IA841 – Modelagem de Sólidos

Representações

Hoffmann: Capítulo 5

Curvas e Superfícies Algébricas

● Curvas algébricas: lugar geométrico das funções polinominais do tipo f(x,y)=0

● Superfícies algébricas: lugar geométrico das funções polinominais do tipo f(x,y,z)=0

http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicSurface.html

http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicCurve.html

Pontos em coordenadas cartesianas: (x,y,z)

Funções

Domínio: pontos espaciais

= 0

Transformações Afins e Projetivas em Rn

● Afins

● Projetivas

(y1y2⋮yn

)=(a11 a12 a13 ⋯ a1na21 a22 a23 ⋯ a2n⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮an1 an2 an3 ⋯ ann

)(x1x2⋮xn

)

(y0y1y2⋮yn

)=(a00 a01 a02 ⋯ a0na10 a11 a12 ⋯ a1na20 a21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮an0 an1 an2 ⋯ ann

)(x0x1x2⋮xn

) (y1y0y2y0⋮yn

y0

)no plano projetivo

Suprfícies Impícitas

http://xahlee.info/surface/gallery.html

f (x , y , z)=81( x3+ y3+ z3)−189( x2 y+ x2 z+ y2 x+ y2 z+ z 2 x+ z2 y )

+54( xyz)+126( xy+ xz+ yz )−9(x2+ y2+ z2)−9( x+ y+ z)+1=0

f ( x , y , z)<0

Quando se trata de uma superfície fechada● Pontos interiores

● Pontos exteriores

f ( x , y , z )>0

Redutibilidade

● f(x,y,z) é redutível, se existem h(x,y,z) e k(x,y,z), tal que f(x,y,z)=h(x,y,z) k(x,y,z). ● Uma superfície algébrica pode ter mais de uma componente.● Superfície redutível: x2+y2= (x+iy)(x-iy)=0● Superfície irredutível: x2+y2-1=0

Gradiente

● Direção a partir de (x,y,z) na qual se obtém o maior incremento em f(x,y,z)

● Vetor normal

∇ f =(∂ f∂ x

,∂ f∂ y

,∂ f∂ z

)

n⃗=∇ f

∣∇ f ∣

Singularidade● Pontos singulares são aqueles em que o gradiente se anula.

Cone de tangentes

Plano de tangentes

http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_conehttp://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_space

n⃗=(n x , n y , nz)

h( x , y , z)=nx x+n y y+nz z−(nx x x+ny x y+nz x z)=0

q=(ta , tb , tc)

p=(a ,b , c )

h(x , y , z )=0

Ponto singularPonto não-singular

Grau● Maior grau (n) dentre todos os termos

●Grau n → quantidade máxima de termos LI = (m+1)

● Dimensão: número de termos linearmente independentes

m=(n+33 )−1=n(n2+6n+11)6

8x2−xy2+ xz2+ y2+ z2−8=0

2 2 23 3

Unicidade● Há somente uma única representação algébrica para cada superfície?

● Espaço projetivo de (funções) de m dimensões: a superfície é representada de forma única por um conjunto de funções cf(x,y,z), se f for irredutível.

● Pertinência

f (x , y , z )=cf (x , y , z)=0,∀ c≠0

f ( x , y , z )=0∈g ( x , y , z ) f (x , y , z )=0,∀ g (x , y , z)

Forma Homogênea● Domínio no espaço projetivo

● Formas distintas no espaço (finito) afim 3D

f ( x , y , z)=F (x 'w

,y 'w

,z 'w

)=F (x ' , y ' , z ' , w)=0

x2+2 x w+ y2+ z2−w2=0

( xw )

2

+2xw

ww

+( xw )

2

+( yw )

2

+( zw )

2

−(ww )2

=0

( xz )2

+2xzwz+( xz )

2

+( yz )2

+( zz )2

−(wz )2

=0

w=1:

z=1:

Curvas Implícitas

● Intersecção de superfícies implícitas

● Uma solução

1) Obter a solução

2) Substituí-la em

g ( x , y , z)= f 1(x , y , z )∩ f 2( x , y , z )∩…∩ f n( x , y , z)

g (x , y , z )∈u1 f 1(x , y , z )+u2 f 2(x , y , z )+…+un f n(x , y , z )=0

∑ ui f i (x , y , z)=0

∀ f i(x , y , z)

Teorema de Bezout● “Let f and g be two algebraic curves of degree m and n, respectively.If f and g intersect in more than mn points,then they have a common component.”

h( x , y , z )=x2+ y2+ z2−2

g ( x , y , z)=x3− y2− z2

h(x,y,z) → 2g(x,y,z) → 3

2x3 = 6 interseções

componente

Teorema de Bezout● “Let f and g be two algebraic curves of degree m and n, respectively.Then f and g intersect in exactly mn points,or they have a common component.”

h(x , y)=(x2+ y 2−1)(x 2+ y2−4)

g (x , y)= y (x 2− y2)

h(x,y,z) → 4g(x,y,z) → 3

4x3 = 12 interseções

Multiplicidade

h(x , y)=2 x5+7 x4 y−5 x 2 y3−3 y5

g (x , y)=9 x3+ x y2+ y3

h(x,y,z) → 5g(x,y,z) → 3

5x3 = 15 interseções

Ponto múltiplo

Aplicação em Curvas e Superfícies Algébricas

“An algebraic space curve of degree m intersects an algebraic surface of degree n in nm points unless a curve component is contained in the surface. Two algebraic surfaces of degree m and n, respectively, intersect in an algebraic curve of degree mn unless they have a common component.”

Curvas Paramétricas

● Coordenadas em função de um parâmetro.

x(t )=1−t 2

1+t 2

y(t )=2t1+t 2

(-1,0)Parametrização afim: Correspondência 1:1 entre t e (x(t),y(t))

Parametrização Projetiva

● Contornar singularidades

x (t 'r)=

1−( t 'r )2

1+( t 'r )2

y (t 'r)=

2t 'r

1+( t 'r )2

⇒

x (r , t ' )=r2−t ' 2

r2+t ' 2

y (r , t ' )=2r t '

r2+t ' 2

Conjunto de valores (r,t') leva a mesmo ponto

do valor t!

t→∞⇔(r , t ' )=(0,1)

Comprimento de Arco

dP=(∂ x (t )∂ t

∂ y (t )∂ t

)dtPara cada unidade dt:

dP=√(∂ x (t )∂ t )

2

+(∂ x (t )∂ t )

2

comprimento de arco

x(t )=1−t 2

1+t 2

y(t )=2t1+t 2

dP=1

1+t2

Superfícies Paramétricas● Coordenadas em função de um conjunto de parâmetros.

●Número de parâmetros igual ao “grau de mobilidade” sobre a superfície no espaço afim → 2

● Nem todas superfícies algébricas são parametrizáveis

x=h1(s , t)y=h2 (s , t)z=h3(s , t)

x (s , t )=sen (s) sen(t)+0.05cos(20t)y (s , t )=cos (s) sen(t)+0.05cos(20s)

z (s , t )=cos(t )

s∈⟦−π ,π⟧ , t∈⟦−π ,π⟧

http://reference.wolfram.com/language/ref/ParametricPlot3D.html

Curvas Isoparamétricas

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/surface/basic.html

Vetor Normal

∂ P∂ s

=(∂ x∂ s

,∂ y∂ s

,∂ z∂ s

)

∂ P∂ t

=(∂ x∂ t

,∂ y∂ t

,∂ z∂ t

)

n⃗P=

∂ P∂ s

×∂ P∂ t

∣∂ P∂ s

×∂ P∂ t

∣

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/surface/basic.html

Singularidades● Pontos não “alcançáveis” pelos valores do domínio de parametrização.

x( s , t)=1−s2−t 2

1+ s2+t 2

y (s , t )=2s

1+s2+t2

z (s , t )=2t

1+ s2+t 2

x (s , t)=1−s2−t 2

y (s , t )=2sz (s , t)=2t

w (s , t )=1+ s2+t 2

OU

Parametrização Projetiva● Domínio de parametrização no espaço projetivo

● Forma homogênea, ou racional, com parametrização projetiva

x (r , s ' , t ' )=r2−s ' 2−t ' 2

r2+ s ' 2+t ' 2

y (r , s ' , t ' )=2r s '

r 2+ s ' 2+t ' 2

z (r , s ' , t ' )=2r t '

r2+s ' 2+t ' 2

x (r , s ' , t ' )=r2−s ' 2−t ' 2

y (r , s ' , t ' )=2r s 'z (r , s ' , t ' )=2r t '

w (r , s ' , t ' )=r2+s ' 2+t ' 2

Implícitas → Paramétricas● Superfícies quadráticas (quádricas)

● Idéia básica: reduzir a função numa das formas acima, através de rotações rígidas, e utilizar a tabela acima para obter uma representação paramétrica.

Redução em forma padrão● Notação matricial de uma função quadrática

● Autovalores de A, tal que a função característica de A● Autovetores de A, tal que● Diagonalização

( x y w )(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

)(xyw)= p⃗T A p⃗=0

A v⃗=λ v⃗

det (A−λ I )=0

A=(v⃗1v⃗2v⃗3

)(λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

) ( v⃗1 v⃗2 v⃗3 )⇒X 2

λ1+Y 2

λ2+1λ3

=0

Paramétricas → Implícitas

● Explicitar os parâmetros em função das coordenadas → técnica de eliminação da variável → x(t) e y(t) tem uma raiz em comum

● Substituir os parâmetros nas funções paramétricas

x (t )=p(t )r (t )

y (t )=q(t )r (t )

⇒x (t )r (t )− p(t )=0y (t )r (t )−q (t )=0

Matriz de Sylvester

http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/6689/000533491.pdf?sequence=1

●Se o determinante da matriz de Sylvester (resultante de Sylvester) de dois polinômios f=sum(aiti) e g=sum(bjtj) é nulo (det(Syl(f,g))=Resn,m(f,g)=0), então existe uma raiz comum de f e g.