H=6m e h2=H/4
Transcript of H=6m e h2=H/4
i
“Copyright” Rui Miguel Pinheiro Leal, FCT/UNL e UNL
A Faculdade de Ciências e Tecnologia e a Universidade Nova de Lisboa têm o direito, perpétuo
e sem limites geográficos de arquivar e publicar esta dissertação através de exemplares
impressos reproduzidos em papel ou de forma digital, ou por qualquer outro meio conhecido
ou que venha a ser inventado, e de a divulgar através de repositórios científicos e de admitir a
sua cópia e distribuição com objectivos educacionais ou de investigação, não comerciais, desde
que seja dado crédito ao autor e editor.
ii
iii
Agradecimentos
À Orientadora da presente dissertação, Doutora Ana Paula Confraria Varatojo, pela
colaboração, disponibilidade, sabedoria e amizade com que acompanhou a elaboração desta
dissertação desde o seu início.
À coordenadora do Mestrado em Engenharia Geológica-Geotecnia, Doutora Ana Paula
Fernandes da Silva pela sua disponibilidade e conhecimentos transmitidos.
À minha namorada, pela ajuda na elaboração da dissertação, e pelo apoio, carinho e amizade,
demonstrados.
À minha família, que sempre me apoiou durante a minha vida académica.
Aos meus colegas de curso, que me acompanharam e ajudaram durante esta e outras etapas.
A todos, obrigado.
iv
v
Sumário
A norma europeia EN 1997-1 (2004) surge traduzida em Portugal em 2010 e adoptada como
norma portuguesa (NP EN 1997-1), tendo sido acrescentado um Anexo Nacional (NA), onde
foram incluídas algumas prescrições deixadas em aberto no corpo do documento original, para
escolha nacional.
A leitura de ambos os documentos continua a deixar por resolver algumas questões que
suscitam dúvidas de aplicação.
No âmbito deste trabalho, que se debruça sobre verificações de segurança envolvendo
estruturas de suporte rígidas, analisa-se a forma como devem ser tratadas as pressões
hidrostáticas da água actuando no tardoz dos muros, como devem ser considerados os
impulsos passivos (acção favorável ou resistência) e quais as consequências, e como devem ser
incluídas as sobrecargas (variáveis ou permanentes) uniformemente distribuídas, aplicadas na
superfícies dos terrenos suportados.
Palavras-chave: Eurocódigo 7, muros de suporte rígidos, pressões da água, impulsos passivos,
sobrecargas uniformemente distribuídas.
vi
vii
Abstract
The Eurocode 1997-1 (2004) appears translated in Portugal on 2010 and is accepted as a
Portuguese regulation (NP EN1997-1). One National Appendix (NA) has been added, where
some prescriptions were included and were left open, in the body of the original document,
for national scrutiny.
The reading of both documents still leaves some questions in their application to be solved.
The scope of this work, witch focus on the security checks involved in rigid retaining structures,
analyzes the way how water pressures, on the face of the wall, should be treated, how the
passive actions (favorable or unfavorable) should be considered and how uniform surface
stresses (variable or permanent) should be included, and its consequences, when applied to
the supported ground.
Key-words: Eurocode 7, rigid retaining walls, water pressures, passive pressures, uniform
surface stresses.
viii
ix
Simbologia
A’ área efectiva da base (A’ = B’ x L’)
pressões horizontais
dimensões de cálculo da estrutura
B largura da fundação
B’ Largura efectiva da fundação
b factor correctivos relativos à inclinação da base da sapata, com os índices c, q e
dimensão mínima da sapata do muro para que seja possível a aplicação do método de
Rankine
dimensões relativas à definição da geometria do muro
braço do peso próprio do solo situado acima da sapata do muro relativamente ao
centro de gravidade da base do muro
braço do peso próprio do muro relativamente ao centro de gravidade da base
do muro
braço do impulso activo exercido relativamente ao centro de gravidade da base do
muro
braço do impulso passivo exercido pelas pressões do solo no muro relativamente ao
centro de gravidade da base do muro
coesão do solo
resistência ao corte não drenada
valor de cálculo da resistência ao corte não drenada
D profundidade da base da sapata do muro relativamente à superfície do terreno
valor de cálculo do efeito das acções
{ } função de parâmetros referidos entre parêntesis
excentricidade de cálculo da acção vertical
valor de cálculo de uma acção
altura total do muro
Acção horizontal de cálculo
x
acção horizontal no tardoz do muro devidas às pressões do solo
resistência ao deslizamento
factor correctivo para a inclinação da carga, com os índices relativos à coesão,
c, sobrecarga, q, e peso volúmico, , respectivamente
impulso activo exercido pelas pressões do solo no muro
impulso passivo exercido pelas pressões do solo no muro
impulso activo de cálculo exercido pelas pressões do solo no muro
impulso activo característico exercido pelas pressões do solo no muro
impulso passivo de cálculo
impulso passivo característico
impulso das terras característico devido à sobrecarga q actuando no terreno
altura da água actuando no tardoz do muro
alturas tomadas na altura H do muro
coeficiente de impulso activo de Rankine
coeficiente de impulso activo de cálculo de Rankine
coeficiente de impulso passivo de cálculo de Rankine
L comprimento da sapata
L’ comprimento efectivo da sapata
m expoente nas fórmulas de cálculo dos coeficientes de inclinação das cargas
Momento flector de cálculo relativo ao centro de gravidade da sapata do muro
Momento desestabilizador de cálculo
Momento estabilizador de cálculo
N coeficientes de capacidade resistente do terreno ao carregamento, com os índices c, q
e
q pressão vertical ao nível da base da sapata do muro, devida ao peso das terras
sobrejacentes
q’ pressão vertical efectiva ao nível da base da sapata do muro, devida ao peso das terras
sobrejacentes
carga vertical de cálculo desfavorável devida à sobrecarga q
xi
carga vertical característica devido à sobrecarga q
valor de cálculo da força resistente passiva devido a pressões de terras num lado de
uma fundação
valor de cálculo da capacidade resistente horizontal
valor característico da capacidade resistente vertical
valor característico da capacidade resistente horizontal
{ } função dos parâmetros entre parêntesis
resistência mobilizada na interface sapata do muro/terreno
s coeficientes correctivos para atender à forma da base da sapata do muro, com os
índices c, q e
V carga vertical
Carga vertical de cálculo desfavorável
peso característico do solo sobre a sapata do muro
peso de cálculo do solo sobre a sapata do muro
valor de cálculo desfavorável da parcela relativa ao peso do muro
valores característicos das parcelas 1, 2 e 3 relativas ao peso do muro
valores de cálculo favoráveis das parcelas 1, 2 e 3
relativas ao peso do muro e da parcela devida ao
peso das terras sobre a sapata do muro
valores de cálculo desfavoráveis das parcelas 1, 2 e 3
relativas ao peso do muro e da parcela devida ao
peso das terras sobre a sapata do muro
propriedades de cálculo do material
xii
Letras gregas
α inclinação da base de uma fundação relativamente à horizontal
ângulo de atrito no contacto terreno-estrutura
valor de cálculo de
peso volúmico do solo
peso volúmico submerso do solo
coeficiente de segurança parcial para a resistência não drenada do solo
coeficiente de segurança parcial para uma acção permanente
coeficiente de segurança parcial para uma acção permanente desestabilizante
coeficiente de segurança parcial para uma acção permanente estabilizante
coeficiente de segurança parcial para uma acção permanente desfavorável
coeficiente de segurança parcial para uma acção permanente favorável
coeficiente de segurança parcial para uma acção variável
coeficiente de segurança parcial para a capacidade resistente passiva das terras
coeficiente de segurança parcial para a capacidade resistente ao deslizamento
coeficiente de segurança parcial para a capacidade resistente do terreno ao
carregamento
coeficiente de segurança parcial para uma acção variável desestabilizante
coeficiente de segurança parcial para uma acção variável estabilizante
coeficiente de segurança parcial para uma acção variável desfavorável
coeficiente de segurança parcial para uma acção variável favorável
peso volúmico da água
coeficiente de segurança parcial para o ângulo de resistência ao corte do solo
índice definido pelo quociente entre acções ou efeito das acções e resistências de
cálculo
índice definido pelo quociente entre a resultante das acções horizontais de cálculo e a
capacidade resistente horizontal de cálculo
xiii
índice definido pelo quociente entre o momento desestabilizador de cálculo e o
momento estabilizador de cálculo
índice definido pelo quociente entre a resultante das acções verticais de cálculo e a
capacidade resistente de cálculo do terreno subjacente à base do muro
Ѳ ângulo que define a direcção de H
ângulo de resistência ao corte do solo em tensões efectivas
valor de cálculo de
Abreviaturas
AC1Comb1 abordagem de cálculo 1 combinação 1
AC1Comb2 abordagem de cálculo 1 combinação 2
AC2 abordagem de cálculo 2
AC3 abordagem de cálculo 3
C.G. centro de gravidade
EC7 eurocódigo 7
EQU estado limite último de equilíbrio estático
EN Euronorma (norma europeia)
GEO estado limite último geotécnico
HPWL “highest possible water level”, altura máxima que a água pode atingir nas condições
mais adversas, durante a vida útil da obra
HNWL “highest normal water level”, altura máxima que a água pode atingir em condições
normais de funcionamento, durante a vida útil da obra
NA Anexo nacional
NP Norma Portuguesa
STR estado limite último estrutural
xiv
xv
Índice de texto Capítulo 1. Introdução .................................................................................................... 1
1.1. Considerações iniciais ................................................................................................... 1
1.2. Objectivos ...................................................................................................................... 2
1.3. Metodologia .................................................................................................................. 2
1.4. Estrutura da dissertação ............................................................................................... 3
Capítulo 2. Muro de gravidade sob o efeito da água......................................................... 5
2.1. Introdução .......................................................................................................................... 5
2.2. O que se estudou ............................................................................................................... 8
2.3. Como se estudou .............................................................................................................. 10
2.4. Resultados ........................................................................................................................ 17
Capítulo 3. Muro em “L” com impulso passivo ............................................................... 27
3.1. Introdução ........................................................................................................................ 27
3.2. O que se estudou ............................................................................................................. 32
3.3. Como se estudou .............................................................................................................. 33
3.4. Resultados ........................................................................................................................ 40
Capítulo 4. Muro em “L” com sobrecarga no terrapleno ................................................. 47
4.1. Introdução ........................................................................................................................ 47
4.2. O que se estudou ............................................................................................................. 49
4.3. Como se estudou .............................................................................................................. 51
4.4. Resultados ........................................................................................................................ 55
Capítulo 5. Considerações finais e futuros desenvolvimentos ......................................... 63
5.1. Considerações finais ......................................................................................................... 63
5.2. Desenvolvimentos futuros ............................................................................................... 68
Referências bibliográficas .................................................................................................. 71
Anexos
Anexo A
Transcrição parcial do Anexo D da EN 1997-1: Exemplo de um método................................ 75
Anexo B
Transcrição parcial do Anexo A da EN 1997-1: Coeficientes parciais de
segurança para estados limites últimos e valores recomendados ......................................... 79
Anexo C
Gráficos relativos ao Capítulo 2 - Muro de gravidade sob o efeito da água ........................... 85
Anexo D
xvi
Gráficos referentes ao Capítulo 3 - Muro em “L” sob efeito de impulso passivo ................... 99
Anexo E
Gráficos referentes ao capítulo 4 - Muro em “L” sob efeito de sobrecarga ......................... 105
xvii
Índice de figuras
Figura 2. 1 - Muro de gravidade, adaptado de Bond e Haris (2008) ............................................. 6
Figura 2. 2 - Diagramas de pressões de água resultantes de diferentes interpretações do
parágrafo 2.4.6.1(8) da EN1997-1, adaptado de Bond e Harris (2008). ....................................... 6
Figura 2. 3 - Proposta de Bond e Harris (2008), adaptado ............................................................ 7
Figura 2. 4 - Dimensões do muro de gravidade tipo e níveis da água .......................................... 9
Figura 2. 5 - Pressões das terras e da água (com HNWL 3H/4) no muro de gravidade,
hipótese b. ................................................................................................................................... 10
Figura 2. 6 - Braços das componentes de peso próprio do muro relativamente ao centro de
gravidade da base ....................................................................................................................... 13
Figura 2. 7 - Braços das resultantes dos impulsos activos do terreno e da água........................ 14
Figura 2. 8 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
..................................................................................................................................................... 18
Figura 2. 9 Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 19
Figura 2. 10 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 2 ................... 19
Figura 2. 11 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 3 ................... 19
Figura 2. 12 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
..................................................................................................................................................... 20
Figura 2. 13 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
..................................................................................................................................................... 20
Figura 2. 14 - - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 2 ................... 21
Figura 2. 15 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 3 ..................... 21
Figura 2. 16 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
..................................................................................................................................................... 21
Figura 2. 17 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
..................................................................................................................................................... 22
Figura 2. 18 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 2 ..................... 22
Figura 2. 19 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 3 ..................... 22
Figura 2. 20 - Valores de para ............................................. 25
Figura 2. 21 - Valores de para ............................................. 25
Figura 2. 22 - Valores de para ............................................ 25
Figura 3. 1 – Muro em L. Exemplos de: (a) acções; (b) efeitos das acções ................................. 28
Figura 3. 2 - Resistência ao deslizamento em muro em "L" ........................................................ 29
Figura 3. 3 – Definição da geometria dos muros em "L" usados nas análises do Capítulo 3 ...... 32
Figura 3. 4 - Diagramas de tensões horizontais sobre o muro de suporte tipo resultantes dos
impulsos activo e passivo devidos à acção das terras................................................................. 33
Figura 3. 5 - Ilustração que justifica a utilização do método de Rankine para .......... 33
Figura 3. 6 – Definição das acções verticais e respectivos braços tomados em relação ao centro
de gravidade da sapata do muro tipo ......................................................................................... 35
Figura 3. 7 - Braços das forças horizontais em relação ao centro de gravidade da sapata do
muro tipo ..................................................................................................................................... 36
Figura 3. 8 - Braços das forças verticais relativamente ao ponto "O" ........................................ 39
xviii
Figura 3. 9 - Valores de e obtidos com a abordagem de cálculo 1 combinação 1 com
....................................................................................................................................... 41
Figura 3. 10 - Valores de e obtidos com a abordagem de cálculo 1 combinação 2 com
....................................................................................................................................... 41
Figura 3. 11 - Valores de e obtidos com a abordagem de cálculo 2 com .......... 42
Figura 3. 12 - Valores de e obtidos com a abordagem de cálculo 3 com .......... 42
Figura 3. 13 - Variações de com , para e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 44
Figura 3. 14 - Variações de com , para e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 44
Figura 3. 15 - Variações de com , para m e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 45
Figura 3. 16 - Variações de com , para m e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 45
Figura 3. 17 - Variações de com , para m e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
..................................................................................................................................................... 45
Figura 4. 1 - Diagramas dos impulsos activos devidos ao terreno e à sobrecarga. .................... 50
Figura 4. 2 – Cargas verticais consideradas nos cálculos (a vermelho) ....................................... 50
Figura 4. 3- Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com m e
variável ..................................................................................................................................... 56
Figura 4. 4 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com m e
variável ..................................................................................................................................... 56
Figura 4. 5 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e variável .. 57
Figura 4. 6 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e variável .. 57
Figura 4. 7 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com m
e permanente ........................................................................................................................... 58
Figura 4. 8 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com m e
permanente ............................................................................................................................. 59
Figura 4. 9 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e permanente
..................................................................................................................................................... 59
Figura 4. 10 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e
permanente ................................................................................................................................. 59
Figura 4. 11 - Variação de com , para m e variável com a Abordagem de Cálculo 1
Combinação 2 .............................................................................................................................. 60
Figura 4. 12 - Variação de com , para m e permanente com a Abordagem de
Cálculo 1 Combinação 2 .............................................................................................................. 60
Figura 4. 13 – Variação de com , para e variável com a Abordagem de Cálculo 1
Combinação 2 .............................................................................................................................. 61
Figura 4. 14 - Variação de com , para e permanente com a Abordagem de
Cálculo 1 Combinação 2 .............................................................................................................. 62
Figura 4. 15 - Variação de com , para e variável com a Abordagem de Cálculo 1
Combinação 2 .............................................................................................................................. 62
Figura 4. 16 - Variação de com , para e permanente com a Abordagem de
Cálculo 1 Combinação 2 .............................................................................................................. 62
Figura C 1 - Pressões das terras e da água (com HNWL= =3H/4) no muro de gravidade,
hipóteses (= condição 2) e .................................................................................................... 87
xix
Figura C 2 - Pressões das terras e da água (com HNWL= =3H/4) no muro de gravidade,
hipóteses .................................................................................................................................. 87
Figura C 3 - Pressões das terras e da água (com HNWL= =3H/4) no muro de gravidade,
hipóteses .................................................................................................................................. 88
Figura C 4 - Pressões das terras e da água (com HNWL= =3H/4) no muro de gravidade,
condição 1 ................................................................................................................................... 88
Figura C 5 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
..................................................................................................................................................... 89
Figura C 6 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
..................................................................................................................................................... 89
Figura C 7 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 2 ...................... 89
Figura C 8 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 3 ...................... 90
Figura C 9 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
..................................................................................................................................................... 90
Figura C 10 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
..................................................................................................................................................... 90
Figura C 11 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 2 .................... 91
Figura C 12 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 3 .................... 91
Figura C 13 - Valores de para ................................................ 91
Figura C 14 - Valores de para ................................................ 92
Figura C 15 - Valores de para ............................................... 92
Figura C 16 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
..................................................................................................................................................... 92
Figura C 17 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
..................................................................................................................................................... 93
Figura C 18 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 2 ...................... 93
Figura C 19 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 3 ...................... 93
Figura C 20 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
..................................................................................................................................................... 94
Figura C 21 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
..................................................................................................................................................... 94
Figura C 22 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 2 ...................... 94
Figura C 23 - Valores de para m, e Abordagem de Cálculo 3 ...................... 95
Figura C 24 - Valores de para ................................................ 95
Figura C 25 - Valores de para ................................................ 95
Figura C 26 - Valores de para ............................................... 96
Figura D 1 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com
m ..................................................................................................................................... 101
Figura D 2 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com
m ..................................................................................................................................... 101
Figura D 3 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m ......... 101
Figura D 4 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m ......... 102
xx
Figura D 5 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com
m ................................................................................................................................... 102
Figura D 6 - Valores de 𝑣 e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com
m ................................................................................................................................... 102
Figura D 7 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m ........ 103
Figura D 8 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m ....... 103
Figura E 1 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com
m e variável ................................................................................................................. 107
Figura E 2 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com
m e variável ................................................................................................................. 107
Figura E 3 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e
variável ...................................................................................................................................... 107
Figura E 4 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e
variável ...................................................................................................................................... 108
Figura E 5 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com
m e variável .............................................................................................................. 108
Figura E 7 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e
variável ...................................................................................................................................... 109
Figura E 8 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e
variável ...................................................................................................................................... 109
Figura E 9 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 combinação 1 com
m e permanente .......................................................................................................... 109
Figura E 10 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 combinação 1 com
m e permanente .......................................................................................................... 110
Figura E 11 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e
permanente ............................................................................................................................... 110
Figura E 12 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e
permanente ............................................................................................................................... 110
Figura E 13 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com
m e permanente ........................................................................................................ 111
Figura E 14 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com
m e permanente ........................................................................................................ 111
Figura E 15 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e
permanente ............................................................................................................................... 111
Figura E 16 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e
permanente ............................................................................................................................... 112
xxi
Índice de Tabelas
Tabela 2. 1 - Proposta de Bond e Harris (2008) ............................................................................ 7
Tabela 2. 2 - Resumo dos dados relativos às hipóteses estudadas ............................................... 9
Tabela 2. 3 - Tipificação das acções a considerar nas verificações de segurança ....................... 10
Tabela 2. 4 - Valores máximos de ( ou ) para m e
.............................................................................................................................................. 24
Tabela 3. 1 - Coeficientes parciais para acções permanentes favoráveis e capacidade resistente
ao deslizamento e passiva de terras ........................................................................................... 31
Tabela 4. 1 - Acções favoráveis e desfavoráveis na análise dos muros com sobrecarga no
terrapleno.................................................................................................................................... 48
Tabela B 1 - Coeficientes de segurança parciais para as acções, …………………….…………………81
Tabela B 2 - Coeficientes de segurança parciais para parâmetros do solo ( )…………………….82
Tabela B 3 - Coeficientes de segurança parciais nas acções ( ) ou efeitos das acções ( ) .. 82
Tabela B 4 - Coeficientes de segurança parciais para os parâmetros do solo, ..................... 83
Tabela B 5 - Coeficientes de segurança parciais para as capacidades resistentes ( ) para
estruturas de suporte .................................................................................................................. 83
xxii
2012
1
Capítulo 1. Introdução
1.1. Considerações iniciais
A presente dissertação foi realizada no âmbito do Mestrado em Engenharia
Geológica/Geotecnia.
Os estudos desenvolvidos foram motivados por algumas dificuldades de aplicação da Norma
Europeia EN 1997-1: 2004 (Eurocódigo 7 – Projecto Geotécnico, Parte 1: Regras gerais), a qual
surge em Portugal com a designação de Norma Portuguesa NP EN 1997-1:2010 e inclui, nesta
data, um anexo nacional (NA).
As dificuldades de aplicação foram estudadas no âmbito das verificações de segurança
respeitantes a estruturas de suporte rígidas, isto é, centrando as análises nas verificações
relativas à insuficiência de capacidade resistente do terreno de fundação subjacente à base
dos muros, ao deslizamento dos muros e ao derrubamento.
Tendo em conta que nas verificações de segurança referentes ao terreno de fundação, os
estados limite últimos geotécnicos (GEO) incluem três abordagens de cálculo, com recurso a
diferentes combinações de conjuntos de coeficientes de segurança parciais, consideram-se
essas três possibilidades, ainda que o NA português opte, no seu parágrafo NA.2.3. alínea h)
pela abordagem de cálculo 1.
As dificuldades atrás referidas têm a ver com dúvidas que surgem na definição/tipificação das
acções a considerar nos cálculos, sendo que o texto da norma dá um ênfase especial à
necessidade de uma distinção clara entre acções favoráveis e desfavoráveis, acções e
resistências e, no que respeita à acção das pressões hidrostáticas da água existente nos
maciços terrosos, não esclarece em que medida e como se deve actuar perante a possibilidade
de introduzir uma margem de segurança relativamente aos níveis de água ou como até, em
alternativa, se devem aplicar os coeficientes de segurança parciais aos diagramas de pressão
da água para atender à variação dos níveis para condições normais ou excepcionais, durante o
período de vida útil da obra.
É neste contexto que se desenvolvem as análises que se apresentam nos capítulos 2, 3 e 4
desta dissertação.
2012
2
1.2. Objectivos
Tendo por base a NP EN 1997-1 (2010), dois tipos de estruturas de suporte rígidas (muros de
gravidade e muros em L), as habituais verificações de segurança no que se refere à sua
estabilidade externa, as três abordagens de cálculo previstas para a verificação de estados
limites últimos geotécnicos (GEO), no que se refere à rotura do terreno de fundação (para
carregamento vertical e para carregamento horizontal) e o estado limite ultimo de equilíbrio
(EQU), para o derrubamento, os objectivos desta dissertação são:
avaliar o efeito de diferentes diagramas devidos a pressão hidrostática da água, tendo
em conta que a EN prevê a possibilidade de se introduzir uma margem de segurança
relativamente à variação dos níveis da água durante a vida útil da obra ou afectar
aqueles diagramas de coeficientes de segurança parciais, cuja ordem de grandeza varia
consoante a acção da água seja considerada permanente ou variável;
analisar as diferenças que se obtêm nos resultados quando se considera que os
impulsos passivos são acção permanente favorável ou resistência;
estudar o efeito de sobrecargas uniformemente distribuídas aplicadas na superfície do
terreno suportado, distinguindo entre sobrecargas permanentes e variáveis;
centrar as conclusões finais, no que se refere à rotura do terreno de fundação, na
abordagem de cálculo 1 (neste caso com a combinação 2, por ser a combinação mais
desfavorável para as verificações de segurança em causa), por ser esta abordagem que
é adoptada no âmbito da NP EN 1997-1.
1.3. Metodologia
Para atingir os objectivos pretendidos, a metodologia de trabalho envolveu genericamente:
definição dos muros tipo quanto a geometria e peso volúmico;
definição das características mecânicas dos terrenos de fundação e dos terrenos
suportados;
hipóteses simples e conservadoras relativamente à quantificação dos impulsos das
terras;
omissão de outras variáveis que não aquelas que directamente interessam ao
problema que, em cada capítulo, se pretende analisar;
definição de um índice para análise dos resultados;
implementação dos cálculos em folha de cálculo Excel;
conclusões finais centradas na abordagem de cálculo 1 com combinação 2, no que se
refere à rotura do terreno de fundação.
2012
3
1.4. Estrutura da dissertação
Esta dissertação está organizada em 5 capítulos e 5 anexos. Estes anexos incluem informação e
resultados obtidos, que se considera não deverem fazer parte do texto principal do trabalho,
por forma a facilitar a sua leitura.
O presente capítulo constitui o capítulo 1 da dissertação. Este capítulo inclui considerações
iniciais, define os objectivos, explica a metodologia geral seguida para desenvolvimento do
trabalho e apresenta a organização da dissertação.
O capítulo 2 trata do problema que tem a ver com a forma como devem ser tratadas as
pressões hidrostáticas da água actuando no tardoz das estruturas de suporte rígidas.
O capítulo 3 aborda o problema dos impulsos passivos, procurando analisar efeitos nos
resultados quando os mesmos são considerados como acções permanentes favoráveis ou
como resistência.
No capítulo 4 analisa-se o efeito da existência de sobrecargas uniformemente distribuídas
aplicadas na superfície do terreno suportado quando estas são permanentes ou variáveis.
O capítulo 5 resume as conclusões obtidas através dos estudos efectuados nos capítulos
anteriores e aponta sugestões de desenvolvimentos futuros a efectuar na sequência do
trabalho agora apresentado.
2012
4
2012
5
Capítulo 2. Muro de gravidade sob o efeito da água
2.1. Introdução
De acordo com a EN 1997-1§2.4.6.1(6)P, os valores de cálculo das pressões da água no terreno
para estados de limites últimos devem representar os valores mais desfavoráveis que podem
ocorrer durante o tempo de vida útil da estrutura enquanto que, para estados limites de
utilização, aqueles valores devem ser os valores mais desfavoráveis que podem ocorrer em
circunstâncias normais.
No primeiro caso estão em causa as pressões de água mais adversas que podem fisicamente
ocorrer durante a vida útil da obra e, no segundo caso, as pressões de água mais adversas que
provavelmente poderão ocorrer, na ausência de acontecimentos excepcionais.
Note-se que no §2.4.1(7) se considera possível tomar as pressões de água como acções
acidentais.
Aparentemente, a aplicação do parágrafo 2.4.6.1(6) não suscita dúvidas, devendo notar-se que
o mesmo é classificado como P (princípio), isto é, disposição/definição de carácter geral
relativamente à qual não são permitidas alternativas.
Na prática, as pressões da água são habitualmente calculadas a partir de um determinado nível
de água, o qual deve corresponder ao nível mais desfavorável que pode ocorrer durante a vida
útil da obra.
Contudo, a regra de aplicação (8) do mesmo parágrafo suscita dificuldades de aplicação
quando diz que os valores de cálculo das pressões de água do terreno podem ser obtidas quer
por uma aplicação de coeficientes parciais aos valores característicos das pressões da água,
quer por aplicação de uma margem de segurança ao valor característico do nível da água, e
isto, de acordo com o estabelecido nos parágrafos 2.4.4(1)P e 2.4.5.3(1)P, do documento
referido. No primeiro caso, os níveis de água devem ser considerados grandezas geométricas
e, no segundo, os valores característicos dos níveis da água do terreno devem ser valores
superiores, inferiores, medidos, nominais ou estimados.
Bond e Harris (2008) discutem este assunto e, para o efeito, dão o exemplo do muro de
gravidade que se reproduz na Figura 2.1.
2012
6
HPWL - nível de água mais adverso durante a vida útil da obra HNWL - nível de água mais elevado em condições normais de funcionamento da obra
Figura 2. 1 - Muro de gravidade, adaptado de Bond e Haris (2008)
Dependendo da interpretação de 2.4.6.1(8), os autores apresentam, para o estado limite
STR/GEO e abordagem de cálculo 1, algumas hipóteses de diagramas de pressões da água
sobre o muro da Figura 2.1, os quais se reproduzem na Figura 2.2 e onde e representam
os coeficientes de segurança parciais para as acções permanentes e variáveis,
respectivamente.
(a) Muro tipo (b) Diagrama de pressões de água características para HNWL (c) Diagrama de pressões de água características para HPWL (d) A pressão da água é tratada como acção permanente na altura total, que corresponde ao nível mais adverso (e) A pressão de água devido à subida de água do nível mais elevado em condições normais para o nível mais adverso durante a vida útil do muro, é tratada como acção variável e
(f) A pressão da água é tratada como acção variável na altura total, que corresponde ao nível mais adverso
Figura 2. 2 - Diagramas de pressões de água resultantes de diferentes interpretações do parágrafo 2.4.6.1(8) da EN1997-1, adaptado de Bond e Harris (2008).
(nível mais adverso durante a vida útil
da obra)
(nível mais adverso em condições
normais de funcionamento da obra)
2012
7
Tomando por referência a Figura 2.2, pode considerar-se que adoptar o diagrama c em vez do
digrama b permite a introdução de uma margem de segurança relativamente às pressões de
água mais adversas que podem ocorrer durante a vida útil da obra e os diagramas d, e e f
traduzem, com diferenças significativas, formas de aplicar coeficientes de segurança parciais
aos valores característicos das pressões da água.
A forma como se devem aplicar coeficientes de segurança parciais aos diagramas de pressões
da água não é pacífica.
De facto, não parece razoável aplicar um coeficiente de segurança parcial a uma quantidade
cujo valor último é relativamente bem conhecido, particularmente quando o nível de água
mais elevado e possível coincide com a superfície do terreno, nem parece aceitável tratar as
pressões da água de forma diferente relativamente a outros tipos de acção, especificamente
pressões das terras, as quais são habitualmente majoradas por .
Bond e Harris (2008) consideram que este assunto deve ser mais bem estudado até se
poderem estabelecer regras definitivas e propõem que, até lá, os cálculos se desenvolvam de
acordo com os critérios que definem como condições 1 e 2, e que, para melhor entendimento
se reproduzem na Figura 2.3 e se sintetizam na Tabela 2.1.
Figura 2. 3 - Proposta de Bond e Harris (2008), adaptado
Estado limite Condições Coeficiente parcial
Margem de segurança
Resultante das pressões da água
Característico 1,00 0
Último 1 1,35 0
2 1,00 >0
Tabela 2. 1 - Proposta de Bond e Harris (2008)
A Figura 2.3 e a Tabela 2.1 permitem conclusões sobre a proposta dos autores:
Condição 1
Quando se aplicam coeficientes parciais às pressões efectivas das terras (AC1,
combinação 1 e AC2), as pressões da água devem também ser multiplicadas por
2012
8
, mas calculadas com o nível de água mais elevado em condições normais de
funcionamento, isto é, sem afectar o nível da água de uma margem de segurança.
Condição 2
Quando se aplicam coeficientes parciais às pressões efectivas das terras (AC1,
combinação 2 e AC3), as pressões da água devem também ser multiplicados por
, mas calculados com o nível de água mais elevado e possível durante a vida útil
da estrutura, isto é, deve ser aplicada uma adequada margem de segurança ao nível da
água.
Nos parágrafos que se seguem vai efectuar-se um estudo destas questões, tendo por base um
muro de gravidade suportando material granular, assente num maciço argiloso impermeável.
2.2. O que se estudou
Para analisar os efeitos dos diferentes diagramas devidos às pressões de água nas verificações
de segurança, tal como especificamente indicado na EN 1997-1§9.2(2)P, para muros de
gravidade (rotura por insuficiência de capacidade resistente ao carregamento do solo
subjacente à base, rotura por deslizamento pela base e rotura por derrubamento) foi escolhida
uma geometria tipo de um muro gravidade, diferentes características mecânicas para os
terrenos suportados e para o terreno de fundação, assim como diferentes alturas para os
níveis de água.
O Tabela 2.2 e a Figura 2.4 resumem os dados de partida para as análises subsequentes.
Face à geometria do problema (parede vertical e superfície do terrapleno horizontal), a
hipótese de atrito nulo entre a parede vertical e o solo suportado permite usar a teoria de
Rankine para avaliar as pressões das terras, tendo-se ainda desprezado a existência de
impulsos passivos.
2012
9
Figura 2. 4 - Dimensões do muro de gravidade tipo e níveis da água
Geometria e características dos muros Características dos solos
(m)
(m)
(m) (m)
(m)
⁄
Suportado De
fundação
⁄
γ ⁄
2 0,5 1 1,5
2,2 0,5 0,5
24 20 18 20 100
1,5 1 0,5
4 1 2 3
4,4 1 1 3 2 1
6 1,5 3 4,5
6,6 1,5 1,5 4,5 3 1,5
Tabela 2. 2 - Resumo dos dados relativos às hipóteses estudadas
Note-se que em todos os casos analisados o nível HPWL coincide sempre com a superfície do
terrapleno e as análises efectuadas relativamente à rotura do terreno de fundação foram
realizadas considerando as 3 abordagens de cálculo previstas na EN 1997-1 para o estado
limite último STR/GEO.
Tendo em conta a importância da distribuição entre acções favoráveis e desfavoráveis, tal
como sugere a leitura da EN 1997-1, apresenta-se na Tabela 2.3 uma síntese das acções em
jogo no problema que se pretende estudar, tendo em vista as verificações de segurança que a
seguir se desenvolvem em folha de cálculo Excel.
2012
10
Acção Tipo Capacidade resistente
vertical
Capacidade resistente horizontal
(deslizamento)
Derrubamento
Peso próprio do muro
Permanente Desfavorável Favorável Favorável
Impulso das terras
Permanente Desfavorável Desfavorável Desfavorável
Impulsos da água *
Permanente e/ou variável
Desfavorável Desfavorável Desfavorável
* vão analisar-se os efeitos de considerar diferentes coeficientes parciais nas acções (distinguindo, ou não, entre acção permanente e/ou variável) ou introduzir margens de segurança nos níveis de água. Tabela 2. 3 - Tipificação das acções a considerar nas verificações de segurança
2.3. Como se estudou
Tendo por base as características geométricas e mecânicas indicadas na Figura 2.4 e Tabela
2.2, os estudos efectuados no âmbito deste capítulo seguem a orientação estabelecida nos
Anexos A e D da EN 1997-1, respectivamente no que se refere aos coeficientes de segurança
parciais para estados limites últimos STR/GEO (capacidade resistente ao carregamento e ao
deslizamento) e EQU (derrubamento) e ao formulário necessário. Nos anexos A e B deste
trabalho reproduzem-se, a partir daqueles, a informação necessária aos cálculos que se
apresentam de seguida.
A sequência dos cálculos desenvolvidos em folha de cálculo Excel segue genericamente os
procedimentos abaixo descritos, devendo tomar-se a Figura 2.5 para orientação, ainda que na
mesma apenas se apresente o diagrama de impulsos da água para o caso da hipótese b.
Figura 2. 5 – Pressões das terras e da água (com HNWL 3H/4) no muro de gravidade, hipótese b.
De acordo com as características do muro e das variantes supracitadas, os diagramas de
pressões horizontais actuando no muro são os acima visualizados. No Anexo C, as Figuras C1 a
2012
11
C4 mostram genericamente os dois diagramas de pressões horizontais devidos às terras e à
água para as restantes hipóteses c (= condição 2), d, e, f e condição 1.
Conhecidos os dados relativos à resistência não drenada, , do terreno de fundação, o ângulo
de resistência ao corte, ’, pesos volúmicos húmido, , e saturado, , do tereno suportado,
as dimensões do muro e o peso volúmico do material que o constitui, , procedeu-se ao
início do cálculo.
Primeiramente, calcula-se a resistência ao corte de cálculo do solo, , suportado.
(2. 01)
Conhecido o valor de cálculo de , pode calcular-se o coeficiente de impulso de terras activo
de cálculo, , através da teoria de Rankine:
(2. 02)
Segue-se, então, o cálculo dos impulsos das terras e da água (ver Figura 2.5), onde:
(2. 03)
(2. 04)
(2. 05)
(2. 06)
e é o peso volúmico da água e e são, respectivamente, o peso volúmico saturado e
húmido do solo suportado.
No desenvolvimento da folha de cálculo foi necessário decidir como tratar o diagrama dos
impulsos das terras para a hipótese e, na medida em que acima de HNWL a pressão
hidrostática da água corresponde a uma acção variável e, assim, tanto o impulso das terras
poderia ser calculado com o peso volúmico total, , ou o peso volúmico submerso,
. Optou-se pela primeira hipótese, sabendo-se que corresponde ao caso mais desfavorável.
Contudo, foi também necessário decidir como tratar quanto a este aspecto, as hipóteses c, d e
f. Como basicamente se pretende analisar o impacto dos diferentes diagramas das pressões de
água nos resultados relativos às diferentes verificações de segurança, optou-se assim por usar
sempre o mesmo tipo de diagrama para descrever os impulsos de terras sobre os muros, isto
é, utilizou-se em todas as hipóteses estudadas, o critério acima descrito para o caso da
hipótese e.
2012
12
As respectivas resultantes, majoradas pelos adequados coeficientes de segurança parciais, são
obtidos através das expressões:
(2. 07)
(2. 08)
(2. 09)
onde representa o coeficiente de segurança parcial para as acções permanentes
desfavoráveis.
O cálculo de tem algumas variações, dependendo da hipótese a analisar (note-se que a
hipótese (c) coincide com a condição 2)1:
Hipótese (b)
(2. 10)
Hipótese (c)
Hipótese (d)
Hipótese (e)
Hipótese (f)
Condição 1
Condição 2
1 Pode admitir-se que a hipótese (a) representada na Figura 2.2 diz também respeito a todos as
restantes, na medida em que, por a parede do tardoz do muro ser vertical, não há componentes verticais de pressão hidrostática.
2012
13
O passo seguinte corresponde ao cálculo das componentes do peso do muro (ver Figura 2.6),
devendo, à partida, distinguir-se entre componentes afectadas por coeficientes de segurança
parciais para acções permanentes desfavoráveis e favoráveis. Contudo, como as verificações
de segurança ao deslizamento correspondem a análises não drenadas, não é necessário, no
âmbito dos estudos deste capítulo, avaliar a resultante das acções verticais favoráveis de
cálculo. Assim:
Figura 2. 6 – Braços das componentes de peso próprio do muro relativamente ao centro de gravidade da base
(2. 11)
[( )
]
(2. 12)
(2. 13)
onde ⁄
Tal como referido atrás, as análises desenvolvidas englobaram as três abordagens de cálculo
previstas para estados limite últimos STR/GEO (capacidade resistente vertical e horizontal).
Neste sentido, foi necessário distinguir entre acções estruturais e geotécnicas para utilizar a
abordagem de cálculo 3.
2012
14
Para o efeito, considera-se que o peso próprio dos muros corresponde a uma acção estrutural
e que os impulsos das terras e da água são acções geotécnicas, tal como está expresso no
parágrafo 2.4.2(4) da EN 1997-1.
Note-se que esta tipificação não é muitas vezes fácil de estabelecer, podendo, como exemplo,
darem-se os casos de tráfego rodoviário no tardoz de um muro de suporte e na crista de um
talude.
São, então, calculadas as resultantes das acções verticais desfavoráveis de cálculo e as acções
horizontais de cálculo, respectivamente:
(2. 14)
(2. 15)
Para avaliar a capacidade resistente do terreno subjacente à base do muro, é necessário
calcular a excentricidade de , isto é, é necessário calcular, a distância entre o ponto de
aplicação daquela resultante e o centro de gravidade da base do muro. Para tal, tem que se
determinar o momento flector de cálculo devido a todas as forças presentes, relativamente ao
centro de gravidade da base do muro.
Figura 2. 7 - Braços das resultantes dos impulsos activos do terreno e da água
Para o efeito, é necessário conhecer os braços destas forças relativamente ao ponto em
questão. Tomando por referência a informação dada nas Figuras 2.4 e 2.6 é possível escrever:
2012
15
(
)
(2. 16)
(2. 17)
(2. 18)
(2. 19)
(2. 20)
(
) (
)
(2. 21)
(
) (
)
(2. 22)
O momento flector de cálculo na base da sapata do muro pode então ser obtido por:
∑ ∑
(2. 23)
Conhecidos estes valores, prossegue-se para o cálculo da excentricidade de cálculo:
(2. 24)
Com o valor da excentricidade pode recorrer-se ao método de redução da dimensão real da
base da sapata do muro a uma base fictícia, para que a resultante das acções verticais seja
aplicada no centro desta base e simplifique, desta forma, os cálculos. Esta “nova” base é
tratada com dimensão B’ e vale:
(2. 25)
onde representa excentricidade de cálculo da acção vertical. O cálculo do factor correctivo
para a inclinação da carga, , que é referente à inclinação do carregamento causado pela força
horizontal , é calculado através da expressão:
( √
)
(2. 26)
onde ,
representa a resistência não drenada do solo subjacente à base
do muro e é o coeficiente de segurança parcial para a resistência não drenada do terreno
de fundação.
2012
16
A capacidade resistente do terreno subjacente à base do muro é avaliada recorrendo à
expressão encontrada no Anexo D da EN 1997-1, para condições não drenadas:
[ ] ⁄
(2. 27)
Onde é o coeficiente de segurança parcial para a capacidade resistente ao carregamento
do terreno de fundação e , representando a tensão vertical total ao nível da base do
muro para a situação mais desfavorável (esquerda do muro em estudo).
A segurança relativamente à insuficiente capacidade resistente do terreno de fundação
subjacente à base do muro, está assegurada quando .
No que se refere à rotura do terreno de fundação por deslizamento, a capacidade resistente
horizontal é dada, em condições não drenadas, por:
(2. 28)
onde é o coeficiente de segurança parcial para a capacidade resistente horizontal.
A segurança à rotura de fundação, no que se refere ao deslizamento, está assegurada quando
.
Quanto à verificação de segurança relativamente ao derrubamento, o estado limite último em
causa é o estado limite de equilíbrio estático (EQU), sendo necessário verificar se que
, onde representa o momento estabilizador de cálculo e o
momento instabilizador de cálculo, tomados relativamente à base do muro, mas no ponto
situado mais à esquerda da respectiva base.
As expressões para calcular os referidos momentos são dados por:
{[ (
)] [
] [ ( (
))]}
(2. 29)
[( ) (
) ( ) (
)]
(2. 30)
onde e são, respectivamente, o coeficiente de segurança parcial para uma acção
permanente estabilizante e coeficiente de segurança parcial para uma acção permanente
desestabilizante.
Deve notar-se que, neste caso, as diferentes parcelas , referentes ao peso próprio do muro
de gravidade, correspondem a valores característicos e que o cálculo dos impulsos das terras,
, foi realizado tomando um coeficiente de segurança parcial para o ângulo de resistência ao
corte do solo suportado igual a .
2012
17
2.4. Resultados
Os resultados obtidos neste capítulo 2 são apresentados e analisados de seguida.
Tendo em conta a proposta de Bond e Harris (2008), os resultados que dizem respeito à
condição 1 apenas têm significado quando se usa a abordagem de cálculo 1 com a combinação
1 ou a abordagem de cálculo 2, assim como a condição 2 só deve ser aplicada com a
abordagem de cálculo 1 com a combinação 2 e com a abordagem de cálculo 3.
Pretendendo analisar-se o efeito de diferentes hipóteses relativas aos diagramas de pressão da
água, procurou-se, através da utilização de critérios de pré-dimensionamento (Mineiro, 1978;
Cernica, 2006) dar proporções “equilibradas” entre si aos diferentes muros, em função da sua
altura total, H. Por outro lado, optou-se, em todos os casos, por considerar o mesmo tipo de
diagrama de impulsos de terras, tal como justificado no parágrafo anterior.
A apresentação gráfica dos resultados é então feita a partir de um índice , que representa genericamente o quociente entre acções ou efeito das acções de cálculo sobre as resistências de cálculo. Assim:
onde , e dizem respeito, respectivamente, à capacidade resistente ao carregamento
do terreno de fundação, ao deslizamento e ao derrubamento, estados limites associados às
verificações de estabilidade externa de muros de suporte. De um ponto de vista das
verificações de segurança, basta que qualquer dos índices anteriores assuma o valor unitário.
Para efeito das análises que a seguir se apresentam vai considerar-se que, do ponto de vista do
dimensionamento, os resultados são mais desfavoráveis quando se aproximam do valor
unitário, ainda que de um ponto de vista económico, aquele valor represente o valor mais
favorável.
No texto incluem-se apenas os gráficos relativos à situação em que ⁄ , podendo
encontrar-se no Anexo C a totalidade dos restantes gráficos que serviram de base às
conclusões que a seguir se apresentam. Note-se que a totalidade das situações estudadas se
encontram resumidas na tabela 2.2.
As Figuras 2.8 a 2.11 relativas ao muro com m e HNWL = = (com HPWL = H)
correspondem à situação mais desfavorável relativamente aos três níveis HNWL considerados.
A observação destas figuras permite concluir:
1. de acordo com o que foi implementado na folha de cálculo, o valor do índice é
igual em todos os gráficos, para cada uma das hipóteses consideradas, pois
corresponde sempre a um único conjunto de coeficientes de segurança parciais (EQU);
2012
18
2. tal como seria de esperar, os resultados mais desfavoráveis relativamente às
verificações GEO, no que se refere aos índices e verificam-se, por ordem
decrescente, nas hipóteses e, f, d, c = cond2, cond1 e b;
Daqui em diante não se utilizam para efeitos de conclusões os resultados relativos à hipótese
b, por esta não corresponder a qualquer situação razoável em termos de verificações de
segurança, isto é, a utilização dos diagramas de pressão hidrostática da água correspondentes
não contabilizam qualquer introdução de margem de segurança em relação aos níveis de água
nem incluem qualquer majoração em termos de utilização de factores de segurança parciais
para a acção da água:
3. a hipótese e conduz sempre, como seria de esperar, a valores mais desfavoráveis para
a ordem de grandeza dos três índices sob análise;
4. o índice condiciona o dimensionamento em todas as situações relativas à hipótese
e e ainda na hipótese c e condição 1 para a AC1Comb1 e AC2, verificando-se ser o
índice que condiciona o dimensionamento em todas as restantes situações;
5. ainda que se considere habitualmente que é a verificação ao deslizamento ( ) que
condiciona o dimensionamento, verifica-se que, para as diferentes hipóteses e
condições estudadas, com as características geométricas e mecânicas adoptadas, os
resultados obtidos não mostram um padrão de resultados nesse sentido. Isto significa
que, dependendo da hipótese ou condição adoptada, assim poderá ser a verificação ao
deslizamento ou ao derrubamento que mais condiciona o dimensionamento;
6. as condições 1 e 2 propostas por Bond e Harris (2008) correspondem genericamente a
condições favoráveis face aos resultados obtidos através das hipóteses consideradas,
para as três abordagens de cálculo.
Figura 2. 8 – Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=2m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
AC1Comb1
2012
19
Figura 2. 9 Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura 2. 10 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 2
Figura 2. 11 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=2m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC1Comb2 AC1Comb2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=2m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
AC2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=2m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC3
2012
20
As Figuras 2.12 a 2.19 dizem respeito ao muro com m e HPWL = , sendo HNPW = =
nas Figuras 2.12 a 2.15 e HNPW = = nas Figuras 2.16 a 2.19. As conclusões 1, 2, 3 e
6 atrás enunciadas mantêm-se para os dois valores de agora em causa, ainda que as
conclusões relativas ao ponto 4 e 5 sofram alterações, que se resumem no item 7:
1. quando diminui para metade ou um quarto da altura do muro, verifica-se que
apenas com a condição 1 (AC1Comb1 e AC2) é que a verificação ao derrubamento
condiciona o dimensionamento geotécnico do muros, passando a ser, genericamente,
a verificação do deslizamento que conduz aos resultados mais desfavoráveis.
Figura 2. 12 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
Figura 2. 13 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=2m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
AC1Comb1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=2m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC1Comb2 AC1Comb2
2012
21
Figura 2. 14 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 2
Figura 2. 15 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 3
Figura 2. 16 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=2m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
AC2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=2m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=2m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm
AC1Comb1
2012
22
Figura 2. 17 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura 2. 18 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 2
Figura 2. 19 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=2m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC1Comb2 AC1Comb2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=2m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm
AC2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=2m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC3
2012
23
No Anexo C apresentam-se resultados do mesmo tipo dos anteriores, para muros de gravidade
de maior altura.
As Figuras C5 a C8, do anexo C, e as Figuras C9 a C12 referem-se aos muros com m,
respectivamente, com = . A análise destas figuras mostra que se mantêm válidas as
conclusões dos itens 1, 2, 5, 6 e 7 e ainda que:
2. tendo por referência as Figuras 2.8 a 2.11 e C5 a C12 e os resultados relativos à
condição 1 e à condição 2 ( = ), verifica-se que o índice assume valores de
ordem de 0,17; 0,34 e 0,50 para a AC1Comb1 e AC2 e de 0,23; 0,46 e 0,68 para o
AC1Comb2 e AC3, quando m respectivamente;
3. tendo por referência as Figuras 2.12 a 2.15 e os resultados relativos à condição 1 e à
condição 2 ( = ), verifica-se que o índice toma valores de cerca de 0,14; 0,3 e
0,45 para AC1Comb1 e AC2 e de 0,24; 0,5 e 0,75 para a AC1comb2 e AC3, quando
m, respectivamente;
4. para m, as Figuras 2.16 a 2.19 e os resultados relativos à condição 1 e à
condição 2 mostram que o índice vale cerca de 0,14; 0,28 e 0,41 para a AC1Comb1
e AC2 e cerca de 0,25; 0,52 e 0,78 para a AC1Comb2 e AC3, respectivamente;
5. dos itens 8 a 10 pode concluir-se que, com o aumento da altura dos muros, o índice
relativo à verificação do deslizamento dos muros, aumenta de valor dois e três vezes
quando, respectivamente, se aumenta a altura dos muros de 2 e 3 vezes, o que parece
sugerir uma provável boa proporção às dimensões dos muros estudados, perante
iguais características mecânicas dos terrenos suportados em todas as situações
estudadas;
6. tomando por referência, por exemplo, a hipótese e, pode verificar-se a partir da
generalidade das figuras apresentadas e da Tabela 2.4, que o índice mais
condicionante para efeitos do cálculo, ou , está, regra geral, associado à
AC1Comb2, com valores da mesma ordem de grandeza para as AC2 e AC3, quando
m.
Para m, os resultados passam a ser mais desfavoráveis para AC1Comb1 e AC2, ainda
para que = o índice mais condicionante seja , e igual em todos os casos pois, como
se sabe, é controlado pelo estado limite EQU e, neste caso, não tem sentido em falar-se
abordagens de cálculo.
2012
24
Hipótese e
H (m)
Abordagem de Cálculo
2
AC1Comb1 0,30 0,32 0,33
AC1Comb2 0,30 0,32 0,33
AC2 0,30 0,32 0,33
AC3 0,30 0,32 0,33
4
AC1Comb1 0,50 0,56 0,60
AC1Comb2 0,58 0,67 0,73
AC2 0,55 0,62 0,66
AC3 0,52 0,60 0,64
6
AC1Comb1 0,75 0,84 0,90
AC1Comb2 0,87 1,00 1,09
AC2 0,82 0,93 0,99
AC3 0,78 0,90 0,96 Tabela 2. 4 – Valores máximos de ( ou ) para m e
As Figuras 2.20 e 2.21 têm por base a proposta de Bond e Harris (2008) e dizem respeito aos
resultados obtidos para os índices , e quando m e = . A
observação das figuras mostra que:
7. o índice adquire valores crescentes quando se aumenta a altura dos muros,
crescendo também quando se consideram as abordagens AC1Comb1, AC1Comb2, AC2
e AC3, respectivamente por esta ordem, pelo que os resultados relativos à AC3 são
sempre os mais desfavoráveis e os relativos à AC1 os mais favoráveis;
8. o índice cresce também quando se aumenta a altura dos muros e, dada a sua
ordem de grandeza, é mais condicionante para o dimensionamento do que o índice
em todas as situações analisadas. Verifica-se ainda que os valores de mais
desfavoráveis estão associados à AC1Comb2, seguidos, por ordem decrescente, pelos
valores obtidos através da AC3, AC2 e AC1Comb1, tornando-se assim a AC1Comb2 a
abordagem de cálculo e combinação o “critério” mais desfavorável para efeitos de
dimensionamento;
9. com o aumento da altura dos muros verifica-se que o índice adquire valores quase
iguais para ambas as condições analisadas, ainda que mais elevadas para a condição 2,
e para os três valores de considerados, o que também deve resultar das condições
de proporcionalidade geométrica usadas para definir a geometria dos três muros
estudados.
2012
25
Figura 2. 20 - Valores de para ⁄
Figura 2. 21 - Valores de para ⁄
Figura 2. 22 - Valores de para ⁄
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
H=2 H=4 H=6
Vd/Rd h2=3H/4
AC1Comb1(Cond1)AC1Comb2(Cond2)AC2 (Cond1)
AC3 (Cond2)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
H=2 H=4 H=6
Hd/Rd h2=3H/4
AC1Comb1(Cond1)AC1Comb2(Cond2)AC2 (Cond1)
AC3 (Cond2)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
H=2 H=4 H=6
Mdst/Mstb h2=3H/4
Condição 1
Condição 2
EQU
2012
26
No Anexo C apresentam-se nas Figuras C13 a C15 e C24 a C26 resultados do mesmo tipo, para
= e = .
A análise das figuras anteriores permite concluir que:
10. a avaliação dos três índices é semelhante nos três conjuntos de resultados relativos a
, e para = , H/2 e H/4, pelo que se mantêm genericamente válidas as
conclusões anteriores relativas aos itens 13 e 15;
11. com a redução da altura do diagrama das pressões da água, isto é, com a redução de
= HNWL, verifica-se que os resultados relativos a tendem a diminuir nos casos
da AC1Comb1 e AC2 (onde se usou a condição 1) e a aumentar com a AC1Comb2 e
AC3 (onde se usou a condição 2), sendo agora mais desfavorável, e para m, o
valor relativo à AC3, contrariando a conclusão final do item 14, onde se conclui que
a AC1Comb2 era em todos os casos a abordagem mais desfavorável.
2012
27
Capítulo 3. Muro em “L” com impulso passivo
3.1. Introdução
O parágrafo 9.7.3 (P) da EN 1997-1, que trata da rotura do terreno de fundação de muros de
gravidade, indica que “Quando tal seja apropriado devem ser aplicados os princípios da secção
6 para demonstrar que a possibilidade de rotura no terreno de fundação é suficientemente
remota…”, o que significa que as verificações relativas à rotura por insuficiência de capacidade
resistente ao carregamento do solo subjacente à base e às cargas horizontais (deslizamento
pela base) devem ser baseadas no estado limite GEO, tal como no caso das fundações
superficiais.
Quanto ao derrubamento, o estado limite que interessa diz respeito ao estado limite de
equilibro estático (EQU).
Neste contexto, a verificação da rotura no terreno de fundação subjacente à base e a
verificação relativa ao derrubamento tratam as pressões passivas como acções
favoráveis/estabilizadoras2.
Neste último caso deve verificar-se que
(3. 1)
onde e representam, respectivamente, o valor de cálculo do efeito de acções
instabilibilizantes e estabilizantes.
No caso dos estados limites associados à rotura do terreno de fundação (estado limite GEO) e,
de acordo com o parágrafo 2.4.7.3.1.(1)P, deve ser feita a verificação de que:
(3. 2)
onde representa o valor de cálculo do efeito das acções e o valor de cálculo da
capacidade resistente em relação a uma acção.
No caso das verificações relativas ao carregamento do solo subjacente à base, a expressão
anterior assume no §6.5.2.1(1)P a forma
(3. 3)
No que se refere ao deslizamento do muro, isto é, sempre que o carregamento não é normal à
base da fundação, deve verificar-se, de acordo com o parágrafo 6.5.3.2(P), a seguinte
expressão:
(3. 4)
2 No cálculo de apenas é incluído o efeito das pressões passivas quando, por efeito da existência de
atrito na interface, existam componentes verticais nas pressões passivas
2012
28
onde representa o valor de cálculo da força resistente causada por pressões de terras num
lado de uma fundação.
No contexto da EN 1997-1 e em consonância com Bond e Harris (2008), as equações 3.3 e 3.4
são formalmente idênticas à equação 3.2.
Para mostrar o que representa, do ponto de vista geotécnico, o denominado efeito das acções,
reproduz-se na Figura 3.1 o exemplo dado pelos autores, considerando um muro em L
instalado num maciço terroso homogéneo e uma análise em tensões efectivas.
Figura 3. 1 – Muro em L. Exemplos de: (a) acções; (b) efeitos das acções
As pressões das terras no tardoz do muro originam uma acção horizontal (um dos efeitos
das acções presentes) dada por:
(
) (
) (
)
{ }
(3. 5)
onde representa a altura do muro, e o peso volúmico e o ângulo de resistência ao corte
do terreno, respectivamente, e o coeficiente de impulso activo de Rankine.
A equação anterior pode ser reescrita, resultando:
{ }
(3. 6)
onde representa as acções de cálculo aplicadas à estrutura, as propriedades de cálculo
do material, as dimensões de cálculo da estrutura e a notação { } representa uma
função das grandezas entre parêntesis, envolvendo múltiplos parâmetros de cada um dos
tipos referidos.
2012
29
Conclui-se assim que no projecto geotécnico os efeitos das acções são tipicamente função das
acções, das dimensões e da resistência do terreno (propriedades do material).
Quanto às resistências, reproduz-se igualmente na Figura 3.2 o exemplo dos autores.
Figura 3. 2 - Resistência ao deslizamento em muro em "L"
De acordo com a figura, a resistência ao deslizamento é dada por:
(3. 7)
onde é função das dimensões do muro e do peso volúmico do solo e é a resistência
mobilizada na interface (note-se que é também função do ângulo de resistência ao corte, ,
do solo).
A expressão anterior pode assim ser reescrita genericamente como:
{ }
(3. 8)
em que representa um coeficiente parcial para a resistência horizontal e { } uma
função dos parâmetros entre parêntesis.
Verifica-se deste modo que, no projecto geotécnico, as resistências são, tipicamente, função
das propriedades dos materiais, das dimensões e das acções, incluindo o peso próprio do solo.
Pode concluir-se então que, num projecto geotécnico típico, o efeito das acções e das
resistências dependem em geral dos mesmos parâmetros, isto é, não são grandezas
independentes entre si.
2012
30
Esta questão suscita dúvidas nas aplicações das verificações de segurança relativas ao
deslizamento de muros de suporte, onde a existência de pressões passivas requer que se
defina se estas são tratadas como acções favoráveis ou resistências.
Tendo em conta o texto do Capítulo 6 da EN 1997-1 relativo a fundações superficiais, a
apresentação dos coeficientes parciais para as capacidades resistentes é feita no seu Anexo
A.3.3.1 (Quadro A.5), onde apenas são apresentados coeficientes de segurança relativamente
ao carregamento do terreno ( ) e ao deslizamento ( ).
Isto significa que, de um ponto de vista prático, e apesar de não ser habitual no
dimensionamento de sapatas a consideração de impulsos passivos nas verificações de
segurança, os impulsos passivos têm de ser considerados como acções permanentes
favoráveis, sendo rigorosamente igual considerar a sua existência através de uma quantidade
que se soma à direita ou se subtrai à esquerda na inequação 3.4.
Neste contexto, isto é, no caso das fundações superficiais, pode mesmo considerar-se que no
âmbito do Capítulo 6 da EN 1997-1, o símbolo foi incluído de forma pouco apropriada.
Já no contexto do Capítulo 9 da EN 1997-1 relativo às estruturas de suporte, não se encontra
no texto qualquer referência ao Anexo A onde, no parágrafo A.3.3.5, são apresentados os
coeficientes parciais para as capacidades resistentes em estruturas de suporte.
O Quadro A.13 da norma inclui coeficientes parciais para a capacidade resistente ao
carregamento do terreno de fundação ( ) capacidade resistente ao deslizamento ( ) e
capacidade resistente passiva de terras ( ).
Parece assim que, no que se refere aos muros de suporte, a expressão 3.4 ganha relevância e
significado, ou seja, os impulsos passivos devem ser tratados como “resistência”.
Tal como Bond e Harris (2008) referem, a EN 1997-1 não explicita claramente a forma de
resolver a questão e parece que, de acordo com a transcrição do parágrafo 9.7.3(P) da EN
apresentada no início desta introdução, se remete ao leitor a decisão sobre as condições em
que se consideram “apropriadas” os princípios da secção 6 da EN em causa, no caso dos muros
de suporte e das verificações de segurança ao deslizamento.
Deve notar-se, contudo, que através análise da Tabela 3.1 e de um ponto de vista prático, o
problema que se pretende estudar apenas ganha relevância quando se usa a abordagem de
cálculo 2, por os coeficientes parciais para as resistências envolvidos serem unitários nos
restantes casos. Ainda assim, vai estudar-se este problema, para também se analisar se os
resultados obtidos através das três abordagens conduzem a resultados díspares para os muros
considerados, quando se inclui a existência de pressões passivas.
2012
31
Símbolo AC1
AC2 AC3 Comb. 1 Comb. 2
Acção permanente favorável 1,0 1,0 1,0 1,0
Capacidade resistente ao deslizamento
1,0 1,0 1,1 1,0
Capacidade resistente passiva das terras
1,0 1,0 1,4 1,0
Tabela 3. 1 - Coeficientes parciais para acções permanentes favoráveis e capacidade resistente ao deslizamento e passiva de terras
Vejamos quais as implicações a nível da formulação teórica do problema, usando-se, tal como
capitulo anterior, os índices para identificar que as acções são permanentes e
variáveis, que as grandezas são características e de cálculo, e que a força é horizontal,
respectivamente.
Apresenta-se de seguida uma síntese das diferentes expressões para tratar o impulso passivo
enquanto acção favorável ou resistência, para as três abordagens de cálculo.
é acção favorável,
AC1 AC3
(3. 9)
AC2
(3. 10)
é resistência,
AC1 AC3
(3. 11)
AC2
(3. 12)
2012
32
3.2. O que se estudou
O muro tipo estudado neste capítulo corresponde a um muro em L, com dimensões variáveis,
fundado num maciço terroso homogéneo, isto é, quer o terreno de fundação quer o terreno
suportado é o mesmo.
A geometria dos muros varia entre 6, 8 e 10 metros de altura, factor primordial para obtenção
das restantes dimensões dos mesmos, de acordo com os critérios adoptados e que se
apresentam na Figura 3.3. Nos três muros, o ângulo de resistência ao corte do solo foi tomado
igual a 30⁰ e 40⁰ e as análises são drenadas.
Para efeitos dos cálculos, considerou-se ainda que o peso volúmico do betão e do solo valem,
respectivamente, 25 e 18 ⁄ .
H = 6; 8; 10m = 0,25; 0,35; 0,45m (consoante as dimensões dos muros: 6;8;10m respectivamente) = 3,50; 4,60; 5,80m (consoante as dimensões dos muros: 6;8;10m respectivamente) D = H/10 + 0,9 B = (H/10) 2 + b = H- = H/10 + 0,2
Figura 3. 3 – Definição da geometria dos muros em "L" usados nas análises do Capítulo 3
2012
33
Com este novo muro tipo, e com a questão que se pretende abordar, resultam os diagramas
de pressões de terras representados na Figura 3.4, tendo em conta as justificações que se
apresentam no início do parágrafo 3.3 deste trabalho.
Figura 3. 4 - Diagramas de tensões horizontais sobre o muro de suporte tipo resultantes dos impulsos activo e passivo devidos à acção das terras
3.3. Como se estudou
Com o objectivo de simplificar os cálculos admite-se (Terzaghi e Peck, 1967; Clayton et al.,
1993) que as sapatas dos muros são suficientemente grandes para permitirem considerar que
o plano virtual indicado na Figura 3.4 é vertical e que, nesse plano, o atrito é nulo. Isto permite
considerar que, na hipótese de o terrapleno suportado ter inclinação nula, as pressões activas
das terras apenas têm componente horizontal.
Figura 3. 5 - Ilustração que justifica a utilização do método de Rankine para
2012
34
Assim, a dimensão indicada na Figura 3.5 deve ser seleccionada a partir da inequação
(
) e os muros podem então ser analisados utilizando o método de
Rankine.
Quanto às pressões passivas das terras, considera-se também a validade do método de
Rankine, não só por se saber que corresponde a uma solução conservativa como também
corresponde, geralmente, à prática mais habitual em projecto, devido à sua simplicidade de
aplicação. Por outro lado, vai desprezar-se também o peso das terras sobre a zona esquerda
da sapata, o que corresponde também à prática corrente em projecto.
A sequência de cálculo, implementada em folha de cálculo Excel, segue os passos que a seguir
se descrevem, tendo por base a Figura 3.6.
A) Rotura do terreno de fundação (estado limite último GEO)
- Ângulo de resistência ao corte de cálculo
(3. 13)
- Coeficiente de impulso activo de cálculo
(3. 14)
- Coeficiente de impulso passivo de cálculo
⁄
(3. 15)
- Pressão horizontal activa na base do muro
(3. 16)
- Pressão horizontal passiva na base do muro
(3. 17)
- Resultante dos impulsos activos
(3. 18)
2012
35
De seguida, calculam-se as componentes do peso do muro, estando este dividido de acordo
com a representação indicada na Figura 3.6
Figura 3. 6 – Definição das acções verticais e respectivos braços tomados em relação ao centro de gravidade da sapata do muro tipo
A.1) Rotura do solo subjacente à base ( é acção favorável)
- Peso próprio do muro e do solo
(3. 19)
(3. 20)
[
(
)]
(3. 21)
(3. 22)
- Acção vertical de cálculo
(3. 23)
- Resultante dos impulsos passivos
(3. 24)
2012
36
- Acção horizontal de cálculo
(3. 25)
-Braços das forças em relação ao centro de gravidade de sapata do muro
(Figuras 3.6 e 3.7)
Figura 3. 7 - Braços das forças horizontais em relação ao centro de gravidade da sapata do muro tipo
(3. 26)
(3. 27)
(3. 28)
(
) ((
) (
) (
))
(3. 29)
(
) {
[
( )
]}
(3. 30)
(
) (
)
(3. 31)
- Momento flector de cálculo relativo ao centro de gravidade da sapata do
muro
(3. 32)
2012
37
- Excentricidade de cálculo
(3. 33)
- Largura fictícia da sapata
(3. 34)
- Factores de capacidade resistente
(3. 35)
, onde (base rugosa) (3. 36)
-Factores correctivos devido à inclinação da carga resultante na base da sapata
[ ] (3. 37)
[ ] (3. 38)
- Tensão efectiva devido ao peso das terras acima do plano da base da sapata
do muro
(3. 39)
- Capacidade resistente vertical de cálculo
(3. 40)
(3. 41)
A.2) Deslizamento
- Peso próprio do muro e do solo
(3. 42)
(3. 43)
[
(
)]
(3. 44)
(3. 45)
- Acção vertical de cálculo
(3. 46)
2012
38
A.2.1) Passivo é acção favorável
- Impulso passivo de cálculo
(3. 47)
- Acção horizontal de cálculo
(3. 48)
- Resistência horizontal de cálculo
[ (
)] ⁄
(3. 49)
A.2.2) Passivo é resistência
- Impulso passivo de cálculo
(
) ⁄
(3. 50)
- Acção horizontal de cálculo
(3. 51)
- Resistência horizontal de cálculo
[ (
)] ⁄
(3. 52)
B) Derrubamento (estado limite último de equilíbrio – EQU; passivo é acção
estabilizadora)
- Valores característicos dos impulsos de terras e pesos próprios
(3. 53)
(3. 54)
(3. 55)
(3. 56)
[
(
)]
(3. 57)
(3. 58)
2012
39
Figura 3. 8 - Braços das forças verticais relativamente ao ponto "O"
- Braços das forças verticais relativamente ao ponto "O" (Figura 3.9)
(3. 59)
(
) (
)
(3. 60)
(
) [
( )
]
(3. 61)
(
) (
)
(3. 62)
- Momento estabilizador de cálculo
(3. 63)
- Momento instabilizador de cálculo
(3. 64)
2012
40
Note-se que, tal como anteriormente, se considerou nos cálculos um ângulo de atrito de
cálculo no contacto terreno/estrutura, , igual a
e que, na avaliação de , se
diferenciou entre carga vertical de cálculo desfavorável e favorável nas verificações relativas à
rotura do terreno subjacente à base e por deslizamento dos muros, respectivamente.
De referir ainda que no que diz respeito à rotura do terreno subjacente à base e ao
deslizamento, houve necessidade, no caso da abordagem de cálculo 3, de distinguir entre
coeficientes de segurança parciais para as acções estruturais e para as acções geotécnicas,
tendo-se considerado os impulsos das terras e o peso do solo sobre as sapatas dos muros
como acções geotécnicas e o peso próprio dos muros como acção estrutural.
3.4. Resultados
Os resultados obtidos são os apresentados nos gráficos que se seguem. Tal como no Capítulo
2, a apresentação dos resultados segue o mesmo tipo de tratamento, isto é, estes são
apresentados através do índice , o qual traduz o quociente entre acções ou efeitos das
acções de cálculo e resistências de cálculo, sendo óbvio que as diferentes inequações que
permitem assegurar a não ocorrência de determinado estado limite último só são verdadeiras
para valores de .
Os resultados que se apresentam de seguida dizem respeito ao muro com m e a uma
análise que foi desenvolvida para as três abordagens de cálculo incluídas nos estados limite
GEO ( ⁄ e
⁄ ), sendo que os resultados relativos ao derrubamento dos
muros, expressos pelo quociente ⁄ , foram obtidos através do estado limite
EQU e são iguais em todos os gráficos para o mesmo valor de e .
No que se segue, e tal como usado no capítulo 2, usam-se as siglas AC1, AC2, AC3, Comb1 e
Comb2 para designar as abordagens de cálculo 1, 2 e 3 e as combinações 1 e 2,
respectivamente.
A observação das Figuras 3.9 a 3.12 permite verificar genericamente o seguinte:
1. O valor do índice relativo ao deslizamento, , apresenta geralmente os valores
mais elevados, o que coincide com o facto de se saber que neste tipo de muros é o
deslizamento que condiciona o dimensionamento;
2. As Figuras 3.9 e 3.10 mostram que os resultados obtidos com a Comb1 e a Comb2 da
AC1 estão de acordo com o esperado para o tipo de problema estudado, isto é, a
Comb2 condiciona habitualmente o dimensionamento por apresentar genericamente
valores de mais elevados;
3. Os resultados obtidos com AC1Comb2 e a AC3 são muito semelhantes;
4. A AC2 conduz aos resultados mais favoráveis, particularmente no que se refere aos
valores de , pois estes apresentam valores cerca de 3 vezes inferiores aos obtidos
com a AC1Comb2 e a AC3, o que, do ponto de vista da segurança, pode justificar
alguma apreensão face aos resultados obtidos com as restantes abordagens de
cálculo;
2012
41
5. Em todas as figuras, os valores de diminuem com o aumento do ângulo de
resistência ao corte do terreno, afastando os resultados do valor unitário (valor óptimo
em termos económicos), que corresponde à situação ideal de dimensionamento;
6. Desprezando os resultados relativos à Figura 3.9 pelas razões referidas no ponto 2,
verifica-se que não há uma variação expressiva nos valores de ⁄ , sendo
contudo, a AC2 que origina também o valor mais baixo.
Figura 3. 9 - Valores de e obtidos com a abordagem de cálculo 1 combinação 1 com
Figura 3. 10 - Valores de e obtidos com a abordagem de cálculo 1 combinação 2 com
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb1, H=6
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb2, H=6
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
2012
42
Figura 3. 11 - Valores de e obtidos com a abordagem de cálculo 2 com
Figura 3. 12 - Valores de e obtidos com a abordagem de cálculo 3 com
Já no que se refere à questão principal estudada neste capítulo, a análise das figuras, no que
diz respeito aos valores de , permite concluir o seguinte:
7. As Figuras 3.9 a 3.12 mostram que os valores de para as duas hipóteses estudadas
( ⁄ (1) – o passivo é acção favorável;
⁄ (2) – o passivo é resistência) é
genericamente superior quando se considera que os impulsos passivos são resistência
o que, do ponto de visto do dimensionamento, torna esta hipótese mais desfavorável;
A Figura 3.11 permite observar que para , a AC2 conduz a resultados
praticamente coincidentes para as duas hipóteses estudadas (e de valor muito idêntico
ao obtido para o índice relativo ao derrubamento) e que, para , as
hipóteses (1) e (2) conduzem, respectivamente, a um valor negativo e praticamente nulo
do índice .
No primeiro caso, o sinal negativo significa que na equação 3.66, obtida a
partir das equações 3.48 e 3.49,
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC2, H=6
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC3, H=6
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1) é acção
(2) é resistência
2012
43
(3. 66)
enquanto que a equação 3.67, obtida a partir das equações 3.51 e 3.52
(3. 67)
mostra que somar a
torna o índice ⁄ com valor praticamente nulo
por . Ainda assim, a hipótese é mais desfavorável para o dimensionamento
do que a hipótese .
8. Retomando o raciocínio do ponto anterior sobre a Figura 3.11, mas agora para os
casos analisados com , verifica-se que o índice é o mais desfavorável para
efeitos de dimensionamento;
9. As Figuras 3.10 e 3.12 mostram ainda que, também para e para o caso em
que é acção favorável, o índice é o mais desfavorável.
No Anexo D apresentam-se os resultados obtidos para os muros com e m, em
terreno com e .
A análise das figuras aí apresentadas mostra que, no caso do deslizamento:
10. Os resultados não variam de forma muito expressiva com o aumento de altura dos
muros, o que talvez se possa em parte justificar com as proporções geométricas
consideradas (ver Figura 3.3);
11. Os resultados obtidos com a AC1Comb2 e AC3 mostram que o índice aumenta de
valor com o aumento da altura dos muros, particularmente para o caso em que
, atenuando-se, contudo, a diferença entre os valores do índice com as duas
hipóteses estudadas;
12. Observando os resultados obtidos com a AC2, verifica-se que também se acentua a
diferença entre os valores do índice com o aumento da altura dos muros, ainda que,
neste caso, a hipótese em que se considera como resistência conduz habitualmente
a valores de relativos ao deslizamento superiores aos obtidos no derrubamento.
As Figuras 3.13 e 3.14 mostram resultados obtidos com AC1Comb2 para os muros em L com
e m, quando o maciço terroso apresenta um ângulo de resistência ao corte
e , respectivamente, e permitem concluir que:
13. Com a melhoria das características do maciço terroso, todos os índices apresentam
valores mais reduzidos;
14. Para efeitos de dimensionamento dos muros é o índice obtido com a hipótese de
ser considerado como resistência, que condiciona os cálculos, isto é, esta hipótese é
mais desfavorável do que a hipótese que corresponde a tomar como acção
favorável;
2012
44
15. Quando aumenta de para , tomar como resistência continua a ser a
hipótese mais desfavorável de dimensionamento, ainda que para o valor de
apresente para e m valores mais desfavoráveis que na hipótese de
ser tomado como acção desfavorável;
16. Em ambos os casos, o valor de adquire sempre os valores mais reduzidos face à
variação dos outros índices.
Figura 3. 13 - Variações de com , para e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura 3. 14 - Variações de com , para e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Nas Figuras 3.15 a 3.17 apresentam-se resultados relativos a , e em função de ,
referentes aos muros com e m, respectivamente. A análise das figuras mostra
claramente que:
17. Com a melhoria das caracteristicas mecânicas do maciço terroso todos os índices para
os diferentes sofrem uma redução de valor, mantendo-se a hipótese 2, onde se
toma como resistência, como a hipótese mais desfavorável de dimensionamento,
mantendo-se o índice como o menos condicionante.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
6 8 10
H (m)
AC1Comb2, '=30°
Λv
Λh (1)
Λh (2)
Λm (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
6 8 10
H (m)
AC1Comb2, '=40°
Λv
Λh (1)
Λh (2)
Λm (EQU)
(1) 𝐼𝑝 é acção
(2) 𝐼𝑝 é resistência
(1) 𝐼𝑝 é acção
(2) 𝐼𝑝 é resistência
2012
45
Figura 3. 15 - Variações de com , para m e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura 3. 16 - Variações de com , para m e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura 3. 17 - Variações de com , para m e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
'(⁰)
AC1Comb2, H=6m
Λv
Λh (1)
Λh (2)
Λm (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
' (⁰)
AC1Comb2, H=8m
Λv
Λh (1)
Λh (2)
Λm (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
' (⁰)
AC1Comb2, H=10m
Λv
Λh (1)
Λh (2)
Λm (EQU)
(1) 𝐼𝑝 é acção
(2) 𝐼𝑝 é resistência
(1) 𝐼𝑝 é acção
(2) 𝐼𝑝 é resistência
(1) 𝐼𝑝 é acção
(2) 𝐼𝑝 é resistência
2012
46
2012
47
Capítulo 4. Muro em “L” com sobrecarga no terrapleno
4.1. Introdução
Os Eurocódigos fazem uma distinção importante entre acções favoráveis e acções
desfavoráveis. Esta distinção reflecte-se na ordem de grandeza dos coeficientes de segurança
parciais, os quais são genericamente superiores a 1, no caso de acções
desfavoráveis/desestabilizadores, e iguais ou inferiores a 1, no caso de acções
favoráveis/estabilizadoras.
No presente capítulo estuda-se o efeito de uma sobrecarga, , uniformemente distribuída,
aplicada no tardoz de muros de suporte em L, para os casos em que a mesma é permanente
(índice G) ou variável (índice Q) e onde o índice significa tratar-se de um valor característico.
Tendo em conta os procedimentos habituais, verifica-se que o efeito da sobrecarga nas
verificações de segurança se traduz em duas componentes a considerar nos cálculos: ( ) uma
força vertical cujo efeito se soma ao peso das terras sobre a sapata do muro e ( )
uma força horizontal ( ), resultante das pressões das terras (horizontais) sobre o
muro (ver Figuras 4.1 e 4.2).
Verifica-se assim que é desfavorável nas verificações que dizem respeito à rotura do terreno
de fundação (rotura por insuficiência de capacidade resistente ao carregamento do terreno de
fundação e rotura por deslizamento do muro) e ao derrubamento e que é desfavorável na
verificação relativa ao carregamento do terreno de fundação e favorável para o deslizamento e
derrubamento do muro, Tabela 4.1.
Aparentemente, e como forma de ultrapassar o problema, a EN 1997-1 apresenta uma nota ao
parágrafo 2.4.2(9)P que se pode traduzir no habitualmente designado por princípio da origem
única: “Em certas situações, algumas acções permanentes, quer desfavoráveis (ou
desestabilizadoras), quer favoráveis (ou estabilizadoras), poderão ser consideradas como
provenientes da mesma origem. Se assim for, poderá ser aplicado um único coeficiente parcial
à soma dessas acções ou à soma dos respectivos efeitos”.
Como se poder ver pela Tabela 4.1, o problema apenas se coloca na análise do deslizamento
quando a sobrecarga corresponde a uma acção permanente pois, sendo variável, os
coeficientes de segurança parciais são zero sempre que é favorável (ver Anexo B), e isto em
qualquer das três abordagens de cálculo previstas para os estados limites últimos GEO.
2012
48
Favorável - √ Desfavorável - x
Rotura no terreno fundação (GEO) Derrubamento
(EQU) Carregamento do
terreno Deslizamento do
muro
x √ √
x √ √ x √ √ x x x
x x x - peso do muro e das terras sobre a sapata do muro, - força devido à sobrecarga sobre a sapata do muro, - sobrecarga no terrapleno, – valores característicos Tabela 4. 1 - Acções favoráveis e desfavoráveis na análise dos muros com sobrecarga no terrapleno
No parágrafo que se segue, consideram-se os muros e o maciço terroso com as características adoptadas no capítulo anterior, desprezando-se, para simplificação das análises, os impulsos passivos.
Como se sabe, a verificação da segurança ao deslizamento implica que a inequação abaixo seja
verdadeira
(4. 01)
Considerando favorável e desfavorável (análise em termos de acções), tem-se
que:
∑
(4. 02)
( )
(4. 03)
(∑
)
(4. 04)
(∑ )
(4. 05)
pelo que resulta
(∑
)
(4. 06)
Verifica-se assim que a contribuição da sobrecarga na inequação anterior pode ser expressa
pela quantidade
(4. 07)
2012
49
e que, para determinada dimensão do muro, ( ), há anulamento da mesma. De
facto, sendo constante e crescente com , só a partir de determinado valor de é que
contribui para a resistência.
Realizando a análise em termos do efeito das acções (princípio da origem única), há
que verificar a ordem de grandeza de , sendo A tomado igual a
(4. 08)
Por hipótese, se tiver sinal positivo, a quantidade correspondente deve ser tratada como
acção e, se tiver sinal negativo, deve ser tomada como resistência.
Matematicamente pode escrever-se que
- se
(∑
)
(4. 09)
- se
(∑
)
(4. 10)
No parágrafo que se segue vai procurar analisar-se o efeito destas considerações através de
uma análise drenada de muros em L em maciço terroso granular.
4.2. O que se estudou
Para o estudo desta problemática recorreu-se à geometria dos muros em “L” utilizados no
Capítulo 3, mas com ligeiras alterações relativas às forças actuantes, como foi o caso da adição
de sobrecarga e eliminação dos impulsos passivos, que se decidiu desprezar de modo a não
interferir com os resultados e maximizar o impacto da sobrecarga nos resultados, Figuras 3.4 e
4.1. O terreno é homogéneo e apresenta igualmente as características já utilizadas no capítulo
anterior.
Nas Figuras 4.1 e 4.2 representam-se as acções horizontais e verticais, respectivamente,
interessadas no presente estudo.
2012
50
Figura 4. 1 - Diagramas dos impulsos activos devidos ao terreno e à sobrecarga.
Note-se a existência da força , causada pela sobrecarga na zona do terreno à esquerda
do plano virtual, com ponto de aplicação sobre a base do muro, coincidente com o ponto de
aplicação do peso do solo situado sobre a sapata do muro.
Tal como anteriormente, as análises, efectuadas a partir da implementação dos cálculos em
folha Excel, foram realizadas relativamente às três abordagens de cálculo previstas na EN
1997-1, no âmbito de estados limites últimos GEO.
Figura 4. 2 – Cargas verticais consideradas nos cálculos (a vermelho)
2012
51
4.3. Como se estudou
Tendo em conta os objectivos, consideraram-se dois casos:
Caso 1 – a sobrecarga é uma acção variável;
Caso 2 – a sobrecarga é uma acção permanente.
De forma a não sobrecarregar o documento, e porque o que se pretende estudar tem muitas
semelhanças com o problema estudado no Capítulo 3, apresentam-se de seguida as
expressões necessárias no âmbito particular deste capítulo.
- Pressão horizontal (ver Figura 4.1) e resultante de cálculo correspondente ao
impulso de terras devido à sobrecarga
(4. 12)
- Força vertical característica devida à sobrecarga sobre a sapata do muro
e respectivos valores de cálculo
- Braço de relativamente ao centro de gravidade da base da sapata e do centro de
rotação, para análise ao derrubamento
- Braço de relativamente ao centro de gravidade da base da sapata e do
centro de rotação, para análise ao derrubamento
Tendo por referência as expressões já apresentadas no Capítulo 3, e para não repetir parte das
mesmas, apresentam-se de seguida apenas as expressões mais relevantes para o estudo
relativo ao Caso 1, as quais serviram de base aos cálculos em folha de cálculo Excel, tomando
como acção variável.
(4. 11)
(4. 13)
(caso 1) (4. 14)
(caso 2) (4. 15)
(caso 1) (4. 16)
(caso 2)
(4. 17)
⁄
(4. 18)
(4. 19)
(4. 20)
2012
52
Note-se que nas equações anteriores , isto é, a contribuição de
enquanto acção variável favorável ou estabilizadora é nula, pelo que, na mesma verificação de
segurança, a contribuição de apenas interessa enquanto desfavorável ou desestabilizadora.
Considerando a sobrecarga no terrapleno com acção permanente (Caso2) e tendo em conta
que se pretendem resultados relativos a dois tipos de abordagens: ( ) análise em termos de
acções - é favorável e é desfavorável – e ( ) análise em termos do efeito das acções –
principio da origem única, apresentam-se de seguida as expressões necessárias para o efeito,
omitindo as expressões aplicáveis já introduzidas no capítulo anterior e que não se pretendem
repetir novamente.
Assim sendo, no capitulo anterior e no início deste parágrafo, foram apresentados todas as
expressões necessárias às verificações de segurança relativas à rotura do terreno de fundação
subjacente à base do muro, em condições aplicáveis neste contexto: e são acções
desfavoráveis.
Já no que se refere ao deslizamento e ao derrubamento há que distinguir, portanto, dois
casos:
Caso 2a – análise em termos de acções;
Caso 2b – análise em termos do efeito das acções.
Caso 2a – Análise em termos de acções
1) Deslizamento (GEO)
(4. 27)
∑
(4. 28)
∑
(4. 21)
∑
(4. 22)
(4. 23)
∑
(4. 24)
[∑
]
(4. 25)
[( ) ( )]
(4. 26)
2012
53
2) Derrubamento (EQU – todas as acções em jogo são tomadas com os respectivos
valores característicos)
[∑
]
(4. 30)
[( ) ( )]
(4. 31)
Caso 2b – Análise em termos do efeito das acções (principio da origem única)
1) Deslizamento (GEO)
(4. 32)
(4. 33)
(4. 34)
(4. 35)
- Se
a sobrecarga deve ser tomada como desfavorável
relativamente aos dois efeitos tratar como acção.
Neste caso:
∑
(4. 36)
[
] (4. 37)
[ (
) ] (4. 38)
- Se
a sobrecarga deve ser tomada como favorável
relativamente aos dois efeitos tratar como resistência.
e, neste caso:
∑
(4. 39)
(4. 40)
[ (
) (
( ) )
]
(4. 41)
2012
54
2) Derrubamento (EQU – repete-se a necessidade de as acções entrarem nas
respectivas expressões com os seus valores característicos)
Partindo das expressões (4.33) a (4.36) vem que
(4. 42)
(4. 43)
- Se
a sobrecarga deve ser tomada como desfavorável
relativamente aos dois efeitos tratar como acção
permanente desfavorável.
Neste caso resulta
[(∑
)]
(4. 44)
[( ) (
)] (4. 45)
- Se
a sobrecarga deve ser tomada como favorável
relativamente aos dois efeitos tratar como acção
permanente favorável.
obtém-se
[∑
( )]
(4. 46)
(4. 47)
No parágrafo que se segue apresentam-se resultados obtidos através da implementação das
considerações anteriores em folha de cálculo Excel.
2012
55
4.4. Resultados
Os resultados que se apresentam de seguida dizem respeito ao muro em L com altura
m, em maciço terroso homogéneo com e , sujeito a uma sobrecarga
uniformemente distribuída no terrapleno com valor . Os resultados relativos aos
muros com e 10m são apresentados no Anexo E.
A apresentação dos resultados segue o padrão dos capítulos anteriores, isto é, os valores
obtidos são apresentados à custa do índice , distinguindo-se
.
Note-se, mais uma vez, que os resultados relativos a e são obtidos com recurso aos
coeficientes de segurança parciais relativos ao estado limite último GEO, enquanto os
resultados relativos a são obtidos através dos correspondentes ao estado limite último
EQU.
De realçar ainda, tal como referido no parágrafo 2.4, que valores do índice
correspondem à situação mais favorável em termos económicos, enquanto que valores
superiores a 1 não satisfazem as verificações de segurança. Como tal, os valores serão anto
mais desfavoráveis, em termos de dimensionamento, quanto mais próximos do valor unitário.
Nos eixos das ordenadas dos gráficos que a seguir se apresentam, a designação
Acção/Resistência (também com o significado de efeito das acções/resistência, diz respeito a
valores de cálculo) e traduz o valor do índice para cada uma das verificações de segurança
em causa.
As Figuras 4.3 a 4.6 mostram resultados relativos ao muro com 6 metros de altura, inserido
num maciço terroso homogéneo com e e sujeito a uma sobrecarga variável
actuando do lado das terras suportadas, não só, para as três abordagens de
cálculo previstas na EN 1997-1 quanto às verificações de segurança relativas à rotura do
terreno de fundação (estado limite último GEO), mas também no que se refere à verificação
do derrubamento através do estado limite de equilíbrio (EQU).
A análise das figuras permite concluir que:
1. em todos os casos analisados é a verificação ao deslizamento que apresenta os valores
mais desfavoráveis dos índices , assumindo até valores superiores a 1 nas
AC1Comb2, AC2 e AC3, praticamente coincidentes e da ordem de 1,15 na AC1Comb2 e
AC3 (o que significa que naqueles três casos seria necessário proceder ao
redimensionamento do muro) e de 1,1 na AC2 para ;
2. tal como implementado na folha de cálculo, o índice assume valores iguais em
todos os casos, variando apenas com , com uma redução de cerca de 30% quando
passa de a ;
2012
56
3. o aumento de em , passando de para , faz com que diminua cerca de
50%, passando de cerca de 1,18 para cerca de 0,58 nas AC1Comb2 e AC3 e de cerca de
55% na AC2, passando de 1,15 para 0,52;
4. o aumento de em faz com que reduza cerca de 90% no caso da AC1Comb2 e
da AC3 e de 85% no caso da AC2, passando de cerca de 0,8 a 0,1 na AC1Comb2 e AC3 e
de 0,5 a 0,08 na AC2;
5. quando no maciço terroso passa de para , mantém-se como o índice que
condiciona o dimensionamento, mas passa a assumir valores superiores a .
Figura 4. 3- Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com m e variável
Figura 4. 4 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com m e variável
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb1, H=6 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb2, H=6 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm
2012
57
Figura 4. 5 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e variável
Figura 4. 6 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e variável
As Figuras E1 a E4 e E5 a E8 apresentadas no Anexo E dizem respeito a muros com
m, respectivamente, em condições idênticas às consideradas para o muro com m,
isto é, com sobrecarga variável no terrapleno com valor igual a 10kPa. As figuras mostram que:
6. as conclusões retiradas nos itens 1. a 5., relativas ao muro com m mantêm-se
genericamente válidas;
7. os índices sofrem uma reduzida ou quase nula diminuição, apesar de tudo, mais
expressiva nas verificações para m e .
Tendo-se mantido nos estudos para m o mesmo valor da sobrecarga variável, o
efeito das acções tende a atenuar-se no que diz respeito ao seu efeito sobre os muros, com o
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC2, H=6 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC3, H=6 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm
2012
58
aumento da altura destes, pois, as outras acções em jogo tendem a ganhar preponderância
sobre a contribuição dos impulsos das terras devidos à sobrecarga.
Por outro lado, ainda que se saiba que os resultados em termos de índices são
genericamente afectados pelas condições de proporcionalidade geométrica adoptada para os
diferentes muros, verifica-se que:
8. a maior diminuição dos índices ocorre para , quando se passa do muro com
m para o muro com m, o que parece também justificar a perda da
importância do termo face ao valor de , nas condições analisadas.
As Figuras 4.7 a 4.10 mostram resultados relativos as muro com m, para as mesmas
condições das Figuras 4.3 a 4.6, excepto que agora a sobrecarga é permanente.
Desprezando os resultados relativos à AC1Comb1 por, comparativamente à Comb2 ser
genericamente mais favorável, a análise das Figuras 4.7 a 4.10 permite concluir o seguinte:
9. mantêm-se genericamente válidos os itens 1. a 5., relativos à hipótese de ser
variável;
10. a hipótese de tratar o problema da sobrecarga permanente em termos de acções
(caso 2a) conduz sempre a índices e mais desfavoráveis/elevados, do que
considerar o principio da origem única, ainda que a diferença entre resultados assuma
valores praticamente idênticos através das três abordagens de cálculo, isto,
obviamente, no que se refere a ( assume valores iguais em todos as figuras para
cada uma das duas hipóteses: análise em termos de acções ou análise em termos do
princípio da origem única).
Figura 4. 7 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com m e permanente
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb1, H=6 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
2012
59
Figura 4. 8 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com m e permanente
Figura 4. 9 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e permanente
Figura 4. 10 - Valores de obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e permanente
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb2, H=6 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC2, H=6 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC3, H=6 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
2012
60
A Figura 4.11 resume os resultados obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 e Combinação 2
para o muro m em maciço terroso com igual a e e permitem, de forma mais
expressiva, verificar, em geral, as conclusões apresentadas nos itens 1. a 5.
A Figura 4.12 mostra igualmente resultados equivalentes aos da Figura 4.11, mas agora
tomando como sobrecarga permanente. A análise da figura confirma as conclusões dos itens
9 e 10.
No Anexo E são apresentados resultados para os muros com m sujeitos a
sobrecarga permanente, Figuras E9 a E16. As conclusões enunciadas nos itens 1 a 5, 7, 8 e 10
mantêm-se genericamente válidas.
Figura 4. 11 - Variação de com , para m e variável com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura 4. 12 - Variação de com , para m e permanente com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
'(⁰)
AC1Comb2, H=6m com q variável
Λv - caso 1
Λh - caso 1
Λm - caso 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
' (⁰)
AC1Comb2, H=6m com q permanente
Λv - caso 2
Λh - caso 2a
Λh - caso 2b
Λm - caso 2a
Λm - caso 2b
2012
61
As Figuras 4.13 a 4.16 resumem o conjunto de resultados obtidos para os diferentes muros
estudados ( m), em maciços com e , apenas com a Abordagem de
Cálculo 1 e Combinação 2 e para as duas hipóteses: é variável (caso1) e é permanente
(caso2), considerando-se neste caso os dois casos estudados: análise em termos de acções
(caso2a) e análise usando o princípio da origem única (caso2b).
As figuras mostram claramente que:
11. com o aumento da altura dos muros há redução da ordem de grandeza de todos os
índices, para todas as situações analisadas, o que em parte se atribui às condições de
proporcionalidade geométrica adoptada para os diferentes muros e ao facto da
sobrecarga, quer tomada como variável quer como permanente, se manter constante
em todos os estudos;
12. com o aumento de para , o índice mantém-se como o índice condicionante
do dimensionamento para todas as situações analisadas, sendo o índice o menos
condicionante dos cálculos para , ainda que para passa a ser o
índice o menos condicionante;
13. considerar permanente em vez de variável leva a que, em todas as situações
estudadas, haja diminuição da ordem de grandeza dos três índices, especialmente
para os casos em que e, por ordem decrescente de importância,
respectivamente nos valores de , e .
Figura 4. 13 – Variação de com , para e variável com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
H=6 H=8 H=10
𝛬
AC1Comb2, '= 30° com q variável
Λv - caso 1
Λh - caso 1
Λm - caso 1
2012
62
Figura 4. 14 - Variação de com , para e permanente com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura 4. 15 - Variação de com , para e variável com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura 4. 16 - Variação de com , para e permanente com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
H=6 H=8 H=10
𝛬
AC1Comb2, '= 30° com q permanente
Λv - caso 2
Λh - caso 2a
Λh - caso 2b
Λm - caso 2a
Λm - caso 2b
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
H=6 H=8 H=10
𝛬
AC1Comb2, '= 40° com q variável
Λv - caso 1
Λh - caso 1
Λm - caso 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
H=6 H=8 H=10
𝛬
AC1Comb2, '= 40° com q permanente
Λv - caso 2
Λh - caso 2a
Λh - caso 2b
Λm - caso 2a
Λm - caso 2b
2012
63
Capítulo 5. Considerações finais e futuros desenvolvimentos
5.1. Considerações finais
Neste parágrafo apresentam-se as conclusões principais desta dissertação, as quais foram
retiradas a partir da realização de três estudos que tiveram por objectivo avaliar alguns
aspectos relativos a verificações de segurança, tal como previsto pela NP EN 1997-1 (2010) e
no que se refere à estabilidade externa de muros de suporte rígidos.
As questões que se estudaram dizem respeito à tipificação das acções a considerar nos
cálculos, sendo que o texto da norma dá ênfase particular à necessidade de uma distinção
clara entre acções favoráveis e desfavoráveis, acções e resistências e, no que diz respeita à
acção das pressões hidrostáticas da água existentes nos maciços terrosos, não esclarece em
que medida e como se deve proceder perante a possibilidade de introduzir uma margem de
segurança relativamente aos níveis de água, ou como aplicar coeficientes de segurança
parciais aos diagramas de pressão da água para atender à variação dos níveis para condições
normais ou excepcionais de funcionamento durante o período de vida útil da obra.
Os estudos foram realizados com base na elaboração de folhas de cálculo Excel, tendo-se
recorrido a dois muros tipo: ( ) gravidade, para estudo do efeito das pressões hidrostáticas da
água e ( ) em “L”, para estudo das pressões passivas e de sobrecarga no terrapleno suportado.
Cada tipo de estudo envolveu três alturas dos muros de suporte com determinadas
proporções geométricas pré-estabelecidas e uma gama de variação de características
mecânicas dos maciços terrosos envolvidos. Em todos os casos, usou-se a solução de Rankine e
terrapleno suportado com inclinação nula. Realizaram-se as habituais verificações de
segurança para o estado limite último geotécnico (GEO), tendo-se efectuado as verificações
para as três abordagens de cálculo previstas na EN 1997-1 (2004) no que diz respeito às
verificações relativas à insuficiência de capacidade resistente do terreno de fundação
subjacente à base dos muros e ao deslizamento, e para o estado último de equilíbrio estático
(EQU), no que diz respeito ao derrubamento.
No Capítulo 2 estudou-se o efeito de pressões hidrostáticas da água sobre muros de gravidade.
Consideraram-se três muros tipo ( m), suportando terreno com ângulo de
resistência ao corte de e assente em terreno argiloso impermeável com resistência
ao corte não drenada de .
O estudo pretendeu avaliar como usar a regra de aplicação (8) do parágrafo 2.4.6.1 da EN,
quando diz que o valor de cálculo das pressões de água do terreno podem ser obtidos quer por
uma aplicação de coeficientes parciais aos valores característicos das pressões da água (o que
parece aceitável para tratar de forma idêntica a acção da água e acções de outro tipo, mas
pode obrigar à necessidade de distinguir entre pressões hidrostáticas permanentes, associadas
ao nível mais adverso em condições de funcionamento normal da obra, e pressões
hidrostáticas variáveis, associadas ao nível mais adverso durante toda a sua vida útil), quer
pela introdução de uma margem de segurança relativamente aos níveis das pressões de água
2012
64
mais adversas que podem ocorrer durante a vida útil da obra (obviamente que, no limite,
condicionadas pela altura do coroamento dos muros).
O estudo realizado incluiu três formas diferentes de introduzir coeficientes de segurança
parciais (casos d, e, e f), tomando a cota do coroamento dos muros como o nível mais adverso
durante a vida útil da obra (HPWL) e três hipóteses relativas ao nível mais adverso em
condições de funcionamento normal (HNWL). Para estes três níveis estudou-se também o caso
em que se introduz uma margem de segurança relativamente aos níveis de água HNWL (caso
c), tomando o diagrama de pressões de água correspondente a HPWL com valor característico
(o que corresponde obviamente a adoptar uma margem de segurança tanto maior quanto
menor for o nível de HNWL em causa).
Por fim, estudou-se a proposta de Bond e Harris (2008), a qual parecia ser uma solução de
compromisso entre duas formas de incluir, nas verificações de segurança, o efeito das
pressões hidrostáticas da água:
Quando se aplicam coeficientes parciais às pressões efectivas das terras
(AC1Comb1 e AC2) as pressões da água devem também ser multiplicadas por ,
mas sem afectar o nível da água de uma margem de segurança (condição 1);
Quando se aplicam coeficientes parciais às pressões efectivas das terras
(AC1Comb2 e AC3) deve ser aplicada uma margem de segurança ao nível da água
(condição 2 = caso c).
No parágrafo 2.4 do Capítulo 2 desta dissertação são apresentadas as conclusões retiradas das
análises efectuadas, obviamente que limitadas pelas características geométricas e mecânicas
utilizadas, sendo contudo de realçar neste capítulo final as principais conclusões referentes à
proposta de Bond e Harris (2008):
as condições 1 e 2 correspondem genericamente a condições favoráveis face aos
resultados obtidos através das diferentes hipóteses consideradas e para as três
abordagens de cálculo;
índice ⁄ adquire valores crescentes quando se aumenta a altura dos
muros, crescendo também quando se consideram as abordagens AC1Comb1,
AC1Comb2, AC2 e AC3, respectivamente por esta ordem, pelo que os resultados
relativos à AC3 são sempre os mais desfavoráveis e os relativos à AC1 os mais
favoráveis;
com o aumento da altura dos muros verifica-se que o índice ⁄
adquire valores quase iguais para ambas as condições analisadas, ainda que mais
elevadas para a condição 2, e para os três valores de considerados, o que também
deve resultar das condições de proporcionalidade geométrica usadas para definir a
geometria dos três muros;
para o nível mais elevado de HNWL = = 3H/4, verifica-se que o índice cresce
também quando se aumenta a altura dos muros e, dada a sua ordem de grandeza, é
mais condicionante para o dimensionamento do que o índice em todas as situações
analisadas. Verifica-se ainda que os valores de mais desfavoráveis estão associados
2012
65
à AC1Comb2, seguidos, por ordem decrescente, pelos valores obtidos através da AC3,
AC2 e AC1Comb1, tornando-se assim a AC1Comb2 a abordagem de cálculo e
combinação como o “critério” mais desfavorável para efeito de dimensionamento;
com a redução da altura do diagrama das pressões da água, isto é, com a redução de
= HNWL, verifica-se que os resultados relativos a tendem a diminuir nos casos
da AC1Comb1 e AC2 (onde se usou a condição 1) e a aumentar com a AC1Comb2 e
AC3 (onde se usou a condição 2), sendo agora mais desfavorável, e para m, o
valor relativo à AC3, contrariando a conclusão anterior.
No Capítulo 3 estudou-se o problema dos impulsos passivos, procurando analisar-se efeitos
nos resultados quando os mesmos são considerados acções permanentes favoráveis ou como
resistência.
A dúvida sobre a forma adequada para tratar os impulsos passivos surge no parágrafo 9.7.3(P)
da EN 1997-1, onde o capítulo 9 diz respeito às estruturas de suporte e remete, quando tal
seja considerado como apropriado, para o capítulo 6, relativo a fundações superficiais, no que
tem a ver com as verificações de segurança relativas à rotura por insuficiente capacidade
resistente ao carregamento do solo subjacente à base e ao deslizamento do muro pela base.
Ora, no contexto do capítulo 6, a força resistente causada por pressões de terras num lado de
uma fundação, , é somada à resistência horizontal de cálculo, , sendo igual subtrair
aquela quantidade à acção horizontal, . Note-se que não é habitual considerar-se a
contribuição das pressões passivas no que diz respeito às verificações de segurança ao
deslizamento de sapatas pela base e, o Anexo A.3.3.1 (Quadro A.5) da norma, apenas
apresenta coeficientes de segurança parciais relativamente ao carregamento vertical do
terreno, , e ao deslizamento, . De um ponto de vista prático, isto significa que, apesar
do símbolo usado ( ) e da designação “força resistente”, a única hipótese é tratar as
pressões passivas como acção permanente favorável, usando factor de segurança parcial,
, pois não há indicação quanto a , coeficiente de segurança parcial para a resistência
passiva das terras.
O capítulo 9 não faz qualquer referência ao Anexo A (Coeficientes parciais e de correlação para
estados limites últimos e valores recomendados), ainda que no parágrafo A.3.3.5 sejam
apresentados os coeficientes parciais para a capacidade resistente vertical do terreno de
fundação, , capacidade resistente ao deslizamento, , e capacidade resistente passiva
de terras, , parecendo assim que, no contexto deste capítulo, ganha significado que os
impulsos passivos sejam tratados como resistência.
No âmbito do Capítulo 3 desenvolveram-se análises com o objectivo de avaliar o efeito de
tratar os impulsos passivos como acção permanente favorável ou como resistência, devendo
notar-se que, tendo as análises sido desenvolvidas para as três abordagens de cálculo previstas
para o estado limite ultimo GEO, apenas tem relevância a abordagem de cálculo 2, onde os
diferentes coeficientes parciais têm valor não unitário.
2012
66
Os estudos foram desenvolvidos a partir da implementação de uma folha de cálculo Excel,
tendo por base muros em “L” com diferentes alturas ( m), com determinadas
proporções geométricas pré-estabelecidas (por exemplo: D = H/10 + 0,9, onde D representa a
altura do diagrama das pressões passivas), inseridos em maciço granular homogéneo com
valores de ângulo de resistência ao corte e . Para as condições analisadas
consideraram-se ainda terraplenos horizontais e a validade da solução de Rankine para as
pressões activas e passivas.
Para além de outras conclusões, apresentadas no final do Capítulo 3, interessa aqui realçar
que, no caso do muro com m:
os resultados obtidos com a AC1Comb3 e a AC3 são muito semelhantes;
a AC2 conduz aos resultados mais favoráveis, particularmente no que se refere aos
valores de , pois estes apresentam valores cerca de 3 vezes inferiores aos obtidos
com a AC1Comb2 e a AC3, o que, do ponto de vista da segurança, pode justificar
alguma apreensão face aos resultados obtidos com as restantes abordagens de
cálculo.
Quanto à questão principal estudada no Capítulo 3, e no que diz respeito a
verifica-se que este índice é para as duas hipóteses estudadas ( ⁄ (1) – o passivo é acção
favorável; ⁄ (2) – o passivo é resistência) genericamente superior quando se considera
que os impulsos passivos são resistência o que, do ponto de visto do dimensionamento, torna
esta hipótese mais desfavorável.
Quando se aumenta a altura dos muros verifica-se que:
os resultados não variam de forma muito expressiva, o que talvez se possa em parte
justificar com as proporções geométricas consideradas;
os resultados mostram que o índice aumenta de valor particularmente para o caso
em que , atenuando-se, contudo, a diferença entre os valores do índice com
as duas hipóteses estudadas.
Considerando apenas os resultados relativos à AC1Comb2, pode concluir-se que, com o
aumento da altura dos muros:
é o índice obtido com a hipótese de ser considerado como resistência que
condiciona os cálculos, isto é, esta hipótese é mais desfavorável do que a hipótese que
corresponde a tomar como acção favorável;
quando aumenta de para , tomar como resistência continua a ser a
hipótese mais desfavorável de dimensionamento, ainda que para o valor de
apresente, para e m valores mais desfavoráveis que na hipótese de
ser tomado como acção desfavorável.
2012
67
No Capítulo 4 estudou-se o efeito de sobrecargas uniformemente distribuídas na superfície
horizontal do terreno suportado, distinguindo-se entre sobrecargas permanentes e variáveis,
por forma a analisar o respectivo efeito na ordem de grandeza dos três índices , e .
Para o efeito usaram-se os mesmos muros em “L” do Capítulo 3 e maciços terrosos com as
mesmas características mecânicas, desprezaram-se os impulsos passivos, tomou-se uma
sobrecarga e os resultados obtidos dizem respeito, mais uma vez, às três
abordagens de cálculo quando se trata do estado limite último GEO.
A questão central tem a ver com a forma de lidar com uma acção que, numa mesma
verificação de segurança pode dar origem a duas componentes que exercem efeitos
contrários: uma força vertical cujo efeito se soma ao peso das terras sobre a sapata do muro
(sendo por isso desfavorável na verificação relativa à capacidade resistente vertical do terreno
subjacente ao muro e favorável para o deslizamento e derrubamento) e uma resultante
horizontal que é desfavorável nas três verificações de segurança, relativas à estabilidade
externa dos muros de suporte.
Ainda que de forma não categórica, a EN 1997-1 apresenta uma nota ao parágrafo 2.4.2(9)P,
que se pode traduzir no habitualmente designado “princípio da origem única”, o qual
estabelece que, em certas situações, algumas acções permanentes, quer desfavoráveis (ou
instabilizadoras) quer favoráveis (ou estabilizadoras), devem ser consideradas como
provenientes da mesma origem e, assim sendo, ser aplicado um único coeficiente parcial à
soma dessas acções ou à soma dos respectivos efeitos.
Esta decisão, aparentemente deixada ao ajuizamento dos interessados, apenas tem significado
nas verificações de segurança relativas ao deslizamento dos muros quando a sobrecarga é
permanente pois, sendo variável, os coeficientes parciais são zero sempre que é favorável, e
isto em qualquer das três abordagens de cálculo previstas para os estados limite GEO.
As análises desenvolvidas no âmbito do Capítulo 4, quando é permanente, distinguiram
entre dois tipos de situações: análise em termos de acções e análise em termos do efeito das
acções (princípio da origem única).
No último parágrafo do Capítulo 4 apresentaram-se as conclusões retiradas a partir das
condições geométricas e mecânicas relativas às situações analisadas, pelo que neste capítulo
de conclusões apenas se apresentam aquelas que têm a ver directamente com o objectivo
principal das análises efectuadas, isto é, com a situação em que a sobrecarga no terrapleno é
permanente.
Nesta situação, a principal conclusão é:
a hipótese de tratar o problema da sobrecarga permanente em termos de acções
(caso 2a) conduz sempre a índices e mais desfavoráveis/elevados, do que
considerar o principio da origem única, ainda que a diferença entre resultados assuma
valores praticamente idênticos através das três abordagens de cálculo, isto,
obviamente, no que se refere a ( assume valores iguais em todos os casos para
cada uma das duas hipóteses: análise em termos de acções ou análise em termos do
2012
68
princípio da origem única, pois é sempre obtido através dos coeficientes parciais
previstos para o estado limite último de equilíbrio - EQU).
Tendo apenas por referência a AC1Comb2 e os muros com m e e ,
conclui-se que:
com o aumento da altura dos muros há redução da ordem de grandeza de todos os
índices, para todas as situações analisadas, o que em parte se atribui às condições de
proporcionalidade geométrica adoptada para os diferentes muros e ao facto da
sobrecarga, quer tomada como variável quer como permanente, se manter constante
em todos os estudos;
com o aumento de de para , o índice mantém-se como o índice
condicionante do dimensionamento para todas as situações analisadas, sendo o índice
o menos condicionante dos cálculos para , ainda que para passa
a ser o índice o menos condicionante;
considerar permanente em vez de variável leva a que, em todas as situações
estudadas, haja diminuição da ordem de grandeza dos três índices, especialmente
para os casos em que e, por ordem decrescente de importância,
respectivamente nos valores de , e .
5.2. Desenvolvimentos futuros
Com este trabalho pretendeu-se clarificar alguns aspectos referentes à aplicação da EN 1997-1,
no que se refere às verificações de estabilidade externa de muros de suporte rígidos. As
conclusões retiradas no âmbito do trabalho desenvolvido são necessariamente limitadas aos
casos analisados, no que se refere à geometria dos muros e às características mecânicas dos
maciços terrosos envolvidos.
Assim, em termos de desenvolvimentos futuros, sugere-se que sejam implementados estudos
com os seguintes objectivos:
definir que tipo de diagramas de pressões hidrostáticos da água devem ser usados,
quando se pretende distinguir entre pressões permanentes e variáveis durante a vida
útil da obra;
estabelecer correspondência entre coeficientes de segurança parciais a aplicar aos
diagramas de pressão da água, de acordo com os níveis de segurança associados às
diferentes abordagens de cálculo, e a possibilidade de introduzir “reserva de
segurança” através da utilização de margens de segurança, tendo por referência níveis
correspondentes a condições normais e condições excepcionais de funcionamento,
durante o período de vida útil da obra;
confirmar, através da análise de outros casos de estudo, nomeadamente no que se
refere à definição das pressões activas e passivas e à definição de outras condições de
fronteira e características mecânicas dos materiais envolvidos, se tomar as pressões
2012
69
passivas como resistência corresponde sempre a uma solução favorável em termos de
dimensionamento das estruturas de suporte rígidas;
confirmar, para condições idênticas às definidas no item anterior, que quando a
sobrecarga uniformemente distribuída do lado do terrapleno suportado é
permanente, o principio da origem única corresponde sempre e também a uma
solução desfavorável em termos de dimensionamento;
desenvolver estudos do mesmo tipo para casos em que existem subpressões de água,
em análises drenadas, na medida em que os diagramas de pressão correspondentes
são favoráveis na verificação que diz respeito à capacidade resistente vertical do
terreno de fundação dos muros e desfavoráveis nas verificações relativas a
deslizamento e derrubamento, sendo que nos dois primeiros casos está definido no
Eurocódigo que a resultante das subpressões deve ser subtraída à acção vertical de
cálculo (o que implica, à partida, o uso de um coeficiente de seguranças parcial único à
diferença entre aquelas duas quantidades) e nada é indicado quanto ao critério a usar
nas verificações relativas ao derrubamento.
2012
70
2012
71
Referências bibliográficas
Bond, A.; Harris, A. (2008) “Decoding Eurocode 7”, Taylor & Francis
Cernica, J. A. (1995) “Foundation Design”, John Wiley & Sons
Clayton, C.R.I.; Milititsky, J.;Woods, R.J. (1993) “Earth Pressure and Earth-Retaining
Structures”, 2nd ed., Blakie Academic and Professional
EN 1997-1 (2004) – “Eurocode 7, Geotechnical design, part 1: General rules”, CEN, European
Committee for Standardization, Brussels
Mineiro, A. (1978) “Mecânica dos Solos e Fundações”, FCT/UNL, Lisboa
NP EN 1997-1 (2010) “Eurocódigo 7 – Projecto geotécnico, Parte 1: Regras gerais”, IPQ,
Portugal
Terzaghi, K; Peck, R.B. (1967) “Soil Mechanics in Engineering Practice”, 2nd ed., John Wiley and
Sons
Varatojo, P. (2005) – Folhas de apoio à disciplina de Fundações e Taludes, FCT/UNL, Lisboa
2012
72
2012
73
Anexos
2012
74
2012
75
Anexo A
Transcrição parcial do Anexo D da EN 1997-1: Exemplo de um método
de cálculo para aplicação da capacidade resistente do terreno ao carregamento
2012
76
2012
77
A EN 1997-1 apresenta no seu Anexo D um conjunto de expressões aproximadas para a
avaliação da capacidade resistente vertical do terreno, obtidas da teoria da plasticidade e de
resultados experimentais devendo atender-se aos efeitos dos seguintes factores:
a resistência do terreno, geralmente representada pelos valores de cálculo de cu, c’ e
’;
a forma, a profundidade e a inclinação da fundação;
a excentricidade e inclinação das cargas de cálculo;
a inclinação da superfície do terreno;
as pressões na água do terreno e os gradientes hidráulicos;
a variabilidade do terreno, especialmente a estratificação.
Para integral compreensão da simbologia das expressões que abaixo se apresentam, o leitor
deve recorrer da listagem de símbolos e respectiva definição apresentada sob o titulo de
Simbologia no início desta dissertação.
Em condições não drenadas
O valor de cálculo da capacidade resistente do terreno pode ser calculada por:
(A. 1)
com os coeficientes adimensionais para:
a inclinação da base da fundação:
(A. 2)
a forma da fundação:
, para a forma rectangular
(A. 3)
, para a forma quadrada ou circular
(A. 4)
a inclinação da carga, causada pela carga horizontal H:
√
, com
(A. 5)
Em condições drenadas
(A. 6)
2012
78
com os valores de cálculo dos coeficientes adimensionais para:
a capacidade resistente do terreno ao carregamento:
(A. 7)
( ) (A. 8)
, onde (base rugosa) (A. 9)
a inclinação da base da fundação:
(A. 10)
(A. 11)
a forma da fundação:
(
) , para uma forma rectangular;
(A. 12)
, para uma forma circular ou quadrangular; (A. 13)
(
), para uma forma rectangular;
(A. 14)
, para uma forma circular ou quadrangular; (A. 15)
para forma rectangular, quadrangular ou circular. (A. 16)
a inclinação da carga, causada por uma força horizontal H:
[ ] (A. 17)
[ ] (A. 18)
( ) (A. 19)
onde:
[ (
)] [ (
)] quando H actua na direcção de B’
(A. 20)
[ (
)] [ (
)] quando H actua na direcção de L’ (A. 21)
Em casos onde a componente horizontal da carga actua numa direcção formando um
ângulo com a direcção de L’, m pode ser calculado por:
(A. 22)
2012
79
Anexo B
Transcrição parcial do Anexo A da EN 1997-1: Coeficientes parciais de
segurança para estados limites últimos e valores recomendados
2012
80
2012
81
Tendo em conta o âmbito da presente dissertação, apenas se transcreve o conjunto de
coeficientes de segurança parciais necessário ao desenvolvimento das análises efectuadas.
1. Coeficientes parciais para verificação de estados limites de perda de equilíbrio (EQU)
Devem ser aplicados para a verificação de estados limites de perda de equilíbrio (EQU) os
seguintes coeficientes parciais para as acções, :
para acções permanentes desfavoráveis (desestabilizantes);
para acções permanentes favoráveis (estabilizantes);
para acções variáveis desfavoráveis (desestabilizantes);
para acções variáveis favoráveis (estabilizantes).
Acção Símbolo Valor
Permanente Desfavorável Favorável
1,1 0,9
Variável Desfavorável Favorável
1,5 0
a Desestabilizador b Estabilizador
Tabela B 1 – Coeficientes de segurança parciais para as acções,
Para a verificação de estados limites de perda de equilíbrio (EQU) os seguintes coeficientes
parciais devem ser aplicados para os parâmetros do solo, , quando são tidas em conta
pequenas capacidades resistentes ao corte:
para a tangente do ângulo de resistência ao corte do solo em tensões
efectivas;
para a coesão em tensões efectivas;
para a resistência não drenada;
para a resistência à compressão uniaxial;
para a peso volúmico.
2012
82
Parâmetro do solo Símbolo Valor
Ângulo de resistência ao corte em tensões efectivas a 1,25
Coesão em tensões efectivas 1,25
Resistência não drenada 1,4
Resistência à compressão uniaxial
1,4
Peso volúmico 1,0
a Este coeficiente é aplicado à
Tabela B 2 – Coeficientes de segurança parciais para parâmetros do solo ( )
2. Coeficientes de segurança parciais para verificação de estados limites de rotura estrutural
(STR) ou de rotura do terreno (GEO)
2.1. Coeficientes parciais para as acções ( ) ou para os efeitos das acções ( )
Para a verificação de estados limite de rotura estrutural (STR) ou de rotura do terreno
(GEO) aplica-se um dos conjuntos A1 ou A2 dos seguintes coeficientes parciais para as
acções ( ) ou para os efeitos das acções ( ):
para as acções permanentes favoráveis ou desfavoráveis;
para as acções variáveis favoráveis ou desfavoráveis
Acção Símbolo Conjunto
A1 A2
Permanente Desfavorável
1,35 1,0
Favorável 1,0 1,0
Variável Desfavorável
1,5 1,3
Favorável 0 0 Tabela B 3 – Coeficientes de segurança parciais nas acções ( ) ou efeitos das acções ( )
2.2. Coeficientes parciais para parâmetros do solo ( )
Para a verificação de estados limites de rotura estrutural (STR) ou de rotura do terreno (GEO)
deve ser aplicado um dos conjuntos M1 ou M2 dos seguintes coeficientes de segurança
parciais para os parâmetros do solo ( ):
para a tangente do ângulo de resistência ao corte em tensões efectivas;
para a coesão em tensões efectivas;
para a resistência não drenada;
para a resistência à compressão uniaxial;
para a peso volúmico.
2012
83
Parâmetro do solo Símbolo Conjunto
M1 M2
Ângulo de resistência ao corte em tensões efectivas a 1,0 1,25
Coesão em tensões efectivas 1,0 1,25
Resistência ao corte não drenada 1,0 1,4
Resistência à compressão uniaxial 1,0 1,4
Peso volúmico 1,0 1,0 a Este coeficiente é aplicado à Tabela B 4 – Coeficientes de segurança parciais para os parâmetros do solo,
2.3. Coeficientes de segurança parciais para as capacidades resistentes ( )
2.3.1. Coeficientes parciais para as capacidades resistentes para estruturas de suporte
Em estruturas de suporte, a verificação de estados limites de rotura estrutural (STR) ou de
rotura do terreno (GEO), deve incluir um dos conjuntos R1, R2 e R3 dos seguintes coeficientes
de segurança parciais para as capacidades resistentes ( ):
para a capacidade resistente ao carregamento do terreno;
para a capacidade resistente ao deslizamento;
para a capacidade resistente passiva de terras.
2.4. Estado Limite GEO e as três abordagens de cálculo
No âmbito das verificações de segurança associados aos estados limites de rotura estrutural
(STR) ou de rotura do terreno (GEO) em situações persistentes ou transitórias, a EN 1997-1
prevê três abordagens de cálculo a que se encontram associados diferentes conjuntos de
factores de segurança parciais.
Capacidade resistente Símbolo Conjunto
R1 R2 R3
Capacidade resistente ao carregamento do terreno de fundação
1,0 1,4 1,0
Capacidade resistente ao deslizamento do muro
1,0 1,1 1,0
Capacidade resistente passiva de terras
1,0 1,4 1,0
Tabela B 5 – Coeficientes de segurança parciais para as capacidades resistentes ( ) para estruturas de suporte
2012
84
À data, Portugal adoptou, como abordagem de cálculo, através do Documento de Aplicação
Nacional de 2010, a Abordagem de Cálculo 1 (AC1), a qual inclui duas combinações de
diferentes conjuntos de coeficientes de segurança parciais:
De acordo com o parágrafo 2.4.7.3.4 da EN 1997-1, os diferentes conjuntos de coeficientes de
segurança parciais, com excepção dos casos das estacas carregadas axialmente e de
ancoragens, são:
Abordagem de Cálculo 1 (AC1):
Combinação 1: A1 “+” M1 “+” R1
Combinação 2: A2 “+” M2 “+” R1
em que “+” significa “cominado com”
Abordagem de Cálculo 2 (AC2):
Combinação: A1 “+” M1 “+” R2
Abordagem de Cálculo 3 (AC3):
Combinação: (A1* ou A2+) “+” M2 “+” R3
* nas acções estruturais
+ nas acções geotécnicas
2012
85
Anexo C
Gráficos relativos ao Capítulo 2 - Muro de gravidade sob o efeito da água
2012
86
2012
87
Figura C 1 - Pressões das terras e da água (com HNWL= =3H/4) no muro de gravidade, hipóteses (= condição 2) e
Figura C 2 - Pressões das terras e da água (com HNWL= =3H/4) no muro de gravidade, hipóteses
2012
88
Figura C 3 - Pressões das terras e da água (com HNWL= =3H/4) no muro de gravidade, hipóteses
Figura C 4 - Pressões das terras e da água (com HNWL= =3H/4) no muro de gravidade, condição 1
2012
89
Figura C 5 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
Figura C 6 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura C 7 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=4m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
AC1Comb1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=4m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC1Comb2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=4m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
AC2
2012
90
Figura C 8 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 3
Figura C 9 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
Figura C 10 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=4m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=6m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
AC1Comb1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=6m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC1Comb2
2012
91
Figura C 11 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 2
Figura C 12 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 3
Figura C 13 - Valores de para ⁄
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=6m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
AC2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=6m e h2=3H/4
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
H=2 H=4 H=6
Vd/Rd h2=H/2
AC1Comb1(Cond1)AC1Comb2(Cond2)AC2 (Cond1)
AC3 (Cond2)
2012
92
Figura C 14 - Valores de para ⁄
Figura C 15 - Valores de para ⁄
Figura C 16 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
H=2 H=4 H=6
Hd/Rd h2=H/2
AC1Comb1(Cond1)AC1Comb2(Cond2)AC2 (Cond1)
AC3 (Cond2)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
H=2 H=4 H=6
Mdst/Mstb h2=H/2
Condição 1
Condição 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=4m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
AC1Comb1
EQU
2012
93
Figura C 17 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura C 18 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 2
Figura C 19 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=4m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC1Comb2 AC1Comb2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=4m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
AC2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=4m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC3
2012
94
Figura C 20 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
Figura C 21 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura C 22 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=6m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
AC1Comb1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=6m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC1Comb2 AC1Comb2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=6m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
AC2
2012
95
Figura C 23 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 3
Figura C 24 - Valores de para ⁄
Figura C 25 - Valores de para ⁄
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=6m e h2=H/2
Λv
Λh
Λm
c=condição 2
AC3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
H=2 H=4 H=6
Vd/Rd h2=H/4
AC1Comb1(Cond1)AC1Comb2(Cond2)AC2 (Cond1)
AC3 (Cond2)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
H=2 H=4 H=6
Hd/Rd h2=H/4
AC1Comb1(Cond1)AC1Comb2(Cond2)AC2 (Cond1)
AC3 (Cond2)
2012
96
Figura C 26 - Valores de para ⁄
Figura C 27 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
Figura C 28 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
H=2 H=4 H=6
Mdst/Mstb h2=H/4
Condição 1
Condição 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=4m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm (EQU)
AC1Comb1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=4m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm (EQU)
c=condição 2
AC1Comb2 AC1Comb2
EQU
2012
97
Figura C 29 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 2
Figura C 30 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 3
Figura C 31 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=4m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm (EQU)
AC2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=4m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm (EQU)
c=condição 2
AC3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=6m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm (EQU)
AC1Comb1
2012
98
Figura C 32 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2
Figura C 33 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 2
Figura C 34 - Valores de para m, ⁄ e Abordagem de Cálculo 3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=6m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm (EQU)
c=condição 2
AC1Comb2 AC1Comb2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f cond1
H=6m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm (EQU)
AC2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b c d e f
H=6m e h2=H/4
Λv
Λh
Λm (EQU)
c=condição 2
AC3
2012
99
Anexo D
Gráficos referentes ao Capítulo 3 - Muro em “L” sob efeito de impulso passivo
2012
100
2012
101
Figura D 1 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com m
Figura D 2 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com m
Figura D 3 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb1, H=8
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb2, H=8
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC2, H=8
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
2012
102
Figura D 4 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m
Figura D 5 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com m
Figura D 6 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com m
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC3, H=8
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb1, H=10
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb2, H=10
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
2012
103
Figura D 7 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m
Figura D 8 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC2, H=10
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
30 40
𝛬
'(⁰)
AC3, H=10
Λv
Λh(1)
Λh(2)
Λm
(1 é acção
(2 é resistência
2012
104
2012
105
Anexo E
Gráficos referentes ao capítulo 4 - Muro em “L” sob efeito de sobrecarga
2012
106
2012
107
Figura E 1 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com m e variável
Figura E 2 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com m e variável
Figura E 3 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e variável
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb1, H=8 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb2, H=8 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC2, H=8 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm (EQU)
2012
108
Figura E 4 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e variável
Figura E 5 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com m e variável
Figura E 6 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 2 com m e variável
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC3, H=8 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb1, H=10 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb2, H=10 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm (EQU)
2012
109
Figura E 7 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e variável
Figura E 8 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e variável
Figura E 9 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 combinação 1 com m e permanente
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC2, H=10 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC3, H=10 com q variável (caso 1)
Λv
Λh
Λm (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb1, H=8 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
2012
110
Figura E 10 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 combinação 1 com m e permanente
Figura E 11 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e permanente
Figura E 12 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e permanente
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb2, H=8 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC2, H=8 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC3, H=8 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em tremos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
2012
111
Figura E 13 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com m e permanente
Figura E 14 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 1 Combinação 1 com m e permanente
Figura E 15 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 2 com m e permanente
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb1, H=10 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC1Comb2, H=10 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC2, H=10 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)
2012
112
Figura E 16 - Valores de e obtidos com a Abordagem de Cálculo 3 com m e permanente
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
30 40
𝛬
'(⁰)
AC3, H=10 com q permanente (caso 2)
Λv
Λh em termos de acções
Λh p. origem única
Λm em termos de acções (EQU)
Λm p. origem única (EQU)