Harmônicos Esféricos z x y (Images from jws/dpgraph/Yellm.html)
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lime
Harmônicos Esféricos
z
x
y
00
0, 0
1
4
l m
Y
11
1, 1
3sin exp( )
8
l m
Y i
10
1, 0
3cos
4
l m
Y
11Y
11Re[ ]Y
10Y00Y
(Images from http://odin.math.nau.edu/~jws/dpgraph/Yellm.html)
Harmônicos Esféricos(2)
(Images from http://odin.math.nau.edu/~jws/dpgraph/Yellm.html)
z
x
y
220
2, 0
5(3cos 1)
16
l m
Y
21
2, 1
15sin cos exp(i )
8
l m
Y
222
2, 2
15sin exp(2i )
32
l m
Y
21Y
21Re[ ]Y
22Y
22Re[ ]Y
20Y
7.4: Efeitos do campo magnético nos espectros atômicos— Efeito Zeeman
t = m x B = dL/dt
imã
Experimento de Stern-Gerlach
E. F. F. Chladni(1756-1827)
Acústica (1803)
Figuras de Chladni em 2 Dimensões
A areia acumula-se
nos nós
Toque em Lugares diferentes
Arco de violino em várias posicões
diferentes
Ondas estacionárias
Gelo seco
Click for Longer Chladni Movie (9.5MB)
CO2
Placa de bronze
Crude Chladni Figures
3 Diameters / 1 Circle3 Circles
1 Diameter / 2 Circles
4 Diameters / 1 Circle from in-class demo
Posicão no interior do nó circular externoCf. http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/MembraneCircle/Circle.html
(1,2)
Figuras de Chladnipara um
disco fino
Figuras de Chladnipara um
disco fino
Número de nós diametrais
Núm
ero de Nós C
irculares
PITCH
47 Patterns!
Nota: Para frequências mais altas, aumenta o número de maneiras de se obter a mesma frequência com padrões de
ondas estacionárias diferentes (figuras de Chladni diferentes, mas com mesmas frequências)
Frequência ≈ (Nós diametrais + 2 Nós circulares) 2
8 Lines
4 Circles
2 Circles4 Lines3 Circles
2 Lines
1 Circle6 Lines
Num
ber of Circles
Number of Diameters
1 Circle2 Lines
e.g. Daniel
Bernoulli(1700-1782)
Great Mathematicians Worked on Chladni’s 2-D Problems:
2/x2 + 2/x2 + 2/x2
(abbreviated 2)the Laplacian Operator
s para átomos com um elétron envolvem os
“Harmonicos Esféricos” de Laplace
(Análogo - 3D das Figuras de Chladni)
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