K

B (ρ (kg)u, ρ (kg) v)µ (dk)

=

∫K

B (ρ (k)u, ρ (k) v)((Dg)∗ µ

)(dk) .

1O produto interno ou o produto Hermitiano são pontos fixos no espaço das forma quadráticas oudas formas sesquilineares.

4.1. Representações 69

Mas, como µ é invariante por translações à direita, a última integral se reduz ao segundomembro de (4.1), o que mostra que (ρ (g)u, ρ (g) v) = (u, v), concluíndo a demonstraçãono caso real. O caso complexo é semelhante. 2

Em outras palavras a proposição acima assegura que qualquer representação dedimensão finita de um grupo de Lie compacto assume valores no grupo O (n) ou U (n)das isometrias de um produto interno ou de um produto Hermitiano.O fato de que os elementos ρ (g) são isometrias garante que W⊥ é um subespaço

K-invariante se W for K-invariante, isto é, ρ (k)W ⊂ W para todo k ∈ K. De fato,se u ∈ W , v ∈ W⊥ e k ∈ K então

(ρ (k) v, u) =(v, ρ

(k−1)u)

= 0

já que ρ (k−1)u ∈ W . Como u ∈ W é arbitrário segue que ρ (k) v ∈ W⊥. Dessaobservação se obtém a seguinte decomposição do espaço da representação.

Proposição 4.2 Sejam K um grupo compacto Hausdorff e ρ : K → Gl (V ) umarepresentação contínua de K no espaço vetorial real ou complexo V . Então, V sedecompõe numa soma direta

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vnonde cada subespaço Vi é invariante por K (isto é, ρ (k)W ⊂ W se k ∈ K) e irre-dutível (isto é, não admite subespaços invariantes além dos triviais 0 e Vi).

Demonstração: Considere o caso real e tome um produto interno K-invariante (·, ·)em V . Se V é irredutível não há nada a demonstrar (a decomposição contém um únicotermo). Caso contrário, seja 0 6= W ⊂ V um subespaço invariante por K. Então,W⊥ também é invariante.Se W e W⊥ são irredutíveis então a decomposição desejada é V = W ⊕W⊥. Caso

contrário —da mesma forma que V —W (ouW⊥) se escreve como soma direta de sube-spaços invariantes e ortogonais entre si. Decompondo dessa forma, sucessivamente, ossubespaços invariantes se chega à decomposição de V em invariantes irredutíveis, jáque em cada passo as dimensões dos subespaços diminuem. 2

Uma ferramenta útil em teoria de representações é o chamado lema de Schur. Elediz respeito ao centralizador de subconjuntos de transformações lineares de um espaçovetorial V e se aplica, em particular, a representações de grupos.Sejam A e B transformações lineares em End (V ) que comutam entre si. Então

A (Bv) = BAv = 0 se Av = 0 e Bw = B (Av) = A (Bv) se w = Av. Isso significa quekerA e imA são invariantes por B.Dito isso tome um subconjunto Γ ⊂ End (V ) tal que os únicos subespaços invari-

antes por Γ sejam os triviais 0 e V . Se L ∈ End (V ) comuta com os elementos deΓ então kerL e imL são subespaços invariantes por Γ. Como Γ é irredutível, segueque as possibilidades para kerL e imL são 0 e V , o que significa que L = 0 ou L ébijetora.


Suponha, além do mais, que L tem um auto-vetor em V , associado a um auto-valorλ no corpo de escalares de V . Então, L−λ · id também comuta com todos os elementosde Γ. O que implica, no caso irredutível, que L − λ · id é 0 ou bijetora. No entanto,L− λ · id não pode ser bijetora, pois L tem auto-vetores. Daí que L− λ · id = 0, istoé, L = λ · id é uma transformação escalar. Esse é o resultado do lema de Schur:

Proposição 4.3 Sejam V um espaço vetorial sobre K e Γ ⊂ End (V ) um conjuntoirredutível de transformações lineares de V . Seja L ∈ End (V ) que comuta com todosos elementos de Γ. Suponha que L tem um auto-vetor em V associado ao auto-valorλ ∈ K. Então, L = λ · id. Em particular, se K é algebricamente fechado e dimV <∞,então o centralizador de Γ em End (V ) é o subespaço das transformações escalares.

Uma consequência imediata do lema de Schur é que qualquer representação irre-dutível ρ de um grupo abeliano G (não necessariamente compacto) num espaço vetorialcomplexo tem dimensão no máximo 1. Isso porque ρ (g) = λ (g) · id para todo g ∈ G edaí que qualquer subespaço é invariante e assim a única possibilidade de ser irredutívelé quando a dimensão é 1 (ou 0).Para representações em espaços reais em geral os elementos do centralizador não

são escalares, como mostra o exemplo da representação canônica de S1 em R2 dadapor

θ 7→(

cos θ −senθsenθ cos θ

). (4.2)

A partir do lema de Schur se obtém o seguintes resultados sobre representações degrupos compactos.

Proposição 4.4 Sejam K um grupo compacto Hausdorff e ρ : K → Gl (V ) uma repre-sentação irredutível e contínua de K no espaço vetorial real (respectivamente complexo)V . Se (·, ·)1 e (·, ·)2 são produtos internos (respectivamente produtos Hermitianos) in-variantes então (·, ·)1 = λ (·, ·)2 para algum λ > 0.

Demonstração: Em ambos os casos existe P ∈ End (V ) tal que (u, v)1 = (Pu, v)2,sendo que P é simétrica em relação a (·, ·)2, no caso real e Hermitiana, no caso complexo.Em qualquer dos casos os auto-valores de P são reais. As seguintes igualdades valempara todo k ∈ K e u, v ∈ V , já que os dois produtos são invariantes

(Pu, v)2 = (u, v)1 = (ρ (k)u, ρ (k) v)1

= (Pρ (k)u, ρ (k) v)2 =(ρ(k−1)Pρ (k)u, v

)2.

Portanto, P = ρ (k−1)Pρ (k), isto é, P comuta com ρ (k), k ∈ K. Pelo lema de SchurP = λ · id, isto é, (·, ·)1 = λ (·, ·)2, concluíndo a demonstração. 2

Consequentemente o conjunto dos produtos internos ou Hermitianos invariantesnum representação irredutível é parametrizado por R+. Já numa representação arbi-trária de dimensão finita de um grupo compacto esse conjunto é parametrizado por

4.1. Representações 71

Rn+ onde n é o número de componentes irredutíveis, pois os produtos internos ou Her-mitianos invariantes são obtidos por somas diretas de suas restrições invariantes nascomponentes irredutíveis.Sejam agora ρ1 e ρ2 representações de K nos espaços V1 e V2, respectivamente.

Tome uma transformação linear L : V1 → V2 que comuta as representações, isto é,Lρ1 (k) = ρ2 (k)L para todo k ∈ K. Então, como no lema de Schur kerL e imLsão invariantes por K (ou melhor, pelas representações ρ1 e ρ2, respectivamente). Daíque se ρ1 é irredutível L = 0 ou L é injetora e se ρ2 é irredutível então L = 0 ouL é sobrejetora. Se ambas as representações são irredutíveis então L = 0 ou L éisomorfismo. Nesse último caso se diz que as representações são equivalentes.O método de integração em relação à medida de Haar fornece transformações line-

ares que comutam representações.

Proposição 4.5 Sejam ρ1 e ρ2 representações do grupo compacto K nos espaços V1 eV2 sobre R ou C, de dimensão finita. Para qualquer transformação linear L0 : V1 → V2

defina Linv : V1 → V2 por

Linv =

∫K

ρ2

(x−1)L0ρ1 (x)µ (dx) . (4.3)

Então, Linv é linear e satisfaz Linvρ1 (k) = ρ2 (k)Linv para todo k ∈ K. Além do maisse ρ1 = ρ2 = ρ e V1 = V2 = V então trLinv = trL0.

Demonstração: A integral em (4.3) é bem definida pois o integrando é uma aplicaçãocontínua a valores no espaço L (V1, V2) das transformações lineares V1 → V2. Se k ∈ Kentão

Linvρ1 (k) =

∫K

ρ2

(x−1)L0ρ1 (xk)µ (dx)

=

∫K

ρ2 (k) ρ2

((xk)−1)L0ρ1 (xk)µ (dx)

= ρ2 (k)Linv

pela invariância à direita de µ, mostrando que Linv comuta as representações.Para ver a igualdade dos traços seja e1, . . . , en uma base ortonormal de V em

relação ao produto interno (ou Hermitiano) invariante (·, ·). Então,

trLinv =∑i

(Linvei, ei) =∑i

∫K

(ρ(x−1)L0ρ (x) ei, ei

)µ (dx)

=

∫K

∑i

(L0ρ (x) ei, ρ (x) ei)µ (dx) =

∫K

(trL0)µ (dx) ,

pois ρ (x) e1, . . . , ρ (x) en também é base ortonormal para qualquer x ∈ K. A últimaintegral é trL0, concluíndo a demonstração. 2


Essa proposição juntamente com o lema de Schur mostra que se ρ1 e ρ2 são rep-resentações irredutíveis não equivalentes então a integral de (4.3) se anula. Por outrolado, se ρ1 = ρ2 = ρ é irredutível e V é um espaço complexo então a integral é umescalar Linv = λ · id. No caso real a integral pode não ser um escalar como mostra oseguinte exemplo.

Exemplo: Tome a representação canônica de S1 em R2 dada em (4.2) e a conjugação(cos θ senθ−senθ cos θ

)(0 10 0

)(cos θ −senθsenθ cos θ

)=

(senθ cos θ cos2 θ−sen2θ −senθ cos θ

).

Sua integral em relação à medida de Haar normalizada é

1

2π

∫ 2π

0

(senθ cos θ cos2 θ−sen2θ −senθ cos θ

)dθ =

(0 1/2−1/2 0

)(4.4)

que não é matriz escalar. 2

4.2 Relações de ortogonalidade de Schur

Seja L2 (K,µ) o espaço das funções f : K → C mensuráveis e quadraticamente inte-gráveis em relação à medida de Haar µ, que é um espaço de Hilbert com o produtoHermitiano

(f, g) =

∫K

f (x) g (x)µ (dx) .

A seguir a proposição 4.5 será utilizada para mostrar as chamadas relações deortogonalidade de Schur, que dão os valores do produto Hermitiano de L2 (K,µ) paracertas funções definidas por representações de K.Seja ρ : K → Gl (V ) uma representação contínua de dimensão finita. Um coefi-

ciente matricial de ρ é uma função do tipo

fu,v (k) = (ρ (k)u, v)

onde (·, ·) é o produto (interno ou Hermitiano) invariante por K e u, v ∈ V . A funçãoassume valores reais ou complexos, dependendo se V é real ou complexo. A razão dessenome é que se e1, . . . , en é uma base ortonormal de V então as entradas da matrizde ρ (k) em relação a essa base são dadas por fei,ej (k).As relações de ortogonalidade de Schur determinam integrais do tipo

(fu1,u2 , fv1,v2) =

∫K

fu1,u2 (k) fv1,v2 (k)µ (dk)

onde u1, u2 e v1, v2 são elementos de espaços de representações irredutíveis do grupocompacto K. Essas relações de ortogonalidade são enunciadas no resultado a seguir.

4.2. Relações de ortogonalidade de Schur 73

Proposição 4.6 Sejam ρ1 e ρ2 representações irredutíveis K no espaços vetoriaiscomplexos V1 e V2, respectivamente.

1. Se ρ1 e ρ2 não são equivalentes então∫K

fv1,v2 (k) fu1,u2 (k)µ (dk) = 0

para todo u1, u2 ∈ V1 e v1, v2 ∈ V2.

2. Se ρ1 = ρ2 = ρ e V1 = V2 = V então∫K

fv1,v2 (k) fu1,u2 (k)µ (dk) =(v1, u1) (v2, u2)

dimV(4.5)

para u1, u2, v1, v2 ∈ V .

Demonstração: Para obter a primeira das integrais, tome L0 : V1 → V2 como sendoL0 (w) = (w, u2) v2 onde (·, ·) é o produto Hermitiano invariante em V1. Então, parak ∈ K e w = u1 ∈ V1 vale

ρ2

(k−1)L0ρ1 (k)u1 = (ρ1 (k)u1, u2) ρ2

(k−1)v2

= fu1,u2 (k) ρ2

(k−1)v2.

Tomando o produto Hermitiano com v1 ∈ V2 se obtém(v1, ρ2

(k−1)L0ρ1 (k)u1

)= fu1,u2 (k)

(v1, ρ2

(k−1)v2

)= fu1,u2 (k) (ρ2 (k) v1, v2) ,

de onde segue a fórmula(v1, ρ2

(k−1)L0ρ1 (k)u1

)= fv1,v2 (k) fu1,u2 (k). (4.6)

Pela proposição 4.5 e o lema de Schur∫K

ρ2

(k−1)L0ρ1 (k)u1µ (dk) = 0

daí que ∫K

fv1,v2 (k) fu1,u2 (k)µ (dk) =

∫K

(v1, ρ2

(k−1)L0ρ1 (k)u1

)µ (dk) = 0

mostrando a primeira das relações de ortogonalidade de Schur.No caso de uma única representação irredutível, o mesmo L0 fornece a mesma

expressão (4.6) para fv1,v2 (k) fu1,u2 (k). O que muda agora é que

Linv =

∫K

ρ2

(k−1)L0ρ1 (k)u1µ (dk) = λ · id


pelo lema de Schur. Portanto, trLinv = λ dimV . Mas, pela proposição 4.5, trLinv =trL0 = (v2, u2) daí que

Linv = λ · id =(v2, u2)

dimVid.

Portanto,∫K

fv1,v2 (k) fu1,u2 (k)µ (dk) =

∫K

(v1, ρ2

(k−1)L0ρ1 (k)u1

)µ (dk)

= (v1, Linvu1)

=(v1, u1) (v2, u2)

dimV

concluíndo a demonstração. 2

No caso de representações reais a primeira das relações de Schur (representaçõesdistintas) continua valendo com a mesma demonstração. Isso porque a aplicação L :V1 → V2, obtida pela integração da conjugação por L0, se anula se as representações nãosão equivalentes. No entanto, a segunda das relações, que usa o fato de que L = λ · idpode não valer no caso real. O seguinte exemplo ilustra isso.

Exemplo: Tome a representação canônica de S1 em R2 e L0 (w) = (w, e2) e1 onde(·, ·) e e1, e2 são a base canônica e o produto interno canônico de R2. A matriz deL0 é dada por

L0 =

(0 10 0

)e o cálculo em (4.4) mostra que

L =

(0 1/2−1/2 0

)não é matriz escalar. Assim como na demonstração da proposição 4.6 vale(

v, ρ2

(k−1)L0ρ1 (k)u

)= fv,e1 (k) fu,e2 (k)

para todos u, v ∈ R2. Portanto, se v = (x1, x2) e u = (y1, y2) então∫K

fv,e1 (k) fu,e2 (k)µ (dk) = (v, Lu)

=1

2(x1y2 − x2y1) ,

que não é identicamente nulo. No entanto, o segundo membro de (4.5) é dado, nessecaso, por

(v, u) (e1, e2)

dimV= 0.

2

4.2. Relações de ortogonalidade de Schur 75

Agora pode-se definir o carácter de uma representação de dimensão finita ρ : G ∈Gl (V ), que é a função χρ definida em G valores no corpo de escalares de V dada por

χρ (g) = tr (ρ (g)) .

Os caracteres das representações de grupos são úteis para distinguir representaçõesnão equivalentes. Isso por que se ρi : G → Gl (Vi), i = 1, 2, são representaçõesequivalentes então χρ1 = χρ2 . De fato, se P : V1 → V2 é um isomorfismo que comutaas representações então

χρ2 (g) = tr(Pρ1 (g)P−1

)= tr (ρ1 (g)) = χρ1 (g) .

Uma das consequências das relações de ortogonalidade de Schur é que os caracteresdas representações complexas dos grupos compactos distinguem completamente essasrepresentações. Para discutir essa questão tome em primeiro lugar uma representaçãocomplexa irredutível ρ : K → Gl (V ) do grupo compacto K. Se (·, ·) é um produtoHermitiano invariante e e1, . . . , en é uma base ortonormal então

χρ (k) =n∑i=1

(ρ (k) ei, ei) =n∑i=1

fei,ei (k) ,

isto é, χρ é uma soma de funções entrada de matriz. Das relações (4.5) segue que∫K

|χρ (k) |2µ (dk) =

n∑i,j=1

∫K

fei,ei (k) fej ,ej (k)µ (dk) =1

dimV

n∑i=1

| (ei, ei) |2

e, portanto ∫K

|χρ (k) |2µ (dk) = 1. (4.7)

Em particular, χρ 6= 0 se dimV > 0. Por outro lado, se ρ1 : K → Gl (V1) é uma outrarepresentação irredutível de K, que não é equivalente a ρ então a primeira das relaçõesde Schur mostra que ∫

K

χρ (k)χρ1 (k)µ (dk) = 0, (4.8)

o que garante que χρ1 6= χρ.Portanto, duas representações irredutíveis complexas do grupo compacto K são

equivalentes se, e só se, seus caracteres coincidem.O mesmo pode-se dizer de representações que não são necessariamente irredutíveis.

Para ver isso tome uma representação ρ : K → Gl (V ) e tome uma decomposição

V = W1 ⊕ · · · ⊕Wn

em subespaços invariantes e irredutíveis por K. Denote por σi a restrição de ρ a Wi.Então, por definição

χρ = χσ1 + · · ·+ χσn .


As fórmulas (4.7) e (4.8) mostram que para todo i = 1, . . . , n vale∫K

χρ (k)χσi (k)µ (dk) = Ni

onde Ni é o número de componentes irredutíveis de V equivalentes a Wi (isto é, onúmero de vezes que σi “aparece” em ρ). Da mesma forma, se ρ1 : K → Gl (V1)é outra representação de K então

∫Kχρ (k)χσi (k)µ (dk) é o número de vezes que σi

aparece em ρ1. Portanto, se χρ1 = χρ então número de vezes em que uma representaçãoirredutível aparece nas representações é o mesmo. Isso implica que as representaçõessão equivalentes.Em resumo, se obtém o seguinte critério para que duas representações sejam equiv-

alentes, que é amplamente utilizado na teoria de representações de grupos compactos.

Proposição 4.7 Seja K um grupo compacto Hausdorff. Então, duas representaçõescomplexas de dimensão finita ρ1 e ρ2 de K são equivalentes se, e só se, seus caracteresχρ1 e χρ2 são iguais.

Exemplo: Seja K = S1 = z ∈ C : |z| = 1 é compacto e abeliano. Por ser abelianoo lema de Schur garante que suas representações irredutíveis tem dimensão 1 e sãodadas por homomorfismos a valores no grupo multiplicativo C× = C \ 0. Se ρ éuma representação irredutível então o seu carácter coincide com ρ pois o espaço darepresentação tem dimensão 1.Um homomorfismo contínuo ρ : S1 → C× assume valores em S1 pois sua imagem

é um subgrupo compacto. Um homomorfismo desses é da forma ρ (eit) = eiθ(t) ondeθ : R → R é uma aplicação linear tal que θ (Z) ⊂ Z, isto é, θ (t) = nt com n ∈ Z.Por isso as representações, assim como os caracteres, são da forma ρ (z) = zn, z ∈ S1. 2

4.3 Representações regulares

Serão consideradas aqui as representações, por translações à esquerda e à direita, deum grupo K nos espaços funcionais C (K), das funções contínuas f : K → C, eL2 (K) = L2 (K,µ) das funções f : K → C mensuráveis e quadraticamente integráveisem relação à medida de Haar µ. Como em todo este capítulo K é um grupo compactoHausdorff.O espaço C (K) é de Banach com a norma

‖f‖∞ = supk∈K|f (k) |

enquanto que L2 (K) é um espaço de Hilbert com o produto Hermitiano

(f, g) =

∫K

f (x) g (x)µ (dx) ,

4.3. Representações regulares 77

cuja norma é denotada por ‖·‖2. ComoK é compacto, toda função contínua é integrávelo que implica que C (K) ⊂ L2 (K). Na verdade C (K) é denso em L2 (K) (na topologiadesse último). Isso se deve a que a medida de Haar µ é regular e em espaços compactoscom medidas regulares o conjunto das funções contínuas é denso em L2 (veja o exercício5 do capítulo 3).As translações à esquerda e à direita de f : K → C por k ∈ K são definidas por

(Ekf) (x) = f (kx) e (Dkf) (x) = f (xk) .

Se f é contínua então Ekf e Dkf são contínuas, da mesma forma, Ekf,Dkf ∈ L2 (K)se f ∈ L2 (K), o que faz com que Ek e Dk sejam transformações lineares tanto deC (K) quanto de L2 (K). Essas transformações lineares são isometrias pois ‖Ekf‖∞ =‖Dkf‖∞ = ‖f‖∞ e ‖Ekf‖2 = ‖Dkf‖2 = ‖f‖2 (já que a medida de Haar é bi-invariante).Para k1, k2 ∈ K e uma função f , valem as igualdades

(Ek1 (Ek2f)) (x) = f (k2k1x) = (Ek2k1f) (x)

(Dk1 (Dk2f)) (x) = f (xk1k2) = (Dk1k2f) (x) .

Portanto, as aplicações k ∈ K → Ek−1 e k ∈ K → Dk definem representações de Kem C (K) e em L2 (K). Essas são as chamadas representações regulares de K.Essas representações satisfazem a seguinte propriedade de continuidade.

Proposição 4.8 Se V = C (K) ou V = L2 (K) então as aplicações (k, f) ∈ K × V →Ekf ∈ V e (k, f) ∈ K × V → Dkg ∈ V são contínuas.

Demonstração: Considere em primeiro lugar o caso C (K). Se f ∈ C (K) entãof é uniformemente contínua (veja exercício 6 do capítulo 2). Isso significa que dadoε > 0 existe uma vizinhança U do elemento neutro tal que se k1k

−12 ∈ U então |f (k1)−

f (k2) | < ε. Se x ∈ K e k1k−12 ∈ U então (k1x) (k2x)−1 = k1k

−12 ∈ U e, portanto,

|f (k1x)−f (k2x) | < ε, o que mostra que ‖Ek1f − Ek2f‖∞ < ε. Agora se ‖g − f‖∞ < εe k1k

−12 ∈ U então

‖Ek1f − Ek2g‖∞ ≤ ‖Ek1f − Ek2f‖∞ + ‖Ek2f − Ek2g‖∞≤ ε+ ‖f − g‖∞ < 2ε

o que mostra a continuidade de (k, f)→ Ekf . Para Dkf a demonstração é semelhante.Agora, dados f ∈ L2 (K) e ε > 0 escolha h ∈ C (K) tal que ‖f − h‖2 < ε. Pelo

caso C (K), existe uma vizinhança da identidade U ⊂ K tal que ‖Ek1h− Ek2h‖∞ < εse k1k

−12 ∈ U . Portanto, se k1k

−12 ∈ U então

‖Ek1f − Ek2f‖2 ≤ ‖Ek1f − Ek1h‖2 + ‖Ek1h− Ek2h‖2 + ‖Ek2h− Ek2f‖2

< 3ε

pois Ek1 e Ek2 são isometrias e ‖Ek1h− Ek2h‖2 ≤ ‖Ek1h− Ek2h‖∞.


Por fim, se ‖f − g‖2 < ε então

‖Ek1f − Ek2g‖2 ≤ ‖Ek1f − Ek2f‖2 + ‖Ek2f − Ek2g‖2

≤ 3ε+ ‖f − g‖2 < 4ε.

2

Um dos interesses da representação regular (em C (K) ou em L2 (K)) é que elacontém, a menos de equivalência, toda representação irredutível de dimensão finita.Essas “inclusões”são dadas pelos coeficientes matriciais das representações.Seja ρ : K → Gl (V ) uma representação contínua de K no espaço vetorial com-

plexo V de dimensão finita. Denote por C (K)ρ o subespaço gerado pelos coeficientesmatriciais fu,v de ρ, que é um subespaço de C (K). Esse espaço tem dimensão finita poisse v1, . . . , vn é uma base de V então os coeficientes matriciais fvi,vj (x) = (ρ (x) vi, vj)geram C (K)ρ. Além do mais, C (K)ρ é invariante por translações à esquerda e à direitapois

fu,v (kx) = (ρ (kx)u, v) = fu,ρ(k−1)v (x) (4.9)

efu,v (xk) = (ρ (xk)u, v) = fρ(k)u,v (x) . (4.10)

Dessas relações se obtém as seguintes equivalências de V com subespaços de C (K)ρ.

Proposição 4.9 Suponha que a representação em V seja irredutível. Dado 0 6= v ∈ Vdefina a aplicação Pv : V → C (K)ρ por Pv (u) = fu,v. Então, Pv é linear, injetora e co-muta a representação ρ em V com a representação por translações à direita em C (K)ρ.Portanto, a imagem de Pv é o espaço de uma representação irredutível equivalente a ρ.

Demonstração: Pv é linear e por (4.10) ela comuta as representações. Para ver queela é injetora deve-se observar que fu,v é identicamente nula se, e só se, ρ (x)u é ortogo-nal a v para todo x ∈ K. Mas, o subespaço gerado por ρ (x)u : x ∈ K éK-invariante.Se fu,v = 0 esse subespaço está contido em v⊥ e como a representação é irredutível eledeve se anular. Isso significa que se fu,v = 0 então u = 0, o que mostra a injetividade. 2

As mesmas afirmações valem para aplicações do tipo v 7→ fu,v com u fixado, quecomutam ρ com as translações à esquerda devido a (4.9). A diferença é que essasaplicações são anti-lineares já que (·, ·) é um produto Hermitiano.Ainda relacionado a representações equivalentes, a proposição a seguir mostra que

os espaços C (K)ρ são os mesmos para representações equivalentes.

Proposição 4.10 Sejam ρ1 : K → Gl (V1) e ρ2 : K → Gl (V2) representações equiva-lentes. Então, C (K)ρ1 = C (K)ρ2.

Demonstração: Seja P : V1 → V2 um isomorfismo tal que Pρ1 (k) = ρ2 (k)Ppara todo k ∈ K. Escolha um produto Hermitiano invariante (·, ·)2 em V2 e defina

4.4. Teorema de Peter-Weyl 79

(u, v)1 = (Pu, Pv)2, que é um produto Hermitiano invariante em V1. Se u, v ∈ V1

então

fPu,Pv (x) = (ρ2 (x)Pu, Pv)2 = (Pρ2 (x)u, Pv)2

= (ρ1 (x)u, v)1 = fu,v (x) ,

o que mostra que os espaços C (K)ρ1 e C (K)ρ2 são iguais. 2

Por outro lado, se as representações irredutíveis ρ1 : K → Gl (V1) e ρ2 : K → Gl (V2)não são equivalentes então as relações de ortogonalidade de Schur mostram que C (K)ρ1é ortogonal C (K)ρ2 em L2 (K). Em particular, C (K)ρ1 ∩ C (K)ρ2 = ∅.No caso de uma representação não irredutível em que V se decompõe em subespaços

invariantesV = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs

vale a soma C (K)ρ =∑s

i=1 C (K)ρi onde ρi é a representação em Vi. Essa soma não éem geral direta pois se ρi e ρj são equivalentes então C (K)ρi = C (K)ρj . No entanto,se as representações ρi são irredutíveis e não equivalentes entre si então

C (K)ρ = C (K)ρ1 ⊕ · · · ⊕ C (K)ρs .

Uma função f num espaço C (K)ρ é chamada de função representativa pois peloitem (1) os seus transladados à esquerda e à direita geram um subespaço de dimensãofinita de C (K) no qual K se representa por translações.O espaço das funções representativas será denotado porR (K). Esse espaço é a soma

dos subespaços C (K)ρ com ρ percorrendo as representações contínuas de dimensãofinita. Essa soma pode ser tomada apenas sobre as representações ρ que são irredutíveis.O espaço R (K) é uma soma de espaços de representações de dimensão finita de

K. Por outro lado a proposição 4.9 mostra que R (K) contém todas as representaçõesirredutíveis de dimensão finita de K. O teorema de Peter-Weyl, que será mostradona próxima seção garante que R (K) é denso em L2 (K), assim de certa forma asrepresentações de dimensão finita exaurem L2 (K).

Exemplo: Se K = S1 = z ∈ C : |z| = 1 então as representações irredutíveis são dedimensão 1. Isso implica que as funções representativas associadas associadas a essasrepresentações são multiplas das próprias representações (isto é, dos caracteres), quesão homomorfismos de S1 a valores em C×. 2

4.4 Teorema de Peter-Weyl

Teorema 4.11 Seja K um grupo compacto Hausdorff. Então, o espaço R (K) dasfunções representativas é denso em L2 (K).


O teorema de Peter-Weyl será demonstrado ao longo desta seção. Para iniciar ademonstração suponha por absurdo que o fecho E de R (K) é diferente de L2 (K) detal forma que seu complementar ortogonal E⊥ 6= 0. Dessa hipótese de absurdo segueo seguinte lema.

Lema 4.12 Existe uma função contínua f ∈ E⊥, f 6= 0, que satisfaz as seguintespropriedades:

1. f (kxk−1) = f (x) para todo x, k ∈ K, isto é, f é constante nas classes deconjugação de K.

2. f (x−1) = f (x).

A demonstração desse lema será feita posteriormente.Por enquanto, a ideia para chegar a uma contradição, e portanto, ao teorema de

Peter-Weyl, consiste em construir uma representação contínua ρ de dimensão finita talque a função f do lema não é ortogonal a C (K)ρ. Essa representação ρ será definidanum subespaço V de L2 (K), que é um auto-espaço de dimensão finita de um operadorlinear T de L2 (K).Para isso serão usados os seguintes resultados de análise funcional, mais especifica-

mente, de teoria de operadores em espaços de Hilbert.

1. SejaH um espaço de Hilbert complexo com produto Hermitiano (·, ·). Se T : H →H é um operador compacto (isto é, a imagem da bola unitária é relativamentecompacta) e auto-adjunto (isto é, (Tu, v) = (u, Tv)) então T admite um auto-valor λ cujo auto-espaço Vλ tem dimensão finita. (Como T é auto-adjunto, oauto-valor λ é real, apesar de que essa informação não será utilizada abaixo.)

2. Seja N ∈ C (K ×K) uma aplicação contínua e defina o operador linear integralT : L2 (K)→ L2 (K) por

T (g) (x) =

∫K

N (x, y) g (y)µ (dy) g ∈ L2 (K,µ) . (4.11)

Então, T é compacto.

Agora, seja f como no lema 4.12, defina N (x, y) = f (x−1y) que define o operadorlinear T como em (4.11). Pelo item (2) acima, T é compacto. Para aplicar o item (1)deve-se verificar que T é auto-adjunto, o que é obtido das propriedades da função f .De fato, dados g, h ∈ L2 (K), vale

(Tg, h) =

∫K

∫K

N (x, y) g (y)h (x)µ (dy)µ (dx)

=

∫K

g (y)

∫K

N (x, y)h (x)µ (dx)µ (dy) .


Mas, pela propriedade (2) do lema 4.12, N (y, x) = f (y−1x) = f (x−1y) = N (x, y).Portanto, a integral em relação a x acima se escreve como∫

K

N (x, y)h (x)µ (dx) =

∫K

N (y, x)h (x)µ (dx) .

Portanto,

(Tg, h) =

∫K

g (y)

∫K

N (y, x)h (x)µ (dx)µ (dy)

= (g, Th) ,

isto é, T é auto-adjunto.Seja então o auto-valor λ de T cujo auto-espaço Vλ é de dimensão finita, como é

garantido pelos dois resultados enunciados acima. (Está implicito que dimVλ > 0.)A representação desejada é dada pela restrição a Vλ da translação à esquerda

(Ekg) (x) = g (kx) com g ∈ L2 (K,µ) e k, x ∈ K.

Lema 4.13 Se g ∈ Vλ então Ekg ∈ Vλ.

Demonstração: Se g ∈ Vλ e k ∈ K então

(TEkg) (x) =

∫K

N (x, y) g (ky)µ (dy)

=

∫K

N(x, k−1y

)g (y)µ (dy)

pela invariância da medida de Haar. Mas, N (x, k−1y) = f (x−1k−1y) = N (kx, y). Daíque

(TEkg) (x) =

∫K

N (kx, y) g (y)µ (dy)

= (Tg) (kx) = λg (kx) ,

o que significa que TEkg = λEkg„isto é, Vλ é invariante por translações à esquerda.2

Pelo lema a restrição de k 7→ Ek−1 define uma representação de K em Vλ. Essarepresentação é contínua. De fato, pela proposição 4.8, se u, v ∈ Vλ então a funçãok 7→ (Ek−1u, v) é contínua. Tomando uma base ortonormal v1, . . . , vn de Vλ se vêque os entradas (Ek−1vi, vj) das matrizes de Ek−1 em relação a essa base são contínuas,portanto, a representação é contínua.A representação em Vλ admite portanto funções coordenadas matriciais. Elas são

dadas, para g, h ∈ Vλ, por

fg,h (y) = (Ey−1g, h) =

∫K

g(y−1x

)h (x)µ (dx) .


Os cálculos a seguir fornecem uma expressão simples para o produto Hermitiano entreas coordenadas matriciais fg,g e a função f do lema 4.12. Se g ∈ Vλ então

(f, fg,g) =

∫K

f (y) fg,g (y)µ (dy)

=

∫K

∫K

f (y) g (y−1x)g (x)µ (dx)µ (dy) .

Trocando a ordem de integração e usando a invariância de µ (dy) por y 7→ y−1 e pelamultiplicação à esquerda por x−1, a última integral fica sendo

(f, fg,g) =

∫K

∫K

f(xy−1

)g (y−1)g (x)µ (dy)µ (dx)

=

∫K

∫K

f(y−1x

)g (y)g (x)µ (dy)µ (dx) ,

pois f (x−1y) = f (x−1yx−1x) = f (yx−1). Trocando novamente a ordem de integração,se obtém por fim

(f, fg,g) =

∫K

(∫K

f(y−1x

)g (x)µ (dx)

)g (y)µ (dy)

=

∫K

Tg (y) g (y)µ (dy) = (Tg, g)

= λ ‖g‖22 .

Essa igualdade leva de imediato a uma contradição à hipótese de que o fecho E deR (K) é próprio. De fato, por construção f ∈ E⊥ e, portanto, (f, fg,g) = 0 se g ∈ Vλ.Mas, isso implica que ‖g‖2 = 0„contradizendo o fato de que Vλ 6= 0.Resta demonstrar o lema 4.12. Para isso, serão demonstrados outros dois lemas.

Lema 4.14 Seja H ⊂ L2 (K) um subespaço fechado invariante por translações à es-querda e à direita. Dados h ∈ H e g ∈ L2 (K), as funções G (x) =

∫Kg (y)h (y−1x)µ (dy)

e C (x) =∫Kh (yxy−1)µ (dy) pertencem a H.

Demonstração: Tome u ∈ H⊥. Então,

(G, u) =

∫K

∫K

g (y)h(y−1x

)u (x)µ (dy)µ (dx)

=

∫K

∫K

g (y)h(y−1x

)u (x)µ (dx)µ (dy)

=

∫K

g (y) (Ey−1h, u)µ (dy) = 0

pois Ey−1h ∈ H. Isso mostra que G ∈(H⊥)⊥, que coincide comH, que é um subespaço

fechado. A demonstração para C é análoga. 2


Lema 4.15 Dados h ∈ L2 (K) e U ⊂ K um aberto com 1 ∈ U , defina

hU =

∫U

h(y−1x

)µ (dy) =

∫K

χU (y)h(y−1x

)µ (dy)

onde 1U é a função característica de U . Então,

‖hU − h‖2 ≤∫K

χU (y) ‖Ey−1h− h‖2µ (dy) .

Demonstração: Por definição

‖hU − h‖22 =

∫K

|hU (x)− h (x) |2µ (dx)

=

∫K

|∫K

χU (y)(h(y−1x

)− h (x)

)µ (dy) |2µ (dx)

=

∫K

|∫K

χU (y) (Ey−1h (x)− h (x))µ (dy) |2µ (dx) .

Para facilitar a notação escreva F (x, y) = χU (y) (Ey−1h (x)− h (x)). Então,

‖hU − h‖22 =

∫K

∫K

F (x, y)µ (dy)

∫K

F (x, z)µ (dz)µ (dx)

=

∫K

∫K

∫K

F (x, y)F (x, z)µ (dy)µ (dz)µ (dx)

=

∫K

∫K

(∫K

F (x, y)F (x, z)µ (dx)

)µ (dy)µ (dz) .

Para y ∈ K defina φy (x) = F (x, y), de tal forma que

‖hU − h‖22 =

∫K

∫K

(∫K

(φy, φz

)µ (dx)

)µ (dy)µ (dz) .

Essa integral é real, portanto

‖hU − h‖22 =

∫K

∫K

(∫K

Re(φy, φz

)µ (dx)

)µ (dy)µ (dz)

≤∫K

∫K

(∫K

|(φy, φz

)|µ (dx)

)µ (dy)µ (dz)

≤∫K

∫K

∥∥φy∥∥2‖φz‖2 µ (dy)µ (dz)

=

(∫K

∥∥φy∥∥2µ (dy)

)2

.


Isto é, ‖hU − h‖2 ≤∫K

∥∥φy∥∥2µ (dy). Mas, pela definição de φy se conclui que

‖hU − h‖2 ≤∫K

(∫K

|χU (y) (Ey−1h (x)− h (x)) |2µ (dx)

)1/2

µ (dy)

=

∫K

χU (y)

(∫K

| (Ey−1h (x)− h (x)) |2µ (dx)

)1/2

µ (dy)

=

∫K

χU (y) ‖Ey−1h− h‖µ (dy)

que é a desigualdade desejada. 2

Antes de iniciar a demonstração do lema 4.12, deve-se observar as igualdades (4.9)e (4.10) mostram que o espaço R (K) é invariante por translações à esquerda e àdireita. Por continuidade (proposição 4.8) o fecho E de R (K) também é invariantepor translações. Como as translações são isometrias o espaço ortogonal E⊥ também éinvariante.A mesma invariância vale para a transformação que a uma função f ∈ L2 (K)

associa a função f (x−1). Isso porque se f ∈ C (K)ρ então a função f (x−1) tambémestá em C (K)ρ já que

fu,v (x−1) = (ρ (x−1)u, v) = fv,u (x) .

Demonstração do Lema 4.12 Tome h ∈ E⊥, h 6= 0, arbitrário. Dada uma vizinhançaU de 1 em K defina

hU (x) =

∫U

h(y−1x

)µ (dy)

=

∫K

χU (y)h(y−1x

)µ (dy)

onde 1U é a função característica de U . Pelo lema 4.14, hU ∈ E⊥ pois esse subespaçoé fechado e invariante por translações.Para cada U a função hU é contínua. De fato, se x1, x2 ∈ K então, pela desigualdade

de Cauchy-Schwarz,

|hU (x1)− hU (x2) | ≤ ‖Dx1h−Dx2h‖ .

Portanto, a continuidade de hU segue da continuidade de x ∈ K 7→ Dxh (proposição4.8). Além do mais, a vizinhança U pode ser escolhida de tal forma que hU é suficiente-mente próximo de h e daí que hU 6= 0. Isso porque ‖hU − h‖2 ≤

∫U‖Ey−1h− h‖2

µ (dy),pelo lema 4.15, e a aplicação y 7→ Ey−1h é contínua.Uma vez feita a escolha de hU 6= 0, tome x0 ∈ K tal que hU (x0) 6= 0 e defina

h1 = Ex0hU e h2 = h1 (1)h1. Essas funções também pertencem a E⊥. Elas sãocontínuas e não nulas. Agora, defina

h3 (x) =

∫K

h2

(yxy−1

)µ (dy) ,

4.5. Exercícios 85

que pelo lema 4.14 está em E⊥. Essa função é contínua, como pode ser verificado damesma forma que para hU . Além do mais, h3 (xyx−1) = h3 (y) para todo y ∈ K.Por fim, defina f (x) = h3 (x) + h3 (x−1). Então, f satisfaz as condições requeridas

no lema 4.12, concluíndo sua demonstração. 2

4.5 Exercícios

1. Dado um quatérnion q 6= 1 tal que qn = 1 mostre que 1 + q + · · · + qn−1 = 0.Mostre também que se q é um quatérnion qualquer então∫

S3(p · q) dp = 0

onde dp é a medida de Haar em S3.

2. Seja V o espaço de uma representação irredutível do grupo compacto (Hausdorff)K. Mostre que se 0 6= f ∈ C (K)ρ então

⋃k,g∈K

f (kxg) gera C (K)ρ.

3. Sejam K um grupo de Lie compacto e ρ : K → Gl (V ) uma representaçãodimensão finita de K. Seja ρ (K) · v uma órbita da representação e denote porco (ρ (K) · v) o fecho convexo dessa órbita. Mostre que existe w ∈ co (ρ (K) · v),que é ponto fixo de K, isto é, ρ (k)w = w para todo k ∈ K.

4. Sejam K um grupo de Lie compacto e ρ : K → Gl (V ) uma representaçãoirredutível de K no espaço vetorial V real e de dimensão finita. Mostre que seexiste um cone convexo próprio C ⊂ V invariante por K (isto é, ρ (k)C ⊂ Cpara todo k ∈ K) então dimV = 1.

5. Encontre os caracteres das representações irredutíveis de SU (2).

Parte II

Grupos e álgebras de Lie

87

89

Resumo

Nessa parte do livro se estabelece o corpo básico da teoria dos grupos de Lie. Nocapítulo 5 se introduz a álgebra de Lie de um grupo de Lie. Os conceitos que relacionamas duas estruturas, de grupo de Lie e álgebra de Lie, são a aplicação exponenciale as representações adjuntas do grupo de Lie e de sua álgebra de Lie. Ambas asrepresentações são por transformações lineares na álgebra de Lie. As propriedades dosgrupos de Lie são obtidas a partir de suas álgebras de Lie e vie-versa, são obtidaspor uma articulação desses três conceitos, que se materializam nas fórmulas (5.8) e(5.9). A primeira dessas fórmulas relaciona, através da exponencial, a conjugação nogrupo com a representação adjunta do grupo, enquanto que a segunda relaciona asrepresentações adjuntas do grupo e da álgebra de Lie. As demonstrações do capítulo 5usam livremente a teoria de existência e unicidade de equações diferenciais ordináriase os colchetes de Lie de campos de vetores, que se encontram no apêndice A. Ainda nocapítulo 5 foi incluída um a seção sobre equações diferenciais ordinárias (dependentedo tempo) em grupos de Lie e foi feita a construção da medida de Haar em grupos deLie, via formas volume invariantes.O capítulo 6 trata dos subgrupos de Lie de um grupo de Lie e seus quocientes. A

definição de subgrupo de Lie é a óbvia: um subgrupo que é ao mesmo tempo umasubvariedade diferenciável, tal que o produto é diferenciável. No entanto, existe umasutileza nessa definição, já que a diferenciabilidade do produto deve ser em relação àestrutura diferenciável intrinseca da subvariedade e não do ambiente. Essa sutileza édiscutida com detalhes com o auxílio do conceito de subvariedade quase-mergulhada,que é definida no apêndice B. (No final das contas será provado que todo subgrupoque é ao mesmo tempo uma subvariedade separável é um sugbrupo de Lie.) A álgebrade Lie de um subgrupo de Lie é uma subálgebra de Lie. Vice-versa, a teoria de inte-grabilidade de distribuições permite construir um único subgrupo de Lie conexo comuma subálgebra de Lie dada. Esse resultado dá uma bijeção entre os subgrupos deLie conexos e as subálgebras de Lie. Um dos resultados centrais da teoria dos gruposde Lie é o célebre teorema de Cartan do subgrupo fechado, que garante que se umsubgrupo é ao mesmo tempo um subconjunto fechado então ele é um subgrupo deLie (com uma estrutura de variedade diferenciável construída a posteriori). Um outroresultado nessa mesma linha do teorema de Cartan é o teorema devido a Kuranishi eYamabe, que mostra que se um subgrupo é ao mesmo tempo um subconjunto conexopor caminhos então ele é um subgrupo de Lie. No capítulo 6 esse teorema é demons-trado com a hipótese adicional de os caminhos são diferenciáveis. Por fim, a técnnicadesenvolvida na demonstração do teorema de Cartan permite construir uma estruturade variedade diferenciável num espaço quociente, o que leva, em particular, à definiçãode grupo de Lie quociente. Os resultados desse capítulo usam de forma extensiva ateoria de distribuições, descrita no apêndice B.O capítulo 7 é de natureza global. O seu desenvolvimento desemboca no teorema

7.15, que estabelece uma bijeção entre as classes de isomorfismo dos grupos de Lieconexos e simplesmente conexos com as classes de isomorfismo das álgebras de Lie. Oteorema 7.15 mostra também que os grupos de Lie conexos são quocientes de grupos

90

simplesmente conexos, com núcleo abeliano (contido no centro). Esse é o teorema quefornece classificações dos grupos de Lie a partir de eventuais classificações de álgebrasde Lie.A demonstração do teorema dos grupos simplesmente conexos passa por uma análise

dos homomorfismos diferenciáveis de grupos de Lie e de como eles são determinadospelos respectivos homomorfismos infinitesimais (suas diferenciais na origem). Um re-sultado central é o teorema de extensão de homomorfismos, que garante que qualquerhomomorfismo entre as álgebras de Lie é a diferencial de um homomorfismo entre osgrupos de Lie, desde que o domínio seja simplesmente conexo. Para a demonstraçãodesse teorema se constrói um subgrupo do produto cartesiano, que é o candidato aser o gráfico do homomorfismo entre os grupos. Em geral esse subgrupo não é umgráfico de função. No entanto, a projeção na primeira coordenada é uma aplicação derecobrimento sobre o domínio. Por isso que a hipótese de que o domínio é simples-mente conexo garante que o subgrupo do produto cartesiano é de fato o gráfico de umhomomorfismo. Independente dessa hipótese sobre o domínio, esse método constróihomomorfismos locais entre os grupos, o que permite mostrar que grupos de Lie comálgebras de Lie isomorfas são localmente isomorfos.A linha de raciocinio da demonstração do teorema de extensão é usada também

na seguinte aplicação interessante do teorema do subgrupo fechado de Cartan: umhomomorfismo contínuo entre grupos de Lie é diferenciável.O teorema de extensão de homomorfismos garante a unicidade (a menos de iso-

morfismo) dos grupos de Lie conexos e simplesmente conexos, com uma álgebra deLie dada. A demonstração da existência é feita em dois passos. Em primeiro lugar segarante que dada uma álgebra de Lie (real de dimensão finita) existe algum grupo deLie com a álgebra de Lie dada. Isso é feito aqui de uma forma indireta, através do teo-rema de Ado, que mostra que toda álgebra de Lie de dimensão finita é isomorfa a umaálgebra de Lie de matrizes. O segundo passo consiste em aplicar a teoria dos espaços derecobrimento para construir uma estrutura de grupo de Lie no recobrimento universalde um grupo de Lie. Ao final do capítulo foi incluído um resumo sobre espaços derecobrimento.O capítulo 8 é dedicado à demonstração de duas fórmulas de caráter local, que

são dadas por séries de potências envolvendo o colchete na álgebra de Lie. São elas afórmula da diferencial da exponencial e a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. A sérieda diferencial da exponencial será utilizada posteriormente para decidir se a aplicaçãoexponencial num grupo de Lie é ou não difeomorfismo (ou ao menos difeomorfismolocal). Já a série de Baker-Campbell-Hausdorff permite construir uma estrutura devariedade analítica num grupo de Lie, de tal forma que o produto e todas as aplicaçõesobtidas do mesmo passam a ser aplicações analíticas. A demonstração dessas fórmulas éfeita em primeiro lugar para grupos lineares, nos quais as séries são dadas por produtosde matrizes. A demonstração num grupo qualquer se faz com o auxílio do teorema deAdo que garante o isomorfismo local com um grupo linear.

Capítulo 5

Grupos de Lie e suas álgebras deLie

O objetivo deste capítulo é introduzir os conceitos de grupos de Lie e suas álgebras deLie. A álgebra de Lie g de um grupo de Lie G é definida como o espaço dos camposinvariantes (à esquerda ou à direita, conforme a escolha), com o colchete dado pelocolchete de Lie de campos de vetores. Os fluxos dos campos invariantes estabelecema aplicação exponencial exp : g → G, que é o principal elo de ligação entre g e G.Essas construções utilizam exaustivamente resultados sobre campos de vetores em va-riedades e seus colchete de Lie. Um apanhado desses resultados pode ser encontradono apêndice A.Outro instrumento de ligação entre os grupos de Lie e suas álgebras deLie são as representações adjuntas. As fórmulas envolvendo essas representações sãodesenvolvidas neste capítulo. Essas fórmulas são utilizadas ao longo de toda a teoria.

5.1 Definição

Um grupo de Lie é um grupo cujo conjunto subjacente tem uma estrutura de variedadediferenciável, de tal forma que a aplicação produto

p : (g, h) ∈ G×G 7−→ gh ∈ G

é diferenciável.Tanto a estrutura de variedade diferenciável de G, quanto a diferenciablidade de p,

pressupoem um grau de diferenciabilidade Ck, 1 ≤ k ≤ ω. Para desenvolver boa parteda teoria é necessário tomar apenas derivadas de primeira ordem em G e no fibradotangente TG, e assim supor que G e p são de classe C2. No entanto, não existe perda degeneralidade em assumir que G e p são analíticas (Cω), pois é possível provar que se pé de classe C2 então p é analítica em relação à estrutura de variedade analítica contidana estrutura Ck, 2 ≤ k ≤ ∞ (veja o capítulo 8).1 De qualquer maneira se assume que

1O quinto problema de Hilbert (dos 24 formulados em 1900) pergunta quais grupos topológicossão diferenciáveis. Como consequência desse problema foi demonstrado que um grupo topológico éde Lie se for uma uma variedade topológica (localmente Euclidiano). Mais geralmente, um grupo

91

92 Capítulo 5. Grupos de Lie e suas álgebras de Lie

G é de classe C∞ assim como o produto p, o que permite tomar livremente derivadasde qualquer ordem.Quanto à topologia da variedade subjacente a G, assume-se sempre que G é para-

compacta, e portanto metrizável via métricas Riemannianas. Essa hipótese seránecessária quando se considerar subvariedades e subgrupos de Lie de G. (Sobre varie-dades paracompactas veja o seção B.5 do apêndice B.)Dado g ∈ G, as translações à esquerda e à direita Eg : G → G e Dg : G → G,

são definidas respectivamente por Eg (h) = gh e Dg (h) = hg. Essas aplicações sãodiferenciáveis pois Eg = p sg,1 e Dg = p sg,2 onde sg,1 (h) = (g, h) e sg,2 (h) = (h, g)são aplicações diferenciáveis G→ G×G. Na verdade, ambas as translações, à esquerdae à direita, são difeomorfismos, já que Eg Eg−1 = Dg Dg−1 = id. Da mesma forma,os automorfismos internos Cg = Eg Dg−1 , g ∈ G, são difeomorfismos.Ao contrário dos grupos topológicos a definição de grupo de Lie não exige a priori

que a inversa ι (g) = g−1 seja diferenciável ou sequer contínua. A razão para isso é quea diferenciabilidade de p implica a de ι através do teorema da função implícita, comoserá demonstrado na proposição abaixo.A seguir a diferencial de uma aplicação f no ponto x será denotada por dfx.

Proposição 5.1 Num grupo de Lie G a aplicação ι : g ∈ G 7→ g−1 ∈ G é um difeo-morfismo. A diferencial de ι é dada por

dιg = − (dEg−1)1 (dDg−1)g .

Em particular, (dι)1 = −id.

Demonstração: Dado (g, h) ∈ G×G, a diferencial parcial do produto p em relaçãoà segunda variável é

∂2p(g,h) = d (Eg)h .

Como Eg é difeomorfismo, segue que d (Eg)h é bijetora e, em particular, sobrejetora. Oteorema da função implícita, garante então que para c ∈ G fixo a equação p (g, h) = ctem uma solução diferenciável local h = φc (g) escrevendo h como função de g, isto é,p (g, φc (g)) = c. Quando c = 1, φ1 = ι, mostrando que ι é diferenciável. Daí segue queι é difeomorfismo, pois sua inversa ι−1 coincide com ι, isto é, ι ι = id.Ainda pelo teorema da função implícita, a diferencial dιg é dada por

dιg = − (∂2p)−1(g,g−1) (∂1p)(g,g−1)

onde (∂jp)(x,y) denota a diferencial de p em relação à variável j = 1, 2, no ponto (x, y).Essas diferenciais parciais são dadas por (∂2p)(x,y) = d (Ex)y e (∂1p)(x,y) = d (Dy)x.

Portanto, (∂1p)(g,g−1) = d (Dg−1)g e (∂2p)−1(g,g−1) =

(d (Eg)g−1

)−1

= d (Eg−1)1, de onde

segue a fórmula do enunciado.

localmente compacto é de Lie se não admite “subgrupos pequenos”(alguma vizinhança do elementoneutro só contém o subgrupo trivial). Veja Montgomery-Zippin [41] e Yang [64].

5.1. Definição 93

Por fim, no caso em que g = 1, D1 (g) = g é a aplicação identidade, portanto, (dD1)1

é a aplicação identidade do espaço tangente T1G. Da mesma forma, (dE1)1 = id e daíque dι1 : T1G→ T1G é −id. 2

A proposição acima mostra que todo grupo de Lie é um grupo topológico, conformedefinido no capítulo 2.Muitas vezes é conveniente usar a seguinte notação simplificada para as diferenciais

das translações em um grupo de Lie G. Seja t 7→ gt uma curva diferenciável em G etome h ∈ G. Usando as seguintes notações

hg′t = d (Eh)gt (g′t) g′th = d (Dh)gt (g′t) ,

os cálculos de derivadas em G podem ser feitos como se fossem em um grupo dematrizes. Por exemplo, (g2

t )′

= g′tgt + gtg′t ou ainda de gtg

−1t = 1 obtém-se

(gtg−1t

)′=

g′tg−1t + gt

(g−1t

)′= 0. Portanto, (

g−1t

)′= −g−1

t g′g−1t ,

que é a fórmula para dιg da proposição acima.Sejam G e H grupos de Lie. Então, o produto cartesiano G×H admite a estrutura

de variedade produto e a estrutura de grupo produto (g1, h1) (g2, h2) = (g1g2, h1h2), tor-nando G×H um grupo de Lie. De fato, a diferenciabilidade do produto é consequênciade que cada coordenada é diferenciável. De maneira mais geral, se Gi, i = 1, . . . , k, éum número finito de grupos de Lie então o produto direto G1 × · · · × Gk é um grupode Lie com as estruturas produto, de grupo e de variedade diferenciável.Posteriormente serão feitas outras construções com grupos de Lie, tais como o

quociente de um grupo por um subgrupo e o produto semi-direto.

Exemplos:

1. Seja G um grupo qualquer munido da topologia discreta. Com esta topologia Gtem uma estrutura de variedade diferenciável de dimensão 0 em que o produtoé diferenciável. O grupo pode ser infinito de qualquer cardinalidade uma veza hipótese de paracompacidade não restringe a cardinalidade das componentesconexas.

Portanto, todo grupo G pode ser visto como um grupo de Lie. Um grupo de Liedesses é denominado de grupo de Lie discreto. (Este exemplo é puramenteformal, já que a estrutura diferenciável discreta não acrescenta informação algumaà estrutura algébrica do grupo G.)

2. Se G é um grupo de Lie então suas componentes conexas são subvariedades aber-tas. Em particular a componente conexa do elemento neutro G0 é um subgruponormal aberto e fechado. A restrição a G0 do produto em G é diferenciável (poisG0 é aberto), o que torna G0 um grupo de Lie.


3. Qualquer espaço vetorial de dimensão finita V sobre R é um grupo de Lieabeliano, com a operação + em V . Em particular (R,+) é um grupo de Lie.Os grupos multiplicativos R× = R \ 0 e C× = C \ 0 também são grupos

4. Seja Gl (n,R) o grupo das transformações lineares inversíveis de Rn, ou o que é amesma coisa, o grupo das matrizes n×n inversíveis. Esse grupo é um subconjuntoaberto do espaço vetorialMn (R) das matrizes n×n, e portanto, é uma variedadediferenciável. O produto no grupo Gl(n,R) é proveniente do produto usual dematrizes. Se X = (xij) e Y ∈ (yij) são matrizes n× n, então Z = XY = (zij) édado por

zij =

n∑k=1

xikykj,

que é um polinômio de grau dois nas variáveis xij, yij e, portanto, é uma aplicaçãodiferenciável. Por esta razão Gl (n,R) é um grupo de Lie. Se V é um espaçovetorial real de dimensão finita, denote por Gl (V ) o grupos das transformaçõeslineares inversíveis de V . Tomando uma base de V define-se um isomorfismo entreGl (V ) e Gl (n,R) por h ∈ Gl (V ) 7→ [h] ∈ Gl (n,R) onde [h] denota a matriz deh em relação à base fixada. Por esse isomorfismo Gl (V ) é um grupo de Lie.

5. Seja A uma álgebra associativa sobre R, isto é, A é um espaço vetorial realmunido de um produto · : A×A → A, que é bilinear (distributivo) e associativo.Suponha que dimA <∞ e que A tem um elemento neutro multiplicativo 1. Umelemento x ∈ A admite inversa (bilateral) se existe y ∈ A tal que xy = yx = 1.Nesse caso y = x−1 é único. O conjunto G (A) dos elementos inversíveis de A

G (A) = x ∈ A : ∃x−1

é um grupo com o produto de A. Por outro lado, G (A) é um conjunto aberto(não vazio) de A (com a topologia de espaço vetorial real). De fato, considerea aplicação E : A → L (A) que a x ∈ A associa a translação à esquerda Ex :A → A, Ex (y) = x · y, que é uma transformação linear de A. A aplicação Eé um homomorfismo de álgebras associativas: é linear e Exy = Ex Ey. O queimplica, em particular, que Ex−1 = (Ex)

−1, quando x ∈ G (A). Além do mais, aexistência de elemento neutro muliplicativo garante que E é injetora, pois Ex = 0implica que 0 = Ex (1) = x · 1 = x. Portanto, a função detEx é um polinômionão nulo em A. Como detEx 6= 0 se, e só se, x ∈ G (A), segue que G (A) é umaberto não vazio (e além do mais denso). Portanto, G (A) é um grupo de Lie,pois o produto, sendo uma aplicação bilinear de um espaço de dimensão finita, édiferenciável.

É claro que Gl (n,R) é o caso particular em que A é a álgebra associativa dasmatrizes n× n.

5.1. Definição 95

6. Um caso particular do exemplo anterior é a álgebra H dos quatérnions, comcoeficientes reais, que tem dimensão quatro e é gerada por 1, i, j, k, onde 1 é oelemento neutro da multiplicação e os demais produtos dos geradores são:

ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j, i2 = j2 = k2 = −1.

Essa álgebra é associativa e todo elemento não nulo em H admite uma inversa.De fato, o conjugado de q = a+ bi+ cj + dk é definido por q = a− bi− cj − dke vale a igualdade

qq = |q|2 = a2 + b2 + c2 + d2

e daí que q (q/|q|2) = 1, mostrando que se q 6= 0 então sua inversa é dada porq−1 = q/|q|2. Portanto, H∗ = H \ 0 é um grupo de Lie, já que o produto é umaaplicação polinomial.

A álgebra dos quatérnions se generaliza nas álgebras (associativas) de Clifford,que não serão construídas aqui2. A mesma construção de grupos de Lie se aplicaa essas álgebras.

7. Seja G o grupo das matrizes n×n triangulares superiores com entradas diagonaisiguais a 1:

G =

1 · · · ∗.... . .

...0 · · · 1

.

O conjunto G está em bijeção com o espaço vetorial Rn(n−1)/2. Portanto, G temuma estrutura de variedade diferenciável. Em relação a esta estrutura, o produtoem G (produto de matrizes) é diferenciável, tornando G um grupo de Lie.

2

Adiante serão demonstrados diversos resultados que garantem que certos subgruposde grupos de Lie são também grupos de Lie. A partir desses resultados será fácilproduzir uma ampla gama de exemplos de grupos de Lie.Os fibrados tangente TG e cotangente T ∗G de um grupo de Lie G são facilmente

descritos pelas translações (à esquerda ou à direita) em G. De fato, dado g ∈ G adiferencial da translação à esquerda d (Eg)1 é um isomorfismo entre T1G e TgG, poisEg é um difeomorfismo. Por isso a aplicação

(g, v) ∈ G× T1G 7−→ d (Eg)1 (v) ∈ TG

é uma bijeção. Essa aplicação pode ser reescrita como ∂2p (g, 1) (v) de onde se vêque ela é diferenciável pois p é de classe C∞. Sua inversa é dada por v ∈ TG 7→(π (v) , dEπ(v)−1v

)∈ G × T1G onde π : TG → G é a projeção canônica. Essa inversa

também é diferenciável, o que mostra que TG é difeomorfo a G× T1G.

2Veja [49], capítulo 11.


Da mesma maneira,

(g, v) ∈ G× T1G 7−→ d (Dg)1 (v) ∈ TG

define um difeomorfismo entre G× T1G e TG, identificando TG com G× T1G atravésde translações à direita.Uma identifiação semelhante ocorre com o fibrado cotangente T ∗G. Dado g ∈ G

as transpostas d (Eg−1)∗1

: T ∗1G → T ∗gG e d (Dg−1)∗g

: T ∗1G → T ∗gG são isomorfismos, edefinem os difeomorfismos

• (g, α) ∈ G× T ∗1G 7−→ d (Eg−1)∗1

(α) ∈ T ∗G e

• (g, α) ∈ G× T ∗1G 7−→ d (Dg−1)∗1

(α) ∈ T ∗G.

Em outras palavras, os fibrados tangente e cotangente de grupos de Lie são triviais.Essa trivialidade permite definir as chamadas formas de Maurer-Cartan, que são1-formas diferenciais emG a valores em T1G. Elas são definidas por translação à direitaou à esquerda por

ωdg (v) = d (Dg−1)g (v) e ωeg (v) = d (Eg−1)g (v)

para g ∈ G e v ∈ TgG.Uma variedade diferenciável M cujo fibrado tangente TM é trivial é chamada de

paralelizável. As variedades diferenciáveis subjacentes a grupos de Lie são paralelizáveis,o que mostra que nem toda variedade admite uma estrutura de grupos de Lie. Porexemplo a esfera S2 não é uma variedade paralelizável, portanto não existe nenhumproduto em S2 que é diferenciável e satisfaz os axiomas de grupo. Com o desenvolvi-mento da teoria serão vistas outras condições necessárias, de caráter topológico, paraque uma variedade diferenciável admita uma estrutura de grupo de Lie. Uma delas éque o grupo fundamental π1 (G) deve ser abeliano (veja o capítulo 7).

5.2 Álgebra de Lie de um grupo de Lie

O primeiro passo no estudo dos grupos de Lie consiste na construção das álgebras deLie associadas. Uma álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial g munido de umproduto (colchete) [·, ·] : g× g→ g que satisfaz as propriedades:

1. O colchete [·, ·] é bilinear, isto é, linear em cada uma das variáveis.

2. Anti-simetria, isto é, [X, Y ] = −[Y,X], para X, Y ∈ g.

3. Identidade de Jacobi: para X, Y, Z ∈ g,

[X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]].

5.2. Álgebra de Lie de um grupo de Lie 97

Um subespaço h ⊂ g de uma álgebra de Lie g é uma subálgebra de Lie se forfechado pelo colchete. Nesse caso h é também uma álgebra de Lie.Um exemplo de álgebra de Lie é dado pelo espaço vetorial dos campos de vetores

sobre uma variedade diferenciável (C∞) munido do colchete de Lie de campos de vetores.Outro exemplo é a álgebra gl (n,R) formada pelas matrizes reais n× n com o colchetedado pelo comutador de matrizes

[A,B] = AB −BA.

A seguir será definida a álgebra de Lie de um grupo de Lie G como uma subálgebrada álgebra de Lie dos campos de vetores sobre G, formada por campos invariantes emG.

5.2.1 Campos invariantes

Definição 5.2 Seja G um grupo de Lie. Um campo de vetores X em G é dito

• invariante à direita se para todo g ∈ G, (Dg)∗X = X. Em detalhes: d (Dg)h (X (h)) =X (hg) para todo g, h ∈ G.

• O campo de vetores X é invariante à esquerda se para todo g ∈ G, (Eg)∗X =X, isto é, d (Eg)h (X (h)) = X (gh).

Os campos invariantes à direita ou à esquerda são completamente determinados porseus valores no elemento neutro 1 ∈ G, pois para todo g ∈ G a condição de invariânciaà direita, por exemplo, implica que X (g) = d (Dg)1 (X (1)). Portanto, cada elementodo espaço tangente T1G determina um único campo invariante à direita e um únicocampo invariante à esquerda.Dado A ∈ T1G a notação Ad indica o campo invariante à direita tal que Ad (1) = A.

Já Ae denota o campo invariante à esquerda correspondente. Explicitamente,

Ad (g) = d (Dg)1 (A) Ae (g) = d (Eg)1 (A) .

Denote por Invd o conjunto dos campos invariantes à direita. Este conjunto éum subespaço vetorial (sobre R) do espaço de todos os campos de vetores em G,já que (Dg)∗ é uma aplicação linear sobre os campos de vetores. Analogamente, oconjunto Inve dos campos invariantes à esquerda também é um subespaço vetorial(em geral, diferente do subespaço dos campos invariantes à direita). As aplicaçõesA ∈ T1G 7→ Ad ∈ Invd e A ∈ T1G 7→ Ae ∈ Inve são isomorfismos entre os espaçosvetoriais correspondentes, cujas inversas são dadas por X ∈ Invd,e 7→ X (1) ∈ T1G.

Exemplos:

1. Seja G = Gl (n,R) o grupo linear geral, que é um conjunto aberto do espaçovetorial das matrizes Mn (R). Fixando g ∈ G, as translações à esquerda e àdireita Eg (h) = gh e Dg (h) = hg são restrições a Gl (n,R) de transformações


lineares de Mn (R) = Rn2 . O fibrado tangente a G se identifica com G×Mn (R).Daí que um campo de vetoresX emG é nada mais nada menos que uma aplicaçãoX : G→Mn (R). Além do mais, por essa identificação, as transformações linearesEg e Dg satisfazem d (Eg)h = Eg e d (Dg)h = Dg para quaisquer g, h ∈ G.A partir dessas observações é possível descrever os campos invariantes emGl (n,R).Suponha que X : G→Mn (R) é invariante à direita. Então, para todo g ∈ G,

X (g) = d (Dg)1 (X (1)) = Dg (X (1)) = X (1) g.

Portanto, os campos invariantes à direita são da forma X (g) = Ag com A umamatriz em T1G. A equação diferencial definida por X é o sistema linear

dg

dt= Ag

no espaço das matrizes. O fluxo de X é dado por Xt (g) = etAg, onde eA =∑k≥0

1k!Ak é a exponencial de matrizes.

De forma análoga, os campos invariantes à esquerda são da forma X (g) = gA

que estão associados aos sistemas linearesdg

dt= gA. Os seus fluxos têm a forma

Xt (g) = getA.

Em Gl (n,R) existem campos invariantes à esquerda que não são invariantes àdireita e vice-versa. De fato, suponha que o campo X (g) = Ag coincide como campo Y (g) = gB, isto é, Ag = gB para todo g ∈ G. Em particular, parag = 1, deve-se ter A = B. Daí que Ag = gA e, portanto, A comuta com todas asmatrizes em Gl (n,R). Mas, isso ocorre se, e somente se, A = a · 1, a ∈ R, isto é,A é uma matriz escalar. Portanto, o campo invariante à direita X (g) = Ag nãoé invariante à esquerda se A não é uma matriz escalar.

2. O grupo G (A) dos elementos inversíveis de uma álgebra associativa A é umgrupo de Lie (veja o exemplo 5 na seção anterior). Da mesma forma que nocaso Gl (n,R) as translações à esquerda e à direita são lineares e dessa formaos campos invariantes também são lineares e seus fluxos são determinados pelaexponencial eA =

∑k≥0

1k!Ak, em que as potências são dadas pelo produto em A.

Isso porque a série etA =∑

k≥01k!tkAk é uma série de potências em t ∈ R com

raio de convergência ∞, cuja derivada é dada pela soma das derivadas.

3. Como caso particular do item anterior, as translações à direita no quatérnionsH∗ = H \ 0 são restrições de transformações lineares, por isso, os camposinvariantes à direita são da forma Xq (x) = qx com q ∈ H e a exponencial é dadapor eq =

∑k≥0

1k!qk.

4. SejaG = (Rn,+). Fixando v ∈ Rn, as translações à esquerda e à direita coincideme são dadas por

Ev (x) = Dv (x) = x+ v.


Portanto, d (Ev)y = d (Dv)y = id para todo y ∈ Rn. Isso significa que os camposinvariantes são constantes, isto é, X (x) = v, com v ∈ Rn fixado. A equaçãodiferencial correspondente é x = v cujo fluxo é a translação Xt (x) = x+ tv.

2

A álgebra de Lie de um grupo de Lie é definida em qualquer um dos espaços decampos invariantes Invd ou Inve munido com o colchete de Lie. O lema a seguir colocaisso em termos precisos.

Lema 5.3 Sejam X e Y campos invariantes à direita num grupo de Lie G. Então,o colchete de Lie [X, Y ] é invariante à direita. A mesma afirmação vale para camposinvariantes à esquerda.

Demonstração: É consequência da seguinte fórmula geral: sejam M uma varie-dade, X, Y campos de vetores em M e φ um difeomorfismo de M . Então φ∗[X, Y ] =[φ∗X,φ∗Y ] (veja o apêndice A). Aplicando esta fórmula a φ = Dg (ou Eg) e X, Y ,campos invariantes, chega-se à invariância do colchete. 2

Dito de outra maneira, os espaços Invd e Inve são subálgebras de Lie da álgebra deLie de todos os campos de vetores em G. Em particular, ambos os espaços vetoriaisadmitem estruturas de álgebra de Lie. A álgebra de Lie do grupo G é qualquer umadas álgebras de Lie Invd ou Inve.Os argumentos a seguir mostram que essas álgebras de Lie são, em essência, as

mesmas, isto é, são isomorfas, não existindo, portanto, nenhuma ambiguidade na ter-minologia.O espaço tangente T1G é isomorfo tanto a Invd quanto a Inve. Através dos isomor-

fismos o colchete de Lie restrito aos subespaços de campos invariantes induz colchetes[·, ·]d e [·, ·]e em T1G. Esses colchetes são dados, para A,B ∈ T1G, por

• [A,B]d = [Ad, Bd] (1) e

• [A,B]e = [Ae, Be] (1).

O seguinte lema permite relacioná-los.

Lema 5.4 Sejam A ∈ T1G e ι (g) = g−1 a inversa em G. Então,

(ι)∗(Ad)

= (−A)e e (ι)∗ (Ae) = (−A)d .

Em detalhes: (dι)g−1(Ad (g−1)

)= −Ae (g) e (dι)g−1 (Ae (g−1)) = −Ad (g).

Demonstração: Escreva Y = (ι)∗(Ad). Então,

(Eg)∗ (Y ) = (Eg)∗ (ι)∗(Ad).


Usando a regra da cadeia e a igualdade Eg ι = ι Dg−1 , segue que (Eg)∗ (Y ) =(ι Dg−1)∗

(Ad). Este segundo membro é igual a (ι)∗

(Ad)

= Y , pela regra da cadeia epelo fato que Ad é invariante à direita. Portanto, (Eg)∗ (Y ) = Y e daí que Y é inva-riante à esquerda. Agora, Y (1) = (dι)1

(Ad (1)

). Mas Ad (1) = A e (dι)1 = −id, daí

que Y (1) = −A, mostrando que Y = (−A)e. A outra igualdade é provada da mesmamaneira, ou então aplicando ι∗ na igualdade já demonstrada. 2

Proposição 5.5 Sejam A,B ∈ T1G. Então, [A,B]d = −[A,B]e.

Demonstração: Por definição [A,B]d = [Ad, Bd] (1). Aplicando dι1 = −id a essaigualdade obtém-se

−[A,B]d = (dι)1 [A,B]d = (dι)1

([Ad, Bd] (1)

).

Mas, pelo lema anterior (e pela propriedade de homomorfismo de ι∗), ι∗[Ad, Bd] =[ι∗A

d, ι∗Bd] = [Ae, Be]. Daí que

−[A,B]d = [Ae, Be] (1) = [A,B]e,


Alterando um pouco o ponto de vista, esta proposição, mostra que as estruturasde álgebra de Lie em T1G induzidas por Invd e Inve são isomorfas, no sentido em queexiste uma aplicação linear inversível L : T1G→ T1G tal que L[A,B]d = [LA,LB]e. Defato, tome L = −id. Então, L[A,B]d = −[A,B]d enquanto que [LA,LB]e = [A,B]e,portanto −id é um isomorfismo. Visto ainda de outra maneira, a proposição anteriormostra que a aplicação ι∗ define um isomorfismo entre Invd e Inve munidos do colchetede Lie de campos de vetores.

Definição 5.6 A álgebra de Lie de G, denotada por g ou L (G), é qualquer uma dasálgebras de Lie isomorfas Invd, Inve, (T1G, [·, ·]d) ou ainda (T1G, [·, ·]e).

O isomorfismo entre invd,e e T1G se reflete na notação utilizada em que X ∈ gsignifica tanto um elemento de T1G quanto um campo de vetores invariante.Para o desenvolvimento da teoria pode-se escolher qualquer uma dessas álgebras de

Lie para representar g. A diferença principal está, é claro, na escolha entre invariânciaà direita e à esquerda. Dependendo da realização que for tomada, algumas fórmulassão alteradas, mudando a ordem em que aparecem os elementos que a constituem.No entanto, escolhendo de antemão o tipo de campo invariante, todas as fórmulassão desenvolvidas de forma coerente. Um critério para a escolha entre os camposinvariantes à esquerda ou à direita surge no momento de estudar ações de grupos. Seforem consideradas ações à esquerda (o que ocorre quando se escreve o valor de umafunção f como f (x)) então os campos que interessam são os invariantes à direita. Jáem ações à direita (quando se escreve uma função f como (x) f), o que conta são oscampos invariantes esquerda.

Exemplos:


1. Conforme foi calculado nos exemplos da seção anterior, os campos invariantesà direita em Gl (n,R) são da forma XA (g) = Ag, com A uma matriz n × n,enquanto que os invariantes à esquerda são da forma YA (g) = gA.

Em coordenadas locais o colchete de Lie de dois campos é dado por

[X, Y ] = dY (X)− dX (Y ) .

Para uma matriz A o campo XA se estende uma aplicação linear no espaço dasmatrizes. Portanto, dXA = XA. Assim, aplicando essa fórmula do colchete a XA

e XB, obtém-se[XA, XB] (g) = B (Ag)− A (Bg) ,

isto é, [XA, XB] = XBA−AB. Por outro lado, o colchete de Lie de campos in-variantes à esquerda é dado por [YA, YB] = XAB−BA. Dessa forma, as álgebrasde Lie Invd e Inve se identificam com o espaço das matrizes n × n. Em Invd ocolchete é dado por [A,B] = BA−AB, enquanto que em Inve o colchete é dadopor [A,B] = AB −BA.

2. Se A é uma álgebra associativa, então a álgebra de Lie do grupo de Lie G (A) édada por comutadores em A, da mesma forma que em Gl (n,R).

3. Para o grupo dos quatérnions H∗ sua álgebra de Lie é o próprio H com o colchetedado pelo comutador

[p, q] = qp− pq.

4. Os campos invariantes em (Rn,+) são os campos constantes. Como o colchetede Lie de campos constantes se anula (como segue da fórmula do colchete emcoordenadas, veja a proposição A.5), a álgebra de Lie do grupo abeliano (Rn,+)é abeliana, isto é, satisfaz [·, ·] ≡ 0.

5. Se G e H são grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente então aálgebra de Lie de G×H é g× h, onde o colchete é dado por

[(X1, Y1) , (X2, Y2)] = ([X1, X2], [Y1, Y2]) .

De maneira, mais geral, a álgebra de Lie de um produto direto G1 × · · · × Gk éo produto direto g1 × · · · × gk de suas álgebras de Lie, em que o colchete é dadocoordenada a coordenada.

6. Se G é um grupo de Lie discreto, dimG = 0 e, portanto, g = 0.

2

Outros exemplos de álgebras de Lie de grupos de Lie serão apresentados no próximocapítulo, sobre subgrupos de Lie de grupos de Lie.


5.3 Aplicação exponencial

A aplicação exponencial exp : g→ G é o objeto central usado para transferir ao grupode Lie G propriedades de sua álgebra de Lie g. A idéia básica de sua construção é que,por definição, os elementos de g são equações diferenciais ordinárias em G (camposinvariantes), que possuem fluxos, os quais são formados por difeomorfismos locais deG. Os elementos formadores desses fluxos se identificam naturalmente a elementos deG, permitindo construir, a partir de X ∈ g, um subgrupo de G parametrizado port ∈ R (subgrupo a 1-parâmetro). A aplicação exponencial é construida a partir dessessubgrupos.Para colocar esses comentários de maneira precisa, seja X um campo invariante (à

esquerda ou à direita em G). Denote por Xt o seu fluxo. Em princípio Xt é um fluxolocal, isto é, para t fixado, o domínio domXt de Xt é o subconjunto aberto de G dascondições iniciais cujas soluções se prolongam até t.A invariância de X acarreta a seguinte simetria do fluxo Xt: suponha, por exemplo,

queX ∈ Invd, tome g, h ∈ G com h ∈ domXt e considere a curva α (t) = Xt (h) g. O seudomínio é um intervalo aberto de R, contendo 0 com α (0) = hg pois X0 (h) = h. Alémdo mais, pela regra da cadeia α′ (t) = d (Dg)Xt(h) (X (Xt (h))), e como X é invarianteà direita segue que

α′ (t) = X (Xt (h) g) = X (α (t)) .

Portanto, α é solução de dg/dt = X (g) com condição inicial α (0) = hg, isto é, α (t) =Xt (hg). Isso significa que

Xt (hg) = Xt (h) g X ∈ Invd. (5.1)

Tomando em particular h = 1, fica Xt (g) = Xt (1) g. Isto é, a solução que passa por gé obtida por translação à direita da solução que passa pelo elemento neutro.De maneira análoga, se mostra que

gYt (h) = Yt (gh) Y ∈ Inve (5.2)

e Yt (g) = gYt (1) se Y é campo invariante à esquerda.Como as trajetórias são obtidas umas das outras por translação, elas se prolongam

ao mesmo intervalo de R, isto é, as soluções maximais dos campos invariantes têm todasos mesmos intervalos de definição. Isso permite mostrar que os campos invariantes sãocompletos, isto é, suas trajetórias se prolongam a (−∞,+∞).

Proposição 5.7 Um campo invariante (à esquerda ou à direita) é completo.

Demonstração: Tome um campo X invariante à direita, cujo fluxo é denotado porXt. Seja (α, ω) com α < 0 e ω > 0 o intervalo comum das soluções maximais maximaist 7→ Xt (g), g ∈ G. Suponha por absurdo que ω <∞. Defina as curvas

x (t) = Xt (1) t ∈ (α, ω)y (t) = Xt−ω/2

(Xω/2 (1)

)t ∈ (α + ω/2, 3ω/2) .

5.3. Aplicação exponencial 103

Ambas são soluções da equação diferencial g = X (g). Como x (ω/2) = y (ω/2) =Xω/2 (1) a unicidade de soluções garante que x (t) = y (t) no intervalo (α + ω/2, ω),que é a interseção dos domínios de definição das curvas. Portanto, as duas curvasdefinem uma solução z (t) cujo domínio de definição é a união (α, 3ω/2) dos intervalosde definição de x e y. Como z (0) = 1, isso contradiz o fato de que o intervalo dasolução maximal é (α, ω). Daí que ω = ∞. Da mesma forma, α = −∞, concluíndo ademonstração. 2

Uma outra consequência das propriedades de invariância (5.1) e (5.2) são as seguin-tes igualdades:

• Se X ∈ Invd então Xt+s (1) = Xt (Xs (1)) = Xt (1)Xs (1) = Xs (1)Xt (1).

• Se Y ∈ Inve então Yt+s (1) = Yt (Ys (1)) = Yt (1)Ys (1) = Ys (1)Yt (1).

Essas igualdades implicam que X−t (1) = (Xt (1))−1 e Y−t (1) = (Yt (1))−1. Daí quese X ∈ Invd e Y ∈ Inve então suas trajetórias que passam pela origem

Xt (1) : t ∈ R e Yt (1) : t ∈ R

são subgrupos de G. Na verdade esses subgrupos coincidem caso X (1) = Y (1).

Proposição 5.8 Sejam X e Y campos de vetores invariantes à direita e à esquerda,respectivemente, que coincidem no elemento neutro, isto é, X (1) = Y (1). Então suastrajetórias Xt (1) e Yt (1), que passam pelo elemento neutro coincidem para todo t ∈ R.

Demonstração: Basta verificar que a curva α (t) = Xt (1) satisfaz a equação difer-encial g = Y (g), o que segue do seguinte cálculo de derivada

α′ (t) =d

dtXt+s (1)|s=0 =

d

dtXt (1)Xs (1)|s=0

=(dEα(t)

)1

(X (1)) = Y (α (t)) .

2

Uma vez feita essa discussão dos campos invariantes pode-se definir a aplicaçãoexponencial num grupo de Lie.

Definição 5.9 Seja X ∈ T1G. Então, expX =(Xd)t=1

(1) = (Xe)t=1 (1). Como éusual expX também se escreve como eX . Isso define uma aplicação exp : g→ G ondeg = T1G é a álgebra de Lie de G.

A aplicação exponencial é bem definida pois os campos invariantes são completos,daí que a solução de g = X (g) que passa pelo elemento neutro quando t = 0 se estendea t = 1.


Se Z é um campo de vetores e a ∈ R então as trajetórias de Z e aZ coincidem eseus fluxos satisfazem (aZ)t = Zat. Aplicando essa observação aos campos Xd e Xe sevê que suas trajetórias pelo elemento neutro são dadas por(

Xd)t(1) = (Xe)t (1) = exp tX.

Pelas propriedades enunciadas acima dessas trajetórias segue que a aplicação exponen-cial t 7→ exp (tX), X ∈ g, é um homomorfismo, isto é,

exp (t+ s)X = exp (tX) exp (sX) = exp (sX) exp (tX)

e sua imagem exp (tX) : t ∈ R é um subgrupo de G. Esse subgrupo é denominadode subgrupo a 1-parâmetro gerado por X ∈ g.A seguinte proposição reúne propriedades da aplicação exponencial e dos fluxos dos

campos invariantes, que foram discutidas acima.

Proposição 5.10 Valem as seguintes afirmações:

1. SeX é campo invariante à direita entãoXt = Eexp(tX), isto é, Xt (g) = exp (tX) g.3

2. Se X é campo invariante à esquerda então Xt = Dexp(tX), isto é, Xt (g) =g exp (tX).

3. exp 0 = 1.

4. Se n ∈ Z então (expX)n = exp (nX) para todo n ∈ Z. Em particular, (expX)−1 =exp (−X).

Exemplos:

1. Como foi visto os campos invariantes à direita em Gl (n,R) são da forma X (g) =Ag, com A matriz n× n. A equação diferencial associada a X é o sistema linear

dg

dt= Ag

no espaço das matrizes. Sua solução fundamental é dada pela exponencial dematrizes expA =

∑k≥0

1k!Ak, que coincide, portanto, com a aplicação exponencial

em Gl (n,R).

2. Se A é uma álgebra associativa, então aplicação exponencial do grupo de LieG (A) é dada por expA =

∑k≥0

1k!Ak,da mesma forma que em Gl (n,R).

3Nessa afirmação X denota ao mesmo tempo um campo invariante e um elemento de T1G. Essaambiguidade aparente vem do isomorfismo entre os espaços dos campos invariantes e o espaço tangenteT1G.

5.3. Aplicação exponencial 105

3. Em (Rn,+) os campos invariantes são constantes: X (x) = x+ v. O fluxo de umcampo desses é dado pelas translações Xt (x) = x + tv. Tomando x = 0, vê-seque

exp (tv) = tv.

Em particular, exp (v) = v e exp = id.

4. Se G e H são grupos de Lie com álgebras de Lie g e h respectivamente entãoexp (X, Y ) = (expX, expY ) se (X, Y ) ∈ g×h, a álgebra de Lie de G×H. Isso sedeve a que os campos invariantes à direita no produto direto G×H são da forma(X, Y ) com X campo invariante à direita em G e Y campo invariante à direitaem H. Portanto, suas soluções podem ser encontradas coordenada a coordenada.

A mesma observação vale para um produto diretoG1×· · ·×Gk onde a exponencialé dada pelo produto cartesiano das exponenciais em cada grupo.

2

Além das propriedades algébricas da aplicação exponencial, enunciadas na proposição5.10, sua diferenciabilidade também é relevante. A aplicação exponencial foi definidaatravés da solução da equação diferencial dg/dt = X (g), com X campo invariante. Oconjunto das equações definidas (por exemplo) pelos campos invariantes à direita podeser colocada numa única equação dependente do parâmetro A ∈ T1G, escrevendo

dg

dt= f (A, g) (5.3)

onde f : T1G×G→ TG é dada por f (A, g) = (dDg)1 (A). No caso em que G e p sãode classe pelos menos C2, f é de classe ≥ 1. Portanto as soluções de (5.3) dependemdiferenciavelmente do parâmetro A. Isso significa que a aplicação exponencial exp :g→ G é diferenciável.A diferencial de exp é amplamente utilizada no desenvolvimento da teoria. Existe

uma fórmula para essa diferencial em termos de uma série cujos termos sucessivos sãocolchetes de elementos em g. Essa fórmula será demonstrada no capítulo 8. Um de seuscasos particulares é a expressão enunciada abaixo para a diferencial da exponencial naorigem 0 ∈ g. Para ler a expressão a ser escrita deve-se levar em conta que exp 0 = 1,assim, (d exp)0 é uma aplicação linear g→ T1G = g.

Proposição 5.11 (d exp)0 = id.

Demonstração: Dado X ∈ g, (d exp)0 (X) =d

dtexp (0 +X)|t=0 . Mas essa de-

rivada é exatamente A pois a curva etX é solução de dg/dt = Xd (g). Portanto,(d exp)0 (X) = X, concluindo a demonstração. 2

Corolário 5.12 Existem uma vizinhança U de 0 ∈ g e uma vizinhança V de 1 em Gtal que exp|U : U → V é um difeomorfismo.


Demonstração: Segue do teorema da função inversa e do fato que (d exp)0 = id éinversível. 2

Corolário 5.13 Seja G um grupo de Lie conexo e tome g ∈ G. Então, existemX1, . . . , Xs ∈ g tal que

g = exp (X1) · · · exp (Xs) .

Demonstração: Como G é conexo, a vizinhança V do corolário anterior gera G, istoé,

G =⋃n≥1

V n.

Um elemento de V n é da forma g1 · · · gn com gi = expXi ∈ V . Portanto, um elementode V n é um produto de exponenciais, o mesmo ocorrendo com g ∈ G arbitrário. 2

Pelo corolário anterior todo elemento de um grupo de Lie conexo G é um produtode exponenciais, que em geral envolve mais de um fator, pois nem todo elemento de G éda forma expX, isto é, nem sempre a aplicação exponencial é sobrejetora. O exercício13, ao final do capítulo, mostra a não sobrejetividade no grupo Gl (2,R).De acordo com o corolário 5.12 a aplicação log = exp−1 : V → U é um difeo-

morfismo entre um aberto de G e um aberto de um espaço vetorial. Portanto, logpode ser considerada uma carta, ou sistema de coordenadas local, de G. Essa carta édenominada de sistema de coordenadas de primeira espécie.Um outro tipo de sistema de coordenadas nas vizinhanças do elemento neutro,

obtida por exponenciais, é dada pela seguinte aplicação: tome uma base X1, . . . , XNde g e considere a aplicação

ψ : (t1, . . . , tN) ∈ RN 7−→ et1X1 · · · etNXN ∈ G. (5.4)

Ela satisfaz ψ (0) = 1 e dψ0 = id, pois para cada elemento ei da base canônica de Rn,vale

dψ0 (ei) =∂ψ

∂ti(0) =

d

dtiψ (0, . . . , ti, . . . , 0)|ti=0 = Xi.

Portanto, dψ0 é isomorfismo o que acarreta que em alguma vizinhança de 0 ∈ RN , ψé um difeomorfismo. Uma aplicação dessas é chamada de sistema de coordenadasde segunda espécie.

5.4 Homomorfismos

Sejam G e H grupos de Lie. Um homomorfismo φ : G→ H diferenciável entre G e Hé chamado de homomorfismo de grupos de Lie. A mesma terminologia se aplicaa isomorfismos e automorfismos de grupos de Lie.


A condição de ser diferenciável faz parte da definição de homomorfismo de grupos deLie. Para verificar se um homomorfismo φ : G→ H entre grupos de Lie é diferenciávelbasta verificar a diferenciabilidade em um único ponto. De fato, valem as igualdades

φ Dg = Dφ(g) φ φ Eg = Eφ(g) φ.

Da primeira delas se obtém φ = Dφ(g) φDg−1 . Aplicando a regra da cadeia se vê quese φ é diferenciável no elemento neutro 1 então φ também é diferenciável em g ∈ G.Levando em conta o principio de que os grupos de Lie devem ser estudados através

das álgebras de Lie, os homomorfismos entre grupos de Lie serão descritos através dehomomorfismos entre suas álgebras de Lie.Um homomorfismo entre as álgebras de Lie g e h é uma aplicação linear θ : g→ h

que satisfaz θ[X, Y ] = [θX, θY ] para todo X, Y ∈ g. A relação entre os homomorfismosde grupos e álgebras de Lie é fornecida pela diferencial no elemento neutro. Essa relaçãoserá provada a seguir usando algumas fórmulas envolvendo homomorfismos de grupose exponenciais.

Lema 5.14 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente.Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável e tome X ∈ g. Então, para todog ∈ G, vale

dφg(Xd (g)

)= Y d (φ (g)) dφg (Xe (g)) = Y e (φ (g))

onde Y = dφ1 (X).

Demonstração: Como Xd é campo invariante à direita,

dφg(Xd (g)

)= dφg d (Dg)1 (X) = d (φ Dg)1 (X) .

Mas, o último termo coincide com

d (φ Dg)1 (X) = d(Dφ(g) φ

)1

(X) = d(Dφ(g)

) dφ1 (X)

e daí que dφg(Xd (g)

)= d

(Dφ(g)

) dφ1 (X) = Y d (φ (g)), que é a igualdade do enun-

ciado. A demonstração para os campos invariantes à esquerda é semelhante. 2

Dois campos de vetores X e Y são ditos φ-relacionados se dφx (X (x)) = Y (φ (x)).Nesse caso as trajetórias de Y são as imagens por φ das trajetórias de X (veja oapêndice A). O lema anterior garante que os campos invariantes à direita (ou à es-querda) definidos por X ∈ T1G e Y = dφ1 (X) são φ-relacionados. Como as trajetóriasdos campos invariantes são dadas pelas respectivas exponenciais, segue do lema acimaa seguinte fórmula fundamental para homomorfismos.

Proposição 5.15 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectiva-mente. Seja φ : G→ H um homomorfismo diferenciável e tome X ∈ g. Então,

φ (exp (X)) = exp (dφ1 (X)) . (5.5)


Uma outra propriedade dos campos φ-relacionados é que seus colchetes de Lie tam-bém são φ-relacionados (veja a proposição A.2 no apêndice A). Segue então do lema5.14 a propriedade de homomorfismos da diferencial dφ1.

Proposição 5.16 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respecti-vamente. Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável. Então, dφ1 : g → h éhomomorfismo, isto é,

dφ1[X, Y ] = [dφ1X, dφ1Y ] (5.6)

com o colchete invariante à direita ou à esquerda.

Demonstração: Se Z = dφ1 (X) eW = dφ1 (Y ) então Xd e Zd assim como Y d eW d

são φ-relacionados. Portanto, pela proposição A.2 do apêndice A, [X, Y ]d e [Z,W ]d sãoφ-relacionados. Daí que

[Z,W ]d = [Z,W ]d (1) = dφ1[X, Y ]d.

O mesmo vale para os campos invariantes à esquerda. 2

O homomorfismo dφ1 entre as álgebras de Lie é às vezes denominado de homo-morfismo infinitesimal associado a φ.A última proposição acima afirma que homomorfismos de grupos de Lie induzem

homomorfismos de álgebras de Lie. O procedimento inverso, isto é, a construção homo-morfismos de grupos que “estendem”homomorfismos de álgebras de Lie, nem sempreé possível. Por exemplo, se G = S1 e H = R então dim g = dim h = 1 e, portanto, exis-tem isomorfismos entre g e h. Mas, nenhum isomorfismo é da forma dφ1, pois o únicohomomorfismo G→ H é constante, já que S1 é compacto e 0 é o único subgrupo deR contido num compacto (veja o exercício 20 do capítulo 2). O que está em jogo aquisão propriedades topológicas globais do dominio G (o seu grupo fundamental). Essaquestão será amplamente discutida no capítulo 7 e é relevante para estudar classes deisomorfismos de grupos de Lie a partir das álgebras de Lie.

Exemplo: O determinante det : Gl (n,R) → R \ 0 é um homomorfismo sobre ogrupo multiplicativo real. Esse homomorfismo é diferenciável. Para obter d (det)1 tomeuma matriz A e uma curva gt = (aij (t))ni,j=1 ∈ Gl (n,R) tal que g0 = 1 e a′ij (0) = A.A derivada do produto

det (gt) =∑σ

(−1)σ a1σ(1) (t) · · · anσ(n) (t)

em t = 0 vale trA. Portanto, d (det)1 (A) = trA. Como pode ser verificado direta-mente, a aplicação A ∈ gl (n,R) 7→ trA ∈ R é um homomorfismo de álgebras de Lie.A fórmula (5.5) diz que det eA = etrA. 2


5.4.1 Representações

Um caso particular de homomorfismo entre grupos de Lie é quando o contra-domínio éum grupo linear Gl (V ). Nesse caso, o homomorfismo é chamado representação de Gno espaço vetorial V . O espaço V é chamado de espaço da representação e dimVsua dimensão. A seguir V é um espaço vetorial real.Seja ρ é uma representação de dimensão finita (diferenciável) de G em V . A álgebra

de Lie do grupo Gl (V ) é denotada por gl (V ), ela coincide com o espaço vetorial dastransformações lineares V → V com o colchete dado pelo comutador. A diferencialde ρ na identidade dρ1 : g → gl (V ) é um homomorfismo de álgebras de Lie e comotal uma representação em V da álgebra de Lie g. Essa representação é denominadarepresentação infinitesimal associada a ρ. É comum denotar a representação infi-nitesimal com a mesma notação (isto é, ρ = dρ1). A fórmula que relaciona as duasrepresentações é dada pela proposição 5.15:

ρ (expX) = exp (dρ1 (X)) . (5.7)

A exponencial no segundo membro é a do grupo linear e, portanto, pode ser escritacomo a soma de uma série de potências.

Exemplos:

1. Seja G = Gl (n,R). Sua representação canônica em Rn é a aplicação identidade.A representação infinitesimal correspondente também é a identidade, isto é, as-socia a um elemento de gl (n,R) a transformação linear correspondente de Rn.Essa afirmação segue de

d

dt

(etA)|t=0

= A.

2. Novamente, seja G = Gl (n,R) e considere o produto tensorial

Tk =⊗k

Rn = Rn ⊗ · · · ⊗ Rn

e, para g ∈ G, defina a transformação linear ρk (g) : Tk → Tk, de tal forma quenos produtos tensoriais v1 ⊗ · · · ⊗ vk, v1, . . . , vk ∈ Rn, vale

ρk (g) (v1 ⊗ · · · ⊗ vk) = gv1 ⊗ · · · ⊗ gvk.

A aplicação ρk é uma representação de Gl (n,R). Sua representação infinitesimalé calculada pela derivada

d

dt

(etAv1 ⊗ · · · ⊗ etAvk

)|t=0

=

k∑i=1

v1 ⊗ · · · ⊗ Avi ⊗ · · · ⊗ vk.

2


Se ρ é uma representação de G em V então a representação dual de ρ, denotadapor ρ∗, é a representação de G no dual V ∗ de V definida por

ρ∗ (g) (α) = α ρ (g)−1 g ∈ G,α ∈ V ∗.

Se g é a álgebra de Lie de G então a representação infinitesimal correspondente é dadapor

ρ∗ (X) (α) = −α ρ (X) X ∈ g, α ∈ V ∗.

5.4.2 Representações adjuntas

Existe uma representação natural de um grupo de Lie G em sua álgebra de Lie g. Essarepresentação é construida da seguinte forma: um elemento g ∈ G define o automor-fismo interno Cg (x) = gxg−1. É claro que Cg (1) = 1, portanto d (Cg)1 é uma aplicaçãolinear g→ g. Dados g, h ∈ G,

Cg Ch (x) = g(hxh−1

)g−1 = Cgh (x) ,

o que implica que d (Cg)1 d (Ch)1 = d (Cgh)1. Daí que a aplicação g 7→ d (Cg)1 é umarepresentação de G em g, isto é, um homomorfismo de G em Gl (g).

Definição 5.17 A representação adjunta Ad : G → Gl (g), de G em sua álgebrade Lie g é definida por

Ad (g) = d (Cg)1 = d (Eg Dg−1)1= d (Dg−1 Eg)1

= (dEg)g−1 (dDg−1)1= (dDg−1)g (dEg)1 .

A representação Ad é diferenciável.De acordo com a proposição 5.16, para qualquer g ∈ G, Ad (g) = d (Cg)1 é um

homomorfismo de g. Na verdade um automorfismo, uma vez que Ad (g)−1 = Ad (g−1).Isso significa que a imagem de Ad está contida no grupo dos automorfismos Aut (g) deg (que é um grupo de Lie como será verificado no próximo capítulo).Uma fórmula bastante utilizada em relações envolvendo a representação adjunta

é obtida aplicando a proposição 5.15 a φ = Cg. Dessa proposição se obtém queCg (expX) = exp

((dCg)1 (X)

), isto é,

g exp (X) g−1 = exp (Ad (g)X) . (5.8)

Como Ad é uma representação diferenciável, pode-se considerar sua representaçãoinfinitesimal, que é uma representação da álgebra de Lie g em si mesma, isto é, umhomomorfismo de álgebras de Lie g → gl (g). Como será demonstrado abaixo, arepresentação infinitesimal é nada mais nada menos que a representação adjunta deg, que é definida a seguir.

Definição 5.18 Seja g uma álgebra de Lie. Sua representação adjunta, é a apli-cação ad : g→ gl (g) definida por

ad (X) (Y ) = [X, Y ].


A identidade de Jacobi garante que a aplicação ad é de fato um homomorfismo deálgebras de Lie, onde o colchete em gl (g) é dado pelo comutador.Uma aplicação linear D : g→ g é denominada derivação, se

D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ].

A propriedade de Jacobi para colchetes em álgebras de Lie garante que as aplicaçõesad (X), X ∈ g, são derivações de g. Elas são denominadas de derivações internasde g.

Proposição 5.19 Seja G um grupo de Lie, com álgebra de Lie g, com o colchete dadopelos campos invariantes à esquerda. Então, d (Ad)1 (X) = ade (X) para todo X ∈ g evale a igualdade

Ad (expX) = exp (ade (X)) . (5.9)

(O subíndice “e”foi colocado para enfatizar que o colchete é dado pelos campos invari-antes à esquerda).

Demonstração: Seja X um campo invariante à esquerda. Então, d (Ad)1 (X) é umaaplicação linear g→ g. Para calculá-la, seja Y outro campo invariante à esquerda. Set ∈ R então

Ad(etX)

(Y ) = d (EetX De−tX )1 (Y )

= d (De−tX )etX (d (EetX )1 (Y )) .

Como Y é invariante por translações à esquerda,

d (EetX )1 (Y ) = Y(etX).

Agora, o fluxo Xt de X é dado por Xt = Dexp(tX). Usando esse fluxo a igualdade acimase reescreve como

Ad(etX)

(Y ) = d (X−t)Xt(1) (Y (Xt (1))) .

Derivando esta igualdade em relação a t e usando a fórmula que define o colchete deLie de campos de vetores chega-se a

d

dt

(Ad(etX)

(Y ))|t=0

= [X, Y ] (1) .

Como X e Y são campos invariantes à esquerda, a última igualdade significa que

d

dtAd(etX)|t=0

= ade (X) ,

mostrando que ad é a representação infinitesimal associada a Ad. A segunda fórmulado enunciado é um caso particular de (5.7), que vale para representações em geral. 2

A igualdade [X, Y ]e = −[X, Y ]d implica que ade (X) = −add (X), X ∈ g o queacrescenta um sinal na fórmula da proposição anterior, para o caso dos campos invari-antes à direita.


Proposição 5.20 Se na proposição anterior forem tomados campos invariantes à di-reita então d (Ad)1 (X) = −add (X) para todo X ∈ g e

Ad (expX) = exp (−add (X)) . (5.10)

As fórmulas (5.8) e (5.9) (ou (5.10)) formam a base para estabelecer relações entreas propriedades de um grupo de Lie G e sua álgebra de Lie g. O primeiro membrode (5.8) envolve o produto em G enquanto que o segundo membro de (5.9) dependeapenas do colchete em g. Ambos são ligados a um termo intermediário envolvendoAd (g), g ∈ G. Numa aplicação típica de (5.8) e (5.9) uma propriedade de G acarretanuma propriedade Ad (g), g ∈ G, derivando (5.8). Uma nova derivada, agora de(5.9), leva a uma propriedade de ad (X), X ∈ g. O procedimento recíproco é feitoatravés de duas “integrais”. Esse processo que envolve duas derivadas está no espíritoda proposição A.6 do apêndice A, no qual o colchete de Lie é interpretado como aderivada segunda de um comutador.O caso dos grupos abelianos no exemplo a seguir ilustra o método de aplicar as

fórmulas (5.8) e (5.9).

Exemplo: Seja G um grupo abeliano. Então, sua álgebra de Lie é abeliana. De fato,por (5.7)

etAd(g)X = getXg−1 = etX

para todo g ∈ G, X ∈ g e t ∈ R. A derivada dessa igualdade, em t = 0, forneceAd (g)X = X para todo g ∈ G, X ∈ g, isto é, Ad (g) = id para todo g ∈ G. Portanto,por (5.9) se Y ∈ g então id = Ad (exp tY ) = exp (tade (Y )). Derivando esse últimotermo em t = 0 se obtém ade (Y ) = 0 para todo Y ∈ g, o que significa que a álgebrade Lie é abeliana.Reciprocamente, G é abeliano se for conexo e g for abeliana. Nesse caso deve-se

começar aplicando (5.9) para concluir que

Ad(etY)

= etade(Y ) = 1

se Y ∈ g. Daí que por (5.8), eY eXe−Y = eX , isto é, eY eX = eXeY para todo X, Y ∈ g.Mas, G é gerado por exponenciais, já que é conexo. Portanto, dois elementos quaisquerg = eX1 · · · eXn e h = eY1 · · · eYm de G comutam. 2

Como foi observado acima, cada Ad (g), g ∈ G, é um automorfismo de g. Pode-se então considerar Ad como um homomorfismo de grupos Ad : G → Aut (g), ondeAut (g) denota o grupo dos automorfismos de g. A imagem de Ad é um subgrupo deAut (g). No próximo capítulo será provado que essa imagem é um subgrupo de Lie.Já o núcleo ker Ad é um subgrupo fechado de G, pois o Ad é uma aplicação difer-

enciável e, em particular, contínua, a valores no grupo Gl (g). A proposição a seguirdescreve esse núcleo.

Proposição 5.21 Seja

Z (G0) = g ∈ G : ∀h ∈ G0, gh = hg


o centralizador da componente conexa do elemento neutro G0. Então, ker Ad =Cent (G0).

Demonstração: É consequência da fórmula

eAd(g)X = geXg−1

e do corolário 5.13. Em primeiro lugar, se g ∈ Cent (G0) então

eAd(g)X = eX

para todo X ∈ g, pois expX ∈ G0. Mas, exp é um difeomorfismo ao redor da origem,isto é, existe uma vizinhança V ⊂ g de 0 tal que exp é injetora nessa vizinhança.Portanto, Ad (g)X = X para todo X ∈ V . Isso ímplica que Ad (g) = id pois paratodo Y ∈ g existe r ∈ R tal que rY ∈ V e como Ad (g) é linear, segue que Ad (g)Y = Y .Isso mostra que Cent (G) ⊂ ker Ad.Por outro lado, se g ∈ ker Ad então, Ad (g)X = X para todo X ∈ g e daí que

eX = geXg−1.

Isto significa que g comuta com todos os elementos da forma expX, X ∈ g. Portanto,g comuta com produtos de exponenciais exp (X1) · · · exp (Xs), isto é, g comuta com oselementos de G0. 2

Corolário 5.22 O centro Z (G) = g ∈ G : ∀h ∈ G, gh = hg está contido emker Ad e ambos coincidem se G é conexo.

Demonstração: De fato, Z (G) ⊂ Cent (G0) e vale a igualdade se G = G0. 2

O centro de um grupo é um subgrupo abeliano. Segue então do corolário acima queker Ad é abeliano caso G seja conexo. Essa afirmação não vale em geral. Por exemplo,se G é um grupo discreto então G = ker Ad, que não precisa ser abeliano.A proposição acima (principalmente o corolário) está em concordância com o fato

de que o núcleo ker ad da representação adjunta de g é o seu centro

z (g) = X ∈ g : ∀Y ∈ g, [X, Y ] = 0.

Será mostrado posteriormente que o centro Z (G) é um subgrupo de Lie de G. Suaálgebra de Lie é o centro z (g) de g.

Exemplos:

1. Em Gl (n,R), Ad (g) coincide com a conjugação Cg, pois Cg se estende a umatransformação linear no espaço das matrizes, portando coincide com Ad (g) que ésua diferencial na identidade. Em outras palavras, se A ∈ gl (n,R) e g ∈ Gl (n,R)então

Ad (g)A = gAg−1.


O centro de Gl (n,R) é o subgrupo das matrizes escalares a ·1, 0 6= a ∈ R. Apesarde Gl (n,R) ter duas componentes conexas a expressão para Ad (g) confirma deimediato que Z (Gl (n,R)) = ker Ad.

2. Num grupo abeliano G a representação adjunta é trivial: Ad (g) = id para todog ∈ G, pois Cg = id.

2

A representação dual Ad∗ da representação adjunta Ad é denominada de repre-sentação co-adjunta.

5.5 Equações diferenciais ordinárias

Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dada curva A : (a, b) → g definida nointervalo (a, b) ⊂ R pode-se definir em G a equação diferencial ordinária, dependentedo tempo, por translação à direita como

dg

dt= dDg (A (t)) , (5.11)

Na notação compacta a equação acima pode ser escrita como g = A (t) g. Da mesmaforma, pode-se escrever a equação obtida por translação à esquerda

dg

dt= dEg (A (t)) = gA (t) . (5.12)

Os teoremas de existência e unicidade de soluções se aplicam a essas equações sobcondições bastante gerais paraA. Isso porque as equações dependem diferenciavelmentede g. Quanto à dependência em relação a t, que provém de A, deve-se assumir queA é mensurável e localmente integrável (em relação à medida de Lebesgue restrita aointervalo (a, b)), no sentido em que para todo t ∈ (a, b) existe ε > 0 tal que A (·) restritaa (t− ε, t+ ε) é integrável. Essa condição é satisfeita, por exemplo, no caso em que Aé contínua ou contínua por partes.Nessas condições a teoria de existência e unicidade de soluções de equações difer-

enciais ordinárias garante que, dada uma condição inicial (t0, g0) ⊂ (a, b) × G existeδ > 0 e uma única solução φ : (t0 − δ, t0 + δ) → G com φ (t0) = g0. Essa solução éuma função absolutamente contínua, que tem derivada em quase todos os pontos de(t0 − δ, t0 + δ) e nesses pontos a equação é satisfeita. Além do mais, pela dependênciacontínua em relação às condições iniciais, δ pode ser escolhido de tal forma que paratodo (t, g) nas vizinhanças de (t0, g0) a solução com condição inicial (t, g) está definidaem todo o intervalo (t0 − δ, t0 + δ).As equações diferenciais invariantes generalizam as equações definidas pelos campos

invariantes à direita e à esquerda e têm propriedades semelhantes às mesmas. Porexemplo, uma translação à direita de uma solução de (5.11) também é solução. Defato, dados α (t) com α′ (t) = A (t)α (t) e g ∈ G, defina β (t) = Dg (α (t)). Então,

β′ (t) = dDg (α′ (t)) = dDgdDα(t) (A (t)) = dDβ(t) (A (t)) ,

5.6. Medida de Haar 115

isto é, β também é solução de (5.11). Da mesma forma, a equação (5.12) é invarianteà esquerda.Em particular, as soluções de ambas equações são obtidas transladando (à direita

ou à esquerda, respectivamente) as soluções que passam pelo elemento neutro.Sendo assim, para cada s ∈ (a, b) denote por φd (s, t) a solução da equação invariante

à direita (5.11) com condição inicial φd (s, s) = 1, definida num intervalo aberto I ⊂(a, b) que contém s. Então, a solução com condição inicial (s, g), g ∈ G, é a translaçãoà direita por g: φd (s, t) g. Em particular, se g = φd (u, s) então, como função de to produto φd (s, t)φd (u, s) é uma solução com condição inicial (u, 1). Daí que vale afórmula

φd (u, t) = φd (s, t)φd (u, s) . (5.13)

Para a equação invariante à esquerda (5.12) a situação é a mesma: se φe (s, t) éa solução com condição inicial (s, 1) então gφe (s, t) é a solução com condição inicial(s, g) e vale a igualdade

φe (u, t) = φe (u, s)φe (s, t) . (5.14)

Note que em particular, qualquer solução com condição inicial (s, g), g ∈ G, temo mesmo intervalo maximal de definição. O objetivo agora é provar que esse intervalomaximal coincide com o domínio de definição (a, b) de A. Isso generaliza a proposição5.7.

Proposição 5.23 Seja A : (a, b) → g uma curva mensurável e localmente integrável.Então, para todo t0 ∈ (a, b) e g0 ∈ G, existe uma única solução ψ : (a, b) → G de(5.11), definida em todo o intervalo (a, b), tal que ψ (t0) = g0. O mesmo resultado valepara (5.12).

Demonstração: Tome c ∈ (a, b) e suponha, para fixar as idéias que t0 < c. Deve-semostrar que a solução t 7→ φd (t0, t) se prolonga até c. Para isso, observe que para cadas ∈ [t0, c] existe δs > 0 tal que a solução com condição inicial (s, 1) está definida nointervalo (s− δs, s+ δs). Por compacidade existem finitos elementos s1 < · · · < sk talque t0 = s1, c = sk e para cada i a solução φ

d (si, t) se prolonga até si+1. Aplicando,reitradamente, a fórmula (5.13) obtém-se então que

φd (t0, c) = φd (sk−1, c) · · ·φd (s1, s2)φd (t0, s1)

está bem definida, concluíndo a demonstração. 2

5.6 Medida de Haar

A construção geral de medidas de Haar em grupos localmente compactos, feita nocapítulo 3, pode ser bem simplificada no caso de grupos de Lie. Isso porque em varie-dades diferenciáveis pode-se definir medidas através de formas volume, o que facilita aconstrução de medidas invariantes em grupos de Lie.


Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e denote por g∗ o dual de g. Umaforma-volume ν em g é uma n-forma não nula onde n = dim g. Por exemplo, seα1, . . . , αn é uma base de g∗ então ν = α1 ∧ · · · ∧ αn é uma n-forma em g. O espaçodas n-formas ∧ng∗ tem dimensão 1.Uma forma volume ν em g define uma forma volume invariante em G (também

denotada por ν) por translação:

νg =((dEg−1)1

)∗ν ∈ ∧nT ∗gG.

Essa forma é invariante à esquerda, isto é, (Eg)∗ ν = ν para todo g ∈ G. Reciproca-

mente, uma forma volume invariante à esquerda é completamente determinada pelosseu valor em 1, que é um elemento de ∧ng∗. Da mesma forma se define formas volumeinvariantes à direita. (Para mais informações sobre formas diferenciais invariantes vejao capítulo 14.)Uma forma volume invariante em G ou é identicamente nula ou não se anula em

nenhum ponto de G. Além do mais, se ν 6= 0 é uma forma volume invariante entãoqualquer outra forma invariante ν ′ = aν de ν com a ∈ R.Falando por alto a integral de uma função f : M → R numa variedade M , em

relação a uma forma volume ν, é definida num sistema de coordenadas ψ : U ⊂ Rn →M como ∫

ψ(U)

fdν =

∫fψ (x) |wψ (x)| dx

onde dx = dx1 ∧ · · · ∧ dxn é a forma volume canônica em Rn, fψ = f ψ e a funçãowψ : U → R é definida pela igualdade ψ∗ν = wdx. A integral no segundo membronão varia com ψ : U → M , o que permite definir intrinsecamente a integral

∫fdν da

função f em relação a ν. Módulo algumas questões técnicas essas integrais dão origema uma medida de Borel (regular) µν em M . As medidas de Borel µν satisfazem asseguintes propriedades.

1. Se ν1 = h · ν onde h : M → R é uma função então µν1 = |h|µν , como segue dadefinição local em sistemas de coordenadas. Isto é, µν1 é absolutamente contínuaem relação a µν com derivada de Radon-Nikodym |h|.

2. Se φ : M → M é um difeomorfismo e ν não se anula em nenhum ponto de Mentão existe uma função h : M → R tal que φ∗ν = hν. Portanto,

µφ∗ν = h · µν .

Seja agora µν a medida de Borel associada à forma volume ν invariante à esquerdano grupo de Lie G. Então, µν é invariante por translações à esquerda (Eg)

∗ ν = νimplica que µE∗gν = µν . Portanto ela é uma medida de Haar (invariante à esquerda)em G. Duas medidas de Haar não nulas construídas dessa forma são obtidas uma daoutra por reescalonamento, pois se ν1 = aν, a 6= 0, então, µν1 = |a|µν . Essas medidascobrem todas as medidas de Haar num grupo de Lie, pelo teorema de unicidade dasmedidas de Haar em grupos localmente compactos.


As medidas de Haar invariantes à direita são obtidas da mesma maneira, atravésde formas volume invariantes à direita.Conforme foi discutido no capítulo 3, as medidas invariantes à esquerda não são

necessariamente invariantes à direita, sendo que a relação entre elas é dada pela funçãomodular ∆. Seja νd uma forma-volume invariante à direita. Sua translação à esquerdaé (Eg)

∗ νd = (Ad (g) ν)d. Porém, Ad (g) ν = det Ad (g) ν, daí que Egνd = det Ad (g)·νd.Em particular, a forma volume invariante à esquerda νe, que é dada por νeg =(

(dEg)1

)∗ν (onde ν = νd1), satisfaz

νe = det Ad (g) · νd. (5.15)

Passando às medidas de Haar, sejam µνe e µνd as medidas definidas por νe e νd,

respectivamente. Da igualdade acima segue que

µνe = |det Ad (g)|µνd

Isso significa que |det Ad (g)| é a derivada de Radon-Nikodym µνe em relação a µνd .Pela seção 3.4 do capítulo 3 segue que a função modular de G é

∆ (g) = |det Ad (g)| .

Em particular, um grupo de Lie é unimodular se |det Ad (g)| = 1 para todo g ∈ G.

5.7 Exercícios

1. Mostre que um campo de vetores invariante à direita X no grupo de Lie Gtambém é invariante à esquerda se, e só se, Ad (g)X = X para todo g ∈ G.Mostre também que isso ocorre se, e só se, exp tX ∈ Z (G) para todo t ∈ R.

2. Num grupo de Lie G considere um novo produto g ∗ h = hg. Denote por G∗ ogrupo com esse produto. Mostre que G∗ ainda é um grupo de Lie, isomorfo a G.Como se relacionam os campos invariantes em G e G∗?

3. Dê exemplo de um grupo de Lie cuja variedade subjacente é difeomorfa a algumRn, mas o produto não é abeliano.

4. Uma aplicação afim de um espaço vetorial V real é uma aplicação da formag (x) = Px+ v com P : V → V linear e v ∈ V . Verifique que g é inversível se, esó se, P é inversível. Mostre que o grupo Af (V ) das aplicações afins inversíveisé um grupo de Lie se dimV < ∞. Descreva os campos invariantes em Af (V ) ea álgebra de Lie af (V ) de Af (V ).

5. Descreva as conjugações e as adjuntas no grupo afim Af (n) = Af (Rn) e naálgebra de Lie correspondente af (n).


6. Mostre que num grupo de Lie os campos de vetores invariantes à direita comutamcom os campos invariantes à esquerda. Mostre que seG é conexo então um campode vetores X é invariante à direita se, e só se, [X, Y ] = 0 para todo campo devetores Y invariante à esquerda. (Use o fato de que todo elemento de um grupode Lie conexo é produto de exponenciais.)

7. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão finita. Uma derivação de g é umatransformação linear D : g → g que satisfaz D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ]para quaisquer X, Y ∈ g. Mostre que D é derivação se, e só se, exp (tD) éautomorfismo de g, para todo t ∈ R. (Sugestão: considere as equações diferenciaissatisfeitas por etD[X, Y ] e [etDX, etDY ].)

8. Mostre que os homomorfismos contínuos (R,+)→ (R,+) são aplicações analíti-cas.

9. Seja G um grupo de Lie. Mostre que existe uma vizinhança U da identidade quenão contém nenhum subgrupo de G, exceto o trivial 1.

10. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dados X, Y ∈ g, use as fórmulas(5.8) e (5.9) para mostrar que [X, Y ] = 0 se, e só se, etXesY = esY etX para todos, t ∈ R. Mostre também que nesse caso eX+Y = eXeY .

11. Encontre os homomorfismos diferenciáveis Gl (n,R) → R. (Sugestão: encontreos homomorfismos infinitesimais θ : gl (n,R)→ R.)

12. Mostre que todo subgrupo a 1-parâmetro de O (3) é fechado. Essa afirmação éverdadeira em O (n), n > 3?

13. Mostre que exp : gl (2,R) → Gl+ (2,R) não é sobrejetora. (Sugestão: use aforma canônica de Jordan para mostrar que as partes reais dos auto-valores deg = expA são iguais se forem negativas.)

14. Mostre que todo elemento de Sl (2,R) pode ser escrito como um produto eXeY ,X, Y ∈ sl (2,R). (Sugestão: use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para escrever uma matriz g = kt com k matriz ortogonal e t triangularsuperior.)

15. Mostre que toda matriz complexa n× n é exponencial de alguma matriz. (Sug-estão: reduza o problema a um bloco de Jordan.)

16. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Mostre que se φ : R → G é umhomomorfismo diferenciável então φ (t) = exp (tX) para algum X ∈ g.

17. A forma de Cartan-Killing de uma álgebra de Lie g é a forma bilinear simétrica〈·, ·〉 definida por 〈X, Y 〉 = tr (ad (X) ad (Y )), X, Y ∈ g. Mostre que todaderivação D de g é anti-simétrica em relação à forma de Cartan-Killing, isto é,〈DX, Y 〉+ 〈X,DY 〉 = 0 para todo X, Y ∈ g. Mostre também que um automor-fismo φ de g é uma “isometria”da forma de Cartan-Killing, isto é, 〈φX, φY 〉 =〈X, Y 〉, para todo X, Y ∈ g.


18. Seja G um grupo de Lie compacto com álgebra de Lie g. Mostre que os auto-valores de ad (X), X ∈ g, são puramente imaginários e conclua que a forma deCartan-Killing de g é negativa semi-definida (〈X,X〉 ≤ 0 para todo X ∈ g).

19. Seja G um grupo de Lie conexo e ρ : G → Gl (V ) uma representação de G noespaço vetorial V , com dimV < ∞. Seja β uma forma bilinear em V . Mostreque os elementos de ρ (G) são isometrias de β (β (ρ (g)u, ρ (g) v) = β (u, v)) se,e só se, os elementos da representação infinitesimal são transformações linearesanti-simétricas em relação a β.

20. Dado um grupo de Lie conexo G com álgebra de Lie g, sejam z (g) = X ∈ g :∀Y ∈ g, [X, Y ] = 0 o centro de g e Z (G) = g ∈ G : ∀h ∈ G, gh = hg ocentro de G. Mostre que para todo X ∈ z (g), expX ∈ Z (G). Reciprocamente,X ∈ z (g) se para todo t ∈ R, exp (tX) ∈ Z (G).

21. Seja G um grupo de Lie conexo tal que Z (G) é um subgrupo discreto. SejaH = Ad (G) a imagem da representação adjunta. Mostre que Z (H) = 1.(Tome Ad (g) ∈ Z (H) e mostre que getXg−1 = etX para t ∈ R e X na álgebra deLie de G.)

22. Seja g uma álgebra de Lie tal que [X, [Y, Z]] = 0 para todo X, Y, Z ∈ g. Mostreque o produto ∗, dado por

X ∗ Y = X + Y +1

2[X, Y ]

define em g uma estrutura de grupo. Mostre também que esse grupo é de Lie seg é uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre R, de tal forma que sua álgebrade Lie coincide com g.

23. No exercício anterior suponha que g é de dimensão finita, de tal forma que tornag um grupo de Lie, com álgebra de Lie isomorfa a g. Dados X, Y ∈ g, considerea curva α (t) = etXetY e−tXe−tY e calcule α′ (0) e α′′ (0).

24. Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente, e φ :G → H um homomorfismo diferenciável tal que dφ1 é isomorfismo. Mostre quekerφ é um subgrupo discreto. Mostre também que se G e H são conexos entãoφ é uma aplicação de recobrimento. Conclua que se H é simplesmente conexo,então φ é isomorfismo.

25. Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h com G conexo. Mostreque se φ, ψ : G→ H são homomorfismos diferenciáveis tais que dφ1 = dψ1 entãoφ = ψ. Dê exemplos para mostrar que o resultado não vale se G não é conexo.

26. Sejam G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g e H um subgrupo de Liecom subálgebra h ⊂ g. Suponha que para um elemento g ∈ G vale

g =∑k≥0

Ad (g)k h.


Mostre que existe um inteiro k ≥ 1 tal que o produto (gH)k = gH · · · gH (kvezes) tem interior não vazio em G. Use isso para concluir que todo elemento deG é produto de elementos de gH ou de Hg−1.

27. Seja G um grupo de Lie e g = A (t) g uma equação diferencial ordinaria invarianteà direita em G. Denote por gt uma solução dessa equação. Mostre que ht =Ad (gt) satisfaz a equação diferencial h = ad (A (t))h.

28. Sejam G um grupo de Lie, M uma variedade diferenciálvel e f : M × G → Ruma função diferenciável de suporte compacto. Mostre que se µ é a medida deHaar em G então a função F (x) =

∫Gf (x, g)µ (dg) é diferenciável.

29. Seja G um grupo de Lie conexo. Mostre que G é unimodular se, e só se,tr (ad (X)) = 0 para todo X ∈ g.

30. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Mostre que se a álgebraderivada g′ = [g, g] coincide com g então G é unimodular. (A álgebra derivadaé o espaço vetorial gerado pelos colchetes [X, Y ] com X, Y ∈ g.)

31. Considere o grupo de Heisenberg G formado pelas matrizes 1 x z0 1 y0 0 1

.

Escreva a expressão da medida de Haar de G nas coordenadas (x, y, z), isto é, naforma f (x, y, z) dxdydz.

Capítulo 6

Subgrupos de Lie

Nesse capítulo serão estudados os subgrupos de um grupo de Lie sob o ponto de vista docálculo diferencial. Isso significa que serão considerados os subgrupos que são tambémgrupos de Lie, com uma estrutura de subvariedade diferenciável. A álgebra de Lie deum subgrupo de Lie é uma subálgebra da álgebra de Lie do grupo ambiente (subespaçodo espaço tangente no elemento neutro). Um dos objetivos é establecer a bijeção entreas subálgebras de Lie e os subgrupos de Lie, o que é feito recorrendo aos teoremasde integrabilidade de distribuições. (Um apanhado da teoria de integrabilidade dedistribuições se encontra no apêndice B, assim como diversos conceitos e resultadossobre subvariedades, que são utilizados neste capítulo.)

6.1 Definição e exemplos

Definição 6.1 Seja G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo. Então, H é umsubgrupo de Lie de G se H é uma subvariedade imersa de G tal que o produtoH ×H → H é diferenciável em relação à estrutura intrínseca de H.

(Conforme definido no apêndice B, uma subvariedade imersa da variedade M éum subconjunto N ⊂ M , que admite uma estrutura de variedade tal que a inclusãoi : N → M é uma imersão. A estrutura diferenciável em N é a estrutura intrínsecamencionada na definição.)Na definição de subgrupo de Lie deve-se prestar atenção à exigência de que o pro-

duto em H é diferenciável em relação à estrutura intrínseca. A questão é que se H éum subgrupo e uma subvariedade imersa então a restrição a H × H do produto emG fornece uma aplicação diferenciável H × H → G, que assume valores em H. Issonão garante automaticamente que a aplicação correspondente H × H → H (produtoem H) seja diferenciável ou sequer contínua em relação à estrutura intrínseca, o que énecessário para que H seja um grupo de Lie.Um caso bastante geral no qual o produto H ×H → H é diferenciável é quando H

é uma subvariedade imersa quase-regular (ou quase-mergulhada —veja a definiçãono apêndice B). Nesse caso a aplicação diferenciável H × H → G assume valores emH e, portanto, é diferenciável em relação à topologia intrínseca (pela proposição B.3).

121

122 Capítulo 6. Subgrupos de Lie

Em particular, subgrupos que são subvariedades mergulhadas são automaticamentesubgrupos de Lie, pois as subvariedades mergulhadas são quase-regulares. Ou ainda,se o subgrupo H é a imagem inversa de um valor regular de uma aplicação diferenciávelf : G → M então H também é subgrupo de Lie, pois essas variedades de nível sãosubvariedades mergulhadas (abaixo serão apresentados alguns exemplos de subgruposdesse tipo).Cabe ressaltar que nos teoremas a serem demonstrados a estrutura diferenciável

no subgrupo é construída como subvariedade integral maximal de uma distribuiçãointegrável. Essas subvariedades são quase-regulares, como segue da proposição B.24.Em suma, para o desenvolvimento da teoria não se perderia muito em generalidade aoassumir, na definição de subgrupo de Lie, que H é um subgrupo e ao mesmo tempouma subvariedade quase-regular.1

Uma outra forma de ver os subgrupos de Lie vem da observação de que se H ⊂ G éum subgrupo de Lie de G então a inclusão j : H → G é um homomorfismo, que é umaimersão injetora. Por outro lado, se φ : L → G é um homomorfismo diferenciável einjetor do grupo de Lie L então sua imagem é um subgrupo de Lie. De fato, a igualdadeφ Eg = Eφ(g) φ implica, pela regra da cadeia, que se g ∈ G então

dφg =(dEφ(g)

)1 dφ1 (dEg−1)g .

Daí que φ tem posto constante. O teorema do posto assegura então que se φ é injetoraentão φ é imersão e, portanto, sua imagem é um subgrupo de Lie (veja a proposição7.1 no capítulo 7). Dessa forma uma definição alternativa é que um subgrupo de Liede G é a imagem de um homomorfismo injetor φ : L→ G, onde L é um grupo de Lie.(Posteriormente, será demonstrado no capítulo 7 que a imagem de um homomorfismodiferenciável φ : L→ G qualquer é um subgrupo de Lie de G sem a hipótese de que φé injetora.)

Exemplos:

1. Se G é um grupo de Lie então a componente conexa do elemento neutro G0 é umsubgrupo aberto e portanto subgrupo de Lie, já que as subvariedades abertas sãomergulhadas.

2. Se G é um grupo de Lie então qualquer subgrupo a 1-parâmetro

exp (tX) : X ∈ g, t ∈ Ré subgrupo de Lie. De fato, se a curva t 7→ exp (tX) é fechada tem-se umaimersão injetora de S1 → G. Caso contrário o grupo a 1-parâmetro é umaimersão injetora R→ G. Em ambos os casos, t 7→ exp (tX) é um homomorfismoinjetor e diferenciável. Portanto sua imagem é um subgrupo de Lie.

3. Se H é subgrupo de Lie de G e L é um subgrupo de Lie de H então L tambémé subgrupo de Lie de G, como segue direto da definição. Em particular, a com-ponente conexa do elemento neutro H0 de H, que é um subgrupo normal de H,também é subgrupo de Lie de G.

1Alguns autores adotam essa definição como, por exemplo Varadarajan [57].

6.1. Definição e exemplos 123

4. Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável. Então, φ tem posto constantee daí que kerφ = φ−11 é uma subvariedade mergulhada. Portanto, kerφ é umsubgrupo de Lie de G.

5. O toro bidimensional T2 ≈ S1×S1 é um grupo de Lie. Ele é isomorfo ao quocienteR2/Z2. Seja π : R2 → R2/Z2 ≈ T2 o homomorfismo definido pelo quociente. Asretas π (rα) onde rα = x (1, α) ∈ R2 : x ∈ R são subgrupos de T2 e, ao mesmotempo, subvariedades quase-regulares de dimensão 1 (veja o exemplo no inicio doapêndice B). Portanto, π (rα) é subgrupo de Lie. Se α é racional o subgrupo éfechado (e compacto), já se α é irracional o subgrupo é denso.

Da mesma forma, seja πn : Rn → Rn/Zn a projeção canônica sobre o toro Tn.Se V ⊂ Rn é um subespaço vetorial então πn (V ) é um subgrupo de Lie Tn. Esteexemplo se estende ainda aos cilindros Rn/Zk, 0 ≤ k ≤ n.

6. Seja O (n) o subgrupo das matrizes ortogonais n× n. Para verificar que O (n) éum subgrupo de Lie de Gl (n,R) considere a aplicação τ : Gl (n,R)→ Mn×n (R)dada por τ (g) = gTg. É claro que O (n) = τ−11. Por outro lado, se A é umamatriz então dτ g (A) = ATg + gTA =

(gTA

)T+ gTA. Daí que o núcleo de dτ g é

dado porker dτ g =

(gT)−1

B : BT +B = 0,

que é a translação à esquerda por(gT)−1

do espaço das matrizes anti-simétricas.Portanto, τ tem posto constante em todo ponto de Gl (n,R). Em particularO (n) = τ−11 é uma subvariedade mergulhada de Gl (n,R), o que mostra queo grupo ortogonal é subgrupo de Lie.

A componente conexa do elemento neutro de O (n) é SO (n) = g ∈ O (n) :det g = 1, que também é um subgrupo de Lie.

7. Outros grupos de Lie lineares, isto é, subgrupos de Lie de Gl (n,R) são:

(a) Grupo linear especial, Sl (n,R) = g ∈ Gl (n,R) : det g = 1 = ker (det).

(b) Grupo unitário, U (n) das matrizes complexas n × n tais gTg = ggT = 1.Este grupo, assim como O (n) é uma subvariedade mergulhada, imageminversa de valor regular de τ (g) = ggT .

(c) Grupo simplético real, Sp (n,R) formado pelas matrizes reais n×n tais quegTJg = gJgT = J onde

J =

(0 −idn×n

idn×n 0

).

Esse grupo é imagem inversa de valor regular de τ (g) = gJgT .

8. O exemplo a seguir é um tanto quanto fictício (e a subvariedade que aparece nãoé paracompacta), mas ilustra a necessidade de se preocupar com a diferenciabil-idade em relação à estrutura intrínseca. O grupo G = C× tem duas estruturas


de variedade de diferenciável. A canônica e outra em que os abertos da topolo-gia intrínseca são abertos das retas verticais (veja o exemplo 7, no capítulo 2).A segunda pode ser vista como uma subvariedade imersa da primeira. Nessasubvariedade imersa o produto não é contínuo pois uma rotação de π/2 de umintervalo vertical não é aberto intrínseco.

2

6.2 Subálgebras e subgrupos de Lie

O princípio que norteia a construção da teoria dos grupos de Lie é o de obter infor-mações sobre a estrutura dos grupos de Lie a partir das álgebras de Lie. Seguindoesse princípio os subgrupos de Lie de um grupo G são estudados relacionado-os àssubálgebras da álgebra de Lie g de G.A inclusão j : H → G de um subgrupo de Lie H no grupo de Lie G é um ho-

momorfismo diferenciável. Como foi visto no capítulo anterior, a diferencial dj1 noelemento neutro é um homomorfismo de álgebras de Lie. No entanto, dj1 é a inclusãodo espaço tangente T1H no espaço tangente T1G. Essa inclusão é um homomorfismo.Portanto, T1H é uma subálgebra de Lie de g, o que significa que a álgebra de Lie deum subgrupo de Lie se identifica (é isomorfa) a uma subálgebra da álgebra de Lie dogrupo. Essas observações valem tanto para a álgebra de Lie dos campos invariantes àdireita quanto à esquerda. Aliás, a igualdade [·, ·]d = − [·, ·]e mostra que um subespaçode T1G é subálgebra de [·, ·]d se, e só se, é subálgebra de [·, ·]e.Olhando a álgebra de Lie h deH como uma subálgebra de g, a aplicação exponencial

deH é nada mais nada menos que a restrição da aplicação exponencial de G. Isso segueda proposição 5.15. De fato, escreva expH e expG as aplicações exponenciais de H e G,respectivamente. Como a inclusão j é um homomorfismo diferenciável, a proposição5.15 mostra que j (expH X) = expG (dj1 (X)). Identificando h com um subconjunto deg, essa igualdade significa que a exponencial em H coincide com a restrição a h daaplicação exponencial em G.O objetivo agora é obter os subgrupos de Lie de G a partir das subálgebras de

Lie de g. A técnica empregada para isso vem da teoria de distribuições em variedadesdiferenciáveis (veja B), que permitirá estabelecer uma bijeção entre os subgrupos deLie conexos e as subálgebras de Lie. (Essa bijeção não funciona no caso não conexopois um subgrupo e sua componente conexa da identidade tem a mesma álgebra deLie. Por exemplo, de um subgrupo de Lie também é um subgrupo de Lie e ambos têma mesma álgebra de Lie. Por exemplo, O (n) e sua componente da identidade SO (n)).A idéia da construção dos subgrupos a partir das subálgebras vem das seguintes

observações. Seja H ⊂ G um subgrupo de Lie cuja álgebra de Lie é h. Para todog ∈ H a translação à direita Dg deixa H invariante, isto é, DgH ⊂ H e a restrição deDg a H é um difeomorfismo de H. Isso implica que para todo h ∈ H a imagem pord (Dg)h do espaço tangente ThH ⊂ ThG é o subespaço ThgH. Em particular, o espaço

6.2. Subálgebras e subgrupos de Lie 125

tangente a H em g é d (Dg)1 h. Da mesma forma, Dg é um difeomorfismo entre H e aclasse lateral Hg e daí que o espaço tangente a Hg em g é d (Dg)1 h.As expressões para os espaços tangentes mostram que o subgrupo conexo H, assim

como suas classe laterais Hg, são subvariedades integrais conexas da distribuição ∆dh

em G definida por∆dh (g) = d (Dg)1 h. (6.1)

Essa distribuição depende apenas de h. Os mesmos comentários valem para a dis-tribuição ∆e

h (g) = d (Eg)1 h, invariante à esquerda definida por H. Nesse caso asvariedades integrais são as classes laterais gH.A idéia então consiste em reverter esses argumentos. Dada uma subálgebra de

Lie h pode-se definir a distribuição ∆dh como em (6.1) (ou por translações à esquerda

∆eh = d (Eg)1 h). Se for mostrado que∆d

h é integrável então o canditato a ser o subgrupode Lie conexo com álgebra de Lie h será a variedade integral conexa maximal de ∆d

h

(ou de ∆eh) que passa pelo elemento neutro 1. Essa estratégia reproduz em dimensões

maiores construção dos subgrupos a 1-parâmetro e suas classe laterais.A integrabilidade das distribuições ∆d

h e ∆eh segue de uma aplicação imediata do

teorema de Frobenius, que garante que uma distribuição de dimensão constante éintegrável se o colchete de Lie entre campos de vetores tangentes ainda é tangente àdistribuição (veja o teorema B.11 no apêndice B). Mais especificamente, a versão doteorema de Frobenius enunciada no Corolário B.15 se aplica diretamente a uma basede campos invariantes definida por uma base de h.A seguir será apresentada uma demonstração direta da integrabilidade das dis-

tribuições ∆dh e ∆e

h, que exibe explicitamente as variedades integrais. Essa demon-stração está baseada na idéia de distribuições características, que são integráveis (vejao teorema B.9). A questão é que a distribuição ∆d

h além de ser invariante à direita étambém invariante pelas translações à esquerda EeY se Y ∈ h. O mesmo vale para ∆e

h,invertendo os papéis das translações à direita e à esquerda. O lema a seguir permitedemonstrar essa invariância.

Lema 6.2 Sejam h uma subálgebra de Lie e X, Y ∈ h. Então, Ad(eY)X ∈ h.

Demonstração: De fato,

Ad(eY)X = ead(Y )X =

∑k≥

1

k!ad (Y )kX.

Como h é subálgebra, cada termo da série pertence a h. Portanto, a soma da série estáde h, que é um subespaço vetorial fechado. 2

Segue desse lema a seguinte invariância por translações.

Lema 6.3 Se Y ∈ h então (dEeY )x(∆dh (x)

)= ∆d

h

(eY x

)para qualquer x ∈ G. O

mesmo resultado vale para translações à direita por eY , Y ∈ h, da distribuição ∆eh.


Demonstração: Para g, x ∈ G e X ∈ g vale

(dEg)x(Xd (x)

)= (dEg)x (dDx)1 (X) = d (Dx Eg)1 (X)

= (dDgx)1 d (Dg−1 Eg)1(x)

= (Ad (g)X)d (gx) .

Em particular se X ∈ h e g = eY , Y ∈ h, então pelo lema Ad(eY)X ∈ h e

daí que(Ad(eY)X)d (

eY x)∈ ∆

(eY x

), isto é, (dEeY )x

(Xd (x)

)∈ ∆

(eY x

). Como

∆dh (x) = Xd (x) : X ∈ h, se conclui que (dEeY )x

(∆dh (x)

)⊂ ∆d

(eY x

)e a igualdade

vale pois as dimensões coincidem. 2

Com esse lema pode-se construir variedades integrais das distribuições invariantes.

Teorema 6.4 Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e h ⊂ g uma subálgebrade Lie. Então, as distribuições ∆d

h (g) = d (Dg)1 h e ∆eh (g) = d (Eg)1 h são integráveis.

Demonstração: Considere a distribuição invariante à direita ∆dh. Tome uma uma

base X1, . . . , Xk de h e para g ∈ G defina a aplicação ρ : Rk → G por

ρ (t1, . . . , tk) = et1X1 · · · etkXkg.

Suas derivadas parciais são dadas por

dρ

dti(t1, . . . , tk) = d (Eet1X1 ···eti−1Xi−1 )zi

(Xdi (zi)

)onde zi = etiXi · · · etkXxg. Essas derivadas parciais pertencem a ∆d

h (zi), como pode-sever por aplicações sucessivas do lema anterior. Isso significa que a imagem de dρt estácontida em ∆d

h (ρ (t)) para todo t ∈ Rk Por outro lado,

dρ

dti(0) = Xd

i (g) ,

o que garante que a diferencial dρ0 na origem é injetora. Portanto, dρt é injetora numavizinhança U de 0 e como as dimensões coincidem, se conclui que a restrição de ρ a Ué uma variedade integral de ∆d

h.A distribuição invariante à esquerda ∆e

h é tratada da mesma forma multiplicandoas exponenciais à direita: get1X1 · · · etkXx . 2

Como mencionado acima, esse teorema é uma consequência do teorema de Frobe-nius. Além dessas demonstrações, no exercício 7 do capítulo 8 se indica uma outraconstrução de variedades integrais, usando a fórmula da diferencial da aplicação ex-ponencial. Ainda sobre o teorema acima deve-se observar que a aplicação ρ, que estádefinida globalmente em Rk, não é em geral uma imersão em todo Rk. Um exemplodisso é sugerido no exercício 3, ao final do capítulo.Uma vez tendo a integrabilidade das distribuições ∆d

h e ∆eh pode-se considerar suas

variedades integrais conexas maximais. De acordo o apêndice B valem as seguintesafirmações:

6.2. Subálgebras e subgrupos de Lie 127

1. Para cada g ∈ G existem variedades integrais conexas maximais para ∆dh e ∆e

h.Essas variedades são denotadas por Idh (g) e Ieh (g), respectivamente. (Veja oteorema B.19.)

2. Se N ⊂ G é uma variedade integral conexa de ∆dh (respectivamente de ∆e

h) comg ∈ N então N é uma subvariedade aberta de Idh (g) (respectivamente de Ieh (g)).(Veja o teorema B.19.)

3. As variedades integrais conexas maximais são subvariedades quase-regulares. (Vejaa proposição B.24. Aqui se usa a hipótese de que G é uma variedade paracom-pacta.)

As variedades integrais Idh (g) são invariantes por translações à direita. De fato, ainvariância à direita de ∆d

h implica que Idh (g)h = DhI

dh (g) é uma variedade integral

conexa de ∆dh. Como gh ∈ Idh (g)h se concluí que Idh (g)h ⊂ Idh (gh). Essa inclusão

é uma igualdade pois Idh (g) = Dh−1(Idh (g)h

)⊂ Dh−1

(Idh (gh)

)e este último termo é

uma variedade integral conexa. Daí que as variedades integrais conexas maximais sãodadas por

• Idh (g) = Idh (1) g. Da mesma forma, Ieh (g) = gIeh (1).

Agora é possível demonstrar o teorema de existência de um subgrupo de Lie comsubálgebra de Lie dada.

Teorema 6.5 Dado um grupo de Lie G com álgebra de Lie g, seja h ⊂ g uma sub-álgebra. Então, as subvariedades integrais conexas maximais Idh (1) e Ieh (1) são dadaspor

Idh (1) = Ieh (1) = eY1 · · · eYs : s ≥ 0, Yi ∈ h. (6.2)

Esse conjunto é um subgrupo de Lie com álgebra de Lie h. Suas classes laterais são asvariedades integrais maximais Idh (1) g = Idh (g) e gIeh (1) = Ieh (g).

Demonstração: Tudo se reduz a demonstrar a igualdade (6.2). Para isso defina emIdh (1) a relação g ∼ h se existem Y1, . . . , Ys ∈ h tal que

g = eY1 · · · eYsh,

que é obviamente uma relação de equivalência. Afirmação: as classes de equivalênciadessa relação de equivalência são conjuntos abertos de Idh (1). De fato, tome g ∈ Idh (1) eX1, . . . , Xk uma base de h. Então, como na demonstração do teorema 6.4 a aplicação

ρ (t1, . . . , tk) = et1X1 · · · etkXkg

define uma variedade integralN com g ∈ N . Por definição se h ∈ N então h ∼ g e comoN ⊂ Idh (1) é aberto, segue que g pertence ao interior de sua classe de equivalência.Isso mostra que qualquer classe de equivalência é aberta. Como o complementar deuma classe de equivalência é a união das demais classes, se conclui que as classes


de equivalência são conjuntos abertos e fechados. De onde se conclui que g ∼ h seg, h ∈ Idh (1) pois Idh (1) é conexo. Daí que Idh (1) = eY1 · · · eYs : s ≥ 0, Yi ∈ h, já queo segundo membro é a classe de equivalência de 1.Da mesma forma, as subvariedades integrais (t1, . . . , tk) 7→ get1X1 · · · etkXk , g ∈

Ieh (1), mostram a igualdade do enunciado para Ieh (1).Agora, a expressão (6.2) mostra de imediato que Idh (1) = Ieh (1) é subgrupo. Por fim,

esse subgrupo é de Lie pois uma variedade integral conexa maximal é quase-regular. 2

Deve-se ressaltal que Idh (1) = Ieh (1), como ocorre com os subgrupos a 1-parâmetro.Como complemento ao teorema anterior falta verificar a unicidade do subgrupo de

Lie conexo com subálgebra de Lie dada.

Proposição 6.6 Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Então, para qualquersubálgebra de Lie h ⊂ g, existe um único subgrupo conexo H ⊂ G, cuja álgebra de Lieé h.

Demonstração: De fato, se H é um subgrupo de Lie conexo com álgebra de Lie hentão H é gerado por exponenciais expH X, X ∈ h. Como a aplicação exponencial emH é a restrição da exponencial em G, se conclui que H é dado por (6.2), o que mostraa unicidade de H. A existência foi garantida no teorema acima. 2

Notação: O único subgrupo conexoH com álgebra de Lie h é denotado por 〈exp h〉.Esta notação é consistente com a fórmula (6.2) que diz que H é gerado pelo conjuntoexp h.Os resultados acima mostram que todo subgrupo de Lie conexo é uma variedade

integral de uma distribuição e, consequentemente, é uma subvariedade quase-regular.Em geral, distribuições integráveis admitem cartas adaptadas (veja a seção B.4 no

apêndice B). No caso particular da distribuição ∆dh (ou ∆d

h), cujas variedades integraissão as classes laterais de 〈exp h〉, uma carta adaptada ao redor da identidade é dadapela exponencial em G da seguinte forma:

Proposição 6.7 Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e h ⊂ g uma subál-gebra. Suponha que e ⊂ g é um subespaço vetorial que complementa h em g = e ⊕ h.Então, existem abertos 0 ∈ V ⊂ e, 0 ∈ U ⊂ h e 1 ∈ W ⊂ G tal que a aplicaçãoψ : V × U → W definida por ψ (X, Y ) = (expX) (expY ) é um difeomorfismo e,portanto, uma carta adaptada a ∆h. Em outras palavras, W = (expV ) (expU).

Demonstração: A aplicação ψ : h × e → G dada por ψ (X, Y ) = (expX) (expY ) ébem definida. Sua diferencial em (0, 0) é a aplicação identidade, isto é, a inclusão deV × h em g. Portanto, ψ é um difeomorfismo local nas vizinhanças da origem, garanti-ndo a existência das vizinhanças U e W do enunciado. Para cada Y ∈ e, ψ (Y × h)está contido na classe lateral (expY ) 〈exp h〉, que é variedade integral de ∆h. Daí queψ é carta adaptada. 2

Exemplos:

6.3. Ideais e subgrupos normais 129

1. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão finita. A imagem de sua representaçãoadjunta ad : g→ gl (g) é a álgebra de Lie de transformações lineares

ad (g) = ad (X) ∈ gl (g) : X ∈ g.

O único subgrupo conexo 〈exp (ad (g))〉 de Gl (g) cuja álgebra de Lie é ad (g) édenotado por Int (g). Como exp ad (X) = Ad (expX) os elementos de Int (g) sãoautomorfismos de g. Eles são denominados de automorfismos internos de g.Se G é conexo então Int (g) é a imagem da representação adjunta de G, pois tantoG quanto 〈exp (ad (g))〉 são gerados por exponenciais.

2. O teorema de Ado2 garante que toda álgebra de Lie de dimensão finita g admiteuma representação fiel (isto é, injetora) ρ : g→ gl (V ) de dimensão finita dimV =n. Nesse caso g é isomorfa à sua imagem ρ (g). Portanto, se g é uma álgebra deLie real então ela é isomorfa a uma subálgebra de Lie de gl (n,R) do grupo de LieGl (n,R). Daí que o subgrupo G = 〈exp ρ (g)〉 é um grupo de Lie com álgebra deLie isomorfa a g. Em suma, toda álgebra de Lie sobre R é (isomorfa) a álgebrade Lie de algum grupo de Lie. Esse é o conteúdo do que se conhece pelo terceiroteorema de Lie.

2

6.3 Ideais e subgrupos normais

O objetivo desta seção é particularizar para subgrupos normais as relações estabelecidasna seção anterior entre subgrupos de Lie e subálgebras de Lie.Sejam g uma álgebra de Lie e v um subespaço de g. O normalizador de v em g,

denotado por n (v) é definido por

n (v) = X ∈ g : ad (X) v ⊂ v.

Segue da identidade de Jacobi que n (v) é uma subálgebra de g. Claramente v é umasubálgebra se, e só se, v ⊂ n (v) e v é um ideal de g se n (v) = g, isto é, se [X, v] ⊂ vpara todo X ∈ g.Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e tome um subespaço v ⊂ g. O

normalizador de v em G, denotado por N (v) é definido por

N (v) = g ∈ G : Ad (g) v = v.

Como Ad é um homomorfismo o normalizador N (v) é um subgrupo de G.

Proposição 6.8 Seja H um subgrupo de Lie de G e denote por h sua álgebra de Lie.Suponha que g ∈ G normaliza H, isto é, gHg−1 ⊂ H. Então, g normaliza h, isto é,Ad (g) h = h.

2Veja o capítulo 10 de Álgebras de Lie [49].


Demonstração: Para X ∈ h, vale a fórmula:

getXg−1 = etAd(g)X ,

para todo t ∈ R. O fato de que g normaliza H implica que etAd(g)X é uma curva em H.Ela é diferenciável em relação à estrutura intrínseca de H e sua derivada em t = 0 éAd (g)X. Portanto, Ad (g)X está em T1H ⊂ T1G, isto é, em h. Isso mostra a inclusãoAd (g) h ⊂ h e, portanto, a igualdade Ad (g) h = h. 2

Corolário 6.9 Se H é um subgrupo de Lie normal de G então sua álgebra de Lie h éum ideal da álgebra de Lie g de G.

Demonstração: Dado X ∈ g, a proposição anterior garante que Ad(etX)h = h,

para todo t ∈ R. Em particular, se Y ∈ h então a curva Ad(etX)Y ⊂ h, o que implica

que sua derivada em t = 0 está em h. Mas,

d

dtAd(etX)Y|t=0 = [X, Y ]e


A recíproca a esse corolário deve afirmar que se h é um ideal de g então 〈exp h〉 éum subgrupo normal. Essa recíproca não vale caso G não seja conexo (veja exemploabaixo). A demonstração no caso conexo é apresentada a seguir.

Proposição 6.10 Sejam G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g e h ⊂ g umideal. Então, H = 〈exp h〉 é um subgrupo normal de G.

Demonstração: ComoH é produto de exponenciais de elementos de h, basta mostrarque g

(eX)g−1 ∈ H se g ∈ G e X ∈ h. Mas,

g(eX)g−1 = eAd(g)X .

Portanto basta mostrar que Ad (g) h = h para todo g ∈ G. Para isso tome Y ∈ g.Então, ad (Y ) h ⊂ h pois h é ideal. Como a transformação linear ad (Y ) deixa h in-variante, o mesmo ocorre com sua exponencial. Portanto, Ad

(eY)h = ead(Y )h = h

para todo Y ∈ g. Agora usando a hipótese de que G é conexo, todo elemento g ∈ Gé um produto de exponenciais e, portanto, Ad (g) h = h, concluindo a demonstração. 2

Os os subgrupos normais aparecem na teoria de grupos como núcleos de homomor-fismos. No caso de um um homomorfismo diferenciável φ, foi mencionado no exemplo4 da seção 6.1 que o seu núcleo é um subgrupo de Lie e portanto, um subgrupo de Lienormal cuja álgebra de Lie é o ideal ker (dφ)1.

Exemplo: Foi mostrado na proposição 6.10 que num grupo de Lie conexo G o sub-grupo 〈exp h〉 é normal se h é um ideal. A hipótese de que G é conexo é essencial,

6.4. Limites de produtos de exponenciais 131

como mostra o seguinte exemplo. Seja Rθ o subgrupo finito de rotações em R2 gerado

pelo ângulo θ =2π

q, onde q é um inteiro > 2 (por exemplo, se θ = π/2 então Rθ tem

quatro elementos). O conjunto G = Rθ × R2 é um subgrupo de Lie do grupo dastransformações afins de R2. A componente conexa da identidade de G é 1 × R2 e aquantidade de componentes conexas de G é igual a ordem de Rθ. A álgebra de Lie gde G é a álgebra abeliana bidimensional (R2). Qualquer subespaço de g é um ideal eo subgrupo conexo associado se identifica ao subespaço. No entanto, esses subgruposnão são normais se tiverem dimensão 1, pois as rotações em Rθ não deixam invariantenenhum subespaço de dimensão 1. 2

6.4 Limites de produtos de exponenciais

Nesta seção serão calculados dois limites envolvendo produtos de exponencias. Esseslimites serão utilizados posteriormente na demonstração do teorema do subgrupo fe-chado de Cartan.Tome G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Ao longo desta seção serão fixadas

vizinhanças U e W de 0 ∈ g e 1 ∈ G, respectivamente, tais que exp : U → W é umdifeomorfismo.Tome X, Y ∈ g e considere a curva α (t) = etXetY , com α (0) = 1. Se t é suficiente-

mente pequeno, α (t) ∈ W definindo, portanto, a curva β (t) ∈ U por exp β (t) = α (t).Um cálculo imediato mostra que

α′ (0) = X + Y.

Como d (exp)1 = id, segue que β′ (0) = α′ (0) = X + Y . Isso garante que em algumintervalo contendo 0 ∈ R,

β (t) = t (X + Y ) + o (t)

com limt→0

o (t)

t= 0. Em outras palavras,

exp (tX) exp (tY ) = exp (t (X + Y ) + o (t)) . (6.3)

Essa expressão permite mostrar o limite abaixo, conhecido com a fórmula do produtode Lie.

Proposição 6.11 Dados X, Y ∈ g vale

exp (X + Y ) = limn→∞

(exp

(X

n

)exp

(Y

n

))n. (6.4)

Demonstração: Substituindo t =1

nem (6.3) fica

exp

(X

n

)exp

(Y

n

)= exp

(1

n(X + Y ) + o

(1

n

)).


Como limn→∞

o (1/n)

1/n= 0, segue que

limn→∞

exp

(1

n(X + Y ) + o

(1

n

))n= exp (X + Y ) ,


Esta proposição será utilizada abaixo para garantir que o conjunto dos elementos deg cuja exponencial pertence ao subgrupo fechado H é um subespaço vetorial. A seguir,será demonstrado outro lema que vai garantir que esse conjunto é uma subálgebra.Dados X, Y ∈ g, considere a curva

α (t) = etXetY e−tXe−tY ,

que satisfaz α (0) = 0. Se t é suficientemente pequeno, α (t) está na vizinhança W ,onde exp : U → W é difeomorfismo. Para esses valores de t,

α (t) = eβ(t)

com β (t) ∈ U ⊂ g, uma curva diferenciável. Essa curva β pode ser escrita em termos defluxos de campos de vetores em U . De fato, denote por log : W → U a inversa de exp eseja X = log∗X

d o campo de vetores em U induzido por X. Então, exp leva trajetóriasde X em trajetórias de X. Dessa forma, definindo Y da mesma forma e levando emconta que o fluxo do campo invariante à direita Xd é dado por Xd

t (g) = exp (tX) g, acurva β é dada por

β (t) = Xt Yt X−t Y−t (0) .

As duas primeiras derivadas em t = 0, de uma curva de dessas, definida por compostade fluxos de campos de vetores num espaço vetorial, pode ser calculada usando aspropriedades dos fluxos (veja proposição A.6 no apêndice A). Por esses cálculos,

β′ (0) = 0 e β′′ (0) = −2[X, Y ] (0) .

Mas, [X, Y ]d = [X, Y ] (0). Portanto, nas vizinhanças de 0 ∈ R, β (t) = −t2[X, Y ]d +

o (t) com limt→0

o (t)

t2= 0. Em termos das exponenciais esta expressão para β se escreve

etXetY e−tXe−tY = exp(−t2[X, Y ]d + o (t)

). (6.5)

Proposição 6.12 Dados X, Y ∈ g vale

e−[X,Y ]d = limn→∞

(eXn e

Yn e−

Xn e−

Yn

)n2.

Demonstração: Substituindo t =1

nem (6.5) fica

eXn e

Yn e−

Xn e−

Yn = exp

(− 1

n2[X, Y ]d + o

(1

n

)).

6.5. Subgrupos fechados 133

Como limn→∞

o (1/n)

1/n2= 0, tomando a potência n2, segue que

limn→∞

exp

(− 1

n2[X, Y ]d + o

(1

n

))n2= exp (−[X, Y ]d) ,


6.5 Subgrupos fechados

O teorema do subgrupo fechado de Cartan assegura que qualquer subgrupo fechado Hde um grupo de Lie G é, de fato, um subgrupo de Lie, isto é, admite uma estruturade variedade diferenciável que o torna um subgrupo de Lie. Esse é um dos resulta-dos clássicos da teoria dos grupos de Lie e é amplamente utilizado nas mais diversassituações.Seja H ⊂ G um subgrupo fechado. A estratégia para demonstrar que H é subgrupo

de Lie consiste em definir, a partir de H, uma subálgebra de Lie h ⊂ g e construir aestrutura diferenciável em H a partir da estrutura em 〈exp h〉. Dito isso, defina

hH = X ∈ g : ∀t ∈ R, exp tX ∈ H. (6.6)

Com os limites da seção anterior é fácil verificar que hH é uma subálgebra de Lie de g.

Proposição 6.13 Dado um grupo de Lie G com álgebra de Lie g, seja H ⊂ G umsubgrupo fechado. Então, hH é subálgebra de Lie de g.

Demonstração: O conjunto hH é não vazio pois 0 ∈ hH . Tome X, Y ∈ hH . Ossubgrupos a 1-parâmetro gerados por X e aX coincidem se 0 6= a ∈ R. Portanto,aX ∈ hH , a ∈ R. A fórmula do produto de Lie (6.4) garante que X + Y ∈ hH , poisH é fechado. Da mesma maneira, a proposição 6.12 garante que hH é fechado pelocolchete, concluíndo a demonstração. 2

O lema a seguir, além de ser a parte principal da demonstração do teorema dosubgrupo fechado, é utilizado diversas vezes em outras situações, principalmente naconstrução de estruturas diferenciáveis nos espaços quocientes.

Lema 6.14 Dado um subgrupo fechado H seja hH a subálgebra definida em (6.6).Escolha um subespaço e tal que g = hH ⊕ e. Então, existem U ⊂ hH e V ⊂ e (dominiosde uma carta adaptada, como na proposição 6.7) tais que se W = eUeV então

H ∩W = eU . (6.7)


Demonstração: Por definição 〈exp hH〉 ⊂ H, portanto eU ⊂ H ∩W . Além do mais

H ∩W = eU(H ∩ eV

)pois para X ∈ U e Y ∈ V , eXeY ∈ H se, e só se, eY = e−XeXeY ∈ H. Dessa forma,deve-se encontrar V tal que H ∩ eV = 1.Supondo por absurdo que não exista tal aberto V , então existe uma sequência

Yn ∈ e com Yn 6= 0 tal que yn = eYn ∈ H e limYn = 0, isto é, lim yn = 1.Tome vizinhanças compactas 0 ∈ V ′′ ⊂ V ′ ⊂ e tais que 2V ′′ = V ′′ + V ′′ ⊂ V ′ (por

exemplo, bolas V ′ = B [0, δ] e V ′′ = B [0, δ/10], em relação a alguma norma). Se n ésuficientemente grande então Yn ∈ V ′′ e, por compacidade existe um inteiro N (n) ≥ 1tal que N (n)Yn /∈ V ′′.Seja kn o menor inteiro positivo tal que knYn /∈ V ′′. Então, (kn − 1)Yn ∈ V ′′ e daí

queknYn = (kn − 1)Yn + Yn ∈ V ′′ + V ′′ ⊂ V ′.

Por compacidade, pode-se assumir que knYn converge a Y ∈ V ′. Como knYn /∈ V ′′,segue que Y não pertence ao interior de V ′′ e daí que Y 6= 0. Tomando exponenciais,se obtém yknn = eknYn ∈ H e yknn → y = eY 6= 1. Portanto, y ∈ H, já que H é fechado.A partir daí chega-se a uma contradição mostrando que etY ∈ H para todo t ∈ R.

De fato, suponha em primeiro lugar que t = p/q é racional (p, q ∈ Z, q > 0). Se an éo quociente da divisão de pkn por q então pkn = anq + bn com 0 ≤ bn < q. Dividindoessa igualdade por q e multiplicando por Yn se obtém

tknYn = anYn + (bn/q)Yn.

Tomando limites o primeiro membro converge a tY , enquanto que (bn/q)Yn → 0, poisbn < q e Yn → 0. Portanto, limn→+∞ anYn = tY . Daí que

etY = limn→∞

eanYn = limn→∞

(eYn)an ∈ H,

já que(eYn)an ∈ H e H é fechado. Isso prova que etY ∈ H, se t é racional. Usando

novamente o fato de que H é fechado, a continuidade da aplicação exponencial garanteque etY ∈ H para todo t ∈ R. Mas isso contradiz a definição de hH , já que Y está nosubespaço e complementar de hH e Y 6= 0, concluindo a demonstração. 2

Agora é possível enunciar e concluir a demonstração do teorema de Cartan dosubgrupo fechado.

Teorema 6.15 Todo subgrupo fechado H de um grupo de Lie G é subgrupo de Lie.De forma mais precisa: um subgrupo fechado H admite uma estrutura de variedademergulhada que o torna um subgrupo de Lie. Sua álgebra de Lie é hH (definida em(6.6)).

Demonstração: Seja ψ : V × U → W , ψ (X, Y ) = eXeY a carta adaptada ao redordo elemento neutro proveniente do lema 6.14 com H ∩ W = eU . Então, para todoh ∈ H, o conjuntoWh = eV eUh é uma vizinhança de h em G. Essa vizinhança satisfaz

H ∩Wh =(Hh−1 ∩W

)h = (H ∩W )h = eUh.


Portanto, o difeomorfismo Dh ψ : V × U → W satisfaz Dh ψ (0 × U) = H ∩Wh.Como h ∈ H é arbitrário, isso mostra que H é uma subvariedade mergulhada de G(veja a proposição B.1). Em particular H é uma subvariedade quase-regular, e por-tanto um grupo de Lie. Aplicando novamente o lema 6.14 se vê que o espaço tangentea H no elemento neutro é hH , portanto essa é a álgebra de Lie de H. 2

O teorema do subgrupo fechado admite a seguinte recíproca.

Proposição 6.16 Se H ⊂ G é um subgrupo de Lie mergulhado, então H é fechado.

Demonstração: Como H é uma subvariedade mergulhada existe uma carta

ψ : U × V ⊂ Rk × Rn−k → W ⊂ G

com (0, 0) ∈ U × V e 1 ∈ W tal que ψ (0, 0) = 1 e H ∩ W = ψ (U × 0). Nessecaso H ∩ W é fechado em W pois U × 0 é fechado em U × V . Isso implica queH ∩ W = H ∩ W . Mas, H também é subvariedade e essa igualdade mostra queT1H = T1H e daí que H é um subgrupo aberto e portanto fechado de H. Conse-quentemente H é fechado em G. 2

Os resultados desta seção mostram que um subgrupo de Lie H ⊂ G é fechado se,e só se, a subvariedade H é mergulhada. No entanto, a demonstração do teorema dosubgrupo fechado vai além. Ela mostra que H é um subgrupo de Lie mergulhado seH for localmente fechado, no sentido em que todo h ∈ H admite uma vizinhançaW tal que H ∩W é fechado em W . Isso porque o lema 6.14 continua valendo coma hipótese de que H é localmente fechado ao redor de 1. Segue dessa observação aseguinte consequência.

Corolário 6.17 Se H é um subgrupo localmente fechado de um grupo de Lie G entãoH é fechado.

Um caso em que um subgrupo Γ ⊂ G é localmente fechado é quando ele é umsubgrupo discreto, para o qual existe uma vizinhança U do elemento neutro tal queU ∩ Γ = 1. O subgrupo Γ é então fechado e dim Γ = 0. Reciprocamente, se Γ éum subgrupo fechado com dim Γ = 0 então Γ é discreto, pois nesse caso a subálgebrahΓ = 0 e o aberto W = eV eU do lema 6.14 se reduz a eV e satisfaz Γ ∩ eV = 1.Esse fato é destacado na seguinte proposição, para referência futura, já os subgruposdiscretos desempenham um papel central na descrição dos grupos de Lie conexos.

Proposição 6.18 Seja Γ ⊂ G um subgrupo fechado com dim Γ = 0. Então, Γ édiscreto.

Exemplos: Alguns exemplos de subgrupos fechados de grupos de Lie são os seguintes:


1. Dado x ∈ G sejaZ (x) = y ∈ G : yx = xy

o centralizador de x em G. Então, Z (x) é um subgrupo fechado se G é um grupode Lie (ou mesmo se G é um grupo topológico de Hausdorff). De fato, y ∈ Z (x)se, e só se, Cx (y) = xyx−1 = y, isto é, Z (x) é o conjunto dos pontos em que asaplicações contínuas Cx e id coincidem. Como G é espaço topológico de Hausdorffesse conjunto é fechado.

2. SejaZ (G) = x ∈ G : ∀y ∈ G, xy = yx

o centro do grupo G. Então, Z (G) é fechado se G é um grupo de Lie (ou mesmose G é um grupo topológico de Hausdorff). De fato, Z (G) =

⋂x∈G Z (x) e cada

Z (x) é fechado pelo exemplo anterior.

3. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão finita. Denote por Aut (g) o grupo dosautomorfismos de g, isto é, g ∈ Aut (g) se g : g→ g é uma transformação linearinversível e g[X, Y ] = [gX, gY ] para todo X, Y ∈ g. É claro que Aut (g) é umsubgrupo de Gl (g). Seja gn uma sequência em Aut (g) tal que g = lim gn está emGl (g). Como formas bilineares entre espaços de dimensão finita são contínuas,as igualdades gn[X, Y ] = [gnX, gnY ], n ≥ 1, passam ao limite, mostrando queg ∈ Aut (g). Portanto, Aut (g) é um subgrupo fechado de Gl (g) e como tal é umgrupo de Lie. A álgebra de Lie de Aut (g) é a álgebra das derivações Der (g) deg, pois se D : g→ g é uma transformação linear então exp tD ∈ Aut (g) se, e sóse, D ∈ Der (g).

4. O grupo Gl (n,C) das transformações lineares complexas inversíveis é um sub-grupo de Gl (2n,R). Uma transformação linear g de R2n é complexa se, e só se,ela comuta com a transformação linear J : R2n → R2n que corresponde à multi-plicação por i em Cn. A partir daí é fácil verificar que Gl (n,C) é um subgrupofechado de Gl (2n,R) e, portanto, é um grupo de Lie. Isso pode ser visto emtermos de matrizes já que a multiplicação à esquerda de uma matriz complexaZ = A + iB por elementos de Cn define uma transformação linear de R2n dematriz (

A −BB A

).

Portanto, Gl (n,C) pode ser visto como o subgrupo de Gl (2n,R) das matrizesdessa forma. Esse sugbrupo é fechado.

5. Uma construção semelhante à do item anterior pode ser feita commatrizes quater-nionicas, com entradas em H. Escreva um quatérnion como

q = a+ ib+ jc+ kd = (a+ ib) + j (c− id) = z + jw

com z, w ∈ C. Então, o produto de quatérnions fica sendo

(z + jw) (z1 + jw1) = (zz1 − wz1) + j (zw1 + wz1)


pois zj = jz se z ∈ C. Dessa forma, a multiplicação à esquerda em H porq = z + jw define uma aplicação linear em C2 com matriz(

z −ww z

).

Isso se estende a matrizes quaternionicas n × n. Se Q uma matriz dessas entãopode-se escrever Q = A+ jB com A e B matrizes complexas n× n. A multipli-cação à esquerda de Q em matrizes coluna n×1 em Hn define uma transformaçãolinear de C2n com matriz (

A −BB A

). (6.8)

O subgrupo de Gl (2n,C) das matrizes dessa forma é um subgrupo fechado e,portanto de Lie. Esse subgrupo é denotado por Gl (n,H).

6. Os grupos lineares apresentados na introdução são todos fechados e, portanto,subgrupos de Lie. São eles:

• O (n), SO (n), U (n), SU (n), Sp (n), Sl (n,R), Sl (n,C), Sp (n,R), SO (p, q),SU (p, q).

A esses grupos pode-se acrescentar outros grupos lineares, também fechados:

(a) Sl (n,H), que é o grupo das matrizes quaternionicas n × n, cuja formacomplexa (6.8) tem determinante 1. Esse grupo também é denotado porSU∗ (2n).

(b) Sp (n,C) = g ∈ Gl (2n,C) : gJgT = 1 onde

J =

(0 −1n×n

1n×n 0

).

(c) O (p, q), = g ∈ Gl (p+ q,R) : gIp,qgT = 1 onde

Ip,q =

(1p×p 0

0 −1q×q

).

(d) U (p, q) = g ∈ Gl (p+ q,C) : gIp,qgT = 1, det g = 1.

2


6.6 Subgrupos conexos por caminhos

Teorema 6.19 Seja G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo. Suponha que paratodo h ∈ H existe uma curva C1 ligando 1 a h. Então, H é um subgrupo de Lie e umasubvariedade quase-regular.

A condição do teorema é equivalente a que H é conexo por caminhos diferenciáveis,já que um caminho entre g e h arbitrários pode ser obtido por translação de um caminhoentre 1 e g−1h.A estratégia para demonstrar esse teorema é parecida com a demonstração do teo-

rema de Cartan. Em primeiro lugar se considera o subconjunto hH ⊂ g = T1G formadopelas derivadas x0 das curvas xt ∈ H, de classe C1, com x0 = 1.

Lema 6.20 O conjunto hH definido acima é uma subálgebra de Lie.

Demonstração: A curva constante xt = 1 está em H, daí que 0 ∈ hH . Sejam xt eyt duas curvas C1 contidas em H com x0 = y0 = 1 e denote por X = x0 e Y = y0 suasderivadas na origem. Se r ∈ R então a derivada em t = 0 de xrt é igual a rX o quemostra que hH é fechado por multiplicação por escalar. Por outro lado, a derivada emt = 0 da curva xtyt ∈ H é igual a X + Y . Portanto, hH é um subespaço vetorial.Para obter o colchete considere para cada t a curva s 7→ Cxt (ys) = xtysx

−1t ∈ H.

Sua derivada em s = 0 é(dCxt)1 (Y ) = Ad (xt) (Y ) ,

portanto a curva t 7→ zt = Ad (xt) (Y ) está em hH , assim como sua derivada. Se t ésuficientemente pequeno pode-se escrever xt = ewt de tal forma que zt = Ad (xt) (Y ) =ead(wt) (Y ). Então,

z0 = d (exp)0 (ad (w0)) (Y ) = ad (w0) (Y ) = [X, Y ]

o que mostra que [X, Y ] ∈ hH . 2

Agora para demonstrar o teorema 6.19 basta verificar que H = 〈exp hH〉. Emprimeiro lugar, tome h ∈ H e uma curva xt ∈ H ligando o elemento neutro a h. Então,xt+sx

−1t ∈ H e, portanto,

xtx−1t =

d

ds

(xt+sx

−1t

)|s=0∈ h.

Isso significa que a curva xt é tangente à distribuição ∆dhH

(x) = (dDx)1 hH . Portanto,xt está inteiramente contida numa variedade integral I de ∆d

hH(veja B.22). Como

x0 = 1, a variedade integral I que contém xt só pode ser 〈exp h〉, o que mostra queH ⊂ 〈exp hH〉.Para a inclusão contrária mostra-se que H tem interior não vazio em 〈exp hH〉: seja

X1, . . . , Xn uma base de hH e tome curvas x1t , . . ., x

nt em H com xi0 = Xi. Defina a

aplicaçãoψ : (t1, . . . , tn) 7−→ x1

t1· · ·xntn ∈ H ⊂ 〈exp hH〉,

6.7. Estrutura de variedade em G/H, H fechado 139

cujo domínio é um aberto de Rn, que contém a origem. Essa aplicação tem classe C1 esuas derivadas parciais na origem são dadas por

∂ψ

∂ti(0) = Xi.

Pelo teorema da função inversa a imagem de ψ tem interior não vazio em 〈exp hH〉.Como essa imagem está contida em H, se conclui que H é subgrupo aberto de 〈exp hH〉e, portanto H = 〈exp hH〉, pois 〈exp hH〉 é conexo, concluíndo a demonstração doteorema 6.19.Um corolário imediato do teorema acima é que se um subgrupo H ⊂ G é ao

mesmo tempo uma subvariedade conexa então esta subvariedade é quase-regular e Hé subgrupo de Lie. Na verdade, vale o seguinte resultado mais geral.

Corolário 6.21 Seja G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo. Suponha que H é umasubvariedade com uma quantidade no máximo enumerável de componentes conexas. Su-ponha também que a componente conexa H0 que contém o elemento neutro é subgrupo.Então, H é subgrupo de Lie e subvariedade quase-regular.

Demonstração: De fato, H0 é uma subvariedade conexa e portanto conexa porcaminhos. Portanto o teorema garante que H0 é subgrupo de Lie e uma subvariedadequase-regular. Por outro lado seja g um elemento de uma componenente conexa H1.Então gH0 = Eg (H0) é um conexo que contém g, portanto gH0 ⊂ H1. Daí queH0 = g−1 (gH0) ⊂ g−1H1, o que mostra que H1 = gH0. Consequentemente as compo-nentes conexas de H são classes laterais de H0 e variedades integrais maximais de ∆h.Pelo corolário B.25, H é uma subvariedade quase-regular e é um grupo de Lie. 2

Nesse corolário se faz a hipótese de que H0 é subgrupo pois não se sabe de antemãose H com a topologia intrínseca é um grupo topológico.

6.7 Estrutura de variedade em G/H, H fechado

Sejam G é um grupo Lie e H um subgrupo fechado de G. O objetivo desta seção é con-struir uma estrutura de variedade diferenciável em G/H, compatível com a topologiaquociente. Conforme foi visto no capítulo 2 a topologia quociente em G/H é Hausdorffse H é fechado. As propriedades da estrutura diferenciável são enunciadas a seguir.

Teorema 6.22 Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado. Então,existe uma estrutura diferenciável em G/H, compatível com a topologia quociente, quesatisfaz:

1. dimG/H = dimG− dimH.

2. A projeção canônica π : G→ G/H é uma submersão.

3. Uma função f : G/H →M é diferenciável se, e só se, f π é diferenciável.


4. A ação natural a : G × G/H → G/H é diferenciável. (Essa ação é dada pora (g, xH) = (gx)H, isto é, g (xH) = (gx)H.)

5. Para cada g ∈ G a aplicação induzida g : G/H → G/H, xH 7→ gxH é umdifeomorfismo.

A estrutura diferenciável definida neste teorema é denominada, naturalmente, deestrutura diferenciável quociente.A construção de um atlas para a estrutura de variedade diferenciável em G/H está

baseada na boa carta adaptada garantida pelo Lema 6.14 (melhorada no lema 6.23abaixo).Denote por g e h as álgebras de Lie de G e H, respectivamente e seja e ⊂ g um

subespaço vetorial de g tal que g = e ⊕ h. As cartas em G/H serão difeomorfismosdefinidos em abertos de e a valores em abertos de G/H.Pelo lema 6.14 existem V , U e W com 0 ∈ V ⊂ e, 0 ∈ U ⊂ h e 1 ∈ W ⊂ G tal que

a aplicação ψ : V × U → W , definida por

ψ (Y,X) = eY eX ,

é um difeomorfismo. O aberto W = eV eU satisfaz W ∩ H = eU , que é o mesmo queeV ∩ H = 1. (Aqui a ordem dos fatores eY eX foi trocada em relação ao lema 6.14para ter ψ (Y,X) ∈ eYH.)No que segue será conveniente supor queW está contido num aberto análogoW1 =

eV1eU1 com 0 ∈ V ⊂ V1 ⊂ e, 0 ∈ U ⊂ U1 ⊂ h e W1 ∩ H = eU1 e satisfazendo ascondições

• W 2 ⊂ W1 e W−1W ⊂ W1.

Nesse caso o sistema de coordenadas adaptado ψ : V × U → W é a restrição deψ1 : V1 × U1 → W1. Essa situação pode ser obtida diminuindo convenientemente osabertos V1 e U1 e restringindo ψ1.A construção do atlas em G/H será feita com o auxílio da extensão de ψ a V ×H,

definida por Ψ : V ×H → G,Ψ (Y, h) = eY h.

Essa aplicação é diferenciável por ser a composta de aplicações diferenciáveis. Suadiferencial, calculada em A ∈ e e Bd (h), B ∈ h, é dada por

dΨ(Y,h)

(A,Bd (h)

)=

d

dtΨ(Y + tA, etBh

)|t=0

=d

dt

(eY+tAetBh

)|t=0

=d

dtDh

(eY+tAetB

)|t=0

= (dDh)(eY ,0)

(dψ(Y,0) ((A,B))

),

isto é,dΨ(Y,h)

(A,Bd (h)

)= d (Dh ψ)(Y,0) (A,B) . (6.9)

6.7. Estrutura de variedade em G/H, H fechado 141

Lema 6.23 Com as notações acima Ψ (Y, h) = eY h é um difeomorfismo sobre eVH,que é um conjunto aberto de G.

Demonstração: Em primeiro lugar, Ψ é injetora. De fato, suponha que eY1h1 =eY2h2. Então, e−Y2eY1 = h2h

−11 . O primeiro membro dessa igualdade está em W1, já

que W−1W ⊂ W1. Como o segundo membro está em H, segue que

e−Y2eY1 ∈ W1 ∩H = eU1 ,

isto é, eY1 = eY2eX1 , para algum X1 ∈ U1. Isso significa que ψ1 (Y1, 0) = ψ1 (Y2, X1),portanto X1 = 0 e Y1 = Y2 pois ψ1 : V1 × U1 → W1 é difeomorfismo. Daí que h1 = h2

e Ψ é injetora. Segue que Ψ é bijetora sobre eVH.A expressão (6.9) mostra que dΨ(Y,h) é isomorfismo, o que garante que Ψ é difeo-

morfismo local e portanto sua imagem eVH é um conjunto aberto. A bijetividade deΨ permite concluir então que Ψ é difeomorfismo. 2

Agora pode-se definir o atlas que define a estrutura diferenciável em G/H.

Definição 6.24 Dado g ∈ G defina σg : V → G/H por

σg (Y ) = π (g expY ) = gπ (expY ) ,

isto é, σg = gπΨ|V×1 . (No segundo membro dessa última expressão g é interpretadocomo um homeomorfismo de G/H.)

O conjunto de aplicações σg, g ∈ G, forma um atlas de uma estrutura diferenciávelem G/H. A demonstração disso é feita nos seguintes itens:

1. σg = g σ1, como segue direto da definição.

2. A imagem σg (V ) é um aberto de G/H em relação à topologia quociente.

De fato, σ1 (V ) = π(eV)

= π(eVH

)que é aberto, pois eVH é aberto e π é

aplicação aberta. Daí que σg (V ) = g (σ1 (V )) também é aberto pois g : G/H →G/H é homeomorfismo.

3. σg : V → σg (V ) é bijetora.

Basta verificar a injetividade: se σg (Y1) = σg (Y2) então existem h1, h2 ∈ Htal que geY1h1 = geY2h2, isto é, eY1h1 = eY2h2, o que significa que Ψ (Y1, h1) =Ψ (Y2, h2) e, portanto Y1 = Y2 pela injetividade de Ψ.

4. σg : V → σg (V ) é homeomorfismo.

Por construção σg é contínua. Para verificar que é uma aplicação aberta seobserva que se A ⊂ V então σg (A) = gπ

(eA)

= gπ(eAH

). Se A é aberto então

eAH = Ψ (A×H) é aberto, o que implica que σg (A) é aberto em G/H.


5. Para g1, g2 ∈ G a função de transição σ−1g2 σg1 é dada por

σ−1g2 σg1 (Y ) = p

(Ψ−1

(g−1

2 g1Ψ (Y, 1)))

(6.10)

= p(Ψ−1

(g−1

2 g1eY))

onde p : V ×H → V é a projeção.

De fato, tome Y, Z ∈ V tal que σg1 (Y ) = σg2 (Z). Isso significa que g1eY está na

mesma classe lateral que g2eZ , isto é, existe h ∈ H tal que

g1Ψ (Y, 1) = g1eY = g2e

Zh = g2Ψ (Z, h) .

Essa igualdade se reescreve como Ψ (Z, h) = g−12 g1Ψ (Y, 1) = g−1

2 g1eY . Usando o

fato de que Ψ é bijetora se vê que Z é a primeira coordenada de Ψ−1(g−1

2 g1eY),

conforme enunciado.

(Deve-se observar que o domínio de definição de σ−1g2 σg1 é o conjunto aberto

Y ∈ V : g−12 g1e

Y ∈ eVH = g−11 g2

(eVH

)∩ eV

que não é vazio se g2

(eVH

)∩ g1e

V 6= ∅, isto é, se σg1 (V ) ∩ σg2 (V ) 6= ∅. Alémdo mais, se Y está nesse domínio de definição então Ψ−1

(g−1

2 g1eY)está bem

definido, portanto a fórmula (6.10) faz sentido.)

Essas afirmações mostram que as aplicações σg são as cartas de um atlas difer-enciável em G/H =

⋃g∈G σg (V ). O item (4) garante que σg é um sistema de co-

ordenadas para um aberto ao redor de gH. Já o item (5) mostra que as funções detransição são diferenciáveis, por serem compostas de aplicações diferenciáveis, isto é,σ−1g2 σg1 = p Ψ−1 Eg−12 g1

exp.Com isso se conclui a construção da estrutura de variedade diferenciável em G/H.

As demais propriedades enunciadas no teorema 6.22 são obtidas da seguinte forma:

1. dimG/H = dimG − dimH, pois dimG/H = dimV = dim e = dim g − dim h =dimG− dimH.

2. A projeção canônica π : G → G/H é uma submersão. De fato, dado g ∈ G asaplicações ψg = Eg ψ e σg são cartas ao redor de g e gH, respectivamente. Aprojeção π se lê nessas cartas como

σ−1g π ψg (X, Y ) = σ−1

g

(π(geY eX

)).

Mas, eX ∈ H, portanto π(geY eX

)= π

(geY)

= σg (Y ). Daí que σ−1g π

ψg (X, Y ) = Y é a projeção na segunda componente. Isso mostra ao mesmotempo que π e diferenciável e é uma submersão.

3. O critério de diferenciabilidade para uma função f : G/H → M é consequênciaimediata de que π : G→ G/H é uma submersão sobrejetora. Em todo caso, nascartas do item anterior vale

f π ψg (X, Y ) = f σg (Y )

de onde se vê que f é diferenciável se, e só se, f π é diferenciável.


4. A ação canônica a : G×G/H → G/H entra no seguinte diagrama comutativo

G×G p−→ Gid ↓↓ π ↓ πG×G/H a−→ G/H

Deste diagrama e do critério de diferenciabilidade para funções definidas emG/H,segue de imediato que a é diferenciável, já que π p é diferenciável.

5. Dado g ∈ G a aplicação xH 7→ gxH é diferenciável por ser uma aplicação parcialda ação a. Sua inversa é dada por xH 7→ g−1xH, que também é diferenciável,portanto ambas são difeomorfismos.

Por fim, se H é subgrupo normal e fechado então G/H é um grupo, cujo produtop : G/H ×G/H → G/H é diferenciável, pois é definido pelo diagrama

G×G p−→ Gπ ↓↓ π ↓ π

G/H ×G/H p−→ G/H

(compare com a proposição 2.27). Nesse caso π é um homomorfismo diferenciável. Suadiferencial dπ1 é um homomorfismo de álgebras de Lie sobrejetor, cujo núcleo é h, que éum ideal de g. Portanto, a álgebra de Lie de G/H, sendo a imagem de dπ1, é isomorfaa g/ ker dπ1 = g/h.

Proposição 6.25 Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo normal e fechado.Então, G/H é um grupo de Lie com a estrutura quociente. Sua álgebra de Lie éisomorfa à álgebra quociente g/h.

6.8 Exercícios

1. Mostre que todo subgrupo de Lie conexo de (Rn,+) é fechado.

2. Descreva os sugbrupos de Lie conexos do grupo de Heisenberg, isto é, o grupo deLie das matrizes da forma 1 x y

0 1 z0 0 1

x, y, z ∈ R.

Mostre que todos esses subgrupos são fechados. Algum deles é compacto?

3. Este exercício tem por objetivo fornecer um exemplo de que a aplicação ρ definidana demonstração do teorema 6.4 não é uma imersão em todo Rk. Tome g =gl (n,R) e h a subálgebra das matrizes triangulares superiores com 0’s na diagonal.Escolha a base de h dada por X1 = E23 + E13, X2 = E12 e X3 = E23 onde Eijdenota a matriz com entrada não nula = 1 somente na posição ij. Mostre que aaplicação (t1, t2, t3) 7→ et1X1et2X2et3X3 não é uma imersão.


4. Seja G ⊂ Gl (n,R) um subgrupo de Lie com álgebra de Lie g ⊂ gl (n,R). Mostreque se G é compacto então os auto-valores de toda matriz X ∈ g são puramenteimaginários.

5. Sejam G1 e G2 grupos de Lie e H1 ⊂ G1 e H2 ⊂ G2 subgrupos de Lie. Mostreque H1 ×H2 é subgrupo de Lie de G1 ×G2.

6. Sejam G com álgebra de Lie g e V ⊂ g um subespaço vetorial. Defina a dis-tribuição ∆V (g) = (dDg)1 (V ). Mostre que se V não é subálgebra de Lie então∆V não é integrável.

7. Seja H ⊂ G um subgrupo de Lie com dimH < dimG e no máximo uma quanti-dade enumerável de componentes conexas. Mostre que H tem interior vazio emG.

8. Dado um grupo de Lie G sejam H1, H2 ⊂ G subgrupos de Lie com H1 conexo.Mostre que se H1 ∩H2 contém um aberto intrínseco de H1 então H1 ⊂ H2.

9. Mostre que os seguintes subgrupos do grupo linear são grupos de Lie: O (n);SO (n); Sl (n,R) = g ∈ Gl (n,R) : det g = 1; U (n); SU (n); Sp (n,R) = g ∈Gl (2n,R) : gJgT = J onde J é a matriz escrita em blocos n× n como

J =

(0 −11 0

);

subgrupo das matrizes triangulares superiores (aij = 0 se i > j). Descreva suasálgebras de Lie.

10. Sejam dados um subgrupo discreto Γ e um subgrupo conexo H de um grupo deLie G. Suponha que H normaliza Γ, isto é, para todo h ∈ H, hΓh−1 ⊂ Γ e mostreque h centraliza Γ, isto é, hγ = dγ, γ ∈ Γ, h ∈ H. Conclua que um subgruponormal e discreto de um grupo de Lie conexo está contido no centro.

11. Dado um grupo de Lie G, mostre que seu centro Z (G) é um subgrupo de Liecuja álgebra de Lie é o centro z (g) = X ∈ g : ∀Y ∈ g, [X, Y ] = 0 da álgebra deLie g de G. Conclua que Z (G) é um subgrupo discreto se, e só se, z (g) = 0.

12. Dê exemplo de um grupo de Lie conexo G tal que z (g) = 0 mas que Z (G) éinfinito.

13. Uma álgebra de Lie g (de dimensão finita) é simples se dim g > 1 e os únicosideais de g são os triviais 0 e g. Seja G um grupo de Lie cuja álgebra de Lie gé simples. Mostre que o centro Z (G) é discreto.

14. Dados um subgrupo de Lie H de G e g ∈ G, mostre que gHg−1 é subgrupo deLie, cuja álgebra de Lie é Ad (g) h, onde h é a álgebra de Lie de H.


15. Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e a, b ⊂ g subálgebras de Lietais que para todo X ∈ a e todo Y ∈ b, [X, Y ] = 0. Defina os subgrupos conexosA = 〈exp a〉 e B = 〈exp b〉. Mostre que todo a ∈ A comuta com todo b ∈ B.

16. Seja H ⊂ G um subgrupo de Lie conexo. Mostre que H é normal em seu fechoH. Dê exemplo de um subgrupo H não conexo que não é normal em seu fecho.

17. Seja H um subgrupo de Lie conexo e não fechado de G. Mostre que a álgebra deLie de H está contida propriamente na álgebra de Lie de seu fecho H.

18. Suponha que H ⊂ G é um subgrupo de Lie conexo e não fechado. Mostre queexiste uma sequência hn ∈ H tal que hn →∞ (isto é, para todo compactoK ⊂ Hexiste n ∈ N tal que hn /∈ K) em relação à topologia intrínseca e, no entanto,hn → 1 na topologia de G.

19. Dado um grupo de Lie G, com álgebra de Lie g, tome vizinhanças V ⊂ g e U ⊂ Gdas origens tais que exp : V → U é difeomorfismo. Denote por log : U → V ainversa de exp. Seja H ⊂ G um subgrupo de Lie conexo com álgebra de Lie h.Mostre que se log (U ∩H) ⊂ h então H é fechado.

20. Suponha que H ⊂ G é um subgrupo de Lie conexo com álgebra de Lie h ⊂ g.Denote por N (H) = g ∈ G : gHg−1 ⊂ H o normalizador de H e n (h) = X ∈g : ad (X) h ⊂ h o normalizador de h em g. Mostre que o normalizador N (H)de H é um subgrupo fechado. Suponha também que H é conexo e mostre quesua álgebra de Lie é n (h). Dê exemplo de um subgrupo de Lie não conexo H talque N (H) é fechado e, no entanto, a álgebra de Lie de N (H) não coincide comn (h).

21. Seja G um grupo de Lie conexo e ρ : G→ Gl (V ) uma representação de dimensãofinita de G. Mostre que ρ (G) é um subgrupo de Lie de Gl (V ). Qual é a álgebrade Lie de ρ (G)? Generalize para um homomorfismo diferenciável ρ : G→ H.

22. Seja g uma álgebra de Lie (sobre R e dim g < ∞). Denote por Aut (g) o grupodos automorfismos de g. Mostre que a álgebra de Lie de Aut (g) é a álgebra dasderivações de g (veja o exemplo ao final da seção 6.5).

23. Um grupo de matrizes G é algébrico se existem polinômios Pi, i = 1, . . . , r noespaço das matrizes tal que G = g : Pi (g) = 0. Mostre que um grupo algébricode matrizes sobre R ou C é grupo de Lie e descreva a álgebra de Lie em termosdos polinômios. Dê exemplos de grupos algébricos.

24. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Tome elementos X, Y ∈ gque geram g (isto é, X e Y não estão contidos em nenhuma subálgebra própria deg ou, o que é equivalente, os colchetes sucessivos entre X e Y geram g). Mostreque os grupos a 1-parâmetro exp tX e exp tY geram G.


25. Seja G um grupo de Lie e S ⊂ G um subsemigrupo de G, isto é, se g, h ∈ Sentão gh ∈ S (sendo que g−1 pode não pertencer a S). Seja g a álgebra de Liede G e considere o conjunto

L (S) = X ∈ g : ∀t ≥ 0, exp tX ∈ S.

Suponha que 1 ∈ S e mostre que L (S) satisfaz as seguintes propriedades: (i)L (S) é um cone convexo, isto é, dados X, Y ∈ L (S) e a, b reais > 0 entãoaX + bY ∈ L (S); (ii) L (S) é um cone de Lie, isto é, se ±X ∈ L (S) entãoexp tad (X) (L (S)) = L (S) para todo t ∈ R. (Sugestão: use as fórmulas da seção6.4.)

26. Mostre a unicidade da estrutura quociente: duas estruturas de variedade diferen-ciável em G/H que satisfazem as propriedades do teorema 6.22 são difeomorfas.

27. Sejam G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g e H,N ⊂ G subgruposde Lie, com álgebras de Lie h e n, respectivamente. Suponha que g = h+n e queN é subgrupo normal. Mostre que G = HN .

28. Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado. Suponha que Hcontenha um subgrupo fechado L, que é normal em G. Mostre que existe umdifeomorfismo φ : G/H → (G/L) / (H/L) tal que para todo g ∈ G e x ∈ G/H,vale φ (gx) = π (g)φ (x), onde π : G→ G/L é a projeção canônica.

29. Dados um grupo de Lie G e um subgrupo fechado H ⊂ G seja φ : G → Gum homomorfismo diferenciável tal que φ (H) ⊂ H. Defina φ (gH) = φ (g)H.Mostre que φ : G/H → G/H é uma aplicação bem definida e é diferenciável.Mostre também que se φ é automorfismo e φ (H) = H então φ é difeomorfismo.

30. Sejam G um grupo de Lie, H um subgrupo fechado e M ⊂ G uma subvariedadetais que a aplicação φ : M ×H → G dada por φ (x, y) = xy é um difeomorfismo.Mostre que G/H é difeomorfo a M .

31. Este exercício apresenta um caso em que a decomposição do lema 6.23 é global.Seja G = Gl (n,R) e K = O (n). Denote por e o espaço das matrizes simétricasn × n. Mostre que a aplicação ψ : e × K → G dada por ψ (X, k) = eXk é umdifeomorfismo. Faça o mesmo com G = Sl (n,R) e K = SO (n).

32. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dado um subgrupo H ⊂ G con-sidere o conjunto hH ⊂ g formado pelas derivadas α′ (0) das curvas diferenciáveisα (t) ∈ H com α (0) = 1. Mostre que hH é uma subálgebra de Lie. Suponha queH é um subgrupo normal e que hH = 0 e mostre que H ⊂ Z (G).

Capítulo 7

Homomorfismos e recobrimentos

Os resultados sobre subgrupos de Lie demonstrados anteriormente permitem obter di-versas informações sobre homomorfismos entre grupos de Lie. A idéia aqui é que ográfico de um homomorfismo φ : G→ H é um subgrupo do grupo produto G×H iso-morfo a G através da projeção π1 : G×H → G, π1 (x, y) = x, e vice-versa, se o gráficode uma aplicação φ é um subgrupo então φ é homomorfismo. Caso o homomorfismo φseja contínuo ou diferenciável, o seu gráfico tem propriedades topológicas ou diferen-ciáveis. Uma das aplicações obtidas é a demonstração de que qualquer homomorfismoentre as álgebras de Lie se “estende” aos grupos caso o domínio seja simplesmenteconexo. Juntando essas extensões com a construção de uma estrutura de grupo de Lieno recobrimento universal de um grupo dado se obtém uma descrição dos grupos deLie conexos a partir dos simplesmente conexos. As classes de isomorfismos dos gruposconexos e simplesmente conexos estão em bijeção com as classes de isomorfismos dasálgebras de Lie de dimensão finita.

7.1 Homomorfismos

7.1.1 Imersões e submersões

Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável. Então, φ é de posto constante, poispara todo g ∈ G, vale φ Eg = Eφ(g) φ o que acarreta

dφg = d(Eφ(g)

)1 dφ1 d (Eg−1)g ,

daí que o posto é constante igual ao posto do homomorfismo infinitesimal dφ1, já queas translações são difeomorfismos. Portanto, φ é uma imersão se, e só se, dφ1 é injetora.Da mesma forma, φ é submersão se, e só se, dφ1 é sobrejetora.Para um homomorfismo diferenciável suas propriedades de imersão e injetividade,

assim como a submersão e a sobrejetividade estão bastante relacionadas.Considere em primeiro lugar a injetividade. O núcleo kerφ de φ é um subgrupo de

Lie fechado. Sua álgebra de Lie é o ideal ker dφ1 pois φ(etX)

= etdφ1(X) = 1, t ∈ R,se, e só se, dφ1 (X) = 0. Dessa forma se φ é imersão, isto é, se dφ1 é injetora entãopela proposição 6.18, kerφ é subgrupo discreto. Vice-versa se kerφ é discreto então

147

148 Capítulo 7. Homomorfismos e recobrimentos

ker dφ1 = 0 e φ é uma imersão. Em particular, se φ é injetora, isto é, se kerφ = 1então φ é uma imersão. Portanto, no caso em que φ é injetora sua imagem é umsubgrupo de Lie de H, por uma das definições de subgrupo de Lie apresentadas noinicio do capítulo 6.Em geral, para homomorfismos não necessariamente injetores, vale o seguinte teo-

rema de isomorfismo.

Proposição 7.1 Sejam G e H grupos de Lie e φ : G → H um homomorfismo difer-enciável. Então, G/ kerφ é um grupo de Lie. Seja φ (g kerφ) = φ (g) o homomorfismoque torna o diagrama

G/ kerφ?

G -

*

imφ ⊂ Hφ

π

φ

comutativo. Então, φ é uma imersão injetora em H, o que implica que imφ é umsubgrupo de Lie de H isomorfo a G/ kerφ e, portanto, dim (imφ) = dimG−dim (kerφ).Além do mais, se G é conexo então imφ = 〈exp (imdφ1)〉.

Demonstração: A construção de grupo de Lie em G/ kerφ foi feita no capítulo 6(veja a proposição 6.25). A diferenciabilidade de φ (em relação à estrutura quociente)é consequência do item (3) do teorema 6.22, já φ π = φ é diferenciável. Por fim,por definição φ é aplicação injetora, o que implica que sua imagem é subgrupo de Lieisomorfo a G/ kerφ.A última afirmação se deve a que se G é conexo então imφ é subgrupo de Lie conexo

cujo espaço tangente no elemento neutro é imdφ1. Portanto, imφ é o único subgrupoconexo com essa álgebra de Lie, isto é, imφ = 〈exp (imdφ1)〉. 2

Agora, pode-se olhar a sobrejetividade. Se dφ1 é sobrejetora então φ é uma sub-mersão e, portanto, uma aplicação aberta. Daí que imφ é um subgrupo de interior nãovazio de H e como tal contém a componente conexa da identidade H0. Em particular,se H é conexo então φ é sobrejetora.A reciproca vale sem outras restrições no caso em que o domínio G é conexo. Nesse

caso, imφ é um subgrupo conexo com álgebra de Lie imdφ1. Portanto, se imφ = Hentão imdφ1 = h, pela unicidade de um grupo de Lie conexo com uma álgebra de Liedada.Já no caso não conexo podem surgir patologias devido à arbitrariedade na quanti-

dade de componentes conexas. Por exemplo, um grupo de Lie G com dimG ≥ 1 podeser visto também como um grupo de Lie Gd de dimensão 0, com a topologia discreta.A identidade id : Gd → G é um homomorfismo sobrejetor, mas sua diferencial dφ1 = 0,não é sobrejetora. Esse tipo de coisa não ocorre para grupos com uma quantidadeenumerável de componentes conexas, como mostra a seguinte aplicação do teorema deBaire.


Proposição 7.2 Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável e suponha que acomponente da identidade H0 de H está na imagem de φ. Suponha também que Gtem no máximo uma quantidade enumerável de componentes conexas. Então, dφ1 ésobrejetora, isto é, φ é uma submersão.

Demonstração: SejaG0 a componente da identidade deG. Então,H0 ⊂⋃g∈G φ (gG0) =⋃

g∈G φ (g)φ (G0). Pelo teorema de Baire pelo menos um dos conjuntos φ (g)φ (G0)∩H0

tem interior não vazio. Como essas componentes são diefeomorfas, todas as que inter-ceptam H0 têm interior não vazio. Em particualar, φ (G0) é um subgrupo conexo deinterior não vazio em H0 e, portanto, φ (G0) = H0. Isso implica que dφ1 é subrejetorapois dois grupos de Lie conexos coincidem se, e só se, suas álgebras de Lie são iguais. 2

Essas informações sobre homomorfismos diferenciáveis serão aplicadas posterior-mente ao caso em que G e H são conexos.Se dφ1 é um isomorfismo então φ é um difeomorfismo local e se G e H são conexos

então φ é sobrejetora e H é isomorfo a G/ kerφ, em que kerφ é um subgrupo discreto.Nesse caso, além de ser difeomorfismo local φ é uma aplicação de recobrimento (vejaa definição na seção 7.4 abaixo). Isso segue do enunciado do exercício 8 do capítulo 2.Como esse fato será crucial descrição dos grupos de Lie conexos ele é provado aqui.

Proposição 7.3 Sejam G um grupo topológico localmente conexo e Γ ⊂ G um sub-grupo discreto. Então, a projeção canônica π : G → G/Γ é uma aplicação de recobri-mento.

Demonstração: Tome um aberto U com U ∩ Γ = 1 e seja V 3 1 aberto conexocom V −1 = V e V 2 ⊂ U . Para g ∈ G a projeção π (gV ) é uma vizinhança conexa dex = gH e vale

π−1 (π (gV )) =⋃γ∈Γ

gV γ.

Os abertos gV γ que formam essa união são conexos e satisfazem gV γ1∩gV γ2 6= ∅ se, esó se, γ1 = γ2. De fato, se y ∈ gV γ1 ∩ gV γ2 então g

−1y = v1γ1 = v2γ2 com v1, v2 ∈ V .Daí que v−1

2 v1 = γ2γ−11 ∈ U ∩ Γ de onde se conclui que v1 = v2 e γ1 = γ2. Portanto,

π−1 (π (gV )) é união de componentes conexas homeomorfas a π (gV ), mostrando queπ é uma aplicação de recobrimento. 2

Desse fato sobre grupos topológicos segue a seguinte afirmação sobre homomorfis-mos cujas diferenciais são isomorfismos.

Proposição 7.4 Sejam G e H grupos de Lie, com álgebras de Lie g e h respectiva-mente. Seja φ : G→ H um homomorfismo sobrejetor e suponha que dφ1 : g→ h é umisomorfismo. Então, φ é uma aplicação de recobrimento.

Demonstração: O teorema de isomorfismo combinado com a hipótese de que φ ésobrejetora garante que H é isomorfo a G/ kerφ, através do isomorfismo φ definido


na proposição 7.1. Além do mais, kerφ é um subgrupo discreto pois (dφ)1 é isomor-fismo. Daí que a proposição anterior garante que φ é uma aplicação de recobrimento. 2

Corolário 7.5 Suponha que o homomorfismo diferenciável φ : G→ H é uma imersão.Então, φ : G→ imφ é uma aplicação de recobrimento.

7.1.2 Gráficos e diferenciabilidade

Dados os grupos G e H, uma aplicação φ : G → H é um homomorfismo de gruposse, e só se, o seu gráfico grafφ = (x, φ (x)) : x ∈ G é um subgrupo de G × H.Quando isso ocorre, os grupos G e grafφ são isomorfos, via a projeção p : grafφ→ G,p (x, φ (x)) = x, cuja inversa é

l : x ∈ G 7→ (x, φ (x)) ∈ grafφ.

O homomorfismo φ é recuperado por l pela fórmula φ = π2 l„onde π2 é a projeçãosobre H.No contexto topológico um homomorfismo φ : G → H é contínuo se, e só se seu

gráfico é um subgrupo fechado no caso em que H é de Hausdorff (veja proposição 2.9).Um critério semelhante vale para os homomorfismos diferenciáveis.

Proposição 7.6 Sejam G e H grupos de Lie. Uma aplicação φ : G → H é umhomomorfismo diferenciável se, e só se, o seu gráfico

grafφ = (x, φ (x)) ∈ G×H : x ∈ G

é um subgrupo de Lie fechado de G×H difeomorfo a G, pela projeção p (x, φ (x)) = x.

Demonstração: Se o gráfico é um subgrupo de Lie fechado difeomorfo a G via aprojeção então a igualdade φ = π2 l mostra que φ é diferenciável.A recíproca é consequência de um resultado geral sobre aplicações entre varieda-

des: se φ é diferenciável então seu gráfico é uma subvariedade mergulhada e fechada,difeomorfa ao domínio. Por isso se φ é diferenciável então grafφ é subgrupo de Lie. 2

A interpretação da diferenciabilidade em termos do gráfico combinada com o teo-rema do subgrupo fechado permite mostrar que homomorfismos contínuos entre gruposde Lie são, na verdade, diferenciáveis.

Teorema 7.7 Sejam G e H grupos de Lie e φ : G→ H um homomorfismo contínuo.Então, φ é diferenciável.

Demonstração: Pode-se supor sem perda de generalidade que G é conexo, já que ohomomorfismo φ é diferenciável se, e só se ele é diferenciável no elemento neutro. Alémdo mais, se grafφ ⊂ G ×H é fechado então graf

(φ|G0

)⊂ G0 ×H também é fechado

pois G0 é fechado em G.

7.2. Extensões de homomorfismos 151

Agora, a continuidade de φ implica que grafφ é um subgrupo fechado, e portantode Lie, de G × H homeomorfo a G via a projeção p : grafφ → G. Essa projeção éum homomorfismo diferenciável. A sua injetividade implica que ker dp(1,1) é injetorae portanto p é uma imersão. Já a sobrejetividade de p implica que o homomorfismoinfinitesimal dp(1,1) é sobrejetor e, portanto, p é submersão.Daí que p é um difeomorfismo, o que garante que φ = π2 p−1 é diferenciável. 2

Exemplo: O teorema acima é uma generalização ampla do fato de que os homomor-fismos contínuos do grupo aditivo R são diferenciáveis. Para esse caso pode-se dar aseguinte demonstração elementar: se φ : R→ R é um homomorfismo então para todointeiro n ∈ Z, φ (n) = nφ (1) e φ (1) = nφ (1/n), isto é, φ (1/n) = 1/nφ (1). Isso implicaque φ é linear quando R é visto como espaço vetorial sobre Q, isto é, φ (p/q) = p/qφ (1).Se além do mais φ é contínuo então ele é linear também sobre R. Em particular, φ édiferenciável. 2

7.2 Extensões de homomorfismos

O teorema 7.7 explorou a propriedade de subgrupo do gráfico de um homomorfismo,juntamente com o teorema do subgrupo fechado. O próximo passo é explorar a mesmapropriedade, levando em conta agora construção de subgrupos conexos no produtoCartesiano G ×H a partir das subálgebras de Lie da álgebra de Lie g × h de G ×H.O que se obtém daí são “extensões”de homomorfismos θ : g → h, de álgebras de Lie,a homomorfismos de grupos de Lie φ : G→ H, no sentido em que dφ1 = θ.Em geral essas extensões não são possíveis apesar de valerem localmente. O caso

global só funciona com a hipótese de que o domínio é simplesmente conexo.Sejam g e h álgebras de Lie. Da mesma forma que para aplicações entre grupos,

uma aplicação θ : g→ h é um homomorfismo se, e só se, o seu gráfico é uma subálgebrada álgebra produto g× h. Reciprocamente, um subespaço v de g× h é o gráfico de umhomomorfismo θ : g → h se, e só se, v é uma subálgebra isomorfa a g pela projeçãog× h, restrita a v. O gráfico do homomorfismo θ será denotado por g (θ).Suponha agora que g e h são as álgebras de Lie dos grupos de Lie G e H, respec-

tivamente. Então g× h é a álgebra de Lie de G×H. Seja G (θ) = 〈exp g (θ)〉 o únicosubgrupo de Lie conexo de G × H cuja álgebra de Lie é g (θ). O que seria desejávelé que G (θ) fosse o gráfico de um homomorfismo G → H, que estende θ, isto é, cujadiferencial é θ. No entanto, G (θ) nem sempre é o gráfico de uma aplicação entre G eH, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo: Seja G = S1 e H = R. Suas álgebras de Lie coincidem com R, a álgebraabeliana unidimensional. Os homomorfismos θ : R → R são da forma θa (X) = aX,a ∈ R. O gráfico de θa é a reta ra de equação u = av, (u, v) ∈ R2 e o subgrupoG (θa) ⊂ S1 × R é imagem de ra pela projeção canônica R× R → S1 × R. Geometri-camente, os grupos G (θa) são espirais se a 6= 0 e o círculo S1 × 0 se a = 0. Apenas


no caso a = 0, G (θa) é o gráfico de uma aplicação S1 → R (o homomorfismo trivial≡ 0). Se a 6= 0 então a projeção de G (θa) sobre S1 não é injetora e, portanto, não éum gráfico de função. 2

Antes de olhar a existência de estensões de homomorfismos de álgebras de Lie, aseguinte proposição assegura a unicidade dessas extensões, no caso em que o domínioé conexo.

Proposição 7.8 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectiva-mente. Sejam também φ, ψ : G→ H homomorfismos diferenciáveis tais que dφ1 = dψ1.Suponha que G é conexo. Então, φ = ψ.

Demonstração: Se X ∈ g então

φ(eX)

= edφ1(X) = edψ1(X) = ψ(eX)

daí que φ e ψ coincidem num produto eX1 · · · eXk , Xi ∈ g. Portanto, φ = ψ, pois G éconexo. 2

No caso em que G não é conexo, as extensões não são únicas. Por exemplo, seG é um grupo discreto então (dφ)1 = 0 para qualquer homomorfismo. Mas, se φ éhomomorfismo então Ch φ também é homomorfismo para todo h ∈ H. Em geral (seH não é abeliano), Ch φ 6= φ.Apesar de G (θ) não ser em geral o gráfico de uma aplicação, localmente ele é o

gráfico de um homomorfismo local, no seguinte sentido:

Definição 7.9 Um homomorfismo local entre os grupos de Lie G e H é uma apli-cação φ : U → H com 1 ∈ U ⊂ G vizinhança da identidade, tal que φ (g1g2) =φ (g1)φ (g2) sempre que g1, g2 e g1g2 estejam em U . Isso implica que se g, g−1 ∈ Uentão φ (g−1) = φ (g)−1. Se além do mais φ : U → V ⊂ H é difeomorfismo então φ éum isomorfismo local . Nesse caso φ−1 também é um homomorfismo local.

Para verificar que θ se estende a um homomorfismo local, denote por p : G (θ)→ Ga restrição a G (θ) ⊂ G×H da projeção G×H → G. É claro que p é um homomorfismodiferenciável G (θ)→ G. A diferencial dp1 de p no elemento neutro é a restrição a g (θ)da projeção g×h→ g, de onde segue que dp1 : g (θ)→ g é um isomorfismo de álgebrasde Lie, pois g (θ) é o gráfico de um homomorfismo.

Proposição 7.10 Seja θ : g→ h um homomorfismo. Então, existe um homomorfismolocal diferenciável φ : U ⊂ G→ H tal que dφ1 = θ.

Demonstração: Como dp1 é um isomorfismo, existem vizinhanças da identidadeV1 ⊂ G (θ) e U1 ⊂ G tal que a restrição pV : V1 → U1 de p a V1 é um difeomorfismo.Seja φ a inversa de pV , isto é, p

(φ (x)

)= x para todo x ∈ U1. Por definição p (x, y) = x,

se y ∈ H, daí que φ é da forma φ (x) = (x, φ (x)) com φ (x) ∈ H, para todo x ∈ U1.

7.2. Extensões de homomorfismos 153

Isso define a aplicação φ : U1 → H e como φ (x) percorre V1 quando x varia em U1, ográfico de φ é V1.Para obter o homomorfismo local, seja V ⊂ V1 uma vizinhança de 1 tal que V 2 ⊂ V1

e defina U = p (V ). Restringindo as aplicações a V e U , φ é um homomorfismo local.De fato, se g1, g2 e g1g2 estão em U , então φ (g1) = (g1, φ (g1)), φ (g2) = (g2, φ (g2)) eφ (g1g2) = (g1g2, φ (g1g2)) pertencem a V . Mas, G (θ) é um subgrupo de G×H o quegarante que

(g1, φ (g1)) (g2, φ (g2)) = (g1g2, φ (g1)φ (g2)) ∈ G (θ) .

Então, (g1g2, φ (g1)φ (g2)) ∈ V1 pois V 2 ⊂ V1. Como p é injetora e p (g1g2, φ (g1)φ (g2))coincide com p (g1g2, φ (g1g2)) segue que φ (g1g2) = φ (g1)φ (g2).Por fim, φ é diferenciável pois seu gráfico é a subvariedade V de G×H. 2

Corolário 7.11 Dois grupos de Lie são localmente isomorfos se, e só se, suas álgebrasde Lie são isomorfas.

Demonstração: Pela proposição um isomorfismo entre as álgebras de Lie se estendea um isomorfismo local entre os grupos. Vice-versa, a diferencial dφ1 é um isomorfismode álgebras de Lie se φ é um isomorfismo local. 2

O objetivo agora é estender o homomorfismo local a todo grupo G. Levando emconta propriedades topológicas globais de G, deve-se buscar condições para que G (θ)seja o gráfico de uma aplicação G→ H.A próxima proposição garante que, no caso conexo, G (θ) cumpre um dos requisitos

para ser gráfico de uma aplicação, qual seja o de que para todo g ∈ G existe h ∈ H talque (g, h) ∈ G (θ).

Proposição 7.12 Com as notações acima, a imagem da projeção p : G (θ) → G é acomponente conexa G0 do elemento neutro de G. Em particular, p é sobrejetora se Gé conexo.

Demonstração: Como dp1 é um isomorfismo, sua imagem tem interior não vazio emG e, portanto, é um subgrupo aberto, que contém a componente conexa do elementoneutro. Por outro lado a imagem de p é conexa pois G (θ) é conexo. 2

Agora é possível provar o teorema principal de extensões de homomorfismos. Esseteorema é conhecido como o principio da monodromia.

Teorema 7.13 Sejam G e H com álgebras de Lie g e h, respectivamente. Suponhaque G seja conexo e simplesmente conexo. Então, para todo homomorfismo θ : g → h

existe um único homomorfismo φ : G→ H tal que θ = dφ1.

Demonstração: Como anteriormente, seja g (θ) ⊂ g×h o gráfico de θ eG (θ) ⊂ G×Ho subgrupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie é g (θ). Por hipótese G é conexo, portanto


a proposição 7.12 garante que a projeção p : G (θ) → G é um homomorfismo diferen-ciável sobrejetor. Sua diferencial dp1 é um isomorfismo. Dessa forma, pela proposição7.4, p é uma aplicação de recobrimento. Porém, por hipótese G é simplesmente conexo.Portanto, p é um homeomorfismo. Em particular p é injetora o que garante que G (θ)é o gráfico de uma aplicação φ : G → H. A posteriori φ é um homomorfismo diferen-ciável, já que G (θ) é um subgrupo de Lie. Por fim, dφ1 = θ, já que o espaço tangenteà identidade de G (θ) é o gráfico de θ. A unicidade segue da proposição 7.8. 2

Como consequência desse teorema se conclui que a menos de isomorfismo, existe nomáximo um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g.

Corolário 7.14 Sejam G1 e G2 grupos de Lie conexos e simplesmente conexos comálgebras de Lie isomorfas. Então, G1 e G2 são isomorfos.

Demonstração: Sejam g1 e g2 as álgebras de Lie de G1 e G2, respectivamente eθ : g1 → g2 um isomorfismo. Denote por φ : G1 → G2 e ψ : G2 → G1 os homomorfis-mos com dφ1 = θ e dψ1 = θ−1. Pela unicidade das extensões, segue que φ ψ = idG2 eψ φ = idG1 , isto é, ψ

−1 = φ é um isomorfismo entre G1 e G2. 2

7.3 Recobrimento universal

O objetivo desta seção é concluir um dos programas da teoria de grupos de Lie, que éo de descrever os grupos de Lie conexos a partir das álgebras de Lie. Essa descrição seresume na seguinte teorema„cuja demonstração será feita ao longo dessa seção.

Teorema 7.15 Seja g uma álgebra de Lie real com dim g <∞. Então,

1. Existe um único (a menos de isomorfismo) grupo de Lie conexo e simplesmenteconexo G (g) com álgebra de Lie g.

2. Se G é grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g então G ≈ G (g) /Γ, ondeΓ ⊂ G (g) é um subgrupo discreto central, isto é, Γ está contido no centro

Z(G (g)

)de G (g). Nesse caso Γ é isomorfo ao grupo fundamental π1 (G).

Por esse teorema pode-se classificar os grupos de Lie conexos a partir de umaclassificação (a menos de isomorfismo) das álgebras de Lie reais e de uma descrição dos

centros Z(G (g)

)dos grupos simplesmente conexos G (g).

A unicidade de G (g) foi garantida pelo principio da monodromia (teorema 7.13) eseu corolário 7.14.No que diz respeito ao grupo simplesmente conexo G (g) falta mostrar sua existên-

cia. A parte que se refere ao quociente G = G (g) /Γ será obtida facilmente por umanova aplicação do principio da monodromia e será deixada para o final.A existência de G (g) é garantida em dois passos:

7.3. Recobrimento universal 155

1. Se g é uma álgebra de Lie real de dimensão finita então existe um grupo deLie conexo G com álgebra de Lie (isomorfa a) g. Esse resultado de existência éconhecido como o terceiro teorema de Lie.

2. Se G é um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g então o seu recobrimentosimplesmente conexo G admite uma estrutura de grupo de Lie cuja álgebra deLie é (isomorfa a) g.

Como foi mencionado nos exemplos da seção 6.2 uma forma de mostrar a existênciade algum grupo de Lie com uma determinada álgebra de Lie g é via os grupos lineares,em virtude do seguinte resultado sobre álgebras de Lie.

Teorema de Ado:Toda álgebra de Lie real de dimensão finita admite uma represen-tação fiel (isto é, injetora), também de dimensão finita.1

A imagem de uma representação fiel de g é uma álgebra de Lie de matrizes isomorfaa g e, portanto, é a álgebra de Lie de algum grupo conexo.Agora pode-se fixar um grupo de Lie conexo G com álgebra de Lie g e aplicar

a teoria de espaços de recobrimentos para construir uma estrutura de grupo de Lieno espaço G, recobrimento universal simplesmente conexo de G. (Veja um resumodessa teoria no apêndice a este capítulo.) A existência do espaço G se deve a que G élocalmente conexo. Além do mais, G é uma variedade diferenciável tal que a aplicaçãode recobrimento π : G→ G é um difeomorfismo local.

Teorema 7.16 Seja G um grupo de Lie conexo. Denote por π : G→ G o recobrimentouniversal da variedade subjacente e escolha um elemento 1 ∈ G com π

(1)

= 1. Então,

existe um único produto em G, que o torna um grupo de Lie, de tal forma que 1 é oelemento neutro e π é um homomorfismo. As álgebras de Lie de G e G são isomorfas.

Demonstração: O produto em G é obtido através do levantamento do produto emp : G×G→ G da seguinte maneira: seja q : G× G→ G a aplicação diferenciável dadapor

q (x, y) = p (π (x) , π (y)) .

Como G × G é simplesmente conexo, existe uma única aplicação diferenciável p :

G× G→ G, levantamento de q, tal que p(

1, 1)

= 1:

G× G p−→ G↓ π q ↓ π

G×G p−→ G

(Veja o item (4) na seção 7.4.)

1Veja Álgebras de Lie [49], capítulo 10. A demonstração do teorema de Ado é bastante envolventedo ponto de vista algébrico. No entanto a demonstração é trivial para álgebras de Lie com centro 0,como ocorre com as álgebras semi-simples.


O produto em G definido por p satisfaz os axiomas de grupo. Isso se demonstraexplorando reiteradamente a existência e unicidade de levantamentos como segue:

1. 1 é elemento neutro, pois a aplicação x ∈ G 7→ p(

1, x)∈ G é um levantamento

de x ∈ G 7→ q(

1, x)∈ G. Esta aplicação é nada mais nada menos que a projeção

π : G→ G. Como, por definição, p(

1, 1)

= 1 segue que p(

1, x)

= x pois o únicolevantamento que fixa um ponto é a identidade. Da mesma forma, se mostra quep(x, 1)

= x.

2. O único levantamento ι da aplicação x ∈ G 7→ π (x)−1 ∈ G, que satisfaz ι(

1)

= 1

define a inversa em G. De fato, a aplicação x ∈ G 7→ p (x, ι (x)) ∈ G é umlevantamento da aplicação constante x ∈ G 7→ 1 ∈ G. Como x ∈ G 7→ 1 ∈ Gtambém é um levantamento e ambas coincidem em 1, segue que p (x, ι (x)) éconstante, igual a 1, mostrando que ι (x) = x−1.

3. A associatividade segue do fato que as aplicações G× G× G→ G determinadaspelos produtos x (yz) e (xy) z são levantamentos da aplicação G3 → G dada por

π (x) π (y) π (z). Ambos os levantamentos coincidem em(

1, 1, 1), portanto eles

coincidem.

As construções de q e p mostram que

πp (x, y) = q (x, y) = p (πx, πy)

portanto, π é um homomorfismo. Reciprocamente, essas igualdades mostram que qual-quer levantamento de q satisfaz a propriedade de homomorfismo. Da unicidade doslevantamentos segue então a unicidade do produto em G.Por fim dπ1 é um isomorfismo entre as álgebras de Lie de G e G. 2

Na construção do teorema acima o ponto de partida foi um grupo de Lie conexo Garbitrário. O fato de π ser um homomorfismo sobrejetor, garante então queG é isomorfoao quociente G/ kerπ. Com isso as seguintes observações concluem a demonstração daprimeira parte do item (2) do teorema 7.15.

1. Γ = ker π é um subgrupo discreto, pois π é um isomorfismo local.

2. Se Γ ⊂ L é um subgrupo normal e discreto do grupo conexo L então Γ ⊂ Z (L)(veja o exercício 10 do capítulo 2). De fato, tome γ ∈ Γ e seja U ⊂ L um abertotal que γU ∩ Γ = γ. A continuidade da aplicação l ∈ L 7→ lγl−1 ∈ G implicalγl−1 ∈ γU para l numa vizinhança V do elemento neutro. Como Γ é normal,segue que lγl−1 = γ, isto é, l comuta com γ se l ∈ V . Portanto γ comuta comqualquer x ∈ L, que é produto de elementos de V , isto é, γ ∈ Z (L).


A única afirmação do teorema 7.15 que falta verificar é o isomorfismo entre o sub-grupo discreto e o grupo fundamental, o que segue do que seguinte fato geral.

Proposição 7.17 Sejam G um grupo conexo e simplesmente conexo e Γ ⊂ G umsubgrupo discreto e normal (isto é, Γ ⊂ Z

(G)). Então, Γ é isomorfo a π1 (G) se

G = G/Γ.

Demonstração: O recobrimento universal de G é π : G → G. Portanto, o grupofundamental π1 (G) é isomorfo ao grupo Λ dos levantamentos contínuos de π, isto é, ogrupo das aplicações contínuas θ : G→ G tais que π θ = π (veja o item (8) da seção7.4).Se g ∈ Γ então a translação à direita Dg ∈ Λ, o que permite definir o homomorfismo

g ∈ Γ 7→ Dg ∈ Λ,

que é injetor pois se Dg = id então g = 1. Para ver que ele é sobrejetor tome θ ∈ Λ.Então, πθ (1) = π (1), o que significa que θ (1) ∈ Γ. Agora, Dθ(1) e θ são dois levanta-mentos de π com a mesma condição inicial Dθ(1) (1) = θ (1). Como o levantamento éúnico, se conclui que Dθ(1) = θ, mostrando o isomorfismo entre Γ e Λ ≈ π1 (G). 2

Corolário 7.18 O grupo fundamental de um grupo de Lie conexo G é abeliano.

Demonstração: De fato, se G = G/Γ então Γ ≈ π1 (G) é central e, portanto,abeliano. 2

Corolário 7.19 Dois grupos de Lie conexos são localmente isomorfos se, e só se,seus recobrimentos universais são isomorfos.

A seguir são apresentados alguns exemplos concretos de grupos de Lie simplesmenteconexos e seus centros. Adiante será feita uma análise geral para as diferentes classesde álgebras de Lie.

Exemplos:

1. O grupo aditivo (R,+) é o único grupo de Lie simplesmente conexo de dimensão1 pois as álgebras de Lie unidimensionais são todas isomorfas. Seja Γ ⊂ R umsubgrupo discreto com Γ 6= 0. Então,

ω = infx ∈ Γ : x > 0

existe e é nescessariamente > 0. Como Γ é fechado, ω ∈ Γ e daí que Zω ⊂ Γ. Ainclusão contrária é verdadeira pois se x ∈ Γ então é possível escrever x = nω+ qcom n ∈ Z e 0 ≤ q < ω. Nesse caso q = x − nω ∈ Γ o que força q = 0, pois ocontrário contradiz a definição de ω.

Em suma, Γ = Zω e R/Γ ≈ S1, mostrando R e S1 são os únicos grupos de Lieconexos de dimensão 1.


2. Um grupo de Lie conexo é abeliano se, e só se, sua álgebra de Lie for abeliana.Dessa forma, para determinar esses grupos basta exibir um grupo simplesmenteconexo abeliano G e determinar seus subgrupos discretos (pois todos eles estãocontidos no centro de G). Como G pode-se tomar o grupo aditivo Rn. Ossubgrupos discretos de Rn são isomorfos a Zk, k = 1, . . . , n. De fato, vale oseguinte resultado: seja V um espaço vetorial real de dimensão n e H ⊂ V umsubgrupo discreto do grupo aditivo de V tal que H 6= 1. Então, existe umconjunto linearmente independente v1, . . . , vk, 1 ≤ k ≤ n, tal que

H = n1v1 + · · ·+ nkvk : ni ∈ Z.

A demonstração disso é feita por indução sobre n. Em primeiro lugar, para n = 1,os subgrupos discretos da reta real R são da forma Zω com ω ∈ R e, portanto,da forma desejada (veja o exemplo anterior).

Para n ≥ 2, suponha que V é munido de um produto interno 〈·, ·〉. O fato de Hser discreto garante que o ínfimo

inf|v| ∈ R : v ∈ H, v 6= 0

é atingido, isto é, existe v1 ∈ H tal que |v1| é mínimo entre os comprimentosdos elementos não nulos de H. Seja 〈v1〉 o espaço gerado por v1. O subgrupo〈v1〉 ∩ H = Zv1, já que v1 tem comprimento mínimo em H. Além do mais, aescolha de v1 garante que a bola B (0, |v1| /3) de centro 0 e raio |v1| /3 interceptaH apenas na origem.

Denote por p : V → V/〈v1〉 a projeção canônica sobre o espaço quociente V/〈v1〉de dimensão n − 1 e considere o subgrupo p (H). Este subgrupo é discreto em

V/〈v1〉. Isso é mostrado verificando que a bola U = B

(0,

1

3|v1|)satisfaz p (U)∩

p (H) = 0. Considere o conjunto

p−1 (p (U)) = U + 〈v1〉.

Um elemento x desse conjunto é da forma x = av1 + u, a ∈ R, u ∈ U . Suponhaav1 +u ∈ H. Se n é a parte inteira de a então (a− n) v1 +u e (a− (n+ 1)) v1 +u

estão em H. Daí que existe b com |b| ≤ 1

2tal que bv1 + u ∈ H. Mas, bv1 +

u ⊂ B (0, |v1|) pois |bv1| ≤1

2|v1| e |u| ≤

1

3|v1|. Pela escolha de v1, segue que

bv1 + u = 0, o que implica que u ∈ 〈v1〉. Isso mostra que

p−1 (p (U)) ∩H = 〈v1〉 ∩H.

Como esta igualdade é equivalente a p (U) ∩ p (H) = 0, o subgrupo p (H) édiscreto em V/〈v1〉.Pela hipótese de indução existem elementos linearmente independentesw2, . . . , wk ∈V/〈v1〉, 1 ≤ k ≤ n tal que

p (H) = Z · w2 + · · ·+ Z · wk.


Tomando representantes em V esses elementos se escrevem como wi = [vi], i =2, . . . , k. O conjunto v1, v2, . . . , , vk é linearmente independente em V . Porconstrução todo elemento de x ∈ H se escreve como

x = av1 + n2v2 + · · ·+ nkvk

com ni ∈ Z. Para concluir a demonstração só falta verificar que a ∈ Z. Masn2v2 + · · ·+ nkvk ∈ H e, portanto, av1 ∈ H e daí que a ∈ Z.Essa descrição dos subgrupos discretos mostra que, a menos de conjugação (es-colha de uma base), os subgrupos discretos de Rn são da forma

Zk = (x1, . . . , xk, 0, . . . , , 0) : xi ∈ Z.

Portanto, os grupos de Lie abelianos conexos são da forma Rn/Zk, n ≥ 0, k =0, . . . , n. No caso em que k = n, Rn/Zn é o toro Tn, enquanto que Rn/Zk ≈Rn−k × Tk. Em particular, os únicos grupos de Lie conexos abelianos que sãocompactos são os toros Tn, n ≥ 0.

3. O grupo afim Af (1) tem dimensão dois e duas componentes conexas. Sua álgebrade Lie af (1) é a única álgebra de Lie bidimensional que não é abeliana. A com-ponente conexa da identidade Af (1)0 é difeomorfa a R+×R, que é simplesmenteconexo. Por outro lado, o centro de Af (1) é trivial pois se (a, v) ∈ Af (1) comutacom (b, w) então aw + v = bv + w. Se isso ocorre para todo (b, w), então v = 0(tomando w = 0) e, portanto, a = 1. Consequentemente, Af (1)0 é o único grupode Lie conexo não-abeliano de dimensão dois. (Existem, portanto, quatro gruposde Lie conexos de dimensão dois: os abelianos R2, T1 × R e T2 juntamente como não-abeliano Af (1)0.)

4. O grupo conexo Gl+ (2,R) tem a seguinte estrutura geométrica: seja g umamatriz 2× 2, inversível. As colunas de g formam uma base de R2. O processo deortonormalização de Gram-Schmidt aplicado a essa base consiste em multiplicarg à direita por uma matriz triangular superior da forma

t =

(a x0 b

)com a, b > 0, obtendo a matriz gt = u cujas colunas formam uma base ortonor-mal, isto é, u é uma matriz ortogonal. Como det g > 0 e det t = ab, segue quedetu > 0, isto é, u ∈ SO (2). Portanto, Gl+ (2,R) = SO (2)T onde T é o grupodas matrizes triangulares superiores com entradas positivas na diagonal. Os gru-pos SO (2) e T são conexos com SO (2) difeomorfo ao círculo S1 e T difeomorfoa R3.

A aplicação φ : SO (2) × T → Gl+ (2,R), dada por φ (u, t) = ut é um dife-omorfismo. Ela é sobrejetora pelo processo de ortonormalização. Por outrolado, φ é injetora pois SO (2) ∩ T = 1 (e dai que u1t1 = u2t2 implica queu−1

1 u2 = t1t−12 = 1), além do mais, dφ(u,t) é um isomorfismo para cada (u, t) (a


verificação disto usa o fato de que a única matriz anti-simétrica que é ao mesmotempo triangular superior é a matriz nula). Portanto, Gl+ (2,R) é difeomorfo aocilindro S1 × R3 e seu recobrimento universal é difeomorfo a R4.

Os mesmos argumentos valem para Sl (2,R) que se decompõe em Sl (2,R) =SO (2)T1 onde T1 é o grupo das matrizes triangulares superiores de determinante1 e elementos positivos na diagonal. Esse grupo é difeomorfo a R2 e assim Sl (2,R)é difeomorfo a S1 × R2 e seu recobrimento simplesmente conexo é difeomorfo aR3. Essa construção é um caso particular da decomposição de Iwasawa que seráconsiderada no capítulo 12.

5. SejaSp (1) = q ∈ H : |q| = 1

a esfera unitária dos quatérnionsH. A álgebra de Lie de Sp (1) é o espaço tangenteao elemento neutro que é a álgebra dos quatérnions imaginários. Essa álgebra deLie é isomorfa a so (3). Portanto, Sp (1) é o único grupo simplesmente conexocom álgebra de Lie so (3).

Como a álgebra de Lie de SO (3) também é so (3), a teoria geral garante queexiste um homomorfismos sobrejetor φ : Sp (1) → SO (3) cujo núcleo é um sub-grupo discreto central de Sp (1). Esse homomorfismo é dado concretamente pelarepresentação adjunta de Sp (1) em sua álgebra de Lie. Em termos do produtode quatérnions Ad (z) (w) = zwz−1 = zwz, z ∈ Sp (1) e w = −w. Para todoz ∈ Sp (3), Ad (z) é uma isometria. Portanto, a imagem de Ad é um sub-grupo conexo de dimensão três de SO (3), daí que Ad (Sp (1)) = SO (3), isto é,Ad : Sp (1)→ SO (3) é um homomorfismo sobrejetor. O núcleo de Ad é o centrode Sp (1), que é Z (Sp (1)) = ±1. Portanto, Sp (1)→ SO (3) é um recobrimentoduplo, e daí que o grupo fundamental de SO (3) é isomorfo a Z2 = ker Ad.

2

7.4 Apêndice: espaços de recobrimento (resumo)

A seguir estão catalogados alguns resultados sobre espaços de recobrimento, que foramutilizados na construção do recobrimento universal de um grupo de Lie.

1. Uma aplicação entre espaços topológicos localmente conexos f : A → B é umaaplicação de recobrimento se para todo x ∈ B, uma vizinhança V 3 x tal quea restrição de f a cada componente conexa C de f−1 (V ) é um homeomorfismoentre C e V .

2. Seja X um espaço topológico conexo e localmente conexo por caminhos. En-tão, existe um recobrimento π : X → X, que é simplesmente conexo, isto é,o grupo fundamental π1

(X)é trivial. Esse recobrimento é único (a menos de

homeomorfismo) e é denominado de recobrimento universal de X.

7.4. Apêndice: espaços de recobrimento (resumo) 161

3. Em particular, uma variedade diferenciável conexa M pode-se considerar o seurecobrimento universal π : M → M . Nesse caso, M também é uma variedadediferenciável e π é um difeomorfismo local. (As cartas de M são definidas com-pondo as cartas de M com a projeção π, em domínios devidamente escolhidos.)

4. Aplicações contínuas podem ser levantadas ao recobrimento universal de acordocom o seguinte enunciado: seja X um espaço topológico conexo e localmenteconexo por caminhos e π : X → X o seu recobrimento universal. Sejam Yum espaço simplesmente conexo e f : Y → X uma aplicação contínua. Tomex ∈ X, z ∈ X e y ∈ Y tal que π (z) = x e f (y) = x. Então, existe um únicolevantamento f = fx,y,z : Y → X tal que f (y) = z e π f = f , isto é, tal que oseguinte diagrama é comutativo:

y ∈ Y?

f

-

*

f

π

X 3 z

X 3 x

5. No item anterior se X e Y são variedades e f diferenciável então f também édiferenciável.

6. Um caso particular de levantamento de aplicações contínuas (ou diferenciáveis)é quando se toma Y = X e f = π. Então, um levantamento πx,y,z satisfazπ πx,y,z = π e é homeomorfismo de X (a inversa de πx,y,z é πx,z,y).

Toda aplicação θ : X → X que satisfaz π θ = π é um levantamento de π. Alémdo mais, o conjunto Λ dos levantamentos contínuos de π forma um grupo com acomposição.

7. Se x ∈ X e y ∈ π−1x são fixados então os levantamentos πx,y,z, z ∈ π−1xexaurem o grupo Λ do item anterior. Portanto, Λ está em bijeção com π−1x.

8. O grupo Λ é isomorfo ao grupo fundamental π1 (X). Isomorfismos são obtidosfixando x ∈ X e y ∈ π−1x: uma curva contínua fechada α : [0, 1] → X comα (0) = α (1) = x se levanta de maneira única a uma curva α : [0, 1] → X comα (0) = y. Se [α] ∈ π1 (X, x) denota a classe de homotopia de α então a aplicação[α] 7→ πx,y,α(1) ∈ Λ é bem definida e estabelece um isomorfismo entre π1 (X, x) eΛ.


7.5 Exercícios

1. Seja φ : G → H um homomorfismo contínuo e inversível entre grupos de Lie.Mostre que φ é um isomorfismo, isto é, φ−1 é homomorfismo diferenciável. Façao mesmo para o caso de um isomorfismo local.

2. Sejam G e H grupos de Lie conexos e denote por G e H seus recobrimentossimplesmente conexos. Mostre que G× H é o recobrimento universal de G×H.Generalize para um produto com mais de dois fatores.

3. Use o processo de ortonormalizzção de Gram-Schmidt para generalizar a Gl+ (n,R),Sl(n,R), Gl(n,C) e Sl(n,C) o exemplo de Gl+ (2,R) dado no texto.

4. Mostre que os grupos fundamentais de Sl (n,R) e Gl+ (n,R) coincidem com ogrupo fundamental de SO (n). O que se pode dizer sobre os grupos fundamentaisde Sl (n,C) e Gl (n,C)?

5. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita tal que [X, [Y, Z]] = 0 para todoX, Y, Z ∈ g. Encontre o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo associado ag. (Veja o exercício 22 do capítulo 5.)

6. Sejam G um grupo de Lie conexo com dimG = 2 e exp : g → G sua aplicaçãoexponencial. Mostre que exp é uma aplicação de recobrimento.

7. SejaK um grupo de Lie abeliano compacto. Mostre que o conjunto dos elementosx ∈ K de ordem finita (isto é, xk = 1, para algum k ∈ N) é denso em K.

8. Use o exercício anterior para mostrar que Sl (2,R) é difeomorfo a S1 × R2, tem

grupo fundamental Z e o seu recobrimento universal ˜Sl (2,R) é difeomorfo a R3.

Mostre também que o centro de ˜Sl (2,R) é isomorfo a Z.

9. Descreva todos os grupos de Lie conexos cuja álgebra de Lie é sl (2,R).

10. Seja G = Rn × Tm um grupo abeliano conexo e denote por G o conjunto doshomomorfismos diferenciáveis φ : G → S1. Mostre que existe uma bijeção entreG e uma subvariedade diferenciável do dual (Rn+m)

∗ difeomorfa a Rn×Zm. Em G

defina o produto pontualmente por (φψ) (g) = φ (g)ψ (g). Verifique que φψ ∈ G(pois S1 é abeliano) e que esse produto define uma estrutura de grupo de Lie emG.

11. Sejam G o grupo das matrizes 1 x z0 1 y0 0 1

com x, y, z ∈ R e Γ ⊂ G o subgrupo das matrizes com entradas em Z. Mostreque a variedade G/Γ não admite uma estrutura de grupo que a transforma numgrupo de Lie.


12. Denote por Sl (2,Z) o conjunto das matrizes 2 × 2 com entradas inteiras e de-terminante 1. Verifique que Sl (2,Z) é um subgrupo fechado de Sl (2,R). Mostreque não existe nenhuma estrutura de grupo na variedade Sl (2,R) /Sl (2,Z), quea torna um grupo de Lie.

13. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Suponha que existamideais a, b ⊂ g tais que g = a ⊕ b. Defina os subgrupos conexos A = 〈exp a〉e B = 〈exp b〉. Mostre que G = AB = BA, isto é, a aplicação A × B → G,(a, b) 7→ ab é sobrejetora.

Mostre também que se as aplicações exponenciais de A e B são sobrejetoras entãoa exponencial em G também é sobrejetora. (Sugestões: passe ao recobrimentouniversal. Compare com o exercício 15 do capítulo 6.)

14. Dados os grupo de Lie conexos G e H denote por πG : G → G e πH : H → Hos recobrimentos universais. Seja φ : G → H um homomorfismo diferenciável.Mostre que existe um único homomorfismo φ : G→ H tal que πH φ = φ πG.Mostre também que um homomorfismo θ : g→ h, entre as álgebras de Lie de Ge H, se estende a um homomorfismo entre G e H se, e só se kerφ ⊂ kerπG ondeφ : G→ H é tal que dφ1 = θ.

15. Sejam G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e Γ1,Γ2 ⊂ G subgruposdiscretos e centrais. Mostre que G1 = G/Γ1 é isomorfo a G2 = G/Γ2 se, e só se,

existe um automorfismo φ ∈ Aut(G)tal que φ (Γ1) = Γ2.

Dê exemplos em que G1 não é isomorfo a G2 e, no entanto, Γ1 é isomorfo a Γ2,isto é, π1 (G1) ≈ π1 (G2).

16. Sejam G um grupo de Lie conexo e H um subgrupo fechado e conexo. Mostreque G é simplesmente conexo se H e G/H são simplesmente conexos. (Sugestão:escreva G = G/Γ, verifique que G/H ≈ G/H ′ onde H ′ = π−1 (H) e π : G → Gé a projeção canônica. Verifique que H = H ′/ (H ′ ∩ Γ) e mostre que H ′ nãoé conexo. Por fim considere o recobrimento G/H ′0 → G/H ′ ≈ G/H.) (Outrasugestão: use a sequência exata longa de homotopia para fibrações.)

17. Mostre que o grupo de Lie SU (n), n ≥ 1, é simplesmente conexo. Faça o mesmopara o grupo Sp (n) das matrizes quaternionicas unitárias. (Sugestão: em am-bos os casos pode-se escrever esferas de dimensões convenientes como espaçoshomogêneos dos grupos.)

18. Mostre que SO (n), n ≥ 2, não é simplesmente conexo e que o grupo fundamentalπ1 (SO (n)) ≈ Z2 se n ≥ 3.

19. Este exercício tem por objetivo mostrar que o grupo fundamental de um grupode Lie G conexo é abeliano, diretamente usando homotopias de curvas. Denote


por [α] a classe de homotopia da curva α. Seja γ : [0, 1]→ G uma curva contínuacom γ (0) = γ (1) = 1 e defina as curvas γ, γ : [0, 1]→ G por

γ (t) =

1 t ∈

[0, 1

2

]γ (2t− 1) t ∈

[12, 1] γ (t) =

γ (2t) t ∈

[0, 1

2

]1 t ∈

[12, 1]

que percorrem γ na segunda e primeir metade de [0, 1], respectivamente.

(a) Mostre que [γ] = [γ] = [γ]. Sugestão: defina as homotopias

H (t, s) =

1 t ∈

[0, s

2

]γ(

2t−s2−s)

t ∈[s2, 1] γ (t) =

γ(

2t2−s)

t ∈[0, 2−s

2

]1 t ∈

[2−s

2, 1]

(b) Dadas as curvas fechadas γ1, γ2 : [0, 1] → G que iniciam e terminam em1 ∈ G considere as curvas γ1 (t) γ2 (t) e γ1 (t) γ2 (t) (produto em G). Mostreque

γ1 (t) γ2 (t) =

γ1 (2t) t ∈

[0, 1

2

]γ2 (2t− 1) t ∈

[12, 1]

γ1 (t) γ2 (t) =

γ2 (2t) t ∈

[0, 1

2

]γ1 (2t− 1) t ∈

[12, 1]

(c) Use o item anterior para verificar que [γ1γ2] = [γ1] [γ2] e [γ1γ2] = [γ2] [γ1] econclua que [γ1] [γ2] = [γ2] [γ1].

Capítulo 8

Expansões em séries

8.1 Diferencial da aplicação exponencial

A exponencial exp : g → G no grupo de Lie G é uma aplicação diferenciável. Suadiferencial na origem d (exp)0 : g→ g é a identidade de g = T1G.Já paraX ∈ g a diferencial d (exp)X é uma aplicação linear entre g = T1G e o espaço

tangente TeXG. Transladando à esquerda obtém-se a aplicação linear TX : g→ g dadapor

TX = dEe−X d (exp)X . (8.1)

Essa aplicação é dada por uma série de potências em ad (X), como será mostrado aolongo desta seção.

Teorema 8.1 Dado X ∈ g seja TX a translação à esquerda de d (exp)X , definida em(8.1). Então,

TX =∑k≥0

1

(k + 1)!(ad (X))k . (8.2)

Nesta expressão para TX está pressuposto que a estrutura de álgebra de Lie emg = T1G é dada pelo colchete entre campos invariantes à direita. Caso seja usadoo colchete entre campos invariantes à esquerda, deve-se mudar o sinal de ad. Dessaforma, denote por add (X) a adjunta obtida pelos campos invariantes e por ade a obtidapelos campos invariantes à esquerda. Então ade (X) = −add (X). Com essas notaçõesa fórmula para a diferencial da exponencial é dada por

TX =∑k≥0

1

(k + 1)!(add (X))k =

∑k≥0

(−1)k

(k + 1)!(ade (X))k .

Essas séries podem ser escritas de forma mais concisa, levando em conta que a série depotências ∑

k≥0

1

(k + 1)!zk

165

166 Capítulo 8. Expansões em séries

na variável z representa a função (real ou complexa) f (z) =ez − 1

z. Portanto, TX =

f (ad (X)), isto é,

TX =eadd(X) − 1

add (X)=

1− e−ade(X)

ade (X).

A demonstração do teorema 8.2 será feita em duas partes. Em primeiro lugar afórmula para a diferencial da exponencial será deduzida para os grupos lineares, isto é,para os subgrupos de Gl (n,R). Posteriormente, usando o teorema de Ado, que garanteo isomorfismo local entre um grupo de Lie qualquer e um grupo linear, a fórmula seráestendida aos grupos de Lie gerais.Dados X, Y ∈ g, TX (Y ) = dEexp(−X) · d (exp)X (Y ) é a derivada

d

dt

(e−XeX+tY

)|t=0

= exp (−X)d

dt

(eX+tY

)|t=0

.

No caso de um grupo linear eX é dado pela série de potências∑

k≥0

1

k!Xk, o que pos-

sibilita calcular a derivadad

dt

(eX+tY

)|t=0

explicitamente como uma série de potências

em ad. A seguir essa derivada será calculada através de manipulações de séries. Essasmanipulações envolvem a mudança de ordem e a associatividade de termos de sériesde potências, que são justificadas pela convergência em norma das séries envolvidas.(Nesse caso é conveniente tomar a norma de operador que satisfaz ‖XY ‖ ≤ ‖X‖·‖Y ‖.)Pelo fato da série da exponencial ser normalmente convergente vale

d

dt

(eX+tY

)|t=0

=∑k≥1

1

k!

d

dt(X + tY )k|t=0 .

A derivada de um produto de matrizes fornece

d

dt

(eX+tY

)|t=0

=

k−1∑i=0

Xk−i+1Y X i.

Portanto,

d

dt

(eX+tY

)|t=0

=∑k≥1

k−1∑i=0

1

k!Xk−i+1Y X i. (8.3)

As parcelas dessa soma são reescritas através da seguinte fórmula de comutação, que éválida em uma álgebra associativa qualquer.

Lema 8.2 Seja A uma álgebra associativa e tome x, y ∈ A. Se add(x)y = yx − xy,então para para todo n ≥ 1 vale

yxn =

n∑p=0

(n

p

)xn−p(add(x)py). (8.4)

8.1. Diferencial da aplicação exponencial 167

A demonstração desse lema é feita por uma indução simples1.

Substituindo (8.4) em (8.3), segue qued

dt

(eX+tY

)|t=0

é dado por

∑k≥1

k−1∑i=0

i∑j=0

1

k!

(ij

)Xk−i−1X i−jad (X)j (Y )

=∑k≥1

k−1∑i=0

i∑j=0

1

k!

(ij

)Xk−j−1ad (X)j (Y )

onde ad = add. A idéia agora é escrever essa soma como série de potências emad (X)j (Y ). Para isso seus termos são reordenados da seguinte forma

∑k≥1

k−1∑i=0

i∑j=0

=∑k≥1

k−1∑j=0

k−1∑i=j

=∑j≥0

∑k≥j+1

k−1∑i=j

,

obtendo para a diferencial a expressão∑j≥0

∑k≥j+1

1

k!Xk−j−1ad (X)j (Y )

(k−1∑i=j

(ij

)). (8.5)

A soma colocada entre parênteses é avaliada pelos seguinte lema sobre coeficientesbinomiais.

Lema 8.3∑k−1

i=j

(ij

)=

(k

j + 1

).

Demonstração: Segue por indução usando a igualdade(nj

)+

(n

j + 1

)=

(n+ 1j + 1

)começando com

(jj

)+

(j + 1j

)= j + 2 =

(j + 2j + 1

). 2

Portanto, a expressão (8.5) para a derivada se reduz a∑j≥0

∑k≥j+1

1

k!

(k

j + 1

)Xk−j−1ad (X)j (Y )

=∑j≥0

∑k≥j+1

1

(j + 1)! (k − j − 1)!Xk−j−1ad (X)j (Y ) .

Pondo r = k − j − 1, chega-se finalmente a∑j≥0

1

(j + 1)!

(∑r·≥0

1

r!Xr

)ad (X)j (Y ) ,

1Veja Álgebras de Lie [49], proposição 2.7.


isto é,d

dt

(eX+tY

)|t=0

= eX∑j≥0

1

(j + 1)!ad (X)j (Y ) .

Multilicando à esquerda por e−X segue que

TX =∑j≥0

1

(j + 1)!ad (X)j (Y ) ,

lembrando que ad = add devido à fórmula de comutação (8.4). Isso conclui a demon-stração do teorema 8.2 para os grupos lineares.O caso geral segue do teorema de representação de Ado e do seguinte lema. O caso

geral segue da seguinte observação.

Lema 8.4 Seja φ : G→ H um homomorfismo e denote por expG e expH as exponen-ciais em G e H respectivamente. Escreva TGX e THY para os transladados (8.1) em G eH. Então,

dφ1

(TGX)

= THdφ1(X).

Demonstração: Como φ é homomorfismo, φ expG = expH dφ1, portanto, seY = dφ1 (X) então

dφexpGX d (expG)X = d (expH)Y dφ1 (X) .

Aplicando, nessa igualdade, a translação à esquerda dEexpH(−Y ), fica

d(EexpH(−Y )

)expH Y

dφexpGX d (expG)X = THY dφ1 (X) . (8.6)

Porém, φ EexpG(−X) = Eφ(expG(−X)) φ = EexpH(−Y ) φ. Substituindo esta igualdadeem (8.6), usando a regra da cadeia, chega-se a

dφ1

(TGX)

= d(φ EexpG(−X)

)expGX

d (expG)X

= THY dφ1 (X)

que é a fórmula do enunciado. 2

Para concluir a demonstração do teorema 8.1 no caso geral, basta agora aplicarduas vezes o lema acima usando o teorema de Ado que garante que toda álgebra deLie é isomorfa a uma álgebra linear. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g.Tomando uma representação fiel ρ de g seja H = 〈exp ρ (g)〉. As álgebras de Lie g eh = ρ (g) de G e H são isomorfas. Dessa forma recobrimento universal G de ambos osgrupos é o mesmo e existem homomorfismos φ : G → G e ψ : G → H tais que dφ1 edψ1 são isomorfismos. Portanto, usando a notação do lema, se obtém para X ∈ g,

TGX = dφ1

(T G

(dφ1)−1(X)

)= dφ1 (dψ1)−1 THY

8.2. Série de Baker-Campbell-Hausdorff 169

onde Y = θ (X) e θ = dψ1 (dφ1)−1. Como o teorema vale no grupo linear H segueque

TGX = θ−1∑k≥0

1

(k + 1)!(ad (θX))k

=∑k≥0

1

(k + 1)!(ad (X))k

pois θ−1ad (θX) = ad (X), já que θ é isomorfismo. Isso conclui a demonstração doteorema 8.1 no caso geral.

8.2 Série de Baker-Campbell-Hausdorff

Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. A aplicação exp : g → G se restringea um difeomorfismo exp : V → U ao redor da origem, com 0 ∈ V ⊂ g e 1 ∈ U ⊂ Gabertos. Se X, Y ∈ V são suficientemente pequenos então o produto eXeY ainda é umelemento de U , o que permite escrever

eXeY = ec(X,Y ).

A aplicação c é a expressão do produto emG em coordenadas locais de primeira espécie.A série de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) fornece uma expressão para

c (X, Y ) como a soma de uma série, cujos termos são colchetes sucessivos entre Xe Y . Essa série é escrita como

c (X, Y ) = X + Y +∑n≥2

ck (X, Y )

em que os termos cn (X, Y ), n ≥ 2, são homogêneos de ordem n, isto é, são somas decolchetes com k fatores (X ou Y ). Por exemplo, os primeiros termos da fórmula (comcolchetes de campos invariantes à direita) são

c2 (X, Y ) = −1

2[X, Y ]

c3 (X, Y ) =1

12[[X, Y ] , Y ]− 1

12[[X, Y ] , X] .

Assim como a fórmula da diferencial da exponencial a fórmula para a série BCHé universal, no sentido em que as expressões dadas para os termos homogêneos são asmesmas, independente do grupo de Lie (na verdade, da álgebra de Lie).A seguir será apresentada uma demonstração da convergência da série BCH (para

X e Y pequenos), assim como uma fórmula indutiva, que fornece cn (X, Y ) a partirdos termos de menor grau.A série BCH é definida localmente (ao redor do elemento neutro) e é expressa em

termos de colchetes de Lie. Dessa forma, se g é uma álgebra de Lie fixada, a série


é a mesma para quaisquer grupos de Lie com álgebra de Lie g, pois os grupos sãolocalmente isomorfos. Em vista disso será adotada aqui, para a análise da série BCH, amesma estratégia utilizada para a fórmula da diferencial da exponencial. A estratégiaconsiste em lançar mão do teorema de Ado e fazer os cálculos com exponenciais dematrizes, que facilita os argumentos, principalmente o da convergência da série.Dito isso, o primeiro membro da igualdade eXeY = ec(X,Y ) se escreve como a soma

da série

eXeY =

(∑n≥0

1

n!Xn

)(∑n≥0

1

n!Y n

)

=∑n≥0

(n∑j=0

1

j!

1

(n− j)!XjY n−j

)=

∑n≥0

en (X, Y ) .

Essa última série converge normalmente para quaisquer X, Y , pois isso ocorre com asérie da exponencial. (A convergência é em relação a uma norma pré-estabelecida, porexemplo, a norma de operador que satisfaz ‖XY ‖ ≤ ‖X‖ · ‖Y ‖.)Considere agora a série do logaritmo

log (1 + x) =∑k≥1

(−1)k+1

kxk,

que converge absolutamente se |x| < 1. Essa série inverte a exponencial no sentido emque

log (expx) = log (1 + (expx− 1))

=∑k≥1

(−1)k+1

k(expx)k = x

se | expx − 1| < 1. Portanto, substituindo a série para eXeY na série do logaritmo seobtém

c (X, Y ) =∑k≥1

(−1)k+1

k

(∑n≥0

en (X, Y )

)k

=∑k≥1

(−1)k+1

k

(∑n≥0

n∑j=0

1

j!

1

(n− j)!XjY n−j

)k

.

Essa série converge normalmente se X e Y são suficientemente pequenos tal que∥∥eXeY − 1∥∥ < 1. Portanto, os termos da série podem ser rearranjados (permutados e

associados), obtendo novas séries ainda normalmente convergentes. Na série aparecemmonômios em X e Y da forma X i1Y j1 · · ·X isY js de grau n = i1 + j1 + · · · + is + js


(provenientes da potência k da série entre parênteses). Juntando os monômios demesmo grau n no termo cn (X, Y ), se obtém a série convergente

c (X, Y ) =∑n≥1

cn (X, Y ) (8.7)

como na série BCH. Esses argumentos demonstram a seguinte afirmação:

Proposição 8.5 Existe ρ > 0 tal que se |X|, |Y | < ρ então c (X, Y ) é dado pela sérieconvergente (8.7) em que o termo cn (X, Y ) é um polinômio homogêneo em X, Y daforma

cn (X, Y ) =∑

aI,JXi1Y j1 · · ·X isY js

com n = i1 + j1 + · · ·+ is + js e I = (i1, . . . , is), J = (j1, . . . , js).

Falta deduzir a fórmula recursiva para cn. Dessa fórmula ficará evidente quecn (X, Y ) é um elemento de Lie, isto é, uma soma de colchetes sucessivos entreX e Y . A idéia para obter a fórmula recursiva é escrever a série para c (tX, tY ) com|t| < 1, observando que cn (tX, tY ) = tncn (X, Y ), já que cn (X, Y ) é um polinômio degrau n em X e Y . Dessa forma,

c (tX, tY ) =∑n≥1

cn (X, Y ) tn

é uma sére de potências em t, absolutamente convergente se |t| < 1. Sua derivada é dadapor c (tX, tY )′ =

∑n≥0 (n+ 1) cn+1 (X, Y ) tn. Se essa derivada for convenientemente

calculada, pode-se obter cn (X, Y ), comparando os termos de duas séries de potências.O cálculo da derivada c (tX, tY )′ se faz através da igualdade etXetY = ec(tX,tY ) e

da fórmula da diferencial da exponencial. Os cálculos serão feitos para o colchete decampos invariantes à direita, isto é, [X, Y ] = Y X −XY , no caso de um grupo linear.Nesse caso, d (exp)Z = eZTZ onde TZ = φ (ad (Z)), isto é, TZ é a série de potências dafunção

φ (z) =ez − 1

z

calculada em z = ad (Z).Para calcular c (tX, tY )′ deve-se introduzir as seguintes funções:

1. η (z) = φ (z)−1 = zez−1

. Essa função satisfaz η (−z) = η (z) + z, pois

η (−z)− z =z

1− e−z − z =ze−z

1− e−z

=z

ez − 1= η (z) .


2. ψ (z) = η (z) + z2. Essa função é par, pois ψ (−z) = η (−z)− z

2= ψ (z). (Observe

que ψ (z) = zez−1

+ z2

= z2ez+1ez−1

= z2

coth z2.) A série de potências de ψ envolve

apenas termos de grau par. Como ψ (0) = η (0) = 1, essa série será escrita como

ψ (z) = 1 +∑k≥1

a2kz2k. (8.8)

Essa série pode ser obtida pelos seguintes cálculos formais

ψ (z) =z

ez − 1+z

2

=z

2+

1

1 +(z2!

+ z2

3!+ · · ·

)=

z

2+ 1−

(z

2!+z2

3!+ · · ·

)+

(z

2!+z2

3!+ · · ·

)2

+ · · ·

Proposição 8.6 Escreva f (t) = c (tX, tY ). Então

c (tX, tY )′ = f ′ (t) = ψ (ad (f (t))) (X + Y ) +1

2[f (t) , X − Y ] . (8.9)

Demonstração: É conveniente derivar separadamente cada um dos t’s de c (tX, tY ).Para isso escreva F (u, v) = c (uX, vY ), de tal forma que euXevY = eF (u,v) e

c (tX, tY )′ =∂F

∂u(t, t) +

∂F

∂v(t, t) .

A derivada em relação a v é, em primeiro lugar,

∂

∂veuXevY = euXevY Y

(lembrando que X e Y são matrizes). Por outro lado,

∂

∂vec(uX,vY ) = d (exp)c(uX,vY )

(∂F

∂v(u, v)

)= ec(uX,vY )Tc(uX,vY )

(∂F

∂v(u, v)

).

onde Tc(tX,tY ) é como na fórmula da diferencial da exponencial. Igualando as duasderivadas, se obtém

euXevY Y = ec(uX,vY )Tc(uX,vY )

(∂F

∂v(u, v)

).

Levando em conta que Tc(tX,tY ) tem inversa se X e Y são suficientemente pequenoschega-se a

∂F

∂v(u, v) = T−1

c(uX,vY ) (Y ) .


Mas ,T−1c(uX,vY ) = η (ad (c (uX, vY ))) pois η (z)φ (z) = 1. Daí que

∂F

∂v(u, v) = η (ad (c (uX, vY ))) (Y )

= ψ (ad (c (uX, vY ))) (X)− 1

2ad (c (uX, vY )) (X)

A derivada em relação a u se obtém da derivada em relação a v tomando a igualdadea igualdade e−vY e−uX = e−c(uX,vY ). Então,

e−vY e−uXX = e−c(uX,vY )T−c(uX,vY )

(∂F

∂u(u, v)

),

isto é,

∂F

∂u(u, v) = η (−ad (c (uX, vY ))) (X)

= ψ (−ad (c (uX, vY ))) (X) +1

2ad (c (uX, vY )) (X)

= ψ (ad (c (uX, vY ))) (X) +1

2ad (c (uX, vY )) (X) ,

pois a função ψ é par.Por fim, somando as duas derivadas parciais, segue que

c (tX, tY )′ = ψ (ad (c (tX, tY ))) (X + Y ) +1

2ad (c (tX, tY )) (X − Y )

que é a igualdade do enunciado. 2

Agora é possível obter a fórmula de recorrência para cn (X, Y ), comparando oscoeficientes das séries de potências na igualdade (8.9). Antes de mais nada, o primeirotermo c1 (X, Y ) é dado por

c1 (X, Y ) =1

2c (tX, tY )′t=0 = X + Y

pois ψ (0) = 1.

Teorema 8.7 A fórmula de recursão para cn = cn (X, Y ) é dada por c1 = X + Y e

(n+ 1) cn+1 =1

2[cn, X − Y ]

+∑

2≤2k≤n

a2k

∑Jk,n

ad (cj1) · · · ad (cj2k) (X + Y )

onde a a segunda soma se estende aos multindices Jk,n = (j1, . . . , j2k) com 2k elementosji ≥ 1 cuja soma é j1 + · · ·+ j2k = n.


Demonstração: O primeiro membro de (8.9) é dado por

c (tX, tY )′ =∑n≥0

(n+ 1) cn+1tn. (8.10)

No segundo membro a série do último termo é

1

2ad (c (tX, tY )) (X − Y ) =

1

2

∑n≥1

ad (cn) (X − Y ) tn (8.11)

já a série do primeiro termo é dada por

ψ (ad (c (tX, tY ))) (X + Y ) = X + Y +∑k≥1

a2k (ad (c (tX, tY )))2k (X + Y )

= X + Y +∑k≥1

a2k

(∑j≥1

ad (cj) tj

)2k

(X + Y ) .

Nessa última série o coeficiente do termo tn, n ≥ 1, é dado por∑2≤2k≤n

a2k

∑j1+···+j2k=n

ad (cj1) · · · ad (cj2k) (X + Y ) . (8.12)

Por fim, igualando o n-ésimo termo de (8.10) com a soma do n-ésimo termo de(8.11) e de (8.12) se obtém a igualdade do enunciado. 2

O teorema acima permite calcular, em principio os termos da série BCH, apesar deque o processo indutivo se torna rapidamente complicado. Os primeiro termos da sériesão os seguintes:

1. c1 (X, Y ) = X + Y .

2. 2c2 (X, Y ) = 12

[c1, X − Y ] = 12

[X + Y,X − Y ] = − [X, Y ], isto é,

c2 (X, Y ) = −1

2[X, Y ] .

(O sinal − vem do fato que o colchete é entre campos invariantes à direita.)

3. Para n = 3 a fórmula de recursão é

3c3 =1

2[c2, X − Y ] + a2

∑j1+j2=2

ad (cj1) ad (cj2) (X + Y )

=1

2[c2, X − Y ] + a2ad (c1) ad (c1) (X + Y ) .

Como c1 = X + Y , o último termo se anula e

c3 =1

12[[X, Y ] , Y ]− 1

12[[X, Y ] , X] .

8.3. Estrutura diferenciável analítica 175

8.3 Estrutura diferenciável analítica

A convergência da série de Baker-Campbell-Hausdorffmostra que a aplicação produtonum grupo de Lie G é analítica quando visto num sistema de coordenadas de primeiraespécie. De fato, a definição de c (X, Y ) pela igualdade eXeY = ec(X,Y ) significa quec : V0 × V0 → V0 é a expressão do produto p : G × G → G em coordenadas locaisdado por uma carta exp : V0 → U0, definida ao redor do elemento neutro. Isto é,c = log p (exp× exp), onde log = exp−1 : U0 → V0.A série BCH c (X, Y ) =

∑n≥0 cn (X, Y ) é uma série de potências, no sentido em

que os termos cn são polinômios homogêneos de grau n nas variáveis X, Y . Conformefoi verificado na seção anterior, essa série é normalmente convergente numa vizinhançaV × V ⊂ V0 × V0 da origem. Portanto, a aplicação produto é analítica na carta de G,ao redor do elemento neutro, definida por exp : V → U = exp (V ). Translações dessacarta definem em G um atlas analítico no qual a aplicação produto é analítica, comoserá definido a seguir.

• Definição do atlas analítico: Comece com um sistema de coordenadas exp :V0 → U0 tal que V0 × V0 está contido no domínio de convergência da série BCH.A partir daí escolha V ⊂ V0 com −V = V e tal que se U = expV então U2 ⊂ U0.Agora defina para cada g ∈ G a carta ϕg : V → gU por ϕg (X) = geX . Oconjunto de cartas

A = ϕg : V → gU, g ∈ G

é um atlas em G pois os abertos gU , g ∈ G, cobrem G.

Proposição 8.8 O atlas ϕg : V → gU , g ∈ G, definido por ϕg (X) = geX é analítico.O produto p : G×G→ G é uma aplicação analítica em relação a esse atlas.

Demonstração: Dados g, h ∈ G com gU ∩ hU 6= ∅, a aplicação de mudança decartas é dada por ϕ−1

h ϕg : Vg → Vh onde Vg = ϕ−1g (gU ∩ hU). Se x ∈ gU ∩ hU então

x = geX = heY com X ∈ Vg, Y ∈ Vh e

Y = ϕ−1h ϕg (X) .

A igualdade geX = heY implica que h−1g = eY e−X ∈ U2 ⊂ U0. Daí que existe Z ∈ V0

tal que h−1g = eZ . Agora,eY = h−1geX = eZeX

e como Z,X estão no domínio de convergência de c, segue que Y = c (Z,X). Issosignifica que ϕ−1

h ϕg = c (Z, ·) com Z dado por h−1g = eZ , fixado. Isso mostra que asaplicações ϕ−1

h ϕg, g, h ∈ G, são analíticas.Para ver a analiticidade do produto sejam g, h ∈ G e tome as cartas ϕg × ϕh :

V × V → gU × hU e ϕgh : V → ghU . Então,

p(geX , heY

)= geXheY = gheAd(h−1)XeY


o que mostra que p escrita nessas cartas é a aplicação

(X, Y ) 7→ c(Ad(h−1)X, Y

),

que é a composta de uma aplicação analítica por uma aplicação linear. Portanto,analítica. 2

8.4 Exercícios

1. Seja G um grupo compacto não abeliano. Mostre que a aplicação exponencialem G não é difeomorfismo local.

2. Denote por s o espaço vetorial das matrizes simétricas n × n. Mostre que arestrição a s da aplicação exponencial é uma imersão injetora, cuja imagem é oconjunto S das matrizes simétricas positivas definidas. (Sugestão: se X é matrizsimétrica então existe uma matriz ortogonal g tal que gXg−1 é diagonal. Use issojuntamente com a fórmula para d (exp).)

3. Seja G o grupo das matrizes reais n× n triangulares superiores, cujos elementosdiagonais são positivos. Mostre que a aplicação exponencial em G é difeomor-fismo.

4. Use BCH para mostrar que se xt e yt são curvas C1 num grupo de Lie G entãoexiste uma curva wt também C1 tal que para todo t, wt2 = xtytx

−1t y−1

t .

5. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dados X, Y ∈ g, mostre que[X, Y ] = 0 se etnXetnY e−tnXe−tnY = 1 para uma sequência convergente tn ∈ Rcom tn 6= tm se n 6= m. (Sugestão: use o fato que a aplicação exponencial éanalítica.)

6. Tome os seguintes elementos da álgebra de Lie g = gl (2,R):

X =

(0 −ππ 0

)Y =

(1 00 2

).

Mostre que a série BCH para c (X, Y ) não converge. (Sugestão: mostre que eXeY

não é exponencial.)

7. Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e h ⊂ g uma subálgebra. Dadog ∈ G defina as aplicações θd, θe : h→ G por θd (X) = eXg e θe (X) = geX . Usea fórmula da diferencial da exponencial para mostrar que para todo X, Y ∈ h,(dθd)X

(Y ) ∈ ∆dh (θ (X)) e (dθe)X (Y ) ∈ ∆e

h (θ (X)), onde ∆dh (g) = d (Dg)1 h

e ∆eh (g) = d (Eg)1 h. Obtenha a partir daí uma demonstração alternativa da

integrabilidade das distribuições ∆dh e ∆e

h (veja teorema 6.4).


8. Mostre que a aplicação exponencial no grupo SU (2) ≈ Sp (1) ≈ S3 não é umaaplicação aberta.

9. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Mostre que se X ∈ g é suficien-temente pequeno então 1 é auto-valor de Ad

(eX)com a mesma multiplicidade

que 0 é auto-valor de ad (X).

10. SejaG um grupo de Lie conexo e escreva o polinômio característico Pg de Ad (g)−id, g ∈ G, como

Pg (λ) = λn + pn−1 (g)λn−1 + · · ·+ p1 (g)λ+ p0 (g)

onde os coeficientes pi (g) são funções analíticas (composta de polinômios comAd). Use analiticidade e o exercício anterior para mostrar que existe r > 0 talque pi é identicamente nulo se i < r. Esse inteiro r é chamado de posto de G.

11. Seja G um grupo de Lie conexo. Um elemento regular de G é um elementog ∈ G tal que a multiplicidade de 1 como auto-valor de Ad (g) é o posto de G.Use analiticidade para mostrar que se G é conexo então o conjunto dos elementosregulares é denso em G.

12. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Mostre que o posto deG coincide com o posto de g. (O posto de g é o minimo das dimensões deker ad (X), X ∈ g.)

Parte III

Tipos de álgebras de Lie e seusgrupos simplesmente conexos

179

181

Resumo

Nessa parte serão construídos os grupos de Lie conexos e simplesmente conexos. Asálgebras de Lie são divididas em duas grandes classes, a álgebras semi simples e asálgebras de Lie solúveis (que incluem as nilpotentes e as abelianas). O teorema dedecomposição de Levi garante que uma álgebra de Lie de dimensão finita pode serescrita como o produto semi-direto de uma álgebra semi simples por uma álgebrasolúvel, isto é, qualquer álgebra de Lie g é a soma direta de uma subálgebra semisimples por um ideal solúvel. Os grupos de Lie conexos e simplesmente conexos serãoconstruídos separadamente para cada uma dessas classes de álgebras de Lie.O conceito central na construção dos grupos simplesmente conexos é o de produto

semi-direto de grupos de Lie. Esse produto será usado tanto para os grupos associadosàs álgebras de Lie solúveis, através de sucessivas decomposições, quanto para juntaras construções para as duas grandes classes de álgebras de Lie, as solúveis e as semisimples.O produto semi-direto de grupos de Lie é abordado no capítulo 9. O tratamento

dado aqui do produto semi-direto envolve o grupo afim de um grupo de Lie G, cu-jos elementos são transformações de G dadas por compostas de automorfismos portranslações. Dessa forma o primeiro passo é obter uma estrutura de grupo de Lie nogrupo dos automorfismos AutG. No caso em que G é conexo e simplesmente conexoisso vem direto do isomorfismo de AutG com Autg, o grupo dos automorfismos daálgebra de Lie g de G. Para grupos conexos em geral AutG é isomorfo a um subgrupofechado do grupo dos automorfismos AutG de seu recobrimento universal G. O grupoafim AfG adquire estrutura de grupo de Lie depois da demonstração de que a ação deAutG em G é diferenciável. Como aplicação do produto semi-direto se mostra queos elementos das séries de composição (série derivada e série central descendente) degrupos de Lie simplesmente conexos são subgrupos fechados e simplesmente conexos.No capítulo 10 se mostra que os grupos solúveis conexos e simplesmente conexos

são difeomorfos a espaços euclidianos (Rn para algum n). A demonstração disso sefaz via produtos semi-diretos sucessivos, que fornecem, para esses grupos, sistemasde coordenadas de segunda espécie globais. No caso de grupos nilpotentes se obtémum resultado melhor ainda, já que a aplicação exponencial é difeomorfismo (para osgrupos conexos e simplesmente conexos), e portanto é um sistema de coordenadas deprimeira espécie global. Segue desse resultado que um grupo de Lie nilpotente conexoe simplesmente conexo tem como variedade diferenciável a sua álgebra de Lie, que émunida do produto dado pela fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.As álgebras semi simples são divididas em duas categorias, as compactas e as não

compactas.O capítulo 11 considera o caso compacto. O que acontece é que se um grupo de LieG

é compacto então sua álgebra de Lie g é compacta, no sentido em que existe um produtointerno invariante pela representação adjunta (essa é uma propriedade algébrica de g).A reciproca a isso é quase que verdadeira: uma álgebra de Lie compacta se decompõena soma direta de seu centro com uma álgebra semi simples compacta. Um grupo deLie com álgebra de Lie compacta pode não ser compacto devido à existência do centro.

182

No entanto, se G é um grupo de Lie cuja álgebra de Lie g é compacta e semi simplesentão o teorema de Weyl do centro finito (ou do grupo fundamental finito, dependendode que lado se olhe) garante que G é compacto. Em particular o grupo conexo esimplesmente conexo com álgebra de Lie g é compacto. No capítulo 11 são apresentadasduas demonstrações desse teorema de Weyl. A primeira tem um caráter mais analíticoe usa poucos pré-requisitos de álgebras de Lie. A segunda demonstração usa livrementeas propriedades das álgebras de Lie semi simples compactas (e complexas). Ela tem avantagem de exibir o grupo fundamental do grupo adjunto (ou o que é a mesma coisa ocentro do grupo simplesmente conexo) como o quociente de dois reticulados (subgruposdiscretos de Rn). Como preparação para a segunda demonstração do teorema de Weylsão desenvolvidas algumas propriedades estruturais dos grupos compactos. A principaldelas é a existência de toros maximais e o teorema que mostra que todo elemento nogrupo é conjugado a um elemento de um toro maximal fixado. Esse fato implica (eé equivalente a) que a aplicação exponencial num grupo de Lie compacto e conexo ésobrejetora.As álgebras de Lie compactas semi simples estão em bijeção com as álgebras de Lie

semi simples complexas, via o chamado truque unitário de Weyl. Essas últimas foramclassificadas por Cartan e Killing ao final do século XIX. Essa classificação é codificadapelos diagramas de Dynkin, que foram reproduzidos no capítulo 11.Ao final do capítulo 11 se dá uma indicação de como abordar alguns resultados

sobre grupos de Lie compactos via teoremas de geometria Riemanniana.As álgebras semi simples não compactas são consideradas no capítulo 12. Para

essas álgebras de Lie e seus grupos de Lie são construídas as decomposições de Cartane Iwasawa. Essas decomposições mostram que a variedade diferenciável subjacente aum grupo de Lie semi simples não compacto é difeomorfa ao produto de um espaçoeuclidiano (Rn) por um grupo de Lie compacto.Como resumo final, juntando o que foi feito para os grupos solúveis e para os grupos

semi simples, se chega a que a variedade diferenciável de um grupo de Lie conexo esimplesmente conexo é difeomorfa ao produto de um espaço euclidiano por um grupode Lie compacto.Essa parte do livro lança mão de diversos resultados da teoria de álgebras de Lie. Ao

longo do texto são indicadas referências a esses resultados, provados no livro Álgebrasde Lie [49].

Capítulo 9

Grupo afim e produto semi-direto

Neste capítulo serão estudados os grupos de automorfismos dos grupos de Lie conexos.Se G é conexo e simplesmente conexo então o teorema 7.13 de extensão mostra ogrupo de automorfismos AutG é isomorfo ao grupo de automorfismos Autg de suaálgebra de Lie g, que é grupo de Lie. Em geral para um grupo conexo G seu grupo deautomorfismos é isomorfo a um subgrupo fechado do grupo dos automorfismos AutGde seu recobrimento universal G. Portanto, AutG é grupo de Lie.A estrutura diferenciável em AutG permite obter o produto semi-direto no con-

texto de grupos de Lie, via o grupo afim AfG, que também é um grupo de Lie. Amultiplicação num produto semi-direto H × G é obtida a partir da multiplicação emAfG.

9.1 Automorfismos de grupos de Lie

Os grupos de automorfismos dos grupos de Lie são estudados através dos grupos deautomorfismos de suas álgebras de Lie. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensãofinita. Conforme foi visto no capítulo 6 o grupo Autg dos automorfismos de g é umsubgrupo fechado do grupo linear Gl (g) (veja um dos exemplos ao final da seção 6.5).Portanto, Autg é um grupo de Lie. Sua álgebra de Lie é formada pelas derivações

de g. Deve-se lembrar que uma derivação de uma álgebra de Lie g é uma aplicaçãolinear D : g→ g que satisfaz

D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ]

para todo X, Y ∈ g. O conjunto de todas as derivações de g é denotado por Derg. Nãoé difícil verificar Derg é um álgebra de Lie (subálgebra da álgebra de Lie das transfor-mações lineares de g). Para ver que Derg é a álgebra de Lie de Autg basta verificarque D é uma derivação de g se, e somente se, para todo t ∈ R, etD é automorfismo deg. Mas, se X, Y ∈ g então a derivada da igualdade etD[X, Y ] = [etDX, etDY ] em t = 0mostra que D é derivação se etD é automorfismo. Reciprocamente, se D é derivaçãoentão as curvas

α(t) = etD[X, Y ] e β(t) = [etDX, etDY ]

183

184 Capítulo 9. Grupo afim e produto semi-direto

satisfazem a equação diferencial linear γ′ = Dγ, γ ∈ g, e têm a mesma condição inicialα(0) = [X, Y ] = β(0). Portanto, α = β o que mostra que etD é automorfismo, paratodo t ∈ R.Dado X ∈ g sua adjunta ad (X) é uma derivação de g, como segue da identidade

de Jacobi. As derivações do tipo ad (X) são as chamadas derivações internas deg. O conjunto das derivações internas é ad (g), a imagem da representação adjunta deg. Portanto, ad (g) uma subálgebra de Derg. Se D é uma derivação e X ∈ g então adefinição de derivação é equivalente a

[D, ad (X)] = ad (DX) .

Essa igualdade mostra que ad (g) é, na verdade, um ideal de Derg. Em geral a inclusãoad (g) ⊂ Derg é própria, como mostra o exemplo das álgebras abelianas em que todaaplicação linear é derivação e, no entanto, ad (g) = 0.Como a álgebra de Lie de Autg é Derg é claro que a subálgebra ad (g) se integra

a um subgrupo conexo de Autg. Esse subgrupo é denotado por Intg e seus elementossão denominados de automorfismos internos de g. A razão desse nome é que Intgestá relacionado com os grupos dos automorfismos internos de um grupo de Lie G comálgebra de Lie g (veja a proposição 9.6 abaixo). Os elementos de Intg são produtos deexponenciais de sua álgebra de Lie ad (g), isto é, se g ∈ Intg então

g = ead(X1) · · · ead(Xn)

com Xi ∈ g.Passando agora aos grupos de Lie serão considerados apenas os automorfismos

contínuos e, portanto, diferenciáveis, o que subentende-se em toda discussão a seguir.O grupo dos automorfismos de G é denotado por AutG.Se τ é um automorfismo deG então pela proposição 5.16 do capítulo 5 sua diferencial

na origem dτ 1 é um automorfismo da álgebra de Lie g. Isso define a aplicação δ :AutG → Autg por δ (τ) = (dτ)1. A regra da cadeia garante que essa aplicação é umhomomorfismo de grupos.Esse homomorfismo é injetor, pois pela proposição 7.8 dois homomorfismos φ, ψ :

G → H entre grupos de Lie coincidem se suas diferenciais dφ1 e dψ1 são iguais e odominio é conexo.(Deve-se observar que δ pode não ser injetora se G não é conexo. Por exemplo, se

G é um grupo discreto então δ é constante igual à identidade, mas em geral existemautomorfismos de G diferentes da identidade.)A injetividade da δ mostra que o grupo dos automorfismos de um grupo de Lie

conexo é isomorfo a um subgrupo do grupo dos automorfismos de sua álgebra de Lie.Por outro lado δ nem sempre é sobrejetora, como ficará claro logo a seguir, após a

discussão completa dos grupos de automorfismos.No entanto, o teorema 7.13 garante que se G é conexo e simplesmente conexo então

todo automorfismo de g se estende a um automorfismo de G, o que significa que δ ésobrejetora. Para esses grupos se obtém então a seguinte descrição de seus grupos deautomorfismos.

9.1. Automorfismos de grupos de Lie 185

Proposição 9.1 Se G é grupo de Lie conexo e simplesmente conexo então AutG éisomorfo a Autg. Um isomorfismo é dado por δ : AutG→ Autg, δ (τ) = dτ 1.

O isomorfismo δ : AutG → Autg permite transladar a AutG a estrutura diferen-ciável de Autg tornando-o um grupo de Lie. Essa construção puramente formal deuma estrutura de grupo de Lie em AutG se encaixa bem com a estrutura diferenciávelde G, no sentido em que a ação natural de AutG em G dada por α : AutG×G→ G,α (τ , x) = τ (x), passa a ser diferenciável.Essa diferenciabilidade será provada a seguir. Antes disso considere a aplicação

parcial (aplicação avaliação) αx : AutG → G, x ∈ G, dada por αx (τ) = α (τ , x) =τ (x).Por definição da estrutura diferenciável em AutG, αx é diferenciável se, e só se, a

composta αx δ−1 é diferenciável em Autg.Dessa forma, dado θ ∈ Autg seja τ = δ−1 (θ) ∈ AutG sua extensão a G. Escreva

x = eX1 · · · eXk com X1, . . . , Xk ∈ g. Então,

αx δ−1 (θ) = αx (τ) = τ(eX1)· · · τ

(eXk)

= eθ(X1) · · · eθ(Xk),

isto é,(αx δ−1

)(θ) = eθ(X1) · · · eθ(Xk). Essa aplicação é composta de aplicações difer-

enciáveis (produto emG, exponencial e as restrições das aplicações lineares θ ∈ Autg 7→θ (Xi) ∈ g). Portanto, αx δ−1 : Autg→ G é diferenciável e daí que αx é diferenciávelpara qualquer x ∈ G.Agora é possível provar a diferenciabilidade da ação.

Proposição 9.2 Se G é conexo e simplesmente conexo então a ação α : Aut (G)×G→G, α (τ , x) = τ (x) é diferenciável.

Demonstração: Tome um sistema de coordenadas em G da forma exp : V ⊂g → U ⊂ G, 0 ∈ V ⊂ g e 1 ∈ U ⊂ G. Então, para cada g ∈ G a aplicaçãoX ∈ V 7→ geX ∈ gU é um sistema de coordenadas ao redor de g. A aplicaçãofg : Autg × V 7→ AutG × gU , fg (θ,X) =

(τ , geX

)(onde dτ 1 = θ, isto é, τ = δ−1 (θ))

deve ser vista como uma carta em Aut (G)×G (global na primeira componente).A composta α fg : Autg× V → G é dada por

α fg (θ,X) = τ(geX

)= τ (g) τ

(eX)

= τ (g) eθ(X).

Essa aplicação é composta de aplicações diferenciáveis (o produto em G, a avaliaçãoαg, a exponencial e a aplicação linear θ 7→ θ (X)). Portanto, α fg é diferenciável, oque garante a diferenciabilidade da ação. 2

A diferenciabilidade (ou melhor a continuidade) da ação no caso simplesmenteconexo será usada a seguir para garantir que AutG é grupo de Lie se G é conexo.


Seja agora G = G/Γ um grupo de Lie conexo com G simplesmente conexo e Γsubgrupo discreto central. Nesse caso geral o grupo dos automorfismos pode ser bemdiferente de Autg. De qualquer forma como δ é injetora AutG se identifica a umsubgrupo de Autg, isto é, a um subgrupo de AutG. Pela definição de δ esse subgrupoé a imagem do homomorfismo injetor AutG→ AutG que a τ ∈ AutG associa o únicoautomorfismo τ ∈ AutG que satisfaz dτ 1 = dτ 1.Para descrever a imagem desse homomorfismo seja π : G → G = G/Γ a projeção

canônica, que satisfaz dπ1 = idg (já que as álgebras de Lie de G e G coincidem).

Lema 9.3 π τ = τ π.

Demonstração: Tanto πτ quanto τπ são homomorfismos G→ G cujas diferenciaisno elemento neutro coincidem pois

d (π τ)1 = dπ1 dτ 1 = dτ 1 = d (τ π)1 .

Portanto, o lema segue da proposição 7.8. 2

Em vista disso defina

AutΓG = σ ∈ AutG : σ (Γ) = Γ, (9.1)

que é evidentemente um subgrupo deAutG. Esse subgrupo é fechado. De fato, suponhaque σn → σ com σn ∈ AutΓG e tome γ ∈ Γ então σn (γ)→ σ (γ), pois a ação de AutG

em G é contínua. Como σn (γ) ∈ Γ, se conclui que σ (γ) ∈ Γ e daí que σ ∈ AutΓG.(Compare com o exercício 16 do capítulo 2.) Portanto, AutΓG é subgrupo de Lie deAutG.

Proposição 9.4 Seja G um grupo de Lie conexo. Então AutG é isomorfo a AutΓGonde G = G/Γ. O isomorfismo é dado por ` : τ ∈ AutG 7→ τ ∈ AutG onde τ é o únicoautomorfismo de G tal que dτ 1 = dτ 1.

Demonstração: Antes de mais nada observe que ` é de fato um homomorfismo degrupos pois é a composta dos homomorfismos δ : AutG→ Autg, dado pela diferencial,com a extensão Autg→ AutG.Pela proposição 7.8, o homomorfismo δ é injetor e como Autg e AutG são isomorfos,

segue que ` é injetora. Isso implica que AutG é isomorfo à imagem de ` em AutG.Deve-se mostrar então que AutΓG coincide com a imagem de `.Para isso tome γ ∈ Γ. Então, pelo lema 9.3, π τ (γ) = τ π (γ) = τ (1) = 1, o que

significa que τ (γ) ∈ Γ. Como γ ∈ Γ é arbitrário, isso mostra que τ (Γ) ⊂ Γ. Aplicandoo mesmo raciocinio a τ−1 = τ−1 segue que τ−1 (Γ) ⊂ Γ e daí que τ (Γ) = Γ, isto é,τ ∈ AutΓG. Portanto, a imagem de ` está contida em AutΓG.Por outro lado, tome σ ∈ AutΓG. Então, σ passa ao quociente, definindo um

homomorfismo σ′ : G → G tal que σ′ π = π σ. Este homomorfismo é dado porσ′ (xΓ) = σ (x) Γ, que é bem definido pois σ (Γ) = Γ. Como π : G→ G = G/Γ satisfaz

9.1. Automorfismos de grupos de Lie 187

dπ1 = idg e σ′ π = π σ se conclui que dσ1 = dσ′1, isto é, σ = ` (σ′) o que mostra queAutΓG está contido na imagem de `, concluindo a demonstração. 2

Corolário 9.5 Se G é conexo então AutG é grupo de Lie e sua ação em G é diferen-ciável.

Demonstração: De fato, AutG é isomorfo a AutΓG que é um subgrupo de Liefechado de AutG. O isomorfismo fornece então uma estrutura de grupo de Lie emAutG. A demonstração da diferenciabilidade da ação é identica à da proposição 9.2.Aqui deve-se tomar “cartas”do tipo

fg : AutΓG× V → AutG× gU

onde AutΓG é visto como subgrupo de Autg. Em relação a essas cartas a ação α édada por

α fg (θ,X) = τ(geX

)= τ (g) τ

(eX)

= τ (g) eθ(X)

onde θ = dτ 1. A aplicação α fg é diferenciável o que garante que a ação α é diferen-ciável. 2

Um automorfismo σ ∈ AutΓG satisfaz a condição da definição em (9.1), isto é,σ (Γ) = Γ se, e só se, tanto σ quanto σ−1 deixam Γ invariante: σ (Γ) ⊂ Γ e σ−1 (Γ) ⊂ Γ.Uma dessas inclusões não implica a outra a não ser em casos especiais, como, porexemplo, quando Γ é finito. Nesse caso, se σ (Γ) ⊂ Γ então a aplicação σ|Γ : Γ → Γé injetora, pois σ é injetora. Uma aplicação injetora de um conjunto finito tambémsobrejetora. Para σ|Γ isso significa que σ−1 (Γ) ⊂ Γ.Em geral, existem automorfismos σ de G tal que σ (Γ) ⊂ Γ mas Γ não é invariante

por σ−1. Quando isso ocorre, σ passa ao quociente definindo um homomorfismo ψ deG/Γ por ψ (xΓ) = σ (x) Γ. Esse homomorfismo deixa de ser injetor. De fato, se σ−1 (Γ)

não está contido em Γ então existem x ∈ G e γ ∈ Γ com x = σ−1 (γ) e tal que x /∈ Γ.Nesse caso, σ (x) = γ o que implica que as classes laterais σ (x) Γ e Γ coincidem, masxΓ 6= Γ, isto é, ψ (xΓ) = ψ (1Γ), mas xΓ 6= 1Γ.

Exemplo: Considere o toro Tn = Rn/Zn. O grupo dos automorfismos de Rn éGl (n,R), portanto, de acordo com a proposição 9.4, o grupo dos automorfismos de Tné dado por

AutZnRn = g ∈ Gl (n,R) : g (Zn) = Zn.

Uma transformação linear inversível g ∈ Gl (n,R) deixa Zn invariante, isto é, satisfazg (Zn) ⊂ Zn se, e só, se a matriz de g, na base canônica, tem entradas inteiras. Portanto,a condição para que g ∈ AutZnRn é que tanto g quanto g−1 sejam matrizes comentradas inteiras. Isso força (pela regra de Cramer) que det g = 1. Reciprocamente, se


g ∈ Gl (n,R) tem entradas inteiras e det g = 1 então sua inversa também tem entradasinteiras. Portanto, o grupo dos automorfismos de Tn é (isomorfo a) o grupo discreto

Sl (n,Z) = g = (xij) ∈ Gl (n,R) : det g = 1, xij ∈ Z.

2

Denote por autG a álgebra de Lie de AutG (com G conexo). Se G é simplesmenteconexo então autG é isomorfa à álgebra das derivações Derg. Já se G = G/Γ entãoautG é a subálgebra dos elementos autG cujas exponenciais estão em AutΓG. Issosignifica que os elementos de autG são as derivações D ∈ Derg, tais que φt ∈ AutΓG,t ∈ R, onde φt é o automorfismo de G que estende etD. Dito de outra maneira, autGé o conjunto das derivações D ∈ Derg tais que, para todo t ∈ R, o automorfismo etDse estende a G. No exemplo acima autTn = 0 pois o grupo dos automorfismos édiscreto.Uma outra forma de ver autG é como uma subálgebra de Lie de campos de vetores

em G: a ação diferenciável de AutG em G induz uma “ação infinitesimal”que é umhomomorfismo que a Z ∈ autG associa o campo de vetores

−→Z em G definido por

−→Z (x) =

d

dt(exp (tZ)x)|t=0 x ∈ G

onde exp (tZ)x denota a ação de exp tZ ∈ AutG em x ∈ G (veja o capítulo 13, paramais detalhes). O campo

−→Z é chamado de automorfismo infinitesimal de G. Essa

ação infinitesimal Z → −→Z é injetora, pois se−→Z = 0 então exp tZ = id ∈ AutG para

todo t ∈ R o que implica que Z = 0. Daí que autG é isomorfa à álgebra de Lie dosautomorfismos infinitesimais de G.No caso de um grupo simplesmente conexo G cada derivação D ∈ Derg define um

automorfismo infinitesimal−→D em G. O campo de vetores

−→D é facilmente calculado em

elementos do tipo x = eX ∈ G. De fato, denote por φt o grupo a um parâmetro deautomorfismos de G tal que d (φt)1 = etD. Se X ∈ g então φt

(eX)

= exp(etDX

). Daí

que

−→D(eX)

= (d exp)X (DX) (9.2)

=∑k≥0

1

(k + 1)!dEeX

((ad (X))k (DX)

)pela fórmula da diferencial da exponencial (veja o capítulo 8).Já se G = G/Γ então autG se identifica à álgebra dos automorfismos infinitesimais

de G que se anulam em Γ, isto é,

autG = Z ∈ autG : ∀γ ∈ Γ, Z (γ) = 0.

Os campos de vetores no segundo membro dessa igualdade são exatamente aqueles quesão projetáveis por π : G→ G.

9.2. Grupo Afim 189

Exemplo: Sejam g e G a álgebra e o grupo de Lie de matrizes do tipo

X =

0 x z0 0 y0 0 0

e g =

1 u w0 1 v0 0 1

,

respectivamente. Como

eX =

1 x z + xy/20 1 y0 0 1

se vê que a aplicação exponencial é um difeomorfismo. Portanto, se D ∈ Derg entãopor (9.2)

−→D (g) = g

(DX +

1

2[X,DX]

)onde X = log g. 2

Para concluir esta seção sobre autormorfismos será considerado o grupo IntG dosautomorfismos internos de um grupo G que é formado pelas conjugações Cx : G→G, Cx (z) = xzx−1, com x ∈ G. Se τ é um automorfismo qualquer de G então vale aigualdade τ Cx τ−1 = Cτ(x), que mostra que IntG é um subgrupo normal de AutG.A estrutura de grupo de IntG é descrita observando que a aplicação x ∈ G 7→ Cx ∈

IntG é um homomorfismo de grupos. O núcleo dessa aplicação é o centro Z (G) e suaimagem é Int (G) por definição. Dessa forma, IntG é isomorfo a G/Z (G). Esse grupo étambém isomorfo à imagem Ad (G) da representação adjunta de G, que é um subgrupode Autg.No caso em que G é conexo os seus elementos são produtos de exponenciais. Então,

a fórmulaAd(eX)

= ead(X)

mostra que Ad (G) é formado por produtos de exponenciais do tipo ead(X). Em ou-tras palavras, Ad (G) é um subgrupo de Intg dos automorfismos internos de g. Poroutro lado, a mesma fórmula acima mostra que todo automorfismo interno de g se es-tende a um automorfismo interno de G (mesmo que G não seja simplesmente conexo).Portanto, vale a seguinte caracterização de IntG.

Proposição 9.6 Seja G um grupo de Lie conexo. Então, IntG é isomorfo a Intg. Emparticular, grupos de Lie conexos, localmente isomorfos têm grupos de automorfismosinternos isomorfos.

9.2 Grupo Afim

Seja G um grupo. Uma transformação afim à esquerda em G é a composta de umatranslação à esquerda por um homomorfismo de G. Isto é, uma aplicação α : G → Gé afim se for do tipo

α (x) = xg (y) = Ex g (y)


com g : G→ G um homomorfismo e x ∈ G fixado. De maneira análoga se define umatransformação afim à direita, por β (y) = g (y)x. Evidentemente esses conceitosgeneralizam o conceito de transformação afim de um espaço vetorial, considerado comoum grupo abeliano, em que os homomorfismos são as aplicações lineares e as translaçõesà esquerda e à direita são iguais.As transformações afins serão indicadas pelas suas componentes (g, y) com um

subíndice e ou d caso seja necessário distinguir a transformação à esquerda e à direita.O conjunto das transformações afins contém a aplicação identidade (dada por

(id, 1)) e é fechado por composição. De fato, um cálculo simples mostra que

1. (g, y)e (h, z)e = (g h, yg (z))e,

2. (g, y)d (h, z)d = (g h, g (z) y)d.

Essas expressões mostram que uma transformação afim (g, x) é bijetora se, e sóse, o homomorfismo g for um automorfismo. Nesse caso, a inversa também é umatransformação afim e é dada por (g, x)−1 = (g−1, g−1 (x−1)) (tanto no caso do produtoà esquerda quanto à direita).Em vista desses comentários, dado um grupo G, se define o seu grupo afim à

esquerda AfeG como sendo o produto cartesiano AutG×G munido da multiplicação,descrita no item (1) acima, dada pela composição de transformações afins à esquerda.Essa multiplicação satisfaz, de fato, os axiomas de grupo, uma vez que a composta deaplicações é associativa. De maneira análoga se define o grupo afim à direita AfdG.Caso não seja necessário distinguir as estruturas à esquerda ou a direita, os gruposafins serão denotados indistintamente por AfG.Ambos os grupos afins contém de maneira natural o grupo AutG (que é isomorfo

ao subgrupo AutG × 1) e o grupo G (que é isomorfo a 1 × G). Além do mais, aconjugação

(g, 1) (1, x) (g, 1)−1 = (g, 1) (1, x)(g−1, 1

)= (1, g (x))

(que vale tanto para o grupo afim à esquerda quanto à direita) mostra que o subgrupo1 ×G é normal em AfG.Suponha agora que G seja um grupo de Lie conexo. Então, AutG é grupo de Lie

e sua ação em G é diferenciável. Já as expressões dos produtos à esquerda e à direitano grupo afim envolvem os produtos em G e AutG e a ação de AutG em G. Daí se vêque esses produtos são aplicações diferenciáveis e, portanto o grupo afim (à esquerdaou à direita) é um grupo de Lie.

Proposição 9.7 Se G é conexo então AfG é grupo de Lie.

O próximo objetivo será o de determinar a álgebra de Lie afG de AfG. O espaçovetorial subjacente é, sem duvida, dado pelo produto direto autG× g das álgebras deLie de AutG e G, respectivamente.O colchete, no entanto, não é um produto direto. Para calculá-lo observa-se, em

primeiro lugar que autG×0 e 0×g são subálgebras de afG pois essas são as álgebrasde Lie dos subgrupos AutG × 1 e 1 × G, respectivamente. Isso significa que em

9.3. Produto semi-direto 191

afG = autG × g valem os colchetes [(X, 0) , (Y, 0)] = ([X, Y ], 0) e [(0, X) , (0, Y )] =(0, [X, Y ]).Resta então determinar um colchete do tipo [(X, 0) , (0, Y )] com X ∈ autG e Y ∈ g,

o que é feito derivando conjugações. Tomando exponenciais nos subgrupos AutG×1e 1 ×G se obtém exp t (X, 0) =

(etX , 1

)e exp s (0, Y ) =

(1, esY

). Portanto,

Cexp t(X,0)

(es(0,Y )

)=(etX , 1

) (1, esY

) (e−tX , 1

)=(1, etX

(esY))

onde etX é visto como um automorfismo de G (essa conjugação vale tanto no grupoafim à esquerda quanto à direita). Daí que

Ad(et(X,0)

)(0, Y ) =

d

dsCet(X,0)

(es(0,Y )

)|s=0

=(0, d

(etX)

1(Y )).

Agora, d(etX)

1é um grupo a 1-parâmetro em Autg. Existe então uma derivação

D ∈ Derg tal que d(etX)

1= etD. Substituindo essa exponencial na expressão acima

chega-se ao colchete desejado

[(X, 0) , (0, Y )] = ad ((X, 0)) (0, Y ) =d

dtAd(et(X,0)

)(0, Y )|t=0 = (0, DY ) .

A derivação D que aparece nessa fórmula é um elemento de autG visto como umasubálgebra de Derg pois provém de um grupo a 1-parâmetro de automorfismos de G.Em suma a álgebra de Lie de AfG (tanto à esquerda quanto à direita) é dada daseguinte forma.

Proposição 9.8 O colchete de Lie em afG = autG× g é dado por

[(D1, X1) , (D2, X2)] = ([D1, D2], D1X2 −D2X1 + [X1, X2]) ,

com Di ∈ autG ⊂ Derg e Xi ∈ g.

Esta seção é concluída com a observação, fácil de ser verificada, de que seH ⊂ AutGé um subgrupo de Lie então H ×G é um subgrupo de Lie de AfG.

9.3 Produto semi-direto

O produto semi-direto de dois grupos é uma construção que generaliza o produtodireto e é bastante utilizada na descrição dos grupos de Lie simplesmente conexos. Osingredientes dessa construção são dois grupos G e H e um homomorfismo diferenciávelτ : G → AutH. Cada par (g, h) ∈ G × H define duas aplicações afins de H uma àesquerda e outra à direita, dadas por x 7→ hτ (g) (x) e x 7→ τ (g) (x)h, x ∈ H. Atravésda composta dessas aplicações afins se obtém duas estruturas de grupo em G×H, quese denomina de produto semi-direto (à esquerda ou à direita) de G e H definidopelo homomorfismos τ . Esses produtos são dados explicitamente por

1. (g1, h1) (g2, h2) = (g1g2, h1τ (g1) (h2)).


2. (g1, h1) (g2, h2) = (g1g2, τ (g1) (h2)h1).

Em ambos os casos o elemento neutro é (1, 1) e a inversa é

(g, h)−1 =(g−1, τ

(g−1) (h−1)).

O produto semi-direto é denotado por G ×τ H (ou por G ×eτ H e G ×dτ H se fornecessário distinguir o produto à esquerda ou à direita, respectivamente). Como τ é umhomomorfismo diferenciável, os produtos dados acima são diferenciáveis e, portanto, oproduto semi-direto de grupos de Lie é grupo de Lie.Um caso particular do produto semi-direto é evidentemente o grupo afim de AfH,

que é o produto semi-direto AutH ×id H. Outro caso particular se obtém quando τ éconstante igual a id. O produto semi-direto se reduz então ao produto direto G × Hdos grupos G e H (isso se for considerado o produto à esquerda, pois no produto adireita aparece G× H, onde H é o grupo definido pela multiplicação (h1, h2) 7→ h2h1.Qualquer produto semi-direto G×τ H contém cópias de suas componentes: o sub-

conjunto G×1 ⊂ G×τ H é um subgrupo isomorfo a G enquanto que 1×H é umsubgrupo isomorfo a H, que é normal em G ×τ H. Em geral, G × 1 não é normal.Aliás, um cálculo simples com conjugações mostra que G × 1 é normal no produtosemi-direto se, e só se, τ = id, isto é, quando o produto é direto. Os subgrupos G×1e 1 ×H são denotados apenas por G e H, respectivamente. Eles são subgrupos deLie por serem fechados.A álgebra de Lie de um produto semi-direto G×τH é dado pelo produto semi-direto

de suas álgebras de Lie, como é definido a seguir1.

Definição 9.9 Sejam g e h álgebras de Lie e ρ : g → Derh um homomorfismo deálgebras de Lie. O produto semi-direto g ×ρ h é a álgebra de Lie em g × h dada pelocolchete

[(X1, Y1) , (X2, Y2)] = ([X1, X2], ρ (X1)Y2 − ρ (X2)Y1 + [Y1, Y2]) .

Uma álgebra de Lie l é isomorfa a um produto semi-direto g×ρh se, e só se l = g1⊕h1

(soma direta de espaços vetoriais) tal que g1 é uma subálgebra isomorfa a g e h1 é umideal isomorfo a h.Dado um produto semi-direto G ×τ H sejam g e h as álgebras de Lie de G e H,

respectivamente. O homomorfismo τ : G → AutH é diferenciável e sua diferencialρ = dτ 1 no elemento neutro é um homormorfismo ρ : g → autH das álgebras de Liecorrespondentes. Porém, autH é uma subálgebra da álgebra das derivações Derh. Fazsentido então escrever o produto semi-direto g×ρ h com ρ = dτ 1.

Proposição 9.10 A álgebra de Lie G×τ H é g×ρ h onde ρ = dτ 1.

1Veja Álgebras de Lie [49], capítulo 1.

9.4. Grupos derivados e série central descendente 193

Demonstração: A demonstração é análoga ao cálculo, feito acima, do colchete naálgebra de Lie do grupo afim AfG: g e h são subálgebras de Lie e para determinar umcolchete do tipo [(X, 0) , (0, Y )] deve-se derivar a conjugação

Cexp t(X,0)

(es(0,Y )

)=(1, τ

(etX) (esY)).

Essa derivada faz aparecer o homomorfismo ρ e a fórmula do colchete no produto semi-direto. 2

A construção do produto semi-direto é muito útil para obter os grupos de Lie sim-plesmente conexos associados a uma determinada álgebra de Lie. Isso porque o gruposimplesmente conexo de um produto g ×ρ h é o produto semi-direto dos grupos cor-respondentes. De fato, sejam G e H os grupos simplesmente conexos com álgebra deLie g e h respectivamente. O grupo AutH é isomorfo a Auth, cuja álgebra de Lie éDerh. Como G é simplesmente conexo, o homomorfismo ρ : g→ Derh se estende a umhomomorfismo τ : G→ AutH, o que permite construir G×τ H, cuja álgebra de Lie ég×ρ h. Certamente, G×τ H é simplesmente conexo, pois é o produto Cartesiano de es-paços simplesmente conexos. Dessa forma, o único grupo de Lie conexo e simplesmenteconexo com álgebra de Lie g×ρ h é o produto semi-direto G×τ H.O produto semi-direto de grupos de Lie tem grande relevância teórica para o de-

senvolvimento da teoria em virtude do resultado de álgebras de Lie conhecido porteorema de decomposição de Levi2. Esse teorema afirma que toda álgebra deLie de dimensão finita pode ser decomposta como um produto semi-direto de umasubálgebra semi simples por um ideal solúvel.Portanto, o problema de determinar os grupos de Lie conexos e simplesmente

conexos se divide em determinar esses grupos para cada uma das duas grandes classesde álgebras de Lie, as solúveis e as semi simples.

9.4 Grupos derivados e série central descendente

Nesta seção serão estudadas propriedades das séries derivada e central descendentesde um grupo de Lie. Para isso se utiliza reiteradamente a construção do produtosemi-direto de grupos de Lie, feita na seção anterior.A construção do produto semi-direto fornece também informações sobre subgrupos

normais de grupos de Lie simplesmente conexos, como mostra a proposição a seguir.

Proposição 9.11 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e H ⊂ G umsubgrupo de Lie normal e conexo. Então, H é fechado e G/H é simplesmente conexo.

Demonstração: A álgebra de Lie h de H é um ideal da álgebra de Lie g de G. Issopermite formar a álgebra de Lie quociente q = g/h. Seja Q o grupo de Lie conexo esimplesmente conexo cuja álgebra de Lie é q. O homomorfismo canônico θ : g → g/hse estende a um homomorfismo φ : G→ Q tal que θ = dφ1. A álgebra de Lie do núcleo



kerφ coincide com ker θ, isto é, com h. Como H e a componente conexa da identidadede kerφ têm a mesma álgebra de Lie esses grupos são iguais. Por outro lado, kerφ éum subgrupo fechado e daí que H = (kerφ)0 também é fechado.Na verdade kerφ é conexo pois a aplicação G/ (kerφ)0 → G/ kerφ = Q é uma

aplicação de recobrimento, o que mostra que (kerφ)0 = kerφ, pois Q é simplesmenteconexo. Daí que H = kerφ e G/H = Q, o que mostra que G/H é simplesmente conexo.2

É possível mostrar que o subgrupo normal H da proposição anterior também ésimplesmente conexo3. A proposição a seguir mostra isso numa situação particular queserve para os grupos derivados de G.

Proposição 9.12 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e H ⊂ Gum subgrupo de Lie normal e conexo. Suponha que dimG = dimH + 1. Então, H ésimplesmente conexo.

Demonstração: Seja h ⊂ g a subálgebra de Lie de H e tome X ∈ g \ h, de talforma que g = RX ⊕h. Como h é ideal essa igualdade diz que g é isomorfa ao produtosemi-direto R ×θ h, onde θ : R → Derh é dada por θ (t) = ad (tX)|h . Portanto, G é

isomorfo ao produto semi-direto R × H, onde H é simplesmente conexo com álgebrade Lie h. A diferencial do isomorfismo G ≈ R× H associa a álgebra de Lie de H com aálgebra de Lie de 0× H. O que mostra que H e H são isomorfos, pois esses grupossão conexos. Daí que H é simplesmente conexo. 2

Esses resultados sobre subgrupos normais serão aplicados a seguir para o grupoderivado de um grupo de Lie.Em geral, se G é um grupo então seu grupo derivado G′ é definido como sendo

o subgrupo gerado pelos comutadores [x, y] = xyx−1y−1, x, y ∈ G. Os sucessivos gru-pos derivados G(k) são definidos indutivamente por G(k) =

(G(k−1)

)′, onde se coloca

G(0) = G. Esses subgrupos são normais (como segue da igualdade u [g, h]u−1 =[ugu−1, uhu−1]) e para cada k ≥ 0, G(k)/G(k+1) é um grupo abeliano.De maneira análoga, se define indutivamente as álgebras derivadas de uma ál-

gebra de Lie pondo g(0) = g, g′ o subespaço gerado pelos colchetes [X, Y ], X, Y ∈ g eg(k+1) =

(g(k))′. Essas álgebras derivadas são ideais de g e para cada k ≥ 0 o quociente

g(k)/g(k+1) é uma álgebra de Lie abeliana4.

Proposição 9.13 Se G é grupo de Lie conexo então G′ é subgrupo de Lie normal econexo.

Demonstração: De fato, G′ é subgrupo conexo por caminhos diferenciáveis. Issopor que se g, h ∈ G então existem caminhos diferenciáveis gt e ht, t ∈ [0, 1], com

3Veja Varadarajan [57], Teorema 3.18.2. O exercício 15 ao final do capítulo indica a demonstração.4Veja Álgebras de Lie [49], capítulos 1 e 2.

9.4. Grupos derivados e série central descendente 195

g0 = h0 = 1, g1 = g e h1 = h. Portanto, a curva gthtg−1t h−1

t é um caminho diferen-ciável entre o elemento neutro o comutador [g, h]. Agora, se g = [g1, h1] · · · [gk, hk] éum elemento genérico de G′ então o produto dos caminhos entre o elemento neutro eos comutadores fornece um caminho diferenciável entre 1 e g. Isso mostra que G′ éconexo. Por fim G′ é subgrupo de Lie pelo teorema 6.19. 2

O próximo passo é verificar que a álgebra de Lie L (G′) de G′ é a álgebra derivadag′. Para ver isso, considere o comutador

α (t) = e√tXe√tY e−

√tXe−

√tY t ≥ 0.

Então, a derivada à direita é α′ (0) = − [X, Y ] (veja proposição 6.12). Isso significa quequalquer colchete entre elementos de g é a derivada de uma curva em G′. Portanto,g′ ⊂ L (G′).

Proposição 9.14 Seja G grupo de Lie conexo. Então, a álgebra de Lie de G′ éL (G′) = g′ e daí que G′ = 〈exp g′〉.

Demonstração: Falta verificar a inclusão L (G′) ⊂ g′. Para isso suponha em primeirolugar que G é simplesmente conexo. Nesse caso a proposição 9.11 garante que 〈exp g′〉é subgrupo fechado. Portanto, G/〈exp g′〉 é grupo de Lie abeliano já que sua álgebrade Lie g/g′ é abeliana. Isso implica que os comutadores de G estão contidos em 〈exp g′〉pois se p : G→ G/〈exp g′〉 é o homomorfismo canônico então p [g, h] = [p (g) , p (h)] = 1.Daí que G′ ⊂ 〈exp g′〉 e, portanto L (G′) ⊂ g′.Para o caso geral em que G = G/Γ, com G simplesmente conexo e Γ subgrupo

discreto central, seja π : G→ G o homomorfismo canônico. Então, π(G′)

= G′, pois

π é sobrejetor. Pelo primeiro parágrafo L(G′)

= g′ e como dπ1 é isomorfismo, segue

que L (G′) = g′, concluíndo a demonstração. 2

No caso em que G é simplesmente conexo as proposições 9.11 e 9.12 fornecempropriedades adicionais para o grupo derivado.

Proposição 9.15 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo. Então, ogrupo derivado G′ é fechado e simplesmente conexo. O quociente G/G′ é simplesmenteconexo.

Demonstração: A proposição 9.11 garante de imediato que G′ é fechado e que G/G′

é simplesmente conexo. A demonstração de que G′ é simplesmente conexo é obtida poraplicações reiteradas da proposição 9.12. A questão é que qualquer subespaço V comg′ ⊂ V ⊂ g é um ideal de g pois os colchetes pertencem a g′. Daí que existem ideaisg1, . . . , gk, k = dim g− dim g′, com

g = g1 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ g′


e dim gi = dim gi+1 +1. Os subgrupos Gi = 〈exp gi〉 são normais. Pela proposição 9.12,G1 é simplesmente conexo. Por indução se conclui que os subgrupos Gi assim como G′

são simplesmente conexos. 2

Os demais grupos derivados G(k) são definidos indutivamente a partir do anterior,isto é, G(k) é o grupo derivado de G(k−1). Portanto, as afirmações feitas para o grupoG′ valem, por indução, para G(k), k ≥ 2.

Corolário 9.16 Seja G um grupo de Lie conexo. Então, os grupos derivados G(k) sãoos subgrupos de Lie conexos G(k) = 〈exp g(k)〉. Se, além do mais, G é simplesmenteconexo então G(k), k ≥ 0, é fechado e simplesmente conexo e os quocientes G(k)/G(i),k ≤ i, são simplesmente conexos.

Demonstração: Falta apenas observar que G(k)/G(i) é simplesmente conexo sek < i+ 1. Mas isso segue direto da proposição 9.11. 2

Corolário 9.17 Seja G um grupo de Lie conexo. Então, sua série derivada

G = G(0) ⊃ · · · ⊃ G(k) ⊃ · · ·

se estabiliza, isto é, existe k0 tal que G(k) = G(k0) se k ≥ k0.

Demonstração: De fato, a série derivada

g = g(0) ⊃ · · · ⊃ g(k) ⊃ · · ·

se estabiliza pois dim g(k+1) < dim g(k) se g(k+1) 6= g(k). O mesmo ocorre então com osgrupos derivados G(k) = 〈exp g(k)〉. 2

(Compare o corolário acima com o exercício 18 ao final do capítulo.)Um tratamento semelhante pode ser dado à série central descendente

G = G1 ⊃ G2 ⊃ · · · ⊃ Gk ⊃ · · ·

que é definida indutivamente por G1 = G, G2 = G′ e Gk+1 =[G,Gk

]é o subgrupo

gerado pelos comutadores [x, y] = xyx−1y−1, x ∈ G, y ∈ Gk. Os grupos Gk são normaise para cada k ≥ 0, Gk/Gk+1 é um grupo abeliano.De maneira análoga, a série central descendente

g = g1 ⊃ g2 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ · · ·

da álgebra de Lie g é definida por g1 = g, g2 = g′ e gk+1 =[g, gk

], que é o subespaço

gerado pelos colchetes [X, Y ], X ∈ g e Y ∈ gk. Cada gk é um ideal de g e os quocientesgk/gk+1 são álgebras de Lie abelianas5.

5Veja Álgebras de Lie [49], capítulos 1 e 2.


Os grupos Gk são conexos por caminhos pois são gerados por comutadores [g, h]que estão ligados ao elemento neutro por caminhos diferenciáveis. Portanto, eles sãosubgrupos de Lie. Quando G é simplesmente conexo, a proposição 9.11 garante quecada Gk é fechado e os quocientes G/Gk são simplesmente conexos.O objetivo agora é mostrar que a álgebra de Lie L

(Gk)de Gk coincide com gk.

Essa igualdade já foi demonstrada para k = 2 pois G2 = G′ e g2 = g′. Por induçãosobre k se prova que gk ⊂ L

(Gk)de forma análoga ao que foi feito para a álgebra

derivada: tomando X ∈ g, Y ∈ gk−1, o comutador

α (t) = e√tXe√tY e−

√tXe−

√tY t ≥ 0

tem derivada à direita α′ (0) = − [X, Y ], o que garante que [X, Y ] ∈ L(Gk)se X ∈ g

e Y ∈ gk−1. Daí que gk ⊂ L(Gk).

Para provar a inclusão contrária é suficiente tomar um grupo simplesmente conexo.Isso porque se π : G→ G = G/Γ é a projeção canônica então π

(Gk)

= Gk e daí que

as álgebras de Lie de Gk e de Gk coincidem.

Proposição 9.18 A álgebra de Lie L(Gk)de Gk coincide com gk, isto é, Gk =

〈exp gk〉.

Demonstração: Falta verificar a inclusão Gk ⊂ 〈exp gk〉, que será feita por induçãosobre k. Tome G simplesmente conexo. Então, pela proposição 9.11, 〈exp gk〉 é fechadoe G/〈exp gk〉 é grupo de Lie com álgebra de Lie g/gk. Denote por p : G→ G/〈exp gk〉o homomorfismo canônico.Assumindo o resultado para k − 1, deve-se verificar que se g ∈ G e h ∈ Gk−1 então

ghg−1h−1 ∈ 〈exp gk〉 , isto é, p (ghg−1h−1) = 1.Agora, p

(〈exp gk−1〉

)está contido no centro de G/〈exp gk〉 pois gk−1/gk ⊂ z

(g/gk

).

Pela hipótese de indução Gk−1 = 〈exp gk−1〉 e, portanto p(Gk−1

)está contido no cen-

tro de G/〈exp gk〉. Isso significa que p (ghg−1h−1) = 1 se h ∈ Gk−1, o que mostra queGk ⊂ 〈exp gk〉, concluíndo a demonstração. 2

Da mesma forma que a série derivada, a série central descendente de G se estabiliza,pois isso ocorre ao nível da álgebra de Lie.

9.5 Exercícios

1. Seja g a álgebra de Lie de Heisenberg, isto é, a álgebra de Lie das matrizes daforma 0 x z

0 0 y0 0 0

x, y, z ∈ R.

Encontre as álgebras Derg e ad (g) das derivações e derivações internas, respecti-vamente.


2. Seja g uma álgebra de Lie tal que Autg = Intg. Mostre que para qualquer grupode Lie conexo G, com álgebra de Lie g vale AutG = Autg.

3. Mostre que se G é um grupo de Lie conexo então a conjugação g ∈ G 7→ Cg ∈AutG é diferenciável.

4. Suponha que uma álgebra de Lie g seja um produto semi-direto, isto é, existemuma subálgebra h e um ideal n tal que g = h⊕n. Denote por G o grupo conexo esimplesmente conexo associado a g e seja 〈exp n〉 o subgrupo conexo com álgebrade Lie n. Mostre que 〈exp n〉 é simplesmente conexo.

5. Sejam G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e h ⊂ g um ideal.Mostre que 〈exp h〉 é fechado.

6. Seja D : Rn → Rn uma transformação linear que não tem auto-valores imáginar-ios (em particular kerD = 0). Construa o produto semi-direto h = R ×ρ Rn,onde ρ : R→ gl (n,R) é dada por ρ (t) = tD. Mostre que existe um único grupode Lie conexo com álgebra de Lie h.

7. Seja G um grupo de Lie e denote por EndG o semigrupo dos endomorfismosdiferenciáveis de G. Verifique que se G é simplesmente conexo então EndG éisomorfo ao semigrupo Endg dos endomorfismos de g. Descreva EndG no casoem que G = G/D não é simplesmente conexo.

8. Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g.Uma derivação D ∈ Derg define um grupo a 1-parâmetro exp tD ∈ AutG e, porconsequencia, um fluxo φt em G. Esse fluxo define, por sua vez, o campo devetores D (x) = d

dtφt em G denominado de automorfismo infinitesimal de G.

Mostre que D é obtido, a partir de D, pela seguinte fórmula

D (expX) = d (exp)X (DX) .

9. Seja D um automorfismo infinitesimal de um grupo de Lie. Mostre que se Xé campo invariante (à direita ou à esquerda) então [D,X] também é campoinvariante.

10. Dê exemplo de um grupo de Lie conexo, mas não simplesmente conexo G tal queAutG não é conexo.

11. SejamG um grupo de Lie e Γ ⊂ G um subgrupo discreto. Seja também φ ∈ AutGum automorfismo tal que φ (Γ) = Γ. Essa propriedade garante que φ passa aoquociente e define um difeomorfismo φ de G/Γ. Suponha que o único ponto fixode φ em G seja o elemento neutro e mostre que os pontos fixos de φ em G/Γ sãoisolados.

Aplique o resultado ao caso em que G/Γ é o toro Tn e mostre que se 1 não éautovalor de g ∈ Sl (n,Z) então o número de pontos fixos da aplicação induzidaem Tn é finito.


12. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e fibrado tangente TG ≈ G×g. Sejap : G×G→ G o produto em G. Mostre que a diferencial dp : TG× TG→ TGdefine uma estrutura de grupo de Lie em TG isomorfo ao produto semi-diretoG×Ad g (com g visto como grupo abeliano).

13. Seja G um grupo de Lie conexo não abeliano com álgebra de Lie g. Suponha queos únicos ideais de g são os triviais 0 e g e que o centro do grupo Z (G) = 1.Mostre as seguintes afirmações:

(a) G é simples como grupo abstrato, isto é, os únicos subgrupos normais de Gsão 1 e G. (Sugestão: em algum momento deve-se usar o exercício 32 docapítulo 9.)

(b) Todo automorfismo de g se estende a um automorfismo de G. Conclua queAutG é isomorfo a Autg.

14. Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo. Mostre que se H ⊂ G éum subgrupo de Lie conexo então H não é denso em G.

15. Sejam G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g eH = 〈exp h〉 um subgrupo normal conexo com h um ideal. Esse exercício tem porobjetivo mostrar que H é simplesmente conexo, o que complementa a proposição9.11.

(a) Suponha que h seja um ideal maximal, isto é, se h1 é um ideal que contémh então h1 = h ou h1 = g. Mostre que existe uma subálgebra l tal queg = l ⊕ h. (Sugestão: g/h só tem os ideais triviais 0 ou g/h e portantodim g/h = 1 ou g/h é semi simples. No primeiro caso argumente como naproposição 9.12 e no segundo caso use o teorema de decomposição de Levi.6)

(b) Mostre que existem subálgebras l1, . . . , lk tal que g = l1 ⊕ · · · ⊕ lk ⊕ h elj ⊕ · · · ⊕ lk ⊕ h é ideal de g para cada j = 1, . . . , k.

(c) Construa G por produtos semi-diretos sucessivos e conclua que H = 〈exp h〉é simplesmente conexo.

16. Sejam G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e H ⊂ G um subgrupode Lie conexo. Mostre que se o fecho H de H é subgrupo normal então H = H,isto é, H é fechado.

17. Dê exemplo de um grupo de Lie conexo G cujo grupo derivado não é fechado.(Sugestão: tome o produto semi-direto de álgebras de Lie R ×θ R3 com θ (1) :R3 → R3 a transformação linear que leva o primeiro eixo coordenado numa retade inclinação irracional no plano gerado pelos outros eixos.)



18. Dê exemplo de um grupo G cuja série derivada G = G(0) ⊃ · · · ⊃ G(k) ⊃ · · · nãose estabiliza, isto é, G(k+1) 6= G(k) para todo k ≥ 0. Faça o mesmo para a sériecentral descendente G = G0 ⊃ · · · ⊃ Gk ⊃ · · · . (Sugestão: considere “matrizestriangulares inferiores”num espaço de dimensão infinita com base e1, e2, . . ..)

Capítulo 10

Grupos solúveis e nilpotentes

Os resultados obtidos ao final do capítulo anterior sobre a série derivada G(n) e a sériecentral descendente Gn permitem analisar os grupos de Lie solúveis (que são aquelesem G(n) = 1 para algum n) e os grupos de Lie nilpotentes, para os quais Gn = 1para algum n. Como será visto neste capítulo um grupo de Lie conexo G é solúvel se, esó se, sua álgebra de Lie é solúvel. O mesmo resultado vale para os grupos nilpotentesconexos. Além do mais os grupos de Lie simplesmente conexos dessas classe podemser construídos por produtos semi-diretos sucessivos de grupos abelianos simplesmenteconexos. De onde se conclui que um grupo de Lie solúvel (em particular, nilpotente)conexo e simplesmente conexo é difeomorfo a um espaço euclidiano Rn.

10.1 Grupos solúveis

Os sucessivos grupos derivados G(k) de um grupo G são definidos indutivamente porG(0) = G e G(k) =

(G(k−1)

)′, o subgrupo gerado pelos comutadores [x, y] = xyx−1y−1,

x, y ∈ G(k). Esses subgrupos são normais e para cada k ≥ 0, G(k)/G(k+1) é um grupoabeliano. O conjunto de grupos encaixados

G = G(0) ⊃ · · · ⊃ G(k) ⊃ · · ·é chamado de série derivada de G.Conforme ficou estabelecido na seção 9.4 do capítulo 9 se G é grupo de Lie conexo

então cadaG(k) é subgrupo de Lie conexo. Suas álgebra de Lie L(G(k)

)são as álgebras

derivadas g(k), que são definidas indutivamente por g(0) = g e g(k) = [g(k−1), g(k−1)].A série derivada de g é o conjunto de ideais

g = g(0) ⊃ · · · ⊃ g(k) ⊃ · · · .Um grupo G é solúvel se sua série derivada termina no grupo trivial, isto é, se

G(k) = 1 para algum k ≥ 0 (nesse caso G(i) = 1 para i ≥ k). Da mesma forma aálgebra de Lie g é solúvel se g(k) = 0 para algum k ≥ 0.A igualdade L

(G(k)

)= g(k), que é equivalente a G(k) = 〈exp g(k)〉, mostra de

imediato que G(k) = 1 se, e só se, g(k) = 0. Daí que vale o seguinte critério paraque um grupo de Lie conexo seja solúvel.

201

202 Capítulo 10. Grupos solúveis e nilpotentes

Proposição 10.1 Um grupo de Lie conexo G é solúvel se, e só se, sua álgebra de Lieg é solúvel.

Um exemplo típico de álgebra de Lie solúvel é a álgebra das matrizes triangulares1: a1 · · · ∗...

. . ....

0 · · · an

n×n

.

Essa é a álgebra de Lie do grupo T das matrizes triangulares cujos elementos diagonaissão > 0. A variedade subjacente a T é Rn+ × RN , N = n (n− 1) /2, isto é, um espaçoeuclidiano. Esse exemplo ilustra uma propriedade que vale para todo grupo de Liesolúvel conexo e simplesmente conexo. Como será demonstrado a seguir esses grupossão difeomorfos a espaços euclidianos.A demonstração desse fato requer as seguintes informações sobre álgebras de Lie

solúveis.Uma decomposição de Jordan-Hölder de uma álgebra de Lie é uma sequência

de subálgebras g = g0 ⊃ g1 ⊃ · · · ⊃ gk = 0 tal que para cada i = 1, . . . , k, gi+1 é umideal de gi e os únicos ideais de gi/gi+1 são os triviais (isto é, gi/gi+1 é uma álgebrasimples ou dim gi/gi+1 = 1).A proposição a seguir mostra que álgebras de Lie solúveis admitem decomposições

de Jordan-Hölder em que os quocientes sucessivos tem dimensão um. (Na verdade,vale a recíproca. Uma decomposição dessas só ocorre em álgebras de Lie solúveis.)

Proposição 10.2 Seja g uma álgebra de Lie solúvel. Então, existe uma sequência desubálgebras

g = g0 ⊃ g1 ⊃ · · · ⊃ gk = 0tal que gi+1 é um ideal em gi e dim gi = dim gi+1 + 1 para i = 0, . . . , k − 1.

Demonstração: Comece com a série derivada g = g(0) ⊃ g′ ⊃ · · · ⊃ g(k) = 0 emque cada termo é um ideal de g. A inclusão entre dois termos sucessivos g(i) ⊃ g(i+1)

dessa série pode ser complementada por subespaços vetoriais

g(i) ⊃ V1 ⊃ · · · ⊃ Vl ⊃ g(i+1)

de tal forma que as dimensões variam de um em um. Como [g(i), g(i)] ⊂ g(i+1), segueque [Vj, Vr] ⊂ g(i+1). Em particular, [Vj, Vj+1] ⊂ g(i+1) ⊂ Vj+1, mostrando que Vj+1 éideal em Vj, o que conclui a demonstração. 2

Essa proposição mostra na verdade que a série derivada

g = g(0) ⊃ · · · ⊃ g(s) ⊃ 0

pode ser incluída numa decomposição de Jordan-Hölder. Um pequeno trabalho adi-cional permite mostrar que qualquer ideal de g pertence a uma decomposição dessas.

1Compare com o “teorema de Lie”em Álgebras de Lie [49], capítulo 2.

10.1. Grupos solúveis 203

Proposição 10.3 Sejam g uma álgebra de Lie solúvel e h ⊂ g um ideal. Então, existeuma decomposição Jordan-Hölder

g = g0 ⊃ g1 ⊃ · · · ⊃ gk = 0

tal que h = gi para algum i.

Demonstração: A subálgebra h também é solúvel, pois h(i) ⊂ g(i). Portanto, existeuma decomposição

h = h0 ⊃ h1 ⊃ · · · ⊃ hs = 0com dim (hi/hi+1) = 1. Por outro lado, g/h também é solúvel (pois (g/h)(i) = π

(g(i))2).

Existe, portanto uma sequência

g/h = l0 ⊃ l1 ⊃ · · · ⊃ lr = 0

com dim (li/li+1) = 1. Seja π : g → g/h a projeção canônica. Então, π−1 (li+1) temco-dimensão 1 em π−1 (li), daí que

g = π−1 (l0) ⊃ · · · ⊃ h = π−1 (lr) ⊃ h1 ⊃ · · · ⊃ hs = 0

é a decomposição desejada. 2

Voltando aos grupos de Lie, pode-se provar agora que os grupos solúveis conexos esimplesmente conexos são difeomorfos a espaços euclidianos.

Proposição 10.4 Seja G um grupo solúvel conexo e simplesmente conexo com álgebrade Lie g. Tome uma decomposição de Jordan-Hölder

g = g0 ⊃ g1 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ gk+1 = 0

com dim (gi/gi+1) = 1. Então, cada um dos subgrupos conexos 〈exp gi〉 é fechado edifeomorfo a um espaço euclidiano (Rn para algum n). Em particular G = 〈exp g0〉 éum espaço euclidiano.

Demonstração: Denote por Gi o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo comálgebra de Lie gi. A demonstração consiste em reconstruir G por sucessivos produtossemi-diretos R ×s Gi+1 ≈ Gi. Essa construção é feita de tal forma que, para cada i,〈exp gi〉 é isomorfo a Gi.O isomorfismo R ×s Gi+1 ≈ Gi é dado como na proposição 9.12, já que gi =

〈X〉 ⊕ gi+1 com X ∈ gi \ gi+1. Daí que procedendo por indução, em primeiro lugarGk ≈ R pois dim gk = 1. Então,

Gk−1 ≈ R×s R

onde a segunda componente é o subgrupo com álgebra de Lie gk. Da mesma formaGk−2 é isomorfo a R ×s (R×s R) obtendo, por fim G ≈ G0 por produtos semi-diretossucessivos cuja variedade é difeomorfa a Rk+1. 2



Corolário 10.5 Seja G um grupo solúvel conexo e simplesmente conexo com álgebrade Lie g. Se H ⊂ G é um subgrupo normal e conexo então H é fechado e difeomorfoa um espaço euclidiano. O quociente G/H também é espaço euclidiano.

Demonstração: De fato, se h é a álgebra de Lie de H então h é ideal e H = 〈exp h〉.O ideal pertence a uma decomposição de Jordan-Hölder de g pela proposição 10.3,portanto a proposição anterior garante que H é espaço euclidiano. A proposição 9.11do capítulo 9, garante que H é fechado e que G/H é simplesmente conexo. Portanto,o grupo de Lie solúvel G/H também é difeomorfo a um espaço euclidiano. 2

As boas propriedades dos subgrupos normais conexos enunciadas nesse coroláriovalem também para os subgrupos que não são normais, como mostra o próximo resul-tado.

Proposição 10.6 Seja G um grupo solúvel conexo e simplesmente conexo. Se H ⊂ Gé um subgrupo conexo então H é fechado e simplesmente conexo e, portanto, difeomorfoa um espaço euclidiano.

Demonstração: Suponha em primeiro lugar que o subgrupo conexo H é fechado. Ademonstração de que H é simplesmente conexo se faz por indução sobre a dimensãode G. Se dimG = 1, não há nada a demonstrar, pois nesse caso G ≈ R e H = 1 ouH = G.Pela hipótese de indução o resultado vale para os subgrupos do grupo derivado G′,

já que dimG′ < dimG e pelos resultados acima G′ é simplesmente conexo. O quocienteG/G′ é isomorfo a Rn pois é abeliano e simplesmente conexo. Seja π : G → G/G′ ohomomorfismo canônico. Então, π (H) = H/H ∩G′ é isomorfo a um subgrupo conexoRn, que é um subespaço vetorial. Isto é, H/H ∩ G′ é simplesmente conexo, o quegarante que H ∩ G′ é conexo (pois H/ (H ∩G′)0 → H/H ∩ G′ é uma aplicação derecobrimento). Segue da hipótese de indução que H ∩G′ é simplesmente conexo.Consequentemente H/H∩G′ e H∩G′ são simplesmente conexos, o que implica que

H é simplesmente conexo (veja exercício 16 do capítulo 7). Isso conclui a demonstraçãode que se H é conexo e fechado então H é simplesmente conexo.Por fim, se H é conexo então o seu fecho H é conexo e fechado, portanto sim-

plesmente conexo. Mas, H é subgrupo normal de H. A proposição 9.11 do capítulo 9garante então que H (visto como subgrupo de H) é fechado. Isto é, H = H, concluíndoa demonstração. 2

10.2 Grupos nilpotentes

Dado um grupo G sua série central descendente

G = G1 ⊃ G2 ⊃ · · · ⊃ Gk ⊃ · · ·

10.2. Grupos nilpotentes 205

que é definida indutivamente por G1 = G, G2 = G′ e Gk+1 =[G,Gk

]é o subgrupo

gerado pelos comutadores [x, y] = xyx−1y−1, x ∈ G, y ∈ Gk. Os grupos Gk são normaise para cada k ≥ 0, Gk/Gk+1 é um grupo abeliano.De maneira análoga, a série central descendente

g = g1 ⊃ g2 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ · · ·

da álgebra de Lie g é definida por g1 = g, g2 = g′ e gk+1 =[g, gk

], que é o subespaço

gerado pelos colchetes [X, Y ], X ∈ g e Y ∈ gk. Cada gk é um ideal de g e os quocientesgk/gk+1 são álgebras de Lie abelianas3.Um grupo G é nilpotente se sua série central descendente termina no grupo trivial,

isto é, se Gk = 1 para algum k ≥ 0 (nesse caso Gi = 1 para i ≥ k). Da mesmaforma a álgebra de Lie g é nilpotente se gk = 0 para algum k ≥ 0.Se G é um grupo de Lie conexo então a proposição 9.18 do capítulo 9 mostra que

a álgebra de Lie L(Gk)de Gk coincide com gk, o que é equivalente a Gk = 〈exp gk〉.

Essa igualdade mostra de imediato que Gk = 1 se, e só se, gk = 0. Daí que vale oseguinte critério para que um grupo de Lie conexo seja nilpotente.

Proposição 10.7 Um grupo de Lie conexo G é nilpotente se, e só se, sua álgebra deLie g é nilpotente.

A série central descendente está contida na série derivada, no sentido em queGk+1 ⊂ G(k) e gk+1 ⊂ g(k+1). Portanto, os grupos (assim como as álgebras de Lie)nilpotentes são também solúveis. Dessa forma as propriedades dos grupos solúveisconexos descritas na seção anterior valem para os grupos nilpotentes conexos. Daí queum grupo de Lie nilpotente, conexo e simplesmente conexo, é difeomorfo a um espaçoeuclidiano, assim como cada um de seus subgrupos conexos.No caso nilpotente essa situação é aprimorada pelo fato de que aplicação exponencial

exp : g → G é um difeomorfismo, o que não vale para grupos solúveis em geral (vejaum exemplo abaixo).

Teorema 10.8 Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmente conexo.Então, a aplicação exponencial exp : g→ G é um difeomorfismo.

Dito de outra maneira, nos grupos de Lie nilpotentes simplesmente conexos a apli-cação exponencial é um sistema de coordenadas global de primeira espécie.Na demonstração do teorema 10.8 serão utilizadas as seguintes propriedades ele-

mentares das álgebras de Lie nilpotentes4:

1. Se g é nilpotente então as adjuntas ad (X), X ∈ g, são transformações linearesnilpotentes5. Isso porque ad (X) (Y ) = [X, Y ] ∈ g2, ad (X)2 (Y ) ∈ g3 e assim pordiante, de tal forma que ad (X)k = 0 se gk+1 = 0.

3Veja Álgebras de Lie [49], capítulos 1 e 2.4Veja Álgebras de Lie [49], capítulos 1 e 2.5O teorema de Engel fornece uma recíproca a essa afirmação. Veja Álgebras de Lie [49], capítulo

2.


2. Uma álgebra de Lie nilpotente g tem centro z (g) 6= 0. De fato, se gk+1 é aprimeira potência de g que se anula então gk 6= 0 está contido no centro de g,pois

[g, gk

]= gk+1 = 0.

3. Seja g uma álgebra de Lie nilpotente. Então, toda subálgebra de g é nilpotente.Se h ⊂ g é um ideal então g/h é nilpotente.

O primeiro passo na demonstração do teorema 10.8 será verificar que exp é um difeolocal. A fórmula da diferencial de exp, demonstrada no capítulo 8 fornece

d (exp)X = dEeX TX = dEeX ead(X) − 1

ad (X).

Como ad (X), X ∈ g, é nilpotente, seus auto-valores são nulos. Portanto, os auto-

valores de TX =ead(X) − 1

ad (X)são todos iguais a 1 = f (0) onde f (t) =

et − 1

t. Isso

implica que TX e, portanto, d (exp)X é injetora. Como as dimensões do domínio e daimagem coincidem, segue que d (exp)X é bijetora para todo X ∈ g. Portanto, exp éum difeomorfismo local.Dessa forma, para mostrar que exp é difeomorfismo basta mostrar que é uma bijeção.A demonstração de que a exp é bijetora é feita por indução sobre a dimensão de G.

Em primeiro lugar, se dimG = 1 e G é simplesmente conexo então tanto G quanto gcoincidem com R e exp é a identidade.Para o passo de indução considere o centro z (g) de g. Então, z (g) 6= 0 e

dim (g/z (g)) < dim g. Seja H = 〈exp z (g)〉 (adiante será verificado que H = Z (G)).Pelo corolário 10.5 H é fechado e G/H é simplesmente conexo. A álgebra de Lie deG/H é álgebra nilpotente g/z (g).Pela hipótese de indução as exponenciais em H e G/H são sobrejetoras.Portanto, dado g ∈ G existe X = dπ1 (X) ∈ g/h, X ∈ g, tal que eX = π (g). Então,

π(eX)

= eX = π (g) ,

onde π : G → G/H o homomorfismo canônico.Isso significa que existe h ∈ H tal queg = eXh. Pela sobrejetividade da exponencial em H, existe Y ∈ z (g) tal que h = eY .Isto é,

g = eXeY = eX+Y

pois [X, Y ] = 0. Isso mostra que g está na imagem da exponencial, concluíndo ademonstração de que exp é sobrejetora.Para verificar a injetividade, tome X, Y ∈ g tal que eX = eY . Então,

edπ1(X) = π(eX)

= π(eY)

= edπ1(X).

Novamente pela hipótese de indução, segue que dπ1 (X) = dπ1 (Y ), o que significa queexiste Z ∈ z (g) tal que X = Y +Z. No entanto, Z comuta tanto com X e Y . Daí que

eX = eY+Z = eY eZ

10.2. Grupos nilpotentes 207

e, portanto, eZ = 1, o que implica que Z = 0, pois a exponencial é injetora em H. Istoé, X = Y mostrando a injetividade da exponencial e concluíndo a demonstração doteorema 10.8.O teorema 10.8 tem as seguintes consequências.

Corolário 10.9 Seja G um grupo de Lie nilpotente e conexo. Então, exp : g → Gé uma aplicação de recobrimento. O grupo G é simplesmente conexo se, e só se, aaplicação exponencial é injetora.

Demonstração: Escreva G = G/Γ com G simplesmente conexo e Γ discreto e cen-tral. O homomorfismo canônico π : G → G é uma aplicação de recobrimento e valeexpG = π expG, o que garante que expG é um recobrimento já que expG é difeomor-fismo. 2

Corolário 10.10 Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo com álgebra de Lie g.Então, os subgrupos conexos de G são da forma H = exp h, onde h ⊂ g é uma subál-gebra. Se G é simplesmente conexo então qualquer subgrupo conexo exp h é fechado esimplesmente conexo.

Demonstração: De fato, se H é conexo então a exponencial emH é sobrejetora, poisH é nilpotente. Se G é simplesmente conexo então a aplicação exponencial é injetorae daí que H = exp h é simplesmente conexo. Além do mais como exp : g → G édifeomorfismo e h ⊂ g é fechado, se conclui que H = exp h é fechado. 2

Exemplo: Seja n ⊂ gl (n,R) a álgebra de Lie das matrizes triangulares superiorescom zeros na diagonal. Essa álgebra de Lie é nilpotente e é a álgebra de Lie do grupoN das matrizes triangulares superiores com 1 na diagonal. Como N é conexo, se con-clui que N = 〈exp n〉 coincide com exp n. Além do mais N é simplesmente conexoe fechado, portanto os seus subgrupos conexos são simplesmente conexos e fechadospelos corolários 10.9 e 10.10. 2

Proposição 10.11 Seja G um grupo nilpotente conexo. Se z (g) é o centro da álgebrade Lie g de G então, o centro de G é dado por

Z (G) = exp z (g) .

Demonstração: Como G é conexo vale a inclusão exp z (g) ⊂ Z (G). Para a inclusãocontrária escreva G = G/Γ com G simplesmente conexo e Γ discreto e central. TomegΓ ∈ Z (G) e seja X ∈ g tal que g = eX . Então, para todo h ∈ G, heXh−1 = eXΓ, istoé, existe γh ∈ Γ tal que eAd(h)X = eXγh. Aplicando essa igualdade e h = etY , Y ∈ g,t ∈ R, se obtém

eAd(etY )X = eXγt


onde t 7→ γt = eAd(etY )Xe−X é uma curva contínua que assume valores em Γ. ComoΓ é discreto, γt é constante e igual a γ0 = 1. Pela injetividade da exponencial em Gsegue que Ad

(etY)X = X, isto é,

etad(Y )X = X.

A derivada em relação a t mostra que ad (Y )X = 0, isto é, X ∈ z (g), concluíndo ademonstração. 2

Corolário 10.12 Seja G = G/D um grupo de Lie nilpotente e conexo, com G sim-

plesmente conexo. Então, G é difeomorfo ao “cilindro”Rn ×Z(G)/D, n = dim G−

dimZ(G).

Demonstração: Pelo corolário anterior Z(G)

= exp z (g). Tome um subespaço

V que complementa z (g) em g. A aplicação f : V × Z(G)/D → G definida por

f (X, gD) = π(eXg

)é o difeomorfismo desejado. De fato, f faz parte do seguinte

diagrama comutativo

V × Z(G)/D

V × z (g)

? ?id π exp

-

-exp

f?π

G

G

onde exp na linha de cima é dada por (X, Y ) 7→ eXeY = eX+Y . O diagrama mostraque f é difeo local pois as exponenciais envolvidas são difeomorfismos e as projeções(denotadas por π) são aplicações de recobrimento. Do diagrama se vê também que f é

sobrejetora. Agora, se f (X1, g1D) = f (X2, g2D) então existe z = eZ ∈ Z(G)tal que

eX1 = eX2eZ , o que implica que X1 = X2 e, portanto, g1D = g2D. 2

Corolário 10.13 Se um grupo nilpotente e conexo é compacto então ele é abeliano.

Demonstração: Segue de imediato do corolário anterior, já que se G é compactoentão n = dim G− dimZ

(G)

= 0. 2

Deve-se observar que a exponencial em grupos solúveis não é, em geral, um difeo-morfismo como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo: Seja A uma matriz real n × n e suponha que A tenha um auto-valorpuramente imaginário não nulo. Seja g a álgebra de Lie solúvel de matrizes da forma(

tA v0 0

)


com v uma matriz coluna n× 1 e t ∈ R. Os auto-valores de

ad

(tA 00 0

)são 0 e tλ onde λ é auto-valor de A. Existe, portanto, X ∈ g tal que ad (X) temauto-valor não nulo em 2πiZ. Isso implíca que para qualquer grupo G com álgebra deLie g a aplicação exponencial exp : g→ G tem pontos singulares e, portanto, não podeser difeomorfismo. 2

Por fim um comentário relevante sobre a construção do grupo conexo e simplesmenteconexo G cuja álgebra de Lie g é nilpotente. O fato da exponencial exp : g → Gser difeomorfismo permite definir em g (ou melhor no espaço vetorial subjacente) umproduto c : g× g→ g que torna g um grupo de Lie isomorfo a G. Esse produto é dadopela igualdade

eXeY = ec(X,Y ).

A fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH), demonstrada no capítulo 8 forneceuma expressão para c (X, Y ) em termos do colchete em g. No caso em que g é nilpotenteessa fórmula é um polinômio em X e Y , que está definido para todo par (X, Y ) e éuma aplicação diferenciável. Isso significa que g munido com o produto dado por BCHé um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Esse é um método eficiente para construir ogrupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie nilpotente g.Por exemplo, se g3 = 0 então a fórmula BCH é dada por

c (X, Y ) = X + Y +1

2[X, Y ] .

Esse é um produto que define g como um grupo de Lie.

10.3 Exercícios

1. Mostre um grupo solúvel simplesmente conexo G admite um sistema de coorde-nadas global de segunda espécie. Isto é, existe uma base X1, . . . , Xn da álgebrade Lie g de G tal que a aplicação

(t1, . . . , tn) ∈ Rn 7−→ et1X1 · · · etnXn

é um difeomorfismo.

2. Dê exemplo de um grupo solúvel simplesmente conexo G cuja aplicação exponen-cial não é difeomorfismo.

3. Mostre que um grupo de Lie conexo e nilpotente é unimodular. Dê exemplos degrupos solúveis conexos que não são unimodulares.


4. Dados um grupo G e H ⊂ G um subgrupo normal mostre que G é solúvel se, esó se, H e G/H são solúveis. Dê um exemplo que mostre que essa propriedadenão vale para grupos nilpotentes.

5. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g, nilpotente e não abeliana. Mostreque G não é compacto.

6. Faça o mesmo que o exercício anterior substituindo nilpotente por solúvel nãoabeliana.

7. Considere as séries formais na variável x com coeficientes reais, expx =∑

k≥0

1

k!xk

e log (1 + x) =∑

k≥1

(−1)k+1

kxk. Substitua na série do logaritmo x por expx− 1

e verifique a igualdade

log (expx) = log (1 + (expx− 1)) = x.

Use essa igualdade para mostrar que se A e B matrizes reais n × n nilpotentesentão eA = eB se, e só se, A = B.

8. Denote por N o conjunto das transformações lineares nilpotentes em gl (n,R).

(a) Mostre que seX ∈ N então g = expX é unipotente, isto é, g−1 é nilpotente.Mostre também que se exp tX é unipotente para todo t ∈ R então X ∈ N .

(b) Seja U ∈ Gl (n,R) o conjunto dos elementos unipotentes. Mostre queexp : N → U é bijetora. (Use as séries de potências da exponencial edo logaritmo.)

(c) Dê exemplo de uma matriz X não nilpotente tal que expX é unipotente.

9. Como caso particular do exercício 7, seja A ∈ gl (n,R) uma transformação linearnilpotente e mostre que se eA = 1 então ATA = 0 onde TA é a série de potênciasda função f (x) = ex−1

xavaliada em A. Conclua que A = 0.

10. Seja g ⊂ gl (n,R) uma álgebra de Lie para a qual existe uma base β de Rn talque a matriz de todo elemento de A em relação a β é triangular superior comzeros na diagonal. Mostre que G = 〈exp g〉 é um grupo nilpotente simplesmenteconexo.

11. Seja G um grupo de Lie nilpotente simplesmente conexo com álgebra de Lie g.Dada uma derivação D ∈ Der (g) construa o automorfismo infinitesimal D comono exercício 8 do capítulo 9. Mostre que no sistema de coordenadas global, dadopela exponencial, vale D (X) = D (X) para todo X ∈ g.

12. Dado um produto semi-direto de álgebras de Lie p = g×ρ h, mostre que se g e hsão solúveis então p também é solúvel.

13. Dê exemplos de álgebras Lie g e h e um produto semi-direto p = g ×ρ h tal queg e h são nilpotentes, mas p não é nilpotente.

Capítulo 11

Grupos compactos

Neste capítulo serão estudados os grupos simplesmente conexos que são recobrimentosuniversais de grupos compactos. Como será demonstrado a álgebra de Lie g de umgrupo compacto G se decompõe na soma direta g = z (g)⊕k onde z (g) é o centro de g ek é uma álgebra semi simples. O grupo simplesmente conexo associado a g é o produtodireto dos grupos simplesmente conexos de z (g) e de k. Esse último é compacto, comoresultado do teorema de H. Weyl, que será demonstrado aqui.

11.1 Álgebras de Lie compactas

No capítulo 3 foi demonstrado, via integração pela medida de Haar, que se ρ : G →Gl (V ) é uma representação real de dimensão finita do grupo compacto Hausdorff Gentão existe um produto interno (·, ·) em V invariante por ρ (g), g ∈ G (veja proposição4.1).Em particular se G é um grupo de Lie compacto então existe um produto interno

(·, ·) em sua álgebra de Lie g em relação ao qual Ad (g) é isometria para todo g ∈ G,isto é,

(Ad (g)Y,Ad (g)Z) = (Y, Z) Y, Z ∈ g.A fórmula Ad (exp tX) = exp (tad (X)), t ∈ R, garante então que exp (tad (X)) éisometria de (·, ·) para todo X ∈ g. Isso implica que ad (X) é anti-simétrica em relaçãoa esse produto interno ou, como se diz em teoria de álgebras de Lie, o produto internoé invariante pela representação adjunta de g.Essas propriedades garantem que no caso de um grupo compacto ad (X), X ∈ g,

e Ad (g), g ∈ G, são transformações semi simples, isto é, suas complexificadas sãodiagonalizáveis.Em vista disso se introduz a seguinte classe de álgebras de Lie, cuja definição é

puramente algébrica.

Definição 11.1 Uma álgebra de Lie real g é dita compacta se existe em g um pro-duto interno (·, ·) invariante, isto é,

(ad (X)Y, Z) + (Y, ad (X)Z) = 0 X, Y, Z ∈ g.

211

212 Capítulo 11. Grupos compactos

As álgebras de Lie dos grupos de Lie compactos são compactas. Reciprocamente,será mostrado ao longo deste capítulo que uma álgebra de Lie compacta é a álgebra deLie de algum grupo compacto. A relação entre ambas as classes de álgebras e gruposde Lie só não é completamente fechada porque existem grupos de Lie não compactoscom álgebras de Lie compactas. Por exemplo, uma álgebra abeliana é compacta, jáque qualquer produto interno é invariante. Apesar delas serem álgebras de Lie detoros compactos elas são também álgebras de Lie de grupos não compactos, como ossimplesmente conexos difeomorfos a Rn.Esse exemplo da álgebra abeliana é essencialmente único, pois uma álgebra de Lie

compacta g se decompõe na soma direta de seu centro z (g) com um ideal semi simplesk. Esse ideal também é uma álgebra compacta e segue do teorema de Weyl que o gruposimplesmente conexo com álgebra de Lie k é compacto.Antes de prosseguir deve-se observar que se h ⊂ g é uma subálgebra da álgebra

compacta g então h também é compacta. Isso porque a restrição a h do produtointerno em g é um produto interno invariante em h.O primeiro passo da descrição de g é obter sua decomposição em soma direta de

ideais.Em geral, seja ρ : h → gl (V ) uma representação de uma álgebra de Lie no espaço

vetorial real V tal que para todoX ∈ g, ρ (X) é anti-simétrica em relação a um produtointerno (·, ·). Então, se W ⊂ V é um subespaço invariante o mesmo ocorre com o seucomplementar ortogonal W⊥, pois se u ∈ W , v ∈ W⊥ e X ∈ h então

(ρ (X) v, u) = − (v, ρ (X)u) = 0

já que ρ (X)u ∈ W . Isso fornece a decomposição V = W ⊕ W⊥ nos subespaçosinvariantes W e W⊥. Decompondo os subespaços sucessivamentes chega-se a umadecomposição

V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn

em subespaços invariantes e irredutíveis pela representação ρ. (Compare com demon-stração da proposição 4.2 do capítulo 3.)Essa decomposição pode ser aplicada à representação adjunta de uma álgebra de

Lie compacta. Nesse caso um subespaço invariante é um ideal da álgebra.Para tratar a irredutibilidade deve-se usar os seguintes conceitos de álgebras de

Lie: uma álgebra de Lie g é simples se dim g > 1 e sua representação adjunta éirredutível, isto é, se os únicos ideais de g são os triviais 0 e g. Já g semi simples seg = g1⊕· · ·⊕gn, em que cada gi é um ideal simples (isto é, gi é álgebra de Lie simples).Esses ideais são chamados de componentes simples de g. Sabe-se que o centro z (g) deuma álgebra de Lie semi simples é nulo, o que aliás segue diretamente das definiçõesvia os seguintes argumentos:

1. Se g é simples então z (g) = 0 ou z (g) = g, já que z (g) é ideal. Mas, se z (g) = g

então g é abeliana e como dim g > 1 qualquer um de seus subespaços seria umideal. Portanto, z (g) = 0.

11.1. Álgebras de Lie compactas 213

2. Se g = g1⊕· · ·⊕gn então as componentes simples comutam entre si pois se a e bsão ideais com a∩b = 0 então [X, Y ] = 0 seX ∈ a e Y ∈ b, já que [X, Y ] ∈ a∩b.Agora, escreva Z ∈ z (g) como Z = Z1 + · · ·+ Zn, dado pela decomposição de g.Tome X ∈ gj. Então, [X,Z] = [X,Zj] = 0, portanto Zj ∈ z (gj) = 0. Isto é,Zj = 0 para qualquer indice j e daí que Z = 0.

Outra propriedade a ser utilizada na demonstração abaixo é que se g é semi simplesentão sua álgebra derivada g′ coincide com g. De fato, se g é simples então g′ é um ideal6= 0 (pois g não é abeliana) e daí que g′ = g. No caso semi simples esse argumentogarante que cada componente simples está contida no subespaço gerado pelas imagensdas adjuntas. E daí que a álgebra semi simples, que é a soma direta das componentessimples também satisfaz essa propriedade.Com esses conceitos a decomposição de uma álgebra de Lie compacta é dada da

seguinte forma:

Teorema 11.2 Uma álgebra de Lie compacta g se decompõe como

g = z (g)⊕ u

onde z (g) é o centro de g e u é um ideal semi simples. Essa decomposição é única poisu = z (u)⊥ = g′.

Demonstração: Tome uma decomposição de g em subespaços invariantes e irre-dutíves pela representação adjunta e escreva essa decomposição como

g = i1 ⊕ · · · ⊕ im ⊕ u1 ⊕ · · · ⊕ un (11.1)

de tal forma que dim ij = 1 e dim uj > 1. Cada uma dessas componentes é um ideal deg. Elas comutam entre si pois são ideais com interseção nula. Além do mais os ideaisuj com dim uj > 1 são simples, pois um ideal a ⊂ uj de uj também é ideal de g, já queuj comuta com as demais componentes.Escreva i = i1⊕· · ·⊕ im e u = u1⊕· · ·⊕un. Então, u é semi simples pois é soma de

ideais simples e i é abeliano pois dim ij = 1. Como i comuta com u, segue que i ⊂ z (g).Na verdade essa inclusão é uma igualdade pois caso contrário z (g) ∩ u 6= 0. Mas,z (g) ∩ u ⊂ z (u) = 0, pois u é semi simples.A unicidade é consequência do fato de que se u uma álgebra semi simples que

complementa z (g) então, u = z (g)⊥. Para ver isso é suficiente verificar que u ⊂ z (g)⊥

devido às dimensões dos subespaços. Por sua vez é suficiente mostrar que se X ∈ uentão a imagem de ad (X) é ortogonal a z (g), pois u é gerado pelas imagens de ad (X),X ∈ u. Mas, isso segue de imediato da invariância do produto interno, já que seY = ad (X) (W ), W ∈ u, então para todo Z ∈ z (g), vale

(Z, Y ) = (Z, ad (X) (W )) = − (ad (X) (Z) ,W ) = 0,



No teorema acima o ideal semi simples u assim como suas componentes simplessão álgebras de Lie compactas. Isso porque toda subálgebra de uma álgebra compactatambém é compacta. Segue dessa observação que uma álgebra de Lie compacta g ésemi simples se, e só se, z (g) = 0.O produto interno invariante (·, ·) numa álgebra de Lie compacta não é único. Por

exemplo, a (·, ·), a > 0, também é invariante ou ainda, a soma direta de produtosinternos invariantes nas componentes da decomposição (11.1) também é um produtointerno invariante, de tal forma que o conjunto dos produtos internos invariantes é umcone de dimensão igual ao número de componentes em (11.1).Existe, no entanto uma escolha natural baseada na forma de Cartan-Killing de g,

que é definida por

Kg (X, Y ) = tr (ad (X) ad (Y )) X, Y ∈ g.

Proposição 11.3 Seja g álgebra de Lie compacta. Então, sua forma de Cartan-KillingKg (·, ·) é negativa semi-definida. Além do mais, para X ∈ g, Kg (X,X) = 0 se, e sóse, X ∈ z (g). Portanto, g é semi simples se, e só se, Kg (·, ·) é negativa definida1.

Demonstração: Se X ∈ g então ad (X) é anti-simétrico em relação a um produtointerno, portanto seus auto-valores são puramente imaginários. Sejam ia1, . . . , ian ∈ iRos auto-valores de ad (X). Então,

Kg (X,X) = tr(ad (X)2) = −

(a2

1 + · · ·+ a2k

)≤ 0,

o que mostra que Kg (·, ·) é negativa semi-definida. Ainda dessa expressão se concluitambém que Kg (X,X) = 0 se, e só se, os auto-valores de ad (X) são todos nulos.Mas, por ser anti-simétrica, ad (X) é uma transformação linear semi simples e daí quead (X) = 0 se, e só se, seus auto-valores se anulam. Portanto, Kg (X,X) = 0 se, e sóse, X ∈ z (g).Por fim, se g é semi simples então z (g) = 0. Portanto, Kg (X,X) = 0 implica que

X = 0, mostrando que a forma de Cartan-Killing é negativa definida. Reciprocamente,se Kg (·, ·) é negativa definida então z (g) = 0 e g é semi simples. 2

Em geral, para uma álgebra de Lie arbitrária a forma de Cartan-Killing é invariantepela representação adjunta. A proposição acima garante então que 〈·, ·〉 = − Kg (·, ·)é um produto interno invariante numa álgebra g compacta e semi simples. Dentreos produtos internos invariantes o negativo da forma de Cartan-Killing fornece umaescolha natural pois é definido intrinsecamente a partir da álgebra de Lie. Para álgebrascompactas em geral pode-se tomar a forma de Cartan-Killing na componente semisimples e estender com um produto interno arbitrário no centro.Passando aos grupos de Lie com álgebras de Lie compactas, o primeiro passo é olhar

o grupo de automorfismos Autg de uma álgebra de Lie compacta g.

1Um dos critérios de Cartan generaliza essa última afirmação mostrando que uma álgebra de Lie ésemi simples se, e só se, sua forma de Cartan-Killing é não degenerada. Veja o capítulo 3 de Álgebrasde Lie [49]

11.2. Grupo fundamental finito 215

Proposição 11.4 Seja g uma álgebra de Lie semi simples compacta. Então, o grupoAutg dos automorfismos de g é compacto.

Demonstração: O grupo Autg é um subgrupo fechado de Gl (g). Além do mais,se φ é um automorfismo de g então ad (φX) = φad (X)φ−1 o que implica que φ éisometria da forma de Cartan-Killing. Como Kg (·, ·) é negativa definida o seu grupode isometrias é compacto, daí que Autg é compacto. 2

Consequentemente, a componente conexa da identidade Aut0g de Autg é um grupode Lie compacto. A álgebra de Lie desses grupos é Derg, a álgebra das derivações de g.No caso em que g é semi-simples Derg é isomorfa a g pela representação adjunta. Defato, por um lado ad é injetora pois ker ad = z (g) = 0. Por outro lado, um teoremade álgebras de Lie garante que se g é semi simples (não necessariamente compacta)então toda derivação de g é interna, isto é, se D ∈ Derg então existe X ∈ g tal queD = ad (X). Isso mostra a sobrejetividade de ad, concluíndo que ad : g→ Derg é umisomorfismo.Portanto, Aut0g é um grupo compacto e conexo com álgebra de Lie (isomorfa a) g.

Reciprocamente, se Aut0g compacto então g é uma álgebra compacta por ser a álgebrade Lie de um grupo compacto.Na verdade se g é uma álgebra de Lie semi simples (não necessariamente compacta)

então Aut0g é o menor grupo de Lie com álgebra de Lie g. De fato, se G é um grupoconexo com álgebra de Lie g então Ad : G → Aut0g é um difeomorfismo local poisad : g→ Derg é isomorfismo. Isso implica que Ad é sobrejetora, pois sua imagem é umsubgrupo aberto de Aut0g. Daí que Aut0g ≈ G/Z (G) e portanto, Aut0g é o quocientede qualquer grupo de Lie G com álgebra de Lie g. Tomando em particular G = Aut0g

se vê que Aut0g ≈ Aut0g/Z (Aut0g) de onde se conclui que Z (Aut0g) = 1. (Vejatambém o exercício 21 do capítulo 5.) Esses fatos são incluídos na proposição a seguir,para referência futura.

Proposição 11.5 Seja g uma álgebra de Lie semi simples então o centro de Aut0g étrivial e Aut0g = G/Z (G) para todo grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Alémdo mais Aut0g é compacto se, e só se, g é uma álgebra compacta.

Os parágrafos anteriores mostram que se g é álgebra de Lie compacta e semi simplesentão existe pelo menos um grupo compacto G com álgebra de Lie g, que é Aut0g. Napróxima seção será demonstrado que um grupo de Lie é compacto se sua álgebra de Lieé compacta e semi simples. Juntando essa informação com teorema 11.2 se obtém oresultado final de que o recobrimento universal de um grupo de Lie compacto e conexoé da forma Rn × G onde G é um grupo de Lie compacto simplesmente conexo cujaálgebra de Lie é semi simples.

11.2 Grupo fundamental finito

Seja g uma álgebra de Lie semi simples compacta e denote por G o grupo de Lie conexoe simplesmente conexo com álgebra de Lie g. O objetivo dessa seção é apresentar uma


primeira demonstração do teorema de Weyl que garante que G é compacto. Por esseteorema todo grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g é compacto. A afirmaçãode que G é compacto é equivalente a que o grupo fundamental de Aut0g seja finito(daí o título da seção). Isso porque Aut0g é um grupo compacto cuja álgebra de Lie éDerg ≈ g, como foi visto na seção anterior.Posteriormente será apresentada uma outra demonstração do teorema de Weyl,

que se utiliza da estrutura algébrica e geométrica das álgebras e dos grupos de Liecompactos2. Apesar de mais envolvente, essa outra demonstração terá a vantagem defornecer o grupo fundamental de Aut0g. A demonstração apresentada aqui é existenciale tem uma abordagemmais analítica. Ela está baseada no seguinte teorema de extensãode homomorfismos.

Teorema 11.6 Suponha que L é um grupo de Lie conexo e Γ ⊂ L um subgrupo discretoe central tal que L/Γ é compacto. Seja θ : Γ → R+ um homomorfismo a valores nogrupo multiplicativo dos reais. Então, existe um homomorfismo diferenciável φ : L →R+ que estende θ, isto é, φ (γ) = θ (γ) se γ ∈ Γ.

Antes de demonstrar esse teorema de extensão ele será utilizado para provar oteorema de Weyl.A ideia é que se G é um grupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie g é semi simples

então o único homomorfismo φ de G a valores em R+ é o trivial φ ≡ 1 (veja o lema11.9 abaixo). Por outro lado, se g é uma álgebra de Lie semi simples compacta eAut0g = G/Γ então a compacidade de Aut0g permite mostrar que o grupo abeliano Γé finitamente gerado. Dessa forma, se Γ fosse infinito existiria um homomorfismo nãotrivial θ : Γ→ R+. Pelo teorema de extensão θ seria a restrição de um homomorfismonão trivial φ : G → R+, contradizendo o fato de que g é semi simples. Para efetivaressa demonstração são necessários os seguintes lemas demostrados em sequência.

Lema 11.7 Sejam G um grupo Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado tal que G/H écompacto. Então, existe um compacto de interior não vazio C tal que 1 ∈ C e G =CH. Além do mais pode-se tomar C tal que C−1 = C.

Demonstração: Seja V uma vizinhança compacta de 1 ∈ G tal que V −1 = V .Então, para cada x = gH ∈ G/H o conjunto V x = hx : h ∈ V é uma vizin-hança de x em G/H. Os conjuntos V x cobrem G/H e como G/H é compacto, existemx1 = g1H, . . . , xn = gnH tal queG/H = V x1∪· · ·∪V xn. Então, C = V ∪V g1∪· · ·∪V gné o compacto desejado. De fato, por construção 1 ∈ V ⊂ C e se g ∈ G entãogH ∈ V xi para algum i, o que implica que g ∈ V giH. Por fim tomando a união de Ccom g−1

1 V −1 ∪ · · · ∪ g−1n V −1 se obtém um novo compacto que satisfaz as propriedades

desejadas. 2

2Uma terceira demonstração, usando geometria Riemanniana, é indicada ao final do capítulo. Umaquarta demonstração, que argumenta com curvas, pode ser encontrada em Lacerda [36] e Zelobenko[65].


Lema 11.8 Seja g uma álgebra de Lie semi simples compacta e denote por G o grupoconexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Escreva Aut0g = G/Γ onde Γ éo grupo fundamental π1 (Aut0g). Então, Γ é finitamente gerado.

Demonstração: Seja C = C−1 o compacto simetrico do lema anterior em que 1 ∈ Ce

G = CD =⋃γ∈Γ

Cγ.

O conjunto C2 é compacto e como os abertos Cd cobrem C2 existe um conjunto finitoγ1, . . . , γn ⊂ Γ tal que C2 ⊂ Cγ1 ∪ · · · ∪Cγn. Seja Γ1 o subgrupo de Γ gerado porγ1, . . . , γn.O lema será consequência da igualdade Γ = (C2 ∩ Γ) Γ1. De fato, C2 ∩ Γ é finito

pois C2 é compacto e Γ é discreto. Com Γ1 é finitamente gerado, essa igualdade mostrao lema.Para provar que Γ = (C2 ∩ Γ) Γ1 seja p : G → G/Γ1 o homomorfismo canônico.

Então, p (C2) tem interior não vazio no grupo G/Γ1, pois C 6= ∅. Além do mais, π (C2)é um subgrupo. De fato sejam g, h ∈ C2. Então, existem c1, c2 ∈ C e γ1, γ2 ∈ Γ1 taisque g = c1γ1 e h = c2γ2. Então, gh

−1 = c1c−12 γ1γ

−12 e, portanto

p (g) p (h)−1 = p(gh−1

)= p

(c1c−12

)∈ p

(C2)

pois C−1 = C. Consequentemente p (C2) é um subgrupo aberto do grupo conexo G/Γ1,dessa forma p (C2) = G/Γ1. 2

Lema 11.9 Suponha que G é um grupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie g é semisimples (compacta ou não). Então, o único homomorfismo diferenciável φ : G → R+

é o trivial φ (g) = 1 para todo g ∈ G.

Demonstração: Basta mostrar que o homomorfismo infinitesimal dφ1 : g → R éidenticamente nulo, pois G é conexo. Como R é uma álgebra abeliana dφ1 se anulanum colchete, isto é,

dφ1[X, Y ] = [dφ1X, dφ1Y ] = 0.

Mas, g é semi-simples e daí que g′ = g, onde g′ é a álgebra derivada. Isto significaque g é gerado pelos colchetes [X, Y ], X, Y ∈ g. Portanto, dφ1 é identicamente nulo,concluíndo a demonstração. 2

Agora é possível enunciar formalmente e demonstrar o teorema de Weyl da fini-tude do grupo fundamental.

Teorema 11.10 Seja g uma álgebra de Lie semi simples compacta e denote por G ogrupo simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Então, G é compacto.


Demonstração: Seja Γ ≈ π1 (Aut0g) o subgrupo discreto central tal que Aut0g =

G/Γ. Deve-se mostrar que Γ é finito, já que Aut0g é compacto. Pelo lema 11.8, ogrupo abeliano Γ é finitamente gerado e portanto isomorfo a Zk × Zm1 × · · · × Zmn .Suponha por absurdo que Γ não é finito de tal forma que k ≥ 1. Então, existe umhomomorfismo não trivial θ : Γ → R+ do tipo θ (γ) = ep(γ) onde p é a projeção numadas componentes de Zk. Pelo teorema 11.6 existe um homomorfismo φ : G→ R+ queestende θ. Esse homomorfismo é não trivial o que é uma contradição pelo lema 11.9.2

11.2.1 Teorema de extensão

Será demonstrado aqui o teorema 11.6 que garante que um homomorfismo θ de umsubgrupo discreto e central Γ ⊂ L se estende a L se L/Γ é compacto.O primeiro passo é o seguinte lema que estende θ a uma função contínua que satisfaz

a propriedade de homomorfismo quando elementos de D estão envolvidos.

Lema 11.11 Existe uma função contínua f : L→ R+ tal que

1. f (γ) = θ (γ) se γ ∈ Γ.

2. f (x) > 0 para todo x ∈ L e f (1) = 1.

3. f (xγ) = f (x) θ (γ) para todo x ∈ L.

Demonstração: Seja p : L → L/Γ o homomorfismo canônico e tome um compactoC ⊂ L tal que p (C) = L/Γ, dado pelo lema 11.7. Então, existe uma função contínuade suporte compacto g : L→ R tal que g (x) = 1 se x ∈ C e g (y) ≥ 0 para todo y ∈ L.Defina a função f0 : L→ R por

f0 (x) =∑γ∈Γ

g (xγ) θ(γ−1). (11.2)

Essa função está bem definida e é contínua. De fato, denote por K o suporte de g etome um compacto de interior não vazio U ⊂ L. Então, para x ∈ U e γ ∈ Γ, g (xγ) = 0a menos que xγ ∈ K, isto é, γ ∈ x−1K. Portanto, para x ∈ U a soma em (11.2) seestende a ΓU = U−1K ∩ Γ. Mas esse conjunto é finito pois Γ é discreto e U−1K écompacto. Dessa forma a restrição de f0 a U é a soma finita de funções contínuas eportanto f0 é contínua em U . Segue que f0 é contínua, pois U é arbitrário.Essa função é estritamente positiva pois dado x ∈ L existe γ ∈ Γ tal que xγ ∈ C

e g (xγ) = 1, pelas escolhas de C e g. Pode-se definir então f (x) = f0 (x) /f (1), quesatisfaz a segunda propriedade enunciada. A terceira propriedade vem de

f (xγ0) =∑γ∈Γ

g (xγ0γ) θ(γ−1)

=∑γ∈Γ

g (xγ0γ) θ(γ−1γ−1

0

)θ (γ0)

=

(∑γ∈Γ

g (xγ) θ(γ−1))

θ (γ0) = f (x) θ (γ0) .


Por fim, f (γ) = f (1γ) = f (1) θ (γ) = θ (γ) se γ ∈ Γ. 2

A ideia agora é definir uma nova função h > 0 tal que h (xγ) = h (x), γ ∈ Γ, e quesatisfaça

h (xy)h (x)−1 h (y)−1 = f (xy) f (x)−1 f (y)−1 .

Uma vez obtida essa h, o homomorfismo desejado será φ (x) = f (x)h (x)−1.Para obter h considere a função contínua F : L× L→ R dada por

F (x, y) = log f (xy)− log f (x)− log f (y) .

Então, para todo γ ∈ Γ vale

F (xγ, yγ) = log f(xyγ2

)− log f (xγ)− log f (yγ)

= F (x, y) ,

pois Γ ⊂ Z (L). Isso significa que existe uma função contínua F0 : (L/Γ)× (L/Γ)→ Rtal que F (x, y) = F0 (px, py) onde p : L→ L/Γ e a projeção canônica.Um cálculo direto, a partir da definição, mostra que a função F satisfaz a seguinte

identidadeF (xy, u)− F (y, u) = F (x, yu)− F (x, y) , (11.3)

que também é satisfeita por F0. Além do mais, F (1, y) = F (x, 1) = 0 pois f (1) = 1.

Lema 11.12 Existe uma função contínua a : L/Γ → R tal que F0 (x, y) = a (xy) −a (x)− a (y) e a (1) = 0.

Demonstração: Defina

b (x) =

∫L/Γ

F0 (x, u)µ (du)

onde µ é a medida de Haar de L/Γ normalizada por µ (L/Γ) = 1. A integral existepois F0 é contínua e L/Γ é compacto. Então, b (xy)− b (x)− b (y) é dada pela seguinteintegral ∫

L/Γ

(F0 (xy, u)− F0 (x, u)− F0 (y, u))µ (du) ,

que pela identidade (11.3) se reescreve como∫L/Γ

(F0 (x, yu)− F0 (x, y)− F0 (x, u))µ (du) .

As integrais dos primeiro e terceiro integrandos se cancelam, pois µ é invariante àesquerda. Portanto,

b (xy)− b (x)− b (y) = −∫L/Γ

F0 (x, y)µ (du) = −F0 (x, y) .


Daí que a = −b é a função desejada, já que a (1) =∫L/Γ

F0 (1, u)µ (du) = 0 poisF (1, u) = 0. 2

Voltanto à definição da extensão φ, seja h : L→ R+ definida por

h (x) = exp a (px)

onde a : L/Γ→ R é dada pelo lema anterior. Então, h (xγ) = h (x) se x ∈ L e γ ∈ Γ.Da propriedade da função a se obtém

h (xy)h (x)−1 h (y)−1 = exp (a (p (xy))− a (p (x))− a (p (y)))

= expF0 (px, py) = expF (x, y) .

Mas, F (x, y) = log f (xy)− log f (x)− log f (y), daí que

h (xy)h (x)−1 h (y)−1 = f (xy) f (x)−1 f (y)−1 ,

isto é, f (xy) /h (xy) = (f (x) /h (x)) (f (y) /h (y)). Portanto, φ (x) = f (x) /h (x) é umhomomorfismo, que estende θ pois se γ ∈ Γ então

φ (γ) = f (γ) /h (γ) = f (γ) = θ (γ)

pois h (γ) = ea(1) = 0. Com isso se conclui a demonstração do teorema de extensão.

11.3 Álgebras de Lie compactas e complexas

O objetivo desta seção é descrever a estrutura de uma álgebra semi simples compactau a partir de sua complexificada g = uC, que é também uma álgebra de Lie semisimples. A questão é que os auto-valores de ad (X), X ∈ u, são imaginários, portantoos auto-espaços de ad (X) não estão contidos em u, mas em g. Os colchetes entre osauto-espaços descrevem a estrutura de álgebra de Lie em g e portanto de u através dotruque unitário de Weyl, que estabelece uma bijeção entre as álgebras de Lie semisimples compactas e as álgebras de Lie complexas. O nome unitário vem do exemploguia su (n) que é a álgebra de Lie do grupo unitário especial SU (n). Esse exemplo viráà tona ao longo da exposição3.

11.3.1 Truque unitário de Weyl

Para descrever as álgebras semi simples compactas basta obter aquelas que são simples.Já as álgebras simples compactas são obtidas através da construção de Weyl, queenvolve a álgebra complexificada g = uC da álgebra compacta u. Da teoria das álgebrasde Lie reais, sabe-se que g é uma álgebra de Lie simples complexa. (Em principio a

3As álgebras de Lie so (n) não são tão boas como su (n) como exemplo guia pois suas subálgebrasde Cartan não são dadas —na representação natural — como álgebras de matrizes diagonais, comoocorre com su (n).

11.3. Álgebras de Lie compactas e complexas 221

complexificada de uma álgebra de Lie real simples é semi simples pelo conhecido critériode Cartan para álgebras semi simples4. As álgebras simples cujas complexificadas nãosão simples são as realificadas das álgebras de Lie simples complexas. Essas álgebrasde Lie não são compactas. Portanto, a complexificada de uma álgebra de Lie simplescompacta também é simples.)Por ser uma álgebra complexa simples g = uC é uma das álgebras de Lie da classi-

ficação de Cartan-Killing. Essa classificação é catalogada pelos diagramas de Dynkinque são reproduzidos abaixo na subseção 11.3.2.Já a álgebra u é uma forma real compacta de g. Um dos resultados centrais rela-

cionados ao truque unitário de Weyl é que duas formas reais compactas da álgebrasimples complexa g são obtidas uma da outra por um automorfismo de g e, portanto,são isomorfas. Isso significa que a classificação das álgebras de Lie complexas sim-ples também classifica as álgebras simples compactas: a cada diagrama de Dynkincorresponde uma única classe de equivalência de álgebras de Lie compactas simples evice-versa toda álgebra compacta simples é obtida de um diagrama de Dynkin.Antes de descrever a construção geral de Weyl, que estabelece a bijeção entre as ál-

gebras simples compactas e as álgebras simples complexas, é conveniente ver o exemploda álgebra de Lie su (n), que modela essa construção.

Exemplo: A álgebra de Lie das matrizes anti-Hermitianas

su (n) = A ∈ gl (n,C) : A+ AT

= 0

é simples e compacta. A álgebra complexificada de su (n) é (isomorfa a) sl (n,C), jáque uma matriz X pode ser escrita como

X =X −XT

2+X +X

T

2∈ su (n) + isu (n) .

Os elementos diagonais de uma matriz anti-Hermitiana são puramente imaginários esu (n) contém a álgebra de matrizes diagonais

t = diagix1, . . . , ixn : xj ∈ R, x1 + · · ·+ xn = 0.

Essa subálgebra é abeliana maximal, pois uma matriz que não é diagonal deixa decomutar com alguma matriz diagonal.A complexificada h = tC de t é a álgebra das matrizes diagonais em sl (n,C), que

também é abeliana maximal. Se H ∈ h é a matriz diagonal H = diaga1, . . . , an entãoos auto-valores de ad (H) são 0 e αjk (H) = aj − ak, j 6= k. O auto-espaço associadoao auto-valor aj−ak contém o subespaço unidimensional gjk gerado pela matriz básicaEjk = (δrjδsk)r,s. Esses auto-espaços, comuns a ad (H), H ∈ h, decompõem g =sl (n,C) como

g = h⊕∑j 6=k

gjk.



As subálgebras t e h são subálgebras de Cartan de su (n) e sl (n,C), respectivamente(veja a definição abaixo). Na terminologia das álgebras de Lie complexas os funcionaislineares αjk, j 6= k, são denominados de raízes de h, enquanto que os espaços gjk sãoos correspondentes espaços das raízes.O subespaço hR das matrizes diagonais reais é dado a partir das raízes αjk como

sendo o conjunto dos elementos H ∈ h tais que αjk (H) ∈ R para toda raiz αjk. Comisso se obtém, a partir das raízes a subálgebra de Cartan t = ihR de su (n). A própriaálgebra su (n) é gerada por t e

Ejk − Ekj, i (Ejk + Ekj)

onde Ejk, j 6= k, são os geradores dos espaços das raízes gjk. 2

Dada uma álgebra de Lie complexa g o ponto de partida para a construção deWeyl de uma forma real compacta é uma subálgebra de Cartan.Em geral se g é uma álgebra de Lie então se diz que h ⊂ g é uma subálgebra de

Cartan se h é nilpotente e coincide com o seu normalizador em g, isto é, se [X, h] ⊂ hentão X ∈ h. No caso em que g é uma álgebra semi simples complexa uma subálgebrah ⊂ g é de Cartan se, e só se, ela é abeliana, as adjuntas de seus elementos ad (H),H ∈ h, são diagonalizáveis e h é maximal com essas duas propriedades5.Uma raiz da subálgebra de Cartan h é um funcional linear α ∈ h∗ tal que o auto

espaço (espaço de raízes)

gα = X ∈ g : ∀H ∈ h, [H,X] = α (H)X 6= 0.

Seja Π ∈ h∗ o conjunto de raízes. Então, pode-se provar que dimC gα = 1 e

g = h⊕∑α∈Π

gα. (11.4)

Esta decomposição em soma direta é chamada de decomposição em espaços deraízes de g.A partir da decomposição (11.4) se obtém uma base de Weyl , que é formada

por uma base de h e por elementos Xα ∈ gα tais que Kg (Xα, X−α) = 1 e [Xα, Xβ] =mα,βXα+β com mα,β ∈ R. A existência de bases satisfazendo essas condições é provadana teoria de álgebras de Lie6.Como último ingrediente seja hR o subespaço (real) de h dos elementos H ∈ h tais

que α (H) ∈ R para toda raiz α ∈ Π. Esse subespaço é gerado sobre R por Hα ∈ hdefinido por α (·) = Kg (Hα, ·), α ∈ Π.

Teorema 11.13 Dada uma base de Weyl, o subespaço u gerado sobre R por

ihR Aα = Xα −X−α iSα = i (Xα +X−α)

5Veja os capítulos 4 e 6 de Álgebras de Lie [49].6Veja o capítulo 12 de Álgebras de Lie [49].


é uma forma real compacta de g. Duas formas reais compactas de g são isomorfaspor um automorfismo interno interno de g. Reciprocamente toda álgebra de Lie semisimples compacta é a forma real compacta de uma álgebra de Lie complexa g.Duas álgebras semi simples compactas u1 e u2 são isomorfas se, e só se, suas com-

plexificadas (u1)C e (u2)C são isomorfas.

A estrutura da forma real compacta u é dada pela decomposição (11.4). Para cadaraiz α ∈ Π seja uα o espaço vetorial real gerado por Aα e iSα. Então dimR uα = 2 e

u = t⊕∑α∈Π

uα. (11.5)

Os colchetes entre os geradores dessa decomposição são dados por

• [iHα, Aβ] = β(Hα)Sβ.

• [iHα, Sβ] = −β(Hα)Aβ.

• [Aα, Aβ] = mα,βAα+β +m−α,βAα−β.

• [Sα, Sβ] = −mα,βAα+β −mα,−βAα−β.

• [Aα, Sβ] = mα,βSα+β +mα,−βSα−β.

• [Aα, S−α] = 2iHα.

Exemplo: No caso da álgebra sl (n,C) a demonstração da unicidade (a menos deconjugação) da forma real compacta pode ser feita diretamente da seguinte maneira.Seja u ⊂ sl (n,C) uma forma real compacta. Então, u é uma álgebra simples, poissl (n,C) é simples. Portanto, pelo teorema de Weyl (demonstrado acima) o subgrupoconexo de Sl (n,C) dado por U = 〈exp u〉 é compacto. Daí que existe uma métricaHermitiana H em Cn, que é U -invariante. Isso implica que existe g ∈ Sl (n,C) talque gUg−1 ⊂ SU (n) e, portanto, gug−1 ⊂ su (n). Mas, então vale a igualdade já quedim u = dim su (n), pois ambas as álgebras são formas reais de sl (n,C). 2

11.3.2 Diagramas de Dynkin

O teorema 11.13 fornece a classificação das álgebras de Lie compactas simples a partirdas álgebras complexas. Essas últimas são classificadas pelos diagramas de Dynkin,listados abaixo.


Al, l ≥ 1 e e . . . e eα1 α2 αl−1 αl

Bl, l ≥ 2 e e . . . e eAα1 α2 αl−1 αl

Cl, l ≥ 3 e e . . . eA

eα1 α2 αl−1 αl

Dl, l ≥ 4 eα1

eα2

. . . eαl−2

,,

ll

eαl−1

eαl

G2e eAα1 α2

F4eα1

eα2

eα3

A

eα4

E6e e e e e

eα1 α2 α3 α4 α5

α6

E7e e e e e e

eα1 α2 α3 α4 α5 α6

α7

E8e e e e e e e

eα1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

α8

Nesses diagramas as séries Al (l ≥ 1), Bl (l ≥ 2), Cl (l ≥ 3) eDl (l ≥ 4) representamas chamadas álgebras clássicas, que são listadas a seguir, juntamente com suas formasreais compactas u.

Al A álgebra complexa de Al é sl (l + 1,C), n = l + 1, cuja forma real compacta éu = su (n).

Bl A álgebra complexa é a álgebra das matrizes complexas anti-simétricas em di-mensão ímpar so (2l + 1,C), com forma real compacta u = so (2l + 1,R). Essasrealizações valem para l ≥ 2, isto é, para so (n) com n ≥ 5. A álgebra de Lieso (3) é isomorfa a su (2), dada em A1.

Cl É realizado pela álgebra simplética sp (l,C) = A ∈ M2l×2l (C) : AJ + JAT = 0onde

J =

(0l×l −11 0l×l

).

Essa álgebra é formada por matrizes simpléticas complexas 2l × 2l, que são ma-trizes do tipo (

A BC −AT

)B −BT = C − CT = 0.


A forma real compacta é dada pelas matrizes simpléticas anti-hermitianas, istoé, matrizes da forma (

A B−B A

).

Essa forma real é denotada por sp (l) e é isomorfa à álgebra das matrizes quater-niônicas l× l que são anti-hermitianas, isto é, Q+Q

T= 0. O isomorfismo é dado

por

Q = A+ jB 7→(A −BB A

).

Dl Essa série cobre as álgebras anti-simétricas em dimensão par, so (2l,C) com formareal compacta so (2l,R), para l ≥ 4. Em dimensões menores se tem so (6) ≈su (4), so (4) ≈ s0 (3)⊕ so (3) não é simples e so (2) que é abeliana.

11.3.3 Subálgebras de Cartan e elementos regulares

Como no caso das álgebras semi simples complexas as subálgebras de Cartan de umaálgebra compacta u desempenham um papel central na sua descrição. As principaispropriedades das subálgebras de Cartan de u são resumidas nos itens seguintes:

1. t ⊂ u é subálgebra de Cartan se, e só se, t é uma subálgebra abeliana maximal.

2. O centro z (u) de u está contido em toda subálgebra de Cartan, como segue dacaracterização do item anterior.

3. Dadas duas subálgebras de Cartan t1 e t2 existe existe um automorfismo internog ∈ Aut0u tal que t2 = g (t1).

4. A álgebra u é união de suas subálgebras de Cartan. Mais precisamente, se t éuma subálgebra de Cartan fixada então

u =⋃

g∈Aut0u

g (t) .

Os termos g (t) dessa união são subálgebras de Cartan.

5. Todas as subálgebras de Cartan de u têm a mesma dimensão. Essa dimensãocomum se denomina posto de u.

6. Um elemento X ∈ u é um elemento regular de u se dim ker ad (X) é minimaentre as dimensões dos centralizadores dos elementos de u. Então, t ⊂ u é umasubálgebra de Cartan se, e só se, t = ker ad (X) para algum elemento regularX ∈ t. De tal forma que o posto de u coincide com a dimensão de ker ad (X)para todo elemento regular X ∈ u.


Essas propriedades seguem da teoria das subálgebras de Cartan para álgebras semisimples complexas em combinação com o truque unitário de Weyl. No entanto, elaspodem ser provadas diretamente explorando a existência do produto interno invariante,como será feito a seguir.O primeiro passo na demonstração das propriedades acima é mostrar que as subál-

gebras de Cartan são abelianas maximais.

Proposição 11.14 Sejam u uma álgebra compacta e t ⊂ u uma subálgebra de Cartan.Então, t é abeliana maximal.

Demonstração: Tome X ∈ t, arbitrário. Para verificar que t é abeliana deve-semostrar que t ⊂ z (X) = ker ad (X). Por ser subálgebra t é invariante por ad (X). Mas,por definição t é subálgebra nilpotente, portanto a restrição ad (X)|t é uma transfor-mação linear nilpotente. Mas, ad (X) é semi simples, assim como a restrição ad (X)|t ,já que ad (X) é anti-simétrica em relação ao produto interno invariante. Dessa forma,ad (X)|t é tanto semi simples quanto nilpotente. Isso implica que ad (X)|t = 0, isto é,t ⊂ ker ad (X), concluíndo a demonstração.A maximalidade vem do fato que t é seu próprio normalizador. De fato, se t′ é

álgebra abeliana com t ⊂ t′ então os elementos de t′ normalizam t e daí que t = t′. 2

Para mostrar a recíproca da proposição anterior será utilizado o seguinte lema deálgebra linear.

Lema 11.15 Se T : V → V é uma transformação linear anti-simétrica em relação aoproduto interno (·, ·) então kerT 2 = kerT .

Demonstração: É claro que kerT ⊂ kerT 2. Por outro lado, tome v ∈ kerT 2. Então(T 2v, w) = 0 para todo w ∈ V . Em particular, (T 2v, v) = 0 e como T é anti-simética,segue que (Tv, Tv) = 0. Portanto, Tv = 0, mostrando que v ∈ kerT . 2

Proposição 11.16 Seja u uma álgebra compacta e suponha que t ⊂ u seja uma sub-álgebra abeliana maximal. Então, t é uma subálgebra de Cartan.

Demonstração: Como por hipótese t é abeliana, basta mostrar que ela coincide como seu próprio normalizador. Para isso observa-se em primeiro lugar que se X /∈ t entãoexiste Y ∈ t tal que [X, Y ] 6= 0, pois caso contrário o subespaço gerado por t e X seriauma subálgebra abeliana que contém t propriamente, contrariando a hipótese.Agora, suponha por absurdo que existe X /∈ t tal que [X, t] ⊂ t e tome Y ∈ t com

[X, Y ] 6= 0. Então, [Y, [Y,X]] = 0 pois [Y,X] ∈ t, que é abeliana. Em outras palavras,X ∈ ker ad (Y )2. Pelo lema anterior, segue que X ∈ ker ad (Y ), isto é, [Y,X] = 0, oque contradiz as escolhas de X e Y . 2

Corolário 11.17 Seja u uma álgebra compacta. Então, para todo X ∈ u existe umasubálgebra de Cartan t ⊂ u tal que X ∈ t. Isto é, u é a união de suas subálgebras deCartan.


Demonstração: De fato, basta tomar uma subálgebra abeliana maximal t contendoX. A existência de t se prova facilmente considerando o conjunto de todas as subál-gebras abelianas que contém X. Esse conjunto é não vazio (pois contém o subespaçogerado por X) e, pela proposição, dentre essas subálgebras as que tem dimensão máx-ima são de Cartan. 2

As próximas proposições estabelecem relações entre as subálgebras de Cartan e oselementos regulares.

Proposição 11.18 Seja t uma subálgebra de Cartan. Então, existe X0 ∈ t tal quet = z (X0) = ker ad (X0).

Demonstração: As adjuntas ad (X), X ∈ t, comutam entre si e suas complexificadasem g = uC são diagonalizáveis e seus auto-valores são imaginários. Portanto, essasadjuntas são simultaneamente diagonalizáveis. Isso significa que existe um conjunto Rde funcionais lineares α : t→ R e subespaços gα ⊂ g tais que

gα = Y ∈ g : ∀X ∈ t, ad (X)Y = iα (X)Y

e g =∑

α∈R gα. (Os funcionais lineares α 6= 0 formamm o conjunto Π das raízes dasubálgebra de Cartan.) O funcional linear nulo é um dos elementos de R pois 0 é auto-valor das adjuntas ad (X). Como t é abeliana o subespaço g0 contém t e portanto,t ⊂ g0 ∩ u. Na verdade, vale a igualdade t = g0 ∩ u pois os elementos de g0 ∩ unormalizam t, que é uma subálgebra de Cartan.O fato de que R é um conjunto finito garante que existe X0 ∈ t tal que α (X0) 6= 0

para todo α ∈ R, α 6= 0. Esse X0 satisfaz o desejado pois o núcleo de ad (X0) ég0 ∩ u = t. 2

No final das contas será mostrado que o elemento X0 da proposição acima é regularem u. Antes disso deve-se verificar que o núcleo de ad (X) para um elemento regular éuma subálgebra de Cartan.

Proposição 11.19 Seja X ∈ u um elemento regular. Então,

z (X) = ker ad (X)

é a única subálgebra de Cartan que contém X. Além do mais se uma subálgebra deCartan t contém um elemento regular X então t = z (X).

Demonstração: De fato, pelo corolário 11.17 existe uma subálgebra de Cartan ttal que X ∈ t. O fato de que t é abeliana implica que t ⊂ z (X). Essa inclusãoé uma igualdade pois pela proposição anterior existe um elemento X0 ∈ t tal quez (X0) = t ⊂ z (X). Como X é regular, dim z (X) ≤ dim z (X0) = dim t, portantot = z (X) = ker ad (X). Dessa igualdade segue que z (X) é a única subálgebra de Car-tan que contém o elemento regular X, o que conclui a demonstração. 2


O fecho dessa discussão sobre subálgebras de Cartan e elementos regulares será ob-tido a partir da próxima proposição que mostra, não apenas que um elemento qualquerX ∈ u pertence a uma subálgebra de Cartan (como no corolário 11.17), mas que Xpertence a uma conjugada de uma subálgebra de Cartan pré-fixada.

Proposição 11.20 Sejam u uma álgebra compacta e t uma subálgebra de Cartan deu. Suponha que t contenha um elemento regular H. Então, para todo X ∈ u existeg ∈ Aut0u tal que gX ∈ t.

Demonstração: Considere a função

g ∈ Aut0u 7−→ (gX,H) ∈ R

onde (·, ·) denota um produto interno invariante.Essa função é diferenciável e, como Aut0u é compacto, ela assume um mínimo em

algum g0 ∈ Aut0u. Portanto, para qualquer Y ∈ u, a função f : R→ R dada por

f (t) =(etad(Y )g0X,H

)assume um mínimo em t = 0.Como exp (tad(Y )) é uma isometria de (·, ·) tem-se

f (t) =(g0X, e

−tad(Y )H).

Derivando chega-se af ′ (0) = (g0X, [Y,H]) = 0,

que é o mesmo que([H, g0X], Y ) = 0,

pois ad(H) é anti-simétrica. Como Y ∈ u é arbitrário, isso implica que [H, g0X] = 0,isto é, g0X ∈ z (H) = t, concluíndo a demonstração. 2

Combinando essa proposição com as anteriores se chega à seguinte descrição dassubálgebras de Cartan de u e suas conjugações.

Teorema 11.21 Sejam u uma álgebra de Lie compacta e t ⊂ u uma subálgebra deCartan. Então, valem as seguintes propriedades:

1. t = z (X0) = ker ad (X0) para um elemento regular X0 ∈ t.

2. Se t1 é uma subálgebra de Cartan então existe g0 ∈ Aut0u tal que t1 = g0 (t).

3. u =⋃

g∈Aut0u

g (t).


Demonstração: Escolha um elemento regularX ∈ u de tal forma que, pela proposição11.19, z (X) = ker ad (X) é uma subálgebra de Cartan que contém X. Escolha tambémX0 ∈ t tal que t = ker ad (X0) como garantido pela proposição 11.18. Pela proposição11.20 acima existe g ∈ Aut0u tal que gX0 ∈ z (X). Portanto z (X) ⊂ ker ad (gX0). Noentanto a igualdade ad (gX0) = gad (X0) g−1 implica que

g (t) = g (ker ad (X0)) = ker ad (gX0)

e daí que z (X) ⊂ g (t). Mas, tanto z (X) quanto g (t) são subálgebras de Cartan.Portanto, a inclusão z (X) ⊂ g (t) é de fato uma igualdade. Isso significa que

dim ker ad (X0) = dim t = dim g (t) = dim ker ad (X) .

Como X é regular segue que X0 também é regular. Se conclui então que a subálgebrade Cartan arbitrária t contém um elemento regular X0 tal que t = z (X0) = ker ad (X0),o que demonstra o item (1).Para o item (2) tome t1 = ker ad (X1). Novamente pela proposição 11.20 existe

g ∈ Aut0u tal que gX1 ∈ t. Então,

g (t1) = g (ker ad (X1)) = ker ad (gX1) = t

o que mostra a conjugação entre as subálgebras de Cartan.Para concluir, todo elemento de u pertence a uma subálgebra de Cartan, pelo

corolário 11.17 e essas subálgebras de Cartan são da forma g (t), g ∈ Aut0u, o quemostra o item (3). 2

Por fim se observa que a construção de Weyl fornece uma subálgebra de Cartannatural da forma real compacta.

Proposição 11.22 Seja u a forma real compacta dada pela construção de Weyl comono teorema 11.13. Então, o subespaço t = ihR é uma subálgebra de Cartan de u.

Demonstração: Por definição uma subálgebra de Cartan deve ser nilpotente e coin-cidir com o seu normalizador. A primeira condição é satisfeita por t, que é abeliana poish é abeliana e t ⊂ h. Para a segunda condição tome X ∈ u e escreva X = H +

∑αXα,

de acordo com a decomposição (11.4). Se nessa decomposição Xα 6= 0 para algumaraiz α então existe H ′ ∈ t tal que [H ′, Xα] 6= 0 e, é claro, [H ′, Xα] ∈ uα. Isso significaque se [X, t] ⊂ t então para toda raiz α, Xα = 0, isto é, X ∈ t, mostrando que t é opróprio normalizador. 2

Exemplo: Uma subálgebra de Cartan de su (n) é a álgebra de matrizes diagonaiscom auto-valores imaginários

t = diagix1, . . . , ixn : xj ∈ R, x1 + · · ·+ xn = 0.


Os automorfismos internos de su (n) são dados por conjugações por elementos deSU (n). Portanto as subálgebras de Cartan de su (n) são as subálgebras conjugadas tpor elementos de SU (n). Isso significa que dada uma base ortonormal de Cn o con-junto dos elementos de su (n) que são diagonais em relação a essa base é subálgebra deCartan e reciprocamente, toda subálgebra de Cartan é dada dessa forma a partir deuma base ortonormal.A afirmação de que X ∈ su (n) pertence a uma subálgebra de Cartan se traduz

no fato conhecido em álgebra linear de que as matrizes anti-hermitianas são diagonal-izáveis em bases ortonormais. As mesma afirmações valem para a álgebra redutívelu(n) = z ⊕ su (n) onde z é a álgebra das matrizes escalares com auto-valores imag-inários. 2

11.4 Toros maximais

Seja U um grupo de Lie compacto e conexo com álgebra de Lie u. Um toro max-imal em U é um subgrupo compacto conexo e abeliano, que é maximal (em relaçãoà inclusão) com essas propriedades. Os toros maximais desempenham, ao nível dogrupo de Lie compacto, um papel análogo ao das subálgebras de Cartan. Como serámostrado ao longo desta seção a analogia é completa uma vez que todo elemento de Upertence a algum toro maximal, isto é, U é união de seus toros maximais, que são doisa dois conjungados entre si. Além do mais, os toros maximais estão em bijeção com assubálgebras de Cartan como mostra o seguinte resultado.

Proposição 11.23 Se T ⊂ U é um toro maximal então sua álgebra de Lie t é umasubálgebra de Cartan. Reciprocamente, se t ⊂ u é uma subálgebra de Cartan entãoexp t = 〈exp t〉 é um toro maximal.

Demonstração: Pela proposição 11.14 deve-se verificar que t é abeliana maximal.Para isso, seja s ⊃ t uma subálgebra abeliana. Então 〈exp s〉 é um grupo abelianoconexo assim como o seu fecho T = 〈exp s〉, que é um toro. Como T ⊂ T segue queT = T e daí que s = t.Por outro lado, se t ⊂ u é uma subálgebra de Cartan então t é abeliana e daí que

〈exp t〉 é conexo e abeliano assim como o seu fecho 〈exp t〉. A álgebra de Lie s de 〈exp t〉é abeliana e contém t. Pela proposição 11.14, s = t o que implica que 〈exp t〉 = 〈exp t〉,isto é, 〈exp t〉 é um toro, que é maximal da mesma forma que álgebra de Lie t é maxi-mal. Por fim, exp t = 〈exp t〉 pois t é abeliana. 2

Uma consequência dessa proposição é que se z (u) é o centro de u então o subgrupo〈exp z (u)〉 = exp z (u) está contido em todo toro maximal, já que z está contido emtoda subálgebra de Cartan. Esse grupo é de fato um toro.

Proposição 11.24 Seja z (u) o centro de u. Então, 〈exp z (u)〉 = exp z (u) é compactoe conexo e, portanto um toro.

11.4. Toros maximais 231

Demonstração: Em primeiro lugar 〈exp z (u)〉 = exp z (u) pois z (u) é uma álgebrade Lie abeliana. Tome o fecho Z = exp z (u), que é um subgrupo abeliano, conexo ecompacto e que além do mais está contido no centro de U . Portanto, a álgebra de Liez de Z está contida no centro z (u) de u. Daí que z = z (u) de onde se conclui queexp z (u) = Z é compacto, concluíndo a demonstração. 2

Se T = exp t é um toro maximal e u ∈ U então uTu−1 também é um toro maxi-mal. A proposição 11.23 juntamente com o teorema 11.21 mostram que qualquer toromaximal é obtido dessa forma por conjugação.

Proposição 11.25 Sejam T = exp t e T1 = exp t1 toros maximais. Então, existeu ∈ U tal que T1 = uTu−1.

Demonstração: Pelo teorema 11.21, existe g ∈ Aut0u tal que t1 = g (t). Mas arepresentação adjunta Ad : U → Aut0u é sobrejetora. Portanto, existe u ∈ U tal queAd (u) = g e daí que t1 = Ad (u) t, o que garante que T1 = uTu−1. 2

Segue daí que a imagem da exponencial exp u coincide com a união dos toros maxi-mais de U , já que todo elemento de u pertence a uma subálgebra de Cartan. Portanto,exp u é um subconjunto compacto de U . Isso porque se T ⊂ U é um toro maximalentão a aplicação U×T → U , (u, t) 7→ utu−1 é contínua e definida no compacto U×T .Sua imagem, que é compacta, é a união dos toros de U , que coincide com exp u.O objetivo agora é demonstrar que a exponencial é sobrejetora, ou o que é a mesma

coisa, que U é a união de seus toros maximais.Para isso será suficiente considerar o caso em que u é semi simples. Isso porque

se u = z (u) ⊕ k com k semi simples então, pela proposição 11.24 acima, o grupo Z =〈exp z (u)〉 = exp z (u) é fechado. O quociente U/Z é compacto e semi simples uma vezque sua álgebra de Lie u/z (u) é isomorfa a k. Uma vez demonstrada a sobrejetividadeda exponencial em U/Z se obtém a sobrejetividade em U . De fato seja π : U → U/Zo homomorfismo canônico e tome g ∈ U . Então, existe X ∈ k tal que π

(eX)

= π (g)o que significa que g = eXz com z = eY ∈ exp z (u). Como [X, Y ] = 0, segue que g =eXeY = eX+Y , de onde se conlui a sobrejetividade da exponencial no grupo redutívelU a partir da sobrejetividade no grupo semi simples U/Z.O seguinte lema será usado na demonstração do caso semi simples.

Lema 11.26 Dado u ∈ U seja Z (u) o seu centralizador, cuja álgebra de Lie

z (u) = X ∈ u : Ad (u)X = X

é o auto-espaço de Ad (u) associado ao auto-valor 1. Seja e o complementar ortogonalde z (u) em u (em relação ao produto interno invariante). Então, Ad (u) e = e e arestrição (Ad (u)− id)|e é inversível.

Demonstração: A invariância de e segue do fato queAd (u) é isometria eAd (u) z (u) =z (u). Como z (u) é o auto-espaço associado ao auto-valor 1 de Ad (u) então 1 não éauto-valor de sua restrição a e. 2


Teorema 11.27 Seja U um grupo compacto e tome um toro maximal T = exp t ⊂ U .Então,

U =⋃g∈U

gTg−1,

isto é, todo elemento de U é conjugado a um elemento de T .

Demonstração: Como mencionado acima não se perde generalidade em assumir queU é semi simples. A demonstração é por indução sobre a dimensão de U . A únicaálgebra de Lie semi simples compacta com dimensão minima é su (2) com dim su (2) =3. A aplicação exponencial é sobrejetora para todo grupo de Lie com álgebra de Liesu (2) pois isso ocorre em SU (2), que é simplesmente conexo. Com isso, o procedimentode indução tem inicio a partir da dimensão 3.A hipótese de indução diz que qualquer subgrupo própio K ⊂ U é a união de seus

toros maximais, mesmo que K não seja semi simples, pelos comentários acima.Para A ⊂ U e K ⊂ U escreva

AK =⋃g∈K

gAg−1

e A× = A\Z (U) onde Z (U) é o centro de U . Então,(AU)×

= (A×)U pois os elementos

de Z (U) são fixados por conjugações.O conjunto U× é aberto, conexo e denso em U pois dimU ≥ 3 e Z (U) é finito.

Além do mais,Como TU é compacto e U× é denso é suficiente provar que U× =

(TU)×

= (T×)U ⊂

TU . Isso será provado mostrando que (T×)U é aberto e fechado no conjunto conexo

Ux.O conjunto (T×)

U é fechado em U× pois (T×)U

= TU ∩U× e TU é compacto. Paraverificar que ele é aberto basta mostrar que todo u ∈ T× pertence ao interior de (T×)

U

pois então qualquer gug−1 ∈ (T×)U está contido no interior de g (T×)

Ug−1 = (T×)

U .Tome então u ∈ T× e seja Z (u) o seu centralizador, que é um subgrupo compacto

próprio pois u /∈ Z (U). A componente conexa da identidade K = Z (u)0 contém T ,que um toro maximal de K. Em particular u ∈ K.A hipótese de indução pode ser aplicada aK para concluir queK = TK e, portanto,

K ⊂ TU .Considere agora a aplicação ψ : U × K → U dada por ψ (g, k) = gkg−1. Sua

diferencial em (1, u) é dada por

dψ(1,u) (X, Y ) = (X + Y − Ad (u)X) (u)

onde X e Y são campos invariantes à direita, X ∈ u e Y ∈ k a álgebra de Lie de K.Essa diferencial é sobrejetora. De fato, tomando X = 0, os vetores dψ(1,u) (0, Y ) =

Y (u), Y ∈ k, cobrem o espaço tangente TuK. Por outro lado, tomando Y = 0, se obtémdψ(1,u) (X, 0) = ((id− Ad (u))X) (u), que pelo lema anterior cobrem o complementarde TuK em TuU , mostrando a sobrejetividade de dψ(1,u).

11.4. Toros maximais 233

Portanto, existem abertos A ⊂ U , B ⊂ K com (1, u) ∈ A× B tal que u = ψ (1, u)está no interior de ψ (A×B). Como u /∈ Z (U), pode-se tomar A ⊂ U× de tal formaque ψ (A×B) ⊂ (K×)

U ⊂ (T×)U . Portanto, u está no interior de (T×)

U , concluíndoa demonstração do teorema. 2

O resultado do seguinte corolário foi amplamente discutido acima.

Corolário 11.28 Seja U um grupo compacto com álgebra de Lie u. Então, exp : u→G é sobrejetora.

Corolário 11.29 O centro Z (U) de U está contido em todo toro maximal de U .

Demonstração: Dado z ∈ Z (U) existe, pelo teorema, um toro maximal T comz ∈ T . Como gzg−1 = z, g ∈ U , se conclui que z ∈ gTg−1. 2

Exemplo: Um toro maximal de SU (n) é o subgrupo das diagonais

T = diagz1, . . . , zn : |zj| = 1, z1 · · · zn = 1.

Por conjugação os toros maximais de SU (n) são os subgrupos de matrizes diagonais emrelação às diferentes base ortonormais de Cn. A afirmação de que g ∈ SU (n) pertencea um toro maximal se traduz no fato conhecido em álgebra linear de que as matrizesunitárias são diagonalizáveis em bases ortonormais. O centro de SU (n) é formado pelasmatrizes escalares z · id tais que zn = 1 e, portanto, é isomorfo a Zn.No grupo redutível U (n) os toros maximais são subgrupos de matrizes diagonais

sem a restrição do determinante 1. 2

Para concluir essa seção será demonstrado que os toros maximais são maximaistambém como grupos abelianos.

Teorema 11.30 Sejam u uma álgebra de Lie semi simples compacta, t uma subálgebrade Cartan de u e g ∈ Autu tal que g (H) = H para todo H ∈ t. Então, existe Hg ∈ ttal que g = ead(Hg).

Demonstração: Seja h = tC a subálgebra de Cartan da complexificada g = uC de u.O automorfismo g se estende a um automorfismo de g, também denotado por g, quefixa todos os elementos de h.Seja Π o conjunto das raízes de h, de tal forma que

g = h⊕∑α∈Π

gα.

Se H ∈ h então g (H) = H e, portanto gad (H) g−1 = ad (gH) = ad (H), de onde seconclui que g (gα) = gα. Portanto, para cada α ∈ Π existe zα ∈ C tal que g (Xα) =


zαXα, onde Xα é um gerador de gα (que é um subespaço de dimensão um). Os auto-valores zα satisfazem |zα| = 1 pois g ∈ Autu, que é um grupo compacto.Escreva zα = eiθα com θα ∈ R. Então, θα+β = θα + θβ(mod 2π) para todo par de

raízes α e β tais que α + β ∈ Π. De fato, g[Xα, Xβ] = eiθα+β [Xα, Xβ] pois [Xα, Xβ] ∈gα+β. Mas,

g[Xα, Xβ] = [gXα, gXβ] = [eiθαXα, eiθβXβ] = ei(θα+θβ)[Xα, Xβ],

o que mostra que eiθα+β = ei(θα+θβ), isto é, θα+β = θα + θβ(mod 2π).Seja agora Σ = α1, . . . , αl ⊂ Π um sistema simples de raízes. Então, uma raiz

α ∈ Π se escreve como

α = n1α1 + · · ·+ nlαl

com nj ∈ Z. Da igualdade θα+β = θα + θβ(mod 2π) segue que

θα = n1θα1 + · · ·+ nlθαl (mod 2π) . (11.6)

Por fim, defina Hg ∈ t tal que αj (Hg) = iθαj , para as raízes simples αj ∈ Σ. Aexistência de Hg vem do fato que Σ é uma base e as raízes assumem valores imagináriosem t. Para uma raiz α = n1α1 + · · ·+ nlαl vale

α (Hg) = i (n1θα1 + · · ·+ nlθαl) = iθα (mod 2π) .

Portanto, se Xα ∈ gα então

ead(Hg)Xα = eα(Hg)Xα = eiθαXα = g (Xα)

o que mostra que g = ead(Hg), concluíndo a demonstração. 2

Segue desse teorema que os toros maximais são também maximais como gruposabelianos não necessariamente conexos.

Corolário 11.31 Sejam U um grupo compacto, T ⊂ U um toro maximal e S ⊂ U umsubgrupo abeliano tal que T ⊂ S. Então, T = S.

Demonstração: Escreva u = z (u)⊕ k com k semi simples, de tal forma que a álgebrade Lie de T é z (u)⊕ t com t uma subálgebra de Cartan de k. Se k ∈ S então Ad (k) éum automorfismo de u que se restringe a um automorfismo de k tal que Ad (k)X = Xpara todo X ∈ t. Pelo teorema Ad (k) = ead(H) para algum H ∈ t. Portanto, k = eHzpara algum z ∈ Z (U). Como ambos eH e z pertencem a T , se conclui que k ∈ T , istoé, S ⊂ T . 2

11.5. Centro e raízes 235

11.5 Centro e raízes

Nesta seção u é uma álgebra de Lie semi simples compacta. Sejam U é um grupo de Liecompacto com álgebra de Lie u e T = exp t é um toro maximal de U . Como ocorre comgrupos abelianos em geral, a aplicação exponencial exp : t → T é um homomorfismocujo núcleo RU é um reticulado do grupo aditivo de t, isto é, um subgrupo discretoisomorfo a Zdim t.Conforme U varia entre os grupos localmente isomorfos com álgebra de Lie u, a

subálgebra de Cartan t permanece inalterada, mudando no entanto o reticulado RU .Uma análise desse reticulado a partir das propriedades algébricas de u e t (basicamenteas raízes da subálgebra de Cartan complexificada h = tC) leva a uma descrição do centroZ (U) de U , uma vez que o centro está contido no toro maximal T . Essa descriçãoeventualmente fornece uma outra demonstração do teorema de Weyl da compacidadedo grupo simplesmente conexo com álgebra de Lie u.Se assume aqui, sem perda de generalidade, que u é a forma real compacta da

álgebra semi simples complexa g, obtida pela construção de Weyl, resumida no teorema11.13. As notações são as mesmas da seção 11.3. Em particular t = ihR onde h é umasubálgebra de Cartan de g. As raízes de h são denotadas por Π.No caso do grupo adjunto Aut0u o reticulado RAut0u é descrito facilmente pelas

raízes em Π.

Proposição 11.32 Seja U = Aut0u o grupo adjunto. Então, para H ∈ hR, exp iH = 1se, e só se, α (H) ∈ 2πZ para toda raiz α ∈ Π, isto é, o reticulado em t dado pelo núcleode exp : t→ U é

R0 = iH ∈ ihR : ∀α ∈ Π, α (H) ∈ 2πZ. (11.7)

Demonstração: Os auto-valores de ad (iH), H ∈ hR são 0 e iα (H) com α ∈ Π.Portanto, os auto-valores de ead(iH) são 1 e eiα(H), α ∈ Π. Daí que ead(iH) = 1 se, e sóse, α (H) ∈ 2πZ para toda raiz α ∈ Π. 2

O reticulado R0 para o grupo adjunto dado em (11.7) é o maior de todos os retic-ulados em t definido a partir dos grupos compactos U com álgebra de Lie u. De fato,vale a

Proposição 11.33 Para o grupo U compacto com álgebra de Lie u seja

RU = iH ∈ ihR : expU iH = 1

o reticulado correspondente. Então, RU ⊂ R0 e o centro Z (U) é isomorfo a R0/RU .O isomorfismo associa iH ∈ R0 a eiH ∈ Z (U).

Demonstração: Se iH ∈ RU então Ad(eiH)

= ead(iH) = 1 e portanto iH ∈ R0, istoé, RU ⊂ R0. Dados iH1, iH2 ∈ R0, eiH1 = eiH2 se, e só se, iH1 − iH2 ∈ RU , portanto aaplicação iH → eiH passa ao quociente e define um homomorfismo injetor em R0/RU

que assume valores em Z (U), já que Ad(eiH)

= 1 se iH ∈ R0. Esse homomorfismo é


sobrejetor. De fato, se z ∈ Z (U) então existe iH ∈ t tal que z = eiH pois o centro estácontido em todo toro maximal. Como Ad (z) = 1, segue que iH ∈ R0. 2

Em outras palavras, R0 é um limitante superior (em relação à inclusão) para osreticulados RU ⊂ t definidos pelos grupos localmente isomorfos com álgebra de Lie u.É possível obter também um limitante inferior para os reticulados RU , baseado

na geometria do conjunto das raízes e, em última instância, no fato de que SU (2)é simplesmente conexo. Para isso deve-se introduzir os seguintes conceitos e fatosrelacionados às raízes de uma álgebra semi simples complexa.Seja Kg (·, ·) a forma de Cartan-Killing de g = uC. Sua restrição à subálgebra de

Cartan h é não degenerada e é um produto interno em hR, denotado por 〈·, ·〉. Essesubespaço real é gerado por Hα, α ∈ Π, onde Hα é definido por α (·) = Kg (Hα, ·). Paraα ∈ Π defina a “co-raiz”

H∨α =2

〈Hα, Hα〉Hα

e denote por g (α) o subespaço gerado por Hα, gα e g−α (lembrando que se α ∈ Π então−α ∈ Π). O subespaço g (α) é uma subálgebra complexa de g isomorfa a sl (2,C). Paraobter um isomorfismo se escolhe Xα ∈ gα e Yα ∈ g−α tais que Kg (Xα, Yα) = 1. Então,Xα, H

∨α , Yα é base de g (α) e o isomorfismo é dado por

Xα ←→(

0 10 0

)H∨α ←→ H =

(1 00 −1

)Yα ←→

(0 01 0

).

(A escolha de H∨α vem do fato de que esse é o único multiplo de Hα tal que α (H∨α ) = 2,já que ±2 são os auto-valores de ad (H) em sl (2,C).)7

O subgrupo aditivo gerado por 2πiH∨α , α ∈ Π, é um reticulado. De fato, pelafórmula de Killing para todo par de raízes α, β ∈ Π, o número de Killing β (H∨α ) ∈ Z.Portanto 2πiH∨α ∈ R0 para toda raiz α ∈ Π. Por outro lado, o conjunto das raízes Πgera o dual h∗ de h, daí que 2πiH∨α , α ∈ Π, gera t = ihR e daí que 2πiH∨α , α ∈ Π, geraum reticulado de t. Esse reticulado é denotado por Rmin. Ele está contido em RU paratodo U compacto, como será verificado a seguir.

Proposição 11.34 Seja U grupo de Lie compacto com álgebra de Lie u. Então, paratoda raiz α ∈ Π vale expU iH

∨α = 1. Portanto, o reticulado Rmin gerado por 2πiH∨α ,

α ∈ Π, está contido em RU .

Demonstração: O isomorfismo entre g (α) e sl (2,C) se restringe a um homomorfismoθ : su (2)→ u cuja imagem é gerada por iH∨α , Xα − Yα e i (Xα + Yα) e satisfaz

iH∨α = θ (iH) = θ

(i 00 −i

).

Pelo fato de que SU (2) é simplesmente conexo θ se estende a um homomorfismo φ :SU (2)→ U . Então,

e2πiH∨α = φ(e2πiH

)= 1,



o que mostra que 2πiH∨α ∈ RU para toda raiz α ∈ Π. 2

Em suma para qualquer grupo compacto U com álgebra de Lie u o reticulado RU

está limitado inferiormente e superiormente por

Rmin ⊂ RU ⊂ R0. (11.8)

Como Z (U) = R0/RU , sua ordem está limitada pela ordem de R0/Rmin, que é finita,como mostra o seguinte fato sobre reticulados em Rn.

Lema 11.35 Sejam R1 ⊂ R2 reticulados de Rn. Então o índice de R1 em R2 é finito.Mais precisamente, suponha que R1 é gerado sobre Z pela base v1, . . . , vn e R2 égerado pela base w1, . . . , wn. Seja g a transformação linear tal que gwj = vj. Então,|R2/R1| = det g.

Demonstração: Se R ⊂ Rn é um reticulado gerado pela base f1, . . . , fn entãoo quociente Rn/R é um toro. A medida de Lebesgue em Rn induz uma medida deHaar não normalizada nesse toro cujo volume é o volume do paralelepipedo gerado porf1, . . . , fn.A projeção canônica Rn/R2 → Rn/R1 é um recobrimento de m = |R2/R1| folhas.

Portanto, o volume de Rn/R2, em relação à medida de Lebesgue é m vezes o volumede Rn/R1.Agora, se g é como no enunciado então o volume do paralepipedo gerado por

v1, . . . , vn é igual a det g vezes o volume do paralepipedo gerado por w1, . . . , wn.Portanto o volume de Rn/R1 é igual det g vezes o volume de Rn/R2, o que mostra que|R2/R1| = det g. 2

As informações coletadas até o momento sobre os reticulados RU já permite daruma outra demonstração do teorema de Weyl.

Teorema 11.36 Se u é semi simples compacta então o grupo fundamental de Aut0u

é finito.

Demonstração: Escreva Aut0u = U/Γ com U simplesmente conexo. Pelo lema 11.8o grupo fundamental Γ é finitamente gerado e portanto é isomorfo a Zk×Zm1×· · ·×Zmn .Suponha por absurdo que Γ não é finito, isto é, k ≥ 1. Então, para todo inteiro N > 0existe um subgrupo L ⊂ Γ tal que Γ/L é finito e tem ordem |Γ/L| > N . TomandoN > |R0/Rmin| se chega a um absurdo. De fato, o centro de U/L é isomorfo a Γ/L, queé finito e daí que U/L é compacto. Pelas inclusões (11.8) deve-se ter |Γ/L| ≤ |R0/Rmin|,contradizendo a escolha de L. 2

A compacidade do recobrimento universal U permite escrever as inclusões (11.8)

Rmin ⊂ RU ⊂ R0


o que garante que o grupo fundamental de Aut0u (isto é, o centro de U) tem ordemno máximo R0/Rmin. Na verdade será mostrado a seguir que RU = Rmin de onde seconclui que o grupo fundamental de Aut0u é isomorfo a R0/Rmin e, portanto pode serdeterminado algebricamente.A demonstração da igualdade RU = Rmin é feita via representações de g = uC. O

que acontece é que dado iH ∈ R0 \ Rmin existe uma representação fiel de dimensãofinita ρ : g → gl (V ) tal que eiρ(H) 6= 1. Portanto, iH /∈ RU se U = 〈exp ρ (u)〉, que éum grupo com álgebra de Lie (isomorfa a) u. Se conclui então que iH /∈ RU , já quepara todo grupo U com álgebra de Lie u vale RU ⊂ RU , como segue da definição doreticulado RU .Os resultados e notações sobre representações necessarios para mostrar a afirmação

acima são listados a seguir8.

1. A restrição 〈·, ·〉 a h da forma de Cartan-Killing Kg (·, ·) de g define a forma nãodegenerada em h∗ por

〈α, β〉 = α (Hβ) = β (Hα) = 〈Hα, Hβ〉

onde α (·) = 〈Hα, ·〉.

2. Se Π é o conjunto das raízes de h então um sistema simples de raízes

Σ = α1, . . . , αl ⊂ Π

é uma base de h∗ tal que para toda α ∈ Π, α = n1α1 + · · · + nlαl com ni ≥ 0inteiros todos de mesmo sinal.

3. Dada uma raiz α ∈ Π define-se co-raiz

α∨ =2

〈α, α〉α.

(Sabe-se que 〈α, α〉 > 0.) O conjunto Π∨ = α∨ : α ∈ Π é um sistema de raízestal que Σ∨ = α∨ : α ∈ Σ é um sistema simples de raízes para Π∨.

4. A matriz de Cartan de Π, ou melhor de Σ, é definida por

C (Σ) =

(2〈αi, αj〉〈αi, αi〉

)i,j

.

Da mesma forma se define C (Σ∨) e um cálculo simples mostra que C (Σ∨) =C (Σ)T .

5. O conjunto dos pesos fundamentais Ω = ω1, . . . , ωl é a base dual de Σ∨, que édefinido pelas relações

〈ωj, α∨i 〉 =2〈ωj, αi〉〈αi, αi〉

= δij. (11.9)

8Veja os capítulos 6, 9 e 11 de Álgebras de Lie [49].


Com essas notações o reticulado Rmin é gerado (sobre Z) por Hα, α ∈ Σ∨. Defato, por definição Rmin é gerado por H∨α = Hα∨ , α ∈ Π, isto é, Rmin é gerado por Hβ,β ∈ Π∨. Mas, os elementos de Π∨ são combinações lineares com coeficientes inteiros deΣ∨. Daí que Σ∨ é um conjunto gerador de Rmin. Daí se tira a seguinte caracterizaçãode Rmin.

Proposição 11.37 Seja Ω o conjunto dos pesos fundamentais. Então,

Rmin = iH ∈ ihR : ∀ω ∈ Ω, ω (H) ∈ 2πZ.

Demonstração: Pela definição de Ω em (11.9) sua base dual em h é Hβ, β ∈ Σ∨.Portanto, H ∈ h se escreve

H = ω1 (H)Hα∨1+ · · ·+ ωl (H)Hα∨l

de onde se vê que H está no reticulado Rmin gerado por Hα∨1, . . . , Hα∨l

se, e só seωi (H) ∈ Z, i = 1, . . . , l. 2

O resultado sobre representações de álgebras semi simples que será usado aqui estáenunciado a seguir 9.

Proposição 11.38 Seja ω = n1ω1 + · · · + nlωl uma combinação linear de Ω comcoeficientes inteiros ≥ 0. Então, existe uma representação irredutível (fiel) de dimensãofinita ρ : g→ gl (V ) tal que para todo H ∈ h, ω (H) é auto-valor de ρ (H).

Agora é possivel descrever o reticulado para U e portanto o grupo fundamental deAut0u.

Teorema 11.39 Seja u álgebra de Lie semi simples compacta e U o seu grupo sim-plesmente conexo. Então,

RU = Rmin = 2πiZ · Σ∨

= iH ∈ ihR : ∀ω ∈ Ω, ω (H) ∈ 2πZ.

Portanto, o grupo fundamental π1 (Aut0u) ≈ R0/Rmin.

Demonstração: Para todo grupo U com álgebra de Lie U se tem

Rmin ⊂ RU ⊂ RU ⊂ R0.

Deve-se mostrar que dado iH ∈ R0 \ Rmin existe um grupo U tal que iH /∈ RU . Pelaproposição 11.37 se iH ∈ R0 \ Rmin então existe um peso fundamental ω ∈ Ω tal queω (H) não é um múltiplo inteiro de 2π. Seja ρ : g→ gl (V ) a representação dada pelaproposição 11.38 tal que ω (H) é auto-valor de ρ (H). O grupo U = 〈exp ρ (u)〉 temálgebra de Lie ρ (u) isomorfa a u e contém eiρ(H). O fato de que ω (H) é auto-valor de

9Veja o teorema de representação com peso máximo no capítulo 11 de Álgebras de Lie [49].


ρ (H) implica que eiω(H) 6= 1 é auto-valor de eiρ(H), que é portanto diferente de 1. Daíque iH /∈ RU o que conclui a demonstração. 2

A ordem R0 \ Rmin pode ser calculada a partir do lema 11.35, uma vez que seobtenha um conjunto gerador de R0.

Proposição 11.40 Denote por Ω∨ o conjunto dos pesos fundamentais para os sistemade raízes Π∨. Então, o reticulado

R0 = iH : ∀α ∈ Π, α (H) ∈ 2πZ

é gerado por 2πiHβ com β ∈ Ω∨.

Demonstração: Seja B = H1, . . . , Hl a base dual de Σ = α1, . . . , αl ⊂ Π. TodoH ∈ h se escreve

H = α1 (H)H1 + · · ·+ αl (H)Hl

de onde se vê que R0 é gerado por 2πiB. Deve-se verificar então que B = Hβ : β ∈Ω∨. Para isso se observa que (α∨)∨ = α e portanto, (Π∨)∨ = Π e (Σ∨)∨ = Σ. Dadefinição dos pesos fundamentais segue então que Ω∨ = β1, . . . , βl é dado pelas re-lações 〈αj, βk〉 = δjk, isto é, Hj = Hβj , concluíndo a demonstração. 2

Como consequência dessa proposição e do lema 11.35, o índice de Rmin em R0 é odeterminante da transformação linear g que leva os geradores 2πiHβ, β ∈ Ω∨, de R0 nosgeradores 2πiHα, α ∈ Σ∨ de Rmin. A matriz dessa transformação linear é precisamentea matriz de Cartan C (Σ∨) = C (Σ)T .De fato, escrevendo Σ∨ = γ1, . . . , γl e Ω∨ = β1, . . . , βl cada βj é obtido pelas

relações2〈γi, βj〉〈γi, γi〉

= δij i = 1, . . . , l.

Tomando coordenadas em relação a Σ∨ se obtém para a matriz coluna[βj]das coor-

denadas de βj o sistema linear

C (Σ∨)[βj]

= cj

onde cj é a matriz coluna com entrada 1 na posição j e 0 nas demais. Portanto, ascoordendas de β1, . . . , βl em relação a Σ∨ são as colunas da matriz C (Σ∨)−1. Seguedaí que se g é a transformação linear definida por g

(βj)

= γj então sua matriz na baseΣ∨ é C (Σ∨) = C (Σ)T . Em suma chega-se à ordem do grupo fundamental de Aut0u.

Proposição 11.41 Se u é uma álgebra semi simples compacta seja C (Σ) a matrizde Cartan de sua complexificada. Então, a ordem do grupo fundamental π1 (Aut0u) édetC (Σ).


O determinante detC (Σ) é conhecido como índice de conectividade da álgebrasemi simples. Ele é calculado diretamente a partir de seu diagrama de Dynkin e peloque foi visto coincide com a ordem do grupo fundamental de Aut0u. A tabela abaixoapresenta esse índice para os diagramas da classificação, que correspondem às álgebrassimples. Essa tabela é facilmente obtida a partir das matrizes de Cartan associadasaos diagrama de Dynkin10

Σ Al Bl Cl Dl E6 E7 E8 G2 F4

detC (Σ) l + 1 2 2 4 3 2 1 1 1

Desta tabela saem as seguintes observações:

1. O índice de conectividade de Al, que corresponde a su (n), n = l + 1, é n quereflete o fato de que SU (n) é simplesmente conexo e seu centro Z (SU (n)) temordem n, pois Z (SU (n)) ≈ Zn. Aliás, as duas informações, detC (Σ) = n eZ (SU (n)) ≈ Zn, que são obtidas algebricamente, mostram de forma indiretaque SU (n) é simplesmente conexo.

2. A classe Bl, l ≥ 2, corresponde às álgebras so (n) com n = 2l+ 1. Para n ímpar,n ≥ 5, o grupo SO (n) tem centro trivial. Portanto, o índice de conectividadede Bl, l ≥ 2, mostra que SO (n), n = 2l + 1, é o grupo adjunto de so (n). Já orecobrimento universal é um recobrimento duplo de SO (n). Esse recobrimento édenotado por Spin (n).

3. As álgebras de Lie compactas associadas a Cl, l ≥ 3, são dadas por sp (l), queé dada pelas matrizes anti-Hermitianas quaternionicas. Um grupo de Lie comálgebra de Lie sp (l) é o grupo Sp (l) das matrizes quaternionicas unitárias. Essegrupo é simplesmente conexo (veja o exercício 17 do capítulo 7). O centro deSp (l) é Z2 (dado por ±1 o que confirma que o índice de conectividade de Cl é2, como apresentado na tabel.

4. A classe Dl, l ≥ 4, corresponde às álgebras so (n) com n = 2l. Para n par,n ≥ 8, o grupo SO (n) tem centro ±1. Portanto, o índice de conectividade deDl, l ≥ 4, mostra que π1 (SO (n)), n = 2l, tem ordem 2, isto é, π1 (SO (n)) = Z2

(compare com o exercício 18 do capítulo 7). Como no caso ímpar o recobrimentouniversal de SO (n) é um recobrimento duplo, que é denotado por Spin (n).

Já o grupo fundamental do grupo adjunto Aut0 (so (2l)) tem ordem 4. Ele é Z4

se l é ímpar e Z2 × Z2 se l é par (o exercício 11 ao final do capítulo indica umademonstração desse fato).

5. Os índices de conectividade das álgebras excepcionais mostram que nos casos E8,G2 e F4 o grupo adjunto é o único grupo de Lie compacto com as respectivasálgebras de Lie. Nos outros casos existem o grupo adjunto e o recobrimentouniversal, que é um recobrimento triplo para E6 e um recobrimento duplo paraE7.

10Veja Álgebras de Lie [49], capítulos 6, 7 e 11.


11.6 Geometria Riemanniana

O objetivo desta seção é indicar, sem detalhes, demonstrações da sobrejetividade daexponencial e do teorema de Weyl a partir de teoremas gerais de geometria Rieman-niana. Os conceitos e notações usuais em geometria Riemanniana serão usados semmaiores explicações11.Seja U um grupo de Lie compacto com álgebra de Lie u. Um produto interno (·, ·)

em u invariante invariante por Ad (u), u ∈ U , define uma métrica Riemanniana em U(também denotada por (·, ·)) por translações à esquerda (v, w)u = (dEu−1 (v) , dEu−1 (w)),v, w ∈ TuU . Por definição essa métrica é invariante à esquerda (as translações à es-querda são isometrias). Como o produto interno (·, ·) é invariante por Ad (u), u ∈ U ,se conclui que a métrica Riemanniana é também invariante por translações à direita,isto é, ela é bi-invariante12.A conexão de Levi-Civita ∇ de (·, ·) também é bi-invariante, isto é, Eu∗∇XY =

∇Eu∗XEu∗Y e Du∗∇XY = ∇Du∗XDu∗Y para u ∈ U e X, Y campos de vetores. Aconexão é calculada pela fórmula

2 (∇XY, Z) = X (Y, Z) + Y (X,Z)− Z (X, Y )

− ([X,Z] , Y )− ([Y, Z] , X) + ([X, Y ] , Z)

onde X, Y e Z são campos de vetores. Tomando campos invariantes (à esquerda ouà direita) os três primeiros termos se anulam pois (X, Y ) é constante se X e Y sãocampos invariantes. Pela invariância do produto interno, no elemento neutro os trêsúltimos termos se reduzem a

− ([X,Z] , Y )− ([Y, Z] , X) + ([X, Y ] , Z) = ([X, Y ] , Z) .

Daí que se X e Y são campos invariantes então

∇XY =1

2[X, Y ] . (11.10)

A curvatura por sua vez é dada por

R (X, Y )Z = ∇X∇YZ −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z

=1

4[X, [Y, Z]]− 1

4[Y, [X,Z]]− 1

2[[X, Y ] , Z]

se X, Y e Z são campos invariantes. Aplicando a identidade de Jacobi se obtém

R (X, Y )Z = −1

4[[X, Y ] , Z] . (11.11)

As geodésicas de (·, ·) são obtidas facilmente a partir da fórmula (11.10). De fato,se X é campo invariante então∇XX = 0. Portanto, as trajetórias de X são geodésicas.

11Veja por exemplo Carmo [6].12Veja o capítulo 14 para mais detalhes sobre a construção da métrica bi-invariante.


Isto significa que para todo X ∈ g as curvas etXu e uetX são geodésicas que partemde u ∈ U . (Observe que uetX = etAd(u)Xu dessa forma os conjuntos de curvas etXu euetY , com X e Y percorrendo u, coincidem.) Em particular, as geodésicas que partemdo elemento neutro 1 são os grupos a 1-parâmetro etX . Isso significa que a aplicaçãoexponencial, baseada em 1 ∈ U , definida pela métrica Riemanniana, coincide com aaplicação exponencial de U .Dessa igualdade entre as aplicações exponenciais se obtém a sobrejetividade da

exponencial exp : u → U . Isso porque a métrica Riemanniana (·, ·) é geodésicamentecompleta no sentido em que suas geodésicas estão definidas para todo t ∈ R, comoaliás ocorre em qualquer variedade Riemanniana compacta. Porém, o teorema deHopf-Rinow13 garante que numa variedade Riemanniana geodésicamente completa doispontos quaisquer são ligados por uma geodésica.O teorema de Weyl do grupo fundamental finito (para grupos compactos semi

simples) segue do teorema de Bonnet-Myers14. Esse teorema garante que se a curvaturade Ricci

Ric (v) = tr (w 7→ R (w, v) v)

de uma variedade Riemanniana M satisfaz Ric (v) > c > 0 para todo vetor tangente vcom ‖v‖ = 1 então o recobrimento universal de M é compacto. Para um grupo semisimples compacto essa condição é satisfeita por uma métrica bi-invariante. De fato,pela fórmula da curvatura (11.11) segue que a curvatura de Ricci é dada para X ∈ ucom ‖X‖ = 1 por

Ric (X) = −1

4

n∑i=1

([[Yi, X] , X] , Yi)

= −1

4

n∑i=1

(ad (X)2 Yi, Yi

)onde Yi é uma base ortonormal de u. Isto é, Ric (X) = −1

4tr(ad (X)2). Como a forma

de Cartan-Killing de u é negativa definida, tr(ad (X)2) < 0 se X 6= 0 o que mostra

que Ric (X) > 0 e assume um mínimo c > 0 quando ‖X‖ = 1.Portanto, se u é semi simples então U admite uma métrica Riemanniana que satisfaz

as condições do teorema de Bonnet-Myers, o que mostra que seu recobrimento universalé compacto.

11.7 Exercícios

1. Mostre que a álgebra de Lie su (n) é semi simples a partir o fato de que SU (n) écompacto e simplesmente conexo.

2. Use a descrição das álgebras de Lie compactas para mostrar que as esferas S2 eS4 não admitem estrutura de grupos de Lie.

13Veja teorema VII.2.8 em Carmo [6].14Veja teorema IX.3.1 em Carmo [6].


3. Seja S3 a esfera tri-dimensional e suponha que a aplicação diferenciável p : S3 ×S3 → S3 satisfaça os axiomas de grupo. Mostre que p é o produto em SU (2), ouo que é a mesma coisa o produto na esfera unitária dos quatérnions.

4. Seja K um grupo de Lie compacto. Mostre que o conjunto dos elementos x ∈ Kde ordem finita é denso em K.

5. Seja u uma álgebra de Lie compacta e U um grupo de Lie conexo com álgebrade Lie u. Mostre que U é o produto direto de um grupo compacto conexo porum grupo abeliano simplesmente conexo. (Escreva exp t como um cilindro, ondet é uma subálgebra de Cartan.)

6. Seja θ um automorfismo de uma álgebra semi simples g. Mostre que φ : Aut0 (g)→Aut0 (g) dada por φ (g) = θgθ−1 é um automorfismo do grupo adjunto Aut0 (g)que estende θ.

7. Sejam U um grupo compacto com álgebra de Lie u e Γ ⊂ U um subgrupo discreto(e portanto finito). Tome uma forma volume bi-invariante ν em U cuja medidade Haar µν é normalizada por µν (U) = 1. Essa forma volume define uma n-forma em u invariante pela adjunta, que por sua vez define uma forma volumeν invariante em U/Γ. Denote por µν a medida de Haar em U/Γ definida porν. Mostre que µν (U/Γ) = 1/|Γ|. Use isso para justificar os argumentos dademonstração do lema 11.35.

8. Seja U um grupo compacto com álgebra de Lie u. Tome uma subálgebra deCartan t ⊂ u e descreva o conjunto dos elementos X ∈ t que são singularidadesda aplicação exponencial.

9. Sejam G um grupo de Lie solúvel e H ⊂ G um grupo compacto e conexo. Mostreque H é um toro.

10. Sejam R1 ⊂ R2 ⊂ Rn reticulados de Rn gerados pelas bases βv = v1, . . . , vne βw = w1, . . . , wn, respectivamente. Seja g a transformação linear tal quegwj = vj e denote por M = [g]βw a matriz de g na base βw. Mostre que asentradas de M são números inteiros e que se k ∈ N é tal que a matriz kM−1

tem entradas inteiras então para todo x ∈ R2, kx ∈ R1. Mostre também que sealguma entrada de kM−1 não é inteira então existe x ∈ R2 tal que kx /∈ R1.

11. Use o exercício anterior para mostrar que o grupo fundamental de Aut (so (2l)),l ≥ 4, é Z4 se l é ímpar e Z2 × Z2 se l é par.

Capítulo 12

Grupos semi simples não compactos

Este capítulo considera grupos de Lie semi simples não compactos. Serão construídasduas decomposições, de Cartan e de Iwasawa. Ambas as decomposições mostram quea variedade diferenciável de um grupo de Lie conexo semi simples não compacto Gé o produto de um espaço euclidiano por um grupo de Lie conexo K cuja álgebrade Lie é compacta. Por essas decomposições a questão de descrever o recobrimentouniversal G de G se reduz a determinar o recobrimento universal de K, o que foi feitoanteriormente.Essa redução dos grupos semi simples à sua “parte compacta” se estende a um

grupo qualquer via o teorema de decomposição de Levi para álgebras de Lie. Por esseteorema um grupo simplesmente conexo é o produto semi-direto de um grupo semisimples por um grupo solúvel. Esse último é um espaço euclidiano conforme ficouestabelecido no capítulo 10.

12.1 Decomposições de Cartan

Seja g uma álgebra de Lie semi simples real. Sua complexificada gC também é semisimples. Isso segue do critério de Cartan que afirma que uma álgebra de Lie l ésemi simples se, e só se, sua forma de Cartan-Killing Kl (X, Y ) = tr (ad (X) ad (Y ))é não degenerada1. As formas de Cartan-Killing Kg e KgC são simultaneamente nãodegeneradas pois Kg é a restrição a g de KgC . Portanto, g é semi simples se, e só se, gCé semi simples.

12.1.1 Decomposições das álgebras de Lie

Uma decomposição de Cartan de g é uma soma direta

g = k⊕ s

com k = g ∩ u e s = g ∩ iu onde u é uma forma real compacta de gC. A existência dedecomposições de Cartan é garantida via conjugações de gC. Seja σ a conjugação de

1Veja capítulo 3 de Álgebras de Lie [49].

245

246 Capítulo 12. Grupos semi simples não compactos

gC em relação a g (isto é, σ (X + iY ) = X − iY se X, Y ∈ g). Então, pode-se provar2que existe uma forma real compacta u de gC cuja conjugação τ comuta com σ. Essacomutatividade implica que τ (g) = g e σ (u) = u, já que g é o conjunto dos pontosfixos de σ e u de τ . Portanto, qualquer X ∈ g pode ser escrito como

X =X + τX

2+X − τX

2

de onde se obtém a soma direta g = (g ∩ u)⊕ (g ∩ iu).Não existe uma única decomposição de Cartan, pois diferentes formas reais com-

pactas podem fornecer somas diretas g = (g ∩ u)⊕ (g ∩ iu). No entanto, não se perdegeneralidade em fixar uma delas uma vez que duas decomposições de Cartan são obti-das uma da outra por um automorfismo interno de g. Dessa forma os resultados obtidoscom diferentes decomposições são equivalentes.A seguir são enumeradas algumas propriedades das decomposições de Cartan.

1. Em g = k⊕ s, os colchetes são dados por

[k, k] ⊂ k [k, s] ⊂ s [s, s] ⊂ k

em particular k é subálgebra de Lie. Essas relações seguem diretamente de k =g ∩ u e s = g ∩ iu, uma vez que u é álgebra de Lie, [u, iu] ⊂ iu e [iu, iu] ⊂ u.

2. A restrição θ = τ |g é um automorfismo involutivo de g, isto é, θ2 = id, denomi-nado de involução de Cartan. Seu auto-espaço, associado ao auto-valor 1, é kenquanto que s é o auto-espaço associado ao auto-valor −1.

3. A forma de Cartan-Killing Kg (X, Y ) de g é negativa definida em k e positivadefinida em s. Isso porque u é uma álgebra semi simples compacta portanto suaforma de Cartan-Killing Ku (·, ·) é negativa definida. As restrições de KgC (·, ·) au e a g dão as respectivas formas de Cartan-Killing Ku (·, ·) e Kg (·, ·). Daí queem g∩ u, Kg (·, ·) coincide com Ku (·, ·) e é negativa definida. Da mesma maneiraKg (·, ·) é positiva definida em g ∩ iu.

4. Se g = k1⊕s1 = k2⊕s2 são duas decomposições de Cartan então existe g ∈ Aut0g

tal que gk1 = k2 e gs1 = s2.

5. Se X ∈ k e Y ∈ s então Kg (X, Y ) = 0, pois Kg (X, Y ) = Kg (θX, Y ) =Kg (X, θY ), já que θ é automorfismo. Portanto, Kg (X, Y ) = Kg (X, θY ) =−Kg (X, Y ), isto é, Kg (X, Y ) = 0.

6. A forma bilinear Bθ (X, Y ) = −Kg (X, θY ) é um produto interno, pois Kg é neg-ativa definida em k e positiva definida em s e esses dois subespaços são ortogonaispor Kg.

2Veja teorema 12.18 de Álgebras de Lie [49].

12.1. Decomposições de Cartan 247

7. Se X ∈ k e Z,W ∈ g então

Bθ ([X,Z] ,W ) = −Kg ([X,Z] , θW ) = Kg (Z, θ [X,W ])

= −Bθ (Z, [X,W ]) ,

isto é, ad (X) é anti-simétrica em relação a Bθ.

8. Se Y ∈ s e Z,W ∈ g então

Bθ ([Y, Z] ,W ) = −Kg ([Y, Z] , θW ) = −Kg (Z, θ [Y,W ])

= Bθ (Z, [Y,W ]) ,

isto é, ad (Y ) é simétrica em relação a Bθ.

9. k é uma álgebra de Lie compacta pois é uma subálgebra da álgebra compacta u.Ela é uma subálgebra compacta maximal, isto é, não está contida propriamentee nenhuma subálgebra compacta. De fato, se k ⊂ l e k 6= l então para Z ∈ l \ kexistem X ∈ k e 0 6= Y ∈ s tal que Z = X + Y . Então, Y ∈ l e Kg (Y, Y ) > 0e daí que l não é álgebra compacta. (Na verdade, com o desenvolvimento maisaprofundado da teoria é possível mostrar que k não está propriamente contida emnenhuma subálgebra própria, compacta ou não.)

10. Se g é o realificado de uma álgebra complexa semi simples então as decomposiçõesde Cartan de g são dadas por g = u⊕ iu onde u é uma forma real compacta de g.

11. O isomorfismo ad : g→ Derg, juntamente com a involução de Cartan θ definemum automorfismo θ de Derg via o diagrama comutativo

gθ−→ g

↓ ↓Derg

θ−→ Derg

isto é, θ (ad (X)) = ad (θX). Como θ é automorfismo, vale a fórmula ad (θX) =θ ad (X) θ−1, daí que θ é a conjugação por θ em Derg. Essa conjugação é dadapor θ (ad (X)) = −ad (X)T onde a transposta é tomada em relação ao produtointerno Bθ. De fato,

Bθ ([X, Y ] , Z) = −Kg ([X, Y ] , θZ) = Kg (Y, [X, θZ])

já que ad (X) é anti-simétrica em relação à forma de Cartan-Killing Kg. Daí que

Bθ ([X, Y ] , Z) = Kg (Y, θ [θX,Z]) = −Bθ (Y, [θX,Z]) ,

isto é, ad (θX) = −ad (X)T .


Exemplo: Sejam g = sl (n,R), gC = sl (n,C) e u = su (n). Então, k = g ∩ u = so (n)enquanto que s = g ∩ iu é o espaço das matrizes simétricas de traço zero. Nesse casoτ (Z) = −ZT

e θ (X) = −XT . O produto interno Bθ (X, Y ) = tr (ad (X) ad (θY )).Pode-se provar que Bθ é um múltiplo do produto interno tr

(XY T

). Essa decomposição

de Cartan pressupõe um produto interno em Rn (em relação ao qual são tomadas astranspostas das matrizes). Outros produtos internos definem outras decomposições deCartan. 2

A decomposição de Cartan para sl (n,R) dada por matrizes simétricas e anti-simétricas é o que ocorre tipicamente para álgebras de Lie semi simples lineares para asquais é possível descrever uma decomposição de Cartan de tal forma que k é formadapor matrizes anti-simétricas e s por matrizes simétricas. Um outro exemplo disso édado pela álgebra simplética.

Exemplo: Seja sp (n,R) = A ∈ gl (2n,R) : AJ + JAT = 0 a álgebra das matrizessimpléticas reais onde J é dada em blocos n× n por

J =

(0 −11 0

).

Os elementos de sp (n,R) são matrizes reais da forma(A BC −AT

)B −BT = C − CT = 0.

Uma decomposição de Cartan é dada por

k = (

A B−B A

) A+ AT = B −BT = 0

que é formada por matrizes anti-simétricas, e

s = (A BB −A

) A− AT = B −BT = 0

que é o conjunto das matrizes simétricas em sp (n,R). Esses subespaços fornecem umadecomposição de Cartan de sp (n,R). 2

12.1.2 Decomposições globais

O objetivo agora é demonstrar a decomposição de Cartan ao nível dos grupos de Lie.Essa decomposição diz que se G é um grupo de Lie semi simples não compacto entãoG = KS = SK onde K = exp k, S = exp s e g = k⊕ s é uma decomposição de Cartanda álgebra de Lie g de G. Essas decomposições dão difeomorfismos de G com K × So que significa que g ∈ G se escreve de maneira única como g = sk ou g = sk, s =s ∈ S, k ∈ K.


A decomposição de Cartan será mostrada em primeiro lugar para o grupo adjuntoAut0g dos automorfismos internos de g, que é um grupo de Lie com álgebra de Lieg. Fixe uma decomposição de Cartan g = k ⊕ s e seja θ a involução de Cartancorrespondente, que dá origem ao produto interno Bθ = −Kg (X, θY ).Seja θ0 (g) = θgθ−1 a conjugação por θ. Se g é automorfismo de g então θgθ−1

também é automorfismo e, portanto, θ0 define um automorfismo do grupo adjuntoAut0g. A igualdade θad (X) θ−1 = ad (θX) mostra que θ0 é uma extensão de θ, vistocomo automorfismo de Derg ≈ g. Essa extensão é dada por θ0 (g) = (g−1)

T onde atransposta é tomada em relação ao produto interno Bθ. Isso segue por um cálculosemelhante ao feito acima para ad (X). De fato, se g ∈ Aut0g e X, Y ∈ g então

Bθ (gX, Y ) = −Kg (gX, θY ) = −Kg(X, g−1θY

)já que g é isometria da forma de Cartan-Killing Kg. Daí que

Bθ (gX, Y ) = −Kg(X, θ

(θ−1g−1θ

)Y)

= Bθ

(X,(θ−1g−1θ

)Y),

isto é, θ−1g−1θ = gT e portanto θ0 (g) = θgθ−1 = (g−1)T . É claro que θ2

0 = 1. Comoconsequência se vê que se g é um automorfismo de g então gT também é.Seja agora

Kad = g ∈ Aut0g : θ0 (g) = g.Então, Kad é um subgrupo fechado, cuja álgebra de Lie é ad (k), pois ad (k) é o espaçodos pontos fixos de θ. Além do mais, um automorfismo g está em Kad se, e só se,(g−1)

T= g, o que significa que Kad = SO (g, Bθ) ∩ Aut0g onde SO (g, Bθ) é o grupo

das isometria de Bθ. Portanto, Kad é compacto. (Posteriormente se verá que Kad éconexo, o que vai garantir que Kad = 〈exp ad (k)〉 = exp ad (k).)O grupo Kad globaliza a parte anti-simétrica da decomposição de Cartan. Para

considerar a parte simétrica suponha que g ∈ Aut0g é simétrica e positiva definidaem relação a Bθ. Então, g é diagonalizável com auto-valores reais positivos e existeA ∈ gl (g) simétrica (em relação a Bθ) tal que g = eA.

Lema 12.1 A transformação A tal que g = eA é uma derivação de g e etA ∈ Aut0g

para todo t ∈ R. Essa derivação é interna, isto é, A = ad (X) com X ∈ s.

Demonstração: Sejam λ1, . . . , λn os auto-valores de g e X1, . . . , Xn uma base deg que diagonaliza g, de tal forma que gXj = λiXj, j = 1, . . . , n. Então AXj = aiXj

onde aj = log λj. Sejam cljk as constantes de estrutura de X1, . . . , Xn, isto é,

[Xj, Xk] =

n∑l=1

cljkXl. (12.1)

Aplicando g a esta igualdade e usando o fato de que g é um automorfismo, se obtém

λjλk[Xj, Xk] =

n∑l=1

λlcljkXl .


Substituindo o colchete do primeiro membro pela combinação linear (12.1), chega-se a

cljkλjλk = cljkλl

para todo j, k, l. Essa igualdade implica, cancelando e posteriormente multiplicandopelas constantes de estrutura, que

cljketajetak = cljke

tal ,

o que mostra de imediato que etA é automorfismo para todo t ∈ R e portanto A éderivação.A derivação A é interna pois g é semi simples. As propriedades (7) e (8) da de-

composição de Cartan enunciadas acima mostram que X ∈ s uma vez que ad (X) ésimétrica em relação a Bθ. 2

Seja agora S = exp s, isto é, S é a imagem da aplicação diferenciável exp : s →Aut0g. Essa aplicação é uma imersão pois se X ∈ s então d (exp)X = dEeX TX com

TX =ead(X) − 1

ad (X)=∑k≥0

1

k!ad (X)k ,

que é um isomorfismo já que os auto-valores de ad (X) são reais (veja o capítulo 8).Portanto, a restrição de d (exp)X a s é injetora. Além do mais, exp : s → Aut0g éinjetora já que se X ∈ s então eX é simétrica positiva definida em relação a Bθ. DessaformaX é obtida de eX tomando os logaritmos dos auto-valores, como na demonstraçãodo lema acima.Em suma, S = exp s é uma subvariedade imersa de Aut0g difeomorfa a s. O espaço

tangente TeXS a S em eX , X ∈ s, é dado por dEeX TX (s). O lema a seguir, que seráusado na demonstração da decomposição de Cartan, mostra que TX (s) é transversal ak.

Lema 12.2 Se X ∈ s então k ∩ TX (s) = 0.

Demonstração: Se Y ∈ s então TX (Y ) =∑

j≥01j!

ad (X)j (Y ). Nessa série os termosem que j é par pertencem a s enquanto que os de grau ímpar estão em k, como seguedas relações [k, s] ⊂ s e [s, s] ⊂ k. Deve-se mostrar então que a soma PX (Y ) dos termosde grau par é não nula a menos que TX (Y ) = 0.Como TX é a série de potências da função f (x) = ex−1

xavaliada em ad(X), a soma

PX dos termos pares é dada pela série de potências da função f (x) + f (−x) = senh(x)x.

Essa função é estritamente positiva o que garante que 0 não é um auto-valor dePX = senh(ad(X))

ad(X), isto é, PX é injetora. Portanto, se PX (Y ) = 0 então TX (Y ) = Y = 0,


A partir desses lemas pode-se demonstrar a decomposição de Cartan para o grupoadjunto Aut0g.


Teorema 12.3 A aplicação φ : s×Kad → Aut0g definida por φ (X, k) = exp (ad (X)) ké um difeomorfismo e Aut0g = SKad onde S = exp s. Além do mais Kad é conexo.

Demonstração: Em primeiro lugar φ é sobrejetora pois se g ∈ Aut0g então gT =θ (g−1) e ggT pertencem a Aut0g. Como ggT é positiva definida o lema 12.1 garanteque s =

√ggT ∈ exp ad (s). Tome k = s−1g que pertence a Aut0g. Então,

kkT = s−1ggT s−1 = s−1s2s−1 = 1

isto é, k ∈ Kad = SO (g, Bθ) ∩ Aut0g. Como g = ks, isso mostra que φ é sobrejetora.A injetividade vem do fato de que se g = sk, s ∈ S, k ∈ Kad então ggT =

skkT sT = s2 ∈ Aut0g e, portanto, s =√ggT e a S-componente é única. Daí que a

Kad-componente também é única.Para concluir a demonstração falta mostrar que a diferencial de φ é um isomorfismo

em todo ponto. Tome (X, k) ∈ s ×K, Y ∈ s e A ∈ k, visto como campo invariante àdireita em K. Então,

dφ(X,k) (Y,A (k)) = eX · (TX (Y ) + A) · k= (dEeX )1 (dDk)1 (TX (Y ) + A) .

Essa diferencial se anula se, e só se, TX (Y ) + A = 0, isto é, TX (Y ) = −A. Pelo lema12.2 isso só ocorre se TX (Y ) = 0, o que por sua vez implica que Y = 0, já que TX éisomorfismo pois X ∈ s. Portanto, A = Y = 0, o que mostra que dφ(X,k) é isomorfismo.Como φ é bijetora e um difeomorfismo local, φ é de fato um difeomorfismo.Por fim, a partir do difeomorfismo S × Kad ≈ SKad = Aut0g se conclui que

Aut0g/Kad é difeomorfo a S, que é simplesmente conexo. Portanto, Kad é conexo.2

A decomposição de Cartan de um grupo arbitrário se obtém facilmente a partir dadecomposição do grupo Aut0g, através da representação adjunta.

Teorema 12.4 Sejam G um grupo de Lie semi simples conexo e g = k ⊕ s umadecomposição de Cartan de sua álgebra de Lie. Escreva K = 〈exp k〉 e S = exp s.Então,

1. G = SK = KS e todo g ∈ G se escreve de maneira única como g = sk oug = ks, k ∈ K e s ∈ S.

2. S é uma subvariedade mergulhada de G difeomorfa a s pelo mergulho exp : s→ S.

3. As aplicações K×S → G dadas por (k, s) 7→ ks e (k, s) 7→ sk são difeomorfismos.

4. O centro Z (G) de G está contido em K.

5. K = exp k e K é compacto se, e só se, Z (G) é finito.


Demonstração: A representação adjunta Ad : G → Aut0g é o recobrimentocanônico, cujo núcleo é Z (G). A imagem inversa K = Ad−1 (Kad) é um subgrupofechado cuja álgebra de Lie é k e que contém Z (G).A decomposição de Cartan vale para K, isto é, a aplicação φ : s × K → G,

φ (X, k) = exp (ad (X)) k é um difeomorfismo. Para verificar essa afirmação distingaas aplicações exponencias de G e Aut0g por exp e expad, respectivamente.Dado g ∈ G, Ad (g) = sk com s = expad Y ∈ expad s e k ∈ Kad pela decomposição

de Cartan em Aut0g. Agora, Ad exp = expad. Daí que Ad (g) = Ad (expY ) k, isto é,Ad((expY )−1 g

)= k ∈ Kad. Portanto, (expY )−1 g ∈ K e daí que g = (expY ) k1 com

k1 ∈ K. Isto é, a aplicação φ é sobrejetora.A injetividade é provada de forma similar. Se g = (expX1) k1 = (expX2) k2,

então (expad X1) Ad (k1) = (expad X2) Ad (k2) o que implica que expad X1 = expadX2

e Ad (k1) = Ad (k2). Portanto, X1 = X2 (pela unicidade da decomposição no grupoadjunto), o que implica que expX1 = expX2 o que implica que k1 = k2.A demonstração de que φ é difeomorfismo local é exatamente a mesma do teorema

12.3, uma vez que k é álgebra de Lie K e a propriedade de TX do lema 12.2 dependesó da álgebra de Lie.Aplicando a inversa de G se obtém a decomposição G = KS e o difeomorfismo

(X, k) 7→ k exp (ad (X)).Da mesma forma que no teorema 12.3, G/K é difeomorfo a S, que é simplesmente

conexo. Consequentemente, K é conexo e, portanto, K = K = 〈exp k〉 = exp k.Agora, por construção, Kad = K/Z (G) = K/Z (G). Como Kad é compacto, segue

que K é compacto se, e só se, Z (G) é finito, como na afirmação (5), concluíndo ademonstração do teorema. 2

Os difeomorfismos G ≈ K × S ≈ K × exp s mostram de imediato que G é sim-plesmente conexo se, e só se, K é simplesmente conexo. Segue então do item (5) doteorema 12.4, juntamente com o teorema de Weyl para grupos compactos, que paraqualquer G, Z (G) é finito se k for semi simples, isto é, z (k) = 0. Por outro lado,se z (k) 6= 0 e K é simplesmente conexo então K não é compacto. Daí que Z (G) éinfinito se z (k) 6= 0 e G é simplesmente conexo.Uma outra consequência da decomposição global de Cartan é que a variedade difer-

enciável de G é difeomorfa ao produto Cartesiano de um grupo compacto conexo porum espaço euclidiano. Isso porque mesmo que K não seja compacto sua variedadediferenciável é o produto de um grupo compacto conexo por um grupo abeliano sim-plesmente conexo (veja o exercício 5 do capítulo 11).

12.2 Decomposições de Iwasawa

A decomposição de Iwasawa de um grupo de Lie semi simples não compacto G forneceum outro difeomorfismo entre G e um produto K × E onde K é um grupo de Liecom álgebra de Lie compacta e E é um espaço euclidiano. A diferença em relação às

12.2. Decomposições de Iwasawa 253

decomposições de Cartan é que numa decomposição Iwasawa o espaço euclidiano é umsubgrupo solúvel simplesmente conexo.

12.2.1 Decomposições das álgebras de Lie

As álgebras semi simples reais admitem decomposições em espaços de raízes análogasàs álgebras complexas. A diferença é que a decomposição não se faz a partir de umasubálgebra de Cartan h, pois as adjuntas dos elementos de h nem sempre tem auto-valores reais.O que substitui as subálgebras de Cartan são as subálgebras abelianas maximais

a ⊂ s, dentro da componente simétrica de uma decomposição de Cartan g = k ⊕ sfixada. Isso porque se H ∈ a então ad (H) é diagonalizável pois é uma transformaçãolinear simétrica em relação ao produto intrno Bθ. Como a é abeliana, as adjuntasad (H), H ∈ a, são simultaneamente diagonalizaveis. Dessa forma se α ∈ a∗ então osubespaço

gα = X ∈ g : ∀H ∈ a, ad(H)X = α(H)X

é um auto-espaço comum a ad (H), H ∈ a, se gα 6= 0. Nesse caso α é chamado deraiz de a quando α 6= 0 e g se decompõe como

g = g0 ⊕∑α

gα (12.2)

com α percorrendo o conjunto das raízes. O subespaço g0 é de fato uma subálgebrapois é o centralizador de a. Essa decomposição pode ser escrita de uma forma umpouco mais precisa, tomando a decomposição de Cartan dos elementos de g0, como seobserva no lema a seguir.

Lema 12.5 Seja g0 como em (12.2) e defina m = g0∩k. Então, g0 = m⊕a e a álgebrade Lie g se decompõe

g = m⊕ a⊕∑α

gα. (12.3)

Demonstração: Tome X + Y ∈ g0 com X ∈ k e Y ∈ s. Se H ∈ a então0 = [H,X + Y ] = [H,X] + [H,Y ] sendo que [H,X] ∈ s e [H,Y ] ∈ k. Portanto,[H,X] = [H, Y ] = 0, isto é, X ∈ m = g0 ∩ k e Y ∈ s centraliza a. Como a é abelianomaximal segue que Y ∈ a, o que conclui a demonstração do lema. 2

As decomposições (12.2) e (12.3) pressupõem a escolha de uma subálgebra abelianamaximal a. Essa escolha apesar arbitrária não perde generalidade pois duas subálgebrasabelianas a1, a2 ⊂ s são obtidas uma da outra por um elemento de Kad. Esse fatoé demonstrado da mesma maneira que a conjugação das subálgebras de Cartan nasálgebras compactas (veja proposição 11.20). Essa demonstração requer o conceito deelemento regular em a.


Um elemento H ∈ a é regular real se α (H) 6= 0 para toda raiz α. O conjuntodos elementos regulares é aberto e denso em a já que a quantidade de raízes é finita.Se H ∈ a é regular real então a dimensão de ker ad (H) é mínima entre os núcleos doselementos de a e o seu centralizador z (H) coincide com g0 = m⊕a. Portanto, se X ∈ sé tal que [H,X] = 0 para algum elemento regular real então X ∈ a.Agora, a relação [k, s] ⊂ s mostra que o subgrupo Kad deixa invariante o subespaço

s. Isso implica que se a ⊂ s é abeliano maximal e k ∈ Kad então k (a) ⊂ s tambémé subálgebra abeliana maximal. A proposição a seguir mostra que todas subálgebrasabelianas maximais são obtidas dessa forma por conjugações por elementos de Kad.

Proposição 12.6 Seja a ⊂ s uma subálgebra abeliana maximal. Então, para todoX ∈ s existe k ∈ Kad tal que gX ∈ a.

Demonstração: A demonstração é identica à da proposição 11.20. Seja H ∈ a umelemento regular real e defina a função f : Kad → R por f (k) = Kg (kX,H) onde Kgé a forma de Cartan-Killing de g, que é um produto interno em s. Por compacidadeessa função assume um mínimo. Se f (k0) é mínimo então como na proposição 11.20,k0X comuta com H. Mas, H é regular real e daí que k0X ∈ a. 2

Corolário 12.7 Se a, a1 ⊂ s são abelianas maximais então existe k ∈ Kad tal queka1 = a.

Demonstração: Tome um elemento regular real X ∈ a1 e seja k ∈ Kad tal quegX ∈ a. Se Y ∈ a então [k−1Y,X] = [Y, kX] = 0 e, portanto k−1Y ∈ a1, o que mostraque k−1a ⊂ a1. De maneira simétrica existe u ∈ K tal que ua1 ⊂ a. Segue daí quedim ai = dim a e portanto k−1a = a1, concluíndo a demonstração. 2

A dimensão comum das álgebras abelianas maximais a ⊂ s é denominada de postoreal de g. Em geral o posto real difere do posto da álgebra de Lie, que é a dimensãodas subálgebras de Cartan. Uma álgebra abeliana maximal a está contida em umasubálgebra de Cartan, mas essa inclusão pode ser própria.Para definir uma decomposição de Iwasawa de g se escolhe uma decomposição de

Cartan g = k ⊕ s, uma álgebra abeliana maximal a ⊂ s e um elemento regular realH ∈ a. A partir da decomposição de g nos espaços de raízes de a, define-se

n = n+H =

∑α(H)>0

gα

que é a soma dos auto-espaços de ad (H) associados aos auto-valores > 0. Então, comessas escolhas a decomposição de Iwasawa é dada por

g = k⊕ a⊕ n. (12.4)

Teorema 12.8 A decomposição de Iwasawa em (12.4) é de fato uma soma direta cujoresultado é g.


Demonstração: Antes de mais nada k ∩ a = 0 pois a ⊂ s e a ∩ n+H = 0, já

que a ⊂ ker ad (H) e n+H é a soma dos auto-espaços associados aos auto-valores > 0 de

ad (H). Para verificar a interseção k ∩ n+H = 0 seja

n−H =∑

α(H)<0

gα

a soma dos auto-espaços de ad (H) associados aos auto-valores < 0. Se θ é a involuçãode Cartan então θ

(n+H

)= n−H e θ

(n−H)

= n+H pois se ad (H)X = [H,X] = λX então

θ [H,X] = λθX e como θH = −H se conclui que

[H, θX] = (−λ) θX,

isto é, θ leva auto-espaços de ad (H) em auto-espaços, mudando o sinal do auto-valor.Dito isso, seja X ∈ k∩n+

H . Então, θX = X pois X ∈ k, e daí que θX = X ∈ n+H ∩n−H =

0 o que mostra que k ∩ n+H = 0.

Portanto, a soma k⊕ a⊕ n+H no segundo membro de (12.4) é de fato direta. Falta

verificar que o seu resultado é g.Como H ∈ a é regular real o núcleo de ad (H) é g0 = m⊕ a e daí que g = n−H ⊕m⊕

a⊕ n+H . Deve-se verificar então que n

−H ⊕m ⊂ k⊕ a⊕ n+

H . Tome X = Y +Z ∈ n−H ⊕m.Então, θ (X) = θ (Y ) + Z, pois θ (Z) = Z e

X = X + θX − θX= Y + θY + Z − θY.

Esse último termo está em k ⊕ n+H pois Y + θY + Z ∈ k e θY ∈ n+

H , o que conclui ademonstração. 2

A componente k de uma decomposição de Iwasawa g = k⊕ a⊕ n é uma subálgebracompacta enquanto que a é abeliana. A proposição a seguir trata da componente n eda soma a⊕ n.

Proposição 12.9 A componente n = n+H da decomposição de Iwasawa é uma subálge-

bra nilpotente e a⊕ n é uma álgebra solúvel.

Demonstração: Sejam X e Y auto-vetores de ad (H) com auto-valores λ e µ, res-pectivamente. Então,

[H, [X, Y ]] = [[H,X] , Y ] + [X, [H,Y ]]

= (λ+ µ) [X, Y ] .

Portanto ou [X, Y ] = 0 ou [X, Y ] é um auto-vetor associado ao auto-valor λ+ µ. Ditoisso, seja g = V1 ⊕ · · · ⊕ VN os auto-espaços de ad (H) associados aos auto-valoresrespectivos λ1, . . . , λN ordenados por λ1 > · · · > λN (um auto-espaço Vi é g0 ou umasoma de espaços de raízes).


Tome uma base B = X1, . . . , XN de g que é união de bases dos subespaços Vi,ordenadas da mesma forma. Seja X um auto-vetor de ad (H) associado ao auto-valorλ > 0. Então, a matriz de ad (X) na base B é triangular superior com zeros na diago-nal, já que [X,Xi] é nulo ou um auto-vetor associado ao auto-valor λ + λi. Tomandocombinações lineares se vê que as adjuntas ad (Y ), Y ∈ n, são simultaneamente trian-gularizaveis na base B. Portanto, ad (n) é nilpotente, já que está contida numa álgebrade Lie nilpotente. Como ad é injetora, se conclui que n é nilpotente.Já a soma a⊕n é uma subálgebra pois a normaliza n, isto é, [a, n] ⊂ n. Essa álgebra

é solúvel, já que n é nilpotente e (a⊕ n) /n ≈ a é abeliana. 2

Por fim convém enfatizar que a decomposição de Iwasawa g = k⊕ a⊕ n não é umproduto semi-direto pois nenhuma das componentes é ideal de g.

Exemplo: Para a álgebra sl (n,R) uma decomposição de Iwasawa é dada pork = so (n), a a álgebra das matrizes diagonais de traço zero e n a álgebra de Lie dasmatrizes triangulares superiores com zeros na diagonal. Essa decomposição é obtida apartir da escolha de um elemento regularH = diaga1, . . . , an tal que a1 > · · · > an. 2

12.2.2 Decomposições globais

A decomposição de Iwasawa global de um grupo de Lie G, semi simples conexo e nãocompacto, permite escrever G como o produto de três subgrupos fechados, G = KANonde g = k⊕a⊕n é uma decomposição de Iwasawa da álgebra de Lie g de G, K = exp k,A = exp a e N = exp n.O subgrupo K é o mesmo da decomposição de Cartan e é fechado (inclusive com-

pacto se Z (G) é finito). O subgrupo abeliano A = exp a é fechado, pois S = exp sé fechado em G, a é fechado em s e exp : s → S é um difeomorfismo. Isso garantetambém exp : a→ A é um difeomorfismo. Os demais subgrupos, associados às álgebrasn e a⊕ n, são considerados no lema a seguir para o grupo adjunto Aut0g.

Lema 12.10 Sejam Nad = 〈exp ad (n)〉 e Aad = exp ad (a). Então, Nad e AadNad sãofechados e simplesmente conexos. A álgebra de Lie de AadNad é ad (a⊕ n). Valem asinterseções Kad ∩ AadNad = 1 e Aad ∩Nad = 1.

Demonstração: Na demonstração da proposição 12.9 foi construida uma base B de gtal que se X ∈ n então a matriz de ad (X) é triangular superior com zeros na diagonal.Portanto, N é um subgrupo conexo do subgrupo nilpotente, fechado e simplesmenteconexo N formado pelas transformações lineares de g cujas matrizes na base B sãotriangulares superiores com 1 na diagonal. Daí que pelos corolários 10.9 e 10.10, Nad éfechado e simplesmente conexo (veja também o exemplo depois do corolário 10.10).O produto AadNad é um subgrupo pois Aad normaliza Nad, já que [a, n] ⊂ n. Esse

subgrupo é fechado pois em relação à base B de g mencionada acima os elementos deAad são diagonais enquanto que os de Nad são triangulares superiores. Dessa forma,se aknk ∈ AadNad é uma sequência convergente então a parte diagonal ak converge e


lim ak ∈ Aad, que é fechado. Daí que nk converge e limnk ∈ Nad, portanto lim aknk ∈AadNad, e esse grupo é fechado.Falta verificar que o grupo AadNad é simplesmente conexo. Para isso defina o

produto semi-direto Aad ×τ Nad onde τ : Aad → AutNad é definido por τ (a) (n) =ana−1. Então, a aplicação φ : Aad×τNad → AadNad, φ (a, n) = an, é um homomorfismodiferenciável. Essa aplicação é sobrejetora, por definição, e é injetora pois se an = a1n1

então a−11 a = n1n

−1 ∈ Aad ∩ Nad. A interseção Aad ∩ Nad = 1 pois os elementosde Aad são diagonais em relação à base B enquanto que os elementos de Nad sãotriangulares superiores com 1 na diagonal. Daí que φ é um isomorfismo. Como Aad×τNad é simplesmente conexo se conclui que AadNad é simplesmente conexo. Segue desseisomorfismo que a álgebra de Lie de AadNad é ad (a⊕ n).Por fim se g ∈ Kad ∩ AadNad então é uma isometria do produto interno Bθ e ao

mesmo tempo seus auto-valores são reais > 0. Isso só é possível se g = 1, daí queKad ∩ AadNad = 1. 2

O fato de queAadNad é um subgrupo fechado garante o espaço quocienteAut0g/AadNad

é uma variedade diferenciável. Isso tem uma consequência interessante do ponto devista da decomposição de Iwasawa pois permite mostrar a sobrejetividade da decom-posição, usando a compacidade deKad juntamente com o fato de que a⊕n complementak em g.

Lema 12.11 A ação do grupo Kad em Aut0g/AadNad é transitiva, isto é, para todog ∈ Aut0g existe k ∈ Kad tal que gAadNad = kAadNad. Isso significa que Aut0g =KadAadNad.

Demonstração: Denote por π : Aut0g → Aut0g/AadNad a projeção canônica e sejax0 = 1 · AadNad a origem de Aut0g/AadNad. A órbita

Kad · x0 = kAadNad : k ∈ Kad = π (Kad)

é compacta pois Kad é compacto.A órbita Kad ·x0 é uma subvariedade de Aut0g/AadNad cujo espaço tangente em x0

é dπ1 (k) (veja teorema 13.8). Como k complementa a⊕ n em g a dimensão de Kad · x0

coincide com a dimensão de Aut0g/AadNad. Portanto, Kad · x0 é aberto e fechado doconexo Aut0g/AadNad e daí que Kad · x0 = Aut0g/AadNad.O fato de que toda classe lateral de AadNad contém um elemento de Kad significa

que Aut0g = KadAadNad. 2

Agora é possível enunciar e demonstrar o teorema que fornece a decomposição deIwasawa global.

Teorema 12.12 Sejam G um grupo semi simples conexo e g = k⊕ a⊕ n uma decom-posição de Iwasawa da álgebra de Lie g de G. Então, G = KAN onde K = exp k,A = exp a e N = exp n. A aplicação φ : K × A × N → KAN , φ (k, a, n) = kan éum difeomorfismo. Os grupos A, N e AN são simplesmente conexos e difeomorfos aespaços euclidianos.


Demonstração: A representação adjunta leva as componentes deG nas componentesde Aut0g,

Ad (K) = Kad Ad (A) = Aad Ad (N) = Nad.

A restrição de Ad a cada um desses grupos é um recobrimento módulo Z (G). Osgrupos Aad e Nad são simplesmente conexos e daí que Ad : A → Aad e Ad : N → Nad

são isomorfismos, o que mostra que A em N são simplesmente conexos.A aplicação φ é sobrejetora pois se g ∈ G então Ad (g) = Ad (k) Ad (a) Ad (n),

k ∈ K, a ∈ A e n ∈ N , pois pelo lema anterior a decomposição de Iwasawa em Aut0g

é sobrejetora. Portanto, g = kanz com z ∈ Z (G), isto é, g = (kz) an ∈ KAN poisZ (G) ⊂ K.Para a injetividade suponha que kan = k1a1n1. Então,

Ad(k−1

1 k)

= Ad(a1n1 (an)−1) ∈ Kad ∩ AadNad = 1

daí que Ad (an) = Ad (a1n1). Isso ímplica que Ad(a−1

1 a)

= Ad(n−1

1 n)∈ Aad ∩

Nad = 1, isto é, Ad (a) = Ad (a1) e Ad (n) = Ad (n1). Mas, Ad é injetora em Ae N , portanto a = a1 e n = n1 o que leva a k = k1, mostrando a injetividade dadecomposição.Falta verificar que φ é difeomorfismo local. Para isso tome campos invarianteX ∈ k,

Y ∈ a e Z ∈ n com X invariante à esquerda, Y bi-invariante e Z invariante à direita.Então,

dφ(k,a,n) (X, Y, Z) = k (X + Y + Ad (a)Z) an.

Essa diferencial se anula se, e só se, X + Y + Ad (a)Z = 0 e como Ad (a)Z ∈ n,segue que X = Y = Z = 0, isto é, a diferencial em qualquer ponto é injetora. Comodim (K × A×N) = dimG, se conclui que φ é difeomorfismo local, concluindo a demon-stração do teorema. 2

Exemplo: No caso do grupo linear Sl (n,R) a decomposição de Iwasawa tem umainterpretação em termos do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. De fato,tomando a decomposição de Iwasawa sl (n,R) = so (n)⊕a⊕n com a a álgebra das ma-trizes diagonais n a das matrizes triangulares superiores, se obtém a decomposição deIwasawa Sl (n,R) = SO (n)AN onde A é o grupo das matrizes diagonais com entradaspositivas de determinante 1 e N é o grupo das matrizes triangulares superiores com 1’sna diagonal. Dada uma matriz g ∈ Sl (n,R) sua decomposição g = kan ∈ SO (n)ANé obtida aplicando o processo de ortonormalização às colunas de g. Esse processo con-siste em multiplicar à direita de g uma matriz triangular superior (an)−1 obtendo umamatriz ortogonal k. 2

12.3 Classificação

Seja g uma álgebra de Lie semi simples real. Sua complexificada gC também é semisimples. Se gC é simples então g é simples, pois se i ⊂ g é um ideal então iC ⊂ gC é ideal

12.3. Classificação 259

de gC. No entanto, se g é simples pode ser que gC não seja simples, o que distingue asálgebras de Lie reais nas classes em que gC é simples ou não. Se gC não é simples entãog é o realificado de uma álgebra complexa. Nesse caso gC é a soma de duas cópias deálgebras isomorfas a g vista como álgebra complexa3. A classificação desses realificadosé dada pela própria classificação das álgebras complexas via os diagramas de Dynkin,apresentados no capítulo 11.

Já a classificação das álgebras simples reais cujas complexificadas são simples é bas-tante envolvente. Ela pode ser feita via os diagramas de Satake4 ou pelos diagramasde Vogan5. As tabelas a seguir apresentam essa classificação. Na primeira estão inclu-idas as chamadas álgebras clássicas que são álgebras de matrizes. A coluna k indicaquais são suas subálgebras compactas maximais (que aparecem nas decomposições deCartan). Na segunda tabela aparecem as álgebras excepcionais. Elas são nomeadas deacordo com suas complexificadas (por exemplo E−14

6 é forma real da álgebra complexaE6). O número no superíndice é a diferença dim s− dim k.

gC g k posto posto realsl (n,C) sl (n,R) so (n,R) n− 1 n− 1

sl (2n,C)sl (n,H)su∗ (2n)

sp (n) 2n− 1 n− 1

sl (n,C)su (p, q)p+ q = n

su (p)⊕ su (q)⊕ R n− 1 minp, q

so (2n+ 1,C)so (p, q)

p+ q = 2n+ 1so (p)⊕ so (q) n minp, q

so (2n,C)so (p, q)

p+ q = 2nso (p)⊕ so (q) n minp, q

so (2n,C) so∗ (2n) u (n) nn/2 ou

(n− 1)/2sp (n,C) sp (n,R) u (n) n n

sp (n,C)sp (p, q)p+ q = n

sp (p)⊕ sp (q)⊕ R n minp, qTabela das álgebras simples não compactas clássicas

3Veja capítulo 12 de Álgebras de Lie [49].4Veja capítulo 14 de Álgebras de Lie [49].5Veja capítulo VI de Knapp [33].


g k posto real dimensãoG2

2 su (2)⊕ su (2) 2 14F 4

4 su (2)⊕ sp (3) 4 52F−20

4 so (9) 1 52E6

6 sp (4) 6 78E2

6 su (2)⊕ su (6) 4 78E−14

6 so (10)⊕ R 2 78E−26

6 F4 2 78E7

7 su (8) 7 133E−5

7 su (2)⊕ so (12) 4 133E−25

7 E6 ⊕ R 3 133E8

8 so (16) 8 248E−24

8 su (2)⊕ E7 4 248Tabela das álgebras simples não compactas excepcionais

12.4 Exercícios

1. Seja G um grupo de Lie conexo, semi simples e não compacto com decomposiçãode Cartan G = KS e de Iwasawa G = KAN . Demonstre as seguintes afirmações:

(a) A aplicação exponencial de AN é sobrejetora.

(b) G/AN é uma variedade diferenciável difeomorfa a K.

(c) A ação de AN em G/K é transitiva.

2. Seja G ⊂ Gl (n,R) um grupo linear conexo, semi simples e não compacto. Mostreque o seu centro Z (G) é finito.

3. Mostre que se g é uma álgebra de Lie complexa então o grupo fundamental dogrupo adjunto Aut0g é finito.

4. Encontre as álgebras simples reais g para as quais o seu grupo simplesmenteconexo G tem centro infinito.

5. Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo. Mostre que a variedadediferenciável subjacente a G é difeomorfa ao produto de um grupo compacto econexo por um espaço Euclidiano.

Parte IV

Grupos de Transformações

261

263

Resumo

Nessa parte são consideradas as ações diferenciáveis de grupos de Lie em variedadesdiferenciáveis e algumas de suas aplicações no estudo da geometria diferencial em es-paços homogêneos.Os elementos básicos das ações diferenciáveis G×M → M de um grupo de Lie G

são desenvolvidos no capítulo 13. O primeiro passo consiste em colocar em evidênciaa álgebra de Lie g de G o que é feito definindo para cada X ∈ g um campo de vetoresX, cujo fluxo é dado pela ação de etX . A aplicação X 7→ X é um homomorfismo

de álgebras de Lie, isto é, [X, Y ] = [X, Y ], quando se considera campos invariantes àdireita em G, para ações à esquerda, ou para campos invariantes à esquerda para açõesà direita. O homomorfismo X 7→ X é denominado de ação infinitesimal da álgebra deLie g, associada à ação do grupo G.A ação infinitesimal determina uma distribuição ∆ em M definida por ∆ (x) =

X (x) : X ∈ g. Essa distribuição é integrável e suas variedades integrais conexasmaximais são as órbitas da ação de G se o grupo é conexo. Se o grupo não for conexosuas órbitas são uniões de variedades integrais. Esse fato tem como consequência que asórbitas da ação de G são variedades quase-regulares e são convenientemente agrupadasvia as cartas adaptadas da distribuição.Uma questão natural é se uma ação infinitesimal de uma álgebra de Lie g provêm

de uma ação global de algum grupo de Lie. A resposta afirmativa a essa questão é dadapelo teorema de Lie-Palais, que garante a existência da ação do grupo simplesmenteconexo com álgebra de Lie g desde que os campos de vetores da ação infinitesimalsejam completos (o que ocorre sempre que a variedade M seja compacta).Ainda no capítulo 13 foi aberta uma seção para introduzir os conceitos de fibrados

principais (cujas fibras são grupos de Lie) e seus fibrados associados (cujas fibras sãoespaços onde agem grupos de Lie). Esses conceitos são relacionados, posteriormente,com fibrações naturais entre espaços quocientes, tais como a fibração G → G/H, queé um fibrado principal com fibra H.O capítulo 14, que complementa essa parte, tem o intuito de fazer uma (breve) in-

trodução a uma vasta área de geometria diferencial que estuda estruturas geométricasinvariantes em espaços homogêneos. Foram escolhidos quatro aspectos dessa geometriainvariante: as estruturas pseudo-complexas, as formas diferenciais, as métricas Rieman-nianas e as formas simpléticas. O principio básico é que a análise de qualquer estruturageométrica invariante se reduz a um estudo algébrico do que ocorre num único ponto.Sobre as estruturas pseudo-complexas se apresenta uma discussão sobre sua inte-

grabilidade, baseada no tensor de Nijenhuis. Alguns exemplos são apresentados. Umdeles é o dos grupos complexos„aonde se chega à conclusão que um grupo de Lie écomplexo se, e só se, sua álgebra de Lie é complexa. No que diz respeito às formasdiferenciais é demonstrado um teorema, devido a Chevalley e Eilenberg, de que a co-homologia de De Rham de um espaço homogêneo de um grupo compacto coincide coma cohomologia das formas diferenciais invariantes. Isso reduz o cálculo da cohomologiaa questões algébricas envolvendo a álgebra de Lie do grupo.

264

Sobre as métricas Riemannianas o texto é mais parcimonioso, uma vez que a lit-eratura sobre o assunto é ampla e de fácil acesso6. Em geometria simplética se faza construção da forma simplética de Kirillov-Kostant-Souriaux nas órbitas coadjuntasde uma álgebra de Lie e se considera as aplicações momento de ações Hamiltonianas.Sobre essas últimas a ênfase é colocada na equivariância em relação à ação coadjunta.Essa equivariância é analisada com base na cohomologia de representações de grupos.

6Veja o livro clássico de Helgason [20].

Capítulo 13

Ações de grupos de Lie

Neste capítulo são estudadas as ações diferenciáveis de grupos de Lie com o objetivo dedescrever as órbitas dessas ações. O modelo para as órbitas são os espaços quocientesG/H. No caso em que H é fechado G/H admite estrutura de variedade diferenciável,que foi construída no capítulo 6. Dessa forma, um dos objetivos é verificar que umaórbita G · x é uma subvariedade imersa difeomorfa ao espaço quociente G/Gx, ondeGx é o subgrupo de isotropia em x, que é fechado. Nessa direção um ponto de vistaconveniente é olhar as órbitas como variedades integrais maximais de uma distribuiçãosingular (veja apêndice B), o que fornece a informação adicional de que elas são sub-variedades imersas quase-regulares.

13.1 Ações de grupos

Os diversos conceitos e resultados desenvolvidos no estudo das ações de grupos topológi-cos continuam valendo para grupos de Lie. Em particular, uma ação do grupo de LieG é uma aplicação φ : G×M →M , φ (g, x) = gx, tal que a aplicação parcial g 7→ φg,φg (x) = φ (g, x) é um homomorfismo de G no grupo das transformações inversíveis deM . A ação é diferenciável se φ for uma aplicação diferenciável.

Nesse caso as aplicações parciais φg : M → M e φx : G → M , φg (x) = φx (g) =

φ (g, x) são diferenciáveis para todo g ∈ G e x ∈M . Da igualdade(φg)−1

= φg−1 , segueque asaplicações φg são difeomorfismos, isto é, o homomorfismo g 7→ φg assume valoresno grupo DifM , dos difeomorfismos de M . Como anteriormente o difeomorfismo φg édenotado apenas por g.

No caso de uma ação diferenciável o subgrupo de isotropia Gx = g ∈ G : gx = xé fechado e, portanto, um subgrupo de Lie de G. Existe uma bijeção natural entrea órbita G · x e o espaço homogêneo G/Gx. Adiante será mostrado que G · x é umasubvariedade de M e que a bijeção com G/Gx é, de fato, um difeomorfismo, quandoem G/Gx é considerado com a estrutura quociente.

265

266 Capítulo 13. Ações de grupos de Lie

A álgebra de Lie gx do grupo de isotropia Gx é denominada de álgebra deisotropia em x. Ela é formada pelos elementos X ∈ g tais que etX ∈ Gx para todot ∈ R, isto é,

gx = X ∈ g : ∀t ∈ R, etXx = x.Para g ∈ G e x ∈ M , vale a igualdade Ggx = gGxg

−1, o que ímplica que ggx =Ad (g) (gx).Como ocorre normalmente na teoria dos grupos de Lie, uma técnica fundamental

no estudo das ações de grupos surge com a introdução do objeto infinitesimal corres-pondente.

Definição 13.1 Sejam g uma álgebra de Lie e M uma variedade C∞. Denote porΓ (TM) a álgebra de Lie dos campos de vetores em M munido do colchete de Lie.Uma ação infinitesimal de g em M é um homomorfismo de g→ Γ (TM).

Uma ação diferenciável de G em M induz uma ação infinitesimal de g da seguintemaneira: dados X ∈ g e x ∈ M , a curva em M definida por t 7→ exp (tX)x édiferenciável. Sua derivada na origem

X (x) =d

dt

(etXx

)|t=0

=d

dtφx(etX)|t=0

= (dφx)1 (X) .

é um vetor tangente a x ∈ M . Portanto x ∈ M 7→ X (x) ∈ TxM define um campo devetores em M .O fluxo Xt de X é exatamente etX (ou melhor φetX ). De fato, para todo x ∈ X a

curva t 7→ etXx é uma trajetória de X pois

d

dt

(etXx

)=

d

ds

(e(t+s)Xx

)|s=0

= X (exp (tX)) .

Por consequência os campos de vetores X são completos já que seus fluxos etX sãodefinidos globalmente, para todo t ∈ R. Além do mais, o campo invariante à direitaX ∈ g e o campo associado X são φx-relacionados, para todo x ∈M , pois φx EetX =

φetX φx, isto é, φx faz o intercâmbio entre os fluxos de X e de X.Do último comentário segue que a aplicação X ∈ g 7→ X ∈ Γ (TM) é uma ação

infinitesimal (quando X é visto como campo invariante à direita). De fato, como oscampos X, Y ∈ g são φx-relacionados, os seus colchetes também são φx-relacionados,portanto

[X, Y ] (x) = (dφx)1 [X, Y ] = [X, Y ] (x) .

Proposição 13.2 A aplicação X ∈ g 7→ X ∈ Γ (TM) é um homomorfismo se g é aálgebra de Lie dos campos de vetores invariantes à direita em G.

Nesta proposição aparece o colchete de Lie entre campos invariantes à direita em Gpelo fato de que está implicito até aqui que a ação de G emM é uma ação à esquerda.Caso se considere ações à direita, a mesma aplicação X 7→ X define um homomorfismoda álgebra de Lie dos campos invariantes à esquerda.A translação dos campos X pelos elementos de G é dada pela seguinte fórmula, de

uso bastante frequente.


Proposição 13.3 Dados g ∈ G e X ∈ g, vale g∗X = ˜(Ad (g)X), isto é,

(dg)g−1x

(X (gx)

)= ˜(Ad (g)X) (x) .

Demonstração: Basta verificar que as translações por g das trajetórias de X são

trajetórias de ˜Ad (g)X. Como o fluxo é Xt = etX , a translação da trajetória de X quepassa por g−1x é

getXg−1x = etAd(g)Xx

e o segundo membro é a trajetória de ˜Ad (g)X iniciada em x. 2

Em notação simplificada (como descrita na seção 5.1) a fórmula da proposição acimapode ser escrita como

gX (x) = gXg−1 (gx)

isto é, ela é obtida por divisão e multiplicação por g.Como caso particular de ação infinitesimal, considere a ação de G em G/H, onde

H é um subgrupo fechado. Nesse caso, se x0 = 1 ·H é a origem de G/H então φx0 é aprojeção canônica π : G→ G/H. Daí que vale a seguinte descrição de X.

Proposição 13.4 Sejam G um grupo de Lie e H um subgrupo fechado e denote porπ : G → G/H a projeção canônica. Tome X um campo invariante à direita em G.Então, X é a projeção de X, isto é, X e X são π-relacionados, isto é, π∗X = X.

Em termos dos campos X, X ∈ g, a álgebra de isotropia é dada por

gx = X ∈ g : X (x) = 0,

pois X ∈ gx se, e só se, etXx = x para todo t ∈ R, isto é, se x é uma singularidade deX.

Exemplos:

1. Considere a ação canônica de Gl (n,R) em Rn, (g, x) 7→ gx. Se A ∈ gl (n,R) éuma matriz então

A (x) =d

dt

(etAx

)|t=0

= Ax,

isto é, o campo de vetores A é nada mais nada menos que o campo de vetoreslinear em Rn definido pela matriz A. A propriedade de homomorfismo aquisignifica que o colchete de Lie dos campos de vetores A e B é o campo lineardefinido pela matriz BA− AB.

2. O exemplo anterior se generaliza para representação de grupos: se ρ : G →Gl (n,R) é uma representação (diferenciável) de G, então a aplicação G× Rn →


Rn, definida por (g, x) 7→ ρ (g)x define uma ação de G em Rn. A ação infinitesi-mal correspondente é dada por

X (x) = dρ1 (X)x

se X ∈ g, a álgebra de Lie de G. Essa ação corresponde à representação infinite-simal de g.

3. Um grupo de Lie G age em si mesmo por translações à esquerda. Como o fluxode um campo invariante à direita é dado por translações à esquerda, segue queX é o campo invariante à direita correspondente a X ∈ g.

4. Seja φ : G→ H um homomorfismo diferenciável. Então G age à esquerda em Hpor (g, h) ∈ G×H 7→ φ (g)h. Da mesma forma que no exemplo anterior, X é ocampo invariante à direita em H determinado por dφ1 (X).

5. O grupo linear G = Gl (n,R) age na esfera de raio 1, Sn−1 ⊂ Rn (em relaçãoao produto interno canônicao), através da bijeção da esfera com o conjunto dassemi-retas em Rn a partir da origem.Se r é uma semi-reta iniciada na origem e g ∈ Gl (n,R) então gr é uma semi-reta,o que define a ação (g, r) 7→ gr no conjunto das semi-retas e, portanto, em Sn−1.Para x ∈ Sn−1 e g ∈ Gl (n,R) a ação é denotada por g ∗ x. Por definição g ∗ x éa interseção com Sn−1 do raio gerado por gx, isto é,

g ∗ x =gx

|gx|

onde |gx| denota a norma euclidiana. Essa ação é diferenciável. A ação infinite-simal correspondente é dada por

A (x) =d

dt

(etA ∗ x

)|t=0

=d

dt

(etAx

|etAx|

)|t=0

.

O cálculo desta derivada fornece

A (x) = Ax− 〈Ax, x〉x,

que é o vetor tangente à Sn−1 em x obtido pela projeção de Ax ao longo dasemi-reta gerada por x.

6. Uma pequena alteração no exemplo anterior fornece uma ação de Gl (n,R) noespaço projetivo Pn−1 formado pelos subespaços de dimensão um de Rn. De fato,basta substituir as semi-retas pelas retas correspondentes. Ao identificar o espaçotangente a Pn−1 em [x] com o espaço tangente a Sn−1 em x ∈ Sn−1, a expressãode A coincide com a que foi apresentada acima.

2


13.1.1 Órbitas

Uma das aplicações da ação infinitesimal emM induzida pela ação de um grupo de LieG está no estudo das órbitas de G. A razão é que as órbitas podem ser obtidas comoas variedades integrais maximais da distribuição definida pela ação infinitesimal.Seja φ : G×M →M uma ação diferenciável e θ : g→ Γ (TM), θ (X) = X, a ação

infinitesimal correspondente. Para x ∈M defina o subespaço ∆g (x) ⊂ TxM por

∆g (x) = X (x) ∈ TxM : X ∈ g.

A aplicação x 7→ ∆g (x) é uma distribuição em M . Pela própria definição, ∆g é umadistribuição diferenciável, pois ela é gerada pelos campos de vetores X, X ∈ g. Emgeral, a dimensão de ∆g não constante. Por exemplo, para a ação canônica de Gl (n,R)em Rn, ∆g se reduz a 0 na origem, enquanto que ∆g (x) é todo o espaço tangente sex 6= 0. Em geral, dim ∆g (x) = dim g − dim gx pois gx é o núcleo da aplicação linearX ∈ g→ X (x) ∈ TxM .

Proposição 13.5 A distribuição ∆g é invariante pela ação de G, isto é, g∗∆g = ∆g,ou melhor

dgx∆g (x) = ∆g (gx)

para todo g ∈ G.

Demonstração: A translação por g ∈ G de um campo X é dada pela fórmula

g∗X = ˜Ad (g)X. Isso implica que para todo g ∈ G e x ∈ X, vale

dgx

(X (x)

)= ˜Ad (g)X (gx) .

Como a distribuição ∆g é gerada pelos campos X, X ∈ g, isso implica que dgx∆g (x) ⊂∆g (gx). A inclusão contrária se obtém da mesma forma transladando por g−1, ao invésde g. 2

Essa proposição mostra que a distribuição ∆g é característica (veja a definição B.8).Portanto, pelo teorema B.9 essa distribuição é integrável.

Proposição 13.6 A distribuição ∆g é integrável.

As variedades integrais dessa distribuição fornecem as órbitas da ação de G. Paraver isso seja Ig (x) a variedade integral maximal de ∆g, que passa por x. Pelo fato dadistribuição ser G-invariante (pela proposição 13.5), conclui-se que para cada g ∈ G oconjunto gIg (x) é uma variedade integral da distribuição. É claro que gx ∈ gIg (x) oque implica que gIg (x) ⊂ Ig (gx). Esta inclusão não é própria, pois se fosse g−1 (Ig (gx))seria uma variedade integral de ∆g, que conteria Ig (x). Vale portanto a igualdade

gIg (x) = Ig (gx) g ∈ G, x ∈M. (13.1)

Em particular, o lema a seguir mostra que seG é conexo então seus elementos preservamas variedades integrais maximais.


Lema 13.7 Com as notações anteriores, suponha que G seja conexo. Então, gIg (x) =Ig (gx) = Ig (x) para todo g ∈ G e x ∈ M . Isto é, as variedades integrais maximais de∆g são G-invariantes.

Demonstração: Dado g ∈ G escreva g = eXk · · · eX1 e defina a curva contínuaα : [0, k]→M por

α (t) = e(t−i+1)XieXi−1 · · · eX1x t ∈ [i− 1, i].

Essa curva é uma concatenação de trajetórias dos campos Xi, que são tangentes a∆g. Portanto a curva está contida numa única variedade integral maximal de ∆g. Oseu ponto inicial é x e o ponto final é gx. Daí que Ig (gx) = Ig (x), mostrando o lema. 2

A partir da invariança do lema se obtém, no caso conexo, uma ação G × Ig (x) →Ig (x) sobre cada variedade integral maximal. Essas ações são diferenciáveis, pois asvariedades integrais são quase-regulares. Além do mais, a órbita G · x está contidaem Ig (x). Na verdade, o seguinte resultado mostra que G · x = Ig (x), obtendo umacaracterização das órbitas de G em termos da ação infinitesimal.

Teorema 13.8 Suponha que G seja conexo. Então, para todo x ∈ M a órbita G · xcoincide com a variedade integral maximal Ig (x) de ∆g que passa por x.

Demonstração: A idéia é provar que as G-órbitas são conjuntos abertos nas va-riedades integrais. Seja X1, . . . , Xk uma base de g e tome y ∈ Ig (x). Defina aaplicação

ρ (t1, . . . , tk) = et1X1 · · · etkXky.

A imagem dessa aplicação está contida na órbita G · y. Além do mais, sua diferencialna origem é gerada pelas derivadas parciais Xi (y), que por sua vez geram o espaçotangente ∆g (y) a Ig (x). Portanto, pelo teorema da aplicação aberta y está no inte-rior (em relação à topologia intrínseca de Ig (x)) da imagem de ρ. Isso implica quey ∈ (G · y) e daí que as órbitas G · y são abertas em Ig (x). Porém, o complementarde uma órbita é uma união de órbitas. Assim, G · x é aberto, fechado e não vazio noconjunto conexo Ig (x), mostrando que G · x = Ig (x). 2

Em geral as órbitas dos grupos não conexos são uniões de variedades integraismaximais de ∆g. De fato, a órbita G0 ·x da componente da identidade é Ig (x). Então,

G · x =⋃g∈G

gG0 · x =⋃g∈G

gIg (x) =⋃g∈G

Ig (gx) .

O próximo objetivo é fazer a identificação de uma órbita G·x com o espaço homogê-neo G/Gx. Conforme foi visto no capítulo 2 a aplicação ξx : G/Gx → G · x definidapelo diagrama


G/H?

G -

*

Xφx

πξx

isto é, ξx (gGx) = gx é bijetora. Essa aplicação é contínua e diferenciável em relaçãoà estrutura quociente, uma vez que ξx π = φx onde φx (g) = gx é a aplicação parcialda ação φ : G×M →M . Como a órbita G · x é uma subvariedade quase-regular, φx édiferenciável a valores em G ·x. Do teorema 6.22, segue que ξx também é diferenciável.

Proposição 13.9 A aplicação ξx : G/Gx → G · x é um difeomorfismo.

Demonstração: Como ξx é diferenciável e bijetora, basta verificar que ela é umdifeomorfismo local, o que é equivalente a que sua diferencial seja bijetora em todoponto. Como ξx π = φx a imagem da diferencial da ξ em gGx ∈ G/Gx coincide coma imagem da diferencial (dφx)g, que é formada pelos vetores X (gx). Isto é, a imagemde d (ξx)gGx é ∆g (gx), isto é, a diferencial é sobrejetora e portanto injetora já que asdimensões de G/Gx e G · x coincidem com dimG− dimGx. 2

Um caso particular coberto por esta proposição é o da ação transitiva, quando existeuma única órbita, que é a própria variedade M . Nesse caso ψx : G/Gx → M é umdifeomorfismo. Nesse caso os espaços tangentes TzM , z ∈ M , coincidem com ∆g (z),o que significa que todo vetor tangente v ∈ TzM é da forma v = X (z) para algumX ∈ g.Por fim, vale o seguinte resultado sobre ações transitivas da componente conexa da

identidade.

Proposição 13.10 Suponha que a ação de G em M é transitiva e seja C uma com-ponente conexa de M . Então, a restrição da ação de G à sua componente conexa daidentidade G0 é uma ação transitiva de G0 em C.

Demonstração: Antes de mais nada, a restrição a G0 de fato define ações nascomponentes conexas deM , pois se g ∈ G0, então g (C) está contido numa componenteconexa de M , por continuidade da ação. Como g (C) e 1 (C) estão necessariamente namesma componente conexa, segue que g (C) ⊂ C.Dado x ∈ C a órbita G0x é uma subvariedade de C. Como a ação de G é tran-

sitiva, C ⊂ Gx, o que implica que C ⊂⋃g∈GG0 (gx) (já que C ⊂

⋃g∈Ggx). No

entanto, para todo g ∈ G, G0 (gx) = (gG0)x, já que G0 é subgrupo normal. Portanto,C ⊂

⋃g∈G g (G0x). Essa união é no máximo enumerável, uma vez que isso ocorre com a

quantidade de componentes conexas deG. Pelo teorema de Baire, segue que pelo menosum dos conjuntos g (G0x) é aberto. Mas, eles esses conjuntos são difeomorfos entresi. Portanto, G0x é aberto em C o que pela proposição anterior mostra queG0x = C. 2


13.2 Teorema de Lie-Palais

Uma pergunta natural é se as ações infinitesimais de álgebras de Lie são provenientesde ações de grupos de Lie, no sentido em que se g é uma álgebra de Lie real de dimensãofinita e θ : g → Γ (TM) uma ação infinitesimal de g então existe um grupo de Lie Gcuja álgebra de Lie é g e uma ação φ : G ×M → M tal que θ é a ação infinitesimalcorrespondente a φ. Uma condição necessária para que isso aconteça é que os camposde vetores θ (X), X ∈ g, sejam completos, uma vez que os campos de vetores X obtidosde uma ação de grupo são completos.A seguir será demonstrado o teorema de Lie-Palais1 que mostra que a completude

dos campos de vetores θ (X), X ∈ g, é uma condição suficiente para que a açãoinfinitesimal θ seja integrada a uma ação de um grupo de Lie G. Em particular, numavariedade compacta M toda ação infinitesimal é proveniente de uma ação global.Para construir uma ação φ : G ×M → M que globaliza θ a ideia mais imediata

vem da observação de que se ψXt denota o fluxo do campo de vetores θ (X) então devevaler a igualdade

ψXt (x) = φ(etX , x

)para todo t ∈ R e x ∈M . Com isso a ação deve ser definida, para g = eX1 · · · eXn ∈ Gpor

φ(eX1 · · · eXn , x

)= ψX11 · · · ψXn1 (x) .

A dificuldade nessa definição direta de φ está em provar que ela é bem definida nosentido em que o segundo membro não depende de como g ∈ G é escrito por um produtode exponenciais. Devido a essa dificuldade se adota uma abordagem parecida com a daconstrução de um homomorfismo entre grupos de Lie que estende um homomorfismo deálgebras de Lie (veja o capítulo 7) em que as aplicações φx : G→M , φx (g) = φ (g, x),são construídas através de seus gráficos em G ×M . Esses gráficos, por sua vez, sãodados por variedades integrais de uma distribuição integrável.Dito isso, seja G o grupo conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Dada

a ação infinitesimal θ : g→ Γ (TM) defina em G×M distribuição

∆θ (g, x) = (Xd (g) , θ (X) (x)

)∈ T(g,x)G×M : X ∈ g.

Essa distribuição satisfaz as seguintes propriedades:

1. dim ∆θ (g, x) = dimG para todo (g, x) ∈ G ×M , pois a aplicação linear X ∈g 7→

(Xd (g) , θ (X) (x)

)∈ ∆θ (g, x) é um isomorfismo.

2. ∆θ é diferenciável, já que se X1, . . . , Xn é uma base de g então os camposde vetores

(Xd

1 , θ (X1)), . . . ,

(Xdn, θ (Xn)

)formam uma parametrização global de

∆θ.

1Veja R. Palais, A global formulation of the Lie theory of transitive groups, Memoirs of AMS, 22(1957).

13.2. Teorema de Lie-Palais 273

3. ∆θ é integrável, como segue do teorema de Frobenius ou mais precisamente deseu corolário B.15. De fato, se X, Y ∈ g então

[(Xd, θ (X)

),(Y d, θ (Y )

)] =

([X, Y ]d, θ[X, Y ]

)pois θ é homomorfismo. Daí que a parametrização global do item anterior éfechada pelo colchete como na hipótese do corolário B.15. De forma alternativa,se X1, . . . , Xn é base de g e ψit denota o fluxo θ (Xi) então é possível verificara aplicação

(t1, . . . , tn) 7→(et1X1 · · · etnXng, ψ1

t1 · · · ψ1

t1(x))

é uma variedade integral de∆θ por (g, x) se (t1, . . . , tn) é suficientemente pequeno(compare com a demonstração do teorema 13.8).

Seja Iθ (g, x) a variedade integral conexa maximal de∆θ que contém (g, x). Quandoos campos de vetores θ (X) são completos as variedades integrais tem boas propriedadesem relação à projeção p : G×M → G, como mostram os lemas a seguir.

Lema 13.11 A restrição a uma variedade integral Iθ (g, x) da projeção p : G×M → Gé um difeomorfismo local. Se os campos θ (X), X ∈ g, são completos então a projeçãoé sobrejetora.

Demonstração: A diferencial de p restrita a∆θ (g, x) leva o vetor tangente(Xd (g) , θ (X) (x)

)em Xd (g). Essa aplicação é sobrejetora e portanto um isomorfismo entre ∆θ (g, x) eTgG. Daí que p é um difeomorfismo local. A sobrejetividade vem do fato de que astrajetórias dos campos

(Xd, θ (X)

)estão inteiramente contidas nas variedades integrais

de ∆θ. Uma trajetória dessas é da forma(etXg, ψt (x)

)onde ψt é o fluxo de θ (X).

Como θ (X) é completo segue que p (Iθ (g, x)) contém etXg para todo X ∈ g. Tomandoconcatenações sucessivas de trajetórias de campos (Y, θ (Y )), se conclui que p (Iθ (g, x))contém produtos arbitrários do tipo eX1 · · · eXng e, portanto, p (Iθ (g, x)) = G. 2

O fato de que p : Iθ (g, x) → G é um difeomorfismo local garante que se (h, y) ∈Iθ (g, x) então existem abertos conexos Ay ⊂ Iθ (g, x) e By ⊂ G com (h, y) ∈ Ay eh ∈ By tal que p : Ay → By é difeomorfismo. Em geral os conjuntos By dependemde y. No entanto, com a hipótese de que os campos θ (X) são completos é possívelencontrar conjuntos Ay e By tais que By é constante como função de y e com issomostrar a propriedade de recobrimento.

Lema 13.12 Suponha que os campos θ (X), X ∈ g, são completos. Então, para todavariedade integral conexa maximal Iθ (g, x) de ∆θ (g, x) a projeção p : Iθ (g, x) → G éuma aplicação de recobrimento.

Demonstração: Tome abertos conexos V ⊂ g e U ∈ G contendo as origens tal queexp : V → U é difeomorfismo. Assuma que V = −V . Para X ∈ g denote por ψXt ofluxo do campo θ (X). A hipótese de que θ (X) é completo garante que ψX1 (y) é bemdefinido para todo y ∈M .


Sejam agora h ∈ G e y ∈M tal que (h, y) ∈ Iθ (g, x) e defina o conjunto

Ay = (eXh, ψX1 (y)

): X ∈ V .

Esse conjunto está contido em Iθ (g, x) pois os campos(Xd, θ (X)

)são tangentes a

∆θ. Claramente Ay é a imagem da aplicação diferenciável fy,h : V → Iθ (g, x) dadapor fy,h (X) =

(eXh, ψX1 (y)

). Essa aplicação satisfaz p fy,h = Dh exp de onde se

vê, pela regra da cadeia, que fy,h é um difeomorfismo local. Portanto, cada Ay é umaberto conexo de Iθ (g, x). Suas projeções p (Ay) são iguais a B = Uh. Cada restriçãopy : Ay → Uh é injetora pois se eXh = eY h então X = Y e daí que ψX1 (y) = ψY1 (y).Portanto, py é difeomorfismo, uma vez que p é difeomorfismo local e py é tambémsobrejetora. Os conjuntos Ay serão usados para mostrar que p : Iθ (g, x) → G éaplicação de recobrimento. Esses conjuntos satisfazem as seguintes propriedades:

1. Ay é conexo pois é difeomorfo a Uh.

2. Ay1 ∩ Ay2 = ∅ se y1 6= y2, pois se(eXh, ψX1 (y1)

)=(eY h, ψY1 (y2)

)∈ Ay1 ∩ Ay2

então eXh = eY h e, portanto X = Y . Daí que ψX1 (y1) = ψX1 (y2), isto é, y1 = y2.

3. p−1 (Uh) =⋃

y∈p−1hAy. De fato, Ay ⊂ p−1 (Uh) para todo y ∈ p−1h por

construção dos conjuntos Ay. Por outro lado, os elementos de p−1 (Uh) são daforma

(eXh, z

)com X ∈ V e z ∈ M , desde que

(eXh, z

)∈ Iθ (g, x). Tome(

eXh, z)∈ p−1 (Uh), X ∈ V . Então, a trajetória do campo (X, θ (X)) iniciada

em(eXh, z

)permanece em Iθ (g, x). Para t ∈ [−1, 0] a primeira coordenada dessa

trajetória é e(1+t)h e portanto essa trajetória não sai de p−1 (Uh). Como parat = −1 a trajetória assume o valor

(e−XeXh, ψX−1 (z)

)=(h, ψX−1 (z)

), segue que(

eXh, z)∈ Ay com y = ψX−1 (z) ∈ p−1h. Daí que p−1 (Uh) ⊂

⋃y∈p−1h

Ay.

Essas propriedades mostram que p é uma aplicação de recobrimento, concluíndo ademonstração do lema. 2

No caso em que o grupo G é simplesmente conexo, as aplicações de recobrimentop : Iθ (g, x) → G são bijetoras. Mas p é difeomorfismo local, daí que cada projeçãop : Iθ (g, x) ⊂ G×M → G é um difeomorfismo. Portanto, Iθ (g, x) é o gráfico de umaaplicação diferenciável G→M .Denote por φx : G→M a aplicação diferenciável cujo gráfico é a variedade integral

Iθ (1, x). A proposição a seguir fornece uma expressão para φx em termos de expo-nenciais em G e dos fluxos ψXt dos campos de vetores θ (X). Essa expressão permitemostrar que φ (g, x) = φx (g) é a ação global desejada do grupo simplesmente conexoG, que integra a ação infinitesimal θ.

13.2. Teorema de Lie-Palais 275

Proposição 13.13 Dados x ∈M e X1, . . . , Xn ∈ g vale

φx(eX1 · · · eXn

)= ψX11 · · · ψXn1 (x) . (13.2)

Demonstração: As trajetórias do campo de vetores(Xd, θ (X)

)permanecem nas

variedades integrais conexas maximais. A trajetória desse campo iniciada em (g, y) édada por

(etX , ψXt (y)

). Concatenando trajetórias a partir de (1, x), se vê que(

eX1 · · · eXn , ψX11 · · · ψXn1 (x))

pertence à variedade integral Iθ (1, x). Daí que, pela definição de φx, a segunda coor-denada é o valor de φx na primeira coordenada, o que prova a igualdade (13.2). 2

Agora é possível enunciar e concluir a demonstração do teorema de Lie-Palais queintegra uma ação infinitesimal de uma álgebra de Lie a uma ação global de grupo deLie.

Teorema 13.14 Sejam g uma álgebra de Lie real com dim g < ∞ e G o grupo deLie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Seja θ : g → Γ (TM) éuma ação infinitesimal de g e suponha que os campos de vetores θ (X) são completos.Então existe uma ação diferenciável φ : G ×M → M tal que θ é a ação infinitesimalcorrespondente.

Demonstração: Defina φ (g, x) = φx (g) onde o gráfico de φx : G→M é a variedadeintegral Iθ (1, x). Isso define uma ação de G em M , pois

1. se x ∈ M então φ (1, x) = x já que (1, x) é o único elemento de Iθ (1, x) que seprojeta em 1.

2. Para g, h ∈ G vale φ (g, φ (h, x)) = φ (gh, x). De fato, se g = eX1 · · · eXn eh = eY1 · · · eYn então pela fórmula (13.2) se obtém

φ (g, φ (h, x)) = φ(g, ψY11 · · · ψYm1 (x)

)= ψX11 · · · ψXn1 ψY11 · · · ψYm1 (x)

= φ (gh, x) .

A diferenciabilidade da ação φ segue do teorema de dependência diferenciável eda fórmula (13.2), tomando sistemas de coordenadas de segunda espécie ao redor doselementos g ∈ G. 2

A ação de G define um homomorfismo Θ : G→ Dif (M) a valores no grupo Dif (M)dos difeomorfismos de M . A fórmula (13.2) mostra que

Θ(eX1 · · · eXn

)= ψX11 · · · ψXn1


daí que a imagem de Θ é o subgrupo Dif (θ) de Dif (M) gerado pelos fluxos ψX doscampos de vetores θ (X), X ∈ g, isto é,

Dif (θ) = ψX1t1 · · · ψXntn : Xi ∈ g, ti ∈ R.

Portanto, Dif (θ) é isomorfo aG/ ker Θ que tem estrutura de grupo de Lie, já que ker Θ ésubgrupo fechado deG. A álgebra de Lie de ker Θ é ker θ poisΘ

(etX)

= ψtX1 = ψXt = idse, e só se, θ (X) = 0. Dessa forma a álgebra de Lie de Dif (θ) é isomorfa g/ ker θ, quepor sua vez é isomorfa à imagem de θ, que é a álgebra de Lie de campos de vetoresθ (X) : X ∈ g.Essas observações se aplicam em particular a uma álgebra de Lie de dimensão finita

de campos de vetores em que a ação infinitesimal é dada pela inclusão.

Corolário 13.15 Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita de campos de vetoresda variedade M tal que todo campo X ∈ g é completo. Denote por Dif (g) o grupo dedifeomorfismos de M gerado pelos fluxos ψX dos elementos de g, isto é,

Dif (g) = ψX1t1 · · · ψXntn : Xi ∈ g, ti ∈ R.

Então, Dif (g) tem uma estrutura de grupo de Lie cuja álgebra de Lie é isomorfa a g.

Por fim, o exemplo a seguir ilustra o caso de uma ação infinitesimal que podeser integrada a uma ação local, mas não global, pois os campos de vetores não sãocompletos.

Exemplo: A imagem da aplicação

x ∈ R 7−→(x1

)∈ R2

é a reta horizontal r que passa por(

01

). O conjunto das retas que passam pela origem

e cruzam r é aberto e denso na reta projetiva P1. Dessa forma, a aplicação acima defineum mergulho de R num conjunto aberto e denso de P1. A restrição da ação canônicade Gl (2,R) a esse conjunto aberto denso define uma ação local de Gl (2,R) em R portransformações lineares fracionárias. De fato, seja g ∗ p, g ∈ Gl (2,R) e p ∈ P1 a ação

na reta projetiva. Se p é o subespaço gerado por(x1

)e g =

(a bc d

)então g ∗ p é

o subespaço gerado por (ax+ bcx+ d

).

Se cx+ d 6= 0 esse vetor gera o mesmo subespaço que((ax+ b) / (cx+ d)

1

).

13.3. Fibrados 277

Usando a notação

g ∗ x =ax+ b

cx+ d,

a aplicação φ (g, x) = g ∗ x define uma ação local de Gl (2,R) em R. É claro que φ nãoestá definida em todo Gl (2,R) × R, porém para os valores em que está definida valeg ∗ (h ∗ x) = (gh)∗x. Em todo caso φ está definida nas vizinhanças de (1, x) para todox ∈ R o que permite definir os campos de vetores

A (x) =d

dt

(etA ∗ x

)|t=0

= d (φx)1 (A)

onde φx é a aplicação parcial φx (g) = φ (g, x). Como φ é a restriçào de uma açãoglobal, A 7→ A define uma ação infinitesimal de gl (2,R) em R. Para calcular A escreva

A =

(α βγ δ

)etA =

(at btct dt

).

Então,

A (x) =d

dt

(atx+ btctx+ dt

)|t=0

.

Como a0 = d0 = 1 e c0 = d0 = 0, segue que

A (x) = β + (α− δ)x− γx2.

Esses campos de vetores estão associados às equações diferenciais de Ricatti e, emgeral, eles não são completos. A aplicação θ (A) = A define uma ação infinitesimal degl (2,R) que não se integra a uma ação global. 2

13.3 Fibrados

Nessa seção serão discutidos os conceitos de fibrado principal e seus fibrados associados.Esses conceitos surgem de forma natural ao se considerar aplicações entre diferentesespaços homogêneos.

13.3.1 Fibrados principais

Um fibrado principal P (M,G), (muitas vezes denotado simplesmente por P → M)se constitui do espaço total P da base M , ambos espaços topológicos e do grupoestrutural G. Esses espaços estão relacionados da seguinte forma:

1. O grupo G age livremente à direita em P pela ação D : (p, g) 7→ pa, p ∈ P ,g ∈ G. (Isto é, se pg = p para algum p então g = 1.)


2. O espaço das órbitas dessa ação é M . Isso significa que existe uma aplicaçãosobrejetora

π : P −→M

tal que as órbitas de G são os conjuntos π−1x, x ∈M .

3. P é localmente trivial no sentido em que para todo x ∈M existe uma vizinhançaU de x e uma aplicação bijetora, denominada de trivialização local,

ψ : π−1 (U) −→ U ×G,

que é da formaψ (p) = (π (p) , φ (p))

onde φ : π−1 (U)→ G é uma aplicação que satisfaz

φ (pg) = φ (p) g (13.3)

para todo p ∈ π−1 (U) e g ∈ G.

O fibrado P →M é dito fibrado topológico se as aplicações envolvidas na definiçãosão contínuas (e homeomorfismos quando bijetoras). O fibrado principal é de classe Ck,k ≥ 1, se os espaços envolvidos são variedades diferenciáveis de classe Ck (em particularG deve ser grupo de Lie) e as aplicações envolvidas são diferenciáveis de classe Ck (edifeomorfismos no caso das bijeções). Nesse caso a projeção π : P → M torna-se umasubmersão, pois através da trivialização local ψ ela se identifica com a projeção naprimeira coordenada U ×G→ U .As fibras do fibrado principal são denotadas por Px = π−1x, x ∈ M , ou Pp =

π−1π (p), p ∈ P .

Exemplos:

1. O produto M × G é um fibrado principal com grupo estrutural G, cuja ação àdireita é Dh (x, g) = (x, g)h = (x, gh). Em particular, um grupo G pode servisto como fibrado principal em que a base se reduz a um ponto M = x. Esseproduto é chamado de fibrado trivial.

2. Seja M uma variedade diferenciável e TM seu fibrado tangente. O fibrado fi-brado das bases ou fibrado dos referenciais deM é o conjunto BM de todasas bases de TM . Isto é, um elemento p de BM é uma base

f1, . . . , fn (13.4)

de algum espaço tangente TxM , x ∈M . De forma equivalente, p ∈ BM pode servisto como uma aplicação linear inversível (referencial) p : Rn → TxM , x ∈ M .Dada a aplicação p, o conjunto

p (e1) , . . . , p (en),

13.3. Fibrados 279

onde e1, . . . en é a base canônica de Rn, é uma base de TxM . Vice-versa, a base(13.4) determina a aplicação p : Rn → TxM dada por

p (x1, . . . , xn) = x1f1 + · · ·+ xnfn .

A projeção BM →M associa a p : Rn → TxM o ponto x ∈M , de tal forma quea fibra BMx é o conjunto dos referenciais de TxM .

O grupo Gl (n,R) age à direita em BM por

(p, g)→ pg = p g,

com p ∈ BM e g ∈ Gl (n,R). Essa ação é livre pois os elementos de BM sãotransformações lineares inversíveis ( p g = p se e só se g = 1) e transitivanas fibras pois dada a transformação linear p : Rn → TxM as demais são daforma q = p g para algum g ∈ Gl (n,R). Essa construção define BM comoum fibrado principal de grupo estrutural Gl (n,R) e base M . A condição detrivialização local se obtém tomando cartas de M . Através das cartas se obtémpara todo x ∈ M uma vizinhança U e campos de vetores X1, . . . , Xn definidosem U (campos coordenados) que são linearmente independentes em todo pontode U . Esses campos definem seções de BM , que o trivializam localmente. (Vejaa discussão abaixo, que relaciona trivializações locais com seções).

3. Denote por Bk (n) o conjunto formado pelas transformações lineares injetoras

p : Rk −→ Rn.

(os elementos de Bk (n) se identificam aos conjuntos de k elementos linearmenteindependentes de Rn ou ainda às das matrizes n× k de posto k.)O grupo GL (k,R) age em Bk (n) por multiplicação à direita de matrizes. Essaação é livre pois os elementos de Bk (n) são transformações lineares injetoras.

O quociente por essa ação à direita é a Grassmanniana Grk (n) dos subespaçosde dimensão k de Rn. De fato, as imagens das aplicações lineares em Bk (n) sãosubespaços de dimensão k de Rn. Isso define uma aplicação

p ∈ Bk (n) 7−→ imp ∈ Grk (n) ,

cujas fibras coincidem com as órbitas de Gl (k,R). Isso porque se p e q = pasão dois elementos numa mesma órbita então as imagens de p e q coincidem.Por outro lado, se as imagens de p e q coincidem então é possível escrever p−1qonde p−1 denota a inversa de p como aplicação de Rk sobre sua imagem. Entãop−1q ∈ Gl (k,R) e como q = p (p−1q), isso mostra que dois elementos com mesmaimagem estão numa mesma órbita de Gl (k,R).

Essa construção define o fibrado principal Bk (n) (Grk (n) ,Gl (k,R)) com grupoestrutural Gl (k,R).


O fato de que esse fibrado é localmente trivial pode ser visto diretamente, con-struindo seções locais, ou indiretamente olhando esse fibrado como um fibradoassociado do fibrado Gl (n,R) (Grk (n) , P ) obtido da ação transitiva de Gl (n,R)em Grk (n). (Veja a seção 13.4 abaixo.)

No caso em que k = 1, a Grassmanniana é o espaço projetivo Pn−1. Nesse casoBk (n) é nada mais nada menos que Rn \ 0 e a projeção Rn \ 0 −→ Pn−1

associa v ∈ Rn \ 0 a reta gerada por v.

4. Como variação do exemplo anterior considere, ao invés de todas as bases deum subespaço de dimensão k, somente as bases ortonormais (em relação a umproduto interno fixado em Rn). Isso fornece a variedade de Stiefel Stk (n) queé constituída pelos conjuntos linearmente independentes de Rn, com k elementos,que são ortonormais. De forma equivalente, p ∈ Stk (n) pode ser visto como umatransformação linear

p : Rk −→ Rn

que é uma isometria entre os produtos internos canônicos de Rk e de Rn. Ouainda, pode-se pensar p ∈ Stk (n) como uma matriz n × k. A condição de serisometria se traduz aqui pela condição

pTp = 1

onde pT significa a transposta da matriz e 1 é a matriz identidade k × k. Aprojeção

Stk (n) −→ Grk (n)

dada pela imagem de um elemento define um fibrado principal com grupo estru-tural O (k).

No caso em que k = 1, Stk (n) é a esfera Sn−1 e a projeção

Sn−1 −→ Pn−1

é dada por identificação de antípodas na esfera.

5. Seja M uma variedade e M seu recobrimento universal. A aplicação canônicade recobrimento M → M define um fibrado principal cujo grupo estrutural é ogrupo fundamental de M .

2

Um morfismo entre dois fibrados principais P (M,G) e Q (N,H) é uma aplicaçãoφ : P → Q tal que existe um homomorfismo θ : G → H satisfazendo φ (pa) =φ (p) θ (a), p ∈ Q e a ∈ G. Essa condição para φ garante que a imagem de uma fibra deP está contida numa fibra de Q. Portanto, φ induz uma aplicação f : M → N , entreas bases dos fibrados, que é dada por f (x) = π (φ (p)) para qualquer p ∈ Px, ondeπ : Q → N é a projeção de Q. Os fibrados P e Q são isomorfos se θ é isomorfismo

13.3. Fibrados 281

e φ bijetora. Nesse caso φ−1 : Q → P juntamente com θ−1 definem um morfismoentre Q (N,H) e P (M,G). No caso particular em que G = H e θ = id, o morfismo édenominado de endomorfismo (automorfismo no caso inversível). Se φ e θ são injetorasentão a imagem de φ é um subfibrado principal de Q. Já se M = N , G ⊂ H eθ : G → H é a inclusão então P é chamado de uma G-redução de Q.A condição de trivialidade local na definição de um fibrado principal P →M é para

que P seja um feixe bem organizado de grupos (ou grupos de Lie no caso diferenciável).Essa condição também está ligada à idéia básica da definição de variedade difer-

enciável. Esta é feita tomando as cartas e o ponto principal é o tipo de condição quedeve satisfazer as funções de mudança de coordenadas (de cartas, isto é, α1α

−12 onde

α1 e α2 são cartas da variedade). Por exemplo o grau de diferenciabilidade de umavariedade é determinado pelo grau de diferenciabilidade dessas funções de mundançasde coordenadas.De forma análoga, um fibrado principal também pode ser definido como uma va-

riedade em que as funções de mudança de coordenadas pertencem a uma determinadaclasse de transformações. Essa afirmação está mais ou menos implicita na discussão aseguir.Seja ψ : π−1 (U) −→ U × G uma trivialização local como previsto na definição e

φ : π−1 (U)→ G a segunda coordenada de ψ. O conjunto

ψ−1(x, 1) : x ∈M

é uma subvariedade em π−1 (U) e como a primeira coordenada de ψ é a projeção sobreM , essa subvariedade cruza cada fibra π−1x, x ∈ U , em um único ponto. Chame esseponto de σ (x). Então σ : U → P é uma seção local de P , isto é, satisfaz π (σ (x)) = x.Por definição de φ, tem-se que φ (σ (x)) = 1 e devido a (13.3) φ é dada a partir de σpor

φ (σ (x) a) = φ (σ (x)) a = a

com a ∈ G e, portanto, σ (x) a percorrendo toda a fibra sobre x. Como ψ é completa-mente determinada por φ, ela é também determinada por σ. De forma explicíta,

ψ (σ (x) a) = (x, φ (σ (x) a)) = (x, a) , (13.5)

o que mostra que a existência da seção local garante a existência da trivialização.Sejam ψ1 : π−1 (U1) → U1 × G e ψ2 : π−1 (U2) → U2 × G duas trivializações locais

tais que U1 ∩ U2 6= ∅. Use as notações φ1 e φ2 para as segundas coordenadas e σ1 e σ2

para as seções correspondentes.Como σ1 (x) e σ2 (x) pertencem à mesma fibra, para cada x ∈ U1 ∩ U2 existe

θ (x) ∈ G tal queσ2 (x) = σ1 (x) θ (x) .

Isso define uma função θ : U1∩U2 → G, que fornece a mudança de coordenadas ψ1ψ−12 .

De fato, por (13.5),ψ−1

2 (x, a) = σ2 (x) a


e portanto

ψ1ψ−12 (x, a) = ψ1 (σ2 (x) a) = ψ1 (σ1 (x) θ (x) a) = (x, θ (x) a) ,

isto é, a mudança de coordenadas é nada mais nada menos que multiplicação à esquerdapor θ (x). Por essa razão a função θ é chamada de função de transição entre astrivializações ψ1 e ψ2 (nessa ordem).A função de transição fornece a mudança de coordenadas entre duas trivializações,

mas não as trivializações propriamente ditas. Apesar disso, é possível reconstruir ofibrado se forem dadas funções de transição compatíveis da seguinte forma:Seja ψ3 uma terceira trivialização com domínio U3 que intercepta U1 ∩ U2. Denote

por θij a função de transição entre ψi e ψj (nessa ordem). Então,

• ψ1ψ−12 (x, a) = (x, θ12 (x) a)

• ψ2ψ−13 (x, a) = (x, θ23 (x) a)

• ψ3ψ−11 (x, a) = (x, θ31 (x) a)

Compondo as duas primeiras se obtém a terceira. A composta é

ψ1ψ−12 ψ2ψ

−13 = ψ1ψ

−12 (x, θ23 (x) a) = (x, θ12θ23 (x) a) ,

que comparada com a terceira fornece

θ31 (x) = θ12 (x) θ23 (x) . (13.6)

Essa igualdade é denominada de propriedade de cociclo, que é satisfeita pelas aplicaçõesθij que definem as funções de transição de um fibrado dado. Reciprocamente, vale oseguinte teorema, que não será demonstrado aqui.2

Teorema 13.16 Sejam M uma variedade e G um grupo de Lie. Suponha que existamaplicações θ : U → G com U aberto de M de tal forma que seus domínios cubram M etal que para cada três dessas aplicações cujos domínios se interceptam a condição (13.6)seja satisfeita. Então, existe um único (a menos de isomorfismo) fibrado principalP com grupo estrutural G e com trivializações com funções de transição dadas pelasaplicações a valores em G.

13.3.2 Fibrados associados

Os ingredientes que entram na definição de um fibrado associado são um fibrado prin-cipal π : P →M e uma ação à esquerda do grupo estrutural G num espaço F .O grupo G age à direita no produto P × F por g (p, v) = (pg, g−1v), g ∈ G e

(p, v) ∈ P × F . Essa ação determina uma relação de equivalência em P × F em que

2Veja, por exemplo, a proposição I.5.2 em Kobayashi-Nomizu [34], no contexto diferenciável ou oteorema 5.3.2 em Husemoller [29] para fibrados topológicos.

13.3. Fibrados 283

(p, v) ∼ (q, w) se, e só se, existe g ∈ G tal que q = pg e w = g−1v. A classe deequivalência do par (p, v) ∈ P × F é denotada por p · v ou por [p, v].O conjunto E das classes de equivalência de ∼ é denominado de fibrado associado

a P com fibra tipo F e base M . Esse fibrado associado é denotado por E = P ×G F .As seguintes observações justificam a terminologia empregada.

1. Se (p, v) ∼ (q, w) então p e q estão na mesma fibra de P . Portanto, a aplicaçãoπE : P ×G F → M definida por πE (p · v) = π (p) é bem definida, o que tornaE = P ×G F um fibrado sobre M .

As fibras de E → M são denotadas por Ex = π−1x, x ∈ M , ou Eξ =π−1E πE (ξ), ξ = p · v ∈ E.

2. Dado p ∈ P os pares (p, v) e (p, w) são equivalentes se, e só se, v = w. De fato,(p, v) ∼ (p, w) se existe a ∈ G tal que p = pa e w = a−1v. Como a ação de Gem P é livre, segue que a = 1 e, portanto, w = v. Em outras palavras, fixandop ∈ P cada classe de equivalência p · v ∈ P ×G F é determinado por um únicov ∈ F .

3. Cada p ∈ P determina uma bijeção

v ∈ F 7−→ p · v ∈ Ex x = π (p) . (13.7)

De fato, pelo item anterior essa aplicação é injetora. Por outro lado, um elementode Ex tem a forma q · w com q ∈ Pp. Então, q = pa, a ∈ G, o que implica queq ·w = pa ·w = paa−1 · aw = p · aw tem a forma p · v, mostrando que a aplicação(13.7) é sobrejetora.

Normalmente se usa a mesma letra p para indicar essa bijeção, o que justifica anotação p · v para a classe de (p, v).

A bijeção do último item acima significa que os elementos de P parametrizamas fibras do fibrado associado E → M , isto é, cada p ∈ P parametriza a fibra Ex,x = π (p) pela fibra tipo F . Dois elementos p e q na mesma fibra fornecem diferentesparametrizações, que são obtidas uma da outra a partir da ação de G em F . De fato,se q = pa, a ∈ G, então q · v = pa · v = p · av. Portanto, a bijeção definida por q seobtém daquela definida por p compondo com a ação de a ∈ G.Os fibrados associados admitem trivializações locais herdadas das trivializações do

fibrado principal. De fato, seja χ : U → P uma seção local de P . Então, a aplicaçãoψχ : U × F → π−1

E (U) definida por (x, v) 7→ χ (x) · v é uma bijeção, que trivializa ofibrado associado sobre U . Se χ1 é outra seção local então na interseção dos domíniosdas seções vale χ1 (x) = χ (x) a (x) com a (x) ∈ G. Portanto, χ1 (x) · v = χ (x) · av e seψχ1 é a trivialização correspondente a χ1 então ψχ1 e ψχ estão relacionadas por

ψ−1χ ψχ1 (x, v) = (x, av) . (13.8)

Essa aplicação leva fibra em fibra e a aplicação entre as fibras é proveniente da açãode G.


No contexto dos fibrados diferenciáveis não é difícil construir uma estrutura devariedade diferenciável num fibrado associado, a partir dessas trivializações locais:

Proposição 13.17 Seja π : P →M um fibrado principal diferenciável e suponha queação de G em F seja diferenciável. Então, P ×G F é uma variedade diferenciável talque a projeção πE : P ×G F → M é uma submersão. Além do mais as fibras Exsão subvariedades fechadas e mergulhadas e as parametrizações v ∈ F 7→ p · v ∈ Ex,x = π (p), são difeomorfismos.

Demonstração: De fato, tomando seções locais χ : U → P as trivializações descritasacima mudam de acordo com as aplicações diferenciáveis (x, v) 7→ (x, a (x) v). Essastrivializações fornecem, portanto, um atlas diferenciável para P ×G F .A projeção πE é uma submersão, pois na identificação local do fibrado com U × F

ela se identifica à projeção na primeira coordenada. Isso mostra que as fibras são sub-variedades fechadas e mergulhadas. Por fim, tomando cartas locais de E como produtosdo tipo U ×F se vê que as parametrizações por elementos de P são difeomorfismos. 2

Exemplos: .

1. Dada uma variedade diferenciávelM , com dimM = n, o fibrado das basesBM foiconstruído acima, como referênciais do fibrado tangente TM . O grupo estruturalde BM é Gl (n,R). Reciprocamente, TM se obtém de BM identificando-o comoo fibrado associado BM ×Gl(n,R) Rn, construído a partir da ação linear canônicade Gl (n,R) em Rn. De fato, existe uma bijeção, quase que tautológica, entre TMe BM×Gl(n,R)Rn, que é definida, associando à classe de (p, v) ∈ BM×Rn o vetortangente p (v) ∈ TxM , x = π (p) (onde p : Rn → TxM , vem da definição de BM).Essa aplicação é bem definida pelo fato de que o fibrado associado foi construído apartir da ação canônica de Gl (n,R) em Rn. De fato, se (p, v) e (q, w) = (pa, a−1v)pertencem à mesma classe de equivalência então q (w) = pa (a−1v) = pv.

2. A construção acima de TM se generaliza aos fibrados vetoriais. Seja P (M,G)um fibrado principal e ρ : G→ Gl (V ) uma representação de G no espaço vetorialV . Então, G atua à esquerda em V . O fibrado associado obtido a partir dessaação é denotado por E = P ×ρ V . Este é um fibrado vetorial por satisfazeras propriedades: i) é composto de uma aplicação π : E → M ; ii) cada fibra temestrutura de espaços vetorial (obtida através das bijeções v 7→ p · v, p ∈ P ); iii)existem trivializações locais U × V → π−1 (U), que se transformam umas nasoutras por aplicações que levam fibras em fibras e são lineares nas fibras, comosegue da fórmula (13.8).

Se dimV < ∞ e P é um fibrado diferenciável então P ×ρ V é uma variedadediferenciável. No entanto, a construção feita acima continua valendo para repre-sentações bem mais gerais que as representações de dimensão finita.

Qualquer fibrado vetorial (isto é, E → M , satisfazendo as três condições acima)pode ser construído como um fibrado associado. Isso é feito definindo o fibrado

13.3. Fibrados 285

das bases BE de E → M , da mesma forma que foi feito acima para BM , pelosisomorfismos lineares p : Rk → Ex, k = dimEx. Então, E → M se obtém comofibrado associado de BE.

3. SeM é uma variedade diferenciável então os fibrados tensoriais deM são obtidoscomo fibrados associados de BM . Por exemplo, o fibrado co-tangente T ∗M é ofibrado associado BM ×ρ∗ (Rn)∗ obtido através da representação canônica dualρ∗: se g ∈ Gl (n,R) e α ∈ (Rn)∗ é um funcional linear então ρ∗ (g) (α) = α g−1.

2

Dois casos particulares de fibrados associados merecem atenção especial. Essescasos serão apresentados nas proposições a seguir.

Proposição 13.18 Sejam P (M,G) um fibrado principal e G/H um espaço homogêneode G. O subgrupo H age à direita em P . Denote por P/H o conjunto das órbitasdessa ação. Então, P/H se identifica ao fibrado associado P ×GG/H, obtido pela açãocanônica de G em G/H.

Demonstração: Denote por x0 = 1H a origem de G/H. Um elemento de P/H éuma órbita à direita pH, p ∈ P . Defina a aplicação que a pH ∈ p/H associa a classep · x0 ∈ P ×G G/H. Sobre esta aplicação valem as seguintes afirmações:

1. está bem definida pois se q = ph ∈ pH então q · x0 = ph · x0 = p · hx0 = p · x0.

2. É injetora pois se q · x0 = p · x0 então q = pg e x0 = g−1x0. A última igualdadesignifica que g−1 ∈ H e, portanto, g ∈ H. Da primeira igualdade segue queqH = pH.

3. É sobrejetora pois dado q · x ∈ P ×G G/H então existe g ∈ G tal que g−1x = x0.Isso implica que p · x0 = q · x se p = qg−1, mostrando que q · x está na imagemda aplicação.

Em suma, pH 7→ p · x0 é uma bijeção, identificando P/H com P ×G G/H. 2

A identificação dada na proposição anterior se escreve em coordenadas locais deforma bastante simples: se U × G ≈ π−1 (U) é uma trivialização local de P entãoobtém-se uma ação à direita de H em U × G, que por definição (veja (13.3)) é dadapor (z, g)h 7→ (z, gh), z ∈ U , g ∈ G e h ∈ H. O conjunto das órbitas em π−1 (U)se identifica então a U × G/H. Por outro lado, os elementos de π−1

E (U) podem serescritos como (z, 1) · x com z ∈ U e x ∈ G/H (pois (z, 1) ∈ U × G se identifica a umelemento de π−1 (U)). No fibrado trivial U × G a bijeção entre P/H e P ×G G/H édada por

(z, gH) ∈ (U ×G) /H 7−→ (z, 1) · gH ∈ (U ×G)×G G/H.Através dessa descrição local da identificação P/H ≈ P ×G G/H, segue de imediatoque ela é um difeomorfismo no caso de fibrados diferenciáveis.


Proposição 13.19 Suponha que P (M,G) seja um fibrado principal e φ : G → Hseja um homomorfismo de grupos (de Lie). O grupo G age à esquerda em H por(g, h) 7→ φ (g)h. Denote por P ×φ H o fibrado associado obtido dessa ação. Então,P ×φ H é um fibrado principal com grupo estrutural H.

Demonstração: Defina a ação à direita de H em P ×φ H por (p · h)h1 = p · (hh1).Essa ação é livre pois se p · (hh1) = p · h então existe g ∈ G tal que p = pg ehh1 = φ (g)−1 h. A primeira igualdade implica que g = 1. Substituindo isso na se-gunda igualdade, segue que hh1 = h, isto é, h1 = 1. Além do mais, a ação é transitivanas fibras pois p : h ∈ H 7→ p · h é uma bijeção entre H e a fibra. Para concluir queessa ação à direita define P ×φ H → M só falta verificar as condições de trivializaçãolocal. Mas, isso segue das trivializações dos fibrados associados em geral. 2

Um caso particular da proposição acima é quando G = H e φ = id. Nesse casoP ×id G é isomorfo a P pela aplicação que leva a classe p · g ∈ P ×id G no elementopg ∈ P . Isto é, P pode ser visto como um fibrado associado dele mesmo.Uma seção de um fibrado associado π : E = P ×G F → M é uma aplicação

σ : M → E tal que π σ = id. Essas seções podem ser definidas por aplicaçõesequivariantes definidas no espaço total P e a valores em F . De fato, dada a seção σdefina fσ : P → F por

fσ (p) = p−1 (σ (π (p)))

onde p−1 : Eπ(p) → F é a inversa da bijeção definida por p ∈ P entre a fibra tipo F ea fibra Eπ(p) de E sobre π (p). Essa aplicação é equivariante, isto é, satisfaz

fσ (pa) = a−1 · f (p) (13.9)

pois (pa)−1 = a−1 p−1.Reciprocamente, seja f : P → F equivariante e defina a aplicação f : P → P ×G F

por f (p) = p · f (p). Se a ∈ G então

f (pa) = pa · f (pa) = pa · a−1f (p) ,

pois f é equivariante. Daí que f (pa) = f (p), isto é, f é constante nas fibras de P .Isso permite definir a aplicação σf : M → P ×G F por

σf (x) = p · f (p)

para qualquer p ∈ Px, que é uma seção pois p · f (p) está na fibra sobre x.Em resumo, existe uma bijeção entre as seções do fibrado associado P ×G F → M

com as aplicações equivariantes P → F . A bijeção é dada por σ 7→ fσ cuja inversa éf 7→ σf , já que pelas definições σfσ = σ e fσf = f .A função fσ é chamada de função equivariante associada à seção σ.Numa trivialização local a bijeção σ 7→ fσ é descrita da seguinte forma: seja χ :

U → P uma seção local sobre U ⊂ M . Então, (x, g) ∈ U × G 7→ χ (x) g ∈ P é uma

13.3. Fibrados 287

trivialização local de P sobre U e o fibrado associado P ×G F admite a trivializaçãolocal

(x, v) ∈ U × F 7→ χ (x) · v ∈ P ×G F

Se σ : M → P ×G F é uma seção então sua restrição a U é dada, via a identificaçãodo fibrado com U × F , por σ (x) = (x, τ (x)), com τ : U → F . Isto é, a trivializaçãolocal associa σ (x) = (x, τ (x)) com χ (x) · τ (x) ∈ P ×G F e daí que fσ (χ (x)) = τ (x).Como fσ é equivariante, segue que a expressão local de fσ é dada por

fσ (x, g) = fσ (χ (x) g) = g−1fσ (χ (x)) = g−1τ (x) . (13.10)

Dessa expressão segue de imediato que em fibrados diferenciáveis fσ é diferenciávelse, e só se, τ é diferenciável. Portanto, a bijeção σ 7→ fσ preserva a diferenciabilidade.

Proposição 13.20 Sejam P → M e P ×G F → M fibrados diferenciáveis. Então,uma seção σ : M → P ×G F é diferenciável se, e só se, sua função equivariantefσ : P → F é diferenciável.

Em geral, um fibrado associado pode não admitir seções. Por exemplo, um fibradoprincipal P → M , visto como fibrado associado dele mesmo só admite seções se forglobalmente trivial. A proposição a seguir relaciona a existência de seções em P×GG/Hcom H-reduções de P .

Proposição 13.21 Seja P um fibrado principal com grupo estrutural G. Seja H ⊂ Gum subgrupo e tome uma seção σ de P ×GG/H. Então, f−1

σ o é invariante à direitapor H, onde o = 1H é a origem de G/H. Se além do mais P e σ são diferenciáveis eH é fechado então f−1

σ o é uma H-redução diferenciável de P .

Demonstração: Se h ∈ H então fσ (ph) = h−1fσ (p), pois fσ é equivariante. Daí quese p ∈ f−1

σ o então fσ (ph) = h−1 (o) = o, mostrando que f−1σ o é invariante por H.

Para ver o caso diferenciável, tome uma trivialização local (x, g) ∈ U×G 7→ χ (x) g ∈ Pdada uma seção χ : U ⊂M → P . Por (13.10) fσ é dada em U ×G por

fσ (x, g) = g−1τ (x)

se σ (x) = (x, τ (x)). Daí que f−1σ o = (x, g) : τ (x) = g (o). Fixe x0 ∈ U e tome uma

seção diferenciável ξ : V ⊂ G/H → G tal que V ⊂ G/H é aberto e τ (x0) ∈ V (para aexistência dessa seção veja a proposição 13.22 abaixo). Essa seção satisfaz p ξ = idonde p : G → G/H é a projeção canônica. Isso significa que ξ (y) (o) = y para todoy ∈ V . Portanto, ξ (τ (x)) (o) = τ (x) o que implica que o par (x, ξ (τ (x))) ∈ f−1

σ o.Isso significa que ξ τ é uma seção local diferenciável definida no aberto τ−1 (V ) quecontém x0. Como x0 é arbitrário isso mostra que f−1

σ o é de fato um fibrado diferen-ciável. 2


13.4 Espaços homogêneos e fibrados

Seja G um grupo. Se H ⊂ G é um subgrupo então H age à direita em G. Essa açãoé livre, as órbitas são as classes laterais gH e o espaço das órbitas é G/H. No casoem que G é grupo de Lie e H é um subgrupo fechado então a partir da construçãofeita anteriormente da estrutura de variedade diferenciável em G/H, prova-se que aprojeção canônica π : G→ G/H define um fibrado principal diferenciável.

Proposição 13.22 Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado. Então,G→ G/H é um fibrado principal com grupo estrutural H.

Demonstração: Falta apenas verificar a condição de trivialidade local. Para issoserão usadas as notações envolvidas no teorema 6.22. Foram construídas cartas locaisem G/H como a restrição de π aos conjuntos da forma geV . Se Vg denota a imagemde uma carta dessas então os elementos de Vg são da forma lH com l = geY , Y ∈ V .Então, a aplicação lH 7→ geY é uma seção diferenciável de G → G/H, concluíndo ademonstração. 2

Sejam G um grupo e H1 ⊂ H2 subgrupos de G. Então, existe uma aplicaçãosobrejetora natural G/H1 → G/H2, que associa à classe lateral gH1 a classe lateralgH2, que contém gH1. Essa aplicação é de fato a projeção de um fibrado associado,como mostra a seguinte construção.

Proposição 13.23 Sejam G um grupo de Lie e H1 ⊂ H2 subgrupos fechados de G.Então G/H1 é um fibrado sobre G/H2 com a projeção canônica G/H1 → G/H2, dadapor gH1 7→ gH2. Se H1 é normal em H2 então G/H1 → G/H2 é um fibrado principalcom grupo estrutural H2/H1.

Demonstração: Pela proposição 13.18 o fibrado associado G×H2H2/H1 se identificaao quociente da ação à direita de H1 em G, isto é, se identifica a G/H1. Ainda pelaproposição 13.18 a projeção π : G/H1 → G/H2 leva a classe lateral à direita gH1 emG/H1 na projeção de g em G/H2, isto é, π (gH1) = gH2. Por fim, se H1 é normal emH2 então a ação de H2 em H2/H1 provém do homomorfismo canônico H2 → H2/H1.Portanto, a última afirmação segue da proposição 13.19. 2

13.5 Exercícios

1. Use a fórmula g∗X = ˜(Ad (g)X) para mostrar, diretamente a partir da definiçãode colchete de Lie, que a aplicação X 7→ X é um homomorfismo de álgebras de

Lie, isto é, [X, Y ] = [X, Y ].

2. Sejam G um grupo de Lie conexo e H um subgrupo fechado. Seja também K umsubgrupo compacto e suponha que dimK − dim (K ∩H) = dimG/H. Mostreque K age transitivamente em G/H.


3. Dados um grupo de Lie G e dois subgrupos H,L ⊂ G com H fechado, mostre queL tem uma órbita aberta emG/H e, se só se, existe g ∈ G tal que g = h+Ad (g) l,onde g, h e l são as álgebras de Lie de G, H e L, respectivamente.

4. Sejam G um grupo de Lie conexo e H,K ⊂ G dois subgrupos tais que H éfechado e K é compacto. Denote por g, h e k as álgebras de Lie de G, H eK respectivamente. Mostre que se g = h + k então G = HK. Faça o mesmoassumindo que g = h+ Ad (g) k, para algum g ∈ G.

5. Com as notações do exercício anterior, suponha que H ∩ K = 1 e que g =h⊕Ad (g) k para todo g ∈ G. Mostre que a aplicação (h, k) ∈ H ×K 7→ hk ∈ Gé um difeomorfismo.

6. Use o exercício anterior para mostrar que Sl (n,R) = TSO (n) = SO (n)T ondeT é o subgrupo das matrizes triangulares superiores cujas entradas diagonais são> 0. Interprete a decomposição Sl (n,R) = SO (n)T , aplicando o processo deortonormalização de Gram-Schmidt às colunas de uma matriz.

7. Sejam G um grupo de Lie e H ⊂ G um subgrupo fechado. Mostre que se G/Hé simplesmente conexo então H é conexo.

8. Seja G um grupo semi simples não compacto e conexo com decomposição deIwasawa G = KAN . Mostre que a ação de K emm G/AN é transitiva.

9. Prove que a distribuição ∆g, definida por uma ação de G, é integrável mostrandoque a aplicação ξx : G/Hx →M , definida por ξx (gHx) = gx é uma imersão, quedefine uma variedade integral de ∆g, que passa por x.

10. Um “flag”de subespaços de Rn é uma família de subespaços f = (V1 ⊂ · · · ⊂ Vk)de Rn. Dada uma sequência finita de inteiros r = r1, . . . , rk com 0 < r1 ≤· · · ≤ rk ≤ n, denote por Fn (r) o conjunto de todos os flags f = (V1 ⊂ · · · ⊂ Vk)com dimVi = ri.

Mostre que Gl (n,R) age transitivamente em Fn (r), estabelecendo uma bijeçãoentre Fn (r) com o espaço homogêneo Gl (n,R) /Q, onde Q é algum grupo deisotropia. Determine Q e mostre que Q é fechado. Conclua que Fn (r) é umavariedade diferenciável.

Mostre que os subgrupos Sl (n,R) e SO (n) agem transitivamente em Fn (r) eescreva Fn (r) como espaços homogêneos Sl (n,R) /P e SO (n) /M . Conclua queFn (r) é compacto. (Sugestão: para SO (n) use o exercício 2.)

11. Faça o mesmo que o exercício anterior para o caso dos flags complexos, isto é,formados por subespaços de Cn. Substitua Gl (n,R) por Gl (n,C), Sl (n,R) porSl (n,C) e SO (n) por SU (n).

12. Use ações transitivas de gupos para construir topologias e estruturas diferen-ciáveis nos seguintes conjuntos:


(a) Conjunto das bases de Rn.(b) Conjunto das bases ordenadas de Rn.(c) Conjunto das bases ortonormais de Rn (em relação a um produto interno

fixado).

(d) Conjunto dos produtos internos de Rn.(e) Conjunto das estruturas complexas em R2n (isto é, aplicações lineares J :

R2n → R2n tais que J2 = −id).

(f) Conjunto das formas simpléticas em R2n (isto é, formas bilineares anti-simétricas e não degeneradas).

(g) Conjunto das formas quadráticas em Rn de assinatura dada.(h) Conjunto dos elementos conjugados a um elemento x de um grupo de Lie G

(isto é, gxg−1 : g ∈ G).

13. Seja β uma base ordenada de Cn. A subálgebra de Borel de sl (n,C) definida porβ é a subálgebra bβ cujos elementos são as transformações lineares, que escritas nabase β são triangulares superiores. Denote por B = bβ : β é base o conjunto dassubálgebras de Borel. Mostre que Sl (n,C) age transitivamente em B e verifiqueque, como espaço homogêneo, B coincide com FnC (r) onde r = (1, 2, . . . , n− 1).

14. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Duas subálgebras h1, h2 ⊂ g sãoditas G-conjugadas se existe g ∈ G tal que Ad (g) h1 = h2. Construa uma estru-tura diferenciável no conjunto das subálgebras G-conjugadas a uma subálgebrade Lie h ⊂ g dada.

15. Dados um grupo de Lie G e H ⊂ G um subgrupo fechado, suponha que G/Hseja compacto. Denote por h a álgebra de Lie de H e mostre que o conjunto dassubálgebras G-conjugadas a h (veja o exercício anterior) é compacto.

16. Seja G ×M → M uma ação diferenciável. Dado x0 ∈ M seja Gx0 o grupo deisotropia. A representação de isotropia de Gx0 é o homomorfismo g ∈ Gx0 7→dgx0 ∈ Gl (Tx0M). Suponha G seja compacto e M conexa. Suponha tambémque a órbita G · x0 tenha dimensão > 0 e que a representação de isotropia sejairredutível. Mostre que M é compacta.

17. SejaG×M →M uma ação diferenciável do grupo de Lie na variedadeM . Denotepor g a álgebra de Lie de G e tome uma curva contínua A : (a, b) ⊂ R→ g. Essa

curva define a equação diferencial, dependente do tempo, x = A (t) (x) em M .Mostre que as soluções dessa equação diferencial são dadas por φ (t, s) (x) ondeφ (t, s) ∈ G é a solução de g = A (t) g, g ∈ G, com condição inicial φ (s, s) = 1.Mostre também que essas soluções se estemdem ao intervalo (a, b).

18. Sejam G um grupo de Lie, G×M → M uma ação diferenciável de G e F ⊂ Mum subconjunto fechado. Defina

gF = X ∈ g : ∀t ∈ R, exp (tX) · F ⊂ F


(isto é, exp (tX) · x ∈ F se x ∈ F ). Mostre que gF é uma subálgebra de Lie.(Sugestão: use os limites da seção 6.4.)

19. Descreva as órbitas das representações adjunta e co-adjunta do grupo de Heisen-berg, isto é, o grupo das matrizes 3× 3 da forma 1 x z

0 1 y0 0 1

.

20. Descreva as órbitas da representação adjunta do grupo Sl (2,R).

21. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e denote por g∗ o dual de g.Considere a representação co-adjunta de G em g∗. Tome α ∈ g∗ e verifique quea álgebra de isotropia da órbita G · α de α é dada por

gα = X ∈ g : α ad (X) = 0.

Fixando α ∈ g∗ defina a forma bilinear anti-simétrica ωα (X, Y ) = α[X, Y ],X, Y ∈ g. Mostre que se e ⊂ g é um subespaço complementar a gα, isto é,g = e⊕ gα, então a restrição de ωα a e é não degenerada (isto é, se ωα (X, Y ) = 0para todo Y ∈ e então X = 0). Conclua que as órbitas da representação co-adjunta têm dimensão par.

22. Sejam G um grupo de Lie e φ : G → G um automorfismo de G. Mostre que oconjunto dos pontos fixos H = x ∈ G : φ (x) = x é um subgrupo de Lie de G.

Suponha, por outro lado, que φ é involutiva, isto é, φ2 = id e considere a aplicaçãoxH ∈ G/H 7→ xφ (x−1) ∈ G. Mostre que essa aplicação é uma imersão injetora.

23. Seja G×M →M uma ação analítica do grupo de Lie G (analítico) na variedadeanalítica conexa M . Denote por k o máximo das dimensões das órbitas de G.Mostre que o conjunto dos pontos x ∈M tais que dim (G · x) = k é um conjuntoaberto e denso de M .

24. Mostre que se G × M → M é uma ação diferenciável do grupo de Lie G navariedade diferenciável M então a função x 7→ dim (G · x) é semi-contínua in-feriormente, isto é, para todo b ∈ R o conjunto x ∈ M : dim (G · x) > b éaberto.

25. Dada uma ação diferenciável G × M → M do grupo de Lie G na variedadediferenciável M , seja G · x uma órbita de G. Verifique que o fecho G · x é umconjunto G-invariante e, portanto, uma união de G-órbitas. Mostre que, paratodo y ∈ G · x, sua órbita G · y satisfaz dim (G · y) ≤ dim (G · x). Dê exemplosde ações em que dim (G · y) = dim (G · x) para algum y ∈ G · x. Dê tambémexemplos de ações em que dim (G · y) < dim (G · x) para todo y ∈ G · x.


26. Seja G × M → M uma ação diferenciável do grupo de Lie G na variedadediferenciável M . Defina em M a relação de equivalência dada pelas G-órbitas:x ∼ y se, e só se, y = gx para algum g ∈ G. Assuma que a ação de G é livre econstrua no espaço das órbitas M/ ∼ uma estrutura de variedade diferenciável,cuja topologia é a topologia quociente e tal que a projeção canônica M →M/ ∼é uma submersão.

27. Dada uma ação diferenciável φ : G ×M → M com G e M conexos sejam G eM os recobrimentos universais. Use o teorema 13.14 para construir uma açãoφ : G× M → M tal que a aplicação de recobrimento π : M →M é equivariante.Mostre que as órbitas de φ são recobrimentos das órbitas de φ. Faça o mesmopara um recobrimento qualquer M deM . Mostre que se a ação emM e transitivao mesmo ocorre em qualquer recobrimento.

28. Sejam G um grupo de Lie semi simples compacto e H ⊂ G um subgrupo fechado.Mostre que o grupo fundamental π1 (G/H) é finito.

29. Dados um grupo de Lie G e Γ ⊂ G um subgrupo discreto e normal considereo grupo quociente G/Γ e a projeção canônica π : G → G/Γ. Mostre que seΓ1 ⊂ G/Γ é um sugrupo discreto de G/Γ então π−1 (Γ1) é um sugrupo discretode G.

30. Dados um grupo de Lie G e um subgrupo fechado Γ ⊂ G suponha que ρ : Γ→ Hseja um homomorfismo diferenciável no grupo de Lie H. A partir do fibradoprincipal G → G/Γ, construa, como na proposição 13.19, o fibrado principalG×ρH sobre G/Γ. Mostre que se ρ se estende a um homomorfismo diferenciávelG→ H então G×ρ H é um fibrado trivial.

Capítulo 14

Geometria invariante

Neste capítulo serão discutidas diversas estruturas geométricas invariantes em espaçoshomogêneos. As estruturas consideradas serão dadas por tensores (estrutura complexa,formas diferenciais, métrica Riemanniana e forma simplética). O principio básico é quenum espaço homogêneoM = G/H (H fechado) as estruturas invariantes são dadas porseus valores na origem x0 = 1 ·H. O que acontece é que se h ∈ H então h (x0) = x0, oque implica que sua diferencial dhx0 é uma aplicação linear do espaço tangente Tx0Mnele mesmo. Essa diferencial define, portanto, uma aplicação ρ : H → Gl (Tx0M),que é um homomorfismo de grupos, pela regra da cadeia. Isso significa que ρ é umarepresentação de H no espaço tangente Tx0M , que é denominada representação deisotropia de G/H.Uma estrutura geométrica invariante em G/H dada por um tensor define em Tx0M

um tensor invariante pela representação de isotropia e vice-versa, um tensor em Tx0Minvariante pela representação de isotropia define, via translações, um tensor em G/Hinvariante pela ação de G. Ao invés de enunciar um resultado geral sobre isso, esseprocedimento será visto caso a caso nos exemplos que serão considerados neste capítulo.

14.1 Variedades complexas

Uma variedade complexa M é definida por um atlas cujas cartas assumem valoresem Cn e as transformações de coordenadas são aplicações holomorfas entre abertos deCn (uma aplicação f : U ⊂ Cn → Cn é holomorfa se ela é diferenciável sobre C ou,de forma equivalente, se f , vista como uma aplicação de R2n, é diferenciável e suadiferencial dfx em cada ponto é uma transformação linear complexa, isto é, comutacom a multiplicação por i =

√−1).

As variedades complexas são, em particular, variedades reais, interpretando Cncomo R2n. Se M é uma variedade complexa então cada espaço tangente TxM é (tema estrutura de) um espaço vetorial complexo.As variedades complexas podem ser vistas como variedades reais munidas de uma

estrutura adicional dada por uma estrutura pseudo-complexa, que amplia o conceitode variedade complexa.

293

294 Capítulo 14. Geometria invariante

Antes de definir as estruturas pseudo-complexas em M , seja V um espaço vetorialreal. Uma transformação linear J : V → V é uma estrutura complexa em V seJ2 = −id. Se V admite uma estrutura complexa então dimV é par pois os auto-valores de J são ±i e eles aparecem aos pares.

Definição 14.1 SejaM uma variedade diferenciável. Uma estrutura pseudo-complexa(ou quase-complexa) numa variedade diferenciávelM é um tensor J tal que para cadax ∈M o valor Jx em x é uma aplicação linear Jx : TxM → TxM que satisfaz J2

x = −id.A estrutura J é diferenciável se para todo campo de vetores diferenciável X o campo

de vetores JX também é diferenciável.

Deve-se observar que se M admite uma estrutura pseudo-complexa então dimM épar pois seus espaços tangentes têm dimensão par.Se M é uma variedade complexa então os espaços tangentes TxM são espaços ve-

toriais sobre C. Nesse caso a multiplicação por i em cada TxM define uma estruturapseudo-complexa em M . Variedades complexas são, portanto, pseudo-complexas. Jáa caracterização das variedades pseudo-complexas que são complexas é dada pelo teo-rema de Newlander-Nirenberg. Esse teorema utiliza o tensor de Nijenhuis daestrutura J , que é definido por

NJ(X, Y ) = J [X, Y ]− [JX, Y ]− [X, JY ]− J [JX, JY ]. (14.1)

onde X e Y são campos de vetores em M .

Teorema 14.2 Seja M uma variedade pesudo-complexa com estrutura J . Então, Mé uma variedade complexa se, e só se, NJ = 0. Nesse caso a multiplicação por i emTxM coincide com J .

Uma estrutura pseudo-complexa J é dita integrável se o seu tensor de Nijenhuisé identicamente nulo. O teorema de Newlander-Nirenberg diz que as estruturas inte-gráveis são exatamente as provenientes das estruturas complexas.No contexto de variedades pseudo-complexas uma aplicação holomorfa entre as

variedades M e N munidas de estruturas pseudo-complexas JM e JN é uma aplicaçãodiferenciável f : M → N tal que dfx JMx = JNf(x) dfx para todo x ∈ M . Isto é, asdiferenciais dfx são aplicações lineares complexa.Seja agora M = G/H um espaço homogêneo onde G é um grupo de Lie e H é um

subgrupo fechado. Uma estrutura pseudo-complexa J em G/H é invariante pela açãode G se seus elementos são aplicações holomorfas em relação a J , isto é, se para todog ∈ G e todo x ∈ G/H vale

dgx Jx = Jg(x) dgx.

Uma estrutura invariante J é completamente determinada pelo seu valor na origemx0 = 1 · H, pois se x ∈ G/H é dado por x = gx0 então Jx = dgx0 Jx0 (dgx0)

−1.Além do mais a estrutura complexa Jx0 no espaço vetorial Tx0M é invariante pelarepresentação de isotropia, no sentido em que Jx0 = dhx0 Jx0 (dhx0)

−1 se h ∈ H.

14.1. Variedades complexas 295

Reciprocamente, seja J0 uma estrutura complexa no espaço vetorial Tx0M , isto é,J0 : Tx0M → Tx0M satisfaz J2

0 = −id. Suponha que J0 seja invariante pela represen-tação de isotropia, o que significa que J0 = dhx0 J0 (dhx0)

−1 se h ∈ H. Então, aexpressão

Jx = dgx0 J0 (dgx0)−1 x = gx0 ∈ G/H (14.2)

define uma estrutura pseudo-complexa em G/H invariante por G. Isso porque a ex-pressão para Jx em (14.2) não depende do elemento g ∈ G tal que x = gx0 pois J0

é invariante pela representação de isotropia. Uma estrutura pseudo-complexa definidapor esse procedimento é C∞.

Exemplo: Se H é compacto então g = h⊕ m onde h é a álgebra de Lie de H e m éum subespaço invariante por Ad (H) (por exemplo, m é o subespaço ortogonal a h emrelação a um produto interno invariante). A aplicação X ∈ m 7→ X (x0) ∈ Tx0G/H é

um isomorfismo A fórmula g∗X = ˜Ad (g)X, g ∈ G eX ∈ g, implica que a representaçãode isotropia é equivalente à representação adjunta de H em m.Portanto, o conjunto das estruturas pseudo-complexas em G/H está em bijeção

com o conjunto das estruturas complexas J0 : m → m tais que Ad (h) J0 = J0Ad (h)para todo h ∈ H.As possíveis estruturas complexas que comutam com Ad (H) são vistas através das

decomposições de m em subespaços invariantes e irredutíveis. Suponha que J0 seja umestrutura complexa em m que comuta com Ad (h), h ∈ H. Se W ⊂ m é um subespaçoAd (H)-invariante então J0W também é invariante. De fato, se h ∈ H então

Ad (h) J0W = J0Ad (h)W = J0W.

Além do mais se W é irredutível então J0W também é irredutível pois se U ⊂ J0W éinvariante então J0U ⊂ J2

0W = W é invariante. A comutatividade de J0 com Ad (h),h ∈ H, mostra que as representações de H em U e J0U são equivalentes, sendo que aprópria J0 é uma equivalência entre essas representações.Uma situação em que essas observações se aplicam é quando

m = m1 ⊕ · · · ⊕ms

é uma decomposição de m em invariantes irredutíveis cujas representações de H nãosão equivalentes. Nesse caso uma estrutura complexa invariante J0 deve satisfazerJ0mi = mi para todo i = 1, . . . , s, isto é, existem estruturas complexas invariantesem m se, e só se, cada mi admite uma estrutura complexa invariante. Abaixo serãoapresentados exemplos concretos de espaços homogêneos em que ocorre essa situação.As observações deste exemplo valem também para o caso em que H é semi sim-

ples pois, como no caso compacto, suas representações se decompõem em subespaçosinvariantes e irredutíveis. 2

Se J é uma estrutura pseudo-complexa invariante em G/H então a igualdadeg∗ [X, Y ] = [g∗X, g∗Y ] mostra que g∗NJ (X, Y ) = NJ (g∗X, g∗Y ) se g ∈ G. Segue daí


que o tensor de Nijenhuis NJ se anula se, e só se, ele se anula na origem x0 de G/H.Vale portanto o seguinte critério para que uma estrutura pseudo-complexa invarianteseja complexa.

Proposição 14.3 Uma estrutura pseudo-complexa no espaço homogêneo G/H é com-plexa se, e só se, o tensor de Nijenhuis NJ se anula na origem x0 = 1 ·H de G/H.

Em suma tanto a construção das estruturas pseudo-complexas invariantes quantoo critério para decidir se elas são complexas ou não, se reduzem a uma análise do queacontece na origem do espaço homogêneo. Essa análise depende apenas da represen-tação de isotropia e, em muitos exemplos, é feita via cálculos puramente algébricos.Antes de apresentar alguns exemplos, convém fazer o seguinte comentário sobre

o segundo membro de (14.1), que define o tensor de Nijenuis. Ele envolve colchetesde Lie de campos de vetores, que em principio dependem dos valores dos campos nasvizinhanças de um ponto. No entanto, essa dependência é cancelada entre os quatrocolchetes de tal forma que NJ (X, Y ) depende apenas dos valores de X e Y num pontodado, isto é, NJ é de fato um tensor (veja o exercício 2, ao final do capítulo).Existe, portanto, uma certa liberdade na escolha dos campos de vetores no cálculo

do tensor de Nijenhuis. Num espaço homogêneo G/H uma escolha natural são oscampos de vetores X, X ∈ g, já que esses campos geram o espaço tangente em cadaponto.

Exemplo: Seja G = SU (n) e H = T ⊂ SU (n) o toro maximal formado pelasmatrizes diagonais de SU (n). O quociente SU (n) /T se identifica à variedade de flags(W1 ⊂ · · · ⊂ Wn) de subespaços de Cn com dimWj = j (veja o exercício 11 do capítulo13).A álgebra de Lie t de T é dada pelas matrizes diagonais de traço 0 com entradas

puramente imaginárias. A representação adjunta de T decompõe su (n) em subespaçosinvariantes como

su (n) = h⊕∑j<k

Vjk

onde Vjk é o subespaço das matrizes em su (n) com entradas apenas nas posições j, ke k, j. O subespaço V =

∑j<k Vjk se identifica ao espaço tangente na origem de G/H.

Um subespaço Vjk tem dimensão 2 e é gerado por

Ajk = Ejk − Ekj Sjk = i (Ejk + Ekj)

onde Ejk são as matrizes básicas. As representações adjuntas ρjk de T e de t em Vjksão irredutíveis. Em relação à base Ajk, Sjk, a representação de t é dada pela matriz

ρjk (X) =

(0 −αjk (X)

αjk (X) 0

)se X = diagia1, . . . , ian, onde αjk (X) = aj − ak. Dessa expressão segue que se(j, k) 6= (r, s) então a representação em Vj,k não é equivalente à representação em Vrs.

14.1. Variedades complexas 297

Daí que, conforme foi discutido no exemplo acima, as estruturas complexas em V ,invariantes por T , são somas de estruturas complexas invariantes em cada Vjk.Por outro lado, um cálculo simples com matrizes 2 × 2 mostra que em cada Vjk

existem apenas duas estruturas complexas invariantes, que são dadas por ±Jjk, ondeem relação à base Ajk, Sjk,

Jjk =

(0 −11 0

).

Consequentemente, as estruturas complexas Ad (T )-invariantes em V são somas diretasde transformações lineares da forma

J =∑j<k

δjkJjk δjk = ±1.

A sua quantidade é finita e igual a 2N onde N = n(n−1)2

é o número de subespaços Vjk.O tensor de Nijenhuis na origem é uma aplicação bilinear anti-simétrica em V a

valores em V . Para calculá-lo é melhor trabalhar no espaço VC gerado por Ejk, j 6= k,que é o complexificado de V . Tanto J quanto NJ se complexificam a VC de tal formaque se j < k então

JjkEjk = iEjk JjkEkj = −iEkj.Portanto, se j 6= k então J é dada por JEjk = iεjkEjk, isto é, J é determinada pelossinais εjk = ±1, j 6= k, com a restrição que εkj = −εjk. O tensor de Nijenhuis satisfazNJ (Ejk, Ers) = 0 se [Ejk, Ers] = 0, isto é, se j, k ∩ r, s = ∅. Por outro lado,

NJ (Ejk, Eks) = i (εjs (1 + εjkεks)− εjk − εks)Ejs,

que não se anula se, e só se, εjk = εks 6= εjs.Por exemplo, se J é dado por εjk = +1 se j < k, então J é uma estrutura complexa

integrável. Da mesma forma, se w é uma permutação de 1, . . . , n então a estruturacomplexa dada por εjk = +1 se w (j) < w (k) é integrável. É possível verificar queessas são as únicas integráveis. 2

A descrição das estruturas complexas em SU (n) /T , apresentada no exemplo ante-rior, se estende às chamadas variedades flag generalizadas complexas, que são dadaspelo quociente de um grupo compacto por seu toro maximal. Da mesma forma existemfinitas estruturas integráveis, que estão em bijeção com as câmaras de Weyl na álgebrade Lie t do toro1.

14.1.1 Grupos de Lie complexos

Um grupo de Lie complexo pode ser definido nos mesmos moldes em que foram definidosos grupos de Lie: um grupo cujo conjunto subjacente é uma variedade complexa e de talforma que o produto é uma aplicação diferenciável e holomorfa em relação à estruturacomplexa da variedade.

1Veja [50].


No entanto, olhando sob a perspectiva de que uma variedade complexa é umavariedade real com uma estrutura adicional define-se um grupo de Lie complexo comosendo um grupo de Lie real munido de uma estrutura pseudo-complexa integrável talque o produto é uma aplicação holomorfa.Essa abordagem aos grupos complexos se encaixa nas discussões acima sobre estru-

turas pseudo-complexas e complexas invariantes em espaços homogêneos.Para ver isso tome, em primeiro lugar, um grupo de Lie complexo G e seja J a

estrutura complexa dada pela multiplicação por i em cada espaço tangente. Comoo produto p é uma aplicação holomorfa as translações à esquerda Eg e à direita Dg,g ∈ G, são também aplicações holomorfas. Isso significa que para quaisquer g, h ∈ Gvalem Jgh d (Eg)h = d (Eg)h Jh e Jhg d (Dg)h = d (Dg)h Jh. Em outras palavras,J é uma estrutura complexa bi-invariante, isto é, invariante à esquerda e à direita.Deve-se considerar então estruturas pseudo-complexas em G que são bi-invariantes.

A bi-invariância se reflete na ação de G × G em G por (g, h)x = gxh−1. Essa ação étransitiva e o grupo de isotropia na identidade 1 ∈ G é a diagonal

∆G = (g, g) ∈ G×G : g ∈ G

de tal forma que G se identifica a G×G/∆G. A representação de isotropia ρ : ∆G →Gl (g) é dada pela adjunta ρ (g, g) = Ad (g) = (dCg)1.Portanto, uma estrutura pseudo-complexa J bi-invariante em G é dada por uma

estrutura complexa J1 : g→ g que comuta com as adjuntas:

J1 Ad (g) = Ad (g) J1. (14.3)

Em g ∈ G a estrutura pseudo-complexa é dada por

Jg = d (Eg)1 J1 d (Eg)−11 = d (Dg)1 J1 d (Dg)

−11 . (14.4)

O próximo passo é olhar a integrabilidade dessas estruturas pseudo-complexas,isto é, o anulamento do tensor de Nijenhuis. Aqui a situação se trivializa pois abi-invariância implica automaticamente na integrabilidade da estrutura.De fato, a comutatividade J1 Ad (g) = Ad (g) J1, g ∈ G, aplicada a g = etX ,

X ∈ g, implica (derivando em relação a t) que

J1 ad (X) = ad (X) J1 (14.5)

para todo X ∈ g. O significado disso é que g é uma álgebra de Lie sobre o corpo doscomplexos, no sentido em que se J1 for interpretado como multiplicação por i então aigualdade (14.5) diz que i[X, Y ] = [X, iY ]. Como, além do mais,

i[X, Y ] = −i[Y,X] = −[Y, iX] = [iX, Y ]

segue que g tem uma estrutura de espaço vetorial complexo de tal forma que o colchete[·, ·] é bilinear sobre C.

14.2. Formas diferenciais e cohomologia de De Rham 299

Mantendo a interpretação de que J1 é a multiplicação por i em g, o tensor deNijenhuis na identidade fica sendo

NJ(X, Y ) = J1[X, Y ]− [J1X, Y ]− [X, J1Y ]− J1[J1X, J1Y ]

= i[X, Y ]− [iX, Y ]− [X, iY ]− i[iX, iY ]

com X, Y ∈ g. O último termo dessa igualdade se anula, isto é, (NJ)1 = 0 na origem.Pela invariância (por exemplo, à esquerda de J) se conclui que NJ é identicamentenulo.Esses comentários mostram a seguinte caracterização dos grupos complexos.

Teorema 14.4 Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e suponha que existauma aplicação J1 : g → g com J2

1 = −id tal que J1 Ad (g) = Ad (g) J1 para todog ∈ G. Então, existe uma estrutura complexa em G que o torna um grupo de Liecomplexo. Nesse caso g é uma álgebra de Lie complexa.Além do mais, se g é uma álgebra de Lie complexa e G é conexo então G é um

grupo complexo.

Demonstração: Só falta verificar a última afirmação. Mas, se g é uma álgebra deLie complexa então existe J1 : g→ g com J2

1 = −id tal que J1 ad (X) = ad (X) J1.Pelos procedimentos usuais segue que J1 Ad

(eX)

= Ad(eX) J1 se X ∈ g. Daí que

seG é conexo se conclui que J1Ad (g) = Ad (g)J1 e, portanto, G é grupo complexo. 2

Exemplos clássicos de grupos de Lie complexos são dados pelos grupos de matrizesGl (n,C), Sl (n,C), Sp (n,C) e SO (n,C), cujas álgebras de Lie são complexas.

14.2 Formas diferenciais e cohomologia de De Rham

Dada uma ação diferenciável do grupo de Lie G na variedade M , uma k-forma difer-encial α em M é invariante por G se para todo g ∈ G vale g∗α = α onde g∗α é o“pull-back”definido por g∗α (X1, . . . , Xk) = α (g∗X1, . . . , g∗Xk).No caso em que M = G/H é um espaço homogêneo, uma forma diferencial invari-

ante α é completamente determinada por seu valor αx0 na origem x0 = 1 ·H de G/H.A k-forma alternada αx0 é invariante pela representação de isotropia no sentido em quese h ∈ H e v1, . . . , vk ∈ Tx0G/H então (dhx0)

∗ αx0 = αx0 , isto é,

αx0(dhx0v1, . . . , dhx0vk) = αx0(v1, . . . , vk).

Num ponto arbitrário x ∈ G/H a k-forma αx é dada, por αx = (g−1)∗αx0 se x = gx0,

isto é,αx(w1, . . . , wk) = αx0((dgx0)

−1w1, . . . , (dgx0)−1wk).

Essa expressão independe de g ∈ G tal que x = gx0 pois αx0 é invariante pela repre-sentação de isotropia.O espaço das k-formas diferenciais em G/H é denotado por ∧k (G/H) enquanto

que o subconjunto das formas invariantes é denotado por ∧kinv (G/H). Esse conjunto é


um subespaço vetorial de ∧k (G/H) pois α 7→ g∗α é linear. Além do mais, ∧kinv (G/H)é uma subálgebra como o produto exterior, já que g∗ (α ∧ β) = g∗α ∧ g∗β.Uma das questões a se discutir sobre uma k-forma diferencial α é sua diferencial

exterior dα, cuja definição numa variedade diferenciável M é dada por

(dα)(X1, . . . , Xk+1) =∑

i(−1)i+1Xiα(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1)

+∑

i<j(−1)i+jα([Xi, Xj], X1, . . . , Xi, . . . , Xj, . . . , Xk+1),

(14.6)onde X1, . . . , Xk+1 são campos de vetores em M .No caso de uma forma diferencial invariante α num espaço homogêneo G/H, a

expressão (14.6) pode ser simplificada, uma vez que os termos na primeira soma sãoincorporados na segunda soma.

Lema 14.5 Sejam α uma k-forma diferencial invariante em G/H e X,X1, . . . Xk ∈ g.Então,

Xα(X1, . . . , Xk) = α([X, X1], X2, . . . , Xk) + · · ·+ α(X1, X2, . . . , [X, Xk])

Demonstração: Se x ∈ G/H então por definição

Xα(X1, . . . , Xk) (x) =d

dtα(X1, . . . , Xk)

(etXx

)|t=0

=d

dtαetXx(X1

(etXx

), . . . , Xk

(etXx

))|t=0 .

Mas, como α é invariante, αetXx =(e−tX

)∗αx o que significa que

αetXx(X1

(etXx

), . . . , Xk

(etXx

))

= αx((de−tX

)etXx

X1

(etXx

), . . . ,

(de−tX

)etXx

Xk

(etXx

)).

Tomando derivadas em relação a t e levando em conta que

d

dt

(de−tX

)etXx

Xi

(etXx

)|t=0

= [X, Xi] (x)

se obtém a fórmula do enunciado. 2

Proposição 14.6 Seja α uma k-forma diferencial invariante em G/H.TomeX1, . . . , Xk+1 ∈g e sejam Xi, i = 1, . . . , k, os campos induzidos em G/H. Então,

(dα)(X1, . . . , Xk+1) =∑i<j

(−1)i+jα([Xi, Xj], X1, . . . , Xi, . . . , Xj, . . . , Xk+1). (14.7)


Demonstração: O lema anterior e a fórmula (14.6) da diferencial exterior mostramque dα(X1, . . . , Xk+1) é uma soma de termos do tipo

α([Xi, Xj], X1, . . . , Xi, . . . , Xj, . . . , Xk+1) i < j.

Falta verificar que o coeficiente do termo correspondente a i, j, i < j, é (−1)i+j. Essetermo aparece uma vez na segunda soma de (14.6) com o coeficiente (−1)i+j. Pelolema anterior ele aparece duas vezes na primeira soma de (14.6), nos termos em que setoma as derivadas nas direções de Xi e Xj. A derivada em relação a Xi colabora como termo

(−1)i+1 α(X1, . . . , [Xi, Xj], . . . , Xk) = (−1)i+j α([Xi, Xj], X1, . . . , Xj, . . . , Xk)

pois o colchete no primeiro membro aparece na posição j e α é uma forma alternada.Já a derivada na direção de Xj colabora com o mesmo termo, mas com coeficiente− (−1)i+j. Portanto, a soma dos três termos fornece o coeficiente (−1)i+j, o que con-clui a demonstração. 2

A fórmula (14.7) da diferencial exterior está escrita em termos dos campos de vetoresX, X ∈ g, apesar da diferencial exterior depender apenas dos valores desses camposnum ponto dado. Na origem x0 do espaço homogêneo isso pode ser explicitado daseguinte forma. Tome um subespaço m ⊂ g tal que g = h⊕m onde h é a álgebra de Liede H. Então, Tx0G/H se identifica a m pelo isomorfismo X ∈ m 7→ X (x0) ∈ Tx0G/H.Denote por prm a projeção sobre m em relação à decomposição g = h⊕m. Se X, Y ∈ mentão [X, Y ] (x0) = Z (x0) onde Z = prm [X, Y ]. Usando essa notação a expressão em(14.7) se traduz como

(dα)x0(X1, . . . , Xk+1) =∑i<j

(−1)i+jαx0([Xi, Xj]m, X1, . . . , Xi, . . . , Xj, . . . , Xk+1)

(14.8)se X1, . . . , Xk+1 ∈ m. O segundo membro de (14.8) depende apenas das propriedadesalgébricas da álgebra de Lie g e define uma aplicação linear d : ∧km→ ∧k+1m.Antes de prosseguir deve-se observar que se α é uma forma diferencial invariante

então dα também é invariante pois g∗dα = dg∗α = dα. Isso acarreta, por exemplo, quese dα se anula num ponto então dα é identicamente nula.A diferencial exterior de formas diferenciais satisfaz d2 = 0 o que dá origem à

cohomologia de De Rham das variedades diferenciáveis. Uma forma diferencial α éfechada se dα = 0 e é exata se α = dβ para alguma forma β. Como d2 = 0, toda formaexata é fechada. A k-ésima cohomologia de De Rham Hk

dR (M) de uma variedade M édefinida como sendo o espaço das k-formas fechadas módulas as exatas, isto é,

HkdR (M) = ker dk/imdk−1

onde dk é a restrição da diferencial exterior às k-formas. Duas formas diferenciaisfechadas α e β são cohomologas se existe γ tal que α − β = dγ, nesse caso se escreveα ∼ β. A classe de cohomologia de α é denotada por [α].


Uma cohomologia semelhante pode ser definida para formas invariantes. De fato,se α é uma forma diferencial invariante pela ação do grupo G então dα também éinvariante. Portanto, se G × M → M é uma ação diferenciável, pode-se definir acohomologia invariante Hk

inv (M,G) como sendo o quociente acima em que dk éinterpretado como a diferencial exterior restrita às formas invariantes. No caso de umespaço homogêneo M = G/H essa cohomologia será denotada por Hk

inv (G/H). Paraduas formas invariantes e fechadas α e β se escreve α ∼inv β se α − β = dγ com γtambém invariante. A classe de cohomologia invariante de α é denotada por [α]inv.Sejam α e β formas invariantes fechadas em G/H. É evidente a partir das definições

que se α ∼inv β então α ∼ β. Isso significa que se [α]inv = [β]inv então [α] = [β], o quefornece aplicações bem definidas

Hkinv (G/H)→ Hk

dR (G/H) [α]inv 7→ [α] . (14.9)

Em geral essa aplicação não injetora nem sobrejetora, isto é, as cohomologiasHkinv (G/H)

e HkdR (G/H) podem ser diferentes. Um exemplo típico é o caso do grupo abeliano Rn.

Exemplo: Tome o espaço homogêneo Rn = Rn/0 obtido por translações no grupoabeliano Rn. Se (x1, . . . , xn) é um sistema de coordenadas em Rn então as k-formasdiferenciais se escrevem como

α =∑

aI (x) dxi1 ∧ · · · ∧ dxik

com 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n onde I = (i1, . . . , ik) e aI : Rn → R é diferenciável. Adiferencial exterior em coordenadas é dada por dα =

∑daI ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . Como

as 1-formas dxi são invariantes por translações, segue que α é invariante se, e só se, asfunções aI são constantes. Daí que se α é invariante então dα = 0 e, portanto, duas for-mas invariantes distintas não são cohomologas. Isso significa queHk

inv (Rn) = ∧kinv (Rn),que é não nulo. Por outro lado, sabe-se que se k ≥ 1 então Hk

dR (Rn) se anula2. Por-tanto, Hk

inv (Rn) 6= HkdR (Rn). 2

No entanto, será mostrado a seguir que se G é compacto então a aplicação (14.9) éum isomorfismo de tal forma que Hk

inv (G/H) = HkdR (G/H).

Suponha, a partir de agora, que G é compacto. A razão pela qual o isomorfismo valenesse caso vem da possibilidade de integrar formas diferenciais, em relação à medidade Haar em G, e obter formas diferenciais invariantes por G.Essa integração é feita da seguinte maneira. Seja α uma k-forma diferencial em

G/H. Se g ∈ G então g∗α é uma nova forma diferencial em G/H, cujo valor (g∗α)x emx ∈ G/H é um elemento do espaço cotangente T ∗xG/H. A aplicação g ∈ G 7→ (g∗α)x ∈T ∗xG/H assume valores num espaço vetorial. Faz sentido então tomar a sua integral

(Iα)x =

∫G

(g∗α)x µ (dg)

2Esse fato é conhecido como lema de Poincaré, veja Bott-Tu [4], capítulo 1.


onde µ é a medida de Haar de G. A integral existe pois o integrando é uma funçãocontínua de g e G é compacto. (Se v1, . . . , vk ∈ TxG/H então (g∗α)x (v1, . . . , vk) =αgx (dgx (v1) , . . . , dgx (vk)), que depende continuamente de g pois α e a açãoG×G/H →G são diferenciáveis.)Se x ∈ G/H é fixado então (Iα)x é uma forma alternada em TxG/H, isto é, é um

elemento de ∧kT ∗xG/H, Portanto, x 7→ (Iα)x define uma seção de ∧kT ∗G/H. Essaseção é diferenciável pois se X1, . . . , Xk são campos de vetores diferenciáveis em G/Hentão

Iα (X1, . . . , Xk) (x) =

∫G

αgxdgx (X1 (x)) , . . . , dgx (Xk (x))µ (dg) .

O integrando é uma função diferenciável nas variáveis x e g, portanto a integral édiferenciável como função de x (veja o exercício 28 do capítulo 5).Em suma, Iα é uma k-forma diferencial.

Lema 14.7 Iα é G-invariante.

Demonstração: Se g, h ∈ G e v ∈ TxG/H então

(h∗ (Iα))x (v) = (Iα)hx (dhx (v)) =

∫G

(g∗α)hx (dhx (v))µ (dg) .

O último integrando é o mesmo que

αghx (dghx dhx (v)) = αghx (d (gh)x (v)) = ((gh)∗ α)x (v) .

Daí que

(h∗ (Iα))x (v) =

∫G

(g∗α)x (v)µ (dg) = (Iα)x (v) ,

o que mostra a invariância de Iα. 2

Portanto, α 7→ Iα define uma aplicação no espaço das formas diferenciais cujaimagem é o subespaço das forma invariantes, pois Iα = α se α é invariante. Dadefinição se vê de imediato I é linear. A propriedade de I que permite o seu uso emcohomologia é a comutatividade com a diferencial exterior.

Lema 14.8 I d = d I.

Demonstração: Pelo fato de que g∗d = dg∗ para todo g ∈ G, vale a igualdade

(Idα)x =

∫G

(g∗dα)x µ (dg) =

∫G

(dg∗α)x µ (dg) . (14.10)

O segundo membro é calculado pela fórmula (14.6) que define o produto exterior. SejamX1, . . . , Xk+1 campos de vetores em G/H. Então, o integrando (dg∗α)x é dado porduas somas. Os termos da primeira soma são da forma Xig

∗α(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1).A integral de um termo desses satisfaz∫

G

Xig∗α(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1)µ (dg) = Xi

∫G

g∗α(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1)µ (dg)


pois se f (x, g) é diferenciável então∫Gf (x, g)µ (dg) é diferenciável e

X

∫G

f (x, g)µ (dg) =

∫G

Xf (x, g)µ (dg)

para um campo de vetoresX. Já a segunda soma envolve termos do tipo g∗α([Xi, Xj], X1, . . . , Xk+1),cujas integrais satisfazem∫

G

g∗α([Xi, Xj], X1, . . . , Xk+1)µ (dg) =

(∫G

g∗αµ (dg)

)([Xi, Xj], X1, . . . , Xk+1).

Tomando as somas desses termos se vê que o último membro de (14.10) é a diferencialexterior d (Iα). 2

A partir desse lema pode-se mostrar a injetividade do homomorfismo naturalHkinv (G/H)→

HkdR (G/H).

Proposição 14.9 Se G é compacto então o homomorfismo

[α]inv ∈ Hkinv (G/H) 7→ [α] ∈ Hk

dR (G/H)

é injetor.

Demonstração: Sejam α e β formas diferenciais invariantes fechadas e suponha que[α] = [β]. Então, existe γ tal que α− β = dγ. Aplicando I a essa igualdade se obtém,pelo lema anterior,

α− β = I (α− β) = I (dγ) = d (Iγ)

portanto [α]inv = [β]inv já que Iγ é uma forma diferencial invariante. 2

Para mostrar a sobrejetividade do homomorfismo deve-se encontrar para cada formadiferencial fechada β uma forma invariante fechada α tal que [α] = [β]. A candidata é aforma invariante α = Iβ, que é fechada se β é fechada, pois dα = d (Iβ) = I (dβ) = 0.A sobrejetividade será então verificada assim que se provar que qualquer forma fechadaβ é cohomologa a Iβ. Isso será provado com a hipótese adicional de que G é conexo.Para isso serão usados alguns conceitos e fatos sobre homologia singular de classe

C1. Essa homologia é definida sobre o espaço vetorial real

C =⊕k≥0

Ck

onde Ck é o espaço vetorial gerado sobre R (que é o caso aqui) pelos ciclos de classeC1 de dimensão k em M = G/H. Sendo que um ciclo de dimensão k é uma aplicaçãocontínua σ : ∆k →M onde ∆k é o simplexo de dimensão k definido por

∆k = (x1, . . . , xk) ∈ Rk : xi ≥ 0, x1 + · · ·+ xk ≤ 1.


O ciclo σ é de classe C1 se ele é a restrição de uma aplicação de classe C1, σ : U → Monde U ⊂ Rk+1 é um aberto que contém ∆k+1.3

Em C se define operadores fronteira ∂k : Ck → Ck−1 que satisfazem ∂k ∂k+1 = 0.Essa composta implica que im∂k+1 ⊂ ker ∂k e com isso a homologia singular de M édefinida por

Hk (M) = ker ∂k/im∂k+1.

Dois ciclos σ1 e σ2 de dimensão k são homólogos se existe τ ∈ Ck+1 tal que σ1 − σ2 =∂k+1τ , isto é, se σ1−σ2 ∈ im∂k+1. A classe de homologia de σ ∈ C é denotada por [σ].

Os operadores fronteira ∂k não serão explicitados aqui. Deve-se observar, no en-tanto, que eles são definidos de maneira apropriada de tal forma que vale o teoremade Stokes, que se resume na fórmula∫

σ

dα =

∫∂k+1σ

α. (14.11)

Nessa fórmula α é uma k-forma diferencial e σ : ∆k+1 →M é um (k + 1)-ciclo de classeC1.Antes de prosseguir deve-se observar que os ciclos diferenciáveis, e a correspondente

homologia, são necessários aqui para dar sentido à integral de uma forma diferencialem relação a um ciclo e consequentemente ter acesso ao teorema de Stokes. Para umciclo σ : U → M de classe C1, com ∆k+1 ⊂ U , existe o “pull-back”σ∗α, que é umaforma volume em U ⊂ Rk. A integral da forma diferencial α sobre σ é definida comosendo ∫

σ

β =

∫∆k

fσ,β (x) dx

onde dx é a medida de Lebesgue em Rk e, por fσ,β : ∆k → R é a função definida pelaexpressão

σ∗β = fσ,β (x) dx1 ∧ · · · ∧ dxk, (14.12)

onde dx1 ∧ · · · ∧ dxk é a forma volume de Rk dada pelo sistema de coordenadas(x1, . . . , xk).O teorema de Stokes mostra que se α é uma k-forma diferencial fechada então∫

∂k+1σ

α = 0

para todo ciclo σ de dimensão k + 1. Portanto, se τ 1 e τ 2 são ciclos homólogos dedimensão k então ∫

τ1

α =

∫τ2

α.

3A restrição a ciclos de classe C1 é necessária para aplicar o teorema de Stokes. No artigo clássicode Eilenberg [15] se mostra que numa variedade diferenciável de classe Cr a homologia singular deciclos de classe Cr coincide com a homologia singular de ciclos continuos, como é comumente definidaessa homologia de espaços topológicos.


Por essa igualdade, a integral em relação a α passa ao quociente e define uma aplicaçãolinear Tα : Hk (M)→ R dada por

Tα [σ] =

∫σ

α.

O funcional linear Tα depende, na verdade, só da classe de cohomologia de α. Issoporque se α e β são k-formas fechadas com α − β = dγ e σ é um ciclo de dimensão kentão ∫

σ

(α− β) =

∫σ

dγ =

∫∂kσ

γ

e essa última integral se anula se ∂kσ = 0. A reciproca dessa afirmação é um dosresultados principais da cohomologia de De Rham, que não será demonstrado aqui.

Proposição 14.10 Sejam α e β k-formas diferenciais fechadas. Então, Tα = Tβ se,e só se, α e β são cohomologos.

Antes de concluir a demonstração da sobrejetividade do homomorfismoHkinv (G/H)→

HkdR (G/H) deve-se provar dois lemas.O primeiro deles está relacionado à ação de G na homologia singular Hk (G/H).

Se g ∈ G e σ : ∆k → G/H é um ciclo de classe C1 então gσ = g σ também é umciclo. Via a composta com ciclos g induz uma aplicação linear em C =

⊕k≥0Ck,

também denotada por g. Da teoria de homologia singular sabe-se que g comuta comos operadores ∂k e portanto induz aplicações nos espaços de homologia Hk (G/H),usualmente denotada por g∗ [σ] = [gσ], σ ∈ C.

Lema 14.11 Se G é conexo as aplicações g∗ = id para todo g ∈ G.

Demonstração: Se g ∈ G então existe uma curva gt, t ∈ [0, 1] tal que g0 = 1e g1 = g. Essa curva define uma homotopia entre a aplicação g : G/H → G/H ea aplicação identidade. Mas, aplicações homotópicas induzem a mesma aplicação nahomologia singular. Daí que g∗ = id. 2

Lema 14.12 Se β é uma forma diferencial e σ um ciclo então

fσ,Iβ (x) =

∫G

fσ,g∗β (x)µ (dg)

=

∫G

fgσ,β (x)µ (dg)

onde fσ,α foi definido em (14.12).

Demonstração: Se e1, . . . , ek é a base canônica de Rk então

fσ,Iβ (x) = σ∗ (Iβ)x (e1, . . . , ek) = Iβσ(x) (dσxe1, . . . , dσxek) .


Mas por definição de Iβ, o último termo é dado por∫G

(g∗β)σ(x) (dσxe1, . . . , dσxek)µ (dg) =

∫G

σ∗ (g∗β)σ(x) (e1, . . . , ek)µ (dg)

=

∫G

fσ,g∗β (x)µ (dg)

o que mostra a primeira das igualdades do enunciado. A segunda igualdade segue deque fσ,g∗β (x) = fgσ,β pois σ∗ (g∗β) = (gσ)∗ β. 2

Agora é possível provar que uma forma diferencial β é cohomologa a sua médiaα = Iβ, em relação à medida de Haar em G.

Proposição 14.13 Suponha G compacto e conexo. Dada a forma diferencial β defina,como anteriormente,

Iβ =

∫G

(g∗β)µ (dg) .

Então, β e Iβ são cohomologas.

Demonstração: Pela proposição 14.10 deve-se mostrar que TIβ = Tβ. Se [σ] umaclasse de homologia então por definição

TIβ [σ] =

∫σ

Iβ =

∫∆k

fσ,Iβ (x) dx

Mas, pelo lema 14.12, fσ,Iβ (x) =∫Gfgσ,β (x)µ (dg), daí que

TIβ [σ] =

∫∆k

∫G

fgσ,β (x)µ (dg) dx.

Trocando a ordem de integração, o que é autorizado pelo teorema de Fubini, se obtém

TIβ [σ] =

∫G

(∫∆k

fgσ,β (x) dx

)µ (dg)

=

∫G

(∫gσ

β

)µ (dg)

=

∫G

Tβ [gσ]µ (dg) .

Mas, Tβ [gσ] = Tβ [σ], como foi assegurado no lema 14.11. Portanto,

TIβ [σ] =

∫G

Tβ [σ]µ (dg) = Iβ [σ]

o que conclui a demonstração. 2

Como mencionado anteriormente, o fato de que Iβ ∼ β implica que o homomor-fismo natural Hk

inv (G/H) → HkdR (G/H) é sobrejetor, já que β é a imagem da forma

invariante Iβ. Com issa se conclui a demonstração do seguinte teorema sobre a coho-mologia de De Rham de espaços homogêneos de grupos compactos.


Teorema 14.14 Se G é compacto e conexo então o homomorfismo

[α]inv ∈ Hkinv (G/H) 7→ [α] ∈ Hk

dR (G/H)

é um isomorfismo.

Pela fórmula (14.8) da diferencial exterior das formas invariantes se vê que d :∧km → ∧k+1m depende apenas de propriedades algébricas da álgebra de Lie, assimcomo os espaços de cohomologia Hk

inv (G/H). Em particular, esses espaços são dedimensão finita.O teorema a seguir resume os resultados desta seção, que reduzem a cohomologia

de De Rham de G/H a uma cohomologia algébrica.

Teorema 14.15 Sejam G um grupo compacto e H ⊂ G um subgrupo fechado comálgebras de Lie g e h, respectivamente. Tome um subespaço Ad (H)-invariante m ⊂ gtal que g = h ⊕ m e denote por ∧kinvm as k-formas invariantes por Ad (H). Definadk : ∧kinvm→ ∧k+1

inv m por

dkα(X1, . . . , Xk+1) =∑i<j

(−1)i+jα([Xi, Xj]m, X1, . . . , Xi, . . . , Xj, . . . , Xk+1)

X1, . . . , Xk+1 ∈ m, onde [Xi, Xj]m é a projeção sobre m do colchete [Xi, Xj]. Então,Hk

dR (G/H) é isomorfo a

Hkinv (G/H) = ker dk/ Im dk−1.

Exemplo: Um grupo de Lie G compacto e conexo pode ser visto como espaçohomogêneo ou como G = G/1, com a ação dada por translações à esquerda ouG = G×G/∆G com a ação dada por (g, h)x = gxh−1, onde∆G é a diagonal. O teorema14.14 se aplica a ambos os casos, fornecendo isomorfismos da cohomologia de De Rhamde G, com a cohomologia das formas invariantes à esquerda (para G = G/1) e a dasforma bi-invariantes (para G = G × G/∆). Segue daí que as cohomologias invarianteà esquerda e bi-invariante coincidem.A cohomologia invariante à esquerda é definida sobre as formas alternadas na álge-

bra de Lie g deG, com a diferencial exterior dada por (14.7). Em termos de cohomologiade representações de álgebras de Lie4, essa é a cohomologia da representação trivial deg. Já a cohomologia bi-invariante é definida no subespaço das formas alternadas emg que são fixadas pela representação adjunta, que em geral é menor que o espaço detodas as formas alternadas. 2

Exemplo: Para Sn = SO (n+ 1) /SO (n), n ≥ 2, a representação de isotropia éequivalente à representação canônica de SO (n) em Rn. Essa representação admite as

4Veja [49], capítulo 5.


formas volume invariantes adx1 ∧ · · · ∧ dxn, a ∈ R, pois det g = 1 se g ∈ SO (n). Essassão as únicas formas invariantes não nulas. Para ver isso tome a base ε1, . . . , εn de(Rn)∗ dual da base canônica. Então, uma base do espaço ∧m (Rn)∗ das m-formas emRn é dada por

εI = εi1 ∧ · · · ∧ εimcom I = 1 ≤ i1 < · · · < im ≤ n um multi-índice. A representação de SO (n) édefinida por

g · εI = g · εi1 ∧ · · · ∧ g · εim g ∈ SO (n)

onde g · εi = εi g−1 é a representação dual. A representação infinitesimal é

X · εI =d

dtetXεI =

m∑j=1

X · εij X ∈ so (n)

onde X · εi = −εi X. Um elemento α ∈ ∧m (Rn)∗ é invariante por SO (n) se, e só se,X · α = 0 para todo X ∈ so (n).Tome a matriz Ajk = Ekj−Ejk ∈ so (n) com j < k. Então, Ajk ·εj = εk, Ajk ·εk = εj

e Ajk se anula nos demais elementos da base. Portanto, Ajk · εI = 0 se j, k /∈ I ouse j, k ∈ I. Além do mais, dado um multi-índice I tal que j ∈ I e k /∈ I seja I(jk) omulti-índice obtido de I substituindo j por k, que é colocado na posição correta paramanter a ordem crescente dos índices. Então,

Ajk · εI = (−1)r εI(jk) e Ajk · εI = − (−1)r εI(jk)

onde r é a quantidade de índices i ∈ I tais que j < i < k.Seja agora α =

∑I aIεI tal que X ·α = 0, X ∈ so (n) e tome um multi-índice I. Se

m < n então existem j ∈ I e k /∈ I, de tal forma que

Ajk · α = (−1)r(aIεI(jk) − aI(jk)εI

)+ · · ·

onde · · · é uma combinação linear dos outros elementos da base. Como Ajk · α = 0 seconclui que aI = 0, mostrando que α = 0.Pelo teorema 14.14 se conclui que Hn (Sn) = R e Hm (Sn) = 0 se 1 ≤ m < n.Os mesmos argumentos se aplicam ao espaço projetivo

RP n = SO (n) /±1 ×O (n) .

A representação de isotropia ρ em Rn é dada por ρ (det g, g) = (det g) g. Da mesmamaneira se 1 ≤ m < n então não existem m-formas invariantes e Hm (RP n) = 0 sem < n. Se m = n e det g = −1 então det (−g) = (−1)n det g = (−1)n+1 e as formasvolume são invariantes se, e só se, n é ímpar. Portanto Hn (RP n) = R se n é ímpar etodas as cohomologias de De Rham se anulam se n é par. 2


14.3 Variedades Riemannianas

Uma métrica Riemanniana m (·, ·) na variedade M é invariante pela ação do grupo Gse os elementos do grupo são isometrias da métrica, isto é, se para todo g ∈ G e x ∈Mvale

mgx (dgxu, dgxv) = m (u, v) u, v ∈ TxM.

Nesse caso a conexão de Levi-Civita ∇ e a curvatura R (·, ·) de m são invariantes porg.No caso em que M = G/H é um espaço homogêneo uma métrica invariante é

completamente determinada pelo seu valor mx0 na origem, que é um produto internoem Tx0G/H invariante pela representação de isotropia.Uma condição necessária para a existência do produto interno mx0 é que a imagem

ρ (H) de H pela representação de isotropia ρ seja um subgrupo do grupo ortogonal e,portanto, ρ (H) tem fecho compacto. Essa condição também é suficiente já que nessecaso o fecho de ρ (H) admite um produto interno invariante, o mesmo ocorrendo comρ (H). Em particular, se H é compacto então G/H admite métricas Riemannianasinvariantes.Quando existe produto interno invariante pela representação de isotropia o conjunto

dos mesmos (e, portanto das métricas invariantes em G/H) é descrito por um cone.De fato, como fecho de ρ (H) é compacto existe uma decomposição

Tx0G/H = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs

em subespaços invariantes e irredutíveis por ρ (H) (e, portanto, por ρ (H)), de tal formaque os produtos internos invariantes são somas de produtos internos nas componentesVi, que são parametrizados por Rs+.

Exemplo: Se G é compacto (assim como H) então qualquer espaço homogêneoG/H admite métricas Riemannianas invariantes. A quantidade delas depende dadecomposição da representação de isotropia. Por exemplo, no caso da esfera Sn =SO (n+ 1) /SO (n), a representação de isotropia é irredutível e, portanto, existe es-sencialmente uma única métrica invariante (que é a métrica induzida pela imersãoSn → Rn+1). Por outro lado no exemplo das variedades de “flags”SU (n) /T visto naseção 14.1, existem n(n−1)

2componentes irredutíveis de dimensão 2. Portanto o con-

junto das métricas invariantes é parametrizado pelo cone Rs+, s = n(n−1)2. 2

Exemplo: Qualquer grupo de Lie G admite métricas Riemannianas invariantes àesquerda ou à direita, pois o grupo de isotropia da ação por translações se reduz a 1.Dessa forma qualquer produto interno em T1G dá origem a uma métrica Riemannianainvariante à esquerda e a (eventualmente outra) métrica Riemanniana invariante àdireita.Já seG admite uma métrica bi-invariante então sua álgebra de Lie g é compacta pois

a representação de isotropia em 1 para G = G×G/G é a representação adjunta. Um

14.4. Variedades simpléticas 311

produto interno 〈·, ·〉 em g invariante pela representação adjunta de G é também inva-riante pela representação adjunta de g. A existência desse produto interno significa queg é compacta. Reciprocamente, se g é uma álgebra de Lie compacta e G é conexo entãoo produto interno invariante em g induz uma métrica Riemanniana invariante em G. 2

Exemplo: Uma classe de exemplos de espaços homogêneos não compactos commétricas Riemannianas invariantes são os espaços simétricos não compactos. Seja guma álgebra de Lie semi simples não compacta com decomposição de Cartan g = k⊕s.Seja G o grupo adjunto de g. Como foi demonstrado no capítulo 12 o subgrupoK = 〈exp k〉 e compacto e a exponencial exp : s→ S = exp (s) é um difeomorfismo. Oespaço homogêneo G/K é difeomorfo a S e, portanto a s e admite métricas invariantespois K é compacto. O espaço tangente a G/K na origem se identifia a s. Uma métricanatural emG/K é dada pela restrição da forma de Cartan-Killing a s, que é um produtointerno como foi provado no capítulo 12. Se g é simples então a representação adjuntaem s é irredutível e a métrica invariante é essencialmente única, dada pela forma deCartan-Killing.Um caso particular é quando g = sl (n,R). Nesse caso S é a subvariedade das

matrizes positivas definidas (com determinate 1) e s o espaço das matrizes simétri-cas de traço 0. A forma de Cartan-Killing em s é um múltiplo do produto interno〈X, Y 〉 = tr (XY ). 2

14.4 Variedades simpléticas

Uma forma simplética ω num espaço vetorial V (dimV <∞) é uma forma bilinearanti-simétrica que é não degenerada, isto é, para qualquer x ∈ V existe y ∈ V talque ω (x, y) 6= 0. A seguir são listadas algumas propriedades algébricas de um espaçovetorial com uma forma simplética.

1. A propriedade de que ω é não degenerada é equivalente ao fato de que a aplicaçãolinear ι : V → V ∗, ι (x) (·) = ω (x, ·), é isomorfismo.

2. Dado W ⊂ V seja

W⊥ = y ∈ Rn : ∀x ∈ W,ω (x, y) = 0

o seu ortogonal em relação a ω. Então, W⊥ = ι−1 (W ) onde W é o anuladorde W . Como dimW + dimW = dimV , segue que dimW + dimW⊥ = dimV .

3. Um subespaço W ⊂ V é isotrópico se a restrição de ω a W ×W é identicamentenula, isto é, W é isotrópico se, e só se, W ⊂ W⊥. Existem subespaços isotrópicosnão triviais, pois ω (x, x) = 0 para qualquer x e, portanto, o subespaço geradopor x ∈ V é isotrópico. Além do mais, fórmula da dimensão dimW + dimW⊥ =dimV implica que dimW ≤ dimV/2 se W é subespaço isotrópico.


4. Se W ⊂ V é um subespaço isotrópico tal que dimW < dimV/2 então W estácontido propriamente em W⊥. Daí que se x ∈ W⊥ \W então U = W ⊕〈x〉 é umsubespaço isotrópico com dimU = dimW + 1.

5. Segue do item anterior, por indução, que existe W ⊂ V subespaço isotrópicocom dimW = dimV/2 e, portanto, dimV é par. (Um subespaço isotrópico comdimensão máxima dimV/2 é chamado de subespaço Lagrangeano.)

6. Pode-se escrever ω na seguinte forma canônica: se dimV = 2n então existe umabase B = e1, . . . , en, f1 . . . , fn tal que

ω (ei, fj) = δij ω (ei, ej) = 0 ω (fi, fj) = 0.

A matriz de ω em relação a essa base é dada por

[ω]B = J =

(0 −1n×n

1n×n 0

).

Por essa matriz segue que se dx1, . . . , dxn, dy1, . . . , dyn é a base dual de B então

ω = dx1 ∧ dy1 + · · ·+ dxn ∧ dyn. (14.13)

Uma forma simplética numa variedade diferenciávelM é uma 2-forma diferencialω fechada (dω = 0) e não degenerada, isto é, para todo x ∈ M e v ∈ TxM existew ∈ TxM tal que ωx (v, w) 6= 0. Para cada x ∈ M a forma bilinear ωx é uma formasimplética no espaço vetorial TxM . Portanto, a existência de uma forma simpléticaem M acarreta que dimM é par. Uma variedade M munida de uma forma simpléticaé chamada de variedade simplética. Um dos resultados clássicos sobre variedadessimpléticas é o teorema de Darboux5. Esse teorema garante que localmente ω éequivalente à forma simplética canônica (14.13) num espaço vetorial, no sentido emque para todo x ∈ M existe um sistema de coordenadas (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) aoredor de x tal que a expressão da forma simplética ω nesse sistema de coordenadas é(14.13).Numa variedade simplética (M,ω) as aplicações ιx (v) = ωx (v, ·) definem um iso-

morfismo entre os fibrados tangente TM e cotangente T ∗M . Esse isomorfismo permitedefinir um dos conceitos básicos da geometria simplética, que são os campos Hamilto-nianos.Seja f : M → R uma função diferenciável (Ck, k ≥ 1) com diferencial dfx, x ∈ M .

Então ι−1x dfx é um vetor tangente em x o que permite definir um campo de vetores Xf

em M , que é dado explicitamente por

dfx (·) = ω (Xf (x) , ·) .

O campo Xf é um campo Hamiltoniano em M . A função f é chamada de funçãoHamiltoniana (ou função energia) do campo Xf . Deve-se observar que não se tem

5Veja Abraham-Marsden [1]


unicidade das funções Hamiltonianas pois se f é uma função Hamiltoniana do campoHamiltoniano X e c ∈ R é uma constante então f + c também é uma função Hamilto-niana de X.A seguir são listadas algumas propriedades dos campos Hamiltonianos, que serão

utilizadas posteriormente no estudo de ações de grupos.

1. Seja X um campo Hamiltoniano com fluxo φt. Então, a derivada de Lie LXω =ddt

(φ∗tω)t=0 se anula, o que implica que φ∗tω = ω. De fato, fórmula de Cartanpara a derivada de Lie é dada por

LXω = diXω + iXdω

onde iX denota o produto interior, isto é, iXω é a 1-forma iXω (·) = ω (X, ·).Nessa fórmula o último termo se anula pois dω = 0. Já d (iXω) = d (df) = 0 se fé função Hamiltoniana de X.

2. Reciprocamente, suponha queX é um campo de vetores em (M,ω) tal que LXω =0. Então, pela fórmula de Cartan, se conclui que a 1-forma diferencial iXω éfechada. Se ela for exata então iXω = df e X é campo Hamiltoniano. Isso ocorre,por exemplo, se a cohomologia de De Rham H1

dR (M) = 0. De qualquer forma,M é localmente difeomorfa a Rn e, portanto a forma iXω é localmente exata seela for fechada. Daí que, existem abertos de M tal que as restrições de X a essesabertos são campos Hamiltonianos. Por essa razão um campo de vetores X talque LXω = 0 é denominado de campo localmente Hamiltoniano.

3. Sejam X e Y os campos Hamiltonianos das funções fX e fY , respectivamente.Então seu colchete de Lie [X, Y ] é o campo Hamiltoniano da função ω (X, Y ).A função ω (X, Y ) é chamada de colchete de Poisson das funções fX e fY edenotada por fX , fY . Esse colchete é anti-simétrico e satisfaz a identidade deJacobi.

Seja agora G ×M → M uma ação diferenciável do grupo de Lie G na variedadesimplética (M,ω). Essa é uma ação simplética se os elementos de G preservam ω,isto é, g∗ω = ω para todo g ∈ G. Nesse caso a ação infinitesimal da álgebra de Lieg de G é dada por campos localmente Hamiltonianos. Isso porque se X ∈ g então ofluxo do campo induzido X é a exponencial etX . Daí que LXω = 0 pois

(etX)∗ω = ω.

Reciprocamente, se campos de vetores X, X ∈ g, são localmente Hamiltonianos e Gé conexo então a ação de G é simplética. Uma ação Hamiltoniana é uma açãosimplética em que os campos de vetores X, X ∈ g, são (globalmente) Hamiltonianos.Nem toda ação simplética é Hamiltoniana (veja o exemplo abaixo). No entanto,

vale observar que se G e M são conexos e a ação de G em (M,ω) é simplética entãoessa ação se levanta a uma ação Hamiltoniana nos recobrimentos universais. De fato,sejam p : G → G e π : M → M os recobrimentos universais. Então, pelo teorema deLie-Palais, a ação de G em M se levanta a uma ação de G em M de tal forma queπ g = p (g) π para todo g ∈ G (veja o exercício 27 do capítulo 13). A ação de G


preserva a forma simplética π∗ω em M e, portanto, essa ação é Hamiltoniana pois acohomologia de De Rham de M se anula (veja a proposição 14.10).Seja agora M = G/H um espaço homogêneo. Uma 2-forma invariante ω é com-

pletamente determinada pelo seu valor ω0 na origem x0 de G/H, que é uma formabilinear anti-simétrica em Tx0G/H, invariante pela representação de isotropia, isto é,(dhx0)

∗ ω0 = ω0 para todo h ∈ H. A 2-forma ω é então dada em TxG/H por

ωx =(dg−1

x

)∗ω0

onde g ∈ G é qualquer elemento gx0 = x. Como dg−1x é isomorfismo, se conclui que se

ω0 é não degenerada então cada ωx também é não degenerada. Já a diferencial exteriorde uma forma invariante num espaço homogêneo foi calculada na proposição 14.6. Nocaso de uma 2-forma ela se reduz a

(dω)(X1, X2, X3) = −ω([X1, X2], X3) + ω([X1, X3], X2)− ω([X2, X3], X1), (14.14)

que coincide com a soma cíclica

−(ω([X1, X2], X3) + ω([X2, X3], X1) + ω([X3, X2], X1)

).

Para olhar essa diferencial exterior do ponto de vista da fórmula algébrica (14.8) seja mum subespaço complementar à álgebra de Lie h de H, denote por prm a projeção sobrem em relação à decomposição g = h⊕m e para X, Y ∈ m escreva [X, Y ]m = prm [X, Y ].Então, dω = 0 se, e só se,

ω0([X1, X2]m, X3) + ω0([X2, X3]m, X1) + ω0([X3, X2]m, X1) = 0 (14.15)

para toda terna (X1, X2, X3) de elementos de m.Uma vez feita a escolha do complementar m, uma forma simplética em G/H (se

existe) é dada por uma forma bilinear anti-simétrica e não degenerada ω0 em m quesatisfaz (14.15).Se ω é uma forma simplética invariante em G/H então a ação de G em G/H é

simplética. Essa ação nem sempre é Hamiltoniana, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo: Seja G o toro T 2 = R2/Z2 que age em si mesmo por translações. Aforma simplética canônica ω = dx ∧ dy em R2 (= álgebra de Lie de T 2) define umaforma simplética invariante em T 2 e portanto uma ação simplética. Essa ação não éHamiltoniana. De fato, os campos invariantes são os campos induzidos em T 2 peloscampos constantes a ∂

∂x+ b ∂

∂y, a, b ∈ R, de R2. Esses campos de vetores não são Hamil-

tonianos. Para ver isso tome, por exemplo, o campo de vetores X induzido por ∂/∂x.A 1-forma α = iXω = ω (∂/∂x, ·) restrita ao aberto de T 2 representado pelo quadrado(0, 1)2 ⊂ R2 é dada por dy. Essa 1-forma não é exata, pois se α = df então a função fdeve satisfazer f (x, y) = y + c em (0, 1)2 para alguma constante c. Mas, uma funçãodo tipo y + c não se estende a uma função contínua em T 2, o que mostra que a açãonão é Hamiltoniana. 2


14.4.1 Representação coadjunta

Uma classe fundamental de exemplos de espaços homogêneos com ação Hamiltonianaé dada pelas órbitas da representação co-adjunta Ad∗ de G no dual g∗ da álgebra deLie de g. Essa representação é definida por Ad∗ (g)α = α Ad (g−1), g ∈ G e α ∈ g∗.Sua representação infinitesimal ad∗ : g→ gl (g∗) é dada por ad∗ (X)α = −α ad (X).A representação Ad∗ fornece uma ação de G em g∗ para a qual os campos de vetoresinduzidos X, X ∈ g, são dados por X = ad∗ (X).Para α ∈ g∗ seja G · α = Ad∗ (G)α sua órbita pela representação coadjunta. Essa

órbita se identifica ao espaço homogêneo G/Zα onde Zα é o subgrupo fechado

Zα = g ∈ G : α Ad(g−1)

= α.

A álgebra de Lie zα de Zα é dada por zα = X ∈ g : α ad (X) = 0, isto é,

zα = X ∈ g : ∀Y ∈ g, α [X, Y ] = 0.

O espaço tangente a G · α em α é dado por

Tα (G · α) = ad∗ (X)α : X ∈ g.

A forma simplética de Kirillov-Kostant-Souriaux Ω (abreviada KKS) naórbita coadjunta G · α é definida pela expressão

Ωα

(X (α) , Y (α)

)= α [X, Y ] X, Y ∈ g. (14.16)

Existem duas maneiras equivalentes de interpretar essa expressão como uma formasimplética na órbita coadjunta G · α. A primeira é olhar Ωα como uma forma bilinearanti-simétrica em Tα (G · α), invariante pela representação de isotropia, e com issodefinir uma 2-forma invariante em G · α. A segunda é definir para cada β ∈ G · α aforma Ωβ como em (14.16) e considerar β 7→ Ωβ como uma 2-forma em G · α. Seráprovado abaixo que as duas interpretações fornecem a mesma 2-forma.Olhando Ωα como uma forma bilinear em Tα (G · α) os seguintes itens mostram que

Ωα define uma forma simplética invariante em G · α = G/Zα.

1. Ωα está bem definida. De fato, tome X,X1, Y, Y1 ∈ g tal que X (α) = X1 (α)

e Y (α) = Y1 (α). Essas igualdades significam que α ad (X) = α ad (X1) eα ad (Y ) = α ad (Y1). Portanto,

Ωα

(X1 (α) , Y1 (α)

)= α ad (X1) (Y1) = α ad (X) (Y1)

= −α ad (Y1) (X) = −α ad (Y ) (X)

= Ωα

(X (α) , Y (α)

).

2. Ωα é claramente anti-simétrica.


3. Ωα é não degenerada. De fato, tome 0 6= v ∈ Tα (G · α) e escolha X ∈ g tal quev = X (α). Então, α ad (X) 6= 0, isto é, existe Y ∈ g tal que α [X, Y ] 6= 0. Isso

significa que Ωα

(v, Y (α)

)6= 0, mostrando que Ωα não é degenerada.

4. Ωα é invariante pela representação de isotropia. Se X ∈ g e h ∈ Zα então a

representação de isotropia é dhα(X (α)

)= Ãd (h)X (α). Portanto,

Ωα

(dhα

(X (α)

), dhα

(Y (α)

))= α [Ad (h)X,Ad (h)Y ]

= α Ad (h) [X, Y ] .

Mas, α Ad (h) = α, daí que esse último termo é α [X, Y ] = Ωα

(X (α) , Y (α)

),

mostrando a invariância.

5. A 2-forma Ω em G·α = G/Zα definida por Ωα é fechada. Isso segue da identidadede Jacobi: se X, Y, Z ∈ g então pela proposição 14.6 (veja também (14.14)),

(dΩ)α (X (α) , Y (α) , Z (α)) = −Ωα([X, Y ], Z)− Ωα([Y , Z], X)− Ωα([Z, Y ], X)

= −α ([X, Y ], Z] + [Y, Z], X] + [Z, Y ], X]) = 0.

Com esses itens fica concluída a construção da forma simplética de Kirillov-Kostant-Souriaux Ω numa órbita coadjunta Ad∗ (G)α. Num elemento β = Ad∗ (g)α da órbitaa forma Ω transladada de Ωα é dada por

Ωβ

(X (β) , Y (β)

)= Ωα

(dg−1

β X (β) , dg−1β Y (β)

)= Ωα

(Ãd (g−1)X (α) , Ãd (g−1)Y (α)

)= α

[Ad(g−1)X,Ad

(g−1)Y]

= α Ad(g−1)

[X, Y ] .

Isto é,Ωβ

(X (β) , Y (β)

)= β [X, Y ]

tem a mesma expressão que a usada para definir Ωα.Como consequência da construção de Kirillov-Kostant-Souriaux se conclui que uma

órbita de uma representação coadjunta tem dimensão par.Uma das propriedades essenciais da forma e Kirillov-Kostant-Souriaux Ω é a ação

de G nas órbitas coadjuntas são Hamiltonianas, isto é, os campos induzidos X, X ∈ g,são Hamiltonianos em relação a Ω, como será mostrado a seguir.

Proposição 14.16 Seja O ⊂ g∗ uma órbita coadjunta. Se X ∈ g então o campoX = ad∗ (X) é Hamiltoniano com função Hamiltoniana fX : O → R dada por

fX (α) = α (X) α ∈ O.


Demonstração: Como fX é a restrição de uma aplicação linear, sua diferencial(dfX)α, α ∈ O, coincide com fX , isto é, se Y (α) = ad∗ (Y ) (α), Y ∈ g, é um vetor

tangente então (dfX)α

(Y (α)

)= (ad∗Y (α)) (X). Daí que

(dfX)α

(Y (α)

)= −α ad (Y ) (X)

= α [X, Y ]

= Ωα

(X (α) , Y (α)

)o que mostra que X é o campo Hamiltoniano definido por fX . 2

A seguir serão apresentados alguns exemplos de órbitas coadjuntas e suas formasimpléticas.

Exemplo: Se a álgebra de Lie g deG é semi simples então sua forma de Cartan-KillingK (·, ·) é não degenerada e define um isomorfismo K : g→ g∗ por K (X) (·) = K (X, ·).Esse isomorfismo permuta as representações adjunta e coadjunta, isto é, KAd (g) =Ad∗ (g)K para todo g ∈ G, pois K é invariante por Ad. Portanto, K aplica difeo-morficamente as órbitas adjuntas nas órbitas coadjuntas, o que permite transportara formas simpléticas de Kirillov-Kostant-Souriaux Ω em formas simpléticas K∗Ω nasórbitas adjuntas. A ação de G nas órbitas adjuntas também é Hamiltoniana pois oscampos induzidos X = ad (X) satisfazem Kad (X) = ad∗ (X)K, de onde se vê que Xé o campo Hamiltoniano da “função altura”fX (·) = K (X, ·). Em suma no caso semisimples a representação adjunta se comporta como a representação coadjunta. Essescomentários se estendem a álgebras de Lie que admitem uma forma bilinear invariantenão degenerada, como as álgebras redutíveis. 2

Exemplo: Como exemplo concreto de um grupo semi simples sejam G = Sl (2,R) eg = sl (2,R). Como Ad (g)X = gXg−1, o polinômio detX é constante em cada órbita.Existem três tipos de órbitas: i) as das matrizes nilpotentes contidas no cone duploX : detX = 0, que contém três órbitas, a origem e os dois lados do cone; ii) as dasmatrizes com auto-valores imaginários em que cada órbita é uma folha do hiperbolóidede duas folhas definido por detX = c > 0; iii) os hiperbolóides de uma folha definidospor detX = c < 0.Nas coordendas (x, y, z) em relação à base A,H, S dada por

A =

(0 −11 0

)H =

(1 00 −1

)H =

(0 11 0

)o polinômio detX = x2 − y2 − z2. Assim o cone duplo tem equação x2 = y2 + z2

enquanto que os hiperbolóides tem equação x2 = y2 + z2 = c > 0 (duas folhas nointerior do cone) e x2 = y2 + z2 = c < 0 (uma folha exterior ao cone). 2


Exemplo: Seja g a álgebra de Heisenberg que tem a base X, Y, Z que satisfaz[X, Y ] = Z e os demais colchetes se anulam. Denote por α, β, γ a base dual deX, Y, Z. Então, as órbitas coadjuntas dos elementos xα+ yβ + zγ com z = 0 são dedimensão 0 enquanto que as demais órbitas são de dimensão 2.Já a órbita adjunta de, por exemplo X, tem dimensão 1, já que o centralizador de

X é subálgebra gerada por X,Z. Essa órbita adjunta não admite forma simplética.2

14.4.2 Aplicação momento

Um instrumento útil no estudo de uma ação Hamiltoniana é sua aplicação momento,que permite comparar a ação com a representação coadjunta.Sejam (M,ω) uma variedade simplética, G um grupo de Lie com álgebra de Lie g

e G ×M → M uma ação de G em M . Se supõe aqui que essa ação é Hamiltoniana.Para simplificar a exposição se supõe também que M é conexa.

Definição 14.17 Uma aplicação momento de uma ação Hamiltoniana é uma apli-cação µ : M → g∗ tal que para todo X ∈ g, a função fX (x) = µ (x) (X) é uma funçãoHamiltoniana para X, isto é, dfX = ιXω.

Exemplo: Seja M = Ad∗ (G)α uma órbita coadjunta munida a forma simplética Ω

de KKS. Um campo de vetores X = ad∗ (X), X ∈ g, é Hamiltoniano para a funçãofX (β) = β (X), β ∈ Ad∗ (G)α. Portanto, a ação de G na órbita é Hamiltoniana e umaaplicação momento é µ = id. 2

Para uma ação Hamiltoniana qualquer existem aplicações momento, pois X1, . . . , XNé uma base de g e α1, . . . , αN sua base dual de g∗ então

µ (x) = fX1 (x)α1 + · · ·+ fXN (x)αN

é uma aplicação momento se fX1 ,. . ., fXN são funções Hamiltonianas para os camposinduzidos X1, . . . , XN .Não se tem unicidade, já que se µ é uma aplicação momento e α ∈ g∗ é uma

constante então µ = µ + α também é aplicação momento. Vice-versa, se µ e µ sãoaplicações momento então µ− µ é constante, pois M é conexa. Isto é, no caso conexoo conjunto das aplicações momento é um espaço afim, cujo espaço vetorial associado ég∗.A seguir a questão principal que será discutida é a de decidir se as aplicações

momento (ou algumas delas) são equivariantes em relação à ação de G em M e arepresentação coadjunta, isto é, se vale a igualdade

µ (gx) = Ad∗ (g)µ (x)


para todo g ∈ G e x ∈ M . Em geral pode não existir uma aplicação momentoque seja equivariante em relação a Ad∗. As que admitem são chamadas de açõesHamiltonianas equivariantes.Antes de entrar na análise da existência de aplicações momento Ad∗-equivariantes

será demonstrada a seguinte propriedade de homomorfismo dessas aplicações.

Proposição 14.18 Suponha que µ é uma aplicação momento Ad∗-equivariante. En-tão, dados x ∈M e X, Y ∈ g, vale

µ (x) [X, Y ] = ωx

(X, Y

)= fX , fY (x)

onde ·, · é o colchete de Poisson e fX (x) = µ (x) (X). Essa igualdade significa quea aplicação µ : X 7→ fX é um homomorfismo entre g e o espaço das funções munidocom o colchete de Poisson.

Demonstração: Por equivariância

dµx

(X (x)

)=

d

dtµ(etX)t=0

=d

dtAd∗

(etX)µ (x)t=0

= ad∗ (X)µ (x) = −µ (x) ad (X) .

Por outro lado, dado Y ∈ g a função fY (x) = µ (x) (Y ) é Hamiltoniana para Y .Derivando o segundo membro dessa igualdade em relação a x, por linearidade, vale

dµx

(X (x)

)(Y ) = (dfY )x

(X (x)

)= −ωx

(X, Y

).

Comparando esses dois cálculos de dµx(X (x)

)com a segunda, segue que−µ (x) [X, Y ] =

−ωx(X, Y

). 2

Conforme mencionado acima uma aplicação momento não é, em geralAd∗-equivariante.O que vale sempre é que dada uma aplicação momento µ existe uma representação afimde G em g∗, cuja representação linear subjacente é Ad∗, tal que µ é equivariante paraessa representação afim.Uma representação afim de um grupo G num espaço vetorial V é um homomor-

fismo A : G → Af (V ), a valores no grupo afim de V . Como Af (V ) = Gl (V ) × V , arepresentação A se escreve como A (g) = (ρ (g) , v (g)), g ∈ G, com ρ : G → Gl (V ) ev : G→ V . A propriedade de homomorfismo de A se se traduz em

(ρ (gh) , v (gh)) = α (gh) = (ρ (g) , v (g)) (ρ (h) , v (h))

= (ρ (g) ρ (h) , ρ (g) v (h) + v (g)) .

Portanto, ρ é uma representação linear de G e v deve satisfazer a igualdade

v (gh) = ρ (g) v (h) + v (g) . (14.17)

Vice-versa, se ρ : G→ Gl (V ) é uma representação linear e v : G→ V satisfaz (14.17)então A (g) = (ρ (g) , v (g)) é uma representação afim.Para definir a representação afim, que torna uma aplicação momento equivariante,

são necessários alguns resultados preliminares.


Lema 14.19 Dada uma ação simplética de G em (M,ω), suponha que fX é funçãoHamiltoniana para o campo de vetores X. Então, fX g é função Hamiltoniana paraÃd (g−1)X.

Demonstração: Se v ∈ TxM então d (fX g)x (v) = d (fX)gx dgx (v) e daí que

d (fX g)x (v) = ω(X (gx) , dgx (v)

)= (g∗ω)x

(Ãd (g−1)X (x) , v

).

Como g∗ω = ω, segue que d (fX g)x (v) = ωx

(v, Ãd (g−1)X (x)

), isto é, fX g é

função hamiltoniana para Ãd (g−1)X. 2

Proposição 14.20 Seja µ uma aplicação momento para a ação Hamiltoniana de Gem M . Então, dado g ∈ G a expressão

µ (gx)− Ad∗ (g)µ (x)

é constante como função de x ∈M .

Demonstração: Se X ∈ g então a função fX (x) = µ (x) (X) é Hamiltoniana paraX. Portanto,

Ad∗ (g)µ (x) (X) = µ (x)(Ad(g−1)X)

é Hamiltoniana para Ãd (g−1)X.

Por outro lado, pelo lema acima fX g também é Hamiltoniana Ãd (g−1)X. Por-tanto, as funções de x ∈ M , fX g (x) = µ (gx) (X) e Ad∗ (g)µ (x) (X) diferem poruma constante (pela hipótese de que M é conexa). Isto é, (µ (gx)− Ad∗ (g)µ (x)) (X)é constante como função de x ∈ M para todo X ∈ g, o que garante que µ (gx) −Ad∗ (g)µ (x) ∈ g∗ não depende de x ∈M . 2

Para g ∈ G a constante

cµ (g) = µ (gx)− Ad∗ (g)µ (x) (14.18)

garantida pela proposição define uma aplicação cµ : G→ g∗. A seguir será provado queessa aplicação satisfaz a propriedade (14.17) da parte vetorial de uma representaçãoafim, cuja representação linear é Ad∗.

Proposição 14.21 Dada uma ação Hamiltoniana seja µ uma aplicação momento edefina cµ : G→ g∗ como em (14.18) (para qualquer x ∈M). Então,

cµ (gh) = Ad∗ (g) cµ (h) + cµ (g) .


Demonstração: Pela definição de cµ, vale

cµ (gh) = µ (ghx)− Ad∗ (gh)µ (x)

= µ (g (hx))− Ad∗ (g)µ (hx) + Ad∗ (g)µ (hx)− Ad∗ (gh)µ (x) .

O primeiro e o segundo termos dão µ (g (hx)) − Ad∗ (g)µ (hx) = cµ (g). Já o terceiroe o quarto se juntam em

Ad∗ (g)µ (hx)− Ad∗ (gh)µ (x) = Ad∗ (g) (µ (hx)− Ad∗ (h)µ (x))

= Ad∗ (g) cµ (h) .

Segue que cµ (gh) = cµ (g) + Ad∗ (g) cµ (h) o que prova a proposição. 2

Como cµ satisfaz (14.17) para ρ = Ad∗, ela define a seguinte representação afim.

Corolário 14.22 Dada a aplicação momento µ : M → g∗ defina Aµ : G → Af (g∗)por

Aµ (g) = (Ad∗ (g) , cµ (g)) .

Então, Aµ é uma representação afim.

Uma outra consequência, que segue quase que imediatamente da definição de cµ, éa seguinte equivariância de µ.

Corolário 14.23 Com as notações anteriores, a aplicação momento µ : M → g∗ éequivariante em relação a Aµ, isto é,

µ (gx) = Aµ (g)µ (x) x ∈M, g ∈ G.

Demonstração: A definição da representação afim diz queAµ (g)µ (x) = Ad∗ (g)µ (x)+cµ (g) que coincide com µ (gx) pois cµ (g) = µ (gx)− Ad∗ (g)µ (x). 2

Por esse corolário se vê que a aplicação momento µ é equivariante em relação a Ad∗

se, e só se, cµ = 0. Esta observação é o ponto de partida para investigar a existênciade aplicação momento Ad∗-equivariante.De fato, seja µ = µ + α com α ∈ g∗ uma outra aplicação momento. Então, a

definição de cµ mostra que

cµ (g) = cµ (g) + α− Ad∗ (g)α. (14.19)

Dessa igualdade se obtém de imediato o seguinte critério para a existência de umaaplicação momento Ad∗-equivariante.

Proposição 14.24 Tome uma aplicação momento µ para a ação Hamiltoniana deG em M . Então, a condição necessária e suficiente para que exista uma aplicaçãomomento equivariante em relação a Ad∗ é que exista α ∈ g∗ tal que

cµ (g) = Ad∗ (g)α− α. (14.20)


Essa condição admite duas interpretações complementares entre si, uma em termosde equivalência de representações afins e outra via cohomologia de representações degrupos, que serão descritas a seguir.

• Representações afins equivalentes: Duas representações afins A1, A2 : G →Af (V ) são equivalentes se existe T ∈ Af (V ) tal que

A1 (g) = TA2 (g)T−1

para todo g ∈ G. Se A1 (g) = (ρ1 (g) , v1 (g)), A2 (g) = (ρ2 (g) , v2 (g)) e T =(P,w) então a equivalência se traduz em ρ1 (g) = Pρ2 (g)P−1 e

v1 (g) = −Pρ2 (g)P−1w + Pv2 (g) + w.

Suponha ρ1 = ρ2 = ρ e que a transformação T que realiza a equivalência sejaT = (id, w). Então,

v1 (g) = −ρ (g)w + v2 (g) + w,

isto é,v1 (g)− v2 (g) = w − ρ (g)w.

Dito isso, sejam Aµ = (Ad∗, cµ) e Aµ = (Ad∗, cµ) as representações afins definidaspelas aplicações momento µ e µ = µ+α. Conforme foi verificado acima, cµ (g)−cµ (g) = α − Ad∗ (g)α, o que significa que as representações afins Aµ e Aµ sãoequivalentes por T = (id, α).

Já a igualdade (14.20) é satisfeita se, e só se, Aµ é equivalente à representaçãolinear (Ad∗, 0). Nesse caso existe uma aplicação momento Ad∗-equivariante.

• Cohomologia de representações grupos: Seja G um grupo e ρ : G →Gl (V ) uma representação de G no espaço vetorial V . Defina os espaços F 0 =F 0 (G, V ) = V e para q ≥ 1, F q = F q (G, V ) é o conjunto das aplicaçõesc : Gq → V . As aplicações lineares δq : F q → F q+1, q ≥ 0, são definidaspor δ0v (g) = v − ρ (g) v e

δqc (g1, . . . , gq+1) = ρ (g1) c (g2, . . . , gq+1) +

q−1∑i=1

(−1)i c (g1, . . . , gigi+1, . . . , gq+1)

+ (−1)q+1 c (g1, . . . , gq)

se q ≥ 1 satisfaz δq+1 δq = 0. A q-ésima cohomologia da representação édefinida por

Hq (ρ) =ker δqimδq−1

.

Os elementos de ker δq são chamados de cociclos e os de imδq de cofronteiras.

Quando q = 1,δ1c (g, h) = ρ (g) c (h)− c (gh) + c (g) .


Portanto, c : G→ V é um 1-cociclo se, e só se,

c (gh) = ρ (g) c (h) + c (g) .

A propriedade de cµ dada na proposição 14.21 diz que cµ é um 1-cociclo para arepresentação Ad∗. Já a relação entre cµ e cµ de (14.19) diz que

cµ (g)− cµ (g) = α− Ad∗ (g)α = δ0α

para a representação Ad∗.

Portanto, o critério da proposição 14.24 se traduz na afirmação de que existe umaaplicação momento Ad∗-equivariante se, e só se, o 1-cociclo cµ é cohomologo a 0.Em particular, essa existência é assegurada se Hq (Ad∗) = 0.

Essas duas interpretações da condição da proposição 14.24 fornece os seguintescritérios para saber se existe uma aplicação momento Ad∗-equivariante.

Proposição 14.25 Seja µ : M → g∗ uma aplicação momento da ação Hamiltoni-ana G × M → M . Então, a existência de uma aplicação momento µ, que é Ad∗-equivariante, é equivalente a cada uma das afirmações a seguir.

1. A representação afim Aµ = (Ad∗, cµ) é equivalente à representação linear (Ad∗, 0).

2. O cociclo cµ é cohomologo a 0.

Em relação à unicidade das aplicações momento Ad∗-equivariantes, a igualdadecµ (g) = cµ (g) + α − Ad∗ (g)α se µ = µ + α, diz que µ e µ são equivariantes se, e sóse, Ad∗ (g)α = α. Portanto, se o conjunto das aplicações momento Ad∗-equivariantesé não vazio esse conjunto é um espaço afim, cujo espaço vetorial associado é

α ∈ g∗ : ∀g ∈ G, Ad∗ (g)α = α.

Os critérios estabelecidos na proposição acima para a existência de aplicações mo-mento Ad∗-equivariantes serão aplicados a seguir para ações Hamiltonianas de certosgrupos. Em primeiro lugar, para um grupo compacto G o critério cohomologico seaplica devido ao seguinte fato sobre a 1-cohomologia de uma representação arbitráriade G.

Lema 14.26 Sejam G um grupo topológico compacto Hausdorff e ρ : G→ Gl (V ) umarepresentação contínua de dimensão finita. Suponha que c : G → V é um 1-cociclocontínuo para ρ. Então, c é uma cofronteira.

Demonstração: Integrando ambos os membros da propriedade de cociclo c (gh) =ρ (g) c (h) + c (g) se obtém∫

c (gh) ν (dh) =

∫ρ (g) c (h) ν (dh) + c (g)


onde ν é a medida de Haar em G normalizada por ν (G) = 1. No primeiro membropode-se retirar g pois ν é invariante à esquerda. Já ρ (g) sai fora da integral do segundomembro por linearidade. Portanto,∫

c (h) ν (dh) = ρ (g)

(∫c (h) ν (dh)

)+ c (g) . (14.21)

Escrevendo w =∫c (h) ν (dh) ∈ V , isso mostra que

c (g) = w − ρ (g)w = (δ0w) (g) ,

isto é, c é uma cofronteira. 2

Esse lema significa que a 1-cohomologia para cociclos contínuos de um grupo com-pacto, para qualquer representação linear é trivial.

Proposição 14.27 Seja G um grupo compacto. Então, uma ação Hamiltoniana deG admite uma aplicação momento µ : M → g∗ que é Ad∗-equivariante. Se G é semisimples então essa aplicação momento é única.

Demonstração: A existência segue do lema anterior e do critério cohomologico es-tabelecido acima. A unicidade no caso semi simples vem do fato que se α ∈ g∗ étal que Ad∗ (g)α = α para todo g ∈ G então α = 0. De fato, tome X ∈ g tal queα (·) = K (X, ·) onde K é a forma de Cartan-Killing. Então, Ad (g)X = X para todog ∈ G, o que implica que X ∈ z (g) = 0. 2

Esse resultado vale também para os grupos semi simples, mesmo os não compactos.

Proposição 14.28 Seja G um grupo conexo semi simples. Então, uma ação Hamil-toniana de G admite uma única aplicação momento Ad∗-equivariante.

Demonstração: Dada uma aplicação momento µ seja Aµ = (Ad∗, cµ) sua represen-tação afim e denote por Bµ : g → af (g∗) a representação infinitesimal, que é dadapor Bµ =

(ad∗, (dcµ)1

). Mas, a 1-cohomologia de uma álgebra de Lie semi simples é

trivial6. Daí que Bµ é equivalente à representação linear (ad∗, 0). Isso implica que Aµé equivalente a (Ad∗, 0) e, portanto, existe uma aplicação momento equivariante. 2

Até o momento foram consideradas ações Hamiltonianas não necessariamente tran-sitivas. O caso transitivo apresenta propriedades próximas das órbitas coadjuntas.Seja M = G/H um espaço homogêneo com forma simplética invariante ω tal

que a ação de G é Hamiltoniana. Suponha que µ seja uma aplicação momento Ad∗-equivariante. Se x0 é a origem deG/H e x = gx0 então µ (x) = µ (gx0) = Ad∗ (g)µ (x0),o que mostra que a imagem de µ é a órbita coadjunta Ad∗ (G)µ (x0). Essa órbita podeser munida da forma simplética Ω de Kirillov-Kostant-Souriaux.

6Veja o capítulo 5 de álgebras de Lie [49].


Proposição 14.29 Se a ação de G em G/H é Hamiltoniana em relação à formasimplética invariante ω e µ é uma aplicação momento Ad∗-equivariante então µ∗Ω = ω.

Demonstração: Para x ∈ G/H e X ∈ g vale µ(etXx

)= Ad∗

(etX)µ (x). Derivando

essa igualdade em relação a t em t = 0, se obtém

dµx

(X (x)

)= ad∗ (X)µ (x) .

Portanto,

Ωµ(x)

(dµx

(X), dµx

(Y))

= Ωµ(x) (ad∗ (X)µ (x) , ad∗ (X)µ (x))

= µ (x) [X, Y ],

pela definição de Ω. Pela proposição 14.18 o último termo coincide com ωx

(X, Y

)o

que mostra que µ∗Ω = ω. 2

Tomando ainda uma ação Hamiltoniana em G/H com aplicação momento µ que éAd∗-equivariante sejam x0 a origem de G/H e

Zµ(x0) = g ∈ G : Ad∗ (g)µ (x0) = µ (x0)

o grupo de isotropia em µ (x0) de tal forma que Ad∗ (G)µ (x0) = G/Zµ(x0). Como µ éequivariante, H ⊂ Zµ(x0) pois se gx0 = x0 então Ad∗ (g)µ (x0) = µ (gx0) = µ (x0). Emtermos dos espaços homogêneos Ad∗ (G)µ (x0) = G/Zµ(x0) e M = G/H a aplicaçãomomento µ passa a ser a projeção canônica, G/H → G/Zµ(x0) que à classe lateral gHassocia a classe lateral gZµ(x0). Isso implica que µ é uma submersão. Em particular,dimG/Zµ(x0) ≤ dimM .Na verdade, as dimensões são iguais. Isso porque, pela proposição anterior µ∗Ω = ω.

Daí que para qualquer produto exterior Ωk∧ = Ω ∧ · · · ∧ Ω vale µ∗Ωk∧ = (−1)k ωk∧.Em particular, se dimM = 2k então ωk∧ 6= 0 e não é possível ter dimG/Zµ(x0) < 2k,pois essa desigualdade implica Ωk∧ = 0, isto é, 0 = µ∗Ωk∧ = (−1)k ωk∧.O fato de que dimG/Zµ(x0) = dimG/H e H ⊂ Zµ(x0) implica que as álgebras de

Lie de H e Zµ(x0) coincidem e, portanto são iguais a

zµ(x0) = X ∈ g : ad∗ (X)µ (x0) = 0.

Além do mais, a projeção canônica G/H → G/Zµ(x0) é uma aplicação de recobrimento.Portanto, µ é uma aplicação de recobrimento e M é um recobrimento da órbita coad-junta Ad∗ (G)µ (x0). Em suma, as ações Hamiltonianas Ad∗-equivariantes em espaçoshomogêneos não diferem muito das órbitas coadjuntas.Para concluir essa seção serão considerados dois exemplos clássicos em geometria

simplética.

Exemplo: (Grupos abelianos) Se G é um grupo abeliano conexo então G =Tm ×Rn. A álgebra de Lie é Rm+n assim como o seu dual. As representações adjuntae coadjunta são triviais Ad (g) = Ad∗ (g) = id, g ∈ G.


Uma aplicação c : G → g∗ = Rm+n satisfaz a propriedade de cociclo se, e só se,c (gh) = c (g) + c (h). Escrevendo g ∈ G como g = (x, y) ∈ Tm × Rn, pode-se definirc1 (x) = c (x, 0) e c2 (y) = c (0, y), de tal forma que c (x, y) = c1 (x) + c2 (y). Então c1

é um cociclo no toro Tm que é compacto e abeliano. Portanto, c1 = 0 (veja (14.21)).Daí que qualquer cociclo c se escreve como

c (x, y) = c2 (y)

onde c2 é uma aplicação linear c2 : Rn → Rn+m.A única cofronteira é 0 pois δ0w = w − Ad∗ (g)w = w − w = 0. Portanto, a

1-cohomologia de G é o espaço das aplicações lineares Rn → Rn+m.Seja agora uma ação Hamiltoniana G ×M → M . Todas as aplicações momento

para essa ação dão o mesmo cociclo, pois dois cociclos são cohomólogos se, e só se, elescoincidem. Em particular, se uma aplicação momento é Ad∗-equivariante então todassão equivariantes. Nesse caso, µ (gx) = Ad∗ (g)µ (x) = µ (x), isto é, µ é constante nasórbitas de G.O caso Ad∗-equivariante é aquele em que as funções Hamiltonianas comutam em

relação ao colchete de Poisson. De fato, como na proposição 14.18, seja µ (X) (·) =µ (·) (X). Quando µ é Ad∗-equivariante então µ (X) , µ (Y ) = µ[X, Y ] = 0. Issosignifica que existe uma escolha de função hamiltoniana µ (X), X ∈ g, tal que essasfunções comutam na álgebra do colchete de Poisson. (Em geral, µ (X) , µ (Y ) éfunção hamiltoniana para [X, Y ] = [X, Y ] = 0 e isso permite concluir µ (X) , µ (Y )é constante, mas não necessariamente nula.)As órbitas de G em M são ao mesmo tempo subvariedades imersas e espaços

homogêneos G/H. Como G é abeliano, G/H também é grupo abeliano e , como G, éo produto de um toro por um espaço euclidiano. Quando a ação é Ad∗-equivariante osespaços tangentes às órbitas

Tx (Gx) = X (x) ∈ TxM : X ∈ g

são subespaços isotrópicos, já que Isso porque ω(X (x) , Y (x)

)= µ (X) , µ (Y ) (x) =

0.O que se denomina classicamente de sistema completamente integrável é um campo

Hamiltoniano X numa variedade M de dimensão 2n, com função integrável f , tal queexistem funções g1, . . . , gn−1 tais gi, f = gi, gj = 0. Os campos Hamiltonianosassociados a essas funções geram uma álgebra de Lie abeliana de dimensão n. Se oscampos são completos então, pelo teorema de Lie-Palais, os seus fluxos definem umaação Hamiltoniana de Rn em M , que é Ad∗-equivariante. 2

Exemplo: (Fibrados cotangentes)7 O fibrado cotangente π : T ∗M → M admiteum forma simplética canônica ω = dλ onde λ é a forma de Liouville definida por

7Veja Abraham-Marsden [1]


λα (v) = α (π∗v) para α ∈ T ∗M e v ∈ TαT ∗M . Um difeomorfismo φ de M se levanta aum difeomorfismo φ# de T ∗M por

φ# (α) =(dφ−1

x

)∗α = α dφ−1

x

onde x = π (α). Da mesma forma um campo de vetores X em M se levanta a umcampo de vetores X# em TM cujo fluxo é φ#

t onde φt é o fluxo de X.O campo levantado X# é Hamiltoniano para a função fX : T ∗M 7→ R dada por

fX (α) = α (X (x)) se x = π (α).Uma ação do grupo de Lie G em M se levanta a uma ação em T ∗M por g · α =

(dg−1x )∗α = α dg−1

x se x = π (α) e g ∈ G, cuja ação infinitesimal associa X ∈ g aocampo de vetores X#, levantamento de X.Uma aplicação momento da ação de G em T ∗M é dada por µ (α) (X) = α

(X (x)

)se α ∈ T ∗M , X ∈ g e x = π (α). Essa aplicação momento é Ad∗-equivariante, pois sex = π (α) então

µ (g · α) (X) = α(dg−1

x X (gx))

= α(˜Ad (g)X (x)

)= µ (α) (Ad (g)X)

= Ad∗ (g) (µ (α)) (X) .

2

14.5 Exercícios

1. Mostre que G/H é orientável se, e só se, a representação de isotropia satisfazdet dhx0 > 0 para todo h ∈ H.

2. Dada uma variedade M com estrutura complexa J sejam X,X1, Y e Y1 camposde vetores tais que X (x) = X1 (x) e Y (x) = Y1 (x). Mostre que NJ (X, Y ) =NJ (X1, Y1) onde NJ é o tensor de Nijenhuis, como definido em (14.1).

3. Seja g uma álgebra de Lie com colchete [·, ·]. Dada uma uma estrutura complexaJ : g→ g defina um novo colchete [·, ·]J por

[X, Y ]J =1

2([X, Y ]− [JX, JY ]) .

Verifique que [·, ·]J é anti-simétrico e mostre que [·, ·]J satisfaz a identidade deJacobi se, e só se, o tensor de Newlander-Nirenberg NJ correspondente a J seanula (isto é, J define uma estrutura complexa invariante — unilateral — nosgrupos de Lie com álgebra de Lie g).

4. Com as notações do exercício anterior dê exemplo de uma álgebra de Lie g nãoabeliana e um estrutura complexa J tal que [·, ·]J ≡ 0.


5. Mostre que a expressão (14.1) que define o tensor de Nijenhuis tem, de fato, umcomportamento tensorial, isto é, é linear (sobre R) em X e Y .

6. Seja G um grupo conexo cuja álgebra de Lie g é semi simples. Mostre que G nãoadmite 1-formas diferenciais bi-invariantes.

7. Mostre que se α uma k-forma diferencial em G/H e σ : ∆k → G/H é um k-ciclode classe C1 então, para g ∈ G vale∫

gσ

α =

∫σ

g∗α.

8. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Denote por ω a forma de Maurer-Cartan obtida por translações à direita. Mostre que ω é invariante à direita. Tomeuma base X1, . . . , Xn de g e sejam ckij suas constantes de estrutura, definidas por[Xi, Xj] =

∑k c

kijXk. Escreva

ω (·) = ω1 (·)X1 + · · ·+ ωn (·)Xn

em que cada ωi (·) é uma 1-forma a valores reais. Mostre que dωk = −∑

k ckijω

i∧ωj.

Parte V

Apêndices

329

Apêndice A

Campos de vetores e colchetes deLie

Um campo de vetores numa variedade diferenciável M é uma aplicação X : M →TM que satisfaz X (x) ∈ TxM para x ∈M .O campo X induz a equação diferencial ordinária em M dada por

dx

dt= X (x) . (A.1)

Se X é diferenciável então para todo x0 ∈ M existe uma única solução maximal comcondição inicial x (0) = x0. Essa solução é denotada por t 7→ Xt (x0). O seu domíniode definição é um intervalo (α, ω) ⊂ R que contém 0.Fixando t ∈ R, a aplicação Xt : x 7→ Xt (x) é um difeomorfismo local de M no

sentido em que o domínio domXt de Xt é um aberto deM e Xt : domXt → Xt (domXt)é um difeomorfismo. O domínio domXt é o conjunto dos elementos deM , cuja soluçãomaximal se estende até t, isto é, o seu intervalo de definição (α, ω) contém t. O campoé dito completo se domXt = M para todo t ∈ R. De forma equivalente, X é completose todas as soluções maximais estão definidas em R = (−∞,+∞).O conjunto de difeomorfismos locais Xt, t ∈ R, é denominado defluxo do campo de

vetores. A menos de restrição de domínios, o fluxo satisfaz a propriedade de homomor-fismo: Xt+s = XtXs, isto é, se Xs (x) e Xt (Xs (x)) estão definidos então Xt+s (x) estádefinido e vale a igualdadeXt+s (x) = Xt (Xs (x)). Isto se deve à unicidade das soluçõesde (A.1), com condições iniciais dadas. É claro que domXt+s = Xs (domXs) ∩ domXt.Em particular, os elementos do fluxo comutam entre si: Xt Xs = Xs Xt e X−t =(Xt)

−1.Em suma, Xt satisfaz as seguintes propriedades que o caracterizam:

1. X0 = id.

2.d

dtXt (x) = X (Xt (x)).

3. Xt+s = Xt Xs = Xs Xt.

331

332 Apêndice A. Campos de vetores e colchetes de Lie

O campo X é obtido do seu fluxo pela segunda das igualdades acima. Muitas vezesX é denominado de gerador infinitesimal de seu fluxo.Seja φ : M → N uma aplicação diferenciável. Os campos de vetoresX emM e Y em

N são ditos φ-relacionados se dφ aplica X em Y , isto é, se dφx (X (x)) = Y (φ (x))para qualquer x ∈ M . Nesse caso a imagem por φ de uma trajetória de X é umatrajetória de Y . Em termos dos fluxos isso significa que

φ Xt = Yt φ.

Dado um campo X emM nem sempre existe um campo em N que é φ-relacionadocom X. Por exemplo, se φ não é injetora e φ (x) = φ (y) com dφx (X (x)) 6= dφy (X (y))então não pode existir um campo φ-relacionado com X.No entanto, se φ : M → N é um difeomorfismo e X é um campo emM então existe

um único campo em N , denotado por φ∗X, que é φ-relacionado com X. Esse campo édefinido por

(φ∗X) (y) = dφφ−1(y)

(X(φ−1 (y)

)).

Definição A.1 Sejam X e Y dois campos de vetores. O colchete de Lie entre elesé definido por

[X, Y ] (x) =d

dt

(d (X−t)Xt(x) (Y (Xt (x)))

)|t=0

. (A.2)

O colchete de Lie preserva campos φ-relacionados.

Proposição A.2 Sejam φ : M → N uma aplicação diferenciável e X1, X2 campos emM . Suponha que os campos Y1 e Y2 sejam φ-relacionados com X1 e X2, respectiva-mente. Então, que os campos [X1, X2] e [Y1, Y2] também são φ-relacionados.

Demonstração: Segue direto da definição de colchete de Lie juntamente com a regrada cadeia e a igualdade φ Xt = Yt φ se X e Y são φ-relacionados. 2

Em particular, se φ é um difeomorfismo então

φ∗[X, Y ] = [φ∗X,φ∗Y ]. (A.3)

As propriedades do colchete de Lie são obtidas a partir de sua expressão em coor-denadas locais a ser deduzida abaixo.Seja U um aberto de Rn. Um campo de vetores X em U se identifica a uma

aplicação Ck, X : U ⊂ Rn → Rn. O teorema da dependencia diferenciável das soluçõesde uma equação diferencial ordinária garante que o fluxo Xt de um campo X de classeCk é de classe Ck. Em particular, existe a diferencial d (Xt)x se x está no domínio deXt. Essa diferencial satisfaz uma equação diferencial linear, chamada normalmente deequação adjunta, que será deduzida a seguir.

Lema A.3d

dt(d (Xt)x)|t=0 = d (X)x.

333

Demonstração: Dado v ∈ Rn, considere a aplicação

β (t, s) = Xt (x+ sv)

cujo domínio é uma vizinhança da origem em R2. A diferencial d (Xt) é dada peladerivada parcial

∂β

ds(t, 0) = d (Xt)x (v) .

Portanto,d

dt(d (Xt)x)|t=0 =

∂2β

∂t∂s(0, 0) =

∂2β

∂s∂t(0, 0) .

Mas,∂β

dt(0, s) = X (x+ sv). Derivando esta igualdade em relação a s, chega-se à

fórmula do lema. 2

A fórmula para derivada de t 7→ d (Xt)x num t arbitrário é obtida facilmente apartir da derivada em t = 0. De fato,

d

dt(d (Xt)x) =

d

ds(d (Xt+s)x)|s=0 =

d

ds

(d (Xs)Xt(x) d (Xt)x

)|s=0

.

Portanto, o lema acima implica na seguinte igualdade.

Proposição A.4d

dt(d (Xt)x) = d (X)Xt(x) d (Xt)x.

Esta fórmula significa que a curva t 7→ d (Xt)x satisfaz a equação diferencial

dg

dt= d (X)Xt(x) g

no espaço das transformações lineares de Rn. Esta equação diferencial é linear e seuscoeficientes não são constantes, a menos que Xt (x) = x para todo t, isto é, x é umsingularidade do campo X.

Proposição A.5 Seja X : U ⊂ Rn → Rn um campo de vetores diferenciável definidono aberto U ⊂ Rn. Então, para todo x ∈ U vale

[X, Y ] (x) = dYx (X (x))− dXx (Y (x)) . (A.4)

Demonstração: A expressão (X−t)Xt(x) (Y (Xt (x))) que aparece na definição docolchete de Lie é vista em coordenadas locais como um produto de uma matriz n× npor uma matriz n × 1. Sua derivada em t = 0 é obtida pela fórmula da derivada deum produto que é dada por dois termos

d

dt

(d (X−t)Xt(x)

)|t=0

(Y (x)) +d

dt(Y (Xt (x)))|t=0 . (A.5)


O segunda derivada é dYx (X (x)). Para obter a primeira derivada deve-se derivar oproduto matrizes (em t = 0) d (X−t)Xt(x) d (Xt)x = id, que fornece

d

dt

(d (X−t)Xt(x)

)|t=0

+d

dt(d (Xt)x)|t=0 = 0.

Portanto, pelo lema A.3,

d

dt

(d (X−t)Xt(x)

)|t=0

= − d

dt(d (Xt)x)|t=0

= −dXx.

Portanto, o primeiro termo de (A.5) fica sendo −dXx (Y (x)). Juntando isso com osegundo membro dYx (X (x)), se conclui que [X, Y ] (x) = dYx (X (x)) − dXx (Y (x)),como enunciado. 2

Da expressão em coordenadas locais segue que se os campos de vetores X e Y sãode classe Ck então [X, Y ] é um campo de vetores de classe Ck−1. A partir da fórmulaem coordenadas locais se obtém também as seguintes propriedades do colchete de Lie:

1. Bilinearidade sobre R: Se X, Y e Z são campos de vetores e a ∈ R então

[aX + Y, Z] = a[X,Z] + [Y, Z].

2. Anti-simetria: [X, Y ] = −[Y,X].

3. Identidade de Jacobi: [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]].

Em particular, o espaço vetorial dos campos de vetores de classe C∞ forma umaálgebra de Lie, quando munido do colchete de Lie de campos de vetores. A fórmula(.A.3) mostra que a aplicação X 7→ φ∗X é um homomorfismo da álgebra de Lie doscampos de vetores.Usando ainda a expressão do colchete de Lie em coordenadas locais segue que se

X, Y são campos de vetores em M e f : M → R é uma função diferenciável então[X, Y ]f = X (Y f) − Y (Xf), onde Xf significa a derivada direcional de f na direçãode X, isto é, Xf (x) = dfx (X (x)).Deve-se observar que o colchete de Lie [X, Y ] (x) depende dos valores de X e Y nas

vizinhanças de x e não apenas dos valores em x (veja as fórmulas a seguir). De fato,ao multiplicar os campos por funções f : M → R o colchete não fica multiplicado porf , mas satisfaz a seguinte igualdade

[X, fY ] = f [X, Y ] + (Xf)Y.

Isso significa que o colchete de Lie não tem um comportamento tensorial.A proposição a seguir fornece uma interpretação analítica do colchete de Lie, como

primeiro termo na expansão de Taylor do comutador dos fluxos dos campos de vetores.

335

Proposição A.6 Sejam X, Y : U → Rn campos de vetores diferenciáveis definidos noaberto U ⊂ Rn. Fixe x ∈ U e considere a curva

α (t) = Xt Yt X−t Y−t (x)

definida em um intervalo aberto de 0 ∈ R. Então, α′ (0) = 0 e α′′ (0) = 2[Y,X] (x).

Demonstração: O cálculo da derivada primeira de α depende apenas da definiçãode Xt: defina as curvas α1 (t) = Yt X−t Y−t (x) e α2 (t) = X−t Y−t (x). Então,

α′ (t) = X (α (t)) + d (Xt)α1(t) (Y (α1 (t)))

−d (Xt)α1(t) d (Yt)α2(t) (X (α2 (t)))

−d (Xt Yt X−t)Y−t(x) (Y (Y−t (x))) .

Avaliando em t = 0, segue que α′ (0) = 0. O cálculo da derivada segunda envolve aproposição anterior. Derivando cada um dos termos de α′ (t) e avaliando em t = 0,obtém-se:

1. dXx (α′ (0)) = 0.

2.d

dt(d (Xt)x) (Y (x))|t=0 + 0 + d (Y )x (α′1 (0)).

3. − d

dt(d (Xt)x) (X (x))|t=0 −

d

dt(d (Yt)x) (X (x))|t=0 − d (X)x (α′2 (0))

4. − d

dt(d (Xt)x) (Y (x))|t=0 −

d

dt(d (Yt)x) (Y (x))|t=0

+d

dt(d (Xt)x) (Y (x))|t=0 + d (Y )x ((Y (x)).

Da mesma forma são calculadas as derivadas:

α′1 (0) = Y (x)−X (x)− Y (x) = −X (x) α′2 (0) = −X (x)− Y (x) .

Usando esses valores e o lema acima, o segundo termo fica

d (X)x (Y (x))− d (Y )x (X (x)) .

Já o terceiro termo é dado por

−d (X)x (X (x))− d (Y )x (X (x)) + d (X)x (X (x)) + d (X)x (Y (x)) .

Enquanto que quarto termo é

−d (X)x (Y (x))− d (Y )x (Y (x)) + d (X)x (Y (x)) + d (Y )x (Y (x)) .

Somando esses três termos chega-se, por fim, ao resultado desejado

α′′ (0) = 2 (d (X)x (Y (x))− d (Y )x (X (x))) = 2[Y,X] (x) .

2

Por fim, vale o seguinte critério para a comutatividade dos fluxos dos campos devetores em termos dos colchetes de Lie.


Proposição A.7 Sejam X e Y campos de vetores em M . Então, as seguintes afir-mações são equivalentes:

1. X e Y comutam, isto é, [X, Y ] = 0.

2. (Xt)∗ Y = Y para todo t.

3. (Yt)∗X = X para todo t.

4. Xt Ys = Ys Xt para todo s, t.

Demonstração: Suponha que [X, Y ] = 0, tome x ∈ M e considere a curva α (t) =d (X−t)Xt(x) (Y (Xt (x))) ∈ TxM . Deve-se mostrar que α é constante igual a α (0) =Y (x), pois isso implica que Y (Xt (x)) = d (Xt)x (Y (x)) que é o mesmo que (Xt)∗ Y =Y , pois x é arbitrário. Evidentemente α′ (0) = [X, Y ] (x) = 0 pela definição do colchete

de Lie. Para os outros valores de t, vale α′ (t) =d

dsα (t+ s)|s=0 e

d

dsα (t+ s)|s=0 = d (X−t)Xt(x)

d

ds

(d (X−s)X−s(Xt(x)) Y (Xs (Xt (x)))

)= d (X−t)Xt(x) [X, Y ] (Xt (x))

= 0.

Portanto, α′ (t) = 0, mostrando que (Xt)∗ Y = Y . A mesma demonstração garante que(Yt)∗X = X, já que o colchete de Lie é anti-simétrico.Assuma que (Xt)∗ Y = Y . Então, as imagens por Xt das trajetórias de Y também

são trajetórias de Y , isto é, Xt Ys = Ys Xt. Por fim, se os fluxos de X e Y comu-tam então o comutador de Xt e Yt é constante. A proposição A.6 garante então que[X, Y ] = 0. 2

A.1 Exercícios

1. Um campo de vetoresX num aberto de Rn pode ser escrito em coordenadas como

X =∑i

ai∂

∂xi

onde ∂∂xi

são os campos constantes na direção das coordenadas. Usando essanotação, mostre que se X =

∑i a

i ∂∂xi

e Y =∑

i bi ∂∂xi

então

[X, Y ] =∑i,j

(ai∂bj

∂xi− bi∂a

j

∂xi

)∂

∂xj.

A.1. Exercícios 337

2. Dado um campo de vetores X na variedade M , suponha que x ∈ M seja umasingularidade de x, isto é, X (x) = 0. Mostre que se Y1 e Y2 são campos de vetoresentão [X, Y1] (x) = [X, Y2] (x) se Y1 (x) = Y2 (x). Conclua que é possível definir,sem ambiguidade, a aplicação linear dX : TxM → TxM por dx (v) = [X, Y ] (x),onde Y é um campo de vetores tal que Y (x) = v.

Verifique que se M é um aberto de Rn então dX se identifica a −dXx, com ocampo visto como uma aplicação X : M → Rn.

3. Um campo de vetores linear em Rn é definido por XA (x) = Ax onde A é umamatriz n× n. Mostre que [XA, XB] = XBA−AB. Use isso para mostrar que se asmatrizes A e B comutam então

∑k≥0

1

k!(A+B)k =

(∑k≥0

1

k!Ak

)(∑k≥0

1

k!Bk

).

4. Na variedade unidimensional S1, parametrizada pelo ângulo θ, considere os cam-pos de vetores X (θ) = cos θ d

dθe Y (θ) = senθ d

dθ. Mostre que a subálgebra de Lie

de campos de vetores gerada por X e Y tem dimensão 3 e é isomorfa a sl (2,R).

Apêndice B

Integrabilidade de distribuições

B.1 Imersões e subvariedades

Sejam V e M variedades diferenciáveis. Uma imersão f : V → M é uma aplicaçãodiferenciável tal que para todo x ∈ V , dfx é injetora. Quando f é uma imersãoinjetora o conjunto L = f (V ) é chamado de subvariedade imersa deM . Nesse casoa aplicação V → f (V ) é bijetora, o que permite transferir a estrutura diferenciável de Va f (V ), denominada de estrutura diferenciável intrínseca. A topologia subjacentea essa estrutura diferenciável é chamada de topologia intrínseca da subvariedade.Outra topologia natural na subvariedade imersa f (V ) ⊂M é a topologia induzida,

como subconjunto de M . Como a imersão f é uma aplicação contínua, todo abertoda topologia induzida é um aberto intrínseco. Porém, em geral, as duas topologiassão diferentes (veja exemplos abaixo). Quando as topologias coincidem a subvariedadeimersa é chamada de subvariedade regular ou subvariedade mergulhada. Nessecaso a imersão é chamada de mergulho ou imersão regular.A seguinte proposição apresenta uma caracterização bem conhecida das subvar-

iedades mergulhadas.

Proposição B.1 Um subconjunto N ⊂ M é uma subvariedade mergulhada se, e sóse, a seguinte condição é satisfeita: para todo x ∈ N existem i) uma vizinhança Wde x em M ; ii) vizinhanças da origem V ⊂ Rk e U ⊂ Rp e iii) um difeomorfismoψ : V × U → W tal que ψ (V × 0) = W ∩N .

No estudo da integrabilidade de distribuições é necessário considerar uma classede imersões mais ampla que os mergulhos. Essa classe é formada pelas subvariedadesimersas quase-regulares, que são definidas a seguir.

Definição B.2 Uma subvariedade imersa L = f (V ) é dita quase-regular (ou quase-mergulhada) se a seguinte condição for satisfeita:

• Seja N um espaço topológico localmente conexo e φ : N → M uma aplicaçãocontínua. Suponha que φ assume valores em L. Então, φ : N → L é contínuaem relação à topologia intrínseca.

339

340 Apêndice B. Integrabilidade de distribuições

Se uma aplicação contínua φ : N → M assume valores em L então φ : N → L écontínua em relação à topologia induzida. Em particular, se essa topologia coincidecom a topologia intrínseca então a condição de quase-regularidade é satisfeita. Emoutras palavras, toda subvariedade mergulhada é quase-regular.Os seguintes exemplos ajudam a esclarecer o conceito de subvariedade quase-regular.

Exemplos:

1. A imersão φ : (0,+∞)→ R2 dada por

φ (t) =

(cos (t− π/2) , sen (t− π/2)) se 0 < t ≤ 2π(t− 2π,−1) se t ≥ 2π

&%'$

-V

é injetora, de classe C1, e não é quase-regular. De fato, seja ψ : (−ε, ε)→ R2 comε > 0 suficientemente pequeno definida por ψ (t) = (cos (t− π/2) , sen (t− π/2)).Então ψ é contínua a valores em R2, mas não é contínua na topologia intrínseca.De fato, se V é o aberto (da topologia intrínseca) indicado na figura então ψ−1 (V )é um intervalo do tipo (−δ, 0] que não aberto em (−ε, ε).

2. Considere o toro bi-dimensional T2 = R2/Z2, com a projeção canônica π : R2 →T2. Se r é uma reta parametrizada em R2 sua projeção π (r) é uma subvariedadeimersa de T2. Em particular, as retas passando pela origem rα = t (1, α) : t ∈ Rdefinem imersões π (rα) → T2. Se α é racional então π (rα) é uma curva fechadaem T2 e a imersão correspondente é um mergulho. Já se α é irracional π (rα)é denso em T2. Nesse caso a imersão não é um mergulho, pois, por exemplo,um intervalo do tipo t (1, α) : t ∈ (−ε, ε) é um aberto intrínseco mas não natopologia induzida.

No entanto, as imersões π (rα), são quase-regulares. Para ver isso tome φ : N →T2 contínua com φ (N) ⊂ π (rα) e N localmente conexo. A continuidade de φ natopologia intrínseca é uma questão local. Tomando restrições de φ a vizinhançasde N pode-se assumir que φ (N) está contido num retângulo aberto do tipo

R = π(t− αs, αt+ s) : t ∈ I1, s ∈ I2= π (I1 · (1, α) + I2 · (−α, 1))

com I1 e I2 intervalos abertos de R. Se I1 e I2 são suficientemente pequenos aaplicação

(t, s) ∈ I1 × I2 7→ π (t (1, α) + s (−α, 1)) ∈ T2

B.1. Imersões e subvariedades 341

é um homeomorfismo. Portanto, a projeção p2 sobre a reta gerada por (−α, 1)está bem definida em R. Esta projeção é uma aplicação contínua. Daí que p2 φé uma aplicação contínua a valores no intervalo I2 (−α, 1). Porém, a intersecçãode π (rα) com o retângulo R tem no máximo uma quantidade enumerável decomponentes conexas. Cada componente conexa é da forma

(π (rα) ∩ πI2 (−α, 1)) + π (I1 (1, α)) .

Isso significa que p2 φ assume valores num conjunto enumerável. Como essaaplicação é contínua, ela deve ser constante. Portanto, φ (N) ∩ R está contidonum intervalo do tipo I1 (1, α) + (−αs0, s0). Sendo assim, seja A ⊂ R um abertointrínseco. Então, φ−1 (A) = φ−1 (B) onde B é um aberto de T2, garantindo queφ é contínua em relação à topologia intrínseca.

2

A propriedade de continuidade que aparece na definição de subvariedade quase-regular se estende à diferenciabilidade em relação à estrutura diferenciável intrínsecada subvariedade, como mostra o resultado a seguir.

Proposição B.3 Seja L uma subvariedade quase-regular e N uma variedade diferen-ciável conexa. Se uma aplicação diferenciável φ : N → M assume valores em L entãoela é diferenciável em relação à estrutura diferenciável intrínseca de L.

Demonstração: Tome y ∈ N e escreva x = φ (y) ∈ L. Pela forma local das imersõesexiste uma vizinhança intrínseca U de x ∈ L de tal forma que a inclusão de U em M éequivalente à inclusão canônica de uma vizinhança V da origem em Rk na vizinhançaV ×W da origem em Rk × Rl.Como L é quase-regular φ−1 (U) é um aberto de N que contém y. Então, a restrição

de φ a φ−1 (U) é equivalente a uma aplicação z 7→ (f (z) , g (z)) ∈ V ×W , que assumevalores em V × 0, isto é, tal que g (z) = 0. Então, z 7→ f (z) ∈ V é equivalenteà restrição de φ a φ−1 (U) com V difeomorfo a U , em relação à topologia intrínseca.Como f é diferenciável, segue que φ é diferenciável. 2

Corolário B.4 Na situação do lema acima, se φ : N →M é imersão então φ : N → Ltambém é imersão. Em particular, se dimN = dimL então φ é um difeomorfismo local.

Demonstração: Uma vez que φ : N → L é diferenciável, a imagem de sua diferencialestá contida no espaço tangente a L e portanto φ : N → L é imersão. 2

Corolário B.5 Se L é subvariedade quase-regular com dimL = k então o conjuntopressuposto por L admite uma única estrutura de subvariedade imersa de dimensão k.

Demonstração: Aplique o corolário acima à identidade id de L. 2


B.2 Distribuições características e teorema de Frobe-nius

Seja M uma variedade diferenciável. Uma distribuição ∆ em M é uma aplicaçãoque a cada x ∈ M associa um subespaço ∆ (x) ⊂ TxM , do espaço tangente a x. Adistribuição ∆ é regular, ou não singular, se dim ∆ (x) é constante como função de xe singular caso contrário. A dimensão constante de ∆ (x) no caso de uma distribuiçãoregular é chamada de dimensão da distribuição.Uma subvariedade integral de ∆ é uma imersão φ : N →M tal que1

∀x ∈ N, φ∗ (TxN) = ∆ (φ (x)) .

Definição B.6 Uma distribuição ∆ em M é dita integrável em x ∈M se existe umavariedade integral de ∆ contendo x. A distribuição é integrável se for integrável emtodo x ∈M .

Um campo de vetores local emM é um campo de vetores definido num subconjuntoaberto U ⊂ M , isto é, uma aplicação X : U → TM tal que X (x) ∈ TxM , para todox ∈ U .Um campo local X em M é tangente a ∆ se X (x) ∈ ∆ (x) para x no domínio de

X.

Definição B.7 Uma distribuição ∆ em M é diferenciável em x ∈ M se existemcampos de vetores diferenciáveis X1, . . . , Xk definidos em uma vizinhança de x que são

1. tangentes a ∆.

2. X1 (x) , . . . , Xk (x) gera ∆ (x).

Uma distribuição é diferenciável se o for em todo x ∈ M . O conjunto de camposX1, . . . , Xk é chamado de parametrização de ∆, centrada em x.

Em geral uma parametrização X1, . . . , Xk, centrada em x, pode não gerar a dis-tribuição nos pontos y 6= x. No entanto, se a distribuição é regular isso acontece numavizinhança de x pois se X1 (x) , . . . , Xm (x) são linearmente independentes entãoX1 (y) , . . . , Xm (y) também são linearmente independentes numa vizinhança de x.(Isso pode ser verificado localmente tomando campos num aberto de Rn, n = dimM .A matriz n× k cujas colunas são as coordenadas dos campos X1, . . . , Xk tem posto mem x. Pela continuidade do determinante essa matriz tem posto m numa vizinhançade x. Veja o lema B.13 abaixo.)Um conceito central no estudo da integrabilidade é o de distribuição característica,

definida a seguir.

1Estão sendo consideradas aqui apenas variedades integrais com a mesma dimensão que a dis-tribuição. De forma mais geral, uma variedade integral é tal que seus espaços tangentes estão contidosna distribuição.

B.2. Distribuições características e teorema de Frobenius 343

Definição B.8 Seja M uma variedade e ∆ uma distribuição em M .

1. Um campo de vetores X definido num aberto U ⊂ M preserva a distribuição ∆se

Xt∗ (∆ (x)) ⊂ ∆ (Xt (x)) (B.1)

para todo x ∈ U e t ∈ R tal que Xt (x) está definido. Nesse caso se diz que adistribuição é invariante por X. (O subíndice ∗ significa diferencial.)

2. Um campo de vetores X : U → TM é característico da distribuição ∆ se Xpreserva ∆ e é tangente a ∆, isto é, X (y) ∈ ∆ (y) para todo y no domínio de X.

3. Uma distribuição ∆ é característica em x ∈M se ela admite uma parametrizaçãopor campos característicos, centrada em x. Isto é, existem campos característicosX1, . . . , Xk definidos numa vizinhança de x tal que

∆ (x) = gerX1 (x) , . . . , Xk (x).

A distribuição é característica se o for em todos os pontos de M .

Convém observar que a inclusão em (B.1) é, na verdade, uma igualdade poisX−t∗ (∆ (Xt (x))) ⊂ ∆ (x).Uma vez estabelecidos esses conceitos é possível enunciar e demonstrar o seguinte

critério de integrabilidade de distribuições.

Teorema B.9 Para uma distribuição ∆ são equivalentes:

1. ∆ é característica.

2. ∆ é diferenciável e integrável.

Demonstração: Suponha ∆ característica. Então ∆ é diferenciável por definição.Falta portanto mostrar que ∆ é integrável, isto é, que todo x ∈ M está contido emuma variedade integral.Fixe x ∈ M . Como ∆ é característica em x, existem campos característicos

X1, . . . , Xk, definidos numa vizinhança de x e linearmente independentes em x talque

∆ (x) = gerX1 (x) , . . . , Xk (x).Para alguma vizinhança U da origem em Rk, a expressão

ρ (τ) = ρ (t1, . . . , tk) = X1t1 · · · Xk

tk(x)

com τ = (t1, . . . , tk) ∈ U faz sentido e define uma aplicação diferenciável ρ : U →M .A construção da variedade integral será feita mostrando que ρ é uma imersão quando

restrita a alguma vizinhança V ⊂ U . Para isso deve-se calcular a imagem da diferencial

dρτ de ρ em τ . Essa imagem é gerada pelas derivadas parciais∂ρ

∂ti(τ) na direção das


diferentes coordenadas ti. Usando o fato de que a derivada em relação a t de Xt (x) éX (Xt (x)), a derivada parcial fica sendo

∂ρ

∂ti(τ) = X1

t1∗ · · · Xi−1ti−1∗

(X i (zi)

)(B.2)

onde zi = X iti · · · Xk

tk(x). Avaliando essa expressão em τ = 0, se obtém

∂ρ

∂ti(0) = X i (x) .

Como a imagem de dρ0 é gerada por essas derivadas parciais, isso mostra que essa im-agem coincide com∆ (x) e daí que ρ tem posto máximo na origem. Consequentemente,a restrição de ρ a alguma vizinhança V da origem é uma imersão.Essa restrição é uma subvariedade integral de ∆. Para ver isso observe em primeiro

lugar queX1t1∗ · · · X

ktk∗ (∆) = ∆

pois cada X i é um campo característico e portanto preserva ∆. Isso juntamente coma expressão das derivadas parciais de ρ em (B.2) e o fato de que X i (zi) ∈ ∆ (zi) (pois

X i é tangente), permite concluir que se τ ∈ U então∂ρ

∂ti(τ) ∈ ∆ (ρ (τ)) e daí que a

im (dρτ ) ⊂ ∆ (ρ (τ)). Essa inclusão é na verdade uma igualdade se τ ∈ V pois x eρ (τ) são respectivamente o ponto inicial e final de uma curva que é a concatenação detrajetórias de campos característicos de ∆. Como a dimensão de ∆ não varia ao longodas trajetórias dos campos característicos, dim ∆ (ρ (τ)) = dim ∆ (x) e esta coincidecom dim (im (dρτ )) pois ρ é uma imersão em V . Com isso fica concluída a demonstraçãode que ∆ é integrável.A recíproca é consequência do lema B.17 abaixo que garante que uma distribuição

integrável é invariante por seus campos tangentes. Dessa forma se ∆ é diferenciável eintegrável então os campos de suas parametrizações são automaticamente característi-cos, o mesmo ocorrendo com a distribuição. 2

O teorema de Frobenius fornece uma condição suficiente para que uma distribuiçãoregular diferenciável seja integrável. Essa condição é expressa em termos de involutivi-dade de acordo com a seguinte definição.

Definição B.10 Uma distribuição ∆ é chamada involutiva se a seguinte condiçãofor satisfeita:

• Sejam X : U → TM e Y : V → TM campos locais com U ∩ V 6= ∅ e tais queX e Y sejam tangentes a ∆. Então, [X, Y ] : U ∩ V → TM é um campo localtangente a ∆.

Com esses conceitos é possível enunciar o teorema de Frobenius.

Teorema B.11 Seja ∆ uma distribuição diferenciável e regular. Suponha que ∆ éinvolutiva. Então, ∆ é integrável.

B.2. Distribuições características e teorema de Frobenius 345

A demonstração do teorema de Frobenius consiste em mostrar que uma distribuiçãoregular e involutiva é característica. Para isso são usados os seguintes resultados.

Lema B.12 Sejam U ⊂ Rn um aberto e A uma aplicação diferenciável definida em Ue a valores no espaço das matrizes m × k com k ≤ m. Suponha que o posto de A (y)seja k para todo y ∈ U e sejam a : U → Rk e b : U → Rm aplicações tais que b édiferenciável e

A (y) a (y) = b (y)

para todo y ∈ U . Então, a também é diferenciável.

Demonstração: Tome y0 ∈ U . O fato de que o posto de A (y0) é k permite que fazeruma permutação nas linhas de A de tal forma que

A =

(B (y)C (y)

)com B (y) matriz k× k e detB (y0) 6= 0. Escrevendo A dessa forma, a continuidade dedetB (y) garante B (y) é inversível para y em alguma vizinhança U1 de y0. A inversaB (y)−1 é diferenciável pois ela é da forma (1/ detB (y))Q (B (y)) com Q um polinômionas entradas de B (y). Por outro lado, para todo y ∈ U1,

a (y) =(B (y)−1 0

)( B (y)C (y)

)a (y) =

(B (y)−1 0

)b (y)

e portanto a é diferenciável em U1. Como y0 é arbitrário, isso mostra a diferenciabili-dade de a. 2

Lema B.13 Sejam Z e Y 1, . . . , Y k campos diferenciáveis no aberto U ⊂ Rn tais que

Z (y) =

k∑j=1

aj (y)Y j (y) .

Suponha que Y 1 (y0) , . . . , Y k (y0) é linearmente independente em y0 ∈ U . Então oscoeficientes aj são diferenciáveis em alguma vizinhança de y0.

Demonstração: Seja A (y), y ∈ U , a matriz n × k cuja j-ésima coluna é formadapelas coordenadas de Y j. Visto como transformação linear de Rk em Rn, A (y) é dadapor

A (y) (u1, . . . , uk) = u1Y1 (y) + · · ·+ ukY

k (y)

portanto se b (y) é a matriz coluna das coordenadas de Z e a a matriz coluna cujasentradas são os coeficientes aj então A (y) a (y) = b (y). Como os campos Y j são linear-mente independentes em y0, A (y0) é de posto k o mesmo ocorrendo com A (y) numavizinhança de y0 pela continuidade do determinante. O lema anterior mostra então quea é diferenciável nessa vizinhança de y0. 2


Teorema B.14 Sejam ∆ uma distribuição característica e U um aberto de M . Supo-nha que existam campos de vetores X e Y 1, . . . , Y k, definidos em U tais que

1. X e Y j, j = 1, . . . , k, são tangentes a ∆ e

2. Y 1 (x) , . . . , Y k (x) gera ∆ (x) para todo x ∈ U .Tome x ∈ U e seja J um intervalo tal que se t ∈ J então Xt (x) ∈ U . Então,

∆ (Xt (x)) = Xt∗∆ (x) (B.3)

para todo t ∈ J .

Demonstração: A inclusão em (B.3) é equivalente a

X−t∗∆ (Xt (x)) = ∆ (x) .

Para verificar essa inclusão, defina as funções vi a valores em TxM por

vi (t) = (X−t)∗(Y i (Xt (x))

), i = 1, . . . , k.

É suficiente mostrar que vi (t) ∈ ∆ (x), t ∈ J . Para isso, no entanto, é suficientemostrar que para todo funcional linear λ : TxM → R tal que ∆ (x) ⊂ kerλ vale

λ (vi (t)) = 0 t ∈ J.

De fato, isso mostra que vi está na interseção dos núcleos dos funcionais lineares quese anulam em ∆ (x). Essa intersecção é exatamente ∆ (x). Tomando um funcional λque se anula em ∆ (x), defina

wi (t) = λ (vi (t)) w = (w1, . . . , wk) .

Pela definição de colchete de dois campos de vetores (veja a demonstração da proposiçãoA.7),

v′i (t) = X−t∗([X, Y i] (Xt (x))

).

Porém, pelo lema B.13 e pelo fato que a distribuição é involutiva, pode-se escrever

[X, Y j] (y) =

k∑j=1

bij (y)Y j (y)

com bij funções diferenciáveis em U . Escrevendo aij (t) = bij (Xt (x)), obtém-se

v′i (t) = X−t∗

(k∑j=1

aij (t)Y j (Xt (x))

)=

k∑j=1

aij (t) vj (t) .

B.3. Unicidade e variedades integrais maximais 347

Como λ é linear w′i (t) = λ (v′i (t)). Portanto w satisfaz a equação diferencial

w′i (t) =k∑j=1

aij (t)wj (t) .

Esta é uma equação diferencial linear em que os coeficientes são contínuos e, portanto,admite uma única solução condição inicial w (0) dada. Essa solução é definida em todointervalo J . Porém, wi (0) = 0 pois vi (0) = Y i (x) ∈ ∆ (x). Daí que wi (t) = 0 paratodo t ∈ J o que conclui a demonstração. 2

Com esses lemas preparatórios a demonstração do teorema de Frobenius se obtémfacilmente.

Demonstração do Teorema de Frobenius: Dado x ∈M , tome campos Y 1, . . . , Y k

definidos numa vizinhança U de x tal que Y 1 (y) , . . . , Y k (y) é uma base de ∆ (y)para todo y ∈ U . Pelo lema B.13 e pelo teorema B.14 os campos Y 1, . . . , Y k são carac-terísticos para ∆. Isso mostra que uma distribuição regular e involutiva é característicae, portanto, integrável. 2

Em geral, para aplicar o teorema de Frobenius não é necessário verificar a condiçãode involutividade para todos os campos tangentes à distribuição. De fato, a seguinteconsequência do lema B.13 mostra que para verificar a involutividade de uma dis-tribuição ∆ basta calcular colchetes em bases de ∆.

Corolário B.15 Seja ∆ uma distribuição regular em M e suponha que para todo x ∈M existam campos de vetores X1, . . . , Xk tangentes a ∆, definidos numa vizinhança dex tais que X1 (x) , . . . , Xk (x) gera ∆ (x) e os colchetes [Xi, Xj] são tangentes a ∆.Então, ∆ é integrável.

Demonstração: De fato, se os campos geram ∆ em x então eles geram ∆ numavizinhança de x, o que garante que ∆ é diferenciável. Além do mais, pelo lema B.13 seY e Z são campos tangentes a∆ então nas vizinhanças de x, Y =

∑aiXi e Z =

∑biXi

com os coeficientes diferenciáveis. Portanto,

[Y, Z] =∑i,j

aibj[Xi, Xj] +∑i,j

(Xibj −Xiaj)Xj

o que mostra que ∆ é involutiva. 2

B.3 Unicidade e variedades integrais maximais

Os teoremas de integrabilidade demonstrados acima, em particular o teorema de Frobe-nius, são teoremas de existência e têm caráter local. Resultados de caráter global, assim


como a unicidade de variedades integrais são obtidos, com bastante generalidade, poruma aplicação do lema de Zorn, que permite estender variedades integrais.Nesse sentido um papel central é desempenhado pelo conceito de variedade inte-

gral maximal, que é uma subvariedade integral conexa L de ∆, que não está contidapropriamente em nenhuma subvariedade integral conexa. Abaixo será demonstradaa existência de variedades integrais maximais para distribuições características. Paraisso serão utilizados alguns lemas.

Lema B.16 Seja N →M uma imersão e suponha que o campo X deM seja tangentea N , isto é, X (x) ∈ TxN para todo x ∈ N .Então para todo x ∈ N existem uma vizinhança V ⊂ N de x e ε > 0 tal que se

y ∈ V então Xt (y) ∈ N para |t| < ε. Além do mais Xt : V → N , |t| < ε, é umdifeomorfismo sobre um aberto de N .

Demonstração: Devido à forma local das imersões, pode-se supor sem perda degeneralidade queM é um produto V ×W ⊂ Rk×Rl com V eW vizinhanças da origeme que N = V ×0. Nessa situação, tome uma vizinhança da origem V1×W1 ⊂ V ×We ε > 0 suficientemente pequeno de tal forma que Xt (V1 ×W1) ⊂ V ×W .O fato de X ser tangente a N permite definir, por restrição, um campo X de

V × 0. Uma trajetória α de X satisfaz

α′ (t) = X (α (t)) = X (α (t))

e portanto é também uma trajetória de X. O teorema de unicidade das soluçõesdas equações diferenciais garante então que as trajetórias de X iniciadas em V × 0permanecem em V × 0.Dessa forma, se |t| < ε, Xt (V1 × 0) ⊂ V × 0, o que mostra o lema. 2

Lema B.17 Suponha que ∆ seja uma distribuição integrável e seja X um campo tan-gente a ∆. Então, X preserva ∆.

Demonstração: Seja U o domínio de X e tome y ∈ U e L uma variedade integralde ∆ passando por y. Pelo lema anterior existem ε > 0 e V ⊂ L∩U (dependendo de ye L) tal que Xs é um difeomorfismo de V sobre um aberto de L para |s| < ε. PortantoXs aplica espaços tangentes a L sobre seus espaços tangentes, isto é,

Xs∗∆ (z) = ∆ (Xs (z))

para z ∈ V . Em particular, essa igualdade vale para z = y e |s| < ε.Seja agora x ∈ domXt. Suponha t > 0 e defina

m = sups ∈ [0, t] : ∀σ ∈ [0, s], Xσ∗ (∆ (x)) ⊂ ∆ (Xσ (x)).

Aplicando a primeira parte da demonstração a y = Xm (x), se verifica que m = t,mostrando o lema. 2

B.3. Unicidade e variedades integrais maximais 349

Lema B.18 Sejam ∆ uma distribuição característica e N1 e N2 variedades integraisde ∆. Então, N1 ∩N2 é uma subvariedade aberta tanto de N1 quanto de N2.

Demonstração: Assuma N1∩N2 6= ∅ e tome x ∈ N1∩N2. SejamX1, . . . , Xk camposcaracterísticos de ∆ definidos numa vizinhança de x com

∆ (x) = gerX1 (x) , . . . , Xk (x).

Definaρ (t1, . . . , tk) = X1

t1 · · · Xk

tk(x) .

Como na demonstração do teorema B.9, ρ : U → M é uma imersão para algumaberto U contendo a origem de Rk. Pelo lema B.16, se U é suficientemente pequeno,ρ (U) ⊂ N1 ∩ N2 e as aplicações ρ : U → N1 e ρ : U → N2 são imersões. Comoas dimensões de U , N1 e N2 são iguais, pode-se supor, diminuindo U se necessário,que essas imersões são mergulhos. Portanto ρ (U) é subvariedade aberta tanto de N1

quanto de N2 e daí que N1 ∩N2 é um aberto nas duas variedades integrais. 2

Teorema B.19 Seja ∆ uma distribuição característica. Então, cada x ∈ M estácontido em uma única variedade integral maximal I (x) de ∆. Além do mais se N ⊂Mé uma variedade integral conexa de ∆ com x ∈ N então N é uma subvariedade abertade I (x).

Demonstração: Denote por F o conjunto das variedades integrais de ∆. Seja

Fx = N ∈ F : x ∈ N.

Então Fx 6= ∅ pois ∆ é integrável. Além do mais a ordem parcial ≺ em F se restringea Fx.Seja H uma cadeia de Fx, isto é, um subconjunto totalmente ordenado de Fx.

Deve-se mostrar que H admite um majorante em Fx para poder aplicar o princípio damaximalidade de Hausdorff. Defina

N =⋃n∈H

N.

Então N ∈ Fx e majora H. De fato, defina uma estrutura de variedade em N daseguinte forma: tome y ∈ N . Então algum N ∈ H contém y. Como N é subvariedade,suas cartas ao redor de y definem cartas de N . Fazendo isso para todo y ∈ N , ficadefinido um conjunto de cartas cujos domínios cobrem N . Duas cartas definidas dessamaneira se relacionam diferenciavelmente pois se y ∈ N1 ∩ N2 então N1 ≺ N2 ouN2 ≺ N1 e uma delas é variedade aberta da outra. Assim, define-se um atlas em N detal forma que N é subvariedade aberta de N para todo N ∈ H. Com esta estrutura Né uma subvariedade integral de ∆ que contém x e portanto N ∈ Fx.Como todo subconjunto ordenado de Fx admite um majorante, o princípio da

maximalidade garante que Fx admite elementos maximais. Um elemento maximal deFx é uma variedade integral maximal que passa por x.


Para verificar a unicidade, suponha que x ∈ N1 ∩ N2 com N1 e N2 maximais.Pelo teorema de unicidade local (teorema B.18), N1 ∩ N2 é aberta em N1 e em N2 e,portanto, N1 ∪N2 admite estrutura de subvariedade integral conexa contendo N1 e N2

como subvariedades abertas. Como N1 e N2 são maximais, se conclui que N1 = N2.A última afirmação segue do fato de que qualquer variedade integral conexa está

contida numa variedade integral conexa maximal, como um subconjunto aberto, pelolema anterior. 2

A unicidade das variedades integrais maximais garante que duas dessas variedadesou são disjuntas ou coincidem (essa propriedade não vale para variedades integraisquaisquer, só para as maximais). Dessa forma as variedades integrais maximais são asclasses de equivalência da relação de equivalência x ∼∆ y se x e y pertencem à umamesma variedade integral maximal de ∆.

B.4 Cartas adaptadas

As cartas adaptadas (também conhecidas por vizinhanças tubulares) mostram que asvariedades integrais de uma distribuição integrável estão bem posicionadas umas emrelação às outras.

Definição B.20 Seja ∆ uma ditribuição integrável em M . Uma carta adaptada(ou sistema de coordenadas adaptado) a ∆, centrada em x, é um difeomorfismo ψ :U × V → W , onde U ⊂ Rk e V ⊂ Rn−k são abertos contendo a origem e W é umaberto contendo x, que satisfaz as seguintes condições:

1. ψ (0, 0) = x.

2. dim ∆ (x) = k.

3. Para todo z ∈ V o conjunto ψ (U × z) está contido numa variedade integralmaximal de ∆.

4. A aplicação ψ0 : U → ψ (U × y), ψ0 (x) = ψ (0, y) é uma variedade integral de∆.

A vizinhança W é chamada de domínio do sistema de coordenadas adaptado (oucarta adaptada).Uma carta adaptada também é denominada de vizinhança tubular (da variedade

integral que passa por x).

A proposição a seguir mostra que as distribuições características admitem cartasadaptadas, centradas em quaisquer pontos de M .

Proposição B.21 Seja ∆ uma distribuição característica. Então, para todo x ∈ Mexiste uma carta adaptada ψ : U × V → M , com U ⊂ Rk e V ⊂ Rn−k vizinhanças daorigem e tal que ψ (0, 0) = x.

B.4. Cartas adaptadas 351

Demonstração: Fixe x ∈M e considere a imersão

ρ : (t1, . . . , tk) 7−→ X1t1 · · · Xk

tk(x)

definida em alguma vizinhança V da origem de Rk e com X1, . . . , Xk campos carac-terísticos que geram ∆ (x). A imagem ρ cobre uma vizinhança da variedade integralque passa por x. Para construir a carta adaptada suponha que n = dimM . Entãoexiste uma imersão

φ : W −→M

com W uma vizinhança da origem em Rn−k tal que φ (0) = x e φ é transversal a ρ emx, isto é,

im (dφ0) ∩ im (dρ0) = 0 e im (dφ0)⊕ im (dρ0) = TxM.

Seja ψ : V ×W →M definida por

ψ (v, w) = X1t1 · · · Xk

tk(φ (w))

se v = (t1, . . . , tk) ∈ V . Então alguma restrição de ψ é uma carta adaptada. De fato,é claro que ψ (0, 0) = x. Por outro lado, o valor de dψ(0,0) em (v, w) ∈ Rk × Rn−k é

dψ(0,0) (v, w) = dρ0 (v) + dφ0 (w)

o que mostra que dψ(0,0) é um isomorfismo. Portanto, existem vizinhanças V1 ⊂ V eW1 ⊂ W tal que a restrição de ψ a V1 ×W1 é um difeomorfismo.Agora, os pontos ψ (v, w), ψ (0, w) e φ (w) estão numa mesma variedade integral pois

ψ (v, w) é obtido de φ (w) por aplicações sucessivas de trajetórias de campos tangentesa ∆, que pelo lema B.16 não saem das variedades integrais. Fixando w, o lema B.16garante que a aplicação

(t1, . . . , tk) 7−→ X1t1 · · · Xk

tk(φ (w))

é diferenciável na estrutura intrínseca de I (ψ (0, w)) e como essa aplicação coincidecom ρ se w = 0, a restrição de ψ é uma carta adaptada. 2

A existência de cartas adaptadas possibilita a demonstração de diversas propriedadesdas variedades integrais de uma distribuição integrável. Uma delas é que as varieda-des integrais conexas são subvariedades quase-regulares, como será provado na seçãoseguinte.Outra propriedade útil está relacionada aos campos tangentes à distribuição:

Proposição B.22 Seja xt uma curva de classe C1 tangente à distribuição integrável∆. Então, xt está inteiramente contida numa variedade integral maximal de ∆. Emparticular, se um campo de vetores X é tangente a ∆ então suas trajetórias estãocontidas em variedades integrais maximais.


Demonstração: Denote por I (x) a variedade integral maximal que passa por x0 esuponha que xt está definida no intervalo (α, ω). Seja

m = supt ∈ (α, ω) : ∀s ∈ [0, t], Xs (x) ∈ I (x).

Então, m = ω. De fato, supondo por absurdo que m < ω, tome uma carta adaptadaψ : V ×W → M centrada em xm e considere a curva yt = ψ−1xt em V ×W . Comoxt é tangente à distribuição, yt é tangente a V ×0. Portanto se zt denota a projeçãode yt na segunda coordenada, segue que zt tem derivada nula e, portanto, é constante.Isso implica que yt está contida em V × 0, contradizendo a hipótese de que m é osupremo. 2

Deve ser enfatizado que a propriedade das trajetórias da proposição acima só valeem relação às variedades integrais maximais e não para variedades integrais quaisquer.

B.5 Variedades integrais são quase-regulares

A existência de cartas adaptadas a distribuições integráveis permite mostrar que asvariedades integrais maximais de distribuições integráveis são subvariedades quase-regulares.Antes de mostrar isso serão feitas as seguintes observações sobre a topologia de uma

variedade e de suas subvariedades. Para uma variedade diferenciável M as seguintescondições são equivalentes:

1. M é paracompacta, isto é, todo recobrimento de M por abertos admite umrefinamento localmente finito.

2. Cada componente conexa de M é uma união enumerável de subconjuntos com-pactos.

3. As componentes conexas de M são completamente separáveis, isto é, admitemsistemas fundamentais de vizinhanças enumeráveis (satisfazem o segundo axiomade enumerabilidade).

4. M é metrizável.

Quanto às subvariedades, vale o seguinte resultado.

Proposição B.23 Seja L ⊂M é subvariedade imersa conexa e suponha queM é para-compacta. Então, L, com a topologia intrínseca, também é paracompacta e, portanto,admite um sistema fundamental de vizinhanças enumerável.

Demonstração: Como a variedade M é paracompacta ela admite uma métricaRiemanniana. Essa métrica induz uma métrica Riemanniana em N , já que N é sub-variedade imersa. Como as variedades Riemannianas conexas são metrizáveis, segueque N é metrizável. Consequentemente N é paracompacta, devido a um teorema de

B.5. Variedades integrais são quase-regulares 353

Stone que garante que os espaços métricos são paracompactos. 2

O fato de que uma subvariedade imersa conexa ser completamente separável écentral na demonstração a seguir de que as variedades integrais maximais são quase-regulares.

Proposição B.24 Seja ∆ uma distribuição diferenciável e integrável em M e assumaqueM é paracompacta. Então, suas variedades integrais maximais são quase-regulares.

Demonstração: Tomando uma variedade integral maximal I ⊂ M deve-se verificarque uma aplicação contínua φ : N → M com N localmente conexo e φ (N) ⊂ Ié contínua em relação à topologia intrínseca. Em outras palavras, deve-se verificarque dado x ∈ N , φ−1 (V ) é uma vizinhança de x para toda vizinhança intrínsecaV de φ (x). Para isso basta tomar V dentro do domínio W de uma carta adaptadacentrada em φ (x), pois se φ−1 (V ∩W ) é uma vizinhança de x, o mesmo ocorre comφ−1 (V ) ⊃ φ−1 (V ∩W ). Pode-se assumir, também sem perda de generalidade, que Né conexo, pois se U é uma vizinhança conexa de x tal que φ−1 (V )∩U é vizinhança dex então φ−1 (V ) é vizinhança de x.Sejam, portanto, φ : N → W uma aplicação contínua, comN conexo eW o domínio

de uma carta adaptada ψ : U × V → W centrada em φ (x) tal que φ (N) ⊂ I ∩W .Denote por p : W → ψ (0 × V ) a projeção emW equivalente à projeção U×V →

V . Essa aplicação é contínua assim como pφ. Porém, a imagem de pφ é no máximoenumerável. De fato, essa imagem coincide com I ∩ψ (0 × V ), pois φ assume valoresem I, e esse conjunto é no máximo enumerável, já que caso contrário I conteria umaquantidade não enumerável de abertos dois a dois disjuntos, contradizendo a proposiçãoanterior.Portanto p φ já que N é conexo. Segue que φ (N) está contido na componente

conexa de I ∩ W que contém φ (x). Mas, essa componente conexa é precisamenteψ (U × 0) e a topologia intrínseca deste conjunto coincide com a topologia induzidade ψ (U × V ). Isso implica que φ é contínua em relação à topologia intrínseca de I,concluíndo a demonstração. 2

(Compare a demonstração acima com o exemplo (2) da seção B.1.)O argumento central da demonstração da proposição anterior está enumerabilidade

da intersecção I ∩ ψ (0 × V ), que provém da completa separabilidade da variedadeintegral I. A mesma demonstação vale, portanto, na seguinte situação mais geral.

Corolário B.25 Suponha que N seja uma união enumerável de variedades integraismaximais de ∆. Então, N é quase-regular.

A demonstração da proposição acima mostra que a variedade integral conexa max-imal I intercepta a imagem da carta adaptada ψ : U × V → W num conjunto do tipoψ (E × V ) onde E ⊂ U é um conjunto no máximo enumerável. Se U 6= 0 então esseconjunto tem interior vazio em M pois E × V tem interior vazio em U × V . Comoao redor de todo ponto de I existe uma carta adaptada, se conclui que I tem interiorvazio em M . Obtém-se a seguinte consequência da demonstração da proposição B.24.


Corolário B.26 Seja I uma variedade integral conexa maximal de uma distribuição∆ diferenciável e integrável na variedade paracompactaM . Então, I tem interior vazioem M se dim I < dimM .

B.6 Exercícios

1. Considere a seguinte propriedade de separação para um subconjunto D ⊂ R:para todo x, y ∈ D existe z ∈ R \ D entre x e y. Verifique que subconjuntosenumeráveis satisfazem essa propriedade. Mostre que se D satisfaz a propriedadee f : N → R é uma função contínua com N conexo e f (N) ⊂ D então f éconstante. Mostre que se uma função contínua f : N → Rn é tal que N é conexoe f (N) é no máximo enumerável, então f é constante.

2. Mostre que as trajetórias de um campo de vetores numa variedade diferenciávelsão subvariedades quase-regulares (com dimensão 0 ou 1). (Use o teorema dofluxo tubular para equações diferenciais.)

3. Seja ∆ uma distribuição característica na variedade M . Suponha que F sejauma família de campos de vetores tais que para todo x ∈M o subespaço F (x) =X (x) : X ∈ F coincide com ∆ (x). Mostre que dados x, y numa mesmavariedade integral de ∆ existem campos X1, . . . , Xk ∈ F e t1, . . . , tk ∈ R tal quey = X1

t1 · · · Xk

tk(x). (Não é necessário supor que os campos estejam definidos

em toda a variedade M , mas apenas em abertos de M . A hipótese sobre F (x)assegura que a união dos domínios dos campos em F coincide com M .)

4. Seja Γ (TM) a álgebra de Lie dos campos de vetores (C∞) na variedade M (mu-nido do colchete de Lie). Seja g uma subálgebra de Lie de dimensão finita deΓ (TM). Defina a distribuição ∆g (x) = X (x) : X ∈ g. Mostre que ∆g éintegrável.

A g-órbita de x ∈M é definida como sendo o conjunto

Og (x) = X1t1 · · · Xk

tk(x) ∈M : k ≥ 1, X i ∈ g

(para os valores de ti onde os fluxos e compostas estão definidos). Mostre quepara todo x ∈M , Og (x) é uma variedade integral maximal de ∆g.

5. Seja L uma subvariedade integral maximal de uma distribuição diferenciável eintegrável. Mostre que se L é localmente fechada então ela é fechada.

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Índice

açãoà direita, 29à esquerda, 29contínua, 32diferenciável, 265efetiva, 31fiel, 31Hamiltoniana, 313Hamiltoniana equivariante, 319infinitesimal, 266livre, 31local, 33projetiva, 42simplética, 313transitiva, 31

Álgebra associativa, 94álgebra de Lie, 4, 96

compacta, 211de isotropia, 266de um grupo de Lie, 100derivada, 194, 201nilpotente, 205semi simples, 212simples, 144, 212solúvel, 201

aplicaçãode recobrimento, 160equivariante, 31exponencial, 5, 103holomorfa, 294momento, 318

automorfismoálgebra de Lie, 183infinitesimal, 188, 198interno, 129de álgebra de Lie, 184

de grupo de Lie, 189

basede espaço homogêneo, 32de Weyl, 222

bolas siameses, 20

Campbell-Hausdorfffórmula de, 5

campo de vetores, 331característico, 343completo, 331lHamiltoniano, 312localmente Hamiltoniano, 313

campo invarianteà direita, 97à esquerda, 97

campos de vetoresφ-relacionados, 107, 332

caráterde representação, 75

cartaadaptada, 350

Cartandecomposição de, 245involução de, 246matriz de, 238subálgebra de, 222

centralizador, 113centro

de álgebra de Lie, 113de grupo de Lie, 113

cohomologiade representação de grupos, 322de Rham, 301invariante, 302

colchete de Lie, 332

359

360 Índice

colchete de Poisson, 313componente conexa

da identidade, 28cone de Lie, 146conjugação, 17constantes de estrutura, 328convolução, 64

decomposiçãode Jordan-Hölder, 202em espaços de raízes, 222

decomposição de Cartan, 245decomposicao de Iwasawa, 254, 256derivação, 111, 118, 183

interna, 111, 184diagramas de Dynkin, 223distribuição

característica, 343diferenciável, 342integrável, 342invariante, 343involutiva, 344não singular, 342regular, 342singular, 342

elemento de Lie, 171elemento regular

de álgebra de Lie, 225em grupo de Lie, 177

equação diferencialde Ricatti, 277

espaçohomogêneo, 32, 293simétrico, 311

estabilizador, 30estrutura diferenciável

intrinseca, 339quociente, 140

estrutura pseudo-complexa, 294integrável, 294invariante, 294

estrutura quase-complexa, 294estrutura quociente

unicidade, 146

exponencial, 103diferencial da, 165

fibra tipo, 283fibrado

associado, 283das bases, 278dos referenciais, 278principal, 277trivial, 278vetorial, 284

fluxo, 331forma

de Cartan-Killing, 118de Maurer-Cartan, 96, 328

forma realcompacta, 223

forma simplética, 312de Kirillov-Kostant-Souriaux, 315

fórmulade Campbell-Hausdorff, 5do produto de Lie, 131

função coeficiente matricial, 72, 78função de transição, 282função equivariante

de seção de fibrado, 286função modular

em grupos de Lie, 117em grupos localmente compactos, 61

função representativa, 79

gerador infinitesimal, 332grupo

a 1-parâmetro, 5abeliano conexo, 158afim, 117afim à direita, 190afim à esquerda, 190de automorfismos, 136, 183derivado, 194estrutural, 277infinitesimal, 4linear, 3, 97nilpotente, 205quociente, 143

Índice 361

semi-topológico, 18solúvel, 201topológico, 17unimodular, 48, 61

grupo de Lie, 91discreto, 93

grupo derivado, 201grupos clássicos, 137

O (n), 41Sl (n,C), 10Sl (n,R), 10, 42SO (n), 9, 41, 160SO (p, q), 10Sp (n), 10, 160Sp (n,R), 10SU (n), 10, 221, 229, 233SU (p, q), 10U (n), 10

Haarmedida de, 47, 115

Hilbertquinto problema de, 91

homomorfismode grupos de Lie, 106infinitesimal, 108local, 152

idealde álgebra de Lie, 129

imersão, 339regular, 339

índice de conectividade, 241involução de Cartan, 246isomorfismo

local, 152, 157isotropia, 30Iwasawa

decomposição de, 254, 256

lemade Schur, 69

localmente fechado, 135

matriz de Cartan, 238

medidade Haar, 47, 115exterior, 50regular, 48

mergulho, 339morfismos

de fibrados principais, 280

Nijenhuistensor de, 294

normalizador, 129

órbita, 30origem

de espaço homogêneo, 32

paralelizável, 96posto

de álgebra de Lie, 177de álgebra de Lie, 225de grupo de Lie, 177

posto real, 254principio da monodromia, 153produto

de convolução, 64Hermitiano invariante, 68interno invariante, 68, 211semi-direto, 191

quatérnion, 95, 136, 160quatérnions, 98, 101

recobrimentoaplicação, 160

redução de fibrado principal, 281regular real, 254representação

fiel, 155representação, 32, 67, 109

adjuntaálgebra de Lie, 110grupo de Lie, 110

afim, 319co-adjunta, 114de isotropia, 290, 293dimensão de, 32, 109

362 Índice

espaço de, 32, 109infinitesimal, 109irredutível, 69

representação dual, 110representações

equivalentes, 71representações regulares

de grupo compacto, 77

Schurlema de, 69relações de ortogonalidade, 72

seção de fibrado, 286seção local, 281semigrupo, 146série central descendente, 196, 204, 205série de Baker-Campbell-Hausdorff, 169série derivada, 196, 201sistema de coordenadas

primeira espécie, 106segunda espécie, 106

sistemas de vizinhançasda identidade, 22fundamental, 22

Sorgenfreytopologia, 20

Stokesteorema de, 305

subálgebra compacta maximal, 247subálgebra de Lie, 97subfibrado principal, 281subgrupo

aberto, 27central, 154de isotropia, 30de Lie, 7, 121discreto, 44, 135, 154discreto de Rn, 158fechado, 27, 134topológico, 261-parâmetro, 104

subvariedadeimersa, 339mergulhada, 339

regular, 339subvariedade

quase-mergulhada, 121, 339quase-regular, 121, 339, 352

teoremade Ado, 129, 155de Darboux, 312de decomposição de Levi, 193de Engel, 205de Frobenius, 125, 344de isomorfismopara grupos de Lie, 148

de Lieterceiro, 129, 155

de Lie-Palais, 272de Newlander-Nirenberg, 294de Peter-Weyl, 79de Stokes, 305de Weylgrupo fundamental finito, 217, 237

do subgrupo fechado, 133terceiro teorema de Lie, 129, 155topologia

de Hausdorff, 24de Sorgenfrey, 20intrínseca, 339invariante, 22quociente, 34

toro maximal, 230transformação afim

à direita, 190à esquerda, 189

translaçãoà direita, 17, 92à esquerda, 17, 92

truque unitário de Weyl, 220

variedadeanalítica, 175complexa, 293de Stiefel, 280integral, 342maximal, 348paracompacta, 92, 352

Índice 363

simplética, 312vizinhança

simétrica, 21tubular, 350

Weylbase de, 222construção de, 222teorema degrupo fundamental finito, 217, 237

truque unitário de, 220

Grupos de Lie - Instituto de Matemática, Estatística e...

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