2009

1

Introdução

O presente material pedagógico, doravante designado por “Guia de Matemática para o

Acesso à Uni-CV", foi produzido com a intenção de ser utilizado como um auxiliar do estudo

a ser promovido pelo aluno, com vista a um melhor desempenho em provas de acesso na área

de Matemática, para cursos da Universidade de Cabo Verde.

Com a produção deste material visa-se, sobretudo, garantir a todos os estudantes candidatos a

equidade possível na procura de oportunidades de ingresso nos cursos disponibilizados pela

Universidade de Cabo Verde, em que a disciplina de Matemática seja considerada nuclear.

Na sua concepção, foi tido como ponto de partida o perfil de saída do estudante do Ensino

Secundário e o programa de Matemática para esse nível de ensino, particularmente centrado

no 3º ciclo, no pressuposto de que esse ciclo deve também integrar o percurso matemático do

aluno.

Tendo em conta a limitação estabelecida por um lado pela escassez de tempo para uma

produção tão importante e, por outro, pela dimensão e formato impostos ao produto final, será

importante que o aluno realize um estudo mais abrangente, exaustivo e aprofundado dos

temas abordados ao longo do Guia, sendo, contudo, importante que tenha sempre presente que

este Guia de Matemática não terá certamente a abrangência máxima mas sim a possível no

contexto da sua concepção.

A concepção do material visa a aplicação e utilização da Matemática na resolução de

problemas, recomendando-se que o suporte teórico seja procurado em bibliografia específica,

sempre que o estudante candidato na sua auto-avaliação, que deve ser permanente e

sistemática, considerar que nos seus conhecimentos existem lacunas de carácter teórico que

comprometem a resolução dos problemas e desafios propostos. Nesse sentido, este Guia deve

ser considerado como uma orientação para a necessária e indispensável pesquisa teórica a ser

realizada pelo aluno e também na selecção de propostas de problemas em suportes científicos

de origem diversa.

As propostas que constam do Guia pretendem ser variadas nos assuntos e no grau de

dificuldade. O estudante candidato poderá encontrar questões de escolha múltipla, de

aplicação e de desenvolvimento.

2

O Guia de Matemática começa por apresentar os temas considerados importantes para o

ingresso nos cursos de licenciatura disponibilizados pela Uni-CV aos quais sucedem as

expectativas da instituição em relação aos mesmos. Encontra-se organizado em duas partes:

uma em que se propõe um conjunto de exercícios e problemas referentes a cada um dos temas

seleccionados no final dos quais apresenta algumas das propostas resolvidas de modo a

evidenciar os passos mais importantes dessas resoluções. Na outra parte apresentam-se

propostas de provas realizadas por instituições diversas, com vista a propiciar ao estudante

abordagens do mesmo tema sob perspectivas diferentes, com base na variedade. Há também

referências bibliográficas consideradas pertinentes para consulta.

Será bem-vinda qualquer crítica, observação ou correcção dos leitores, em particular daqueles

que trabalham nesta área e que tenham a amabilidade de fazê-la(s) chegar ao nosso

conhecimento.

A expectativa é a de que o desafio lançado com a produção deste Guia de Matemática para a

prova de acesso se traduza num reforço das bases de conhecimento do ensino secundário dos

estudantes candidatos ao ensino superior e que esse reforço possa ser traduzido num melhor

desempenho nas provas de acesso.

A todos os estudantes que pretendem realizar a prova de acesso desejamos os maiores

sucessos.

3

Índice

Introdução ---------------------------------------------------------------------------------------- 1

Temas -------------------------------------------------------------------------------------------- 4

Expectativas sobre conteúdos e processos matemáticos ---------------------------- 5

Expressões Algébricas: Polinómios, Fracções, Expressões irracionais. Condições

- Propostas de questões ----------------------------------------------------------------------- 8

Geometria no plano - Propostas de questões 12

Sucessões - Propostas de questões 20

Funções Reais de Variável real ;Derivadas e suas aplicações - Propostas de

questões 27

Soluções das questões e algumas propostas de resolução 51

Expressões Algébricas e Condições - Soluções

Geometria no plano - Soluções 56

Sucessões - Soluções 57

Funções Reais de Variável real; Derivadas e suas aplicações - Soluções 60

Testes de instituições diversas 63

Bibliografia 87

4

Temas

I. Expressões Algébricas: Polinómios, Fracções, Expressões irracionais.

II. Condições: Equações, Inequações.

III. Geometria no plano: Vectores, produto escalar, ângulo de dois vectores, recta,

posição relativa de rectas e pontos, posição relativa de rectas,

IV. Funções Reais de Variável Natural: Sucessões.

V. Funções Reais de Variável Real: Funções racionais, Funções irracionais, Funções

transcendentes (exponencial, logarítmica, trigonométricas)

VI. Derivadas e aplicações.

5

Expectativas sobre conteúdos e processos matemáticos que os alunos

devem estar habilitados a saber e a fazer

Os alunos deverão estar habilitados para:

1.1. Factorizar polinómios;

1.2. Escrever polinómios a partir de condições iniciais (raízes ou outras condições);

1.3. Determinar o domínio de expressões algébricas fraccionárias e de expressões

algébricas irracionais;

1.4. Escrever formas equivalentes de expressões, equações, desigualdades e sistemas de

equações conducentes à sua simplificação e/ou sua resolução;

1.5. Operar com fracções algébricas;

1.6. Resolver equações algébricas inteiras, fraccionárias, biquadradas, irracionais,

modulares e transcendentes;

1.7. Resolver sistemas de duas equações analítica e geometricamente.

2.1. Calcular termos de qualquer ordem de uma dada sucessão;

2.2. Verificar se um determinado valor é ou não termo de uma sucessão dada e em caso

afirmativo, determinar a sua ordem;

2.2. Analisar e decidir da monotonia de uma sucessão;

2.3. Verificar e decidir se uma sucessão é ou não limitada;

2.4. Reconhecer progressões aritméticas e a sua razão;

2.5. Reconhecer progressões geométricas e a sua razão;

2.6. Determinar o termo geral de progressões (aritméticas e geométricas) a partir de

condições e/ou propriedades dadas;

2.7. Determinar a soma de termos consecutivos de progressões (aritméticas e geométricas).

6

2.8. Classificar uma sucessão quanto à natureza e existência de limites.

2.9. Calcular o limite de sucessões, incluindo o recurso a levantamento de indeterminação

e ao número de Nepper.

3.1. Operar com vectores;

3.2. Determinar norma, versor e co-senos directores de um vector no plano;

3.3. Determinar o produto interno de dois vectores no plano;

3.4. Determinar o ângulo de dois vectores no plano;

3.5. Especificar posições e descrever relações no plano, recorrendo à geometria de

coordenadas

3.6. Resolver problemas que envolvam vectores no plano, norma, produto interno e ângulo

de dois vectores;

3.7. Determinar equações da recta, conhecidos dois de seus pontos ou um ponto por onde

passa e um vector director;

3.8. Determinar pontos de intersecção de rectas no plano;

3.9. Determinar o ângulo de duas rectas no plano.

3.10. Analisar as características e propriedades de entes geométricos e concluir sobre as

suas relações geométricas.

4.1. Determinar a imagem de um dado objecto numa dada função (inteira, fraccionária,

irracional, trigonométrica, exponencial e logarítmica);

4.2. Determinar, numa dada função, o original de uma imagem conhecida;

4.3. Analisar e concluir sobre funções em relação ao domínio, contradomínio, simetria,

injectividade, bijectividade;

4.4. Determinar a função inversa de uma função injectiva;

4.5. Operar com funções;

7

4.5. Caracterizar a função composta de funções dadas.

4.6. Calcular limite de funções reais de variável real (incluindo levantamento de

indeterminação).

4.7. Analisar e decidir da continuidade de uma função dada.

4.8. Identificar a restrição de uma função, sujeita a condições iniciais.

4.9. Reconhecer se uma dada função admite assímptotas e, nesse caso, determinar a

equação.

4.10. Representar graficamente uma função.

4.11. Reconhecer se um gráfico pode ou não ser a representação geométrica de uma dada

função;

4.12. Interpretar taxas de variação de funções com base em dados gráficos e numéricos.

4.1. Determinar a derivada de uma função num ponto utilizando a definição e por recurso

às regras de derivação.

4.2. Aplicar regras de derivação no cálculo da 1ª e 2ª derivada de uma função dada;

4.3. Fazer o estudo de uma função quanto à monotonia;

4.4. Determinar e reconhecer a existência de extremos, o sentido das concavidades e a

existência de pontos de inflexão;

4.5. Resolver problemas que envolvam a determinação de extremos de uma dada função.

6.1. Reconhecer e usar conexões entre ideias matemáticas;

6.2. Organizar o pensamento matemático através da comunicação matemática;

6.3. Usar a linguagem matemática para expressar ideias matemáticas com precisão;

6.4. Aplicar e adaptar estratégias adequadas para resolver problemas;

8

Tema I e II

Propostas de questões

Expressões Algébricas: Polinómios, Fracções,

Expressões irracionais. Condições

1. Simplifique cada uma das fracções e indique o conjunto em que a simplificação é válida:

a) xx

x

2

3

2

2

b) 2

2

3

9

xx

x

c) 42

2

2

x

x d)

1

1292

2

23

x

xxx

32

22 )e

2

23

xx

xxx

xx

xx

33

)23()23( )f

2

2

234

25

)gxxx

xx

2. Efectue as operações e simplifique os resultados indicando o domínio onde a

simplificação é válida:

3

2

4

1

12

3 )a

23

2

xxxxx

xx

1

63:

1

105 )b

2

x

x

x

x

x

x

xx 3

1:

1

3

1 )c

3. Resolva em IR cada uma das seguintes equações e indique o conjunto solução:

01

78 )a

2

x

xx

xx

32

3

4 )b

43

1

36

21 )c

2

2

x

x

x

x

01029 x)d 224 x

0415 x)e 224 x

6x 32x )e

x3x 5x42x )f

4. Resolva, em IR , cada uma das seguintes inequações e sempre que possível escreva as soluções sob a forma de conjunto ou de reunião de conjuntos:

2

34

2

32 )a

xx

x

23

1 )b

x

x

96

650 )c

2

2

xx

xx

9

0)5(

9 )d

2

2

x

x

05

)2)(3( )e

x

xx

0)1(

)3( )f

4

5

2

xx

x

5)12(log 2 )g 3 x

)(log4)1(log )h2

22

xx

14log 2 3 )i 1/5 x

7

1527 )j 1x

032 )k x212-3x

5595 )l x32x

x2x 34632 )m

xgl 272 log2 )7

1( log x)-(1o )n

5. Determine o domínio de cada uma das expressões seguintes:

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

6. Uma condição equivalente à inequação (0,05) log2(x–1) – 1 ≥ 0 é:

a) 0 ≤ x ≤ 2 b) 1 < x ≤ 3 c) 1 < x ≤ 2 d) x ≤ 2 e) x > 1

7. Sabendo que: ln (x) – ln (e1/3) > 0 onde ln designa logaritmo na base e, então

um valor possível para x é:

(A) 0 (B) -1 (C) 1 (D) 2

8. O polinómio P (x) = x3 – 2 x2 – 13 x – 10 é divisível por x + 2 .Com base nesse

conhecimento resolva a condição P (x) < 0,

10

9. Factorize o polinómio5 4 3 2( ) 2 2 6 6 4 4A x x x x x x o mais possível,

sabendo que ele é divisível pelo binómio ( 2x+2 ).

10. O polinómio B(x) = - 2x4 + 6x3 - 4x admite a raiz 1.

10.1. Calcule o resto da divisão de B(x) por 3x- 6.

10.2. Factorize B(x) o mais possível.

11. Os polinômios p(x) e q(x) têm graus n + 2 e n + 3 respectivamente, com n Є IN.

O grau do polinômio p(x).q(x) é:

A) n2 + 5n + 6 B) 2n + 5 C) maior que 2n + 5

D) menor que 2n + 5 E) n2 + 6

12. O polinômio p(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 é divisível por:

a) (x –1)(x –2) b) (x –1)(x+1) c) (x+1)(x –2)

d) (x –2)(x+2) e) (x –3)(x+1)

13.Um polinómio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas por ordem

crescente, constituem três termos consecutivos de uma progressão aritmética.

Sabe-se que a soma dos 3 termos é igual a 9/5.

A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 24/5

Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinómio é 5, determine:

13.1. as três raízes do polinómio

13.2. o coeficiente do termo de grau 1 desse polinómio.

11

14. Considere um polinómio P(x ) de grau 3, definido em IR, em que a variação de

sinal é estabelecida de acordo com o quadro seguinte:

x 3 0 3 +

sinal de P(x)

+ 0 0 0 -

14.1. Sem determinar o P(x), resolve as condições:

a) (x 5) . P(x) = 0

b) (x2 4) . P(x) 0

c) P(x) 0

d) P(x 4) 0

14.2. Indique os valores reais de x que dão significado a cada uma das

expressões seguintes:

a) )(

2

xP

x

b) )1( xP

x.

12

Tema III

Propostas de questões

Geometria no plano

1. A recta de equação (x, y) = (2, 4) + K (0, 3), onde K é real , possui o ponto de

coordenadas

(A) A (2, 1) (B) B (0, 0) (C) C(–2, –4)

(D) nenhuma das respostas anteriores está correcta.

2. O vector (3, 5) é colinear com o vector de coordenadas:

(A) (–3, 5) (B) (3, –5) (C) (–5, 3) (D) (6, 10)

3. A equação y = m x + 2 (mЄR) admite como gráfico uma recta que:

(A) Intersecta o eixo das abcissas em valores positivos se m< 0.

(B) Intersecta o eixo das abcissas em valores positivos se m>0.

(C) Intersecta o eixo das abcissas na origem se m=0.

(D) Não intersecta o eixo das abcissas se m≠0.

4. O ponto D = está localizado:

(A) Fora do segmento [AB]

(B) Sobre o ponto médio de [AB]

(C) No segmento [AB], mas não no seu ponto médio.

(D) Num dos extremos do segmento [AB].

5. Considere o vector (1, m). Para que a norma de seja 3, o valor de m terá que

ser igual a:

(A) 3. (B) ou – . (C) .

13

(D) nenhuma das respostas anteriores está correcta.

6. Num r.o.n. considere os pontos A(2, 4) e B(5, 2).

6.1. A expressão representa:

A) Um ponto exterior a [AB]. B) Um ponto de [AB].

C) O ponto médio do segmento [AB]. D) Um vector.

6.2. Existirá algum valor real k que verifique, onde C ( )?

7. A equação 2

1cos2 x , no intervalo ,2 , tem:

(A) 2 soluções (B) 4 soluções (C) 6 soluções (D) 8 soluções.

8. Qual das seguintes expressões representa o conjunto de todos os ângulos ,

com amplitude em radianos, cujo seno é nulo?

(A) Zkk ,2 (B) Zkk ,

(C) Zkk ,2

(D) Zkk ,22

9. A inclinação ( no sistema circular ) da recta

representada na figura ao lado é,

aproximadamente, igual a:

(A) 0,38 rad (B) 2,76 rad

(C) 1,57 rad (D) 0,4 rad

10. Observe o losango de lado a representado na figura ao lado.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A)

(B)

(C)

DC

B A

14

(D)

11. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma recta r. Um

ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na

figura. Inicialmente o ponto P encontra-se à distância de 2 unidades da recta r.

Seja )(d a distância de P a r, após uma rotação de amplitude . Qual das

igualdades seguintes é verdadeira para qualquer real positivo ?

(A) cos1)( d (B) send 2)(

(C) cos1)( d (D) send 2)(

12. Considere as rectas desenhadas

no referencial o.n. simbolizado na

figura ao lado.

Sabendo que:

r: 34

3 xy

r e s são perpendiculares r e t são concorrentes no ponto

C pertencente ao eixo Oy

12.1 Determine:

a) um vector director da recta r;

b) um vector perpendicular à recta r;

c) o declive da recta s;

d) o declive da recta t.

12.2 Escreva uma equação vectorial da recta t.

135º

y

x

t

s

r

F

4

0

C

15

12.3 Determine analiticamente as coordenadas do ponto F.

13. Verifique e justifique se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou

falsa.

A justificação pode ser apoiada numa figura.

13.1. O ângulo de duas rectas no plano é sempre igual ao ângulo dos seus

vectores directores.

13.2. Se é perpendicular a e é colinear com então é perpendicular

a .

13.3. Se e são ambos perpendiculares a então e são colineares.

14. Considere os pontos A (–1, 2), B(0, –3) e C (2, 5).

14.1. Determine D, sabendo que D = A + 2 , e que M é o ponto médio de [AC].

14.2. Determine uma equação da recta que contenha o ponto A e que seja

paralela à recta BC.

14.3. Determine a equação reduzida da recta que contém o ponto B e que

intersecta a recta r de equação y = – 2 x + 1 no ponto de abcissa 1.

14.4. Determine uma equação paramétrica da recta que admite como equação

reduzida y = .

15. Considere, num r.o.n. os pontos A(5, 2) e B(b, b2), e o vector (3,−2) .

15.1. Determine a equação reduzida da recta s que passa pelo ponto A e é

perpendicular ao vector .

15.2. Determine analiticamente os valores de b para os quais AB // .

16. Considere, num referencial o.n. do plano, a recta r de equação y = 2x −1 e o

ponto A (2, –1). Qual das seguintes condições define a recta paralela a r que

passa pelo ponto A?

A) (x, y) = (−1, 2)+ k(1, 2), kЄIR C) (x, y) = k(−1, 2), kЄ IR

B) y = 2x + 3 D) ( x,y ) = (3, 1) + k( 1/2, 1), kЄR

16

17. ABCD é um quadrado, M e N são os pontos

médios dos lados BC e BA , respectivamente.

Mostre, vectorialmente, que MDNC .

18. Seja r uma recta de inclinação º60 . Um vector director de r pode ter de

coordenadas:

(A) 1,2 (B) 3,1 (C) 1,3 (D) 3,2

19. Seja 3,2u o vector director de uma recta s. Então, uma recta

perpendicular à recta s tem como declive:

(A) 3

2m (B)

3

2m (C)

2

3m (D)

2

3m

20. A expressão

cos

2sen é equivalente a :

(A) 0 (B) sen2 (C) cos2 (D) cossen

21. A figura representa uma circunferência de centro O e

diâmetro [AB] cujo raio mede 5 cm. O ponto P

desloca-se sobre a semicircunferência superior de A

para B e o ponto Q desloca-se sobre a

semicircunferência inferior de A para B, de tal forma

que se tem sempre AQAP .

Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude do ângulo PBA

2,0

x .

A área do quadrilátero [APBQ] é dada, em função de x, por

A( x ) = 50sen ( 2x )

21.1. Calcule o valor exacto de

6

A .

N

M

DC

B A

OA B

P

Q

x

17

21.2. Para que o quadrilátero seja um quadrado P e Q têm que estar em lados

opostos de um diâmetro. Indique qual o valor do ângulo x nesse caso e,

utilizando a função, determine a área desse quadrado.

22. Considere os pontos R( 1, -2) e S( 3, 4) e o vector ( 3 , -4) .

22.1. Calcule, pelas suas coordenadas, o vector .

22.2. Calcule as coordenadas de um vector colinear com de norma 9.

22.3. Determine a equação reduzida da recta t que contém o ponto médio de

médio de [RS] e tem a direcção do vector . Determine a posição relativa

das rectas t e RS .

23. Considere a recta m de equação y = - 3x + 2 .

23.1. Mostre que o ponto B( -1, 3) não pertence à recta m.

23.2. Apresente dois vectores directores da recta m de comprimentos diferentes.

23.3. Defina uma equação da recta t paralela à recta m sabendo que intersecta o

eixo dos YY no ponto de ordenada 4.

24. Para cada uma das questões seguintes escolha a opção correcta:

Das seguintes afirmações apenas uma é verdadeira. Qual?

(A) O cosseno de um ângulo pode ser ;

(B) Para qualquer ângulo do 2º quadrante o cosseno é maior do que o seno;

(C) A tangente de um ângulo do 2º quadrante é positiva;

(D) tg(x) . cos (x) > 0 para todo o x do 4º quadrante.

25. O simétrico de um ponto P(a, b) relativamente ao eixo das ordenadas é:

(A) P‟ (–a –b) (B) P‟ (–a, b)

(C) P‟ (a, –b) (D) nenhuma das respostas anteriores está correcta.

18

26. Sabendo que 4 podemos concluir que

(A) e são colineares;

(B) o ângulo formado por e é agudo;

(C) e são simétricos;

(D) o ângulo formado por e é obtuso.

27. No plano, apenas uma das seguintes afirmações é verdadeira. Qual?

(A) a recta x = 5 tem inclinação p ;

(B) a recta definida por y = 2 x –1 faz um ângulo de π /2 rad com a recta definida

por (x,y) = (5,8) + k ( 2,-1) , onde k IR;

(C) as rectas y = 5 x e y = 1/5 x são perpendiculares;

(D) rectas com vectores directores iguais são coincidentes.

28. Das rectas seguintes, qual é a paralela à recta y = 2x – 1.

(A) (x,y)=(-1, 2) + k(1, -2) , k IR (B) (x,y)=(-1, 2) + k(-2, 6) , kIR

(C) (x, y)=(2, -1)+k( 2, 1) , kIR (D) (x,y)=(2, -1) + k (2

1, 1) , kR

29. Resolva, no sistema circular, a equação sen (2x+ π /5) = sen( - 19 π /3).

30. Simplifique o mais possível a expressão:

[sen2 (5x) + cos2 (5x)].[1+ tg2(2x) ].cos2(2x).

31. Considere numa base o. n., os vectores

19

e

onde k representa um número real. Determine k de modo que:

31.1. e sejam perpendiculares.

31.2.

32. Considere num referencial o. n. os vectores (1, -1) e

32.1. Calcule, na base as coordenadas do vector perpendicular a v

e de

norma 3 5 .

32.2. Determine w

de norma 4, sabendo que .

20

Tema IV

Propostas de questões

Sucessões

1. Considera as seguintes sucessões, definidas pelo seu termo geral:

158 1

1 1 2

nnd

n

ncb

na nn

n

nn

Escolha a afirmação verdadeira:

(A) As sucessões são todas limitadas. (B) As sucessões são todas monótonas. (C) Só duas das sucessões são limitadas. (D) Só duas das sucessões são monótonas.

2. Considere a sucessão de termo geral 2

52

n

nun

2.1 Determine o termo de ordem 10 e o termo de ordem 100.

2.2 Prove que a sucessão é limitada.

2.3 Mostre que a sucessão é monótona.

2.4 Determine a ordem a partir da qual todos os termos são maiores do que 1.

3. Esta linha em “serpente” é formada por

semi-circunferências alternadamente

acima e abaixo do nível tracejado. Cada

arco tem de raio metade do anterior.

Prove que, se a “serpente” tiver 12

arcos, o seu comprimento é

9

12

2

12 .

4. Considere a sucessão (Un) definida pelo termo geral n

nun

14

4.1 Calcule o 7º e o 10º termos da sucessão.

4

21

4.2 Verifique se 10

42 é termo da sucessão dada. Em caso afirmativo, indique a

sua ordem.

4.3 Estude a sucessão quanto à monotonia.

4.4 A sucessão é limitada? Justifique.

4.5 Verifique se existem condições para concluir sobre a convergência de Un

5. Se an = cos ( ) , nЄIN, então o valor de a1 + a2 + … + a100 é dado por:

a) b) c) 0 d) e)

6. Considere as sucessões de termos gerais:

12 3 2 1

; 22 1 3

bn n

n n n

n nU V e X

n n

6.1. Determine a menor ordem, a partir da qual todos os termos da sucessão

0,1( 3)nU V .

6.2. Determine o valor de b, de modo que 1

lim nVe

.

6.3. Prove que ( )nX é uma progressão geométrica decrescente e calcule a soma de

todos os seus termos.

6.4. Defina ( )nX por recorrência.

7. Escreva uma expressão simplificada do termo geral de uma progressão

aritmética, sabendo que tem razão 2

3 e o primeiro termo é

2

5.

8. Numa progressão aritmética na de razão 3, o primeiro termo é igual a 5.

8.1. Escreva uma expressão do termo geral de. na

8.2. Calcule 3076 aaa

8.3. Sabendo que a soma dos n primeiros termos é 19208, calcule n.

22

9. Calcule, caso exista o

7

lim5

nn

n

.

10. Num laboratório está a ser efectuado um estudo sobre a evolução de uma

população de vírus.

A seguinte sequência de figuras representa os três primeiros minutos da

reprodução do vírus (representado por um triângulo).

10.1. Supondo que se mantém constante o ritmo de desenvolvimento da

população de vírus, mostre que o número de vírus obedece a uma progressão e

escreve o seu termo geral.

10.2. Determine o número de vírus ao fim de 2 horas.

11. O Pedro foi juntando as suas economias e, neste momento, tem 1000 contos que decide colocar no banco, constituindo uma poupança.

Para o efeito dispõe de duas opções:

Opção A: Por cada ano de aplicação do capital, receber 40 contos de juros. Opção B:

Por cada ano de aplicação do capital, receber juros à taxa anual de 3,5%, a incidir sobre o capital total acumulado até à data.

11.1. Relativamente à opção B, designe por (bn) a sucessão cujos termos são os valores do capital existente decorridos 8 anos. Sabendo que (bn) é uma progressão geométrica, determine a razão. Justifique a sua resposta.

11.2. Comente a seguinte afirmação:

«Comparando as duas opções apresentadas, se nos primeiros anos a opção

A é a melhor escolha, a partir de certa altura a opção B torna-se mais

vantajosa.»

23

(Sugestão: Determine o ano a partir do qual o capital acumulado de acordo com a

opção B é superior ao capital acumulado caso se tivesse escolhido a opção A.

Poderá ser útil ter em atenção que bn=1000x1,035n.)

12. Considera as sucessões Un e Vn de termos gerais

Un = 4n3 e Vn =

Escolha, entre as seguintes, a afirmação verdadeira:

A) lim ( Un x Vn )= -∞ B) lim (Un + Vn )= -∞

C) lim ( Vn / Un )= +∞ D) lim ( Vn - Un )= +∞

13. O valor do limite da sucessão (Wn) definida pelo seu termo geral

Wn =

É dado por: A) e3

B) e-3 C) -e3

D) – 1/ e3

14. A sucessão (Zn) é dada pelo produto de duas outras (Un) e (Xn). Sabe-se que

(Un) tem por termo geral Zn = e que Xn =

14.1. Mostre que - é termo de (Xn) e determine a sua ordem.

14.2. Prove analiticamente que a sucessão (Xn) é estritamente monótona.

14.3. Represente (Xn) geometricamente.

14.4. Determine, caso existam, a ordem de cada um dos termos de (Xn) que

pertencem ao intervalo ] – 3-0,1 ; -3+0,1[.

14.5. Calcule, caso exista, o limite de ( Zn).

15. Seja uma progressão geométrica (an ) de termo geral an = .

15.1. Calcule o 4º termo da progressão

15.2. A soma de todos os termos de na é igual a:

A. 1

1 B.

1

1 C. D. 0