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Modelação, Identificação e Controlo Digital Métodos Não Paramétricos 1

J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo

Identificação por Métodos Não Paramétricos

Estimação da resposta impulsiva e da resposta em frequência

Análise espectral e métodos de correlação

J. Miranda Lemos, A. Bernardino



Identificação de Sistemas

S u

w

v

y

u – entrada (actuação)

y – saída (medida de sensores)

w – perturbação conhecida (mensurável)

v – perturbação desconhecida

O objectivo da identificação de sistemas é obter modelos para o sistema S através de

conhecimento físico do sistema e da análise de dados experimentais. Pretende servir dois

propósitos:

• Análise e Simulação – obter modelos que descrevam o sistema na globalidade para

simular e analisar o seu comportamento.

• Controlo – obter modelos que sirvam para o projecto de controladores, em torno de

pontos de funcionamento especificados.



Primeiros passos

• Utilizar conhecimento prévio (física, química, biologia, economia) para estabelecer

as equações base que descrevem o funcionamento do sistema.

• Efectuar algumas experiências simples que permitam observar os efeitos estáticos

e dinâmicos dominantes, no tempo e na frequência.

• Para efectuar o projecto de controladores lineares é necessário linearizar o

sistema em torno de pontos de funcionamento desejados.



Exemplo – Sistema de 2ª ordem

Testar o sistema com entradas escalão e observar a resposta no tempo

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

tp

S

ts

tr

± 1%��

��

��

ωξω ++=

�

�� ω��≈

�� ξωπ−

=�

��

�

�� ξω��≈ �

�� ξ

ξπ

−−

= ��



Exemplo – Sistema de 2ª ordem

Testar o sistema com entradas sinusoidais (ou chirp) e traçar a resposta na frequência

10 -

10 0

10 1 -40

-30

-20

-10

0

10

20

30

ω (rad/sec)

Amplitude (dB)

Bode Diagram

-3

Resonant Peak, M r

Bandwidth, B

��

��

��

ωξω ++=

� ω≈ �� ξωω −= ��

��

�

ξξ −=�



Exemplo – Sistemas com não linearidades estáticas

Aplicar sinais “lentos” que permitam avaliar a forma da função f.

Casos típicos:

• Saturação

• Zona Morta

• Folgas (Backlash)

f G(s) u f(u) y



Efeitos de não linearidades estáticas comuns



Métodos não paramétricos?

A resposta de um sistema linear é completamente caracterizada pela

resposta impulsiva, ou pelas suas curvas de resposta em frequência.

Os métodos não paramétricos visam determinar estas respostas, não na

forma de uma expressão matemática, mas como uma tabela (ou gráfico) em

função do tempo (resposta impulsiva) ou da frequência (resposta em

frequência).



Porquê métodos não paramétricos?

Os métodos não paramétricos são úteis numa fase inicial do processo de

identificação.

Permitem ter uma primeira ideia das principais características dinâmicas

do processo, como a presença de atraso puro, as constantes de tempo

dominantes (que influenciam a escolha do intervalo de amostragem) e os

ganhos estáticos.



Limitações dos Métodos Não Paramétricos

A informação que fornecem é limitada e nem sempre adequada aos

objectivos visados (listas de números ou gráficos).

Os limites práticos impostos na amplitude da entrada, as perturbações e o

facto de o processo a identificar ter de trabalhar em cadeia fechada dificultam

a obtenção de modelos precisos.

Estudaremos apenas métodos para sistemas lineares (discretos), embora

sejam possíveis generalizações para classes de sistemas não lineares.



Resposta impulsiva de um sistema linear discreto

� � � � � � � �� = +

� � � � � � ��

� � � � � � � �= −=

∞

��

u y

ν 0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0

3

3 . 5

4

4 . 5

5

5 . 5

6

6 . 5

Sistema a identificar



Estimação da resposta impulsiva por métodos convencionais

1. Aplicar um impulso � ��δ , à entrada do sistema. A saída do sistema � �� , é a sua

resposta impulsiva – Dificuldade: energia fornecida pode ser insuficiente.

2. Aplicar um escalão à entrada do sistema. Uma vez que o impulso pode ser

obtido do escalão a partir de � � � � � �� δ = − − , então a resposta impulsiva pode

ser obtida por � � � � � �� = − − - Dificuldade: diferenciar um sinal amplifica o

ruído.

3. Aplicar um sinal arbitrario x(k) e observar a saída y(k). O operador de

transferência do sistema H(q) pode ser calculado por divisão polinomial de Y(q)

por X(q) – Dificuldade : fraca robustez numérica de métodos de divisão

polinomial.



Estimação da resposta impulsiva por correlação

Os métodos indicados anteriormente funcionam mal no caso de exitirem perturbações.

A resposta impulsiva vem afectada dos valores da perturbação naquela experiência.

Uma forma de atenuar isto seria fazer várias experiência e calcular o valor esperado da

resposta impulsiva. No entanto, há métodos em que basta efectuar uma experiência.

Um desses método consiste na análise de correlação descrita a seguir.

O resultado do método é uma lista de números que constituem as primeiras N

amostras da resposta impulsiva do sistema a determinar.



Considere-se o sistema discreto com resposta impulsiva { }�� .

A resposta deste sistema a um sinal { } �� é descrita pelo somatório de

convolução:

� � � � � ��

�

� � � � � �= − +=

∞

� ν

Seja { } �� um signal que é a realização de um processo estacionário com

média nula e função de covariância:

[ ]� � � � � � � � � �τ τ= −

e tal que { } �� e { }� �� são incorrelacionados (exigindo experiências em

malha aberta).



A covariância cruzada entre u e y é então dada por

[ ] [ ] [ ]� � � � � � � � � � � � ��

�

� � � � � � � � � � � � � �τ τ τ ν τ= − = − − + −=

∞

�

� � � ��

�

� � � �τ τ= −=

∞

�

= − − − � � �� τ



Se a entrada fôr ruído branco

��

� �

σ τττ

� == �

≠�

obtém-se

�� ττ σ=

A função de covariância cruzada �� τ é pois proporcional à resposta

impulsiva.



A função de covariância cruzada entre a entrada e a saída é desconhecida,

mas pode ser estimada por

� � � � ��

� � ��

�

�

�

= −=�

�

�

τ

Analogamente se pode estimar a covariância na origem do sinal de entrada:

� �

�

��

�

�

�

��

σ=

= �

A resposta impulsiva vem então estimada por

�

� ��

� �

�

�

� �τ τσ

=



Filtro branqueador

No caso em que o sinal de teste u não é branco, podemos seguir o seguinte

procedimento:

Determinamos um filtro L(q) tal que o sinal � � � �� = seja branco.

Com este filtro determinamos o sinal � � � � � �� =

G(q)u(t) y(t)

u (t) y (t)FF

L L



Trabalhar com os sinais � e �� corresponde à situação

G(q)u(t) y(t)u (t) y (t)

FFL L

-1

Como o filtro � �� surge em série com o seu inverso, é válida a equação

� � � � � ��

�

� � � � � �= − +=

∞

� ν

que pode ser empregue para estimar a resposta impulsiva.

O filtro L(q) denomina-se filtro branqueador (whitening filter). A sua

determinação pode fazer-se recorrendo a modelos paramétricos e ao método

dos mínimos quadrados.



Algoritmo CRA (Análise de Correlação)

1. Recolher os dados y(k), u(k), k=1, …, N

2. Subtrair as médias da amostra a cada sinal:

� � � ��

� ��

�

� � � � � �= −=�

�

� � �

� �

�

�

� � � � � �= −=�

�

�

3.Obter os sinais (L(q) é o filtro branqueador):

� � � � � �� = � � � �� =

(cont.)



Algoritmo CRA (cont.)

4.Calcular as estimativas

� � � � � � ��

� � ��

�

� �

�

�

� �τ τ= −

=�

�

�

� � �λ� �

�

�

� �=

=�

� �

�

5.Estimar a resposta impulsiva por

�

� � �

��

��

�

�

� �

τ

τλ

=



Implementação no MATLAB 5.3

(Control Syst. Toolbox)

O algoritmo CRA está implementado através da função cra

Formar uma colecção de pares entrada/saída (y é um vector coluna com

as amostras da saída, u da entrada):

z=[y u];

Calcular as primeiras 20 amostras da resposta impulsiva e pô-las no

vector ir (inclui branqueamento e gráfico);

ir=cra(z);



Exemplo

Estimar a resposta impulsiva de G(s)

amostrado com h = 0.1s.

O sistema real está sujeito a uma perturbação aditiva à saída do tipo ruído

branco com desvio padrão 0.01.

�

��

��

� �=

+ +



Método 1 – Introduzir um impulso à entrada do sistema

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06True Impulse Response

Discrete Time 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Impulse Input and White Noise Disturbance: σ = 0.01

Discrete Time



Método 2 – Introduzir um escalão à entrada do sistema e diferenciar a saída

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Input and White Noise Disturbance: σ = 0.01

Discrete Time0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Output Differentiation with Step Input and White Noise Disturbance: σ = 0.01

Discrete Time



Método 3 – Introduzir ruído branco à entrada e usar a Análise de Correlação

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06Impulse response estimate

lags0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06Impulse response estimate

lags Com 900 pontos Com 9900 pontos



Conselhos Práticos

Na análise de correlação devem-se utilizar apenas pontos da experiência que

correspondam ao regime estacionário. Nas experiências anteriores anularam-se os

primeiros 100 pontos porque correspondem ao regime transitório do sistema.

A dimensão da resposta impulsiva a usar na função ‘cra’ não deverá ser superior a

cerca de 1/10 do número total de pontos para que os valores da função de covariancia

sejam calculados com um número suficiente de pontos.

Quanto maior amplitude tiver a perturbação à saída, maior número de pontos deverão

ser utilizados.



Sistemas Instáveis

Em sistemas instáveis, os regimes transitórios não se extinguem, e portanto não

podemos considerar o processo estacionário. Não pode ser feita uma aplicação directa

dos métodos de correlação.

No entanto, se forem conhecidos os modos instáveis do sistema, podemos factorizá-

los e formular um problema de estimação apenas da parte estável do sistema. Na

prática isto só é factível para polos em z = 1.

A solução final obtém-se por combinação da parte estável estimada com a parte

instável conhecida.



Sistemas com polos em z = 1

Seja um sistema G(q) com p polos em z=1 e os restantes polos estáveis. Defina-se o

sistema estável Gstable(q):

( )��

��

�

��

�

�

��

−=

Uma experiência de identificação permitiu obter as sequências de entrada y(k) e u(k).

Estes sinais estão relacionados da seguinte forma:

( )��

��

�

��

�

=−



Calcula-se o sinal y’(k) por filtragem linear:

( )��

��

�

��

�

�−=

Podemos agora estimar a parte estável do sistema utilizando os sinais y’(k) e u(k):

�� =

Obtem-se a resposta impulsiva de Gstable(q) � g’(k)



Esquematicamente:

Obtém-se o g(k) total combinando os blocos:

� ��

� ��

� ��

�

�

�

� −

� ��

�

�

�

� �� −��

��

��

��

��

��

��

�

�−=



Exercícios

É sabido que um sistema G(s) tem a seguinte estrutura:

� �

��

� ��

� �� =

+ +

e está inserido num sistema de controlo digital com período de amostragem h = 0.5.

Pretende-se estimar a resposta impulsiva do sistema por análise de correlação.

Efectue uma simulação matlab/simulink com os parâmetros a=1, b = 0.25 e c=1, para

obter os sinais a usar na função de estimação. Compare a resposta impulsiva estimada

com a resposta impulsiva verdadeira do sistema discretizado.

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