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UMA PROPOSTA PARA A VERICAÇÃO DE PONTOS EM UM

INTERVALO

Willian Aparecido Mazoni

naylliw8@hotmail.com

Orientadora: Prof (a). Dr (a). Rita de Cassia Pavani Lamas

rcplamas@gmail.com

Resumo: A maioria dos alunos não entende a questão de infinitos pontos em um

intervalo AB. Em geral, eles apenas aceitam essa afirmação colocada pelo professor. Neste

relato é apresentado como essa questão foi trabalhada com os alunos do 9°ano da Escola

Municipal Paul Percy Harris, em São José do Rio Preto-SP, via a Metodologia de Resolução

de Problemas. Foi inicialmente lançada a seguinte pergunta aos alunos: Quantos pontos

existem no segmento AB? Distintas respostas foram dadas e a partir delas foram formulados

problemas para filtrar suas idéias. Foi observado que quando o aluno tem suas idéias iniciais

confrontadas, forçando-o a pensar e a buscar a resposta certa. O problema faz com que eles

vivenciem suas dúvidas e certezas e assim formulem um pensamento mais concreto, de forma

construtiva e dedutiva. A metodologia de ensino proposta auxiliou na compreensão do

conceito e na superação de dúvidas anteriores. Esse trabalho foi desenvolvido junto ao

subprojeto de Licenciatura em Matemática, vinculado ao Programa Institucional de Bolsa e

Iniciação à Docência (PIBID - Capes 2009) no primeiro semestre de 2013.

Palavras-chave: Metodologia de Resolução de Problemas, idéias, aprendizagem,

Existência de Pontos, Segmento.

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1. Introdução

Convidamos os alunos a pensar sobre este problema: “Quantos pontos eu posso

encontrar no segmento AB?”. Através das respostas dados verificamos que eles tinham muitas

dificuldades em entender o conceito de “infinito” e de outras abstrações matemáticas. Decidi

usar a Metodologia de resolução de problemas para auxiliar na compreensão desses conceitos,

pois essa metodologia é vista como um possível caminho para dinamizar o Ensino da

Matemática. Essa técnica "baseia-se na apresentação de situações abertas e sugestivas que

exijam dos alunos uma atitude ativa e um esforço para buscar respostas, construindo seu

próprio conhecimento". Portanto, como os alunos possuem, em geral, dificuldade para resolver

problemas de matemática, temos como objetivo desenvolver e aplicar problemas de que

abordem a realidade do estudante, de forma que a busca pela sua solução seja mais

interessante e apresente desafios.

Foi proposta para a turma a seguinte questão: “Um menino queria ir até o

mercadinho do outro lado da rua para comprar biscoito. Ele anda durante muito

tempo, mas nunca chega, mesmo que aumente a sua velocidade. Por quê?”.

Problema esse que foi tirado do passado, mais especificamente da Grécia antiga,

falando sobre os paradoxos de Zenon e a História da Matemática. Mostrando que o passado e

o presente estão interligados pela matemática.

Este Trabalho foi desenvolvido em sala de aula na Escola Municipal Poul Percy Harris

de São José do Rio Preto-SP com uma turma de alunos do 9°ano. Os alunos fazem parte de um

projeto chamado “VESTIBULINHO” , a qual tem como objeto preparar os alunos para

prestar vestibulares para ingressar em escolas Técnicas como a Escola Estadual

Etec Philadelpho Gouvêa Netto e a Escola SENAI Antônio Devisate.

2. O Relato da Atividade

2.1. O inicio

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A Geometria é um dos pilares da matemática e como tal é sempre cobrada em

vestibulares. A nossa história começa aqui, na introdução das noções básicas de geometria

plana, como ponto, a reta e o plano. Falamos sobre como definir um ponto, os axiomas de

Euclides, sobre medidas de segmentos, ponto médio, retas e semi-retas.

A fim de se aprofundar na matéria foi feita à turma a seguinte pergunta: “Quantos

pontos eu posso encontrar no segmento AB?”.

Os alunos se manifestaram de várias formas:

-Nenhum ponto.

-10 pontos

-Vários pontos, mas não infinitos.

-Infinitos pontos.

Para verificar a resposta certa, cada aluno foi até a lousa e marcou um ponto entre A e

B. Depois todos perceberam que poderia ter mais pontos e assim os alunos foram de novo à

lousa e marcaram mais pontos entre A e B. E assim foram indo até o espaço entre A e B ficar

tão cheio de pontos que não dava para colocar mais na lousa.

.__._____._._.__.__.__._._._._______.__._._.

A C DE F..... B

Ao todo eles marcaram 57 pontos entre A e B. Depois perguntei se ainda eu poderia

colocar mais pontos entre eles e responderam que eu só poderia colocar mais pontos se esse

segmento fosse aumentado. E dai calcularam que quanto maior o segmento, maior o número

de pontos. E isso é fácil de acreditar, pois é natural pensar que quanto maior for algo, mais

coisas cabem nele. Isso fez aqueles que acreditavam que existiam infinitos pontos entre A e B

voltarem atrás na resposta, pois essa afirmativa não se verificava na prática feita por eles.

Esse é o grande paradigma da matemática, teoria e a pratica. A matemática está fixada

às vezes em um ensino tradicional e estritamente teórico, longe das situações do cotidiano do

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aluno. O papel do professor nessa hora é de mudar a maneira de dar a aula, explicando a

matemática em sua essência, levando os alunos a entenderem as abstrações que nela existem

até chegar ao concreto.

Os alunos concluíram que em uma reta existem infinitos pontos, pois todos

compreendiam que a reta é infinita, mas em um segmento limitado isso seria impossível, pois

por maior que seja o segmento, uma hora o espaço entre AB ficaria lotado. Concluindo então

que existem muitos pontos entre A e B, mas não infinitos.

Nesse momento eu pensava em como poderia dizer que existem infinitos pontos entre

AB de maneira que todos os alunos pudessem verificar e compreender a idéia. Surgiu então a

necessidade de buscar um problema que conseguisse ilustrar de uma maneira mais

significativa o conceito.

Segundo DANTE, (L.R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 1998).

“Um problema é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e

conhecimentos específicos para solucioná-la. O autor ressalta que um bom problema deve”:

� ser desafiador para o aluno;

� ser real;

� ser interessante;

� ser o elemento de um problema realmente desconhecido;

� não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas;

� ter um nível adequado de dificuldade.

Concluímos então que um bom problema deve ser capaz de instigar o aluno a resolvê-

lo. Deve ser interessante, criativo, desenvolver seu pensamento, desafiá-lo constantemente e

desencadear no aluno um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade e

conformismo, pois ao contrário ele ficará desmotivado.

Foi então que resolvi procurar no passado da matemática algo que pudesse ajudar.

2.2. Breve história da Geometria

A geometria nasceu a centenas de anos, com as primeiras civilizasses, sendo com os

Egípcios há 5.000 anos os primeiros estudos de ordem cientifica encontrados. Mas foi com

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Euclides de Alexandria (500 a.C.), muitas vezes referido como o “Pai da Geometria”, que ela

tomou forma, ganhando um rigor matemático teórico mais bem definido.

Segundo a história, quando Ptolomeu I perguntou a Euclides se não havia caminho

mais curto para a geometria que Os Elementos, ele respondeu: "não há estrada real para a

geometria". Dai chegamos até Zenon (488-430 a.C.) e seus argumentos sobre a geometria e

suas relações métricas.

Discípulo e defensor de Parmênides, Zenon de Eléia sistematizou o método da demonstração

por absurdo e foi considerado por Aristóteles como o inventor da dialética. Partindo das premissas de

seus oponentes, ele as reduzia ao absurdo.

Zenon deixou quarenta argumentos dos quais apenas nove foram conservados. Os argumentos

são sobre certos problemas fundamentais que envolvem noções de grandezas, multiplicidade, espaço,

movimento, tempo e percepção sensível. Dos argumentos de Zenon, tornaram-se mais famosos os que

visam diretamente ao problema do movimento. A Dicotomia e o Aquilies garantem que o movimento é

impossível sob a hipótese de subdivisibilidade indefinida do espaço e do tempo, ou seja, eles

terminariam indivisíveis.

Dicotomia (divisão em dois)

É o argumento que diz que antes que um objeto possa percorrer uma distância dada, deve

percorrer a primeira metade dessa distância; mas antes disso, deve percorrer o primeiro quarto; e antes

disso, o primeiro oitavo e assim por diante, através de uma infinidade de subdivisões. O indivíduo

interessado em se colocar em movimento precisa fazer infinitos contatos num tempo finito; mas é

impossível exaurir uma coleção infinita. Portanto é impossível iniciar o movimento.

Aquiles e a tartaruga

Este paradoxo é semelhante ao primeiro, apenas à subdivisão infinita é progressiva em vez de

regressiva. Aqui Aquiles aposta corrida com uma tartaruga que sai com vantagem e por mais depressa

que corra, não pode alcançar a tartaruga, por mais devagar que ela caminhe. Pois, quando Aquiles

chegar à posição inicial da tartaruga, ela já terá avançado um pouco; e quando cobrir essa distância, a

tartaruga terá avançado um pouco mais. E o processo continua indefinidamente, com o resultado que

Aquiles nunca pode alcançar a lenta tartaruga.

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2.3. O problema proposto

Baseado nos paradoxos da dicotomia e do Aquiles e a tartaruga, e nas definições de

Dante, foi proposto um problema de fácil entendimento e que os alunos pudessem verificar na

pratica, no seu dia a dia:

“O menino que queria atravessar a rua”:

Um menino queria ir até o mercadinho do outro lado da rua para comprar biscoito. Ele

anda durante muito tempo, mas nunca chega, mesmo que aumente a sua velocidade. Por quê?

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Esse problema consiste em mostrar para os alunos que se você andar metade da

distancia até o outro lado, depois mais a metade da distancia do que falta, e assim

sucessivamente, mesmo que você faça isso durante toda a sua vida, você nunca chegará até o

outro lado.

Todos os alunos disseram que ele chegaria até o outro lado e até riram e fizeram piadas

sobre o fato do aluno não conseguir chegar até lá. Então eu disse:

- Mas e se eu disser que há uma maneira do menino seguir em direção ao bar e nunca

chegar até ele, não importando a sua velocidade ou o tempo que ele demorar?

Todos duvidaram, então continuei;

- Se estabelecermos que o garoto só vá andar de metade em metade, vocês ainda acham

que o garoto vai chegar até o outro lado?

Os alunos responderam que sim.

Vamos verificar:

._________________.________.___.__._._.

A C D E F G B

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Vamos sempre se aproximando mais e mais de onde queremos chegar, só que nunca

chegamos, pois não importa a distância, grande ou pequena, sempre existe sua metade, por

menor que seja.

Isso causou um espanto neles, pois eles perceberam que era verdade, mas aquilo não

era lógico, pois como alguém que fosse atravessar uma rua e andasse por muito tempo, nunca

pudesse chegar até o outro lado?

Muitos riram, pois não queriam acreditar, mas todos perceberam que aquilo era

possível e que fazia sentido.

E assim eles puderam verificar que em um intervalo AB, existem infinitos pontos, pois

a cada metade que pegamos podemos associá-la a um ponto e como existem infinitas metades,

existirão infinitos pontos.

3. Conclusão

Concluímos que a maioria dos alunos não entende a questão de pontos infinitos entre

um intervalo AB, eles apenas aceitam o discurso do professor como verdade absoluta, sem

refletir a questão em si. Mas quando têm suas idéias iniciais confrontadas isso os força a

pensar e a buscar a resposta certa, pois o problema faz com que eles vivenciem suas dúvidas e

certezas e assim formulam um pensamento mais concreto, de forma construtiva e dedutiva.

Levando-os a compreender verdadeiramente o conceito por traz do problema e a superar suas

dúvidas anteriores. Vimos isso na fala de POLYA (1978); [...] O real prazer de estudar

matemática está na satisfação que surge quando o aluno por si só resolve um problema.

E foi esse o argumento que fez essa atividade ter o resultado esperado, pois o professor

foi o mediador da relação aluno/conhecimento, apenas indicando o caminho a qual foi

percorrido pelo aluno. Desenvolvendo algo neles que é tão pouco trabalhado em sala de aula;

”A autonomia”. Palavra que foi esquecida com os métodos tradicionais que a matemática às

vezes está enraizada. É obvio que o professor tem que ajudar o aluno, mas assim como a

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mamãe passaro, o professor não pode bater as azas para o aluno, ele só pode ensiná-lo a voar.

Bater as azas depende do esforço próprio e do estimulo dado da escola e da família.

4. Referências

DANTE, L.R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 2ªed. São Paulo:

Ática, 1998.

POLYA, G. A. A arte de Resolver Problemas. Tradução: Heitor Lisboa de Araújo.

Interciência, 1978.

SOARES, M. T. C., PINTO, N. B. Metodologia da resolução de problemas. In: 24ª

Reunião.

HERMES, A. PEDROSO. Apostila de História da Matemática. Unesp-S.J.

Rio Preto.

http://www.mat.ibilce.unesp.br/personal/hermes/apostila_hist_mat.pdf