Hermes A. Pedroso, Juliana C. Precioso17 Rogério César dos ... · Como calcular a area e o per...

Volume 3 – N. 1 – 2014

Como calcular a área e o perímetro de uma elipse? Josiel Pereira da Silva................................................................................................02

Uma avaliação do erro tipo II no uso do teste t-student Cléber Giugioli Carrasco, Thiago Santana Lemes...........................................................07

Aspectos históricos sobre a cicloide:a curva de desafia a intuição

Hermes A. Pedroso, Juliana C. Precioso......................................................................................17 Um estudo sobre a chance de repetição de sorteios na mega-sena

Rogério César dos Santos................................................ ...........................................................35

Sugestões para aplicação do Teorema de Pick na Educação Básica Francisco Silverio da Silva Junior, Fernando Pereira Micena.............................................41

Introdução à Teoria de Poincaré-Bendixson para campos de vetores planares Otávio Henrique Perez, Tiago de Carvalho....................................................................59

Desigualdades no Triângulo de Pascal Antônio Luiz de Melo, Rogério César dos Santos............................................................75

Explorando construções de cônicas João Calixto Garcia, Vanderlei Marcos do Nascimento....................................................85

Como calcular a area e o perımetro de uma elipse?

Josiel Pereira da Silva ∗

8 de agosto de 2014

Resumo

Muitos professores de Matematica relatam que a maioria dos livros didaticos deMatematica utilizados no Ensino Medio nao abordam o conceito de area e perımetroda elipse. Neste trabalho, abordaremos esse tema, que tem como objetivos deduzir,as formulas que permitem calcular a area e o perımetro de uma elipse, utilizandouma linguagem simples e de facil compreensao, mas sem perder o rigor matematico.Para isso, utilizamos as nocoes de derivada e integral, topicos que geralmente saoabordados em um primeiro curso de Calculo e que podem ser encontrados em [1] e[3]. Utilizando as nocoes de derivada e integral, concluımos que a area e o perımetro,que denotaremos por S e C, respectivamente, de uma elipse de focos F1(−c, 0) eF2(c, 0), centro O(0, 0) e vertices A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0,−b) e B2(0, b), ondeA1A2 e o eixo maior de comprimento 2a e B1B2 e o eixo menor de comprimento 2b,

podem ser obtidos atraves das formulas S = π · ab e C ≈ πa(

2− e2

2 + 3e4

16

).

Palavras Chave: Elipse, Area, Perımetro.

1 Introducao

O calculo de area e perımetro sao atividades indispensaveis para o ser humano.Desde a antiguidade, o homem sempre foi desafiado em diversas situacoes a calcularareas e perımetros de figuras planas. Hoje nao e diferente, diariamente resolvemosproblemas que geralmente utilizamos Matematica na sua resolucao.

Foi devido a esse pensamento e alguns anos lecionando Matematica em turmasdo Ensino Medio, que surgiu a ideia de produzir esse artigo. Percebemos que naoe dada a importancia merecida em sala de aula ao estudo das conicas. Isso ficouevidente apos analisar o material didatico e livros utilizados atualmente, nos quaiso calculo da area e do perımetro das conicas sao geralmente omitidos nos textos deGeometria Analıtica para o Ensino Medio. Diante desse cenario, o objetivo destetrabalho e deduzir tais fomulas que permitem calcular a area e o perımetro da elipse.

2 A elipse nos livros didaticos

E comum, em livros de Matematica, encontrarmos formulas que podem ser usadaspara calcular area e perımetro de figuras planas, por exemplo, quadrado, retangulo,cırculo, etc. Porem, quando estudamos a elipse no Ensino Medio, dificilmente eapresentado nos livros didaticos, as formulas que fornecem a area e o perımetro deuma elipse.

∗Mestre em Matematica pela Universidade Federal de Campina Grande (UFCG)

2

3 A area de uma elipse

Chama-se elipse, o conjunto de pontos de um plano cuja somas das distancias a doispontos fixos desse plano e uma constante.

Considere uma elipse de focos F1(−c, 0) e F2(c, 0), centro O(0, 0) e verticesA1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0,−b) e B2(0, b), onde A1A2 e o eixo maior de comprimento2a e B1B2 e o eixo menor de comprimento 2b, como ilustra a figura a seguir.

Figura 1: Elipse centrada na origem.

A equacao reduzida dessa elipse e dada por

x2

a2+y2

b2= 1, onde a2 = b2 + c2. (3.1)

Isolando a variavel y na equacao (3.1) obtemos,

y =b

a

√a2 − x2 ou y = − b

a

√a2 − x2.

A area da semi-elipse, que denotaremos por S1, correspondente a regiao delimi-tada pelo eixo Ox e pela funcao f1 : R −→ R dada por f1(x) = b

a

√a2 − x2 e dada

pela integral

S1 =

∫ a

−af1(x) dx (3.2)

Assim,

S1 =

∫ a

−a

b

a

√a2 − x2 dx =

b

a

∫ a

−a

√a2 − x2 dx.

Consultando [1] encontramos, de forma bem detalhada, o calculo da integraltrigonometrica indefinida ∫ √

a2 − x2 dx,

que tem como resultado∫ √a2 − x2 dx =

a2

2arcsen

(xa

)+x

2

√a2 − x2 + C,

3

onde segue

S1 =b

a

∫ a

−a

√a2 − x2 dx =

ab

2

[arcsen

(xa

)+x

2

√a2 − x2

]a−a

=ab

2· π =

πab

2.

Denotando por S2 a area da semi-elipse correspondente a regiao delimitada peloeixo Ox e pela funcao f2 : R −→ R dada por f2(x) = − b

a

√a2 − x2, S2 e dada pela

integral

S2 = − ba

∫ a

−a

√a2 − x2 dx,

que calculando de modo analogo ao caso anterior, encontramos

S2 =πab

2.

A area total, que denotaremos por S e dada por

S = S1 + S2.

Assim,S = π · ab.

Observe que se a = b, a elipse se torna um cırculo cujo raio e r = a e a area daelipse e dada por

S = π · a · a = π · a2.

4 O perımetro de uma elipse

A equacao reduzida da elipse como vimos anteriormente e

x2

a2+y2

b2= 1, onde a2 = b2 + c2.

Derivando implicitamente ambos os membros da igualdade

x2

a2+y2

b2= 1 (4.1)

em relacao a x, obtemos

y′ = − b2x

a2y.

Logo,

1 + (y′)2 = 1 +b4x2

a4y2. (4.2)

Isolando y2 na equacao (4.1), encontramos

y2 = b2(

1− x2

a2

). (4.3)

Substituindo a equacao (4.3) na equacao (4.2), obtemos

1 + (y′)2 = 1 +b4x2

a4b2(

1− x2

a2

) =a2 − c2x2

a2

a2 − x2.

4

Como a excentricidade da elipse, que denotamos por e, e dada por e = ca , temos,

1 + (y′)2 =a2 − e2x2

a2 − x2. (4.4)

O perımetro procurado, e dado pela formula

C = 4

∫ a

0

√1 + (y′)2dx,

que pode ser encontrada em [1].Logo,

C = 4

∫ a

0

√a2 − e2x2a2 − x2

dx.

Para chegar a uma expressao mais simples devemos fazer uma substituicao tri-gonometrica. Para isso, tome x = a · sen(α) e tera dx = a · cos(α). Observe quepara x = 0, teremos α = 0. Ja para x = a teremos α = π

2 . Dessa forma,

C = 4

∫ π2

0

[√a2 − e2a2 sen2(α)

a2 − a2 sen2(α)a · cos(α)

]d(α) = 4a

∫ π2

0

√1− e2 sen2(α) d(α).

Portanto,

C = 4a

∫ π2

0

√1− e2 sen2(α) d(α). (4.5)

Resolver a integral da igualdade (4.5) nao e uma tarefa facil. Por isso, a unicaalternativa e obter uma boa aproximacao para a tal integral. Para isso, iremos usara serie binomial, que permite expandir potencias do tipo (1+x)n, para todo x, n ∈ Rtal que |x| < 1. Assim, como

| − e2 sen2(α)| = |e2|| sen2(α)| < 1,

usaremos a igualdade

(1 + x)n = 1 + nx+n(n− 1)x2

2!+n(n− 1)(n− 2)x3

3!+ · · · , (4.6)

para obter tal aproximacao. Fazendo n = 12 e x = −e2 sen2(α) na igualdade (4.6) e

resolvendo a integral encontrada apos as devidas substituicoes, teremos,

C ≈ πa(

2− e2

2+

3e4

16

). (4.7)

Quando e = 0, a elipse torna-se um cırculo de raio r = a = b, cujo perımetro e2πa.

5 Conclusao

O calculo integral e umas das partes da Matematica mais fascinante. E uma ferra-menta que permite resolver problemas considerados elementares, mas que exigem doresolvedor um conhecimento matematico mais acurado. Isso se torna visıvel quandotemos a missao de calcular a area e o perımetro de uma elipse, uma conica bemconhecida dos amantes da Matematica.

5

Diferente de outras curvas, o calculo da area de uma elipse e uma tarefa teori-camente facil, mas, calcular o seu perımetro nao e uma atividade trivial. Portanto,com um pouco de esforco poderemos exibir uma expressao que podera ser usadapara calcular a area de uma elipse qualquer. Tal formula e

S = πab.

Ja a expressao que fornece uma boa aproximacao para o perımetro de uma elipse e

C ≈ πa(

2− e2

2+

3e4

16

).

O ensino medio e uma fase da educacao basica onde o aluno tem a oportunidadede nao so obter o amadurecimento dos conhecimentos obtidos no ensino fundamen-tal, como tambem, a adquirir o prazer e a autonomia com relacao a aprendizagemMatematica. Diante disso, e importante que os professores aprensentem, de formaagradavel, as conicas, elementos da geometria muito presente no cotidiano de cadaum, basta observar a bola de futebol americano, uma melancia, etc.

Esperamos que este trabalho seja o inıcio de uma caminhada, onde temas queprofessores, por inumeros motivos deixam de apresentar aos seus alunos, a exemplodas conicas, possam ser exibidos de maneira clara, agradavel e acima de tudo,objetiva.

Referencias

[1] FLEMMING, Diva Marılia; GONCALVES, Mırian Bus. Calculo A: funcoes,limite, derivacao, integracao. Sao Paulo, Pearson Prentice Hall, (1997).

[2] LIMA, Elon Lages. Curso de Analise. Vol. 1. (11a edicao). Projeto Euclides,IMPA, Rio de Janeiro, 2006.

[3] SWOKOWSKI, Earl William. Calculo com geometria analıtica. Sao Paulo,Makron Books, (1994).

6

____________________________ † Email: [email protected]. Docente da Universidade Estadual de Goiás – UEG. 1 Graduado em Licenciatura em Matemática na Unidade de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual de Goiás e voluntário no programa de iniciação científica PVIC/UEG.

Uma Avaliação do Erro Tipo II no Uso do Teste t-student

Cleber Giugioli Carrasco †

Thiago Santana Lemes 1 Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Estadual de Goiás,

UnUCET/UEG, 75.132-903, Anápolis, GO

30 de maio de 2014

Resumo

O objetivo deste trabalho foi utilizar o método de Monte Carlo para estimar a

probabilidade de se cometer o erro tipo II ao realizar o teste t-student para uma amostra,

o qual é uma ferramenta estatística muito importante na tomada de decisões, através de

um estudo de simulação. Neste estudo, foi verificada a influência do tamanho amostral,

da variabilidade, do nível de significância do teste e das médias alternativas sobre o erro

tipo II. Todo esse procedimento foi implementado computacionalmente no software free

R. Os resultados desse estudo convalidam os resultados teóricos apresentados na

literatura estatística sobre o erro tipo II, ou seja, que esse erro diminui quando se

aumenta o tamanho da amostra e/ou o nível de significância do teste e quando os

valores atribuídos para as médias alternativas se distanciam do valor do parâmetro

fixado na hipótese nula. E ainda, quando o desvio-padrão aumenta, a probabilidade de

ocorrer o erro tipo II também aumenta. Dessa forma, pode-se controlar esse erro, em

particular, através do nível de significância fixado no teste e pelo tamanho da amostra.

Palavras Chave: Método de Monte Carlo, simulação, teste de hipóteses.

7

Introdução Quando se tem interesse em testar uma alegação a respeito do valor de um

parâmetro populacional, pode-se utilizar um teste de hipóteses para auxiliar na tomada

da decisão correta. Por exemplo, se afirmam que a altura média de uma população é

1,70 m, pode-se então aceitar ou rejeitar essa afirmação fazendo um teste de hipóteses

para a média. Para isso é necessário em primeiro lugar, definir a hipótese nula (H0) que

será testada e a hipótese alternativa (HA) que será dita aceita caso se rejeite H0. Nesse

caso a hipótese nula é de que a população tem média de altura igual a 1,70 m e a

hipótese alternativa é de que a média de altura é diferente de 1,70 m, podendo também

ser maior ou menor do que 1,70 m, dependendo das informações ou suspeitas a priori do

pesquisador. Feito isso, deve-se estabelecer o nível de significância do teste (α) que

indicará a probabilidade da estatística do teste pertencer a região crítica (RC) quando a

hipótese nula for verdadeira.

Ao definir as hipóteses nula e alternativa para realizar um teste de hipóteses são

encontradas diferentes situações de acordo com o problema em estudo. A partir disso é

possível expressar o teste de três diferentes maneiras:

1) Teste bilateral: Nesse caso o teste será chamado de bilateral, pois se na

hipótese alternativa o parâmetro θ é diferente do valor θ0 ele necessariamente é maior

ou menor do que θ0.

H0:θ = θ0

HA:θ ≠ θ0 (1)

2) Teste unilateral à direita: Nesse caso o teste será chamado de unilateral à

direita, pois θ tem que ser maior do que θ0.

H0:θ = θ0

HA:θ > θ0 (2)

3) Teste unilateral à esquerda: Nesse caso o teste será chamado de unilateral à

esquerda, pois θ tem que ser menor do que θ0.

H0:θ = θ0

HA:θ < θ0 (3)

8

Assim, de acordo com o problema a ser estudado é que as hipóteses do teste

poderão ser definidas, e a formulação da hipótese alternativa irá depender do grau de

conhecimento que se tem do problema (BUSSAB e MORETTIN 2002). Portanto nem

sempre será possível realizar um teste mais específico como os unilaterais devido à falta

de informações.

Quando um teste de hipóteses é realizado, ele está sujeito a erros que distorcem a

compreensão da veracidade do resultado, e por isso é importante minimizar ao máximo

a probabilidade de se cometer esses erros. Devido a este problema, as regras de decisão

são construídas seguindo critérios que nos permitam reduzir erros na tomada de uma

decisão. Em geral, podemos cometer dois tipos de erros: erro tipo I e tipo II, que podem

ser escritos da seguinte maneira:

Erro Tipo I: Rejeitar H0 quando H0 for verdadeira.

Erro Tipo II: Não rejeitar H0 quando H0 for falsa.

Portanto as probabilidades dos erros tipo I e II podem ser dadas respectivamente

por:

α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 | H0 é verdadeira)

β = P(erro tipo II) = P(não rejeitar H0 | H0 é falsa) (4)

Note que a probabilidade do erro tipo I é o nível de significância do teste.

A Tabela 1 adaptada de Costa Neto (1977, p. 86) apresenta os resultados de um

teste de hipóteses e suas respectivas probabilidades condicionadas a realidade.

Tabela 1: Erros e decisões corretas resultantes de um teste de hipóteses.

Decisão Realidade

H0 Verdadeira H0 Falsa

Aceitar H0 Decisão correta (1 – α) Erro Tipo II (β)

Rejeitar H0 Erro Tipo I (α) Decisão correta (1 – β)

9

Infelizmente não se pode controlar o erro tipo I e o erro tipo II simultaneamente,

ao menos que se aumenta o tamanho da amostra. O que vai ocorrer é que ao diminuir α

estaremos aumentando β e vice versa, como mostra a Figura 1 a seguir, onde θA é um

valor pertencente a hipótese alternativa.

Figura 1: Representação dos erros tipo I e II.

A princípio, sempre é dada grande atenção ao erro tipo I, controlando esse erro

através da escolha do nível de significância do teste e deixando o erro tipo II sem

controle, pois o mesmo requer um procedimento mais complexo para sua avaliação. No

entanto, segundo Bussab e Morettin (2002) fixado α, é possível calcular a probabilidade

do erro tipo II, atribuindo valores arbitrários para o parâmetro θ, que podem ser tanto

menores quanto maiores do que o valor θ0 a ser testado.

Dessa forma, diversos autores avaliaram a probabilidade de ocorrer o erro tipo II

em um teste de hipóteses e mostraram que essa probabilidade pode ser afetada pelo

tamanho amostral, nível de significância do teste, variabilidade e pela distância entre o

valor real do parâmetro e o valor a ser testado. Alguns desses autores utilizaram a

função poder (BUSSAB; MORETTIN, 2002) ou a curva característica de operação

(COSTA NETO, 1977) para mostrar esse resultado.

Neste trabalho propõem-se realizar um estudo de simulação utilizando o método

de Monte Carlo, o qual consiste em repetir o mesmo procedimento várias vezes (MUN,

10

2006), para mostrar que a probabilidade de ocorrer o erro tipo II em um teste de

hipóteses para a média com variância desconhecida é influenciada pelo tamanho da

amostra, nível de significância do teste, variabilidade e pelos valores das médias

alternativas, corroborando com os resultados teóricos amplamente discutidos na

literatura estatística e, apresentar os resultados desse estudo para que se tenha uma

percepção da dimensão desses erros em termos quantitativos.

Para realizar esse estudo de simulação será utilizado o software free R

(VENABLES AND SMITH, 2012). Segundo Peternelli & Mello (2007, p.81), uma das

maiores vantagens do R é a facilidade na criação de novas funções, este é um dos

motivos para a escolha deste software no desenvolvimento deste trabalho, além de ser

um software gratuito.

1 Material e Métodos

O teste de hipóteses para a média tem o intuito de verificar se determinado

parâmetro referente à média populacional é ou não verdadeiro. Ao realizar um teste de

hipóteses, primeiramente definem-se as hipóteses nula e alternativa e fixa-se o nível de

significância do teste. Ao testar a média de uma determinada população, em geral não se

conhece a sua variância, no entanto, é possível estimá-la através da variância amostral, a

qual é dada por (MAGALHÃES; LIMA, 2008):

( )1

1

2

2

−

−=∑

=

n

xxS

n

ii

(5)

onde xi é o i-ésimo valor da amostra, x a média amostral e n o tamanho da amostra.

Assim, utiliza-se a distribuição t-student com n – 1 graus de liberdade para testar

a média de interesse, por isso o teste é conhecido como t-student. A expressão a seguir

calcula o valor denominado como t observado (tobs) (MAGALHÃES; LIMA, 2008):

n

Sx

tobs

µ−=

(6)

onde µ é a média populacional e S é o desvio padrão amostral.

Dessa forma é construída a região de rejeição do teste, conhecida como região

crítica, que segundo Costa Neto (1977, p.86) é a faixa de valores da variável de teste

11

que leva à rejeição de H0. A região crítica é construída com base nos valores

denominado t crítico (tc) da distribuição t-student. Se for constatado que o valor de tobs

pertence à região crítica do teste, rejeita-se a hipótese nula (H0) ao nível de α%, caso

contrário não se rejeita H0.

Para realizar o estudo de simulação para o erro tipo II, serão fixados o nível de

significância do teste e gerado uma amostra de tamanho n no software R a partir de um

modelo normal com média e variância (ou desvio-padrão) pré-estabelecida. Em seguida,

será aplicado o teste t-student para uma amostra (bilateral, unilateral à esquerda e

unilateral à direita), onde será definido um contador δ, tal que δ = 0 se o teste rejeitar H0

e δ = 1 se o teste não rejeitar H0 (CARRASCO; SILVA, 2013).

Através do método de Monte Carlo repetir-se-á o processo descrito acima r

vezes e verificar-se á em quantas delas, o teste rejeitou ou não a hipótese nula. Dessa

forma, a probabilidade do erro tipo II (β) será estimada através da seguinte expressão

adaptada de Carrasco e Silva (2009):

.,...,3,2,1,1* rir

r

ii

==∑

=

δβ

(7)

Serão feitas diferentes combinações entre tamanhos amostrais, médias

alternativas, desvios padrão (variâncias) e níveis de significância. Este procedimento

será aplicado para o teste bilateral, considerando todas as médias alternativas

escolhidas, para o teste unilateral à esquerda considerando somente as médias

alternativas menores que µ0, e para o teste unilateral à direita considerando as médias

alternativas maiores que µ0.

2 Resultados e Discussão

Para realizar o estudo de simulação através do método de Monte Carlo para o

erro tipo II foram geradas amostras de tamanhos n = 5, 10, 20, 30, 40 e 50 a partir de

uma distribuição normal com média µ = µA (média alternativa) e desvio padrão σ =

0,25; 1 e 5. A escolha desses tamanhos amostrais se deve ao fato do teste t-student ser

indicado para amostras pequenas. Os níveis de significância foram estabelecidos em α =

0,01; 0,05 e 0,10. A hipótese nula foi fixada em H0: µ = 5 e a alternativa em H0: µ ≠ 5

12

para o teste bilateral e para os testes unilaterais a esquerda e a direita respectivamente

em H0: µ < 5 e H0: µ > 5. Foram escolhidos para o teste bilateral os seguintes valores

para as médias alternativas: µA = 4,0; 4,5; 4,9; 5,1; 5,5 e 6,0 e, para o teste unilateral à

esquerda os valores menores do que 5,0 e para o teste unilateral à direita os valores das

médias alternativas maiores do que 5,0. Utilizou-se r = 1000 e o nível de significância,

o tamanho amostral e o desvio padrão variaram na medida em que foram feitos os testes

para as três diferentes hipóteses alternativas, com o intuito de verificar a sua influência

sobre o erro tipo II.

Todo o estudo de simulação de Monte Carlo foi realizado no software R. Assim

tem-se 6 x 3 x 3 x 6 x 1000 = 324.000 simulações para avaliar o erro tipo II para os

testes bilaterais e mais 6 x 3 x 3 x 3 x 1000 x 2 = 324.000 simulações para avaliar o erro

tipo II para os testes unilaterais à esquerda e à direita, totalizando 648.000 simulações

neste estudo. Os resultados desse estudo estão condensados nas Tabelas 2 e 3 a seguir.

Tabela 2: Gráficos dos resultados do erro tipo II para o teste unilateral à esquerda.

µA α = 0,01 α = 0,05 α = 0,10

4,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50

4,5

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50

4,9

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50

13

Tabela 3: Gráficos dos resultados do erro tipo II para o teste unilateral à direita.

µA α = 0,01 α = 0,05 α = 0,10

5,1

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50

5,5

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 6,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 10 20 30 40 50

As Tabelas 2 e 3 apresentam os resultados do estudo de simulação para os testes

unilaterais à esquerda e unilaterais à direita, respectivamente, onde o desvio padrão é

representado pelos seguintes valores: σ = 0,25; σ = 1 e σ = 5. Como esperado,

observou-se que a probabilidade de ocorrer o erro tipo II diminui quando o tamanho

amostral e/ou o nível de significância do teste (α) aumentam, fato que também pode ser

observado na Figura 1 e, quando a distância entre a média alternativa µA e a média

estabelecida em H0 (µ = 5) forem maiores. Com relação ao desvio padrão, observou-se

que maiores variabilidades aumentam a chance do erro tipo II. Esses comportamentos

são observados para todos os testes bilaterais e unilaterais, corroborando com os

resultados teóricos apresentados na literatura estatística.

Os resultados dos testes bilaterais foram suprimidos deste trabalho, pois os

mesmos são semelhantes aos resultados apresentados para os testes unilaterais, apenas

ligeiramente diferentes pelo fato da região crítica ser constituída por duas partes.

14

3 Conclusão Com a realização deste estudo de simulação através do método de Monte Carlo,

pode-se convalidar os resultados teóricos discutidos na literatura estatística sobre a

probabilidade de se cometer o erro tipo II, ou seja, esse erro diminui na medida em que

se aumenta o tamanho da amostra e/ou o nível de significância do teste, e quando os

valores atribuídos para as médias alternativas se distanciam do valor do parâmetro

fixado na hipótese nula. E ainda, quando o desvio padrão aumenta, a probabilidade de

se cometer o erro tipo II também aumenta. Os resultados desse estudo também

possibilitaram ter uma dimensão quantitativa desse erro através dos gráficos de colunas

apresentados.

Dessa forma é necessário cuidado ao aplicar um teste t-student para a média,

uma vez que se está sujeito a cometer erros. Para o erro tipo II, é necessária a

preocupação com alguns fatores, uma vez que o erro tipo II é sensível ao tamanho

amostral, variabilidade, ao nível de significância do teste e aos valores alternativos da

média, entretanto, pode-se controlar esse erro, em particular através do nível de

significância do teste e do tamanho amostral, controlando assim também a

probabilidade de se tomar uma decisão correta.

Referências [1] BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 5ª edição. Saraiva, 2002.

[2] CARRASCO, C. G.; SILVA, L. A. Avaliação do erro tipo I na aplicação de um teste

de hipóteses para a média. Revista Mosaicum, Bahia, Nº. 9, p. 63-68, 2009.

[3] CARRASCO, C. G.; SILVA, L. A. Um estudo do erro tipo II em um teste de

hipóteses para a média. Revista Nucleus, V. 10, Nº. 2, p. 7-12, 2013.

[4] COSTA NETO, P. L. O. Estatística. 1ª edição. Edgard Blücher, 1977.

[5] MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6ª

edição. Edusp, 2008.

15

[6] MUN, J. Applying Monte Carlo Simulation, Real Options Analysis, Forecasting,

and Optimization Techniques. 1ª edição. Wiley, 2006.

[7] PETERNELLI, L. A.; MELLO, M. P. Conhecendo o R - Uma visão estatística. 1ª

edição. UFV, 2007.

[8] VENABLES, W. N.; SMITH, D. M. An Introducion to R: Notes on R: A

Programing Environment for Data Analysis and Grafics, Version 2.15.1, 2012.

Disponível em: http://cran-r.c3sl.ufpr.br/.

16

Aspectos historicos sobre a cicloide: a curva quedesafia a intuicao

Hermes A. Pedroso ∗ Juliana C. Precioso †

7 de julho de 2014

Resumo

O objetivo deste trabalho e resgatar um pouco da rica historia do estudo dacicloide. Para isso, serao mostrados inicialmente os passos da sua construcao, asdeducoes de suas equacoes polares e cartesianas que, a seguir, serao utilizadas noscalculos da area sob um arco dessa curva, da reta tangente, bem como, do compri-mento desse arco.

Serao reconstituıdas etapas das aplicacoes da cicloide nos casos do pendulo deHuygens, em que ela se comporta como isocrona (mesmo tempo) e do problema dabraquistocrona (tempo mınimo) que desafiaram os grandes matematicos dos seculosXVII e XVIII, com destaque para Huygens e os irmaos Jakob e Johann Bernoulli.

Palavras Chave: cicloide, isocrona, braquistocrona.

Introducao

A cicloide foi percebida pela primeira vez por Charles Bovelles (1479-1566), quenum trabalho de geometria publicado em Paris, em 1501, se refere a essa curvaligando-a com o problema da quadratura do cırculo. Os primeiros estudos rigorososque se tem conhecimento sao devidos a Giles Person de Roberval (1602-1675) que achamou de “trochoide”(roda em grego), a Blaise Pascal (1623-1662) que a chamoude “roulette”e a Evangelista Toricelli (1608-1647), um discıpulo de Galileu Galilei(1564-1642). O proprio Galileu Galilei tambem estudou a curva tendo inclusive achamado de cicloide e referiu-se a sua forma graciosa, apontando-a como sugestaopara o perfil dos arcos de construcoes em arquitetura. Provou, pesando modelos depapel, que a area sob a curva e tres vezes a area do cırculo gerador. Utilizando ometodo dos indivisıveis, esse resultado foi provado posteriormente por Toricelli quefoi acusado de plagio por Roberval; fato que pode ter sido a razao de sua morteprematura.

Vincenzo Viviani, outro brilhante aluno de Galileu, obteve a reta tangente acicloide, resultado tambem alcancado na Franca por Rene Descartes (1596-1650) ePierre de Fermat (1601-1665).

Sobre o comprimento de um arco de cicloide, destacam-se os trabalhos de Christo-pher Wren (1632-1723) um famoso arquiteto ingles que projetou 51 igrejas em Lon-dres, incluindo a Catedral de Sao Paulo e os de Roberval que provou que o compri-mento desse arco e oito vezes o raio do cırculo gerador.

∗Email: [email protected]. Departamento de Matematica, IBILCE, UNESP†Email: [email protected]. Departamento de Matematica, IBILCE, UNESP

17

Figura 1: Da esquerda para a direita: Pascal, Roberval, Galileu e Torricelli.

Christiaan Huygens (1629-1695) mostrou, por volta de 1673, que o tempo gastopor uma partıcula para chegar a um nıvel inferior, partindo do repouso e deslizando,sem atrito, sob a acao da gravidade em um arco invertido de cicloide, independedo ponto de partida (isocronismo). Esse resultado o levou a construir o relogio dependulo, que oscila entre dois ramos de uma cicloide, o que faz com que o perıodoseja sempre o mesmo, independente da amplitude das oscilacoes.

Algum tempo depois, a cicloide apareceria como solucao de outro importanteproblema da ciencia do final do seculo XVII, conhecido como braquistocrona ou dotempo mınimo. Em 1696 Johann Bernoulli lancou esse problema como desafio aosmatematicos na Acta Eruditorum da seguinte maneira: suponha que dois pregossejam martelados ao acaso em uma parede (nao na mesma vertical), e que o pregosuperior seja conectado ao inferior por um arame flexıvel na forma de uma curva lisa.Qual a forma do arame no qual uma partıcula deslizara (sem atrito) sob influenciada gravidade, para passar do prego superior ao inferior no menor tempo possıvel?

De imediato a questao despertou um grande interesse e logo foi resolvida, porIsaac Newton (1642-1727), por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), por JakobBernoulli (1654-1705), irmao mais velho de Johann e por ele proprio. Fato curioso eque na sua solucao Johann usou uma analogia com a refracao da luz, demonstrandogrande engenhosidade ao relacionar temas que aparentemente eram bem distintos.O problema da braquistocrona foi marcante porque apontou uma linha de pesquisa,importantıssima, chamada de calculo das variacoes e que trata do estudo de fun-cionais ou de funcoes que dependem de outras funcoes ou curvas.

Para mais referencias sobre o assunto abordado nesse trabalho, veja, por exem-plo, [1], [2], [3], [8] e [12].

1 Construcoes da cicloide e de suas retas tan-

gente e normal

Definicao 1 Chama-se cicloide uma curva plana descrita por um ponto de umacircunferencia que rola, sem deslizamento, sobre uma reta. Esse ponto e chamadode gerador, a circunferencia de geradora e a reta de diretriz da cicloide.

A construcao da cicloide, a exemplo das conicas, sera feita por pontos por setratar de uma curva nao construtıvel com regua e compasso. A construcao que seraapresentada baseia-se em [10].

Para se compreender tal construcao, imagine que ao longo do perıodo em que acircunferencia geradora completa uma volta, sejam registrados flashes do seu movi-mento, identificando algumas posicoes do ponto P gerador.

Nas figuras seguintes, o comprimento do segmento PQ e igual ao comprimentoda circunferencia geradora. Alem disso, tanto PQ quanto a circunferencia estaodivididos em oito partes iguais.

18

Figura 2: Primeiramente, observe que, conforme a circunferencia geradora rola sobre adiretriz, o ponto 1 cai em 1’, 2 em 2’, 3 em 3’, etc.

Figura 3: Quando o ponto 1 passa para a posicao 1’, o ponto P vai para a posicao em quese encontrava o ponto 7 na situacao inicial.



A partir das figuras acima, podemos visualizar a sua construcao. Sera necessariorealizar a retificacao da circunferencia geradora e para tanto utilizaremos o processodevido a Arquimedes (287 - 212 a.C.) que se encontra em um dos seus famosos

trabalhos denominado A medida do cırculo e que consiste em atribuir o valor22

7para π.

Vamos supor que o ponto gerador seja o ponto P , em que a circunferenciageradora, denotada por C, tangencia a diretriz na posicao inicial.

Determina-se o ponto Q sobre a diretriz, de modo que PQ seja a retificacao deC, ou seja, PQ e um segmento cujo comprimento e o mesmo de C que e igual a

2πr = dπ ≃ d22

7= 3d+

d

7. Ver Figura 6.

Divide-se PQ e C em um mesmo numero de partes iguais. Por exemplo, 8 partes.Para se obter maior precisao no tracado, pode-se dividir PQ e C em um numeromaior de partes iguais.

19

Figura 6: Retificacao da circunferencia pelo processo de Arquimedes

Pelos pontos de divisao de C, traca-se as retas s1, s2, s3 e s4 paralelas a diretriz.

Figura 7:

Com raio P7 (ou P1) e centros em 1’ e 7’, traca-se arcos que determinam em s1dois pontos da cicloide.

Com raio P6 (ou P2) e centros em 2’ e 6’, traca-se arcos que determinam em s2mais dois pontos.

Com raio P5 (ou P3) e centros em 3’ e 5’, traca-se arcos que determinam em s3mais dois pontos.

Figura 8:

Por fim, determina-se em s4 mais um ponto da cicloide, tracando-se por 4’ umaperpendicular a diretriz. Unindo-se de modo conveniente os pontos determinadosobtem-se a cicloide.

Figura 9:

20

Passaremos agora a construcao da tangente e da normal a uma cicloide por umponto S.

Por S traca-se uma paralela a diretriz determinando o ponto S′ em C.Seja T o ponto de tangencia de C com a diretriz. Traca-se por S a reta n paralela

a reta S′T.Por S traca-se a reta t perpendicular a n.As retas t e n sao, respectivamente, a tangente e a normal a cicloide no ponto

S.

Figura 10: Retas tangente e normal a cicloide no ponto S.

2 Equacoes polares e cartesianas

Dado um sistema de coordenadas Oxy, a cicloide e o lugar geometrico descritopelo ponto P da circunferencia geradora, de raio a e centro C e que rola sobre oeixo x. O ponto inicial ocorre na posicao em que C esta no semi-eixo positivo dosy.

Figura 11:

O angulo θ, ver Figura 11, e o angulo varrido pelo raio CP quando a circun-ferencia rola para uma nova posicao. Se x e y sao as coordenadas de P, entao,considerando esse movimento, como OB = arco BP = aθ, tem-se

x = OA = OB −AB = OB − PQ = aθ − a sin θ = a(θ − sin θ)

ey = AP = BC −QC = a− a cos θ = a(1− cos θ).

Portanto, as equacoes polares da cicloide sao:

x = a(θ − sin θ), y = a(1− cos θ). (2.0.1)

Nas equacoes (2.0.1) e possıvel eliminar θ para se obter a equacao cartesiana dacicloide, x = f(y). De fato, da segunda equacao, tem-se

cos θ = 1− y

a, ou seja, θ = arccos

(1− y

a

).

21

Logo,

sin θ = ±√

1− cos2 θ = ±√

(2a− y)y

a.

Portanto,

x = a arccos(1− y

a

)∓√

(2a− y)y = f(y),

que e a equacao cartesiana da cicloide.Essa equacao e de pouca utilidade, uma vez que e muito mais facil visualizar

a curva pela descricao do movimento de P e estudar esse movimento pelas suasequacoes polares, que sao, por assim dizer, as equacoes naturais da cicloide.

3 Calculo da area sob um arco da curva, com-

primento desse arco e propriedade da tangente

Proposicao 2 A area sob um arco da cicloide e tres vezes a area do cırculo gerador.

Demonstracao: Consideremos o arco tracado, desde a origem, quando a cir-cunferencia perfaz uma revolucao completa. Uma vez que y e uma funcao de x, verFigura 11, a area pode ser escrita da seguinte forma

A =

∫ 2πa

0y dx.

Pelas equacoes da cicloide (2.0.1), pode-se fazer a mudanca de variaveis x =a(θ − sin θ) para o calculo dessa integral. Assim, obtem-se

A =

∫ 2π

0ya(1− cos θ) dθ

= a2∫ 2π

0(1− cos θ)2 dθ

= a2∫ 2π

0(1− 2 cos θ + cos2 θ) dθ

= a2∫ 2π

0(1 + cos2 θ) dθ

= a2∫ 2π

0dθ + a2

∫ 2π

0

1

2(1 + cos 2θ) dθ

= 3πa2.

�

Proposicao 3 O comprimento de um arco da cicloide e quatro vezes o diametrodo cırculo gerador.

Demonstracao: Para o calculo do comprimento de um arco, as equacoes dacicloide

x(θ) = a(θ − sin θ), y(θ) = a(1− cos θ)

comportam-se como suas equacoes parametricas, no parametro θ, em que0 ≤ θ ≤ 2π.

22

Logo, o comprimento de arco e dado por

L =

∫ 2π

0

√(x′(θ))2 + (y′(θ))2 dθ

=

∫ 2π

0

√(a(1− cos θ))2 + (a sin θ)2 dθ

=

∫ 2π

0

√2a2(1− cos θ) dθ.

Usando a identidade sinθ

2= ±

√1− cos θ

2, tem-se 1− cos θ = 2 sin2

θ

2. Assim,

L =

∫ 2π

0

√2a2

(2 sin2

θ

2

)dθ

=

∫ 2π

02a sin

θ

2dθ

=

[−4a cos

θ

2

]2π0

= 4(2a)

= 8a.

�

Proposicao 4 A reta tangente a cicloide num ponto P qualquer passa pelo topo docırculo gerador.

Demonstracao: Para a demonstracao desse resultado, usaremos o coeficienteangular da reta tangente no ponto P = (a(θ− sin θ), a(1− cos θ)), o qual e dado por

y′ =dy

dx=

a sin θdθ

a(1− cos θ)dθ=

sin θ

1− cos θ=

2 sin θ2 cos

θ2

2 sin2 θ2

= cotθ

2. (3.0.2)

Pode-se observar que y′ nao esta definido para θ = 0,±2π,±4π, · · · , pois nessespontos a tangente e vertical. Esses valores de θ correspondem aos pontos em que acicloide toca o eixo x, pontos esses chamados de cuspides.

Seja r a reta tangente a cicloide passando por P . Uma vez que o ponto no topodo cırculo gerador tem coordenadas (aθ, 2a) e o coeficiente angular de r e como em(3.0.2), a equacao de r e dada por

y − a(1− cos θ) =sin θ

1− cos θ(x− aθ + a sin θ).

Substituindo x = aθ na equacao anterior, tem-se

y = a(1− cos θ) +sin θ

1− cos θa sin θ =

a(1− cos θ)2 + a sin2 θ

1− cos θ= 2a.

Portanto, a reta tangente a cicloide por P passa, de fato, pelo ponto (aθ, 2a) notopo do cırculo gerador. �

23

4 O pendulo simples

A discussao apresentada nessa secao baseia-se em [5], [7] e [11].O pendulo simples consiste de uma partıcula de massa m fixada na extremi-

dade inferior de um fio inextensıvel (idealmente sem massa) de comprimento l, cujaextremidade superior esta fixada. Supoe-se que o movimento se de em um planovertical e designa-se por θ o angulo formado pelo fio e a vertical.

θ

T

y

x

mg

xx

y

θ

m

Figura 12: Pendulo Simples

As forcas que atuam no corpo de massa m sao a tensao T do fio e a forca verticalmg devido a gravidade. A segunda lei de Newton nos fornece as equacoes:

mx′′= −T sin θ e my

′′= mg − T cos θ,

ou seja,

−T =mx

′′

sin θe − T =

m(y′′ − g)

cos θ,

donde conclui-se quex

′′cos θ − y

′′sin θ = −g sin θ. (4.0.3)

Uma vez que x = l sin θ e y = l cos θ, obtem-se

x′′= −l(sin θ)(θ

′)2 + l(cos θ)θ

′′e y

′′= −l(cos θ)(θ

′)2 − l(sin θ)θ

′′.

Logo, de (4.0.3), obtem-se a equacao do pendulo

lθ′′+ g sin θ = 0,

que e uma equacao diferencial nao linear de 2a ordem.

4.1 O perıodo do pendulo simples nas pequenas os-cilacoes

No caso de pequenas oscilacoes do pendulo e possıvel fazer a aproximacaosin θ ∼ θ. Logo, a equacao do pendulo torna-se

lθ′′+ gθ = 0, ou seja, θ

′′+ ω2θ = 0,

em que ω2 =g

l.

A equacao caracterıstica associada e λ2 + ω2 = 0, a qual tem raızes complexasλ1 = iω e λ2 = −iω. Logo, φ(t) = eλ1t = eiωt = cosωt + i sinωt e uma solucao avalores complexos de θ

′′+ ω2θ = 0.

Essa solucao da origem as seguintes solucoes reais linearmente independentes

θ1(t) = cosωt e θ2(t) = sinωt,

24

as quais formam uma base para o espaco de solucoes. Assim,

θ(t) = c1 cosωt+ c2 sinωt

e a solucao geral.As constantes c1 e c2 podem ser determinadas sabendo-se a posicao inicial da

partıcula θ(0) = θ0 e sua velocidade inicial θ′(0) = v0. Assim, c1 = θ0 e c2 =

v0ω

e,

portanto,

θ(t) = θ0 cosωt+v0ω

sinωt = A cos(ωt− ϕ), (4.1.1)

em que A e ϕ sao dados por

A =

√θ20 +

(v0ω

)2, cosϕ =

θ0A

e sinϕ =v0Aω

,

com 0 ≤ ϕ < 2π. Isso se deve ao fato de que sendo A a amplitude maxima domovimento oscilatorio, em torno da posicao θ = 0, tem-se por (4.1.1) que o maximode |θ(t)| ocorre quando A cos(ωt− ϕ) e maximo, ou seja, quando | cos(ωt− ϕ)| = 1.

Considere primeiramente cos(ωt − ϕ) = 1. Logo, ωt − ϕ = 0, ou seja, t =ϕ

ω.

Substituindo esse valor em (4.1.1), tem-se

θ

(ϕ

ω

)= θ0 cosϕ+

v0ω

sinϕ = A.

Uma vez que θ(0) = θ0 = A cos(−ϕ) = A cosϕ, tem-se

A = θ0 cosϕ+v0ω

sinϕ ⇒ A = A cosϕ cosϕ+v0ω

sinϕ

⇒ A sin2 ϕ =v0ω

sinϕ

⇒ A sinϕ =v0ω, (pois ϕ = 0)

⇒ sinϕ =v0Aω

.

Substituindo os valores de cosϕ e sinϕ em A = θ0 cosϕ+v0ω

sinϕ, obtem-se

A = θ0θ0A

+v0ω

v0Aω

⇒ A2 = θ20 +(v0ω

)2⇒ A =

√θ20 +

(v0ω

)2.

O mesmo resultado pode ser obtido quando se considera cos(ωt− ϕ) = −1.

Em (4.1.1), o perıodo da funcao cosseno dado por T =2π

ωe o perıodo do

movimento, ou seja, e o tempo necessario para uma oscilacao completa. Desse

modo, vemos que o perıodo das oscilacoes de um pendulo simples e T = 2π

√l

g.

Isso mostra que o perıodo independe da amplitude θ0, fato observado por Galileu edenominado o isocronismo das pequenas oscilacoes.

25

4.2 O perıodo do pendulo simples nas grandes oscilacoes

Suponhamos que em t = 0 o pendulo e deslocado por um angulo θ0 > 0 e aseguir abandonado, comecando assim o movimento. Logo, θ(0) = θ0 e θ

′(0) = 0.

xx

y

θ

m

0

θ'(t)

θ

m

Figura 13: Pendulo Simples

Note que multiplicando a equacao do pendulo θ′′+ω2 sin θ = 0 por θ

′, obtem-se

θ′θ′′+ ω2(sin θ)θ

′= 0 ⇒ d

dt

[1

2(θ

′)2 − ω2 cos θ

]= 0

⇒ 1

2(θ

′)2 − ω2 cos θ = c,

em que c pode ser obtida a partir dos valores de θ e θ′em um dado instante t0.

Daı, como θ(0) = θ0 e θ′(0) = 0, tem-se c = −ω2 cos θ0.

Logo,1

2(θ

′)2−ω2 cos θ = −ω2 cos θ0, o que implica que (θ

′)2 = 2ω2 (cos θ − cos θ0) ,

ou seja,θ′= ±

√2ω√

cos θ − cos θ0. (4.2.1)

Para encontrar o perıodo do movimento oscilatorio em funcao do deslocamentodo pendulo, conforme a Figura 13, considera-se um quarto desse perıodo, e assim, θvariando de θ(0) = θ0 a θ

(T4

)= 0 e θ

′(t) e negativa. Considerando-se a diferencial

de θ, dθ = θ′(t)dt, tem-se dθ = −

√2ω

√cos θ − cos θ0 dt, e desse modo,

dθ√cos θ − cos θ0

= −√2ωdt. (4.2.2)

Integrando-se (4.2.2), obtem-se

− 1√2ω

∫ 0

θ0


=

∫ T4

0dt =

T

4⇒ T = 4

1√2ω

∫ θ0

0


.

Uma vez que

cos θ − cos θ0 = cos

(θ

2+

θ

2

)− cos

(θ02

+θ02

)= cos2

θ

2− sin2

θ

2− cos2

θ02

+ sin2θ02

= 1− sin2θ

2− sin2

θ

2− 1 + sin2

θ02

+ sin2θ02

= 2

(sin2

θ02

− sin2θ

2

),

26

tem-se

T =2π

ω

1

π

∫ θ0

0

1√sin2 θ0

2 − sin2 θ2

dθ.

Fazendo a mudanca de variavel sin θ2 = sin θ0

2 sinu, tem-se para θ = 0, u = 0 e

para θ = θ0, u =π

2e dθ = 2

sin θ02 cosu

cos θ2

du. Logo,

T =4

ω

∫ π2

0

1

cos θ2

du =4

ω

∫ π2

0

1√1− k2 sin2 u

du, (4.2.3)

em que k = sin θ02 .

Desse modo, para se determinar o perıodo do pendulo e necessario calcular umaintegral que nao pode ser resolvida em termos de funcoes elementares, porem, pode-se obter aproximacoes usando o desenvolvimento em series.

Considere o desenvolvimento binomial de Newton

(1 + x)p = 1 + px+p(p− 1)

2!x2 +

p(p− 1)(p− 2)

3!x3 + · · · ,

que converge se |x| < 1.

Fazendo x = −k2 sin2 u, em que |k2 sin2 u| < 1 e p = −1

2, obtem-se

(1− k2 sin2 u)−12 = 1− 1

2(−k2 sin2 u) +

1

2!

(−1

2

)(−3

2

)(−k2 sin2 u)2

+1

3!

(−1

2

)(−3

2

)(−5

2

)(−k2 sin2 u)3 + · · ·

= 1 +1

2k2 sin2 u+

1

2!

1

2

3

2k4 sin4 u+

1

3!

1

2

3

2

5

2k6 sin6 u+ · · ·

A serie acima e convergente e pode ser integrada termo a termo. Com objetivode obter as integrais das potencias dos senos de forma recursiva, considera-se umnumero natural par m da forma m = 2n e escreve-se

Im =

∫ π2

0sinm u du. (4.2.4)

Note que

Im+2 =

∫ π2

0sinm+2 u du

=

∫ π2

0sinm u sin2 u du

=

∫ π2

0sinm u (1− cos2 u) du

=

∫ π2

0sinm u du−

∫ π2

0sinm u cos2 u du

= Im −∫ π

2

0sinm u cos2 u du,

ou seja, ∫ π2

0sinm u cos2 u du = Im − Im+2. (4.2.5)

27

Por outro lado, por integracao por partes, obtem-se∫ π2

0sinm u cos2 u du = sinm u cosu sinu

∣∣π20−∫ π

2

0sinu

(m sinm−1 u cos2 u− sinm+1 u

)du

= 0−m

∫ π2

0sinm u cos2 u du+

∫ π2

0sinm+2 u du,

donde segue que

(m+ 1)

∫ π2

0sinm u cos2 u du = Im+2. (4.2.6)

Substituindo (4.2.5) em (4.2.6), tem-se

(m+ 1)(Im − Im+2) = Im+2,

ou seja,

Im+2 =1 +m

2 +mIm. (4.2.7)

Uma vez que I0 =

∫ π2

0du =

π

2, podemos escrever recursivamente:

I2 =1

2I0 =

1

2

π

2=

π

2

(1

2

),

I4 =3

4I2 =

3

4

1

2I0 =

3

4

1

2

1

2

π

2=

π

2

(1

2!

1

2

3

2

),

I6 =5

6I4 =

5

6

3

4

1

2I0 =

5

6

3

4

1

2

1

2

π

2=

π

2

(1

3!

1

2

3

2

5

2

).

Desta forma, obtem-se∫ π2

0

1√1− k2 sin2 u

du =π

2+

π

2

(1

2

)2

k2 +π

2

(1

2!

1

2

3

2

)2

k4 +π

2

(1

3!

1

2

3

2

5

2

)2

k6 + · · ·

Portanto, substituindo em (4.2.3), obtem-se

T =4

ω

[π

2+

π

2

(1

2

)2

k2 +π

2

(1

2!

1

2

3

2

)2

k4 +π

2

(1

3!

1

2

3

2

5

2

)2

k6 + · · ·

](4.2.8)

=2π

ω

[1 +

(1

2

)2

sin2θ02

+

(1

2!

1

2

3

2

)2

sin4θ02

+

(1

3!

1

2

3

2

5

2

)2

sin6θ02

+ · · ·

],

que e a expressao correta para o perıodo do pendulo, o que mostra sua dependenciada amplitude.

Para constatar tal dependencia, consideraremos a aproximacao da serie (4.2.9),

T =2π

ω

[1 +

(1

2

)2

sin2 θ02 +

(1

2!

1

2

3

2

)2

sin4 θ02

], e a partir dela faremos uma tabela

para alguns valores de θ0, com π = 3, 1415 e ω =

√g

l, em que g = 9, 8m/s2, l = 1m.

28

θ0 T

0 2.007030773π360 2.007040325π180 2.007068983π36 2.007986408π18 2.010858246π12 2.015660675π6 2.041906571π4 2.086559763π3 2.150101518π2 2.328451135

Observa-se que para θ0 = 0 o perıodo T = 2.007030773 e o valor aproximadopara pequenas oscilacoes, ou seja, θ0 ≈ 0. Para os demais valores pode-se notar quea medida que aumentamos o valor de θ0, aumenta tambem o perıodo. Isso confirmaque, de fato, o perıodo depende da amplitude.

5 O pendulo isocrono de Huygens

Por volta de 1650, Huygens construiu um pendulo cujo perıodo de oscilacaoindependia da amplitude do movimento. Esse pendulo, chamado isocrono, consisteem se fazer uma partıcula percorrer uma trajetoria especıfica: um arco de cicloide,conforme o esquema abaixo.

Figura 14: Huygens e o pendulo isocrono

A princıpio, Huygens fez construcoes empıricas, colocando obstaculos de ambosos lados de um pendulo simples pois, dessa forma, a medida que o fio encostava noobstaculo, o comprimento efetivo do pendulo se tornava menor e isso acarretaria adiminuicao do perıodo. Huygens so obteve sucesso em seu empreendimento quandoutilizou como obstaculos arcos de cicloide. Isso foi possıvel, devido a propriedadede que o lugar geometrico descrito pelos centros de curvatura de uma cicloide etambem uma cicloide chamada de evoluta. Para mais detalhes sobre o assunto, ver[9].

Para mostrar que no caso desse pendulo o perıodo nao depende da amplitudevamos supor que a partıcula seja abandonada, a partir do repouso, de um ponto P0

sendo H a altura desse ponto em relacao ao ponto mais baixo da trajetoria, ou seja,y0 = y(0) = H, como indica a Figura 15. Usando a lei da conservacao da energiapode-se calcular o modulo da velocidade da partıcula, v, em sua descida quandoesta se encontra em um ponto arbitrario P, cuja altura e y:

1

2mv2 = mg(H − y) ⇒ v =

√2g(H − y). (5.0.9)

29

x

y

O

2R

v

dy

m

HP

P0

β

β

Figura 15:

Lembrando que a velocidade da partıcula e sempre tangente a trajetoria, a com-ponente vertical de sua velocidade e dada por

vy =dy

dt= −

√2g(H − y) cosβ (5.0.10)

e usando a Proposicao 4, apresentada na Secao 3, pode-se escrever

cosβ =d

2Re y = d cosβ,

em que d e β sao como na Figura 15.

Logo, cosβ =

√y

2R. Substituindo em (5.0.10) tem-se

dy

dt= −

√g

R

√(H − y)y. (5.0.11)

Note que o intervalo de tempo transcorrido desde o instante inicial ate o instante

em que a partıcula atinge o ponto mais baixo da trajetoria e igual aT

4em que T e

o perıodo das oscilacoes. Integrando (5.0.11), concluı-se que∫ 0

H

dy√(H − y)y

= −√

g

R

∫ T4

0dt ⇒ T = 4

√R

g

∫ H

0

dy√(H − y)y

.

Agora, fazendo a mudanca de variavel ξ =y

H, com dy = Hdξ, obtem-se

T = 4

√R

g

∫ 1

0

dξ√(1− ξ)ξ

. (5.0.12)

Para se obter a expressao para o perıodo completaremos quadrados e assim,tem-se ∫ 1

0

dξ√(1− ξ)ξ

=

∫ 1

0

dξ√14 −

(ξ − 1

2

)2 .Fazendo a mudanca de variavel ξ − 1

2=

1

2sin θ, com dξ =

1

2cos θdθ, tem-se

∫ 1

0

dξ√14 −

(ξ − 1

2

)2 =

∫ π2

−π2

cos θ√1− sin2 θ

dθ = π.

30

Substituindo em (5.0.12), obtem-se

T = 4π

√R

g= 2π

√4R

g.

Note que essa expressao do perıodo nao envolve o H, ou seja, o perıodo domovimento nao depende da amplitude das oscilacoes.

Portanto, qualquer que seja o ponto onde a partıcula e abandonada, ela atingira,no mesmo instante, o ponto mais baixo da trajetoria cicloidal.

Assim, Huygens alcancou seu objetivo, uma vez que seu relogio de penduloreduziu a margem de erro de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ouquinze segundos. O relogio se tornara, enfim, um instrumento realmente confiavelpara medir o tempo. Para mais detalhes veja, por exemplo, [4] e [7].

6 O problema da braquistocrona

Conforme abordado na introducao, o problema da braquistocrona, ou do tempomınimo, foi apresentado aos matematicos por Johann Bernoulli, na Acta Erudito-rum, em 1696. De forma surpreendente e, desafiando a intuicao, a cicloide apareceucomo solucao desse problema. Muitos matematicos apresentaram solucoes, inclusiveo proprio Johann. Sua solucao, que faremos aqui, baseada em [6] e [11], envolveuma analogia com a refracao da luz, um tema que foi de grande preocupacao doscientistas do inıcio do seculo XVII.

Figura 16: Jakob e Johann Bernoulli

A proposito, a lei da refracao foi descoberta por Willebrord Snell (1591-1626)em 1621 de um modo experimental, embora Fermat e Descartes tenham contribuıdomuito nesse assunto.

Lei da refracao de Snell ou Princıpio do menor tempo de Fermat: Sejam v1 ev2 as velocidades da luz em dois meios distintos, (ar e agua, por exemplo). Se umraio de luz percorre de um ponto A de um meio, para um ponto B do outro, porum caminho ACB que minimiza o tempo gasto, entao

sin θ1v1

=sin θ2v2

,

em que θ1 e o angulo de incidencia e θ2 e o angulo de refracao, como na Figura 17.A solucao de Johann Bernoulli: Considere, por exemplo, dois pregos martelados,

ao acaso, em uma parede ou num plano (nao na mesma vertical), e que o pregosuperior (ponto P0) seja conectado ao inferior (ponto P1) por um arame flexıvelna forma de uma curva lisa. O problema consiste em determinar qual a forma doarame no qual uma partıcula deslizara (sem atrito), sob influencia da gravidade,para passar do ponto superior ao inferior no menor tempo possıvel.

31

A

C

B

θ

θ

1

2

Ar

Água

Figura 17: Lei da refracao de Snell

Para resolver o problema, Bernoulli fez uma analogia com o caso da propagacaoda luz em meios de densidade variavel. Suponhamos que o meio atravessado pelaluz e constituıdo por uma serie de camadas paralelas F1, F2, F3, · · · de densidadedecrescente. Logo, as velocidades de propagacao nessas camadas sao v1 < v2 < v3 <· · · , ver Figura 18.

F

F

F

v

v

v

i

i

i

11

1

2 22

3 33

Figura 18:

Pela lei de Snell tem-se

sin i1v1

=sin i2v2

=sin i3v3

= · · ·

A seguir, Bernoulli considerou que essas camadas se tornam mais finas e maisnumerosas e, portanto, no limite, a velocidade da luz cresce continuamente, quandoo raio de luz desce. Desse modo, concluı-se que

sin i

v= constante, (6.0.13)

sendo essa equacao satisfeita em cada ponto da trajetoria do raio de luz e o anguloi se torna o angulo da tangente a trajetoria com a vertical.

Dado um sistema de coordenadas como na Figura 19, considere que a partıcula(como o raio de luz) seja capaz de escolher a trajetoria em que ira deslizar de P0 aP1 no menor tempo possıvel.

x

y

P

P1

0

Figura 19:

32

Designando por v a velocidade da partıcula de massa m, quando ela passa peloponto P = (x, y) tem-se, pela lei de conservacao de energia, que

mgy =1

2mv2,

em que g = 9, 8m/s2. Desse modo

v =√2gy. (6.0.14)

Pela Figura 18, observa-se que

sin i = cos(π2− i)=

1

sec(π2 − i

) =1√

1 + tan2(π2 − i

) =1√

1 + (y′)2. (6.0.15)

Substituindo, (6.0.14) e (6.0.15) em (6.0.13), tem-se

sin i

v= c ⇒

1√1 + (y′)2√

2gy= c

⇒ 1√1 + (y′)2

1√2gy

= c

⇒ 1

y (1 + (y′)2)= 2gc2

⇒ y(1 + (y′)2

)= c. (6.0.16)

A equacao (6.0.16) e conhecida como equacao diferencial da braquistocrona cujasolucao mostraremos tratar-se da anunciada cicloide.

Substituindo y′ pordy

dxe separando as variaveis tem-se

y

(1 +

(dy

dx

)2)

= c ⇒(dy

dx

)2

=c− y

y

⇒ dy

dx=

√c− y

y

⇒ dx =

√y

c− ydy

⇒ x =

∫ √y

c− ydy.

Fazendo a substituicao u2 =y

c− y, tem-se y =

cu2

1 + u2e dy =

2cu

(1 + u)2du e,

portanto,

x =

∫2cu2

(1 + u2)2du.

Agora, utilizando a substituicao trigonometrica u = tanϕ, tem-se du = sec2 ϕdϕ,e entao

x =

∫2c tan2 ϕ sec2 ϕ

(1 + tan2 ϕ)2dϕ = 2c

∫tan2 ϕ

sec2 ϕdϕ

= 2c

∫sin2 ϕdϕ = c

∫(1− cos 2ϕ)dϕ

=1

2c(2ϕ− sin 2ϕ) + k, (k constante).

33

Na verdade, k = 0, pois y = 0 quando ϕ = 0, e como P0 esta na origem, devemoster x = 0 quando ϕ = 0.

Uma vez que y =cu2

1 + u2, tem-se

y =c tan2 ϕ

sec2 ϕ= c sin2 ϕ =

1

2c(1− cos 2ϕ).

Portanto,

x =1

2c(2ϕ− sin 2ϕ) e y =

1

2c(1− cos 2ϕ). (6.0.17)

Em (6.0.17), fazendo a =c

2e θ = 2ϕ, concluı-se que

x = a(θ − sin θ), y = a(1− cos θ),

que sao as equacoes parametricas da cicloide da Figura (18).

Referencias

[1] AVILA, G., Calculo das funcoes de uma variavel, Volume 2, 7. Ed., Rio deJaneiro: LTC, 2009.

[2] BOS, H. J. M., O calculo no seculo XVIII: tecnicas e aplicacoes, Brasılia:Editora Universidade de Brasılia, 1985.

[3] BOYER, Carl, B., Historia da Matematica, 2. Ed., Sao Paulo: Edgard Blucher,1996.

[4] BURROWES, M. e FARINA, C., Sobre o pendulo isocrono de Christiaan Huy-gens, Revista brasileira de ensino de fısica, v. 27, n. 2, 175-179, 2005.

[5] FIGUEIREDO, D. G. e NEVES, A.F., Equacoes Diferenciais AplicadasColecao Matematica Universitaria, 3a Ed., Rio de Janeiro: IMPA, 2012.

[6] FIGUEIREDO, D. G., Problemas de maximo e mınimo na geometria euclidianaIn: Matematica Universitaria, Rio de Janeiro, 9/10, 69-108, 1989.

[7] FONSECA, A., Curso de mecanica, vol. III, Rio de Janeiro: LTC Editora,1975.

[8] GARBI, G. G., A rainha das ciencias, Sao Paulo: Editora Livraria da Fısica,2006.

[9] PISKUNOV, N., Calculo Diferencial e Integral, vol. I, Sao Paulo: EdicoesCardoso, 1969.

[10] PUTNOKI, J. C. Elementos de Geometria e Desenho Geometrico, Volumes IIe especial para o vestibulando, Sao Paulo: Editora Scipione, 1989.

[11] SIMMONS, George F., Calculo com Geometria Analıtica, Volumes 1 e 2, SaoPaulo: McGraw-Hill, 1987.

[12] ROQUE, T., Historia da matematica: uma visao crıtica, desfazendo mitos elendas, Rio de Janeiro: Zahar, 2012.

34

Um Estudo Sobre a Chance de Repetição de

Sorteios na Mega-Sena

Rogério César dos Santos†

05 de Janeiro de 2014

Resumo

Qual é a chance de haver um sorteio repetido na Mega-Sena, em n jogos? Como

veremos, esse é um problema semelhante ao clássico problema de se calcular a chance

de haver duas ou mais pessoas fazendo aniversário no mesmo dia e mês, dentre n

pessoas.

Palavras-Chave: Ensino de Matemática, Análise Combinatória, Probabilidade, Loteria

Abstract

What is the chance of having a repeated raffle in the Mega-Sena, in n games? As

we shall see, this is a similar problem to the classic problem of calculating the chance of

two or more people doing the same birthday day and month, among n people.

Key words: Teaching of Mathematics, Combinatorial Analysis, Probability, Lottery

Introdução

A solução do problema de se calcular a chance de haver duas ou mais pessoas fazendo

aniversário no mesmo dia e mês, dentre n pessoas, para o caso particular em que n = 23

pessoas em um campo de futebol – vinte e dois jogadores mais o juiz – é a seguinte:

primeiro, calculamos quantas sequências de 23 datas distintas existem, dentre os 365

dias do ano, em que cada elemento da sequência representa uma pessoa diferente em

campo que faz aniversário na respectiva data:

† E-mail: [email protected]. Curso de Licenciatura em Ciências Naturais, Faculdade UnB

Planaltina

35

mailto:[email protected]

sequências.

Depois, quantas sequencias de 23 datas existem, podendo haver repetições:

sequências.

Em seguida, calculamos a probabilidade de não haver coincidência de

aniversário entre os 23 indivíduos do campo de futebol, que é igual, usando os

resultados anteriores, a

Enfim, calculamos a chance de haver alguma coincidência de aniversário em

campo:

que aliás é um valor bem alto, se pensarmos no que a nossa intuição suporia.

1 A Mega-Sena repetida

A chance de haver algum sorteio repetido na Mega-Sena também se calcula desta

forma. O primeiro sorteio da Mega-Sena que consta no site da Caixa Econômica Federal

foi realizado em 11/03/1996, e o sorteio de ordem 1.559 foi realizado no dia 21/12/2013

(veja [1]).

Nossa pergunta será: em n jogos da Mega-Sena, qual é a chance de haver dois ou

mais sorteios iguais? Lembre o leitor que são sessenta números dentre os quais seis

formam o sorteio da Mega-Sena.

Fazendo analogia ao caso anterior, ao invés de 365 possibilidades de datas para

cada jogador, serão

possibilidades de combinações em cada um dos n jogos realizados pela Caixa. E, ao

invés de 23 elementos da sequência, serão n elementos representando cada um dos n

jogos, em ordem. Logo, de forma semelhante à anterior, a chance de haver alguma

coincidência de sorteios da Mega-Sena em n jogos, é:

36

onde o numerador tem a curiosa expressão do Arranjo de uma Combinação, n a n.

Bastante pretensioso, tentei calcular a expressão acima para os n = 1.559 jogos,

no computador, porém, tanto no Excel quanto no software livre MAXIMA, o maior

valor de n para o qual a expressão acima pode ser calculada é n = 40 jogos, cuja

probabilidade de haver coincidência de sorteios, a título de curiosidade, é de

0,001558%. Para valores menores de n, essa chance cai, obviamente.

Porém, com n = 1.559 jogos, não há esperanças de a probabilidade ser alta,

conforme veremos. E isso se deve ao fato de 1.559 representar muito pouco na

quantidade de sorteios possíveis, 50.063.860.

Vamos simular outras quantidades “s” de combinações possíveis em cada

sorteio. Ao mesmo tempo, iremos comparar a probabilidade de se obter sorteios

coincidentes nos n primeiros jogos, com o respectivo valor de q = n/s, ou seja, vamos

comparar a probabilidade de haver sorteios iguais nos n jogos, com a porcentagem q

que esse número de jogos n representa nas s combinações possíveis.

No caso em que n = 1.559 jogos, estes representam apenas 0,0031% dos s =

50.063.860 sorteios possíveis na Mega-Sena. Logo, nossas simulações serão focadas no

que acontece quando temos porcentagens q = n / s próximas dos 0,0031%, para outros

valores de n e s fictícios.

2 Mega-Senas fictícias

Suponha uma Mega-Sena onde há 60 números para se escolherem 2, logo, são s = 1.770

possibilidades de sorteio em cada jogo. A tabela abaixo mostra a probabilidade de haver

sorteios iguais nos n primeiros sorteios, em correspondência à porcentagem que o

número de sorteios analisados n representa nos s = 1.770 sorteios possíveis.

Sorteio

n

Probabilidade de haver algum sorteio

igual, dentre os n primeiros jogos

Porcentagem que os n jogos

representam nos 1.770 sorteios

possíveis

1 0,000000000000000000000% 0,0564972%

2 0,056497175141245700000% 0,1129944%

37

A porcentagem q mais próxima de 0,0031% aí é q = 0,056%, cuja probabilidade

de haver coincidência é igual a zero, por haver somente um jogo realizado.

Agora, se forem ainda 60 números, mas para se escolherem 3, são s = 34.200

possibilidades de sorteio.

Sorteio

n

Probabilidade de haver algum sorteio

igual, dentre os n primeiros jogos



possíveis

1 0,000000000000000000000% 0,0029223%

2 0,002922267679716930000% 0,0058445%

A porcentagem 0,0031% está entre 0,0029223% e 0,0058445%, então, tirando

uma média, a probabilidade seria próxima de (0% + 0,0029%)/2 = 0,00145%.

Num jogo fictício com 60 números, onde 4 são sorteados, temos, pulando

algumas linhas:

Sorteio

n

Probabilidade de haver algum

sorteio igual, dentre os n primeiros

jogos



possíveis

1 0,000000000000000000000% 0,0002051%

15 0,021530393999291700000% 0,0030761%

16 0,024605802950772300000% 0,0032811%

A probabilidade referente aos 0,0031% está entre 0,0215% e 0,0246%. Tirando

uma média, (0,0215% + 0,0246%)/2 = 0,023%.

Tentei fazer ainda com os 60 números, onde 5 são sorteados, porém o máximo

valor de q que obtive no Excel foi a porcentagem de q = 0,0008%, aos 45 jogos.

Com 5 números a serem sorteados, o máximo que consegui no Excel foi uma

cartela com 47 números, cuja tabela está abaixo:

Sorteio

n



jogos


representam nos 1.533.939 sorteios

possíveis

1 0,000065191640585826600% 0,0000652%

47 0,073509897882639800000% 0,0030640%

48 0,076636796360896000000% 0,0031292%

38

Com q = 0,0031%, podemos considerar a probabilidade média de 0,075% de

chance.

E com 6 números a serem sorteados, o máximo que consegui foi uma cartela

com 34 números:

Sorteio

n



jogos


representam nos 1.344.904 sorteios

possíveis

1 0,000000000000000000000% 0,0000744%

41 0,060952922759305300000% 0,0030485%

42 0,063999609311060600000% 0,0031229%

Para uma porcentagem próxima a 0,0031%, podemos considerar uma

probabilidade média de 0,063% de haver sorteios repetidos.

3 Conclusão

Agora, em relação à verdadeira Mega-Sena, com os 60 números, para serem

escolhidos 6, nos 1.559 primeiros jogos, o que poderíamos dizer?

Os resultados que obtivemos até aqui:

Mega-Sena fictícia

Probabilidade de haver repetição,

correspondente à porcentagem de

0,0031% de jogos n sobre a

quantidade de sorteios s:

Cartela de 60 números, sorteio de 2 números 0%

Cartela de 60 números, sorteio de 3 números 0,00145%




Com tais resultados, não há de se ter esperança de que a probabilidade de haver

repetições na Mega-Sena em 1.559 jogos seja muito maior do que estes valores acima.

Porém, pretendo ainda encontrar um software que consiga realizar o cálculo desta

probabilidade.

39

Referências

[1] Disponível em

http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/megasena_resultado.asp. Acesso

em 24 Dezembro 2013.

40

http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/megasena_resultado.asp

Sugestoes para Aplicacao do Teorema de Pick naEducacao Basica∗

Francisco Silverio da Silva JuniorFernando Pereira Micena †

11 de agosto de 2014

Resumo

Neste artigo, apresentaremos algumas sugestoes para o tratamento do Teoremade Pick em topicos do currıculo de Matematica do ensino basico, atraves de tressituacoes problema. Inicialmente, citaremos alguns fatos bastante intuitivos cujasdemonstracoes podem ser encontradas em [4] e que servirao de base para a demons-tracao do Teorema de Pick, feita logo em seguida por inducao finita. A seguir,discutiremos a validade do Teorema de Pick para o calculo do volume de poliedrosno R3 e abordaremos a versao do teorema para polıgonos com vertices de coor-denadas racionais. Por fim, apresentamos 3 problemas cujas solucoes podem serencontradas com o auxılio do Teorema de Pick.

Palavras Chave: Teorema de Pick; Geogebra; Google Maps.

Introducao

O Teorema de Pick foi publicado pela primeira vez num artigo de 1899 em Praga porGeorg Alexander Pick, natural de Viena em 1859, que escreveu durante toda a suavida, cerca de 67 artigos ate sua morte no campo de concentracao de Theresienstadtem 1942.

Veremos neste artigo, como o calculo de areas de polıgonos pode ser feito comuma simples contagem de pontos, se forem satisfeitas as hipoteses do teorema. Seriaentao, uma maneira de discretizar uma grandeza de natureza contınua.

Antes de apresentarmos o Teorema de Pick, vamos considerar conhecidos, osresultados mais importantes da Geometria Plana como os teoremas que nos dao asareas de quadrados, triangulos, cırculos e outros polıgonos; o conceito de semelhancade polıgono; a relacao entre as areas de polıgonos semelhantes, etc.

E importante ressaltar que polıgono e a uniao dos segmentos formados por umnumero finito de pontos nao alinhados tomados dois a dois. Quando nos referirmosa area de um certo polıgono, na verdade, estaremos nos referindo a area da regiaopoligonal interior ao polıgono dado.

∗Artigo realizado com base na minha dissertacao de mestrado ”Sobre o Calculo de Areas e o Teoremade Pick”sob a Orientacao do Professor Dr. Fernando Pereira Micena.

†Email: [email protected]. Curso de Licenciatura em Matematica, Universidade Federal deAlagoas

41

1 O Teorema de Pick

O Teorema de Pick afirma que: Dado um polıgono P com vertices cujas coordenadasno plano cartesiano sao numeros inteiro, sua area pode ser calculada pela formula

Area(P ) = i+b

2− 1, (1.0.1)

onde i representa a quantidade de pontos de coordenadas inteiras interiores aopolıgono e b representa a quantidade de pontos de coordenadas inteiras pertencentesas arestas do polıgono.

Antes da demonstracao do Teorema, vamos fazer algums observacoes, a partirdos exemplos seguintes:

Exemplo 1 Vamos calcular a area do triangulo ABC a seguir, utilizando o Teo-rema de Pick.

Figura 1: Area do triangulo pela formula de Pick.

Solucao. Como os vertices do triangulo sao pontos do plano com coordenadasinteiras, podemos aplicar o Teorema de Pick. Observando a Figura 1, vemos queo triangulo apresenta quatro pontos de coordenadas inteiras em seu interior (emamarelo) e seis pontos de coordenadas inteiras em suas arestas (em azul).

Portanto,

Area(ABC) = 4 +6

2− 1 = 6 u.a.

Exemplo 2 Agora vamos tentar calcular a area do polıgono P da Figura 2 com oTeorema de Pick.

Solucao. Antes disso, vamos calcular a area de P de um outro modo.Como o polıgono P e formado por dois triangulos congruentes de bases 4 u.c. ealturas 2 u.c., pela formula usual do calculo da area de um triangulo, a area de P edada por:

Area(P ) = 2.4.2

2= 8 u.a.

Agora, se considerarmos que cada unidade da malha da figura 2 corresponde a 1unidade inteira de comprimento, o polıgono P tera vertices de coordenadas inteirascom dois pontos de coordenadas inteiras em seu interior (em amarelo) e quinzepontos de coordenadas inteiras em suas arestas (em azul).

42

Figura 2: Polıgono P que apresenta autointerseccao.

Entao utilizando a formula (1.0.1), segue-se que

Area(P ) = 2 +15

2− 1 =

17

2u.a.

que e um resultado diferente do calculado anteriormente, e falso.De fato, o Teorema de Pick falha no polıgono anterior, porque este nao e um

polıgono simples (apresenta autointerseccao).Portanto, devemos considerar que os polıgonos, dos quais queremos calcular a

area com a Formula de Pick, sao polıgonos simples.

1.1 Consideracoes iniciais e resultados preliminares

Nesta secao, vamos apresentar algumas definicoes, juntamente com dois lemas (cujasdemonstracoes podem ser encontradas em [4]) e a proposicao que mostra a propri-edade aditiva da formula (1.0.1). Todos estes resultados serao fundamentais nademonstracao do Teorema de Pick.

Definicao 3 Dizemos que um polıgono e simples se nao possuir ”buracos” e a in-terseccao de um par de arestas nao consecutivas do polıgono for sempre vazia. Emoutras palavras, um polıgono e simples se suas arestas nao consecutivas, nao seintersectarem.

Definicao 4 O interior de um polıgono P e o conjunto de todos os pontos do planopertencentes a regiao poligonal interna a P .

Definicao 5 O exterior de um polıgono P e o conjunto de todos os pontos do planopertencentes a regiao poligonal externa a P .

Definicao 6 Chamamos de reticulado um conjunto de pontos coplanares, cujas co-ordenadas sao multiplos inteiros de uma unidade de medida racional (inteira ou naointeira) escolhida.

Lema 7 Dado um polıgono P , qualquer ponto A de P pode ser ligado a qualquerponto Q da regiao interior I de P por uma linha poligonal, cujos pontos, exceto A,sao todos pertencentes a I.

43

Figura 3: Segmento AQ cujos pontos, exceto A sao todos pertencentes ao interior dopolıgono.

Lema 8 Num polıgono simples com mais de tres vertices, existe um par de verticesque sao extremos de um segmento cujo interior nao intersecta o polıgono.

Este resultado e bastante intuitivo, pois basta que liguemos vertices nao conse-cutivos do polıgono dado, como no polıgono convexo abaixo:

Figura 4: Segmento BE cujo interior nao intersecta o polıgono.

Para ver as demonstracoes dos Lemas 7 e 8, ver referencia [4].

Proposicao 9 (Propriedade Aditiva da Formula de Pick) Sejam P e Q polıgonossimples no plano cuja interseccao e uma aresta comum. Entao, se a formula (1.0.1)e valida para P e Q, ela tambem e valida para o polıgono P ∪Q.

Prova. Considere dois polıgonos P e Q com coordenadas inteiras no plano, e taisque os vertices de P sejam V1, V2, . . . , Vn. Como Q tem apenas uma aresta deinterseccao com P , sejam os vertices de Q, os pontos V1, V2, U1, U2, . . . , Um.

Considere P ∪Q, o polıgono formado pelos polıgonos P e Q, ou seja, P ∪Q e opolıgono de vertices V1, V2, . . . , Vn, U1, U2, . . . , Um.

Sejam i1, i2 e i a quantidade de pontos de Z2 no interior de P , Q e P ∪ Q,respectivamente.

Sejam b1, b2 e b a quantidade de pontos de Z2 que pertencem as arestas de P , Qe P ∪Q, respectivamente.

Seja Q′ o complementar da aresta V1V2 em Q. Neste caso, Q′ e a uniao de linhaspoligonais com extremos pertencentes ao polıgono P . Como as arestas de P e Qse intersectam apenas na aresta V1V2, nos temos duas possibilidades: ou Q′ estainteiramente contido no interior de P , ou Q′ esta inteiramente contido no exteriorde P .

Vamos considerar, primeiramente, o caso em que Q′ esta inteiramente contidono exterior de P e os interiores Ip e Iq de P e Q respectivamente, nao se intersectam(Ver Figura 5 a esquerda).

44

Figura 5: Q′ esta inteiramente no interior de P (a direita), ou no exterior de P (aesquerda).

Neste caso, o interior de P ∪Q = Ip∪Iq∪Ia, onde Ia designa o interior da arestaV1V2, e de modo que V1 ∈ Ia e V2 ∈ Ia.

Esta afirmacao pode ser justificada com o auxılio do Lema 7. De fato, dado umponto C qualquer da aresta V1V2, podemos liga-lo a um ponto B qualquer no interiorde Q por uma linha poligonal que esta inteiramente contida em Iq, com excecao deC. Do mesmo modo, podemos ligar C a um ponto D qualquer do interior de Ppor outra linha poligonal que esta inteiramente contida em Ip (com excecao de C).A uniao das duas linhas poligonais forma uma linha poligonal que nao intersectaP ∪Q e liga B e D. Assim, a area do polıgono P ∪Q e igual a soma das areas dospolıgonos P e Q. Portanto, queremos mostrar que

i+b

2− 1 =

(i1 +

b12

− 1

)+

(i2 +

b22

− 1

). (1.1.1)

Como o interior de P ∪Q e formada pela uniao disjunta dos interiores de P , Q eV1V2, temos que i = i1+ i2+ b3, onde b3 denota o numero de pontos de Z2 contidosem Ia.

A linha poligonal, P ∪ Q e igual a uniao de P com Q subtraıda de Ia. ComoP ∩Q = V1V2, o numero de pontos de Z2 contidos em P ∩Q e igual b3 + 2 (todosos pontos que pertencem ao interior de V1V2 alem de V1 e V2, ja que V1 e V2 ∈ Z2,por hipotese). Logo,

b = b1 − (b3 + 2) + b2 − (b3 + 2) + 2 = b1 + b2 − 2(b3 + 1).

Disto, segue-se que

i+b

2− 1 = (i1 + i2 + b3) +

(b1 + b2 − 2(b3 + 1))

2− 1 = (i1 + i2) +

(b1 + b2)

2− 2,

o que demonstra (1.1.1).Agora, vamos supor que Q′ esta contido no interior de P . Queremos provar que

i+b

2− 1 =

(i1 +

b12

− 1

)−

(i2 +

b22

− 1

). (1.1.2)

Neste caso, o interior de P e formado pela uniao disjunta do interior de P ∪Qcom o interior de Q e com o complementar de V1V2 em Q (Ver Figura 5). Portanto,

i1 = i+ i2 + [b2 − (b3 + 2)],

ou seja,i = i1 − i2 − b2 + (b3 + 2).

45

Como no caso anterior, teremos:

b = b1 − (b3 + 2) + b2 − (b3 + 2) + 2 = b1 + b2 − 2(b3 + 1).

E daı, segue-se que

i+b

2−1 = (i1−i2−b2+(b3+2))+

(b1 + b2 − 2(b3 + 1))

2−1 = (i1+

b12−1)−(i2+

b22−1).

O que demonstra (1.1.2).O caso em que P esta contido no interior de Q′ e analogo ao anterior.

2

Observacao 10 Importante notarmos que os argumentos apresentados e as igual-dades (1.1.1) e (1.1.2), nos garantem que se a formula (1.0.1) vale para P∪Q e paraP , entao ela tambem e valida para Q. Este fato ja era conhecido para polıgonos con-vexos. A partir de agora, o mesmo sera valido para dois polıgonos quaisquer simplese com apenas uma aresta comum de interseccao.

1.2 O Teorema de Pick: Demonstracao

Vamos, agora, apresentar a demonstracao do Teorema de Pick. Antes, mostraremosque o teorema e valido em triangulos retangulos de catetos paralelos aos eixos co-ordenados. Depois estenderemos o Teorema para retangulos e triangulos quaisquer.

A Formula de Pick para triangulos. Seja T um triangulo retangulo com verticesem Z2 e catetos paralelos aos eixos coordenados.

Figura 6: O Teorema de Pick para triangulos retangulos.

Seja R o retangulo que tem os catetos de T como dois de seus lados. Sejamtambem m e n os comprimentos dos catetos de T , i o numero de pontos de Z2 nointerior de T e bh o numero de pontos de Z2 no interior da hipotenusa de T .

O numero de pontos de Z2 no interior de R e (m− 1)(n− 1). Disto segue-se que

i =(m− 1)(n− 1)− bh

2.

O numero b de pontos de Z2 em T e igual m+ n+ bh + 1, logo

i+b

2− 1 =

(m− 1)(n− 1)− bh2

+(m+ n+ bh + 1)

2− 1 =

mn

2.

46

O que confirma o resultado que pode ser obtido com o calculo usual da area deum triangulo, ja que podemos tomar qualquer um dos catetos como base e o outrocomo altura do triangulo.

Portanto, a formula vale para triangulos retangulos cujos catetos sao paralelosaos eixos coordenados.

Como todo retangulo R pode ser formado por dois triangulos retangulos T1 eT2, pela Proposicao 1 e pelo que acabamos de demonstrar, a formula (1.0.1) valetambem para todo retangulo de vertices em Z2 cujos lados sao paralelos aos eixoscoordenados.

Figura 7: O Teorema de Pick para triangulos quaisquer.

Agora, considere um triangulo T qualquer com vertices em Z2. Podemos formarum retangulo R com vertices em Z2, tal que R = T∪T1∪T2∪T3, onde T1, T2, T3 sejamtriangulos retangulos convenientes com catetos paralelos aos eixos coordenados (emalguns casos, menos de tres triangulos retangulos sao necessarios, mas o argumentoe analogo). (Ver Figura 7)

Como a formula (1.0.1) vale para R, T1, T2 e T3, ela vale tambem para o trianguloT , pela Observacao 10.

Agora, temos todas as ferramentas necessarias para demonstrar o Teorema dePick.

Teorema 11 (Teorema de Pick) Dado um polıgono simples P com vertices decoordenadas inteiras, a area de P sera dada por

Area(P ) = i+b

2− 1,

onde i representa a quantidade de pontos de coordenadas inteiras interiores aopolıgono, e b representa a quantidade de pontos de coordenadas inteiras nas arestasdo polıgono.

Prova. A demonstracao sera feita por inducao sobre n. Vimos no caso de triangulos,que a formula (1.0.1) e valida, ou seja, para polıgonos com 3 vertices de coordenadasinteiras.

Suponhamos entao, que a formula (1.0.1) seja valida para qualquer polıgonosimples com k vertices, todos com coordenadas inteiras, onde k ≤ n e k, n ∈ N.

47

Considere entao um polıgono P com (n + 1) vertices (V1, V2, . . . , Vn+1). PeloLema 8, P possui um par de vertices que sao extremos de um segmento cujo interiornao intersecta P .

Sem perda de generalidade, sejam V1 e Vp este par de vertices, seja P1 o polıgonode vertices V1, V2, . . . , Vp e seja P2 o polıgono de vertices V1, Vp, Vp+1, . . . , Vn+1. Aformula (1.0.1) vale tanto para P1 como para P2, pois cada um dos polıgonos tem nomaximo n vertices, logo pela Proposicao 9, a formula (1.0.1) vale tambem para P , oque prova que ela e valida para todo polıgono simples com n vertices de coordenadasinteiras.

2

Exemplo 12 Calcular a area do polıgono P da Figura 8.

Figura 8: Polıgono de vertices com coordenadas inteiras.

Solucao. Pela Figura 8, vemos que P e um polıgono simples que apresenta seusvertices em pontos de coordenadas inteiras, logo, pelo Teorema de Pick, como hadez pontos de coordenadas inteiras em suas arestas e quatro pontos de coordenadasinteiras no interior de P , teremos:

Area(P ) =10

2+ 4− 1 = 8 u.a.

1.3 O Teorema de Pick para poliedros: Um contrae-xemplo

Se tomarmos pontos do R3 de coordenadas inteiras, e natural imaginar que possaexistir uma formula semelhante a formula de Pick que calcule o volume de umpoliedro com vertices de coordenadas inteiras em funcao do numero de pontos decoordenadas inteiras pertencentes as arestas e dos pontos de coordenadas inteirasinteriores a P .

Vamos verificar que a formula (1.0.1) nao e valida no R3, atraves do seguinteexemplo.

Exemplo 13 Considere o tetraedro T de vertices A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(0, 1, 0) eD(0, 1, 1) no R3. Calcular o volume de T .

48

Figura 9: Tetraedro com coordenadas inteiras.

Solucao. Analisando a Figura 9, vemos que os unicos pontos de coordenadas inteiraspertencentes ao interior ou as arestas do triangulo ABC sao o seus 3 vertices, poisABC e um triangulo elementar.

Na aresta CD, existem 2 pontos de coordenadas inteiras em seu interior, a saberC e D:

Na aresta BD, ha apenas dois pontos de coordenadas inteiras pertencentes amesma, B e D, pois BD e a diagonal do quadrado BCDG, cuja equacao e dada por(1 − t, 1, t), t ∈ R. Se t = 0, teremos o ponto B; para t = 1, teremos o ponto D epara qualquer outro valor de t ∈ (0, 1), (1− t, 1, t) nao sera um ponto de coordendasinteiras.

Ja, na aresta AD, os unicos pontos de coordenadas inteiras sao os vertices A eD, isto fica claro, considerando que o segmento AD tem equacao (1− t, t, t), t ∈ R.Se t = 0 teremos o ponto A, para t = 1 teremos o ponto D e para qualquer outrovalor de t ∈ (0, 1), (1− t, t, t) nao sera um ponto de coordenadas inteiras, logo naoentra na contagem dos pontos com coordenadas inteiras.

Agora, verificando o interior do tetraedro ABCD, vemos que aı nao ha pontosde coordenadas inteiras. Isto tambem fica claro ao observarmos que o interior dotetraedro ABCD pertence ao inteiror de um cubo de aresta unitaria e cujo interiortambem nao possui pontos de coordenadas inteiras.

Portanto, nas arestas e vertices do tetraedro, temos os 2 pontos pertencentes aaresta CD e os pontos A e B que possuem coordenadas inteiras , ou seja, b = 4.

Ja no interior do tetraedro nao ha pontos de coordenadas inteiras, logo, i = 0.Se aplicarmos a formula (1.0.1), supondo-a valida para o calculo do volume do

tetraedro T , teremos

V (T ) =b

2+ i− 1 =

4

2+ 0− 1 = 1 u.v.

Mas, pelo calculo usual do volume de um tetratedro, temos que

V (T ) =1

3A(b).h =

1

3

1

2=

1

6u.v.,

onde A(b) representa a area da base do prisma (ABC), h a altura do mesmo e u.ve unidade de volume.

Portanto, para poliedros tridimensionais nao existe uma formula simples comoa (1.0.1), que nos de os volumes dos mesmos, apenas contando-se seus pontos in-ternos e os pontos pertencentes as suas faces. Para generalizar a formula (1.0.1) enecessario utilizar um outro tipo de reticulado. Ver [2].

49

1.4 Extensao do Teorema de Pick para polıgonos comvertices de coordenadas racionais

Mostraremos, agora, que se as coordenadas dos vertices de uma regiao poligonalnao forem todas numeros inteiros, mas forem racionais, com o auxılio do Teoremade Pick para coordenadas inteiras, torna-se possıvel calcular a area da regiao.Inicialmente, vamos demonstrar o seguinte resultado:

Lema 14 Considere um polıgono P no plano R2. Se multiplicarmos todas as co-ordenadas de seus vertices por um mesmo numero n, teremos um novo polıgono Qcujas medidas dos lados sofrerao um aumento (ou diminuicao) por um fator de nem relacao as medidas dos lados de P .

Prova. Basta mostrarmos que ao se multiplicar as coordenadas de dois vertices con-secutivos quaisquer por um numero n, a nova distancia entre eles ficara multiplicadatambem por n. De fato:

Seja A(xi, yi) e B(xj , yj) dois vertices consecutivos quaisquer de um polıgono P .A distancia entre A e B e dada por:

d(A,B) =√

(xj − xi)2 + (yj − yi)2.

Multiplicando-se as coordenadas de A e B por n, teremos A(nxi, nyi) e B(nxj , nyj),logo

d(A, B) =√

(nxj − nxi)2 + (nyj − nyi)2 =√

n2[(xj − xi)2 + (yj − yi)2] = nd(A,B).

2

Proposicao 15 (Teorema de Pick para coordenadas racionais) Seja P um

polıgono simples de n vertices com coordenadas racionais A1

(p1q1, r1s1

), A2

(p2q2, r2s2

), . . . ,

An

(pnqn, rnsn

)no R2. A area de P e dada por

Area(P ) =Area(Q)

m2,

onde m e o mmc(q1, s1, q2, s2, . . . , qn, sn) e Q e o polıgono que se obtem ao multi-plicarmos todas as coordenadas de P por m.

Prova. Multiplicando-se todas as coordenadas de P por m, construiremos um novopolıgono simples Q cujos vertices terao todos eles, coordenadas inteiras.

Mas neste caso, pelo Lema 14, as medidas dos lados de Q serao iguais as res-pectivas medidas dos lados correspondentes de P multiplicados por m, ou seja, ospolıgonos Q e P sao semelhantes, cuja razao de semelhanca e m.

Aplicando o Teorema de Pick a Q, teremos a Area(Q), mas como a razao entreas areas de figuras semelhantes e o quadrado da razao de semelhanca, segue-se:

Area(Q)

Area(P )= m2,

ou seja,

Area(P ) =Area(Q)

m2.

2

Observacao 16 Na verdade, para que possamos utilizar a Formula de Pick, bastaque tenhamos um reticulado (ou malha), cuja distancia entre seus pontos conse-cutivos seja constante e de modo que o polıgono do qual se deseja calcular a area,possua todos os seus vertices em pontos do reticulado.

50

2 Aplicacoes do Teorema de Pick

Problema 1. Sejam p e q numeros inteiros positivos, tais que mdc(p, q) = 1.Encontrar inteiros m e n tais que:

mp− nq = 1.

Solucao. Nao conhecemos nenhuma formula para calcular os valores de m e n quesatisfacam a igualdade acima. O que podemos fazer e aplicar o algoritmo de Euclidesa cada (p, q) para encontrar uma solucao (m,n).

Figura 10: Solucao da equacao dionfantina mp− nq = 1.

O calculo de m e n, no entanto pode ser feito com o auxılio do Teorema de Pick,como se segue.

Sejam p e q numeros primos entre si e considere o segmento de reta que une aorigem O(0, 0) ao ponto P (p, q) no R2.

Como p e q sao primos entre si, afirmamos que nao existe qualquer outro pontode coordenadas inteiras neste segmento de reta. De fato, suponhamos que exista talponto (a, b) neste segmento diferente de (p, q), com a e b numeros inteiros. Comoos pontos (x, y) que pertencem ao seguimento OP satisfazem as desigualdades:

0 ≤ x ≤ p e 0 ≤ y ≤ q,

e como estamos supondo (a, b) diferente de O e P , deveremos ter:

a < p e b < q.

Mas a equacao deste segmento de reta e y = qpx. Assim, teremos

b =q

pa ⇒ bp = qa.

Alem disso, a e b sao inteiros positivos e como mdc(p, q) = 1, segue-se que:

p/a ⇒ p < a e

q/b ⇒ q < b.

Contrariando as desigualdades anteriores. Portanto nao existe tal ponto de co-ordenadas inteiras no segmento citado.

Agora, transladando-se o segmento paralelamente (para cima) a sua posicaoinicial ate encontrar um primeiro ponto M(n,m) qualquer, de coordenadas inteiras,

51

veremos que os pontos O,P e M formam um triangulo elementar (T ), pois naocontem em seu interior nem na sua fronteira, pontos de coordenadas inteiras, excetonos vertices. Sua area entao e dada pela formula de Pick

Area(T ) = 0 +3

2− 1 =

1

2.

Alem disso, calculando-se a area do triangulo pela metade do modulo do deter-minante de suas coordenadas, temos que

Area(T ) =1

2(pm− qn).

Igualando as duas igualdades anteriores para Area(T ), segue-se que

mp− nq = 1.

Observacao 17 Se transladarmos o segmento paralelamente para baixo formandoum triangulo elementar e calculando sua area pela metade do modulo do determi-nante de suas coordenadas, chegaremos a equacao:

nq −mp = 1.

Neste caso, as solucoes da equacao serao os numeros inteiros −m e −n.

Problema 2. Vamos agora, mostrar como o Teorema de Pick pode ser util tambempara se estimar o valor de π.

Inicialmente, sabemos que π esta relacionado com a area do cırculo (Ac) pelaformula:

π =Ac

r2. (2.0.1)

Podemos estimar o valor de π utilizando o Teorema de Pick, atraves de polıgonosque melhores se ajustem e aproximem o cırculo dado.

Considere a Figura 11 que representa cırculo de raio 1.

Figura 11: Quadrados inscritos e circunscritos ao cırculo de raio 1.

Este cırculo esta entre os quadrados inscritos e circunscritos a ele (ver Figura 11).Vamos aproximar o valor de π pelas areas dos dois polıgonos. Para a aproximacaopela area do polıgono interno Q1, temos quatro pontos de coordenadas inteiras quepertencem as arestas de Q1, ou seja, b = 4 e um ponto interno a Q1, ou seja i = 1.

Logo,

Area(Q1) =4

2+ 1− 1 = 2 u.a.

Pela formula (2.0.1),

π =Ac

r2∼=

Area(Q1)

r2=

2

12= 2.

52

Figura 12: Quadrado circunscrito ao cırculo de raio 1.

que e uma aproximacao muito ruim.Agora, considere o quadrado Q2 circunscrito ao cırculo de raio 1.Em Q2 temos oito pontos que pertencem as arestas de Q2, ou seja, b = 8 e um

ponto interior a Q2, ou seja i = 1, portanto

Area(Q2) =8

2+ 1− 1 = 4 u.a.

Pela formula (2.0.1):

π =Ac

r2∼=

Area(Q2)

r2=

4

12= 4.

que tambem e uma aproximacao grosseira para π.Mas podemos tomar a media aritmetica das duas aproximacoes encontradas:

π ∼=(2 + 4)

2∼= 3,

que e uma aproximacao ainda ruim, mas bem melhor que as anteriores.Agora, vamos considerar um cırculo de raio 3 e efetuar o mesmo procedimento.

Neste caso, o octogono (P1) e o polıgono que melhor aproxima o cırculo (Ver Figura13).

Figura 13: Octogono aproximando o cırculo de raio 3.

Assim, b = 16 e i = 21. Logo,

Area(P1) =16

2+ 21− 1 = 28 u.a.

Pela formula (2.0.1) temos:

π =Ac

r2∼=

Area(P1)

r2=

28

32= 3, 111 . . .

que e uma aproximacao bem melhor que as anteriores. Mas podemos aproximarainda mais.

53

Figura 14: Polıgono que aproxima o cırculo de raio 10.

Considere agora um cırculo de raio 10.O polıgono R que melhor aproxima o cırculo e um polıgono com 40 pontos de

coordenadas inteiras em suas arestas e 293 pontos de coordenadas inteiras internosa R. Assim,

Area(R) =40

2+ 293− 1 = 312 u.a.

Agora, pela formula (2.0.1):

π =Ac

r2∼=

Area(R)

r2=

312

102= 3, 12.

que ja e uma aproximacao razoavel.Mas este procedimento pode ser feito sucessivamente, aproximando manual-

mente, um cırculo qualquer por polıgonos que apresentem uma quantidade de pon-tos com coordenadas inteiras (em suas arestas e em seu interior) cada vez maior, demodo que esta quantidade de pontos tenda ao infinito, o que fara π se aproximarcada vez mais de seu valor real.

Problema 3. Calcular a area aproximada do Estado de Alagoas.

Esta atividade foi dividida em 5 passos que se referem respectivamente ao acessoao site Google Maps, ao acesso ao software Geogebra, a construcao do polıgono queaproximara o mapa da regiao e ao calculo aproximado da area da regiao.

Para que esta atividade possa ser realizada com sucesso e necessario que osalunos conhecam a Formula de Pick e as hipoteses que devem ser satisfeitas paraa validade da formula. Alem disso, os alunos devem ter domınio sobre o conceitode perımetro e area de polıgonos, figuras semelhantes e da relacao entre as areas depolıgonos semelhantes.

Para uma sugestao de sequencia didatica sobre estes topicos de Geometria, queculmine na aplicacao do Teorema de Pick no calculo aproximado das areas de regioes,ver referencia [4].

A nossa sugestao e que esta atividade seja realizada durante 2 aulas com a turmadividida em grupos que poderao ter entre 5 ou 6 alunos.

No laboratorio de informatica, cada grupo devera ficar em um computador paraa realizacao das atividades. Os primeiros passos abaixo na operacao do Geogebrapodem ser feitos pelo proprio professor, mas seria importante que os alunos pudes-sem faze-los, mesmo com a ajuda do professor.

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1o passo: Cada grupo devera acessar o Google Maps e buscar o mapa de Alagoas,ajustando o zoom (no canto inferior esquerdo) para 20 km sobre 20 mi (milhas),como na Figura 15. Os 20 km e o valor que corresponde ao segmento de tamanho de1, 5cm. Portanto a escala e a razao entre 20km e 1, 5cm, ou seja, 13, 333. . . km/cm.O valor aproximado de 13, 33 e a razao de semelhanca que utilizaremos para o calculoaproximado da area real do Estado de Alagoas.

Figura 15: Alagoas no Google Maps.

2o passo: Depois disto, o aluno responsavel pela operacao do computador devepressionar as teclas Alt + Prt sc para copiar a imagem do mapa no Google, abrirqualquer programa de edicao de imagens (por exemplo, o Paint), colar a imagemcopiada do Google Maps e salvar o arquivo numa pasta do computador.

3o passo: Agora o aluno deve abrir o software Geogebra, clicar no Menu Opcoes,depois Configuracoes, Janela de Visualizacao e clicar na aba Malha. Depois marcarExibir Malha e deve-se ajustar a distancia entre os pontos da malha, de modo que adistancia fique a mais proxima possıvel de 1 cm. Essa medicao pode ser feita com oauxılio de uma regua. Neste trabalho a distancia que melhor se aproximou a 1 cmfoi 0.9, como podemos ver na Figura 16.

Figura 16: Ajustando a malha no Geogebra.

Depois de ajustada a malha, abaixo da barra de Menu, o aluno deve clicar no

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10o botao e 4a opcao, clicar na tela e escolher a pasta do computador onde a imagemesta salva, depois clicar com o botao direito do mouse em Propriedades, depois naguia Basico, Imagem de Fundo e Fechar (Ver Figura 17).

Figura 17: Imagem do Google no Geogebra.

4o passo: Agora o aluno deve aproximar o mapa de Alagoas por um polıgono quetenha vertices com coordenadas inteiras (para respeitar as hipoteses do Teorema dePick). Ele tracara segmentos que unam dois vertices de coordenadas inteiras ateque a uniao de todos estes segmentos formem um polıgono que aproxime da melhormaneira possıvel, a regiao do mapa. Para isso, o aluno clicara no 3o botao abaixo dabarra de Menu e depois em Segmento definido por dois pontos. Para fazer o papelda barra de rolagem (subir ou descer a tela do geogebra) deve-se usar as setas doteclado. A area do polıgono e uma aproximacao para a area do mapa. (Ver Figura18).

Figura 18: O polıgono que aproxima o mapa de Alagoas.

5o passo: Sabendo que o mapa e semelhante a superfıcie real do Estado, o grupodeve calcular a area aproximada de Alagoas utilizando a relacao entre as areas deduas figuras semelhantes que neste caso e o quadrado de 13,33 (razao de semelhanca)

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e considerando que o polıgono construıdo e uma aproximacao para a figura do mapa.

Utilizando a Formula de Pick, podemos calcular a area do polıgono (P ) queconstruımos anteriormente. Assim, como b = 31, i = 134, teremos

Area(P ) =31

2+ 134− 1 = 148, 5 cm2.

Se chamarmos a area real do mapa de Alagoas de A, e sabendo-se que a razaoentre as areas de duas figuras semelhantes e o quadrado da razao de semelhanca(13, 33 km/cm), segue-se que

A

148, 5= 13, 332 ⇒ A = 148, 5× 177, 6889 = 26.386, 8 km2.

A area real do mapa de Alagoas e de 27.778, 506km2 (Fonte:http://www.ibge.gov.br).O erro no calculo da superfıcie alagoana e de aproximadamente 5%, que e um erro

razoavelmente pequeno, considerando-se o relevo, a possıvel imprecisao do mapa elevando-se em conta o metodo utilizado de aproximar o mapa por segmentos deretas, que e um processo quase manual.

Observacao 18 O professor pode tambem escolher a regiao da qual os grupos de-verao calcular a area, podendo ser cidades, estados ou paıses. Tambem pode-sesugerir que cada grupo calcule a area de uma regiao distinta das demais regioes es-colhidos pelos outros grupos. Ao final da aula, o professor pode calcular, juntamentecom os grupos, qual grupo apresentou menor erro no calculo aproximado da area dasua regiao.

O professor tambem pode desafiar os grupos a tentarem calcular a area da su-perfıcie da escola utilizando a planta baixa da mesma (se esta planta baixa estiverdisponıvel). Para isso, o professor deve informar aos alunos a escala do desenho,e sugerir que eles utilizem a formula de Pick e a razao entre as areas de figurassemelhantes.

O professor pode ficar responsavel pelos 1o, 2o e 3o passos, se achar que osalunos nao apresentam a desenvoltura necessaria com o computador, para o sucessoda atividade. Os grupos podem ficar responsaveis apenas pela poligonalizacao domapa no Geogebra e depois pelo calculo da area do polıgono e da area do mapa real.Pode-se tambem aumentar a precisao do processo, diminuindo-se o tamanho daunidade de medida da malha utilizada. Isto torna o processo de poligonalizacao domapa ainda mais preciso, pelo fato de os quadrados da malha se tornarem menores.Escolhida a unidade da malha a ser adotada (u.m.), a escala deve ser dada em kmpor u.m, para que a area aproximada da regiao do mapa seja calculada corretamenteem km2.

E possıvel que na escola onde o professor aplicara a referida proposta, nao hajaconexao com internet, neste caso pode-se colher diferentes mapas previamente elevar aos computadores a serem utilizados, para depois podermos utilizar o softwareGeogebra. Para isso, devemos informar ao aluno, a escala da figura, para que estepossa calcular a area do mapa da regiao pretendida, utilizando-se a relacao entre asareas de duas regioes semelhantes.

Caso, a escola nao tenha o software Geogebra instalado em seus computadores,pode-se utilizar alternativamente o software Inkscape ou entao o Paint, que pode serencontrado em qualquer computador com sistema operacional Windows.

Se a escola nao tem laboratorio de informatica e computadores, o professor podecolher os mapas previamente, imprimi-los, recorta-los e leva-los a sala de aula jun-tamente com o papel seda (transparente) e o papel milimetrado, para que os alunos

57

possam aplicar a Formula de Pick aos desenhos dos mapas feitos no papel seda eaproximados por um polıgono desenhado no papel milimetrado, ao qual se possaaplicar a formula de Pick. Evidentemente, o professor deve informar aos alunos, aescala do mapa das figuras a que se deve aplicar a formula de Pick.

3 Conclusao

Como vimos com os exemplos e construcoes anteriores, o Teorema de Pick nao eapenas uma ferramenta bastante util no estudo do calculo de areas de polıgonossimples (mesmo com formas mais irregulares) mas tambem mostra-se muito eficazpara estimar aproximacoes para o valor de π, resolver certas equacoes diofantinas eestimar as areas de regioes geograficas.

Assim, e totalmente possıvel introduzir a Formula de Pick no ensino de ma-tematica da Educacao Basica, principalmente utilizando-se malhas ou reticulados,softwares como o Geogebra e fazendo uso dos conceitos de perımetro, semelhanca defiguras, calculo de areas, entre outros conceitos basicos de geometria que os alunosja devem dominar.

Referencias

[1] Andrade, D., Teorema de Pick. Disponıvel em <http://www.dma.uem.br/kit/pick/>. Acesso em 10 dez. 2012.

[2] Kolodziejczyka, K. Reayb, J. Polynomials and spatial Pick-type theorems.Expositiones Mathematicae. Vol. 26, No.1, pp 41-53, 2008.

[3] Pereira, A. L.; Melo, S. T., Contando Areas: O Teorema de Pick. Revista doProfessor de Matematica. Rio de Janeiro: IMPA, n.78, Ano 30, 2o quadrimes-tre, p. 36-42, 2012.

[4] Silva Junior, F. S., Sobre o Calculo de Areas e o Teorema de Pick. Dissertacao(Mestrado profissional em Rede Nacional) - Universidade Federal de Alagoas,Instituto de Matematica, 2013.

[5] Tavares, J. N., Teorema de Pick. Disponıvel em <http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/>. Acesso em 05 dez. 2012.

58

Introducao a Teoria de Poincare-Bendixson para

campos de vetores planares∗

Otavio Henrique Perez e Tiago de Carvalho †

7 de julho de 2014

Resumo

O Teorema de Poincare-Bendixson e um resultado muito importante no estudode Sistemas Dinamicos, pois ele estabelece para quais tipos de conjunto limite astrajetorias de um campo de vetores em IR2 deve convergir. Neste trabalho vamosabordar a Funcao do Primeiro Retorno de Poincare, alem de discutir a estabilidadede Ciclos Limites e provar o Teorema de Poincare-Bendixson.

Palavras Chave: Sistemas de equacoes diferenciais ordinarias, campos de vetores,retratos de fase, conjunto limite, Teorema de Poincare-Bendixson.

Introducao

Muitas vezes, ao nos depararmos com uma equacao diferencial, nao estamos inte-ressados em sua solucao numerica e sim em descobrir o comportamento do sistemaa longo prazo. Com esta finalidade, temos que investigar o conjunto limite das tra-jetorias quando o tempo vai para infinito. O Teorema de Poincare-Bendixson paracampos vetoriais planares aqui exposto responde esta pergunta.

1 A Teoria de Poincare-Bendixson em IR2

Vamos introduzir algumas definicoes fundamentais para o entendimento da teoriaque sera discutida ao longo deste trabalho. Todas elas podem ser encontradas em[1].

Definicao 1.1 Seja E um subconjunto aberto de IRn e f ∈ C1(E). Para x0 ∈ E,seja φ(t, x0) a solucao do PVI

{x = f(x)

x(0) = 0,(1.0.1)

definida no intervalo maximal I(x0) = (α, β). Nessas condicoes, para todo t ∈ I(x0),a funcao φt : E → E, definida por φt(x0) = φ(t, x0) e chamada de fluxo daequacao diferencial ou fluxo do campo de vetores.

∗Trabalho realizado durante estagio de iniciacao cientıfica financiado pela FAPESP (processo numero2013/09624-7)

†Emails: otavio [email protected] e [email protected]

59

Considerando que o ponto x0 esta fixo, a funcao φt(x0) : I → E define a curvadas solucoes ou a trajetoria do sistema de fluxo da equacao diferencial passando peloponto x0 ∈ E. A trajetoria pode ser vista como a curva ao longo do movimento τsobre o ponto x0 no subconjunto E ⊂ IRn, conforme a Figura 1.

I

t

φt(x0)

x0

τ

E

Figura 1: Trajetoria

Se pensarmos no ponto x0 variando sobre K ⊂ E, o fluxo φt : K → E poderaser visto como o movimento de todos os pontos no conjunto K, conforme a Figura2.

Figura 2: Movimento de todos os pontos do conjunto K

Agora, considere o sistema autonomo

x = f(x), (1.0.2)

onde f ∈ C1(E) e E ⊂ IRn e um aberto. Para x ∈ E, a funcao φ(., x) : IR → Edefine a trajetoria ou orbita de (1.0.2) que passa pelo ponto x. Podemos pensarna trajetoria φ(., x) que passa pelo ponto x0 ∈ E como a curva do movimento aolongo do tempo t. Assim, temos que Γx0

= {x ∈ E/x = φ(t, x0), t ∈ IR} e atrajetoria de (1.0.2) que passa pelo ponto x0 em t = 0. Denotaremos a trajetoriasimplesmente por Γ, que sera um subconjunto do espaco de fase IRn. Na Figura 3,as setas indicam o movimento da trajetoria a medida que o tempo passa.

60

Figura 3: A trajetoria Γ de (1.0.2) que tende ao ω-limite

Definicao 1.2 A trajetoria positiva de (1.0.2) que passa pelo ponto x0 ∈ E edada por Γ+

x0= {x ∈ E/x = φ(t, x0), t ≥ 0}. Analogamente, a trajetoria negativa

de (1.0.2) que passa pelo ponto x0 ∈ E e dada por Γ−

x0= {x ∈ E/x = φ(t, x0), t ≤ 0}.

Note que Γx0= Γ+

x0∪ Γ−

x0.

Definicao 1.3 Um ponto p ∈ E e um ponto de ω-limite da trajetoria φ(t, x) dosistema (1.0.2) se existe uma sequencia tn → +∞ tal que

limn→∞

φ(tn, x) = p.

Analogamente, dizemos que um ponto q ∈ E e um ponto de α-limite da trajetoriaφ(t, x) do sistema (1.0.2) se existe uma sequencia tn → −∞ tal que

limn→∞

φ(tn, x) = q.

O conjunto de todos os pontos de ω-limite da trajetoria φ(t, x) do sistema (1.0.2)e chamado de conjunto ω-limite de Γ e e denotado por ω(Γ). Analogamente, oconjunto de todos os pontos de α-limite da trajetoria φ(t, x) do sistema (1.0.2) echamado de conjunto α-limite de Γ e e denotado por α(Γ). O conjunto α(Γ)∪ω(Γ)e chamado de conjunto limite de Γ.

A seguir, vamos enunciar o Teorema do Fluxo Tubular, cuja demonstracao estaem [2]. A partir deste teorema, podemos perceber que a trajetoria de pontos naosingulares de um campo qualquer pode ser vista ”simplificadamente”como as tra-jetorias de um campo constante, como mostra a Figura 4.

Teorema 1.1 (Teorema do Fluxo Tubular): Seja p um ponto nao singular docampo X : ∆ → IRn de classe Cr e f : A → Σ uma secao transversal local de X declasse Cr onde f(0) = p. Existe uma vizinhanca V de p em ∆ e um difeomorfismoh : V → (−ε, ε) × B de classe Cr onde ε > 0 e B e uma bola aberta do IRn−1 decentro na origem f−1(p) = 0 tal que

1. h(Σ ∩ V ) = {0} ×B,

2. h e uma Cr-conjugacao entre X|Y e co campo constante Y : (−ε, ε)×B → IRn,Y = (1, 0, ..., 0) ∈ IRn.

61

Figura 4: O Teorema do Fluxo Tubular

1.1 A Funcao de Poincare

A Funcao de Poincare ou Funcao do Primeiro Retorno e um resultado es-sencial no estudo de bifurcacoes e estabilidade de orbitas periodicas, cuja definicaotambem pode ser encontrada tanto em [1] quanto em [2]. Seja Γ uma orbita perıodicado sistema

x = f(x), (1.1.1)

que passa por x0 e Σ e o hiperplano perpendicular a Γ em x0. Para todo pontox ∈ Σ suficientemente proximo de x0, a solucao φt(x) de (1.1.1) que passa por xem t0 interceptara Σ em um ponto P (x) proximo de x0 pata t 6= 0. Chamamosa funcao x 7→ P (x) de Funcao do Primeiro Retorno de Poincare. Note queΣ e a secao transversal de Γ em x0, isto e, Σ e uma superfıcie suave passando porx0 ∈ Γ e que nao e tangente a Γ em x0, conforme mostra a Figura 5.

x

P (x) x0

Σ

Figura 5: Funcao do Primeiro Retorno de Poincare

A seguir veremos um resultado importante para provarmos a existencia e aunicidade da Funcao de Poincare P (x) e de sua derivada P ′(x).

Teorema 1.2 (Teorema da Funcao Implıcita) Seja E ⊂ IRn+m um aberto e

f ∈ C1(E). Suponhamos que (a, b) ∈ E e tal que f(a, b) = 0 e∂f

∂x(a, b) 6= 0. Entao,

existe uma vizinhanca Nδ(b) (b ∈ IRm) e uma unica funcao g ∈ C1(Nδ(b)) tal que

62

g(b) = a e f(g(y), y) = 0, para todo y ∈ Nδ(b). Ou seja, a funcao g e definidaimplicitamente pela funcao f .

Teorema 1.3 Seja E ⊂ IRn um aberto e f ∈ C1(E). Suponhamos que φt(x0) euma solucao periodica de (1.1.1) de perıodo T e que o ciclo Γ = {x ∈ IRn/x =φ(t, x0), 0 ≤ t ≤ T} esta contido em E. Seja Σ um hiperplano ortogonal a Γ em x0,ou seja,

Σ = {x ∈ IRn/(x− x0) · f(x0) = 0}.

Existe δ > 0 e uma unica funcao τ(x) ∈ C1(E) para x ∈ Nδ(x0) tal que τ(x0) =T e φ(τ(x), x) ∈ Σ, para todo x ∈ Nδ(x0).

Demonstracao: Seja x0 ∈ Γ ∩Σ. Definimos a funcao

F (t, x) = [φ(t, x) − x0] · f(x0).

Como φ ∈ C1(IR×E), temos que F ∈ C1(IR×E). Alem disso, como φ e periodicade perıodo T , segue que F (T, x0) = [φ(T, x0)−x0] · f(x0) = (x0 −x0) · f(x0). Dessaforma, obtemos

∂F

∂t(T, x0) =

∂φ(T, x0)

∂t· f(x0) = f(x0) · f(x0) = |f(x0)|

2 6= 0,

pois x0 nao e ponto de equilıbrio do sistema (1.1.1).Segue do Teorema da Funcao Implıcita que existe δ > 0 e uma unica funcao

τ(x) ∈ C1(Nδ(x0)) tal que τ(x0) = T e F (τ(x), x) = 0, para todo x ∈ Nδ(x0).Consequentemente, φ(τ(x), x) ∈ Σ, para todo x ∈ Nδ(x0). ✷

Definicao 1.4 Sejam Γ, Σ, δ e τ(x) definidos como no teorema acima. Para x ∈ Nδ(x0) ∩ Σ,a funcao P (x) = φ(τ(x), x) e chamada de Funcao de Poincare em x0.

Note que recorre do Teorema anterior que P ∈ C1(Nδ(x0) ∩ Σ).

Exemplo 1.1 Vamos analisar o seguinte sistema proposto em [1]:

{x = −y + x(1− x2 − y2)y = x+ y(1− x2 − y2).

Fazendo a mudanca para coordenadas polares (x = r cos θ e y = rsen θ) e derivando o sistemaem relacao a r, obtemos

{r cos θ = −rsen θ + r cos θ(1− r2)rsen θ = r cos θ + rsen θ(1− r2).

Multiplicando a primeira equacao por cos θ e a segunda por sen θ e em seguida somandoambas, obtemos r = r(1 − r2). Se derivarmos o sistema em relacao a θ, teremos θ = 1 e,portanto,

{r = r(1− r2)

θ = 1.

Note que

• Para r = 1, temos r = 0 e, portanto, o fluxo nao repele e nem atrai.

• Para r > 1, temos r < 0 e, portanto, o fluxo e um foco atrator com raiodecrescente.

63

Figura 6: Retrato de Fase

• Para r < 1, temos r > 0 e, portanto, o fluxo e um foco repulsor com raiocrescente.

• A origem e um ponto de equilıbrio do sistema e o fluxo e anti-horario.

A trajetoria que passa pelo ponto (cos θ0, sen θ0) em t = 0 no cırculo unitario e dada porx(t) = (cos(t+ θ0), sen (t+ θ0)). Veja a Figura 6

A Funcao de Poincare deste exemplo pode ser obtida encontrando as solucoes do sistema quefoi reescrito com coordenadas polares, ou seja, resolvendo o sistema

{r = r(1− r2)

θ = 1,

com r(0) = r0 e θ(0) = θ0.Usando o metodo das equacoes diferenciais separaveis e aplicando a condicao inicial, obtemos

as seguintes solucoes:

r(t, r0) =[1 +

( 1

r20

− 1)e−2t

]−

1

2

θ(t, θ0) = t+ θ0,

Se Σ e o raio que forma um angulo θ0 com o eixo x, segue que Σ e perpendicular a Γ, ondeΓ e a trajetoria que passa por (r1, θ0) ∈ Σ ∩ Γ em t = 0. Note que T = 2π.

A Funcao de Poincare para este exemplo e dada por

φ(τ(x), x) = φ(T, x) = P (r0) =[1 +

( 1

r20

− 1)e−4π

]−

1

2

,

e

P ′(r0) =[1 +

( 1

r20

− 1)e−4π

]−

3

2

e−4πr−30

.

Como P ′(1) = e−4π < 1, temos que este ciclo limite e atrator, conforme a Figura 7.

64

r0

P (r0)

r1Γ

θ0

Figura 7: Funcao de Poincare

Teorema 1.4 (Teorema do Valor Medio de Lagrange) Seja f : [a, b] → IR uma funcao

contınua. Se f e derivavel em (a, b), entao existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Definicao 1.5 Uma Curva de Jordan e uma curva fechada e simples que separa o plano emduas regioes (uma limitada e outra ilimitada), sendo o traco da curva a fronteira comum entreas duas regioes. Sendo Γ uma curva fechada, segue que Σ e dividido em dois segmentos abertosΣ+ (localizado no exterior da curva) e Σ− (localizado no interior da curva). Veja a Figura 8

Σ+

Σ−

Γ

Figura 8: Curva de Jordan

Observacao 1.1 Seja s o sinal da distancia ao longo de Σ (s > 0 para pontos em Σ+ e s < 0para pontos em Σ−). Vamos classificar os ciclos limites a partir do sinal de P ′(0) − 1, ondeP (x) e a Funcao de Poincare.

65

Considere a funcao distancia dada por

d(s) = P (s)− s.

Segue que d(0) = 0 e d′(s) = P ′(s) − 1. Pelo Teorema do Valor Medio de Lagrange, para|s| < δ existe θ ∈ (0, s) tal que

d′(θ) =d(s)− d(0)

s− 0=

d(s)

s=

P (s)− s

s

d(s) = d′(θ)s.

Como d′(s) e contınua, temos que se d′(0) 6= 0, entao d′(s) tera o mesmo sinal de d′(0) para|s| suficientemente pequeno.

Temos os seguintes casos:

• Se d(s) < 0 para s > 0, entao d′(0) < 0 e o ciclo limite e atrator.

• Se d(s) > 0 para s < 0, entao d′(0) < 0 e o ciclo limite e atrator.

• Se d(s) > 0 para s > 0, entao d′(0) > 0 e o ciclo limite e repulsor.

• Se d(s) < 0 para s < 0, entao d′(0) > 0 e o ciclo limite e repulsor.

Observe que se d′(s) > 0, entao P ′(s) > 1, e assim, Γ e repulsor. Analogamente, se d′(s) < 0,entao P ′(s) < 1, e assim, Γ e atrator.

Definicao 1.6 Uma matriz φ(t) de ordem n× n cujas colunas formam uma base do espaco desolucoes do sistema x = Ax chama-se matriz fundamental de x = Ax.

Observacao 1.2 Vamos assumir que

ϕ′(t) = (detφ(t))′ =n∑

i=1

det(φ1(t), ..., φ′

i(t), ..., φn(t)).

Teorema 1.5 (Formula de Liouville) Seja φ(t) a matriz cujas colunas sao solucoes do sis-tema x = Ax. Entao, para todo t, t0 ∈ I com t0 fixo e I ∩ IR e um intervalo, vale

detφ(t) = det[φ(t0)]

∫ t

t0

trA(s)ds.

Ideia da Demonstracao: Vamos demonstrar para n = 2. Para tal, basta provarmos que ϕ(t) =detφ(t) e solucao de x = [trA(t)]x. Assim, temos

x = [trA(t)]x ⇒dx

dt= [trA(t)]x ⇒

dx

x= [trA(t)]dt ⇒

⇒

∫ t

t0

dx

x=

∫ t

t0

[trA(s)]ds ⇒ e

∫ t

t0

trA(s)ds=

|x(t)|

|x(t0)|.

Substituindo x por φt, obtemos

|detφt| = |detφt0 |e

∫ t

t0

trA(s)ds.

Denotando A(t) =

(β11(t) β12(t)β21(t) β22(t)

)e considerando a hipotese de que x = [trA(t)]x, segue

que φ(t) = A(t)φ(t). Assim, temos

66

(φ′

1(t)φ′

2(t)

)=

(β11(t) β12(t)β21(t) β22(t)

)(φ1(t)φ2(t)

)

(φ′

1(t)φ′

2(t)

)=

(β11(t)φ1(t) + β12(t)φ2(t)β21(t)φ1(t) + β22(t)φ2(t)

).

Sabemos que ϕ′(t) = det(φ′

1(t), φ2(t))+ det

(φ1(t), φ

′

2(t)). Substituindo os valores de φ′

1(t)e φ′

2(t), segue que

ϕ′(t) = det(β11(t)φ1(t) + β12(t)φ2(t), φ2(t)

)+ det

(φ1(t), β21(t)φ1(t) + β22(t)φ2(t)

).

Resolvendo na forma matricial,

ϕ′(t) =

∣∣∣∣β11(t)φ1(t) + β12(t)φ2(t)

φ2(t)

∣∣∣∣+∣∣∣∣

φ1(t)β21(t)φ1(t) + β22(t)φ2(t)

∣∣∣∣

ϕ′(t) =

∣∣∣∣β11(t)φ1(t)

φ2(t)

∣∣∣∣+∣∣∣∣β12(t)φ2(t)

φ2(t)

∣∣∣∣+∣∣∣∣

φ1(t)β21(t)φ1(t)

∣∣∣∣+∣∣∣∣

φ1(t)β22(t)φ2(t)

∣∣∣∣

ϕ′(t) =

∣∣∣∣β11(t)φ1(t)

φ2(t)

∣∣∣∣+ 0 + 0 +

∣∣∣∣φ1(t)

β22(t)φ2(t)

∣∣∣∣

ϕ′(t) = β11(t) detφ(t) + β22(t) detφ(t) =(β11(t) + β22(t)

)detφ(t) = trA(t) detφ(t).

Para mostrar o caso geral, basta utilizarmos o mesmo raciocınio. ✷

1.2 Ciclos Limites no Plano

A seguir, vamos introduzir algumas definicoes e demonstrar uma proposicao, conforme [2].

Definicao 1.7 Sejam ∆ ⊂ IR2 um aberto e X : ∆ → IR2 um campo vetorial de classe C1.Dizemos que uma orbita periodica γ de X e um ciclo limite se existir uma vizinhanca V de γtal que γ e um orbita fechada de X e intercepta V .

Definicao 1.8 Sejam ∆ ⊂ IR2 um aberto, X : ∆ → IR2 um campo vetorial de classe C1 eγ uma orbita fechada de X. Denotamos Extγ e Intγ como, respectivamente, o Exterior daOrbita γ e Interior da Orbita γ.

Proposicao 1.1 Seja ϕ a solucao do sistema x = f(x). Nas condicoes das definicoes acima,existem apenas tres tipos de ciclos limites:

(a) Atrator, quando limt→∞

d(ϕ(t, q), γ) = 0, para todo q ∈ V

(b) Repulsor, quando limt→−∞

d(ϕ(t, q), γ) = 0, para todo q ∈ V

(c) Semi-estavel, quando limt→∞

d(ϕ(t, q), γ) = 0, para todo q ∈ V ∩Extγ e limt→−∞

d(ϕ(t, q), γ) =

0, para todo q ∈ V ∩ Intγ, ou o contrario.

Demonstracao: Suponhamos que em X temos uma V -vizinhanca que nao contem singularidades.Seja p ∈ γ, Σ uma secao transversal a γ passando por p e π : Σ0 → Σ a funcao de Poincare,conforme a Figura 9.

Vamos considerar o sentido positivo de Σ de Extγ para Intγ. Dado q ∈ Σ ∩ Extγ, temosque π(q) > q ou π(q) < q. Vamos o analisar o caso quando π(q) > q.

67

Σ

q π(q)

p

γ

Figura 9: Secao transversal e aplicacao de primeiro retorno.

Considere a regiao A limitada por γ, o arco da trajetoria qπ(q) e pelo segmento qπ(q) ⊂ Σ.Dado x ∈ A, ϕ(t, x) ∈ A para todo t ≥ 0, isto e, a regiao A e o homeomorfa a uma anele positivamente invariante devido a unicidade e a orientacao das orbitas. Alem disso, ϕ(t, x)intercepta Σ numa sequencia monotona xn que converge para p. Logo, o ciclo limite e atratorquando lim

t→∞

d(ϕ(t, q), γ) = 0.

Se π(q) < q, basta considerar o campo −X e repetir o mesmo raciocınio para concluir queum ciclo limite e repulsor quando lim

t→−∞

d(ϕ(t, q), γ) = 0.

As mesmas consideracoes podem ser feitas em Intγ. Combinando todas as possibilidades,provamos a proposicao. ✷

Observacao 1.3 Temos que γ e um ciclo limite se, e somente se, p e um ponto fixo isolado deπ. Assim, temos

(a) γ e Atrator se, e somente se, |π(x) − p| < |x − p|, para todo x 6= p proximode p.

(b) γ e Repulsor se, e somente se, |π(x)− p| > |x− p|, para todo x 6= p proximode p.

(c) γ e Semi-estavel se, e somente se, |π(x)−p| < |x−p|, para todo x ∈ Σ∩Extγproximo de p e |π(x)− p| > |x− p|, para todo x ∈ Σ ∩ Intγ proximo de p, ouo contrario.

Veja a Figura 10

Pelo Teorema do Valor Medio, temos π′(p) = limx→p

|π(x) − π(p)|

|x− p|= lim

x→p

|π(x)− p|

|x− p|. Assim, se

π′(x) > 1, entao γ e repulsor, e se π′(x) < 1, entao γ e atrator.

1.3 Derivadas da Transformacao de Poincare

O Teorema a seguir estabelece uma condicao suficiente para classificar uma orbita perıodica.

Teorema 1.6 Sejam ∆ ⊂ IR2 um aberto e X = (X1,X2) : ∆ → IR2 um campo vetorial declasse C1. Seja γ uma orbita periodica de X de perıodo T e π : Σ → Σ a transformacao dePoincare numa secao transversal Σ a γ passando por p. Entao,

π′(p) = exp[ ∫ T

0

divX(γ(t))dt],

68

EstavelInstavel

Semi-estavel

Figura 10: Ciclos limites

onde divX(x) = D1X1(x) + D2X2(x). Se

∫ T

0

divX(γ(t))dt < 0, entao γ e atrator, e se∫ T

0

divX(γ(t))dt > 0, entao γ e repulsor.

A seguir, vamos enunciar o Teorema de Poincare-Bendixson conforme [2] e demonstra-lo. Ele e um resultado de importancia ımpar e que serve para classificar o conjunto limite detrajetorias.

Teorema 1.7 (O Teorema de Poincare-Bendixson): Sejam ∆ ⊂ IR2 um aberto, X : ∆ →IR2 um campo vetorial de classe Ck com k ≥ 1, ϕ(t) = ϕ(t, p) uma curva integral e a semiorbitapositiva γ+p = {ϕ(t, p)/t ≥ 0} tal que esteja contida num compacto K ⊂ ∆.

Suponha que X possua um numero finito de singularidades em ω(p). Temos tres possibilida-des:

(a) Se ω(p) contem somente pontos regulares, entao ω(p) e uma orbita periodica.

(b) Se ω(p) contem pontos regulares e singulares, entao ω(p) e um conjunto deorbitas, cada uma das quais tende a um desses pontos singulares quando t →±∞.

(c) Se ω(p) nao contem pontos regulares, entao ω(p) e um ponto singular.

Demonstracao: Antes de provar este teorema, vamos apresentar e demonstrar quatro Lemas.

Lema 1.1 Seja Σ uma secao transversal a X e γ = {ϕ(t)} uma orbita de X. Se p ∈ Σ∩ ω(γ),entao p pode ser expresso como limte de uma sequencia de pontos ϕ(tn) onde tn → ∞

Demonstracao: Por hipotese, sabemos que γ = {ϕ(t)} = {ϕ(t, q)} e p ∈ Σ∩ω(γ). Consideremosuma vizinhanca V de p e a aplicacao τ : V → IR. Como p ∈ ω(γ), existe uma sequencia (tn)tal que (tn) → ∞ e ϕ(tn) → p quando n → ∞. Dessa forma, existe n0 ∈ IN tal que ϕ(tn) ∈ V ,para todo n ≥ n0.

69

Σ ϕ(tn)ϕ(tn)

p

q

V

Figura 11: Ilustracao do Lema (1.1)

Se tn = tn + τ(ϕ(tn)), temos

ϕ(tn) = ϕ(tn, q) = ϕ(tn + τ(ϕ(tn)), q

)= ϕ

(τ(ϕ(tn)), ϕ(tn)

),

e, por definicao de τ , segue que ϕ(tn) ∈ Σ. Como a aplicacao τ e contınua, obtemos

limϕ(tn) = limϕ(τ(ϕ(tn)), ϕ(tn)

)= ϕ

(τ(limϕ(tn)), limϕ(tn)

)= ϕ(τ(p), p) = ϕ(0, p) = p.

✷

Observacao 1.4 Note que a secao transversal Σ possui dimensao k = 1, pois estamos consi-derando um campo vetorial X ⊂ IR2. Dessa forma, localmente Σ e a imagem difeomorfa deum intervalo de IR e assim, Σ possui uma ordenacao total induzida pela ordenacao total dointervalo. Por isso podemos falar em sequencias monotonas em Σ.

Lema 1.2 Seja Σ uma secao transversal a X ⊂ ∆. Se γ e uma orbita de X e p ∈ Σ∩ γ, entaoγ+p = {ϕ(t, p)/t > 0} intercepta Σ em uma sequencia monotona p1, p2, ..., pn, ... .

Demonstracao: Seja D = {t ∈ IR+/ϕ(t,p) ∈ Σ}. Decorre do Teorema do Fluxo Tubular que De discreto. Portanto, podemos ordenar o conjunto

D = {0 < t1 < t2 < ... < tn < ...}.

Seja p1 = p e definimos pn = ϕ(tn−1, p). Se p1 = p2, entao γ e uma trajetoria fechada deperıodo τ = t1 e pn = p para todo n. Se p1 6= p2, vamos tomar p1 < p2 e, caso exista p3, vamosmostrar que p3 > p2.

Orientamos a secao transversal Σ conforme a Figura 12 (a). Observe que, como Σ e conexoe o campo X e contınuo, as orbitas de X cruzam Σ sempre no mesmo sentido, como mostra aFigura 12 (b).

Consideremos agora a Curva de Jordan formada pela uniao do seguimento p1p2 ⊂ Σ com oarco p1p2, como na Figura 13.

A partir de p2, a orbita γ fica contida na regiao S limitada pela curva (isto e, para valoresde de t > t1). De fato, ela nao pode interceptar o arco p1p2 devido a unicidade das orbitas enao pode interceptar o segmento p1p2 porque iria contrariar o sentido do fluxo, como mostra aFigura 14.

Assim, caso exista p3, teremos p1 < p2 < p3. Analogamente, obteremos p1 < p2 < ... < pn <... e, portanto, {pn} e uma sequencia monotona. O raciocınio e analogo para p1 > p2. ✷

70

Σ

(a) (b)

Figura 12: Secao transversal.

Σ

p = p1p2

p3

S

Figura 13: Curva de Jordan.

Lema 1.3 Se Σ e uma secao transversal ao campo X e p ∈ ∆, entao Σ intercepta ω(p) nomaximo em um unico ponto.

Demonstracao: O conjunto de pontos γ+p em Σ tem no maximo um ponto limite, pois pelo Lema(1.2) o mesmo forma uma sequencia monotona. Daı, lim

tn→∞

ϕ(tn) = p. ✷

Lema 1.4 Sejam p ∈ ∆ com γ+p contida num compacto e γ uma orbita de X com γ ⊂ ω(p).Se ω(γ) contem pontos regulares, entao γ e uma orbita fechada e ω(p) = γ.

Demonstracao: Sejam q ∈ ω(γ) um ponto regular, V uma vizinhanca de q e Σq a secao trans-versal correspondente. Pelo Lema (1.1), existe uma sequencia tn → ∞ tal que γ(tn) ∈ Σq eγ(tn) → q ∈ ω(γ). Pelo Lema (1.3), a sequencia {γ(tn)} reduz-se a um ponto e isso prova queγ e periodica.

Provemos agora que γ = ω(p). Como γ(p) e conexo e γ e um conjunto fechado e nao vazio,basta mostrar, por absurdo, que γ e aberto em ω(p).

Sejam p ∈ γ, Vp uma vizinhanca de p em γ e Σp a secao transversal correspondente. Vamosmostrar que Vp ∩ γ = Vp ∩ ω(p). Obviamente, Vp ∩ γ ⊂ Vp ∩ ω(p). Por contradicao, suponhamosque exista q ∈ Vp ∩ ω(p) tal que q nao pertence a γ. Pelo Teorema do Fluxo Tubular e pelaInvariancia de ω(p), existe t ∈ IR tal que ϕ(t, q) ∈ ω(p) ∩ Σp e ϕ(t, q) 6= p. Daı, existem doispontos distintos de ω(p) em Σp, o que e impossıvel pelo Lema (1.3), logo Vp ∩ γ = Vp ∩ ω(p).

Sendo U =⋃

p∈γ

Vp e aberto em ω(p), entao γ ⊂ ω(p) e U ∩ ω(p) = U ∩ γ = γ. Dessa forma,

γ e aberto em ω(p). ✷

71

ΣΣ

p1p1

p2

p2

Figura 14: Impossibilidades

Agora, podemas continuar com demonstracao do Teorema.

1. Se ocorre a hipotese (a) e q ∈ ω(p), entao a orbita γq ⊂ ω(p). Sendo ω(p)compacto resulta que ω(γq) 6= ∅. Segue do Lema (1.4) que ω(p) = γq, que euma orbita periodica. Veja a Figura 15.

p

q γq

Figura 15: Orbita Periodica.

2. Se ocorre a hipotese (b), temos que se γ for reduzido a um unico ponto sin-gular, entao ω(γ) e um ponto singular. Caso γ nao for reduzido a pontossingulares (ou seja, ω(p) contem pontos regulares), entao ω(γ) contem apenaspontos singulares, pois se tiver apenas pontos regulares, pelo Lema (1.4) seriauma orbita fechada, o que e um absurdo. Mais ainda, reduz-se a um unicoponto singular, pois e conexo. Veja a Figura 16.

3. Se ocorre a hipotese (c), temos que a orbita ira convergir em um compacto,pois toda trajetoria contida em um compacto possui uma subsequencia queconverge. Como ω(p) e conexo, a trajetoria converge para um unico pontosingular. Veja a Figura 17.

✷

Vamos usar o Teorema acima para analisar o exemplo proposto por [2].

Exemplo 1.2 Seja X um campo vetorial de classe C1 em IR2 que nao possui pontos singularesem Br,R = {(x, y)/r2 < x2 + y2 < R2}, com 0 < r < R. Se X aponta para o interior de Br,R

em todo ponto de sua fronteira, entao X tem uma orbita periodica em Br,R, pois neste caso sea orbita nao fosse periodica, ela estaria limitada em um compacto K ⊂ Br,R que contem umponto singular, o que e um absurdo. O retrato de fase deste exemplo esta na Figura 18.

72

p1p2

p3p4

p

Figura 16: ω(p) e um conjunto de orbitas que tendem aos pontos singulares quandot → ±∞

p

ω(p)

Figura 17: Convergencia.

1.4 Pontos Singulares no Interior de Uma Orbita Periodica

O Teorema a seguir e uma aplicacao do Teorema de Poincare-Bendixson, como pode ser vistoem [2].

Teorema 1.8 Seja X um campo vetorial de classe C1 num conjunto aberto ∆ ⊂ IR2. Se γ euma orbita fechada de X tal que Intγ ⊂ ∆, entao existe um ponto singular de X contido emIntγ.

Demonstracao: Suponhamos, por absurdo, que nao existem pontos singulares em Intγ. Consi-derando o conjunto Γ de orbitas fechadas de X contidas em Intγ, ordenadas segundo a seguinteordem

γ1 ≤ γ2 → Intγ1 ⊇ Intγ2,

mostraremos que todo subconjunto S totalmente ordenado de Γ admite uma cota superior, istoe, um elemento maior ou igual que qualquer elemento de S. Um conjunto nessas condicoeschama-se indutivo.

De fato, seja σ = {∩ ¯Intγi/γi ∈ S}. Note que σ 6= ∅, pois cada ¯Intγi e compacto e afamılia {∩ ¯Intγi/γi ∈ S} tem a propriedade da Interseccao Finita (qualquer interseccao finitade elemento da famılia e nao vazia).

Seja q ∈ σ. Pelo Teorema (1.7), ω(q) e uma orbita periodica contida em σ, pois este conjuntoe invariante por X e nao contem pontos singulares. Esta orbita e uma cota superior de S

73

Rr

Figura 18: Figura Exemplo 1.2.

Σ

γ1γ2

Figura 19: O conjunto Γ de orbitas fechadas de X

O Lema de Zorn nos diz que se em um conjunto nao vazio e parcialmente ordenado e todosubconjunto totalmente ordenado tem uma cota superior, entao o conjunto tem um elementomaximal. Seja µ o elemento maximal. Isto quer dizer que nao existe nenhuma orbita fechadade Γ contida em Intµ. Por outro lado, p ∈ Intµ e α(p),ω(p) sao orbitas fechadas pelo Teoremade Poincare-Bendixson (pois nao possuem pontos singulares). Como α(p) e ω(p) nao podem seriguais a µ, um deles estara contido em Intµ, o que e um absurdo, pois µ e elemento maximal.

Esta contradicao prova que devem existir pontos singulares em Intγ. ✷

Referencias

[1] Perko, L., Differential equations and dynamical systems, Texts in AppliedMathematics, 7, Springer-Verlag, New York, 1991.

[2] Sotomayor, J., Licoes de Equacoes Diferenciais Ordinarias, Projeto Eucli-des, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.

74

Desigualdades no Triângulo de Pascal

Antônio Luiz de Melo1

Rogério César dos Santos2

13 de março de 2014

Resumo

As proposições demonstradas em [2] têm por objetivo estabelecer por qual ponto

de coordenadas inteiras passam mais caminhos, considerando uma malha quadricular de

caminhos ligando um ponto a outro do plano cartesiano, ligação essa feita com

segmentos indo da esquerda para a direita, ou de baixo para cima. O presente trabalho

almeja apresentar, portanto, consequências interessantes deste problema, que podem ser

visualizadas no Triângulo de Pascal, a respeito de seus elementos. São propriedades que

envolvem desigualdades entre resultados de operações com seus elementos. Veremos

também a generalização de uma destas proposições, também sob a ótica do Triângulo de

Pascal.

Palavras chave: Triângulo de Pascal, Desigualdades

Abstract

The propositions stated in [2] aim establish whereby point of integer coordinates

pass more paths, considering a quadricular mesh of paths linking one point to another of

the cartesian plane, connection made with segments going from left to right, or bottom

up. The present work aims therefore presents interesting consequences of this problem,

that can be visualized in Pascal's Triangle, regarding its elements. Are properties that

involve inequalities between results of operations with its elements. We will also see the

generalization of one of these propositions, also from the perspective of Pascal's

Triangle.

Keywords: Pascal's Triangle, Inequalities

1 E-mail: [email protected]. Curso de Licenciatura em Ciências Naturais, UnB

2 E-mail: [email protected]. Curso de Licenciatura em Ciências Naturais, UnB

75



Introdução

O trabalho em [1] traz uma experiência realizada em sala de aula, visando verificar

como os alunos de uma determinada escola reagem ao serem questionados sobre a

probabilidade de a personagem Mônica, das estórias em quadrinhos, visitar um certo

colega, sorteando, a cada passo dado pelo caminho, se ela deverá seguir para a direita ou

para cima. Ela parte de um ponto do plano, por exemplo, (0,0), e deseja visitar um de

seus amigos que estão localizados nos pontos (4, 0), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (0, 4). Ou seja,

os tais amigos estariam localizados em uma diagonal. A cada ponto de coordenadas

inteiras alcançado, ela para e faz o sorteio.

Figura 1: Passeio da Mônica (veja em [1])

No artigo, verificou-se que há mais caminhos até o ponto (2, 2). Logo, é este

amigo que há a maior chance de ela visitar. Já em [2], o problema é semelhante, mas

generaliza a questão, considerando os demais pontos do quadrado de vértices (0, 0), (x,

0), (x, x) e (0, x).

Uma das proposições demonstradas no artigo [2] referido acima declara que, sob

a ótica do Triângulo de Pascal ilustrado abaixo, vale o seguinte resultado:

Propriedade A: Dados dois elementos A e B da coluna central, ou seja, daquela coluna

constituída dos números binomiais do tipo , o produto deles é maior

do que o produto de dois elementos C e D pertencentes às diagonais que passam por A e

por B, que estejam simetricamente localizados em relação a A e a B. Por exemplo, no

Triângulo abaixo com os valores em destaque, temos que: é maior do que os

seguintes produtos:

e

76

Figura 2: A propriedade “A”

De fato, foi provado no artigo que, dado x = 1, 2, ..., N, então:

A)

com i de 0 a x,

B)

com i de 0 a N – x.

Fazendo 2N – 2x = 2p, e observando a simetria do Triângulo, fica óbvia a

interpretação dada. No nosso exemplo acima, x = 3 e N = 9.

Outra proposição demonstrada no artigo citado afirma que:

Propriedade B: na coluna central do Triângulo, o produto de dois de seus elementos é

maior do que o produto de dois elementos pertencentes à mesma coluna central,

localizados simetricamente entre eles. Em exemplos no triângulo abaixo, temos que:

Ou também, , conforme podemos verificar na

ilustração com os valores em negrito:

Figura 3: A propriedade B

De fato, foi provado que, para N = 2, 3, 4, ..., vale

A) Se , então:

B) Se , então:

Chamando 2p = 2N – 2x, a interpretação dada acima fica evidente, onde, no caso

A, 2p > 2x, e no caso B, 2p < 2x.

Estas duas provas, conforme mostra o artigo, garantem que o ponto pelo qual

passam mais caminhos, indo do (0, 0) até (x, x), é o ponto (1, 1), e, empatado com este,

por simetria, o ponto (x – 1, x – 1).

77

Porém, será que a propriedade B referida acima vale também para as demais

colunas do Triângulo? E mais, será que vale a desigualdade contrária em alguma coluna

do Triângulo? Responderemos todas estas perguntas nos tópicos a seguir.

1 A Ideia de Generalizar Para Outras Colunas do Triângulo

Generalizando a proposição B anterior, vamos provar a seguir que a mesma propriedade

que é válida para a coluna central, de que o produto de dois de seus elementos é maior

do que o produto de dois elementos pertencentes a mesma coluna central localizados

simetricamente entre os dois, também vale para a coluna cujos números binomiais são

do tipo

, ou seja, a coluna que contém os elementos

,

, etc, em destaque na próxima figura. Por simetria, também valerá para a coluna cujo

primeiro elemento é :

Figura 4: A propriedade B também vale para as colunas em destaque

Porém, nem tal desigualdade, e nem a sua contrária, valerão para quaisquer

demais colunas do Triângulo, conforme veremos. Iremos dividir nossa demonstração

em dois casos:

2 Caso Par

Seja a coluna cujos números binomiais são do tipo

, onde o

número superior de

é par.

78

Figura 5: A propriedade B, no caso par, apenas vale para a coluna central

Para k = 0, temos a coluna que contém o , onde já foi provada a validade da

propriedade B no artigo citado, de fato a única no caso par em que ela é válida;

Para k = 1, temos a coluna que contém o

etc.

Considere, portanto, a razão

.

Antes de analisar esta razão, precisamos saber qual é o valor de j tal que o

número

esteja na mesma coluna do número

. Ora, observe que, por

exemplo, o número está na mesma coluna de

e duas linhas acima deste, isto é,

para cada duas linhas que se desloca na coluna para cima, diminui-se uma unidade na

referência da coluna, no caso acima, de 4 para 3. Logo, o valor de j tal que os números

e

estão na mesma coluna é

, onde C < A. Sendo assim,

. Logo,

Simplificando,

79

isto é,

Quando k = 0, temos:

Por indução sobre m, segue o resultado. Porém, este é o fato que já sabíamos, de

que vale a propriedade B quando k = 0.

a) Para k > 0, sejam m = k e Vamos mostrar que essa escolha

fornece um contraexemplo para a propriedade B. Então, substituindo em (i),

Usando o software livre MAXIMA, os polinômios acima são multiplicados e

chegamos à expressão:

logo,

pois . Ou seja, em cada k > 0, nessas linhas 2m e 2p especificadas, . Logo,

a propriedade B não vale nas colunas cujos elementos são do tipo par:

.

Mas, será que vale a desigualdade inversa da propriedade B?

80

b) Ainda para k > 0, sejam agora e então,

substituindo em (i):

Usando novamente o MAXIMA,

Ou seja, em cada k > 0, nessas linhas 2m e 2p especificadas, .

Enfim, para cada k > 0, no caso par, não vale a desigualdade e nem a sua oposta.

3 Caso Ímpar

Seja a coluna cujo primeiro termo tem a forma

. Nessas

colunas, o termo geral tem a forma

Quando k = 0, tem-se a coluna que contém o termo , e nesta vamos verificar

que a propriedade B vale, ao contrário do que acontece nas demais colunas, ou seja,

para os demais valores de k.

De fato, considere o quociente

isto é,

81

Simplificando,

Quando k = 0, temos:

pois Então, para esta coluna e sua simétrica, destacadas abaixo, vale a

propriedade B.

Figura 6: A propriedade B vale também para as colunas em destaque.

Quando k = 1, temos, substituindo em (ii),

Se m = 1 e p = 3 então

.

Se m = 7 e p= 9 então

. Logo, nesta coluna não vale a propriedade

B, nem a sua inversa.

Suponha .

82

1) Para m= k e p = k + 2, em (ii):

2) Para m = 10k2 e p = 10k

3 em (ii), Qk vale:

onde Ak = 20.000k10

+ 5.800k8 + 800k

7 + 400 k

6 + 290k

5 + 20k

3 – 10k

4 e

de modo que

, isto é, .

Portanto, por 1) e por 2), vemos que nem a propriedade B, nem a sua inversa,

valem para as demais colunas ímpares.

Conclusão

A propriedade B vale, portanto, apenas para as 3 colunas centrais do Triângulo. Nem a

propriedade B, nem a sua inversa, valem para as demais colunas.

Figura 7: As únicas colunas que satisfazem a propriedade B

Este fato, mais a propriedade A, são, portanto, novas propriedades do Triângulo

de Pascal, propriedades estas que envolvem desigualdades. É sabido da Educação

Básica que o Triângulo possui várias outras relações interessantes envolvendo somas e

padrões de sequências. A apresentação de todas estas propriedades pode vir a ser útil ao

ensino de Matemática, no sentido de despertar no aluno dos Ensinos Médio ou Superior

a curiosidade, o gosto pela disciplina, e quiçá o incentivo à pesquisa.

83

Referências

[1] NAGAMINE, C. M. L; HENRIQUES, A.; UTSUMI, M. C.; CAZORLA, I.. M.

Análise Praxeológica dos Passeios Aleatórios da Mônica. São Paulo: Bolema, 2011.

[2] SANTOS, R. C.; CASTILHO, J. E. O Problema do Ponto Mais Visitado. Revista do

Professor de Matemática – RPM – São Paulo: SBM, 2013.

84

____________________________ *

Este trabalho é parte da dissertação de mestrado do primeiro autor, orientado pelo segundo

autor. †

Emails: [email protected]. EEP, Piracicaba, SP; Uniesp, Tietê, SP e

[email protected]. Departamento de Matemática, Universidade Estadual Paulista –

UNESP – Rio Claro, SP.

Explorando construções de cônicas*

João Calixto Garcia e Vanderlei Marcos do Nascimento†

03 de março de 2014

Resumo

O assunto Construções Geométricas mostra-se um belo instrumento para o

ensino da Matemática. Constitui-se, por assim dizer, no laboratório da Geometria.

Proporciona nessa área uma exploração de qualidade maior, didaticamente falando, e

que pode ser potencializada quando se conta com os recursos da computação, por meio

dos chamados softwares de Geometria Dinâmica, sobretudo como expediente para

implementação nos currículos do ensino básico. Propomos aqui o uso de tal software

para construção das cônicas como lugar geométrico, valendo-se de suas definições via

foco e diretriz e via distâncias a focos, apresentando algumas situações que envolvem

esse processo investigativo.

Palavras-chaves: Cônicas, Construções Geométricas, Geometria Dinâmica

Introdução

Cada ponto de uma elipse, hipérbole ou parábola pode ser construído geometricamente,

considerando sua definição tanto por foco e diretriz como por distâncias a focos. Ao

apresentarmos as construções pela primeira definição, estabelecemos a unidade e as

posições do foco e da diretriz, a partir dos quais obtemos ponto a ponto a cônica de

excentricidade dada. Pela segunda definição, apresentamos inicialmente as construções

clássicas da elipse e da hipérbole, seguidas de construções que derivam dessas. Em

ambos os casos, fazemos uso dos recursos da informática em auxílio aos procedimentos

de construção, assim como na visualização da dinâmica desta.

85

1 Explorando e Construindo Cônicas Definidas Via Foco e

Diretriz

Definições

Dado o número e > 0 e dados um ponto F, uma reta d em um plano, com dF , o

conjunto de todos os pontos do plano cuja razão das distâncias a F e a d, nesta ordem, é

e é chamado a cônica de excentricidade e, foco F e diretriz d.

Para e = 1, a cônica é chamada parábola. Para 0 < e < 1, elipse, e, para e > 1,

hipérbole. Denominamos focal a reta r que contém F e é perpendicular a d. Ponhamos

{X} = dr .

Construção da elipse

Observemos inicialmente que na reta r existem dois pontos A e A’ da elipse, como

podemos ver na seguinte construção geométrica (Figura 1).

Consideramos uma semirreta com origem em X e direção diferente daquela de r

e, nela, marcamos os pontos M, N e N’ de modo que o segmento MX tenha comprimento

unitário, o segmento NX tenha comprimento 1 + e e o segmento N’X, 1 – e. As retas que

passam por M e são paralelas a NF e a N’F intersectam a reta r respectivamente nos

pontos A e A’. Com a aplicação do Teorema de Tales vê-se que A e A’ são pontos da tal

elipse. Não é difícil verificar que A e A’, que chamamos vértices da elipse, são seus

únicos pontos na reta r.

Figura 1: Construção de pontos A e A’ de uma elipse

Vamos agora construir a elipse a partir dos elementos F, d e e que a define.

86

No plano, localizamos a diretriz d e o foco F e traçamos a reta r (Figura 2).

Consideramos uma circunferência λ centrada em F e de raio AF ≤ x ≤ A’F (a

justificativa para essa adoção pode ser encontrada em [1]). Traçamos, no semiplano

determinado pela reta d ao qual pertence F, a reta s à distância y = x/e de d. Uma vez

criado o segmento de medida unitária, constrói-se o segmento de medida y, como

indicado na Figura 2. Vê-se claramente que o(s) ponto(s) de intersecção entre a reta s e

a circunferência λ pertence(m) à elipse em questão. E, ao tomarmos para x as medidas

AF e A’F, nessa ordem, os vértices A e A’ são os pontos de tangência de λ com s,

respectivamente. Com o referido auxílio da informática, podemos visualizar a

construção da tal elipse quando variamos x. Podemos também alterar sua excentricidade

mudando a medida do segmento de comprimento e, mantendo-o menor do que 1. E,

desde que se tenha AF ≤ x ≤ A’F, podemos deslocar o foco F e verificar, com isso, as

alterações nessa cônica.

Figura 2: Construção da elipse definida por foco e diretriz

Construção da hipérbole

Observemos primeiramente que, assim como na elipse, na reta r existem dois pontos A e

A’ da hipérbole em questão, como podemos ver na seguinte construção geométrica

(Figura 3).

Figura 3: Construção de pontos A e A’ de uma hipérbole

87

Consideramos uma semirreta com origem em F e direção diferente daquela de r

e, nela, marcamos os pontos M, N e N’ de modo que o segmento MF tenha comprimento

igual a e, o segmento NF tenha comprimento e + 1 e o segmento N’F, e – 1. As retas

que passam por M e são paralelas a NX e a N’X intersectam a reta r respectivamente nos

pontos A e A’. Com a aplicação do Teorema de Tales vê-se que A e A’ são pontos da tal

hipérbole. Não é difícil verificar que A e A’, que chamamos vértices da hipérbole, são

seus únicos pontos na reta r.

Vamos agora construir a hipérbole a partir dos elementos F, d e e que a define.

No plano, localizamos a diretriz d e o foco F e traçamos a reta r (Figura 4).

Consideramos uma circunferência λ centrada em F e de raio x ≥ AF (a justificativa para

essa adoção pode ser encontrada em [1]). Realizamos a construção de pontos da

hipérbole de maneira inteiramente análoga à da elipse. Tomando para x a medida AF,

vértice A é o ponto de tangência de λ com s.

Não é difícil mostrar que, tomando x ≥ A’F, a circunferência λ, além de s,

intersecta também a reta s’, simétrica de s com relação à diretriz d (demonstração em

[1]). E, se x = A’F, vértice A’ é o ponto de tangência de λ com s’.

Com o referido auxílio da informática, podemos visualizar a construção da tal

hipérbole quando variamos x. Podemos também alterar sua excentricidade mudando a

medida do segmento de comprimento e, mantendo-o maior do que 1. E, desde que se

tenha x ≥ AF, podemos deslocar o foco F e verificar, com isso, as alterações nessa

cônica.

Figura 4: Construção da hipérbole definida por foco e diretriz

Construção da parábola

Vamos construir a parábola a partir dos elementos F e d que a define.

88

Observemos inicialmente que o único ponto V da parábola pertencente a r é o

ponto médio do segmento FX, o que não é de difícil constatação. Chamamos o ponto V

de vértice da parábola.

No plano, localizamos a diretriz d e o foco F (Figura 5). Consideramos uma

circunferência λ centrada em F e raio x ≥ VF. Traçamos, no semiplano determinado pela

reta d ao qual pertence F, a reta s à distância x de d. Vê-se claramente que o(s) ponto(s)

de intersecção entre a reta s e a circunferência λ pertence(m) à parábola em questão.

Fazendo uso de programa de Geometria Dinâmica (G.D.), podemos ter acesso a esse

lugar geométrico quando variamos x. Contando ainda com esse recurso, desde que se

tenha x ≥ VF, podemos deslocar o foco F e verificar, com isso, as alterações na

parábola. Observemos ainda que o vértice V é o ponto de tangência de λ com s, ao

tomarmos x = VF.

É oportuna a investigação do quociente QF/Qd, para um ponto Q arbitrariamente

tomado nesse plano. Esse quociente é menor do que 1 para Q na região delimitada pela

parábola em que se encontra o seu foco e é maior do que 1 na região complementar.

Esse fato nos diz os locais onde habitam, por assim dizer, as elipses e as hipérboles com

esse foco e essa diretriz, para cada e, tendo como fronteira a parábola em questão.

Figura 5: Construção de parábola definida por foco e diretriz

A parábola pode ser vista ainda como coleção de centros de circunferências que

passam por F e são tangentes a d, como sugere a construção exibida na Figura 6. Para

dado Q em d, o centro P da circunferência tangente a d e que passa por F é a intersecção

da mediatriz de FQ com a perpendicular a d por Q. E se F é centro de uma

circunferência Λ de raio k, é também parábola o lugar geométrico dos centros de

89

circunferências tangentes a Λ e a d. Nesse caso, não é difícil verificar que cada ponto da

parábola de foco F e diretriz d , como ilustrada na Figura 7, é equidistante de d e de Λ.

Figura 6: A parábola como conjunto de centros de circunferências

Figura 7: A parábola como conjunto de centros de circunferências, em duas novas

situações

Esse estudo motiva caracterizações de elipse e de hipérbole como lugares

geométricos também de centros de circunferências. Nas construções associadas a essas

caracterizações, empregamos a definição dessas cônicas via distâncias a focos, como

veremos a seguir. A equivalência entre essas definições pode ser encontrada em [1].

2 Explorando e Construindo a Elipse e a Hipérbole Via

Distâncias a Focos

90

Definições

Sejam F e F’ dois pontos do plano π e seja uma constante 2a > FF’. Elipse é o conjunto

K = {P π ; PF + PF’ = 2a}.

Sendo a constante 0 < 2a < FF’, hipérbole é o conjunto W = {P π ; |PF – PF’|

= 2a}.

Construção da elipse

Consideremos uma circunferência λ de centro F e um ponto F’ na região delimitada por

ela. O lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a λ que passam pelo

ponto F’ é uma elipse (Figura 8). De fato, para cada ponto X de λ, obtemos um ponto P

como intersecção de XF com a mediatriz de XF’ e, sendo r o raio de λ, verificamos que

PF + PF’ = PF + PX = r, o que significa que P está na elipse de focos F e F’.

Figura 8: A elipse como conjunto de centros de circunferências

Uma vez construída por um programa de G.D., é interessante “arrastar” o ponto

X para observar tanto as referidas circunferências tangenciando a circunferência dada

como seus centros percorrendo a elipse.

Assim como na construção da parábola ilustrada pela Figura 7, podemos

imaginar uma circunferência Λ com centro no ponto F’ e raio r’. Os lugares

geométricos dos centros de circunferências tangentes a λ e a Λ são duas elipses

confocais, desde que Λ fique inteiramente contida na região delimitada por λ. A

construção e a justificativa para esse fato seguem.

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Na Figura 9, onde são apresentadas duas situações, em cada qual aparece uma

elipse, traçamos uma semirreta FX, com X um ponto arbitrário de λ. Para obter um

ponto dessa semirreta que seja centro de circunferência tangente às circunferências

dadas, marcamos um ponto D na semirreta, tal que esteja entre F e X , no caso da figura

da esquerda, ou tal que X esteja entre D e F, no caso da figura da direita. Em ambos os

casos, ponhamos DX = r’. O ponto P, resultado da intersecção entre a semirreta FX e a

mediatriz do segmento DF’ pertence a uma elipse de focos F e F’. De fato, na figura da

esquerda temos PF + PF’ = r – PX + PY – r’ = r – r’. À direita, temos PF + PF’ = r –

PX + PY + r’ = r + r’.

Nas duas situações, observamos que a natureza das tangências às circunferências

dadas é distinta, isto é, λ é tangenciada internamente e Λ, externamente.

Figura 9: A elipse como conjunto de centros de circunferências, em duas novas

situações

Construção da hipérbole

Com construção e justificativas análogas conclui-se que a hipérbole é constituída dos

centros de circunferências tangentes a duas circunferências λ e Λ dadas, em que a região

delimitada por uma é disjunta da delimitada por outra. A Figura 10 ilustra as duas

situações para esse caso. Na figura da esquerda temos PF – PF’ = PX + r – (PY + r’) = r

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– r’. À direita, temos PF’ – PF = PY – r’ – (PX – r) = r – r’. O resultado são duas

hipérboles de mesmos focos.

Em ambas as situações, observamos que a natureza das tangências às

circunferências dadas é a mesma, isto é, λ e Λ são tangenciadas externamente.

Figura 10: A hipérbole como conjunto de centros de circunferências, em duas novas

situações

Convém salientar que, para cada caso, existem duas posições para o ponto X em

λ para as quais a reta FX fica paralela à mediatriz de DF’. Pode-se constatar esse fato

com os referidos recursos da informática, sendo razoável admitir que a tal mediatriz,

nessa disposição, é uma assíntota da hipérbole.

Construção da elipse e da hipérbole em situação particular

Para o caso de as circunferências λ e Λ dadas intersectarem-se em exatamente dois

pontos, temos como lugares geométricos dos centros de circunferências tangentes a

estas, tanto elipse quanto hipérbole, de mesmos focos, cada qual com construção e

justificativa inteiramente análoga às estudadas. Observemos que o tipo de cônica

depende natureza das intersecções, como descrevemos anteriormente.

A Figura 11 ilustra a construção da elipse. Para cada ponto X que se considera na

circunferência λ, tem-se PF + PF’ = r – PX + PY + r’ = r + r’.

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Figura 11: A elipse como conjunto de centros de circunferências, em situação particular

Já a Figura 12 ilustra a construção da hipérbole. Observamos, para o ponto X

considerado na circunferência λ, que PF – PF’ = r + PX – PY – r’ = r – r’.

Figura 12: A hipérbole como conjunto de centros de circunferências, em situação

particular

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3 Considerações Finais

Testemunhamos já há algum tempo o ensino da Geometria praticamente desvinculado

ao das Construções Geométricas, prescindindo à importância como instrumento auxiliar

no seu aprendizado. Os programas de computadores desenvolvidos para tanto,

contribuem com a sua reinserção nos currículos escolares. Obstante, é interessante que

sejam aproveitados como assistentes na investigação de propriedades das figuras

construídas previamente com régua e compasso físicos.

Sob esse entendimento, ao propormos a construção das cônicas, tomamos como

base duas de suas definições e exploramos as propriedades que possuem os pontos

construídos. Os recursos da informática empregados, além de atestarem os resultados e

possivelmente conduzirem à descoberta de novas propriedades, imprimem dinâmica à

construção, tão benéfica ao processo de aprendizagem.

Entre muitas, outras maneiras de se obter cônicas podem ser incorporadas a esse

estudo. Para citar um exemplo, aquela a partir de um ponto de um segmento (exceto

suas extremidades e seu ponto médio), quando este mantém suas extremidades

“deslizando” em duas retas perpendiculares, como indica a Figura 13 que segue. Um

tratamento analítico a essa situação também é bem-vindo. Aliás, sob esse tratamento

encontramos generalizações deste caso, como observadas em [2]. Ainda, em [3],

encontramos um estudo sobre posições relativas de retas e parábolas, em afinidade com

os propósitos deste artigo.

Figura 13: Outro meio de se obter uma elipse

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Referências

[1] GARCIA, J. C. Explorando as definições de cônicas: Dissertação. UNESP. Rio

Claro, SP, (2013).

[2] GARCIA, J. C. . Problema gerando problema. Revista do Professor de Matemática,

SBM, v. 65, p. 22, (2008).

[3] GARCIA, J. C. Sobre posições relativas de retas e parábolas. Revista do Professor

de Matemática, SBM, v. 83, p. 24, (2014).

[4] WAGNER, E. Construções Geométricas. SBM, Rio de Janeiro, RJ, (2007).

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