Idália Pesquita Índice 1. INTRODUÇÃO · O problema de estudo consiste em perceber os processos...

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Idália Pesquita

Índice

1. INTRODUÇÃO

1.1. As minhas motivações e o objectivo e questões de estudo

1.2. Contexto curricular

1.3. Organização do estudo

2. ÁLGEBRA

2.1. O que é a Álgebra

2.1.1. Diferentes perspectivas sobre a Álgebra

2.1.2. Simbolismo e linguagem matemática

2.2. Pensamento algébrico

2.2.1. Erros e dificuldades dos alunos

2.2.2. O uso da letra

2.2.3. Resolução de equações

2.2.4. Estratégias e processos de pensamento

2.2.5. Fases de pensamento

2.3. A Álgebra no currículo escolar

2.3.1. Perspectivas sobre a natureza e papel da Álgebra

2.3.2. A iniciação ao pensamento algébrico

3. PROPOSTA PEDAGÓGICA

3.1. Opções Gerais

3.2. Tarefas

3.3. O ambiente de trabalho, o papel do aluno e da professora

3.4. Avaliação

5. ANÁLISE DE DADOS

5.1. A turma

5.2. O caso da Beatriz

5.2.1. Apresentação da aluna

5.2.2. Análise de dados da primeira entrevista

ii

5.2.2.1. Expressões algébricas

5.2.2.2. Resolução de equações

5.2.2.3. Perspectiva da Álgebra

5.2.2.4. Tradução e resolução de problemas

5.2.2.5. Conclusão

5.3. O caso da Madalena







5.3.2.5. Conclusão

6. CONCLUSÕES FINAIS

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1. INTRODUÇÃO

1.1. As minhas motivações e o objectivo e questões de estudo

A Matemática sempre foi para mim uma ciência predilecta, muito especial, na

qual sentia uma grande satisfação e gosto por tudo o que a envolvesse. Na escola era a

minha disciplina preferida, uma vez que me desafiava a mente e me levava a fazer

raciocínios e descobertas. Atendendo a este gosto pela Matemática e ao facto de gostar

de ensinar e conviver com os jovens, decidi enveredar pelo curso de Ensino da

Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

Ao longo dos anos tenho encarado a profissão de professora como um desafio

constante. De facto, atendendo à realidade actual das nossas escolas, com alunos tão

diferentes uns dos outros e com interesses tão diversificados, penso que um professor

não pode deixar acomodar-se. Pelo contrário, tem de estar em constante actualização e

aperfeiçoamento dos seus conhecimentos científicos, pedagógicos e didácticos. Assim,

tenho colaborado com os outros professores da escola onde lecciono e em grupos de

trabalho da Associação de Professores de Matemática. Também tenho tido a

preocupação de realizar formação nas áreas da Didáctica da Matemática, História da

Matemática, calculadoras e software educacional.

Ao longo dos anos da minha vida profissional, tenho observado que existe um

conjunto significativo de alunos que não têm um entusiasmo pela Matemática, sentindo

que é apenas mais uma disciplina do seu currículo. Tenho pensado bastante sobre o que

leva os alunos a sentirem e pensarem desta forma. É claro que os alunos de hoje em dia

são diferentes, tal como os seus interesses e os meios que têm ao seu dispor, como por

exemplo os meios informáticos. Mas será que isso é razão suficiente para que deixem de

se interessar pela Matemática? Existem diversos meios de trabalho para a sala de aula,

além dos tradicionais, desde os programas informáticos para trabalhar e explorar

conteúdos geométricos, passando pelos jogos didácticos e CD-ROMs com explicações e

explorações para uso livre. Penso que esta falta de entusiasmo de muito alunos se pode

prender com alguns conteúdos que fazem parte do currículo da disciplina de

Matemática, como por exemplo a Álgebra e o pensamento algébrico. Ao leccionar as

unidades temáticas relativas à Álgebra tenho observado que, de um modo geral, os

alunos os consideram difíceis e que é necessário um grande esforço da minha parte para

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os levar a trabalhar. Estes problemas, são de resto, sentidos pela generalidade dos

professores, levando Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999) a afirmar que este assunto

está tradicionalmente “associado a dificuldades de aprendizagem, constituindo em

muitos casos uma fonte de insucesso em Matemática” (p. 109).

Como professora, ao leccionar conteúdos algébricos, tenho-me questionado

sobre qual a melhor maneira de trabalhar este tema. Tenho dúvidas sobre a forma de

levar os meus alunos a trabalharem de um modo satisfatório, tal como sobre o modo de

desenvolver a sua capacidade de elaborar raciocínios de generalização envolvendo a

manipulação de expressões algébricas. Por diversas vezes tenho observado que os

alunos têm dificuldades em adquirir à vontade para o uso da possibilidade, no sentido de

se poder usar a expressão “e se…”, como modo de permitir uma abstracção futura e na

manipulação de expressões algébricas.

No ano lectivo de 2004/05, uma aluna do 7.º ano de escolaridade fez o seguinte

comentário: “Ó ‘Stora’, o que é a Álgebra? Aquilo é muito difícil, porque estive a ver

no livro a matéria de equações e aquilo é só letras…”. Tal como esta aluna expressou o

seu receio perante a Álgebra, muitos outros têm um relacionamento difícil com a parte

simbólica e abstracta da Matemática. Mas este assunto, em meu entender, não pode ser

esquecido. É necessário que se trabalhe a Álgebra com persistência, de modo a

ultrapassar receios e dificuldades. Outro aspecto que me interessa é o raciocínio

realizado pelos alunos, pois tenho notado que existem alguns que facilmente se adaptam

e se habituam a raciocínios algébricos, enquanto que outros necessitam de estar sempre

a apelar aos seus conhecimentos aritméticos. Assim, penso que será relevante

compreender o que leva uns alunos a terem um determinado comportamento

comparativamente com outros.

Deste modo, decidi realizar um estudo com os alunos do 8.º ano de escolaridade,

nos capítulos “Ainda os Números” e “Equações”. Escolhi o 8.º ano por dois motivos:

por um lado, atendendo à experiência que tenho de leccionar este ano, considero que se

trata de um ano bastante importante no 3.º ciclo, dado que tem uma elevada carga

abstracta, onde os alunos têm de manipular expressões algébricas; por outro lado, no

ano anterior leccionei uma turma de 7.º ano que, por continuidade pedagógica, iria

assegurar no ano seguinte, assim teria a oportunidade de continuar o trabalho com eles,

de quem já sabia o que esperar. A escolha do capítulo “Ainda os Números” deveu-se ao

facto deste ser extremamente rico para a realização de diversas investigações e

explorações permitindo uma abordagem à pré-Álgebra, sem uma carga excessiva de

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formalismo e técnicas. Posteriormente, irei dar atenção ao formalismo, técnicas,

manipulação de expressões algébricas, tendo em conta as dificuldades, erros e

concepções erróneas evidenciadas pelos alunos.

No que concerne ao tipo de trabalho a propor aos alunos, em consonância com

as orientações actuais para o ensino da Matemática (APM, 1988; Ministério da

Educação, 2001; NCTM, 2000), irei dar relevo às tarefas de investigação e exploração,

à resolução de problemas e ao jogo, não esquecendo que existem outros tipos de tarefa,

tais como os exercícios que são também fundamentais e necessários. De facto, para o

desenvolvimento do pensamento algébrico é muito importante que as tarefas a propor

aos alunos sejam apropriadas.

O problema de estudo consiste em perceber os processos de raciocínio e

eventuais dificuldades dos alunos de 8.º ano quando trabalham com situações que

requerem o pensamento algébrico, bem como as dificuldades e os erros cometidos na

simplificação de expressões algébricas e na resolução de equações.

Assim, esta investigação procura e tenta dar resposta às seguintes questões:

• Como é que os alunos formulam, testam e justificam as conjecturas que

elaboram?

• Como é que os alunos efectuam raciocínios algébricos (tradução de

linguagem, simplificação, equacionação, etc.)?

• Quais as dificuldades e os erros mais significativos quando os alunos

trabalham expressões algébricas e equações?

1.2. Contexto curricular

O pensamento algébrico esteve presente na construção da Matemática desde os

seus primórdios, nomeadamente através das contribuições que os povos antigos deram a

esta ciência, como por exemplo, os povos da Mesopotâmia, os árabes, a civilização

greco-romana, entre tantos outros. A Álgebra teve um avanço importante no século XVI

com a introdução de símbolos para as incógnitas e operações. No entanto, foi nos

séculos XVII e XIX que a Álgebra teve um grande progresso nomeadamente com os

matemáticos Gauss, Galois e Cauchy.

A Álgebra, entendida como uma linguagem matemática, passou, por um lado, a

ser um tema considerado como um requisito básico para a formação de um cidadão, e,

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por outro, um meio de exclusão social, dada a dificuldade sentida pela maior parte dos

estudantes em trabalhar com o simbolismo algébrico, para quem constitui uma barreira

difícil de transpor.

Vários autores, projectos e instituições têm tido como preocupação o ensino da

Álgebra. O National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000), realça a

importância da competênc ia algébrica na vida adulta, quer no trabalho, quer como

preparação para a educação superior. Refere inclusivamente que “todos os alunos

deveriam aprender Álgebra” (p. 37). Na sua perspectiva, o trabalho com números e suas

propriedades estabelece as fundações para o trabalho posterior com símbolos e

expressões algébricas. No entanto, o NCTM (1994) já realçava a importância da

Álgebra no currículo escolar, referindo que é do 5.º ao 8.º anos que muitas vezes se

estabelece “uma ponte entre o currículo concreto de escola elementar e o currículo de

Matemática mais formal da escola secundária” (p. 121). Acrescenta ainda que é nesta

altura, que existe uma transição crítica entre a Aritmética e a Álgebra, pelo que os

alunos devem descrever e generalizar padrões, investigar sequências, trabalhar e

explorar conceitos algébricos de um modo informal, para adquirirem capacidade de

abstracção tal como as bases e confiança para o posterior trabalho com Álgebra mais

formal. Portanto, estes anos são fundamentais para o desenvolvimento da capacidade de

trabalho com Álgebra, realçando mesmo que “no fim do 8.º ano, os alunos devem ser

capazes de resolver equações lineares por métodos formais e algumas não lineares por

meios informais” (p. 121-122).

No que concerne à situação em Portugal, o programa oficial de Matemática,

(Ministério da Educação, 1991), contém referências à Álgebra: no tema Números e

Cálculo, no 8.º ano, vem indicado que os alunos devem trabalhar com sequências de

números, no sentido de continuar ou inventar sequências, procurar o termo que vem a

seguir ou encontrar uma lei de formação. Outro assunto indicado no programa são as

equações, devendo trabalhar-se com situações muito simples de cálculo polinomial,

fazer uma primeira abordagem da decomposição em factores, bem como a resolução

propriamente dita de equações ligadas à resolução de problemas. O Currículo Nacional

do Ensino Básico, Ministério da Educação (2001), apresenta referências mais explícitas:

“...destacar a especificidade da matemática, nomeadamente como a ciência das

regularidades e da linguagem dos números, das formas e das relações” (p. 58), e

caracteriza a competência matemática como “a ‘predisposição’ (para procurar

regularidades ou para fazer e testar conjecturas), a ‘aptidão’ (para comunicar ideias

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matemáticas ou para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas) ou a

‘tendência’ (para procurar ver a estrutura abstracta subjacente a uma situação) são

componentes nucleares de uma cultura matemática básica que todos devem

desenvolver...” (p. 58), onde se pode observar referência a aspectos intrinsecamente

relacionados com a Álgebra. Analisando o domínio “Álgebra e Funções”, nas páginas

66 e 67 encontra-se a referência à competência matemática onde se faz alusão à

formulação de generalizações em diversas situações; análise das relações numéricas de

uma situação explicitando-as em linguagem corrente bem como a representação através

de diferentes processos, incluindo os símbolos; a construção e interpretação de

processos que traduzam relações entre variáveis; a concretização de relações entre

variáveis e fórmulas e a procura de soluções de equações simples; a realização de

procedimentos algébricos simples.

1.3. Organização do estudo

Neste primeiro capítulo faço uma breve apresentação do estudo, indicando as

minhas motivações, o problema e o respectivo contexto curricular. De seguida,

apresento uma fundamentação teórica através de uma análise e discussão dos

documentos disponíveis relativamente à Álgebra, Pré-Álgebra, uso da simbologia pelos

alunos do ensino básico, tipos de tarefa, análise do Programa Nacional e Currículo

Nacional do Ensino Básico e das orientações para o ensino da Álgebra, enfim dos temas

em estudo. De seguida, no capítulo __, descrevo a planificação da unidade a leccionar e

apresento as tarefas a propor aos alunos. No capítulo __, apresento e justifico as opções

metodológicas da investigação e descrevo os procedimentos seguidos. O capítulo __

descreve o ambiente geral que se foi construindo na turma e analisa algumas das

questões que se colocaram aos alunos e a mim, como professora e como investigadora.

Nos capítulos __, analiso de um modo mais individualizado, os percursos individuais de

alguns alunos com o intuito de perceber mais detalhadamente relações entre as suas

características, as suas concepções e o modo como encaram o trabalho realizado. Por

fim, no capítulo __, apresento os resultados obtidos e faço uma reflexão pessoal de todo

o trabalho e processo realizado, terminando com um conjunto de recomendações e as

suas principais limitações.

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2. ÁLGEBRA

Este capítulo começa por discutir o que é a Álgebra, apresentando diversas

perspectivas sobre a natureza desta área de Matemática e analisando com especial

atenção o papel do simbolismo algébrico. Num segundo momento, analisa diversos

aspectos do pensamento algébrico dos alunos, detendo-se particularmente nos seus erros

e dificuldades, nas suas estratégias de pensamento e nas suas fases de aprendizagem da

Álgebra. Finalmente, analisa o papel da Álgebra no currículo escolar, apresentando

diversas perspectivas para o seu ensino e dando especial atenção à iniciação ao

pensamento algébrico.

2.1. O que é a Álgebra

Em termos históricos, a palavra álgebra provém do nome do tratado “Al-jabr

wa‘l mugäbala” do matemático e astrónomo Mahommed Ibn Musa Al-Kharizmi que

viveu no século IX. Nesse tratado, aparece a palavra “al-jabr” da qual deriva a palavra

“Álgebra”. A expressão “al-jabr” significa “restauração” do equilíbrio mediante a

transposição de termos de uma equação. “Mugäbala” significa a simplificação da

expressão resultante mediante a simplificação dos termos semelhantes de cada lado da

equação. Mais tarde, definiu-se a Álgebra como a ciência da resolução de equações,

definição que se manteve até ao fim do século XIX. Depois, a Álgebra tomou novos

rumos, mas manteve-se a ênfase na ideia da generalização, como ciência das operações

formais.

2.1.1. Diferentes perspectivas sobre a Álgebra

A Álgebra nos nossos dias pode ser caracterizada, segundo Houaiss e Sales

(2002) por ter o foco em relações matemáticas abstractas, incluindo fórmulas, equações

e inequações, estudando ainda conjuntos mais gerais, numéricos e não numéricos, onde

as operações são definidas de um modo abstracto. Baruk (?) refere que “classicamente,

a Álgebra evoca, sobretudo, os problemas que se resolvem pela Álgebra, isto é,

escrevendo-os em equações” (p. 62), que depois são resolvidas recorrendo a “regras

onde intervém a natureza de números conhecidos e não conhecidos, segundo a forma

como eles se prestam a cálculos” (p. 62). Portanto, a ordem em que apareceram na

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história foi: problemas, equações e cálculos. Actualmente, Baruk (?) considera que

“Álgebra” “compreende todas as álgebras estabelecidas sobre os mais diversos

conjuntos, vectores, polinómios, funções, mas apresentando semelhanças de

comportamento, para as leis de composição que lhe são próprias e para as que ligam aos

conjuntos de números” (p. 67).

Lins e Gimenez (1997) referem que, no que diz respeito a saber quais são os

tópicos da Álgebra, exis te um certo consenso – equações, cálculo literal, funções.

Apenas no que se refere às funções existem algumas divergências, questionando-se se

os gráficos são ou não parte da Álgebra. Assim, a enumeração dos conteúdos da

Álgebra é relativamente simples. Estes autores referem então que a actividade algébrica

caracteriza-se por resolver problemas de Álgebra, sejam descontextualizados ou

contextualizados. Deste modo, para eles, a actividade algébrica é “fazer ou usar

Álgebra” (p. 90).

No entanto, outros autores indicam que existem perspectivas bastante diferentes

sobre a natureza da Álgebra. Por exemplo, Fiorentini, Miorim e Miguel (1993)

identificaram quatro concepções da Álgebra na literatura: processológica, linguística-

estilística, linguístico-sintática-semântica e linguística-postulacional. A primeira encara

a Álgebra como “um conjunto de procedimentos (técnicas, artifícios, processos e

métodos) específicos para abordar certos tipos de problemas” (p. 82) e não subordina a

existência do pensamento algébrico à necessidade da existência de uma forma

específica de linguagem. A segunda concepção encara a Álgebra como “uma linguagem

específica, artificialmente criada com o propósito de expressar concisamente

procedimentos específicos” (p. 82). Esta concepção é mais rigorosa do que a primeira

dado que defende a “não-suficiência da existência de um pensamento algébrico para que

a Álgebra se constitua em um campo autónomo do conhecimento matemático” (p. 82).

Assim, identifica a linguagem natural como um obstáculo e considera a possibilidade da

criação de uma nova linguagem, adequada a esta forma específica de pensamento. A

terceira “concebe a Álgebra como uma linguagem específica e concisa, mas cujo poder

criativo não reside propriamente em seu domínio estilístico, mas em sua dimensão

sintática-semântica” (p. 82). Assim, a linguagem específica adquire o carácter de

símbolos e deve atingir o status e o estádio mais elevado de uma linguagem

verdadeiramente simbólica. A quarta concepção “concebe a Álgebra como a ciência das

estruturas gerais comuns a todas as partes da Matemática, incluindo a Lógica” (p. 83).

Assim, “o signo linguístico é ampliado, isto é, ele passa a representar não apenas uma

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quantidade geral, discreta ou contínua, mas também entidades matemáticas que não

estão, necessariamente, sujeitas ao tratamento quantitativo” (p. 83).

Falcão (2003), por outro lado, indica que a Álgebra não pode ser vista apenas

como uma Aritmética generalizada. Na sua perspectiva, ela tem propriedades

intrínsecas, atendendo ao seu campo conceptual específico. Assim, a Álgebra tem em

conta uma série de relações entre números, estabelecidas no domínio da Aritmética,

para depois as generalizar com letras (representando variáveis e/ou incógnitas): por

exemplo tem-se que 5 + 3 = 3 + 5, x + y = y + x (para qualquer y e qualquer x). Segundo

refere este autor, muitos pesquisadores consideram que a Álgebra tem uma dupla função

– representar fenómenos e relações e auxiliar na resolução de problemas matemáticos

– como se representa na tabela seguinte:

Tabela – Elementos básicos de caracterização do campo conceptual da Álgebra.

Actividades em Álgebra Ferramenta representacional Ferramenta de resolução de problemas Modelação: captura e descrição dos fenómenos do real. Generalização: passagem de descrições específicas, ligadas a um contexto, para leis gerais.

Algoritmos, regras sintácticas, prioridade de operações, princípio da equivalência entre equações.

Função: explicitação simbólica de relações elementares.

Generalização: passagem de descrições específicas, ligadas a um contexto, para leis gerais.

Elementos básicos do campo conceptual algébrico Números, medidas, incógnitas e variáveis, regras de atribuição de símbolos, gama de acepções do sinal de igual, trânsito entre formas de linguagem.

Operadores, sintaxe, prioridade de operações, princípio da equivalência, conhecimentos-em-acção vinculados a experiências extra-escolares de compensação e equilíbrio, factos aritméticos instrumentais (ex: elemento neutro da adição).

Kieran (1992) distingue duas perspectivas da Álgebra: a processual e a

estrutural. Na sua perspectiva, na Álgebra processual não se lida com a transformação

de expressões algébricas, mas sim com a substituição de variáveis por números,

realizando depois as correspondentes operações aritméticas. Por exemplo, se

considerarmos a expressão yx +3 e substituirmos x e y por 4 e 5, respectivamente,

obtemos primeiro 12+5 e o resultado final é 17. Outro exemplo consiste na resolução da

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equação 1152 =+x , com substituição de x por vários números até encontrar o valor

correcto. Nestes exemplos, as operações realizadas são numéricas. Para a autora, a

Álgebra estrutural diz respeito a um conjunto diferente de operações, que são

realizadas, não com números, mas sim com expressões algébricas. Por exemplo, a

expressão xyx 83 ++ pode ser simplificada, dando origem à expressão yx +11 . A

resolução da equação 4255 −=+ xx pode ser iniciada através da subtracção de x2 em

ambos os membros, obtendo-se a equação equivalente 453 −=+x e assim

sucessivamente, até à determinação do valor de x. Nestes exemplos, os objectos

operados são as próprias expressões algébricas, sendo o resultado obtido em cada etapa

(e também no final) uma expressão algébrica.

De um modo geral, pode-se dizer que a Álgebra pode ser caracterizada por ser

uma área com assuntos e aspectos específicos e na qual existe uma linguagem e um

modo de trabalhar específico.

2.1.2. Simbolismo e linguagem matemática

O simbolismo algébrico evolui substancialmente ao longo da história da

Álgebra. Harper (1987) considera três períodos do desenvolvimento da manipulação do

simbolismo algébrico: o primeiro ocorre antes de Diofanto (250 a.C.) e é caracterizado

por existirem descrições por extenso na linguagem comum para a resolução de

problemas e por não existirem símbolos para representar o desconhecido; o segundo

decorre desde Diofanto até ao final do século XVI e envolve o uso de letras para

representar quantidades desconhecidas. Este procedimento foi introduzido pela primeira

vez por Diofanto, que resolveu equações com uma ou duas variáveis, mas usando

apenas um símbolo. Note-se que a segunda variável resultava de uma combinação da

primeira, ou seja, se a primeira era x a segunda poderia ser, por exemplo, x + 4.

Segundo Harper, a preocupação dos algebristas durante esse período foi exclusivamente

a descoberta do valor de letras, sem fazer tentativas para expressar o geral. Assim, todas

as letras eram passíveis de ter um valor numérico, mas não eram usadas para expressar

uma solução geral. O terceiro período inicia-se com Viéte, que introduziu o uso de letras

para representar variáveis e quantidades desconhecidas. Assim, passou a ser possível

expressar soluções gerais através de símbolos e usar a Álgebra como uma ferramenta

para provar regras no domínio das relações numéricas. Por exemplo, na resolução do

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problema “Dada a soma e a diferença de dois números, mostre que é sempre possível

descobrir esses números” (p. 79), passou-se a utilizar uma solução geral. Uma resolução

deste problema que mostra o uso da generalidade é:

Supondo que a soma é a e a diferença é b.

Seja x o menor número.

Então o maior é x + b.

Logo abx =+2 .

Logo 2

bax

−= .

Portanto os dois números são 2

ba − e

2ba +

. (p. 79)

Estes elementos históricos demonstram a importância da linguagem como o primeiro

passo no processo de expressar o pensamento através de símbolos.

Ainda no que se concerne à linguagem matemática escrita, Socas et al. (1996),

referem que esta é constituída por dois níveis: o primeiro é semântico, “onde os

símbolos e as notações são tratados com significados claros e precisos” (p. 15). Assim,

neste nível existe um paralelismo com a linguagem comum. O segundo nível, sintáctico,

é aquele onde “as regras podem ser operadas sem referência directa a nenhum

significado” (p. 15).

2.2. Pensamento algébrico

2.2.1. Erros e dificuldades dos alunos

O conhecimento dos erros básicos dados pelos alunos é muito importante dado

que fornece informação ao professor relativamente más interpretações por eles

realizadas, bem como sobre as dificuldades de interpretação ou de manipulação

simbólica.

Quando a Álgebra é interpretada no sentido de “Aritmética generalizada”, isso

implica que se usam letras em vez de números na escrita de expressões gerais que

representam regras aritméticas ou expressões dadas. Neste sentido, Socas et al. (1996)

referem um conjunto de erros que podem ser atribuídos a diversas causas:

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a) A natureza e o significado dos símbolos e das letras. Os símbolos são um

recurso que permite representar e manipular abstracções, pelo que é importante que se

tenha em conta a sua natureza e significado, para que assim se possa compreender o

modo como se pode operar com eles tal como se deve interpretar os resultados. Neste

sentido, um erro que por vezes se verifica é responder x7 como resultado da

expressão 43 +x . Este erro resulta do facto de se associar o sinal + como uma acção a

realizar, como acontece em Aritmética. Outro erro típico em Álgebra diz respeito à

associação de que a cada lugar há a correspondência de um valor. Assim, se 6=x então

464 =x . A escrita de fracções mistas em Aritmética, condiciona erros como escrever

8−=xy se 3−=x e 5−=y . O sinal de = é outro símbolo que dá origem a vários erros.

Em Aritmética escrevemos por exemplo que 1174 =+ , 6243 ×=× ou

( ) 422462 =×=−× , pelo que o sinal de igual tem o sentido bidireccional, ou seja, o

sinal de igual, em Aritmética, representa uma afirmação universalmente verdadeira. No

entanto, numa equação esse sinal obriga a variável a assumir um valor de modo a tornar

a expressão verdadeira, funcionando como um signo destinado a encontrar a solução. Os

problemas relacionados com o sinal de igual nas equações leva ao surgimento de erros,

tal como:

( ) ( ) 32713

31

72

3

=++−

=−

++

xxx

xx

x

Neste caso, o aluno que se considerou apenas o primeiro membro da equação, tal como

fazia ao usar a regra das proporções. Outro erro característico relaciona-se com o

significado atribuído às letras. Em Aritmética, as letras m ou g, são usualmente

associadas as unidades, neste caso, por exemplo metros ou gramas. Mas em Álgebra,

essas mesmas letras são muitas vezes utilizadas para representar o número de metros ou

o número de gramas como uma quantidade desconhecida, uma variável.

b) O objectivo da actividade e a natureza das respostas em Álgebra. Se em

Aritmética a principal actividade é encontrar e trabalhar com soluções numéricas

concretas, em Álgebra a situação é bastante diferente, uma vez que se pretende obter

relações e processos bem como expressões gerais simplificadas. Por outro lado, muitas

vezes não se repara que, enquanto que em Aritmética a solução é única e numérica em

Álgebra, a resposta tem de ser uma expressão, pelo que muitas vezes se simplifica

yx 53 + como xy8 .

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c) A compreensão da Aritmética por parte dos estudantes. As dificuldades que

os estudantes por vezes manifestam em Álgebra muitas vezes estão relacionadas com

problemas de origem na Aritmética. São exemplo destas dificuldades o uso de

parênteses, as fracções ou mesmo as potências, entre outros. Se um estudante resolver

erradamente a adição de fracções, como por exemplo, 51

31

21

=+ , 52

31

21

=+ ou

61

31

21

=+ , de certeza que esse problema se traduzirá posteriormente em Álgebra. Outro

exemplo, mas agora relacionado com o uso de parênteses: baba +−=+− )( ou

cb

ca

cba

+−=+

− . Outros erros ainda referem-se à falta de percepção, tal como

( ) 41 4 −=− , onde se multiplica em vez de efectuar efectivamente a potência.

d) O uso inapropriado de fórmulas ou regras de procedimentos. Com frequência

os estudantes usam as fórmulas ou regras como as conhecem sem terem a preocupação

de as adaptarem às situações, o que origina falsas generalizações sobre os operadores ou

sobre os números. A propriedade distributiva é geralmente uma fonte de erros, por

exemplo ( ) cabcba +=+ . A simplificação de expressões tal como Ax

Ax= , originam

erros como BAyxByAx

+=++

, xx

96

69=

+ ou 3

434

−=−

xx

. O facto de AA =⋅1 e

AA =+ 0 conduz a erros tais como AA =⋅ 0 e 01

=⋅A

A . Outro erro que importa

realçar é a extensão de conhecimentos adquiridos a situações mais complexas. Por

exemplo, se um determinado problema pedir o número de elementos de dois conjuntos

de 27 e 32 elementos, o estudante rapidamente efectua 27+32. Contudo, existem

situações em que não se pode efectuar a operação tendo de se deixar o resultado como

yx + . Aqui a dificuldade não reside tanto na generalização de uma situação aritmética

mas no uso de um procedimento adequado tal como na representação desse mesmo

procedimento.

O estudo dos erros na simplificação de expressões e resolução de equações tem

sido a preocupação de alguns autores. Greeno (1982) realizou um estudo envolvendo

tarefas com expressões algébricas. Descobriu que o desempenho dos estudantes, durante

um certo tempo, parece aleatório uma vez que estes usavam procedimentos cheios de

erros assistemáticos, indicando a ausência de marcas estruturais algébricas. A confusão

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era evidente através do modo como consideravam as diversas partes de uma expressão

algébrica. Por exemplo, numa situação podiam simplificar xyx 5)36(4 +− como

)536(4 xyx +− e noutra situação fazer outra coisa. Erros como este ocorriam quando

não existia a compreensão do que era uma expressão algébrica.

Os erros cometidos pelos alunos foram classificados em três tipos:

(a) Eliminação: resulta da realização de uma generalização excessiva de algumas operações matematicamente válidas em domínio mais restritos. Um exemplo deste erro é simplificar 439 −x como x35 ou xxy 22 − como y.

(b) Troca de membros (switching addends): por exemplo se se considerar a equação 15037 =+x , a resolução passa pela transformação em

15037 +=x . (c) Redistribuição (redistribution): considerando a equação 2510 =+x , os

estudantes subtraem 10 ao primeiro membro e adicionam 10 ao segundo, 10251010 +=−+x .

O erro (a) foi estudado por Carry, Lewis e Bernard (1980), aquando do processo

de resolução de equações com estudantes universitários. Observou que o erro realizado

com maior frequência aquando da resolução de equações era o erro de eliminação. Este

erro resulta da realização de uma generalização excessiva de algumas operações

matematicamente válidas em domínio mais restritos.

Os erros (b) e (c) ocorrem na resolução de equações pelos métodos mais

formais. Kieran (1992) considera que os estudantes “podem de algum modo estar

inseguros quanto às relações estruturais entre a adição e a subtracção ou, pelo menos,

inseguros na forma escrita destas relações quando estas envolvem um termo literal” (p.

402).

2.2.2. O uso da letra

Em Álgebra, uma letra pode ser usada de diversas formas. Kuchemann (1978,

1981), referido em Kieran (1992), usando uma classificação proposta por Collis em

1975, categorizou em seis níveis a interpretação da letra atendendo ao nível mínimo

para uma realização bem sucedida:

(a) Letra avaliada: é atribuído um valor à letra desde o princípio. Exemplo: Se 3=a , qual é o valor da expressão 5+a ?

14

(b) Letra não considerada: a letra é ignorada ou a sua existência é reconhecida sem que lhe seja dado um significado. Exemplo: Se

10=+ yx , =++ 5yx …?

(c) Letra considerada como objecto: a letra é entendida como o nome de um objecto concreto. Exemplo: O cálculo do perímetro de um quadrado é l4 , onde l é o comprimento do lado do quadrado.

(d) Letra considerada como incógnita: a letra é entendida como um número específico mas desconhecido. Exemplo: Dada a equação

712 =+x , qual o valor de x?

(e) Letra considerada como número generalizado: a letra é entendida como uma representação de vários números e não de apenas um. Exemplo: A expressão do números impares, 12 −n .

(f) Letra considerada como variável: a letra é entendida como a representação de uma série de valores desconhecidos e é vista a existência de uma relação sistemática entre esses dois conjuntos de valores. Exemplo: Qual é maior, n2 ou 2n ?

2.2.3. Resolução de equações

No que respeita às estratégias de resolução de equações, Kieran (1992)

classificou-as nos seguintes tipos:

(a) Uso da realidade: para resolver a equação 85 =+ b , usa-se o facto de 5 mais 3 ser 8.

(b) Uso de técnicas de contagem : considerando a equação anterior, conta-se 5, 6, 7, 8, portanto são necessário 3 para ir do 5 ao 8.

(c) Cobertura (cover-up): para resolver a equação xx 592 =+ , considera-se que xxx 532 =+ , logo x3 tem de ser 9. Assim x é 3.

(d) Desfazer (undoing): para resolver a equação 1842 =+x , começa-se pelo lado direito e, usando a ordem da direita para a esquerda, desfaz-se cada operação.

(e) Substituição por tentativa e erro: para resolver a equação 1352 =+x , tenta-se com diferentes valores até encontrar o correcto.

(f) Transposição de termos de um membros para outro, com mudança de sinal.

(g) Realização da mesma operação em ambos os membros.

Os métodos (a) e (b) são geralmente utilizados por estudantes principiantes em

Álgebra. Kieran (1992) refere estudos de Withman que observou que os estudantes que

aprendem a resolução de equações apenas pelo método (c) têm melhores resultados do

15

que os que aprenderam este método juntamente com o método formal. Além disso, os

estudantes que aprenderam apenas pelo método formal têm piores resultados do que os

que aprenderam as duas técnicas. Portanto, os estudantes que aprendem apenas com o

método formal não estão suficientemente bem preparados conceptualmente para operar

com equações como objectos matemáticos. O método (d) permite que os estudantes

operem apenas com números e evitem tratar com estruturas equivalentes. O método (e)

consome muito tempo e exige uma elevada carga de memorização. Quando os alunos

aprendem a trabalhar com o método formal da resolução de equações tendem a deixar

este último. Os métodos (f) e (g) são considerados os métodos formais para a resolução

de equações. Apesar de muito professores considerarem o método (f) como uma versão

abreviada do (g), os estudantes principiantes percebem-nos de um modo bastante

diferente. No método (g) realiza-se a mesma operação em ambos os membros, o que

enfatiza a simetria de uma equação, que não é aparente no procedimento de

transposição. Segundo a autora, existem evidências que sugerem que os estudantes que

realizam o método de transposição não estão a operar as equações como objectos

matemáticos mas sim a aplicar cegamente a regra: muda de membro – muda de sinal.

2.2.4. Estratégias e processos de pensamento

Lannin (2003) realizou um estudo onde examinou as várias estratégias que os

alunos da Middle School1 usam quando tentam generalizar situações numéricas e

articulam as correspondentes justificações. De facto, o conhecimento do raciocínio

algébricos dos estudantes pode ajudar os professores a identificar os erros mais comuns

e orientar os alunos para a compreensão do que constitui uma generalização algébrica

válida e vantajosa. Os alunos, ao tentarem formular uma generalização de uma

determinada situação, utilizam quer o raciocínio quer as ideias erradas em relação às

aplicações das operações matemáticas. No que concerne às estratégias utilizadas pelos

alunos, e que de um modo geral são mais do que uma, o autor identificou-as como

sendo: contagem, recursão, objecto- inteiro, contextualização, tentativa e verificação e

avaliar-ajustar.

1 Nos EUA Middle School corresponde usualmente os 6.º, 7.º e 8.º anos de escolaridade no ensino português.

16

Tabela – Estratégias dos estudantes para a generalização de situações numéricas.

Estratégia Descrição

Contagem Traçar uma figura ou construir um modelo que represente a situação e contagem do atributo desejado.

Recursão Construir um termo ou termos da sequência para construir o termo seguinte.

Objecto-inteiro

Usar uma porção como uma unidade para construir uma unidade maior usando múltiplos da unidade. Esta estratégia pode ou não requerer um ajustamento por sobre ou sub contagem.

Contextualização Construir uma regra baseada na relação que é determinada a partir da situação problemática.

Tentativa e verificação Tentar encontrar uma regra sem ter em conta se a regra pode funcionar.

Avaliar-ajustar

Usar uma razão constante de mudança como um factor multiplicativo. Um ajustamento é depois feito adicionando ou subtraindo uma constante para alcançar um valor particular da variável dependente.

Diversos trabalhos têm investigado a interpretação dos símbolos pelos alunos

tendo por objectivo compreender as suas dificuldades quando estudam Álgebra. Uma

investigação realizada no campo da simbologia foi elaborada por Kieran (1981) que se

debruçou sobre a interpretação do sinal de igual. Segundo esta autora, o sinal de igual é

interpretado para fazer algo notável, como que “um símbolo que separa o problema da

sua resposta” (p. 324). “Depois do ‘=’ deve estar a resposta. É o fim, não outro

problema” (p. 319). Esta concepção mantém-se apesar das crianças se tornarem mais

crescidas e progredirem na escolaridade. Assim, “muitas crianças identificam a Álgebra

com equações” (p. 324). Portanto, o aparecimento de situações caracterizadas pela

ausência do sinal de igual parece criar grandes problemas conceptuais. Sendo assim, “as

crianças com 12-13 anos não atribuem significado algum a formas indeterminadas, tais

como 3a, a+3, 3a+5a (onde a não significa nada… Não existe um sinal de igual com

um número à sua frente)” (p. 324). Talvez esta seja a explicação relativa à dificuldade

sentida pelos alunos ao lidarem posteriormente com polinómios, que constituem formas

indeterminadas. Este trabalho de Kieran, juntamente com os de outros investigadores,

permitiu, segundo Rojano (2002) uma análise dos erros recorrentes e das más

interpretações no estudo da Álgebra. Assim, estes trabalhos ajudaram a demonstrar

como a variação do significado dos símbolos matemáticos na transição da Aritmética

17

para a Álgebra representa um obstáculo na aprendizagem da linguagem algébrica. O

significado dos símbolos altera-se consoante o domínio em que é considerado:

§ Os sinais de + e –: em Aritmética representam uma operação executável com o algoritmo da adição ou da subtracção e existe um resultado numérico. Em Álgebra representam uma operação suspensa ou uma operação executável com regras algébricas através das quais se obtém um resultado. Também representam números relativos como -7 ou +5.

§ O sinal de =: em Aritmética funciona como um operador que transforma o membro esquerdo da igualdade num resultado numérico que surge no membro direito. Em Álgebra pode representar a equivalência entre duas expressões, uma igualdade, uma equação ou ainda uma relação funcional.

§ As letras são usadas na Aritmética para representar convenções tais como fórmulas geométricas que depois serão substituídas por números. Em Álgebra utiliza-se as letras para representar quantidades desconhecidas, variáveis ou a relação entre números.

§ A relação entre caracteres está sujeita às convenções existentes – por exemplo, em Aritmética, 324 representa 3 centenas, mais 2 dezenas, mais 4 unidades. E em Álgebra 3a representa 3 vezes a.

A tabela sintetiza estas mudanças de significado que surgem no ensino da

Matemática (p. 145):

Tabela – Mudança nos significados dos símbolos matemáticos.

Símbolos Aritmética Álgebra

+, - Operações binárias; operações executáveis como algoritmos aritméticos: 3 + 4 = 7 ; 37 – 18 = 19

Operações binárias; operações suspensas: 3 + x ; 2 x – 7 y

Operações executáveis com regras algébricas;

3 x + x – 7 x = -3 x

Duplo significado operações binárias, operações suspensas: 8 a – b

Operações binárias executáveis em Álgebra:

23 n – 11 n = 12 n

18

Sinal posicional: -7

= Operador: operações = resultado 12 + 7 = 19

Equivalência, igualdade restrita, igualdade funcional:

2 (a + b ) = 2 a + 2 b 7 x – 4 = 28 x + 15 y = 3 x - 2

a, b, c,… n,… x, y Área, volume e fórmulas físicas

2hb ×

; 2rv ×= π ; td

v =

Quantidades desconhecidas, variáveis e números genéricos.

Relação entre caracteres

Significado aditivo: 324 = 3 centenas, mais 2 dezenas, mais 4 unidades

Significado multiplicativo: 3a; 3 vezes a

Um estudo realizado no campo do pensamento algébrico é o de Nobre (1996)

que apresenta algumas das dificuldades sentidas pelas crianças do ??? que iniciam o

estudo da Álgebra:

§ dificuldade em dar sentido a uma expressão algébrica;

§ não distinguir a adição aritmética (3 + 5) da adição algébrica (x + 3);

§ não ver a letra como a representação de um número;

§ atribuição de um significado concreto às letras;

§ dificuldade para pensar numa variável como significando um número qualquer;

§ interpretações diferentes para as acções que correspondem aos símbolos + e = na Aritmética e na Álgebra;

§ significados distintos ara algumas letras na Aritmética (por exemplo, 3I em Aritmética significa 3 metros e em Álgebra é o triplo de m)

§ dificuldade em passar da linguagem natural para a algébrica.

Estas dificuldades surgem do facto da interpretação que as crianças atribuem aos

símbolos, à exactidão oferecido pelo número para as operações e ao uso das letras para

indicarem valores. Portanto, o principal obstáculo que surge é a ideia de variável.

Modanez (2003), no seu estudo com alunos da 6ª série, verificou que os

problemas relacionados com o ensino-aprendizagem da Álgebra estão relacionados com

a sua forma de expressão envolvendo os aspectos de abstracção, de significação e de

contexto. Assim, propõe que se leve os alunos a “construir noções algébricas pela

19

observação de regularidades, e não somente manipulações mecânicas de expressões

algébricas” (p. 86).

2.2.5. Fases de pensamento (a desenvolver mais)

Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) quando investigaram a mobilização e o

desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos da 6ª série do Ensino

Fundamental de uma escola do Estado de São Paulo, organizaram três categorias

consoante o que foi demonstrado relativamente à presença e ao desenvolvimento da

linguagem e do pensamento algébrico: (1) denotavam um pensamento pré-algébrico; (2)

denotavam um pensamento de transição do aritmético para o algébrico; (3) denotavam

um pensamento algébrico mais desenvolvido. Os alunos foram alterando

qualitativamente o seu pensamento algébrico ao longo do estudo, tendo metade chegado

a um nível satisfatório de desenvolvimento do pensamento algébrico, apesar de nem

sempre utilizarem uma linguagem estritamente simbólica.

2.3. A Álgebra no currículo escolar

2.3.1. Perspectivas sobre a natureza e papel da Álgebra

Para melhor compreender o problema que envolve o ensino da Álgebra, Castro

(2003) decidiu discutir e analisar duas opções pedagógicas. Uma primeira opção “lida

com as noções fundamentais da Álgebra, como se esta fosse uma espécie de Aritmética

generalizada, isto é, a Álgebra básica tendo como objecto a estrutura dos conjuntos

numéricos, no que diz respeito a operações sobre conjuntos numéricos e suas

propriedades” (p. 1). Assim, nesta opção pedagógica, é necessário que o aluno tenha

bastantes conhecimentos de Aritmética, para depois iniciar o estudo da Álgebra, no

pressuposto que esta assenta num processo de generalização dos procedimentos da

Aritmética. A segunda opção pedagógica “caracteriza a Álgebra por um tipo específico

de ‘fazer matemático’ ou por um certo modo de pensar os problemas de Matemática,

pensar este que veio a ser chamado ‘pensamento algébrico’, distinto, por exemplo, de

um ‘pensamento geométrico’, de um ‘pensamento aritmético’” (p. 2). A Álgebra é aqui

encarada como um conjunto de assuntos da Matemática e modos de abordar estes

assuntos. Esta opção é “caracterizada por um conjunto de posturas e pressupostos que

20

tem dirigido uma nova prática na sala de aula” (p. 2). Segundo esta opção, o aluno está a

manipular equações, expressões algébricas, etc., ou seja, entes algébricos, e o que

caracteriza o pensamento algébrico é a própria actividade em que o aluno está

envolvido.

Outra caracterização da Álgebra é dada por Fiorentini, Miorim e Miguel (1993),

que apresentam três concepções que mais influências têm exercido no ensino da

Álgebra. A primeira é a concepção a linguístico-pragmática (durante todo o século XIX

e a primeira metade do século XX), onde se “vincula o papel pedagógico da álgebra

como instrumento de resolução de problemas à concepção linguístico-semântico-

sintáctica” (p. 83), assim o aluno teria de dominar o processo de obtenção de expressões

algébricas equivalentes mediante o emprego de regras e propriedades válidas –

consideradas pelos autores como as técnicas do “transformismo algébrico”. A segunda

concepção é a fundamental-estrutural (nas décadas de 1970 e 1980), “que se baseia na

concepção linguístico-postulacional da Álgebra” (p. 84), onde o papel pedagógico

fornecia os fundamentos lógico matemáticos para toda a matemática escolar.

Finalmente, a terceira concepção, é a fundamentalista-analógica, que vincula “o papel

da Álgebra como instrumento de resolução de problemas à concepção linguístico-

semântico-sintáctica” (p. 84) e procura combinar as duas concepções anteriores. Esta

concepção procura recuperar o valor instrumental da álgebra e preservar o cuidado com

as justificações, usando para isso recursos geométricos ou físicos que visualizam ou

justificam as passagens presentes no transformismo algébrico. Portanto, nestas

concepções, a ênfase está colocada na linguagem algébrica e a prioridade é o domínio

da manipulação de expressões algébricas pelos alunos.

No entanto, para estes autores, a Álgebra não se resume a um meio de resolução

de certos problemas com a aplicação de regras e manipulação de expressões algébricas,

é também uma forma específica de pensamento, onde se exploram os significados e a

compreensão dos conceitos. A construção do pensamento algébrico e da sua linguagem

exige, na sua perspectiva, que os alunos pensem genericamente, percebam regularidades

e estabeleçam relações entre grandezas, além de expressarem ou explicitarem

matematicamente essas ideias na estrutura de uma situação-problema. Contudo, não

existe uma única forma de expressar o pensamento algébrico, dado que este “pode

expressar-se através da linguagem natural, através da linguagem aritmética, através da

linguagem geométrica ou através da criação de uma linguagem específica para esse fim,

isto é, através de uma linguagem algébrica, de natureza estritamente simbólica” (p. 88).

21

Estas diferentes possibilidades trazem assim novas perspectivas para o trabalho

pedagógico relativo ao pensamento algébrico. Uma primeira implicação pedagógica diz

respeito ao momento em que se inicia o pensamento algébrico no currículo escolar,

dado que a introdução prematura e sem suporte concreto irá funcionar como obstáculo

para a aprendizagem significativa da Álgebra, pois, de acordo com esses autores, parece

que subsiste “entre pensamento e linguagem simbólico-formal uma relação analógica

àquela existente entre o pensamento e a linguagem natural, no domínio do

desenvolvimento psico-cognitivo” (p. 89). A segunda implicação refere que o papel

desempenhado pela linguagem simbólica é fundamental na constituição do pensamento

algébrico abstracto. A terceira implicação diz respeito à amplitude do pensamento

algébrico, dado que a construção do pensamento algébrico se realiza em articulação

com outros campos e áreas e não de um modo isolado. Finalmente, a última implicação

relaciona-se com a natureza didáctico-metodológica da educação algébrica e do tipo de

trabalho a realizar.

2.3.2. A iniciação ao pensamento algébrico

Falcão (2003) aborda a organização da ordem com que são apresentados

conteúdos curriculares em Matemática (o que vem antes, o que vem depois) no Brasil.

O autor considera que “a Álgebra deve ‘esperar’ para ser apresentada depois que os

alunos já tiverem conseguido o domínio de alguns princípios aritméticos” (p. 28).

Aponta duas razões para a ordem desta apresentação, que se encontram interligadas

entre si: em primeiro lugar, existem razões de “natureza pedagógico-institucional” (p.

28) e em segundo encontra-se um conjunto de considerações de ordem pedagógico-

psicológica. A primeira é relativa a um currículo oficial que sirva de referência para

todo o sistema escolar do país. Assim, são tomadas decisões e realizadas planificações

“em função da expectativa que se tem do que pode ser ensinado a qual nível de ensino, e

em que ordem” (p. 28). Este processo, segundo Falcão tem vindo a ser estudado

porYves Cheva llard, que propôs o conceito de “transposição didáctica” (p. 28). A

segunda razão encontra-se em estreita ligação com o processo de transposição didáctica,

e refere-se a um “conjunto de considerações de ordem pedagógico-psicológica” (p. 28),

relacionados a uma determinada forma de encarar os processos de aprendizagem.

Assim, considera-se que “é necessário que o aluno esteja pronto (cognitivamente) para

receber determinados conteúdos” (p. 28). Pois, no que concerne à Aritmética, “os

22

procedimentos de resolução de problemas estão ligados ao significado específico do

problema proposto” (p. 29). Relativamente à Álgebra, “os procedimentos são

generalizantes, utilizam uma simbologia sofisticada e são baseados em regras de

manipulação independentes dos conteúdos dos problemas” (p. 29). No entanto, o autor

critica a ideia de que a Álgebra “tem” de vir obrigatoriamente em determinado

momento curricular, dado que pelo que observou considerou “razoável considerar a

oferta de Álgebra nas séries iniciais, desde que se pense em quais conteúdos contemplar

e de que forma” (p. 36), dado que concluiu uma proposta que foi testada

satisfatoriamente em ambiente de pesquisa em sala de aula. Assim, refere que esse seria

um possível caminho para dar “resposta à questão-chave por onde começar” (p. 36). No

entanto, considera que “outros caminhos são viáveis, desde que… contemplem aspectos

relevantes do campo conceptual algébrico, e se baseiem em actividades que possibilitem

às crianças um nível de representação conceptual ao seu alcance” (p. 36). Segundo o

autor, esta é a tarefa básica e fundamental do trabalho do professor, que deve

“responsabilizar-se por recortes de aspectos que julga relevantes, estabelecer uma

ordem de apresentação dos conteúdos recortados, e se munir de bom arsenal de

exemplificação, de actividades que metaforizem os conceitos a ser introduzidos” (p. 36).

Vimos atrás que o uso de letras é um elemento muito importante no estudo da

Álgebra. Ainda hoje é pertinente distinguir-se dois aspectos do seu uso: “(a)

representação de quantidades desconhecidas, por exemplo, na resolução de equações ou

na representação de problemas através de equações e (b) representação de variáveis, por

exemplo, na especificação de uma solução geral ou a generalização de padrões

numéricos ou a representação de propriedades numéricas e fórmulas” (Kieran &

Chalouh, 1993, p. 180). A ordem com que o uso destes dois tipos de letras se

desenvolveu historicamente, sugere que o uso de letras para representar quantidades

desconhecidas pode ser mais acessível para os jovens aprendizes do que o uso de letras

para representar variáveis. Por outro lado, a evolução histórica do uso de letras foi

acompanhada pela mudança do foco de soluções puramente numéricas para

considerações sobre o método ou processo. Esta mudança, segundo estes autores,

conduz a um aspecto que caracteriza a aprendizagem da pré-Álgebra – onde o foco é o

método ou processo em vez da resposta.

Assim, a pré-Álgebra é considerada como a transição da Aritmética para a

Álgebra, ou seja, é a área da Matemática na qual os estudantes constróem a sua Álgebra

a partir da Aritmética, isto é, constróem o significado dos símbolos e das operações da

23

Álgebra com base nos seus conhecimentos de Aritmética. Dois aspectos fundamentais

na perspectiva pré-algébrica são o uso de letras para representar números e o

conhecimento explícito dos métodos matemáticos que são simbolizados com o uso de

números e de letras. Assim para os autores, a pré-Álgebra não é a preparação para a

aprendizagem da manipulação de símbolos sem sentido usando regras aprendidas de

cor. Antes, “é uma exploração de algumas ideias chave algébricas nas quais os

estudantes (a) pensam sobre as relações numéricas de uma situação, (b) discutem-nas na

linguagem do dia-a-dia e (c) eventualmente aprendem a representá- las com letras ou

outra notação não ambígua” (pp. 181-182). Por outro lado, Fiorentini e Miorim (1993)

defendem que a linguagem algébrica é também resultado de uma forma especial de

pensamento, dado que, para expressar o pensamento algébrico existe uma linguagem

possível e integrada historicamente na cultura de uma determinada comunidade de

prática. Assim, o desenvolvimento do pensamento algébrico pode ocorrer desde os

primeiros anos de escolarização, daí que, como menciona Milton (1989), refe rido por

Fiorentini e Miorim (1993), aquilo que ensinamos em Aritmética e a forma como a

ensinamos tem fortes implicações para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Deste modo, é possível afirmar, como referem Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2005),

que pedagogicamente, o pensamento algébrico pode ser desenvolvido gradualmente

antes da existência de uma linguagem algébrica simbólica. Essa evolução do

pensamento algébrico vai desde a “fase pré-algébrica” (p. 5), quando o aluno utiliza

algum elemento considerado algébrico mas não o consegue conceber como número

generalizado ou variável, passando pela “fase de transição” (p. 6), quando o aluno aceita

e concebe a existência de um número qualquer, estabelece alguns processos e

generalização, podendo ou não utilizar a linguagem simbólica, terminando na fase em

que alcança “um pensamento algébrico mais desenvolvido” (p. 6), quando revela a

capacidade de pensar e de usar variáveis, sendo capaz de expressá- las por escrito e de

operar com elas. Os autores esclarecem que um “aluno pode atingir a terceira fase do

pensamento algébrico, sem necessariamente fazer uso de uma linguagem estritamente

algébrico-simbólica” (p. 6).

24

3. PROPOSTA PEDAGÓGICA

Este estudo tem como objectivo saber como é que os alunos desenvolvem o

seu raciocínio em termos algébricos, discutem e argumentam as suas ideias

matemáticas, formulam e avaliam as conjecturas que elaboram e que tipos de erros

fazem ao operar com polinómios e equações. Assim, apresento uma proposta de

trabalho onde irei dar relevo, por um lado, a aspectos relacionados com a leccionação de

conteúdos dos quais destaco as tarefas de exploração/investigação, a resolução de

problemas e o jogo. Por outro lado, apresento também o modo como vou realizar a

avaliação dos alunos.

3.1. Opções Gerais

Este estudo decorre em duas unidades temáticas “Ainda os Números” e

“Equações”. A primeira, atendendo às suas características, permitir-me-á compreender

como é que os alunos vão realizando o pensamento algébrico. Neste sentido irei utilizar

tarefas de investigação/exploração e problemas no estudo das sequências, máximo

divisor comum e potências de números para perceber o modo como os alunos realizam

raciocínios de generalização. A segunda unidade tem características bastante diferentes

da primeira. Pode ser caracterizada como uma unidade bastante abstracta que sobrevive

à custa de bastante trabalho rotineiro e compreensão de técnicas de manipulação de

símbolos e operação com expressões. Atendendo a estes aspectos, é minha intenção

verificar o sucesso do trabalho realizado precedentemente e ainda analisar o modo como

os alunos reagem e se desembaraçam dos obstáculos que encontram. Nesta unidade,

pretendo também que a resolução de equações seja contextualizada. Neste sentido é

minha intenção recorrer constantemente a problemas.

Ao longo destas duas unidades pretendo dar relevo aos diversos tipos de

tarefas, desde as investigativas e exploratórias, à resolução de problemas e exercícios.

Acredito que o ensino da matemática deve recorrer a um dive rsificado tipo de tarefas,

onde os alunos necessitem de recorrer a várias estratégias e sintam que estão a ter um

papel activo nas aulas. De facto, existem referências neste sentido, como a que se pode

encontrar no relatório final de Matemática 2001 (APM, 1998) onde “é recomendada

uma ênfase na realização, pelos alunos, de actividades matemáticas significativas” (p.

32).

25

A opção de escolha de diferentes tipos de tarefas prende-se também com o

objectivo de estudo e com o facto de que, atendendo ao Currículo Nacional do Ensino

Básico, hoje um professor tem de recorrer às diferentes experiências de aprendizagem

mencionadas nesse documento, sem o que não estará efectivamente a “cumprir” o

currículo estabelecido pelo Ministério da Educação. De facto, conforme referem Santos

e Canavarro (2001) “Cumprir um currículo, hoje em dia, já não passa por esgotar uma

lista de conteúdos matemáticos” (p. 48) é necessário muito mais…

No que concerne ao tipo de trabalho dos alunos na sala de aula, acredito que

este deve ser diversificado e que os diferentes tipos de trabalho devem estar presentes

no decorrer do ano lectivo. Assim vou recorrer a diferentes tipos de trabalho, passando

por discussões e confronto de ideias entre os alunos.

A planificação efectuada em reunião de professores no início do ano lectivo

considerava um total de 50 aulas, ou seja de 25 × 90 minutos, para o 2.º período. A

distribuição das aulas foi efectuada da seguinte maneira: 38 aulas para a leccionação,

sendo 12 para a unidade temática “Ainda os números” e 26 para unidade temática

“Equações”; 8 aulas para revisões, testes e correcção; 1 aula para testes diagnósticos

e/ou formativos; 2 aulas para actividades extra-curriculares; e 1 aula para auto-

avaliação. Para cada unidade temática foi ainda realizada uma planificação indicativa

mas não inalterável, dado que cada turma terá um ritmo próprio. O quadro 1 apresenta,

em traços gerais, a planificação realizada para as unidades temáticas.

Quadro 1 – Planificação geral das unidades temáticas “Ainda os Números” e

“Equações” (realizada na escola)

Unidade Sub-tema Objectivos Duração

(minutos)

Sequências de números

Descobrir relações entre os números; Continuar sequências simples de números; Descrever e generalizar sequências; Utilizar notação algébrica para representar

relações entre os números;

1× 90

“Ain

da o

s N

úmer

os”

M. d. c. e m. m. c. de dois números

Indicar o m. d. c. e m. m. c. entre dois números;

1 × 90

26

Potências de expoente inteiro

Calcular o valor de uma potência de expoente inteiro; Escrever um número sob a forma de uma

potência; Compara e operar com potências de

expoente inteiro;

2 × 90

Escrita de números utilizando potências de 10.

Representar um número natural na forma de um polinómio nas potências de 10;

1 × 90

Notação científica Escrever números em notação científica; Operar com números escritos em notação

científica;

1 × 90

Operações com polinómios

Utilizar a notação algébrica; Reconhecer monómios e polinómios; Efectuar a adição algébrica e o produto de

monómios e polinómios; Operar com polinómios;

4,5 × 90

Casos notáveis da multiplicação

Utilizar a notação algébrica; Descobrir as fórmulas do quadrado do

binómio e da diferença de quadrado; Utilizar os casos notáveis da

multiplicação;

2 × 90

Equações do 1º grau e equações de grau superior ao primeiro com e sem denominadores ou parênteses

Utilizar a notação algébrica; Distinguir equações de monómios e

polinómios; Interpretar o enunciado de um problema; Traduzir um problema por meio de uma

equação; Procurar soluções de uma equação; Escrever o enunciado de uma equação que

possa ser traduzido por uma equação dada; Resolver equações do 1º grau a uma

incógnita; Resolver equações de grau superior ao

primeiro utilizando os casos notáveis da multiplicação;

4,5 × 90

Lei do anulamento do produto

Utilizar a notação algébrica; Aplicar a lei do anulamento do produto à

resolução de equações;

1 × 90

“Equ

açõe

s”

Equações literais Utilizar a notação algébrica; Resolver equações literais em ordem a

uma das incógnitas;

1 × 90

3.2. Tarefas

Com este panorama e tentando dar cumprimento à planificação, atender à

realidade da minha turma e elaborar uma proposta pedagógica coerente, optei por

elaborar algumas tarefas que se encontram referidas no quadro 2. É de salientar nestas

27

unidades irão ser propostas aos alunos outras tarefas para além das referidas, dado que é

minha intenção utilizar o manual escolar adoptado na escola. Na minha opinião o

manual deve ser um instrumento de trabalho privilegiado, pois é este que o aluno tem

constantemente consigo.

Na unidade “Ainda os Números” decidi realizar quatro tarefas, de modo a

trabalhar parte dos conteúdos. Tenho consciência de que além destas irei utilizar várias

tarefas do manual adoptado. O trabalho realizado com os alunos irá passar pelas idas ao

quadro, pelo trabalho individual, pelo trabalho em pequenos grupos e por diversas

discussões. Vou também utilizar a resolução de exercícios como uma estratégia, uma

vez que os alunos necessitam de adquirir destreza no cálculo do mínimo múltiplo

comum e máximo divisor comum e na operação quer com potências quer com números

escritos em notação científica.

Na unidade “Equações”, irão existir momentos de trabalho de grupo e pares,

contudo o trabalho individual irá ser o principal ingrediente, dado que, em meu

entender, cada aluno necessita de desenvolver e adquirir aptidão para utilizar técnicas e

procedimentos algébricos. Irei recorrer a tarefas direccionadas para a aquisição, a

compreensão, a aplicação e, em certa medida, a descoberta do modo de operação com

expressões algébricas e resolução de equações. Para isso, conto com o recurso a tarefas

direccionadas para a descoberta de erros e aos jogos “cartões algébricos” e “dominó

algébrico”.

Quadro 2 – Tarefas propostas e seus objectivos

Unidade Tarefa Objectivo da tarefa Classificação Duração

(minutos)

Ainda os Números

“Grelha de Números_1”

Descobrir sequências de números; Descrever a lei de formação de

sequências de números; Descobrir relações entre números; Elaborar estratégias de cálculo

mental; Compreender a lei de construção da

grelha de números e utilizá-la em casos semelhantes;

Exploração e investigação

90

28

“Grelha de Números_2”

Fazer e testar conjecturas; Explorar regularidades; Generalizar a construção da grelha

de números; Comunicar matematicamente

oralmente e por escrito as conclusões obtidas;

90

“Mesa de quadradinhos”

Encontrar a relação entre a dimensão da mesa e a dimensão do percurso realizado; Reconhecer esta relação como sendo

o mínimo múltiplo comum das dimensões; Procurar relações entre a dimensão

da mesa, o número de toques e o canto onde a bola cai; Fazer e testar conjecturas; Comunicar matematicamente por

escrito as conclusões obtidas;

Exploração e investigação

90

“Grão de trigo num tabuleiro de xadrez”

Calcular o valor de uma potência de expoente inteiro; Escrever um número sob a forma de

uma potência; Compreender a utilidade dos

números escritos em notação científica, recorrendo eventualmente à calculadora científica e/ou à folha de cálculo; Comunicar matematicamente


Problema 90

“ Dobragens de uma folha de papel quadrada”

Descrever e generalizar relações; Escrever números em notação

científica utilizando eventualmente a calculadora científica e/ou a folha de cálculo; Comunicar matematicamente


Problema 90

Equações

“Descoberta do erro – operações com polinómios”

Compreender o modo de operar com polinómios; Confrontar os alunos com o erro; Promover a consciência do erro; Utilizar a notação algébrica; Comunicar matematicamente;

Exercício 20

29

“Cartões algébricos”

Compreender a igualdade de expressões algébricas; Efectuar operações com polinómios; Simplificar expressões algébricas; Operar com polinómios controlando

o erro; Utilizar a notação algébrica; Comunicar matematicamente;

Jogo 90

“Operações com polinómios”

Efectuar operações com polinómios; Simplificar expressões algébricas; Operar com polinómios controlando

o erro; Utilizar a notação algébrica; Comunicar matematicamente;

Exercício 30

“Descoberta do erro – equações”

Compreender o método de resolução de equações; Confrontar os alunos com o erro; Promover a consciência do erro; Utilizar a notação algébrica; Comunicar matematicamente;

Exercício 45

“Dominó algébrico”

Reconhecer e estabelecer equivalência entre equações algébricas; Utilizar a notação algébrica; Resolver equações controlando o

erro; Utilizar a notação algébrica; Comunicar matematicamente;

Jogo 90

“Problemas e equações”

Equacionar problemas e vice-versa; Traduzir problemas da linguagem

corrente para a linguagem matemática e vice-versa; Utilizar a notação algébrica; Comunicar matematicamente;

Problema 3 × 90

De seguida, explico em que consiste cada tarefa, o objectivo que pretendo

atingir, os conteúdos matemáticos envolvidos e o tipo de trabalho dos alunos. Assim, a

tarefa “grelha de números” é constituída por 2 partes que, partindo de situações

semelhantes a procedimentos aritméticos, vai progressivamente se encaminhando para

uma exploração no campo algébrico. Tendo por base as sequências de números é

solicitado aos alunos, numa primeira fase, um trabalho sobretudo aritmético, onde é

necessário a explicação dos raciocínios elaborados e das estratégias de resolução

efectuadas. Deste modo, os alunos vão-se envolver gradualmente na construção de

partes de grelhas de números que, através de desafios intelectuais semelhantes aos de

um jogo, finaliza num raciocínio que apela à generalização. No que concerne ao

trabalho dos alunos, este irá ser essencialmente de duas formas: em grupo, aquando da

resolução propriamente dita da tarefa e na qual espero que sejam exploradas as

30

situações encontradas, e em grupo-turma que ocorrerá no final de cada parte da tarefa,

onde cada grupo apresentará as conclusões obtidas.

A tarefa “mesa de quadradinhos” consiste na investigação/exploração do

movimento de uma bola ao longo de uma mesa composta por quadradinhos. O principal

objectivo é a descoberta de relações entre números recorrendo para esse efeito às

dimensões da mesa, ao número de diagonais dos quadradinhos percorridas pela bola, ao

número de toques que a bola dá na borda da mesa e ao canto em que a bola cai. O

conteúdo matemático que surge desta investigação é o mínimo múltiplo comum das

dimensões da mesa como resultado do número de diagonais percorridas. O trabalho dos

alunos é em grupo de 3 a 4 alunos. É preciso ainda referir que após a realização da

tarefa é solicitado a cada grupo a elaboração de um relatório, pelo que lhes será entregue

um guião. No final existirá uma discussão alargada com toda a turma para a

apresentação das conclusões obtidas.

A tarefa “grãos de trigo num tabuleiro de xadrez” irá ser apresentada aos

alunos após a leccionação do sub-tema “potências de expoente inteiro”, dado que além

de trabalhar os conteúdos de potências também permite que os alunos se envolvam com

números extremamente grandes, fazendo assim surgir a necessidade do trabalho com os

números escritos em notação científica. Os alunos irão trabalhar em pares e no fim irão

apresentar as conclusões à turma. Contudo, antes dessa apresentação ser- lhes-á pedido a

elaboração de um relatório. Queria apenas realçar que estou consciente que poderá

surgir, aquando do trabalho de algum dos grupos ou na discussão, a necessidade de

referir que estes 64 números encontrados são termos de uma progressão geométrica,

pelo que, se assim for, não hesitarei em referir este facto aos alunos.

A tarefa “dobragens de uma folha de papel quadrada” irá, decerto, criar

alguma curiosidade nos alunos, dada a impossibilidade de conseguirem efectivamente

dobrar a folha de papel o número de vezes que seria necessário. Assim, terei que numa

primeira fase de apelar à capacidade de abstracção, pelo que irei ler com os alunos a

tarefa evitando alguma confusão que possa surgir. O trabalho dos alunos será em

pequenos grupos, devendo de seguida elaborar um pequeno relatório e no fim apresentar

as suas conclusões à turma. Esta tarefa centra-se no estudo de números grandes e de

números pequenos e da consequente utilização de números escritos em notação

científica.

Na unidade “Equações” o trabalho será caracterizado por quatro momentos.

No primeiro existem aulas com um cariz mais expositivo, onde os alunos irão recorrer

31

ao manual para contactarem com aspectos de linguagem e novos conceitos. De seguida,

pretendo recorrer à tarefa “Descoberta do erro – polinómios” que consistirá numa lista

de dez operações com polinómios, das quais existiram três correctas e as restantes

erradas. Pretendo assim alertar e consciencializar os alunos para o risco do erro. No fim,

pretendo que cada aluno individualmente seja capaz de operar com polinómios e de

evitar o erro ou de no caso ter cometido algum de o descobrir. Neste sentido irei propor

aos alunos a realização da tarefa “Operações com polinómios”, que ocorrerá antes do

início da leccionação das equações propriamente ditas. A tarefa “Descoberta do erro –

equações” é semelhante à anterior e também tem como foco principal o erro. A

diferença reside apenas no conteúdo, que é as equações. Irei ainda propor dois jogos

para serem realizados em pares ou grupos de 3 ou 4 alunos. O jogo “cartões algébricos”

pode ser utilizado de diversos modos. De um dos lados do cartão existirá uma expressão

algébrica que deverá ser simplificada e no verso a resposta correcta. Assim, um aluno

pode pedir ao outro que simplifique a expressão ou pode começar por indicar a resposta

e solicitar ao colega uma expressão. O “dominó algébrico” é um jogo mais restrito, uma

vez que apenas permitirá juntar peças que sejam correspondentes, não existindo assim a

possibilidade de inventar. Este jogo poderá ser realizado em pares ou grupo de três ou

quatro alunos. Uma característica que me parece digna de louvar é o facto do jogo

permitir uma competição saudável aliada à inter-ajuda e à, não menos importante,

comunicação directa entre alunos. Para controlo do trabalho realizado pelos alunos

serão entregues folhas de registo que depois irei recolher. Por fim, existirá a tarefa

“Problemas e equações” que será trabalhada individualmente e que consistirá num

conjunto de problemas que quando são equacionados necessitam de equações simples,

equações com parênteses ou equações com fracções. Nesta tarefa pretendo dar especial

atenção ao modo como o aluno equaciona o referido problema. Também será solicitado

ao aluno que invente problemas sendo- lhe fornecida uma equação.

Com este estudo pretendo que os alunos consigam ser competentes

algebricamente no sentido de serem capazes de operarem com expressões algébricas, de

resolverem uma equação e de efectuarem raciocínios que necessitem da generalização.

Assim, com a primeira unidade temática pretendo começar por levar os alunos a

desprenderem-se da Aritmética e começarem a ganhar confiança no trabalho com as

letras. A segunda unidade surge, em parte, como uma verificação do trabalho

precedente e como um reforço do estudo das equações do ano lectivo anterior, para

terminar com a realização de raciocínios abstractos. No entanto, pretendo apelar à

32

realidade, na medida do possível, através da resolução de problemas. De facto, e como

já referi, fui professora da maior parte destes alunos no ano lectivo anterior, o que me

permite desde já referir que existem alunos com uma capacidade bastante boa para a

resolução de equações e a elaboração de raciocínios mais complexos. Contudo, existem

alunos com grandes dificuldades e que necessitam de recorrer constantemente à

Aritmética para compreenderem o que é uma equação. Portanto, é minha intenção

avaliar com este estudo a superação das dificuldades, a capacidade de abstracção, enfim,

tudo o que envolve o trabalho com a Álgebra.

3.3. O ambiente de trabalho, o papel do aluno e da professora

No que concerne ao trabalho dos alunos, pretendo que durante estas aulas estes

trabalhem de diversos modos: trabalho de grupo, trabalho de pares, trabalho individual e

trabalho em grupo-turma. Tenciono dar aos alunos a oportunidade para confrontar,

discutir, argumentar e justificar as suas ideias, realizar descobertas, confrontarem-se

com as suas dúvidas, esclarecê- las, enfim levá- los a sentirem-se num ambiente de

aprendizagem que transmita confiança e envolvimento, e que seja ao mesmo tempo

motivador, estimulante e enriquecedor. De facto, pretendo que os meus alunos

consigam alcançar êxito no seu trabalho, visto que isso irá constituir “um ponto de

apoio para o aluno ir adquirindo confiança nas suas capacidades para a Matemática, e

essa auto-estima é decisiva para modelar o seu comportamento futuro.” (APM, 1988, p.

54).

O meu papel, como professora, é constituído por diversas vertentes. Em

primeiro lugar, seleccionei e elaborei um conjunto de tarefas que escolhi

cuidadosamente atendendo ao objectivo de estudo, tendo em conta os documentos

oficiais para o ensino da Matemática. Pretendo com estas tarefas, por um lado,

direccionar os alunos no sentido de elaborarem raciocínios desenvolvendo o

pensamento algébrico e, por outro, compreender os modos de pensar, as estratégias, os

tipos de abordagem e observar os erros mais comuns efectuados pelos alunos. Em

segundo lugar, pensei na dinâmica que deveria dar à aula. Assim, no início das aulas em

que realize uma tarefa irá haver um primeiro momento de leitura para a turma dessa

tarefa, por mim ou por um aluno. Terei o cuidado de verificar se todos compreenderam

o que era pedido. De seguida existirá um tempo dedicado à resolução da tarefa. Nesta

altura o meu papel dependerá consoante o tipo de trabalho dos alunos. Durante os

33

trabalhos de grupo e de pares irei dar apoio aos alunos circulando pela sala

questionando-os e dialogando com estes, de modo a esclarecer dúvidas, desbloquear

situações de impasse, gerir o confronto de opiniões, incentivar a participação de todos,

enfim o que possa eventualmente surgir. No entanto, é de realçar que não é minha

intenção evitar que os alunos cometam erros, sigam estratégias ou caminhos menos

direccionados para o sucesso. Outro momento importante, que irá decorrer após a

realização de cada tarefa, é a discussão em grande grupo. Neste caso, pretendo ser uma

moderadora da discussão e do confronto de ideias e conclusões encontradas pelos

alunos, tendo o cuidado de deixar que cada grupo explique à turma o raciocínio

efectuado. Assim, terei a preocupação de controlar a dinâmica da aula tendo o cuidado

de colocar todos os alunos com um papel activo e participante, de modo a realizarem

uma aprendizagem significativa.

A elaboração dos relatórios irá ser uma tarefa que os alunos vão realizar após a

realização de algumas tarefas, quer em pares ou em grupo. Como, de um modo geral, os

alunos têm dificuldade em se encontrarem depois das aulas, pretendo dar- lhes tempo na

sala de aula para a sua realização. É minha intenção aproveitar, sempre que possível, as

aulas de Estudo Acompanhado, dado que também lecciono esta área curricular a estes

alunos.

O trabalho individual também irá estar presente durante as aulas. Nesta

situação terei um papel mais exigente, dado que necessitarei de estar com atenção a

todos os alunos, pelo que irei dialogar e esclarecer as dúvidas tendo o cuidado de

verificar se todos alcançaram os objectivos propostos.

A unidade “Equações” envolve uma atitude um pouco diferente da parte dos

alunos. O principal tipo de trabalho é individual, havendo por vezes ao trabalho em

pares ou grupo. Neste tema, a minha função como professora será a de regular a

aprendizagem, exigindo assim que eu tenha uma maior presença e controlo gradual do

trabalho dos alunos.

3.4. Avaliação

A avaliação é um aspecto do ensino-aprendizagem a que tenho dado bastante

atenção ao longo da minha vida profissional. Neste estudo utilizo uma avaliação

praticamente diária da sala de aula, quer informativa quer formativa. Além disso,

procuro diversificar os instrumentos de avaliação, evitando o recurso apenas a testes

34

escritos e utilizando também a auto-avaliação dos alunos como estratégia de regulação

diária da aprendizagem, da cooperação entre os alunos, do comportamento e das

atitudes.

A avaliação que irei realizar baseia-se nos critérios que foram definidos na

escola. Assim, serão considerados os seguintes parâmetros “aquisição e compreensão de

conhecimentos”, “aplicação de conhecimentos” e “participação nas actividades”,

recorrendo a variados instrumentos: testes/fichas, observação directa em aulas, trabalhos

individuais e em grupo e trabalhos de casa. A distribuição da ponderação relativa aos

dois primeiros parâmetros é de 75% e para o último parâmetro de 25%.

Ao longo de cada unidade irei solicitar aos alunos uma auto-avaliação

periódica, quer das tarefas realizadas, quer das aulas e das suas aprendizagens. Também

vou utilizar uma ficha de auto-avaliação do trabalho de grupo/pares que tem como

principal objectivo levar os alunos a tomarem consciência do seu trabalho e dos colegas,

bem como a possibilidade de efectuarem sugestões para melhorar. (anexo__)

A avaliação formativa é um aspecto que pretendo valorizar. Irei realizá-la ao

longo das duas unidades, mas será principalmente nas “Equações” que terei esse

cuidado, dado que penso que é necessário que os alunos adquiram conhecimentos para

depois poderem dar continuidade aos seus estudos com sucesso. De facto, esta unidade

pode ser caracterizada por exigir que sejam adquiridas as primeiras noções para depois

progredirem para posteriores conteúdos.

Pretendo recorrer ao uso de mini- fichas com uma duração de 15 a 20 minutos,

dado que pretendo regularizar e adaptar o ensino aos alunos, e permitir que estes tenham

consciência da sua aprendizagem, nomeadamente das suas dificuldades e erros

cometidos.

Outro aspecto a considerar será o trabalho realizado pelos alunos em casa, que

será controlado por mim, não apenas no sentido de saber se o fizeram ou não, mas de

compreender as suas dificuldades, as suas dúvidas, os seus erros e também os seus

sucessos.

Os relatórios pedidos na realização das tarefas servirão para ajudar os alunos a

sistematizarem as suas ideias, para verificarem a sua aprendizagem dos alunos e as suas

dificuldades. Existem relatórios, com diferentes objectivos, que serão discutidos e

negociados com os alunos, antes da realização de cada tarefa. Antes da elaboração dos

referidos relatórios será entregue um guião de orientação que também será discutido e

negociado com os alunos. Para a tarefa “mesa de quadradinhos” um dos principais

35

objectivos será a tomada de consciência das diferentes fases que compõem uma

investigação. Relativamente ao relatório pedido no final das tarefas “grãos de trigo num

tabuleiro de xadrez” e “dobragens de uma folha de papel quadrada” o principal

objectivo é a explicação do modo como foi abordada a questão por cada elemento do

grupo e a sistematização do modo de resolução do problema e as conclusões a que

chegaram. Esses relatórios serão apresentados por escrito, sendo alguns deles realizados

na sala de aula de Matemática ou na aula de Estudo Acompanhado. É minha intenção

dar feedback aos alunos sobre os relatórios. O guião que será entregue aos alunos

encontra-se no anexo __.

No final de cada unidade temática irei realizar um teste escrito, sendo o

segundo um teste em duas fases. Este teste será composto por duas partes: na primeira

as questões serão de resposta curta e escolha múltipla, onde pretendo avaliar o

raciocínio matemático, a aquisição e aplicação de conceitos e procedimentos e a

resolução de problemas. A segunda parte será composta por questões de resposta aberta

que avaliam o raciocínio matemático, a capacidade de argumentação e a comunicação

matemática. Justifico esta decisão pelo facto de existirem nesta turma alunos bastante

heterogéneos, assim irá ser proveitoso permitir que os alunos com bons resultados

progridam cada vez mais e ajudar os alunos com mais dificuldades a adquirirem os

conhecimentos cons iderados mínimos em termos algébricos.

Por decisão minha, não me vou debruçar sobre a opinião dos alunos sobre as

aulas porque como sou professora destes alunos desde o ano passado, isso poderia

condicionar o estudo e a opinião. No fim da leccionação existirá um questionário (anexo

__) que servirá para a recolha da opinião dos alunos relativamente à Álgebra e para

estes expressarem o que sentiram perante esta experiência de aprendizagem e sugestões

de melhoria.

36

4. METODOLOGIA

Neste capítulo descrevo e justifico as opções metodológicas do estudo, faço a

caracterização dos participantes e refiro as formas de recolha e de análise de dados.

4.1. Opções metodológicas

A escolha do quadro de referência que orienta o estudo deve ser feita, segundo

Matos e Carreira (1994), de acordo com o problema e com as questões que se pretende

responder. Atendendo ao problema de estudo, que consiste em perceber os processos de

raciocínio e eventuais dificuldades dos alunos de 8.º ano quando trabalham com

situações que requerem o pensamento algébrico, bem como as dificuldades e os erros

cometidos na simplificação de expressões algébricas e na resolução de equações, este

estudo enquadra-se numa investigação de natureza qualitativa, seguindo o paradigma

interpretativo.

Na investigação qualitativa, segundo Bodgan e Biklen (1994), as questões a

serem investigadas são determinadas com o fim de estudar o fenómeno em toda a sua

complexidade e no contexto natural. Portanto, não são formuladas hipóteses que se

pretendam testar mas antes questões que orientam o estudo. De acordo com estes

autores, as cinco características principais da investigação qualitativa são: (1) a fonte

directa de dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento

principal; (2) os dados recolhidos são descritivos; (3) o interesse do investigador centra-

se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos; (4) a análise

dos dados tende a ser de uma forma indutiva; (5) o investigador interessa-se

fundamentalmente por compreender o significado que os participantes atribuem às suas

experiências. Apesar de ter consciência de que estas características não estão presentes

de igual modo no estudo, estas determinam de grande modo o tipo de investigação a ser

feita.

Por outro lado, pretendo observar no terreno da acção, isto é, na sala de aula, de

que forma os alunos se envolvem nas tarefas propostas, as suas reacções e dificuldades,

onde irei intervir, no papel de professora, no trabalho por eles desenvolvido. Como

investigadora, tentarei compreender e interpretar os fenómenos que irão ocorrer nessas

aulas, tendo em conta quer os alunos que eu própria, como professora. Assim, segundo

Cohen, Manion e Morisson (2000), este estudo segue o paradigma interpretativo. Neste

37

tipo de estudo, a perspectiva dos participantes é o elemento privilegiado para a

compreensão dos dados recolhidos. Estes são caracterizados por serem, por um lado,

ricos em pormenores descritivos relativamente a pessoas (neste caso alunos), e

conversas, e, por outro, recolhidos em contexto natural onde se pretende investigar os

fenómenos em toda a sua complexidade, atendendo também à dinâmica interna da

situação, neste caso a sala de aula. Assim, este estudo enquadra-se numa investigação

qualitativa com uma abordagem participante, tendo um carácter interpretativo.

Além disso, atendendo a que investigação tem por base as minhas aulas onde

intervenho e tenho um papel activo, e que, é a partir da minha prática na sala de aula e

do trabalho que os alunos realizam dependendo das tarefas que proponho que tudo se

articulará, posso dizer que este estudo incide sobre a minha prática profissional.

Finalmente, esta investigação estrutura-se em estudos de caso. Considerei que

esta forma de organização seria vantajosa e enrique cedora dado o facto da turma onde

ela se irá realizar ser bastante heterogénea. Os estudos de caso são um modo de

estruturar uma investigação que visa a compreensão de fenómenos que não se podem

isolar do contexto e onde a “preocupação principal é compreender a forma como os

partic ipantes percepcionam a situação” (Patton, 1997, p. ?).

O facto da própria realidade escolar de uma sala de aula ser bastante complexa e

a dinâmica da sala de aula ser difícil de acompanhar, estando eu a assumir

simultaneamente o papel de professora e investigadora, é outra razão para realizar

estudos de caso de alunos. Os estudos de caso, segundo Cohen et al. (2000),

possibilitam a investigação e o relato de uma dinâmica complexa, da relação entre

diferentes acontecimentos, das relações humanas e outros factores. Neste estudo,

pretendo investigar vários aspectos relacionados com a actividade desenvolvida pelos

alunos tendo em atenção as diferenças marcantes que podem existir entre eles. Ou seja,

debruço-me “deliberadamente sobre uma situação específica que se supõe ser única em

muitos aspectos, procurando descobrir o que há nela de mais essencial e característico”

(Ponte, 1994, p. 3).

4.2. Participantes

4.2.1. A escola

38

O estudo foi realizado na Escola Básica Integrada com Jardim-de-Infância D.

Carlos I, onde existem alunos desde o jardim-de-infância ao 9.º ano de escolaridade,

passando por cursos de Educação e Formação Educacional. A escola situa-se em Sintra,

arredores de Lisboa, numa zona calma e tranquila onde a população escolar provém

essencialmente de zonas rurais. Na escola existem cerca de 550 alunos, 100 professores,

15 auxiliares de acção educativa e 7 funcionários administrativos.

De um modo geral, a escola pode ser considerada como calma e agradável,

registando-se pontualmente situações de indisciplina e de abandono escolar. Os

professores caracterizam a escola como um lugar aprazível, com um ambiente familiar.

No entanto, para alguns deveria existir uma maior cooperação bem como um maior

trabalho conjunto.

No Projecto Educativo da Escola encontra-se explicitado, de acordo com as

características do contexto educativo, dois princípios orientadores de actuação: (1) uma

Escola em que existam condições para que todos os intervenientes no processo

educativo a sintam como um espaço seu, promotor da motivação e do empenho nas

diferentes actividades a realizar; (2) uma Escola que diversifique as ofertas educativas,

no sentido de que as diferentes aptidões, motivações e apetências encontrem espaço

para o seu desenvolvimento. As finalidades do Projecto Educativo passam por investir

numa escolaridade básica de qualidade, promover o aumento do sucesso educativo e

melhorar a sua qualidade, evitar o abandono escolar; aprofundar a cooperação entre a

Escola e o meio envolvente.

4.2.2. A turma

A turma escolhida – 8.º D é caracterizada por ser constituída por alunos

interessados pelo saber, empenhados e receptivos a novas experiências. Dos 19 alunos

que constituem a turma, 16 haviam sido meus no ano lectivo anterior. A turma é

composta por 8 rapazes e 11 raparigas.

A escolha da turma baseou-se nos seguintes critérios: (1) existir uma boa

relação entre mim e os alunos da turma; (2) ser uma turma constituída por alunos com

interesses diferentes; (3) ser uma turma receptiva a novas experiências e curiosa pelo

saber; (4) não existir graves problemas de indisciplina. Esta decisão foi um pouco

facilitada, dado que no ano lectivo 2004/05 tinha leccionado uma turma de 7.º ano, que

correspondia ao que eu pretendia, sendo esta constituída por alunos bastante

39

heterogéneos, incluindo alguns com excelentes resultados e outros com bastantes

dificuldades, passando pelos alunos com necessidades educativas especiais,

identificados com alíneas i) e f) do Decreto Lei nº 319/91. Criei com eles, nesse ano,

uma relação de empatia e cumplicidade.

A média de idade dos alunos, no início do ano lectivo, é de 13,4 anos e varia

entre os 12 e os 16 anos, conforme se mostra no quadro seguinte:

Quadro 1 – Distribuição dos alunos por idade

Idade Nº de alunos

12 2

13 11

14 5

15 0

16 1

Dos 19 alunos que compõem a turma, cerca de metade já tiveram retenções no

seu percurso escolar (quadro 2). Verifica-se que cerca de metade dos alunos teve pelo

menos uma retenção, um teve duas e outro teve três retenções.

Quadro 2 – Distribuição dos alunos por retenção

Nº de retenções Nº de alunos

1 7

2 1

3 1

O aproveitamento dos alunos em Matemática é satisfatório, verificando-se uma

média 3,3 no 1.º e 2.º períodos, numa escala de 1 a 5. O quadro 3 e o gráfico 1 permitem

uma melhor análise dos resultados. Do 1.º período para o 2º período verifica-se que o

número de alunos com nível 2 diminuiu tal como o número de alunos com nível 4. No

entanto, o número de alunos com nível 3 subiu. Manteve-se o número de alunos com

nível 5.

Quadro 3 – Níveis atribuídos na disciplina de Matemática

40

Nível 1.º Período 2º Período 3º Período

1 -- --

2 4 3

3 8 10

4 4 3

5 3 3

Gráfico 1 – Níveis atribuídos na disciplina de Matemática

Níveis atribuídos

0 0

43

8

10

433 3

0123456789

1 01 1

1.º Período 2.º Período

Nº d

e al

unos

Nível 1Nível 2Nível 3Nível 4Nível 5

No que respeita às profissões desejadas pelos alunos, decidi fazer a divisão de

acordo com a categorização efectuada pelo Instituto do Emprego e Formação

Profissional (site: http://portal.iefp.pt). Verifica-se que o desejo dos alunos está bastante

concentrado em profissões dos grandes grupos 2 e 3 (ver quadro 4). No entanto, dentro

de cada grupo as escolhas é bastante heterogénea. As aspirações dos alunos

considerados no grande grupo 2 vão desde a actriz, à arquitecta, passando pela médica e

magistrada. No grande grupo 3 as profissões são essencialmente fotógrafa, técnico de

informática e educadora de infância.

Quadro 4 – Profissões desejadas pelos alunos

Grandes grupos N.º de alunos

1 - Quadros Superiores da Administração Pública, Dirigentes

e Quadros Superiores de Empresa --

41

2 - Especialistas das Profissões Intelectuais e Científicas 11

3 - Técnicos e Profissionais de Nível Intermédio 6

4 - Pessoal Administrativo e Similares --

5 - Pessoal dos Serviços e Vendedores 1

6 - Agricultores e Trabalhadores Qualificados da Agricultura

e Pescas --

7 - Operários, Artífices e Trabalhadores Similares 1

8 - Operadores de Instalações e Máquinas e Trabalhadores da

Montagem --

9 - Trabalhadores Não Qualificados --

O nível socio-económico e cultural dos pais dos alunos da turma é médio e as

habilitações académicas são diversificadas (ver quadro 5), desde o 1.º ciclo do ensino

básico ao ensino superior.

Quadro 5 – Distribuição dos pais por habilitações académicas

Habilitações académicas Pai Mãe

1.º Ciclo E. B. 3 3

2.º Ciclo E. B. 1 --

3.º Ciclo E. B. 4 5

Ensino Secundário 5 5

Bacharelato 1 --

Licenciatura 4 6

4.3. Instrumentos de recolha de dados

A existência de uma recolha de dados variada é uma mais valia para o

investigador. Os instrumentos utilizados são os seguintes: diário de bordo; gravações;

entrevistas; e documentos escritos produzidos pelos alunos aquando da resolução das

tarefas propostas.

4.3.1. Diário de Bordo

42

Atendendo ao facto de ser simultaneamente professora e investigadora

dificilmente conseguirei fazer muitas anotações durante as aulas. Neste sentido, o diário

de bordo revela-se como um instrumento muito importante. Após cada aula, fiz um

registo sistemático das observações que, de acordo com Lessard-Hébert, Goyette e

Boutin (1990), fazem parte da subjectividade do investigador, uma vez que contém as

minhas percepções e expectativas, os meus receios e sentimentos, enfim o conjunto de

aspectos bons ou maus que decorreram, e que ao fim de algum tempo iriam ficar de um

modo bastante ténue na minha memória, fazendo com que perdesse informações

preciosas. É de notar que neste registo também inclui reflexões quer sobre a minha

prática, quer sobre os materiais que apresento aos alunos, uma vez que acredito que é

sempre possível melhorar um ou outro aspecto.

Como estratégia, no sentido de conseguir ser o mais fiel possível ao que se

passou em cada aula, logo após o final de cada aula fiz o maior número de anotações

possível quer do meu discurso quer do dos alunos, para mais tarde ter uma base de

trabalho fidedigna. Nas aulas em que ocorrem discussões das tarefas decid i efectuar

gravações das mesmas. Esta decisão prende-se com o meu interesse em ter o registo de

todo o diálogo realizado, bem como a percepção da reacção dos alunos às conclusões

dos outros. Após cada aula gravada, fiz a transcrição da mesma.

4.3.2. Entrevistas

A decisão da realização de entrevistas deveu-se ao facto de necessitar ter um

contacto mais directo com os alunos e por estas produzirem uma riqueza de dados e

informações detalhados. De facto, como refere Tuckman (2002), a entrevista permite

“obter os dados desejados com a máxima eficácia e a mínima distorção” (p. 348). No

início do estudo realizei entrevistas com a intenção de compreender o que os alunos

pensam sobre a Matemática e o modo se desembaraçam perante as situações que lhes

apresento. Neste sentido posso afirmar que a entrevista será, de certo modo,

exploratória, dado que “nesse momento o objectivo é a compreensão das perspectivas

sobre este tópico” (Bogdan e Biklen, 1994, p. 136). No final do estudo, a entrevista é

mais estruturada atendendo à necessidade de conhecer aspectos mais específicos. Deste

modo, tive a oportunidade de perceber o que os alunos realmente sentiram, pensaram, as

dificuldades por que passaram, enfim o que para eles representou esta experiência. O

tipo de entrevista a utilizar foi a semi-estruturada, dado que pretendo que o

43

desenvolvimento da entrevista se vá adaptando ao aluno em questão e por ter à minha

frente alunos com idades entre 12 e 16 anos. Assim, decidi elaborar um guião que

apenas servirá para orientar o desenvolvimento da entrevista e que garantirá que todos

os participantes respondem às mesmas questões. Durante as entrevistas, tive muita

flexibilidade e assumi o papel de detective na tentativa de compreender a perspectiva

pessoal do aluno.

As entrevistas serão gravadas para que a possa registar na sua totalidade e para

fiel às respostas obtidas. As transcrições foram feitas o mais rapidamente possível, pois

existem expressões e entoações que passam despercebidas.

4.3.3. Análise dos documentos produzidos

A análise dos documentos produzidos pelos alunos permitiu-me obter a noção

exacta do trabalho produzido pelos alunos. De facto, com a análise dos relatórios

produzidos pelos alunos após a realização das tarefas permitiu-me completar as minhas

informações, dado que numa aula existem uma grande variedade de acontecimentos e

pormenores que escapam ao professor, ainda mais quando o trabalho dos alunos é

realizado em grupo e o professor vai circulando pela sala com o intuito de atender os

alunos que o solicitam, ajudar a esclarecer dúvidas e a ultrapassar dificuldades. Outro

documento produzido pelos alunos foi o teste escrito que permite a recolha de

informações referentes aos erros cometidos pelos alunos.

4.3.4. A associação dos vários instrumentos de recolha de dados

Os diferentes instrumentos utilizados têm como principal objectivo a recolha

de dados quer em quantidade quer em qualidade. Neste sentido, no quadro 5 indica o

contributo de cada um relativamente às questões de estudo.

44

Quadro 5 – Contributo dos instrumentos de recolha de dados relativamente às questões

de estudo

Questões de estudo Entrev. 1

Entrev. 2 Gravação

Docs. produzidos

pelos alunos

Diário de

bordo

Como é que os alunos formulam, testam e justificam as conjecturas que elaboram?

ü ü ü

Como é que os alunos efectuam raciocínios algébricos (tradução de linguagem, simplificação, equacionação, etc.)?

ü ü ü ü

Quais as dificuldades e os erros mais significativos quando os alunos trabalham expressões algébricas e equações?

ü ü ü ü ü

Com a utilização destes diferentes tipos de instrumentos pretendo recolher

dados fidedignos e credíveis. Uma técnica que utilizada neste sentido é a triangulação,

no sentido de existir uma validação instrumental que seja efectuada recorrendo à

confrontação dos dados recolhidos a partir de várias técnicas. Atendendo ao que foi

exposto e aos vários métodos de recolha de dados utilizado, penso que esse aspecto está

garantido. Outra preocupação que o investigador deve ter é um envolvimento

prolongado pois, como referem Lessard-Hébert, Goyette e Boutin (1990), “a duração da

observação é um factor de validação da uma investigação qualitativa no campo” (p. 76).

A duração está associada, segundo estes autores, a um outro factor: a proximidade entre

o investigador e o grupo, ou seja, o investigador deve estar o mais próximo possível do

problema que pretende esclarecer. Ora, no que concerne a este aspecto, existe a garantia

completa de que isso se vai verificar, dado que irei ser professora destes alunos e já

conheço a maior parte do ano lectivo anterior. Assim, do meu ponto de vista, o estudo

tem todos os ingredientes para ser válido.

4.4. Análise de dados

45

A análise de dados, segundo Tuckman (2002), pressupõe a utilização dos

dados recolhidos para responder às questões de investigação. Portanto, a partir da

tendência das respostas que obtiver, irei identificar um número de factos e ocorrências.

Bodgan e Biklen (1994) recomendam que alguma análise de dados tem de ser

realizada durante a recolha de dados, senão os dados poderão não ter orientação e

poderão não ser suficientemente completos para a análise. Assim, iniciei a análise de

dados aquando da sua recolha, apesar desta ter sido, de certa forma, superficial.

O anonimato dos alunos que serão alvo do estudo foi um aspecto tido em

conta. Assim perguntei aos alunos o nome fictício pelo qual gostariam de ser referidos.

46

5. ANÁLISE DE DADOS

5.1. A turma

A fazer!

5.2. O caso da Beatriz


Beatriz tem 13 anos. Ao longo do seu percurso escolar nunca teve uma retenção.

Considera-se uma aluna razoável a todas as disciplinas. A sua participação na sala de

aula é activa. Afirma que a disciplina de Matemática é uma das suas preferidas.

No que concerne à sua perspectiva sobre a Matemática, considera que a

disciplina é essencialmente cálculo: “há sempre cálculo, em todos os problemas, em

tudo (…) [e que] há algumas coisas que não se faz com cálculo, mas vai quase sempre

dar ao cálculo” (E1, p.1). Considera ainda que o raciocínio é muito importante “porque

para chegarmos à resolução de um problema, temos de passar… de fazer um raciocínio

e temos também de perceber o problema e o porquê aquilo” (E1, p1). Também admite

que a Matemática se baseia em parte no trabalho com letras “porque não é muitas vezes,

mas também não é poucas. Não é? Praticamente é quase tudo números” (E1, p2).

Quando questionada sobre a sua percepção sobre a existência de mais letras

ultimamente, ela referiu que “Claro que tem havido mais letras. Lembro-me que no 5.º

ano era quase… só havia números”. Para Beatriz a Matemática baseia-se na aplicação

de regras para resolver exercícios: “para chegarmos a uma resposta, porque 2+2 não

pode ser 5, 2+2 tem de ser 4. É uma regra.” (E1, p4). Quando a questionei se usava

regras em Geometria, referiu imediatamente que sim: “por exemplo, o teorema de

Pitágoras é baseado em regras” (E1, p4).



A primeira parte da questão 3 da tarefa realizada durante a entrevista solicitava a

expressão simplificada que representava o perímetro de um polígono dado. Apesar de

47

ser uma resposta de escolha múltipla com 4 hipóteses de resposta, a Beatriz considerou

que a resposta correcta seria outra: a6 .

Beatriz – Não está aqui!

Professora – Como é que encontraste essa expressão?

Beatriz – 1+a é a1 . 12 +a é a3 . 3−a é a. 2+a é a2 e a é a. E a soma dá a6 .

Analisando a resolução de Beatriz, e o modo como ela argumenta neste excerto

da entrevista, verifica-se que fez vários erros de eliminação. Considerou o sinal + de

cada expressão como uma operação a realizar, como se estivesse perante uma situação

aritmética. De seguida adicionou apenas a1 , a3 e a2 não atribuindo significado aos

a’a isolados.


Para Beatriz, a resolução de equações é, de certo modo complicada, mas

considera que isso depende das equações. Na sua opinião “há umas mais complicadas,

outras mais fáceis” (E1, p.4). Por exemplo, a resolução da equação 5)2(2 +=+ xx foi

uma tarefa que lhe trouxe algumas dificuldades. Tinha presente uma vaga ideia das

regras práticas para a resolução de equações, tratadas no 7.º ano. Lembrava-se que devia

isolar os termos em x no primeiro membro e os números no segundo membro. Por isso

fez a seguinte resolução:

Em primeiro lugar, verifica-se que não atribuiu significado aos parênteses nem

ao 2 que o antecede. Continuou a repetir o erro de eliminação, simplificando 2+x por

48

x2 . No segundo passo, Beatriz tinha como objectivo isolar a variável. Para isso

necessitava de retirar o coeficiente 2 do termo x2 e decidiu colocar o 2 no segundo

membro recorrendo à adição. Neste caso, não inverteu correctamente a operação.


Na segunda parte da questão 3 da tarefa da entrevista era pedida a indicação da

medida de cada um dos lados do polígono. Esta questão enquadra-se numa perspectiva

processual da Álgebra, segundo Kieran (1992). Beatriz não teve dificuldades na sua

resolução.

Para cada um dos lados do polígono, Beatriz efectuou a substituição do valor de

a por 5. Converta assim cada expressão algébrica numa situação aritmética. Efectuou

correctamente os cálculos não demonstrando dificuldade. Portanto o uso da letra como

letra avaliada foi bem sucedido.


A resolução do problema da questão 5 da tarefa da entrevista foi para Beatriz um

desafio. A primeira abordagem foi fazer 84 ÷ 3.

Professora – Já fizeste 84 a dividir por 3, e o que deu?

Beatriz – 28.

Professora – Podes ir por esse raciocínio, mas como disseste há mais do que um raciocínio.

49

Beatriz – Sim… Isso daria 28 tangerinas para cada. Mas não podemos ter um número certo, porque se a Ana tem mais do que o Bruno e a Catarina também, então não pode ser 28 para cada… Por isso, tem de ser…

Professora – Vais por outra estratégia?

Beatriz – Vou ver… x×÷ 384 . Não sei?!

Professora – Então e o que é o teu x?

Beatriz – O x é o Bruno, porque não sei quanto é que ele tem.

Beatriz, apesar de ter iniciado uma estratégia que consistia em igualar o número

de tangerinas pelas três pessoas, rapidamente concluiu que isso não poderia ser porque a

Ana e a Catarina teriam mais do que o Bruno. No entanto, quando decidiu recorrer ao

uso da letra x, a definição da variável foi evidente. Contudo, a procura de uma expressão

para representar as tangerinas da Catarina foi uma tarefa complicada.

Professora – Então, a Ana tem x3 , o Bruno tem x, e a Catarina?

Beatriz – Tem de ser x4 ou não?

Professora – Tu disseste que para a Ana era 3 vezes mais que o Bruno, era x3

Beatriz – 4 tangerinas a mais que o Bruno é…4 qualquer coisa.

Professora – Como é que fazes 4 tangerinas a mais?

Beatriz – x+4

Neste excerto da entrevista, verifica-se que Beatriz não teve dificuldade em

traduzir para linguagem matemática a expressão “A Ana colheu três vezes mais do que

o Bruno”. Mas, parece que seria evidente esta tradução, dado que a expressão refere a

palavra “vezes”. No que concerne à expressão “A Catarina colheu mais quatro

tangerinas do que o Bruno”, verifica-se que Beatriz estava com alguma dificuldade. A

primeira ideia foi colocar 4x. Apenas quando a confrontei com a tradução feita para a

expressão referente à Ana é que conseguiu.

50

Professora – Já tens as tangerinas da Ana, do Bruno e da Catarina. E agora?

Beatriz – Agora tenho de encontrar um elo que junte isto tudo [ 43 +++ xxx ]

Professora – E o que é que quer dizer ‘isto tudo’?

Beatriz – Isto é da Ana, do Bruno e da Catarina.

Professora – E porque é que fizeste ‘+’?

Beatriz – Porque tenho de juntar tudo para dar 84.

Professora – O que vais fazer ao 84?

Beatriz – Não sei…

Professora – Isto tudo é quanto?

Beatriz – Dá 84

Professora – E agora?

Beatriz – x3 , x4 , 8445 =+x

Professora – E o que é que isso quer dizer?

Beatriz – Tenho de fazer… Tenho de pôr 45 +=x ou )45(84 +÷=x ... Vou tentar fazer assim: 984 ÷=x dá 3,9=x . Por isso não dá!

Professora – Porquê?

Beatriz – Porque o Bruno não pode colher 9 tangerinas e 3 décimas!

Nesta última parte do excerto da entrevista verifica-se que Beatriz possui um

espírito crítico relativamente ao resultado obtido. A equação não foi resolvida. A

primeira tentativa de resolução passou pela estratégia de undoing, apesar do erro

cometido.

5.2.2.5. Conclusão

Beatriz pensa que a grande base da Matemática é o cálculo e que tudo se resume

ao cálculo. Mostrou compreender as expressões algébricas e o seu significado, apesar

das suas dificuldades em operar algebricamente com as mesmas. A utilização da letra

avaliada, recorrendo à substituição de variáveis por um valor e o seu posterior cálculo

como se fosse uma expressão aritmética, não constituiu um problema. No entanto,

revelou dificuldades quer na resolução de equações quer na simplificação de expressões

51

algébricas. Na resolução de equações recorreu ao que se lembrava do ano passado sobre

a resolução de equações: a estratégia de transposição. A vaga ideia que possuía levou-a

a cometer vários erros. O erro cometido com maior frequência foi o de eliminação. De

um modo geral, pode-se dizer que Beatriz tem facilidade na resolução de situações

baseadas na perspectiva processual e bastantes dificuldades em situações que remetem

para uma perspectiva estrutural.

5.3. O caso da Madalena


Madalena tem 13 anos. É uma aluna com muito bom aproveitamento, muito

participativa nas aulas e interessada no estudo. Nunca teve uma retenção ao longo do

seu percurso escolar. Considera que Matemática é uma das suas disciplinas preferidas e

afirma não ter dificuldades a qualquer disciplina. Entende que a escola é fundamental e

se dependesse dela continuava na escola mesmo que não fosse obrigatório. Ambiciona

ser médica.

Do seu ponto de vista a Matemática é principalmente para compreender:

Se a gente não compreender depois não consegue fazer o resto. Por exemplo, se a gente não compreender uma matéria atrás depois aquilo é como uma cadeia, vai sempre evoluindo e depois se a gente não percebe uma coisa atrás depois já não percebe o resto. Por isso é que eu digo que a Matemática é fácil quando se percebe (E4, p.1)

Neste sentido, afirma que em Matemática a memorização é pouco importante.

Refere ainda que a Matemática se baseia em certa medida em cálculo: “É preciso

cálculo, mas depois há umas coisas onde não é assim tão preciso cálculo. Por exemplo

na geometria não é preciso assim tanto cálculo” (E4, p. 1).

No que concerne ao trabalho com letras em Matemática, refere que, comparando

com anos anteriores, agora se trabalha mais vezes com letras. Considera que “há mais

do que uma maneira de chegar ao mesmo sítio ou por cálculos ou por tentativas” (E4,

p.3) quando questionada sobre a existência de um único modo de resolução de um

exercício ou problema. Entende que a Matemática se baseia na aplicação de regras para

resolver exercícios. Para a Madalena as equações não são complicadas, afirma mesmo

52

que “eu acho que são fáceis. Quando a gente percebe. Para mim é tudo fácil. Eu ao

princípio [no ano passado] não achava, mas depois comecei a achar e até acho que é

muito giro!” (E4, p. 4)



A manipulação de expressões algébricas é para a Madalena uma satisfação. Na

questão 3 da tarefa da primeira entrevista após a leitura da questão, o seu primeiro

comentário foi: “Ah, Isto é fácil!” (E4, p.8). E resolve sem dificuldade a questão.


Resolve a equação 5)2(2 +=+ xx de um modo rápido e sem grandes

dificuldades. Refere, enquanto faz a resolução: “Gosto tanto de fazer isto!” (E4, p. 10).

No entanto, comete um erro na eliminação de parênteses, não fazendo o 2 a multiplicar

pelo outro 2.


53

Na questão que pede para realizar a substituição do valor de a por 5 e encontrar

a medida de cada um dos lados do polígono, Madalena resolve correctamente e sem

dificuldade:


A resolução do problema da questão 5 da tarefa da entrevista foi para Madalena

uma tarefa fácil. Após a leitura disse “Isto também é equações. É problema com

equações”(E4, p.12). Após a indicação dos dados do problema escreveu:

Pedi- lhe para me explicar o seu raciocínio ao que me respondeu: “A Ana colheu

três vezes mais do que o Bruno, então pus 3×x . Porque o Bruno … não se sabe quanto

é que ele colheu […] O Bruno é x. E depois a Catarina colheu mais 4, é 4+x . E depois

isto tudo tem de dar 84” (E4, p.12)

A colocação do problema em equação e a sua resolução foi uma tarefa realizada

rapidamente e sem dificuldade.

54

Após a resolução a Madalena perguntou-me “Agora não se dá a resposta?” (E4,

p.15) ao que respondi: sim. De seguida foi comentando e escrevendo a resposta:

“O Bruno colheu 16 e o resto já vou ver … [escreveu O Bruno colheu 16

tangerinas] 16 + 4 são 20 [escreveu a Catarina colheu 20 tangerinas] e o outro era 16×3

que é [utilizou a calculadora e escreveu [e a Ana colheu 48 tangerinas]” (E4, p.15 e 16)

5.3.2.5. Conclusão

Madalena, apesar de compreender que existem situações em que o cálculo não é

muito necessário, ainda pensa que este é fundamental. Mostrou facilidade em ambas as

perspectivas da Álgebra e revelou-se uma entusiasta por situações que apelam à

manipulação algébrica e resolução de equações.

6. CONCLUSÕES FINAIS (a fazer)

55

Referências (do capítulo 1 - Introdução)

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NCTM (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.

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Referências (Capítulo 3- proposta pedagógica)

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APM (1998). Matemática 2001: Diagnóstico e recomendações para o ensino e aprendizagem da Matemática. Lisboa: APM.

Santos, L., & Canavarro, P. (2001). Mudar de caminho, caminhar para a mudança. Actas ProfMat 2001. Lisboa: APM, pp. 35-49.

Referências das tarefas: Tarefa – grelha de números: ArAl Project (2003). Documento retirado de http://matematica.unimo.it em 19 Julho

2005. Tarefa – grãos de trigo num tabuleiro de xadrez: Documento retirado de http://www.gnosisonline.org/Curiosidades/index.shtml em 23 de Dezembro de 2005. Tarefa – mesa de quadradinhos: Documento retirado de http://illumtest.nctm.org/lessonplans/6-8/pooltable/hand1.html

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Referências (Capítulo 4 – Metodologia)

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Cohen, L., Manion, L., & Morisson, K. (2000). Research methods in education (5ª Edição). Londres: Routledge.

Lessard-Hébert, M., Goyette, G. & Boutin, G. (1990). Investigação qualitativa: Fundamentos e práticas. Lisboa: Instituto Piaget.

Ponte, J. P. (1994). O estudo de caso na investigação em educação matemática. Quadrante, 3(1), 3-18.

Matos, J. F., & Carreira, S. (1994). Estudos de caso em educação matemática: Problemas actuais. Quadrante, 3(1), 19-53.

Tuckman, B. W. (2002). Manual de Investigação em Educação (2ª Edição). Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian

58

Anexo 1

Pedido de autorização aos Encarregados de Educação

Exmº(ª) Sr(a) Encarregado(a) de Educação

No âmbito do Mestrado em Educação na Especialidade de Didáctica da Matemática, da

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, estou a desenvolver um estudo em que o

foco principal é perceber os processos de raciocínio e eventuais dificuldades dos alunos de 8º

ano quando trabalham com situações que requerem o pensamento algébrico, associado ao uso da

generalidade e abstracção, aspecto central na actividade matemática, em todos os níveis.

Para o efeito necessito de observar e recolher dados sobre o trabalho dos alunos durante

as aulas dos capítulos “Ainda os Números” e “Equações”, que decorrerão no 2º período. A

recolha de dados basear-se-á na gravação em vídeo e em áudio das aulas, bem como em

entrevistas a alunos, em horário extracurricular, procurando compreender melhor o que sentiram

face às tarefas propostas e tentando clarificar algum aspecto menos explícito das gravações.

Face ao exposto solicito autorização para proceder à recolha de dados, junto do seu

educando, comprometendo-me desde já a garantir o anonimato dos alunos e a confidencialidade

dos dados obtidos que serão utilizados apenas no âmbito da investigação.

Agradecendo desde já a atenção dispensada, apresento os meus melhores cumprimentos.

Sintra, 11 de Outubro de 2005

A professora de Matemática

Idália Pesquita

Autorizo que o meu(inha) educando(a) _______________________________________ nº ___

turma ___ 8º ano, a participar na recolha de dados dirigida pela professora Idália Pesquita, no

âmbito da sua dissertação de Mestrado.

Data: _______________________________

Assinatura: ______________________________________

59

Escola BI/JI D. Carlos I

Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Questionário

Nome: _________________________________________ Nº: ____ Turma: ____

Responde às seguintes questões assinalando com uma circunferência o número (de 1 a 5) que melhor corresponde à tua opinião.

Discordo totalmente

Discordo ligeiramente

Não concordo nem discordo

Concordo ligeiramente

Concordo totalmente

1 2 3 4 5 1. A Matemática é essencialmente cálculo 1 2 3 4 5

2. Em Matemática é importante o raciocínio 1 2 3 4 5

3. A Matemática é principalmente para compreender 1 2 3 4 5

4. A Matemática é principalmente para memorizar 1 2 3 4 5

5. A Matemática ajuda a desenvolver o raciocínio 1 2 3 4 5

6. Em Matemática o mais importante é o trabalho individual 1 2 3 4 5

7. Em Matemática trabalha-se muitas vezes com letras 1 2 3 4 5

8. Em Matemática o mais importante é a resolução de exercícios 1 2 3 4 5

9. Para cada exercício ou problema existe uma única resposta

correcta 1 2 3 4 5

10. Em Matemática só há um modo de resolução de um exercício

ou problema 1 2 3 4 5

11. Em Matemática os exercícios ou problemas resolvem-se

rapidamente 1 2 3 4 5

12. A Matemática baseia-se na aplicação de regras para resolver

exercícios 1 2 3 4 5

13. A resolução de equações é complicada 1 2 3 4 5

14. Os problemas em Matemática são complicados 1 2 3 4 5

60


Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Entrevista

Indica todos os cálculos ou raciocínios que elaborares.

1. Faz corresponder para expressão escrita em linguagem matemática a sua tradução

em linguagem corrente.

A soma de 52

com a diferença

entre 4 e um número

� � 82

−b

A metade da diferença entre um

número e 8 � � ( )x−× 4

52

A diferença entre a metade de um

número e 8 � � ( )x−+ 4

52

O produto de 52

pela diferença

entre 4 e um número

� � 2

8−a

2. Escreve em linguagem corrente a seguinte expressão: 23 +y

3. Considera o seguinte polígono.

3.1. A expressão simplificada que representa o

perímetro do polígono é: (indica com × a resposta correcta)

� 6a + 7

� 6a +1

� 7a

� 7a +1

a+1

2a+1 a a+2 a-3

61

3.2. Se a = 5, indica a medida de cada um dos lados do polígono.

4. Resolve a seguinte equação

( ) 522 +=+ xx

5. A Ana, o Bruno e a Catarina foram colher tangerinas.

A Ana colheu três vezes mais do que o Bruno. A Catarina colheu mais quatro

tangerinas do que o Bruno. No total colheram 84 tangerinas.

Quantas colheram cada um?

62

Trabalho dos alunos: grupo

Duração prevista: 45 minutos


Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Grelha de Números – 1

Considerem a seguinte grelha quadrada de números de 0 a 99

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

1. Descubram sequências de números nesta grelha.

1.1. Indiquem-nas.

1.2. Qual a lei de formação de cada uma das sequências que encontraram?

Expliquem-na.

63

2. Partindo de um número para outro podemos encontrar relações entre os números.

Por exemplo, de 6 para 33 pode-se fazer vários percursos, mas existe apenas um que é o

mais “económico”: o que segue na diagonal da direita para a esquerda.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

2.1. Indiquem possíveis percursos para ir de:

i) 75 para 97

ii) 36 para 68

iii) 56 para 51

iv) 94 para 50

-3

3 6

+30 +27

+30

33 36

-3

64

3. Estão indicadas a seguir partes da grelha inicial de 10×10. Completem-nas,

indicando o raciocínio elaborado

3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

3

13

26

45

59

16

28

34

65

4. A seguir existem partes de uma grelha de 10×10, mas não sabemos de onde é. Como

é que se poderia completar?

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

a

a

a

a

66




Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Grelha de Números – 2

1. Completem as grelhas de 4×4, 5×5 e 7×7. Indiquem as regras de construção de cada

uma das tabelas (em termos da vertical, horizontal e diagonal)

0

0

0

67

2. Explicando a estratégia utilizada, completem as partes da grelha, sabendo que

pertencem a uma grelha de:

2.1. 10×10

2.2. 8×8

2.3. 6×6

2.4. 5×5

3. Inventem uma parte de uma grelha de uma dimensão à tua escolha e indica o modo

como a poderiam completar.

14

14

14

14

68




Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Mesa de quadradinhos

Uma mesa é composta por quadradinhos e em cada um dos cantos A, B, C e D existe

um buraco que recebe as bolas que lá tocarem.

Suponham um jogo com as seguintes regras:

- A bola começa na posição A

- A bola inicia o movimento através de um toque segundo um ângulo de 45º para o

interior da mesa.

- Se a bola bate num dos lados da mesa, ela continua a sua trajectória segundo um

ângulo de 45º.

- Quando a bola cai num dos buracos do canto, o jogo termina.

Exemplo: As dimensões desta mesa são de 6 por 4.

As linhas diagonais indicam o percurso da bola. A bola parou no canto D ao

fim de 5 toques na mesa (um no início, três ao longo do percurso e um no

fim) e percorreu 12 diagonais de quadradinhos.

69

1. Imaginem que tinham as seguintes mesas: Registem: 2. Construam outras mesas e registem os resultados obtidos.

3. Conseguem prever o número de diagonais de quadradinhos percorridas sabendo a

dimensão da mesa?

4. Será que existe um modo de prever o canto em que a bola irá parar? Quantos toques

terão sido efectuados?

Elaborem, em conjunto, um relatório escrito usando o guião que vos foi fornecido.

Dimensões da mesa: ______ Canto onde terminou: _____ Número de toques: ______ Diagonais percorridas: _____

Dimensões da mesa: ______ Canto onde terminou: _____ Número de toques: ______ Diagonais percorridas: _____

70




Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Dobragens de uma folha de papel quadrada

Dobrem ao meio a folha de papel quadrada. Ficaram com 2 folhas tendo cada uma

metade da área inicial. Se dobrarem de novo ao meio passam a ter 4 folhas onde cada

uma terá metade da área anterior, ou seja com 41

da área inicial.

1. Por cada dobragem que se fez, o que acontece ao número de folhas e área de

cada folha?

2. Quantas dobragens sucessivas são necessárias para se atingir a Lua, sabendo

que a espessura de uma folha de papel é de um décimo de milímetro e admitindo

que a distância da Terra à Lua é de 384 000 km?

3. Qual a área de cada folha por cada dobragem que se faz?

Observação: podem recorrer à calculadora ou à folha de cálculo para resolver este

problema.


71

Trabalho dos alunos: em pares



Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Grãos de trigo num tabuleiro de xadrez

O xadrez é um jogo antiquíssimo, tem muitos milénios de existência, e por isso não é de

se estranhar que estejam ligadas a ele lendas cuja veracidade é difícil de comprovar,

devido à sua antiguidade.

Segundo uma das lendas o jogo de xadrez foi inventado na Índia.

Quando o rei conheceu este jogo ficou maravilhado por ser tão engenhoso e pela

múltipla variedade de posições que nele são possíveis. Ao se inteirar que o inventor era

um de seus súbditos, o rei mandou chamá-lo com o objectivo de o recompensar

pessoalmente por seu acertado invento.

O inventor apresentou-se ao soberano, vestindo-se com muita modéstia.

Quero te recompensar dignamente pelo engenhoso jogo que inventaste, disse o rei.

O sábio agradeceu, mas não aceitou a generosidade.

Sou rico o bastante para cumprir qualquer desejo teu, afirmou o rei. Diz-me que

recompensa desejas e eu te satisfarei.

O inventor continuou calado.

Não sejas tímido, expressa o teu desejo, não vacilarei em nada para satisfazê- lo, disse o

rei.

Grande é a tua magnanimidade, ó soberano, porém concede-me um curto prazo para

meditar sobre a resposta, e amanhã, depois de árduas reflexões comunicar-vos-ei o meu

pedido.

Quando no dia seguinte se apresentou de novo ante o trono, pediu ao rei para lhe

entregarem um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez.

Um simples grão de trigo?, contestou admirado o rei.

Sim, soberano, e pela segunda casa ordene que me entreguem dois grãos, pela terceira

quatro grãos, pela quarta oito, pela quinta dezasseis, pela sexta trinta e dois, etc.

Basta, o rei interrompeu irritado, receberás o trigo correspondente às 64 casas do

Tabuleiro de acordo com teu desejo: a cada casinha receberás uma dupla quantidade que

72

pediste, porém deverás saber que o teu pedido é indigno de minha generosidade. Ao me

pedires tão mísera recompensa menosprezas irreverentemente a minha benevolência.

Em verdade, como sábio que és deverias ter dado maior prova de respeito ante a

bondade de teu soberano. Sai daqui, meus servos te darão esse saco de trigo que

solicitaste.

Os matemáticos da corte trabalharam intensamente para calcular a recompensa.

Somente ao amanhecer do outro dia o matemático chefe da corte solicitou audiência

para apresentar ao rei uma informação muito importante: Ó rei, calculámos

escrupulosamente a quantidade de grãos. Resulta uma cifra astronómica, absurdamente

gigantesca.

Seja qual for a sua magnitude, interrompeu com altivez o rei, não empobrecerá os meus

graneiros, prometi dar a recompensa e portanto eu a entregarei.

Soberano, agora não depende de tua vontade o cumprir semelhante desejo, em todos os

teus graneiros não existe a quantidade de trigo. Tão pouco existe nos graneiros de todo

o reino, até mesmo os graneiros do mundo são insuficientes. Se deseja entregar sem

falta a recompensa prometida, ordene que todos os reinos da terra se convertam em

lavouras, mande secar mares e oceanos, ordene fundir os gelos e as neves que cobrem

os distantes desertos do norte, enfim que todo o espaço seja totalmente semeado. Depois

ordene entregar toda a colheita obtida, pois somente então poderá entregar a

recompensa prometida.

Qual foi a quantidade de grãos pedida pelo inventor do Xadrez?

Observação: podem recorrer à calculadora ou à folha de cálculo para resolver este

problema.


73

Ficha de auto-avaliação do trabalho de pares/grupo 2

Tarefa: _______________________________________ Data: __ / __ / ___

Preencham esta ficha com a maior correcção possível, para podermos melhorar alguns

aspectos menos bem conseguidos:

Participou Respeitou as regras

de funcionamento Nº Nome

Com ideias

e opiniões

Com

trabalho

Do

par/grupo

Da

turma

Cumpriu as

funções de

porta-voz

A – nunca; B – raramente; C – muitas vezes; D – sempre ou quase sempre

Sugestões para melhorar:

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

2 Adaptado da ficha de auto-avaliação de trabalho de grupo utilizado por Nunes, C. (2004) A avaliação como regulação do processo de ensino-aprendizagem da matemática (Tese de Mestrado). Lisboa: DEFCUL

74

Guião para a elaboração de um relatório

O relatório é um trabalho onde descreves a actividade desenvolvida na realização de

uma tarefa. Deves descrever como pensaste e o que efectuaste, desde a leitura e

interpretação da tarefa proposta até à descoberta de determinados resultados.

Para te ajudar a elaborar um relatório aqui ficam algumas pistas!

Um relatório deve conter os seguintes itens:

? ? Título;

? ? Objectivo do trabalho: o problema definido, o problema formulado, a situação

apresentada, etc;

? ? Materiais utilizados (se tiverem que realizar alguma experiência);

? ? Descrição dos processos, das tentativas realizadas e das dificuldades encontradas;

? ? Conclusões;

? ? Comentários relativamente à tarefa proposta: se contribuiu ou não para uma melhor

aprendizagem da Matemática, de que forma, etc);

? ? Bibliografia (se recorrerem a livros, internet, artigos de revistas, etc);

75

Guião para a elaboração de um relatório – resolução de problemas

O relatório é um trabalho onde descrevem a actividade desenvolvida na realização de

uma tarefa. Devem descrever como pensaram e o que efectuaram, desde a leitura e

interpretação da tarefa proposta até à descoberta de determinados resultados.

Para elaborarem um relatório existem alguns aspectos que devem ter em conta:

? ? Título e indicação da tarefa proposta;

? ? Objectivo do trabalho;

? ? Materiais utilizados na tarefa;

? ? Descrição pormenorizada dos passos efectuados para a resolução do problema, onde

podem utilizar desenhos, esquemas ou tabelas. Referindo

§ as diferentes abordagens

§ as tentativas realizada

§ a estratégia utilizada

§ as dificuldades encontradas

§ os erros cometidos e o modo os corrigiram

? ? Resultados e conclusões;

? ? Comentário crítico relativamente à tarefa proposta (por exemplo, o interesse pela

tarefa, o modo como decorreu o trabalho de grupo ou algum outro aspecto que

considerem importante);

Bom trabalho!

Na avaliação do relatório serão avaliados os seguintes aspectos:

§ Correcção e clareza da linguagem;

§ Correcção e clareza do raciocínio;

§ Organização do relatório;

§ Correcção dos conceitos matemáticos envolvidos;

§ Descrição e justificação dos procedimentos utilizados;

§ Criatividade;

76

Trabalho em pares



Matemática – 8º ano 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Operações com polinómios

Verifiquem se existe algum erro nas operações efectuadas e no caso de existir corrijam

as erradas :

1. ( ) ( ) ( )ccc −+−++ 2583 = ccc 133 ++

= c7

2. ( ) ( )223 +++− yy = 223 +++− yy

= 5+y

3. )32()3( xx ++− = xx 323 ++−

= x25 −

4. )5(2 +a = a10

5. ( )132 2 +− xx = 132 2 +− xx

77

6. )3(2)2(3 aa +++ = aa 2636 +++

= 125 +a

7. ( )3−xx = 3−+ xx

= 32 −x

8. ( )yy −− 5 = yy −− 5

= 52 −y

9. ( ) xx ++ 1221

= xx ++21

22

= xx ++21

= 21

2 +x

10. xx

−−2

2 =

22

22 xx

−−

= xx 22 −−

= 2+− x

78

Trabalho dos alunos: individual



Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Operações com polinómios (2)

Nome: __________________________________ Nº: ___

Simplifica cada uma das expressões seguintes

1. )32()3( xx ++− =

2. ( )352 +x =

3. ( )3−xx =

4. ( )yy −− 5 =

5. ( ) xx ++ 1221

=

79

6. ( )( ) 2331 xxx ++− =

7. ( ) 22

21

3 xxxx −−+− =

8. ( ) 83 2 ++a =

9. ( ) bb 342 2 +− =

10. ( )( ) 2244 ccc ++− =

80

Jogo – Cartões Algébricos

Objectivo : Operar com polinómios apresentando a expressão simplificada.

Material: 20 cartões com expressões algébricas

1 dado icosaedro

Folha de registo

Trabalho: pares

Tempo previsto: 30 minutos

Regras:

1. Os cartões são colocados em cima da mesa com as soluções para baixo.

2. Um jogador lança o dado (saindo um número de 0 a 20), ficando a saber qual o

cartão que deverá responder.

3. Cada jogador tem uma folha de registo de resoluções onde simplifica a

expressão indicada no cartão.

4. O outro jogador volta o cartão, sem mostrar a resolução ao primeiro, e informa-o

se o resultado está correcto ou não.

5. Se o resultado for diferente do referido informa o jogador e este tem a

possibilidade de corrigir a sua resposta.

6. Se o resultado for igual ao referido no cartão, ambos os jogadores devem

verificar passo a passo a resolução realizada.

7. O máximo de pontuação possível é 2 pontos, o que corresponde a uma resposta

correcta na primeira resolução.

8. Cada jogador tem duas oportunidades para verificar se a resposta está correcta.

9. Se a segunda resolução estiver correcta o jogador obtém 1 ponto.

10. Se a segunda resolução estiver incorrecta o jogador obtém 0 pontos.

11. O mínimo de pontuação é 0 pontos.

81


Matemática – 8º ano 2005/2006 __ / __ / ___

Folha de registo do jogo – Cartões Algébricos

Nome: _________________________________ Turma: ____ Nº: ___

Nº Cartão Resolução Pontuação

82

1

)32()54( aa ++−

2

)42()13( −++− bb

3

)43()2()3( −++−++ ccc

4

)25()13( 22 ddd +++−

5

)23()4( +−−+ aa

6

)23()15()4( 22 +−−+− xxxx

7

)21,1()1,03( −+− yy

8

)3(5 aa −+

9

xxx21

223

−

+

83

10

)52()45( 223 +−+− xxxx

11

)32( −− yy

12

)5()13( −+− xy

13

)32(2 +b

14

)3(5 −aa

15

)2(3 2 +− xx

16

)842(5,0 2xxx +−

17

−+

21

32 2 xxx

18

)5(3)1(2 +−+− xxx

84

19

)2(3)2( 2 bbb −−−

20

−−−

31

5)3( xxx

85

)43()2()3( −++−++ ccc =

= 4323 −++−+ ccc =

= 13 +c

)42()13( −++− bb =

= 4213 −++− bb =

= 3−− b

)32()54( aa ++− =

= aa 3254 ++− =

= 37 −a

)23()15()4( 22 +−−+− xxxx =

= 23154 22 −−−+− xxxx =

= 32 2 −+− xx

)23()4( +−−+ aa =

= 234 −++ aa =

= 24 +a

)25()13( 22 ddd +++− =

= ddd 2513 22 +++− =

= 122 2 ++ dd

xxx21

223

−

+ =

= xxx21

223

−+ =

= xx 222

+ =

= xx 2+ =

= x3

)3(5 aa −+ =

= aa 35 − =

= a2

)21,1()1,03( −+− yy =

= 21,11,03 −+− yy =

= 1+y

86

)5()13( −+− xy =

= 513 −+− xy =

= 63 −+ xy

)32( −− yy =

= 32 +− yy =

= 3+− y

)52()45( 223 +−+− xxxx =

= 5245 223 −−+− xxxx =

= 565 23 −+− xxx

)2(3 2 +− xx =

= 23 63 xx −−

)3(5 −aa =

= aa 155 2 −

)32(2 +b =

= 64 2 +b

)5(3)1(2 +−+− xxx =

= 5322 −−+− xxx =

= 74 −x

−+

21

32 2 xxx =

= xxx22

62 23 −+ =

= xxx −+ 23 62

)842(5,0 2xxx +− =

= 32 42 xxx +−

87

−−−

31

5)3( xxx =

= 35

532 +−− xxx =

= 35

82 +− xx

)2(3)2( 2 bbb −−− =

= bbb 3623 +−− =

= 63 −+ bb

88


Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Problemas e equações – 1

1. Observa a figura.

1.1. Escreve a expressão que dá o perímetro do triângulo.

1.2. Se o perímetro for de 23 cm, determina a medida de cada

um dos lados do triângulo.

2. Na figura está representado um paralelepípedo rectângulo e as

suas dimensões estão expressas em centímetros. O seu volume

é de 40 cm3. Qual a altura do paralelepípedo?

3. Numa turma, 61

dos alunos teve 5 a Matemática, 41

teve 4 e os restantes 14 tiveram

3. Quantos são os alunos da turma?

4. O dobro da soma de dois números pares consecutivos é 412. Quais são esses

números?

5. Um homem tem 40 anos e o seu filho tem 9 anos. Daqui a quantos anos a idade do

pai será o dobro da idade do filho?

6. Enuncia um problema que possa ser traduzido pela equação 912 =+x

5 2

x31

a a+ 5

3 a

89


Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Problemas e equações – 2

1. Calcula a medida de cada um dos lados do

triângulo rectângulo [ABC].

2. Um número é o triplo do outro e o produto dos dois é 432. Determina esses

números.

3. Dois números naturais diferem de duas unidades e a diferença dos seus

quadrados é 40. De que números se trata?

4. Se se aumentar 3 m o lado de um quadrado, a sua

área aumenta 45 m2. Qual a área do quadrado

inicial?

5. Qual a medida do comprimento do lado de um quadrado cujo dobro da medida

do perímetro é igual ao quíntuplo da sua área?

?

3 m

3 m

2x+1

2x-2

9

B C

A

90

6. A medida da área do rectângulo da figura (em

cm2) é igual à do sêxtuplo do seu lado menor

(em cm). Qual o perímetro do rectângulo?

7. O produto de dois números pares consecutivos é igual ao dobro do menor

adicionado de 100. Quais são esses números?

8. Sabendo que a medida da base de um triângulo é o triplo da da sua altura e que a

sua área é de 13,5 cm2. Calcula os comprimentos da altura e da base desse

triângulo.

9. Num rectângulo de área 2500 m2, o comprimento é o dobro da altura. Quais as

dimensões do rectângulo?

10. A figura representa uma pirâmide

quadrangular regular. Sabendo que a altura

da é 3 cm e que o volume é 27 cm2,

determina x.

11. Enuncia um problema que possa ser traduzido pela equação xx 92 = .

x

x + 3

3 cm

x-3

91


Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Questionário 2

Nome: _________________________________________ Nº: ____ Turma: ____

No 2.º período iniciaste uma experiência na aula de Matemática. De acordo com as tuas

percepções, responde às seguintes questões:

1. As aulas foram todas iguais ou existiram umas diferentes das outras? Se pensas que

foram diferentes, onde está a diferença?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

____________

2. No início da experiência realizaste investigações em grelhas de números. O que

pensas desse trabalho?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

____________

3. Ao longo da experiência resolveste diversos problemas. O que pensas da resolução

de problemas? Porquê?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

____________

92

4. O que pensas sobre o trabalho com letras que foi realizado?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

____________

5. Faz um pequeno poema onde expresses o que mais e o que menos te agradou ao

longo desta experiência.

93


Matemática 2005/2006 __ / __ / ___

Tarefa – Entrevista 2

Nome: _________________________________________ Nº: ____ Turma: ____

Indica todos os cálculos ou raciocínios que elaborares.

1. Observa a seguinte sequência de números:

Termo 1 2211 22 −=+

Termo 2 3322 22 −=+

Termo 3 4433 22 −=+

1.1. Escreve o termo seguinte e verifica que a igualdade é verdadeira.

1.2. Indica a expressão geradora da sequência do termo de ordem n.

1.3. Verifica a veracidade dessa igualdade.

2. Considera o seguinte rectângulo

2.1. Indica a expressão simplificada que representa o perímetro do rectângulo.

2.2. Qual a expressão simplificada que representa a área?

3)1(2 −+x

52

−x

94

3. Resolve as seguintes equações:

3.1. 12332

=+− aa

3.2. yyy 310)4(32 −=−−

4. Os lados de um triângulo têm as seguintes medidas: 2+x ; 3−x e 6. (As medidas

estão em cm). Sabendo que x é um número superior a 3, determina para que valores

de x o triângulo é isósceles.

5. A Marisa recebeu uma determinada quantia de dinheiro no seu aniversário. Gastou

53

a comprar uns ténis e ficou com 30€. Quanto custaram os ténis?

6. Inventa o enunciado de um problema que possa ser traduzido matematicamente pela

equação 103

1=

−x.

Idália Pesquita Índice 1. INTRODUÇÃO · O problema de estudo consiste em perceber os processos...

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