H/DH/D H/D H/D H/D H/D H/D H/D

m rm r

.C rM

RM

O.

MmMm rrEr

Ze

Mm,

422 0

2

z

x y )()(, rRgrR

,)()( mlYrRr

,,42 0

2

rEr

Zeer

RgEg TR 2

ikRARg exp)(

estacionáriestacionárioo

EEtranslacionaltranslacional

Átomo livreÁtomo livre

t

iH

II- 1. O átomo de Hidrogênio – Solução de Schrödinger

2.a O Momento angular2.a O Momento angular

• Modelo de Sommerfeld

– H ( = 4,57 THz ) = 100 MHz– separação Z4

• n determina semi-eixo maior de órbita elíptica

– k onde k n

• degenerescência quebrada pelo efeito de aumento de massa relativístico

)(

4

31 4

2

22

2

2

, Ok

n

n

Z

n

ZRhcE kn

Zee

r

ZeV

r

eVext

0int

0 4

1

4

1

2.b O Momento angular – e a força central2.b O Momento angular – e a força central

0,, 2 LL HH

0L

dt

d

Das constantes de movimento:

)(2

)(2

222 rVvvrVvE r

• Constantes de movimento

• Sistema de equações diferenciais

HLL

L

L

zz

y

x

,, 2

2

L

L

)(1)(

)()(

)()(

22 rllr

rmrL

rErH

z

L

)(2

1

2

1)(L

2

1

22

cos12222

2 rVppprVvE rr

,)()( mlYrRr

3.a Solução radial3.a Solução radial

,)()( ,m

lln YrRr

,,42 0

2

rEr

Zeer

ikrikre BeAerRrRErR

dr

dr

2

2

2

Solução assintótica:

R

r

llRrVE

dr

dRr

dr

d

r 222

2

1)(

21

• E > 0 • E < 0

tkrier

Atr 0),(

ikE

rbruerurR j

jj

r

2

)(

2

2

2

22

2

2 n

ZR

n

ZmcEn

)1()1(

2 1

lljj

Zjbb cj

j

3.b Funções radiais do H3.b Funções radiais do H

Degenerescência do níveis de energia

3.c Solução angular3.c Solução angular

21

0

12 nlgn

l

• Harmônicos esféricos e autovalores

s p d

s s p s p d

• Inteiros e restritos

210100

210

m

lY m

l

1nl

mLZ 1 llL

lml

iLZ

2

2

222 111

sensensenL

3.d Funções angulares do H3.d Funções angulares do H

4. Orbitais

http://webphysics.davidson.edu/Applets/java11_Archive.html

http://www.uky.edu/~holler/html/orbitals__1.html

http://bouman.chem.georgetown.edu/atomorbs/28.iso3dz2.qt

http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/7g/index.html

5. Energia e momento angular5. Energia e momento angular

21

0

12 nlgn

l

Degenerescência do níveis de energia

6.a Momento magnético do movimento 6.a Momento magnético do movimento orbitalorbital

• Momento magnéticoMomento magnético

• Torque do campo Torque do campo BB

• Energia potencialEnergia potencial

B

B

nIA

nIA

BV

BV

zBB

zBB

lmenevr

2

ˆ21

revI 2 2rA

6.b Transições6.b Transições

•TransiçãoTransição

mm=0,=0,11

• magneton de Bohrmagneton de Bohr

• Precessão do momento Precessão do momento angularangular

BEmBmBm

eV BB

2

BEmBmB

m

eV BB

2

BBg

senl

Bsen

senlBlB

L

BBg

senl

Bsen

senlBlB

L

eB m

e

2

eB m

e

2

E = campo oemE = campo oemB = campo externo cte.B = campo externo cte.

EEBB EE||||BB EEBB

m = +1 m = +1 m = 0 m = 0 m = -1m = -1

B = 0B = 0

6c. Efeito Zeeman6c. Efeito Zeeman

X

E

E||

B

II

IIII

IIII

II

obse

rvad

or

obse

rvad

or

E

absorçãoabsorção emissãoemissão

7a. Spin e o momento magnético do e7a. Spin e o momento magnético do e-- – experimento de – experimento de S&GS&G

Ag 5s (1)

????

Bz

Bz

F zz

cos

7b. Spin e o momento magnético do e7b. Spin e o momento magnético do e-- - hipótese de - hipótese de U&GU&G

211 ssss

211 ssss

21

21 , ssz mms 2

12

1 , ssz mms

0023,22

sBs

ss

gsg

sm

eg

0023,22

sBs

ss

gsg

sm

eg

ss

ss

-e

m0

-e

m0

7c. Experimento de Einstein-Haas7c. Experimento de Einstein-Haas

MsS

M

atom

atom

11

0

MsS

M

atom

atom

11

0

0

BMLdt

d

cteLSL sol

0

BMLdt

d

cteLSL sol

zsolzzzz

solsol

LzsSzsS

LSLS

ˆˆ

ou0,0

zsolzzzz

solsol

LzsSzsS

LSLS

ˆˆ

ou0,0ls

Z

Zs

sS

M

22

lsZ

Zs

sS

M

22

fiocil

rot mR

N

I

LE

2

222

2

fiocil

rot mR

N

I

LE

2

222

2

ii

pêndulo de torsãopêndulo de torsão

7d. Acoplamento spin-órbita7d. Acoplamento spin-órbita

lB

lB

ssssl

l

lBB

int lBB

int

EvBB

' EvBB

'

lrm

Zerv

r

ZeBl

3

03

0

44

lrm

Zerv

r

ZeBl

3

03

0

44

'' BV sls

'' BV sls

Calculado assim, ASO é 2x o observado!Calculado assim, ASO é 2x o observado!Calculado assim, ASO é 2x o observado!Calculado assim, ASO é 2x o observado!

EvV sls

' EvV sls

'

r

r

r

rVEe

)(

r

r

r

rVEe

)(

r

rV

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eVls

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2'

r

rV

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s

Smc

eVls

)(1

2'

ouou

Z=1, r3 ~ r03 |Bint| 1 tesla !!!

[lab][lab][lab][lab]

[e[e--]][e[e--]]

7e. Acoplamento spin-órbita

lB

lB

ssssl

l

'Bdt

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rep

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sd

rep

s

dt

sd

dt

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sdt

sd

dt

sdT

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1

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V

rmc

gsVV CoulBs

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1

2

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2

r

V

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vr

c

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tCoul

tT

1lim

221

210

2

TsVV ' TsVV '

ββ

βββ

ββvβv

1

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2

)()()( cttct

7f. Acoplamento spin-órbita7f. Acoplamento spin-órbita

slj

slj

ll

ssj

22221 sljsl

222

21 sljsl

lB

lB

ssssl

l

1112, sslljja

V sl 1112, sslljja

V sl

1 jjj 1 jjj

30

4 mr

Zega BsH

30

4 mr

Zega BsH

2)( 2)(

lsr

V

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1

2

12

ls

r

V

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ls

1

2

12

7f. Acoplamento spin-órbita7f. Acoplamento spin-órbita

1112, sslljja

V sl 1112, sslljja

V sl

3

0

4 mr

Zega Bs

3

0

4 mr

Zega Bs

))(1( 21

22

llln

ZEa n

dvrm

Zega Bs

3*0 1

4 dvrm

Zega Bs

3*0 1

4

8a. Efeito Zeeman Anômalo8a. Efeito Zeeman Anômalo

jj

// jj

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slj

slj

slj

slj

ll

ssjj

sgl sBj

sgl sBj

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ll

jsgjljj

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Bj

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jsgjljj

js

Bj

jj

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ljs

sjl

sjl

22221 sljjl

222

21 sljjl

222

21 lsjjs

222

21 lsjjs

( )2 ( )2

8b. Efeito Zeeman Anormal8b. Efeito Zeeman Anormal

111111

121

llssjjgsslljj

jjs

B

jj

111111

121

llssjjgsslljj

jjs

B

jj

Utilizando o fato que Utilizando o fato que ggss~2~2 , temos:, temos:

12

11111

jj

llssjjgjjg JBJjj

12

11111

jj

llssjjgjjg JBJjj

Denominando, por sua vez, Denominando, por sua vez, ggJJ o fator de o fator de LandéLandé

jgj Bjjj

jgj Bjjj

9. Estrutura Hiper-Fina – spin nuclear9. Estrutura Hiper-Fina – spin nuclear

BB 1836

1

2

p

e

pN m

m

m

e BB

1836

1

2

p

e

pN m

m

m

e

IZ mI IZ mI

1 III

1 IIIjB

jB

II

IgI NINI

IgI NINI

II

jj

FF

II

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,

IjA

BV lIjI

,

22221 IjFIj

222

21 IjFIj

jBB

int jBB

int

9b. Estrutura Hiper-Fina – spin nuclear9b. Estrutura Hiper-Fina – spin nuclear

NzII

lnBsj

g

IgB

79,258,5

210

3

20

2

,0

NzII

lnBsj

g

IgB

79,258,5

210

3

20

2

,0

1112, IIjjFFA

V jI 1112, IIjjFFA

V jI)1(

jj

BgA jNI

)1(

jj

BgA jNI

• Além de depender do momento angular total, Além de depender do momento angular total, jj, o valor do campo, , o valor do campo, que é calculado para a posição que é calculado para a posição r=0 r=0 , depende da densidade de , depende da densidade de probabilidade de encontrar o elétron nesta região espacialprobabilidade de encontrar o elétron nesta região espacial

• No caso do átomo de Hidrogênio temos:No caso do átomo de Hidrogênio temos:

1

02

1,0 FIj

1

02

1,0 FIj

2

3

20,, 21

21

AV F

2

3

20,, 21

21

AV F

2

1

21,, 21

21

AV F

2

1

21,, 21

21

AV F

F=0F=1(12S1/2) = 21cm → 1.43 GHz

10. Correção relativística dos termos de energia10. Correção relativística dos termos de energia

2

1

224*

23

4

23

4 1

4

3

88

1

lnn

ZEdv

cmcm

pE nR

2

1

224*

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4

23

4 1

4

3

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1

lnn

ZEdv

cmcm

pE nR

2

22

2

22

2

22

2

8

1

211

cm

p

cm

pcm

p

2

22

2

22

2

22

2

8

1

211

cm

p

cm

pcm

p

REEcm

pVm

pE

23

42

8

12 REE

cm

pVm

pE

23

42

8

12

VmcpcmcEVmpE 2222

2

2VmcpcmcEVm

pE 22222

2

ip ip

• Ao invés de utiliza a relação não-relativística entre energia e Ao invés de utiliza a relação não-relativística entre energia e momento, seguimos introduzindo a expressão relativística:momento, seguimos introduzindo a expressão relativística:

• Aproximando este termo através da expansão em série:Aproximando este termo através da expansão em série:

• O valor esperado desta correção de energia é:O valor esperado desta correção de energia é:

11. Desvio Lamb (shift)11. Desvio Lamb (shift)

• O problema de um átomo isolado não pode O problema de um átomo isolado não pode

ser resolvido sem que este interaja com o ser resolvido sem que este interaja com o

campo de radiação eletromagnética.campo de radiação eletromagnética.

• A interação virtual ocorre mesmo na A interação virtual ocorre mesmo na

ausência de fontes.ausência de fontes.

• Dentro de um intervalo Dentro de um intervalo t < t < //E = E = 1/1/, um , um

fóton de energia fóton de energia é emitido e novamente é emitido e novamente

reabsorvido sem violar a relação da reabsorvido sem violar a relação da

incerteza.incerteza.

rr

ZeEpot

1

4 0

2

rr

ZeEpot

1

4 0

2

0r 0rrrr

11

rrr

11

r rr r e-e-

Resumo do Resumo do diagrama de diagrama de

termostermos

Níveis de Níveis de energia de energia de BohrBohr

Estrutura Estrutura fina (Dirac)fina (Dirac)

Lamb-shiftLamb-shift Estrutura Estrutura hiperfinahiperfina

equação de equação de Schrödinger Schrödinger sem spinsem spin

Acoplam. l.s Acoplam. l.s + acréscimo + acréscimo de massade massa

Correção Correção radiativa radiativa QEDQED

Efeito Efeito nuclearnuclear̂

ESCALA DE ENERGIA

X 100

0 1 2 3

40

20

0

raio

Pot

enci

al e

fetiv

o15

50

V r( )

V l r 1( )

V r( ) V l r 1( )

V l r 2( )

V r( ) V l r 2( )

30 r