HORIZONTES ECONÔMICOS DIFERENTES. Método da anuidade uniforme equivalente Para que os projetos...

HORIZONTES ECONÔMICOS DIFERENTES

Método da anuidade uniforme equivalente

• Para que os projetos possam ser objetos de uma comparação, é necessário que eles sejam comparáveis.

• Uma das contradições mais problemáticas entre os métodos do VPL e da TIR na seleção de projetos, ocorre quando a duração das alternativas é diferente.

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• Considere duas alternativas de duração diferente, em que A e B poderiam ser tipos de equipamentos que executam a mesma tarefa, sendo que A tem vida útil de um ano e B, de três anos de K = 10%:

TIRA TIRB escolher A

VPLB VPLA escolher B3

PROJETOS 0 1 2 3 TIR VPL

A 10 13 30% 1,82

B 10 5 5 5 23,38% 2,43


• Se considerarmos o VPL como critério ótimo de escolha, a alternativa B será selecionada.

• Contudo, a solução válida requer que as alternativas sejam levadas a um horizonte econômico comum.

• Assim, será necessário admitir que a máquina A possa ser substituída uma ou mais vezes ao fim de sua vida útil por outra idêntica, até que seu horizonte econômico seja igualado ao da alternativa B

• Esse procedimento é chamado de regra da cadeia.

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Método da anuidade uniforme equivalente• Regra da cadeia — os horizontes econômicos das duas alternativas

são igualados em alguma data futura que corresponde ao mínimo múltiplo comum dos prazos das alternativas.

• No exemplo, o mínimo múltiplo comum entre 1 (prazo de duração da alternativa A) e 3 (prazo de duração da alternativa B) é igual a 3. Logo, os prazos serão igualados em três períodos:

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0 1 2 3 VPL

•Fluxo da máquina A 10 13

•1ª substituição de A 10 13

•2ª substituição de A 10 13

Fluxo de caixa 10 3 3 13 4,97

Método da anuidade uniforme equivalente• A alternativa A, após termos igualado os

horizontes econômicos, passa a ser dominante, dado que o VPL de A, com suas duas substituições, agora é maior em relação ao VPL da alternativa B — 4,97 2,43.

• A aplicação direta do método do VPL como critério de seleção, sem igualar previamente os horizontes econômicos das alternativas, pode resultar em decisões inconsistentes com a maximização do valor da empresa.

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Método da anuidade uniforme equivalente• Seria uma tarefa muito cansativa aplicar a

regra da cadeia se, por exemplo, a duração da alternativa A fosse 18 anos e a de B fosse 42 anos, pois os horizontes econômicos seriam igualados somente no 126º ano, o que resultaria em sete repetições sucessivas para A e três para B.

• Um método alternativo e mais prático é o da Anuidade Uniforme Equivalente.

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• Anuidade Uniforme Equivalente (AUE) é um indicador que mostra de que modo seria distribuída a renda econômica gerada pelo projeto se a referida distribuição fosse uniforme para cada ano.

• Equivale a repartir o VPL ao longo da vida útil do projeto transformando-o em uma série uniforme equivalente, que pode ser legitimamente comparada entre projetos de duração diferente.

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• No exemplo, o cálculo das AUEs é realizado da seguinte forma:

AUEA AUEB selecionar A.

9

2,000,90909

1,82

0,101,10

11,10

VPLAUE

1

1A

A

0,982,48685

2,43

0,101,10

11,10

VPLAUE

3

3B

B


Utilizando a HP-12C: AUEA

1,82 CHS PV 1 n 10 i PMT = 2,00

AUEA AUEB selecionar A

Utilizando a HP-12C: AUEB

2,43 CHS PV 3 n10 i PMT = 0,98

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• Qual das alternativas mutuamente exclusivas, X ou Y, deve ser escolhida se o custo do capital for de 10% a.a.

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ALTERNATIVAS 0 1 2 3

X 10 6 6

Y 9 4 4 4


• Pela regra da cadeiaO mmc entre 2 e 3 é igual a 6, logo:

VPLY VPLX selecionar Y

AUEY AUEX selecionar Y

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0 1 2 3 4 5 6 VPL AUE

X 10 6 4 6 4 6 6 1,04 0,24

Y 9 4 4 5 4 4 4 1,66 0,38


Utilizando HP-12C — AUEX

• 10 CHS g Cf0

• 6 g Cf1

• 6 g Cf2

• 10 i• f NPV = 0,4132• 0,4132 CHS PV• 2 n• PMT = 0,24

Utilizando HP-12C — AUEY

• 9 CHS g Cf0

• 4 g Cf1

• 3 g Nj

• 10 i• f NPV = 0,9474• 0,9474 CHS PV• 3 n• PMT = 0,38AUEY AUEX selecionar Y

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• Comparar as alternativas mutuamente exclusivas, A e B, de duração diferente. O custo do capital é de 10% a.a.

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ALTERNATIVAS 0 1 2

A 1.000 1.000 1.000

B 1.000 1.800


Utilizando HP-12C — AUEA

• 1.000 CHS g Cf0

• 1.000 g Cf1

• 1.000 g Cf2

• 10 i• f NPV = 735,54• 735,54 CHS PV• 2 n• PMT = 423,81

Utilizando HP-12C — AUEB

• 1.000 CHS g Cf0

• 1.800 g Cf1

• 10 i• f NPV = 636,36• 636,36 CHS PV• 1 n• PMT = 700,00

AUEB AUEA selecionar B

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Método do custo uniforme equivalente - CUE

• O CUE é um indicador que permite encontrar o custo uniforme que equivale ao investimento inicial.

• Mostra qual é a quantia uniforme que deve ser investida durante a vida útil do projeto de modo que iguale o investimento inicial.

• Fornece informação acerca da distribuição do investimento inicial do negócio.

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• Calcula-se igualando o investimento inicial ao valor atual de uma anuidade uniforme:

• Onde:Inv. = Investimento inicialCUE = Custo uniforme equivalente K = Custo do capital n = Vida útil

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kk1

1k1CUEInv n

n


• Existem projetos que oferecem um determinado serviço que pode ser prestado de diversas maneiras.

• Os benefícios derivados de um serviço público, geralmente não podem ser quantificados em termos monetários.

• Cada forma de prestar o serviço caracteriza-se por custos diferentes perfeitamente delimitáveis.

• No setor privado existem também alternativas que produzem o mesmo serviço, quantificável ou não, mas de diferente custo.

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• Nesse tipo de projeto o fator receita pode ser conhecido ou não, mas, como para todas as alternativas é um fator comum, será irrelevante em uma análise incremental.

• Assim, devemos conhecer os custos das alternativas e selecionar aquela com menor custo.

• Exemplo: Uma empresa pretende adquirir um equipamento e tem disponíveis no mercado duas marcas diferentes: equipamento A e equipamento B. O equipamento A custa $13.000,00 e tem uma vida útil de 12 anos, enquanto o equipamento B custa $11.000,00 com vida útil de 8 anos. Quaisquer que seja o equipamento comprado, A ou B, o benefício será o mesmo: $7.000,00/ano. O custo do capital da empresa é de 4% a.a.

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• Cálculo do custo uniforme equivalente das alternativas:

• Como o benefício das duas alternativas são iguais, a seleção pode ser realizada comparando-se o CUE.CUEA < CUEB selecionar A.

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1.385,18

0,041,04

11,04

13.000CUE

12

12A

1.633,81

0,041,04

11,04

11.000CUE

8

8B

Método do custo uniforme equivalente

Utilizando a HP-12C: CUEA

13.000 CHS PV 12 n 4 i PMT = 1.385,18

CUEA < CUEB selecionar A

Utilizando a HP-12C: CUEB

11.000 CHS PV 8 n 4 i PMT = 1.633,81

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• Qual dos equipamentos, X ou Y, é mais adequado para realizar uma determinada operação? Considere o custo de oportunidade do capital de 10% a.a.

•

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Equipamento

CustoInicial

Custo/anoOperacional Vida Útil

X 12 2,5 3 anos

Y 32 2,0 8 anos


• Cálculo do custo uniforme equivalente das alternativas:

• Como o benefício das duas alternativas são iguais, a seleção pode ser realizada comparando-se o CUE.CUEX < CUEY selecionar X.

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/ano7,332,54,83

0,101,10

11,10

12CUE

3

3X

/ano82,06,0

0,101,10

11,10

32CUE

8

8Y

Método do custo uniforme equivalente

Utilizando a HP-12C: CUEX

12 CHS PV 3 n 10 i PMT = 4,83

CUEX = 4,83 + 2,5 = 7,33CUEX < CUEY selecionar X

Utilizando a HP-12C: CUEY

32 CHS PV 8 n 10 i PMT = 6,0

CUEY = 6,0 + 2,0 = 8,0

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• A Riolight pretende instalar um gerador de energia elétrica a um custo de $10.000.000. Os custos operacionais projetados são de $80.000,00/mês ao longo da vida útil do equipamento, que foi estimada em 120 meses. Considerando que a empresa requer uma rentabilidade mínima de 10% a.m., determinar o custo mensal que deve ser repassado aos usuários do equipamento.

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Equipamento CustoInicial

Custo/mêsOperacional Vida Útil

Gerador 10.000.000 80.000 120 meses


• Cálculo do custo mensal a ser repassado aos usuários:

• O custo mensal que deve ser repassado aos clientes, de modo que cubra os custos operacionais e proporcione a rentabilidade mínima desejada à empresa pelo capital investido é de $1.080.011,00/mês, que corresponde ao custo operacional/mês mais uma mensalidade uniforme equivalente calculada sobre o investimento inicial.

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/mês1.080.01180.0001.000.011

0,101,10

11,10

10.000.000CUE

120

120G


• Utilizando a HP-12C:

10.000.000 CHS PV 120 n

10 i PMT = 1.000.011

CUEG = 1.000.011 + 80.000

CUEG = 1.080.011

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Tempo ótimo de substituição de equipamentos• Um equipamento com custo de aquisição de $100.000,00 tem

uma vida útil de três anos e um valor residual que depende do número de anos de uso: $60.000,00, $15.000,00 e $10.000,00 respectivamente para um ano, dois anos e três anos de uso. Os custos operacionais projetados são de $20.000,00/ano, $28.000,00/ano e 42.000,00/ano, respectivamente, para cada ano de operação. Determinar o tempo ótimo de substituição do equipamento considerando-se um custo do capital de 10% a.a.

• Como o equipamento pode funcionar um, dois ou três anos, existem três alternativas mutuamente exclusivas de diferentes durações.

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Tempo ótimo de substituição de equipamentos

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ALTERNATIVASCustoInicial

Custo operacional / Valor residual

Um ano Dois anos Três anos

1ª 100.00020.000+60.000+40.000

2ª 100.000 20.00028.000+15.00013.000

3ª 100.000 20.000 28.00042.000+10.00032.000

Tempo ótimo de substituição de equipamentos

• CUE — para um ano100.000 CHS g Cf0 40.000 g Cf1

10 i f NPV = 63.636,36

63.636,36 PV 1 n

PMT = 70.000

CUE1 ANO = 70.000

• CUE — para dois anos100.000 CHS g Cf0 20.000 g Cf1

13.000 g Cf2

10 i f NPV = 128.925,62

128.925,62 PV 2 n

PMT = 74.285,71

CUE2 ANOS = 74.285,7130

Tempo ótimo de substituição de equipamentos• CUE — para três anos

100.000 CHS g Cf0 20.000 g Cf1

28.000 g Cf2 32.000 g Cf3 10 i

f NPV = 165.364,39

165.364,39 PV 3 n

PMT = 66.495,47

CUE3 ANOS = 66.495,47

• CUE3 < CUE1 < CUE2

• Como o menor Custo Uniforme Equivalente é verificado no terceiro ano, será esse o período ótimo de substituição do equipamento.

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Escala ótima dos projetos de investimento• Determinar o tamanho ótimo de uma planta. O quadro a

seguir mostra diversos tamanhos possíveis da planta, com o investimento necessário e a produção para diversas escalas:

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Escala Investimento Produção1 120.000,00 10.0002 145.000,00 12.0003 170.000,00 13.5004 180.000,00 15.0005 200.000,00 15.500

Outras Informações

Preço de venda = 6,00/unid.

Custo operacional = 0,80/unid.

Vida útil das plantas = 5 anos

Custo do capital = 10% a.a.

Escala ótima dos projetos de investimento• Fluxos de caixa futuros:

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Escala Investimento Fluxo Caixa Vida útil

1 120.000,00 52.000,00 5 anos

2 145.000,00 62.400,00 5 anos

3 170.000,00 70.200,00 5 anos

4 180.000,00 78.000,00 5 anos

5 200.000,00 80.600,00 5 anos

Escala ótima dos projetos de investimento

• Cálculo da AUE1

120.000 PV 5 n 10 i

PMT = 31.655,70

AUE1 = 31.655,70 + 52.000,00

AUE1 = 20.344,30


145.000 PV 5 n 10 i

PMT = 38.250,63

AUE2 = 38.250,63 + 62.400,00

AUE2 = 24.149,37

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170.000 PV 5 n 10 i

PMT = 44.845,57

AUE3 = 44.845,57 + 70.200,00

AUE3 = 25.354,43


180.000 PV 5 n 10 i

PMT = 47.483,55

AUE4 = 47.483,55 + 78.000,00

AUE4 = 30.516,45

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200.000 PV 5 n 10 i

PMT = 52.759,50

AUE5 = 52.759,50 + 80.600,00

AUE5 = 27.840,50

AUE4 AUE5 AUE3 AUE2 AUE1

• A escala ótima é a 4, pois apresenta a maior Anuidade Uniforme Equivalente, assegurando que dentre os projetos é o que vai agregar mais valor.

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Ranking e seleção de projetos — racionamento de capital

• A hierarquização de um conjunto de alternativas de investimento pode ser tratada sob duas situações.

A primeira — não há restrição de capital no financiamento da carteira de projetos. Nesses casos os projetos são hierarquizados pelo VPL.

A segunda — existe restrição na disponibilidade de capitais. Nessa situação, os projetos devem ser ordenados de acordo com o índice de rentabilidade, pois o que interessa é maximizar a rentabilidade por cada real investido, dadas as restrições de capital existentes.

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• Uma forma de calcular esse índice é dividindo o VPL pelo investimento inicial.

• Uma outra forma de calcular é dividindo o valor presente dos fluxos de caixa líquidos (excluído o investimento inicial) pelo investimento inicial.

• Essa regra é válida somente para projetos independentes.

• A regra de decisão será pré-selecionar todos os projetos com VPL positivo e, a seguir, escolher os de maior índice de rentabilidade, limitada a restrição de capital.

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• Uma empresa tem um custo do capital de 8% e possui as seguintes alternativas de investimento candidatas a integrar a sua carteira de projetos:

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Projetos 0 1 2 3 4

A 5.000 580 1.600 2.000 3.000

B 10.000 3.000 4.000 6.000

C 10.000 4.000 4.000 4.000 4.000

D 12.000 5.000 5.000 5.000

E 8.000 6.000 6.000

F 5.000 1.000 4.500

G 6.000 2.000 2.000 3.000 3.000


• Quais projetos serão selecionados se não houver restrição de capital?

• Quais projetos serão selecionados se o capital disponível for de somente $24.000,00?Na tabela a seguir os projetos são ordenados pelo VPL:

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Projetos VPL Investimento Índice Rentabilidade

C 3.249 10.000 3.249 10.000 32%E 2.700 8.000 2.700 8.000 34%G 2.153 6.000 2.153 6.000 36%B 970 10.000 970 10.000 10%D 885 12.000 885 12.000 7%A 702 5.000 702 5.000 14%F 216 5.000 216 5.000 4%


• Na tabela a seguir os projetos são ordenados pelo Índice de Rentabilidade:

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Projetos Índice Rentabilidade Investimento Investimento

acumulado

G 36% 6.000,00 6.000,00

E 34% 8.000,00 14.000,00

C 32% 10.000,00 24.000,00

A 14%

B 10%

D 7%

F 4%


• Sem restrição de capital, somente o projeto F deve ser rejeitado por ter um VPL < 0. Todos os outros projetos seriam passíveis de aceitação.

• Todos os projetos com índice de rentabilidade superior ao custo do capital (8%) podem ser aceitos.

• Contudo, existindo restrição de capital, dado que o financiamento está limitado a $24.000,00, somente serão aceitos os projetos G, E e C.

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