GRUPOS FINITOS ADMITINDO AUTOMORFISMOS LIVRES DE … · subgrupo de Thompson de P. produto direto...

Universidade Estadual de Maringa

Centro de Ciencias Exatas

Departamento de Matematica

Programa de Pos-Graduacao em Matamatica

Otavio Jose Neto Tinoco Neves dos Santos

GRUPOS FINITOS ADMITINDO

AUTOMORFISMOS LIVRES DE

PONTOS FIXOS

Maringa - PR

2005

Universidade Estadual de Maringa

Centro de Ciencias Exatas

Departamento de Matematica

Programa de Pos-Graduacao em Matamatica

Otavio Jose Neto Tinoco Neves dos Santos

GRUPOS FINITOS ADMITINDO

AUTOMORFISMOS LIVRES DE

PONTOS FIXOS

Dissertacao apresentada como requisito parcial para a

obtencao do grau de Mestre em Matematica.

Orientadora: Irene Naomi Nakaoka

Maringa - PR

2005

Dedico este trabalho a Kesia e Giulia.

iii

Agradecimentos

Agradeco a todos que cotribuiram para tornar este trabalho uma realidade, especial-

mente:

• a minha orientadora, Profa Irene Naomi Nakaoka, pela escolha do tema, pelo apoio,

estımulo e pela excelente orientacao;

• a minha esposa, Kesia, pelo companheirismo, compreensao, incentivo e paciencia;

• aos meus pais, Nerilson e Renata, e meus irmaos, Andre e Ana Carolina pelo otimo

convıvio familiar;

• aos meus avos Otavio, Augusta e a Santina, e aos tios Nivaldo e Cleide por terem

contribuıdo na minha formacao;

• aos amigos do mestrado pela forca nas horas difıceis;

• aos professores e funcionarios do Departamento de Matematica da UEM por pro-

porcionarem um otimo ambiente de trabalho;

• ao CNPq pelo apoio financeiro.

iv

Resumo

Se um grupo finito admite um automorfismo livre de pontos fixos de ordem prima,

entao, por um resultado bastante conhecido de Higman e Thompson, este grupo e nilpo-

tente e sua classe de nilpotencia e limitada por uma funcao dependendo apenas da or-

dem deste automorfismo. Nesta dissertacao estudaremos uma generalizacao, devida a P.

Shumyatsky e A. Tamarozzi, deste resultado de Higman e Thompson.

v

Abstract

If a finite group admits a fixed-point-free automorphism from prime order, then, by

a very known result of Higman and Thompson, this group is nilpotent and its class of

nilpotency is limited by a function that depends only of the order of this automorphism.

On this paper we will study a generalization, demonstrated for P. Shumyatsky and A.

Tamarozzi, this result of Higman and Thompson.

vi

Indice de Notacoes

∅

(a)f

(A)f

(m,n) = 1

[a; b]

[a1; a2; . . . ; an]

[U ;n V ]

[U ;V ]

[U1;U2; . . . ;Un]

[x, y]

[X, Y ]

[X,n Y ]

[x1, x2, . . . , xn]

[X1, X2, . . . , Xn]

{x | . . .}

γn

〈X〉

Φ(G)

ξn

Z

Zn

|A|

conjunto vazio.

imagem do elemento a pela f .

imagem do conjunto A pala f .

m e n sao relativamente primos.

colchete de Lie de a e b.

indutivamente [[a1; a2; . . . , an−1]; an].

indutivamente [[U ;n−1 V ];V ].

submodulo gerado por {[u; v], ∀u ∈ U e ∀v ∈ V }.

indutivamente [[U1;U2; . . . ;Un−1];Un].

x−1y−1xy

〈[x, y] | x ∈ X e y ∈ Y 〉

indutivamente [[X,n−1 Y ], Y ]

indutivamente [[x1, x2, . . . , xn−1], xn]

indutivamente [[X1, X2, . . . , Xn−1], Xn]

conjunto dos elementos x tais que . . ..

n-esimo termo da serie central inferior de G.

subgrupo gerado por X.

subgrupo de Frattini de G.

n-esimo termo da serie central superior de G.

conjunto dos numeros inteiros.ZnZ

.

cardinalidade do conjunto A.

vii

|G : H|

|x|

a ∈ A

A ∩B

A ∪B

A \B

A ⊂ B

A ⊆ B

Af

Aut(G)

CG(H)

CG(φ)

cl(G)

dimFV

E(i)

f(a)

F (G)

F [w]

G′

G ∼= H

G(n)

G

HGF (pn)

GL(n, F )

GL(V |F )

H / G

H char G

H nK

Hx

Hx

ındice do subgrupo H em G.

ordem do elemento x.

a e um elemento de A.

intersecao de A com B.

uniao de A com B.

complemento de B em A.

A e um subconjunto proprio de B.

A e um subconjunto de B.

imagem do conjunto A pela f .

grupo de automorfismos de G.

centralizador de H em G.

{x ∈ G | (x)φ = x}, onde φ ∈ Aut(G)

classe nilpotencia de G.

dimensao de V sobre F .

estabilizador da letra i.

imagem do elemento a pela f .

subgrupo de Fitting de G.

extensao do corpo F pela adjuncao de w.

subgrupo derivado de G.

G e H sao isomorfos.

n-esimo termo da serie derivada de G.

grupo quociente de G por um subgrupo normal H.

corpo finito com pn elementos.

grupo das matrizes nao singulares sobre F .

grupo dos operadores lineares nao singulares de V |F .

H e um subgrupo normal de G.

H e um subgrupo caracterıstico de G.

produto semi-direto de K por H.

{x−1hx | h ∈ H}.

{hx | h ∈ H}.

viii

J(P )

K ×H

L(G)

L(n)

Ln

NG(H)

Oπ(G)

SL(2, 3)

Sym(S)

U ⊕ V

U ⊗R V

V |F

xy

XY

yHx

Z(G)

subgrupo de Thompson de P .

produto direto de K por H.

anel de Lie associado a G.

n-esimo termo da serie derivada de L.

n-esimo termo da serie central inferior de L.

normalizador de H em G.

π-subgrupo normal maximal de G.

{A ∈ GL(2,Z3) | detA = 1}.

grupo simetrico do conjunto S.

soma direta de U e V .

produto tensorial de U e V sobre R.

V e um espaco vetorial sobre F .

y−1xy.

{xy | x ∈ X e y ∈ Y }.

{yhx | h ∈ H}.

centro de G.

ix

Sumario

Introducao 1

1 Resultados Preliminares 4

1.1 Subgrupos comutadores e caracterısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Grupos soluveis e grupos nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Os subgrupos de Frattini e de Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Produto tensorial de modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Representacao permutacional e representacao de grupos . . . . . . . . . . 16

2 π′-Automorfismos de π-grupos 32

2.1 p′-Automorfismos de p-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 O Teorema de Schur-Zassenhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Grupos π-Separaveis e π-Soluveis 45

3.1 Definicao e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 O Teorema de Glauberman-Thompson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Algebras de Lie 64

4.1 Definicoes e propriedades gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 O anel de Lie associado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 A extensao do anel dos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Automorfismos livres de pontos fixos 78

5.1 Propriedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

x

5.2 Algebras de Lie admitindo automorfismos livres de pontos fixos . . . . . 80

5.3 O Teorema de Shumyatsky-Tamarozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Referencias Bibliograficas 93

Indice Remissivo 95

xi

Introducao

Uma situacao que vem despertando bastante interesse, dentro da Teoria de Grupos,

sao os grupos que admitem automorfismos que fixam somente a identidade, chamados

automorfismos livres de pontos fixos . A existencia de um automorfismo livre de pontos

fixos φ de um grupo finito G pode ter ligacao direta com a estrutura do grupo. Por

exemplo, Neumann ([8] e [9]) mostrou que, se |φ| = 2, G e abeliano, e quando |φ| = 3, G

e nilpotente..

Na mesma situacao acima agora com |φ| = q, q primo, Higman [6], em 1956, provou

que: “Se G e nilpotente, entao sua classe de nilpotencia e limitada por uma funcao

h(q) dependendo apenas de q”. Tres anos mais tarde, Thompson [15], mostraria que:

“um grupo finito que admite um automorfismo livre de pontos fixos de ordem prima, e

nilpotente”.

Em resumo, temos o

Teorema (Higman-Thompson) Seja G um grupo finito que admite um automorfismo

livre de pontos fixos φ, cuja ordem e um primo q. Entao G e nilpotente e sua classe de

nilpotencia e limitada por uma funcao h(q) dependendoapenas de q.

Depois de Higman e Thompson, os grupos finitos que admitem automorfismos livres

de pontos fixos tem sido objeto de trabalho de muitos matematicos. Em 1995, Rowley

[13] mostra que: “se um grupo finito G que admite um automorfismo livre de pontos fixos

φ tal que |G| e |φ| sao relativamente primos, entao G e soluvel”.

Recentemente, num trabalho publicado em 2002, Shumyatsky e Tamarozzi [14]

obtiveram um resultado analogo ao de Higman-Thompson considerando um grupo finito

1

que admite um automorfismo livre de pontos fixos, cuja ordem e relativamente prima

com a ordem do grupo. Eles demonstraram o

Teorema (Shumyatsky-Tamarozzi) Seja G um grupo finito admitindo um automor-

fismo livre de pontos fixos φ com |G| e |φ| relativamente primos. Se |φ| nao e divisıvel pelo

quadrado de qualquer numero primo e [CG(ψ), CG(σ), CG(σ), . . . , CG(σ)︸︷︷︸m

] = 1, para todos

automorfismos nao triviais ψ, σ ∈ 〈φ〉, entao G e nilpotente e sua classe de nilpotencia e

limitada poruma funcao dependendo apenas de |φ| e m.

O objetivo deste trabalho e apresentar a demonstracao do Teorema de Shumyatsky-

Tamarozzi. Os pre-requisitos e resultados auxiliares necessarios para alcancarmos nosso

objetivo sao abordados nos cinco capıtulos desta dissertacao, que foram divididos de

acordo com a natureza de cada assunto.

No primeiro capıtulo sao abordados alguns dos requisitos basicos para o desenvolvi-

mento desta dissertacao, tais como: subgrupos comutadores, caracterısticos, de Frattini

e de Fitting; grupos soluveis e nilpotentes; produto tensorial de modulos; e representacao

de grupos.

No capıtulo seguinte, de uma forma geral, estudamos os π′-automorfismos de π-

grupos, onde π e um conjunto de primos, que e uma generalizacao do conceito de p′-

automorfismos de p-grupos, p primo.

No ınicio do capıtulo 3 definimos e obtemos algumas propriedades dos grupos π-

separaveis e dos grupos π-soluveis. Neste capıtulo, o nosso objetivo principal e demon-

strar o Teorema do p-complemento normal de Glauberman-Thompson, que fornece uma

condicao suficiente para que um grupo finito possa ser escrito como produto de um p-

subgrupo de Sylow por um π′-subgrupo caracterıstico.

Com os resultados obtidos nos capıtulos 1, 2 e 3, juntamente com as propriedades

basicas dos automorfismos livres de pontos fixos, que tratamos na primeira secao do

capıtulo 5, e possıvel demonstrar que um grupo G satisfazendo as condicoes do Teorema

de Shumyatsky-Tamarozzi e nilpotente, porem, ainda nao e possıvel dar uma limitacao

para sua classe de nilpotencia. Para fazermos isto, utilizaremos o metodo do anel de Lie

2

para grupos nilpotentes que consiste em associar uma algebra de Lie ao grupo G e obter

informacoes do grupo atraves da algebra de Lie associada. Ao associarmos uma algebra

de Lie a um grupo, transformamos a comutacao do grupo numa forma bilinear, esta e a

grande vantagem de se trabalhar com a algebra de Lie associada.

Pela necessidade de usarmos o metodo do anel de Lie para grupos nilpotentes, dedicamos

todo o capıtulo 4 ao estudo das algebras de Lie, onde apresentamos suas propriedades

basicas e descrevemos um procedimento que possibilita associarmos uma algebra de Lie

a um grupo qualquer. A base para o metodo do anel de Lie para grupos nilpotentes

esta no Teorema 4.2.2. Este teorema mostra que um grupo nilpotente de classe c, tem a

algebra de Lie associada tambem nilpotente de classe c.

No ultimo capıtulo provamos o teorema de Khukhro e Shumyatsky, o qual estabelece

que se L =⊕i∈Zn

Li e uma R-algebra de Lie Zn-graduada tal que [L,L0, L0, . . . , L0︸︷︷︸m

] = 0,

entao L e soluvel de comprimento derivado limitado pelo numero (m+ 1)(n−1) + log2m.

Tambem apresentamos alguns resultados sobre algebras de Lie, devido a Shumyatsky e

Tamarozzi, necessarios a prova do resultado principal desta dissertacao.

Concluımos nosso trabalho com a demonstracao do Teorema de Shumyatsky-Tamarozzi

e tambem com um exemplo de um grupo finito nao nilpotente que admite um automor-

fismo livre de pontos fixos cuja ordem e relativamente prima com a ordem do grupo.

3

Capıtulo 1

Resultados Preliminares

Neste capıtulo reunimos alguns dos conceitos e resultados que sao mais conhecidos

dentro da Teoria de Grupos. Estaremos assumindo que o leitor esteja familiarizado com

aqueles resultados que usualmente aparecem num primeiro curso de Teoria de Grupos,

tais como: o Teorema de Lagrange, os Teoremas de Isomorfismos, o Teorema da Corre-

spondencia e os Teoremas de Sylow.

Estabeleceremos agora algumas notacoes e terminologias que serao usadas com mais

frequencia. Dados os conjuntos X e Y escrevemos X ⊆ Y se X e um subconjunto de Y

e X ⊂ Y se X e um subconjunto proprio de Y . A cardinalidade de X sera denotada por

|X|.

Se f : X −→ Y e uma funcao do conjunto X no conjunto Y escrevemos (x)f , ou xf ,

ou f(x) para a imagem do elemento x (de X) pela f . Para um subconjunto nao vazio A

de X, denotararemos o conjunto {(a)f | a ∈ A} por Af ou (A)f .

Seja G um grupo multiplicativo. Usaremos o sımbolo 1 tanto para o elemento iden-

tidade de G quanto para o subgrugo de G contendo apenas a identidade, entretanto seu

significado estara claro no contexto. Indicaremos o subconjunto G \ {1} de G por G#.

Se X e um subconjunto nao vazio do grupo G escrevemos 〈X〉 para o subgrupo de G

gerado por X.

Muitos dos resultados deste capıtulos terao suas demonstracoes omitidas, mas tomamos

o cuidado de citar pelo menos uma referencia para que o leitor possa obte-las. Para as

secoes 1.1 e 1.2 sugerimos [5], [11] e [12].

4

1.1 Subgrupos comutadores e caracterısticos

Sejam x1, x2, . . . , xn elementos de um grupo G. O conjugado de x1 por x2 e o ele-

mento x−12 x1x2 o qual indicaremos por xx2

1 . O comutador de x1 e x2, nesta ordem, e o

elemento [x1, x2] = x−11 x−1

2 x1x2. Para n ≥ 2 o comutador simples de peso n e definido

recursivamente pela regra [x1, x2, . . . , xn] = [[x1, x2, . . . , xn−1], xn], com aconvencao que

[x1] = x1. Usamos tambem a notacao [x,n y] para o comutador [x, y, y, . . . , y︸︷︷︸n

].

O resultado a seguir fornece algumas identidades envolvendo comutadores cujas ver-

ificacoes sao imediatas.

Proposicao 1.1.1 Sejam x, y, z elementos de um grupo G. Entao

(i) [x, y] = [y, x]−1;

(ii) [xy, z] = [x, z]y[y, z] = [x, z][x, z, y][y, z] ; [x, yz] = [x, z][x, y]z = [x, z][x, y][x, y, z];

(iii) [x, y−1] = [y, x]y−1

; [x−1, y] = [y, x]x−1

;

(iv) [x, y−1, z]y[y, z−1, x]z[z, x−1, y]x = 1; (Identidade de Hall-Witt)

(v) Se y comuta com z e se [x,G] = 〈[x, g] : g ∈ G〉 e abeliano, entao [x, y, z] = [x, z, y];

(vi) Se [x, y] comuta com x e y, entao [x, y]−1 = [x−1, y] = [x, y−1].

Sejam X1, X2, . . . , Xn subconjuntos nao vazios de um grupo G. O subgrupo comutador

de X1 e X2 e definido por:

[X1, X2] = 〈[x1, x2] |x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2〉..

Para n ≥ 2 definimos recursivamente [X1, X2, . . . , Xn] = [[X1, X2, . . . , Xn−1], Xn], con-

venciomando que [X1] = 〈X1〉. Usamos tambem a notacao [X,n Y ] para o subgrupo comu-

tador [X, Y, Y, . . . , Y︸︷︷︸n

]. Se H e um subconjunto nao vazio de G, e facil ver que os subcon-

juntos

CG(H) = {g ∈ G | hg = h, ∀h ∈ H} e NG(H) = {g ∈ G | Hg = H} sao sub-

grupos de G, chamados de centralizador e normalizador, respectivamente, de H em G.

5

Proposicao 1.1.2 Sejam H e K subgrupos de um grupo G. Entao

(i) [H,K] e um subgrupo normal de 〈H,K〉;

(ii) [H,K] = [K,H];

(iii) K ⊆ NG(H) se, e somente se, [H,K] ⊆ H;

(iv) K ⊆ CG(H) se, e somente se, [H,K] = 1;

(v) Se H e K sao normais em G, entao [H,K] e normal em G;

(vi) Se φ : G −→ G1 e um homomorfismo de grupos entao [H,K]φ = [Hφ, Kφ].

Nas hipoteses do teorema dizemos que K normaliza H se [H,K] ⊆ K. Analogamente,

H centraliza K se [H,K] = 1.

Teorema 1.1.3 (Lema dos Tres Subgrupos) Sejam H, K e L subgrupos de um grupo

G. Se [H,K,L] = [K,L,H] = 1, entao [L,H,K] = 1.

Um subgrupo H de um grupo G sera chamado de caracterıstico em G, denotado por

H char G, se Hφ ⊆ H para todo φ ∈ Aut(G). Se A e umsubgrupo de Aut(G), diremos

que H e A-invariante se Hφ ⊆ H, para todo φ ∈ A.

Proposicao 1.1.4 Seja A um subgrupo de Aut(G) e seja H um subgrupo A-invariante

de G. Entao,

(i) NG(H) e CG(H) sao A-invariantes;

(ii) Para cada φ ∈ A, a restricao φ|H de φ a H e um automorfismo de H e a aplicacao

φ 7→ φ|H e um homomorfismo de A em Aut(H);

(iii) Se H e normal em G e φ ∈ A a aplicacao φ∗ :G

H−→ G

Hdefinida por (Hx)φ∗ =

H(xφ) para todo x ∈ G e um automorfismo e a aplicacao φ 7→ φ∗ e um homomor-

fismo de A em Aut

(G

H

).

6

Se B e o nucleo do homomorfismo de A em Aut(H), entaoA

Be isomorfo a um

subgrupo de Aut(H). Porsimplicidade vamos dizer que A e um grupo de automorfismos

de H (observamos que isto nem sempre e verdadeiro). Do mesmo modo, se H e normal

em G vamos nos referir a A como um grupo de automorfismos deG

H.

Proposicao 1.1.5 (i) Se H char K e K char G, entao H char G;

(ii) Se H char K / G, entao H / G;

(iii) Se H ⊆ K sao subgrupos de G tal que H char G eK

Hchar

G

H, entao K char G;

(iv) Se H e K sao subgupos caracterısticos de G, entao [H,K] char G.

Um grupo que nao possui subgrupo caracterıstico proprio e chamado de caracteristi-

camente simples . O proximo resultado descreve a estrutura desses grupos.

Teorema 1.1.6 Um grupo caracteristicamente simples e o produto direto de grupos sim-

ples e isomorfos.

1.2 Grupos soluveis e grupos nilpotentes

Uma serie normal de um grupo G e uma cadeia de subgrupos

G = G0 ⊇ G1 ⊇ G2 ⊇ . . . ⊇ Gn = 1 (1.1)

em que Gi+1 e normal em Gi para todo i. Os gruposfatores desta serie normal sao os

grupos quocientesGi

Gi+1

, para i = 1, 2, . . . , n− 1.

Seja

G = H0 ⊇ H1 ⊇ H2 ⊇ . . . ⊇ Hm = 1 (1.2)

uma serie normal de G. A serie (1.2) e um refinamento da serie (1.1) se {G0, G1, . . . , Gn}

e uma subsequencia de {H0, H1, . . . , Hm}. Dizemos que (1.1) e (1.2) sao series normais

equivalentes se existe uma correspondencia 1-1 entre os seus grupos fatores e se os fatores

correspondentes sao isomorfos.

7

A serie (1.1) e chamada de serie de composicao de G se cada Gi+1 e um subgrupo nor-

mal maximal de Gi. Os grupos fatores de tal serie sao chamados de fatores de composicao.

As series de composicao de um mesmo grupo tem a seguinte propriedade.

Lema 1.2.1 (Jordan-Holder) Quaisquer duas series de composicao de um grupo G

sao equivalentes.

Um grupo G e soluvel se tem uma serie normal em que cada grupo fator e abeliano.

Para grupos finitos temos uma condicao equivalente para solubilidade.

Proposicao 1.2.2 Um grupo finito G e soluvel se, e somente se, G possui uma serie de

composicao cujos fatores de composicao sao cıclicos de ordem prima.

Os grupos soluveis tem as seguintes propriedades.

Proposicao 1.2.3 (i) Subgrupos e imagens por homomorfismos de um grupo soluvel

e soluvel;

(ii) Se H e normal em G eG

H, H sao soluveis, entao G e soluvel;

(iii) Produto direto de grupos soluveis e soluvel;

(iv) p-grupos finitos sao soluveis;

(v) Um subgrupo normal minimal de um grupo soluvel finito e um p-grupo abeliano

elementar para algum primo p;

(vi) Se G e soluvel, entao [G,G] ⊂ G.

Daremos agora uma caracterizacao de grupos soluveis em termos da serie derivada

de um grupo G, que e definida indutivamente por: G(0) = G e G(i+1) = [G(i), G(i)], i ≥ 1.

Proposicao 1.2.4 Um grupo G e soluvel se, e somente se, G(n) = 1 para alguminteiro

positivo n.

8

A serie central inferior de um grupo G,

G = γ1(G) ⊇ γ2(G) ⊇ . . . ⊇ γi(G) ⊇ . . .

e definida recursivamente colocando γ1(G) = G e, para i ≥ 1, γi+1(G) = [γi(G), G]. E

comum denotar o segundo termo desta serie por G′, isto e, G′ = γ2(G) = [G,G], o qual

e chamado de subgrupo derivado de G.

Segue da Proposicao 1.1.2(iii) que γi(G) e um subgrupo normal de G para todo i.

Portanto, se x ∈ G e y ∈ γi(G), entao x e y comutam modulo γi+1(G). Alem disso, pela

Proposicao 1.1.5(iv) temos que γi(G) char G para todo i ≥ 1.

Proposicao 1.2.5 Seja G um grupo.

(i) Se i, j sao inteiros positivos, entao [γi(G), γj(G)] ⊆ γi+j(G) e γi(γj(G)) ⊆ γij(G);

(ii) Se G = 〈X〉, entao γi(G) = 〈[x1, . . . , xi], γi+1(G) |xj ∈ X, j = 1, . . . , i〉.

A serie central superior

1 = ξ0(G) ⊆ ξ1(G) ⊆ . . . ⊆ ξi(G) ⊆ . . .

e definida da seguinte maneira: ξ0(G) = 1 e, para i ≥ 1, ξi+1(G) e a imagem inversa do

centro deG

ξi(G)em G.

Teorema 1.2.6 Para todo grupo G temos que ξm(G) = G se, e somente se, γm+1(G) = 1.

Dizemos que um grupo G e nilpotente se existe um inteiro c tal que γc+1(G) = 1.

Chamaremos o menor inteiro c que satisfaz esta condicao de a classe de nilpotencia de

G e denotaremos por cl(G).

O centro do grupo G, denotado por Z(G), e o conjunto dos elementos a ∈ G tal que

a comuta com todos elementos de G.

Como propriedades gerais dos grupos nilpotentes temos:

Proposicao 1.2.7 (i) Subgrupos e imagems por homomorfismos de um grupo nilpon-

tente e nilpotente;

9

(ii) Grupos nilpotentes sao soluveis;

(iii) O produto direto finito de grupos nilpontes e nilpotente;

(iv) Todo p-grupo finito e nilpotente.

(v) SeG

Z(G)e nilpotente, entao G e nilpotente.

Os grupos nilpotentes ainda tem as seguintes propriedades fundamentais:

Teorema 1.2.8 Seja H um subgrupo nao trivial de um grupo nilpotente G. Entao

(i) H ⊂ NG(H);

(ii) Se H e normal em G, entao H ∩ Z(G) 6= 1.

Observamos que pela Proposicao 1.2.7(iv), as propriedades acima tambem valem para

p-grupos finitos.

Para grupos finitos temos a seguinte caracterizacao:

Teorema 1.2.9 Um grupo finito G e nilpotente se, e somente se, G e o produto direto

dos seus subgrupos de Sylow. Em outras palavras, G e nilpotente se, e somente se, todo

subgrupo de Sylow de G e normal em G.

1.3 Os subgrupos de Frattini e de Fitting

Seja G um grupo e M subgrupo de G. Dizemos que M e um subgrupo maximal de G

se nao existe um subgrupo H de G tal que M ⊂ H ⊂ G. Quando G e finito, G sempre

tem subgrupos maximais. Entretanto se G e infinito, entao G pode ter ou nao subgrupos

maximais. Por exemplo, consideramos G como sendo o grupo dos numeros racionais com

a operacao de adicao. Como G e abeliano, um subgrupo maximal H de G e tambem

normal; logoG

He um grupo abeliano simples. Assim

G

He finito e sua ordem e um primo.

Mas, neste caso, G nao tem subgrupos de ındice finito. Portanto G nao tem subgrupo

maximal.

10

Seja M o conjunto de todos os subgrupos maximais de G. O subgrupo de Frattini de

G e definido da seguinte forma:

Φ(G) =

⋂

M∈M

M se M 6= ∅

G se M = ∅

E facil ver que Φ(G) char G, de modo que Φ(G) e um subgrupo normal de G.

Teorema 1.3.1 Se P e um p-grupo finito, entaoP

Φ(P )e abeliano elementar. Alem

disso, Φ(P ) = 1 se, e somente se, P e abeliano elementar.

Demonstracao. Seja M um subgrupo maximal de P . Entao M e normal em P e

|P : M | = p, isto implica queP

Me cıclico de ordem p e, em particular,

P

Me abeliano.

Logo xp ∈ M , para todo x ∈ P e P ′ ⊆ M . Como tomamos M arbitrariamente temos

P ′ ⊆ Φ(P ) e xp ∈ Φ(P ). PortantoP

Φ(P )e abeliano e a ordem de quaisquer de seus

elementos divide p, isto e,P

Φ(P )e um p-grupo abeliano elementar. Em particular, se

Φ(P ) = 1, entao P e um p-grupo abeliano elementar.

Reciprocamente, se P e abeliano elementar e x1 ∈ P# escolhemos uma base

{x1, x2, . . . , xn} de P . Dessa forma o subgrupo 〈x2, . . . , xn〉 de P e maximal e nao contem

x1. Como x1 foi tomado arbitrariamente em P# segue que Φ(P ) = 1.

A proxima proposicao sera muito util na demonstracao de alguns resultados

posteriores.

Proposicao 1.3.2 Se H e um subgrupo normal e finito de um grupo G e P e um p-

subgrupo de Sylow de H, entao G = NG(P )H.

Demonstracao Se x ∈ G, entao P x ⊆ H e P x e um subgrupo de Sylow de H. Pelo Teo-

rema de Sylow, P x = P h para algum h ∈ H. Logo xh−1 ∈ NG(P ) e, consequentemente,

x ∈ NG(P )H. Portanto G = NG(P )H.

Na demonstracao do proximo teorema precisamos da

11

Proposicao 1.3.3 Se G e um grupo tal que Φ(G) ⊂ G, temos.

(i) Se X e um subconjunto de G, x ∈ Φ(G) e G = 〈X, x〉, entao G = 〈X〉

(ii) Se Φ(G) e finitamente gerado e H e um subgrupo de G tal que G = Φ(G)H, entao

G = H.

Demonstracao. (i) Suponhamos que 〈X〉 ⊂ G. Entao existe um subgrupo maximal M

de G contendo 〈X〉 e, como x ∈ Φ(G), temos G = 〈X, x〉 ⊆ M ⊂ G, uma contradicao.

Logo G = 〈X〉.

(ii) Sejam {x1, . . . , xn} um conjunto de geradores para Φ(G). Por hipotese temos que

G = 〈H, x1, . . . , xn〉. Aplicando o item (i) n vezes obtemos que G = 〈H〉 = H.

Usando as proposicoes acima provamos o

Teorema 1.3.4 (Gaschutz) Se G e um grupo e H e um subgrupo normal e finito de G

contendo Φ(G) e tal queH

Φ(G)e nilpotente, entao H e nilpotente. Em particular, Φ(G)

e nilpotente sempre que G e finito.

Demonstracao. Seja P um p-subgrupo de Sylow de H; pelo Teorema 1.2.9 e suficiente

mostrarmos que P e normal em H. Seja K = PΦ(G). Notamos que K ⊆ H. ComoK

Φ(G)

e um p-subgrupo de Sylow deH

Φ(G)e este e nilpotente, entao

K

Φ(G)e caracterıstico em

H

Φ(G). Aplicando a Proposicao 1.1.5(iii) obtemos que K e caracterıstico em H. Assim,

sendo H normal em G segue que K e normal em G. Agora aplicamos as Proposicoes

1.3.2 e 1.3.3 para obtermos G = NG(P )K = NG(P )Φ(G) = NG(P ). Isto mostra que P e

normal em G como querıamos demonstrar.

Se X e Y sao subconjuntos de um grupo G, escrevemos XY para representarmos o

subconjunto de G formado por todos os produtos xy tais que x ∈ X e y ∈ Y .

Seja G um grupo finito. Se H e K sao subgrupos normais de G sabemos que HK

e um subgrupo normal de G. Adicionalmente, se H e K sao nilpotentes, tambem e

verdade que HK e um subgrupo normal e nilpotente de G. Dessa forma, o subgrupo

12

de G gerado por todos os seus subgrupos normais e nilpotentes e tambem um subgrupo

normal e nilpotente de G. Tal subgrupo sera chamado de subgrupo de Fitting de G e

denotado por F (G). Observamos que F (G) char G.

Lema 1.3.5 ([5], pag 219) Seja M um subgrupo maximal de um grupo finito G e seja

L⋂x∈GM

x, de modo que L e normal em G. Coloquemos G =G

Le F = F (G). Entao F

e um p-grupo abeliano elementar para algum primo p.

Agora daremos um resultado que relaciona F (G) com Φ(G) quando G e finito.

Teorema 1.3.6 Sejam F = F (G) e Φ = Φ(G), onde G e um grupo finito. Entao temos

(i) F ′ ⊆ Φ ⊆ F ;

(ii)F

Φ= F

(G

Φ

).

Demonstracao. Sejam G =G

Φ, F = F (G) e K a imagem inversa de F em G. Se P e

um p-subgrupo de Sylow de K, entao sua imagem P em F e um p-subgrupo de Sylow

do grupo nilpotente F . Logo P / G e, consequentemente, PΦ / G. Assim da Proposicao

1.3.2 segue que G = ΦNG(P ) e entao G = NG(P ) pela Proposicao 1.3.3, ou seja, P e um

p-subgrupo de Sylow normal de G. Como isto e valido para todo p-subgrupo de Sylow

de K, temos que K e nilpotente pelo Teorema 1.2.9. Portanto K ⊆ F . Por outro lado,

a imagem de F em G e certamente um subgrupo normal e nilpotente de G e logo esta

contido em F . Assim F ⊆ K e concluımos que F = K, Φ ⊆ F eF

Φ= F .

Resta-nos mostrar que F ′ ⊆ Φ. Sejam M e L como no lema anterior, G =G

Le F

a imagem de F em G. Certamente F ⊆ F (G), pois F e um subgrupo normal e nilpo-

tente de G. Pelo lema anterior F (G) e abeliano, de modo que F tambem e. Assim

F ′ ⊆ L ⊆M . Como isto e valido para todo subgrupo maximal M de G, concluımos que

F ′ ⊆ Φ.

13

1.4 Produto tensorial de modulos

Nesta secao R sempre denotara um anel com identidade. Sejam U e V R-modulos.

Um R-modulo T , junto com uma funcao bilinear τ : U ×V −→ T e um produto tensorial

de U e V se satisfaz as propriedades:

(i) Os elementos (u, v)τ com (u, v) ∈ U × V formam um conjunto de geradores de T ;

(ii) Para todo R-modulo W e toda funcao bilinear f : U × V −→ W existe um funcao

linear f ∗ : T −→ W tal que f = τ ◦ f ∗

Por enquanto nada garante que o produto tensorial de U e V efetivamente existe.

Esse e o conteudo do nosso proximo resultado.

Teorema 1.4.1 Dados dois R-modulos U e V , o produto tensorial de U e V sempre

existe e e unico, a menos de isomorfismos.

Demonstracao. Primeiro provaremos a existencia. Consideramos S como sendo o con-

junto dos elementos∑

(u,v)∈U×V

xuv(u, v), onde xuv ∈ F e xuv = 0 exceto para um numero

finito de pares (u, v) ∈ U × V . Com as operacoes∑(u,v)∈U×V

xuv(u, v) +∑

(u,v)∈U×V

x′uv(u, v) =∑

(u,v)∈U×V

(xuv + x′uv)(u, v),

λ

∑(u,v)∈U×V

xuv(u, v)

=∑

(u,v)∈U×V

λxuv(u, v).

S e um R-modulo. Agora consideramos o R-submodulo H de S gerado por todos os

elementos:

α = (u1 + u2, v)− (u1, v)− (u2, v), (1.3)

β = (u, v1 + v2)− (u, v1)− (u, v2), (1.4)

γ = (λu, v)− (u, λv). (1.5)

para todos u, u1, u2 ∈ U , v, v1, v2 ∈ V e λ ∈ F .

14

Finalmente, consideramos T =S

H. Sejam i a imersao de U × V em S e π a projecao

de S em T . Definindo τ = iπ, segue que τ e bilinear e que o conjunto {τ(u, v) | (u, v) ∈

U × V } gera T .

Seja agora W um R-modulo e f : U × V −→ W uma funcao bilinear. Como o

conjunto de elementos da forma (u, v) ∈ U × V constitui uma base de S sobre R, existe

uma funcaobem definida f ′ : S −→ W tal que ∑(u,v)∈U×V

xuv(u, v)

f ′ =∑

(u,v)∈U×V

xuv(u, v)τ

Notamos que f ′ vale 0 sobre todos os geradores de H, pois τ vale 0 nestes geradores, por

ser bilinear, donde H ⊆ nuc f ′. Portanto f ′ induz uma funcao linear f ∗ : T =S

H−→ W

definida por ((u, v)H)f ∗ = (u, v)f ′ e tal que f = τf ∗. Isto mostra que T e o produto

tensorial de U eV .

Para mostrarmos a unicidade, a menos de isomorfismos, suponhamos que T ′ com a

funcao bilinear υ : U×V :−→ T ′ seja um produto tensorial de U e V . Como υ e bilinear,

existe uma funcao υ∗ : T −→ T ′ tal que υ = τυ∗. Da mesma forma, como τ e bilinear e

T ′ junto com υ e um produto tensorial, existe uma funcao linear τ ∗ : T ′ −→ T tal que

τ = υτ ∗

Observamos que τ = vτ = (τυ∗)τ ∗ = τ(υ∗τ ∗ e, como τ e sobrejetora, pois sua imagem

gera T, tem-se que υ∗τ ∗ = IT , identidade de T .

Analogamente τ ∗υ∗ = IT ′ e ambas as funcoes sao isomorfismos de R-modulos, o que

completa a demonstracao.

Denotaremos o produto tensorial de U e V sobre R por U⊗F V e, quando nao houver

necessidade de frisar o corpo que estamos trabalhando, o denotaremos simplesmente por

U⊗V . Tambem, dados u ∈ U e v ∈ V , escreveremos (u, v)τ = u⊗v. Como os elementos

descritos em (1.3), (1.4) e (1.5) sao nulos em T =S

H, pelo teorema acima, temos

(u1 + u2)⊗ v = u1 ⊗ v + u2 ⊗ v

u⊗ (v1 + v2) = u⊗ v1 + u⊗ v2

λu⊗ v = u⊗ λv = λ(u⊗ v).

15

Proposicao 1.4.2 ([1], pag 433) Sejam U , V e W R-modulos. Entao:

(i) V ⊗F F ∼= V ;

(ii) U ⊗F V ∼= V ⊗F U ;

(iii) U ⊗F (V ⊗F W ) ∼= (U ⊗F V )⊗F W ;

(iv) U ⊗F (V ⊕W ) ∼= (U ⊗F V )⊕ (U ⊗F W ).

A demonstracao segue usando as propriedades (i) e (ii) da definicao do produto ten-

sorial.

1.5 Representacao permutacional e representacao de

grupos

Nesta secao todos os grupos considerados saofinitos.

Seja G um grupo de permutacoes de um conjunto finito S, istoe, G e um subgrupo

de Sym(S), onde Sym(S) denota o grupo de todas as permutacoes de S com a operacao

de composicao de funcoes. Chamaremos G um grupo de permutacoes transitivo sobre S

se para todos i, i′ ∈ S, existe x ∈ G tal que (i)x = i′.

Seja H um subgrupo de G e seja S = {Hx1, Hx2 . . . Hxn} um conjunto de todas as

classes laterais de H em G, como Hxi 6= Hxj se i 6= j. Para cada x ∈ G, a aplicacao πx

definida por

(Hxi)πx = H(xix) , i = 1, 2, . . . n,

e uma permutacao de S. Alem disso, πxπy = πxy para todo x, y ∈ G. Assim a aplicacao

πH : G −→ Sym(S) dada por (x)πH = πx e um homomorfismo e e facil ver que a imagem

de πH e um grupo de permutacoes transitivo sobre S.

Chamamos πH de representacao permutacional transitiva de G com respeito as classes

laterais de H. Mais geralmente, qualquer homomorfismo π de G no grupo de todas as

permutacoes de um conjunto S e chamado de representacao permutacional transitiva deG

16

sobre S se (G)π e um grupo de permutacoes transitivo. Se π e π′ sao duas representacoes

permutacionais transitivas de G sobre S e S ′, respectivamente, dizemos que π e π′ sao

equivalentes se existe uma bijecao θ : S −→ S ′ tal que π′θ−1πθ. Para nao causar confusao

chamaremos os elementos do conjunto S de letras.

Proposicao 1.5.1 ([5], pag 34) Toda representacao permutacional transitiva de um

grupo finito G e equivalente a uma de G com respeito as classes laterais de algum subgrupo

de G.

Claramente, se G e um grupo de permutacoes sobre um conjunto S e i e um elemento

de S, entao o conjunto dos elementos de G que deixam i fixo e um subgrupo de G

chamado o estabilizador de i em G e indicado por E(i).

Estamos particularmente interessados na classe dos grupos de permutacoes transitivas

em que somente a identidade fixa mais de um elemento, mas E(i) 6= 1, para toda letra

i. Tais grupos sao chamados de grupos de Frobenius, pois foi ele o primeiro a estudar

esta classe de grupos. Ele estabeleceu a seguinte propriedade importante dos grupos de

Frobenius:

Teorema 1.5.2 (Frobenius). ([5], pag 140) Seja G um grupo de Frobenius e seja H

o estabilizador de uma letra. Entao o subconjunto K de G consistindo da identidade e

dos elementos que nao fixam letras e um subgrupo normal de G cuja ordem e |G : H|.

Os subgrupos K e H do Teorema de Frobenius sao chamados de nucleo de Frobenius

e complemento de Frobenius de G, respectivamente.

Daremos agora uma condicao para um grupo G ser um grupo de Frobenius com

complemento H. Esta condicao independe do Teorema de Frobenius e sua demonstracao

depende essencialmente da Proposicao 1.5.1.

Proposicao 1.5.3 Seja H 6= 1 um subgrupo proprio de um grupo G. Entao G e um

grupo de Frobenius com complemento H se, e somente se, para todo x ∈ G temos

H ∩Hx =

H se x ∈ H

1 se x 6∈ H

17

A proposicao acima vai nos ajudar a provar o proximo teorema, que sera muito util

nas demonstracoes de alguns resultados dos proximos capıtulos.

Teorema 1.5.4 Seja G um grupo finito contendo subgrupos H e K tais que G = HK,

K / G e H ∩K = 1. Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(i) G e um grupo de Frobenius com complemento H e nucleo K;

(ii) Todo elemento de H# induz por conjugacao um automorfismo de K que fixa so-

mente a identidade;

(iii) CG(y) ⊆ K, para todo y ∈ K#.

Demonstracao. Evidentemente a funcao ϕh : K −→ K definida por (y)ϕh = yh e um

automorfismo de K.

Vamos mostar que (i) implica (ii), ou seja, que se h ∈ H#, entao ϕh fixa somente

a identidade de K. Seja y ∈ K tal que h = hy ∈ H ∩ Hy, com h 6= 1. Assim, pela

proposicao acima, y ∈ H e, consequentemente, y ∈ H ∩K = 1 como desejado.

Suponhamos que ϕh deixa fixo somente a identidade de K, para h ∈ H#. Antes de

provarmos que (ii) implica (iii), mostraremos a seguinte afirmacao: |H| divide |K| − 1.

De fato, fixado y ∈ K definimos o conjunto Γy = {yh | h ∈ H}. Por (ii) este conjunto tem

|H| elementos. Se y1, y2 ∈ K# e Γy1∩Γy2 6= ∅, entao existem h1, h2 ∈ H tais que yh11 = yh2

2

implicando que y1 = yh2h12 . Logo Γy1 = Γy2 e, entao, os Γy, com y ∈ K#, formam uma

particao de K#. Dessa forma, |K#| = m|H| para algum inteiro positivo m. Por outro

lado, |K#| = |K| − 1. Portanto |H| divide |K| − 1, em particular, (|K|, |H|) = 1.

Agora suponhamos, por absurdo, que para algum y ∈ K# exista x ∈ CG(y) tal que

x 6∈ K. Como K /G e G = HK segue que |〈x〉| e divisıvel por algum primo p que divide

|H|. Seja P um p-subgrupo de Sylow de 〈x〉. Temos que P 6= 1 e pelo Teorema de Sylow

existe g ∈ G tal que P g ⊆ H, ja que p divide |H| e nao divide |K|. Agora, P ⊆ 〈x〉

implica que yg ∈ K. Logo P g ⊆ 〈xg〉 ⊆ CG(yg) e P g ⊆ H. Portanto existe 1 6= h ∈ H

tal que (yg)ϕh = yg que contradiz (ii). Portanto (ii) implica (iii), como querıamos.

18

Vamos assumir que CG(y) ⊆ K, para todo y ∈ K# para provarmos que (i) e satisfeito.

Primeiramente mostraremos que G e um grupo de Frobenius com complemento H, para

isso supomos que H ∩ Hg 6= 1, para algum g ∈ G. Tomemos g = hy, com h ∈ H

e y ∈ K, e x 6= 1 em H ∩ Hg tal que x 6= 1. Nestas condicoes existe h1 ∈ H#

de modo que x = hg1 = y−1h−1h1hy. Colocando h′ = h−1h1h obtemos que h′ 6= 1 e

(h′)−1x = (h′)−1y−1h′y ∈ H ∩ K = 1. Logo h′ ∈ CG(y) e isto implica que y = 1; de

outro modo CG(y) ⊆ K, que nao e o caso. Assim g = h ∈ H e segue que H ∩Hg = H.

Portanto

H ∩Hx =

H se x ∈ H

1 se x 6∈ H,

ou seja, G e um grupo de Frobenius com complemento H.

Provaremos agora que o nucleo de Frobenius de G e K. Notamos que pelo Teorema

de Frobenius H e o estabilizador de uma letra e K e o conjunto dos elementos que nao

fixam letra juntamente com a identidade. Se H fixa uma letra , Hg tambem fixa alguma

letra, para todo g ∈ G. Assim o nucleo de Frobenius de G e N = (G − ∆) ∪ {1}, onde

∆ =⋃g∈G

Hg.

Pelo Teorema de Frobenius |N | = |G : H| e, por hipotese, |K| = |G : H|, logo

|N | = |K|. Como G e um grupo de Frobenius com complemento H e nucleo N a

afirmacao feita em (ii) implica (iii) e valida, assim (|N |, |H|) = (|K|, |H|) = 1. Se

y ∈ K# temos que (|〈y〉|, |H|) = 1. Assim, pelo Teorema de Lagrange, y 6∈⋃g∈G

Hg e

entao K ⊆ N . Portanto K = N , pois |K| = |N |. Isto mostra que (iii) implica (i)

completando a demonstracao.

Na sequencia estaremos considerando V como sendo um espaco vetorial de dimensao

finita sobre um corpo F que denotaremos por V |F .

Uma representacao de um grupo G sobre V |F e um homomorfismo

φ : G −→ GL(V |F ), onde GL(V |F ) e o grupo dos operadores lineares nao singulares de

V .

Quando o nucleo de uma representacao contem apenas a identidade dizemos que a

representacao e fiel. Se W e um subespaco (G)φ -invariante de V , φ induz naturalmente

19

um homomorfismo de G em GL(W |F ), chamado de restricao de φ a W . Esta repre-

sentacao induzida sera denotada por φ|W . Notamos que a representacao φ induz tambem

de forma natural um homomorfismo injetor φ∗ deG

Nucφem GL(V |F ). Seja ψ a trans-

formacao linear natural de V sobreV

W, para cada x ∈ G, temos que vψ 7→ (v(xφ))ψ

define um operador linear nao singular deV

W, de modo que φ tambem induz um homo-

morfismo de G em GL( VW|F ), este homomorfismo induzido e chamado de representacao

quociente de G sobre GL( VW|F ).

Como um primeiro resultado sobre representacoes temos:

Teorema 1.5.5 ([5], pag 62) Se G tem uma representacao fiel e irredutıvel de um espaco

vetorial sobre um corpo de caracterıstica p, entao G nao tem p-subgrupos normais nao

triviais.

Se φ : G −→ GL(V |F ) e φ′ : G −→ GL(V ′|F ) sao representacoes, dizemos que φ

e φ′ sao equivalentes se existe um isomorfismo ψ : V −→ V ′ tal que xφ′ = ψ−1(xφ)ψ,

para todo x ∈ G. Suponhamos que a dimensao de V |F e n. Escolhendo e fixando uma

base B de V |F , para cada x ∈ F , seja (xφ)B a matriz de (x)φ em relacao a base B.

Coma aplicacao x 7→ (xφ)B podemos considerar φ como um homomorfismo de G em

GL(n, F ), o grupo das matrizes n × n nao singulares sobre F . Chamamos esta nova

representacao de representacao matricial de G correspondente a φ. Observamos que

apesar da representacao matricial depender da base escolhida, representacoes matriciais

obtidas por bases diferentes sao equivalentes.

Vamos denotar por FG o grupo anel de G sobre o corpo F . Asssim

FG ={∑

x∈G axx | ax ∈ F}

onde a soma de dois elementos∑

x∈G axx e∑

x∈G bxx e

dada por∑

x∈G axx+∑

x∈G bxx =∑

x∈G(ax + bx)x e o produto e definido pela regra(∑x∈G axx

) (∑x∈G bxx

)=∑

x,y∈G(axby)xy.

Dada a representacao φ : G −→ GL(V |F ), fazendo a identificacao

ux = u(xφ), ∀u ∈ V, ∀x ∈ G,

e definindo u ·∑

x∈G axx =∑

x∈G(axu)x, para todo u ∈ V e∑

x∈G axx temos que V |F

torna-se um FG-modulo a direita. Neste caso, diremos simplesmente que V |F e um

20

G-modulo. Feito isso, cada elemento de G torna-se um operador linear de V |F e os

conceitos introduzidos para representacoes de grupos sao adaptados para a linguagem

de G-modulos. Assim um subespaco (G)φ-invariante de V torna-se um G-submodulo de

V , V e um G-modulo fiel se somente a identidade de G determina o operador linear

identidade de V , V |F e V ′|F sao G-modulos isomorfos se, e somente se, existe um

isomorfismo ψ : V −→ V ′ tal que (vψ)x = (vx)ψ para todo x ∈ G e v ∈ V . Outros

conceitos introduzidos para representacao de grupos sao adaptados analogamente para

G-modulos.

Agora se V |F e um G-modulo, entao para cada x ∈ G, a aplicacao Tx : V −→ V

dada por

vTx = vx, (1.6)

e um operador linear nao singular de V . Dessa forma, a aplicacao φ : G −→ GL(V |F )

dada por (x)φ = Tx e uma representacao de G sobre GL(V |F ). Portanto as nocoes de

representacao de G e de G-modulo sao equivalentes, nos usaremos o conceito que for mais

conveniente.

Uma representacao φ : G −→ GL(V |F ) e dita irredutıvel se O e V sao os unicos

subespacos de V que sao (G)φ-invariantes, caso contrario dizemos que φ e redutıvel.

Dizemos que a representacao e completamente redutıvel se V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . . ⊕ Vn,

onde cada Vi e um subespaco (G)φ-invariante nao nulo de V e cada φ|Vie irredutıvel,

i = 1, 2, . . . n.

Agora apresentaremos uma condicao suficiente para que uma representacao seja com-

pletamente redutıvel.

Teorema 1.5.6 (Maschke) Seja φ uma representacao de G sobre V |F e seja p a

caracterıstica de F . Se p = 0 ou (|G|, p) = 1, entao φ e completamente redutıvel.

Demonstracao. Seja |G| = n. Podemos supor que F contem os numeros racionais se

p = 0 e que contem Zp se p 6= 0. Observamos que mesmo que p seja nao nulo, como

(n, p) = 1, temos que1

ne um elemento de F . Portanto para todo v ∈ V ,

1

nv e um vetor

bem definido de V e, mais,

n

(1

nv

)=

(n

1

n

)v = v (1.7)

21

Vamos considerar V como um G-modulo e seja V1 um G-submodulo minimal nao nulo

de V . Como G age irredutivelmente sobre V1, o teorema segue se V1 = V . Assim podemos

supor que V1 ⊂ V . Escolhemos uma base {u1, u2, . . . , ur} para V1 e a completamos de

modo a obtermos uma base {u1, u2, . . . , ur, ur+1, . . . , um} para V . Seja W o subespaco

de V gerado por {ur+1, u2, . . . , um}. Logo V = V1 ⊕W com W 6= 0, ou seja, W e um

completamento de V1 em V , mas observamos que W nao e necessariamente G-invariante.

Nosso objetivo e mostrar que V1 possui um completamento G-invariante.

Se v ∈ V existem unicos v1 ∈ V1 e w ∈ W tais que v = v1 +w. Assim definimos uma

aplicacao θ : V −→ W por (v)θ = (v1 + w)θ = w. Claramente θ e uma trasformacao

linear. Agora definimos ψ : V −→ V por

(v)ψ =1

n

∑x∈G

((vx)θ)x−1. (1.8)

Como1

ne um elemento bem definido de F temos que ψ esta bem definida e sendo θ

linear e V um G-modulo, entao ψ ∈ GL(V |F ).

Seja V2 = V f , afirmamos que V2 e G-invariante. De fato, para y ∈ G coloquemos

z = y−1x. Entao

(vψ)y =1

n

∑x∈G

(vxθx−1)y =1

n

∑x∈G

(vyy−1xθx−1)y =1

n

∑x∈G

vyzθz−1. (1.9)

Se x percorre G, entao z tambem percorre G. Assim de (1.8) e (1.9) obtemos

(vψ)y =1

n

∑z∈G

(vy)zθz−1 = (vy)ψ ∈ V2. (1.10)

Isto implica que V2 e G-invariante.

Mostraremos agora que V = V1 ⊕ V2. Para v ∈ V escrevamos v = v1 + v2, onde

v2 = vψ e v1 = v − v2. Por definicao, v2 ∈ V2 e como (vx)x−1 = v podemos escrever

v1 = v − vψ =1

n

∑x∈G

(vx− vxθ)x−1. (1.11)

Mas vx− (vx)θ ∈ V1, para todo x ∈ G. Assim, de (1.11) segue que v1 ∈ V1, pois V1 e G-

invariante. Resta mostrarmos que V1 ∩ V2 = 0, mas antes provaremos que v1ψ = 0, para

todo v1 ∈ V1 e que ψ2 = ψ. Se v1 ∈ V1, entao v1x ∈ V1 para x ∈ G e, consequentemente,

22

(v1x)θ = 0, para todo x ∈ G. Logo v1ψ =1

n

∑x∈G

v1xθx−1 = 0, para todo v1 ∈ V1. Alem

disso, por (1.11) temos que v − vψ ∈ V1, para todo v ∈ V e assim (v − vψ)ψ = 0. Sendo

ψ linear segue que ψ = ψ2.

Agora tomemos v ∈ V1 ∩ V2. Temos por um lado, vψ = 0 e, por outro, existe u ∈ V

tal que uψ = v Assim, 0 = vψ = (uψ)ψ = uψ = v. Portanto V1 ∩ V2 = 0 e temos a

conclusao desejada, V = V1 ⊕ V2.

Temos que V2 e um G-modulo com dimF (V2) < dimF (V ). Dessa forma, podemos

aplicar inducao sobre dimF (V ) para obtermos que V2 e a soma direta de G-modulos irre-

dutıveis. Como V1 e irredutıvel e V = V1⊕V2 segue que V e completamente irredutıvel.

Lema 1.5.7 ([5], pag 61) Sejam V |F um G-modulo e U e W dois G-submodulos de V |F

tais que U ∩W = 0. Se V =V

We U e a imagem de U em V , entao U e um G-modulo

isomorfo a U .

Se G e representado irredutivelmente sobre V |F e K e um subgrupo normal de G, e

importante saber como V |F se decompoe sob a acao de K. Este e o resultado do proximo

teorema.

Teorema 1.5.8 (Clifford). Seja V |F um G-modulo irredutıvel e seja K um subgrupo

normal de G. Entao V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . . ⊕ Vn, onde V1, V2, . . . , Vn sao subespacos K-

invariantes satisfazendo:

(i) Vi = Xi1 ⊕ Xi2 ⊕ . . . ⊕ Xit , aqui cada Xij e um K-submodulo irredutıvel, t e

independente de i e Xij e isomorfo a Xi′j′ se, e somente se, i = i′;

(ii) Para todo K-submodulo U de V , temos que U = U1⊕U2⊕. . .⊕Ur, onde Ui = U∩Vi,

i = 1, 2, . . . r. Em particular, qualquer K-submodulo irredutıvel de V esta em Vi

para algum i;

(iii) Para cada x ∈ G, a aplicacao (x)φ : Vi −→ Vix, i = 1, 2, . . . n e uma permutacao do

conjunto S = {V1, V2, . . . , Vn} e φ induz uma representacao permutacional transitiva

de G sobre S. Alem disso, KCG(K) ⊆ Nuc φ.

23

Demonstracao. Primeiramente consideramos um K-submodulo qualquer W de V . Para

cada x ∈ G coloquemos W x = {wx | w ∈ W}, o qual e claramente um subespaco de V .

Alem disso, se wx ∈ W x, w ∈ W e se y ∈ K, entao sendo K normal em G, temos que

(wx)y = (wyx−1

)x = w1x ∈ W x. Assim W x e um K-submodulo de V . Notamos que,

U 7→ Ux e uma correspondencia biunıvoca entre os K-submodulos de W e os de W x (isto

segue facilmente do fato de que W = (W x)x−1

). Em particular, W x e irredutıvel se, e

somente se, W e irredutıvel. Mais ainda, se Y e um K-submodulo de V e θ : W −→ Y

e um isomorfismo de K-modulos, entao a aplicacao wx 7→ (wθ)x, de W x em Y x tambem

e um isomorfismo de K-modulos.

Agora escrevamos W = W1⊕W2⊕ . . .⊕Ws, onde W1,W2, . . . ,Ws sao K-submodulos

irredutıveis de V . Escolhamos um K-submodulo W de V de forma que s e maximal.

Afirmamos que W xi ⊆ W para todo i, 1 ≤ i ≤ s, e todo x ∈ G. De fato, por absurdo,

suponhamos que W xi 6⊆ W , para algum i e algum x ∈ G. Entao W ∩ W x

i e um K-

submodulo proprio de W xi , mas o argumento do paragrafo anterior mostra que W x

i e um

K-submodulo irredutıvel e daı W ∩W xi = 0. Dessa forma, W + W x

i = W ⊕W xi , que

contradiz com a escolha de W e s. Portanto W xi ⊆ W para todo i e todo x. Logo W e

um G-submodulo de V , mas sendo V um G-modulo irredutıvel isto implica que V = W ,

ou seja, V e a soma direta de K-submodulos irredutıveis.

Vamos renomear os Wi como Xij de modo que Xij e Xi′j′ sao K-modulos isomorfos se,

e somente se, i = i′ e coloquemos Vi = Xi1 ⊕Xi2 ⊕ . . .⊕Xiti , 1 ≤ i ≤ r. Pelo argumento

anterior temos que V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . . ⊕ Vr. Notamos que ainda nao ha garantia de que

ti independe de i.

Para o item (ii) seja U um K-submodulo qualquer de V . Pela irredutibilidade dos

Wj, se Wj1 6⊆ U , entao U ∩Wj1 = 0 e segue que U + Wj1 = U ⊕Wj1 . Repetindo este

argumento quantas vezes for possıvel obteremos j1, j2, . . . , je, tais que

V ∗ = U ⊕Wj1 ⊕Wj2 ⊕ . . .⊕Wje

e que Wj ⊆ V ∗, para todo j, 1 ≤ j ≤ s. Mas sendo V a soma direta dos Wj, entao

V = V ∗. Coloquemos V ′ como sendo a soma direta dos Wjk , 1 ≤ k ≤ e, e V ′′ a soma

direta dos Wj restantes. Assim obtemos V = U ⊕ V ′ e V = V ′′ ⊕ V ′. Pelo Lema 3.2.12,

24

U e V ′′ sao ambos K-modulos isomorfos aV

V ′ e consequentemente U e V ′′ sao K-modulos

isomorfos. Portanto qualquer K -submodulo U de V e uma soma direta de K-submodulos

irredutıveis. Desta forma, se (ii) vale para todo K-submodulo irredutıvel, isto e, qualquer

K-submodulo irredutıvel esta contido em Vi para algum i, 1 ≤ i ≤ r, entao para um K-

submodulo qualquer U de V podemos escreve-lo na forma U = U1 ⊕ U2 ⊕ . . . ⊕ Ur,

onde Ui e uma soma direta de K-submodulos irredutıveis contidos em Vi ou Ui = 0,

1 ≤ i ≤ r. Assim, Ui ⊆ Vi e claramente Ui = U ∩Vi, i = 1, 2, . . . , r. Portanto e suficiente

mostrarmos (ii) quando U e um K-submodulo irredutıvel.

Seja W ′m = W1 ⊕W2 ⊕ . . . ⊕Wm, escolhemos m como sendo o maior ındice tal que

U 6⊆ W ′m. Como W ′

s = W1 ⊕W2 ⊕ . . . ⊕Ws = V devemos ter 1 ≤ m < s. Alem disso,

U ⊆ W ′m+1 = W ′

m ⊕Wm+1. Sendo U um K-submodulo irredutıvel, temos U ∩W ′m = 0 e

assim W ′m+U = W ′

m⊕U ⊆ W ′m⊕Wm+1. Pelo Lema 3.2.12, U e um K-modulo isomorfo

a algum K-submodulo irredutıvel deW ′m+1

W ′m

. MasW ′m+1

W ′m

e isomorfo a Wm+1. Portanto

U e Wm+1 sao K-modulos isomorfos. Suponhamos que Wm+1 ⊆ Vi. Para estabelecermos

(ii) mostraremos que U ⊆ Vi.

Por absurdo vamos supor que U 6⊆ Vi. Da irredutibilidade de U segue U ∩ Vi = 0.

Aplicamos novamente o Lema 3.2.12 para obtermos agora que U e isomorfo a um K-

submodulo irredutıvel deV

Vi. Mas

V

Vie isomorfo a soma direta dos Wj que nao sao

isomorfos a Wm+1 (observe a definicao dos Vi). Consequentemente U e isomorfo a um

K-submodulo irredutıvel desta soma direta. Por outro lado, podemos aplicar o mesmo

argumento, usado para mostrar que U e Wm+1 sao K-modulos isomorfos, na imagem de

U emV

Vipara obter que esta imagem e um K-modulo isomorfo a algum dos Wj que nao

esta em Vi, mas pelo que acabamos de mostrar a imagem de U emV

Vie o proprio U .

Logo U e isomorfo a um K-modulo Wj′ que nao esta em Vi e isomorfo a Wm+1 ⊆ Vi que

e um absurdo (observe novamente a definicao dos Vi). Portanto U ⊆ Vi e o ıtem (ii) fica

demonstrado.

Tomemos x ∈ G. Pelas consideracoes iniciais Xxij e um K-submodulo irredutıvel e

por (ii), Xxij ⊆ Vi′ para algum i′, 1 ≤ i′ ≤ r. Logo Xx

ij e um K-modulo isomorfo a

Xi′j′ para determinados i′, j′. Tambem pelas consideracoes iniciais Xxij e Xx

ik sao K-

25

modulos isomorfos para todos j, k, 1 ≤ j, k ≤ ti. Logo i′ depende somente da escolha

de i nao dependendo da escolha de j. Dessa forma, V xi ⊆ Vi′ . Alem disso, como V

e um G-modulo irredutıvel segue que V = 〈V xi | x ∈ G〉, para todo i, 1 ≤ i ≤ r.

Isto quer dizer que para cada escolha de i, i′, 1 ≤ i, i′ ≤ r, existe xii′ ∈ G tal que

V xii′ ⊆ Vi′ . Como Vi e V xi tem a mesma dimensao, entao dimF (Vi) ≤ dimF (Vi′) para

todo i′, 1 ≤ i′ ≤ r. Isto implica que dimF (Vi) = dimF (Vi′) para todo i, i′, 1 ≤ i, i′ ≤ r.

Mas para todo i, 1 ≤ i ≤ r, e todo x ∈ G, V xi tem a mesma dimensao de Vi e V x

i ⊆ Vi′ ,

para algum i′. Dessa forma, V xi = Vi′ . Portanto a aplicacao (x)φ : Vi 7→ V x

i = Vix e uma

permutacao do conjunto S = {V1, V2, . . . , Vr}. E imediato que φ e um homomorfismo

de G em Sym(S) e como os elementos x1i′ , 1 ≤ i′ ≤ r, aplicam V1 em Vi′ temos que φ

e uma representacao permutacional transitiva de G sobre S. Alem disso, dimF (X1j) =

dimF (Xx1i′1j ) = dimF (Xi′1) , para todo j, 1 ≤ j ≤ t1, e dimF (V1) = dimF (Vi′). Por outro

lado, dimF (V1) = t1dimF (X11) e dimF (Vi′) = ti′dimF (Xi′1). Logo t1 = ti′ , para todo i′,

1 ≤ i′ ≤ r.

Para completarmos a demonstracao resta provarmos que KCG(K) ⊆ Nucφ. Como

Vi e um K-modulo para todo i, 1 ≤ i ≤ r, temos K ⊆ Nucφ. Portanto e necessario

mostrarmos apenas que CG(K) ⊆ Nucφ, ou equivalentemente, V xi = Vi, para todo i,

1 ≤ i ≤ r, e todo x ∈ CG(K). Para x ∈ CG(K) definimos a funcao ψx : Xij −→ Xxij

por (v)ψx = vx. Claramente ψx e um isomorfismo de grupos. Se x ∈ CG(K), y ∈ K e

v ∈ Xij temos que

(vψx)y = (vx)y = v(yx) = (vy)ψx.

Portanto Xij e Xxij sao K-modulos isomorfos. Pelos argumentos do inıcio do paragrafo

anterior devemos ter Xxij ⊆ Vi. Isto implica que V x

i = Vi para todo x ∈ CG(K). Portanto

todos os ıtens do teorema ficam demonstrados.

Os subespacos Vi, i = 1, 2, . . . n, do Teorema de Clifford sao chamados de componentes

de Wedderburn de V com respeito a K.

Proposicao 1.5.9 ([5], pag 65) Seja φ uma representacao irredutıvel de um grupo abeliano

G sobre V |F .

26

(i) Se K e o nucleo da φ, entaoG

Ke cıclico;

(ii) Se |G| = m e F contem uma raız m-esima primitiva da unidade, entao dimF (V ) = 1.

Seja V |F um G-modulo e suponhamos que |G| = m. Muitas vezes, e importante

que o corpo F contenha uma raız m-esima primitiva da unidade. Por exemplo, seja Tx

a transformacao linear definida em (1.6). Se F contem uma raız m-esima primitiva da

unidade podemos determinar os autovalores de Tx. De fato, observamos que a ordem de

Tx divide m de modo que Tx satisfaz o polinomio Xm − 1 e portanto os autovalores de

Tx sao raızes m-esimas da unidade.

Quando F nao contem esta raiz primitiva podemos contornar este problema com

o seguinte metodo. Seja L uma extensao qualquer do corpo F e formemos o pro-

duto tensorial V ⊗F L, o qual e um espaco vetorial sobre F . Se v ⊗ r ∈ V ⊗F L e

α ∈ L definimos o produto α(v ⊗ r) = v ⊗ αr, e estendemos linearmente para todo

V ⊗F L. Dessa forma, V ⊗F L torna-se um espaco vetorial sobre L que denotaremos

por VL|L. Se B = {v1, v2, . . . , vn} e uma base de V |F , nao e difıcil verificar que

B′ = {v1⊗1, v2⊗1, . . . , vn⊗1} e uma base de VL|L. Fazendo a identificacao∑n

i=1 aivi 7→∑ni=1 ai(vi ⊗ 1), com ai ∈ F , podemos considerar V como um subconjunto de VL. Nota-

mos que cada elemento de VL pode ser unicamente representado porn∑i=1

bivi, com bi ∈ L.

Portanto, quando passamos de V para VL estamos esdendendo o corpo dos escalares de

F para L. Observamos que V nao e um subespaco de VL.

Sejam T ∈ GL(V, F ) e TB a matriz de T com relacao a base B, entao

TB ∈ GL(n, F ) ⊆ G(n, L), e seja TL o operador linear de VL|L cuja matriz em relacao a

base B′ e TB. Dessa forma, a funcao T 7→ TL e um homomorfismo injetor entre os grupos

GL(V |F ) e GL(VL|L). Notamos que os polinomios minimais e caracterısticos de T e TL

sao identicos.

Portanto se φ : G −→ GL(V |F ) e uma representacao, entao a funcao

φL : G −→ GL(VL|L) definida por (x)φL = (xφ)L e uma representacao de G sobre

VL, ou de modo equivalente, VL|L e um G-modulo. Observamos que se a representacao

φ e fiel, entao φL tambem e fiel.

27

Teorema 1.5.10 Seja G = KA um grupo de Frobenius cujo nucleo K 6= 1 e um q-grupo

abeliano elementar para algum primo q e cujo complemento A e cıclico. Suponhamos

que G tenha uma representacao fiel e irredutıvel sobre V |F , onde F contem uma raız

q-esima primitiva da unidade. Entao o numero de componentes de Wedderburn de V

com respeito a K e exatamente |A|.

Demonstracao. Observamos que a condicao de G ser um grupo de Frobenius com nucleo

K e complemento A implica que CK(u) = 1, para todo u ∈ A#.

Sejam V1, V2, . . . , Vr as componentes de Wedderburn de V com respeito a K. Uma

vez que cada Vi e invariante por K, o Teorema de Clifford implica que A permuta os Vi

transitivamente, de modo que r ≤ |A|. Por absurdo suponhamos que r < |A| e seja a um

gerador de A. Como A age transitivamente sobre o conjunto S = {V1, V2, . . . , Vr}, entao

nenhum elemento de S e fxado por a. Por outro lado, sendo r < |A|, existe s, 1 < s ≤ r,

tal que as fixa V1. Portanto o subgrupo A1 de A que fixa V1 nao e trivial. Coloquemos

G1 = KA1 e seja N1 o nucleo da representacao de G1 sobre V1. Se xi, 1 ≤ i ≤ r, sao os

elementos de A tais que V1xi = Vi e facil ver que Nxi1 e o nucleo da representacao de Gxi

1

sobre Vi.

Se x ∈ A1 ∩ N1 temos que V1x = V1 e que vx = v, para todo v ∈ V1. Por outro

lado, para todo vi ∈ Vi existe v1 ∈ V1 tal que v1xi = vi. Sendo A abeliano segue que

vix = (v1xi)x = (vix)xi = v1xi = vi. Logo x ∈ Nxi1 , ou seja, A1 ∩N1 ⊆ Nxi

1 , para todo i,

com 1 ≤ i ≤ r. Isto quer dizer que A1 ∩ N1 esta contido no nucleo da representacao de

G sobre V . Como esta representacao e fiel, entao A1 ∩ N1 = 1. Notamos que qualquer

conjugado de A1 fixa um elemento do conjunto S, assim podemos aplicar o argumento

acima para qualquer conjugado de A1 e obtermos Ax1 ∩ N1 = 1, para todo x ∈ G. Pelo

Teorema 1.5.4, G1 e um grupo de Frobenius com complemento A1 e nucleo K, de modo

que qualquer elemento de G1 que nao esta em um conjugado de A1 esta em K. Logo

N1 ⊆ K. Suponhamos que K = N1, assim Nxi1 = Kxi = K, pois K e normal em G. Isto

implica que K esta contido no nucleo da representacao de G sobre V , ou seja, K = 1,

contrariando a hipotese. Portanto N1 ⊂ K.

Agora seja G1 =G1

N1

= KA. Temos que G1 e fielmente e irredutivelmente represen-

tado sobre V1 e V1 = X1 ⊕ X2 ⊕ . . . ⊕ Xt, onde X1, X2, . . . , Xt sao K-modulos irre-

28

dutıveis e isomorfos. Dessa forma, K e fielmente e irredutivelmente representado sobre

X1, X2, . . . , Xt. Como K e abeliano, a Proposicao 1.5.9(i) implica que K = 〈y〉. Alem

disso, F contem uma raiz q-esima primitiva da unidade e sendo K = 〈y〉 um q-grupo

abeliano elementar, K e um grupo cıclico de ordem q. Dessa forma podemos aplicar a

Proposicao 1.5.9(ii) para obtermos que dimF (Xi) = 1, 1 ≤ i ≤ t, e que y age sobre

cada Xi como uma transformacao escalar. Uma vez que X1, X2, . . . , Xt sao K-modulos

isomorfos existe λ ∈ F tal que vy = λv, para todo v ∈ V1. Agora se a ∈ A1 e v ∈ V1

temos que (vy)a = (λv)a = λ(va) = (va)y, isto e, a acao de K comuta com a acao de

A1 sobre V1. Isto implica que K ⊆ Z(G1). De fato, pois de outro modo existiria y′ ∈ K

e a ∈ A1 tal que [y′, a] 6= 1 estaria no nucleo da representacao de G1 sobre V1, que e fiel.

Esta contradicao mostra que K ⊆ Z(G1). Logo [K, A1] = 1. Notamos que K e A1 nao

sao triviais, pois N1 ⊂ K e A1 ∩N1 = 1

Assim se u ∈ A#1 e y ∈ K, entao y−1u−1yu ∈ N1. Por outro lado, como K / G, e V1

e um K-submodulo de V , segue que V1(y−1u−1yu) = V1, ou seja, y−1u−1yu ∈ A1. Como

A1∩N1 = 1 existe y 6= 1 tal que y ∈ CK(u) que contradiz com os argumentos do primeiro

paragrafo, isto completa a demonstracao.

Usando o teorema acima e os Teoremas de Mashke e Clifford podemos provar o

seguinte resultado, que sera importante no estudo de grupos finitos admitindo automor-

fismos livre de pontos fixos.

Teorema 1.5.11 Seja G = QA um grupo de Frobenius cujo nucleo Q e um q-grupo

abeliano elementar e o complemento A e um grupo cıclico de ordem n, com (n, q) = 1.

Suponhamos que Q e um subgrupo normal minimal de G. Se V |F e um G-modulo fiel,

onde F e um corpo de caracterıstica diferente de n e q, entao existe um elemento naonulo

v ∈ V tal que vx = v pra todo x ∈ A.

Demonstracao. Suponhamos que A = 〈x〉 e seja Tx : V −→ V , a transformacao linear

definida em (1.6), isto e, vTx = vx, para todo v ∈ V . Observamos que o teorema segue

se mostramos que 1 e um autovalor de Tx. Observamos tambem que se VL = V ⊗F L,

onde L e uma extensao qualquer de F , entao os autovalores de Tx em V e em VL sao os

29

mesmos. Dessa forma podemos supor que F contem uma raiz q-esima da unidade.

Como F tem caracterıstica diferente de n e q segue do Teorema de Maschke que V e

um G-modulo completamente redutıvel, ou seja, V = U1 ⊕ U2 ⊕ · · · ⊕ Ur, onde Ui 6= 0,

i = 1, 2, · · · , r, sao G-submodulos irredutıveis de V . Como Q e fielmente representado

sobre V , existe algum G-submodulo irredutıvel Ui de V , para algum 1 ≤ i ≤ r, tal que Q

age nao trivialmente sobre Ui. Seja K o nucleo da representacao de G sobre Ui. Sendo

K∩Q normal em G e Q um subgrupo normal minimal de G devemos ter K∩Q = 1 ja que

K∩Q ⊂ Q. Mostraremos agora que K = 1. De fato, temos que K / G e Q / G, assim se

x ∈ K e y ∈ Q#, [x, y] ∈ Q ∩K = 1, logo x ∈ CG(y). Por outro lado, do Teorema 1.5.4

(iii), CG(y) ⊆ Q implicando que x ∈ Q ∩K = 1. Como tomamos x arbitrariamente em

K devemos ter K = 1, como desejado. Portanto Ui e um G-submodulo fiel e irredutıvel

de V . Se Tx tem 1 como autovalor sobre U , entao Tx tem 1 como autovalor tambem

sobre V . Assim podemos supor que V e um G-modulo fiel e irredutıvel..

Pelo Teorema 1.5.10, V tem n componentes de Wedderburn com respeito a Q, digamos

V1, V2, . . . , Vn. Seja v1 um vetor nao nulo de V1. Pelo Teorema de Clifford, A = 〈x〉

permuta o conjunto {V1, V2, . . . , Vn} transitivamente e V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn. Logo

o conjunto de vetores {v1, v1x, v1x2, . . . , v1x

n−1} e linearmente independente, e assim

v = v1 + v1x+ v1x2 + . . .+ v1x

n−1 6= 1.

Por outro lado, temos que

vx = (v1 + v1x+ v1x2 + . . .+ v1x

n−1)x = (v1x+ v1x2 + v1x

3 + . . .+ v1xn) =

= v1 + v1x+ v1x2 + . . .+ v1x

n−1 = v,

ficando o teorema demonstrado.

No caso particular em que G e um p-grupo abeliano elementar para algum primo p,

podemos considerar G como um espaco vetorial sobre Zp. Quando isto e feito temos

Proposicao 1.5.12 ([5], pag 30) Se G e um p-grupo abeliano elementar e se G e con-

siderado como um espaco vetorial sobre Zp, entao Aut(G) e isomorfo a GL(G|Zp).

Ainda no caso particular de p-grupos abelianos elementares temos.

30

Proposicao 1.5.13 ([5], pag 32) Seja H um p-grupo abeliano elementar de G e seja x

um p-elemento de NG(H). Se φx denota o operador linear de H considerado como um

espaco vetorial sobre Zp, entao o polinomio minimal de φx e (X − 1)r, onde r e o menor

inteiro tal que [h, x, x, . . . , x︸︷︷︸r

] = 1 ∀ h ∈ H.

Para finalizarmos as consideracoes sobre representacoes de grupos, iremos introduzir

um conceito que sera muito util para a demonstracao do teorema do p-complemento

normal de Glauberman-Thompson, este que e um dos teoremas principais do terceiro

capıtulo.

Seja G um grupo que nao possui um p-subgrupo normal nao trivial, p primo ımpar.

Uma representacao fiel φ de G sobre um espaco vetorial V |GF (pn), onde GF (pn) e o

corpo finito com exatamente pn elementos, e chamada de p-estavel se nenhum elemento

de (G)φ de ordem potencia de p tem polinomio minimal quadratico. Dizemos que G e

p-estavel se toda representacao fiel de G e p-estavel.

Daremos a seguir uma condicao suficiente para que um grupo seja p-estavel. Dizemos

que um grupo K esta envolvido em G se K e isomorfo a um subgrupo deG

Hpara algum

subgrupo normal H de G.

Vamos denotar por SL(2, 3) o grupo das matrizes 2 × 2 com entradas em Z3 e cujo

determinante e igual a 1.

Teorema 1.5.14 ([5], pag 109) Seja G um grupo que nao possui p-subgrupos normais

nao triviais. Se G e soluvel e p ≥ 5 ou p = 3 e SL(2, 3) nao esta envolvido em G, entao

G e p-estavel.

Daremos agora um resultado com duas propriedades basicas do grupo SL(2, 3).

Proposicao 1.5.15 ([5], pag 42) O grupo SL(2, 3) tem ordem 24 e seus 2-subgrupos de

Sylow sao os quaternios.

31

Capıtulo 2

π′-Automorfismos de π-grupos

Comecaremos o capıtulo considerando os p′-automorfismos de p-grupos, para depois

generalizarmos este conceito, substituindo p por um conjunto de primos qualquer, esta

generalizacao e o que chamaremos de π′-automorfismos de π-grupos.

Convencionamos que todos os grupos considerados deste capıtulo sao finitos.

2.1 p′-Automorfismos de p-grupos

Sejam H um grupo e A um subgrupo de Aut(H). E facil verificar que o conjunto

G = {(φ, x) ∈ A×H} com a operacao

(φ, x)(ψ, y) := (φψ, (xψ)y)

e um grupo, cuja identidade e (1A, 1H) e o inverso de (φ, x) e o elemento (φ−1, (x−1φ−1)).

Na verdade, G e o produto semi-direto de H por A, denotado por G = A n H (para

mais detalhes sobre o produto semi-direto sugerimos ao leitor interessado consutar [5] ou

[12]). Observamos que a aplicacao i : A −→ G, definida por (φ)i = (φ, 1H) para todo

φ ∈ A e um homomorfismo injetor de grupos. Assim identificando o elemento φ ∈ A

com o par (φ, 1H) ∈ G podemos considerar A como um subgrupo de G. Analogamente

podemos considerar H como um subgrupo de G. Com esta identificacao, temos que H e

um subgrupo normal de G, G = HA e H ∩ A = 1. Alem disso, para x ∈ H e φ ∈ A

[(1A, x), (φ, 1H)] = (1A, x)−1(φ, 1H)−1(1A, x)(φ, 1H) = (1A, x−1(xφ)).

32

Assim, usando a identificacao acima, o comutador [x, φ] = x−1(xφ), com x ∈ H e

φ ∈ A, esta em H. Pelo Teorema 1.1.2 o subgrupo [H,A] = 〈x−1(xφ) | x ∈ H e φ ∈ A〉

e normal em 〈H,A〉 = G. Mas [H,A] ⊆ H. Portanto [H,A] e um subgrupo normal e

A-invariante de H.

Seja Y um subconjunto de A. Um subgrupo A-invariante deH que e muito importante

neste contexto e o que chamamos de centralizador de Y sobre H definido por CH(Y ) =

{x ∈ H | xφ = x, ∀φ ∈ Y }.

Se π e um conjunto de numeros primos definimos π′ como sendo o conjunto dos primos

que nao estao em π. Analogamente, se p eum primo, p′ denotara o conunto de primos

diferentes de p.

Teorema 2.1.1 Se A um p′-grupo de automorfismo de um p-grupo abeliano P. Entao

P = CP (A)× [P,A].

Demonstracao. Seja |A| = n. Por simplicidade escreveremos P aditivamente. Se x ∈ P ,

existe k ∈ Z satisfazendo (kp)x = 0. Como (n, p) = 1 temos que (n, kp) = 1, logo existem

inteiros a, b de modo que an+ bkp = 1. Entao x = (an+ bkp)x = anx. Assim para cada

x ∈ P existe a ∈ Z tal que anx = x. Dessa forma, definimos

1

nx = ax.

Agora, e facil ver que a funcao θ : P −→ P dada por

xθ =1

n

∑φ∈A

xφ

e um endomorfismo de P . Se ψ ∈ A, as aplicacoes Fψ : A −→ A e ψF : A −→ A

definidas, respectivamente, por (φ)Fψ = φψ e (φ)ψF = ψφ sao bijecoes. Com isso

θψ = ψθ = θ (2.1)

xθ2 = (xθ)θ =

(1

n

∑φ∈A

xφ

)θ =

1

n

∑φ∈A

(xφ)θ =1

n(n(xθ)) = xθ, (2.2)

para todo x ∈ P , de modo que θ e idempotente.

33

Colocamos C = CP (A) e C1 = {xθ |x ∈ P}. Afirmamos que C = C1. De fato, se

x ∈ P temos, por (2.1), que (xθ)φ = xθ, para todo φ ∈ A. Assim xθ ∈ C para todo

x ∈ P , ou seja C1 ⊆ C. Por outro lado, se x ∈ C

xθ =1

n

∑φ∈A

xφ =1

n

∑φ∈A

x = x, (2.3)

e entao x ∈ C1. Logo C = C1.

Sejam H = [P,A] e H1 = {x − xθ |x ∈ P}. Como H〈−x + xφ |x ∈ P e φ ∈ A〉,

θ ∈ End(P ) e P e abeliano, H1 e um subgrupo de P . Para todo x ∈ P podemos escrever

x = xθ + (x− xθ); assim P = C1 +H1 = C +H1. Alem disso, sex ∈ C ∩H1, entao por

(2.3), xθ = x e, da definicao de H1, x = y − yθ, para algum y ∈ P .Logo

x = xθ = (y − yθ)θ = yθ − yθ2 = 0.

Portanto P = C ⊕H1.

Para concluirmos, mostraremos que H = H1. Temos que

(−x+ xφ)θ = −xθ + xφθ = −xθ + xθ = 0.

Como H e gerado por −x+ xφ, com x ∈ P e φ ∈ A, e

(−x+ xφ)− (−x+ xφ)θ = −x+ xφ ∈ H1,

entao H ⊆ H1. Por outro lado, se x ∈ P , x− xθ =1

n

∑φ∈A

(x− xφ) ∈ H, pois x−xφ ∈ H

para todo φ ∈ A; logo H1 ⊆ H e temos o desejado. Portanto, P = C ⊕H, ou

P = CP (A)× [P,A]

na notacao multiplicativa.

Sejam H um grupo e A um subgrupo de Aut(H). Pela Proposicao 1.1.4 (iii) se N

e um subgrupo normal A-invariante de H e φ ∈ A, entao a aplicacao φ∗ :H

N−→ H

N,

definida por (Nx)φ∗ = N(xφ) e um automorfismo deH

N. Diremos que A age trivialmente

sobreH

Nse φ∗ e a funcao identidade de

H

Npara todo φ ∈ A.

34

Sejam H um grupo, A um subgrupo de Aut(H) e

H = H0 ⊇ H1 ⊇ H2 ⊇ . . . ⊇ Hn = 1 (2.4)

uma serie normal de H. Dizemos que A estabiliza a serie (2.4) se cada Hi e A-invariante

e A age trivialmente sobreHi

Hi+1

, i = 0, 1, . . . n− 1.

Vamos estabelecer uma condicao necessaria e suficiente para que um subgrupo A

de Aut(H) estabilize a serie normal (2.4) de H. Consideramos o produto semi-direto

G = AnH. Temos que, A normaliza Hi se [Hi, A] ⊆ Hi. Mas [Hi, A] = 〈x−1(xφ) | x ∈

Hi , φ ∈ A〉. Portanto em G, A normaliza Hi se, e somente se, Hi e A-invariante. Com

esta observacao podemos provar a

Proposicao 2.1.2 Um subgrupo A de Aut(H) estabiliza a serie normal (2.4) se, e so-

mente se, A normaliza cada Hi e [Hi, A] ⊆ Hi+1, 0 ≤ i ≤ n− 1.

Demonstracao. Suponhamos que A estabiliza a serie (2.4) de H. Pela observacao acima

A normaliza cada Hi. Alem disso, por definicao, se φ ∈ A, entao φage trivialmente sobreHi

Hi+1

, 0 ≤ i ≤ n − 1. Dessa forma, se x ∈ Hi temos Hi+1x(Hi+1x)φ = Hi+1(xφ), isto

e, x−1(xφ) ∈ Hi+1. Logo, [Hi, A] ⊆ Hi+1. Reciprocamente, como A normaliza Hi, pela

observacao acima, Hi e A-invariante. Como os elementos x−1(xφ), com x ∈ Hi e φ ∈ A,

geram [Hi, A] e [Hi, A] ⊆ Hi+1, entao x−1(xφ) ∈ Hi+1 para todo x ∈ Hi e todo φ ∈ A,

ou seja, Hi+1x = Hi+1(xφ), mostrando que A age trivialmente sobreHi

Hi+1

.

Teorema 2.1.3 Seja P um p-grupo e seja A um p′-subgrupo de Aut(P ) que estabiliza

alguma serie normal de P . Entao A = 1.

Demonstracao. Seja P = P0 ⊇ P1 ⊇ P2 ⊇ . . . ⊇ Pn = 1 uma serie normal de P e

suponhamos que A estabiliza esta serie. Usaremos inducao sobre n para mostrar que

A = 1.

Se n = 0, entao P = 1 e sendo A um subgrupo de Aut(P ) segue queA = 1. Vamos

assumir que n ≥ 1 e que o resultado e valido para n − 1. Restringindo cada automor-

fismo em A a P1, obtemos um p′-subgrupo de Aut(P1) que estabiliza a serie normal

35

P1 ⊇ P2 ⊇ . . . ⊇ Pn = 1, de P1. Por inducao, este p′-subgrupo de Aut(P1) e trivial, isto

quer dizer que A age trivialmente sobre P1. Da Proposicao 2.1.2 segue que [P,A] ⊆ P1,

isto e, para todo x ∈ P e para todo φ ∈ A existe z ∈ P1 tal que x−1(xφ) = z. Isto implica

que

xφ = xz. (2.5)

Como φ age trivialmente sobre P1, temos que

xφ2 = (xφ)φ = (xz)φ = (xφ)(zφ) = xz2.

Usando inducao obtemos xφj = xzj, para todo j. Em particular, para j = |φ| = m,

temos que x = xzm e, entao, zm = 1. Como A e um p′-grupo, (m, p) = 1 e sendo z um

p-elemento, segue que z = 1. Disso, e de (2.5) obtemos xφ = x, para todo x ∈ P e todo

φ ∈ A. Portanto A = 1.

Como uma consequencia deste ultimo resultado obtemos:

Corolario 2.1.4 Seja P um p-grupo. Se um subgrupo A de Aut(P ) estabiliza uma serie

normal de P , entao A e um p-grupo.

Demonstracao. Seja φ um p′-automorfismo de A. Pelo Teorema 2.1.3 temos que 〈φ〉 = 1.

Isto implica que A nao possui p′-automorfismo nao trivial. Portanto A e um p-grupo.

O proximo resultado fornece uma generalizacao do Teorema 2.1.1 para p-grupos nao

necessariamente abelianos.

Teorema 2.1.5 Se P e um p-grupo e A e um p′-grupo de automorfismos de P . Entao

P = CP (A) · [P,A].

Demonstracao. Sejam C = CP (A) e H = [P,A].Faremos a prova considerando dois casos:

H ⊆ Z(P ) e H 6⊆ Z(P )

36

Caso 1. Suponhamos que H ⊆ Z(P ). Para cada φ ∈ A definamos αφ : P −→ P por

xαφ = x−1(xφ), para todo x ∈ P . Tomemos x, y ∈ P . Como x−1(xφ) ∈ H ⊆ Z(P ),

(xy)αφ = (xy)−1((xy)φ)

= y−1x−1(xφ)(yφ)

= x−1(xφ)y−1(yφ)

= (xαφ)(yαφ).

Logo αφ e um endomorfismo de P . Notamos que Nucαφ = CP (φ), alem disso, Pαφ ⊆

[P,A] = H ⊆ Z(P ), isto e, Pαφ e abeliano. ComoP

CP (φ)∼= Pαφ , entao P ′ = [P, P ] ⊆

CP (φ), para todo φ ∈ A. Portanto P ′ ⊆ CP (A) = C.

Coloquemos P =P

P ′ , C = CP (A) e H = [P , A]. Sendo P abeliano segue do Teorema

2.1.1 que P = C × H. Agora H = [P , A] = 〈x−1(xφ)P ′ | x ∈ P e φ ∈ A〉, isto e, H e a

imagem de H em P . Assim se C1 e a imagem inversa de C em P , entao

P = C1H. (2.6)

Mas A age trivialmente sobre P ′ ⊆ CP (A) e C. Entao A estabiliza a serie normal

C1 ⊇ P ′ ⊇ 1 de C1. Pelo Teorema 2.1.3, A age trivialmente sobre C1 e, consequentemente,

C1 ⊆ C. Portanto P = CH.

Caso 2: Suponhamos agora que H 6⊆ Z(P ). Neste caso, 1 6= H e, pela discussao do

inıcio deste capıtulo, H = [P,A] / P . Entao pelo Teorema 1.2.8 (ii), K = H ∩Z(P ) 6= 1.

Alem disso, K e A-invariante. Consideramos o subgrupo D = 〈x ∈ P | [x,A] ⊆ K〉.

Observamos que C ⊆ D e, sendo K invariante pela acao de A, D tambem e A-invariante.

Sejam P =P

K, C = CP (A) e H = [P , A]. Se x ∈ D, por definicao, x−1(xφ) ∈ K para

todo φ ∈ A e, entao, Kx = K(xφ) = (Kx)φ, demodo que xK ∈ C para todo x ∈ D.

Reciprocamente, se x ∈ C, por definicao, xφ = x para todo φ ∈ A, isto implica que

[x,A] ⊆ K para todo representante x de x em P . Portanto C e a imagem de D em P .

Alem disso, H e a imagem de H em P .

Sendo K 6= 1, |P | < |P | e assim, usando inducao sobre |P |, obtemos P = CH.

Logo, P = DH. Se D = P , entao [x,A] ⊆ K para todo x ∈ P , mas dessa forma

H ⊆ K ⊆ Z(P ), contrariando o fato de H 6⊆ Z(P ). De modo que, D ⊂ P . Uma

vez que C ⊆ D e D e A-invariante, usamos novamente inducao para obtermos agora

37

D = C[D,A]. Como [D,A] ⊆ H e P = DH segue que P = CH, completando a demon-

stracao.

Teorema 2.1.6 Sejam P um p-grupo e A um p′-subgrupo de Aut(P ). Se H e um sub-

grupo normal e A-invariante de P , entao C PH

(A) e a imagem de CP (A) emP

H.

Demonstracao. Sejam P =P

H, C = CP (A) e K a imagem inversa de C em P . Clara-

mente CP (A) ⊆ K. Assim o resultado fica demonstrado se provarmos que K = HCK(A).

Como K e a imagem inversa de C em G, entao (Hx)φ = Hx, para todo x ∈ K e para todo

φ ∈ A. Logo [K,A] ⊆ H. Alem disso, H char G e C char P , entao pela Proposicao 1.1.5

(iii) K e A-invariante. Do Teorema 2.1.5, K = [K,A]CK(A). Portanto K = HCK(A)

como desejado.

Se π e um conjunto de primos, dizemos que um automorfismo e um π-automorfismo

se sua ordem e divisıvel apenas por primos em π e que ele e um π′-automorfismo se sua

ordem nao e divisıvel por primos em π.

Na proxima secao estenderemos este ultimo resultado para π′-grupos de automorfis-

mos de π-grupos.

2.2 O Teorema de Schur-Zassenhaus

Se π e um conjunto de primos, um subgrupo H de um grupo G e um de Sπ-subgrupo

de G se H e um π-grupo e nenhum primo em π e divisor de |G : H|. Observamos

que tal subgrupo e tambem chamado de subgrupo de Hall de G. Quando π = {p}, H e

simplesmente um p-subgrupo de Sylow de G, neste caso diremos que H e um Sp-subgrupo

de G.

Para um primo p, os Teoremas de Sylow garantem que G possui um Sp-subgrupo e

que quaisquer dois Sp-subgrupos sao conjugados em G. Para um conjunto arbitrario de

primos π, um grupo G pode ter ou nao um Sπ-subgrupo. Por exemplo, consideramos o

grupo A5, isto e, o grupo das permutacoes paresdo conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Se H e um

38

S{3,5}-subgrupo de A5 devemos ter |A5 : H| = 4 e |H| = 15. Mas A5 nao possui subgrupos

de ordem 15, ou seja, A5 nao possui um S{3,5}-subgrupo.

Qual a condicao para que um grupo G tenha um Sπ-subgrupo? Quando G possui

tais subgrupos sera que eles sao conjugados em G? O Teorema de Schur-Zassenhaus

fornece uma condicao suficiente para a existencia e conjugacao de Sπ-subgrupos em G,

ou melhor, para Sπ′-subgrupos na notacao do teorema.

Observamos que se H e um Sπ-subgrupo de G e H possui um complemento K em

G, isto e G = HK e H ∩ K = 1, entao |K| = |G : H| e |H| = |G : K|. Isto implica

que K e um Sπ′-subgrupo de G. Reciprocamente, se G possui um Sπ-subgrupo H e um

Sπ′-subgrupo K, entao G = HK com H ∩K = 1, logo H e K sao complementos um do

outro.

Teorema 2.2.1 (Schur-Zassenhaus) Seja H um Sπ-subgrupo normal de G. Entao

(i) G possui um Sπ′-subgrupo K.

(ii) Se H ou G/H e soluvel, entao quaisquer dois Sπ′-subgrupos de G sao conjugados.

Demonstracao. (i) Se H = 1, entao G e um π′-grupo eneste caso o resutado e obvio.

Assim podemos supor que H 6= 1. Suponhamos que (i) e falso e vamos escolher G

de menor ordem de modo que G possua um Sπ-subgrupo normal H mas nao um Sπ′-

subgrupo. Nestas condicoes mostraremos que H e abeliano, mas antes provaremos que

H e nilpotente. Para isso, seja P 6= 1 um Sp-subgrupo de H. Como H e normal em

G temos pela Proposicao 1.3.2, que G = HN , onde N = NG(P ). Por contradicao

assumiremos que N ⊂ G. Neste caso N ∩ H e normal em N eG

H=HN

H∼=

N

H ∩N.

Como (|G : H|, |H|) = 1 temos que (|N : H ∩ N |, |H ∩ N |) = 1 e entao H ∩ N e um

Sπ-subgrupo normalde N . Pela escolha minimal de G, N possui um Sπ′-subgrupo K.

Mas entao |K| = |N : H ∩N | = |G : H|. Logo K e um Sπ′-subgrupo de G, contrariando

a escolha de G. Assim N = G e P e normal em G. Como o Sp-subgrupo P de H foi

tomado arbitrariamente segue que todo p-subgrupo de Sylow de H e normal em H e,

portanto, H e nilpotente, consequentemente Z(H) 6= 1.

39

Sejam G =G

Z(H)e H a imagem de H em G. Entao H e um Sπ-subgrupo normal de

G. Novamente pela escolha de G, G possui um Sπ′-subgrupo K. Se L e a imagem inversa

de K em G, entao |L : Z(H)| =|L|

|Z(H)|= |K| = |G : H| = |G : H|. Para concluirmos

que H e abeliano basta mostrarmos que L = G, assim H = 1 e, consequentemente,

H = Z(H). Se L ⊂ G, sendo Z(H) um Sπ-subgrupo de L a escolha de G implica que

L possui um Sπ′-subgrupo K que satisfaz |K| = |L : Z(H)| = |G : H|. Logo K e um

Sπ′-subgrupo de G, contrariando novamente a escolha de G. Portanto G = L e H e

abeliano.

Nosso objetivo agora e construir um Sπ′-subgrupo de G, o que nos dara uma con-

tradicao. Suponhamos que |G : H| = m e sejam xi, i = 1, 2, . . . ,m, todos os represen-

tantes das classes laterais de H em G. Se G =G

H, entao G = {x1, x2, . . . , xm}, onde xi e

a imagem de xi em G. As letras α, β e γ serao usadas para representarmos os elementos

de G. Escreveremos xα = xi quando xi = α. Com esta notacao, xαxβ e xαβ representam

a mesma classe lateral de H em G. Assim temos que

xαxβ = xαβf(α, β) (2.7)

onde f(α, β) ∈ H. Isso acontece para cada para (α, β) em G× G e entao f e uma funcao

de G× G em H. Observamos que

(xαxβ)xγ = (xαβf(α, β))xγ = x(αβ)γf(αβ, γ)f(α, β)xγ , (2.8)

e

xα(xβxγ) = xαxβγf(β, γ) = xα(βγ)f(α, βγ)f(β, γ). (2.9)

Como (xαxβ)xγ = xα(xβxγ) e (αβ)γ = α(βγ), de (2.8) e (2.9) resulta que

f(αβ, γ)f(α, β)xγ = f(α, βγ)f(β, γ) (2.10)

para quaisquer α, β, γ ∈ G.

Para cada δ ∈ G, definamos

g(δ) =∏α∈G

f(α, δ). (2.11)

40

De (2.10) e usando o fato de H ser abeliano segue que∏α∈G

f(αβ, γ)∏α∈G

f(α, β)xγ =∏α∈G

f(α, βγ)∏α∈G

f(β, γ). (2.12)

Como |G| = m de (2.11) e (2.12) segue que

g(γ)g(β)xγ = g(βγ)[f(β, γ)]m. (2.13)

Sendo |H| = n e (m,n) = 1, existe r ∈ Z tal que mr ≡ 1(mod n). Para cada δ ∈ G

coloquemos

h(δ) = g(δ)−r

e tomemos como novos representantes das classes laterais de H em G os elementos yα =

xαh(α). Vamos mostrar que o conjunto K = {yα|α ∈ G} e um subgrupo de G. Notamos

que para provar que K e um subgrupo e suficiente mostrarmos que K e fechado para o

produto. Temos que

yβyγ = xβh(β)xγh(γ) = xβxγh(β)xγh(γ) = xβγf(β, γ)h(β)xγh(γ) (2.14)

De (2.13), da definicao de h e sendo H abeliano obtemos

h(γ)h(β)xγ = (g(γ)g(β)xγ )−r = g(βγ)−r [f(β, γ)]−mr = h(βγ)f(β, γ)−1. (2.15)

Agora substituimos (2.15) em (2.14) para obtermos

yβyγ = f(β, γ)h(β, γ)f(β, γ)−1 = xβγh(βγ) = yβγ (2.16)

Portanto K e um subgrupo de G. Alem disso, |K| = m = |G : H| ou seja, K e um

Sπ′-subgrupo de G, completando a demonstracao de (i).

(ii) Usaremos inducao sobre |G|. Sejam K e K1 dois Sπ′-subgupos de G. Pela observacao

que precede o teorema, K e K1 sao complementos de H em G. Suponhamos que H

contem um subgrupo normal proprio N 6= 1. Por inducaoKN

NeK1N

Nsao Sπ′-subgrupos

conjugados emG

N. Isto implica que K1 tem um conjugado em KN . Assim e suficiente

mostrarmos que este conjugado e um conjugado de K. Dessa forma podemos considerar

K1 ⊆ KN = G1. Como N ⊂ H, entao G1 ⊂ G e segue, por inducao, que K1 e conjugado

de K. Portanto podemos supor que H e um subgrupo normal minimal de G.

41

Seja M um π′-subgrupo normal maximal de G. Como|KM ||M |

=|K|

|K ∩M |, entao

|KM | divide |K||M |, logo KM e um π′-subgrupo de G. Sendo K um complemento de H

em G, entao KM = K, logo M ⊆ K. Analogamente, M ⊆ K1. Se M 6= 1, por inducao,K

MeK1

Msao conjugados em

G

M, implicando que K e K1 sao conjugados em G. Dessa

forma, podemos supor que todo π′-subgrupo normal de G e trivial.

Agora vamos supor que G =G

He soluvel. Se R e um subgrupo normal minimal de

G, pelo Teorema 1.2.3 (v), R e um p-grupo abeliano elementar, para algum p ∈ π′.

Denotamos por R a imagem inversa de R em G, assim |R| = |H||R|. Como G =

HK = RK, entao |R ∩K| =|R||K||RK|

=|R||K||H||K|

=|R||H|

= |R|. Mas R e a ordem de um

Sp-subgrupo de R, consequentemente, P = R ∩K e um Sp-subgrupo de R. Do mesmo

modo, P1 = R ∩K1 e um Sp-subgrupo de R. Os Teoremas de Sylow nos garantem que

P e P1 sao conjugados em R. Assim, substituindo K1 por um conjugado conveniente

podemos escrever P = P1. Como P e um π′-subgrupo de G o argumento do paragrafo

anterior implica que NG(P ) ⊂ G. Notamos que K,K1 ⊆ NG(P ), dessa forma, K1 e K

sao conjugados em NG(P ) por inducao.

Por fim suponhamos queG

Hnao e soluvel.Neste caso H e soluvel. Da solubilidade

de H segue que H ′ = [H,H] ⊂ H, como H ′ e caracterıstico em H e H e normal em

G, entao H ′ e normal em G, como consequencia H ′ = 1, pois H e um subgrupo normal

minimal de G. Portanto H e abeliano. Alem disso,G

He isomorfo a K e a K1, assim

para cada x1 ∈ K1 escrevemos x1 = xf(x), aqui x ∈ K e f(x) ∈ H. Se y1 ∈ K1 e

y1 = yf(y) com y ∈ K e f(y) ∈ H, entao x1y1(xy)−1 = xf(x)yf(y)y−1x−1 ∈ H, ou seja,

x1y1 e xy estao na mesma classe lateral de H em G. Como x1y1 ∈ K1 e xy ∈ K temos

que x1y1 = xyf(xy). Logo xyf(xy) = xf(x)yf(y) = xyf(y)yf(x). Isto implica que para

todo x, y ∈ K

f(xy) = f(x)yf(y). (2.17)

Coloquemos z =∏x∈K

f(x). Para cada y ∈ K fixo de (2.17) e sendoH abeliano obtemos

z = zyf(y)m (2.18)

onde m = |K|. Se n = |H|, por hipotese (m,n) = 1 e assim existe r ∈ Z tal que

42

rm ≡ 1(mod n). De (2.18) e usando novamente o fato de H ser abeliano

zr = (zyf(y)m)r = (zy)rf(y)mr = (zr)yf(y). (2.19)

Fazendo u = zr em (2.19) obtemos u = uyf(y). Dessa forma, u−1yu = uyf(y) = yf(y).

Como y foi tomado arbitrariamente em K e yf(y) = y1 ∈ K1, entao K e K1 sao conju-

gados. Isso conclui a prova do teorema.

Observamos que nao e possıvel retirar a hipotese de H ser normal em G no Teorema

de Schur-Zassenhaus. De fato, consideramos novamente o grupo alternado A5. Se H e um

S2-subgrupo de A5, temos que |H| = 4. Como A5 tem cinco subgrupos de ordem 4, H nao

e normal em G e como vimos anteriormente A5 nao possui um S{3,5}-subgrupo, ou seja

A5 nao possui um S2′-subgrupo. Isto quer dizer que quando nao temos a normalidade

do Sπ-subgrupo nao ha garantia da existencia de um Sπ′-subgrupo. Para obter mais

detalhes sobre as propriedades do A5 sugerimos ao leitor interessado consultar [3].

Feit e Thompson [2] provaram que todo grupo finito de ordem ımpar e soluvel. Agora,

se H e um Sπ-subgrupo normal de um grupo G, entao |H| e

∣∣∣∣GH∣∣∣∣ = |G : H| sao relati-

vamente primos e, assim, do Teorema de Feit-Thompson segue que H ouG

He soluvel.

Dessa forma, a hipotese de solubilidade noitem (ii) do Teorema de Schur-Zassenhaus

pode ser retirada.

Como consequencia do Teorema de Schur-Zassenhaus estendemos o Teorema 2.1.6

para π′-grupos de automorfismos de π-grupos.

Teorema 2.2.2 Sejam H um π-grupo e A um π′-grupo de automorfismos de H. Se A

ou H e soluvel, entao para cada p ∈ π, temos

(i) A deixa invariante algum Sp-subgrupo de H.

(ii) Se N e um subgrupo normal A-invariante de H, entao CHN

(A) e a imagem de

CH(A) emH

N.

Demonstracao. (i) Seja G o grupo definido no comentario que vem antes do Teorema

2.1.1, isto e, G e o produto semi-direto de H por A. Como H e A sao complementos um

43

do outro em G, H e um Sπ-subgrupo de G e A e um Sπ′-subgrupo de G. Alem disso,

H/G eG

H∼= A, entao por hipotese H ou

G

He soluvel. Pelo Teorema de Schur-Zassenhaus

qualquer outro Sπ′-subgrupo de G e conjugado a A. Como G = HA, este elemento de

conjugacao pode ser tomado em H.

Agora seja P um Sp-subgrupo de H, entao pela Proposicao 1.3.2 temos que G =

HNG(P ). Assim, A ∼=G

H∼=

NG(P )

NG(P ) ∩H. Como NG(P ) ∩ H e um Sπ-subgrupo normal

de NG(P ) o Teorema de Schur-Zassenhaus implica que NG(P ) possui um Sπ′-subgrupo

B. Mas |B| = |NG(P ) : NG(P ) ∩ H| = |G : H|, assim B e um Sπ′-subgrupo de G e

Bx = A para algum x ∈ H. Como B deixa P invariante, pois B ⊆ NG(P ), A deixa o

Sp-subgrupo P x de H invariante, provando (i).

(ii) Sejam H =H

N, C = CH(A) e C = CH(A). Claramente C contem a imagem de C

em H. Assim resta mostrarmos que C esta contido na imagem de C em H. Para isto e

suficiente provarmos que para cada primo p divisior de |C| existe um Sp-subgrupo de C

que e aplicado de forma sobrejetiva em um Sp-subgrupo de C.

Agora sejam P um Sp-subgrupo de C, K a imagem inversa de P em H e P um

Sp-subgrupo A-invariante de K. Entao CP (A) = P . Por outro lado, P =PN

N. Como

PN

N∼=

P

P ∩Nsegue do Teorema 2.1.6 que CP (A) e a imagem de CP (A). Mas CP (A) = P

e CP (A) ⊆ P . Portanto P e aplicado sobrejetivamente em P como querıamos provar.

44

Capıtulo 3

Grupos π-Separaveis e π-Soluveis

3.1 Definicao e propriedades

Neste capıtulo continuaremos considerando que todos os grupos sao finitos.

Se π e um conjunto de primos dizemos que um grupo G e π-separavel se todo fator

de composicao de G e um π′-grupo ou um π-grupo. O grupo G e π-soluvel se todo fator

de composicao de G e um π′-grupo ou um p-grupo para algum p ∈ π.

E uma consequencia imediata da definicao que se um grupo e π-soluvel, entao ele e

π-separavel, mas em geral π-separabilidade nao implica π-solubilidade. Por exemplo o

grupo das permutacoes S5 e {2, 3, 5}-separavel mas nao e{2, 3, 5}-soluvel.

Observamos que para um primo p, p-separabilidade e p-solubilidade sao conceitos

equivalentes. Alem disso um grupo G e soluvel se, e somente se, ele e p-soluvel, para

todo primo p divisor de sua ordem. Notamos tambem que todo fator de composicao

de um π-grupo π-soluvel e um p-grupo para algum primo p ∈ π, logo estes fatores de

composicao sao soluveis. E claro que, se G e soluvel, entao G e π-soluvel para todo

conjunto de primos π ja que seus fatores de composicao sao de ordem prima..

Proposicao 3.1.1 (i) Um subgrupo normal minimal de um grupo π-separavel e um

π′-grupo ou um π-grupo.

(ii) Subgrupos e imagens por homomorfismos de um grupo π-separavel (π-soluvel) sao

π-separaveis (π-soluveis).

45

Demonstracao. (i) Seja K um subgrupo normal minimal de um grupo π-separavel (π-

soluvel) G. Entao K e caracteristicamente simples e assim pelo Teorema 1.1.6, K e o

produto direto de grupos simples e isomorfos , digamos K = K1 ×K2 × . . .×Kn. Sendo

K normal em G e K1 simples, existe uma serie de composicao de G na qual K1 e o ultimo

termo nao trivial. Como G e π-separavel, entao K1 e um π′-grupo ou um π-grupo. Uma

vez que K1, K2, . . . , Kn sao isomorfos, K e um π′-grupo ou um π-grupo.

(ii) Seja G um grupo π-separavel (π-soluvel). Primeiramente consideramos um subgrupo

normal N de G. Temos que N e π-separavel (π-soluvel), pois N e um elemento de alguma

serie de composicao de G. Se φ : G −→ G1 e um homomorfismo de grupos, temos queG

Nucφ∼= Gφ. Seja G = G1 ⊃ · · · ⊃ Gm ⊃ Nucφ ⊃ · · · 1, uma serie de composicao

de G. E facil ver que Gφ ∼=G1

Nucφ⊃ · · · Gm

Nucφ⊃ 1 e uma serie de composicao de Gφ.

ComoGi

Gi+1

∼=Gi

Nucφ

Gi+1

Nucφ

, 1 ≤ i ≤ m e G e π-separavel (π-soluvel) segue que Gφ e π-separavel

(π-soluvel). Agora tomemos um subgrupo qualquer H de G e sejam K 6= 1 um subgrupo

normal minimal de G e G =G

K. Usando inducao sobre |G| segue que a imagem H de

H em G e π-separavel (π-soluvel). Como HHK

K∼=

H

H ∩K, para mostrarmos que H

e π-separavel (π-soluvel) basta provarmos que H ∩ K e π-separavel (π-soluvel), pois o

quocienteH

H ∩Ke π-separavel (π-soluvel). Sendo G π-separavel (π-soluvel), por (i), K

e um π′-grupo ou um π-grupo, logo H ∩ K e π-separavel. Agora se G e π-soluvel, K

tambem e π-soluvel, pois K / G, de modo que K e um π′-grupo ou um π-grupo soluvel.

Em qualquer dos casos e claro que H ∩K e π-soluvel.

Se H e K sao π-subgrupos normais de G, como |HK| =|H||K||H ∩K|

, segue que HK

tambem e um π-subgrupo normal de G. Assim o subgrupo de G gerado por todos os

seus π-subgrupos normais e um π-subgrupo normal de G, o qual sera denotado por

Oπ(G). Se φ ∈ Aut(G) e claro que (Oπ(G))φ e um π-subgrupo normal de G, de modo

que (Oπ(G))φ ⊆ Oπ(G). Logo Oπ(G) e um subgrupo caracterıstico de G. Alem disso,

por definicao, temos Oπ(G) = 1, onde G =G

Oπ(G). Em G, consideramos o unico π′-

subgrupo normal maximal Oπ′(G) e denotamos sua imagem inversa em G por Oπ,π′(G).

46

Analogamente definimos Oπ,π′,π(G) como sendo a imagem inversa de Oπ

(G

Oπ,π′(G)

).

Continuando dessa forma obtemos uma cadeia de subgrupos caracterısticos de G

1 ⊆ Oπ(G) ⊆ Oπ,π′(G) ⊆ Oπ,π′,π(G) . . . (3.1)

Esta cadeia de subgrupos e chamada de π-serie superior de G . De modo analogo defin-

imos π-serie inferior de G por

1 ⊆ Oπ′(G) ⊆ Oπ′,π(G) ⊆ Oπ′,π,π′(G) . . . (3.2)

O proximo resultado fornece uma caracterizacao para grupos π-separaveis envolvendo

as π-series superior e inferior.

Teorema 3.1.2 Se um grupo G e π-separavel, entao suas π-series superior e inferior

terminam em G. Reciprocamene, se a π-serie superior ou a π-serie inferior de G termina

em G, entao G e π-separavel.

Demonstracao. Suponhamos que a π-serie superior de G termina em G. Entao podemos

refina-la de modo a obtermos uma serie de composicao de G

1 ⊆ · · · ⊆ Oπ(G) ⊆ G1π ⊆ G2

π ⊆ · · · ⊆ Gn1π ⊆ Oπ,π′(G) ⊆ G1

π,π′ ⊆ · · · ⊆ G.

Claramente os fatores de composicao dos termos entre 1 e Oπ(G) sao π-grupos. ComoOπ,π′(G)

Oπ(G)e um π′-grupo, |Oπ,π′(G) : Oπ(G)| e divısivel apenas por primos em π′, logo

Oπ(G) e um Sπ-subgrupo normal de Oπ,π′(G) e, consequentemente, Oπ(G) e um Sπ-

subgrupo normal de G1π. Segue do Teorema de Schur-Zassenhaus que Oπ(G) tem um

complemento em G1π, o qual e um Sπ′-subgrupo de G1

π. LogoG1π

Oπ(G)e um π′-grupo.

Analogamente,G2π

Oπ(G)e um π′-grupo, entao

G2π

G1π

∼=G2

π

Oπ(G)

G1π

Oπ(G)

e um π′-grupo. Repetindo

este processo obtemos que os fatores de composicao dos termos entre G1π e Oπ,π′(G)

sao π′-grupos. Fazendo o quociente por Oπ(G) dos termos entre Oπ,π′(G) e Oπ,π′,π(G)

e repetindo os argumentos acima obteremos que os fatores de composicao dos termos

entre Oπ,π′(G) e Oπ,π′,π(G) sao π-grupos. Repetimos este processo sucessivamente ate G.

Dessa forma, obtemos que cada fator de composicao da serie de composicao acima e um

47

π-grupo ou um π′-grupo. Portanto G e π-separavel. De modo analogo mostramos que se

a π-serie inferior de G termina em G, entao G e π-separavel.

Reciprocamente, suponhamos que G e π-separavel e que a π-serie superior de G ter-

mina num subgrupo proprio H de G. Colocando G =G

Htemos que Oπ(G) = Oπ′(G) = 1.

Da proposicao anterior, G e π-separavel e um subgrupo normal minimal K 6= 1 de G

e um π-grupo ou um π′-grupo. Logo, K ⊆ Oπ(G) ou K ⊆ Oπ′(G), uma contradicao.

Portanto a π-serie superior de G termina em G. Da mesma forma mostramos que a

π-serie inferior de G termina em G.

Os grupos π-separaveis tem a seguinte propriedade fundamental.

Teorema 3.1.3 Se G e π-separavel e G =G

Oπ′(G), entao CG

(Oπ(G)

)⊆ Oπ(G). Em

particular, se Oπ′(G) = 1, entao CG (Oπ(G)) ⊆ Oπ(G).

Demostracao. Uma vez que G e π-separavel e Oπ′(G) = 1, e suficiente mostrarmos o

caso particular. Suponhamos que Oπ′(G) = 1 e coloquemos H = Oπ(G) e C = CG(H).

Com esta notacao Z(H) = C ∩ H.. Dessa forma, o resutado segue se mostrarmos

que Z(H) = C. Como Oπ(C) char C / G, entao Oπ(C) / G. Logo Oπ(C) ⊆ H e,

consequentemente, Oπ(C) ⊆ H∩C = Z(H). Por outro Z(H) e normal emG e Z(H) ⊆ C,

o que implica Z(H) ⊆ Oπ(C). Portanto Z(H) = Oπ(C).

Queremos mostrar que Z(H) = C. Por absurdo vamos supor que Z(H) ⊂ C, ou seja,

Oπ(C) ⊂ C. Sendo G π-separavel, C e π-separavel, de modo que Oπ(C) ⊂ Oπ,π′(C) ⊆ C.

ComoOπ,π′(C)

Oπ(C)e um π′-grupo, |Oπ,π′(C) : Oπ(C)| e divisıvel apenas por primos em π′.

Logo Oπ(C) e um Sπ-subgrupo normal de Oπ,π′(C). Pelo Teorema de Schur-Zassenhaus,

Oπ(C) tem um complemento K em Oπ,π′(C), notamos que K 6= 1 pois Oπ(C) ⊂ Oπ,π′(C).

Alem disso, K e um Sπ′-subgrupo de Oπ,π′(C). Mas K ⊆ C e C centraliza Oπ(C) = Z(H)

entao K / Oπ,π′(C), isto implica que Oπ,π′(C) = Oπ(C) ×K. Agora, K e normal em G

porque K char C / G, mais ainda, K e um π′-grupo de G entao K ⊆ Oπ′(G) = 1. Mas

K 6= 1, esta contradicao mostra que Oπ(C) = Z(H) = C, como desejado.

48

Corolario 3.1.4 Se P e um Sp-subgrupo de um grupo p-soluvel G, entao

CG (P ∩Op′,p(G)) ⊆ Op′,p(G). Em particular, Z(P ) ⊆ Op′,p(G).

Demonstracao. Seja Q = P ∩ Op′,p(G). Como Op′,p(G)e normal em G, entao Q e um

Sp-subgrupo de Op′,p(G). Pelo Teorema 3.1.3

CG(Op(G)

)⊆ Op(G), (3.3)

onde G =G

Op′(G). Por outro lado, Op′(G) e um Sp′-subgrupo normal de Op′,p(G). Assim

pelo Teorema de Schur-Zassenhaus, Op′(G) tem um complemento em Op′,p(G), o qual

e um Sp-subgrupo de Op′,p(G). Portanto Op′,p(G) = Op′(G)Q e Q e aplicado de forma

sobrejetiva em Op(G). Consequentemente, a imagem de CG(Q) em G esta contida em

CG(Op(G)

). Segue de (3.3) e da definicao da π-serie que CG(Q) ⊆ Op′,p(G). Em partic-

ular, Z(P ) ⊆ CG(Q) ⊆ Op′,p(G), ficando o resultado demonstrado.

Os p-grupos de grupos p-soluveis tem uma propriedade tambem bastante importante.

Antes de enunciarmos tal propriedade sera dada uma condicao suficiente para que um

grupo p-soluvel seja tambemp-estavel.

Teorema 3.1.5 Seja G um grupo p-soluvel com Op(G) = 1. Se p ≥ 5 ou p = 3 e

SL(2, 3) nao esta envolvido em G, entao G e p-estavel.

Demonstracao. Por contradicao vamos supor que G nao ep-estavel, isto e, existe uma rep-

resentacao fiel φ : G −→ GL(V |GL(pn)) na qual xφ tem o polinomio minimal quadratico

para algum p-elemento x ∈ G . Sejam P = 〈x〉 e H = Op′(G). Sendo Op(G) = 1,

pelo Teorema 3.1.3, CG(H) ⊆ H e assim CP (H) = 1. Observamos que P induz por

conjugacao um grupo de automorfismos de H. Logo podemos considerar P como um

subgrupo de Aut(H). Como (|P |, |H|) = 1 e P e soluvel, o Teorema 2.2.2 implica que

P deixa um Sq-subgrupo de H invariante, para cada primo q divisor de |H|. Agora

P 6⊆ CG(H), entao P 6⊆ CG(Q) para algum Sq-subgrupo Q de H. Para esta escolha de

Q, CP (Q) = 1. Seja K = PQ, sendo P um p-grupo e Q um q-grupo, K e soluvel. Alem

disso, Op(K) ⊆ P e [Op(K), Q] = P ∩ Q = 1. Logo Op(K) ⊆ CP (Q) = 1. Portanto K

e um grupo soluvel que nao possui um p-subrupo normal nao trivial. DoTeorema 1.5.14

49

segue que K e p-estavel. Observamos que a restricao φ|K e uma representacao fiel sobre

V |GL(pn), mas xφ tem polinomio minimal quadratico e o p-elemento x esta em K, esta

contradicao mostra que G e p-estavel.

Dizemos que um grupo p-soluvel G e fortemente p-soluvel se p ≥ 5 ou se p = 3 e

SL(2, 3) nao esta envolvido em G.

Vimos no Corolario 3.1.4 que em um grupo p-soluvel G, Z(P ) ⊆ Op,p′(G), para todo

Sp-subgrupo P de G. Veremos a seguir que se G e um grupo fortemente p-soluvel, entao

Op,p′(G) contem nao apenas Z(P ), mas tambem todo subgrupo abeliano normal de P .

Mas para isso precisamos do seguinte

Teorema 3.1.6 Seja G um grupo fortemente p-soluvel e P um p-subgrupo de G tal que

Op′(G)P e normal em G. Entao, se A e um p-subgrupo de NG(P ) com a propriedade

[P,A,A] = 1, temos queACG(P )

CG(P )⊆ Op

(NG(P )

CG(P )

).

Demonstracao. Seja N = NG(P ). Sendo P um p-grupo usando inducao sobre |P |

obtemos uma serie normal N -invariante de P

P = P1 ⊃ P2 ⊃ · · · ⊃ Pn+1 = 1 (3.4)

tal que para todo i = 1, 2, . . . n, Pi =PiPi+1

e abeliano elementar e N age irredutivelmente

sobre Pi. Sendo Pi um p-grupo abeliano elementar, pela Proposicao 1.5.12, Aut(Pi) ∼=

GL(Pi|Zp). Entao Ni =N

Hi

age fielmente e irredutivelmente sobre Pi|Zp, onde Hi e o

nucleo da representacao de N sobre Pi. Logo, Op(Ni) = 1, pela Proposicao 1.5.5.

Por outro lado, se Ai e a imagem de A em Ni, entao [Pi, Ai, Ai] = 1 pois [P,A,A] = 1

por hipotese. Agora pela Proposicao 1.5.13, cada x ∈ Ai induz uma transformacao linear

de Pi que satisfaz o polinomio (X − 1)2 e pelo teorema anterior a representacao de Ni

sobre Pi|Zp e p-estavel. Logo a transformacao induzida por x satisfaz opolinomio X − 1.

Portanto Ai age trivialmente sobre Pi e sendo a representacao fiel, Ai = 1. Portanto

A ⊆ Hi, para todo i = 1, 2, . . . , n. Logo A ⊆ H =n⋂i=1

Hi. Mas H age trivialmente sobre

50

Pi e cada Pi e H-invariante, isto e, H estabiliza a serie normal (3.4) de P . ComoH

Ce um

subgrupo de Aut(P ), onde C = CG(P ), segue do Corolario 2.1.4 queH

Ce um p-grupo.

MasH

Ce normal em

N

Cde modo que

H

C⊆ Op

(N

C

). Portanto,

AC

C⊆ Op

(N

C

).

Como corolario deste ultimo resultado temos mais uma propriedade importante dos

grupos fortemente p-soluveis.

Corolario 3.1.7 Se P e um Sp-subgrupo de um grupo fortemente p-soluvel G, entao

todo subgrupo normal e abeliano de P esta contido em Op′,p(G).

Demonstracao. Seja Q = P ∩ Op′,p(G). Sendo Op′,p(G) / G, Q e um Sp-subgrupo de

Op′,p(G). Como na demonstracao do Corolario 3.1.4 temos que Op′,p(G) = Op′(G)Q.

Agora pela Proposicao 1.3.2, G = Op′,p(G)NG(Q) implicando que G = Op′(G)NG(Q).

Se A e um subgrupo normal e abeliano de P claramente [Q,A,A] = 1. Pelo paragrafo

anterior segue que A ⊆ NG(Q) e Op′(G)Q / G. Entao, pelo Teorema 3.1.6

ACG(Q)

CG(Q)⊆ Op

(NG(Q)

CG(Q)

),

e, pelo Corolario 3.1.4, CG(Q) ⊆ Op′p(G) = Op′(G)Q. Colocando G =G

Op′(G), temos que

NG(Q) e aplicado de forma sobrejetiva em G. LogoAQ

Q⊆ Op

(G

Q

). Mas Q = Op(G)

pois Op′,p(G) = Op′(G)Q. Logo Op

(G

Q

)= 1, de modo que AQ ⊆ Q e, consequente-

mente, A ⊆ Q ⊆ Op′,p(G), provando o resultado.

3.2 O Teorema de Glauberman-Thompson

Se P e um Sp-subgrupo de um grupo G temos que P ∩Op′(G) = 1 e Op′(G) e normal

em G, por isso, quando G = Op′(G)P dizemos que G tem um p-complemento normal .

Quando um grupo finito e nilpotente ele e o produto direto dos seus subgrupos de

Sylow, de modo que, todo grupo nilpotente finito possui um p-complemento normal.

51

O primeiro resultado desta secao, provado por Frobenius, nos fornece uma condicao

necessaria e suficiente para que um grupoG tenha ump-complemento normal. A demostracao

deste resultado sera omitida,mas o leitor interessado podera encontra-la na pagina 235

de [5].

Teorema 3.2.1 (Frobenius) Um grupo G possui um p-complemento normal se, e so-

mente se, NG(H) tem um p-complemento normal, para todo p-subgrupo H de G.

Nos utilizaremos este resultado para mostrar que quando p e um primo ımpar, a

existencia de um p-complemento normal para NG(X) implica na existencia de um para

G, onde X e um p-subgrupo conveniente de G. Este e o conteudo do Teorema do

p-Complemento Normal de Glauberman-Thompson que a partir de agora chamaremos

apenas de Teorema de Glauberman-Thompson.

O primeiro passo para demonstrarmos este resultado e determinar o p-subgrupo con-

veniente X de G. Comecamos definindo por A(P ) o conjunto de todos os subgrupos

abelianos do p-grupo P de ordem maximal.

O seguinte lema apresenta uma caracterıstica dos elementos de A(P ).

Lema 3.2.2 Se A ∈ A(P ), entao A = CP (A); em particular, Z(P ) ⊆ A.

Demonstracao. Tomemos x ∈ CP (A). Como A e abeliano, A ⊆ Z(〈A, x〉), entao〈A, x〉

Z(〈A, x〉)e cıclico, isto implica que 〈A, x〉 e abeliano. Mas A e abeliano de ordem

maximal, entao x ∈ A. Portanto, A = CP (A).

O subgrupo J(P ) = 〈A | A ∈ A(P )〉 e chamado de subgrupo de Thompson do p-

grupo P . Observamos que se φ ∈ Aut(P ) e A ∈ A(P ), entao Aφ ∈ A(P ). Logo J(P ) e

caracterıstico em P , o que implica que Z(J(P )) e caracterıstico em P .

Quando P e um Sp-subgrupo de G, o subgrupo Z(J(P )) e o subgrupo conveniente

X que desajavamos obter. Para a demonstracaodo Teorema de Glauberman-Thompson

necessitamos de um resultado que garante a normalidade do subgrupo Z(J(P )), este

resultado e de Glauberman e para demonstra-lo necessitaremos de alguns resultados e

conceitos de Thompson.

52

Lema 3.2.3 Sejam P,Q dois Sp-subgrupos de um grupo G e R um p-subgrupo de G.

Temos que

(i) Se A ⊆ R para algum A ∈ A(P ), entao A(R) ⊆ A(P ) e J(R) ⊆ J(P ). Em

particular, J(P ) = J(R), se J(P ) ⊆ R.

(ii) Se Q = P x para algum x ∈ G, entao J(Q) = J(P )x.

(iii) Se J(P ) ⊆ Q, entao J(Q) = J(P ).

(iv) Se J(P ) ⊆ R entao J(P ) e caracterısticoem R.

Demonstracao. (i) Seja A ∈ A(P ) tal que A ⊆ R ⊆ P . Entao os elementos de A(R) tem

a mesma ordem dos elementos de A(P ), logo A(R) ⊆ A(P ). Portanto J(R) ⊆ J(P ). Em

particular, se J(P ) ⊆ R entao J(P ) = J(R).

(ii) Se Q = P x, entao A(Q) = {Ax |A ∈ A(P )}. Portanto J(Q) = J(P )x.

(iii) Se J(P ) ⊆ Q, entao A ⊆ Q, para todo A ∈ A(P ), de modo que J(P ) ⊆ J(Q). Mas,

por (ii) |J(P )| = |J(Q)|, entao J(P ) = J(Q).

(iv) Por (i), J(P ) = J(R) e, pela observacao acima, J(R) e caracterıtico em R e o lema

fica demonstrado.

Lema 3.2.4 Seja A ∈ A(P ) e seja B um subgrupo de P . Entao B normaliza A se, e

somente se, [B,A,A] = 1.

Demonstracao. Suponhamos que B normaliza A, logo [B,A] ⊆ A e, consequente-

mente, [B,A,A] = 1, pois A e abeliano. Reciprocamente, se [B,A,A] = 1, entao

[B,A] ⊆ CP (A) = A e, pelo Lema 3.2.2, isto implica que B normaliza A.

Teorema 3.2.5 (Thompson) Sejam A um elemento de A(P ) e x um elemento do grupo

G. Se M = [x,A] e abeliano, entao MCA(M) ∈ A(P ).

53

Demonstracao. Seja C = CA(M). Como M e abeliano, claramente MC e abeliano.

Assim, se mostrarmos que |MC| ≥ |A|, seguira da definicao de A(P ) que MC ∈ A(P ).

Como A = CP (A) e M e abeliano temos que C ∩ M = A ∩ M = CM(A). Entao,

|MC| =|M ||C||C ∩M |

=|M ||CA(M)||CM(A)|

.

Assim, e suficiente mostrarmos que|M |

|CM(A)|≥ |A||CA(M)|

, pois esta desigualdade e

equivalente a |MC| ≥ |A|.

Para estabelecermos esta desigualdade provaremos que para quaisquer u, v ∈ A que

estao em classes laterais diferentes de CA(M), entao [x, u], [x, v] estao em classes laterais

diferentes de CM(A) em M . Vamos supor, por absurdo, que y = [x, u]−1[x, v] ∈ CM(A).

Disso segue que y = (xu)−1(xv). Por outro lado, como y ∈ CM(A) e u ∈ A, entao

y = yu−1

, o que implica y = [x, vu−1]. Agora, segue que [x, vu−1, a] = 1 para todo a ∈ A,

pois y ∈ CM(A). Entao pela Proposicao 1.1.1 (v), [x, a, vu−1] = 1. Portanto vu−1 cen-

traliza [x, a], para todo a ∈ A, logo vu−1 ∈ CA(M), contrariando o fato de u e v estarem

em classes diferentes de CA(M) em A.

Teorema 3.2.6 (Teorema da Substituicao de Thompson) Sejam A ∈ A(P ) e B

um subgrupo abeliano de P . Se A normaliza B, mas B nao normaliza A, entao existe

um elemento A∗ em A(P ) com as propriedades:

(i) A ∩B ⊂ A∗ ∩B.

(ii) A∗ normaliza A.

Demonstracao. Uma vez que A normaliza B temos que AB e um grupo e B e normal

em AB. Como B e abeliano, N = NB(A) normaliza A e tambem normaliza B, de

modo que N e normal em AB. Alem disso, por hipotese B nao normaliza A, logo

N ⊂ B. Como 1 6= B

N/AB

N, o Teorema 1.2.8 implica que

B

N∩ Z

(AB

N

)6= 1. Assim

podemos escolher x ∈ B \ N cuja imagem esta em Z

(AB

N

). Desse modo, se a ∈ A,

N(ax) = (Na) (Nx) = (Nx) (Na) = N(xa) implicando que [x, a] ∈ N , para todo a ∈ A,

ou melhor, [x,A] ⊆ N . Colocando M = [x,A] temos que M e abeliano, pois M ⊆ N ⊆ B.

54

Portanto, pelo teorema acima, A∗ = MCA(M) ∈ A(P ). Mostraremos que A∗ tem as

propriedades desejadas.

Como M ⊆ N = NB(A), M normaliza A. Alem disso, uma vez que CA(M) ⊆ A segue

que A∗ normaliza A. Agora, A ∩ B centraliza x e A, pois x ∈ B e A e B sao abelianos,

logo A∩B ⊆ A∗ = CP (A∗). Por outro lado, como x 6∈ N , M = [x,A] 6⊆ A, de modo que

A∩B ⊂M(A∩B). Mas, M ⊆ N ⊆ B e M ⊆ A∗. Portanto, A∩B ⊂M(A∩B) ⊆ A∗∩B,

concluindo a prova.

Corolario 3.2.7 Seja B um subgrupo abeliano normal de P . Entao existe A ∈ A(P ) tal

que B normaliza A.

Demonstracao. Sendo B normal em P todo elemento de A(P ) normaliza B. Seja

A ∈ A(P ) tal que A ∩ B e maximal, entao B normaliza A, pois caso contrario, pelo

teorema anterior, existiria A∗ ∈ A(P ) tal que A ∩ B ⊂ A∗ ∩ B contrariando a escolha

maximal de A ∩B.

O seguinte lema ajudara a estendermos o Teorema da Substituicao de Thompson no

caso em que B e um subgrupo normal de P tal que cl(B) ≤ 2 e B′ ⊆ Z(J(P )).

Lema 3.2.8 Seja P um p-grupo da forma P = BA com B normal em P , B′ ⊆ Z(P ) e A

abeliano e seja n o menor inteiro positivo tal que [B,nA] e abeliano. Entao as seguintes

condicoes sao validas:

(i) γi(P ) ≡ [B,i−1A](modB′), para todo i ≥ 2;

(ii) [B,i+1A] ⊆ [B,iA], para todo i ≥ 0;

(iii) Se [B,n+1A] = 1, entao n ≤ 2 e cl(P ) ≤ 4

Demonstracao. Sendo P nilpotente, [B,k A] = 1 para algum k suficientemente grande,

assim n esta bem definido.

(i) Notamos que esta e uma propriedade deP

B′ e sendoB

B′ abeliano, podemos considerar

55

que B e abeliano. ComoP

Be abeliano por hipotese, γi

(P

B

)= 1, para todoi ≤ 2. Logo

γi(P ) ⊆ B, para todo i ≤ 2, assim se x ∈ γi(P ), b ∈ B e a ∈ A, usando o fato de B ser

abeliano obtemos [ba, x] = a−1b−1x−1bax = a−1x−1ax = [a, x]e, consequentemente,

γi+1(P ) = [γi(P ), P ] = [γi(P ), BA] = [γi(P ), A], (3.5)

para todo i ≥ 2.

Agora basta mostrarmos que P ′ = γ2(P ) = [B,A], assim (i) seguira de (3.5) por

inducao sobre i.

Para a ∈ A, b ∈ B e x ∈ P temos que

[ab, x] = [a, x]b[b, x]. (3.6)

Mas, [a, x] ∈ P ′ = γ2(P ) ⊆ B e B e abeliano, entao (3.6) se reduz a

[ab, x] = [a, x][b, x], (3.7)

o qual implica que P ′ ⊆ [A,P ][B,P ]. Notamos que [B,P ] = [B,A], para isso aplicamos

o mesmo argumento usado para mostrar (3.5). De forma analoga tambem obtemos

[A,P ] = [A,B] = [B,A]. Portanto P ′ = [B,A], como desejavamos.

(ii) Por hipotese A normaliza B = [B,0A], isto e, [[B,0A], A] ⊆ B. Vamos supor que

[B,iA] ⊆ [B,i−1A]. Logo [B,i+1A] = [[B,iA], A] ⊆ [[B,i−1A], A] = [B,iA].

(iii) Suponhamos [B,n+1A] = 1. Entao, por (i), γn+2(P ) ⊆ B′, mas, por hipotese,

B′ ⊆ Z(P ). Portanto γn+3(P ) = 1.

Seja m o maior inteiro positivo tal que 12(n + 4) ≥ m. Como n ≥ 1, entao m ≥ 2.

Alem disso, por definicao, m + 1 >1

2(n+ 4) isto implica que 2m ≥ n + 3. Assim,

pela Proposicao 1.2.5 (i), [γm(P ), γm(P )] ⊆ γ2m(P ) ⊆ γn+3(P ) = 1. Logo, γm(P ) e

abeliano. Por (i), [B,m−1A] tambem e abeliano. Como m−1 e um inteiro positivo, segue

da escolha de n que m − 1 ≥ n. Logo, n ≤ m − 1 ≤ 1

2(n+ 4) − 1 =

n+ 2

2, ou seja,

n ≤ 2. Uma vez que γn+3(P ) = 1, segue que γ5(P ) = 1 e, consequentemente, cl(P ) ≤ 4.

Teorema 3.2.9 (Teorema da Substituicao de Glauberman). Seja P ump-grupo,

p ımpar, e seja B um subgrupo normal de P tal que cl(B) ≤ 2 e B′ ⊆ Z(J(P )). Se A e

56

um elemento de A(P ) que nao e normalizado por B, existe A∗ ∈ A(P ) com as seguintes

propriedades:

(i) A ∩B ⊂ A∗ ∩B.

(ii) A∗ normaliza A.

Demonstracao. Seja Q = AB. Como A ⊆ Q, entao pelo Lema 3.2.3 A(Q) ⊆ A(P ) e

J(Q) ⊆ J(P ). Alem disso, Z(J(P )) centraliza A ⊆ J(P ), de modo que, Z(J(P )) ⊆

CP (A) = A e, assim, Z(J(P )) ⊆ Z(J(Q)), pois A ⊆ J(Q). Logo, B′ ⊆ Z(J(Q)). Por-

tanto Q satisfaz as hipoteses do teorema. Como A(Q) ⊆ A(P ) sera suficiente mostrarmos

que existe A∗ ∈ A(Q) que satisfaz as propriedades desejadas. Assim podemos assumir

que P = AB.

Uma vez que B′ ⊆ Z(J(P )) ⊆ A e B′ ⊆ Z(B), pois cl(B) ≤ 2, entao B′ ⊆ Z(B).

Logo B′ ⊆ Z(P ).

Seja n o menor inteiro positivo tal que [B,nA] e abeliano. Dividiremos a demonstracao

em dois casos.

Caso 1: [B,n+1A] 6= 1. Seja r o menor inteiro positivo tal que [B,r A] = 1. Como

n ≥ 1, temos r ≥ n+2 ≥ 3 e, consequentemente [B,r−3A] fica bem definido. Alem disso,

[B,r−2A] nao centraliza A, pois caso contrario terıamos [B,r−1A] = 1, contrariando a

escolha de r. Dessa forma podemos escolher x em [B,r−3A] tal que A nao centraliza

[x,A]. Se M = [x,A], como r ≥ n + 2, entao pelo Lema 3.2.8 temos M ⊆ [[B,r−2A]] ⊆

[B,nA]. Assim M e abeliano pela nossa escolha de n. Logo, pelo Teorema de Thompson

A∗ = MCA(M) ∈ A(P ). Vamos mostrar que A∗ satisfaz as condicoes (i) e (ii).

Observamos que [B,A ∩ B,A] ⊆ [B,B,A] ⊆ [Z(P ), A] = 1 e [A ∩ B,A,B] ⊆

[A,A,B] ⊆ [1, B] = 1. Aplicando o Lema dos Tres Subgrupos obtemos que [A,B,A∩B] =

1, ou seja, A∩B centraliza [A,B] = [B,A]. Logo, pelo Lema 3.2.8 A∩B centraliza [B,iA],

para todo i ≥ 1. Em particular, A∩B centraliza M ⊆ [B,nA]. Consequentemente A∩B

centraliza A∗ = MCA(M). Por outro lado, como A nao centraliza M , entao M 6⊆ A. Mas

M ⊆ B, pelo lema anterior. Portanto A∩B ⊂M(A∩B) ⊆ A∗∩B. Alem disso, se x ∈M ,

y ∈ CA(M) e a ∈ A temos que [xy, a] = [x, a]. Isto implica que [MCA(M), A] = [M,A].

57

Assim [A∗, A,A] = [MCA(M), A,A] = [M,A,A] ⊆ [[B,r−2A], A,A] = [B,r A] = 1, ou

seja, A∗ normaliza A. Portanto A∗ tem as propriedades desejadas.

Caso 2: [B,n+1A] = 1. Neste caso, pelo Lema 3.2.8, n ≤ 2. Como B nao normaliza A,

entao [B,2A] = [B,A,A] 6= 1. Logo n = 2.

Provaremos agora que [x,A] e abeliano para todo x ∈ B. Para isso, sejam u, v ∈ A

e x ∈ B. Aplicando a Proposicao 1.1.1(iv) para x, u−1 e w = [x, v] no lugar de x, y e z,

respectivamente, obtemos

[x, u, w]u−1

[u−1, w−1, x]w[w, x−1, u−1]x = 1. (3.8)

Como B e normal em P e B′ ⊆ Z(P ) os tres comutadores acima estao em Z(P ). Notamos

ainda que [w, x−1, u−1]x = 1. Assim (3.8) se reduz a

[x, u, w][u−1, w−1, x] = 1. (3.9)

Mais ainda, como [u−1, w−1] e x estao em B e B′ ⊆ Z(P ), podemos aplicar a Proposicao

1.1.1(vi)-(i) para obtermos

[u−1, w−1, x]−1 = [[u−1, w−1], x]−1 = [[u−1, w−1]−1, x]. (3.10)

De (3.9) e (3.10), e sendo w = [x, v] segue que

[[x, u], [x, v]] = [[x, v]−1, u−1, x]. (3.11)

Vamos agora simplificar o termo [[x, v]−1, u−1]. Sejam P =P

B′ , A =AB′

B′ e B =B

B′ .

Como [B,3A] = 1, entao [B, A, A] comuta com A. Mas [B, A, A] tambem comuta com

B, pois B e abeliano. Logo [B, A, A] ⊆ Z(P ). Dessa forma, aplicamos a Proposicao

1.1.1(vi) no grupo [B, A, A] para obtermos

[[x, v]−1, u−1] ≡ [[x, v], u−1]−1 ≡ [x, v, u] (modB′). (3.12)

Uma vez que u e v comutam e[x,A]B′

B′ ⊆ B

B′ e abeliano, entao pela Proposicao 1.1.1(v)

[x, v, u] ≡ [x, u, v] (modB′). (3.13)

Como B′ ⊆ Z(P ) segue de (3.11), (3.12) e (3.13) que

[[x, u], [x, v]] = [[x, v, u], x] = [[x, u, v], x]. (3.14)

58

Por simetria temos tambem

[[x, v], [x, u]] = [[x, v, u], x] = [[x, u, v], x]. (3.15)

Pela Proposicao 1.1.1(i), [[x, v], [x, u]] = [[x, u], [x, v]]−1, entao [[x, v], [x, u]]2 = 1. Sendo p

ımpar devemos ter [[x, v], [x, u]] = 1. Como u e v foram tomados arbitrariamente, [x,A]

e abeliano, para todo x ∈ B.

Uma vez que B nao normaliza A podemos escolher x ∈ B tal que [x,A] nao centraliza

A. Para essa escolha de x, colocando M = [x,A], pelo Teorema de Thompson, teremos

A∗ = MCA(M) ∈ A(P ). Como no caso 1, temos que A ∩ B centraliza [B,A], isto e,

A ∩ B ⊆ CP ([B,A]). Observamos que [B,A] ⊇ M , pois x ∈ B, e sendo A abeliano,

segue que A∩B ⊆ CP (A∗), mas pelo Lema 3.2.2, A∗ = CP (A∗), logo A∩B ⊆ A∗. Alem

disso, M = [x,A] nao centraliza A. Assim, temos M 6⊆ A e M ⊆ [B,A] ⊆ B. Logo

A ∩B ⊂M(A ∩B) ⊆ A∗ ∩B.

Observamos que [A∗, A,A] = [MCA(M), A,A] = [M,A,A] ⊆ [[B,A], A,A] = 1 pois

[B,3A] = 1. Isto implica que A∗ normaliza A. Portanto A∗ tem as propriedades dese-

jadas.

Corolario 3.2.10 Nas condicoes do Teorema 3.2.9 exite um elemento A ∈ A(P ) tal que

B normaliza A.

Demonstracao. Escolhendo A ∈ A(P ) tal que A ∩ B e maximal temos que B normaliza

A, pois do contrario existiria, pelo teorema anterior, A∗ ∈ A(P ) tal que A∩B ⊂ A∗∩B.

Teorema 3.2.11 (Glauberman) Seja G um grupo fortemente p-soluvel com

Op′(G) = 1. Se P e um Sp-subgrupo de G, entao Z(J(P ))e normal em G.

Demonstracao. Sendo Z(J(P )) um subgrupo normal e abeliano de P , entao

Z(J(P )) ⊆ Op′,p(G), pelo Teorema 3.1.7. Mas Op′,p(G) = Op(G), pois Op′(G) = 1.

Assim,

Z(J(P )) = Z(J(P )) ∩Op(G). (3.16)

59

Vamos mostrar que Z(J(P )) ∩B e normal em G para todo p-subgrupo normal B de

G. Disso, de 3.16 e do fato que Op(G) e um p-subgrupo normal de G seguira o resultado.

Suponhamos, por absurdo, que B ∩ Z(J(P )) nao e normal em G, para algum p-

subgrupo normal B de G e escolhamos B de menor ordem tal que B ∩ Z(J(P )) nao e

normal em G.

Sejam Z = Z(J(P )) e B1 o fecho normal de Z ∩ B em G, isto e, B1 = 〈bx | b ∈

Z ∩ B e x ∈ G〉. Como B e normal em G, temos B1 ⊆ B e como Z ∩ B ⊆ B1, entao

Z ∩B = Z ∩B1. Assim pela escolha minimal de B, devemos ter B = B1.

Sendo B soluvel, temos que B′ = [B,B] ⊂ B. Assim usando novamente a escolha

minimal de B obtemos que Z ∩B′ e normal em G. Uma vez que Z e normal em P temos

[Z ∩B,B,B] ⊆ Z ∩B′ e, entao para todo x ∈ G

[(Z ∩B)x, B] = [Z ∩B,B]x ⊆ (Z ∩B′)x = Z ∩B′, (3.17)

pois B e Z ∩ B′ sao normais em G. Como B e gerado por todos os (Z ∩ B)x, segue de

(3.17) que B′ ⊆ Z ∩ B′. Portanto B′ ⊆ Z = Z(J(P )). Em particular, B ∩ Z centraliza

B′. Mas B′ e caracterıstico em B e B e normalem G, entao B′ e normal em G. Logo todo

conjugado de Z ∩ B em G centraliza B′. Mas entao B = 〈(Z ∩ B)x | x ∈ G〉 centraliza

B′. Assim B′ ⊆ Z(B), o que implica cl(B) ≤ 2. Observamos que B satisfaz todas as

condicoes do Teorema da Substituicao de Glauberman.

Seja L o maior subgrupo normal de G que normaliza Z ∩ B. Entao L ∩ P e um

Sp-subgrupo de L. Assim pela Propoisicao 1.3.2, G = LNG(L ∩ P ). Sendo J(L ∩

P )caracterıstico em L∩P segue que G = LN , onde N = NG(Z(L∩P )). Se J(P ) ⊆ L∩P ,

entao pelo Lema 3.2.3(i), J(P ) = J(L ∩ P ). Neste caso, N normaliza Z = Z(J(P )) e

logo normaliza B∩Z. Mas, entao G = LN normaliza B∩Z e, consequentemente, B∩Z

e normal em G. Dessa forma podemos supor que J(P ) 6⊆ P ∩ L.

Como B satisfaz as condicoes do Teorema da Substituicao de Glauberman, pelo

corolario anterior, existe A ∈ A(P ) tal que B normaliza A, e sendo A abeliano temos

[B,A,A] = 1. Alem disso, G e fortemente p-soluvel, Op′(G)B = B e normal em G e

A ⊆ NG(B) = G. Logo pelo Teorema 3.1.6

AC

C⊆ Op

(G

C

), (3.18)

60

onde C = CG(B).

Uma vez que C centraliza Z ∩B e L normaliza Z ∩B temos que LC normaliza Z ∩B

e LC e normal em G. Assim C ⊆ L, pela escolha maximal de L. Consequentemente

AL

L⊆ Op

(G

L

). (3.19)

Mostraremos agora que Op

(G

L

)= 1. Seja K a imagem inversa de Op

(G

L

)em G.

Entao P ∩K e um Sp-subgrupo de K. Logo K = L(P ∩K). Mas P ∩K normaliza Z ∩B

e, entao P ∩K ⊆ L, donde segue que K = L. Portanto Op

(G

L

)= 1.

Disso e de (3.19) obtemos que A ⊆ L. Assim pelo Lema 3.2.3 (i), J(P ∩ L) ⊆ J(P ).

Como Z = Z(J(P )) ⊆ A ⊆ J(P ∩ L) temos Z ∩ B ⊆ Z(J(P ∩ L)), observamos que

Z(J(P ∩L)) char P ∩L. Temos, pela Proposicao 1.3.2, G = LNG(L∩P ), entao colocando

X = Z(J(P ∩ L)) segue que G = LNG(X). Como Lnormaliza Z ∩ B o fecho normal de

Z ∩B em G esta contido em X. Mas o fecho normal de Z ∩B em G e B, ou seja B ⊆ X,

o que implica que B e abeliano.

Notamos que existe A1 ∈ A(P ) tal que A1 6⊆ L, pois J(P ) 6⊆ L ∩ P . Para este A1

devemos ter [B,A1, A1] 6= 1, pois caso contrario aplicando o mesmo argumento usado

para mostar que A ⊆ L obterıamos tambem que A1 ⊆ L, contrariando a escolha de A1.

Dentre todas as escolhas possıveis para A1 em A(P ), escolhamos A1 de forma que

|A1 ∩ B| e maximal. Pelo Lema 3.2.4, B nao normaliza A1 e, entao pelo Teorema da

Substituicao de Thompson existe A∗ ∈ A(P ) tal que A1∩B ⊂ A∗∩B e A∗ normaliza A1.

Como A1∩B ⊂ A∗∩B, da escolha maximal de A1 segue que A∗ ⊆ L, consequentemente,

A∗ ⊆ L ∩ P e, pelo Lema 3.2.2, X = Z(J(L ∩ P )) ⊆ A∗. Observamos que B ⊆ X, entao

[B,A1, A1] ⊆ [X,A1, A1] ⊆ [A∗, A1, A1] = 1,

contrariando o fato de que [B,A1, A1] 6= 1. Portanto Z(J(P )) ∩ B e normal em G, para

todo p-subgrupo normal B de G, como querıamos.

O que acabamos de mostrar e um caso particular do Teorema de Glauberman. Na

verdade podemos enfraquecer a hipotese de que G e fortemente p-soluvel; o teorema

61

tambem e valido para todo grupoG que satisfaz as propriedades dos Teoremas 3.1.4 e

3.1.6 e tal que Op(G) 6= 1. Nestas condicoes temos que G = Op′(G)NG(Z(J(P ))).

Para obter tal resultado e sua demostracao sugerimos [5].

Teorema 3.2.12 (Glauberman-Thompson) Se P e um Sp-subgrupo de G, p ımpar,

e se NG(Z(J(P ))) tem um p-complemento normal, entao G tambem tem.

Demonstracao. Faremos a demonstracao usando inducao sobre |G|. Suponhamos o teo-

rema falso. Entao pelo Teorema de Frobenius, existe um p-subgrupo H 6= 1 de G tal

que NG(H) nao possui um p-complemento normal. Dentre todos tais subgrupos, vamos

escolher H de forma que um Sp-subgrupo de N = NG(H) tenha ordem maximal. Pelo

Lema 3.2.3(ii) podemos supor que P ∩N e um Sp-subgrupo de N .

Afirmamos que P ⊆ N . Caso contrario, coloquemos R = P ∩N , L = NN(Z(J(R))) e

M = NG(Z(J(R))), de modo que L ⊆ M e R ⊂ P . Assim R ⊂ NP (R). Como Z(J(R))

e caracterıstico em J(R) e J(R) e caracterıstico em R, devemos ter NP (R) ⊆ M e

consequentemente R ⊂ P ∩M . Assim um Sp-subgrupo de M tem ordem maior do que

um Sp-subgrupo de N . Logo, pela escolha de H, temos que M tem um p-complemento

normal. Como L ⊆M , segue que L tambem tem um p-complemento normal. Por outro

lado, P 6⊆ N , assim N ⊂ G, donde segue, pela hipotese de inducao, que N tem um

p-complemento normal, contrariando nossa escolha de H. Portanto P ⊆ N . Alem disso,

G = N , pois de outro modo N teria um p-complemento normal, tambem por inducao.

Claramente as hipoteses do teorema valem para o grupo quocienteG

Op′(G). Assim

se Op′(G) 6= 1, por inducao,G

Op′(G)tem um p-complemento normal, o que implica que

G tambem tem. Portanto podemos supor que Op′(G) = 1. Como G = NG(Op(G))

podemos assumir que H = Op(G). Sendo P um Sp-subgrupo de G, entao H ⊆ P .

Suponhamos que H = P . Como Z(J(P )) e caracterıstico em P e P e normal em

G, entao G = NG(Z(J(P ))) e assim G tem um p-complemento normal por hipotese.

Portanto H ⊂ P .

Agora colocando G =G

He P a imagem de P em G, temos que P 6= 1. Consideramos

N1 = NG(Z(J(P ))) eN1, H1 as imagens inversas de N1 e Z(J(P )) emG, respectivamente.

Entao N1 = NG(H1), H ⊂ H1 e P ⊆ N1, esta ultima inclusao pelo fato de P ⊆ N1.

62

Observamos que N1 ⊂ G, de outro modo H1 seria normal em G e sendo H1 a imagem

inversa de Z(J(P )) em G e H = Op(G) segueria que H1 e tambem um p-subgrupo normal

de G. Daı terıamos H1 ⊆ Op(G) = H ⊂ H1, que eum absurdo. Assim N1 ⊂ G e, por

inducao, N1 tem um p-complemento normal. Isto implica que N1 tambem tem. Agora

usando novamente inducao obtemos que G possui um p-complemento normal. Logo,

G = Op′,p(G) e, consequentemente, G = Op′,p,p′(G). Assim segue do Teorema 3.1.2 que G

e p-soluvel. Notamos que se G e fortemente p-soluvel, o Teorema de Glauberman implica

que Z(J(P )) e normal em G. Logo G = NG(Z(J(P ))) teria um p-complemento normal

o que completaria a demonstracao.

Vamos mostrar que de fato G e fortemente p-soluvel. Sendo p ımpar, e suficiente

mostrar que para p = 3, o grupo SL(2, 3) naoesta envolvido em G . Pela Proposicao

1.5.15, os S2-subgrupos de SL(2, 3) sao os quaternios. Entao para mostrar que SL(2, 3)

nao esta envolvido em G mostraremos que os S2-subgrupos de G sao abelianos.

Consideramos P agindo por conjugacao sobre Op′(G). Dessa forma P pode ser visto

como um p-subgrupo de Aut(Op′(G)). Como P e soluvel segue do Teorema 2.2.2 que

P normaliza um Sq-subgrupo Q de Op′(G), para cada primo q 6= p. Logo P normaliza

Z(Q). Seja G1 a imagem inversa de PZ(Q) em G, segue que G1 = PQ1, onde Q1 e

um q-grupo isomorfo a Z(Q). Mostraremos que G1 = G. Suponhamos que G1 ⊂ G.

Entao por inducao G1 tem um p-complemento normal que neste caso e Q1. Assim

[H,Q1] ⊆ H ∩ Q1 = 1 e entao Q1 ⊆ CG(H), pois H = Op(G) e Op′(G) = 1. Portanto

Q1 ⊆ H, esta contradicao mostra que G = G1 como desejavamos. Portanto os S2-

subgrupos de G estao contidos em Q1, que e abeliano. Isso conclui a prova do teorema.

63

Capıtulo 4

Algebras de Lie

Diversos problemas em matematica vem sendo estudados atraves das algebras de Lie.

Nosso objetivo e usa-las como ferramentas para o estudo de grupos finitos que admitem

automorfismos que fixam somente a identidade. Faremos isto associando uma algebra de

Lie a um grupo.

Neste capıtulo R sempre denotara um anel comutativo com identidade.

4.1 Definicoes e propriedades gerais

Uma algebra de Lie sobre R, ou uma R-algebra de Lie, e um R-modulo L no qual

oproduto [a; b] de quaisquer dois elementos a, b ∈ L esta definido e satisfaz as seguintes

identidades:

(1) [ra+ sb; c] = r[a; c] + s[b; c];

(2) [a; rb+ sc] = r[a; b] + s[a; c];

(3) [[a; b]; c] + [[b; c]; a] + [[c; a]; b] = 0;

(4) [a; a] = 0.

64

Observacoes:

1. O produto [a; b] e chamado de colchete de Lie de a por b.

2. A identidade (3) e conhecida como identidade de Jacobi ;

3. Uma algebra de Lie sobre Z tambem e conhecida como um anel de Lie ;

4. A identidade [a; a] = 0 junto com as identidades de bilinearidade implicam que o

colchete de Lie e anti-simetrico, isto e, [a; b] = −[b; a].

Se a1, a2, . . . , an com n ≥ 2 sao elementos de L , o produto de n fatores [a1; a2; . . . ; an]

e definido recursivamente por [[a1; a2; . . . ; an−1]; an]. Com esta notacao, a identidade de

Jacobi toma a forma [a; b; c] + [b; c; a] + [c; a; b] = 0.

Se L1 e L2 sao R-algebras de Lie, um homomorfismo de Lie e um homomorfismo

de R-modulos φ : L1 −→ L2 tal que ([a; b])φ = [(a)φ; (b)φ], para todo a, b ∈ L1. Um

isomorfismo de Lie entre L1 e L2 e um homomorfismo de Lie bijetor e um automorfismo

de Lie e um isomorfismo de Lie de uma algebra de Lie em si mesma.

Se U e V sao R-submodulos de L, definimos [U ;V ] como sendo o R-submodulo gerado

por todos os produtos [u; v] com u ∈ U e v ∈ V . E facil ver que U + V = {u + v | u ∈

U e v ∈ V } e um R-submodulo de L.

Proposicao 4.1.1 Sejam U , V e W R-submodulos de uma R-algebra de Lie L, entao:

(i) [U ;V ] = [V ;U ];

(ii) Se U ⊆ V , entao [U ;W ] ⊆ [V ;W ];

(iii) [U + V ;W ] = [U ;W ] + [V ;W ] e [U ;V +W ] = [U ;V ] + [U ;W ].

Demonstracao. O resultado segue diretamente das propriedades (1), (2) e (3) e da

definicao de R-algebra de Lie.

Um R-submodulo M de uma R-algebra de Lie L sera chamado de um ideal (subalgebra)

de Lie se [M ;L] ⊆ M ([M ;M ] ⊆ M). Observamos que a intersecao de qualquer famılia

65

de ideais (subalgebras) de L e ainda um ideal (subalgebra) de L. Assim, se X e um

subconjunto de L definimos o ideal (subalgebra) gerado por X como sendo a intersecao

de todos os ideais (subalgebras) de L que contem X. Observamos tambem que um ideal

de L e sempre uma subalgebra de L.

Observacoes:

1. Se I e um ideal, e facil verificar que o R-moduloL

Icom o produto

[a+ I; b+ I] = [a; b] + I,

e uma R-algebra de Lie.

2. Se X e um subconjunto de L, a subalgebra gerada por X coincide com o

R-submodulo gerado por todos os produtos [x1;x2; . . . ;xn] com n > 0 e xi ∈ X,

onde interpretamos [x] como sendo x.

Sejam L uma R-algebra de Lie e U1, U2, . . ., Un R-submodulos de L. Definimos

[U1;U2; . . . ;Un] como sendo o R-submodulo gerado por todos os produtos [u1;u2; . . . ;un]

com ui ∈ Ui, i = 1, 2, . . . , n. Escrevemos [U1;n U2] para oR-submodulo [U1;U2;U2; . . . ;U2︸︷︷︸n

].

Usando inducao sobre n podemos verificar que [U1;U2; . . . ;Un] = [[U1;U2; . . . Un−1];Un],

para todo n ≥ 2. Assim escrevendo Ln = [L;L; . . . ;L︸︷︷︸n

] temos que L1 = L e para n > 1,

Ln e o R-submodulo gerado pelos produtos [a1; a2; . . . ; an], com ai ∈ L, i = 1, 2, . . . , n.

Proposicao 4.1.2 Sejam U , V e W R-submodulos de uma R-algebra de Lie L, temos:

(i) [U ;V ;W ] ⊆ [V ;W ;U ] + [W ;U ;V ];

(ii) Se φ : L −→ L1 e um homomorfismo de Lie, entao [U ;V ]φ = [Uφ;V φ];

(iii) Se I1 e I2 sao ideais de L, entao [I1; I2] tambem e um ideal de L.

66

Demonstracao. O item (i) segue da definicao acima e da identidade de Jacobi, enquanto

que o item (ii) tambem segue da definicao acima e da definicao de homomorfismo de Lie.

(iii) Notamos que [I2;L; I1] = [[I2;L]; I1] ⊆ [I2; I1] = [I1; I2], e que [L; I1; I2] ⊆ [I1; I2],

pois I1 e I2 sao ideais de L. Pelo item (i) temos que [I1; I2;L] ⊆ [I2;L; I1] + [L; I1; I2], ou

seja, [I1; I2;L] ⊆ [I1; I2]. Portanto [I1; I2] e um ideal de L.

Da proposicao acima concluımos que para cada inteiro positivo n, Ln e um ideal de

L e que Ln ⊆ Ln−1 para n ≥ 2. A cadeia de ideais de L

L = L1 ⊇ L2 ⊇ . . . ⊇ Ln ⊇ . . . (4.1)

e chamada de serie central inferior de L.

Dizemos que uma algebra de Lie L e nilpotente se existe um inteiro n ≥ 1 tal

que Ln+1 = 0. Chamaremos o menor inteiro n satisfazendo esta condicao de classe

de nilpotencia de L.

Proposicao 4.1.3 Seja L uma algebra de Lie, temos que

(i) Se L e gerado por X, entao Ln e o R-submodulo gerado por todos os produtos

[x1;x2; . . . ;xk] com xi ∈ X e k ≥ n;

(ii) [Lm;Ln] ⊆ Lm+n, para todo m ≥ 1 e todo n ≥ 1.

Demonstracao. (i) Faremos a prova usando inducao sobre n. Para n = 1 o resultado

e obvio. Seja n ≥ 1 e suponhamos que Ln seja o R-submodulo gerado pelos produtos

[x1;x2; . . . ;xk], com xi ∈ X e k ≥ n. Por definicao, Ln+1 = [Ln;L]. Logo, por inducao e

pelo caso n = 1 temos que Ln+1 e gerado pelos produtos

[[x1;x2; . . . ;xk]; [xk+1;xk+2; . . . ;xl]] (4.2)

com xi ∈ X e n ≤ k < l. Para cada k coloquemos uk = [x1;x2; . . . ;xk], assim (4.2) toma

a forma

[uk; [xk+1;xk+2 . . . ;xl]]. (4.3)

67

Agora usaremos inducao sobre l ≥ k + 1 para mostrarmos que

[uk; [xk+1;xk+2 . . . ;xl]] =∑

α∈S∗l−k

s(α)[uk;x(k+1)α; . . . ;x(l)α], (4.4)

onde S∗l−k e o conjunto das permutacoes do conjunto {k + 1, . . . , l} para as quais existe

um inteiro m, com 0 ≤ m ≤ l tal que

(k+ 1)α > (k+ 2)α > . . . > (k+m+ 1)α e (k+m+ 1)α < (k+m+ 2)α < . . . < (l)α,

e s(α) = (−1)m.

Se l = k + 1, entao [uk; [xk+1]] = [uk;xk+1]. Seja l ≥ k + 1 e suponhamos que (4.4)

seja verdadeiro para esse l. Usando a identidade de Jacobi e (4.4) obtemos que

[uk; [xk+1; . . . ;xl;xl+1]] = [uk; [[xk+1; . . . ;xl];xl+1]]

= [uk; [xk+1; . . . ;xl];xl+1]− [uk;xl+1; [xk+1; . . . ;xl]]

=

∑α∈S∗l−k

s(α)[uk;x(k+1)α; . . . ;x(l)α];xl+1

−∑

β∈S∗l−k

s(β)[uk;xl+1;x(k+1)β; . . . ;x(l)β]

=

∑α∈S∗l+1−k

s(α)[uk;x(k+1)α; . . . ;x(l)α;x(l+1)α]

,como desejado.

(ii) Usando inducao sobre m vamos demonstrar que [Lm;Ln] ⊆ Lm+n. O caso m = 1

segue por definicao.Para o caso geral aplicamos a Proposicao 4.1.2 e a hipotese de inducao

para obtermos

[Lm+1;Ln] = [Lm;L;Ln]

⊆ [L;Ln;Lm] + [Ln;Lm;L]

⊆ [Ln+1;Lm] + [[Ln;Lm];L]

⊆ Lm+n+1,

demonstrando o resultado.

Definimos os R-submodulos L(n) de uma R-algebra de Lie L recursivamente por:

L(0) = L e, para n ≥ 1, L(n+1) = [L(n);L(n)]. Usando inducao sobre n e facilverificar que

68

L(n+1) ⊆ L(n) sao ideais de L, para todo n ≥ 0. A cadeia de ideais

L(0) ⊇ L(1) ⊇ · · · ⊇ L(n) ⊇ · · · (4.5)

e chamada de serie derivada de L

Uma R-algebra de Lie L e soluvel se exite um inteiro d tal que L(d) = 0. O menor tal

inteiro e chamado de comprimento derivado de L.

Usando inducao sobre n e facil verificarmos que L(n) ⊆ L2n, para todo n ≥ 0, isto

mostra que toda R-algebra de Lie nilpotente e soluvel.

4.2 O anel de Lie associado

Dado um grupo G vamos associar um anel de Lie a ele. Para isso consideramos a

serie central inferior de G

G = γ1(G) ⊇ γ2(G) ⊇ · · · γi(G) ⊇ · · · .

Para cada i ≥ 1 seja Li =γi(G)

γi+1(G). Observamos que o grupo Li, para i ≥ 1, e abeliano,

e portanto pode ser considerado como um Z-modulo. Usando notacao aditiva, definimos

L(G) como a soma direta dos Li, isto e,

L(G) = L1 ⊕ L2 ⊕ · · · ⊕ Li ⊕ · · · .

Vamos agora definir uma multiplicacao em L(G) de modo a transforma-lo num anel de

Lie. Primeiro definimos o produto de dois elementos homogeneos de L(G) (dizemos que

a ∈ L(G) e homogeneo se a ∈ Li, para algum i). Se a ∈ Li e b ∈ Lj, entao a = xγi+1(G)

e b = yγj+1(G) para algum x ∈ γi(G) e algum y ∈ γj(G). A Proposicao 1.2.5(i) implica

que [x, y] ∈ γi+j(G) e nos definimos o produto de a e b por

[a; b] = [x, y]γi+j+1(G) ∈ Li+j. (4.6)

E facil verificar que este produto esta bem definido. Vamos provar que o produto de

elementos homogeneos e bilinear. Sejam x, y ∈ γi(G) e z, w ∈ γj(G), da Proposicao 1.1.1

69

(ii) temos que [xy, z] = [x, z][x, z, y][y, z]. Observamos que, pela Proposicao 1.2.5 (i),

[x, z, y] ∈ γi+j+1(G). Logo

[xy, z] = [x, z][y, z] (mod(γi+j+1(G)). (4.7)

Usando a notacao aditiva e a definicao do produto de Lie obtemos

[xγi+1(G) + yγi+1(G); zγj+1(G)] = [(x+ y)γi+1(G); zγj+1(G)]

= [xy, z]γi+j+1(G)

= ([x, z] + [y, z]) γi+j+1(G)

= [x, z]γi+j+1(G) + [y, z]γi+j+1(G)

= [xγi+1(G); zγj+1(G)] + [yγi+1(G); zγj+1(G)].

Analogamente provamos que

[xγi+1(G); zγj+1(G) + wγj+1(G)] = [xγi+1(G); zγj+1(G)] + [xγi+1(G);wγj+1(G)].

Logo o produto de elementos homogeneos e bilinear. Agora estendemos por linearidade

este produto para todo L(G).

Teorema 4.2.1 L(G) com a operacao definida acima e um anel de Lie.

Demonstracao. Temos que o produto de L(G) e bilinear. Assim para mostrarmos que

L(G) e um anel de Lie basta verificarmos a identidade de Jacobi e que [a; a] = 0 para

todo a ∈ L(G).

Observamos que [x, y] = [y, x]−1 e [x, x] = 1, para todos x, y ∈ G, desse modo, para

elementos homogeneos a1, a2 ∈ L(G) temos [a1; a1] = 0 e [a1; a2] = −[a2; a1]. Entao pela

bilinearidade do produto de L(G) segue que [a; a] = 0, para todo a ∈ L(G). Analoga-

mente, e suficiente verificarmos a identidade de Jacobi para elementos homogeneos. Sejam

a = xγi+1(G), b = yγj+1(G) e c = zγk+1(G), com x ∈ γi(G), y ∈ γj(G) e z ∈ γk(G). Por

definicao temos

[[a; b]; c] + [[b; c]; a] + [[c; a]; b] = [x, y, z][y, z, x][z, x, y]γi+j+k+1(G)...

Portanto, para mostrarmos a igualdade [[a; b]; c]+[[b; c]; a]+[[c; a]; b] = 0 basta provarmos

que

[x, y, z][y, z, x][z, x, y] ∈ γi+j+k+1(G). (4.8)

70

Pela Proposicao 1.1.1 (iv) temos

[x, y−1, z]y[y, z−1, x]z[z, x−1, y]x = 1. (4.9)

Primeiramente consideramos [x, y−1, z]y. Pela Proposicao 1.1.1 (ii), [x, y−1][x, y]y−1

= 1,

logo [x, y−1] =(

[x, y]y−1)−1

= [y, x][y, x, y−1]. Agora pela Proposicao 1.2.5 (ii) existe

u ∈ γi+j+1(G) tal que u = [y, x, y−1] e entao

[x, y−1] = [y, x]u. (4.10)

Novamente pela Proposicao 1.1.1 (ii), 1 = [[x, y][y, x], z] = [[x, y], z][y,x][[y, x], z], isto

implica que

[y, x, z] =([x, y, z]−1

)[y,x]. (4.11)

De (4.10), (4.11) e da Proposicao 1.1.1 (ii) obtemos

[x, y−1, z]y = [[y, x]u, z]y = ([y, x, z]u[u, z])y =((

([x, y, z]−1)[y,x])u

[u, z])y.

Como [x, y, z]−1 ∈ γi+j+k(G) e [u, z] ∈ γi+j+k+1(G) segue que

[x, y−1, z]y = [x, y, z]−1 mod(γi+j+k+1(G)).

Analogamente mostramos que [y, z−1, x]z = [y, z, x]−1 mod(γi+j+k+1(G)) e [z, x−1, y]x =

[z, x, y]−1 mod(γi+j+k+1(G)). Disso e de (4.9) resulta que

[x, y, z][y, z, x][z, x, y] ∈ γi+j+k+1(G).

Portanto L(G) e um anel de Lie como desejavamos demonstrar.

O proximo resultado nos fornece algumas propriedades de L(G) que sao “herdadas”de

G.

Teorema 4.2.2 (i) Se G = 〈X〉, entao L(G) e gerado, como algebra de Lie, por

Y = {γ2(G)x | x ∈ X};

(ii) L(G)n = Ln ⊕ Ln+1 ⊕ Ln+2 ⊕ · · · (n = 1, 2, 3, . . .);

71

(iii) Se G e nilpotente de classe c, entao L(G) e nilpotente de classe c. Em particular,

se G e finito e nilpotente, |L(G)| = |G|;

(iv) Se φ e um automorfismo de G, entao φ induz um automorfismo de Lie φ de L(G);

(v) Se G e soluvel de comprimento derivado d, entao L(G) e soluvel de comprimento

derivado menor ou igual a d.

Demonstracao. (i) Para cada x ∈ G, coloquemos x = xγ2(G). Assim [x1; x2] =

[x1, x2]γ3(G) e usando inducao sobre n podemos provar que

[x1; . . . ; ¯xn−1; xn] = [[x1; . . . ; ¯xn−1]; xn]

= [[x1, . . . , xn−1]γn(G);xnγ2(G)]

= [x1, . . . , xn]γn+1(G).

Pela Proposicao 1.2.5 (ii),γn(G)

γn+1(G)e gerado pelas classes [x1, . . . , xn]γn+1(G), com xi ∈

X, i = 1, 2, . . . , n. Logo Ln =γi(G)

γi+1(G)e gerado, como Z-modulo, pelos produtos

[x1; x2; . . . ; xn], com xi ∈ X, i = 1, 2, . . . , n. Portanto Y = {x | x ∈ X} gera L(G)

como anel de Lie.

(ii) Por (i) e pela Proposicao 4.1.3 (i), L(G)n e o Z-modulo gerado pelos produtos

[x1; x2; . . . ; xk] com k ≥ n e xi ∈ X. Da Proposicao 1.2.5 segue que Lk e gerado como

grupo pelas classes [x1, x2, . . . , xk]γk+1(G). Logo, L(G)n = Ln ⊕ Ln+1 ⊕ · · · ⊕ · · ·.

(iii) Suponhamos que G e nilpotente de classe c, isto e, γc(G) 6= 1 e γc+1(G) = 1. Por

(ii) temos L(G)c+1 = 0. Para mostrarmos que a classe de nilpotencia de L(G) e c resta

provarmos que L(G)c 6= 0. Por absurdo, assumimos que L(G)c = 0, de (ii) devemos ter

Lc =γc(G)

γc+1(G)= 0, mas γc+1(G) = 1 implicando que γc(G) = 1. Esta contradicao mostra

que L(G) e nilpotente de classe c.

No caso particular em que G e finito, segue de (ii) que |L(G)| =c∏i=1

∣∣∣∣ γi(G)

γi+1(G)

∣∣∣∣.Usaremos inducao sobre c para provarmos que |G| =

c∏i=1

∣∣∣∣ γi(G)

γi+1(G)

∣∣∣∣.O caso c = 1 e trivial. Observamos que cl(γ2(G)) ≤ c− 1. Vamos supor o resultado

72

valido para c > 1 e provar que e valido tambem para c+ 1. Temos que

c+1∏i=1

∣∣∣∣ γi(G)

γi+1(G)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣γ1(G)

γ2(G)

∣∣∣∣(c+1∏i=2

∣∣∣∣ γi(G)

γi+1(G)

∣∣∣∣)

=|G|

|γ2(G)|

(c∏i=1

∣∣∣∣γi+1(G)

γi+2(G)

∣∣∣∣)

=

(|G|

|γ2(G)|

)|γ2(G)|

= |G|,

como querıamos demonstrar.

(iv) Sendo γi(G) caracterıstico em G, φ induz naturalmente um automorfismo φi em

cada Li definido por

(xγi+1(G)) φi = (xφ)γi+1(G). (4.12)

Se a = a1 + a2 + · · ·+ ar ∈ L(G) com ai ∈ Li, 1 ≤ i ≤ r, definimos

(a)φ = (a1φ1) + (a2φ2) + · · ·+ (arφr). (4.13)

Como cada γi(G) e caracterıstico em G segue facilmente que φ e um automorfismo de

L(G). Resta mostrarmos que φ preserva o colchete de Lie, pela linearidade e suficiente

verificarmos que φ preserva o colchete apenas em elementos homogeneos.

Sejam ai = xγi+1(G) e bj = yγj+1(G), elementos homogeneos de L(G), temos que

[ai; bj]φ = [xγi+1(G); yγj+1(G)]φ

= ([x, y]γi+j+1(G)) φ

= ([x, y]φ) γi+j+1(G)

= [xφ, yφ]γi+j+1(G)

= [(xφ)γi+1(G); (yφ)γj+1(G)]

= [aiφ; bjφ],

e segue que φ e um automorfismo de Lie.

(v) Omitiremos a demonstracao deste item, observamos apenas que este resultado segue

da inclusao L(G)(n) ⊆∑i≥1

(G(n) ∩ γi(G)

)γi+1(G)

γi+1(G), para todo n ≥ 0, que pode ser provada

usando inducao sobre n.

73

4.3 A extensao do anel dos escalares

Sejam L um anel de Lie e Z∗ uma extensao do anel Z, isto e, Z∗ e um anel comutativo

contendo Z como subanel tal que Z contem a identidade de Z∗. Atraves do produto

tensorial de modulos podemos produzir uma Z∗-algebra de Lie a partir de L. Quando

L admite um automorfismo φ de ordem n que fixa somente o elemento neutro de L e

conveniente estendermos Z por uma raiz n-esima primitiva da unidade, digamos w, para

produzirmos uma Z[w]-algebra de Lie que e muito util no estudo do anel de Lie L. A

seguir faremos esta construcao para uma R-algebra de Lie qualquer.

Teorema 4.3.1 Seja L uma R-algebra de Lie e R∗ uma extensao do anel R. Se

L∗ = L⊗R R∗, entao

(i) L∗ e uma R∗-algebra de Lie;

(ii) Se φ e um automorfismo de Lie de L, entao φ∗ = φ⊗ 1 e um automorfismo de Lie

de L∗;

(iii) Se R∗ e um R-modulo livre de posto finito e U e V sao R-submodulos de L, entao

(1) U ⊗R R∗ e V ⊗R R

∗ podem ser considerados como R∗-submodulos de L∗, e

U ⊗R R∗ ⊆ V ⊗R R

∗ se, e somente se, U ⊆ V ;

(2) [U ;V ]⊗R R∗ = [U ⊗R R

∗;V ⊗R R∗];

(3) Se φ e φ∗ sao como em (ii) e U contem todos os elementos de L que sao

invariantes por φ, entao U⊗RR∗ contem todos os elementos de L∗ invariantes

por φ∗;

(4) Se I e um ideal de L, entao I ⊗R R∗ e um ideal de L∗.

Demonstracao. (i) Os elementos a ⊗ r com a ∈ L e r ∈ R∗ geram L∗. Assim para todo

a, b ∈ L e todo r, s ∈ R∗ definamos as operacoes s (a⊗ r) = a⊗ sr

[a⊗ r; b⊗ s] [a; b]⊗ rs,

74

e estendemos de forma linear para todo L∗.

A verificacao que L∗ e uma R∗-algebra de Lie segue diretamente da definicao destas

operacoes e pelo fato de L ser uma R-algebra.

(ii) Seja φ um automorfismo de Lie de L. Definamos a funcao f : L × R∗ −→ L∗ por

(a, r)f = (a)φ⊗ r, que e claramente bilinear. Pela definicao de produto tensorial, existe

uma funcao linear φ∗ : L∗ −→ L∗ tal que (a⊗r)φ∗ = (a, r)f = (a)φ⊗r. Para concluirmos

resta mostrarmos que φ∗ preserva o colchete de Lie de L∗. Se a⊗ r, b⊗ s ∈ L∗, entao

[a⊗ r; b⊗ s]φ∗ = ([a; b]⊗ rs)φ∗ = ([a; b])φ⊗ rs = [(a)φ; (b)φ]⊗ rs = [(a⊗ r)φ∗; (b⊗ s)φ∗],

como querıamos mostrar.

(iii) (1) Suponhamos que o conjunto {t1, t2, . . . , tn} e uma base de R∗ sobre R, isto e,

R∗ =⊕n

i=1Rti. Entao, pela Proposicao 1.4.2, U⊗RR∗ e⊕n

i=1 (U ⊗R Rti) sao R-modulos

isomorfos, alem disso, U⊗RRti e U tambem sao R-modulos isomorfos, onde identificamos

u ⊗ rti com ur, para cada 1 ≤ i ≤ n. Assim para cada j, 1 ≤ j ≤ n, existem rk ∈ R,

1 ≤ k ≤ n, tais que

tj(u⊗ ti) = u⊗ tjti = u⊗n∑k=1

rktk =n∑k=1

u⊗ rktk.

Logo⊕n

i=1 (U ⊗R Rti) com a operacao definida em (i) tem estrutura de R∗-modulo.

Como U⊗RR∗ ∼=

⊕ni=1 (U ⊗R Rti) segue que U⊗RR

∗ tem estrutura de um R∗-submodulo

de L∗, o mesmo valendo para V ⊗R∗.

Antes de completarmos a demonstracao deste item, mostraremos que todo x ∈ U ⊗R

R∗ e unicamente representado por =∑n

i=1 ui ⊗ ti, com u1, u2, . . . , un ∈ U . De fato, por

definicao do produto tensorial U ⊗RR∗, para cada elemento x ∈ U ⊗RR

∗ existem vj ∈ U

e sj ∈ R∗, com 1 ≤ j ≤ l, tais que

x =l∑

j=1

vj ⊗ sj. (4.14)

Agora para cada j = 1, 2, . . . l existem rij, com 1 ≤ i ≤ n, tais que

sj =n∑i=1

rijti. (4.15)

75

De (4.14) e (4.15) obtemos que

x =l∑

j=1

vj ⊗

(n∑i=1

rijti

)l∑

j=1

(n∑i=1

vj ⊗ rijti

)n∑i=1

(l∑

j=1

vjrij

)⊗ ti

Colocando ui =∑l

j=1 vjrij segue que para cada x ∈ U ⊗R R∗ existem u1, u2, . . . , un tais

que =∑n

i=1 ui ⊗ ti. Mais ainda usando a identificacao u ⊗ ti ↔ u mostramos que esta

forma de representar x e unica, como desejado.

Do paragrafo anterior segue que U ⊗R∗ ⊆ V ⊗R∗ se, e somente se, U ⊆ V .

(iii) (2) Por definicao [U ⊗R R∗;V ⊗R R∗] eo R∗-submodulo gerado pelos produtos

[u⊗r; v⊗s], com u ∈ U , v ∈ V e r, s ∈ R∗. Mas [u⊗r; v⊗s] = [u; v]⊗rs = rs([u; v]⊗1).

Assim [U ⊗R R∗;V ⊗R R

∗] = [U ;V ]⊗R R∗.

(iii) (3) Seja a∗ ∈ L∗ tal que a∗φ∗ = a∗. Pela demonstracao do item (iii)(1) existem

unicos ai ∈ L tais que a∗ =∑n

i=1 ai ⊗ ti. Assim a igualdade a∗φ∗ = a∗ e equivalente a

(∑n

i=1 ai⊗ti)φ∗ =∑n

i=1(ai)φ⊗ti =∑n

i=1 ai⊗ti implicando que =∑n

i=1(aiφ−ai)⊗ti = 0

donde segue, da unicidade da representacao, que (ai)φ = ai, para todo i = 1, 2, . . . , n.

Logo a∗ ∈ U ⊗R R∗.

(iii) (4) Se I e um ideal de L, entao [I ⊗R R∗;L∗] = [I ⊗R R

∗;L⊗R R∗] = [I;L]⊗R R

∗ ⊆

I ⊗R R∗. Portanto I ⊗R R

∗ e um ideal de L∗, isto completa a demonstracao.

automorfismo φ de ordem n, estendemos Z por uma raiz primitiva da unidade w

e produzimos uma Z[w]-algebra de Lie L∗ = L ⊗Z Z[w] que admite um automorfismo

φ∗ = φ ⊗ 1 tambem de ordem n. Temos que L∗j = {a ∈ L∗ | aφ∗ = wja} e um Z[w]-

submodulo de L∗, com L∗i = L∗j se i ≡ j (mod n).

Proposicao 4.3.2 Sejam L∗, φ∗ e L∗j como acima. Entao,

(i) [L∗i ;L∗j ] ⊆ L∗i+j, para todo i, j.

(ii) H = L∗0 + L∗1 + · · ·+ L∗n−1 e umasubalgebra φ∗-invariante de L∗ e nL∗ ⊆ H;

Demonstracao. (i) Por definicao [ai; aj] com ai ∈ L∗i e aj ∈ L∗j geram [L∗i ;L∗j ]. Como

([ai; aj])φ∗ = [(ai)φ

∗; (aj)φ∗][wiai;w

jaj] = wi+j[ai; aj], entao [ai; aj] ∈ L∗i+j. Portanto

76

[L∗i ;L∗j ] ⊆ L∗i+j.

(ii) Temos que L∗i e um Z[w]-submodulo de L∗, entao H tambem e um Z[w]-submodulo

de L∗. Alem disso

[H;H] =n−1∑i,j

[L∗i ;L∗j ] ⊆

n−1∑i,j

L∗i+j = H,

mostrando que H e uma subalgebra de L∗. Nao e dıficil ver que H e φ∗-invariante.

Para cada a ∈ L∗ e cada i = 0, 1, . . . , n − 1 colocamos ai =n−1∑s=0

w−isa(φ∗)s. Como

(φ∗)n = 1 e wn = 1, temos

aiφ∗

(n−1∑s=0

w−isa(φ∗)s

)φ∗wi

n−1∑s=0

w−i(s+1)a(φ∗)s+1win−1∑r=0

w−ira(φ∗)r = wiai,

ou seja, ai ∈ L∗i .

Observamos que se s 6≡ 0 mod(n), entao∑n−1

i=0 w−is = 0. De fato, temos que

w−sn−1∑i=0

w−is =n−1∑i=0

w−(i+1)s =n−1∑j=0

w−js,

pois w−n = 1, isto fornece, (w−s − 1)n−1∑i=0

w−is = 0, mas w−s 6= 1. Logon−1∑i=0

w−is = 0.

Assim sendo

n−1∑i=0

ai =n−1∑i=0

n−1∑s=0

w−isa(φ∗)sn−1∑s=0

a(φ∗)sn−1∑i=0

w−is = na.

Portanto nL∗ ⊆ L∗. .

77

Capıtulo 5

Automorfismos livres de pontos fixos

5.1 Propriedades basicas

Um automorfismo φ de um grupo G e chamado de livre de pontos fixos se ele deixa

fixo somente a identidade de G ou, equivalentemente, se CG(φ) = 1. De modo analogo,

dizemos que um subgrupo A de Aut(G) e livre de pontos fixos se CG(A) = 1. Claramente

um automorfismo φ e livre de pontos fixos se, e somente se, 〈φ〉 e livre de pontos fixos.

Quando um automorfismo livre de pontos fixos φ de um grupo finito G tem ordem

p, com p primo, entao φi, 1 ≤ i ≤ p − 1, e livre de pontos fixos. De fato, podemos

considerar φ como uma permutacao dos elementos de G#. Como φp = 1 e φ 6= 1, entao

φ e o produto de p-cıclos disjuntos, digamos, φ = α1α2 . . . αn. Logo φi = αi1αi2 . . . α

in.

Observamos que para 1 ≤ i ≤ p− 1, αij e αik sao p-cıclos disjuntos se j 6= k, de modo que

φi nao fixa elementos de G#, ou seja, φi, com 1 ≤ i ≤ p− 1, e um automorfismo livre de

pontos fixos.

Lema 5.1.1 Sejam G um grupo finito e φ um automorfismo de G de ordem n. Se φ e

livre de pontos fixos, entao todo elemento de G pode ser escrito como x−1(xφ) e (xφ)x−1

para algum x ∈ G.

Demonstracao. Se x−1(xφ) = y−1(yφ), com x, y ∈ G, entao xy−1 = (xy−1)φ. Como φ

e livre de pontos fixos temos xy−1 = 1, ou seja x = y. Portanto a aplicacao de G em

G dada por x 7→ x−1(xφ) e injetiva e sendo G finito e tambem sobrejetiva. Assim todo

78

elemento de G pode ser escrito na forma x−1(xφ). Analogamente todo elemento de G

pode ser escrito como (xφ)x−1.

Seja G um grupo finito que admite um automorfismo φ tal que (|G|, |φ|) = 1 e G ou

〈φ〉 e soluvel. Entaopelo Teorema 2.2.2 (i), φ deixa algum Sp-subgrupo de G invariante

para cada primo p que divide |G|. Quando G admite um automorfismo livre de pontos

fixos temos um resultado analogo.

Proposicao 5.1.2 Se φ e um automorfismo livre de pontos fixos de um grupo finito G,

entao φ deixa um unico Sp-subgrupo P de G invariante para cada primo p que divide |G|.

Demonstracao. Seja Q um Sp-subgrupo de G. Como φ e um automorfismo de G temos

que Qφ e um Sp-subgrupo de G, logo pelo Teorema de Sylow, Qφ = y−1Qy, para algum

y ∈ G. Assim para todo z ∈ G(z−1Qz

)φ= (zφ)−1Qφ(zφ) = (zφ)−1y−1Qy(zφ).

Pelo lema anterior podemos escolher z de modo que (zφ)z−1 = y−1, neste caso, y(zφ) = z.

Para esta escolha de z temos (z−1Qz)φ = z−1Qz. Portanto P = z−1Qz e um Sp-subgrupo

φ-invariante de G.

Suponhamos que P e Q sao Sp-subgrupos φ-invariantes de G. Usando novamente o

Teorema de Sylow, Q = x−1Px, para algum x ∈ G e sendo P e Q subgrupos φ-invariantes

de G segue que Q = (xφ)−1P (xφ), ou seja, P = xQx−1 = x(xφ)−1P (xφ)x−1 de modo

que y = (xφ)x−1 ∈ N = NG(P ). Observamos que N e φ-invariante. Logo, aplicando

o Lema 5.1.1 com N no lugar de G obtemos y = (zφ)z−1, para algum z ∈ N . Entao

(zφ)z−1 = (xφ)x−1, ou seja, z−1x = (z−1x)φ e segue que x = z, pois φ e livre de pontos

fixos. Portanto, x ∈ N e, consequentemente, P = Q.

Proposicao 5.1.3 Sejam φ um automorfismo livre de pontos fixos de um grupo finito G

e H um subgrupo φ-invariante normal de G. Entao φ induz um automorfismo livre de

pontos fixos emG

H.

79

Demonstracao. Seja G =G

H. Pela Proposicao 1.1.4, a aplicacao φ∗ : G −→ G

dada por (Hx)φ∗ = H(xφ) e um automorfismo. Suponhamos que para algum x ∈ G,

(Hx)φ∗ = Hx, isto e, H(xφ) = Hx, consequentemente y = (xφ)x−1 ∈ H. Como φ|H e

um automorfismo livre de pontos fixos de H, pelo Lema 5.1.1 temos que y = (zφ)z−1,

para algum z ∈ H. Assim, (xφ)x−1 = (zφ)z−1, que nos fornece (z−1x)φ = z−1x. Logo

x = z pois φ e livre de pontos fixos. Dessa forma temos que Hx = H, ou seja, Hx e

identidade em G. Portanto, φ∗ e um automorfismo livre de pontos fixos como desejado.

5.2 Algebras de Lie admitindo automorfismos livres

de pontos fixos

Seja L um anel de Lie que admite um automofismo φ de ordem n tal que CL(φ) = 0.

Por Higman se n = q e um primo, entao L e nilpotente de classe limitada por uma

funcao dependendo apenas de q. Nesta secao, provamos um resultado de Shumyatsky

e Tamarozzi, o qual fornece uma condicao suficiente para L ser nilpotente de classe

limitada. Faremos isto usando um teorema demonstrado por Khukhro e Shumyatsky [7].

Comecaremos com um lema elementar.

Lema 5.2.1 Seja n um inteiro positivo. Se i + j ≡ k (mod) n, para 0 ≤ i, j ≤ n − 1,

entao ou i, j > k ou i, j ≤ k.

Demonstracao. Como i+ j ≡ k (mod) n existe um inteiro r tal que k = i+ j + rn.

Primeiramente vamos supor que i > k. Neste caso k− i = j+ rn < 0 implicando que

r < 0, pois 0 ≤ j ≤ n− 1. Por outro lado, k − j = i + rn < n(1 + r) ≤ 0, isto e, k ≤ j.

Mas se k = j devemos ter i+ rn = 0, o que e um aburdo porque 0 ≤ i ≤ n− 1.

Agora se i ≤ k, entao k − i = j + rn ≥ 0, donde segue que r ≥ 0. Assim temos que

k − j = i+ rn ≥ 0 completando a demonstracao.

80

Dado um grupo abeliano G, dizemos que uma algebra de Lie L e G-graduada se existe

uma decomposicao de L em soma direta L =⊕x∈G

Lx tal que Lx e um submodulo de L,

para todo x ∈ G, e [Lx;Ly] ⊆ Lxy, para todo x, y ∈ G. O submodulo Lx e denominado

de componente homogenea de grau x.

Teorema 5.2.2 (Khukhro-Shumyatsky) Seja L =⊕i∈Zn

uma R-algebra de Lie Zn-

graduada tal que [L;m L0] = 0 para algum inteiro positivo m, onde L0 e a componente

homogenea de grau 0. Entao L e soluvel de comprimento derivado limitado pelo numero

(m+ 1)n−1 + log2m.

Demonstracao. Sendo L uma R-algebra de Lie Zn-graduada temos que L = L1 ⊕ L2 ⊕

· · · ⊕ Ln−1 ⊕ L0 com [Li;Lj] ⊆ Li+j, onde i + j e calculado modulo n. Notamos que L0

e uma R-subalgebra de Lie, pois [L0;L0] ⊆ L0+0 = L0.

Usando inducao sobre k = 0, 1, 2, . . . , n− 1 provaremos a seguinte a afirmacao,

L((m+1)k−1) ⊆ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉. (5.1)

O termo do lado direito da inclusao acima representa a R-subalgebra de Lie gerada por

Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0.

Observamos que esta afirmacao e trivial para k = 0. Como hipotese de inducao,

suponhamos que (5.1) vale para k − 1, ou seja,

L((m+1)k−1−1) ⊆ 〈Lk, Lk+1, . . . , Ln−1, L0〉. (5.2)

Antes de mostrarmos que (5.1) esta satisfeita para k, provaremos, agora usando inducao

sobre r, que

L(r(m+1)k−1) ∩ Lk ⊆ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉+ [Lk;r L0] (5.3)

Vamos considerar o caso r = 1. Tomemos a ∈ L((m+1)k−1) ∩ Lk. Como L((m+1)k−1) =

[L((m+1)k−1−1);L((m+1)k−1−1)], o elemento a e uma combinacao linear de produtos da forma

[b; c],onde b ∈ L((m+1)k−1−1) ∩Li e c ∈ L((m+1)k−1−1) ∩Lj, para 0 ≤ i, j ≤ n− 1 e i+ j ≡ k

(mod) n.

81

Pelo lema acima temos tres casos a considerar. Primeiramente, se i, j > k, claramente

[b; c] ∈ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉. Agora se i ou j e igual a k, o outro deve ser igual a

0, de modo que [b; c] ∈ [Lk;L0]. Finalmente, se i, j < k, como b, c ∈ L((m+1)k−1−1) de

(5.2) segue que b, c ∈ 〈Lk, Lk+1, . . . , Ln−1, L0〉. Logo existem elementos us, vs ∈ Ls com

s ∈ {k, k + 1, . . . , n− 1, 0} tais que b e uma combinacao linear dos us e c dos vs. Agora

sendo o colchete de Lie bilinear, b e c podem ser escritos como uma combinacao linear de

produtos [us; vt] com us ∈ Ls e vt ∈ Lt, s, t ∈ {k, k+1, . . . , n−1, 0}. Por outro lado, como

b ∈ Li e c ∈ Lj com i+ j ≡ k (mod) n, entao [b; c] ∈ Lk de modo que s+ t ≡ k (mod) n.

Se s > k pelo lema anterior, t > k. Neste caso, [us; vt] ∈ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉. Mas

se s = k, entao t = 0 e vice-versa e nestes casos [us; vt] ∈ [Lk;L0]. Assim, em qualquer

caso temos [b; c] ∈ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉+ [L;L0]. Logo

L((m+1)k−1) ∩ Lk ⊆ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉+ [Lk;L0], (5.4)

como desejado.

Notamos que L((r−1)(m+1)k−1)i = L((r−1)(m+1)k−1) ∩ Li, ou seja, L((r−1)(m+1)k−1) tambem

e uma R-algebra de Lie Zn-graduada. Com L((r−1)(m+1)k−1) no lugar de L em (5.4) e

aplicando a hipotese de inducao para (5.3) obtemos

L((r(m+1)k−1) ∩ Lk =(L((r−1)(m+1)k−1)

)((m+1)k−1)

∩ Lk

⊆ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉+ [L((r−1)(m+1)k−1) ∩ Lk;L0]

⊆ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉+ [〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉;L0]

+[Lk;r−1 L0;L0]

⊆ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉+ [Lk;r L0; ].

Isto conclui a prova de (5.3).

Como [Lk;m L0; ] = 0, para r = m temos que

L(m(m+1)k−1) ∩ Lk ⊆ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉+ [Lk;m L0; ]

= 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉

Usando (5.2) com L(m(m+1)k−1) no lugar de L e usando a inclusao acima obtemos

L((m+1)k−1) =(L(m(m+1)k−1)

)((m+1)k−1−1)

⊆⟨L(m(m+1)k−1) ∩ Lk, Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0

⟩⊆ 〈Lk+1, Lk+2, . . . , Ln−1, L0〉.

82

Isto prova a afirmacao (5.1).

Substituindo k por n−1 em (5.1) obtemos que L((m+1)n−1−1) ⊆ L0. Da hipotese segue

que a R-subalgebra de Lie L0 e nilpotente de classe menor ou igual a m e, entao, L0 e

soluvel de comprimento derivado limitado por log2(m + 1), (isto pela observacao apos

a Proposicao 4.1.3). Assim L e uma algebra de Lie soluvel de comprimento derivado

limitado por (m+ 1)n−1 + log2m.

Dizemos que um numero c e {m,n}-limitado se |c| e limitado por uma funcao depen-

dendo somente de m e n.

Proposicao 5.2.3 Seja L uma R-algebra de Lie Zn-graduada. Se existe um inteiro

positivo m tal que [L;m Li] = 0, para todo i ∈ Zn, entao L e nilpotente de classe {m,n}-

limitada.

Demonstracao. Pelo teorema anterior L, e soluvel de comprimento derivado {m,n}-

limitado. Provaremos o resultado usando inducao sobre o comprimento derivado de L.

Temos que L′ = [L;L] herda de modo natural a Zn-graduacao de L e assim L′ e uma

R-algebra de Lie Zn-graduada. Nao edifıcil verificar que L′(i) ⊆ L(i+1), para todo i, logo

L′ e soluvel de comprimento derivado menor do que o comprimento derivado de L, assim

por inducao L′ e nilpotente de classe {m,n}-limitada, ou seja, existe um inteiro {m,n}-

limitado u tal que [L;u L′] = 0. Consideramos o R-submodulo M = [U ;Y1;Y2; . . . ;Yr],

onde U e um R-submodulo qualquer de L e Y1, Y2, . . . , Yr ∈ {L0, L1, . . . , Ln−1}.

Usaremos inducao sobre r para mostramos que

M ⊆ [U ;Y(1)π;Y(2)π; . . . ;Y(r)π] + [U ;L′], (5.5)

para qualquer permutacao π do conjunto {1, 2, . . . , r}.

O caso r = 1 e trivial, provaremos o caso r+ 1 supondo o resultado valido para r ≥ 1

83

e usando a Proposicao 4.1.2 (i). Temos que

[U ;Y1;Y2; . . . ;Yr;Yr+1] = [[U ;Y1;Y2; . . . ;Yr];Yr+1]

⊆[(

[U ;Y(1)π;Y(2)π; . . . ;Y(r)π] + [U ;L′])

;Yr+1

]⊆ [[U ;Y(1)π;Y(2)π; . . . ;Y(r−1)π;Y(r)π;Yr+1] + [[U ;L′];Yr+1]

⊆ [Y(r)π;Yr+1; [U ;Y(1)π;Y(2)π; . . . ;Y(r−1)π]]

+[Yr+1; [U ;Y(1)π;Y(2)π; . . . ;Y(r−1)π];Y(r)π] + [U ;L′]

⊆ [[U ;Y(1)π;Y(2)π; . . . ;Y(r−1)π]; [Y(r)π;Yr+1]]

+[[[U ;Y(1)π;Y(2)π; . . . ;Y(r−1)π];Yr+1];Y(r)π] + [U ;L′]

Observamos que [[U ;Y(1)π;Y(2)π; . . . ;Y(r−1)π]; [Y(r)π;Yr+1]] ⊆ [U ;L′], consequentemente,

[U ;Y1;Y2; . . . ;Yr;Yr+1] ⊆ [[[U ;Y(1)π;Y(2)π; . . . ;Y(r−1)π];Yr+1];Y(r)π] + [U ;L′]. Agora apli-

camos mais uma vez a hipotese de inducao em [U ;Y(1)π;Y(2)π; . . . ;Y(r−1)π;Yr+1] para obter-

mos o desejado.

Para r = n(m−1)+1 temos que r e grande o suficiente para garantir que Li, para al-

gum i, apareca m vezes em Y1, Y2, . . . , Yr. Assim para esta escolha de r segue de (5.5) que

M ⊆ [U ;m Li; ∗; ∗; . . . ; ∗]+[U ;L′], onde ∗ denota alguns dos Lj. Por hipotese [L;m Li] = 0,

logo M ⊆ [U ;L′] para qualquer escolha de Y1, Y2, . . . , Yr ∈ {L0, L1, . . . , Ln−1}. Agora

tomando v = ur, temos

[L;v L] = [L;v (L0 ⊕ L1 ⊕ · · · ⊕ Ln−1)]

= [L; (L0 ⊕ L1 ⊕ · · · ;⊕Ln−1); . . . ; (L0 ⊕ L1 ⊕ · · · ⊕ Ln−1)︸︷︷︸v

].

Assim [L;v L] e a soma de R-submodulos da forma [L;Y1;Y2; . . . ;Yv], onde Y1, Y2 . . . , Yv ∈

{L0, L1, . . . , Ln−1}. Aplicando a inclusao M ⊆ [U ;L′], u vezes no R-submodulo

[L;Y1;Y2; . . . ;Yv] obtemos que

[L;Y1; . . . ;Yr;Yr+1; . . . ;Y2r; . . . ;Yur] = [[L;Y1; . . . ;Yr];Yr+1; . . . ;Y2r;Y2r+1; . . . ;Yur]

⊆ [[L;L′];Yr+1; . . . ;Y2r;Y2r+1; . . . ;Yur]

⊆ [[L;L′;L′];Y2r+1; . . . ;Yur]

⊆ [[L;u L′]

⊆ 0.

84

Portanto L e nilpotente e sua classe e no maximo v = ur, como u e r sao {m,n}-

limitados segue que L e nilpotente de classe {m,n}-limitada.

Dizemos que um inteiro n e livre de quadrados se p2 nao divide n, para todo primo p.

Teorema 5.2.4 Sejam n um inteiro livre de quadrados e L uma algebra de Lie tal que

nL = L. Se L admite um automorfismo de Lie de ordem n com a propriedade CL(φ) = 0

e se existe um inteiro positivo m tal que [CL(ψ);mCL(σ)] = 0 para todos automorfismos

nao triviais ψ, σ ∈ 〈φ〉,entao L e nilpotente de classe {m,n}-limitada.

Demonstracao. Seja w uma raiz n-esima primitiva da unidade. Pelo Teorema 4.3.1

L∗ = L ⊗Z Z[w] e uma Z[w]-algebra de Lie e φ∗ = φ ⊗ 1 e um automorfismo de Lie

de L∗. Como Z[w] e um Z-modulo livre, novamente pelo Teorema 4.3.1 (iii)(3) temos

0 ⊗Z Z[w] = 0∗ contem todos os elementos de L∗ que sao invariantes por φ∗, isto e,

CL∗(φ∗) = 0∗..

Sejam ψ∗ e σ∗ automorfismos nao triviais de 〈φ∗〉. Observamos que ψ∗ = ψ ⊗ 1 e

σ∗ = σ ⊗ 1, onde ψ, σ sao automorfismos nao triviais de 〈φ〉. Coloquemos U∗ = CL∗(ψ∗)

e V ∗ = CL∗(σ∗). Como U∗ ⊆ CL(ψ)⊗Z Z[w] e V ∗ ⊆ CL(σ)⊗Z Z[w], Aplicando mais uma

vez o Teorema 4.3.1 (iii) (2) obtemos

[CL∗(ψ∗);mCL∗(σ

∗)] ⊆ [CL(ψ)⊗ Z[w];mCL(σ)⊗ Z[w]]

⊆ [CL(ψ);mCL(σ)]⊗ Z[w]

= 0⊗ Z[w] = 0∗.

Coloquemos L∗i = {x∗ ∈ L∗ | (x∗)φ∗ = wix∗}. Da Proposicao 4.3.2 temos que

[L∗i ;L∗j ] ⊆ L∗i+j, para todo i, j ∈ Zn e nL∗ ⊆ L∗0⊕L∗1⊕· · ·⊕L∗n−1 mas por hipotese nL = L

e, consequentemente, nL∗ = L∗, que nos fornece L∗ = L∗0⊕L∗1⊕ . . .⊕L∗n−1. Portanto L∗

e uma Z[w]-algebra de Lie Zn-graduada. Para mostrarmos que L∗ e uma Z[w]-algebra de

Lie nilpotente de classe {m,n}-limitada, pelo resultado anterior, e suficiente exibirmos

um numero {m,n}-limitado t tal que [L∗;t L∗i ] = 0∗, para todo i ∈ Zn. Como L∗ =

⊕j∈Zn

L∗j

basta mostrarmos que [L∗j ;t L∗i ] = 0∗, para todo i, j ∈ Zn. Faremos isto considerando dois

casos.

85

Caso 1. Suponhamos que i e um gerador de Zn. Observamos que para todo s ≥ 1,

[L∗j ;s L∗i ] ⊆ L∗j+si. Como i gera Zn existe um inteiro positivo sj ≤ n tal que sji = −j,

assim [L∗j ;sjL∗i ] ⊆ L∗0, mas L∗0 = 0∗, pois CL∗(φ

∗) = 0∗. Portanto [L∗i ;t L∗j ] = 0∗ para todo

t ≥ n.

Caso 2. Agora suponhamos que i gera um subgrupo proprio de Zn. Neste caso, existe

um inteiro k, 0 < k < n tal que ik = i. Como L∗i = {x∗ ∈ L∗ | (x∗)φ∗ = wix∗}, entao

σ∗ = (φ∗)k eum automorfismo nao trivial de 〈φ∗〉 e L∗i ⊆ CL∗(σ∗). Logo [CL∗(ψ

∗);m L∗i ] =

0∗ para todo automorfismo nao trivial ψ ∈ 〈φ∗〉. Dessa forma, sempre que j nao e um

gerador de Zn temos que [L∗j ;m L∗i ] = 0∗, pois vai existir um automorfismo nao trivial

ψ∗ ∈ 〈φ∗〉 tal que L∗j ⊆ CL∗(ψ∗).

Sejam A o subgrupo de Zn gerado por i e π o conjunto dos primos divisores de |A|.

Como n e livre de quadrados, A e um π-subgrupo de Zn, alem disso, sendo Zn abeliano,

A e normal. Assim, pelo Teorema de Schur-Zassenhaus, A tem um complemento B em

Zn. Logo Zn = A ⊕ B. Se j ∈ A, j nao gera Zn consequentemente [L∗j ;m L∗i ] = 0∗. Por

outro lado, se j 6∈ A, j pertence a uma das classes latereais de A em Zn. Mas toda classe

lateral de A em Zn contem um elemento de B, assim existe rj ≤ n tal que j + rji ∈ B.

Em particular j + rji nao gera Zn. Entao

[L∗j ;rj+m L∗i ] = [[L∗j ;rj L

∗i ];m L

∗i ] ⊆ [L∗j+rji;m L

∗i ] = 0∗.

Logo para t = m+ n, temos [L∗j ;t L∗i ] = 0∗ para todo i, j ∈ Zn.

Assim, L∗ e nilpotente de classe {m,n}-limitada, isto e, existe um inteiro {m,n}-

limitado u tal que [L∗;u L∗] = 0∗. Pelo Teorema 4.3.1 (iii) (2) [L∗;u L

∗] = [L;u L]⊗Z Z[w],

mas [L∗;u L∗] = 0∗, entao, do Teorema 4.3.1 (iii) (1), [L;u L] = 0. Portanto L tambem e

nilpotente de classe {m,n}-limitada.

5.3 O Teorema de Shumyatsky-Tamarozzi

A demonstracao do Teorema de Shumyatsky-Tamarozzi consiste em: primeiramente

provar que o grupo em questao e nilpotente; em seguida, aplicar o metodo do anel de Lie

86

para obter uma limitacao para a classe de nilpotencia do grupo.

Dizemos que um automorfismo φ de um grupo G e coprimo se (|G|, |φ|) = 1.

Teorema 5.3.1 (Shumyatsky-Tamarozzi) Seja G um grupo finito admitindo um au-

tomorfismo φ, coprimo, livre de pontos fixos e cuja ordem n e livre de quadrados. Se

existe um inteiro positivo m tal que [CG(ψ),mCG(σ)] = 1 para quaisquer automorfismos

nao triviais ψ, σ ∈ 〈φ〉, entao G e nilpotente de classe {m,n}-limitada.

Demonstracao. Primeiramente mostraremos, por contradicao, queG e nilpotente. Supon-

hamos que o teorema seja falso e escolhamos um contra-exemplo G e φ de modo que

o produto |G||φ| seja o menor possıvel. Dessa forma, qualquer subgrupo φ-invariante

proprio de G e nilpotente.

Suponhamos que G nao possua um subgrupo φ-invariante normal proprio nao trivial.

Como estamos supondo que G nao e nilpotente existe um primo ımpar p que divide |G|.

Da Proposicao 5.1.2 existe um Sp-subgrupo φ-invariante P de G. Sendo Z(J(P )) char

P , entao pela Proposicao 1.1.4(i) N = NG(Z(J(P ))) e um subgrupo φ-invariante de G.

Temos que Z(J(P )) e um subgrupo φ-invariante proprio nao trivial de G, logo Z(J(P ))

nao e normal em G, ou seja, N ⊂ G. Assim N e nilpotente e consequentemente possui um

p-complemento normal. Como p e ımpar segue do Teorema de Glauberman-Thompson

que G = Op′(G)P . Mas Op′(G) e um subgrupo φ-invariante normal proprio de G. Logo

Op′(G) = 1, isto quer dizer que G e um p-grupo. Esta contradicao mostra que G deve

possuir pelo menos um subgrupo φ-invariante normal proprio nao trivial.

Vamos mostrar que G nao possui mais do que um subgrupo φ-invariante normal

minimal. Por contradicao, sejam M1 e M2 dois subgrupos normais φ-invariantes minimais

distintos de G. Pela Proposicao 5.1.3 φ induz um automorfismo livre de pontos fixos deG

M1

e um deG

M2

. Da escolha de G e φ com |G||φ| minimal segue queG

M1

eG

M2

sao

nilpotentes. Como M1 e M2 sao subgrupos normais φ-invariantes minimais distintos,

a aplicacao f : G −→ G

M1

× G

M2

definida por (x)f = (M1x,M2x) e um homomorfismo

injetor. Logo G e nilpotente. Isto mostra que G possui somente um subgrupo φ-invariante

normal minimal.

Seja M o unico subgrupo φ-invariante normal minimal de G. Sabemos que o subgrupo

87

de Fitting F = F (G) e normal, nilpotente e caracterıstico em G. Disso obtemos que F e

o produto direto de seus Sp-subgrupos e cada Sp-subgrupo de F e normal e φ-invariante

em G. Da unicidade de M segue que F e um p-grupo, para algum primo p. Alem disso,

F 6= 1 pois M ⊆ F . Seja φ o automofismo de G =G

Finduzido por φ. Pelo Teorema

5.1.3 φ e livre de pontos fixos. Mais ainda, e facil ver que G e φ satisfazem as hipoteses

do teorema com |G||φ| < |G||φ|, logo, pela escolha de G e φ, devemos ter G nilpotente.

Afirmamos que nenhum subgrupo φ-invariante proprio de G contem F propriamente.

De fato, por absurdo, seja H um subgrupo φ-invariante de G tal que F ⊂ H ⊂ G.

Novamente pela escolha de G e φ segue que H e nilpotente. Pela Proposicao 1.1.4 (i),

N = NG(H) e φ-invariante, onde H =H

F. Alem disso, como 1 6= H ⊂ G, o Teorema

1.2.8 (i) implica que H ⊂ N . Se N = G, pelo Teorema da Correspondencia, H e normal

emG, assim H ⊆ F ⊂ H, que e um absurdo. Porem se N ⊂ G aplicamos o argumento

acima iteradamente com N no lugar de H de modo a obtermos um subgrupo H1 de G tal

que H ⊆ H1 ⊆ F ⊂ H, que tambem e um absurdo. Portanto a afirmacao e verdadeira.

Seja q 6= p um primo divisor da |G| (tal primo existe pois G nao e nilpotente). Pela

Proposicao 5.1.2 existe um Sq-subgrupo φ-invariante de G. Se K e a imagem inversa em

G deste Sq-subgrupo pelo homomorfismo canonico de G em G, entao K e φ-invariante.

Notamos que F ⊂ K pois q 6= p, logo K = G pela afirmacao acima e, consequente-

mente, G e um q-grupo. Como Φ(G) e caracterıstico em G aplicamos a Proposicao 1.1.5

(iii) para obtermos que a imagem inversa de Φ(G) em G e φ-invariante. Observamos

que esta imagem inversa contem F e, como Φ(G) ⊂ G, esta contida propriamente em

G, novamente pela afirmacao acima esta imagem inversa e igual a F donde segue que

Φ(G) = 1. Assim, pelo Teorema 1.3.1 concluımos que G e um q-grupo abeliano elemen-

tar. Como nenhum subgrupo φ-invariante proprio de G contem F propriamente, φ age

irredutivelmente sobre G

Agora seja Q um Sq-subgrupo φ-invariante de G. Pelo paragrafo anterior devemos ter

G = FQ. Vamos mostrar que F = M , masprimeiramente provaremos que F e abeliano.

Suponhamos que F nao e abeliano, isto e, F ′ 6= 1. Pelo Teorema 1.3.6, F ′ ⊆ Φ(G) ⊆ F ,

isto juntamente com a escolha deG e φ implica queG

Φ(G)e nilpotente, mas assim devemos

ter G nilpotente (pelo Teorema 1.3.4), provando que F e abeliano. Observamos que

88

G

Z(G)nilpotente implica G nilpotente. Logo Z(G) = 1 e, consequentemente, CF (Q) = 1

pois G = FQ. Do Teorema 2.1.1, temos F = [F,Q]. Observamos agora que F =

[F,Q] ⊆ [F,G] = [[F,Q], G]. Dessa observacao segue usando inducao sobre i que [F,Q] ⊆

γi(G), para todo i. Logo[F,Q]M

M⊆ γi(G)M

M⊆ γi

(G

M

), para todo i. Mas como

G

M

e nilpotente, temos γc

(G

M

)= 1, para algum c e isto implica que F = [F,Q] ⊆ M .

Portanto F = M e assim G = MQ.

Afirmamos que o produto semi-direto 〈φ〉 n Q e um grupo de Frobenius com nucleo

Q e complemento 〈φ〉. De fato, em virtude do Teorema 1.5.4 e suficiente mostramos que

CQ(σ) = 1, para todo automorfismo nao trivial σ ∈ 〈φ〉. Por contradicao assumiremos

que CQ(σ) 6= 1 para algum automorfismo nao trivial σ ∈ 〈φ〉. Como φ age irredutivel-

mente sobre Q e CQ(σ) e φ-invariante devemos ter CQ(σ) = Q. Sendo |φ| = n um

numero livre de quadrados, pelo Teorema de Schur-Zassenhaus, existe um complemento

〈ψ〉 de 〈σ〉 em 〈φ〉. Por hipotese [CM(ψ),mCQ(σ)] = 1, ou melhor, [CM(ψ),mQ] = 1. Isto

juntamente com o fato que CM(Q) = 1 nos fornece [CM(ψ),m−1Q] = 1. Agora usando

novamente que CM(Q) = 1, obtemos [CM(ψ),m−2Q] = 1. Continuando dessa forma

chegaremos que [CM(ψ), Q] = 1, ou seja, CM(ψ) ⊆ CM(Q) = 1. Portanto ψ e livre de

pontos fixos quando restrita a M . Se y ∈ CQ(ψ) temos que yψ = y e yσ = y, entao

CQ(ψ) ⊆ CQ(σiψj) = CQ(φ) = 1, onde i e j sao tais que φ = σiψj. Como G = MQ e

(|M |, |Q|) = 1 segue que ψ e livre de pontos fixos sobre G, mas isto contraria a escolha

de G e φ com |G||φ| minimal. Portanto CQ(σ) = 1 e 〈φ〉 n Q e um grupo de Frobenius

como desejado.

Notamos que M e um espaco vetorial sobre Zp. Com efeito, como Φ(M) char M =

F char G, entao Φ(M) e normal em G, φ-invariante e, sendo M finito, esta contido

propriamente em M . Mas M e um subgrupo φ-invariante normal minimal de G, logo

Φ(M) = 1 implicando que M e um p-grupo abeliano elementar pelo Teorema 1.3.1.

Assim podemos considerar M como um espaco vetorial sobre Zp.

Definindo o produto u · (σ, x) = (uσ)x, para todo u ∈M e todo (σ, x) ∈ 〈φ〉nQ nao

e difıcil verificar que M |Zp e 〈φ〉nQ-modulo. Mostraremos que M |Zp e 〈φ〉nQ-modulo

89

fiel. Suponhamos que u · (σ, x) = u, para todo u ∈M , isto e,

x−1(uσ)x = u ∀u ∈M. (5.6)

Logo, como uφ ∈M , para todo u ∈M , temos

uφ = x−1(uφσ)x. (5.7)

Substituindo (5.6) em (5.7) obtemos x−1(uφσ)x = (x−1(uσ)x)φ = (x−1φ)(uσφ)(xφ), ou

seja, (uφσ) = x(x−1φ)(uσφ)(xφ)x−1. Como esta igualdade vale para todo u ∈ M segue

que (xφ)x−1 ∈ CQ(M) = 1. Assim (xφ)x−1 = 1, implicando que x = 1, pois φ e livre

de pontos fixos, de modo que, por (5.6), uσ = u, para todo u ∈ M . Queremos mostrar

que σ e a identidade de 〈φ〉. Suponhamos que isto e falso, ou seja, σ nao e a identidade

de 〈φ〉. Sendo |φ| = n livre de quadrados, pelo Teorema de Schur-Zassenhaus, 〈σ〉 tem

um complemento 〈ψ〉 em 〈φ〉. Notamos que ψ|M e livre de pontos fixos; caso contrario

φ nao seria livre de pontos fixos, pois φ = σiψj, para algum i e j. Alem de ψ|M ser

livre de pontos fixos, temos que ψ|Q tambem e livre de pontos fixos, pois CQ(ψ) = 1.

Logo devemos ter ψ livre de pontos fixos sobre todo G, mas isto contraria a escolha de

G e φ com |G||φ| minimal. Portanto σ e a identidade de 〈φ〉 e segue que M |Zp e um

〈φ〉nQ-modulo fiel.

Estamos nas hipoteses do Teorema 1.5.11, assim existe u 6= 1 em M tal que u ·(σ, 1) =

u, para todo (σ, 1) ∈ 〈φ〉 n Q. Em particular, para (φ, 1) temos u · (φ, 1) = u, isto e,

uφ = u. Com esta contradicao concluımos que G e nilpotente.

Seja cl(G) = c. Sendo G nilpotente o Teorema 4.2.2 (iii) implica que o anel de

Lie associado a G, L(G) e nilpotente de classe c, alem disso |L(G)| = |G| implicando

que nL(G) = L(G) pois (|G|, n) = 1. Para concluirmos a demonstracao do teorema

provaremos que a classe de nilpotencia de L(G) e {m,n}-limitada. Para isso vamos fazer

uso do Teorema 5.2.4.

Pelo Teorema 4.2.1 temos L(G) = L1⊕L2⊕· · ·⊕Lc, onde Li =γi(G)

γi+1(G). Se φi denota

o automorfismo induzido por φ no grupo quociente Li e a = a1+a2+· · ·+ac ∈ L(G), com

ai ∈ Li, o Teorema 4.2.2 (iv) implica que a funcao φ : L(G) −→ L(G) dada por (a)φ =

(a1)φ1+(a2)φ2+· · ·+(ac)φc define um automorfismo de Lie de L(G). Desse modo CL(G)(φ)

90

e a soma direta dos grupos quocientes CLi(φi). Por outro lado, sendo G nilpotente,

G tambem e soluvel, assim pelo Teorema 2.2.2 (ii) temos CLi(φi) =

Cγi(G)(φ)γi+1(G)

γi+1(G).

Como φ e livre de pontos fixos segue que CLi(φi) = 0 e, consequentemente, CL(G)(φ) = 0.

Analogamente [CL(G)(ψ);mCL(G)(σ)] = 0, para quaisquer automorfismos de Lie nao triv-

iais ψ, σ ∈ 〈φ〉. Notamos que a acao de φ sobre Lc coincide com a acao de φ sobre γc(G).

Agora φ e livre de pontos fixos o que implica que |φ| = |φ| = n. Portanto, pelo Teorema

5.2.4, L(G) e nilpotente de classe {m,n}-limitada, completando a demonstracao.

Como consequencia direta do teorema acima temos o seguinte resultado.

Corolario 5.3.2 Seja G um grupo finito admitindo um automorfismo φ, coprimo, livre

de pontos fixos e cuja ordem n e livre de quadrados. Se o subgrupo 〈CG(ψ), CG(σ)〉 e

nilpotente de classe no maximo m para quaisquer automorfismos nao triviais ψ, σ ∈ 〈φ〉,

entao G e nilpotente de classe {m,n}-limitada.

Para concluirmos, mostraremos atraves de um exemplo que somente a hipotese de

que φ e coprimo, no Teorema Shumyatsky-Tamarrozi, nao garante que G e nilpotente.

Tambem notamos que o fato de n ser livre de quadrados nao pode ser enfraquecido. Como

contra-exemplo, mostraremos que existe um grupo nao nilpotente G de ordem 3 · 72 que

admite um automorfismo livre de pontos fixos φ cuja ordem e 4.

Sejam H = 〈y〉 um grupo cıclico de ordem 3 e K = 〈x1〉 × 〈x2〉 o produto direto

de grupos cıclicos de ordem 7. Definamos a aplicacao ψyt : K −→ K por (xr1, xr2)ψyt =

(x2tr1 , x4ts

2 ), com 0 ≤ t ≤ 2 e 0 ≤ r, s ≤ 6. E imediato que ψyt e um automorfismo de K e

que θ : H −→ Aut(K) dada por (yt)θ = ψyt e um homomorfismo. Formemos o produto

semi-direto G = H nK de K por H com respeito a θ, isto e, G = {(yt, xr1, xs2) | 0 ≤ t ≤

2 , 0 ≤ r, s ≤ 6} com a operacao

(yt, xr1, xs2)(y

t′ , xr′

1 , xs′

2 ) = (yt+t′, x2t′r+r′

1 , x4t′s+s′

2 ).

Observamos que |G| = 3 · 72.

Definamos agora a funcao φ : G −→ G por

((yt, xr1, xs2))φ = (y−t, x−s1 , xr2).

91

Afirmacao 1: φ e um automorfismo. Com efeito, temos que

[(yt, xr1, xs2)(y

t′ , xr′

1 , xs′2 )]φ = (yt+t

′, x2t′r+r′

1 , x4t′s+s′

2 )φ

= (y−(t+t′), x−(4t′s+s′)1 , x2t′r+r′

2 ).

Por outro lado

[((yt, xr1, xs2))φ][((yt

′, xr

′1 , x

s′2 ))φ] = (y−t, x−s1 , xr2)(y

−t′ , x−s′

1 , xr′

2 )

= (y−(t+t′), x−(2(3−t′)s+s′)1 , x4(3−t′)r+r′

2 ).

Como −(2(3−t′)s + s′) ≡ −(4t′s + s′) mod (7) e 4(3−t′)r + r′ ≡ 2t

′r + r′ mod (7), φ e um

homomorfismo, alem disso φ e claramente sobrejetora e sendo G finito e tambem injetora.

Isto mostra que φ e um automorfismo.Afirmacao 2: |φ| = 4. Observamos que

((yt, xr1, xs2))φ = (y−t, x−s1 , xr2)

((yt, xr1, xs2))φ

2 = (yt, x−r1 , x−s2 )

((yt, xr1, xs2))φ

3 = (y−t, xs1, x−r2 )

((yt, xr1, xs2))φ

4 = (yt, xr1, xs2),

mostrando que |φ| = 4 como desejado.

Afirmacao 3: φ e livre de pontos fixos. Suponhamos que ((yt, xr1, xs2))φ = (yt, xr1, x

s2), isto

e, (y−t, x−s1 , xr2) = (yt, xr1, xs2) implicando que t = s = r = 0. Assim o unico elemento de

G que e fixo por φ e a identidade (1, 1, 1). Portanto φ e livre de pontos fixos.

Afirmacao 4: G nao e nilpotente. De fato, seja H∗ = {(yt, 1, 1) ∈ G | 0 ≤ t ≤ 2}.

Observamos que H∗ e um S3-subgrupo de G e que H∗ nao e normal em G. Com efeito,

como

[(1, x1, x2)−1(y, 1, 1)](1, x1, x2) = [(1, x−1

1 , x−12 )(y, 1, 1)](1, x1, x2)

= (y, x−21 , x−4

2 )(1, x1, x2)

= (y, x−11 , x−3

2 ) 6∈ H∗,

logo H∗ nao e normal em G, entao, pelo Teorema 1.2.9, G nao e nilpotente.

Portanto G e um grupo finito nao nilpotente que admite um automorfismo coprimo

livre de pontos fixos.

92

Referencias Bibliograficas

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2.ed., 1993.

94

Indice Remissivo

π-automorfismo, 35

π-serie inferior, 44

π-serie superior, 44

algebra de Lie, 61

nilpotente, 64

soluvel, 66

Zn-graduada, 78

anel de Lie, 62

automorfismo

coprimo, 84

de Lie, 62

livre de pontos fixos, 75

centralizador, 2, 30

centro de um grupo, 6

colchete de Lie, 62

complemento de Frobenius, 14

componentes de Wedderburn, 23

comutador, 2

conjugado, 2

estabilizador, 14

fatores de composicao, 5

G-modulo, 18

isomorfos, 18

grupo

caracteristicamente simples, 4

Frobenius, 14

de permutacoes transitivo, 13

envolvido, 28

fator, 4

fortemente p-soluvel, 47

nilpotente, 6

soluvel, 5

homomorfismo de Lie, 62

identidade de Jacobi, 62

isomorfismo de Lie, 62

Lema dos Tres Subgrupos, 3

nucleo de Frobenius, 14

normalizador, 2

p-complemento normal, 48

produto semi-direto, 29

representacao

quociente, 17

p-estavel, 28

completamente redutıvel, 18

de um grupo, 16

equivalente, 17

fiel, 17

irredutıvelvel, 18

matricial, 17

permutacional transitiva, 13

95

serie

central inferior, 6, 64

central superior, 6

de composicao, 5

derivada, 5, 66

normal, 4

normal equivalente, 4

Sπ-subgrupo, 35

Sp-subgrupo, 35

subgrupo

invariante, 3

caracterıstico, 3

comutador, 2

de Fitting, 10

de Frattini, 8

de Thompson, 49

derivado, 6

maximal, 7

Teorema de

Frobenius, 14, 49

Glauberman-Thompson, 59

Khukhro-Shumyatsky, 78

Schur-Zassenhaus, 36

Shumyatsky-Tamarozzi, 84

96

GRUPOS FINITOS ADMITINDO AUTOMORFISMOS LIVRES DE … · subgrupo de Thompson de P. produto direto...

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