UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA

PARA O ENSINO MÉDIO

MAXIMILIANO PAULO DA SILVA

PROVAS DE IDENTIDADES VIA ARGUMENTOS COMBINATÓRIOS

MARTINS – RN

2016

MAXIMILIANO PAULO DA SILVA

PROVAS DE IDENTIDADES VIA ARGUMENTOS COMBINATÓRIOS

Monografia apresentada à Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como um dos pré-requisitos para

obtenção do grau de Especialista em Ensino de

Matemática para o Ensino Médio, sob a orientação do

Professor Dr. Iesus Carvalho Diniz.

MARTINS – RN

2016

MAXIMILIANO PAULO DA SILVA

PROVAS DE IDENTIDADES VIA ARGUMENTOS COMBINATÓRIOS

Monografia apresentada à Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como um dos pré-requisitos para

obtenção do grau de Especialista em Ensino de

Matemática para o Ensino Médio, sob a orientação do

Professor Dr. Iesus Carvalho Diniz.

Aprovado em: 28 de agosto de 2016

Banca Examinadora

Professor Dr. Iesus Carvalho Diniz – UFRN

Presidente – Orientador

Professora Esp. Luciana Vieira Andrade – UFRN

Primeiro Membro

Professor Me. Odilon Junior dos Santos – UFRN

Segundo Membro

MARTINS – RN

2016

As minhas filhas, Maria Jaziele e Maria Joziele, à minha

esposa Bárbara, meus avôs maternos Severino Lázaro e

Maria de Lourdes e a minha mãe Maria Ires que mesmo

não podendo estar acompanhando de perto esta etapa da

minha vida se sentem realizados com as conquistas

alcançadas.

AGRADECIMENTOS

A Deus por tudo que me tens me concedido, pela sua presença constante na minha vida sem

que eu precisasse pedir pelo auxílio nas minhas escolhas e me confortar nas horas difíceis. Aos

meus avôs Severino Lázaro e Maria de Lourdes que se sentiram na sua obrigação de oferecer

aquilo que tinham, para que, eu como neto e filho de criação pudesse crescer com os meus

próprios esforços. À minha mãe Maria Ires, que teve a coragem de largar a vida no interior e ir

buscar na cidade grande melhores condições de vida para garantir o apoio financeiro nas

necessidades da vida. Ao meu irmão Igoberto, que mesmo tendo nossas indiferenças, adoro

saber que lhe tenho como irmão único. À minha esposa Bárbara Suelen, pelo amor, carinho,

compreensão e incentivo que tens me dado para seguir sempre de cabeça erguida e permanecer

na busca de alcançar meus objetivos. Às minhas filhas Maria Jaziele e Maria Joziele que mesmo

não satisfeita com minha ausência fazem de mim um pai realizado com o carinho que me dão.

A todos os meus familiares que sempre me apoiaram naquilo que desejei realizar. Aos

professores que fizeram parte deste curso, garantindo a oportunidade de poder oferecer uma

qualificação profissional dentro do mercado de trabalho. Ao meu professor, Dr. Iesus Carvalho

Diniz, que apesar de ter sido um grande orientador foi também um grande amigo, dando todo

incentivo e colaboração para a construção desse trabalho.

A matemática é um instrumento poderoso nas mãos

daqueles que a sabem usar.

Sir Calculus

RESUMO

A Análise Combinatória é o ramo da Matemática que analisa estruturas e relações discretas. A

partir de seu estudo é possível resolver inúmeros problemas, principalmente aqueles que nos

remetem a determinar cardinalidades, isto é, enumerar ou contar os subconjuntos de um

conjunto finito dado e que satisfazem certas condições dadas. Para isto, contamos com várias

técnicas de contagem, tais como, as combinações, arranjos e permutações, que são consideradas

dentre tantas outras as mais conhecidas e, praticamente as mais utilizadas no ensino básico e

até mesmo nas graduações de licenciatura em Matemática. O presente trabalho, não vem

mostrar as fórmulas algébricas que são utilizadas para solucionar problemas de contagem. Vem

apresentar uma técnica bastante interessante e de grande relevância para aqueles que desejam

aprimorar e/ou remodelar a visão de como utilizar-se desse ramo para solucionar problemas de

contagem, sem necessariamente está atrelado à fórmulas prontas. Nesse sentido, apresentamos

algumas identidades combinatórias que serão demonstradas algebricamente e aplicadas na

resolução de problemas, a partir de argumentações pautadas nos princípios básicos que

fundamentam esse estudo. Desse modo, é possível perceber o quanto a Análise Combinatória

aguça a forma de pensar a Matemática, principalmente quando se trata de situações problemas

contextualizadas, o que proporciona um aprendizado mais preciso e concreto sobre o tema,

ampliando o campo de visão e as possibilidades de utilização sem recorrer a meras fórmulas

prontas.

Palavras – chave: Análise Combinatória – Identidades Combinatórias – Argumentação

Combinatória.

ABSTRACT

The Combinatorial analysis is the branch of mathematics that analyzes structures and discrete

relationships. From their study it is possible to solve many problems, especially those that lead

us to determine cardinality, that is, list or count the subsets of a given finite set and satisfying

certain given conditions. For this, we have various counting techniques such as, combinations,

arrangements and permutations, which are considered among many others the best known and

the most practically used in primary education and even in undergraduate degrees in

mathematics. This work comes not show the algebraic formulas that are used to solve counting

problems. Is presenting a very interesting technique and of great relevance for those who wish

to enhance and / or reshape the vision of how to use this branch to solve counting problems

without necessarily is linked to ready-made formulas. In this sense, we present some

combinatorial identities will be demonstrated algebraically and applied problem solving, from

arguments guided by the basic principles underlying this study. Thus, you can see how the

Combinatorial Analysis sharpens thinking mathematics, especially when it comes to

contextualized problem situations, which provides more precise and concrete learning on the

topic, expanding the field of view and the possibilities for use without resorting to mere

formulas ready.

Key - words: Combinatorial Analysis - Combinatorial Identities - Arguments Combinatorics.

SUMÁRIO

1 – INTRODUÇÃO ............................................................................... 09

2 – IDENTIDADES COMBINATÓRIAS ........................................... 10

2.1 – IDENTIDADE I (RELAÇÃO DE STIFEL) ................................................. 10

2.1.1 – Prova da Identidade I .................................................................................. 11

2.2 – IDENTIDADE II ............................................................................................ 12

2.2.1 – Prova da Identidade II ................................................................................ 12

2.3 – IDENTIDADE III ........................................................................................... 13

2.3.1 – Prova da Identidade III ............................................................................... 13

2.4 – IDENTIDADE IV ........................................................................................... 14

2.4.1 – Prova da Identidade IV ............................................................................... 14

2.5 – IDENTIDADE V (O BINÔMIO DE NEWTON) ........................................ 15

2.5.1 – Prova da Identidade V ................................................................................ 16

3 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................... 18

REFERÊNCIAS .................................................................................... 19

9

1 – INTRODUÇÃO.

Ao debruçar-se sobre os estudos em Matemática Discreta, especialmente sobre a

Análise Combinatória, a primeira impressão é que, essa é apenas uma teoria que estuda as

combinações, arranjos e permutações. Apesar de contê-las, são apenas algumas técnicas

utilizadas para solucionar casos particulares, ou seja, de certos tipos de subconjuntos de um

conjunto finito.

De forma mais completa, é possível definir a Análise Combinatória como sendo a parte

da Matemática que se ocupa em analisar estruturas discretas, e, dentro dessas estruturas, há

outras técnicas mais elaboradas para ataca-las, tais como: o princípio da inclusão-exclusão, o

princípio das gavetas, entre outras.

Apesar de existir dentro da Análise Combinatória técnicas gerais, para resolver

problemas de contagem, essa solução, em muitos casos só é possível se o indivíduo conseguir

extrair do problema, informações que o remetam a uma consistente interpretação e

compreensão do que lhe é apresentado, ou seja, é necessário se inserir dentro da situação

problema e pôr em prática a criatividade que é fundamentada nas técnicas já conhecidas.

Nesse sentido, objetivo desse trabalho não é o de apresentar um apanhado de formulas

que permitam ser utilizadas para solucionar problemas de combinatória, mas sim, apresentar

algumas dentre as várias identidades combinatórias existentes nesse contexto, dando assim,

uma maior visão de como os problemas podem ser resolvidos, e, o mais importante, sem se

preocupar necessariamente com a fórmula que será utilizada em cada caso, e sim, com a sua

criatividade de argumentação.

No entanto, o presente trabalho está organizado em um único capítulo, no qual, contém

cinco identidades combinatórias apresentadas, dentre elas, a Relação de Stifel e, o Binômio de

Newton, que serão abordadas de forma algébrica e aplicadas em resoluções de problemas, uma

para cada identidade por meio de argumentos combinatórios.

10

2 – IDENTIDADES COMBINATÓRIAS.

Nesse tópico apresentaremos uma série de identidades combinatórias, que serão

definidas, demonstradas algebricamente, aplicadas em situações problemas que envolvem o

estudo da Análise Combinatória, tudo isso, de forma sucessiva.

2.1 – IDENTIDADE I (RELAÇÃO DE STIFEL).

A Relação de Stifel é uma propriedade dos números binomiais que nos permite construir

rapidamente o Triângulo de Pascal. [3]

Essa relação traduz a ideia de que ao somar dois elementos consecutivos de uma mesma

linha do Triângulo de Pascal, o resultado obtido será encontrado na linha seguinte, logo abaixo

da segunda parcela, como mostra a imagem abaixo.

Figura (1) – Triângulo de Pascal – Imagem Ilustrativa

(𝑛𝑘

) + ( 𝑛𝑘+1

) = (𝑛+1𝑘+1

), para 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛.

Demonstração Algébrica:

(𝑛𝑘

) + ( 𝑛𝑘+1

) = 𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!+

𝑛!

(𝑘+1)!(𝑛−(𝑘+1))!=

𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!+

𝑛!

(𝑘+1)!(𝑛−𝑘−1)!=

𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!.

(𝑘+1)

(𝑘+1)+

𝑛!

(𝑘+1)!(𝑛−𝑘−1)!.

(𝑛−𝑘)

(𝑛−𝑘)=

𝑛!(𝑘+1)

(𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!+

𝑛!(𝑛−𝑘)

(𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!=

𝑛!(𝑘+1+𝑛−𝑘)

(𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!=

𝑛!(𝑛+1)

(𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!=

(𝑛+1)!

(𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!=

(𝑛+1𝑘+1

).

11

2.1.1 – Prova da Identidade I.

Problema: A turma 2008 do Curso de Matemática da Universidade Federal tem n

estudantes. De quantas maneiras podemos formar uma comissão com k membros para

representar a turma em um seminário sobre cálculo? [2]

Prova por Argumento Combinatório (1): Pela definição de combinação, seja Ѕ o

conjunto das comissões com k representantes. As maneiras de se formar essas comissões é:

# 𝑺 = (𝑛𝑘

) (𝒊)

Prova por Argumento Combinatório (2): Fixando um membro da turma, digamos João.

Dividimos o processo de escolha das comissões em dois conjuntos:

A= {Comissões com o João}

B= {Comissões que excluem o João}

Observemos que A ∩ B = ∅ e # 𝑺 = 𝐴 ∪ 𝐵 são todas as comissões com k representantes que

podemos formar.

Caso em que ocorre A: escolhemos João para a comissão, logo resta completar a

comissão com (𝑘 − 1) membros escolhidos de (𝑛 − 1) estudantes. Assim, pela definição de

combinação, (𝑛−1𝑘−1

) é o número de comissões possíveis.

Caso em que ocorre B: retiramos João da turma, assim teremos (𝑛 − 1) estudantes,

destes escolhemos as comissões com k membros. Assim, pela definição de combinação, (𝑛−1𝑘

)

é o número de comissões possíveis.

Como A e B são conjuntos disjuntos, e, pelo princípio aditivo, temos então:

#𝑺 = #(𝐴 ∪ 𝐵) = #𝐴 + #𝐵 = (𝑛 − 1

𝑘 − 1) + (

𝑛 − 1

𝑘) (𝒊𝒊)

12

Conclusão: Diante das soluções apresentadas em (i) e (ii), que caracterizam a resolução

do mesmo problema e, relacionando com a Identidade I (Relação de Stifel) apresentada, é

notório perceber que a prova por argumentação combinatória da Identidade I se verifica nessa

solução.

2.2 – IDENTIDADE II.

𝑘(𝑛𝑘

) = 𝑛(𝑛−1𝑘−1

), 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑘 ≤ 𝑛, 𝑛 ≥ 1. [2]

Demonstração Algébrica:

𝑘(𝑛𝑘

) = 𝑘𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!= 𝑘

𝑛(𝑛−1)!

𝑘(𝑘−1)!(𝑛−𝑘)!=

𝑛(𝑛−1)!

(𝑘−1)!(𝑛−𝑘−1+1)!= 𝑛

(𝑛−1)!

(𝑘−1)![(𝑛−1)−(𝑘−1)]!= 𝑛(𝑛−1

𝑘−1).

2.2.1 – Prova da Identidade II.

Problema: A diretoria de um grêmio estudantil é formada por k representantes sendo

um deles o presidente. Se a escola tem n estudantes e qualquer um deles pode fazer parte do

grêmio estudantil, então, de quantos modos pode-se formar a diretoria do grêmio? [2]

Prova por Argumento Combinatório (1): Com n estudantes, é possível formar

comissões com k representantes. Isso pode ser realizado fazendo uma combinação de (𝑛𝑘

)

modos. A partir dessas comissões, é necessário escolher um representante para assumir a função

de presidente. Assim, esse fato, pode ser feito tomando uma combinação de (𝑘1) = 𝑘 .

Pelo princípio multiplicativo, temos: 𝑘(𝑛𝑘

) (𝒊), Corresponde ao número de

diretorias possíveis.

Prova por Argumento Combinatório (2): Dentre os n estudantes, escolhemos o

presidente da comissão que pode ser escolhido de n modos. Com isso, a diretoria pode ser

completada com os (𝑘 − 1) membros escolhidos dentre os (𝑛 − 1) estudantes.

Pelo princípio multiplicativo, o número de diretorias para formar o grémio estudantil é

escrito como sendo: 𝑛(𝑛−1𝑘−1

) (𝒊𝒊), corresponde ao número de diretorias possíveis.

13

Conclusão: Diante das soluções apresentadas em (i) e (ii), que caracterizam a resolução

do mesmo problema e, relacionando com a Identidade II apresentada, é notório perceber que a

prova por argumentação combinatória da Identidade II se verifica nessa solução.

2.3 – IDENTIDADE III.

𝑘(𝑘 − 1)(𝑛𝑘

) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛−2𝑘−2

), 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. [2]

Demonstração Algébrica:

𝑘(𝑘 − 1)(𝑛𝑘

) = 𝑘(𝑘 − 1)𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!= 𝑘(𝑘 − 1)

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)!

𝑘(𝑘−1)(𝑘−2)!(𝑛−𝑘)!= 𝑛(𝑛 − 1)

(𝑛−2)!

(𝑘−2)!(𝑛−𝑘)!=

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛−2𝑘−2

).

2.3.1 – Prova da Identidade III.

Problema: Os proprietários de uma fábrica de sapatos querem formar uma comissão

para representá-la em uma feira de calçados que ocorrerá em uma cidade vizinha. De quantas

maneiras eles podem formar uma comissão com k membros, dentre eles um diretor e um vice-

diretor, escolhidos dentre os n funcionários? [2]

Prova por Argumento Combinatório (1): De fato, a comissão pode ser escolhida

tomando uma combinação de (𝑛𝑘

) maneiras. Dentre os k membros escolhidos, se faz a escolha

do diretor, o que, ocorre fazendo uma combinação de (𝑘1) = 𝑘. Por fim, faz-se a escolha do

vice-diretor, a partir dos (𝑘 − 1) membros restantes, que será uma combinação de (𝑘−11

) = 𝑘 −

1.

Aplicando o princípio multiplicativo temos:

𝑘(𝑘 − 1)(𝑛𝑘

) (𝒊) Corresponde ao número de comissões possíveis.

Prova por Argumento Combinatório (2): Formando a comissão a partir da escolha do

diretor e em seguida do vice-diretor, temos que, por definição de combinação, a escolha do

diretor pode ser realizada fazendo uma combinação de (𝑛1

) = 𝑛 maneiras. Tomando os mesmos

14

princípios a escolha do vice-diretor pode ser realizada fazendo uma combinação de (𝑛−11

) =

𝑛 − 1 maneiras. Contudo, ainda restam (𝑛 − 2) funcionários para comporem a comissão, que

será escolhida a partir da combinação de (𝑛−2𝑘−2

).

Aplicando o princípio multiplicativo temos:

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛−2𝑘−2

). (𝒊𝒊) Corresponde ao número de comissões possíveis.

Conclusão: Diante das soluções apresentadas em (i) e (ii), que caracterizam a resolução

do mesmo problema e, relacionando com a Identidade III apresentada, é notório perceber que a

prova por argumentação combinatória da Identidade III se verifica nessa solução.

2.4 – IDENTIDADE IV.

∑ 𝑘(𝑛𝑘

) = 𝑛2𝑛−1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 1.𝑛𝑘=1 [3]

Demonstração Algébrica:

∑ 𝑘(𝑛𝑘

) = ∑ 𝑘𝑛𝐾=1

𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!= ∑ 𝑘𝑛

𝑘=1𝑛!

𝑘(𝑘−1)!(𝑛−𝑘)!= ∑

𝑛(𝑛−1)!

(𝑘−1)!(𝑛−𝑘)!

𝑛𝑘=1 =𝑛

𝑘=1

∑ 𝑛𝑛𝑘=1

(𝑛−1)!

(𝑘−1)!(𝑛−𝑘)!= ∑ 𝑛𝑛

𝑘=1 (𝑛−1𝑘−1

) = 𝑛 ∑ (𝑛−1𝑘−1

) = 𝑛2𝑛−1.𝑛𝑘=1

2.4.1 – Prova da Identidade IV.

Problema: Quantas são as comissões, de qualquer tamanho, com membros escolhidos

de uma classe com n estudantes, sendo que um dos membros é designado como presidente? [2]

Prova por Argumento Combinatório (1): Por definição de combinação, há (𝑛𝑘

) modos

de formar uma comissão contendo k estudantes. Formada a comissão, tem-se, também, k modos

de escolher o presidente dessa comissão.

Pelo princípio multiplicativo, temos então, 𝑘(𝑛𝑘

) comissões distintas.

Sabendo-se que as comissões podem ser de qualquer tamanho possível, temos, pelo

princípio aditivo:

15

1(𝑛1

) + 2(𝑛2) + 3(𝑛

3) + ⋯ + 𝑛(𝑛

𝑛) = ∑ 𝑘(𝑛

𝑘)𝑛

𝑘=1 (𝒊) Corresponde ao número de

comissões possíveis.

Prova por Argumento Combinatório (2): Formando a comissão, a partir da escolha

do presidente, há, no entanto, n maneiras de escolher o presidente. Escolhido o presidente a

comissão será composta pelos escolhidos dentre os (𝑛 − 1) estudantes. Para tanto, cada

estudante pode fazer parte ou não dessa comissão, o que gera duas possibilidades para cada um

deles. Logo é possível completar a comissão independente do tamanho com 2𝑛−1 número de

escolhas possíveis.

Pelo princípio multiplicativo temos, então: 𝑛 2𝑛−1 comissões possíveis. (𝒊𝒊)

Corresponde ao número de comissões possíveis.

Conclusão: Diante das soluções apresentadas em (i) e (ii), que caracterizam a resolução

do mesmo problema e, relacionando com a Identidade IV apresentada, é notório perceber que

a prova por argumentação combinatória da Identidade IV se verifica nessa solução.

2.5 – IDENTIDADE V (O BINÔMIO DE NEWTON).

Se x e a são números reais e n é um inteiro positivo, então:

(𝑥 + 𝑎)𝑛 = ∑ (𝑛𝑘

)𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘𝑛𝑘=0 [3]

Demonstração Algébrica: observemos que:

i) o desenvolvimento de (𝑥 + 𝑎)𝑛 possui (𝑛 + 1) termos;

ii) os coeficientes do desenvolvimento de (𝑥 + 𝑎)𝑛 são os elementos da linha n do Triângulo

de Pascal;

iii) escrevendo os termos do desenvolvimento na ordem, ou seja, ordenados segundo as

potências decrescentes de x, o termo de ordem k+1 é: 𝑇𝑘+1 = (𝑛𝑘

)𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘.

Assim, temos:

(𝑥 + 𝑎)𝑛 = (𝑥 + 𝑎). (𝑥 + 𝑎). … . (𝑥 + 𝑎).

16

Cada termo do produto é obtido escolhendo-se em cada parêntese um x ou um a e

multiplicando-se os escolhidos. Para cada valor de k, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, se escolhermos a em k

parênteses, x será escolhido em n-k dos parênteses e o produto será igual a 𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘 com 0 ≤

𝑘 ≤ 𝑛. Isso pode ser feito de (𝑛𝑘

) maneiras. Então (𝑥 + 𝑎)𝑛 é uma soma onde há, para cada 𝑘 ∈

{0,1, … , 𝑛}, (𝑛𝑘

) parcelas iguais a 𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘, isto é:

(𝑥 + 𝑎)𝑛 = ∑ (𝑛𝑘

)𝑥𝑛−𝑘𝑎𝑘𝑛𝑘=0

2.5.1 – Prova da Identidade V.

Problema: A professora de Matemática de uma turma de n alunos deu a seus alunos

uma lista de x questões de combinatória e y questões de geometria, e pediu que cada aluno

escolhesse uma questão para resolver. Quantas são as diferentes formas dos n alunos

escolherem a sua questão? [2]

Prova por Argumento Combinatório (1): Considerando o banco de questões, cada

aluno terá (𝑥 + 𝑦)𝑛 escolhas. (𝒊) Corresponde ao número de escolhas possíveis.

Prova por Argumento Combinatório (2): Considerando os n alunos da turma, x igual

aos alunos que resolvem questões de combinatória e y igual aos alunos que resolve questões de

geometria, escolhendo k alunos e fixamos. Se k=0, significa que não teremos alunos resolvendo

questões de combinatória, somente alunos resolvendo questões de geometria. Isto pode ser feito

de tal modo: (𝑛0)𝑥0𝑦𝑛 = 𝑦𝑛.

Se k=1 haverá, (𝑛1) maneiras de escolher o aluno que resolve uma questão de

combinatória. Fixando o aluno escolhido, resta decidir a questão de combinatória (x) e a questão

de geometria (y), o que gera um total de 𝑛. 𝑥𝑦𝑛−1.

Se k=2 haverá, (𝑛2)maneiras de escolher o aluno que resolve a questão de combinatória

e este terá x² modos de escolher a questão de combinatória e, para a escolha do aluno e a escolha

da questão de geometria pelo aluno, temos, 𝑦𝑛−2, num total de (𝑛2)𝑥2𝑦𝑛−2.

17

Assim, para um k arbitrário (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛), escolhe a lista de k alunos que resolvem a

questão de combinatória, fixando a lista de k alunos temos xk modos de escolha da questão de

combinatória e para escolha do aluno e a questão de geometria, temos 𝑦𝑛−𝑘.

Pelo princípio multiplicativo temos, (𝑛𝑘

)𝑥𝑘𝑦𝑛−𝑘. Se k=n, temos alunos resolvendo

somente questões de combinatória e nenhum resolvendo questão de geometria, o que pode ser

visto com a combinação de (𝑛𝑛

)𝑥𝑛𝑦0 maneiras.

Contudo, todos os modos possíveis de escolher a questão de combinatória ou de

geometria são:

𝑦𝑛 + (𝑛1)𝑥𝑦𝑛−1 + (𝑛

2)𝑥2𝑦𝑛−2 + ⋯ + (𝑛

𝑘)𝑥𝑘𝑦𝑛−𝑘 + ⋯ + 𝑥𝑛 = ∑ (𝑛

𝑘)𝑥𝑘𝑦𝑛−𝑘 (𝒊𝒊)ℎ

𝑘=0

Corresponde ao número de escolhas possíveis.

Conclusão: Diante das soluções apresentadas em (i) e (ii), que caracterizam a resolução

do mesmo problema e, relacionando com a Identidade V apresentada, é notório perceber que a

prova por argumentação combinatória da Identidade V se verifica nessa solução.

18

3 – CONSIDERAÇÕES FINAIS.

É importante destacar a importância no que diz respeito à aprendizagem com relação ao

tema estudado, como também na estruturação do trabalho, pois, embora tenha sido um grande

desafio e de certa forma enriquecedor para com o futuro promissor, ou seja, como educador

matemático, surgiram algumas dificuldades por se tratar de uma nova experiência.

Neste trabalho, o tema estudado se apresentou de forma bastante sucinta e atrativa, já

que o propósito não se estenderia em apresentar um trabalho em larga escala.

Contudo, se pode ver que a Análise Combinatória aguça a forma de pensar no raciocínio

da Matemática, principalmente quando se trata de situações problemas contextualizadas. Isso,

requer uma solidificação e consistência diante dos conhecimentos matemáticos já adquiridos.

A forma de manusear as técnicas utilizadas torna apreciativo o processo de realização

de contagem. As demonstrações, permitem perceber os caminhos de forma detalhada para se

chegar ao objetivo, que é o outro lado da igualdade.

Por fim, aplicabilidade dentro dos problemas permitem fechar o raciocínio de forma a

enxergar um caminho que até então não podia ser visto, por meio dos métodos simples de

contagem, tais como, a permutação, o arranjo e a combinação, aplicados de forma direta. Assim,

a conexão fica clara e não há necessidade de recorrer a um número exaustivo de fórmulas

decorativas.

19

REFERÊNCIAS

[1] LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. A matemática do

ensino médio – 6. ed. – Rio de Janeiro: SBM 2006.

[2] LIMA, V. B., Demonstração de Identidades Combinatórias com Teoria de Contagem.

Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG, Belo

Horizonte/MG, 2009.

[3] MORGADO, A. C. O., CARVALHO, J. B. P., CARVALHO, P. C. P., FERNANDEZ, P.

Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e

Aplicada. 2006.