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Pré-Cálculo

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 6

3 de agosto de 2010

Aula 6 Pré-Cálculo 1

Implicações e teoria dos conjuntos



f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)

Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).

A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!

Defina os conjuntos:

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.

A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .



f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)







Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo

A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?

(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.

A proposição é falsa, pois H * T .

Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.




(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0, 1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.




Números reais algebricamente(axiomaticamente)


Números reais algebricamente (axiomaticamente)

A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):

um corpo ordenado completo.

Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.


R é ordenado


R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.

R é ordenado










Números reais positivos e a reta numérica

−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos



−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivos

números reais negativos



−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos


Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas nadisciplina Matemática Básica.

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]∀a, b, c ∈ R, a 0, a b · c. [PO04]∀a, b, c ∈ R, a b. [PO06]∀a, b, c ∈ R, a 0⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0⇔ 1/a < 0. [PO08]∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a b · c. [PO10]∀a, b ∈ R, (i) a −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]∀a ∈ R, a 6= 0⇔ a2 > 0. [PO16]

∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

[PO07]

∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.

[PO09]

∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.

[PO10]

∀a, b ∈ R, a · b > 0⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0)

∀a, b ∈ R, a · b < 0⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0)

[PO12]

Observações

A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lidada seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+

∗ para indicar os reais positivos.

O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.

Observações








Observações

O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei 6= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

Observações



i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0

[PO07]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) >

12· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0

[PO07]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) >

12· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]

⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) >

12· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) >

12· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) >

12· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)

⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) >

12· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]

⇐⇒ 12· (2 · x) >

12· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) >

12· 4

(C3)

⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) >

12· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]

⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) >

12· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]⇐⇒ 1 · x >

12· 4

[PA04]

⇐⇒ x >12· 4 = 2



2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 1

2· (2 · x) >

12· 4

(C3)⇐⇒

(12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]⇐⇒ 1 · x >

12· 4

[PA04]⇐⇒ x >

12· 4 = 2


(x − 5) · (x − 1) > 0

[PO12]

⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]

⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]

⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1

Intervalos

Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞, +∞) = R.

Intervalos



(−∞, +∞) = R.


Intervalos



(−∞, +∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b

:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞, +∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado

, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞, +∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto

, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞, +∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda

, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞, +∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita

. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞, +∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados

: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞, +∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b.

Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞, +∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas.

Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Intervalos



(−∞, +∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Observações

Outra notações para intervalos:

]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),

[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.

−∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.


Observações






Intervalos

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

a b


Intervalos

(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}

a b

Intervalos

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

a b

Intervalos

(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

a b

Intervalos

(−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b}

b


Intervalos

(−∞, b) = {x ∈ R | x < b}

b

Intervalos

[a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

a


Intervalos

(a, +∞) = {x ∈ R | a < x}

a

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔

2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

#

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔

2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.


#

CUIDADO!

1− 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔ 2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.


#

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)

x − 1< 0 ⇔ x − 5

x − 1< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)

x − 1< 0 ⇔ x − 5

x − 1< 0


x − 5x − 1

< 0

m

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)

x − 1< 0 ⇔ x − 5

x − 1< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1, 5).

R é completo


Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...




Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.

Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...




Q é completo?

Será que toda sequência xn de números racionais crescente elimitada sempre tende a algum número racional?

Resposta: não!


Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...


Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!


Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...




R é completo!

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Em R, xn converge para o número√

2 ∈ R!

Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...




R é completo!

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Em R, xn converge para um número em R!

R é completo!

Q não é completo.

R é completo.

C é completo

(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)


R é completo!

Q não é completo.

R é completo.

C é completo



R é completo!

O que é 3√

5?


Construção dos números reais

Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.


Humberto José Bortolossi - professores.uff.br · A proposição é verdadeira se, e somente...

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