2-A hipérbole

Definição. Sejam 1F e 2F pontos distintos do plano cartesiano, 1 2

1,

2c d F F e o número

a tal que 0 a c . Chama-se hipérbole a curva do plano formada pelos pontos P do plano

que satisfazem a relação

1 2( , ) , 2d P F d P F a (6)

Os pontos 1F e 2F são chamados de focos da hipérbole e as distâncias 1 1,r d P F e

2 2,r d P F de raios focais do ponto P. A reta que contém os focos recebe o nome de

eixo focal. O ponto médio entre 1F e 2F é chamado de centro da hipérbole. O número c é

a distância focal da hipérbole, ou seja, a distância de cada um dos focos ao centro. A reta

perpendicular ao eixo focal passando pelo centro é chamada de eixo normal. Os pontos da

hipérbole sobre o eixo focal são chamados de vértices.

Note que a equação (6) é equivalente a

1 2( , ) , 2d P F d P F a

No caso positivo, a distância de P ao foco 1F é maior que a de P ao foco 2F :

1 2 2( , ) , 2 ,d P F d P F a d P F (7)

No caso negativo verifica-se o contrário, a distância de P ao foco 2F é maior que a de P ao

foco 1F :

2 1 1( , ) , 2 ,d P F d P F a d P F (8)

Um ponto P não pode satisfazer simultaneamente estas duas desigualdades. Isso significa

que a hipérbole é formada por dois conjuntos disjuntos de pontos como mostra a figura 2.

Estes são chamados de ramos da hipérbole. Os pontos sobre o ramo da direita (esquerda)

satisfazem a desigualdade (7) ((8)). A figura 2 mostra o caso especial de uma hipérbole em

que os eixos focal e normal coincidem com os eixos cartesianos OX e OY ,

respectivamente.

Figura 2

A equação canônica da hipérbole

Considere a hipérbole cujo eixo focal coincide com o eixo OX , o eixo normal coincide

com o eixo OY , o centro C coincide com a origem (0,0)O dos eixos de coordenadas, os

focos tem coordenadas 1( ,0)F c e 2 ( ,0)F c , 0c . Seja ( , )P x y ponto da hipérbole.

Usando a fórmula da distância, a relação (6) pode ser expressa como

2 22 2 2x c y x c y a

Passando o segundo radical para o lado direito da igualdade e elevando ao quadrado ambos

os lados, obtemos:

222 ycxaacx

Em seguida, elevamos os membros desta última equação ao quadrado:

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )c a x a y a c a

Como c a , defina √ . Segue, então,

2 2 2 2 2 2b x a y a b ,

ou ainda,

2 2

2 21

x y

a b , (9)

A equação (9) é chamada de equação canônica e a relação , relação

fundamental da hipérbole.

Observações

1. A equação da hipérbole é uma equação do segundo grau nas variáveis x e y .

2. Tomando 0y na equação (9) obtemos que ax . Portanto, 1 ,0V a e 2 ,0V a

são as coordenadas dos vértices da hipérbole sobre o eixo OX e 2a é a distância entre

eles. A equação não tem solução para 0x significando isto que a hipérbole não tem

pontos sobre o eixo OY .

3. Todo ponto ,x y tem abcissa x a ou x a . Dessa forma, a hipérbole é formada

pelo par de curvas situadas uma à direita e a outra à esquerda das retas x a e x a

tendo em comum com estas apenas os vértices. Ao contrário da elipse, a hipérbole não é

uma curva limitada. De fato, da equação segue

2

2 2 2

21

yx a a

b

4. Pela equação, se ( , )P x y é ponto da hipérbole então o ponto ( , )Q x y , simétrico a P

em relação ao eixo OY , o ponto ( , )R x y , simétrico a P em relação ao eixo OX , e o

ponto ( , )S x y , simétrico a P em relação à origem, também são pontos da mesma

hipérbole. Portanto, a hipérbole é simétrica em relação aos eixos OX , OY e à sua

origem. Segue-se daí que a hipérbole é simétrica em relação aos seus eixos focal e

normal e, também, em relação ao seu centro.

Exemplo. Determine as coordenadas dos vértices e focos da hipérbole cuja equação

canônica é

2 2

164 36

x y

Solução. Comparando esta equação com a equação canônica geral (9), temos 8a e 6b .

Portanto, os seus vértices são: 1 8,0V e 2 8,0V . Pela relação 2 2 2c b a obtemos

10c . Assim, os focos estão nos pontos 1( 10,0)F e 2( 10,0)F .

Retângulo fundamental

O retângulo ABCD de lados a2 e b2 mostrado na Figura 6.9 e tangente à hipérbole nos

seus vértices é chamado de retângulo fundamental da hipérbole. A denominação “eixos da

hipérbole” é aplicada aos segmentos de comprimento a2 e b2 que ligam os pontos médios

dos lados opostos do retângulo fundamental. O segmento 2b é também chamado de eixo

transverso ou normal. Como, pela relação fundamental da hipérbole, 222 bac , o

comprimento da diagonal do retângulo fundamental é c2 . Além disso, a razão b

a,

coeficiente angular da diagonal, caracteriza sua forma. Quanto menor esta razão, mais

alongado ou “achatado” é o retângulo relativamente ao eixo OX e, por conseguinte, a

hipérbole.

Figura 3

Obs. Na Figura 3, desconsidere as retas e .

Assíntotas da hipérbole

As retas 1 :

bs y x

a e

2 :b

s y xa

são chamadas de retas assíntotas da hipérbole. Observe

que as diagonais do retângulo fundamental estão sobre as assíntotas. Em especial, no caso

a b , as assíntotas são perpendiculares entre si. A hipérbole, nesse caso, é chamada de

equilátera.

Teorema. As assíntotas não interceptam a hipérbole.

Demonstração: Consideremos a assíntota . Suponha que exista um ponto ( )

e que também pertence à hipérbole. Então as coordenadas de Q devem satisfazer a equação

da reta , isto é,

0 0

by x

a

e, também, a equação da hipérbole

2 2

0 0

2 21

x y

a b

Destas duas relações segue um absurdo, pois teríamos 22 2 2

0 0 0 0

2 2 2 2

11 0

x y x bx

a b a b a

Isso significa que não pode existir um ponto comum à hipérbole e à assíntota . O mesmo

vale para .

Há pontos da hipérbole tão próximos de uma assíntota quanto desejarmos mas as assíntotas

jamais interceptam a hipérbole.

Excentricidade da hipérbole

Dada uma hipérbole com a equação (10) e distancia focal c , o número c

a é chamado de

excentricidade da hipérbole. Como ac , temos 1 . Lembrando que 222 bac ,

obtém-se

2

2

1a

b (12)

Note que diminuindo o valor da razão b

a a excentricidade também diminui; do contrário,

ela aumenta. Quanto menor (maior) esta razão, mais alongado ou “achatado” é o retângulo

fundamental na direção do eixo OX ( OY ) e, também, a hipérbole. Portanto, a

excentricidade mede o grau de “achatamento” da hipérbole. No caso da hipérbole, quanto

menos achatada em relação ao eixo mais excêntrica ela é.

Exercícios

1) Prove que se 0 0,x y satisfaz a equação da hipérbole, então os pontos 0 0,x y ,

0 0,x y , e 0 0,x y também a satisfazem. Portanto, a hipérbole é simétrica em

relação aos eixos coordenados e em relação à origem.

2) Determine a equação da hipérbole com focos sobre o eixo OY nos pontos 1 0,F c e

2 0,F c , 0c , e vértices 1 0,V a , 2 0,V a .

3) Determine os vértices, focos, e assíntotas das hipérboles:

a) 2 24 9 36x y

b) 2 24 4x y

c) 2 29 16 144x y

d) 2 216 25 400x y

e) 2 24 49 196x y

4) Determine a equação da hipérbole com

a) vértices 3,0 e focos 5,0 .

b) vértices 4,0 e excentricidade 3

2.

c) focos 6,0 e assíntotas 5 2 5y x .

5) Uma hipérbole passa no ponto P e uma de suas assíntotas é a reta r . Determinar a

equação da hipérbole nos casos

a) P (6, 2) e r : 2 5 0x y ,

b) P (3,-1) e :r 2 3 2 0x y .

6) Provar que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera (isto é, com , na

equação) é igual a 2 .

7) Provar que uma reta qualquer paralela a uma assíntota de uma hipérbole intercepta a

curva num único ponto.