Problema de Metalurgia com Alumnio

Problema de Metalurgia com AlumnioUNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS UNIFALCAMPUS POOS DE CALDAS MGMODELAGEM E FSICA COMPUNTACIONAL ICT 19Discentes: Dimas Neto; Leda Menezes; Luiz Fernando Fressato; Rafael Moraes; Rassa Tavares.

Outubro/2012IntroduoO presente projeto tem como objetivo apresentar uma situao problema e formular um modelo primal e dual que solucione, analisando a sensibilidade desse problema, s diversas alteraes de cenrio.ProblematizaoUma metalrgica deseja produzir a custo mnimo, 2000 kg de uma liga de alumnio, a partir da mistura de diversas matrias-primas (minrios). Esta liga deve atender a requisitos de engenharia que especificam os mximos e mnimos de diversos elementos qumicos que a compe. Os custos dos minrios esto descritos na tabela a seguir:

3Tabela 1: Preo de custo dos minrios da liga.

Matria-primaMinrio 1Minrio 2Minrio 3Minrio 4Minrio 5 Minrio 6 Minrio 7Custo (R$/kg)0,030,080,170,120,150,210,38Tabela 2: Composio dos minrios e limites dos elementos na liga.

ComponenteMin 1Min 2Min 3Min 4Min 5Min 6Min7MnimoMximo(Al-puro)(Si-puro)(kg)(kg)Fe0,150,040,020,040,020,010,03060Cu0,030,050,080,020,060,0100100Mn0,020,040,010,020,0200040Mg0,020,03000,0100030Al0,70,750,80,750,80,9701500-Si0,020,060,080,120,020,010,97250300 Quanto disponibilidade dos minrios, os dados esto indicados a seguir e representam quanto os fornecedores tm a ofertar.

Min 1Min 2Min 3Min 4Min 5Min 6Min7(Al-puro)(Si-puro)Disponibilidade(kg)20075012008001500IlimitadaIlimitadaTabela 3: Disponibilidade das matrias-primas.

Formulao do Modelo (Primal)Modelo matemtico: Minimizao dos Custos do Processo

Variveis de deciso:X1 = Quantidade de minrio 1X2 = Quantidade de minrio 2X3 = Quantidade de minrio 3X4 = Quantidade de minrio 4X5 = Quantidade de minrio 5X6 = Quantidade de minrio 6X7 = Quantidade de minrio 7 Funo Objetivo: Minimizar os custos

min: 0.03x1 + 0.08x2 + 0.17x3 + 0.12x4 + 0.15x5 + 0.21x6 + 0.38x7

2. Restries:r1: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 2000;r2: 0.15x1 + 0.04x2 + 0.02x3 + 0.04x4 + 0.02x5 + 0.01x6 + 0.03x7 = 0;x4 >= 0;x5 >= 0;x6 >= 0;x7 >= 0

2. Restries (Continuao):r9: x1 = 0;u11 >= 0;u12 >= 0;u13 >= 0;u14 >= 0;u15 >= 0; Soluo do modelo dual:

Utilizando o software LPSolve, chega-se a seguinte soluo:Funo objetivo R$ 296,026U1 = 0U2 = 2.601U3 = 0.012U4 = 0.566U5 = 0U6 = 0.239U7 = 0.472U8 = 0U9 = 0U10 = 0U11 = 0U12 = 0U13 = 0U14 = 0U15 = 0Verificao do Teorema das Folgas ComplementaresEste teorema pode ser enunciado como:

Utilizando o Scilab, efetuou-se os clculos das matrizes, chegando-se ao valor 0.1895577.Sendo assim, pode-se afirmar que o problema obedece ao teorema das folgas complementares.

Verificao do Ponto timoNo ponto timo, tem-se que:

Efetuando os clculos com o Scilab, tem-se que:

= 296.21378

= 296.6

Aparentemente o problema no atende ao ponto timo, mas devido a aproximao dos valores, pode-se dizer que houve erros de arredondamentos ou que este se encontra muito prximo do ponto timo.

ConclusoO modelo pouco sensvel, apresentando pequenas variaes no valor da funo objetivo a medida as restries so alteradas. Pode se dizer que tal fato se deve aos custos das matrias primas que so relativamente baixos, da ordem de centavos por Kg.Obrigado!