Universidade Federal do Triângulo Mineiro – UFTM

Prof.: Daniel Oliveira Veronese

Cônicas

Hipérbole

Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Consideremos no plano dois pontos distintos, F1

e F2, tal que a distância d(F1,F2)=2c. Seja a um número real tal que 2a<2c.

Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que:

dá-se o nome de hipérbole.

Relações de Simetria na Hipérbole

Elementos da Hipérbole Focos: são os pontos F1 e F2 Distância Focal: é a distância 2c entre os focos Centro: é o ponto médio C do seguimento F1 F2 Eixo Real ou Transverso: é o seguimento A1A2 de comprimento 2a Eixo Imaginário ou Conjugado: é o seguimento B1B2 de comprimento 2b Vértices: são os pontos A1 e A2 Excentricidade: é o número e(e>1) dado por: e=c/a.

Observação

O valor de b é definido pela seguinte relação:

Observação Mantendo o raio c da figura anterior e tomando

um valor para “a” menor do que o anterior, o novo retângulo MNPQ será mais “estreito” e, em consequência a abertura será maior.

Mas, diminuir o valor de “a” mantendo “c” fixo significa significa aumentar o valor de e=c/a. Assim, quanto maior for a excentricidade, maior será a abertura.

Equação da Hipérbole de Centro na Origem do Sistema

1º caso: o eixo real está sobre o eixo dos x

Da definição da hipérbole temos que:

ou seja:

Fazendo as simplificações necessárias e lembrando que podemos concluir que:

2º caso: o eixo real está sobre o eixo dos y

Nesse caso, a equação reduzida da hipérbole é dada por:

Equação da Hipérbole de Centro Fora da Origem do Sistema

1º caso: o eixo real é paralelo ao eixo dos x

Equação da hipérbole:

2º caso: o eixo real é paralelo ao eixo dos y

Equação da Hipérbole:

Exemplos

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