06/11/2015 Algumas curvas e superfícies II

http://www.mspc.eng.br/matm/curv_sup02.shtml 1/5

MSPC  Informações Técnicas . . . | Início | Mapa | Uso etc | Pesquisar | Fim pág| Voltar | 

Algumas curvas e superfícies II

Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Hélice |Helicóide |

Obs: os traçados apresentados são aproximados, não devendo ser usados para outros fins que não sejammeramente ilustrativos. 

Hélice  (Topo pág | Fim pág)

Seja, conforme Figura 01, uma reta vertical V que executa um movimento de rotaçãouniforme em torno do eixo vertical Z. Portanto, a superfície gerada é um cilindro de raio ae centro Z. Um ponto P que se move com velocidade constante ao longo dessa retadescreve a curva denominada hélice.

Dessa definição, podese facilmente deduzir uma forma paramétrica das equações dahélice:

x = a cos t   y = a sin t   z = b t #A.1#

Fig 01

Analisando essas igualdades,

• x e y têm as equações de um movimento circular uniforme de raio a e velocidadeangular 1 (ω t = t e, portanto, ω = 1).

• z tem a equação do movimento uniforme de velocidade b.

A cada rotação completa, o ponto P se desloca verticalmente de uma distância h,denominada passo da hélice.

Se o passo é positivo, o resultado é uma hélice direita conforme figura. Passo negativoforma hélice esquerda.

Desde que ω = 1, o período é igual a 2 π / ω = 2 π. Nesse tempo, o deslocamentovertical deve ser h. Portanto, h = z = b t = b 2 π. Ou b = h / 2 π. Assim, osdados das equações anteriores ficam definidos:

Anúncios Google   ► Hélice   ► Curvas   ► Circular   ► Raio de curva

06/11/2015 Algumas curvas e superfícies II

http://www.mspc.eng.br/matm/curv_sup02.shtml 2/5

#A.2#

Onde:

a: raio da hélice

#A.3#

h: passo da hélice

Na página Algumas curvas e superfícies I foi vista a fórmula do comprimento de um arcode uma curva genérica:

#B.1#

Aplicando a um passo da hélice (t = 2 π):

#B.2#

#B.3#

#B.4#

Substituindo b e rearranjando, o comprimento de um passo da hélice fica definido emfunção do raio e do passo:

#B.5#

Notase que (2 π a) é o comprimento de uma circunferência de raio a.

Helicóide  (Topo pág | Fim pág)

É uma superfície gerada pela curva hélice: cada ponto da helicóide está sobre em umahélice, por sua vez, contida na helicóide. Ver exemplo na Figura 01 abaixo.

Sejam as equações paramétricas da hélice conforme tópico anterior (substituindo avariável t por v):

x = a cos v   y = a sin v   z = b v

Se o raio a é substituído por uma variável u, temse então uma superfície formada poruma infinita seqüência de hélices de mesmo passo, ou seja, as equações paramétricasda helicóide:

#A.1#

De forma análoga à da hélice de passo h, a constante b é dada por:

06/11/2015 Algumas curvas e superfícies II

http://www.mspc.eng.br/matm/curv_sup02.shtml 3/5

#A.2#

Fig 01

Notase que, se o passo é nulo, a helicóide se transforma em um plano. Podese entãodizer que o plano é uma forma degenerada da helicóide.

Desde que a helicóide uma superfície infinita, é evidente que, nas figuras apresentadas,há limites para as variáveis. Na Figura 01 anterior, o limite inferior da variável u é zero e,portanto, a superfície toca o eixo vertical Z. Se o limite inferior de u é um valor a > 0 (e osuperior A, mesmo do anterior), ocorre uma superfície segundo Figura 02.

Fig 02

A helicóide tem uma infinidade de aplicações práticas. Aqui é dado o exemplo dotransportador.

Um transportador de rosca usa uma superfície do tipo da Figura 02 anterior soldada aum eixo central para transportar por arraste materiais granulados das mais diversasespécies. A Figura 03 dá esquema de um transportador típico.

Fig 03

Em escala industrial, as superfícies são produzidas por deformação a frio, mas é possívela confecção artesanal a partir da chapa plana em forma de anel circular (Figura 04),naturalmente em seções de um passo.

O perímetro da circunferência externa deve conter o comprimento de um passo de hélice

06/11/2015 Algumas curvas e superfícies II

http://www.mspc.eng.br/matm/curv_sup02.shtml 4/5

de raio A e o perímetro da circunferência interna deve conter o comprimento de um passode hélice de raio a.

Fig 04

Usando a fórmula vista no tópico anterior,

sA = √ [ (2 π A)2 + h2 ] #B.1#

sa = √ [ (2 π a)2 + h2 ] #B.2#

A espessura (e) do anel deve ser igual à diferença entre raios:

e = R − r = A − a

Da relação de arcos e ângulos,

sA / R = sa / r

sa R = sA r

Da relação anterior, R = e + r. Substituindo,

sa (e + r) = sA r

sae + sa r = sA r

r (sA − sa) = sa e

Portanto,

#B.3#

Onde:

#B.4#

#B.5#

#B.6#

Também,

#B.7#

#B.8#

Capacidade do transportador: a cada volta do eixo, um passo da superfície é deslocado.Assim, o volume deslocado é π A2 h. Desprezase o diâmetro do eixo porque se

06/11/2015 Algumas curvas e superfícies II

http://www.mspc.eng.br/matm/curv_sup02.shtml 5/5

considera um grau de enchimento φ (de 0,15 para material pesado com muito atrito até0,45 para material leve com pouco atrito).

Se n é a rotação do eixo em rpm, por hora ocorre 60 n. Assim, a capacidade dotransportador em metros cúbicos por hora é dada por:

Q = π A2 h φ 60 n #C.1#

Onde A e h são dados em metros.

Potência de acionamento: se o peso específico do material é γ em N/m3 (newton pormetro cúbico), a vazão em peso é G = Q γ / 3600 em newton por segundo (N / s).Considerando um coeficiente de resistência f de 2 a 4, a potência em watts é

P = G L f #D.1#

Onde L é o comprimento do transportador em metros (considerado na posição horizontal).

Referências:

GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. SãoPaulo: Hemus.

Planetmath. http://planetmath.org/.

VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow:Mir Publishers, 1971.

Topo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Dez/2007