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CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICAINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

7 DE MARÇO DE 2017

GEOMETRIA

MOMENTO 01

Humberto José Bortolossi

http://www.professores.uff.br/hjbortol/

Universidade Federal Fluminense1

GEOMETRIA: EMENTA OFICIAL

• Visualização, raciocínio espacial e o desenvolvimento dopensamento geométrico.

• Recursos metodológicos para o ensino da Geometria.

• O uso de recursos didáticos como: materiais concretos, jogos,softwares educacionais, etc.

• Discussão do processo histórico em torno do Postulado V deEuclides, iniciação à construção axiomática da geometria euclidianae noções introdutórias sobre geometrias não-euclidianas.

• Conceitos e proposições básicas sobre figuras planas e espaciais:estudo envolvendo incidência, ordem, medida e transformações.

Bibliografia oficial (longa): ver página web da disciplina!

OBJETIVOS DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO

• Qualificar professores que atuem no Ensino Fundamental, Médio ouSuperior em Matemática contribuindo para a formação de umprofissional comprometido com uma prática escolar inovadora edinâmica.

• Capacitar o docente a analisar, refletir, criticar, criar e adaptarconteúdos curriculares matemáticos básicos através demetodologias de ensino adequadas à realidade escolar do aluno.

• Estimular o docente a realizar outras atividades de pós-graduaçãoem Educação Matemática e em Matemática.

• Estimular o docente a refletir sobre o papel dos conteúdos deMatemática no sistema de ensino, considerando as relações dearticulação da Matemática com as demais Ciências.

GEOMETRIA: PÁGINA WEB

GEOMETRIA: PÁGINA WEB

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DISCIPLINAS e, então, Geometria na página à direita.

GEOMETRIA: SOBRE O SIGNIFICADO DAS PALAVRAS


Aquecimento:dado um segmento AB, como construir, usando régua e compasso,um triângulo equilátero cuja base é o segmento AB?

Resposta dada em “Os Elementos” de Euclides:Fique descrito, por um lado, com ocentro A, e, por outro lado, com adistância AB, o círculo BCD, e, denovo, fique descrito, por um lado, como centro B, e, por outro lado, com adistância BA, o círculo ACE, e a partirdo ponto C, no qual os círculos secortam, até os pontos A, B, fiqueligadas as retas CA, CB.


A linguagem científica pode serdiferente da linguagem do cotidiano.

Uma mesma palavra pode ser usadaem diferentes épocas por diferentespessoas com os mais variadossignificados (muitas vezes,incompatíveis entre si).

Uma mesma palavra pode ter, em ummesmo texto, significados diferentesdependendo do contexto.


O que é um círculo?

Quais são as diferenças, se é que existem, entre círculo, circunferência e disco?

Dicionário Houaiss:

Círculo. Rubrica: geometria. superfície plana limitada por umacircunferência.

Circunferência. Rubrica: geometria. linha curva, fechada, cujospontos são equidistantes de um ponto fixo, o centro.




Seja A um ponto do plano e r um número realpositivo. O círculo de centro em A e raio r é oconjunto constituído por todos os pontos B doplano tais que a medida do segmento AB éigual a r.




ιε΄(Στοιχεῖα Εὐκλείδου). Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶςγραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ'ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱπροσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαιἀλλήλαις εἰσίν.




Definição 15 (de “Os Elementos” de Euclides). Círculo é umafigura plana contida por uma linha [que é chamadacircunferência], em relação à qual todas as retas que aencontram [até a circunferência do círculo], a partir de umponto dos postos no interior da figura, são iguais entre si.




A construção dada por Euclides de um triângulo equilátero,dado um de seus lados, com régua e compasso, é compatívelcom a definição que ele deu para círculo?


Desde a Grécia antiga, matemáticos tentam determinar o número de poliedros regulares. Um estudodos cinco “sólidos platônicos” é o tópico final dos Elementos de Euclides. Embora esta lista depoliedros regulares fosse considerada completa, dois milênios depois, Kepler encontrou dois outrospoliedros regulares e, no início do século XIX, Poinsot encontrou mais dois; Cauchy entãodemonstrou que não existiam outros. Mas, na década de 1920, Petrie e Coxeter encontram trêsnovos poliedros regulares e provaram a completude desta enumeração. Contudo, em 1977 eudescobri uma nova classe de poliedros regulares e, em seguida, Dress provou que acrescentandomais um poliedro, a lista de poliedros regulares estava completa. Então, cerca de dez anos atrás, euencontrei mais uma nova categoria de poliedros regulares e, até agora, ninguém afirmou que todosos poliedros regulares foram finalmente encontrados.

Como a contagem do número de poliedros regulares estabelecida por matemáticos distintos comoEuclides, Cauchy, Coxeter e Dress é logo desmentida a seguir? A resposta é muito simples – todosos resultados estão corretos; o que mudou é o significado do termo “poliedro” adotado por cada umdestes matemáticos. Enquanto pessoas diferentes interpretarem o conceito (de poliedro) de maneiradiferente, sempre existirá a possiblidade de que resultados sejam verdadeiros sob uma interpretaçãoe sejam falsos sobre outra interpretação. De fato, mesmo variações sutis na definição podemproduzir mudanças significativas na validade dos resultados.

Grünbaum, B. Are Your Polyhedra The Same as My Polyhedra?. Em Aronov, B.; Basu, S.; Pach, J.;Sharir, M. (editores). Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift.Springer-Verlag, p. 461-588, 2003.

GEOMETRIA: UM POUCO SOBRE SUA NATUREZA


Desafio:quem vier ao quadro e desenhar um ponto passa na disciplina comnota 10! Quem se habilita?

Moral: no “mundo real” não existem pontos, retas, círculos, cubos,esferas, etc. Todos esses objetos são abstratos.

Apesar de abstratos, eles são úteis (e parte da utilidade estájustamente na abstração!).

Não estamos dizendo que, em princípio, você deve dizer issoa seus alunos da escola básica! Mas você, professor, deve estarciente disso!


Desafio:quem vier ao quadro e desenhar um ponto passa na disciplina comnota 10! Quem se habilita?

Fato ou mito: crianças não conseguem lidar com objetos abstratos?

Mito: basta considerar os contos de fada!


Aquecimento:construa um quadrilátero ABCD e, em seguida, respectivamente,construa os pontos médios X, Y, Z e W dos lados AB, BC, CD, eAD. Quais propriedades marcantes possui o quadrilátero XYZW?

Nota: propositalmente, não foi incluída uma figura que poderia ilustrar

o problema!

Encaminhamento: sente com um colega e discuta o problema!



Vamos estudar esse problema no GeoGebra?



Essas duas “demonstrações” usando o GeoGebra são válidas?


Que tipo de objeto geométrico está sendo exibido na figuraa seguir? [Pense e guarde a resposta consigo!]


Uma hipérbole que intercepta suas assíntotas?

Cuidado: toda representação tem suas limitações!Ainda assim, elas são muito úteis!

RESUMO DA ÓPERA

GEOMETRIA: SOBRE O SIGNIFICADO DAS PALAVRASAo contrário do que muitos acreditam, na Matemática, existem palavrascujos significados não são unânimes e autores diferentes podem usardefinições diferentes. O importante, como diz Humpty Dumpty, é saberquem dita as regras. Também é importante, uma vez escolhidas as regras,que o desenvolvimento seja coerente com elas.

GEOMETRIA: UM POUCO SOBRE SUA NATUREZAOs objetos geométricos são abstratos: eles não existem no mundo real e,nem por isso, eles deixam de ser úteis (e de serem acessíveis para crianças).Muito pelo contrário. Acessamos esses objetos abstratos por meio demodelos e representações que, portanto, são “alegorias” dos objetosabstratos. Um professor deve conhecer as potencialidades e limitações decada tipo de modelo e representação.

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