Departamento de Matemática 2020

Contenido: Probabilidades Curso: 2° medio ____ Nombre: MARZO 2020 Introducción: Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes.

Definiciones: Espacio Muestral: Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {c, s}. Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}. Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E={(c,c,c),(c,c,s), (c,s,c),(c,s,s),(s,c,c),(s,c,s),(s,s,c),(s,s,s)} Evento o Suceso: Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: 1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5} 2. Obtener un número primo y par B = {2} 3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6} Eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto B C Eventos Complementarios: Si A B y A B E , se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y Bc = A Su Medición Matemática o Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón:

N de casos favorablesP(A)

N de casos posibles

Se deduce de la definición lo siguiente: 0 P(A) 1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0% P(A) 100% en porcentaje. P(E) = 0 y P(E) = 1 Ejemplo 1: En una bolsa hay 3 bolas verdes y cuatro amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola azul?

0P(azul) 0

7 , es decir, podría suceder que exista una

probabilidad nula, es decir no hay ninguna probabilidad de sacar una bola azul. Ejemplo 2: En una bolsa hay 15 bolas verdes ¿Cuál es la probabilidad de sacar una verde?

15P(verde) 1

15 , en este caso existe cien por ciento de que

el suceso ocurra. Es una Probabilidad segura. Por lo tanto, todas las demás probabilidades estarán entre 0 y 1. EJERCICIOS 1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un cuatro al lanzar un dado? 2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as desde un juego de naipes españoles (40 cartas)? 3. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja de una caja que contiene 5 bolitas rojas, 18 azules y 7 negras? 4. En un equipo de fútbol están en el campo de juego: 5 delanteros, 3 medio campistas, 2 zagueros y el guardavallas. Se lastima uno de los jugadores, ¿cuál es la probabilidad de que sea un delantero o un zaguero el que se lesione? 5. Al lanzar tres monedas al aire, cuál es la probabilidad de sacar dos caras? 6. Al tirar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener como suma siete? 7. Juan y Pedro tienen dos dados. Juan tira primero y obtiene ocho puntos. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Pedro para ganar? 8. De un mazo de 52 cartas se puede tomar 1 carta. ¿Cuál es la probabilidad para que ésta sea un mono (J-Q-K)? 9. En una caja hay 12 bolas negras y 8 bolas verdes. Qué probabilidad hay de a) sacar una bola negra b) sacar una bola verde Respuestas:

1) 1

6 2)

1

10 3)

1

6 4)

7

11

5) 3

8 6)

1

6 7)

5

18 8)

3

13

9) a)3

5 b)

2

5

Guía de Probabilidades N°1

Ejercicios de selección múltiple: 1. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el número que aparezca sea un múltiplo de tres?

A) 1

6

B) 2

6

C) 3

6

D) 4

6

E) 5

6

2. Si se tira una moneda tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos sellos y una cara?

A) 1

8

B) 2

8

C) 3

8

D) 5

8

E) 1

2

3. Si se lanza la flecha de la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que la flecha salga en un número par?

A) 1

4

B) 1

3

C) 1

2

D) 3

4

E) 2

3

4. En una caja se tienen 20 bolitas numeradas del 1 al 20. Si se saca una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el número de la bolita elegida sea un divisor de doce menor que 10?

A) 4

10

B) 5

10

C) 4

20

D) 5

20

E) 6

20

5. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntajes sea mayor que diez?

A) 1

36

B) 2

36

C) 3

36

D) 6

36

E) 3

12

6. Suponiendo que la probabilidad de que un bebé nazca varón o mujer es la misma, ¿cuál es la probabilidad de que un matrimonio tenga dos hombres y dos mujeres?

A) 3

16

B) 4

16

C) 5

16

D) 6

16

E) 6

8

7. Fernando, Humberto y René tienen una discusión acerca de los siguientes sucesos: Suceso A: “lanzar un dado y obtener un divisor de seis”. Suceso B: “lanzar tres monedas y obtener dos caras y un sello”. Suceso C: “elegir al azar un número del 1 al 8 y elegir un múltiplo de tres”. Fernando opina que: P(A) > P(B) y P(B) > P(C). Humberto opina que: P(C) > P(B) y P(C) < P(A). René opina que: P(B) + P(C) < P(A).

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) Solo Humberto tiene la razón. B) Solo Fernando tiene la razón. C) Todos dicen la verdad. D) Todos se equivocan. E) Solo Humberto se equivoca.

8. ¿En cuál(es) de las siguientes ruletas se puede asegurar que la probabilidad de que salga marcado un número par o impar es la misma?

I.

II.

III. A) Solo en I. B) Solo en II. C) Solo en I y en II. D) Solo en I y en III. E) En todas. 9. ¿Cuál de los siguientes eventos es más probable? A) Lanzar dos monedas y que salgan iguales. B) Lanzar dos dados y que sumen seis. C) Lanzar un dado y que salga un divisor de 12. D) Lanzar tres monedas y que salgan dos caras y un sello. E) Elegir un número del 1 al 10 y que aparezca un múltiplo de

3. 10. En una tómbola hay tres bolitas verdes, dos azules y cuatro rojas. Si se elige una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea azul?

A) 2

9

B) 3

9

C) 4

9

D) 6

9

E) 7

9

11. En un colegio hay tres cuartos medios cuya distribución por sexo es la siguiente:

Si se elige al azar un alumno de cuarto medio, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de sexo masculino del cuarto B?

A) 12

84

B) 14

84

C) 16

84

D) 14

30

E) 14

42

12. Con respecto a los datos del ejercicio anterior, ¿cuál es la probabilidad de que, si se elige un estudiante del 4° B, éste resulte de sexo masculino?

A) 14

42

B) 30

84

C) 14

84

D) 42

84

E) 14

30

13. Para la selección de atletismo de un colegio se eligen 24 alumnos, cuya distribución de edades se muestra en la siguiente tabla:

Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad que tenga por lo menos 11 años?

A) 3

4

B) 1

4

C) 3

5

D) 3

10

E) 1

3

14. Si se lanza la flecha de la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que no salga el color verde?

A) 1

3

B) 5

12

C) 7

12

D) 2

3

E) 3

4

15. Si se lanzan tres dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntajes sea seis?

A) 4

216

B) 5

216

C) 6

216

D) 7

216

E) 8

216

16. En una caja hay bolitas verdes y rojas. Si la probabilidad de extraer una bolita roja es 0,4 y en total hay 30 bolitas, ¿cuántas bolitas verdes hay? A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24 17. En una caja hay bolitas rojas y azules. Si hay tres bolitas azules más que rojas y la probabilidad de sacar una

roja es 4

9, ¿cuántas bolitas azules hay en la caja?

A) 4 B) 5 C) 8 D) 10 E) 15

18. Un juego consiste en lanzar un dado y una moneda y gana aquel que obtiene un número par y una cara. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

A) 2

12

B) 3

12

C) 4

12

D) 1

2

E) 3

8

19. Si la probabilidad de que ocurra el evento A es 0,8, ¿cuál es la probabilidad de que no ocurra? A) 0,2 B) 0,5 C) 0,8 D) -0,2 E) Falta información. 20. De 120 estudiantes encuestados, se sabe que 60 estudian francés, 50 estudian inglés y 20 estudian ambos idiomas. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de escoger un estudiante que no estudie francés ni inglés es cero. II) La probabilidad de escoger un estudiante que estudie

francés e inglés es 1

6

III) La probabilidad de escoger un estudiante que estudie

sólo uno de los dos idiomas es 7

12

A) Sólo I B) Sólo III C) I y II D) I y III E) II y III 21. Una persona que participa en un concurso, debe responder Verdadero o Falso a una afirmación que se le hace en cada una de seis etapas. Si la persona responde al azar, la probabilidad de que acierte en las seis etapas es de

22. Se lanzan dos dados, uno a continuación del otro. Sabiendo que la suma de los puntos obtenidos es 6, la probabilidad de que en un dado aparezca un 2 es

23. En la figura se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es 1

2.

II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2

es 1

4.

III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó

en el 3 es 2

3

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III 24. Al lanzar al aire tres veces una moneda, la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello es:

A) 1

2

B) 1

3

C) 2

3

D) 1

16

E) 1

8

25. Se lanzó un dado honesto –no cargado- dos veces, obteniéndose 4 en ambas oportunidades. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se obtenga nuevamente 4?

A) 1

3

B) 1

6

C) 1

4

D) 1

36

E) 1

216

26. Si lanzamos dos dados honestos –no cargados, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia de los puntos sea igual a cero?

A) 10

36

B) 6

36

C) 12

36

D) 5

36

E) 8

3

Claves: 1) B 2) C 3) D 4) D 5) C 6) D 7) E 8) C 9) C 10) E 11) B 12) E 13) A 14) C 15) D 16) B 17) E 18) B 19) A 20) E 21) E 22) A 23) D 24) A 25) B 26) B