Grupos de Permutações e Algumas de Proposições
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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 26
GRUPOS DE PERMUTAÇÕES E ALGUMAS DE PROPOSIÇÕES Thiago Mariano Viana1, Marco Antônio Travasso2 & Antônio Carlos Tamarozzi3
1 Aluno do Curso de Lic. em Matemática da UFMS; e‐mail: [email protected]; 2 Aluno do Curso de Lic. em Matemática da UFMS; 3 Professor da UFMS, Departamentos de Ciências Exatas; RESUMO As permutações de elementos de um determinado conjunto E, surgem em diversas situações dentro e fora da Matemática. Se visualizadas como aplicações entre elementos de E, formam um exemplo de estrutura de Grupo com repercussões de impacto para o desenvolvimento da Matemática, em particular da Álgebra Abstrata. Neste trabalho apresentamos um desenvolvimento introdutório da Teoria dos Grupos de Permutações de n elementos (Sn), visando demonstrar algumas proposições importantes, para o estudo dos mesmos. Foram exploradas as características do Sn quanto a sua construção e sua notação cíclica, o que facilita o estudo das propriedades das permutações e a obtenção do objetivo principal do trabalho que é o estudo da paridade das permutações e, em consequência, a criação do grupo alternado de permutações. Palavras‐chave: Grupo Simétrico, Teorema de Cayley, Grupos Alternados.
INTRODUÇÃO
A Teoria dos Grupos começou a ser estudada, quando entre 1500 e 1515, o matemático
italiano Scipione del Ferro (1456‐1526) descobriu que a equação cúbica era solúvel por radicais. E
disso surgiu o desafio de determinar se todas as equações algébricas são solúveis por radicais. Os
matemáticos desse período viram na Teoria dos grupos uma grande ferramenta para a solução
desse problema. Então o matemático francês Evariste Galois (1811‐1832), usou grupos de
permutações para esclarecer a questão de resolubilidade por radicais das equações de grau > 4.
Assim nesse trabalho, mostraremos como é estudado na Teoria dos Grupos, o conjunto de
todas as bijeções de um conjunto nele mesmo, o chamado grupo das permutações. E que pode ser
estabelecido entre um grupo qualquer finito e um conveniente subgrupo de permutações, um
isomorfismo, tornando possível estudar até mesmo os grupos mais abstratos de difícil
manipulação.
Também é visto a notação em r‐ciclos das permutações, o que facilita a demonstração de
outras propriedades quanto à decomposição das permutações em ciclos e transposições, que nos
leva a definição de permutações pares e o Grupo Alternado. A exploração dos Grupos de
permutações e Alternados ocupa um interesse crucial para o desenvolvimento da Teoria dos
Grupos e em consequência para toda a matemática.
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METODOLOGIA
Ao longo do trabalho, foi considerada que a operação entre duas permutações é a
operação de composição, no entanto, sem perda de generalidade, utilizaremos a notação
multiplicativa. Assim sendo, dadas as permutações α e β, temos que: α β = α ○ β, enquanto α‐1
denota o simétrico de α. Para a notação de uma aplicação bijetora f sobre E {1,...,n} em que f(1)
=i1, f(2) =i2, ... f(n) =in, utilizaremos a seguinte notação:
Ao longo do trabalho desenvolvemos a teoria inicial dos grupos de permutações e as
ferramentas da Teoria dos Grupos necessária para a compreensão de algumas das proposições
estudadas. Nossa linha de pesquisa segue os trabalhos desenvolvidos em [1] para a revisão da
teoria elementar dos Grupos e Teorema de Cayley, [2], [3] para Grupos de permutações e a
construção dos grupos alternados.
RESULTADOS
Na teoria dos grupos é chamada de permutação uma bijeção de um conjunto nele mesmo.
Se E é um conjunto não vazio denotaremos por S(E) o conjunto de todas as permutações (bijeções)
de E. A composição de aplicações é considerada uma operação sobre S(E). Pois a composição de
duas bijeções também será uma bijeção, i.e. se f :E → E e g:E → E são bijeções, então g ○ f :E → E
também é uma bijeção.
Temos nessa operação a propriedade associativa, pois f, g, e h,
h ○(g ○ f) = (h ○ g)○ f. Observemos também que iE: E → E , a aplicação identidade, que obviamente
é uma bijeção, é o elemento neutro, visto que (iE ○ f) (x) = iE (f(x)) =f(x), para todo x E, que
garante a igualdade iE ○ f= f. Analogamente f ○ iE = f.
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Por fim, se f é uma permutação de E então f ‐1(aplicação inversa) também será, pois a
inversa de uma bijeção também é uma bijeção, e esta será o elemento inverso de f para a
composição de aplicações, visto que f ○ f ‐1= f ‐1 ○ f = iE.
Portanto (S(E), ○) é um grupo, o grupo das permutações sobre E. Esse grupo só é
comutativo se a sua ordem for 1 ou 2. Se sua ordem for 1, então o grupo só terá a identidade que
claramente comuta consigo mesma. Isto ocorre porque se o(S(E), ○)˃2 então E tem mais de 2
elementos, assim seja a, b e c elementos distintos e consideremos as permutações f e g de S(E)
definidas por:
f(a)=b, f(b) =a e f(x) =x qualquer que seja x ≠ a, b e
g(a) =c, g(c) =a e g(x) =x qualquer que seja x ≠ a, b.
Temos que f e g são permutações de E, pela forma como foram construídas. No entanto,
(f ○ g) (a) = f(g(a)) = f(c) =c enquanto (g ○ f) (a) = g(f(a)) =g(b) =b
O que mostra que f ○ g ≠ g ○ f, portanto S(E) não é comutativo.
Um caso particular importante de grupos de permutações, é aquele que
E= {1, 2, ..., n}, e n ≥ 1. E nesse caso a notação S(E) é simplificada por Sn, para indicar o conjunto
das permutações sobre E. E o grupo (Sn, ○) tem o nome especial: grupo simétrico de grau n. Uma
visualização simples com analise combinatória pode‐se mostrar que esse grupo tem ordem n!
Teorema de Cayley
O teorema de Cayley garante que todo grupo é isomorfo a
um grupo de permutações conveniente, o que facilita a trabalhar com vários grupos por mais
abstratos que eles sejam.
Definição: seja G um grupo. Para cada a G, a aplicação:
δa:G → G
tal que δg(x) = ax para qualquer x G, será chamada de translação à esquerda definida por
a. De maneira análoga se define translação à direita.
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Proposição: Toda translação é uma bijeção, ou seja, é uma permutação dos elementos de
G.
Demonstração: Seja δa uma translação de G e suponhamos δa(x) = δa(y). Então ax=ay e,
portanto, x=y, uma vez que todo elemento de um grupo é regular. Assim δa é injetora. Para
mostrar que é sobrejetora basta tomar um y G, sempre será possível encontrar x G, tal que
ax=y. E essa equação tem solução no grupo: o elemento a‐1y G. Então δa é sobrejetora.
Assim notaremos por T(G) o conjunto das translações de G e como S(G) é o conjunto de
todas as permutações dos elementos de G, então temos que T(G) S(G). ■
Proposição: (Teorema de Cayley) Se G é um grupo, a aplicação δ: G → T(G) que associa a
cada elemento g a translação δg (isto é δ(g)= δg) é um isomorfismo de grupos.
Demonstração: Seja G um grupo e sejam as translações δg:G → G tal que
x gx, para cada g G. então a, b G, δab= δa δb δa δb(x) = (δa ○ δb) (x), para qualquer
elemento x em G, mas δa δb(x) = (ab)x=a (bx) = a (δb(x)) = (δa ○ δb) (x). Portanto, a, b G, δab= δa
δb.
Sendo então G um grupo e a função:
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δ: G → T(G)
g δg: G → G
x gx
(i) É um Homomorfismo, pois a, b G, δab= δa ○ δb
(ii) É injetora, pois a, b G, temos δ(a)= δ(b) δa=δb δa (x) =δb(x), e então
x G, temos ax=bx a=b
(iii) É sobrejetora, pois δg S(G), g G tal que δ(g) = δg.
Logo δ é um isomorfismo. Portanto, G e S(G) são isomorfos. ■
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Ciclos e notação cíclica
Definição: Sejam a1, a2, ..., ar In= {1, 2, ..., n},n ≥ 2, inteiros distintos. Se σ Sn é uma
permutação tal que σ(a1)= a2, σ(a2)= σ2(a1)= a3, σ(ar‐1)= σ
r‐1(a1)= ar, σ(ar) = σr(a1)= a1 e σ(x) =x, para
todo x In ‐ {a1, a2, ..., ar}, assim chama‐se σ de ciclo de comprimento r e que {a1, a2, ..., ar} é o
conjunto suporte de σ . Para permutações definidas dessa forma usaremos a notação (a1, a2, ...,
ar). Se r= 2, então σ é chamado transposição.
Exemplo: Consideremos em S5 a permutação:
Como σ(1) = 4, σ(4) = 2, σ(2) = 1, σ(3) = 3, σ(5) = 5, então σ é um ciclo de comprimento 3
cujo conjunto suporte é {1, 2, 4}. Portanto podemos escrever: σ = (1 4 2)
Definição: seja α um r‐ciclo e β um s‐ciclo pertencentes a Sn. Os ciclos α e β disjuntos se
nenhum elemento é movido ao mesmo tempo por ambos, ou seja,
x {1, 2, ...,n}, α(x) =x e β(x) =x. Ou seja, ciclos cujos suportes são disjuntos.
Proposição: Dois ciclos disjuntos comutam.
Demonstração: Sejam α e β ciclos disjuntos de Sn, temos que:
α(a) ≠ a β(a) = a e β(a) ≠ a α(a) = a
Assim α β(x) = (α ○ β) (x) = α (β(x)), onde temos 3 casos:
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1º caso Se β(x) =y, y ≠ x β(y) ≠ y e α(y) =y
Então α (β(x)) = α (y) = y= β(x) = β(α (x)) = (β ○ α) (x) = β α(x)
2º caso Se α (x) =y, y ≠ x α (y) ≠ y, β (x) =x e β (y) =y
Então α (β(x)) = α (x) = y= β(y) = β(α (x)) = (β ○ α) (x) = β α(x)
3º caso Se β(x) = x e α(x) = x
Então α (β(x)) = α (x) = x= β(x) = β(α (x)) = (β ○ α) (x) = β α(x)
Assim α β(x) = β α(x), x {1, 2,..., n}. Portanto α β= β α. ■
Proposição: Seja σ Sn uma permutação. Então σ pode ser escrita como um produto de
ciclos disjuntos. E essa fatoração é única, a não ser pela ordem dos ciclos. Por se muito extensa a
demonstração desta será omitida, mas pode ser vista em [1].
DISCUSSÃO
Obtemos assim o Sn, cuja continuidade dessa linha de trabalho no permite construir o
grupo alternado An ferramenta usada por Galois na resolução de equações de grau > 4, e aqui
apresentamos algumas das propriedades que foram estudadas.
Proposição: a) Todo Elemento de Sn é produto de transposições, isto é
Sn= < {transposições} >.
b) Sn= < (1 2), (1 3), ..., (1 n) >.
c) Sn= < (1 2), (2 3), ..., (n‐1 n) >.
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Demonstração: a) Temos que id= (1 2)(1 2) ∈ < {transposições} > como toda permutação é
produto de ciclos disjuntos como vimos na proposição anterior, então basta mostrar que todo
ciclo (a1, a2, ..., ar) é produto de transposições. E de fato, temos:
Seja α um r‐ciclo. Aplicaremos indução sobre r. Se r= 2 então α= (a1 a2) é uma transposição,
enquanto que se r= n>2 , por hipótese de indução:
α= (a1 a2... an) = (a1 an)... (a1 a3) (a1 a2)
Para r= n+1 temos:
α= (a1 a2... an an+1) = (a1 an+1) (a1 a2... an) = (a1 an+1) (a1 an)... (a1 a3) (a1 a2)
Assim, todo r‐ciclo (a1, a2, ..., ar) é produto de transposições, e portanto toda permutação é
produto de transposições.
b) De a) temos apenas que mostrar que toda transposição
(i j) ∈ < (1 2), (1 3), ..., (1 n) >, e de fato, temos que (i j) = (1 i) (1 j) (1 i), se 1, i e j são distintos.
c) Para todo inteiro i ≥ 2, temos (1 i+1)= (1 i) (i i+1) (1 i), logo o subgrupo
< (1 2), (2 3), ..., (n‐1 n) > contem (1 i), para cada i= 2, ..., n. Assim pelo item b), este subgrupo é
igual a Sn. ■
Exemplo: Seja σ ∈ S5, tal que:
.
Então pode ser escrito como:
Produto de ciclos disjuntos: σ = (1 4 2) (3 5).
Produtos de transposições: σ = (1 2) (1 4) (3 5).
Produtos de transposições pertencentes a < (1 2), (1 3),..., (1 n) >.
σ = (1 2) (1 4) (1 3) (1 5) (1 3).
Produtos de transposições pertencentes a < (1 2), (2 3),..., (n‐1 n) >.
σ = (2 3) (3 4) (2 3) (3 4) (2 3) (4 5) (2 3) (1 2) (3 4).
Observações:
1) Um elemento α ∈ Sn pode se escrito como um produto de transposições disjuntas se e
somente se sua ordem for igual a 2.
Demonstração:(⇒) Seja α ∈ Sn um produto de transposições disjuntas então:
α= α1 α1 ... αn⇒ o(α) =m.m.c.(o(α1), o(α1), ..., o(αn))
como o(αi) = 2, ∀ i= 1, 2, ..., n. Então o(α) = 2
(⇐) Seja α ∈ Sn, e o(α) = 2, como toda permutação é pode ser escrita como produto de
ciclos disjuntos, então: α= α1 α2 ... αn. Sabendo que o(α) =m.m.c.(o(α1), o(α1), ..., o(αn)), temos
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o(αi)|2, ∀ i= 1, 2, ..., n ⇒ o(αi) =1 ou o(αi) =2. Se o(αi) =1 ⇒ αi=id, enquanto que se o(αi) =2 ⇒ αi é
transposição.
Assim se o(α) = 2, então α pode se escrito como transposições. ■
2) A decomposição de um elemento α ∈ Sn como produto de transposições não é única,
mesmo se exigirmos um numero mínimo de transposições; por exemplo,
(1 2 3) = (1 3) (1 2) = (2 3) (1 3). No entanto, a paridade do numero de transposições em uma
decomposição é bem definida
3) Se α= τt ○ ...○ τ1= μu ○ ...○ μ1 são duas fatorações distintas de α como produto de
transposições, então t ≡u mod 2.
Definição: um elemento α ∈ Sn é uma permutação par quando α se decompõe em um
numero par de transposições, e é uma permutação impar quando α se decompõe em um numero
impar de transposições.
Proposição: Seja An= {α ∈ Sn| α é uma permutação par}. Então An é um subgrupo de Sn de
ordem n!/2 e índice 2 .
Demonstração: Seja ψ: Sn→{‐1,+1} a função definida por ψ(β) = 1 se β é par e
ψ(β) = ‐1 se β é impar. É claro que a função ψ é um homomorfismo sobrejetor cujo núcleo é
exatamente o grupo alternado An. Assim An é um subgrupo de Sn.
Sejam r o numero de todas as permutações pares e s o numero de todas as permutações
impares de Sn, que denotaremos respectivamente por σ1, σ2, ..., σr, e
φ1, φ2, ..., φs. multiplicando as permutações pares por uma transposição τ, obteremos as
permutações:
τ ○ σ1, τ ○ σ2, ..., τ ○ σr
Como todo elemento de um grupo é regular, o numero desses também é r. Mas como é o
produto de uma permutação impar (a transposição) por uma par, todos esses produtos são
impares. Logo, r ≤ s.
Analogamente, se multiplicarmos as permutações impares por τ, obteremos as s
permutações pares:
τ ○ φ1, τ ○ φ2, ..., τ ○ φs
Assim s ≤ r. De onde, r=s, e como r+s=n!, então o(An) = n!/2 e consequentemente (Sn:An) =
2. ■
CONCLUSÃO
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Este trabalho de pesquisa possibilitou o contato com algumas aplicações dos grupos de
permutações para estudo de outros grupos finitos, tomando por base o Teorema da Cayley, em
que todo grupo finito pode ser isomorficamente imerso em um grupo de permutações. O grupo de
permutações foi usado por Evariste Galois como ferramenta para determinar a possibilidade de
resolver equações de grau ≥ 5, em termos de seus coeficientes, usando apenas adições,
subtrações, multiplicações, divisões e radiciação.
Assim durante o desenvolvimento da pesquisa foi introduzido as proposições relacionadas
aos grupos das permutações e aos seus subgrupos. Foi identificada sua classificação em n‐ciclo
quanto a suas notações cíclicas e observado a decomposição em ciclos disjuntos e transposições. A
decomposição em transposições nos auxilia na identificação das permutações pares e impares e,
em consequência pode‐se obter o grupo alternado An, formado por todas as permutações pares
de Sn. Desta forma, outra consequência importante do trabalho é apoderarmos de algumas das
ferramentas usadas por Evariste Galois, no esclarecimento da questão de resolubilidade por
radicais das equações de grau ≥ 5.
REFERÊNCIAS
[1]. DOMINGUES, HYGINO H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, São Paulo, Atual Editora LTDA, 1995.
[2]. GARCIA, A.; LEAQUIM, I. Álgebra, um Curso de Introdução, Rio de Janeiro, Impa, 1989.
[3]. GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra, Rio de Janeiro, Impa, 1980.