Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Uma construção conceitual das funções...
106
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 07 Parte 7 Matemática Básica 1
Transcript of Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Uma construção conceitual das funções...
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 07
Parte 7 Matemática Básica 1
Funções exponenciais e logarítmicas
Parte 7 Matemática Básica 2
Observações
Nosso enfoque aqui será mais do pontos de vista operacional doque conceitual.
Uma construção conceitual das funções exponencial e logarítmicarequer ferramentas de cálculo diferencial e integral.
Para o leitor interessado em uma abordagem mais conceitual,indicamos as referências a seguir.
Parte 7 Matemática Básica 3
Observações
Nosso enfoque aqui será mais do pontos de vista operacional doque conceitual.
Uma construção conceitual das funções exponencial e logarítmicarequer ferramentas de cálculo diferencial e integral.
Para o leitor interessado em uma abordagem mais conceitual,indicamos as referências a seguir.
Parte 7 Matemática Básica 4
Observações
Nosso enfoque aqui será mais do pontos de vista operacional doque conceitual.
Uma construção conceitual das funções exponencial e logarítmicarequer ferramentas de cálculo diferencial e integral.
Para o leitor interessado em uma abordagem mais conceitual,indicamos as referências a seguir.
Parte 7 Matemática Básica 5
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 6
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 7
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 8
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 9
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 10
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 11
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 12
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 13
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 14
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 15
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
y = f (x) = ax é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 16
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
É importante saber os gráficos das funções exponenciais!
Parte 7 Matemática Básica 17
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
Uma função exponencial especial: y = ex , com e = 2.718281 . . ..
Parte 7 Matemática Básica 18
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 19
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 20
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 21
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 22
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 23
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 24
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 25
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 26
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 27
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 28
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 29
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 30
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 31
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 32
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 33
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 34
Motivação: empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Moral: como limn→+∞ (1 + 1/n)n = e = 2.718281828459045235 . . ., o valor justodo pagamento um empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano após 1 ano deveriaser de e = 2.718281828459045235 . . . reais.
Em Cálculo I -A- você aprenderá que
ex = limn→+∞
(1 +
xn
)n
e que
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!+ · · · =
∞∑i=0
x i
i!.
Parte 7 Matemática Básica 35
Motivação: empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Moral: como limn→+∞ (1 + 1/n)n = e = 2.718281828459045235 . . ., o valor justodo pagamento um empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano após 1 ano deveriaser de e = 2.718281828459045235 . . . reais.
Em Cálculo I -A- você aprenderá que
ex = limn→+∞
(1 +
xn
)n
e que
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!+ · · · =
∞∑i=0
x i
i!.
Parte 7 Matemática Básica 36
Motivação: empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Moral: como limn→+∞ (1 + 1/n)n = e = 2.718281828459045235 . . ., o valor justodo pagamento um empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano após 1 ano deveriaser de e = 2.718281828459045235 . . . reais.
Em Cálculo I -A- você aprenderá que
ex = limn→+∞
(1 +
xn
)n
e que
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!+ · · · =
∞∑i=0
x i
i!.
Parte 7 Matemática Básica 37
Motivação: empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano
Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Moral: como limn→+∞ (1 + 1/n)n = e = 2.718281828459045235 . . ., o valor justodo pagamento um empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano após 1 ano deveriaser de e = 2.718281828459045235 . . . reais.
Em Cálculo I -A- você aprenderá que
ex = limn→+∞
(1 +
xn
)n
e que
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!+ · · · =
∞∑i=0
x i
i!.
Parte 7 Matemática Básica 38
Cuidado: função exponencial 6= função potência
Cuidado:função exponencial 6= função potência!
Função exponencial: y = constantex .
Função potência: y = xconstante.
y = xx não é uma função exponencial e nem uma funçãopotência!
Parte 7 Matemática Básica 39
Cuidado: função exponencial 6= função potência
Cuidado:função exponencial 6= função potência!
Função exponencial: y = constantex .
Função potência: y = xconstante.
y = xx não é uma função exponencial e nem uma funçãopotência!
Parte 7 Matemática Básica 40
Cuidado: função exponencial 6= função potência
Cuidado:função exponencial 6= função potência!
Função exponencial: y = constantex .
Função potência: y = xconstante.
y = xx não é uma função exponencial e nem uma funçãopotência!
Parte 7 Matemática Básica 41
Cuidado: função exponencial 6= função potência
Cuidado:função exponencial 6= função potência!
Função exponencial: y = constantex .
Função potência: y = xconstante.
y = xx não é uma função exponencial e nem uma funçãopotência!
Parte 7 Matemática Básica 42
Cuidado: função exponencial 6= função potência
Cuidado:função exponencial 6= função potência!
Função exponencial: y = constantex .
Função potência: y = xconstante.
y = xx não é uma função exponencial e nem uma funçãopotência!
Parte 7 Matemática Básica 43
Cuidado: função exponencial 6= função potência
Cuidado:função exponencial 6= função potência!
Função exponencial: y = constantex .
Função potência: y = xconstante.
y = xx não é uma função exponencial e nem uma funçãopotência!
Parte 7 Matemática Básica 44
Cuidado: função exponencial 6= função potência
Cuidado:função exponencial 6= função potência!
Função exponencial: y = constantex .
Função potência: y = xconstante.
y = xx não é uma função exponencial e nem uma funçãopotência!
Parte 7 Matemática Básica 45
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 46
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 47
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 48
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 49
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 50
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 51
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 52
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 53
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 54
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 55
A função logarítmica
f : R → ]0,+∞[x 7→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
A função f : R→]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 56
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 57
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 58
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 59
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 60
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 61
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 62
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 63
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 64
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 65
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 66
A função logarítmica: propriedades
y = f (x) = loga(x) com a > 0,a 6= 1 e x ∈]0,+∞[.
É importante saber os gráficos das funções logarítmicas!
Parte 7 Matemática Básica 67
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:loga(1) = 0 e loga(a) = 1, para todo a > 0 e a 6= 1.
De fato: loga(1) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá 1: aloga(1) = 1. Como a0 também é igual a 1, segue-se queloga(1) = 0.
De fato: loga(a) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá a: aloga(a) = a. Como a1 também é igual a a, segue-se queloga(a) = 1.
Parte 7 Matemática Básica 68
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:loga(1) = 0 e loga(a) = 1, para todo a > 0 e a 6= 1.
De fato: loga(1) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá 1: aloga(1) = 1. Como a0 também é igual a 1, segue-se queloga(1) = 0.
De fato: loga(a) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá a: aloga(a) = a. Como a1 também é igual a a, segue-se queloga(a) = 1.
Parte 7 Matemática Básica 69
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:loga(1) = 0 e loga(a) = 1, para todo a > 0 e a 6= 1.
De fato: loga(1) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá 1: aloga(1) = 1. Como a0 também é igual a 1, segue-se queloga(1) = 0.
De fato: loga(a) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá a: aloga(a) = a. Como a1 também é igual a a, segue-se queloga(a) = 1.
Parte 7 Matemática Básica 70
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:loga(1) = 0 e loga(a) = 1, para todo a > 0 e a 6= 1.
De fato: loga(1) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá 1: aloga(1) = 1. Como a0 também é igual a 1, segue-se queloga(1) = 0.
De fato: loga(a) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá a: aloga(a) = a. Como a1 também é igual a a, segue-se queloga(a) = 1.
Parte 7 Matemática Básica 71
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:loga(1) = 0 e loga(a) = 1, para todo a > 0 e a 6= 1.
De fato: loga(1) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá 1: aloga(1) = 1. Como a0 também é igual a 1, segue-se queloga(1) = 0.
De fato: loga(a) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá a: aloga(a) = a. Como a1 também é igual a a, segue-se queloga(a) = 1.
Parte 7 Matemática Básica 72
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:loga(1) = 0 e loga(a) = 1, para todo a > 0 e a 6= 1.
De fato: loga(1) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá 1: aloga(1) = 1. Como a0 também é igual a 1, segue-se queloga(1) = 0.
De fato: loga(a) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá a: aloga(a) = a. Como a1 também é igual a a, segue-se queloga(a) = 1.
Parte 7 Matemática Básica 73
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:loga(1) = 0 e loga(a) = 1, para todo a > 0 e a 6= 1.
De fato: loga(1) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá 1: aloga(1) = 1. Como a0 também é igual a 1, segue-se queloga(1) = 0.
De fato: loga(a) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá a: aloga(a) = a. Como a1 também é igual a a, segue-se queloga(a) = 1.
Parte 7 Matemática Básica 74
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:loga(1) = 0 e loga(a) = 1, para todo a > 0 e a 6= 1.
De fato: loga(1) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá 1: aloga(1) = 1. Como a0 também é igual a 1, segue-se queloga(1) = 0.
De fato: loga(a) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá a: aloga(a) = a. Como a1 também é igual a a, segue-se queloga(a) = 1.
Parte 7 Matemática Básica 75
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
De fato: loga(p · q) é o único número real tal que a elevado a estenúmero dá p · q: aloga(p·q) = p · q. Agora:
aloga(p)+loga(q) = aloga(p) · aloga(q) = p · q.
Logo, loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
Parte 7 Matemática Básica 76
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
De fato: loga(p · q) é o único número real tal que a elevado a estenúmero dá p · q: aloga(p·q) = p · q. Agora:
aloga(p)+loga(q) = aloga(p) · aloga(q) = p · q.
Logo, loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
Parte 7 Matemática Básica 77
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
De fato: loga(p · q) é o único número real tal que a elevado a estenúmero dá p · q: aloga(p·q) = p · q. Agora:
aloga(p)+loga(q) = aloga(p) · aloga(q) = p · q.
Logo, loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
Parte 7 Matemática Básica 78
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
De fato: loga(p · q) é o único número real tal que a elevado a estenúmero dá p · q: aloga(p·q) = p · q. Agora:
aloga(p)+loga(q) = aloga(p) · aloga(q) = p · q.
Logo, loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
Parte 7 Matemática Básica 79
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
De fato: loga(p · q) é o único número real tal que a elevado a estenúmero dá p · q: aloga(p·q) = p · q. Agora:
aloga(p)+loga(q) = aloga(p) · aloga(q) = p · q.
Logo, loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
Parte 7 Matemática Básica 80
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
De fato: loga(p · q) é o único número real tal que a elevado a estenúmero dá p · q: aloga(p·q) = p · q. Agora:
aloga(p)+loga(q) = aloga(p) · aloga(q) = p · q.
Logo, loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
Parte 7 Matemática Básica 81
A função logarítmica
Fica como exercício demonstrar as propriedades a seguir.
Propriedade:Se p > 0 e r ∈ R, então loga(p
r ) = r · loga(p).
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p/q) = loga(p)− loga(q).
Propriedade:Se x > 0, a > 0, b > 0, a 6= 1 e b 6= 1, então
loga(x) = logb(x)/ logb(a).
Parte 7 Matemática Básica 82
A função logarítmica
Fica como exercício demonstrar as propriedades a seguir.
Propriedade:Se p > 0 e r ∈ R, então loga(p
r ) = r · loga(p).
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p/q) = loga(p)− loga(q).
Propriedade:Se x > 0, a > 0, b > 0, a 6= 1 e b 6= 1, então
loga(x) = logb(x)/ logb(a).
Parte 7 Matemática Básica 83
A função logarítmica
Fica como exercício demonstrar as propriedades a seguir.
Propriedade:Se p > 0 e r ∈ R, então loga(p
r ) = r · loga(p).
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p/q) = loga(p)− loga(q).
Propriedade:Se x > 0, a > 0, b > 0, a 6= 1 e b 6= 1, então
loga(x) = logb(x)/ logb(a).
Parte 7 Matemática Básica 84
A função logarítmica
Fica como exercício demonstrar as propriedades a seguir.
Propriedade:Se p > 0 e r ∈ R, então loga(p
r ) = r · loga(p).
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p/q) = loga(p)− loga(q).
Propriedade:Se x > 0, a > 0, b > 0, a 6= 1 e b 6= 1, então
loga(x) = logb(x)/ logb(a).
Parte 7 Matemática Básica 85
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 86
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 87
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 88
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 89
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 90
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 91
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 92
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 93
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 94
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 95
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 96
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 97
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 98
Funções potência, logarítmica e afim
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
ln(y) = ln(C · xa)
mln(y) = ln(C) + ln(xa)
mln(y) = ln(C) + a · ln(x)
Fazendo y = ln(y) e x = ln(x), vemos que:
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
y = ln(C) + a · x (função afim)
Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!Parte 7 Matemática Básica 99
Funções potência, logarítmica e afim
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
ln(y) = ln(C · xa)
mln(y) = ln(C) + ln(xa)
mln(y) = ln(C) + a · ln(x)
Fazendo y = ln(y) e x = ln(x), vemos que:
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
y = ln(C) + a · x (função afim)
Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!Parte 7 Matemática Básica 100
Funções potência, logarítmica e afim
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
ln(y) = ln(C · xa)
mln(y) = ln(C) + ln(xa)
mln(y) = ln(C) + a · ln(x)
Fazendo y = ln(y) e x = ln(x), vemos que:
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
y = ln(C) + a · x (função afim)
Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!Parte 7 Matemática Básica 101
Funções potência, logarítmica e afim
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
ln(y) = ln(C · xa)
mln(y) = ln(C) + ln(xa)
mln(y) = ln(C) + a · ln(x)
Fazendo y = ln(y) e x = ln(x), vemos que:
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
y = ln(C) + a · x (função afim)
Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!Parte 7 Matemática Básica 102
Funções potência, logarítmica e afim
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
ln(y) = ln(C · xa)
mln(y) = ln(C) + ln(xa)
mln(y) = ln(C) + a · ln(x)
Fazendo y = ln(y) e x = ln(x), vemos que:
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
y = ln(C) + a · x (função afim)
Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!Parte 7 Matemática Básica 103
Funções potência, logarítmica e afim
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
ln(y) = ln(C · xa)
mln(y) = ln(C) + ln(xa)
mln(y) = ln(C) + a · ln(x)
Fazendo y = ln(y) e x = ln(x), vemos que:
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
y = ln(C) + a · x (função afim)
Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!Parte 7 Matemática Básica 104
Funções potência, logarítmica e afim
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
ln(y) = ln(C · xa)
mln(y) = ln(C) + ln(xa)
mln(y) = ln(C) + a · ln(x)
Fazendo y = ln(y) e x = ln(x), vemos que:
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
y = ln(C) + a · x (função afim)
Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!Parte 7 Matemática Básica 105
Funções potência, logarítmica e afim
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
ln(y) = ln(C · xa)
mln(y) = ln(C) + ln(xa)
mln(y) = ln(C) + a · ln(x)
Fazendo y = ln(y) e x = ln(x), vemos que:
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)m
y = ln(C) + a · x (função afim)
Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!Parte 7 Matemática Básica 106
