III - Determine as funções x(t) e y(t) que satisfazem o...
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Resolução de Equações Diferenciais
versão 0.6 - 22 de Abril de 2000
A presente versão é a segunda versão provisória destes apontamentos. Os cálculos
foram revistos e agora não há erros de calculo importantes. Foi adicionada matéria à
versão anterior. Vão ser lançadas novas versões no futuro, com correcções e com
matéria adicional. Entretanto qualquer dúvida ou correcção deve ser enviada para
[email protected]. Também pode colocar dúvidas sobre equações
diferenciais ou qualquer outra matéria no forum:
http://www.explicacoes.com/forum.htm
Indice
1. Conceitos Básicos......................................................................................................32 Equações Diferenciais de 1ª ordem...........................................................................5
2.1 separação de variáveis...........................................................................................5
2.2 Equações do tipo .....................................................................7
2.3 Equações Homogéneas..........................................................................................82.4 Equações lineares de primeira ordem..................................................................10
3 Equações lineares de segunda ordem......................................................................133.1 Homogéneas de Coeficientes Constantes............................................................13
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1. Conceitos Básicos
Ao longo destes apontamentos trabalha-se sempre com a função y(x). As derivadas de y
representam-se por:
y' - primeira derivada
y'' - segunda derivada
y'''- terceira derivada
yiv - quarta derivada
yv - quinta derivada
yn - derivada de ordem n
Exemplo:
y(x)= x4
y'=4x3
y''=12x2
Variável dependente: a variável que representa a função, no nosso caso y
Variável independente: a variável da qual depende a função, no nosso caso x
Equação diferencial: equação em que a incógnita é uma função (y) e em que essa
função aparece na equação sob a forma de pelo menos uma das suas derivadas. A
função propriamente e a variável independente (x) podem ou não aparecer na equação.
exemplo 1 -
esta é uma equação diferencial porque aparece a segunda derivada de y, que é a função.
exemplo 2 -
Esta é uma equação diferencial em que aparece a variável independente (x), a variável
dependente (ou função) e a segunda derivada da função.
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Ordem de uma equação diferencial: a ordem de uma equação de uma equação
diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que contém.
Exemplo: A derivada de maior ordem desta equação é y'', que é de
segunda ordem, logo a equação também é de segunda ordem.
Equações diferenciais não lineares: Uma equação diferencial diz-se não linear
quando se verifica pelo menos uma das seguintes condições:
i) y aparece sob a forma de uma potência ou de uma raiz
exemplo1: - não linear por causa de
exemplo2: - não linear por causa de
ii) y aparece multiplicado por uma das suas derivadas
exemplo: - não linear por causa de
iii) duas derivadas de y aparecem multiplicadas um apela outra
exemplo: - não linear por causa de
Equação diferencial linear: equação diferencial em que não se verifica nenhuma das 3
condições anteriores.
exemplo: - não linear por causa de
Coeficientes: são os termos que, nas equações lineares, aparecem a multiplicar pela
função ou pelas suas derivadas.
exemplo: Neste caso há dois coeficientes: 1 que multiplica por y'' e x que
multiplica por y
Coeficientes variáveis: quando os coeficientes são função de x
Coeficientes constantes: quando os coeficientes não dependem de x
exemplo: 3 é um coeficiente constante e (x+2) é um coeficiente
variável.
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2 Equações Diferenciais de 1ª ordem
2.1 separação de variáveis
As equações do tipo y'=f(x,y) pode ser escrita da forma:
dy e dx podem ser manipulados com base nas regras da álgebra. Assim:
exemplo:
y'=xy -x
Uma equação de variáveis separáveis é uma equação que pode ser escrita sob a forma:
Este tipo de equações resolve-se integrando os dois lados da equação:
Exemplo 1:
é uma equação de variáveis separáveis
Por integração dos dois lados:
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Esta é a solução da equação diferencial.
Exemplo 2:
Esta equação ainda não tem as variáveis separadas. Para as separar coloca-se dx de um
lado e dy de outro:
Em seguida tenta-se colocar todas as funções de x do lado de dx e todas as funções de y
do lado de dy:
integrando:
EMBED Equation.3 cyx 21ln21ln
esta é a solução da equação.
Exemplo 3:
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2.2 Equações do tipo
Neste caso não é possível separar as variáveis
Exemplo:
Não é possível separar o x do y.
Neste caso usa-se uma mudança de variável:
, substituindo y por z. É necessário determinar em função de
Exemplo:
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2.3 Equações Homogéneas
Noção de função homogénea: uma função f(x,y) diz-se homogénea se f(kx,ky)=knf(x,y)
Exemplo 1: f(x,y)=x2+y2 é homogénea de grau dois porque:
f(kx,ky)=(kx)2+(ky)2=k2(x2+y2)= k2f(x,y)
Exemplo 2: f(x,y)=x2+y não é homogénea porque:
f(kx,ky)=(kx)2+(ky) não sendo possível a partir daqui obter uma relação do tipo
f(kx,ky)=knf(x,y)
Exemplo 3: f(x,y)=4 é homogénea de grau 0 porque:
: f(kx,ky) = 4 = k0f(x,y)
Equações (diferenciais) Homogéneas: equação que pode ser representada na forma
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em que f(x,y) é uma função homogénea de grau zero.
Exemplo 1: é uma equação homogénea porque f(x,y) é uma função
homogénea de grau zero. De facto:
Exemplo 2: não é uma equação homogénea porque, apesar de
f(x,y) ser uma função homogénea de grau 0 porque nem sequer é uma equação diferencial de ordem um.
Uma equação homogénea pode ser sempre escrita na forma:
Exemplo:
Por divisão de ambos os termos da fracção por x2 obtém-se:
Resolução de uma equação homogénea: uma equação homogénea resolve-se com base
na mudança de variável , substituindo-se a função u pela função y. Para isso
determina-se . Como , . A equação transforma-se na
equação seguinte: . A partir daqui a resolução depende da função
f(x,y) pelo que se ilustra o método com exemplos.
Exemplo 1:
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Exemplo 2:
2.4 Equações lineares de primeira ordem
A equação do tipo:
é uma equação de primeira ordem porque a derivada de maior ordem que aparece na
equação é y' (que tem ordem 1)
é uma equação linear porque y não aparece a multiplicar por y'
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exemplo:
É uma equação linear de primeira ordem em que p(x)=cos(x) e q(x)=sen(x).
quando q(x) é zero diz-se que a equação é homogénea.
Solução de uma equação linear de primeira ordem homogénea.
Exemplo:
Solução de uma equação linear de primeira ordem não homogénea.
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Exemplo:
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3 Equações lineares de segunda ordem
A equação do tipo em que f, g e h são funções apenas de x
diz-se que é uma equação de segunda ordem porque a derivada de maior ordem (y'') tem
ordem 2 ; diz-se que é linear porque y não multiplica por nenhuma das suas derivadas e
nem as derivadas de y não multiplicam entre si.
3.1 Homogéneas de Coeficientes ConstantesSe h(x) for igual a zero então:
e neste caso a equação diz-se homogénea. Às funções f e g chama-se coeficientes da
equação diferencial. Se f e g forem independentes de x, por exemplo f(x)=b e g(x)=c
então:
Neste caso diz-se que a equação é uma equação de coeficientes constantes.
Método de Resolução:
A esta diferencial corresponde a equação algébrica característica
. Para resolver a equação diferencial deve seguir-se os seguintes passos:
- determinação das raizes da equação característica
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- solução da equação
A solução da equação depende do tipo de soluções obtidas. Há quatro tipo de soluções
possíveis.
Tipo 1 - e são números reais diferentes entre si
exemplo:
Tipo 2 - e são números reais e = =
exemplo:
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Tipo 3 - =0 e real (caso especial do tipo 1)
exemplo:
Tipo 4 - e não são números reais, ou seja
Neste caso a solução da equação característica toma a forma seguinte:
exemplo:
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