IdentificacaoQuadricas

5/6/2018 IdentificacaoQuadricas - slidepdf.com

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Quádricas

Definição 1: Seja

ℝ, n = 2,3 o espaço euclidiano real com base ortonormada e

∈ ℳ × uma matriz real, não nula e simétrica, ∈ ℳ× ∈ ℳ×. Uma

quádrica de ℝ, n = 2,3 é um conjunto de pontos ∈ ℝ , n = 2,3 que satisfaz uma

equação cartesiana da forma

+ 2 + = 0

Definição 2: Uma quádrica de ℝ, n = 2,3 de equação +2 + = 0

relativamente a uma base ortonormada diz-se central se e só se o sistema

= − é

possível. Caso contrário diz-se não central.

Definição 3: Considere-se uma quádrica central em que o sistema = − tem

solução única. Essa solução designa-se por centro da quádrica.

Propriedades das Matrizes Reais e Simétricas

1. Os valores próprios de uma matriz real e simétrica são reais.

2. Seja A uma matriz real e simétrica e e valores próprios distintos de Aassociados a vectores próprios u e v. Então u e v são ortogonais.

3. Seja ∈ ℳ × uma matriz real e simétrica. Então existem n vectores próprios

de A que formam uma base ortogonal de ℝ.

4. Seja ∈ ℳ × uma matriz real e simétrica. Então a matriz A é diagonalizável,

isto é, é semelhante à matriz diagonal = (,… . ), o que significa que

existe S, invertível, tal que = . Para o caso particular das matrizes

simétricas, é possivel tomar para matriz diagonalizante a matriz cujas colunassão n vectores próprios unitários e nesse caso = e temos = ou

= . A matriz S diz-se matriz ortogonal e representa uma rotação.

Estas propriedades das matrizes reais e simétricas permitem escrever qualquer quádrica

numa base em que possa ser facilmente identificada. Classificar uma quádrica reduz-se

a um problema de mudança de coordenadas. Isto pode ser obtido por rotação dos eixos

coordenados de forma a alinhá-los com os eixos da quádrica correspondente, o queelimina os termos cruzados de segunda ordem, seguida de uma translação destinada a



Identificação de Quádricas-MIEC-FEUP Maria do Carmo Coimbra 2

eliminar, se possível, os termos de primeira ordem, operação que pode ser efectuada

completando os quadrados. De facto, se considerarmos a parcela respeitante aos termos

de segunda ordem, , e o facto de A ser tal que , obtemos

Considerando agora a mundaça de base definida por , ou seja, ′

obtemos

′′

Pelo que a mudança de coordenadas definida pela rotação, , permite eliminar

os termos cruzados de segunda ordem.

Quádricas em

Definição 3: Uma quádrica de é um conjunto de pontos , ∈ que satisfaz

uma equação cartesiana da forma

a 2 2 2 0

com a, a, a, diferentes de zero.

Uma equação deste tipo define sempre uma secção cónica (elipse, hipérbole, parábola)

ou uma cónica degenerada (uma ou duas rectas, um ponto, o conjunto vazio). Os termos

de segundo grau definem o tipo de cónica.

Figura 1: Secções Cónicas, elipse, hipérbole, parábola




Exemplo 1: Escrever sob a forma matricial as seguintes quádricas de ℝ

a) + + 1 = 0

b)

+

− 1 = 0

c) + = 0

d) 4 + 9 − 25 = 0

e) 4 − 9 − 25 = 0

f) 4 + 9 − 8 − 36 + 4 = 0

g) 7 − 9 + 28 +54 −116 = 0

h) 4 − 8 − 36 + 4 = 0

Resolução:

a) 1 00 1 + 1 = 0, ou seja, e = 1 00 1, = 0 0 e = 1.

b) 1 00 1 − 1 = 0, ou seja, e = 1 00 1, = 0 0 e = −1.

c) 1 0

0 1

= 0, ou seja, e = 1 0

0 1, = 0 0 e = 0.

d) 4 00 9 − 25 = 0, ou seja, e = 4 00 9, = 0 0 e = −25.

e) 4 00 −9 − 25 = 0, ou seja, e = 4 00 −9, = 0 0 e =−25.

f) 4 00 9 + 2−4 −18 + 4 = 0, ou seja, e = 4 00 9, =

−4 −18 e = 4.

g) 7 00 −9 + 214 27 − 116 = 0, ou seja, e = 7 00 −9, = 14 27 e = −116.

h) 4 00 0 + 2−4 −18 + 4 = 0, ou seja, e = 4 00 0, =

−4 −18e

= 4.




Classificação de quádricas de ℝ

Quádricas em

ℝna forma canónica.

A tabela 1 apresenta em resumo e na forma canónica as equações das quádricas em ℝ,não degeneradas. Vejamos alguma definições que permitem deduzir as equações

cartesianas das quádricas em ℝ, na forma canónica.

Definição 4: A elipse é o conjunto dos pontos P no plano tais que a soma das distâncias

de P a dois pontos fixos e designados por focos é constante, ou seja, se =

2, então a elipse é o conjunto dos pontos P tais que

+ = 2

em que a > c.

Proposição 1: A equação da elipse cujos focos são = (−,0) e = (, 0) é

+

= 1

A equação da elipse cujos focos são = (0,−) e = (0, ) é

+ = 1

Em ambos os casos = + .

Figura 2: Elipse com focos = (−,) e = (, ) 0

0

x

y




Figura 3: Elipse com focos = (,−) e = (, )

Definição 5: A hipérbole é o conjunto dos pontos P no plano tais que o módulo da

diferença entre as distâncias de P a dois pontos fixos e designados por focos é

constante, ou seja, se = 2, então a hipérbole é o conjunto dos pontos P tais

que

− = 2

em que a < c.

Proposição 2: A equação da hibérbole cujos focos são = (−,0) e = (, 0) é

− = 1

As assímptotas são as rectas de equação

y = ∨ y = −

A equação da hipérbole cujos focos são = (0,−) e = (0, ) é

− + = 1

As assímptotas são as rectas de equação

=

∨ = −

Em ambos os casos = + .

0

0

x

x




Figura 4: Hipérbole com focos = (−,) e = (, )

Figura 5: Hipérbole com focos = (,−) e = (, )

Definição 6: A parábola é o conjunto dos pontos P no plano equidistantes de uma recta

designada por directriz e de um ponto designado por foco, ou seja, é o conjunto dos

pontos P tais que

d(P,r) =

Proposição 3: A equação da parábola com = (0, ) e directriz = − é

= 4

0

0

x

y

0

0

y

x




Figura 6: Parábola com = (, ) e directriz = −, p>0

A equação da parábola com = (, 0) e directriz = − é

= 4

Figura 7: Parábola com = (, ) e directriz = −, p>0

Quádricas em ℝ: Caso geral

Para classificar uma quádrica de ℝ definida por +2 + = 0 , ou seja, por

a + 2 + + 2 + 2 + = 0.

é necessária uma mudança de coordenadas. Isto pode ser obtido por rotação dos eixos

coordenados de forma a alinhá-los com os eixos da quádrica correspondente, o que

elimina os termos cruzados de segunda ordem, seguida de uma translação destinada a

0

0

x

y

0

0

y

x




eliminar, se possível, os termos de primeira ordem, operação que pode ser efectuada

completando os quadrados.

A rotação fica definida determinando os subespaços próprios associados aos valores

próprios e da matriz real e simétrica = . Numa base formada por

vectores próprios ortogonais e unitários obtém-se uma equação cartesiana do tipo

(′) +(′) + 2′+2′ + = 0

Para escrevermos a equação cartesiana na forma canónica necessitamos de definir uma

mudança de base que elimine, se possível, os termos de primeiro grau. Se tal for

possível, o que sucede quando

( ) = ( |

), considera-se uma nova mudança de

coordenadas que define a translação

= − e = −

e obtém-se uma equação cartesiana do tipo

(′′) +(′′) + ′′ = 0

que permite a sua classificação. Não sendo possível, o que sucede quando a quádrica

não é central, obtém-se uma equação cartesiana do tipo

(′′) − 2′′ = 0

ou

(′′) − 2′′ = 0

que representam uma parábola ou uma das suas degenerações.

Propriedade: Considere-se a equação cartesiana da forma

+2 + = 0.

Sejam e os valores próprios da matriz simétrica = . Então:

1. Se > 0 a equação representa uma elipse ou uma das suas degenerações (um

ponto ou o conjunto vazio)




2. Se < 0 a equação representa uma hipérbole ou uma das suas degenerações

(duas rectas concorrentes)

3. Se = 0 a equação representa uma parábola ou uma das suas

degenerações(duas rectas paralelas, uma recta ou o conjunto vazio)

Exemplo 2: Identifique a quádrica de ℝ definida por

4 + + 16 − 8 + 32 = 0.

Neste caso = 4 00 1, logo os valores próprios são = 4 e = 1 ambos positivos

e portanto a quádrica é uma elipse ou uma das suas degenerações. Os subespaços

próprios são gerados pelos vectores da base canónica, pelo que os eixos da cónica estão

alinhados com os eixos coordenados. Para além disso

4 + + 16 −8 + 32 = 0 ⟺ 4( + 2) + ( − 4) − 36 + 32 = 0⟺ ( + 2)1 + ( − 4)2 = 1

Logo por translação de coordenadas de acordo com

= + 2e

= − 4obtém-se

(′)1 + (′)2 = 1

que é a equação de uma elipse de centro na origem e eixos coincidentes com os eixos

coordenados, de semi-eixo maior ao longo do eixo dos ′ de comprimento = 2 e

semi-eixo menor ao longo do eixo dos ′ de comprimento = 1, tal como a figura 8

ilustra.




Figura 8: Elipse com centro em (−,) e semieixos = , =


+ 4 + 8 − 20 = 0.

Ora, = 1 00 0, matriz diagonal, logo os valores próprios são os valores da diagonal,

ou seja, = 1 e = 0. Como zero é um valor próprio, a equação representa uma

parábola ou uma das suas degenerações (duas rectas paralelas, uma recta ou o conjunto

vazio). Como

+ 4 +8 − 20 = 0 ⟺ ( + 2) + 8 − 24 = 0 ⟺ = 3− ( + 2),

verificamos que se trata de uma parábola invertida com eixo em = −2 e vértice em

(−2,3) tal como a figura 9 mostra.

-4 -3 -2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

x´

y '

y

x




Figura 9: Parábola de equação = − ( + )

Exemplo 4: Identifique as quádricas de

ℝ definidas por:

a) + + 1 = 0

b) + − 1 = 0

c) + = 0

d) 4 + 9 − 25 = 0

e) 4 − 9 − 25 = 0

f) 4 + 9 − 8 − 36 + 4 = 0

g) 7 − 9 + 28 +54 −116 = 0

Resolução:

a) = 1 00 1, matriz diagonal, logo os valores próprios são os valores da

diagonal, ou seja, = 1 e = 1, ambos positivos e iguais pelo que a cónica é

uma circunferência ou um ponto ou o conjunto vazio. Neste caso facilmente se

verifica que é um conjunto vazio pois + + 1 ≠ 0, (, ) ∈ ℝ.

-8 -6 -4 -2 0 2 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y




b) = 1 00 1, matriz diagonal, logo os valores próprios são os valores da

diagonal, ou seja,

= 1e

= 1, ambos positivos e iguais pelo que a cónica é

uma circunferência ou um ponto ou o conjunto vazio. Neste caso facilmente se

verifica que é a circunferência de centro na origem e raio 1.

c) = 1 00 1, matriz diagonal, logo os valores próprios são os valores da

diagonal, ou seja, = 1 e = 1, ambos positivos pelo que a cónica é uma

elipse ou um ponto ou o conjunto vazio. Neste caso facilmente se verifica que é

um ponto,

+

= 0 ⇔ = 0∧ = 0.

d) = 4 00 9, matriz diagonal, logo os valores próprios são os valores da


elipse ou um ponto ou o conjunto vazio. Neste caso facilmente se verifica que é

a elipse de equação reduzida,

+

= 1.

e) = 4 00 −9, matriz diagonal, logo os valores próprios são os valores da

diagonal, ou seja, = 4 e = −9, de sinais contrários pelo que a cónica é

uma hipérbole ou duas rectas concorrentes. Neste caso facilmente se verifica que

é a hipérbole de equação reduzida,

−

= 1.

f) = 4 00 9, matriz diagonal, logo os valores próprios são os valores da


elipse ou um ponto ou o conjunto vazio. Como

4 + 9 − 8 − 36 + 4 = 0 ⟺ 4( − 1) + 9( − 2) = 36,

Facilmente se verifica que se trata da elipse() + ()

= 1.




g) = 7 00 −9, matriz diagonal, logo os valores próprios são os valores da

diagonal, ou seja, = 7 e = −9, de sinais contrários pelo que a cónica é

uma hipérbole ou duas rectas concorrentes. Como

7 − 9 + 28 +54 − 116 = 0 ⟺ 7( − 2) − 9( − 3) = 63⟺ ( − 2)2(3)2 − ( − 3)2√ 72 = 1

resulta que a quádrica é uma hipérbole centrada no ponto (−2,3)com eixos

paralelos aos eixos coordenados. As assímptotas são as rectas que passam pelo

ponto (−2,3) e têm declive m = √ ∨m = − √ , respectivamente.

A classificação de quádricas reduz-se a uma mudança de coordenadas de modo a que a

equação se possa escrever na forma canónica. Como se pode verificar no exemplo 4 as

matrizes A são diagonais pelo que as bases canónicas são bases de vectores próprios.

Deste modo a mudança de coordenadas envolve apenas uma translação. Vejamos agora

que quando os vectores próprios da matriz simétrica A não são a base canónica é

necessário uma rotação para alinhar os eixos.


5 − 4 + 8 − 36 = 0

Neste caso a equação da quádrica na forma matricial é

5 −2−2 8

− 36 = 0

,

ou seja, e = 5 −2−2 8 , = 0 0 e = −26 . Como A é simétrica e det = 36 >0, os valores próprios são reais e do mesmo sinal ( observe que det = ) pelo que

a quádrica é uma elipse ou uma das suas degenerações. Procuremos uma base de ℝ em

que o endomorfismo representado pela matriz A se possa representar por uma matriz

diagonal. Determinemos primeiramente os valores próprios de A, calculando as raízes

do polinómio característico. Ora

det( − ) = 0 ⟺ 5 − − 2− 2 8 − = 0 ⟺ − 13 +36 = 0 ⟺ = 4 ∨ = 9




Os vectores próprios associados a = 4 são os vectores ≠ 0 ∶ 1 −2−2 4 = 00.Logo são vectores próprios os vectores = (, ) ≠ 0 ∶ = 2. Consideremos por

exemplo o versor

=√ (2,1)

. Os vectores próprios associados a

= 9são os

vectores ≠ 0 ∶ −4 −2−2 −1 = 00. Logo são vectores próprios os vectores =(, ) ≠ 0 ∶ −2 = . Consideremos por exemplo o versor =

√ (−1,2). A rotação

que permite alinhar os eixos coordenados com os eixos da elipse é dada pela matriz

ortogonal de transformação

= 1

√ 5

2 −11 2 Em que A = PDP, sendo D = 4 00 9 . As novas coordenadas correspondem a

transformar X = (x,y) em X = (x′,y′) de acordo com X = X′P , ou seja,

= √ (2 − ′) e =

√ ( +2′)

Substituindo na equação dada obtemos

(2 − ′) − 45 (2 − ′)( +2′) + 85 ( +2′) − 36 = 0

A equação cartesiana nas novas coordenadas é

4() + 9(′) − 36 = 0

Ou ainda

()

9+ ()

4= 1

que é a equação de uma elipse de centro na origem e eixos coincidentes com os eixos

coordenados, de semi-eixo maior ao longo do eixo dos ′ de comprimento = 3 e

semi-eixo menor ao longo do eixo dos ′ de comprimento = 2, tal como a figura 10

ilustra.




Figura 10: Elipse do exemplo 5




Quádricas em ℝ

Exemplo 6: Escreva a quádrica

+ 2 + 3 + 2 + 2 + 4 + 2 + 2 + 2 = 0

na forma matricial e determine, caso exista, o seu centro.

Neste caso a quádrica escreve-se na forma matricial + 2 + = 0 com

= 1 1 11 2 21 2 3, = 1 1 1 e = 0. Como det() = 1 ≠ 0 o sistema = −

tem solução única pelo que a quádrica é central e o centro da quádrica fica definido

determinando a solução uníca do sistema. O centro é (−1,0,0).

A tabela 2 mostra a identificação de quádricas em ℝ na forma canónica.

Tal como no caso de

ℝestamos interessados em mudar coordenadas de forma a

transformar equação numa forma que corresponda a uma quádrica de eixos alinhados

com os eixos na origem. Isso pode ser feito com uma rotação que faça com que os eixos

fiquem paralelos aos eixos coordenados. A diagonalização da matriz A permite a

eliminação dos termos de segunda ordem cruzados. Depois basta completar os

quadrados para identificar a quádrica, o que se obtém por uma translação.

Exercício 2: Use a tabela 2 e identifique e esboce as quádricas em ℝ definida por

a) 4 + 4 − = 0

b) 4 − + 2 − 4 = 0

c) 4 + 2 + − 1 = 0

d) − 9 − 9 = 0

e) − 4 = 0

f) + 4 − 8 = 0

g)

4

+ 4 +

− 3 = 0




Resolução:

a) + =

, superfície cónica

b)

−

+

= 1, hiperbolóide de uma folha

c) + + = 1, elipsóide

d) − = 1, superfície cilindrica hiperbólica

e) − 4 = 0, dois planos x = 2 ∨ x = −2

f) + − 2 = 0, parabolóide elíplico

g)

4

+ 4 +

− 9 = 0 ⟺ (2 + )

− 3

= 0 ⟺ 2 + = 3 ∨ 2 + =−3, dois planos paralelos ao eixo dos zz.




Identificação de Quádricas em ℝ na forma canónica

Circunferência

+ =

Elipse

+ = 1

Hipérbole

− = 1

Hipérbole

− + = 1

Parábola

− = 0, > 0

Parábola

− = 0, > 0

Tabela 1: Identificação de Quádricas em ℝna forma canónica

0

0

x

y

0

0

x

y

0

0

x

y

0

0

y

x

0

0

x

y

0

0

y

x




Identificação de Quádricas em ℝ na forma canónica

Quádricas Centrais

Elipsóide

+ + = 1

Superfície Cónica

+ − = 0

Hiperbolóide de uma folha

+ − = 1

Hiperbolóide de duas folhas

− − + = 1




Superfície Cilindrica Elíptica

+

= 1

Superfície Cilindrica Hiperbólica

− = 1

Quádricas não centrais

Parabolóide Eliptíco

+ − z = 0, > 0

Parabolóide Hiperbólico

− − z = 0, > 0

Superfície Cilindrica Parabólica

= , > 0

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