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3 MATEMÁTICA: DO SÉCULO XVI AO XVIII

No período histórico compreendido nesta unidade, a matemática se transformou enormemente. No século XVI houve a gênese dos números complexos, que são fundamentais no eletromagnetismo. No século XVII os logaritmos foram inventados e a geometria analítica, desenvolvida por Descartes e Fermat, determinou os fundamentos da teoria dos números; a teoria das probabilidades se desenvolveu e o cálculo infinitesimal e o integral foram construídos por Newton e Leibniz, entre outros. Finalizando, analisaremos as enormes contribuições de Euler, no século XVIII.

3.1 Números complexos

Os trabalhos de Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardano e Bombelli levam ao desenvolvimento dos números complexos, que surgem, inicialmente, para auxiliar na resolução de equações de terceiro grau. Os matemáticos queriam achar uma fórmula genérica para resolvê-las, assim como a que existia para as de 2º grau. Nesse campo, vale ressaltar as contribuições especiais de dois matemáticos: Nicolo Fontana e Girolamo Cardano.

Nicolo Fontana (1499-1557)

Nicolo Fontana ou Tartaglia, como era seu apelido, nasceu em Bréscia na Itália. Seu apelido, Tartaglia, significa gago, porque quando criança ele foi ferido na boca durante a invasão da cidade pelos franceses, e não mais conseguiu falar adequadamente. Era

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o pobre, só aprendeu a ler e a escrever aos catorze anos e foi um grande professor de matemática.

Ele se envolveu numa disputa com Fiore, um outro matemático da época, sobre a resolução de equações cúbicas do tipo x3+px=q. Na disputa havia trinta questões, e Tartaglia ganhou de Fiore por 30 a 0, o que o tornou famoso. Contudo, Tartaglia decidiu não publicar a solução das cúbicas, contando apenas ao amigo Cardano e solicitando segredo quanto à resolução das equações, mas Cardano, ao publicar o livro Ars Magna, revela o segredo.

A fórmula de Tartaglia para a equação x3+px=q foi assim explicada pelo autor:

Quando o cubo com a coisa em apreçoSe igualam a qualquer número discretoAcha dois outros diferentes nissoDepois terás isso por consensoQue seu produto seja sempre igualAo cubo do terço da coisa certaDepois, o resíduo geralDas raízes cúbicas subtraídasSerá tua coisa principalNa segunda destas operações,Quando o cubo estiver sozinhoObservarás estas outras reduçõesDo número farás dois, de tal formaQue um e outro produzam exatamenteO cubo da terça parte da coisa.Depois, por um preceito comumToma o lado dos cubos juntosE tal soma será seu conceito.Depois, a terceira destas nossas contasSe resolve como a segunda, se observas bemQue suas naturezas são quase idênticas.

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oIsto eu achei, e não com passo tardo no mil quinhentos e trinta e quatroCom fundamentos bem firmes e rigorososNa cidade cingida pelo mar.

O que equivale a:

xq p q q q p=

+

+

− − +

+

2 3 2 2 2 3

2 3

3

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Girolamo Cardano (1501-1576)

Gênio matemático e médico, nascido em Milão. Tinha muita habilidade em matemática e chegou a assessorar Leonardo da Vinci em questões geométricas.

É o autor de um dos mais importantes livros de matemática: o Ars Magna (Arte maior), escrito em latim e dedicado à álgebra.

No capítulo 11 ele inicia o tratamento das equações cúbicas, estudando treze diferentes tipos, todas com coeficientes positivos, a saber:

x3 + cx = dx3 = bx2 + dx3 + bx2 + cx = dx3 = bx2 + cx + dx3 = cx + dx3 + bx2 = dx3 + d = bx2 + cxx3 + bx2 + d = cxx3 + d = cxx3 + d = bx2

x3 + bx2 = cx + dx3 + cx + d = bx2

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o Ao estudar as equações, Cardano se deparou com um coeficiente negativo. Ele vislumbrou os números complexos, mas não conseguiu identificá-los. Ao aplicar seu método para resolver a equação x3 = 15x + 4, ele se deparou com a raiz de um número negativo, contudo ele sabia que uma possível solução para a equação é x = 4, e passou, então, a procurar as outras duas, mas a interpretação adequada só veio depois de treze anos com Gauss.

O problema em questão foi o seguinte:

Construir um paralelepípedo tendo área da base 15 cm2 e altura igual à aresta do cubo cujo volume é 4 cm3 a mais que o volume do paralelepípedo.

Considerando que seja x a aresta do cubo, então:

Vcubo = x3; Vparalelepípedo = 15x, portanto,

Vcubo = Vparalelepípedo + 4 cm3 Isto é, x3 = 15x + 4.

Ao aplicar a fórmula, chega-se à seguinte resposta:

x = + − + − −2 121 2 1213 3 . Como interpretar esse resultado, se não existe −121? O mérito de Cardano foi chamar a atenção para esse fato; no caso, ele não percebeu a importância dessas raízes e se referia a elas como “sutis e inúteis”.

Em 1560, Raphaelli Bombelli (1530-1579) percebe que a diferença entre as raízes cúbicas era do tipo: x a b a b= + − + − −( ) ( )1 133 33 e, então:

x a b a b a= + − + − − =1 1 2 . Era sabido, como já mencionamos, que uma raiz possível é x = 4, substituindo-se x por 2a obtém-se a = 2. O cálculo de b pode ser obtido fazendo-se:

( )

.

( ) ( )

2 1 2 121

8 12 1 6 1 2 121 1

8 6 12 1

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2 3

+ − = + −

+ − − + − = + −

− + − − =

b

b b b

b b 22 11 1

8 6 2 6 6 1 1

12 11 1 1 1

2 2 2

3 3 3

+ −∴ − = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = ±

− = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =b b b b

b b b b

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oSobre o desenvolvimento dos complexos vale ressaltar que o símbolo −1 foi proposto por Albert Girard em 1629, usado pela primeira vez por Euler, em 1777, e disseminado por Gauss, em 1801, que denominou esses novos números de complexos; os termos real e imaginário foram empregados inicialmente por Descartes em 1637.

Entre os feitos matemáticos no século XVI, além do estudo das equações cúbicas e quárticas, estão a expansão da álgebra simbólica, o cálculo com numerais indo-arábicos e o uso das frações decimais.Nesse sentido, grande contribuição foi dada por Viète.

3.2 François Viète e a álgebra

Na França o maior matemático do século XVI foi um advogado, membro do parlamento bretão. Viète (1540-1603) foi conselheiro do rei Henrique III e depois de Henrique IV e dedicava-se à matemática nas horas vagas. Sua obra inclui trabalhos de trigonometria, álgebra e geometria. Escreveu, em 1579 Canon mathematicus seu ad triangula, livro no qual estuda triângulos planos e esféricos, aplicando álgebra à trigonometria e à geometria. Foi um dos matemáticos que muito contribuiu com o desenvolvimento da simbologia algébrica. Quando servia a D. Henrique de Navarra, durante a guerra, sempre decifrava as mensagens em códigos dos inimigos, tanto que os espanhóis diziam que ele tinha um pacto com o demônio.

Uma de suas mais importantes contribuições foi no campo da álgebra. Viéte denominou a incógnita, que chamava de “a coisa”, por símbolo literal, em geral uma vogal para representar a quantidade desconhecida e uma consoante para representar grandeza ou número conhecido. Ele distinguia claramente parâmetro de incógnita. Na aritmética, defendia o uso de frações decimais em vez de sexagesimais.

Viéte sugeriu novas formas de resolução das cúbicas. Seu método consistia em reduzi-las à forma padrão x3 + 3ax = b, e

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o introduzir uma quantidade desconhecida y relacionada com x pela equação y²+xy=a, transformando a cúbica em x em uma equação quadrática em y2. Viète estudou algumas das relações entre raízes e coeficiente de uma equação e chegou perto de estabelecê-las, o que, no entanto, coube apenas a Girard, em 1629.

A partir daí, estava pronto o cenário para o grande desenvolvimento matemático ocorrido entre os séculos XVII e XIX.

3.3 A invenção dos logaritmos

No século XVII há um deslocamento da atividade matemática da Itália para a França e para a Inglaterra. O desenvolvimento da astronomia, da navegação, do comércio e da engenharia demandou cálculos matemáticos; assim, a pesquisa passou a ser intensamente incentivada. Descobrir um método de simplificação de cálculos rápido e eficiente era preocupação central. Nesse sentido, os matemáticos usavam tabelas que transformavam produtos em somas. Nesse contexto, destacou-se Napier, que tentou de início simplificar multiplicações de senos. Estudemos um pouco sobre ele.

John Napier (1550-1617)

Napier era escocês, descendente de uma família nobre das proximidades de Edimburgo. Teve aulas particulares com importantes professores escoceses, e aos treze anos ingressou na Universidade de St. Andrews. Durante parte de sua vida dedicou-se a combater o catolicismo. Além da matemática, era um grande inventor, tendo criado diversas máquinas de guerra.

O legado de Napier à matemática inclui: os logaritmos,

fórmulas para resolução de triângulos esféricos e a criação de um instrumento usado para multiplicações, divisões e extração de raízes quadradas.

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oEm 1590 ele descobriu os logaritmos que simplificam os cálculos usando expoentes. Essa descoberta ocorreu quando Napier procurava uma relação de correspondência entre as progressões aritméticas e as progressões geométricas, com o objetivo de simplificar cálculos envolvendo multiplicações e divisões, transformando-as em adições e subtrações. No livro Mirifi Logarithmorum Canonis Descriptio, Napier apresentou sua descoberta, que compara os termos de uma progressão aritmética e uma geométrica.

Na verdade, ideias semelhantes às de Napier foram desenvolvidas por Jobst Burgi, na Suíça, mas este só publicou suas descobertas vários anos depois. Os princípios fundamentais eram os mesmos, havendo apenas diferenças de nomenclatura.

A primeira tábua de logaritmos foi publicada por Napier em 1614. Para ilustrar o funcionamento da tábua utilizaremos como exemplo um logaritmo de base 2, mas o método se aplica a qualquer base.

Consideremos a tabela abaixo. Na primeira linha, temos uma progressão geométrica da base 2 e, na segunda linha, temos as potências correspondentes que formam uma progressão geométrica.

1 2 4 8 16 32 64 128 256 312 1024 2048 4096 8192

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Observemos que: 20=1, 21=2, 22=4, 22=8, 24=16, 25=32 etc.

Para calcular o produto de, por exemplo, 32 por 64, escrevemos esses números em potências de base 2, a seguir somamos os expoentes e procuramos o resultado na segunda linha da tabela; o produto procurado está logo acima, na primeira linha. No exemplo temos: 25=32 e 25=64, cuja soma de expoentes é 11, que corresponde na tabela a 2048, que é o resultado do produto.

A ideia genial de transformar produto em somas faz com que os logaritmos tenham aplicações para a simplificação de cálculos na física e na astronomia.

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o Definição: log bxa b a⇒ = , sendo a>0; b>0 e b ≠1.

Algumas bases se tornaram de uso mais frequente; são elas a base decimal e a base natural. A base decimal se desenvolve por estudos conjuntos de Napier e Henry Briggs, um professor inglês, por isso são muitas vezes referidos como logaritmos de Briggs. A base denominada natural foi desenvolvida por Euler e tem a seguinte definição: loge x = ln x, sendo o número e = 2,789. Ela é muito utilizada na biologia.

3.4 O racionalismo e a geometria analítica

A Europa moderna, na época de Descartes, estava envolvida em guerras que destruíam as cidades e empobreciam as sociedades, modificando a forma de viver e pensar, levando à consolidação do Estado moderno. É nesse contexto, que Descartes concebeu o racionalismo.

René Descartes (1596-1650) era de família nobre, estudou com os jesuítas e depois cursou direito. Dedicou-se inicialmente à carreira militar, servindo sob as ordens de Maurício de Nassau, o qual muito auxiliou com seu conhecimento matemático. Somente após o abandono da vida militar é que ele passou a se dedicar totalmente à filosofia e à matemática.

A obra que o tornou mais conhecido foi o Discours de la Méthode (Discurso do método), no qual discorre como conduzir bem a razão para procurar a verdade das ciências. Nessa obra ele lançou as bases do racionalismo. Esse discurso na verdade era uma introdução ao seu livro dividido em três partes: La dioptrique, Les météores e La geometrie, versando, respectivamente, sobre óptica, fenômenos atmosféricos e um novo campo na geometria.

No campo da matemática, sua Geometrie foi a grande contribuição: ele aplica álgebra à geometria, criando a geometria analítica. O método desenvolvido por ele consiste em atribuir coordenadas a cada ponto do plano (e depois do espaço) a partir

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ode referenciais, ou seja, as coordenadas cartesianas, e atribuir a retas, planos e demais figuras, sentenças algébricas.

O próximo expoente do século foi Blaise Pascal.

3.5 Teoria das probabilidades: Blaise Pascal e Fermat

Blaise Pascal (1623-1662) nasceu em Clermont-Ferrand, na França, e morreu em Paris. Nesse curto espaço de tempo escreveu seu nome na História da Matemática. Desde jovem, seu gênio para a matemática foi percebido. Ainda criança, uma vez seu pai notou que ele estava desenhando, no piso, com carvão, algumas figuras geométricas e observou que ali se encontravam várias das proposições de Euclides que o menino recriara.

Na física, Pascal contribuiu no campo da hidrostática em sua obra Princípio da hidrodinâmica de Pascal, no qual estuda a pressão dos fluidos e desenvolve estudos sobre a pressão atmosférica.

Aos 17 anos, descobriu e publicou uma série de teoremas em geometria projetiva, que era um campo novo e fundamental para a aviação. Aos 19, inventou o que pode ser considerada a primeira máquina de calcular, a pascalina de 1642.

A partir de 1647, Pascal dedicou-se apenas à aritmética. Ele desenvolveu em parceria com Fermat a teoria das probabilidades, a fórmula de geometria do acaso e o tratado sobre as potências numéricas. Atualmente, seu nome está ligado ao Triângulo de Pascal, embora se saiba que Tartaglia e outros matemáticos trabalharam anteriormente com tal triângulo.

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o O triângulo de Pascal

Fermat: geometria analítica e probabilidades

Pierre de Fermat (1601-1665) era francês, graduado em direito, e a matemática era seu hobby. Fermat foi responsável pelo desenvolvimento dos fundamentos da geometria analítica, junto com Descartes. No caso, a ideia central era associar equações a curvas e superfícies, e Fermat estudava o lugar geométrico de uma curva e sua correspondente equação. Contudo, a geometria analítica de hoje apresenta pequenas semelhanças com a proposta por Fermat e Descartes. Por exemplo, apenas Fermat usou um par de eixos ortogonais.

Fermat não se preocupava em publicar seus trabalhos, mas costumava desafiar outros matemáticos à resolução de problemas, o que fez com que se envolvesse em disputas e criasse inimizades.

Uma de suas maiores contribuições foi no campo das probabilidades. Fermat correspondeu-se com Blaise Pascal,

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oque escreveu ao amigo contando-lhe sobre um problema. Tal questão, proposta por um amigo de Pascal que, frequentemente, apostava em jogos de azar, era a seguinte:

Jogando um par de dados 24 vezes sucessivas, é vantajoso apostar que em nenhuma das 24 vezes sairá 6 nos dois dados ou é melhor apostar que isto não ocorre, ou seja, pelo menos uma vez sairá 6 nos dois dados?

Pascal interessou-se e escreveu a Fermat sobre esse tipo de problema. Foi, então, que da correspondência desses dois matemáticos originou-se a teoria das probabilidades.

Outro problema que foi discutido na correspondência entre os dois matemáticos foi o seguinte:

Dois jogadores com igual perícia, aos quais faltam a e b pontos, respectivamente, são interrompidos durante um jogo de azar que envolve uma quantia de dinheiro apostada. Dada a pontuação do jogo naquela altura, como deve ser dividido o dinheiro apostado?

Pascal resolveu da seguinte forma:

Suponhamos que dois jogadores tenham apostado 32 moedas cada um em um jogo de dados. O total seria ganho pelo jogador que primeiro obtivesse três vezes, seguidas ou não, o número em que apostou. Suponhamos, também, que o primeiro jogador tenha vencido duas rodadas e o segundo jogador tenha vencido apenas uma. A rodada que se segue determina que se a vitória for do primeiro jogador, este levará todo o dinheiro em jogo, a saber, 64 moedas. Mas, se a vitória for do segundo jogador, os dois ficam empatados e, por consequência, se tiverem que encerrar o jogo, cada um receberá o que apostou, ou seja, 32 moedas. Portanto, se o jogo tiver que ser interrompido antes dessa rodada, o primeiro jogador deverá ficar com 48 moedas e o segundo jogador com 16 moedas.

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o Dando sequência às possibilidades em relação ao mesmo jogo, imaginemos que o primeiro jogador tenha vencido duas rodadas e o segundo jogador não tenha conseguido vencer nenhuma rodada. Repetindo o raciocínio anterior, teríamos a seguinte conclusão: se o primeiro jogador vencer a próxima rodada, receberá 64 moedas, mas, se perder, e o jogo vier a ser interrompido, ele receberá 48 moedas. Desta forma, o primeiro jogador terá, nesse momento, 48 moedas asseguradas, devendo ser divididas as 16 moedas restantes, isto é, o primeiro jogador poderia ganhar 56 moedas.

Na situação em que o primeiro jogador venceu uma única rodada e o segundo jogador não tenha conseguido vitória nenhuma, no caso de interrupção, o primeiro jogador deverá receber 44 moedas, pois se perdesse a próxima rodada receberia 32 moedas, mas se a vencesse receberia 56 moedas. Tendo, portanto, o primeiro jogador 32 moedas asseguradas e o segundo jogador 8 moedas asseguradas, devendo ser divididas apenas as 24 moedas restantes.

Fermat resolve de uma outra maneira, que foi a seguinte:

Suponhamos que o primeiro jogador venceu uma partida e o segundo jogador nenhuma, sabemos que depois de mais quatro partidas o jogo seria concluído, pois obrigatoriamente um dos dois terá os três pontos necessários.

Indicando por a uma partida vencida pelo primeiro e por b a partida vencida pelo segundo, poderia ocorrer uma das seguintes situações:

1- a aaaa 9- a baaa

2- a aaab 10- a baab

3- a aaba 11- a baba

4- a aabb 12- a babb

5- a abaa 13- a bbaa

6- a abab 14- a bbab

7- a abba 15- a bbba

8- a abbb 16- a bbbb

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oObservamos que existem 11 situações que são favoráveis para o primeiro jogador e apenas cinco que favorecem o segundo jogador, do total de 16 possíveis. Assim 11

16.64 = 44.

Observamos que ambos os matemáticos chegam à mesma conclusão por diferentes soluções.

Numa das cartas, Pascal relata a Fermat a fórmula da probabilidade de um evento A:

P(A) =____________________total de casos favoráveistotal de casos possíveis

Pascal denomina a probabilidade de “Geometria do Acaso”. Depois desses primeiros passos, a teoria das probabilidades começa a envolver outros campos, não apenas o dos jogos de azar. Matemáticos como Huygens (1629 - 1695), com a noção de esperança matemática, Jacques Bernoulli (1654 - 1705), com a visão frequentista e Thomas Bayes (1702 - 1761), que introduziu a hipótese de equiprobabilidade e estudou a probabilidade condicional, contribuíram para o desenvolvimento dessa nova teoria, que não é, de imediato, reconhecida como parte da matemática.

Somente com os estudos de Mendel, em 1850, sobre as características hereditárias que surgiam no cruzamento de ervilhas, no qual percebeu o caráter probabilístico da hereditariedade, é que se incorpora a teoria das probabilidades à matemática. Até então os cientistas não acreditavam que cálculos probabilísticos pudessem ser aplicados de forma científica.

Atualmente, a teoria das probabilidades se relaciona com a estatística e tem aplicações nos mais diversos ramos do conhecimento.

Fermat é lembrado, também, por seu trabalho em teoria dos números, em especial pelo “Último Teorema de Fermat”. Este teorema diz que:

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o A equação: xn + yn = zn não tem solução inteira não nula para x, y e z quando n>2.

Fermat escreveu na margem de um livreto sobre aritmética diofantina:

Descobri uma demonstração realmente memorável, mas esta margem é muito pequena para contê-la.

Essa declaração instigou matemáticos por mais de 300 anos a investigações que produziram avanços matemáticos, como, por exemplo, o desenvolvimento da teoria dos anéis comutativos. Em 1995, foi aceita a demonstração do professor de Princeton, Andrew Wiles, depois de 356 anos do aparecimento do teorema.

3.6 Descoberta e desenvolvimento do cálculo: Newton e Leibniz

Isaac Newton e Gottfried Wilhenm Leibniz foram duas figuras centrais no desenvolvimento do cálculo e na sistematização do estudo das derivadas e integrais. Contudo o nome “cálculo integral” não foi dado por nenhum dos dois, mas idealizado por Johann Bernoulli.

Estudemos um pouco sobre Sir Isaac Newton (1643 –1727).

Sua vida pode ser dividida em três períodos bastante distintos: o primeiro compreende desde o nascimento em 1643, em Lincolnshire, Inglaterra, em uma família de pequenos proprietários rurais, até sua graduação em 1669, no Trinity College, em Cambridge.

O segundo período, de 1669 a 1687, compreende a fase em que trabalhou em Cambridge. Torna-se catedrático com apenas 27 anos, produzindo intensamente.

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oO terceiro período compreende a última fase de sua vida, na qual ele se tornou um funcionário governamental altamente qualificado em Londres, com pouco interesse pela matemática.

O gênio científico de Newton emergiu quando uma epidemia de peste fechou a universidade durante o verão de 1665 e ele retornou a Lincolnshire. Lá, em menos de dois anos, fez descobertas que revolucionariam as ciências. Uma de suas conclusões foi que a luz branca não é uma entidade simples, como se acreditava na época. Ao observar um feixe fino de luz solar passando por um prisma, Newton verificou que um espectro de cores era formado. Ele conjeturou que a luz branca era uma mistura de várias cores que podem ser refratadas em ângulos ligeiramente diferentes. Ele também desenvolveu o cálculo diferencial e integral, com um método que chamava de “método dos fluxos” no qual a integração de uma função faz-se pelo inverso da diferenciação.

Na mecânica, suas ideias, desenvolvidas a partir de 1665, culminaram na Teoria da Gravitação Universal. É dele a descoberta de que um corpo em movimento circular sofre a ação de uma força centrífuga.

Em 1687, Newton publicou o Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, um tratado com novos conceitos em física e astronomia, reconhecido como o maior livro científico escrito, no qual demonstrou que os planetas sofrem a ação de uma força de atração do Sol que varia com o inverso da distância. Esse conceito generalizou-se para todos os corpos celestes no princípio da gravitação universal.

Em 1693, após um colapso, aposenta-se da pesquisa e vai para Londres exercer um cargo público. Em 1703, foi eleito presidente da Royal Society e reeleito até sua morte. Em 1708, Newton foi condecorado pela rainha Anne, tornando-se o primeiro cientista a ser agraciado com esse título.

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o O outro grande expoente do cálculo foi Gottfried Wilhenm Leibniz (1646 – 1716).

O alemão Leibniz foi um dos destaques do século XVII. Extremamente culto e rico, com apenas quinze anos já estava na universidade. Fez muitas publicações, sempre se preocupando em comunicar suas descobertas. Ele contribuiu com o desenvolvimento do cálculo diferencial, criou notações e demonstrou o que ficou conhecido como o teorema fundamental do cálculo. Para simbolizar a integral ele criou o símbolo que hoje usamos: ∫ , com a primeira letra da palavra Summa, que significa soma.

Ele dedicou-se também à filosofia e à política.

3.7 Século XVIII – as contribuições de Euler

Leonhard Euler (1707-1783) foi um dos matemáticos que mais produziu, escrevendo textos tanto sobre matemática pura, quanto aplicada e abarcando todo o conhecimento matemático da época. Ele escreveu ainda sobre ciência natural, hidráulica, engenharia naval e artilharia.

Euler estudou teologia na Universidade de Basiléia, na Suíça, e lá aprendeu matemática com um dos mais famosos professores de sua época: Jean Bernoulli. Além de matemática, estudou línguas, medicina, física e astronomia.

Conheceu os dois filhos de seu professor Jean Bernoulli: Nicolaus e Daniel Bernoulli, que foram fundamentais em sua existência. Eles o indicaram para trabalhar na Academia da São Petersburgo, sob Catarina I. Infelizmente a imperatriz morreu e, com a mudança política na época, não havia mais espaço para Euler, que ingressou na marinha russa para só depois de um tempo assumir a cadeira de física.

Euler deixou a Rússia em 1741 para assumir um cargo de professor na Academia de Berlim, a convite de Frederico,

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oo Grande. Lá permaneceu por vinte e cinco anos e depois retornou novamente à Rússia, para a Academia de São Petersburgo.

Euler passou os últimos dezessete anos de vida em total cegueira, mas isso não o impediu de continuar produzindo até o final de sua vida. Era prodigiosa a sua capacidade calculatória, assim como sua capacidade de escrever, tanto que, após a sua morte, a Academia de Ciências de São Petersburgo ainda pôde, durante cinquenta anos, publicar trabalhos novos creditados a Euler.

Euler contribuiu para a unificação da simbologia em matemática com os seguintes símbolos: f(x) para uma função e para base do logaritmo natural; i para raiz quadrada de -1; ∑ para somatória; dn y para derivadas de grau n etc.

Ele foi o primeiro matemático a dar um tratamento funcional ao seno e cosseno, fazendo a passagem da trigonometria no triângulo retângulo para a trigonometria do ciclo. Ele também contribuiu enormemente para o desenvolvimento dos logaritmos, do cálculo e da análise; sobre ele se dizia que era a “análise encarnada”.

São devidas a Euler as fórmulas:

eix = cosx + isenx,

a identidade eix + 1=0;

a expansão: e

f xn

xn

x x xxn n

n

n

n

= = = + + + +=

∞

=

∞

∑ ∑( )! ! ! ! !

...0

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entre outras.

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o A seguir, alguns exercícios elaborados pela professora Julia Yoko Harada para melhor compreensão do tema

1. Os números complexos surgiram, inicialmente, para auxiliar na resolução de equações de terceiro grau. Os matemáticos queriam deduzir uma fórmula genérica para resolvê-las, assim como a que existe para as equações do segundo grau. Nesse campo apresentaram contribuições fundamentais dois matemáticos. São eles:

a. Tartaglia e Newton.b. Cardano e Leibniz.c. Tartaglia e Cardano.d. Newton e Leibniz.e. Napier e Cardano.

2. O aparecimento dos logaritmos ocorreu a partir da necessidade que havia de simplificação dos cálculos. Eles impulsionaram fortemente o desenvolvimento da matemática e um dos principais responsáveis por essa criação foi:

a. Cardano.b. John Napier.c. Isaac Newton.d. Fermat.e. Euclides.

3. Matemático francês que ficou conhecido como o pai da álgebra moderna por ter introduzido letras para representarem variáveis e incógnitas:

a. Descartes;b. Fermat;c. De Morgan;d. Blaise Pascal;e. Viète.

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o4. Matemáticos que são os principais expoentes do desenvolvimento da geometria analítica:

a. Newton e Leibniz.b. Descartes e Fermat.c. Descartes e Napier.d. Newton e Blaise Pascal.e. Blaise Pascal e Napier.

5. Os livros Ars Magna e Principia Mathematica estão entre as publicações de maior relevância na história da matemática. Os autores dessas obras são respectivamente:

a. Newton e Cardano.b. Euclides e Newton.c. Cardano e John Napier.d. Cardano e Newton.e. John Napier e Cardano.

6. A obra que o tornou mais conhecido foi o Discours de la Méthode (Discurso do método), no qual ele lançou as bases do Racionalismo Francês. Esse discurso está na introdução de seu livro, o qual é dividido em três partes: La dioptrique, Les météores e La geometrie. É ele:

a. Isaac Newton.b. Pierre de Fermat.c. René Descartes.d. Blaise Pascal.e. Gaspar Monge.

7. Seu nome, atualmente, está ligado ao triângulo abaixo, embora se saiba que Tartaglia e outros matemáticos trabalharam anteriormente nesse triângulo.

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Trata-se do matemático:

a. Nicolo Fontana.b. Girolamo Cardano.c. Raphaelli Bombelli.d. John Napier.e. Blaise Pascal.

8. Uma das maiores contribuições de Blaise Pascal para o desenvolvimento da matemática foi no campo das probabilidades, que surgiu a partir da correspondência que ele manteve com o matemático:

a. Pierre de Fermat.b. René Descartes.c. François Viète.d. Girolamo Cardano.e. Isaac Newton.

9. O teorema que ficou conhecido como “Último Teorema de Fermat” diz que: a equação xn + yn = zn não tem solução inteira

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onão nula para x, y e z quando n é um número natural maior do que 2. Esse teorema só foi demonstrado:

a. No século XVIII por Thomas Bayes.b. Trinta anos depois, por Jacques Bernoulli.c. Um século depois, por Mendel.d. Por Pierre de Fermat, seu parceiro e correspondente.e. No século XX por Andrew Wiles.

10. Matemáticos que são os principais expoentes do desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral:

a. Newton e Leibniz.b. René Descartes e Blaise Pascal.c. René Descartes e Leonard Euler.d. Newton e Blaise Pascal.e. Leibniz e John Napier.

Resposta dos exercícios

1. c2. b3. e4. d5. d6. c7. e8. a9. e10. a

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4 MATEMÁTICA: DO SÉCULO XIX AO XX

No final do século XVIII ocorreu a Revolução Francesa, que foi fundamental para as mudanças que ocorreram na matemática, sobretudo no início do século XIX. Esse pode ser considerado o “século de ouro” da matemática, que nele se transformou enormemente. Um dos fatos marcantes foi o desenvolvimento da geometria projetiva, por volta de 1822, com Desargues, Monge, Carnot e, em seguida, Poncelet.

4.1 Geometria projetiva: de Monge a Poncelet

A geometria projetiva surgiu na tentativa de representar objetos tridimensionais, em telas de pintura ou no papel, que têm, na verdade, apenas duas dimensões. Essa foi uma preocupação humana registrada desde a Pré-História, podendo ser observada pelos desenhos preservados nas cavernas e também pelos desenhos registrados nas civilizações egípcia, babilônica e romana. A maneira de provocar a noção de profundidade na representação em duas dimensões de uma realidade tridimensional era uma das técnicas mais pesquisadas e muitas vezes guardada em segredo. Os métodos de traçado das plantas arquitetônicas advinham da experiência prática dos construtores que não os queriam divulgados. No século XVIII, no esplendor do Barroco, desenvolveu-se a perspectiva, sendo então publicados diversos tratados, e os objetos representados nas pinturas se aproximavam cada vez mais da realidade, a perspectiva oblíqua representava os objetos a partir de dois ou três pontos de vista.

Desde o Renascimento, artistas e pintores preocuparam-se com novas formas de representação que privilegiassem a profundidade, matemáticos como Girard e Desargues (1591-1661) fizeram várias contribuições na área. Mas foi somente no final do séc. XVIII e início do XIX que se desenvolveu o método

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oda geometria descritiva e a representação técnica projetiva, principalmente por causa da demanda da engenharia militar.

Uma das figuras fundamentais no desenvolvimento da geometria descritiva foi Gaspar Monge, sobre quem discorreremos a seguir.

Gaspar Monge (1746-1818), um dos principais matemáticos da época das revoluções, viveu durante a Revolução Francesa.

Monge era de família humilde, mas, brilhante em matemática desde a infância, foi encaminhado à Ecole Militaire de Mézières por um tenente-coronel que o conhecia. Aos dezesseis anos já havia se tornado professor de Física dessa escola e sua carreira como desenhista teve início ao fazer uma planta notável de sua cidade natal, Beaune, para a qual precisou inventar métodos da observação dos terrenos e construir instrumentos. Monge foi, então, recomendado para desenhista da escola militar de Mézières, onde iniciou o desenvolvimento dos métodos da geometria descritiva, propondo inovações que foram divulgadas entre os engenheiros militares e mantidas em segredo militar absoluto.

Monge desenvolveu uma carreira de professor de matemática e depois de física em escolas militares. Em 1780 foi para o Liceu de Paris, como professor de hidráulica, e foi o responsável, em 1795, juntamente com Fourcroy, pela fundação da famosa “École Polytechnique”, que foi o modelo das escolas de engenharia do mundo ocidental. Nela lecionaram os melhores professores e os de maior prestígio da época, tais como Lagrange, Fourrier, Poisson, entre outros. Monge também foi professor da “École Polytechnique”, que mantinha o curso básico de engenharia, encaminhando depois os alunos para escolas de cada especialidade da engenharia. Esse modelo de currículo foi copiado em todo o mundo ocidental.

Gaspar Monge generalizou seu sistema de projeções ortogonais no tratado Géomètrie Descriptive, de 1795. Seus dois

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o livros, este e o Application de L’Analise a la Géomètrie, que é um tratado de geometria diferencial1, são importantes marcos na história da geometria.

Agora cabe discutir, afinal, o que vem a ser a geometria descritiva.

A ideia genial de Monge foi a de projetar em dois planos perpendiculares entre si as figuras que se encontram no espaço tridimensional e estudá-las a partir dessas “vistas” ou projeções. Assim, os objetos espaciais passam a ser representados por pontos, retas e planos nos planos de projeção, e a partir disso é possível, com os conhecimentos de geometria plana, resolver problemas envolvendo figuras tridimensionais.

A geometria descritiva tem os seguintes princípios básicos:

Considerar, para um observador situado no espaço, dois planos de projeção: um horizontal, que pode ser hipoteticamente o chão e um outro vertical, que pode ser imaginado como, por exemplo, uma parede frontal. Com esses dois planos, o espaço fica dividido em quatro partes, cada uma delas denominada diedro. Os dois planos se interceptam dando origem a uma reta denominada linha de terra.

Plano vertical

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Plano horizontal

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1A geometria diferencial estuda as propriedades de curvas e de superfícies por meio do cálculo.

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oSe considerarmos uma figura tridimensional situada no espaço, a ela corresponderão duas projeções: uma frontal, situada na “parede” e uma horizontal, situada no “chão”. Temos então duas “vistas” correspondentes à figura.

A seguir, é feito um rebatimento do plano horizontal no sentido horário sobre o vertical, de forma a se obter a representação da figura no plano por suas projeções. Tais representações são figuras planas; a projeção horizontal será indicada sempre com uma simbologia acompanhada de índice 1 e a projeção frontal, com o índice 2. Após o rebatimento obtemos uma representação denominada épura. As projeções de cada ponto no espaço estão em uma mesma perpendicular em relação à linha de terra. A referida perpendicular é designada linha de chamada, a distância do ponto ao plano horizontal (P.H.) é a cota do ponto e a distância do ponto ao plano vertical (P.V.) é o afastamento do ponto.

Nas figuras abaixo estão exemplos explicativos. Na última delas, correspondente à épura, a distância AoA2 é a cota do ponto A e a distância AoA1 é o afastamento de A.

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o Monge também desenvolveu o campo da geometria diferencial, como já mencionamos, e seus discípulos da École Polytechnique, tais como Cauchy, acrescentaram importantes contribuições a ela. Numa fase posterior, Gauss desenvolveu novos métodos de parametrização em geometria diferencial e Riemann a estendeu para o espaço n-dimensional.

Quanto à geometria projetiva, Monge, Desargues e Carnot iniciaram seu estudo, mas foi Poncelet que a desenvolveu acrescentando princípios fundamentais.

Jean Victor Poncelet (1788-1867)

Nasceu em Metz, na França, foi aluno de Gaspar Monge na École Polytecnique e depois estudou na academia militar de sua cidade natal. Serviu como tenente de engenharia sob Napoleão na campanha da Rússia, foi considerado morto e abandonado no campo de batalha pelos seus compatriotas. Enquanto prisioneiro dos russos ele escreveu um tratado de geometria analítica: Applications d’analyse et de géomètrie, tomando por base seus estudos na École Polytecnique, livro só publicado cinquenta anos depois, e iniciou o seu Traité des Proprietés Projetives des Figures, que depois finalizou quando foi libertado e retornou a Metz.

O seu Traité des Proprietés Projetives des Figures é visto como um importante marco da geometria projetiva e nesse tratado Poncelet coloca os princípios básicos da geometria projetiva: o princípio de dualidade e o da continuidade. Em particular, o princípio da dualidade foi usado em vários outros campos da matemática, como por exemplo, na álgebra booleana e no cálculo proposicional.

O princípio da continuidade ou princípio da permanência das relações matemáticas estabelece que, se uma proposição pode ser considerada válida para uma projeção real, ela pode ser estendida para o caso de uma projeção imaginária. Isto é:

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oAs propriedades métricas descobertas para uma figura primitiva permanecem aplicáveis, sem modificações além de mudança de sinal, a todas as figuras correlatas que podem ser consideradas como provindas da primeira. (Boyer, 1996, p. 370)

Poncelet utilizou conceitos desenvolvidos por Desargues sobre projeções centrais e pontos no infinito, criando a noção de plano projetivo complexo e iniciou a geometria sintética.Poncelet foi militar durante toda a sua vida e escreveu sobre mecânica, hidráulica, séries infinitas e geometria. Diversas de suas ideias foram retomadas e desenvolvidas por matemáticos posteriores, tais como Steiner, Gergonne, Brianchon e Chasles, entre outros.

4.2 Século XIX: Gauss e Cauchy

O século XIX foi extremamente profícuo em matemática, nele ocorreu a Revolução Industrial que provocou uma enorme mudança no modo de produção e na vida econômica e social. Na matemática, mudaram-se os próprios fundamentos e desenvolveu-se o conceito de rigor matemático. Gauss forneceu uma explicação geométrica para os números complexos e contribuiu em, praticamente, todos os ramos da matemática, especialmente na teoria dos números. O campo da análise matemática se desenvolveu enormemente com Cauchy.

Surgiu também no século XIX, a geometria diferencial. Abel demonstrou que é impossível determinar uma fórmula genérica para a resolução de equações de quinto grau e foram desenvolvidos os quatérnios por Hamilton. No campo da geometria ocorreu uma verdadeira revolução com o desenvolvimento das geometrias não euclidianas, tais como a hiperbólica e a elíptica. No final do século apareceu a teoria dos conjuntos com Cantor, Dedekind e Bolzano, e o desenvolvimento dessa teoria provocou novas reformulações na matemática, principalmente, a partir das contribuições de De Morgan, Peano e

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o Jonh Venn. Boole construiu uma lógica matemática estruturada em conjuntos e isso levou a uma evolução também no campo da teoria das probabilidades.

No século XIX houve também grandes mudanças no campo da aritmética e da álgebra. A resolução de equações algébricas de grau maior ou igual a quatro por fórmulas com radicais era um dos problemas que ocupava os matemáticos na época. O problema surgiu porque já se sabia que esse tipo de solução era aplicado para equações algébricas de segundo e terceiro graus. Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde (1735-1796) haviam iniciado estudos tentando determinar soluções com radicais para as equações algébricas de quarto grau, mas nada conseguiram. Coube a um jovem matemático, Niels Henrik Abel (1802-1829), junto com Evariste de Galois (1811-1832), liquidar com o problema ao provar que é impossível resolver equações de grau maior ou igual a quatro por radicais.

A partir daí surgiu a teoria dos grupos que impulsionou a teoria dos números e originou a álgebra moderna. O próprio conceito de álgebra mudou, surgiu então a álgebra não comutativa e estabeleceu-se uma distinção entre a álgebra linear (dos espaços vetoriais e transformações lineares) e a álgebra dos conjuntos (das estruturas, tais como os grupos, anéis e corpos).

No final do século, Peano apresentou contribuições na aritmetização da análise, que havia sido iniciada por Cauchy e Bolzano, axiomatizando a maior parte da matemática.

Muito seria possível discorrer sobre o século XIX. Considere que este texto é apenas uma introdução à História da Matemática no período. Optamos por discutir, na sequência, dois matemáticos considerados como as grandes personalidades do século: Gauss e Cauchy.

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oCarl Friedrich Gauss (1777-1855)

O alemão Gauss é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos, apelidado de “o príncipe da matemática”, foi um menino prodígio, especial, desde muito jovem.

Seu pai era pedreiro e conta-se que, uma vez, quando Gauss tinha dois ou três anos de idade, ao ouvir seu pai calculando o pagamento de funcionários, percebeu que havia um erro nas contas e alertou-o.

Outra história que é contada sobre Gauss é a de que quando, com oito anos de idade, frequentando a escola primária, o seu professor passou como tarefa determinar a soma dos cem primeiros números naturais, Gauss, apenas algum tempo de raciocínio depois, escreveu em sua pequena lousa o resultado: 5050 e a entregou ao professor. Não havia nenhum cálculo auxiliar e o resultado estava correto.

Como poderia o garoto ter chegado à solução tão rapidamente?

Se observarmos com atenção o cálculo: 1+2+3+.....+98+99+100 perceberemos que 1+100 = 101; 2+99 = 101; 3+98 = 101 e assim por diante, isto é, se somarmos parcelas que são equidistantes dos extremos a soma será sempre 101, uma vez que aumenta 1 na primeira parcela, mas diminui 1 da última, de modo que a soma das duas é sempre 101. Assim sendo, é possível agruparmos as parcelas em cinquenta pares todos com soma 101. Logo o resultado total é: 50.101 = 5050. Ali estavam as primeiras ideias para o estudo de sequências, em particular as aritméticas e geométricas.

Gauss foi encaminhado por seus professores ao Duque de Brunswick que financiou seus estudos e pesquisas. Em 1795 ingressou na universidade e logo fez uma incrível descoberta: como construir, usando apenas régua e compasso, um polígono regular

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o de dezessete lados. Isto significa dizer que ele conseguiu dividir a circunferência em dezessete partes iguais, para nela inscrever o polígono regular, feito esse que era tentado pelos matemáticos desde a Grécia. Isso foi realmente notável, ele resolvera um problema que se manteve aberto ao longo de 2000 anos.

A partir dessa época de estudante, Gauss manteve um diário no qual registrou por dezoito anos suas descobertas, entre elas estão vários teoremas já demonstrados por matemáticos anteriores, como Euler e Lagrange, os quais ele redescobriu, e ainda outros teoremas acompanhados de demonstrações completamente novas, tais como o teorema da reciprocidade quadrática da teoria dos números; nele está, também, o desenvolvimento do método de determinação dos mínimos quadrados, outra importante descoberta que o tornou famoso. Esse diário só se tornou público em 1898, após sua morte, quando a Sociedade Real da cidade de Göttingem o recebeu emprestado de um dos netos de Gauss; o diário contém 146 registros de descobertas e cálculos.

Com apenas vinte e dois anos ele defendeu sua tese de doutorado, apresentando a primeira prova completa do conhecido teorema fundamental da álgebra2. Sua tese, de 1799, tem por título: Nova demonstração do teorema que toda função algébrica racional inteira de uma variável pode ser decomposta em fatores reais de primeiro e segundo grau. Na verdade, o título da tese está incorreto, pois o que Gauss apresenta não é uma nova demonstração, mas sim a primeira demonstração completa e correta do teorema. Ele analisa as demonstrações anteriores indicando as falhas apresentadas em cada uma. Durante sua carreira Gauss ainda apresentou mais três diferentes provas desse teorema3.

Com vinte e quatro anos ele publicou sua obra-prima, Disquisitiones Arithmeticae, um marco da atual teoria dos

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2O teorema fundamental da álgebra diz que uma equação polinomial, com coeficientes complexos e de grau n>0, tem pelo menos uma raiz complexa. Isso significa dizer que o corpo dos números complexos é algebricamente fechado e a equação p(x)=0, de grau n>0 tem n soluções, não necessariamente distintas.

3Para maiores informações consultar: FINE, B. and Rosenberger, G., The fundamental theorem of algebra, pringer-Verlag, New York, 1997

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onúmeros. O livro Disquisitiones é organizado em sete seções, sendo que nas quatro primeiras ele reformula a teoria dos números do século XVIII, discutindo os conceitos de congruência e de classes de restos. Na quinta seção, escreve sobre a teoria da composição de formas e as equações quadráticas binárias. Nas duas últimas seções apresenta diversas aplicações práticas e resolve a equação ciclotômica geral de grau primo. Gauss coloca, ainda, no Disquisitiones a prova rigorosa do teorema fundamental da aritmética que diz que todo número inteiro positivo pode ser representado de forma única (a menos da ordem) como um produto de números primos.

Naturalmente a grandeza do Disquisitiones Arithmeticae não foi reconhecida imediatamente. Só a partir de 1820, com os estudos de Jacobi e Dirichlet, é que a obra passou a ser reconhecida como de importância central para a matemática.

Gauss não produziu apenas na juventude, já na idade adulta ele descobriu o método de triangulação para resolução de sistemas lineares, a lei da propagação de erros (Lei de Gauss) e auxiliou no desenvolvimento da geometria diferencial.

Além da matemática foi também um grande estudioso de física e astronomia, escrevendo sobre a teoria dos movimentos dos corpos celestiais e sobre eletromagnetismo. Ele calculou a órbita do planeta Ceres, que havia sido recentemente descoberto, e que, por ser um planeta longínquo e pequeno, os astrônomos não conseguiam localizar exatamente. Para tanto, ele aplicou novos métodos numéricos e sua teoria de órbitas. Com a determinação da órbita de Ceres, Gauss ficou famoso e foi reconhecido como grande cientista. Na década posterior, ele publicou a sua Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium com o seu método de cálculo de órbitas, incluindo a teoria e o uso do método dos mínimos quadrados.

Gauss foi diretor do observatório de Göttingen e se dedicou muito aos estudos do campo magnético da Terra.

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o Como astrônomo ele teve um importante colaborador, o físico Wilhelm Weber; desse trabalho conjunto surgiram obras sobre fluidos e capilaridade, acústica, óptica e cristalografia. Em 1830, na obra que publicam sobre fluidos estão aplicações de integrais duplas e de condições de contorno. Ainda da parceria com Weber são frutos: a antecipação das leis de Kirchoff e diversas conclusões em eletricidade e estática. As últimas publicações de Gauss foram, em sua maioria, relativas à astronomia, em particular referentes aos planetas recém-descobertos na ocasião, tais como Netuno. Infelizmente, diversas descobertas foram consideradas elementares pela dupla Gauss-Weber e, assim, não dignas de serem publicadas. Uma das últimas publicações conjuntas foi o Geomagnetic Results, de 1840, no qual expõem as descobertas no campo do geomagnetismo.

Gauss resolveu diversas questões pendentes na matemática, dirimiu dúvidas e questionamentos diversos e o seu trabalho guiou os matemáticos do século posterior. Pelos escritos de Gauss sabe-se que ele antecipou as geometrias não euclidianas e poderia ter lançado suas bases trinta anos antes de Lobachevsky ou Bolyai. Ele também descobriu, com quatorze anos de antecipação, o teorema fundamental da análise, hoje creditado a Cauchy; estudou os quatérnios antes de Hamilton e também muito do que foi estudado por Legendre, Abel e Jacobi.

A matemática poderia ter avançado meio século se Gauss tivesse realmente publicado tudo o que descobriu e estudou.

4.3 Cauchy, a análise matemática e o rigor

No século XVIII surgiram, na matemática, sobretudo no estudo de séries infinitas, métodos que produziam resultados contraditórios ou absurdos. Isso fez com que se incorporasse nos matemáticos do século XIX uma atitude crítica em relação aos conceitos matemáticos básicos. A revisão crítica dos fundamentos da matemática, iniciada por Gauss e Lagrange,

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oteve como consequência o desenvolvimento do rigor matemático, uma das características marcantes da matemática no século XIX e, nessa questão, uma das figuras principais foi o francês Cauchy.

Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857)

Cauchy nasceu no ano da Revolução Francesa, pertencia a uma família culta, estudou na École Polytecnique de Paris e inicialmente trabalhou como engenheiro civil, mas com vinte e quatro anos já havia desenvolvido diversos estudos no campo da geometria e dos determinantes.

Ele foi, então, persuadido por seus amigos Lagrange e Laplace, que muito o admiravam, a abandonar a engenharia e aceitar um cargo de professor na École Polytecnique. Lá Cauchy se tornou famoso como um excelente professor, sendo seus cursos extremamente concorridos.

Cauchy retomou trabalhos de outros matemáticos, especialmente os de Euler e Lagrange, acrescentando importantes contribuições. Ele publicou muito, escrevendo tanto sobre matemática pura quanto aplicada, além de mecânica e teoria dos erros. São vários os livros e mais de setecentos artigos. No Journal de l’École Polytecnique ele escreveu diversos e longos ensaios, especialmente sobre a teoria das funções de variável complexa, campo em que ele é considerado o fundador. Três de seus livros: Cours d’Analyse de l’École Polytechnique, Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal e Leçons sur le calcul différentiel foram fundamentais na história do cálculo elementar, pois nesses textos Cauchy dá ao cálculo a sua forma atual.

Entre as importantíssimas contribuições de Cauchy à matemática, além do campo da análise, com as funções de variável complexa, estão os estudos sobre séries infinitas — convergência e divergência —, probabilidades e equações diferenciais.

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o Cauchy teve problemas políticos quando Carlos X foi deposto e forçado a abandonar seu cargo, sendo excluído do serviço público por dezoito anos. Nesse período esteve em Turim, em Praga e em Paris, lecionando em escolas religiosas.

4.4 As geometrias não euclidianas

Para discutir as “geometrias dissidentes”, que passaram a ser desenvolvidas no século XIX, é necessário que antes centremos o olhar sobre a geometria euclidiana, que foi aceita sem nenhum tipo de contestação até o início do século XVIII. As outras geometrias surgiram porque os matemáticos, ao longo do tempo, tentaram provar que o quinto postulado de Euclides era, na verdade, um teorema e, assim, seria demonstrado usando os quatro axiomas anteriores. A partir das inúmeras tentativas infrutíferas feitas pelos matemáticos nesse sentido germinou a ideia de outros tipos de geometria que desconsiderassem o quinto postulado. Atualmente, podemos argumentar que as “geometrias dissidentes” demoraram tanto a se desenvolver na História da Matemática talvez por causa da crença de que a geometria euclidiana era a única explicação plausível para o Universo.

A geometria euclidiana parte de verdades inquestionáveis admitidas a priori, essas verdades são os postulados e os axiomas, que são considerados evidentes. A partir deles toda teoria é construída, ou seja, todas as proposições geométricas podem ser provadas.

Enfim, o que são postulados e/ou axiomas?

Os gregos, na época de Euclides, diferenciavam postulados de axiomas. Um axioma era considerado por eles como uma verdade ligada ao senso comum, não exigindo qualquer comprovação por ser evidente, ou seja, o axioma extrapola as questões geométricas e matemáticas e pode ter relação com os mais

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odiversos campos. Já os postulados são evidências relacionadas particularmente às questões geométricas. Hoje não se faz mais qualquer distinção entre as palavras axioma e postulado, sendo usados como sinônimos.

Os axiomas da geometria na Grécia antiga eram os seguintes:

1. Duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.

2. Se parcelas iguais forem adicionadas a quantias iguais, os resultados continuarão sendo iguais.

3. Se quantias iguais forem subtraídas das mesmas quantias, os restos serão iguais.

4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.

5. O todo é maior que as partes.

Os postulados, nos “Elementos de Euclides”, eram os seguintes:

1. Uma linha reta pode ser traçada de um para outro ponto qualquer.

2. Qualquer segmento finito de reta pode ser prolongado indefinidamente para constituir uma reta.

3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se traçar um círculo de centro naquele ponto e raio igual à distância dada.

4. Todos os ângulos retos são iguais entre si.

5. Se uma reta cortar duas outras retas, de modo que a soma dos dois ângulos interiores de um mesmo lado seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas, do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos.

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o Observe que os postulados são todos relativos às questões geométricas.

Ao longo dos séculos o quinto postulado foi muito discutido porque se colocou a hipótese de que ele não seria um verdadeiro postulado necessário para o desenvolvimento da geometria euclidiana, mas uma proposição (ou teorema) passível de prova. Muitos dos matemáticos posteriores a Euclides, ao comentarem sua obra, assim como diversos dos tradutores dos Elementos, tentaram substituir o quinto postulado por outro mais elegante ou prová-lo a partir dos outros quatro. Nessas tentativas, ou surgia um postulado ainda mais complicado de se entender do que o quinto ou existiam erros nas demonstrações de que ele seria um teorema; assim, os esforços em relação à prova de que ele dependia dos quatro postulados anteriores falhavam.

No século XVIII o matemático escocês John Playfair (1748-1819) apresentou um substituto para o quinto postulado, seguindo uma referência de Proclus no século V, que acabou sendo adotado nos tempos modernos e é o seguinte:

Por um ponto fora de uma reta dada não há mais do que uma reta paralela a essa reta.

A partir daí, o quinto postulado passou a ser conhecido como o “Postulado das paralelas”, pois é mais simples de o entender nessa redação dada por Playfair. De todo modo, a questão central é que, até então, o postulado permanecia sem qualquer contestação em relação à sua veracidade.

A primeira investigação que pode ser considerada como realmente científica sobre o “Postulado das Paralelas” foi feita pelo jesuíta italiano Girolamo Sacchieri (1667-1733). Ele tentou provar, por meio da demonstração por absurdo – reductio ad absurdum – que o quinto postulado era independente dos outros. Assim, sua ideia foi admitir que ele não dependesse dos outros quatro postulados e, a partir dessa hipótese, se a conclusão

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ofosse errônea, contraditória ou fosse um absurdo lógico, estaria provado que o postulado era dependente dos outros quatro, não sendo necessário para a construção da geometria euclidiana, sendo na verdade uma proposição geométrica.

Sacchieri partiu da hipótese de que é possível prolongar um segmento de reta indefinidamente, tornando-o tão comprido quanto se queira, considerando verdadeiros os quatro primeiros postulados e, falso, o quinto postulado.

Passou, então, a estudar um quadrilátero ABCD com as seguintes características: os ângulos A e B são retos e os segmentos AD e BC são congruentes.

Nesse caso, traçando as diagonais AC e BD e utilizando congruências de triângulos, prova-se que os ângulos C e D são iguais.

Se os ângulos C e D são iguais, então, ou são ambos agudos, ou ambos retos ou ambos obtusos. Contudo, não há possibilidade dos ângulos C e D serem retos, pois ele estabeleceu por hipótese que o quinto postulado era falso. Eles também não podem ser obtusos, uma vez que foi considerado por hipótese que um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente. Assim, restava estudar

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o criteriosamente a possibilidade de que os ângulos C e D fossem agudos. Essa figura ficou conhecida como quadrilátero de Sacchieri.

Ao investigar a hipótese dos ângulos agudos, Sacchieri demonstrou diversos teoremas, obtendo conclusões totalmente estranhas e diferentes do esperado por ele, contudo sem qualquer falha de demonstração. Naturalmente Sacchieri não conseguiu provar que o quinto postulado era independente dos demais, mas ele demonstrou teoremas importantíssimos para as geometrias que negam o quinto postulado, ou que são independentes dele. Felizmente, no ano de 1733 (ano de sua morte), foi publicado seu livro Euclides ab omni naevo vindicatus4, fundamental para que os matemáticos do século XIX pudessem ter contato com suas ideias.

Concluindo, o quinto postulado é parte integrante dos axiomas da geometria euclidiana; sem ele, ou pela sua negação, constroem-se outras geometrias, denominadas de não euclidianas.

Gauss redescobriu e desenvolveu uma geometria, também negando o quinto postulado, de modo semelhante a Sacchieri, contudo ele percebeu uma tendência de rejeição dessas ideias pelos seus amigos matemáticos; assim, preferiu não se expor e nada publicou sobre o assunto. Mesmo assim, continuou a investigar essas geometrias e foi ele o primeiro a utilizar a expressão “geometria não euclidiana”, quando estava descrevendo a hipótese dos ângulos agudos de Sacchieri.

Curiosamente, no desenrolar do séc. XIX, três matemáticos começaram, praticamente de forma simultânea, a perceber que o quinto postulado realmente independia dos outros quatro, e que, uma vez retirado do conjunto de postulados, não ocorria inconsistência, como era esperado, mas era possível estabelecer novas geometrias. Esses matemáticos foram: Gauss (1777-1855), János Bolyai (1802–1860) e Nicolai Lobachevski (1793–1856). Posteriormente, Riemann (1826-1866) dá o próximo passo

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4Euclides livre de toda imperfeição: um trabalho que estabelece os princípios de uma geometria universal.

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oao trabalhar com o caso dos ângulos obtusos no quadrilátero de Sacchieri e as geodésias de Gauss, como relataremos na sequência desse capítulo.

Para o desenvolvimento dessas novas geometrias, num primeiro momento, foi preciso visualizar um espaço no qual se negasse o quinto postulado e mesmo assim essas geometrias fossem possíveis. Considerando a formulação de Playfair, (por um ponto fora de uma reta dada não há mais do que uma reta paralela a essa reta) podemos pensar em negar o quinto postulado de duas formas. A primeira, considerando ser possível traçar pelo menos duas paralelas à reta dada; a outra, supondo que não seja possível traçar paralela à reta dada.

No primeiro caso, considerando que existem pelo menos duas paralelas, tem-se uma geometria que passou a ser denominada de geometria hiperbólica e, no segundo caso, admitindo que não exista paralela, tem-se a geometria esférica, também chamada de elíptica ou riemanniana.

Comentemos um pouco de cada uma dessas geometrias e dos matemáticos que muito contribuíram para o seu desenvolvimento.

Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856)

O russo Lobachevski era de família de poucos recursos, mas devido ao seu brilhantismo pôde sempre estudar com bolsas de estudo. Ele foi acadêmico a vida toda, primeiro como professor de matemática e depois como reitor.

Lobachevski foi o primeiro a publicar suas descobertas, criando uma nova geometria que ele denominou de “geometria imaginária”.

Essa geometria foi desenvolvida a partir da hipótese dos ângulos agudos no quadrilátero de Sacchieri. Nela o

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o quinto postulado é negado e substituído pelo “postulado de Lobachevski”, que diz o seguinte:

Por um ponto P qualquer fora de uma reta AB

dada, existe mais de uma reta paralela à reta AB

.

Suas primeiras publicações sobre essa “geometria imaginária” foram em 1829 e 1830, mas elas não tiveram repercussão na comunidade matemática, talvez por estarem em russo. Em 1840 ele publicou, dessa vez em alemão, o livro Geometriche Untersuchungen Zur theorie der Parallellinien (Investigações geométricas sobre a teoria das paralelas), contendo os fundamentos de uma geometria na qual o quinto postulado é substituído pelo postulado de Lobachevski. Mas novamente não houve grande repercussão; afinal, suas ideias punham em dúvida a geometria euclidiana.

Quase que simultaneamente a Lobachevski um jovem húngaro desenvolveu uma ideia similar; esse matemático foi Bolyai.

János Bolyai (1802-1860)

Bolyai era um oficial do exército austríaco e foi incentivado pelo pai, professor de matemática, a estudar os postulados de Euclides. Bolyai percebeu a questão do quinto postulado e

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opublicou suas ideias no apêndice de um livro de seu pai, em 1829. Ele desenvolveu uma teoria que denominou de “ciência absoluta do espaço” partindo da negação do quinto postulado, isto é, admitindo que “por um ponto exterior a uma reta pode-se traçar não uma, mas infinitas retas”, de modo análogo ao pensamento de Lobachevski.

O pai de Bolyai submeteu as ideias do filho sobre a “ciência absoluta do universo” ao amigo Gauss que, então, revelou que ele próprio havia estudado o quinto postulado e concordava com János Bolyai. Apesar dessa sincera aprovação, Gauss nada publicou sobre as geometrias não euclidianas e nem tampouco Bolyai. Aliás, esse último nada mais publicou além do apêndice citado, mas deixou uma série enorme de manuscritos sobre suas descobertas e estudos matemáticos.

O grande mérito da descoberta das geometrias não euclidianas ficou então com Lobachevski, que a publicou. Contudo, ele não viveu para ver seu trabalho reconhecido, isso só ocorreu quando foi provada a consistência da hipótese do ângulo agudo no quadrilátero de Sacchieri, por Beltrami, Cayley, Poincaré e outros matemáticos.

A geometria que utiliza o postulado de Lobachevski é a geometria hiperbólica, sobre a qual discorreremos a seguir.

Na geometria hiperbólica, por um ponto P fora de uma reta dada passa mais de uma paralela a essa reta, ou seja, passam pelo menos duas retas paralelas à reta.

Para visualizar um espaço de geometria não euclidiana, no qual o postulado das paralelas não é válido e foi substituído por outro, uma boa ideia é a criação de modelos. Três modelos surgiram na tentativa de entender e estudar a geometria hiperbólica: a pseudoesfera desenvolvida por Eugenio Beltrami(1835-1900), o modelo de plano de Felix Klein (1849-1925) e o disco de Henry Poincaré (1854-1912).

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o A figura, a seguir, é a denominada pseudoesfera.

Nela, se considerarmos um ponto P qualquer, é possível traçar infinitas retas paralelas a uma reta r dada, se P não pertence a essa reta. Na figura, as retas a e b são ambas paralelas à reta r e se interceptam no ponto P. Podemos construir infinitas retas que satisfazem essa condição.

No modelo da pseudoesfera de Beltrami, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 180º.

O outro modelo, o de Felix Klein, considera o interior de um círculo do plano euclidiano e o denomina de plano de Lobachevski.

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oConsiderando esse modelo, as retas são as cordas do círculo do plano, sem incluir os extremos, uma vez que Felix Klein tomou apenas a região interior do círculo como sendo o plano.

Com esse modelo de plano tornou-se mais simples visualizar diversas características da geometria hiperbólica.

Por um ponto P fora da reta AB

da figura pode-se traçar mais de uma paralela à reta AB

, por exemplo, PC

, PD

e outras representadas pelos pontilhados na figura.

O terceiro modelo é o disco de Poincaré, que considera o interior de um círculo como sendo o plano do espaço hiperbólico. Nesse modelo, as retas ou são arcos euclidianos ortogonais à fronteira do círculo (que ele denominou de horizonte) ou são uma corda aberta que passa pelo centro

Na figura são retas hiperbólicas: .

Observe que pelo ponto P existem duas retas que são paralelas à reta DE

(figura).

Naturalmente, apresentamos neste texto apenas um resumo das principais ideias da geometria hiperbólica de forma superficial.

A seguir, tratamos um pouco da geometria elíptica que foi desenvolvida por Riemann.

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o Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

O alemão Riemann foi aluno de Gauss e seu orientando no doutorado, com uma tese no campo das funções de variável complexa.

Ao analisar a hipótese dos ângulos obtusos nos quadriláteros de Sacchieri, Riemann criou uma geometria distinta da de Bolyai e Lobachevsky.

Ele negou, diferentemente de Sacchieri, que um segmento de reta pudesse ser prolongado indefinidamente e negou também o quinto postulado de Euclides. Assim, considerou a reta como não sendo infinita e substituiu o quinto postulado pelo que ficou conhecido como postulado de Riemann, que é o seguinte:

Duas retas quaisquer em um plano possuem um ponto de encontro.

Isto equivale a dizer que: por um ponto fora de uma reta dada, não passa nenhuma paralela a esta reta.

É interessante mencionar que ele seguiu um caminho totalmente diverso, tendo como ponto de partida um trabalho de Gauss sobre curvaturas, no qual foi introduzido o conceito de geodésia, que é a menor distância entre dois pontos em uma superfície.

Na geometria euclidiana as retas são as geodésias, pois no plano euclidiano a curvatura é nula. Contudo, se considerarmos superfícies com curvaturas diferentes, as geodésias serão diferentes das retas do plano euclidiano.

Riemann construiu uma geometria que ficou conhecida como elíptica ou esférica. Um modelo para esta geometria é uma esfera, na qual as retas são os círculos máximos. Assim, não existem retas paralelas, pois quaisquer que sejam os círculos máximos eles sempre se interceptam.

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oOs círculos máximos, que são as retas nessa geometria, são as geodésias da superfície. Nela as retas são ilimitadas, mas não são infinitas. Partindo-se de um ponto A e seguindo sempre em linha reta retorna-se ao ponto A.

Na geometria elíptica, a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é maior que 180 graus.

Quanto à curvatura, na geometria elíptica ela é positiva; na geometria euclidiana ela é nula; e na geometria hiperbólica ela é negativa. Veja as figuras a seguir:

http://www.portaldoastronomo.org/tema_pag.php?id=16&pag=4

Comparando os três espaços uniformes

espaço euclidiano

através de um ponto dado podemos traçar somente uma paralela a uma linha reta.

a soma dos ângulos interiores de um triângulo é igual a dois ângulos retos.

a circunferência de um círculo é igual a π vezes o seu diâmetro.

espaço esférico

através de um ponto dado não podemos traçar nenhuma paralela a um ponto dado.

a soma dos ângulos interiores de um triângulo é maior do que dois ângulos retos.

a circunferência de um círculo é menor do que π vezes o seu diâmetro.

espaço hiperbólico

através de um ponto dado podemos traçar mais de uma paralela a uma linha reta.

a soma dos ângulos interiores de um triângulo é menor do que dois ângulos retos.

a circunferência de um círculo é maior do que π vezes o seu diâmetro.

http://www.on.br/site_edu_dist_2008/site/conteudo/modulo5/5-geometria-nao-euclidiana/geometria-espaco-curvo.html

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o Novamente surgia, com o plano de Riemann, uma geometria consistente, diferente das anteriores e negando o quinto postulado.

Sabemos que nosso planeta pode ser considerado, aproximadamente, como uma esfera; assim, a geometria riemanniana é muito útil, principalmente para calcular grandes distâncias na superfície terrestre como ocorre, por exemplo, na navegação marítima. Embora exista a sensação de navegarmos em um plano, na verdade estamos sobre uma grande esfera. Nesse contexto, usando o modelo da geometria elíptica, reta é círculo máximo, ou seja, aquele que passa pelo Equador. Os meridianos são exemplos de reta no modelo e todos os meridianos se encontram nos polos, logo não existem retas paralelas.

As geometrias não euclidianas abriram novas possibilidades para a ciência do século XX. Por exemplo, Einstein usou as ideias da geometria elíptica de Riemann em sua teoria da relatividade, pelo fato de o Universo ser curvo. Einstein considerou o Universo como tendo não três, mas quatro dimensões, sendo o tempo essa quarta. Nesse contexto, as geodésias são as retas do espaço-tempo. Enfim, as geometrias não euclidianas são de grande valia em diversos campos, tais como na física atômica, óptica, ondulatória e nos estudos de grandes distâncias.

4.5 O século XX

No final do século XIX, havia um intenso intercâmbio das ideias matemáticas por meio dos encontros internacionais de matemáticos e pela fundação de sociedades matemáticas com reuniões periódicas e publicações sistemáticas. São exemplos dessas sociedades a London Mathematical Society, a Société Mathématique de France e o Circolo Matematico di Palermo. Essa facilidade de contato com as mais revolucionárias teorias e descobertas ocasionou um novo impulso de desenvolvimento matemático.

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oNo início do século XX, o alemão David Hilbert (1862-1943) era um dos matemáticos que muito viajava em congressos, estava ciente das questões matemáticas que ocupavam os principais centros e conhecia o método axiomático5. Ele estava impregnado pela atitude crítica e revisionista dos fundamentos da matemática e empreendeu a tarefa de revisar Os elementos de Euclides pelo método axiomático. Ele percebeu que existiam falhas lógicas, além de hipóteses implícitas e definições sem sentido na geometria de Euclides; então ele analisou e reescreveu toda a geometria plana euclidiana, agregando todas as descobertas posteriores a Euclides. Em vez dos cinco axiomas e cinco postulados de Euclides, Hilbert formulou vinte e um axiomas: oito deles sobre incidência, quatro sobre ordem, cinco sobre congruência, três sobre continuidade e o último, o postulado das paralelas.

Hilbert publicou, em 1901, o livro Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da Geometria), no qual ele apresenta essa geometria, que representa a maior reforma da geometria plana euclidiana, incorporando a axiomatização e a teoria dos conjuntos.

Dez anos depois surgiu o Principia Mathematica de Bertrand Russel e Alfred Whitehead, desenvolvendo de forma axiomática os fundamentos da aritmética, lançando também as bases para o desenvolvimento da álgebra abstrata.

A partir de estudos sobre o Principia Mathematica, o austríaco Kurt Gödel demonstrou que mesmo num sistema lógico de aritmética, como de Russel-Whitehead, existem teoremas indemonstráveis e enunciados sobre os quais não se pode dizer se são verdadeiros ou falsos. Por extensão, ele argumentou que, na matemática, existem teoremas cuja veracidade não se pode demonstrar e, também, cuja validade não se pode contestar. A partir dessa declaração, Kurt Gödel eliminou a certeza matemática e levou um novo olhar sobre a matemática.

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5O método axiomático estuda os conjuntos de axiomas e considera que, uma vez estabelecido um número de axiomas que caracterizam um campo matemático, todas as conclusões sobre esse campo só podem ser deduzidas a partir dos referidos axiomas.

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o Ainda nas primeiras décadas do século, desenvolveu-se intensamente a análise funcional com as novas teorias e a topologia, sobretudo pelas contribuições de matemáticos americanos. O cálculo diferencial foi utilizado por Einstein (1879-1955) para a resolução de suas equações gravitacionais, o que estimulou o estudo da geometria diferencial.

A matemática no século XX tornou-se cada vez mais abstrata e de compreensão apenas para iniciados, ultrapassando os limites de um curso de História da Matemática para iniciantes. Pode-se dizer que a física moderna passou a ser matemática aplicada, e os computadores permitiram desenvolvimentos antes sequer imaginados.

Depois da Segunda Guerra Mundial, são desenvolvidas a teoria dos fractais e a teoria dos jogos. Fractal, do Latim fractus, que significa fracionado ou quebrado, foi assim denominado por Benoit Mandelbrot em 1975; contudo, tais elementos haviam sido estudados por matemáticos anteriores, especialmente entre 1857 e 1913. Os mais conhecidos hoje são: o floco de neve de Koch, o conjunto de Cantor, a curva de Peano, o triângulo de Sierpinski, o conjunto de Julia e o conjunto de Mandelbrot.

Em 1977, o americano Robert Stetson Shaw cria a teoria do caos.

Finalizamos o texto, alertando, novamente, para o fato de que esse é apenas uma introdução à História da Matemática. Nele, diversos dos expoentes importantes não foram contemplados como, por exemplo, os Bernoulli, entre tantos outros. Diversos campos da matemática também não foram discutidos, e outros, que foram, estão apenas superficialmente analisados. Contudo, ao longo de nosso curso teremos leituras complementares , por isso esperamos que este texto introdutório tenha despertado naqueles que o leram o desejo de conhecer mais sobre a História da Matemática que, em nossa opinião, espelha a história do desenvolvimento do raciocínio e da própria inteligência humana.

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oA seguir, alguns exercícios elaborados pela professora Julia Yoko Harada para melhor compreensão do tema

1. Em geometria projetiva, podem-se corresponder duas projeções a uma figura espacial: uma no plano horizontal e outra no plano vertical. Assim, têm-se duas “vistas” da figura. Em seguida, faz-se um rebatimento do plano horizontal no sentido horário sobre o vertical, para se obter a representação da figura, num plano, por suas projeções. Essa representação é chamada de:

a. Rebatimento.b. Épura.c. Afastamento.d. Cota.e. Linha de chamada.

2. É considerado o “século de ouro” da matemática que nele se transformou enormemente. Os fundamentos mudaram e foi criado o conceito de rigor matemático. O desenvolvimento da análise, da teoria dos números, da geometria diferencial, dos quatérnios, da álgebra não comutativa e das geometrias não euclidianas provocou uma verdadeira revolução no conhecimento matemático. Trata-se:

a. Do século XVI.b. Do século XVII.c. Do século XVIII.d. Do século XIX.e. Do século XX.

3. O matemático francês Jean Victor Poncelet, que foi aluno de Gaspar Monge na École Polytecnique de Paris, fez importantes contribuições para o desenvolvimento da geometria projetiva. Seu Traité des Proprietés Projetives des Figures é considerado um importante marco no campo. Nele

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o Poncelet coloca os princípios básicos da geometria projetiva, que são:

a. Os princípios do terceiro excluído.b. O princípio de dualidade e o princípio da continuidade.c. Os princípios da álgebra booleana.d. Os princípios da permanência na análise.e. Os princípios gerais para a analítica.

4. Com apenas vinte e dois anos ele defendeu sua tese de doutorado, apresentando a primeira prova completa do conhecido teorema fundamental da álgebra. O título: “Nova demonstração do teorema que toda função algébrica racional inteira de uma variável pode ser decomposta em fatores reais de primeiro e segundo grau” está, na verdade incorreto, pois a tese apresenta não uma nova demonstração, mas sim a primeira demonstração completa e correta do teorema. Esse alemão que ficou conhecido como o “príncipe dos matemáticos” foi:

a. Newton.b. Leibniz.c. Euler.d. Gauss.e. Copérnico.

5. Segundo a geometria euclidiana por um ponto fora de uma reta só é possível construir uma paralela a essa reta passando pelo ponto dado. Esse conceito era, desde 300 a.C., um dos principais postulados. No século XIX, a partir da ideia oposta, de que é possível construir infinitas paralelas a uma reta passando por um ponto fora dessa reta, é criada uma nova geometria. O principal responsável pelo desenvolvimento dessas novas ideias foi o matemático:

a. Euler.b. Lobachevsky.

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oc. Hilbert.d. Newton.e. Laplace.

6. Entre as geometrias não euclidianas que se desenvolveram a partir do século XIX destacam-se a geometria hiperbólica, que considera existirem pelo menos duas paralelas por um ponto fora de uma reta dada, e a geometria esférica, que admite não existir paralela por um ponto fora de uma reta dada.

Os principais matemáticos que desenvolveram essas geometrias foram:

a. Gauss , Lobachevski e Newton.b. Riemann, Gauss e Leibniz.c. Bolyai , Lobachevski e Riemann.d. Gauss , Lobachevski e Euler.e. Riemann, Lobachevski e Euler.

7. A primeira investigação que pode ser considerada como realmente científica sobre o “postulado das paralelas” foi feita no século XVIII por um jesuíta italiano que tentou provar que o quinto postulado de Euclides era independente dos outros. Para isso o método escolhido foi a demonstração por absurdo – reductio ad absurdum. Sua ideia foi admitir que o quinto postulado não era dependente dos outros quatro e a partir dessa hipótese provar, se a conclusão fosse um absurdo lógico, que o postulado era dependente dos outros, sendo na verdade uma proposição geométrica. Foi ele:

a. Nicolo Fontana.b. Raphaelli Bombelli.c. Girolamo Cardano.d. Girolamo Sacchieri.e. Scipione del Ferro.

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o 8. Para entender e estudar a geometria hiperbólica, auxiliando na visualização de um espaço de geometria não euclidiana, no qual o postulado das paralelas não é válido, foram criados modelos. No apresentado abaixo, por ponto P qualquer é possível traçar infinitas retas paralelas a uma reta r dada, se P não pertence a essa reta. Na figura, as retas a e b são ambas paralelas à reta r e se interceptam no ponto P. Podemos construir infinitas retas que satisfazem a essa condição.

P

K

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a

Esse modelo é:

a. O modelo de Lobachevski.b. O modelo de plano de Felix Klein.c. A pseudoesfera de Eugenio Beltrami.d O disco de Henry Poincaré.e. O modelo de Bolyai. 9. Uma das geometrias não euclidianas é a esférica ou elíptica.

Um modelo para esta geometria é uma esfera, na qual as retas são os círculos máximos, isto é, são as geodésias da superfície. Assim sendo, não existem retas paralelas, pois quaisquer que sejam os círculos máximos eles sempre se interceptam. Nessa geometria, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo:

a. É sempre 180 graus.b. É sempre menor que180 graus.c. É sempre maior que 180 graus.

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od. Pode ser maior ou igual a 180 graus.e. Pode ser menor ou igual a 180 graus.

10. Fractal é uma palavra que vem do latim fractus e significa fracionado ou quebrado. Alguns dos mais conhecidos fractais de hoje são o floco de neve de Koch e o conjunto de Cantor. O termo fractal foi criado por Benoit Mandelbrot, em 1975, para designar:

a. Fragmentos de poliedros de cristal.

b. Fragmentos de números decimais.

c. Figuras geométricas irregulares, autossimilares (que apresentam detalhes em escalas grandes e pequenas) e recursivas (que podem ser geradas por um processo recorrente ou iterativo).

d. Fragmentos algébricos usados para resolver equações da geometria diferencial.

e. Fragmentos com valor numérico 1π

.

Resposta dos exercícios

1. b2. d3. b4. d5. b6. c7. d8. c9. c10. d

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