GuiaPNLD2012_MATEMATICA

Presidncia da Repblica Ministrio da Educao Secretaria Executiva Secretaria de Educao Bsica

Ministrio da Educao Secretaria de Educao Bsica Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educao

Guia de Livros Didticos PNLD 2012

Matemtica

Ensino MdioBraslia 2011

MINISTRIO DA EDUCAO Secretaria de Educao Bsica SEB Diretoria de Polticas de Formao, Materiais Didticos e de Tecnologias para Educao Bsica Coordenao-Geral de Materiais Didticos Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educao FNDE Diretoria de Aes Educacionais Coordenao-Geral dos Programas do Livro Equipe Tcnico-pedaggica da SEB Andra Kluge Pereira Ceclia Correia Lima Elizangela Carvalho dos Santos Jane Cristina da Silva Jos Ricardo Alberns Lima Lucineide Bezerra Dantas Lunalva da Conceio Gomes Maria Marismene Gonzaga Equipe de Apoio Administrativo - SEB Gabriela Brito de Arajo Gislenilson Silva de Matos Neiliane Caixeta Guimares Paulo Roberto Gonalves da Cunha Equipe do FNDE Sonia Schwartz Edson Maruno Auseni Peres Frana Millions Rosalia de Castro Sousa Projeto Grfico e Diagramao Karen Rukat Carlos DTarso

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP) Centro de Informao e Biblioteca em Educao (CIBEC) Guia de livros didticos : PNLD 2012 : Matemtica / Braslia : Ministrio da Educao, Secretaria de Educao Bsica, 2011. 104 p.: il. ISBN 978-85-7783-050-3 1. Livros didticos. 2. Matemtica. 3. Ensino Mdio. I. Brasil. Ministrio da Educao. Secretaria de Educao Bsica. CDU 371.671

EQUIPE RESPONSVEL PELA AVALIAOComisso Tcnica Joo Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho UFRJ Coordenao Institucional Adriano Pedrosa de Almeida UFPE Coordenao de rea Paulo Figueiredo Lima UFPE Coordenao dos Plos Marilena Bittar UFMS Airton Carrio Machado UFMG-Colgio Tcnico Vernica Gitirana Gomes Ferreira UFPE Assessoria Mnica Cerbella Freire Mandarino UNIRIO Avaliao Abrao Juvncio de Arajo UFPE-Colgio de Aplicao Airton Temistocles Gonalves de Castro UFPE Alcilea Augusto USP e Colgio Estadual Juscelino Kubitschek-Rio de Janeiro ngela Rocha dos Santos UFRJ Aparecida Augusta da Silva UFRO Bruno Alves Dassie UFF Cileda de Queiroz e Silva Coutinho PUC-SP Cludia Cueva Candido USP Cludia Regina Oliveira de Paiva Lima UFPE Cleiton Batista Vasconcelos UECE Dejahyr Lopes Junior Colgio Salesiano Dom Bosco-Campo Grande Elizabeth Belfort da Silva Moren UFRJ Flvia dos Santos Soares UFF Francisco Roberto Pinto Mattos UERJ e Colgio Pedro II-Rio de Janeiro Helena Noronha Cury UNIFRA-RS Henrique Jos Morais de Arajo UFPE Iole de Freitas Druck USP Jos Carlos Alves de Souza UFPE-Colgio de Aplicao Jos Edeson de Melo Siqueira SEDUC-PE Jos Fabio Bezerra Montenegro UFC Jos Luiz Magalhes de Freitas UFMS Lisbeth Kaiserlian Cordani USP Marcelo Cmara dos Santos UFPE-Colgio de Aplicao Marcio Antonio da Silva UFMS Maria Auxiliadora Vilela Paiva IFES Maria Laura Magalhes Gomes UFMG Martha Salerno Monteiro USP Mauro Luiz Rabelo UnB Miguel Chaquiam UEPA e UNAMA Nora Olinda Cabrera Ziga UFMG-Colgio Tcnico Paula Moreira Baltar Bellemain UFPE Pedro Luiz Aparecido Malagutti UFSCar Rogrio da Silva Igncio UFPE-Colgio de Aplicao Rmulo Marinho do Rgo UEPB Rony Cludio de Oliveira Freitas IFES

Rosana Nogueira de Lima UNIBAN Rute Elizabete de Souza Rosa Borba UFPE Suely Scherer UFMS Tnia Schmitt UnB Vanessa Sena Tomaz UFMG-Colgio Tcnico Viviana Giampaoli USP Yuriko Yamamoto Baldin UFSCar Leitura Crtica Adriano Pedrosa de Almeida UFPE Cristiane de Arimata Rocha SEDUC-PE Reviso Editorial Elvira Nadai Instituio responsvel pelo processo de Avaliao Universidade Federal de Pernambuco (UFPE)

ApReSentAO COMO SO AS ReSenHAS pRInCpIOS e CRItRIOS De AVALIAO CARACteRStICAS GeRAIS DAS COLeeS ApROVADAS FICHA De AVALIAO ReSenHAS CONEXES COM A MATEMTICA MATEMTICA CONTEXTO & APLICAES MATEMTICA - PAIVA MATEMTICA CINCIA E APLICAES MATEMTICA CINCIA, LINGUAGEM E TECNOLOGIA MATEMTICA ENSINO MDIO NOVO OLHAR MATEMTICA

7 9 12 18 45 51 53 61 68 76 83 90 97

MAteMtICA

SUMRIO

professor, professora sempre bom e oportuno retomar o dilogo com voc por meio deste Guia. Especialmente, porque nele esto presentes as resenhas das sete colees aprovadas no PNLD 2012. Essas resenhas buscam contribuir para que voc exera seu papel insubstituvel de escolher o texto didtico que o apoiar na tarefa de formao de seus alunos do ensino mdio. Nelas voc encontrar tanto uma descrio resumida quanto uma avaliao das caractersticas de cada uma das obras aprovadas. Voc poder saber mais sobre a estrutura desses textos lendo Como so as resenhas, que apresentado na parte introdutria deste Guia. Esta a terceira vez que o Ministrio da Educao realiza um programa de livros didticos de Matemtica voltado para o ensino mdio. No entanto, desde a dcada de 1990, o Ministrio acumula experincia na execuo de programas dessa natureza e que abrangem vrias outras reas disciplinares e os demais nveis do ensino bsico. Nos ltimos anos, a Secretaria de Educao Bsica (SEB/MEC) e o Fundo Nacional para Desenvolvimento da Educao (FNDE/MEC), em convnio com instituies pblicas de ensino superior, tm executado uma etapa chave de todo o Programa Nacional do Livro Didtico (PNLD), que a avaliao das obras inscritas nesse programa. Para o PNLD 2012, esse processo reuniu docentes de diversas instituies educacionais do pas, todos com experincia nas questes de ensino e aprendizagem da matemtica escolar, em diferentes nveis de ensino. Sob a coordenao de uma universidade pblica, e tomando como base os critrios de avaliao expressos no Edital do PNLD 2012, esses profissionais realizaram um trabalho minucioso, do qual resultaram as resenhas ora apresentadas como auxlio escolha que voc convidado a fazer. Para aproveitar essa oportunidade de dilogo, o Guia no poderia se restringir s resenhas. Por isso, voc tambm encontrar, nas pginas seguintes, textos que, alm de contribuir para a escolha, podem trazer subsdios para o uso posterior da coleo e, ainda, para a formao continuada do professor.

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ApReSentAO


Um desses textos contm os critrios que foram adotados na avaliao das colees, tanto os que so comuns a todos os componentes curriculares quanto aqueles especficos da Matemtica. Ele complementado pela ficha de avaliao que foi utilizada pelos avaliadores para a anlise de cada obra. Por sua vez, nas Consideraes gerais sobre as colees aprovadas so reunidas algumas caractersticas comuns observadas no conjunto das obras resenhadas, tanto do ponto de vista da abordagem de contedos matemticos quanto da metodologia de ensino e aprendizagem adotada. Nesse texto, voc tambm poder encontrar subsdios para um melhor aproveitamento dos livros em seu trabalho pedaggico e, ainda, sugestes de como contornar algumas das limitaes neles observadas. As resenhas esto dispostas na sequncia de suas inscries no PNLD 2012. Agora, cabe a voc, em um trabalho compartilhado com colegas, realizar a leitura e a discusso desses textos e optar pela obra mais apropriada ao projeto pedaggico de sua instituio escolar. Bom trabalho!

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As orientaes seguintes buscam auxili-lo, professor, na leitura deste Guia. Voc ficar sabendo como so estruturadas as resenhas e do que tratam as suas diferentes sees. Logo de incio, so apresentados os elementos identificadores da coleo: nome da obra, cdigo no PNLD 2012, autoria, editora e capa.

VISO GeRALNesta seo, feita uma sntese da avaliao da obra. So mencionadas caractersticas que se destacam, positiva ou negativamente, nos livros.

DeSCRIONeste item, voc encontra uma descrio dos livros do aluno. Trata-se de uma radiografia da coleo, em que se indicam, de maneira resumida: a organizao de suas subdivises; quais as sees especiais e seus objetivos; se h sugestes de leituras complementares para os alunos; se so fornecidas as respostas das atividades propostas, entre outras informaes.1 srie 18 captulos 320 pp. 1 2 3 4 Conjuntos numricos Funes Funo afim ..... 2 srie 17 captulos 310 pp. 1 2 Funes seno, cosseno e tangente ..... 21 pp. 25 pp. 20 pp. 23 pp. 18 pp.

Estes quadros mostram, em detalhes, quais e como esto organizados os contedos em cada um dos livros. So indicados tanto o nmero de pginas de cada unidade (ou captulo), quanto o total de cada volume. O sumrio ajuda voc a verificar se a obra adequada, ou no, ao projeto pedaggico de sua escola.

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COMO SO AS ReSenHAS


AnLISeAbordagem dos contedos

Neste grfico possvel verificar a percentagem de distribuio dos diversos campos da Matemtica

Nmeros e operaes Funes Equaes algbricas Geometria Geometria analtica Estatstica e probabilidades Aqui procura-se avaliar algumas das caractersticas da abordagem desses campos: a seleo dos contedos; as articulaes entre eles; as escolhas didticas; as opes de validao do conhecimento matemtico empregadas, entre outros aspectos. Tambm so indicadas imprecises presentes na obra.

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Metodologia de ensino e aprendizagemNesta parte, voc encontra uma anlise da opo metodolgica predominante na coleo. So observados, entre outros aspectos: a maneira como so introduzidos e desenvolvidos os contedos; o papel esperado do aluno nesse processo; a retomada de conhecimentos prvios; o desenvolvimento de competncias matemticas mais elaboradas, alm da repetio e da memorizao; o incentivo s interaes aluno-professor e aluno-aluno. Alm disso, o emprego de recursos didticos, em especial de novas tecnologias, tambm avaliado.

ContextualizaoAqui se avalia o modo como so atribudos significados aos contedos matemticos por meio de ligaes com prticas sociais atuais e com outros campos do saber. O recurso Histria da Matemtica outra forma de contextualizao considerada. Analisa-se, tambm, em que medida a obra prope temas e atividades que ajudem a promover posturas e valores importantes para o exerccio da cidadania.

Linguagem e aspectos grfico-editoriaisEsse item trata da qualidade dos diferentes textos e ilustraes presentes na obra e procura avaliar sua contribuio para a aprendizagem. Traz, ainda, observaes sobre o seu projeto grfico, comentando o quanto ele favorece a legibilidade e torna os livros de leitura atraente.

Manual do professorO texto aqui tem duplo objetivo. Por um lado, descreve a estrutura e as sees do manual. Por outro, busca avaliar sua qualidade tanto na explicitao dos pressupostos que fundamentam a obra, como no suporte que ele fornece ao docente para o seu trabalho de sala de aula e sua formao continuada.

EM SALA DE AULAUma coleo aprovada no PNLD 2012 certamente rene qualidades suficientes como instrumento de formao para o ensino mdio. Mas as recomendaes feitas ao professor, nessa seo, podem ajud-lo a um melhor aproveitamento da obra. Em linhas gerais, sugere-se um planejamento do trabalho docente que selecione os contedos a serem estudados, pois, muitas vezes, h excessos nas obras. O professor tambm aconselhado a ampliar os recursos didticos, quando necessrio. Alm disso, alertado a contornar as imprecises em explanao de alguns contedos ou em atividades propostas, ou falhas de reviso, que ocorrem nos livros.

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pRInCpIOS e CRItRIOS De AVALIAOprincpios gerais de avaliaoOs critrios de avaliao das obras inscritas no mbito do PNLD 2012 constam do edital pblico do FNDE (www.fnde.gov.br). Esses critrios decorrem de princpios gerais que sero apresentados a seguir. Comea-se por um conjunto de princpios gerais relativos qualidade de uma obra didtica como instrumento auxiliar ao trabalho educativo do professor. Trabalho que visa formao do aluno, na etapa do ensino mdio, com suas mltiplas dimenses estabelecidas pela Lei de Diretrizes e Bases da Educao Nacional, em seu artigo 35: O ensino mdio, etapa final da educao bsica, com durao mnima de trs anos, ter como finalidades: I - a consolidao e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; II - a preparao bsica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condies de ocupao ou aperfeioamento posteriores; III - o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formao tica e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crtico; IV - a compreenso dos fundamentos cientfico-tecnolgicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prtica, no ensino de cada disciplina. As instituies escolares assumem o papel fundamental de criar um espao de atividades e de convivncia para que o aluno, de maneira ativa, desenvolva competncias, conhecimentos e atitudes que traduzam as finalidades do ensino mdio. No complexo processo acima referido, a sala de aula constitui-se em um cenrio no qual se estabelecem inter-relaes entre o professor, o aluno, o livro didtico e os saberes disciplinares. O livro didtico traz para o processo de ensino e aprendizagem um personagem, o seu autor, que passa a dialogar

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com o professor e com o aluno. Nesse dilogo, o livro portador de escolhas sobre: o saber a ser estudado; os mtodos adotados para que o aluno consiga aprend-lo mais eficazmente; e a organizao dos contedos ao longo dos anos de escolaridade. Uma reflexo sobre o livro didtico, colhida no estudo de Grard & Roegiers (1998), lista algumas das funes mais importantes desse livro, com relao ao aluno e ao professor. Tratando-se do aluno tais funes podem ser: favorecer a aquisio de saberes socialmente relevantes; consolidar, ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos; propiciar o desenvolvimento de competncias e habilidades do aluno, que contribuam para aumentar sua autonomia; contribuir para a formao social e cultural e desenvolver a capacidade de convivncia e de exerccio da cidadania.

Com respeito ao professor: auxiliar no planejamento didtico-pedaggico anual e na gesto das aulas; favorecer a formao didtico-pedaggica; auxiliar na avaliao da aprendizagem do aluno; favorecer a aquisio de saberes profissionais pertinentes, assumindo o papel de texto de referncia.

Para o desempenho dessas funes importa no s o que traz o livro do aluno, mas tambm as orientaes e os textos informativos includos no manual do professor. Da decorrem os requisitos, mais adiante citados, que se referem especificamente a essa importante pea da coleo didtica a ser avaliada. Valorizar o papel do livro didtico no implica, contudo, que ele assuma um papel dominante no ensino em detrimento da atuao do professor. Atuao essa que, alm das tarefas inerentes conduo das atividades da sala de aula, pode incluir a busca de fontes bibliogrficas complementares. O PNLD tem como um de seus princpios bsicos atribuir ao professor, em sintonia com o projeto pedaggico de sua escola, a tarefa de escolher o livro que ser usado por seus alunos. Essa , portanto, mais uma das importantes funes que o professor periodicamente chamado a realizar. Em consonncia com os princpios gerais esboados acima, os critrios de avaliao comuns a todos os componentes curriculares do PNLD 2012 foram estabelecidos em edital.

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Critrios de avaliao de todos os componentes curricularesI. II. III. respeito legislao, s diretrizes e s normas oficiais relativas ao ensino mdio; observncia de princpios ticos necessrios construo da cidadania e ao convvio social republicano; coerncia e adequao da abordagem terico-metodolgica assumida pela obra, no que diz respeito proposta didtico-pedaggica explicitada e aos objetivos visados; correo e atualizao de conceitos, informaes e procedimentos; observncia das caractersticas e finalidades especficas do manual do professor e adequao da obra linha pedaggica nela apresentada; adequao da estrutura editorial e do projeto grfico aos objetivos didticopedaggicos da obra.

IV. V. VI.

O no cumprimento de qualquer um desses critrios resultou em proposta incompatvel com os objetivos estabelecidos para o ensino mdio, o que justificou sua excluso do PNLD 2012. Alm disso, tendo em vista a preservao da unidade e a articulao didtico-pedaggica da obra, foi excluda aquela que, ao ser apresentada em forma de coleo, teve um ou mais volumes excludos no presente processo de avaliao.

princpios de avaliao do componente curricular MatemticaA Matemtica, produzida e organizada no decorrer da histria, uma das mais significativas conquistas do conhecimento humano. Alm disso, ela faz parte do cotidiano das pessoas, contribui para as atividades das outras cincias e das tecnologias. Ela se mantm viva e crescente devido a esses usos e s contribuies vindas, em especial, dos centros acadmicos e de pesquisa, nos quais se verifica uma permanente produo de conhecimento matemtico. Na Matemtica, articulam-se, de forma complexa e indissocivel, dois aspectos. O primeiro o das aplicaes s vrias atividades humanas, que tm sido origem de muitos dos belos modelos abstratos dessa cincia. Outro o da especulao pura, voltada para problemas gerados no prprio edifcio da Matemtica e que, em muitos casos, revelaram-se fonte de surpreendentes aplicaes. Alm desses aspectos, a dimenso esttica est presente em muitas das construes matemticas. Podem ser lembradas, ainda, as ligaes existentes, h milnios, entre a Matemtica e as atividades ldicas das pessoas.

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Ao longo de sua evoluo, os homens recorreram, nas prticas matemticas, a diversos mtodos. No entanto, especialmente a partir da civilizao grega, o mtodo dedutivo tem predominado e assume a primazia de ser o nico mtodo aceito, na comunidade cientfica, para comprovao de um fato matemtico. Os conceitos de axioma, definio, teorema, demonstrao so o cerne desse mtodo e, por extenso, passaram a ser, para muitos, a face mais visvel da Matemtica. Trata-se de um mtodo de validao do fato matemtico, muito mais do que um mtodo de descoberta ou de uso do conhecimento matemtico. Na construo efetiva desse conhecimento fazse uso permanente da imaginao, de raciocnios indutivos ou plausveis, de conjecturas, de tentativas, de verificaes empricas, enfim, recorre-se a uma variedade complexa de outros procedimentos. No que diz respeito Matemtica, enquanto conhecimento acumulado e organizado, preciso dosar, em progresso criteriosa, o emprego de seu mtodo prprio de validao dos resultados: o mtodo dedutivo. indispensvel que o aluno estabelea gradualmente a diferena entre os vrios procedimentos de descoberta, inveno e validao. Em particular, interessante que ele compreenda a distino entre uma prova lgico-dedutiva e uma verificao emprica, seja essa baseada na visualizao de desenhos, na construo de modelos materiais ou na medio de grandezas. Dessa forma, o ensino mdio cumpre seu papel de ampliao, aprofundamento e organizao dos conhecimentos matemticos adquiridos no ensino fundamental, fase esta em que predominam, na abordagem da Matemtica, os procedimentos indutivos, informais, no rigorosos. Nas ltimas dcadas, a sociedade vem experimentando um perodo de profundas e aceleradas mudanas nos meios de produo e circulao de bens econmicos, de intercmbio de informaes e de ampliao rpida do acervo e dos horizontes do conhecimento cientfico. Um dos aspectos distintivos das recentes mudanas o emprego crescente da Matemtica seja nas prticas sociais do cotidiano compras e vendas, emprstimos, credirio, contas bancrias, seguros e tantas outras seja nas atividades cientficas ou tecnolgicas. Especialmente no dia a dia do cidado, so evidentes as repercusses dos novos recursos tecnolgicos do computador e da calculadora, esta amplamente difundida em todos os meios sociais. Alm disso, as pessoas so constantemente expostas a informaes que, para serem entendidas e levadas em conta de modo crtico, exigem a leitura e interpretao de grficos e tabelas e demandam o conhecimento de noes bsicas de Estatstica e de Probabilidades. A capacidade de resolver problemas e de enfrentar situaes complexas, de expor e compreender ideias, cada vez mais requisitada. Um ensino de Matemtica adequado fase final da educao bsica no pode negligenciar os aspectos acima mencionados.

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Nesse quadro, o ensino mdio tem de assumir a tarefa de preparar cidados para uma sociedade cada vez mais permeada por novas tecnologias, e de possibilitar o ingresso de parcelas significativas de seus cidados a patamares mais elaborados do saber. O ensino de Matemtica, nesse contexto, deve capacitar os estudantes para: planejar aes e projetar solues para problemas novos, que exijam iniciativa e criatividade; compreender e transmitir ideias matemticas, por escrito ou oralmente, desenvolvendo a capacidade de argumentao; interpretar matematicamente situaes do dia a dia ou do mundo tecnolgico e cientfico e saber utilizar a Matemtica para resolver situaes-problema nesses contextos; avaliar os resultados obtidos na soluo de situaes-problema; fazer estimativas mentais de resultados ou clculos aproximados; saber usar os sistemas numricos, incluindo a aplicao de tcnicas bsicas de clculo, regularidade das operaes etc; saber empregar os conceitos e procedimentos algbricos, incluindo o uso do conceito de funo e de suas vrias representaes (grficos, tabelas, frmulas etc.) e a utilizao das equaes; reconhecer regularidades e conhecer as propriedades das figuras geomtricas planas e slidas, relacionando-as com os objetos de uso comum e com as representaes grficas e algbricas dessas figuras, desenvolvendo progressivamente o pensamento geomtrico; compreender os conceitos fundamentais de grandezas e medidas e saber utilizlos em situaes-problema; utilizar os conceitos e procedimentos estatsticos e probabilsticos, valendo-se, entre outros recursos, da combinatria; estabelecer relaes entre os conhecimentos nos campos de nmeros e operaes, funes, equaes algbricas, geometria analtica, geometria, estatstica e probabilidades, para resolver problemas, passando de um desses quadros para outro, a fim de enriquecer a interpretao do problema, encarando-o sob vrios pontos de vista.

Critrios de avaliao do componente curricular MatemticaNo processo de avaliao das obras de Matemtica, os princpios acima referidos foram traduzidos no seguinte conjunto de requisitos, que devero obrigatoriamente ser cumpridos pelas colees de livros didticos dessa rea do conhecimento:

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1. Incluir todos os campos da Matemtica escolar, a saber, nmeros e operaes, funes, equaes algbricas, geometria analtica, geometria, estatstica e probabilidades. 2. Privilegiar a explorao dos conceitos matemticos e de sua utilidade para resolver problemas. 3. Apresentar os conceitos com encadeamento lgico, evitando: recorrer a conceitos ainda no definidos para introduzir outro conceito, utilizar-se de definies circulares, confundir tese com hiptese em demonstraes matemticas, entre outros. 4. Propiciar o desenvolvimento, pelo aluno, de competncias cognitivas bsicas, como: observao, compreenso, argumentao, organizao, anlise, sntese, comunicao de ideias matemticas, memorizao.

No que se refere especificamente ao manual do professor, exige-se que ele:1. Apresente linguagem adequada ao seu leitor o professor - e atenda ao seu objetivo como manual de orientaes didticas, metodolgicas e de apoio ao trabalho em sala de aula. Contribua para a formao do professor, oferecendo discusses atualizadas acerca de temas relevantes para o trabalho docente, tais como currculo, aprendizagem, natureza do conhecimento matemtico e de sua aplicabilidade, avaliao, polticas educacionais, entre outros. Integre os textos e documentos reproduzidos em um todo coerente com a proposta metodolgica adotada e com a viso de Matemtica e de seu ensino e aprendizagem preconizada na obra. No se limite a consideraes gerais ao discutir a avaliao em Matemtica, mas oferecer orientaes efetivas do que, como, quando e para que avaliar, relacionando-as com os contedos expostos nos vrios captulos, unidades, sees. Contenha, alm do livro do aluno, orientaes para o docente exercer suas funes em sala de aula, bem como propostas de atividades individuais e em grupo. Explicite as alternativas e recursos didticos ao alcance do docente, permitindolhe selecionar, caso o deseje, os contedos que apresentar em sala de aula e a ordem em que sero apresentados. Contenha as solues detalhadas de todos os problemas e exerccios, alm de orientaes de como abordar e tirar o melhor proveito das atividades propostas. Apresente uma bibliografia atualizada para aperfeioamento do professor, agrupando os ttulos indicados por rea de interesse e comentando-os. Separe, claramente, as leituras indicadas para os alunos daquelas recomendadas para o professor.

2.

3.

4.

5. 6.

7. 8. 9.

As obras que no cumpriram esses requisitos especficos do componente curricular Matemtica foram excludas do PNLD 2012.

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CARACteRStICAS GeRAIS DAS COLeeS ApROVADASO presente texto resultado de uma anlise do conjunto das obras aprovadas no PNLD 2012 e, nele, procuramos aprofundar alguns dos pontos abordados nas resenhas deste Guia. Entre seus objetivos, est o de convidar voc, professor, professora, a participar de uma discusso que colabore para a melhoria do processo de escolha do livro didtico e contribua para aprimorar o seu uso na sala de aula. A leitura do texto no precisa seguir a sequncia de suas sees. Alm do mais, ele pede leitura pausada, discutida com colegas e que acompanhe o trabalho de sala de aula por um bom tempo. S assim, o desejado dilogo com o texto ficar completo, com a crtica e recriao feitas por voc.

SeLeO DOS COnteDOSQue contedos os autores escolheram para compor as obras aprovadas? Essa uma das primeiras questes a que as resenhas procuram responder. Para tanto, elas trazem sumrios dos tpicos abordados nos livros. No presente texto, importa mais delinear um quadro geral dessas escolhas e, por isso, comeamos por uma classificao dos contedos presentes nessas obras. Para a avaliao das obras no PNLD 2012 dividimos os tpicos da Matemtica do ensino mdio em seis campos: nmeros e operaes; funes; equaes algbricas; geometria analtica; geometria; estatstica e probabilidades. Vale lembrar que essa classificao, adotada para nossa anlise, no a nica possvel. O campo de nmeros e operaes inclui os tpicos: conjuntos; conjuntos numricos; nmeros reais; nmeros e grandezas; e nmeros complexos. Abrange, ainda, anlise combinatria, representada pela contagem de colees discretas. Em funes1 consideramos: o conceito de funo; sequncias; funes afins e afins por partes; funes quadrticas; funes exponencial e logartmica; funes trigonomtricas; matemtica financeira; e clculo diferencial. Em equaes algbricas esto reunidos os tpicos: polinmios; matrizes; determinantes; e sistemas lineares. Dada a sua importncia como uma conexo entre a geometria e a lgebra, a geometria analtica foi destacada em um campo especfico, que compreende: retas, circunferncias e cnicas no plano cartesiano; vetores; e transformaes geomtricas. No campo da1

As equaes e as inequaes relativas s vrias funes esto includas neste campo.

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geometria, os tpicos so: geometria plana (incluindo trigonometria); geometria espacial de posio; poliedros; e as grandezas geomtricas. J em estatstica e probabilidades esto contidos: o conceito clssico de probabilidade; probabilidade condicional; coleta, organizao, representao e interpretao de dados; medidas de posio e de disperso de um conjunto de dados; e relaes entre estatstica e probabilidades. Os sumrios das obras aprovadas revelam bastante uniformidade. De fato, com poucas excees, todos apresentam os mesmos tpicos matemticos dispostos em uma mesma sequncia ao longo dos trs volumes. Outra observao de carter geral que h excesso de contedos selecionados. Este um dos motivos do nmero exagerado de pginas das colees, salvo uma delas. A Tabela 1, a seguir, confirma como so volumosas essas colees. Tabela 1 Nmero de pginas das colees aprovadasCdigo da coleo Volume 1 Volume 2 Volume 3 Total Mdia25042 25116 25117 25121 25122 25125 25133 Mdia

408 440 280 1128 376

504 384 264 1152 384

256 312 200 768 256

304 320 272 896 298

384 328 376 1088 362

320 448 343 1111 370

336 320 320 976 325

359 364 293 1017

Comentemos, agora, como os contedos selecionados se distribuem pelos trs livros de cada coleo.

DIStRIBUIO DOS COnteDOSConsiderando-se todos os textos didticos dispostos nos livros, foi feita uma contagem do nmero de pginas (ou a soma de partes delas) dedicadas a cada campo e calculada a porcentagem com relao ao nmero total de pginas de natureza didtica em cada livro. Dessa forma, foi possvel fazer uma estimativa razovel da ateno dedicada aos diferentes campos, em cada um dos trs volumes. Estes porcentuais esto mostrados nos grficos adiante2. O exame desses grficos revela algumas caractersticas comuns, nas obras aprovadas no PNLD 2012. O Grfico 1 compara a distribuio de contedos presentes nos livros da 1 srie das sete colees.

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Em cada resenha, tambm apresentado um grfico da distribuio de campos da respectiva coleo.

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Grfico 1 Distribuio dos campos nos volumes da 1 srie das obras aprovadas

Nesses livros, h uma clara concentrao no campo das funes em detrimento dos demais. Em valores aproximados, cinco das colees dedicam perto de 70% a funes, e as outras duas, respectivamente 65% e 60%. Tal excesso decorre, entre outras razes, de um tratamento fragmentado e repetitivo, com estudo de muitos casos particulares. Alm do mais, a concentrao leva a que, em praticamente todas as obras, sejam excludos os contedos relativos a outros campos. Trs das sete colees incluem contedos de geometria analtica na 1 srie. A distribuio dos campos nos livros da 2 srie apresentada no Grfico 2. Grfico 2 Distribuio dos campos nos volumes da 2 srie das obras aprovadas

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Uma caracterstica evidente dos livros aprovados a ausncia da geometria analtica nos livros da 2 srie, exceto em um, no qual se registra uma diminuta ateno ao campo. Outro aspecto que se observa o predomnio da geometria em cinco das colees, chegando-se, em uma delas, ao porcentual elevado de, aproximadamente, 55% das pginas dedicadas a esse campo. Por outro lado, o campo nmeros e operaes representado pela anlise combinatria recebe uma ateno uniforme e em grau razovel, nas sete obras. Pode ser constatada a presena das equaes algbricas, das funes (quase sempre trigonomtricas) e do campo da estatstica e probabilidades. Na terceira srie, como mostra o Grfico 3, dada maior ateno geometria analtica, em detrimento de outros campos. Alm disso, excetuando-se duas, as obras omitem ou dedicam pouca ateno geometria ou a funes. Grfico 3 Distribuio dos campos nos volumes da 3 srie das obras aprovadas

Assim, de um modo geral, ocorre excesso de ateno a um determinado campo, em prejuzo dos demais, em cada uma das sries do ensino mdio. Essa tendncia merece cuidado especial do professor no planejamento anual do trabalho didtico, pois ela dificulta o estabelecimento de conexes entre os contedos matemticos tema que ser objeto dos comentrios da prxima seo. O grande nmero de pginas e atividades voltadas para alguns campos, associado s limitaes do tempo letivo, exige que os docentes, ao planejarem seu trabalho didtico, faam escolhas, em especial nas listas de exerccios propostos. Tal seleo e alguma reorganizao dos contedos so fundamentais para que no se abandonem temas com pouca nfase na obra ou que ficam

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no final dos volumes. Nesse sentido, vale destacar que apenas uma das obras aprovadas auxilia o professor a fazer escolhas indicando captulos opcionais de forma explcita. Mas, ainda assim, ela possui uma lista muita extensa de assuntos considerados no opcionais.

ARtICULAO entRe COnteDOS MAteMtICOSNa Matemtica, h uma tradio de organizar os contedos em campos, por exemplo: aritmtica, lgebra, geometria, anlise, estatstica, probabilidades, entre outras. Essas divises tm influenciado diferentes classificaes da matemtica escolar, uma das quais adotamos no PNLD 2012. No entanto, nem a Matemtica nem a sua vertente escolar devem ser encaradas como uma justaposio de campos estanques, mas como um conjunto de conhecimentos com muitas conexes entre si. Nas obras aprovadas, foram observadas algumas ligaes entre os campos da matemtica escolar. No entanto, dada a importncia dessas articulaes, elas deveriam ser mais frequentes. Um exemplo, encontrado em todas as colees resenhadas, a conexo feita entre as funes afins e as equaes da reta no plano cartesiano. Porm, ela recebe uma ateno muito pequena em algumas dessas obras. Outra conexo, tambm presente em todas as colees, feita entre sistemas lineares com duas incgnitas e um conjunto de retas no plano cartesiano. Igualmente sugestiva, mas nem sempre justificada de maneira adequada, a articulao entre sistemas com trs incgnitas e um conjunto de planos no espao tridimensional trabalhada em quatro das sete colees. No menos relevantes so as conexes entre tpicos de um mesmo campo. Por exemplo, no das funes, esto presentes em todas as obras as ligaes conceituais entre progresses aritmticas e funes afins e entre progresses geomtricas e funes exponenciais. Contudo, em geral, notamos uma abordagem fragmentada, com diviso dos contedos em muitos casos particulares, tratados isoladamente. Isso desaconselhvel do ponto de vista didtico e contribui para o excesso de pginas. Para especificar melhor o comentrio acima, examinemos, no campo das funes, alguns exemplos de abordagem fragmentada, que tradicionalmente adotada no ensino e nos livros didticos. Com poucas excees, para cada classe de funes afins, quadrticas, modulares, exponenciais e logartmicas dedicam-se itens separados (alguns extensos) para trabalhar os tpicos: crescimento/decrescimento; estudo do sinal; equaes; e inequaes. Desperdia-se, dessa maneira, a oportunidade de

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enfeixar estes tpicos como subtpicos de conceitos unificadores. Em particular, no vemos justificativa para separar em dois itens distintos inequaes e estudo do sinal de uma funo. De fato, para uma dada funo real de varivel real, y=f(x) estudar o sinal da funo nada mais do que resolver a inequao f(x)0. Resolver tal inequao equivale a encontrar valores de x para os quais f(x)=0 ou f(x)0. A taxa de variao mdia de uma funo um dos conceitos unificadores fundamentais, pois se aplica a classes muito gerais de funes que so modelos matemticos para fenmenos que envolvem variao de grandezas. Constituise, alm disso, em uma introduo apropriada para a noo de taxa de variao instantnea, que associada, por sua vez, ao conceito de derivada. No entanto, o conceito de taxa de variao no suficientemente explorado na maioria das obras aprovadas e est ausente em duas delas. O conceito de derivada um tpico que deve ser considerado opcional no ensino mdio, mas isso no significa que no sejam feitas experincias de sua incluso nos livros didticos. importante que este conceito seja introduzido de modo articulado com o conceito de taxa de variao mdia de uma funo e com o conceito de limite de uma sequncia. Esse ltimo tpico estudado em todas as colees aprovadas, pelo menos no caso de uma progresso geomtrica infinita. No entanto, apenas duas das obras aprovadas abordam derivadas, ainda assim, de modo no satisfatrio. Para tratar de outro tema unificador, consideremos uma funo f : R R, que associa a um nmero real x o nmero real y, y=f(x). Tomemos, ento, um nmero real k, diferente de zero, e formemos as funes dadas por: y=k+f(x) y=f(x+k) y=f(kx) y=kf(x)

As relaes entre o grfico da funo f e os grficos das funes que acabamos de indicar so uma rica fonte de conexes entre as representaes analtica e grfica das funes em jogo. Em particular, isso permite interpretar mudanas de variveis como transformaes geomtricas no plano cartesiano. Esse tema abordado em todas as obras aprovadas, mas, em geral, para poucas classes de funes. Um dos casos estudados a composio das transformaes citadas funo y = cos(x), para obter a famlia de funes: y=a+bcos(wx+c), em que a, b e c so nmeros reais quaisquer e w um nmero real positivo. Observamos que, apenas variando os parmetros w e b nessa famlia, possvel construir funes peridicas de qualquer perodo e de qualquer amplitude.

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Podemos, tambm, variar os outros dois parmetros, a e c, e aumentar a classe de fenmenos peridicos que podem ser modelizados pela famlia de funes acima. Assim, inegvel que essa famlia de funes importante do ponto de vista da modelagem matemtica e, por isso, deveria ocupar lugar de maior destaque no ensino das funes trigonomtricas e constituir-se em um coroamento deste ensino. Convm adicionar que, para construirmos todas as peas dessa famlia de funes, so necessrias poucas relaes trigonomtricas, o que poderia contribuir para evitar o excesso de contedos nos livros didticos. Observamos que as colees dedicam em torno de 100 pginas ao estudo de trigonometria e de funes trigonomtricas, de modo fragmentado e repetitivo.

SISteMAtIZAO eM MAteMtICAA prtica da Matemtica na comunidade cientfica estende-se de modo contnuo entre dois polos: o informal e o formal. A partir do sculo XVI, os matemticos desenvolveram o simbolismo algbrico, at chegar forma atual. Mais recentemente, a partir do fim do sculo XIX, desenvolveu-se a lgica matemtica, que evita a linguagem usual, do dia a dia, criando uma linguagem formal, com smbolos prprios e regras para operar com eles. Assim se constitui a Matemtica no estgio estritamente formal. Mas fazer demonstraes de teoremas no , necessariamente, trabalhar nesse extremo do formalismo. A Matemtica j era dedutiva antes de ser inteiramente formalizada. Por exemplo, os gregos no tinham nenhum simbolismo algbrico ou lgico, mas j faziam demonstraes. Dessa maneira, melhor seria dizermos que as prticas matemticas so realizadas em diversos momentos de um processo contnuo que vai do informal ao formal.Como acontece em toda cincia, a prtica da Matemtica envolve tanto processos de inveno e de descoberta, quanto de organizao e de validao. Os dois primeiros so inseparveis de uma teia complexa de aes que mobilizam: imaginao; visualizao; raciocnios indutivos ou plausveis; conjecturas; tentativas, e verificaes empricas. Tudo isso aproxima muito essa cincia de todos os outros saberes humanos. Contudo, na organizao e, acima de tudo, na validao do conhecimento, a Matemtica assume caractersticas prprias. Desde a Grcia Antiga, o mtodo axiomtico-dedutivo3 foi progressivamente tornando-se o nico aceito, na comunidade cientfica, para comprovao de um fato matemtico. Os conceitos de axioma, definio, teorema, demonstrao so o cerne do mtodo. Convm ressaltar, no entanto, que se trata de um mtodo de organizao e de validao. A Matemtica tambm inveno e descoberta.3

Embora possam ser estabelecidas distines entre elas podemos adotar as denominaes: mtodo dedutivo em Matemtica; mtodo lgico-dedutivo; mtodo axiomtico, entre outras.

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As prticas matemticas na comunidade educacional so entrelaadas de modo complexo com as prticas na comunidade cientfica. Dessa forma, muitas das caractersticas esboadas acima encontram paralelo no ensino da Matemtica. Em particular tem sido defendido por muitos que o aluno do ensino mdio seja incentivado a realizar atividades matemticas nas quais possa construir o conhecimento (novo para ele), por meio de processos informais anlogos aos do pesquisador matemtico. Paralelamente, que o convidemos a estabelecer gradualmente a diferena entre os vrios procedimentos de descoberta, inveno, organizao e validao. Em particular, que procuremos levar os alunos a compreender a distino entre uma prova lgico-dedutiva e uma verificao emprica, seja essa baseada na visualizao de imagens grficas, na construo de modelos materiais ou na medio de grandezas. Dessa forma, o ensino mdio cumpre seu papel de ampliao, aprofundamento e organizao dos conhecimentos matemticos adquiridos no ensino fundamental, fase esta em que predominam, na abordagem da Matemtica, os procedimentos indutivos e informais. Para tornar mais especficos os comentrios gerais sobre o processo de validao em Matemtica, vamos nos deter um pouco sobre caractersticas do mtodo dedutivo e, quando oportuno, fazer referncias s obras resenhadas neste Guia. De maneira muito simplificada, o mtodo axiomtico consiste em adotar conceitos primitivos (conceitos no definidos, tais como ponto, reta e plano) e axiomas (proposies no demonstradas, como Por dois pontos passa uma nica reta). Estes representam os papis das peas do jogo e das regras do jogo, respectivamente. Tanto umas como as outras so aceitas, sem necessidade de justificativas, para que se possa comear a jogar. Com base nesses elementos, por via puramente lgica, so definidos conceitos derivados (por exemplo: ngulo, quadrado, paralelismo de retas no espao etc.) e so deduzidas proposies que so os teoremas, como o de Pitgoras. Nos nveis de maior sistematizao da Matemtica4, seus teoremas podem ser todos escritos na forma Se p, ento q. Uma proposio deste tipo chamada de implicao. Em um teorema, dizemos que p a hiptese e q a tese. Tomemos, por exemplo: Se dois nmeros r e s so mpares, ento seu produto mpar. Nesse caso, a hiptese do teorema r e s so dois nmeros mpares quaisquer e sua tese: o produto rs mpar. Em todo teorema de Matemtica, uma pea-chave a demonstrao, ou prova, que uma sequncia finita de passos lgicos que permite partir de p e chegar a q. Nesses passos lgicos, s podemos utilizar: a hiptese; teoremas j demonstrados; os axiomas aceitos;4

No ensino mdio, deve ser bem dosada essa formalizao da Matemtica. Por um lado, evitar excesso de formalismo que afaste o interesse do aluno; por outro lado, desenvolver a capacidade de argumentao matemtica, recorrendo a demonstraes simples e sugestivas.

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e as definies j feitas. Algumas demonstraes so extremamente curtas, outras muito longas; umas bem simples, outras mais complexas. Um exemplo famoso de teorema da geometria euclidiana o seguinte: Se T um tringulo, ento a soma dos ngulos internos de T igual a 180 graus. Para demonstr-lo, partimos de um tringulo T qualquer e, recorrendo aos axiomas e teoremas da geometria euclidiana, podemos estabelecer uma demonstrao puramente lgica de que a soma dos ngulos internos de T igual a 180 graus. Nem toda implicao um teorema em Matemtica. Por exemplo, a implicao Se n um nmero natural, ento n um quadrado perfeito no um teorema5, porque o nmero 2 natural e no quadrado de nenhum nmero natural6. Em Matemtica, o exemplo que mostra que uma implicao no um teorema, comumente chamado contraexemplo. Quando temos uma implicao Se p, ento q, e consideramos Se q, ento p, na qual as posies de p e q esto trocadas, dizemos que esta ltima a implicao recproca da primeira. Sabemos que estas proposies so distintas e uma delas pode ser verdadeira, mas a outra falsa. Por exemplo, a proposio Todo mltiplo de 4 um nmero par verdadeira, mas sua recproca Todo nmero par mltiplo de 4 claramente falsa, pois 6 par e no mltiplo de 4. Um erro comum confundirmos uma das implicaes com a outra. Essa confuso mais frequente quando ambas so teoremas. o caso da proposio Se uma matriz M possui inversa, ento seu determinante diferente de zero. H casos, nas obras aprovadas, em que demonstrada corretamente esta implicao e, logo em seguida, se afirma: O determinante de M diferente de zero, ento M possui inversa. Isto tambm verdadeiro, mas no o que foi demonstrado no livro.

nMeROS e OpeRAeSNesse nvel de ensino, consensual que no se ensine teoria dos conjuntos (como usualmente dito), mas apenas sejam utilizados os seus conceitos mais simples, ao lado da simbologia correspondente, porm de maneira informal e com uso moderado de notao tcnica.

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Em uma linguagem mais usual, podemos dizer que um teorema (implicao demonstrvel) uma implicao verdadeira (ou vlida) em Matemtica. Ao contrrio, se a implicao no demonstrvel dizemos que ela falsa em Matemtica. De fato, o nmero 2 no sequer o quadrado de um nmero racional. A prova desta ltima afirmao um dos exemplos mais famosos de demonstrao matemtica e j era conhecido pelos matemticos gregos da Antiguidade. tambm um exemplo muito adequado para ser estudado no ensino mdio e isso levado em considerao nos livros aprovados, pois essa demonstrao s no apresentada em duas obras.

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Todas as colees aprovadas nesta avaliao trazem, na primeira ou na segunda unidade do livro da 1 srie, o estudo de conjuntos como um tpico especfico. Em todos eles, acertadamente, o contedo est associado a uma descrio simplificada dos conjuntos numricos dos naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. No entanto, apenas uma obra faz uma apresentao satisfatria e em cinco pginas. As demais dedicam ao tema, em mdia 14 pginas, o que excessivo. Esses exageros so ainda mais criticveis nos casos em que vrios dos conceitos e smbolos abordados no incio da obra no voltam mais a ser utilizados ou so empregados em pontos em que seriam dispensveis. Os nmeros tambm so medidas de grandezas. Em todas as culturas humanas, desde os seus primrdios, foram realizadas medies de grandezas. Comprimento (distncia), rea, volume, tempo, massa, velocidade, entre outras, foram progressivamente medidas por meio de instrumentos e o processo de medio ocupou sempre um papel central no desenvolvimento tecnolgico e social do homem. As medies empricas foram simultneas criao dos nmeros naturais e dos fracionrios e, mais adiante na histria, dos nmeros negativos. Com esses nmeros, englobados atualmente no conjunto dos racionais, sempre possvel efetuar medies empricas de qualquer grandeza do tipo escalar. Com o desenvolvimento da Matemtica, em especial a partir da civilizao grega, surgiu outro tipo de medio, realizada nos modelos abstratos que constituem o cerne desse saber. Como sabemos, na medio abstrata da diagonal de um quadrado de lado unitrio, surge a necessidade de ampliar os racionais, com a criao do conjunto dos nmeros reais. As grandezas podem ser entendidas como atributos mensurveis de objetos ou de fenmenos. A medio emprica ou abstrata um processo complexo que exige vrias escolhas: da grandeza a medir; da unidade de medida; do mtodo de medio. Na medio obtemos um nmero a que denominamos medida: nmeros racionais nas medies empricas, nmeros reais nas medies abstratas. Tomemos como exemplo a rea, uma das grandezas geomtricas mais familiares na matemtica escolar (as outras so comprimento, volume e abertura de ngulo). Os objetos considerados podem ser superfcies planas limitadas no mundo fsico ou seus modelos matemticos. Escolhamos, como exemplo, medir o atributo rea (poderamos ter escolhido o comprimento do seu contorno) e selecionemos uma unidade de medida7, o cm2. Quando medimos uma dessas superfcies, podemos encontrar como medida nmeros racionais (2; ; 1,2x10-2; etc), no caso de medidas empricas7

H um Sistema Internacional de Unidades (SI), que se constitui em um tema interessante para o ensino mdio de Matemtica, em conexo com o da Fsica. Ver Vocabulrio Internacional de Metrologia: conceitos fundamentais e gerais e termos associados (VIM 2008). 1 Edio Brasileira. Rio de Janeiro, 2009. (www.inmetro.gov.br).

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ou, quando se tratar de medio abstrata, nmeros reais (3; 0,7x10-3; ; , etc). Os smbolos compostos 2cm2, cm2, 1,2x102cm2, cm2, cm2 so formas de representar reas. Assim, a rea de uma superfcie plana aparece como um objeto matemtico distinto da superfcie plana, pois superfcies diferentes podem possuir a mesma rea. Tambm se distingue do nmero (a medida) que est associado a essa superfcie quando se escolhe uma superfcie unitria para medi-la, pois mudar a superfcie unitria altera a medida de rea, mas a rea permanece a mesma. As grandezas so importantes em todas as reas do conhecimento. Em particular, lidamos com grandezas em quase todos os campos da matemtica escolar. A despeito desses fatos, o estudo das grandezas tem sido descuidado no ensino mdio. Podemos encontrar um indcio dessa falta de ateno em algumas das colees aprovadas. Por exemplo, para obter a rea de um paralelogramo com base e altura de comprimentos 3m e 4m, respectivamente, escreve-se: A = 3 x 4 = 12m2. Notamos que de um lado da igualdade h um nmero (3x4) e do outro uma rea (12m2), o que no correto. Na verdade, a chamada frmula de rea uma igualdade entre grandezas. De um lado uma rea e do outro o produto de dois comprimentos. Portanto, deveramos escrever: A= 3m x 4m = 12 m2. Essa lgebra das grandezas o que se denomina anlise dimensional8, que um tema estudado na Fsica, mas omitido na Matemtica, quando seria um bom tpico articulador entre esses dois componentes curriculares. A anlise dimensional particularmente relevante no ensino mdio pela existncia de muitas grandezas que so razes de grandezas. Todas as colees aprovadas incluem o estudo dos nmeros complexos, em menor ou maior nvel de aprofundamento. Considerar os nmeros complexos como tpico obrigatrio no ensino mdio no consenso entre os educadores. Muitos s os consideram indispensveis para aqueles alunos que vo utilizar modelos matemticos mais avanados em suas profisses. Por exemplo, engenheiros (ou tcnicos nas reas da Engenharia), fsicos, matemticos, entre outros. Mesmo nesses casos, importante que o estudo dos complexos seja uma oportunidade privilegiada de articulao com tpicos como vetores e geometria no plano e com as equaes algbricas. No entanto, nas colees aprovadas isso no levado em considerao.8

Como sabemos o termo dimenso possui vrios significados em Matemtica e nas outras cincias. Nesse caso, dimenso significa, de modo simplificado, espcie de grandeza. Assim, dizemos a dimenso comprimento, a dimenso velocidade, a dimenso massa etc.

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No estudo dos conjuntos, muito comum serem empregados diagramas de Venn na representao dos conjuntos numricos, Q, I e R, como no exemplo a seguir.

A representao mostrada acima pode fazer acreditar que existem mais nmeros racionais do que irracionais, quando sabemos que a cardinalidade do conjunto dos irracionais maior do que a do conjunto dos racionais, que, por sua vez igual dos naturais. A anlise combinatria9 uma parte da Matemtica em que se visa resolver, entre outros, os problemas de contagem dos elementos de conjuntos discretos. Como esse um tema com muita tradio, sua renovao tem sido lenta nos livros didticos do ensino mdio. Um desses avanos a introduo do princpio fundamental da contagem, com o qual possvel obter tcnicas bsicas e muito eficientes de contagem. Todas as obras aprovadas o apresentam, mas muitas delas imediatamente o colocam de lado e voltam-se para o tratamento tradicional e estanque das combinaes, arranjos e permutaes. Na verdade, os problemas de contagem mais interessantes exigem o uso de mais de uma dessas tcnicas. Um dos objetivos de um bom ensino de anlise combinatria desenvolver no aluno a capacidade para escolher diferentes tcnicas de contagem e us-las de modo eficiente na resoluo dos problemas. prejudicial um ensino que habitue o aluno a sempre tentar resolver qualquer problema de contagem com o uso somente de frmulas10.

FUneSDesde a passagem do sculo XIX para o sculo XX, o primeiro grande movimento internacional de reforma do ensino de Matemtica props que o conceito de funo fosse introduzido o mais cedo possvel na escolaridade, devido a suas aplicaes e a seu poder unificador. Esse poder do conceito9 10

Atualmente, denominada simplesmente Combinatria. Ao estudar as permutaes, em geral, no se aproveita a oportunidade para relacion-las com funes: uma permutao de um conjunto finito , simplesmente, uma funo bijetiva desse conjunto nele mesmo.

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de funo contribui, por exemplo, para que possamos abordar, sob um mesmo ponto de vista conceitual, as funes tradicionalmente estudadas na matemtica escolar, alm das transformaes geomtricas e das sequncias. Com relao a essas ltimas, um avano que todas as colees aprovadas adotem a definio apropriada de sequncia, embora a maioria s enfatize as progresses aritmticas ou geomtricas. De um ponto de vista panormico, no ensino mdio, so importantes quatro grandes classes de funes numricas que se constituem em modelos matemticos para o estudo dos fenmenos do mundo fsico e social. So as funes afins, as quadrticas, as exponenciais e as trigonomtricas. Com isso, no queremos dizer que essas so as nicas funes numricas que interessa estudar, mas que a compreenso desse grupo reduzido de modelos funcionais fornece-nos bons instrumentos para a aquisio de conhecimentos sobre outras funes, como: afins por partes (por exemplo, a funo modular); funes definidas por mais de uma sentena; polinomiais de grau maior do que 2; racionais; logartmica (inversa da exponencial); e as funes no campo da estatstica e das probabilidades. Todas as obras aprovadas introduzem a noo de funo de modo intuitivo, apoiando-a nas ideias de: relao ou associao entre grandezas variveis; dependncia entre grandezas; correspondncia entre elementos de dois conjuntos; regra ou lei de formao envolvendo grandezas ou nmeros, entre outras. Todas as obras sistematizam o conceito de funo utilizando conjuntos, o que apropriado. Por outro lado, em duas das obras adota-se a definio de funo como um tipo especial de relao e esta como subconjunto do produto cartesiano de dois conjuntos. Embora matematicamente seja possvel adotar este caminho, ele pouco contribui para a compreenso do conceito de funo. Nas explanaes tericas relativas a funes, todas as colees apresentam as definies fundamentais de: domnio, contradomnio, imagem, funo injetiva, sobrejetiva, bijetiva, composta, inversa, entre outras. Em algumas delas, dada muita ateno preliminar a esses conceitos e, quando nos momentos posteriores eles se fazem importantes, no so devidamente valorizados. Com relao ao conceito de domnio, um dos exemplos dessa falha observado quando na definio escolhido um domnio e, nos exemplos, usam-se outros domnios sem nenhum comentrio sobre essa alterao, que muitas vezes imposta pelo contexto. No estudo de funes, importante represent-las de diferentes modos tabelas, grficos, representaes analticas (algbricas) estabelecendo relaes entre eles. Frequentemente, um problema inicialmente formulado de maneira algbrica pode ser mais facilmente resolvido ou compreendido se o interpretarmos geometricamente, e vice-versa. Por exemplo, a simetria

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axial presente nas funes quadrticas facilmente perceptvel no grfico e, no entanto, pode exigir esforo de clculo quando se trabalha com sua representao algbrica. Convm mencionar que o uso de aplicativos computacionais permite visualizar o grfico de funes e ajuda a perceber propriedades por meio de experimentos com maior riqueza de exemplos. No estudo das funes, os seus grficos no plano cartesiano desempenham um papel importante. Na avaliao das obras inscritas no PNLD 2012, observamos que no so tomados os devidos cuidados quando se constroem grficos de funes. Por exemplo, com um nmero reduzido de valores da varivel independente, induz-se o aluno a considerar que possvel construir o grfico cartesiano de uma funo. comum encontrar nos livros didticos, uma tabela com trs ou quatro valores de x, associada ao desenho de uma parbola, sem explicaes adicionais. Outra falha recorrer a grficos estatsticos para construir funes reais de varivel real. No caso das variveis discretas, o grfico estatstico pode ser constitudo por pontos isolados no plano cartesiano ou por barras verticais. Isso no permite que, sem nenhum comentrio explicativo, passemos para o grfico de uma funo com varivel independente contnua. Na estatstica, muitas vezes, utiliza-se o procedimento de ligar os pontos isolados de um grfico discreto por uma curva contnua. No entanto, trata-se apenas de um procedimento para auxiliar a visualizao do comportamento da varivel estatstica. Na classificao dos contedos adotada no PNLD 2012, consideramos a matemtica financeira no campo das funes pela importncia das funes linear e exponencial como modelos para os problemas dessa rea. No entanto, apenas uma das colees aprovadas faz, explicitamente, tais conexes. Na matemtica financeira, os contedos mais abordados so porcentagem, acrscimo e desconto, juros simples e compostos. Observamos, na abordagem desses tpicos, muita nfase ao emprego direto de frmulas, o que no desejvel. Esse um assunto que deveria instrumentalizar o aluno para a cidadania, e isso pode ser feito por meio da explorao de problemas adequados e atuais. Dentre as colees aprovadas, trs destacam-se pelas contextualizaes sugestivas.

eQUAeS ALGBRICASNas colees aprovadas, o tratamento das matrizes feito no livro da 2 srie. Seu estudo precede o dos sistemas de equaes lineares, exceto em uma das colees, que no segue essa tradio. Para contextualizar as matrizes, elas so vinculadas, de modo satisfatrio, a tabelas de dupla entrada, em todas as obras. No entanto, essa contextualizao mais significativa quando

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se estudam primeiro os sistemas lineares, porque as matrizes surgem como uma ferramenta essencial na resoluo desses sistemas. Quatro obras destacam-se por tratarem da importante conexo entre transformaes geomtricas no plano e matrizes. Esse um tema que pode ser considerado inovador no ensino mdio e deveria merecer mais ateno nos livros didticos, sem que isso venha a contribuir para o excesso de contedos. Noutras palavras, temas tradicionais menos relevantes teriam que ser omitidos. As contextualizaes das matrizes desempenham um papel relevante para justificar a multiplicao de matrizes, que tem uma definio mais elaborada. Com relao a essa multiplicao, convm observar que ela fornece um primeiro exemplo instigante de operao matemtica no comutativa. A despeito de ser oportuna a abordagem das matrizes no ensino mdio, o que predomina, ainda, nas colees aprovadas um tratamento fragmentado e com extensas e montonas listas dos chamados tipos especiais de matrizes. Seguindo uma tendncia atual, todas as colees privilegiam a resoluo dos sistemas de equaes lineares pelo mtodo de escalonamento. Contudo, em muitas delas, pouco explorado o conceito fundamental de equivalncia de sistemas, em particular, as relaes entre essa equivalncia e as operaes admissveis nas linhas de uma matriz (denominadas de operaes elementares). Tambm criticvel a ateno exagerada a esquemas e siglas para ajudar os alunos na memorizao da classificao dos sistemas quanto a suas solues. Essa classificao resume-se, essencialmente, a trs categorias, cujas denominaes so autoexplicativas: nenhuma soluo; uma nica soluo; infinitas solues. Muitos educadores criticam a incluso de determinantes no ensino mdio, apoiados no fato de esse conceito no ser atualmente uma ferramenta utilizada na resoluo de sistemas lineares, que feita de modo muito mais eficiente pelo mtodo de escalonamento. Outros sugerem que os determinantes sejam um tpico opcional, dada a sua inegvel importncia na Matemtica. No entanto, h maior consenso quando se trata de criticar a abordagem que predomina no ensino mdio e nos livros didticos em particular. Tal abordagem privilegia a apresentao de uma listagem de regras para calcular determinantes, pouco justificadas. Nos determinantes de matrizes 2 x 2, ainda se encontra um vnculo com a resoluo de um sistema de duas equaes com duas incgnitas, mas, para os de ordem 3 aparece magicamente a regra de Sarrus. Em quatro obras informa-se como calcular determinantes de ordem n, com novas regras, que so procedimentos ainda mais elaborados a serem memorizados (Regra de Chi, Regra de Laplace). Apenas uma das obras justifica por que o clculo do determinante feito da forma indicada, apoiando-se na resoluo de um sistema 3 x 3, pelo mtodo de escalonamento.

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Nas colees aprovadas, a articulao entre sistemas lineares e geometria para sistemas 2 x 2 bem conduzida. Nesse caso, cada equao do sistema representa uma reta no plano cartesiano e o sistema ter infinitas solues, uma nica ou nenhuma soluo a depender da posio de uma reta em relao outra: coincidentes, concorrentes ou paralelas. No entanto, ao realizar a conexo anloga, entre sistemas 3 x 3 e as posies relativas de trs planos no espao tridimensional, quase todas as obras justificam de modo insatisfatrio por que as equaes do sistema representam planos. Resulta, assim, mais uma ocasio em que se demanda do aluno aceitar e memorizar, sem questionamentos. Nas colees aprovadas, as funes polinomiais so abordadas em vrios momentos: nas sees de reviso da lgebra estudada no ensino fundamental; no estudo das funes afins e quadrticas; e quando se trata do Binmio de Newton. No entanto, o estudo especfico dos polinmios se d sempre nos ltimos captulos (ou unidades) do terceiro volume, sem que se faa uma meno explcita aos estudos que foram feitos anteriormente. Para contextualizar o tpico recorre-se a problemas de rea e de volume de figuras geomtricas, o que apropriado. Na modelagem de fenmenos, h contextualizaes adequadas, particularmente em conexo com o movimento uniformemente acelerado, mas h outras artificiais e desestimulantes.

GeOMetRIA AnALtICADesde suas origens, a geometria analtica um campo privilegiado para as conexes entre a lgebra e a geometria. sabido que a escolha de um sistema de coordenadas permite que se estabelea uma estreita relao entre, de um lado, figuras geomtricas e, do outro, equaes (ou inequaes) envolvendo as coordenadas dos pontos. Na geometria analtica, tanto resolvemos problemas geomtricos recorrendo a mtodos algbricos, quanto atribumos significado geomtrico a fatos algbricos. Na maioria das colees aprovadas, a geometria analtica no plano apresentada em um nico volume, normalmente o terceiro. As figuras geomtricas estudadas so, essencialmente, as retas, as circunferncias e as cnicas. Nota-se que, em geral, a abordagem adotada nos livros muito fragmentada. Por exemplo, no estudo da reta, h vrios tipos de equao, apresentados isoladamente e com igual destaque, ao invs de se priorizar uma delas, qual seriam relacionadas as demais. Em contrapartida, as equaes paramtricas da reta, que so frteis em conexes com a Fsica, s foram encontradas em trs das obras. No estudo da circunferncia, apenas uma coleo no utiliza o mtodo de completar quadrados para obter a forma cannica de sua equao, que

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permite determinar as coordenadas do centro e o comprimento do raio. Dessa maneira, atribui-se significado a este procedimento algbrico. Nas colees, exceto em duas, apresentada uma aplicao interessante da geometria analtica na resoluo de problemas introdutrios de programao linear. So importantes as conexes da geometria analtica com outros tpicos como: grficos de funes; representaes geomtricas dos sistemas lineares; matrizes de transformaes geomtricas. Apesar disso, ainda so poucas as colees que valorizam essa articulao tanto ao tratar dos sistemas lineares, funes e matrizes, quanto no estudo geometria analtica. Para atribuir significado ao nome cnicas, apropriado nos referirmos s sees planas de uma superfcie cnica. No entanto, em algumas das obras, h impreciso na descrio do tipo de plano que gera uma hiprbole ou uma parbola. Igualmente, h inadequaes quando se procura modelizar situaes reais recorrendo a uma cnica. Um exemplo supor que a curva que fornece um modelo para um fio suspenso em suas extremidades um arco de hiprbole, quando o mais adequado, nesse caso, seria uma catenria. Essa importante curva tem propriedades matemticas muito diferentes de uma hiprbole, a despeito de serem parecidas visualmente. Em outro contexto, uma das obras, ao se referir aos cabos de sustentao de uma ponte pnsil, sugere a catenria como modelo matemtico, quando um arco de parbola seria mais adequado.

GeOMetRIANo ensino mdio, o aluno levado a conhecer o carter dedutivo da geometria, em geral na parte da geometria espacial denominada geometria de posio, porm muitas vezes sem os cuidados necessrios. Isso acontece ao serem propostos, como ponto de partida, variados conjuntos de axiomas, por vezes inadequados. Por exemplo, em alguns livros, escolhe-se como um dos axiomas da geometria espacial: Existem infinitos pontos no espao, mas no exigido, axiomaticamente, que esses pontos no estejam todos em um mesmo plano. Isso acarreta que seria admissvel uma geometria espacial em que o objeto de estudo fosse um nico plano. Um das falhas relacionadas com a tentativa de fazer uma introduo geometria dedutiva que isso, em geral, permanece completamente isolado na obra, sem nenhum reflexo em seu restante. Fechada a seo ou o captulo em que se mencionaram axiomas e teoremas, raramente se volta apresentar uma deduo, seja em geometria, seja em outro campo da matemtica escolar.

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caracterstica das colees a apresentao de uma variedade muito pequena de poliedros, sempre nas mesmas posies, o que empobrece sobremodo a compreenso desse assunto. Tambm devemos mencionar imprecises na definio de alguns poliedros, como os prismas e as pirmides. Alm disso, as justificativas apresentadas para calcular o volume de prismas, em particular do paraleleppedo retngulo, somente so vlidas se as arestas forem comensurveis. No indispensvel, no ensino mdio, fazer a demonstrao completa, mas devemos mencionar que existem casos no cobertos pela prova ou pela justificativa encontradas no livro. E mais, informar que, com recursos mais avanados, possvel demonstrar que a expresso indicada aplica-se a qualquer paraleleppedo. Acertadamente, os autores recorrem ao princpio de Cavalieri para calcular volumes que, de outro modo, exigiriam mtodos infinitesimais. No entanto, necessrio cuidado e clareza ao empregar esse princpio. Por exemplo, em alguns livros no se justifica de modo satisfatrio a igualdade das reas das sees dos slidos, necessria para aplicao do referido princpio. Nota-se, no tratamento da geometria espacial, a mesma tendncia encontrada na apresentao da geometria plana no ensino fundamental: a nfase na nomenclatura e nas classificaes e a falta quase total de problemas genunos. Por exemplo, os problemas sobre reas e volumes recaem em montonas aplicaes da lgebra. Observa-se, geralmente, pouca explorao da capacidade de visualizao, to necessria em estudos posteriores e em muitas profisses, como as ligadas mecnica, arquitetura, s artes, entre outras. Aqui, a apresentao de vistas de slidos mais complexos do que os estudados no ensino fundamental seria uma tima oportunidade para exercitar as capacidades de visualizao espacial dos alunos. As colees aprovadas, com poucas excees, no contribuem para o aperfeioamento das habilidades de desenho e de visualizao de objetos geomtricos. Nesse sentido, seria importante explorar diferentes perspectivas, projees, cortes, planificaes, entre outros recursos de representao dos objetos. Alm de no serem propostas atividades do tipo acima, algumas ilustraes contm falhas que dificultam ainda mais o desenvolvimento dessas habilidades. Aps a apresentao dos volumes dos slidos geomtricos, deveriam ser includos problemas de modelagem, como, por exemplo, determinar a expresso que fornece, em funo do tempo, o volume de gua em um recipiente, no qual ela vertida a uma taxa constante. Esse um dos exemplos possveis de uma boa integrao entre geometria, grandezas e funes.

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eStAtStICA e pROBABILIDADeSUm dos conhecimentos mais utilizados hoje em dia a estatstica, que descreve os dados observados em pesquisas ou experimentos em quase todas as atividades humanas e desenvolve metodologias para a tomada de deciso na presena da incerteza. cada vez mais relevante, para todo cidado, interpretar criticamente resultados de pesquisas estatsticas. Para isso, importante que situaes que envolvam dados da realidade fsica ou social - que precisam ser coletados, selecionados, organizados, apresentados e interpretados - faam parte da formao bsica de nossos alunos. tambm importante saber fazer inferncias, com base em informaes qualitativas ou dados numricos. Diversos estudos na rea educacional propem abordagens para a formao estatstica dos alunos com atividades que exigem um maior envolvimento deles no planejamento de pesquisas, construo de questes, definio adequada de populao e amostra para cada tipo de pesquisa, coleta e organizao de dados, distribuies de frequncia, medidas de tendncia central e de disperso. No entanto, em apenas uma das colees aprovadas so discutidas de maneira satisfatria as etapas de planejamento de uma pesquisa estatstica. Grficos e tabelas esto presentes em todas as colees aprovadas, em menor ou maior grau, em textos distribudos ao longo dos captulos. Alm disso, algumas delas reservam captulos especficos para o estudo mais detalhado desses tipos de representao. Em contrapartida, so poucas as colees que exploram aspectos importantes da estatstica, associados anlise dos grficos: a populao pesquisada (se uma amostragem ou uma pesquisa censitria); a opo por apresentar frequncia absoluta ou relativa e suas consequncias; a escolha de escalas adequadas para cada eixo; as variveis que esto sendo relacionadas em um mesmo grfico; a necessidade ou no do uso de legenda; entre outros. So, ainda, raras as atividades que incentivem a anlise crtica de uma representao usada na mdia ou em divulgao cientfica de pesquisas. No se prope sua comparao com outras formas de representao, e tampouco se reflete se h induo a interpretaes equivocadas. Ao contrrio, incluem-se grficos e tabelas com inadequaes, como o caso de muitos pictogramas utilizados na imprensa escrita, sem qualquer advertncia para que o aluno detecte erros ou falta de informao. As falhas, nesses casos, muitas vezes dificultam o acesso ao contedo apresentado. Algumas colees ainda trazem uma abordagem da estatstica por meio de exemplos fictcios, com foco em nomenclatura e em procedimentos de clculo

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desprovidos de validao e de interpretao. O clculo de medidas descritivas deveria ser analisado luz do raciocnio estatstico e no meramente por meio dos resultados numricos. Aprender tcnicas de clculo sem ser capaz de interpretar seus resultados enfadonho e desnecessrio. Os recursos computacionais, como planilhas eletrnicas, calculadoras simples ou cientficas, tambm permanecem pouco explorados nas colees aprovadas. Em apenas uma delas esse trabalho efetivamente valorizado. Como sabemos, uma das vantagens do uso das tecnologias atuais de informao e comunicao que elas possibilitam, em um tempo cada vez menor, estender em muito o nmero de dados que podem ser trabalhados nos experimentos. Acima de tudo, isso abre espao para que possamos investir na busca do significado e na interpretao dos dados obtidos e das medidas estatsticas associadas a ele, que so fundamentais para um efetivo trabalho tcnico ou cientfico. Contudo, no podemos esquecer que indispensvel, tambm, compreender e saber justificar os procedimentos de clculo e as frmulas que os definem, para que se possa exercer o controle dos clculos e dos algoritmos realizados pelos artefatos tecnolgicos. Em alguns textos, uma omisso verificada na seleo de contedos da estatstica a classificao de variveis - quantitativas (ou numricas) e qualitativas (ou categorizadas). Essa classificao fundamental na definio do tipo de organizao e apresentao dos dados (os tipos de grficos adequados) e em decises a respeito da anlise a ser adotada. Disso decorre uma impreciso encontrada em algumas obras ao chamar grfico de colunas de histograma, ou vice-versa. O histograma um grfico construdo a partir de uma tabela com dados de uma varivel quantitativa. Neste caso, os valores assumidos so agrupados em intervalos para os quais se constroem as colunas verticais e contguas (sem espao entre elas) com alturas proporcionais s frequncias de ocorrncia de cada intervalo. No que se refere s variveis quantitativas, um dos conceitos considerados fundamentais na estatstica o de variabilidade, e a medida mais simples para introduzir o conceito a amplitude (diferena entre o valor mximo e o valor mnimo), raramente mencionada nas obras. Mesmo no estudo da varincia, do desvio padro ou do desvio mdio absoluto, a interpretao associada ao conceito de variabilidade no valorizada. Assim, esse estudo costuma ser reduzido a tcnicas operatrias, com pouca discusso de seus significados para a compreenso dos dados. Alguns textos, que buscam avanar desnecessariamente nos contedos da rea de estatstica, incorrem em imprecises ao fazerem uma abordagem inicial da inferncia estatstica. Um das inadequaes verificadas ocorre no ajuste de histogramas por uma curva normal, o que nem sempre faz sentido.

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A prpria incluso, no ensino mdio, do estudo da distribuio normal exige maior conhecimento estatstico. No estudo das probabilidades, podem ser identificados pontos positivos em algumas obras. Nelas, observamos maior cuidado na abordagem dos conceitos bsicos no campo das probabilidades e preocupao em associ-los a problemas reais e sugestivos. A noo de incerteza de ocorrncia de alguns eventos igualmente tratada de forma satisfatria, em oposio ao carter determinstico de outros eventos. A despeito desses aspectos elogiveis, h limitaes na maioria das obras, no campo das probabilidades. Uma delas que, tanto na introduo dos contedos, quanto em alguns problemas propostos, h contextualizaes inadequadas ou artificiais. Outra limitao vem de uma tradio arraigada de se anteceder o estudo das probabilidades (e da estatstica) por um longo e fragmentado captulo de anlise combinatria. certo que a contagem de possibilidades uma ferramenta muito til para resolvermos problemas de probabilidades, quando se utiliza sua definio clssica. No entanto, estender demais a preparao em anlise combinatria induz o aluno a pensar que, sem todo aquele arsenal, no possvel compreender probabilidades (nem estatstica). Em relao s noes bsicas de probabilidade, observamos que, em algumas obras, no apresentada, de maneira apropriada, a noo de independncia probabilstica entre dois eventos definidos em um mesmo espao amostral. Nesse caso, conveniente, antes de abordar independncia, estudar o conceito de probabilidade condicional, o que nem sempre feito nos livros aprovados. Todas as colees adotam a chamada definio clssica de probabilidade de ocorrncia de um evento num determinado experimento aleatrio, simplificadamente: o quociente do nmero de casos favorveis ao evento pelo nmero de casos possveis no experimento. Tal definio tem como premissa fundamental que os eventos possveis tenham a mesma probabilidade (chance) de ocorrncia, noutros termos, que sejam equiprovveis11. No entanto, tal suposio nem sempre explicitada nos textos analisados. Por exemplo, em experimentos com dados ou moedas, necessrio explicitar a suposio de que eles so ou no honestos.

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Uma das crticas dessa definio aponta a sua circularidade, pois estaramos utilizando a noo de mesma probabilidade para definir probabilidade. Essa crtica contornada de duas maneiras, em geral. Uma basear a suposio de equiprobabilidade em propriedades de simetria e homogeneidade presentes nos objetos envolvidos no experimento. Por exemplo, no lanamento de um dado simtrico e homogneo (honesto) razovel supor que todas as faces tenham a mesma chance de ficar voltadas para cima. A outra maneira tomar a premissa de equiprobabilidade como um dos pontos de partida para construir um modelo probabilstico do fenmeno em questo.

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Um dos pontos importantes na anlise de um livro didtico a identificao das principais caractersticas da metodologia nele adotada. Essa anlise inclui diversos aspectos: a estratgia de apresentao e sistematizao dos contedos; o tipo de participao dos alunos que a obra busca promover; as competncias que se procuram desenvolver; os recursos didticos utilizados; os tipos de atividades propostas; entre outros. A anlise das obras aprovadas permitiu construir o Quadro 1 com os traos caractersticos dessas colees. Na primeira coluna do quadro, as categorias so snteses baseadas em aspectos predominantes da obra, mesmo levando em conta algumas diferenas de encaminhamento. Quadro 1 Caracterizao da metodologia das obras aprovadas no PNLD 201225042 25116 25117 25121 25122 25125

ESTRATGIAS Introduzir os contedos por explanao terica, seguida de atividades resolvidas de cunho aplicativo e exerccios. Introduzir o contedo apresentando um ou poucos exemplos, usados para fazer generalizaes que levam apresentao sistematizada dos contedos. Iniciar por atividades propostas, e, logo em seguida, apresentar os contedos sistematizados, sem dar oportunidade ao aluno de tirar concluses prprias. Iniciar pela apresentao de textos que contextualizam histrica ou socialmente o conhecimento e contribuem para motivar a sistematizao do contedo, seguida de novos problemas resolvidos e propostos.

X X X X X X X

De certa forma, todas as obras contm pginas de abertura dos captulos (ou unidades) que apresentam aplicaes, questes, problemas, informaes ou reviso de pr-requisitos, relacionadas com aquilo que ser estudado. No entanto, as formas de fazer isso so diversas, algumas mais apropriadas ao ensino mdio, outras mais superficiais ou menos significativas. H, tambm, casos de contextos muito sofisticados para esse nvel de ensino. Em muitos casos, as sees iniciais incluem um pouco da Histria da Matemtica, com nfase nas motivaes sociais e econmicas que levaram ao avano desta cincia. Em outros, o uso da Histria se reduz a dados factuais, do tipo quem e quando. Observa-se a sistematizao, algumas vezes apressada, dos contedos, acompanhada de exerccios resolvidos que servem como modelos a serem

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MetODOLOGIA De enSInO e ApRenDIZAGeM


seguidos. Essa uma caracterstica que dificulta as tentativas de o professor conduzir aulas nas quais os alunos pensem, discutam possveis solues e reconheam a necessidade de ampliao dos conhecimentos. Nas colees aprovadas, os contedos so apresentados, quase sempre, de forma bem cuidada. No entanto, h casos de inadequaes ou falta de ateno a especificidades matemticas que podem comprometer uma compreenso adequada dos conceitos, como j exposto neste texto. Nesses casos, os problemas detectados no invalidam a adoo da obra, mas so apontados nas resenhas para que o professor aperfeioe ou complemente a abordagem adotada. Outro ponto a se destacar como concepo comum nas obras didticas para os jovens do ensino mdio a nfase em exerccios. Sem dvida, consensual que se aprende Matemtica resolvendo problemas. No entanto, pela seleo e quantidade de exerccios disponibilizados, pode-se afirmar que a nfase recai no treinamento a partir de modelos. Tal opo tira do aluno qualquer necessidade de deciso sobre o contedo e a estratgia de resoluo necessria. Essas competncias so essenciais para a realizao de atividades matemticas. preciso ressaltar a excessiva incluso de exerccios de concursos, vestibulares e do Enem. Tais exerccios esto disponveis em outros meios e no precisariam ocupar tantas pginas dos livros didticos. Alm disso, ao distribuir exerccios do Enem, por exemplo, em listas propostas logo aps a apresentao de um determinado tpico, desperdia-se uma ocasio para desenvolver a principal habilidade para resoluo de exerccios em concursos, que identificar a que tpico e a que estratgia se pode recorrer para resolv-lo. A Tabela 2 apresenta o total de exerccios presentes nas colees aprovadas, confirmando a avaliao de que, em muitas obras, esse nmero muito elevado. Nela, apresentamos em separado os exerccios que so reproduzidos de concursos, exames de vestibular ou do Enem. Tabela 2 Nmero total de exerccios presentes nas obras aprovadas.Coleo Resolvidos e propostos Exerccios de concursos, vestibular e Enem Total 25042 3.972 576 4.548 25116 2.332 659 2.991 25117 1.771 254 2.025 25121 2.442 237 2.679 25122 2.467 768 3.235 25125 2.501 313 2.814 25133 2.735 300 3.035

O excesso de contedos e exerccios no leva em conta o tempo didtico, a carga horria da disciplina e o ano letivo. Em qualquer das obras aprovadas

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ser preciso fazer escolhas, tanto dos contedos includos em cada srie do ensino mdio, quanto das atividades e exerccios. Para alm da quantidade, buscamos caracterizar aspectos metodolgicos das listas de exerccios propostos nas obras aprovadas no PNLD 2012. O Quadro 2, a seguir, mostra a distribuio dos exerccios em relao apresentao dos contedos e aos aspectos mais gerais que podem ajudar a caracteriz-los. Quadro 2 Caracterizao dos exerccios propostos nas obras aprovadasOS EXERCCIOS Exerccios na abertura de captulos para levantar conhecimentos prvios ou motivar o estudo. Exerccios para apresentar novos contedos, entremeados a listas de exerccios propostos. Exerccios inovadores e desafiadores. Exerccios envolvendo questes da sociedade moderna, bem contextualizados e desafiadores. Exerccios que incentivam o uso de diferentes estratgias de resoluo. Exerccios que valorizam a verificao de processos e validao de respostas. Atividades que estimulam a interao dos alunos e o trabalho em grupo. Exerccios de reviso de tpicos de diversos captulos ou unidades que, portanto, exigem a escolha de contedo e estratgia. Exerccios de aplicao, anlogos aos exemplos usados na apresentao do contedo. Exerccios entremeados aos tpicos que subdividem a apresentao dos contedos. Exerccios de treino de procedimentos e simples aplicao de frmulas. Exerccios de vestibulares, concursos e Enem. Legenda Excesso Sempre s vezes Raro No observado25042 25116 25117 25121 25122 25125 25133

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Alm de buscar uma tipologia, classificamos a nfase dada nas obras a cada opo para a abordagem dos campos da Matemtica. Para isso, recorremos a categorias: em excesso; sempre; s vezes; raro; no observado. Quando o item foi marcado com no observado significa que, se existe aquele tipo de exerccio, ele no se destaca para nenhum campo da Matemtica naquela coleo. Como raro classificamos tipos que so muito pouco frequentes, mas que foram utilizados em algum campo ou volume da coleo. A classificao s vezes significa que tal aspecto ocorre com frequncia, mas no parece ser o foco principal da metodologia adotada. J o sempre mostra que aquele o principal enfoque dado aos exerccios na grande maioria dos campos e em todos os volumes. Finalmente, excesso evidencia que alm de ser uma opo marcante, h exagero na quantidade de exerccios daquele tipo. No mbito da metodologia tambm foi analisado o quo a obra incentiva e explora o uso de recursos didticos, como mostra o Quadro 3, a seguir. Quadro 3 Caracterizao das obras quanto ao incentivo ao uso de recursos didticosRECURSOS DIDTICOS Materiais concretos Instrumentos de desenho Calculadora Computador No observado25042 25116 25117 25121 25122 25125 25133

Legenda

consistente

suficiente

ilustrativo

Superficial

Observamos que apenas uma obra apresenta incentivo suficiente ao uso de materiais concretos, instrumentos de desenho, calculadora e computador. O uso de instrumentos de desenho, que poderia contribuir para a aprendizagem da geometria, pouco frequente na maioria das obras. Destacamos, porm, o incentivo ao uso da calculadora simples que aparece, ao menos superficialmente, em todas as colees e suficientemente em trs delas. No entanto, o uso da calculadora cientfica, e do computador tambm, ainda pouco presente nas propostas de atividades para os alunos. Algumas obras citam e outras at sugerem atividades, no manual do professor, que envolvem o uso dos recursos didticos aqui mencionados. Alm dos recursos mencionados no Quadro 3, uma das obras apresenta alguns jogos, o que pode funcionar como um apoio didtico eficiente para alterar a rotina da sala de aula.

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Em geral, as obras avaliadas usam ilustraes e textos visando contextualizar os temas abordados. Quase sempre as ilustraes escolhidas so atuais, interessantes e de boa qualidade grfica. Algumas contextualizaes so adequadas e bem aproveitadas, como no estudo das funes. Entretanto, h ilustraes e textos que pouco contribuem para a aprendizagem. Por vezes, tambm, h boas contextualizaes em exemplos, exerccios resolvidos ou propostos. o que se nota, entre outras, em algumas apresentaes de espelhos parablicos ou hiperblicos e das rbitas dos planetas em torno do Sol. Salientamos menes s aplicaes dos logaritmos para compreender escalas (sonora, de medio de terremotos, de acidez) e juros compostos e da funo exponencial ao decaimento radioativo. Porm, algumas vezes so apresentadas modelagens matemticas de situaes artificiais. Destacam-se, nas obras, as conexes feitas com outras cincias, com o mundo do trabalho, em uma sociedade permeada pela tecnologia e na qual esto presentes novas exigncias de formao cientfica e polivalente. Muitas obras mencionam dados relativos ao crescimento do pas e falta de profissionais habilitados e especializados para o tipo de emprego que a indstria e os servios exigem.

MAnUAL DO pROFeSSORTodas as colees aprovadas trazem uma parte comum aos trs volumes na qual so apresentados a estrutura da obra e os pressupostos tericos e metodolgicos que serviram de base sua elaborao. Em muitas delas, podem ser encontrados textos bastante significativos. Isto porque, alm de informar os pressupostos assumidos por seus autores, eles so bons instrumentos de divulgao de discusses atuais do campo da Educao e, mais especificamente, da Educao Matemtica, o que enriquece a formao dos professores. Contudo, em alguns casos, os quadros tericos que orientam as obras so apresentados de forma muito sucinta e superficial, o que limita seu valor pedaggico. No cenrio complexo do ensino mdio, com seus mltiplos objetivos, gerase a necessidade de um uso diversificado do livro didtico de Matemtica, que deve sempre se adequar ao projeto pedaggico da escola e integrar-se ao trabalho do professor. Para isso, fundamental que o manual oferea boas orientaes ao professor. Uma delas diz respeito a alternativas para a seleo e sequenciamento dos

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COnteXtUALIZAO


contedos trabalhados nos livros. Em especial, as limitaes de carga horria e o excesso de contedos apresentados nas colees requerem a indicao de tpicos que podem ser omitidos, sem prejuzo da formao bsica do aluno do ensino mdio. Tambm recomendvel que se indiquem as possibilidades de aplicaes dos conhecimentos matemticos em diferentes contextos. Uma das obras aprovadas, por exemplo, destaca-se por discutir opes no lineares de utilizao do livro do aluno e apresentar caminhos alternativos que dispensam alguns captulos, sem prejuzo do uso do restante da obra. Em outra obra, encontra-se um quadro com as competncias e habilidades visadas em cada captulo, o que tambm auxilia o professor em suas tarefas didticas. Espera-se que o manual do professor assuma outro papel importante, o de se constituir um instrumento de apoio ao trabalho didtico cotidiano. Para isso, fundamental que contenha orientaes e sugestes relacionadas com as atividades que compem a obra, particularmente, com as questes didticas associadas a elas. Ele deve, tambm, trazer sugestes de atividades complementares que contribuam para a superao de dificuldades de aprendizagem, alm de outras que ampliem ou aprofundem o livro do aluno. Alm da parte comum, as colees aprovadas trazem, para cada volume, uma parte especfica, que visa auxiliar o trabalho do professor. Com exceo de uma das obras aprovadas, as demais oferecem comentrios, em letras pequenas e de cor diferente, na cpia do livro do aluno que compe o manual. Em muitas dessas obras, tais comentrios so breves. Mesmo assim, contm informaes sugestivas para o uso do livro do aluno. Essas sugestes complementam as orientaes destinadas a cada captulo ou unidade, presentes no suplemento pedaggico de seus manuais. Sugestes de materiais didticos e de uso de recursos tecnolgicos que complementem a aprendizagem podem ser encontradas nos manuais de apenas duas das obras cujas resenhas constam deste Guia. Todas as colees aprovadas apresentam solues para os exerccios propostos, e tambm incluem sugestes de atividades complementares. Alguns manuais cumprem essa tarefa de forma detalhada, o que, efetivamente, contribui para o trabalho docente, outros o fazem de forma breve.

UMA pALAVRA FInALDissemos, no incio, que a inteno deste texto a de colaborar para o aprofundamento da escolha e do uso de livro em sala de aula. Esperamos que

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esta leitura, juntamente com a das resenhas e dos demais textos deste Guia, tenha cumprido o papel desejado. Esperamos, alm disso, que percorrer as sees do texto tenha aumentado seu interesse pelos temas tratados e sua disposio em recri-lo. Se isso tiver acontecido, teremos atingido o nosso objetivo.

FICHA De AVALIAOColeo: (cdigo) Meno: (Aprovada ou Excluda)PARTE I IDENTIFICAO GERAL 1 Descrio da obra 2 Contedos por volume PARTE II ANLISE AVALIATIVA Para cada item abaixo indique sim, parcialmente ou no e justifique 1 Respeito legislao, s diretrizes e s normas oficiais relativas ao ensino mdio. 1.1 A coleo respeita a proibio de trazer informaes que contrariem, de alguma forma, a legislao vigente, como Constituio da Repblica Federativa do Brasil; Lei de Dir

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