Heaps Binomiais
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Heaps BinomiaisHeaps BinomiaisRômulo de Almeida Bruno
Mestrando em Ciência da ComputaçãoProfessora Liliane Salgado
Disciplina - Algoritmos
AgendaAgenda
HistóricoVisão GeralÁrvores BinomiaisHeap BinomialOperações em Heaps BinomiaisAplicaçõesReferências
HistóricoHistórico
“A Data Structure for Manipulating Priority Queues”, Jean Vuillemin, 1978 – Université de Paris-sud, Orsay, France. ◦ABSTRACT: A data structure is described which can
be used for representing a collection of priority queues. The primitive operations are insertion, deletion, union, update, and search for an item of earliest priority.
“Implementation and analysis of binomial queue algorithms” , Brown, M.R.
Visão GeralVisão Geral
Estrutura de dados que faz parte das mergeable heaps (Fibonacci heaps e Soft heaps) e suporta as seguintes operações:◦MAKE-HEAP()◦INSERT(H,x)◦MINIMUM(H)◦EXTRACT-MIN(H)◦UNION(H1,H2)◦DECREASE-KEY(H,x,k)◦DELETE(H,x)
Visão Geral (Análise Assintótica)Visão Geral (Análise Assintótica)
Procedimento Heap Binária (pior caso)
Heap Binomial (pior caso)
Heap de Fibonacci (amortizado)
MAKE-HEAP Θ(1) Θ(1) Θ(1)INSERT Θ(lg n) O(lg n) Θ(1)MINIMUM Θ(1)* O(lg n)* Θ(1)EXTRACT-MIN Θ(lg n) Θ(lg n) O(lg n)UNION Θ(n) O(lg n) Θ(1)DECREASE-KEY Θ(lg n) Θ(lg n) Θ(1)DELETE Θ(lg n) Θ(lg n) O(lg n)
Estrutura de Prioridades => Ruim para Busca
Árvores BinomiaisÁrvores Binomiais
Uma Árvore Binomial Bk é uma árvore ordenada definida recursivamente:◦k = 0, um único nó◦Senão, duas árvores Bk-
1 ligadas: a raiz de uma é a filha mais a esquerda da outra.
Árvores BinomiaisÁrvores Binomiais
Propriedades de Bk:◦possui 2k nós,◦a altura da árvore é k,◦há exatamente nós na profundidade i, onde
i = 0,...,k◦a raiz tem grau k (maior grau); se os nós filhos da
raiz fossem numerados da esquerda para a direita por k-1, k-2, ..., 0, um dado nó i é a raiz de uma sub-árvore Bi.
Corolário: O grau máximo de qualquer nó de uma árvore binomial de n nós é lg n.
ik
Heap BinomialHeap Binomial
Um Heap Binomial H é um conjunto de árvores binomiais com as seguintes propriedades:◦cada árvore é ordenada como um heap mínino (ou
máximo)◦Há no máximo uma árvore binomial em H com uma
raíz de um determinado grau. Se H tem n nós, então ela contém no máximo lg n +
1 árvores binomiais. Prova: observe que, em binário, n tem lg n + 1 bits. Como cada árvore binomial de ordem k tem 2k nós, teríamos uma árvore para cada bit de n que fosse igual a 1.
• Heaps são representadas como listas ordenadas (por grau/altura) de árvores binomiais
• Exemplo: Uma heap binomial com 13 (=1011B) nós
Heap BinomialHeap Binomial
Criar novo Heap BinomialEncontrar chave mínimaUnir dois Heaps BinomiaisInserir nóExtrair nó com chave mínimaDecrementar chaveApagar chave
Operações em Heaps BinomiaisOperações em Heaps Binomiais
MAKE-BINOMIAL-HEAP() - O(1)◦Cria um heap binomial vazio onde o nó inicial é
igual a null
BINOMIAL-HEAP-MINIMUM(H)- O(lgn)◦Retorna o menor valor
Operações em Heaps BinomiaisOperações em Heaps Binomiais
y := NIL x := H.inicio min := infinitywhile x <> NIL do if x.chave < min then min := x.chave y := x x := x.irmao return y
H.inicio = NIL return H
BINOMIAL-HEAP-UNION(H1,H2) - O(lgn)◦2 partes:
Criar um heap resultante com o merge (H1, H2). Executar um laço até que esse novo heap tenha
todas as sub árvores em ordem crescente por grau e que nenhuma sub árvore tenha mesmo grau que outra.
Operações em Heaps BinomiaisOperações em Heaps Binomiais
BINOMIAL-HEAP-UNION(H1,H2) ◦4 casos (x = nó inicial do heap):
1 (x.degree != next-x.degree): os ponteiros se deslocam uma posiçao mais baixo na lista de raízes. Ou seja, x passa a apontar para seu irmao.
2 (x.degree = next-x.degree = next-x.irmao.degree): os ponteiros se movem uma posição mais abaixo na lista, e a próxima iteração executa o caso 3 ou o caso 4.
3 (x.degree = next-x.degree != next-x.irmao.degree & x.key <= next-x.key): remove-se next-x da lista de raízes e a liga-se a x, criando uma árvore B k + 1
4 (x.degree = next-x.degree != next-x.irmao.degree & x.key > next-x.key): remove-se x da lista de raízes e a liga-se a next-x, criando uma árvore B k + 1
Operações em Heaps BinomiaisOperações em Heaps Binomiais
BINOMIAL-HEAP-UNION(H1,H2)
Operações em Heaps BinomiaisOperações em Heaps Binomiais
H:=make-binomial-Heap()H.inicio := Binomial-Heap-Merge(H1,H2)if H.inicio = NIL then return Hx.ant := NILx.prox := x.irmaowhile x.prox <> NIL do if (x.grau <> x.prox.grau) or (x.prox.irmao <> NIL and x.prox.irmao.grau = x.grau) then x.ant := x x := x.prox else if x.chave <= x.prox.chave then x.irmao := x.prox.irmao Binomial-Link(x.prox,x) else if x.ant = NIL then H.inicio = x.prox else x.ant.irmao := x.prox Binomial-Link(x,x.prox) x := x.prox x.prox := x.irmao return H
BINOMIAL-HEAP-MERGE(H1,H2)
BINOMIAL-LINK(Y,Z)
Operações em Heaps BinomiaisOperações em Heaps Binomiais
y.pai := zy.irmao := z.filhoz.filho := yz.grau := z.grau + 1
a = H1.iniciob = H2.inicio H1.inicio = minimoGrau(a, b)if H1.inicio = NIL returnif H1.inicio = b then b = aa = H1.inicio while b <> NIL do if a.irmao = NIL then a.irmao = b return else if a.irmao.grau < b.grau then a = a.irmao else c = b.irmao b.irmao = a.irmao a.irmao = b a = a.irmao b = c
BINOMIAL-HEAP-UNION(H1,H2)
Operações em Heaps BinomiaisOperações em Heaps Binomiais
APPLET
IMG 1 IMG 2
BINOMIAL-HEAP-INSERT(H,x) - O(lgn)
BINOMIAL-HEAP-EXTRACT-MIN(H) - O(lgn)
Operações em Heaps BinomiaisOperações em Heaps Binomiais
H' := makeHeap() x.pai := NILx.filho := NILx.irmao := NILx.grau := 0H'.inicio := xH := uniao(H,H‘)
//encontrar a raiz x com a chave mínima em H e remover x da lista H':= makeHeap() //inverter a ordem da lista ligada de filhos de x, e definir H' apontando //para o inicio da lista resultanteH:= Uniao(H,H')return x
EXEMPLO
EXEMPLO
BINOMIAL-HEAP-DECREASE-KEY(H,x,k) - O(lgn)
BINOMIAL-HEAP-DELETE(H,x) - O(lgn)
Operações em Heaps BinomiaisOperações em Heaps Binomiais
if k > x.chave then error “new key is greater than current key" x.chave := k y := x z := y.paiwhile z <> NIL and y.chave < z.chave do troca y.chave e z.chave if y and z have satellite fields, exchange them, too. y := z z := y.pai
BINOMIAL-HEAP-DECREASE-KEY(H,x,-∞)BINOMIAL-HEAP-EXTRACT-MIN(H)
EXEMPLO
AplicaçõesAplicações
Artigo de Vuillemin:◦Job scheduling◦Discrete simulation languages, where labels
represent the time at which events are to occur, ◦Various sorting problems ◦Optimal code constructions◦Chartre's prime number generator◦Brown's power series multiplication◦Numerical analysis algorithms and in graph
algorithms for such problems as finding shortest paths and minimum cost spanning tree.
ReferênciasReferências
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 19: Binomial Heaps, pp.455–475.
Vuillemin, J. (1978). A data structure for manipulating priority queues. Communications of the ACM 21, 309-314. Disponível: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=359478
http://www.cse.yorku.ca/~aaw/Sotirios/BinomialHeap.html
DúvidasDúvidas
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