iia-teoria da decisao - Universidade da Madeiracee.uma.pt/edu/iia/acetatos/iia-teoria da...

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InteligênciaInteligência ArtificialArtificial

Teoria da DecisãoTeoria da Decisão

AgendaAgenda

�� IntroduIntroduççãoão

�� Decisão sob ignorânciaDecisão sob ignorância

�� Decisão sob Risco Decisão sob Risco (tamb(tambéém chamado m chamado ““na incertezana incerteza””))

�� Teoria da ProbabilidadeTeoria da Probabilidade

�� FunFunçção de Utilidadeão de Utilidade

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IntroduIntroduççãoão

O que são Teoria da Decisão e O que são Teoria da Decisão e AnAnáálise da Decisão?lise da Decisão?

�� Teoria da DecisãoTeoria da Decisão éé o resultado de um esforo resultado de um esforçço o conjunto de economistas, matemconjunto de economistas, matemááticos, filticos, filóósofos, sofos, socisocióólogos e estatlogos e estatíísticos para explicar como os sticos para explicar como os indivindivííduos ou grupos fazem ou devem tomar decisões. duos ou grupos fazem ou devem tomar decisões. ((ResnikResnik, 1987), 1987)

�� Os Os principais objectivosprincipais objectivos da Teoria da Decisão são, da Teoria da Decisão são, primeiramente, fornecer modelos para como guiamos os primeiramente, fornecer modelos para como guiamos os nossos desejos e as nossas crennossos desejos e as nossas crençças e, em segundo as e, em segundo lugar para esclarecer como se combinam em decisões lugar para esclarecer como se combinam em decisões racionais. (racionais. (GGäärdenforsrdenfors & & SahlinSahlin, 1988), 1988)

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O que são Teoria da Decisão e O que são Teoria da Decisão e AnAnáálise da Decisão?lise da Decisão?

�� ““Uma filosofia, articulada por um conjunto de axiomas Uma filosofia, articulada por um conjunto de axiomas llóógicos e uma metodologia e colecgicos e uma metodologia e colecçção de procedimentos ão de procedimentos sistemsistemááticos baseados nestes axiomas, com o fim de ticos baseados nestes axiomas, com o fim de analisar as complexidades inerentes em problemas da analisar as complexidades inerentes em problemas da decisão.decisão.”” ((KeeneyKeeney, 1982), 1982)

�� AnAnáálise da Decisãolise da Decisão éé o termo utilizado para referir a o termo utilizado para referir a cuidadosa deliberacuidadosa deliberaçção que precede uma decisão. Mais ão que precede uma decisão. Mais especificamente refereespecificamente refere--se aos aspectos quantitativos se aos aspectos quantitativos desta. (desta. (FrenchFrench, 1988), 1988)

Onde aplicaOnde aplica--se teoria da decisão?se teoria da decisão?

�� Ferramentas de anFerramentas de anáálise de risco e decisão.lise de risco e decisão.

�� Inteligência Artificial.Inteligência Artificial.

�� Analise Operacional.Analise Operacional.�� Modelos EconModelos Econóómicos.micos.

�� Grupos de Decisão.Grupos de Decisão.

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ComponentesComponentes

�� O problema O problema éé analisado desde as alternativas (actos). analisado desde as alternativas (actos). �� As alternativas conduzem aos resultados (prAs alternativas conduzem aos resultados (préémios, mios,

consequências).consequências).�� Estes são analisados com base num valor Estes são analisados com base num valor vv ou na ou na

utilidade utilidade uu, e a probabilidade , e a probabilidade pp..�� Podem tambPodem tambéém ser considerados outros critm ser considerados outros critéérios rios

diferentes (aspectos, perspectivas).diferentes (aspectos, perspectivas).

Modelo BaseModelo Base

�� Uma decisão implica uma escolha entre duas ou mais Uma decisão implica uma escolha entre duas ou mais posspossííveis alternativas.veis alternativas.

�� Cada alternativa leva a um o mais futuros estados.Cada alternativa leva a um o mais futuros estados.

�� Um estado conjuntamente com a alternativa formam Um estado conjuntamente com a alternativa formam uma consequência.uma consequência.

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ExemploExemplo

�� DecisãoDecisão: Devo levar o guarda: Devo levar o guarda--chuva ao passeio?chuva ao passeio?

�� AlternativasAlternativas: levo o guarda: levo o guarda--chuva, não levo o guardachuva, não levo o guarda--chuva.chuva.

�� EstadosEstados: Come: Começça a chover, não comea a chover, não começça a chovera a chover�� ConsequênciasConsequências: Chove e não tenho guarda: Chove e não tenho guarda--chuvas, chuvas,

não chove e tenho guardanão chove e tenho guarda--chuva, etc.chuva, etc.

ÁÁrvore de Decisãorvore de Decisão�� Consiste de quatro componentes.Consiste de quatro componentes.�� NNóós de decisão (quadrados).s de decisão (quadrados).�� NNóós de Probabilidade (cs de Probabilidade (cíírculos).rculos).�� NNóós de consequência triângulos.s de consequência triângulos.�� Eixos.Eixos.

decisão node

Probability

node

Consequence

node

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AvaliaAvaliaçção das consequênciasão das consequências

�� Analisar os valores Analisar os valores éé frequentemente diffrequentemente difíícil. cil. ÉÉnecessnecessáário encontrar uma escala para medir as rio encontrar uma escala para medir as consequências.consequências.�� Comparar Celsius, Fahrenheit, etc. para a temperatura.Comparar Celsius, Fahrenheit, etc. para a temperatura.

�� Mas como Mas como éé posspossíível, por exemplo medir os aspectos do vel, por exemplo medir os aspectos do ambiente (nublado, instambiente (nublado, instáável, etc.)? vel, etc.)? �� Na literatura e no software convencional são necessNa literatura e no software convencional são necessáários rios

valores precisos para achar estimavalores precisos para achar estimaçções correctas.ões correctas.

AnAnáálise de planos de aclise de planos de acçção ão (An(Anáálise de cenlise de cenáários )rios )

Investiga como Investiga como éé tão provtão prováável cada um dos possvel cada um dos possííveis veis resultados.resultados.

�� Exaustivo: pelo menos uma das consequências vai acontecer.Exaustivo: pelo menos uma das consequências vai acontecer.�� Disjuntivo de a pares: no mDisjuntivo de a pares: no mááximo uma das consequências vai ximo uma das consequências vai

acontecer.acontecer.

�� : : exactamente uma das consequências vai acontecer.exactamente uma das consequências vai acontecer.

Utilizamos probabilidades Utilizamos probabilidades pp com a finalidade de com a finalidade de quantificar as nossas crenquantificar as nossas crençças (as (ΣΣppii = 100%).= 100%).

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AvaliaAvaliaççãoão

Mesmo que possuamos conhecimento acerca de todos Mesmo que possuamos conhecimento acerca de todos os dados, precisamos saber os dados, precisamos saber comocomo escolher. Aqui escolher. Aqui éé que que a teoria da decisão entra em a teoria da decisão entra em ““jogojogo””..

Algumas regras de decisãoAlgumas regras de decisão

�� Preferência (Preferência (DominanceDominance).).

�� Regra Regra MaximinMaximin//MaximaxMaximax..

�� Regra de Optimismo Regra de Optimismo –– Pessimismo.Pessimismo.

�� Regra Regra MinimaxMinimax RegretRegret ..�� Principio da raPrincipio da raçção insuficiente.ão insuficiente.

�� Etc.Etc.

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Maximizando a utilidade Maximizando a utilidade esperadaesperada

A utilidade esperada e o valor dA utilidade esperada e o valor dáá a ma méédia ponderada dia ponderada

SpSpxixiuuxixi = p= px1x1uux2x2+p+px2x2uux2x2+...+p+...+px(nx(n--1)1)uux(nx(n--1)1)++ppxnxnuuxnxn

Escolher a alternativa com a utilidade esperada mais Escolher a alternativa com a utilidade esperada mais elevada.elevada.

u11p

11

u12p

12

u1n

p1n

.

.

.

Alt. 1u21p

21

u22

p22

u2m

p2m

.

.

.

Alt. 2

Problema de Decisão : gangreneProblema de Decisão : gangrene

FormulaFormulaçção da decisãoão da decisão ::

Um paciente de 68 anos tem que escolher entre:Um paciente de 68 anos tem que escolher entre:

�� A amputaA amputaçção da perna esquerda por baixo do joelho.ão da perna esquerda por baixo do joelho.�� Tratamento com medicamentos.Tratamento com medicamentos.

�� Com a amputaCom a amputaçção o risco de vida ão o risco de vida éé de 1%.de 1%.�� Com o tratamento com medicamentos, a probabilidade Com o tratamento com medicamentos, a probabilidade éé, num , num

passo posterior, de 30% de precisar amputar a perna por cima passo posterior, de 30% de precisar amputar a perna por cima do joelho, com risco de morrer de 10%.do joelho, com risco de morrer de 10%.

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AlternativasAlternativas

As alternativas consistem em escolher o que As alternativas consistem em escolher o que fazer, se amputar ou usar medicamentos.fazer, se amputar ou usar medicamentos.

Identificando as consequênciasIdentificando as consequências

As consequências As consequências éé o que acontece de acordo com o que acontece de acordo com cada alternativa:cada alternativa:

�� C11: Perna amputada por baixo do joelho, saudC11: Perna amputada por baixo do joelho, saudáável vel �� C12: MorteC12: Morte

�� C21: saudC21: saudáável vel �� C22: Perna amputada por cima do joelho, saudC22: Perna amputada por cima do joelho, saudáável vel �� C23: MorteC23: Morte

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Estruturando o ProblemaEstruturando o Problema

DistribuiDistribuiçção de Probabilidadesão de Probabilidades

�� C11: Perna amputada por baixo do joelho, saudC11: Perna amputada por baixo do joelho, saudáávelvel 0,990,99�� C12: Morte C12: Morte 0,010,01

�� C21: saudC21: saudáável vel 0,700,70�� C22: Perna amputada por cima do joelho, saudC22: Perna amputada por cima do joelho, saudáável vel 0,270,27�� C23: Morte C23: Morte 0,030,03

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Actualizamos a EstruturaActualizamos a Estrutura

Agregamos as Probabilidades

AvaliaAvaliaçção. Passo 1ão. Passo 1

�� Se o paciente considera a probabilidade de morrer como Se o paciente considera a probabilidade de morrer como um factor determinante, então deve escolher a um factor determinante, então deve escolher a amputaamputaçção.ão.

�� Se o paciente considera a diferencia insignificante (0,03 Se o paciente considera a diferencia insignificante (0,03 vsvs. 0,01) e a possibilidade de ficar completamente . 0,01) e a possibilidade de ficar completamente curado curado éé um factor determinante, então deve escolher a um factor determinante, então deve escolher a medicamedicaçção.ão.

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AvaliaAvaliaçção. Passo 2 ão. Passo 2 –– Escala de Escala de valoresvalores

Aqui podemos considerar:Aqui podemos considerar:

�� A utilidade da morte A utilidade da morte éé a mais baixaa mais baixa�� A utilidade de ficar saudA utilidade de ficar saudáável vel éé a mais alta a mais alta

Escolhemos uma escala de valores:Escolhemos uma escala de valores:�� u(morteu(morte) = 0) = 0�� u(saudu(saudáávelvel) = 1) = 1

Estimar as consequênciasEstimar as consequências

ÉÉ difdifíícil de quantificar, mas usualmente utilizacil de quantificar, mas usualmente utiliza--se um intervalo ou um se um intervalo ou um ranking.ranking.

Valores Precisos:Valores Precisos:�� Perna amputada por baixo do joelho = 0.8Perna amputada por baixo do joelho = 0.8�� Perna amputada por cima do joelho = 0.6Perna amputada por cima do joelho = 0.6

Exemplo de Intervalos:Exemplo de Intervalos:�� Perna amputada por baixo do joelho = [0.7, 0.9].Perna amputada por baixo do joelho = [0.7, 0.9].�� Perna amputada por cima do joelho = [0.5, 0.7].Perna amputada por cima do joelho = [0.5, 0.7].

Ordem de preferência:Ordem de preferência:�� Perna amputada por baixo do joelho Perna amputada por baixo do joelho éé melhor que Perna amputada melhor que Perna amputada

por cima do joelho.por cima do joelho.

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Estruturando Estruturando -- valoresvalores

Inserimos os valores

Utilidade EsperadaUtilidade EsperadaA A utilidade esperadautilidade esperada de cada alternativa:de cada alternativa:�� A1(amp.): A1(amp.): p(ampp(amp. . bjbj))*u(amp*u(amp. . bjbj) + ) + p(mortep(morte))*u(morte*u(morte))

= 0,99*0,8 + 0,01*0 = 0,792= 0,99*0,8 + 0,01*0 = 0,792

(probabilidade * utilidade de Perna amputada por baixo do joelho(probabilidade * utilidade de Perna amputada por baixo do joelho + + probabilidade * utilidade de morte)probabilidade * utilidade de morte)

�� A2 (A2 (medicmedic.): .): p(saudp(saudáávelvel))*u(saud*u(saudáávelvel) + ) + p(ampp(amp. . cjcj))*u(amp*u(amp. . cjcj) + ) + p(mortep(morte))*u(morte*u(morte) = 0,7*1 + 0,27*0,6 + 0,03*0 = 0,862) = 0,7*1 + 0,27*0,6 + 0,03*0 = 0,862

(probabilidade * utilidade de saud(probabilidade * utilidade de saudáável + probabilidade * utilidade de vel + probabilidade * utilidade de Perna amputada por cima do joelho + probabilidade * utilidade dPerna amputada por cima do joelho + probabilidade * utilidade de e morte)morte)

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Consequências PosterioresConsequências Posteriores

Suponhamos que alguns anos depois da medicaSuponhamos que alguns anos depois da medicaçção a ão a doendoençça possa voltar:a possa voltar:

�� C211: SaudC211: Saudáável nos prvel nos próóximos 5 anos (75%)ximos 5 anos (75%)

�� C212: Perna amputada por baixo do joelho (7%)C212: Perna amputada por baixo do joelho (7%)�� C213: Perna amputada por cima do joelho (15%)C213: Perna amputada por cima do joelho (15%)

�� C214: Morte (3%)C214: Morte (3%)

Consequências PosterioresConsequências Posteriores

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Utilidade EsperadaUtilidade Esperada

A utilidade esperada de cada alternativa:A utilidade esperada de cada alternativa:

�� A1(amp.): 0,792 (não muda)A1(amp.): 0,792 (não muda)

�� A2 (A2 (medicmedic.):.):0,7*0,75*1+0,7*0,75*1+ p(saudp(saudáávelvel)* )* p(saudavp(saudavééll 5 nos)5 nos)*u(saud*u(saudáávelvel) +) +0,7*0,07*0.8+0,7*0,07*0.8+p(saudavp(saudavééll))*p(amp*p(amp. . bjbj))*u(amp*u(amp. . bjbj) +) +0,7*0,15*0.6+0,7*0,15*0.6+p(saudavp(saudavééll))*p(amp*p(amp. . cjcj))*u(amp*u(amp. . cjcj) +) +0,7*0,03*0+0,7*0,03*0+ p(saudavp(saudavééll))*p(morte*p(morte))*u(morte*u(morte) +) +0,27*0.6+0,27*0.6+ p(ampp(amp. . cjcj))*u(amp*u(amp. . cjcj) +) +0,03*00,03*0 p(mortep(morte))*u(morte*u(morte) =) == 0,789= 0,789

Regras de Decisão Sob IgnorânciaRegras de Decisão Sob Ignorância

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Decisão Sob IgnorânciaDecisão Sob Ignorância

�� São situaSão situaçções de decisão onde nões de decisão onde nóós não podemos s não podemos calcular a probabilidade por diferentes motivos, ou onde calcular a probabilidade por diferentes motivos, ou onde não faz sentido utilizar probabilidades.não faz sentido utilizar probabilidades.

�� TambTambéém chamadas decisões sob incerteza estrita.m chamadas decisões sob incerteza estrita.

AgendaAgenda

�� Preferência (Preferência (DominanceDominance))

�� Regra Regra MaximinMaximin//MaximaxMaximax

�� Regra de Optimismo Regra de Optimismo –– PessimismoPessimismo

�� Regra Regra MinimaxMinimax RegretRegret�� Principio da razão insuficientePrincipio da razão insuficiente

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Preferência (Preferência (DominanceDominance))

�� Se uma alternativa Se uma alternativa AA11 éé pelo menos tão boa pelo menos tão boa como a alternativa como a alternativa AA22, então diremos que A, então diremos que A11dominadomina a Aa A22..

�� As alternativas dominadas nunca podem ser as As alternativas dominadas nunca podem ser as preferidas.preferidas.

Regra Regra MaximinMaximin (1)(1)

�� Significa Significa ““Maximizar o MMaximizar o Míínimonimo””..

�� Escolhe a alternativa que tem o melhor resultado quando o pior Escolhe a alternativa que tem o melhor resultado quando o pior acontece.acontece.

�� ÉÉ uma regra de decisão extremamente pessimista.uma regra de decisão extremamente pessimista.

s = estado (resultado)

00003311a4a4

00004400a3a3

11111111a2a2

11002222a1a1

s4s4s3s3s2s2s1s1

18



00003311a4a4

00004400a3a3

11111111a2a2

11002222a1a1

s4s4s3s3s2s2s1s1


�� Por vezes não Por vezes não éé boa boa ……

�� Escolher aEscolher a22 significa que escolho entre ganhar mais significa que escolho entre ganhar mais €€.50 face a ganhar .50 face a ganhar €€10.00010.000


€€10.00010.000€€ 1.001.00a2a2

€€1.751.75€€1.51.5a1a1

s2s2s1s1

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Regra Regra MaximaxMaximax (1)(1)

�� Significa Significa ““Maximizar o MMaximizar o Mááximoximo””

�� Escolhe a alternativa que tem o melhor resultado quando o melhorEscolhe a alternativa que tem o melhor resultado quando o melhoracontece.acontece.

�� ÉÉ uma regra de decisão extremamente optimista..uma regra de decisão extremamente optimista..


00003311a4a4

00004400a3a3

11111111a2a2

11002222a1a1

s4s4s3s3s2s2s1s1

Regra Regra MaximaxMaximax (2)(2)


00003311a4a4

00004400a3a3

11111111a2a2

11002222a1a1

s4s4s3s3s2s2s1s1

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Regra de Optimismo Regra de Optimismo –– Pessimismo Pessimismo

�� ÉÉ um um MixMix entre o entre o maximaxmaximax e o e o maximixmaximix. Consiste nos . Consiste nos seguintes passos:seguintes passos:�� Escolher uma constante Escolher uma constante αα ∈∈[0,1] como o nosso [0,1] como o nosso ííndice optimista ndice optimista ––

pessimista.pessimista.�� Calcular Calcular αα * m* mááximo + (1ximo + (1-- αα)* m)* míínimo.nimo.

�� Observar que se Observar que se αα = 1, então = 1, então éé a regra a regra maximaxmaximax, se , se αα = 0, = 0, éé a regra a regra maximinmaximin..

�� Quanto mais optimista queremos ser, mais Quanto mais optimista queremos ser, mais αα �� 1.1.

Regra de Optimismo Regra de Optimismo -- Pessimismo Pessimismo ExemploExemplo

H(a1) = 0,75*2 + 0,25*0 = 1,5H(a2) = 0,75*1 + 0,25*1 = 1H(a3) = 0,75*4 + 0,25*0 = 3H(a4) = 0,75*3 + 0,25*0 = 2,25

3300aa44

4400AA33

1111AA22

2200aa11

MaxMaxMinMin α =0,75

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É possível estudar o que acontece quando varia α.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1

Índice Optimista - pessimista (α)

resu

ltado

a1

a2

a3

a4


00001111s4s4

003311a4a4Para (Para (αα >1/4)>1/4)004400a3a3Para (Para (αα <1/4)<1/4)111111a2a2

002222a1a1s3s3s2s2s1s1

α * máximo + (1- α)* mínimo.

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MinimaxMinimax RegretRegret (1)(1)

�� ÉÉ baseado em quanto arrependimento sentimos se algo baseado em quanto arrependimento sentimos se algo acontecer e se era possacontecer e se era possíível ter escolhido uma vel ter escolhido uma alternativa melhor. A estratalternativa melhor. A estratéégia gia éé escolher a alternativa escolher a alternativa que minimiza o pesar.que minimiza o pesar.

�� EscolheEscolhe--se a acse a acçção onde o mão onde o mááximo pesar ximo pesar éé mmíínimo.nimo.�� Ideia: Ideia: ““Ah, perdi de ganhar X por não ter escolhido a Ah, perdi de ganhar X por não ter escolhido a

melhormelhor””..

MinimaxMinimax RegretRegret (2)(2)

Matriz Regret

Max1 = 2

R = MAX – U, onde MAX é a máxima utilidade da Coluna e U a utilidade.

Max2 = 4 Max3 = 1 Max4 = 1

00003311a4a4

00004400a3a3

11111111a2a2

11002222a1a1

s4s4s3s3s2s2s1s1

11111111a4a4

11110022a3a3

00003311a2a2

00112200a1a1

s4s4s3s3s2s2s1s1

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MinimaxMinimax RegretRegret

Matriz Regret

Max1 = 2

R = MAX – U, onde MAX é a máxima utilidade da Coluna e U a utilidade.

Max2 = 4 Max3 = 1 Max4 = 1

00003311a4a4

00004400a3a3

11111111a2a2

11002222a1a1

s4s4s3s3s2s2s1s1

11111111a4a4

11110022a3a3

00003311a2a2

00112200a1a1

s4s4s3s3s2s2s1s1

Principio da razão insuficientePrincipio da razão insuficiente

�� Baseado no principio que, sob ignorância, não hBaseado no principio que, sob ignorância, não háá razões razões para pensar num estado como o mais provpara pensar num estado como o mais prováável que os vel que os outros.outros.

�� Então assumeEntão assume--se que os estados são igualmente se que os estados são igualmente provprovááveis. Isto veis. Isto éé igual a fazer a migual a fazer a méédia das utilidades dia das utilidades esperadas para cada acesperadas para cada acçção.ão.

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Principio da razão insuficientePrincipio da razão insuficiente

00003311a4a4

00004400a3a3

11111111a2a2

11002222a1a1

s4s4s3s3s2s2s1s1

a1 = (2+2+0+1)/4 = 5/4a2 = (1+1+1+1)/4 = 1a3 =(0+4+0+0)/4 = 1a4 =(1+3+0+0)/4 = 1

ResumindoResumindo

00

00

11

11

s4s4

MinimaxMinimax RegretRegret003311a4a4

MaximaxMaximax, , OptOpt--pesspess para (para (αα >1/4)>1/4)

004400a3a3

MaximinMaximin, , OptOpt--pesspess para (para (αα <1/4)<1/4)

111111a2a2

PpioPpio Razão Razão InsufInsuf002222a1a1

ESCOLHAESCOLHAs3s3s2s2s1s1

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ResumindoResumindo

�� Sob ignorância pode não haver uma alternativa que Sob ignorância pode não haver uma alternativa que maximize todas as tmaximize todas as téécnicas.cnicas.

�� A eleiA eleiçção não ão não éé obvia.obvia.

ExercExercííciocio

�� Temos um jogo com três diferentes jogadas: X,Y,Z. Para Temos um jogo com três diferentes jogadas: X,Y,Z. Para cada jogada hcada jogada háá quatro possquatro possííveis resultados, mais não se veis resultados, mais não se conhecem as probabilidades de cada resultado. conhecem as probabilidades de cada resultado.

�� Resultados dos jogosResultados dos jogos

X:X: 1, 4, 0, 2; 1, 4, 0, 2; Y:Y: 8, 8, --4, 3, 1; 4, 3, 1; Z:Z: 3, 5, 7, 3, 5, 7, --11

Analisar pelos mAnalisar pelos méétodos estudadostodos estudados

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Decisão sob Risco Decisão sob Risco --ProbabilidadeProbabilidade

InterpretaInterpretaçção das Probabilidadesão das Probabilidades

�� Visão ClVisão Cláássica:ssica: ÉÉ a visão objectiva e matema visão objectiva e matemáática, a que tica, a que melhor se aplica nos casos onde o espamelhor se aplica nos casos onde o espaçço de resultados o de resultados éé perfeitamente conhecido.perfeitamente conhecido.�� Um problema da visão clUm problema da visão cláássica ssica éé a carência de contea carência de conteúúdo do

empempíírico.rico.

�� Visão de frequência relativa:Visão de frequência relativa: Consiste numa visão Consiste numa visão objectiva e empobjectiva e empíírica que foi desenvolvida em resposta a rica que foi desenvolvida em resposta a visão clvisão cláássica. Define a probabilidade em termos de ssica. Define a probabilidade em termos de eventos actuais.eventos actuais.

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InterpretaInterpretaçção das Probabilidadesão das Probabilidades

�� Visão SubjectivaVisão Subjectiva:: ÉÉ uma tentativa para desenvolver uma uma tentativa para desenvolver uma nonoçção de probabilidade que afronta todos estes ão de probabilidade que afronta todos estes desafios. As probabilidades subjectivas são avaliadesafios. As probabilidades subjectivas são avaliaçções ões pessoais.pessoais.

Probabilidade condicionalProbabilidade condicional

�� A Probabilidade condicional A Probabilidade condicional éé utilizada para utilizada para representar o que acontece quando nova representar o que acontece quando nova informainformaçção ão éé adicionada.adicionada.

�� A probabilidade condicional denotaA probabilidade condicional denota--se se PP((AA | | BB).).

�� PP( chuva | muito nublado ) = 70%( chuva | muito nublado ) = 70%

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�� A probabilidade condicional A probabilidade condicional éé muito importante em muito importante em aplicaaplicaçções de decisão analões de decisão analíítica, onde lidamos com o tica, onde lidamos com o valor da nova informavalor da nova informaçção.ão.

�� A fA fóórmula para a probabilidade condicional:rmula para a probabilidade condicional:PP((B B | | AA) = ) = PP((AA ∩∩ BB)/)/PP((AA) ), sendo ) ), sendo PP((AA) > 0.) > 0.

Em palavras, significa qual Em palavras, significa qual éé a probabilidade condicional a probabilidade condicional de B, assumindo que acontece A.de B, assumindo que acontece A.


�� Podemos derivar a fPodemos derivar a fóórmula rmula

PP((AA ∩∩ BB) = ) = PP((AA)*)*PP((BB | | AA),),

Que Que éé chamada de regra de produchamada de regra de produçção.ão.

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Homem Mulher TotalCâncer de Prostata 600 0 600

No Câncer de Prostata 800 1000 1800

Total 1400 1000 2400

P(prost. câncer)= 600/2400= 0,25P(prost. câncer, homem)= 600/1400= 0,4286


�� AtravAtravéés da tabela precedente, a probabilidade de uma s da tabela precedente, a probabilidade de uma pessoa de qualquer um dos grupo ter câncer de pessoa de qualquer um dos grupo ter câncer de prpróóstatastata éé P (P (prospros. câncer) = 25%. Se escolhemos . câncer) = 25%. Se escolhemos ààpriori um homem a probabilidade priori um homem a probabilidade éé P (P (prospros. câncer | . câncer | homem) = 43%. homem) = 43%.

�� Exemplo: Exemplo: �� P (P (prospros. câncer | homem) . câncer | homem) >> P (P (prospros. câncer) . câncer)

30

Eventos IndependentesEventos Independentes

�� Dois eventos são independentes se Dois eventos são independentes se AA e e BB são tais que são tais que PP((BB | | AA) = ) = PP((BB). Isto significa que a probabilidade de B ). Isto significa que a probabilidade de B não muda pelo facto de acontecer A.não muda pelo facto de acontecer A.

Regra de Regra de BayesBayes

�� Dada as duas fDada as duas fóórmulas da regra do produto:rmulas da regra do produto:P(AP(A∩∩B) = P(A|B) P(B)B) = P(A|B) P(B)P(AP(A∩∩B) = P(B|A) P(A)B) = P(B|A) P(A)

�� Igualando e dividindo as equaIgualando e dividindo as equaçções por P(A), obtões por P(A), obtéémm--se:se:P(B|A) = P(A|B) P(B) / P(A)P(B|A) = P(A|B) P(B) / P(A)

�� Esta equaEsta equaçção ão éé conhecida como conhecida como Regra de Regra de BayesBayes (Lei (Lei de de BayesBayes ou Teorema de ou Teorema de BayesBayes) que representa a base ) que representa a base da maioria dos sistemas para inferência ou decisão da maioria dos sistemas para inferência ou decisão probabilprobabilíística.stica.

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Regra de Regra de BayesBayes (cont.)(cont.)

Um caso simples: diagnUm caso simples: diagnóóstico mstico méédicodico�� Suponha que a meningite causa, em 50% dos casos, Suponha que a meningite causa, em 50% dos casos,

torcicolo num paciente torcicolo num paciente -- P(T|M) = 0.5P(T|M) = 0.5�� Suponha que a probabilidade de um paciente ter Suponha que a probabilidade de um paciente ter

meningite meningite -- P(M) = 1/50.000P(M) = 1/50.000�� E a probabilidade de um paciente ter torcicolo E a probabilidade de um paciente ter torcicolo -- P(T) P(T)

= 1/20= 1/20�� Deseja saber P(M|T) ?Deseja saber P(M|T) ?

P(M|T) = P(T|M)P(M) = 0.5 x 1/50.000 = 0.0002P(M|T) = P(T|M)P(M) = 0.5 x 1/50.000 = 0.0002P(T) 1/20P(T) 1/20

ConclusãoConclusão

�� As probabilidades oferecem poderosas ferramentas na As probabilidades oferecem poderosas ferramentas na hora de tomar decisões.hora de tomar decisões.

�� PorPoréém carecem de algumas dificuldades prm carecem de algumas dificuldades prááticas, sendo ticas, sendo a principal o desconhecimento do espaa principal o desconhecimento do espaçço de resultados o de resultados e a probabilidade exacta de cada resultado.e a probabilidade exacta de cada resultado.

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Decisão sob Risco Decisão sob Risco -- UtilidadeUtilidade

Valor MonetValor Monetáário Esperadorio Esperado

�� Vamos assumir que podemos sempre medir o valor das Vamos assumir que podemos sempre medir o valor das consequências em termos monetconsequências em termos monetáários.rios.

Exemplo: Exemplo: vv((cc11) = ) = €€1010

�� Uma velha regra de decisão sob risco Uma velha regra de decisão sob risco éé escolher a escolher a alternativa que alternativa que maximizamaximiza o valor moneto valor monetáário esperado.rio esperado.

�� O O valor monetvalor monetáário esperado rio esperado EMVEMV((AAii) de uma alternativa ) de uma alternativa AAii éé a ma méédia ponderada.dia ponderada.

�� EMVEMV((AAii) = ) = PP((cc11))*v*v((cc11)+)+PP((cc22))*v*v((cc22) + ) + …… + + PP((ccnn))*v*v((ccnn) se ) se a alternativa a alternativa AAi i pode conduzir a pode conduzir a nn consequências consequências diferentes.diferentes.

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Valor MonetValor Monetáário Esperadorio Esperado

�� AAi i ≽≽ AAjj se e sse e sóó se se EMVEMV((AAii) ) ≥≥ EMVEMV((AAjj), isto ), isto éé AAi i

éé debilmente preferida debilmente preferida se o valor monetse o valor monetáário de rio de AAii éé pelo menos tão bom quanto ao do pelo menos tão bom quanto ao do AAjj

O problema da moeda como O problema da moeda como medidamedida

�� O paradoxo de São O paradoxo de São PetersburgoPetersburgo esta baseado no jogo esta baseado no jogo de São de São PetersburgoPetersburgo, onde uma moeda equilibrada , onde uma moeda equilibrada ééjogada atjogada atéé o resultado ser Cara. o resultado ser Cara.

�� Quando isto acontece na Quando isto acontece na nn--éésimasima jogada (isto jogada (isto éé, as n, as n--1 1 jogadas previas foram coroa) o jogador recebe 2jogadas previas foram coroa) o jogador recebe 2nn€€..

�� (Ex.: (Ex.: coco--coco--caca recebe 8 recebe 8 €€ ca=recebeca=recebe 1 euro)1 euro)

�� PerguntaPergunta: Quanto : Quanto éé que estque estáá disposto a pagar para ser disposto a pagar para ser admitido no jogo?admitido no jogo?

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Paradoxo de São PetesburgoParadoxo de São Petesburgo

�� A probabilidade de sair Coroa na primeira jogada A probabilidade de sair Coroa na primeira jogada éé ½½. .

�� Como as jogadas são independentes umas das outras, Como as jogadas são independentes umas das outras, a probabilidade de obter Coroa na segunda jogada a probabilidade de obter Coroa na segunda jogada éé½½**½½. Assim, a . Assim, a probabilidade de obter Coroaprobabilidade de obter Coroa nn--1 vezes 1 vezes e Cara no vez e Cara no vez n n éé ½½nn..

Paradoxo de São PetesburgoParadoxo de São Petesburgo

O valor monetO valor monetáário esperado para este jogo rio esperado para este jogo éé a soma a soma das probabilidades multiplicando pelo prdas probabilidades multiplicando pelo préémio para cada mio para cada resultado:resultado:

EU=p(CaEU=p(Ca))*v(Ca*v(Ca) + ) + p(CoCap(CoCa))*v(CoCa*v(CoCa) + ) + p(CoCoCap(CoCoCa))*v(CoCoCa*v(CoCoCa) + ) + …… ==(1/2)*2(1/2)*211 + (1/2)+ (1/2)2*2*2222* + (1/2)* + (1/2)3*3*2233 + ... =1+1+1+..., + ... =1+1+1+..., i.ei.e. . infinito.infinito.

Conclusão, vale a pena jogar apostando qualquer dinheiro.Conclusão, vale a pena jogar apostando qualquer dinheiro.

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SoluSoluçção do paradoxo de São ão do paradoxo de São PetersburgoPetersburgo

1738: O matem1738: O matemáático sutico suíçíço Daniel o Daniel BernoulliBernoulli (1700(1700--1782) 1782) resolveu o paradoxo, onde o resolveu o paradoxo, onde o valor monetvalor monetááriorio mostrou mostrou ser inapropriado como regra de decisão e foi introduzido ser inapropriado como regra de decisão e foi introduzido então o conceito de então o conceito de utilidadeutilidade..

FunFunçção de Utilidadeão de Utilidade

�� Em vez de relacionar cada consequência com um valor Em vez de relacionar cada consequência com um valor monetmonetáário, vamos relacionario, vamos relaciona--las com a las com a ““utilidadeutilidade””..

�� EUEU((AAii) = ) = PP((cc11))*u*u((cc11)+)+PP((cc22))*u*u((cc22) + ) + …… + + PP((ccnn))*u*u((ccnn) se a ) se a alternativa alternativa AAi i pode conduzir a pode conduzir a nn consequências consequências diferentes e diferentes e uu((cc)) éé a funa funçção de utilidade.ão de utilidade.

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Utilidade EsperadaUtilidade Esperada

�� AAi i ≽≽ AAjj se e sse e sóó se se EUEU((AAii) ) ≥≥ EUEU((AAjj), isto ), isto éé, , AAi i éédebilmente preferida debilmente preferida se a utilidade de Ase a utilidade de Aii éé pelo pelo menos tão boa quanto ao do menos tão boa quanto ao do AAjj ..

Resolvendo o paradoxo de São Resolvendo o paradoxo de São PetersburgoPetersburgo

BernoulliBernoulli deu uma fundeu uma funçção explicita para realizar este ão explicita para realizar este ccáálculo, que lculo, que éé dependente da fortuna inicial do jogador.dependente da fortuna inicial do jogador.

A funA funçção de ão de BernoulliBernoulli éé logarlogaríítmica tmica uu((xx)) == log(log(xx++cc), ), para cada para cada cc, , dependente da fortuna do jogador.dependente da fortuna do jogador.

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FunFunçção de utilidade de ão de utilidade de BernoulliBernoulli dependendo dos dependendo dos florinesflorines hhúúngaros (ngaros (€€ para nos)para nos)

x €

A soma ponderada logarítmica tem um valor finito,x ex ln(10001)* 2-1+ ln(10002)* 2-2+ ln(10003)* 2-3+...≈

3* 2-1+ 6* 2-2+ 9* 2-3+... ≈ 6.

u(x)

0

1

2

3

4

5

0,7

1,7

2,7

3,7

4,7

Linear

Logaritmic

Escala de ValoresEscala de Valores

�� As escalas ordinais representam somente as posiAs escalas ordinais representam somente as posiçções ões relativas dos resultados, isto relativas dos resultados, isto éé, explicitam quem , explicitam quem éé o o primeiro, o segundo , etc. no ranking, e mais nenhuma primeiro, o segundo , etc. no ranking, e mais nenhuma informainformaçção. ão.

�� Uma escala de valores ordinal Uma escala de valores ordinal éé suficiente se aplicamos suficiente se aplicamos MaximinMaximin e e MaximaxMaximax..

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Escala de ValoresEscala de Valores

�� PorPoréém, uma escala de valores ordinal não m, uma escala de valores ordinal não éé suficiente suficiente para aplicar para aplicar minimaxminimax--regretregret ou regras do tipo Utilidade ou regras do tipo Utilidade Esperada, jEsperada, jáá que que éé necessnecessáária mais informaria mais informaçção do que ão do que um simples ranking.um simples ranking.

Escala de valores ordinalEscala de valores ordinalAssumamos que você prefere maAssumamos que você prefere maçças a bananas, mas pêssegos muito mais que as as a bananas, mas pêssegos muito mais que as mamaçças. Utilizando uma escala de valores ordinal temos pêssegos >p as. Utilizando uma escala de valores ordinal temos pêssegos >p mamaçças >p as >p bananas. Utilizando um intervalo de valores, por exemplo, bananabananas. Utilizando um intervalo de valores, por exemplo, bananas = 0 , mas = 0 , maçças = 1 e as = 1 e pêssegos = 4:pêssegos = 4:

0 0 1 41 4utilidade: __utilidade: __..______________..____________________________________________.._______ maior preferência_______ maior preferência

Banana MaBanana Maçça Pêssegoa Pêssego

Esta outra escala tambEsta outra escala tambéém m éé posspossíível : bananas = 0 , mavel : bananas = 0 , maçças = 1 e pêssegos = 2:as = 1 e pêssegos = 2:

0 1 20 1 2utilidade : ___utilidade : ___..____________________________..____________________________.._____ maior preferência _____ maior preferência

Banana MaBanana Maçça Pêssegoa Pêssego

A ordem de preferência A ordem de preferência éé a mesma, o que significa que são transformaa mesma, o que significa que são transformaçções ordinais ões ordinais uma da outra, juma da outra, jáá que conservam a mesma ordem de preferência, isto que conservam a mesma ordem de preferência, isto éé pêssegos >p pêssegos >p mamaçças >p bananasas >p bananas

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Escala de valores ordinalEscala de valores ordinalPorPoréém, estas transformam, estas transformaçções podem afectar o resultado das nossas decisões sob ões podem afectar o resultado das nossas decisões sob risco:risco:

S1S1 S2 S2 S3S3A1A1 pêssego (4), p=1/4pêssego (4), p=1/4 mamaççã (1), p=1/4ã (1), p=1/4 banana (0), p=2/4banana (0), p=2/4A2A2 mamaççã (1), p=1/4ã (1), p=1/4 mamaççã (1), p=1/4ã (1), p=1/4 mamaççã (1), p=2/4ã (1), p=2/4

A1 serA1 seráá a escolhidaa escolhida, j, jáá que a utilidade esperada para A1 que a utilidade esperada para A1 éé 5/45/4, enquanto para A2 , enquanto para A2 éé4/44/4. Se mudamos o valor de pêssego de 4 para 2 obtemos:. Se mudamos o valor de pêssego de 4 para 2 obtemos:

S1S1 S2 S2 S3S3A1A1 pêssego (2) p=1/4pêssego (2) p=1/4 mamaççã (1) p=1/4ã (1) p=1/4 banana (0) p=2/4banana (0) p=2/4A2A2 mamaççã (1) p=1/4ã (1) p=1/4 mamaççã (1) p=1/4ã (1) p=1/4 mamaççã (1) p=2/4ã (1) p=2/4

A2 serA2 seráá a escolhidaa escolhida, j, jáá que a utilidade esperada para A1que a utilidade esperada para A1éé ((3/43/4) menor que a de A2, ) menor que a de A2, a qual continua a ser (a qual continua a ser (4/44/4).).

Ambos os intervalos são transformaAmbos os intervalos são transformaçções um do outro, mas a melhor escolha muda ões um do outro, mas a melhor escolha muda em ambos casos. em ambos casos. Conclusão:Conclusão: A escala de valores ordinal não pode ser utilizada em decisõesA escala de valores ordinal não pode ser utilizada em decisões sob sob risco.risco.

Escala de IntervalosEscala de Intervalos

�� As utilidades são definidas num intervalo de valores.As utilidades são definidas num intervalo de valores.�� Não existe um zero absoluto.Não existe um zero absoluto.�� Os cocientes de utilidade não tem muito significado.Os cocientes de utilidade não tem muito significado.

�� uu11 = 10, = 10, uu22 = 5 não significa que = 5 não significa que uu11 isis ””o dobro de bomo dobro de bom”” que que uu22..

�� Usar cocientes em diferenUsar cocientes em diferençças pode, por outro lado, ter as pode, por outro lado, ter sentido.sentido.�� Ex.: a diferenEx.: a diferençça entre a entre u(cu(c11) e ) e u(cu(c22)) éé o dobro da difereno dobro da diferençça entre a entre

u(cu(c22) e ) e u(cu(c33).).

�� ÉÉ comum definir a escala no intervalo [0,1] onde a pior comum definir a escala no intervalo [0,1] onde a pior consequência leva o numero 0 e a melhor o valor 1. consequência leva o numero 0 e a melhor o valor 1. �� A escolha da escala, porA escolha da escala, poréém, não tem importância, jm, não tem importância, jáá que, por que, por

exemplo as escalas [0,1] e [exemplo as escalas [0,1] e [--13,17] são igualmente boas.13,17] são igualmente boas.

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Teoria da UtilidadeTeoria da Utilidade

�� A regra de decisão de maximizar a utilidade esperada A regra de decisão de maximizar a utilidade esperada derivaderiva--se de um conjunto de sistemas axiomse de um conjunto de sistemas axiomááticos (ex. ticos (ex. VonVon NeumannNeumann--MorgensternMorgenstern’’s s andand SavageSavage’’ss).).

�� A regra A regra éé consistente com as suposiconsistente com as suposiçções que uma ões que uma decisão racional deveria obedecer.decisão racional deveria obedecer.

Teoria da Utilidade.Teoria da Utilidade.

Alguns princAlguns princíípios bpios báásicos:sicos:

X conjunto de resultadosX conjunto de resultados

�� AA ≽≽ BB ou ou BB ≽≽ AA para todo para todo AA, , BB∈∈ XX..�� AA ≽≽ BB e e BB ≽≽ CC, então , então AA ≽≽ CC para todo para todo AA, , BB ,,CC em em

XX..

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Criticas a Criticas a Teoria da UtilidadeTeoria da Utilidade

�� O princO princíípio de maximizar a utilidade esperada não pio de maximizar a utilidade esperada não ééassim tão superior aos outros para ser sempre assim tão superior aos outros para ser sempre escolhido.escolhido.

�� Uma objecUma objecçção famosa para o princão famosa para o princíípio pio éé o paradoxo de o paradoxo de AllaisAllais..

Paradoxo de Paradoxo de AllaisAllais

�� Problema 1Problema 1Alternativa A:Alternativa A:

Receber Receber €€2500 com probabilidade 0.332500 com probabilidade 0.33Receber Receber €€2400 com probabilidade 0.662400 com probabilidade 0.66Receber Receber €€0 com probabilidade 0.010 com probabilidade 0.01

Alternativa BAlternativa BReceber Receber €€24002400

�� Problema 2Problema 2Alternativa CAlternativa C

Receber Receber €€2500 com probabilidade 0.332500 com probabilidade 0.33Receber Receber €€0 com probabilidade 0.660 com probabilidade 0.66

Alternativa DAlternativa DReceber Receber €€2400 com probabilidade 0.342400 com probabilidade 0.34Receber Receber €€0 com probabilidade 0.660 com probabilidade 0.66

Qual Qual éé a sua escolha?a sua escolha?

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As pessoas tendem a escolher B e C.As pessoas tendem a escolher B e C.Fazendo u(Fazendo u(€€0) = 00) = 0

�� Analisando o problema 1Analisando o problema 1�� u(u(€€2400)> u(2400)> u(€€2500)*0.33 + u(2500)*0.33 + u(€€2400)*0.66 + 2400)*0.66 + u(u(€€oo) * 0.01) * 0.01�� Isto Isto éé u(u(€€2400)*0.34 > u(2400)*0.34 > u(€€2500)*0.33 2500)*0.33

�� Analisando o problema 2Analisando o problema 2�� u(u(€€2500)*0.33 + 2500)*0.33 + u(u(€€oo) * 0.67 > u() * 0.67 > u(€€2400)*0.34 + 2400)*0.34 + u(u(€€oo) * 0.66) * 0.66�� Isto Isto éé u(u(€€2500)*0.33 > u(2500)*0.33 > u(€€2400)*0.34 2400)*0.34


O que podemos concluir?O que podemos concluir?

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ResumoResumo

�� A tomada de decisão constitui uma acA tomada de decisão constitui uma acçção que requer ão que requer conhecimento tconhecimento téécnico, lcnico, lóógica, dados e informagica, dados e informaçção, ão, dispondisponííveis equacionando as alternativas possveis equacionando as alternativas possííveis.veis.

�� A Teoria da Decisão trata da tomada de decisões A Teoria da Decisão trata da tomada de decisões racionais e consistentes em situaracionais e consistentes em situaçções de incerteza, ões de incerteza, fornecendo um conjunto de conceitos e tfornecendo um conjunto de conceitos e téécnicas para cnicas para apoio do decisor.apoio do decisor.

LeiturasLeituras

LIVROSLIVROS

�� MichaelMichael ResnikResnik: : ChoicesChoices: : AnAn introductionintroductionto to DecisionDecision TheoryTheory. . CapCap 11--44

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Hasta la vista,

Baby

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