IMPLEMENTAÇÃO DE UM MODELO EM ELEMENTOS...
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IMPLEMENTAÇÃO DE UM MODELO EM ELEMENTOS FINITOS PARA A AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO GEOMECÂNICO NA ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO Flávio Emmanuel de Souza Teixeira Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Orientador: José Luis Drummond Alves Rio de Janeiro Março de 2011
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IMPLEMENTAÇÃO DE UM MODELO EM ELEMENTOS FINITOS PARA A
AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO GEOMECÂNICO NA ESTABILIDADE DE
POÇOS DE PETRÓLEO
Flávio Emmanuel de Souza Teixeira
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do título de Mestre em Engenharia
Civil.
Orientador: José Luis Drummond Alves
Rio de Janeiro
Março de 2011
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Teixeira, Flávio Emmanuel de Souza
Implementação de um Modelo em Elementos Finitos
para a Avaliação do Comportamento Geomecânico na
Estabilidade de Poços de Petróleo/ Flávio Emmanuel de
Souza Teixeira. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.
XI, 120 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: José Luis Drummond Alves
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa
de Engenharia Civil, 2011.
Referencias Bibliográficas: p. 114-120.
1. Elementos Finitos. 2. Lagrangeana Total. 3.
Estabilidade de Poço. I. Alves, Jose Luis Drummond. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,
Programa de Engenharia Civil. III. Titulo.
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“Do or Do Not, there is no try”.
Master Yoda
Aos meus pais,
Jorge Luiz de Souza Teixeira e Maura Magda Teixeira
v
Agradecimentos
Agradeço, primeiramente, ao Grande Arquiteto do Universo, por me dar o
privilégio e a oportunidade de aprendizado aqui no plano terrestre.
Agradeço, com muito amor, aos meus pais, por não terem medido esforços
para a realização de mais essa conquista e sempre estarem do meu lado não importa
a circunstância. Amo vocês!
Agradeço aos meus irmãos, por estarem sempre ao meu lado tanto nos
momentos bons quanto nos momentos ruins.
Agradeço e ofereço principalmente esse trabalho à memória do meu grande
amigo Maico, o Sgt. Pincel, que por vários anos nos deu o privilégio de dar boas
gargalhadas com sua presença e suas brincadeiras.
Agradeço aos Prof.: José Alves pela confiança investida em mim no trabalho.
Aos amigos do LAMCE, principalmente Zé Ricardo, e amigos da Promec, em
especial Gazoni e Nestor. Pessoas que me ajudaram muito na caminhada com quem
tive o privilégio de trabalhar e aprender.
À equipe de corrida "Tartarugas do Asfalto", por proporcionar momentos de
saúde e bem estar com grandes amigos.
Ao Edu, pelas dicas em Engenharia de Petróleo e "brejas" nos fins de semana.
Agradeço todo pessoal do Barramed, em especial à Rogéria, Elaine e Flávio,
por me ajudarem a renovar minha fé e nunca desistir.
À Bruninha por sempre ter uma palavra de motivação e pela ajuda nos
momentos difíceis.
A família Castro Alves, em especial à Mamuska, pela acolhida aqui no Rio de
Janeiro.
vi
À Renata pelo aprendizado.
À Cínthia pelo carinho e apoio.
Aos amigos da Escola de Minas aqui no Rio, principalmente ao Neném e
Fiotte.
Aos meus eternos amigos da república Verdes Mares em Ouro Preto, lugar que
eu posso contar pra sempre.
Ao Rodrigo e ao Heric por oferecerem a estrutura necessária para que eu me
estabelecesse no Rio de Janeiro no começo dessa investida.
Agradeço à ANP que pelo PRH-02 concedeu o subsídio necessário para que o
trabalho fosse realizado.
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Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
IMPLEMENTAÇÃO DE UM MODELO EM ELEMENTOS FINITOS PARA A
AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO GEOMECÂNICO NA ESTABILIDADE DE
POÇOS DE PETRÓLEO
Flávio Emmanuel de Souza Teixeira
Março/2011
Orientador: José Luis Drummond Alves
Programa: Engenharia Civil
Este trabalho tem como objetivo contribuir na análise de estabilidade de poços
de petróleo localizados em formações carbonáticas. As rochas constituintes dessa
formação estão sujeitas a pressões de confinamento, o que pode resultar na
ocorrência de fenômenos como compressão e colapso de poros. Esses tipos de
fenômenos justificam os esforços no sentido de oferecer uma modelagem mais precisa
do comportamento da rocha. O modelo de elementos finitos considerado inclui, além
da não linearidade física do material, a não linearidade geométrica, representada pela
cinemática de deslocamentos finitos, utilizando uma formulação lagrangeana total. Em
outras palavras, o código é capaz de oferecer uma resposta não linear de
deslocamentos dependendo das condições de contorno aplicadas.
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Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
IMPLEMENTATION OF A FINITE ELEMENT MODEL TO EVALUATE THE
GEOMECHANIC BEHAVIOR IN WELLBORE STABILITY
Flávio Emmanuel de Souza Teixeira
March/2011
Advisor: José Luis Drummond Alves
Department: Civil Engineering
This work aims to contribute to the stability analysis of oil wells located in
carbonate formations. The constituents of this rock formation are subject to confining
pressures, which can result in the occurrence of phenomena such as compression and
pore collapse. These kinds of phenomena justify the efforts to provide a more accurate
modeling of the behavior of rock. The finite element model considered includes,
besides the plasticity of material, the geometric nonlinearity, represented by the
kinematics of finite displacements, using a Total Lagrangian formulation. In other
words, the code implemented is able to offer a non-linear response of displacement
depending on the boundary conditions applied.
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Índice
CAPÍTULO 1 .................................................................................................................... 1
Introdução ..................................................................................................................................... 1
1.1. Motivação ....................................................................................................................... 1
1.2. Objetivo .......................................................................................................................... 4
1.3. Revisão Bibliográfica: ..................................................................................................... 5
1.4. Organização do Texto: ................................................................................................. 11
CAPÍTULO 2 .................................................................................................................. 12
A Perfuração de Poços de Petróleo .......................................................................................... 12
2.1. Introdução .................................................................................................................... 12
2.2. Histórico da atividade de perfuração de poços............................................................. 13
2.3. Princípios básicos ........................................................................................................ 14
2.4. Estabilidade estrutural do poço .................................................................................... 17
2.4.1. O estado de tensões inicial..................................................................................... 19
2.4.2. Tensão Efetiva ........................................................................................................ 20
2.4.3. Modos de falha e colapso ....................................................................................... 21
2.4.4. O fluido de perfuração ............................................................................................ 23
2.4.5. A janela operacional de perfuração ........................................................................ 24
2.5. Principais problemas associados à perfuração ............................................................ 26
2.6. O projeto de poços direcionais ..................................................................................... 38
2.6.1. Aspectos da perfuração direcional ......................................................................... 39
CAPÍTULO 3 .................................................................................................................. 43
Fundamentos da Mecânica do Contínuo .................................................................................. 43
3.1. Introdução .................................................................................................................... 43
3.2. Cinemática dos corpos deformáveis ............................................................................ 44
x
3.2.1. Medidas de Deformação......................................................................................... 45
3.3. Equilíbrio ...................................................................................................................... 47
3.3.1. Medidas de Tensão ................................................................................................ 48
3.3.2. Equações de Equilíbrio para a formulação Lagrangeana Total ............................. 50
3.4. Elementos da Teoria de Plasticidade ........................................................................... 53
3.4.1. Introdução ............................................................................................................... 53
3.4.2. Princípios Básicos .................................................................................................. 55
3.4.3. Endurecimento ....................................................................................................... 57
3.4.4. Critério de Escoamento de Mohr-Coulomb............................................................. 59
3.4.5. Cap - Model ............................................................................................................ 63
CAPÍTULO 4 .................................................................................................................. 68
Aproximação por Elementos Finitos ........................................................................................ 68
4.1. Introdução .................................................................................................................... 68
4.2. Contextualização .......................................................................................................... 69
4.2.1. Aproximação por elementos finitos ......................................................................... 70
4.3. Método de Solução ...................................................................................................... 76
4.3.1. Processo Incremental Iterativo ............................................................................... 76
4.4. O programa PoroNL ..................................................................................................... 79
4.4.1. Características do programa PoroNL ..................................................................... 79
4.4.2. Metodologia utilizada pelo programa PoroNL ......................................................... 79
CAPÍTULO 5 .................................................................................................................. 82
Experimentos Numéricos .......................................................................................................... 82
5.1. Introdução .................................................................................................................... 82
5.2. Verificação do Modelo .................................................................................................. 83
5.2.1. Viga em Balanço .................................................................................................... 83
5.3. Estabilidade de Poços .................................................................................................. 87
5.3.1. Modelo de um poço vertical perfurado em um maciço ........................................... 87
5.3.2. Modelo que apresenta dois poços verticais perfurados em um maciço ................ 97
5.3.3. Modelo que representa a seção direcional de um poço ....................................... 104
xi
CAPÍTULO 6 ................................................................................................................ 110
Conclusões e Recomendações ............................................................................................... 110
6.1. Resumo ...................................................................................................................... 110
6.2. Conclusões................................................................................................................. 111
6.3. Trabalhos Futuros ...................................................................................................... 112
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Capítulo 1
Introdução
O cenário atual é favorável. Após uma crise que afetou o mundo todo em
proporções diferentes, o Brasil sai como um vitorioso, e entra agora em uma nova fase
de crescimento, que pode ser percebido em vários setores, entre eles, o energético,
principalmente no que se diz respeito a óleo e gás.
1.1. Motivação
O crescimento do país foi impulsionado por vários fatores e pode-se destacar
um em particular: a descoberta de jazidas com estimativas gigantescas de óleo e gás
natural em uma região que foi denominada “pré-sal”.
A região do pré-sal ainda está em fase de avaliação, mas alguns números já
foram divulgados. A reserva é composta por vários blocos onde os principais até agora
são Tupi, Carioca e Júpiter.
O presidente da Agência Nacional do Petróleo (ANP), Haroldo Lima, declarou
em um discurso durante o Rio Oil & Gas 2010 que o Brasil tem quatro grandes
desafios no setor de petróleo, gás natural e biocombustíveis. Dentre os quatro, o
diretor ressalta os desafios do pré-sal. Segundo Haroldo, a intenção do governo é
2
transformar o Brasil num grande exportador de derivados de petróleo, como óleo
diesel e gasolina.
Algumas notas divulgadas à imprensa no ano de 2010 pela mesma agência,
informam sobre reservatórios onde já estão sendo feitas perfurações e testes. Um
deles, denominado Franco, tem estimativa de apresentar volumes recuperáveis da
ordem de 4,5 bilhões de barris de petróleo. Outro reservatório, denominado Libra, tem
estimativa mais provável de conter 7,9 bilhões de barris de óleo recuperável.
A agência ainda informa em uma de suas notas que a produção de gás no
Brasil bateu recorde em setembro de 2010, com 63,9 milhos de metros cúbicos / dia.
Segundo Barros (2007), a oferta mundial de energia primária distribuída por
fonte energética tem o petróleo em primeiro lugar, com 34,3% de participação. Ainda,
o consumo distribuído pelas fontes de energia primária apresenta petróleo e derivados
com a maior fatia: 42.3%. Finalizando, o petróleo deverá permanecer como principal
fonte de energia mundial até que haja restrição da oferta.
Tendo em vista que o Brasil recentemente descobriu campos gigantes de
petróleo e esse tipo de energia ocupa primeiro lugar na demanda mundial, justificam-
se os investimentos no sentido de explorar os recursos localizados na camada pré-sal.
O pré-sal tem essa denominação por se tratar de uma camada de rochas que
foi depositada antes da camada de sal. Essa camada de reservatório está localizada
a cerca de 7000 metros de profundidade, e é recoberta por uma camada de sal,
seguido por uma camada denominada pós-sal, além da lâmina d´água.
O tipo de rocha que compõe o reservatório pré-sal é a carbonática. Esse tipo
de rocha pode apresentar composições altamente heterogêneas, devido à sua história
de formação, estando sujeita a problemas como desmoronamento, poro colapso,
dentre outros. Além de o reservatório apresentar particularidades quanto ao seu
3
comportamento estrutural, é importante destacar que ele se encontra abaixo da
camada de sal.
Entre pontos favoráveis e desfavoráveis do sal, destaca-se, principalmente, o
fato de, por ser uma camada muito espessa, formou-se uma trapa muito eficiente,
fazendo com que o óleo fique aprisionado no reservatório pré-sal. Em contrapartida, o
sal pode apresentar um comportamento estrutural instável, o que resulta no aumento
dos riscos na perfuração.
Aliado ao risco de se perfurar no pré-sal, os custos das sondas são muito
elevados. Essa é uma das principais justificativas da utilização de poços com
geometria complexa. Dessa maneira, pode-se ter vários poços perfurados em várias
direções, partindo de uma única posição da sonda. A Figura 1.1 apresenta esse tipo
de perfuração.
Figura 1.1 – Poço multi-lateral
Fonte: Guevara (2006)
Perfurar em ambientes instáveis como o sal, heterogêneos como as formações
carbonáticas, e em direções não convencionais, requer um grande investimento em
4
tecnologia. Antigamente, os cálculos para se fazer uma perfuração desse tipo
demandavam tempo e os modelos eram mais simples. Nos dias de hoje, com o
avanço computacional, é possível gerar modelos mais complexos, buscando sempre o
máximo grau de semelhança com a realidade.
A partir da década de 50, um método muito particular começou a ser
desenvolvido para o cálculo de problemas estruturais. Com o passar do tempo, esse
método foi sendo aprimorado, e hoje resolve, além de problemas estruturais,
problemas relacionados a fluidos, fluxo de calor, etc. Esse método é chamado de
Método dos Elementos Finitos.
Através desse método, é possível realizar uma simulação computacional e
consiste basicamente em dividir o seu domínio em várias partes menores
denominadas elementos. O conjunto desses elementos forma uma malha e cada
elemento pode ter geometria e número de nós diferentes. Um sistema massa-mola
pode ser a interpretação física mais simples de uma situação a ser estudada por esse
método. No entanto, para uma aproximação mais condizente com a realidade,
modelos mais complexos devem ser desenvolvidos.
1.2. Objetivo
Este trabalho tem como objetivo implementar o efeito de grandes
deslocamentos, também conhecido como efeito não-linear geométrico, em um código
de elementos finitos que simula o comportamento de rochas na estabilidade estrutural
de poços de petróleo. Pretende-se, dessa maneira, avançar mais um passo no desafio
de simular materiais heterogêneos como rochas carbonáticas, ou que apresentem
fluência, como o sal.
5
1.3. Revisão Bibliográfica:
Temas como comportamento geomecânico de rochas e perfuração de poços
de petróleo possuem uma bibliografia vasta. No entanto, o presente trabalho tem como
primeira referência o estudo desenvolvido por Costa (1984), onde o autor aplica
elementos finitos no projeto e análise de escavações destinadas á mineração
subterrânea. Em seu trabalho, o autor tem como principal incentivo a oportunidade de
comparar resultados de simulação com os obtidos por medição de campo, além da
aplicação prática desses resultados no controle de estabilidade e dimensionamento de
estruturas. Ainda, o autor em suas conclusões afirma que a associação de métodos
numéricos à instrumentação de campo revela-se como uma ferramenta de elevado
valor para a melhor compreensão acerca do comportamento de estruturas.
Seguindo essa linha de pesquisa, Polillo (1987) apresenta um procedimento
para a análise da estabilidade das paredes e fraturamento hidráulico de poços de
petróleo que atravessem a formação produtora transversal ou longitudinalmente. Para
tal, o autor utiliza um programa de computador baseado no método dos elementos
finitos para análise elasto-plástica de escavações subterrâneas. A formulação engloba
análise linear e não linear física associada a leis constitutivas elasto-plásticas. O autor
apresenta vários exemplos comparativos, um estudo paramétrico em poços verticais e
um exemplo de aplicação em poço horizontal. Por fim, o autor afirma que o método
dos elementos finitos pode ser utilizado para estimar tensões em sub-superfície,
prever pressão de quebra em um fraturamento e dimensionar fluidos de perfuração, e
recomenda como prosseguimento de sua pesquisa a implementação de elementos
tridimensionais de modo que se possa efetuar um estudo em poços inclinados em
relação às camadas do reservatório.
6
Coelho (2001) apresenta uma revisão dos modelos de ruptura mais utilizados
nos materiais geomecânicos encontrados em reservatórios de petróleo. Além disso,
implementa um modelo elastoplástico capaz de simular o fenômeno de colapso de
poros observado em rochas porosas e inconsolidadas, freqüentemente encontradas
em reservatórios de águas profundas. Ao final de seu trabalho, a autora conclui que
modelos convencionais de ruptura por cisalhamento não são capazes de representar a
ocorrência de colapso por compressão, o que pode comprometer o projeto e a
perfuração de poços em formações com comportamento dúctil submetidas a altas
tensões de confinamento.
Tisser (2004) apresenta uma implementação de um modelo constitutivo que
visa modelar o fenômeno de poro colapso em rochas porosas e inconsolidadas. O
modelo, tipo cap, consiste em um cone que representa a superfície de ruptura por
cisalhamento, cuja forma no plano desviatório é definida pelo modelo de Mohr-
Coulomb, associado a uma curva suave e continua à superfície de ruptura que define
a ruptura por poro-colapso. Ao final, o autor conclui que o algoritmo desenvolvido se
mostrou eficiente na avaliação do estado de tensões em poços.
Guevara (2006) apresenta em seu trabalho aspectos importantes da
implementação computacional de um modelo constitutivo elastoplástico capaz de
tratar o problema de colapso de poros em meios porosos. Para tal, utiliza uma
superfície de escoamento com fechamento cap que limita a evolução da pressão
hidrostática. O modelo implementado pelo autor considera a não linearidade física do
material e um regime de deslocamentos e deformações infinitesimais. Por fim, o autor
conclui que a formulação tridimensional possibilita a solução de uma gama maior de
problemas da mecânica computacional e um melhor entendimento dos resultados
através da visualização 3D.
7
Ahmed (2009) apresenta um estudo que avalia o risco de estabilidade do poço
durante a perfuração, pesos de lama recomendáveis na perfuração de poços
horizontais e sugere azimutes preferenciais de perfuração, os quais apresentam
resultados melhores de estabilidade de poço. Para tal, o autor utiliza elementos finitos
3D para analisar a sensibilidade da estabilidade do poço associadas a variações no
peso de lama. Por fim, é recomendado um peso de lama que minimiza o problema de
estabilidade para poços horizontais. Além disso, o autor conclui que para o estado de
tensões in-situ considerado no modelo, os poços horizontais perfurados paralelamente
à mínima tensão horizontal in-situ são mais estáveis durante a perfuração e produção
do que os poços perfurados na direção da máxima tensão horizontal in-situ.
Villarroel et. al. (2004) apresenta um estudo paramétrico para identificar a
influência da orientação do eixo do poço em relação às tensões in-situ. Através de um
simulador computacional, a autora realiza várias análises e, por último, apresenta as
diversas janelas de estabilidade obtidas. Por fim, a autora conclui que a simples
orientação do eixo do poço em relação às tensões in situ modifica os resultados,
principalmente em relação aos colapsos.
Silva et. al. (2001) apresenta um estudo que correlaciona o estado de tensões
in situ em um campo de petróleo com a estabilidade do poço. Para tal, utiliza como
parâmetros para determinação de tensões in-situ informações de breakout, valores de
peso de lama, dados de poro pressão e testes de leak-off, propriedades mecânicas
das rochas e direção dos poços. O autor conclui que a anisiotropia das tensões
horizontais pode ser crucial para o projeto de poços direcionais.
Gil et. al. (2002) propõe um modelo tridimensional baseado no método dos
elementos finitos, que considera comportamento elástico e elasto-plástico de
materiais. O modelo representa poços perfurados em reservatórios rasos, médios e
profundos. São apresentadas diferentes análises, com resultados de campos de
8
tensão diferentes para materiais diferentes. Dentre as conclusões do autor, as
principais são que a inclinação do poço é um parâmetro relevante em sua estabilidade
e em grandes profundidades, o caráter da análise (elástica ou elasto-plástica) exerce
influência na concentração de tensões.
Muller (2009) tem como objetivo em seu trabalho avaliar os limites da janela de
operação associados com a probabilidade de falha, levando em consideração a
variabilidade de propriedades hidráulicas e mecânicas, e a simples variabilidade de
tensões in-situ e poro pressões iniciais. A análise é realizada em um programa de
elementos finitos que contempla o efeito de acoplamento fluido mecânico e
comportamento elasto-plástico da rocha. O modelo numérico é constituído de
elementos isoparamétricos de 4 nós, e contém 4800 elementos e 4960 nós. O autor
conclui que a análise estocástica fornece uma janela operacional mais estreita quando
comparada à determinística, além de apresentar risco de falha menor.
Muller (2008) apresenta também um trabalho onde propõe um procedimento de
análise numérica fluido mecânica acoplada, utilizando elementos finitos, para
determinação automática dos limites inferior e superior de pressões nas paredes dos
poços de petróleo, que garantam, segundo hipóteses e critérios de falha pré-
estabelecidos, a estabilidade dos mesmos.
Yamamoto et. al. (2006) propõe um método numérico que pode ser usado para
a otimização de peso de lama e estabelecimento do projeto de perfuração. Para tal,
utiliza um modelo tridimensional poroelástico e verifica que o problema de estabilidade
é agravado à medida que a inclinação do poço aumenta.
Morita (2004) apresenta um estudo de estabilidade baseado na orientação do
poço. O autor explicita que antes do colapso do poço, há aparecimento de efeitos não
lineares na rocha; quanto menor o valor de concentração de tensões em uma certa
região, menos suscetível a falha ela é e; o poço atinge estabilidade após vários
9
breakouts induzidos. Por fim, conclui que a orientação do poço não afeta a
estabilidade significativamente quando a direção do mesmo varia entre a direção da
menor e da intermediária tensão in-situ.
Fung et. al. (1999) analisa cenários de perfuração horizontal em formações
inconsolidadas através de um modelo elasto-plástico baseado em elementos finitos. O
código é capaz de considerar tensões de confinamento extremamente baixas em
formações inconsolidadas. O critério de escoamento utilizado é o de Ducker-Prager.
Gonçalves et. al. (1996) apresenta uma análise de estabilidade em calcários na
Bacia de Santos objetivando identificar a causa de alargamento nos poços perfurados.
Para tal, utiliza um modelo elasto-plástico baseado em elementos finitos e um critério
de escoamento de Mohr-Coulomb sem o cap de fechamento. O autor realiza análise
utilizando elementos finitos isoparamétricos de 8 nós e conclui que o alargamento do
poço ocorre em virtude da falha por cisalhamento.
Mohiuddin et. al. (2009) apresenta um estudo que tem como objetivo identificar
as causas de instabilidade encontradas em um campo offshore localizado na Arábia
Saudita. Trata-se de um reservatório composto por arenitos com argila intercalada a
uma profundidade de 6000 pés. O programa computacional utilizado para a análise
considera comportamento elástico linear da rocha e critério de falha de Mohr Coulomb.
O modelo prevê os limites inferior e superior de peso de lama que evitam a falha por
compressão e tensão, respectivamente. Ainda, o autor apresenta uma aproximação
que combina análises estatísticas e modelos constitutivos para identificar as causas de
instabilidade e prever os limites de segurança de peso de lama.
Ferreira et. al. (1997) propõe uma análise integrada de estabilidade de poço
através de aquisição de dados e simulação computacional. Dados de campo e
laboratório são utilizados para determinação de tensões in-situ e propriedades de
10
rocha. O simulador é baseado em elementos finitos e considera em suas análises o
estado plano de deformação.
O presente trabalho propõe-se a dar continuidade ao trabalho de Guevara
(2006) com a implementação de uma formulação que considere deslocamentos finitos
na estrutura a ser analisada. Acredita-se que com esse avanço no código
computacional, estruturas com comportamento particular como carbonatos e sal
poderão ser melhor analisadas através de métodos numéricos.
Dentre a bibliografia utilizada para a implementação do modelo, destacam-se
os autores Zienckwicz (2006) e Bathe (2006), principalmente no que se diz respeito à
base matemática para a implementação da formulação lagrangeana total. Crisfield
(1997) também contribui significativamente nesse aspecto, quando afirma que a
formulação lagrangeana total é válida mesmo com uma relação constitutiva elástica
linear.
Taylor (2000) apresenta uma formulação mista de deformação para o
tratamento de problemas não lineares.
Palazotto (1995) em seu trabalho apresenta verificações numéricas para um
modelo de viga que considera deslocamentos finitos. No entanto, a base para a
verificação do modelo implementado é dada por Bathe (1978), onde a formulação
lagrangeana total é implementada em um modelo tridimensional em elementos de
viga. O autor apresenta a formulação matemática do modelo e ressalta a importância
de se utilizar elementos tridimensionais para a análise de não linearidades em
estruturas.
11
1.4. Organização do Texto:
Após este capítulo de introdução, serão descritas os principais problemas
relacionados à perfuração de poços, o problema do furo, bem como alguns aspectos
básicos de estabilidade de poço e perfuração direcional.
No capítulo três são apresentados os fundamentos da mecânica do contínuo
para a formulação lagrangeana total, além de princípios básicos de plasticidade.
Também são apresentados alguns critérios de ruptura, com destaque para o do Mohr
Coloumb, utilizado no presente trabalho. Por fim, é apresentado o cap utilizado na
superfície de escoamento para o tratamento de poro colapso.
No capítulo quatro, onde se insere o maior esforço do trabalho, é apresentada
a aproximação por elementos finitos implementada, bem como o método de solução
utilizado e o programa PoroNL.
No capítulo cinco são descritos alguns exemplos com o objetivo de validar a
implementação desenvolvida e observar se há ocorrência do efeito não linear
geométrico na estabilidade de poços de petróleo.
Finalmente, no capítulo seis, são apresentadas as conclusões e as
recomendações para trabalhos futuros relacionadas ao tema abordado neste trabalho
12
Capítulo 2
A Perfuração de Poços de
Petróleo
2.1. Introdução
Neste Capítulo serão apresentados os principais aspectos da perfuração de
poços. Primeiramente é apresentado um breve histórico e são descritos de forma
sucinta os princípios básicos da perfuração. Logo após, são abordados alguns tópicos
relacionados à estabilidade estrutural do poço, como o estado de tensão inicial,
conceito de tensão efetiva, modos de falha e colapso, fluido de perfuração e janela
operacional. Em seguida, serão descritos os principais problemas que podem ocorrer
durante a perfuração. Por fim, uma abordagem geral do projeto de um poço direcional
será apresentada.
A indústria de petróleo como um todo pode ser dividida em dois grandes
grupos denominados downstream e upstream. A Figura 2.1 representa as subdivisões
desses grupos:
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Figura 2.1 – Segmentos da Indústria do Petróleo
O objetivo aqui não é descrever cada grupo detalhadamente, mas sim,
explicitar que, embora haja essa divisão em dois grandes grupos, a maior parte dos
investimentos e dos riscos está concentrada no grupo upstream (Schiffer, 2008), onde
está localizada a atividade de perfuração. Esta atividade está presente tanto em
processos de exploração quanto em processos de produção de hidrocarbonetos.
2.2. Histórico da atividade de perfuração de poços
A perfuração de poços é uma atividade antiga. Segundo Ribeiro (2000), essa
técnica começou a ser utilizada pelos chineses, no período de 1122 a 250 a.c. como
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um sistema que se baseava no princípio da alavanca. Esse sistema utilizava força
motriz humana, que só foi substituída por força motriz a vapor no ano de 1829, nos
EUA.
O mesmo autor cita a primeira iniciativa para produção de petróleo com fins
comerciais: o poço perfurado pelo Coronel Drake, em 1859, próximo a Tutsville,
Pensilvânia. Utilizando sistema de cabos, o poço atingiu uma profundidade de
aproximadamente 70 pés e foram gastos 78 dias para se alcançar os 70 pés de
profundidade.
Após o poço perfurado pelo Coronel Drake, considerado um marco na história
do petróleo, o sistema de perfuração evoluiu, sendo que o primeiro mecanismo rotativo
foi desenvolvido na França, em 1863. Logo mais, o sistema foi aprimorado nos EUA,
utilizando-se a circulação de um fluido durante a operação no ano de 1901, e
posteriormente, em 1920, uma fonte de energia pela sonda que utilizava motor de
combustão interna (Ribeiro 2000).
Atualmente, a perfuração utiliza como base um sistema de rotação, mas com
vários avanços tecnológicos. O sistema básico de perfuração de poços de petróleo
será apresentado a seguir.
2.3. Princípios básicos
A atividade de perfuração pode ser realizada tanto em terra, onshore, ou em
alto mar, offshore. Atualmente, esta atividade é feita por meio de sondas. A Figura 2.2
apresenta uma visão geral de uma sonda:
15
Figura 2.2 – Visão geral de uma sonda rotativa Fonte: How Stuff Works (2011)
Uma sonda de perfuração é composta por vários sistemas que podem ser
descritos, resumidamente, da seguinte maneira:
- sistema de sustentação de cargas: composto por torre, subestruturas e
estaleiros, é praticamente responsável pela base da perfuração. Pode se dizer que
compreende o esqueleto da sonda.
16
- sistema de geração e transmissão de energia: é responsável por gerar a
energia necessária para o acionamento dos equipamentos da sonda. Pode ser
composto por motores geradores a diesel ou elétricos.
- sistema de movimentação de cargas: composto por elevador, gancho, cabo
de perfuração, catarina, guincho e bloco de coroamento. É responsável por
movimentar as colunas de perfuração, revestimento, além de outros equipamentos.
- sistema de rotação: responsável pela rotação da coluna de perfuração, esse
sistema tem como itens básicos o kelly, a cabeça de perfuração ou swivel e a mesa
rotativa. Dependendo do tipo de sistema, podem ser usados outros equipamentos para
executar a rotação da coluna, como o top drive e o motor de fundo.
- sistema de circulação: é composto por equipamentos que permitem a
circulação e o tratamento do fluido de perfuração
- sistema de segurança: é constituído pelos principais sistemas de segurança
do poço. Dentre eles, o de maior importância é o Blowout Preventer,ou BOP, que
consiste em um conjunto de válvulas capaz de fechar o poço em caso de emergência
- sistema de monitoração: são equipamentos que medem vários parâmetros ao
longo da atividade, como por exemplo, manômetros, indicadores de torque,
tacômetros, etc. Servem como itens de controle e verificação para que se atinja a
máxima eficiência e economia.
17
A integração dos sistemas descritos tem como objetivo perfurar com a máxima
eficiência, reduzindo custos e riscos. Tal integração é conseqüência de uma série de
atividades e procedimentos realizados durante a perfuração, como descida de
colunas, montagem de equipamentos, dentre outras. Não será explicitado nesse
trabalho um detalhamento dessas atividades e procedimentos. No entanto, a descrição
das mesmas pode ser encontrada em Thomas, (2004) e Janh et al (2003).
2.4. Estabilidade estrutural do poço
De acordo com Santarelli (1997), problemas de estabilidade de poço são
responsáveis por cerca de 10 a 15 % dos custos de perfuração. O mesmo autor
enfatiza que, o fato de o custo da perfuração representar uma importante porcentagem
no desenvolvimento de um campo, faz com que a atenção dada aos problemas de
estabilidade seja classificada como uma questão de alta prioridade por várias
operadoras e prestadoras de serviço.
Costa (1984) propôs uma aplicação computacional para analisar a mecânica
das rochas em escavações. Seguindo essa linha, Polillo (1986) realizou uma análise
elasto-plástica, onde foi possível observar indícios de desmoronamento da parede
através da verificação da área plastificada ao redor do poço. Coelho (2001)
apresentou uma revisão dos principais modelos de ruptura utilizados em rochas
encontradas em reservatórios de petróleo, além de uma implementação elasto-plástica
capaz de simular o fenômeno de colapso de poros. Tisser (2004) implementou um
modelo composto por uma superfície de ruptura clássica associada com um cap
suave, além de eliminar as descontinuidades na interseção dessa superfície. Guevara
(2006) aperfeiçoou o modelo utilizado no trabalho de Tisser para três dimensões.
18
Para avaliar a estabilidade do poço, o trabalho de Guevara (2006) levou em
consideração o efeito do furo como ponto de partida. Antes de explicitar tal efeito, é
importante esclarecer o conceito de tensão in situ. Diversos trabalhos científicos
apontam o estado de tensões in situ como parâmetro importante para o estudo da
estabilidade do poço, dentre eles, Morita et. al. (1989), Otessen et. al. (1991), e Zhou
et. al. (1996).
O estado de tensões in situ de um maciço estático equivale às tensões
atuantes naquele maciço que o mantém em equilíbrio. Este equilíbrio pode ser
perturbado pela natureza, devido à ação de esforços tectônicos ou pela ação do
homem, através da perfuração de um poço, por exemplo.
A Figura 2.3a representa um maciço rochoso em equilíbrio. Quando o maciço
é perfurado, o efeito desse furo é simulado introduzindo-se forças de superfície
(tractions) na parede do poço (Figura 2.3b). O espaço vazio provocado pelo furo
apresenta um campo de tensões nulas no interior do poço (Figura 2.3c), e altas
tensões em sua parede, o que pode gerar problemas de estabilidade e
desmoronamento.
19
Figura 2.3 – Simulação do efeito da perfuração Fonte: Tisser (2004)
A tentativa de restabelecer o estado de tensões inicial é feita com um fluido de
perfuração que será explicado na seção 2.4.3. Antes, é preciso introduzir os conceitos
de estado de tensão inicial e poro pressões.
2.4.1. O estado de tensões inicial
O estado de tensões inicial pode ser estimado dividindo-se as tensões no
maciço em duas componente, uma horizontal e uma vertical.
A tensão vertical tem como causa o peso das camadas superiores, e é dada
pela equação:
z
zv dzzg0
(2.1)
onde:
20
v é a tensão vertical
z é o perfil de densidades das camadas acima do ponto considerado
g é a aceleração da gravidade
Z é a profundidade em consideração.
O coeficiente de sobrecarga (overburden) 0gr é definido pela relação:
Zgrv 0 (2.2)
De acordo com Polillo (1987), para a teoria linear elástica, na ausência de
tectonismo e considerando que somente ocorreu compactação, as tensões horizontais
são iguais, e podem ser dadas pela relação:
vhhv
vh
121 (2.3)
onde 1h e 2h correspondem às duas tensões horizontais e v corresponde ao
coeficiente de Poisson.
2.4.2. Tensão Efetiva
Segundo Terzaghi (1943), as tensões compressivas em um maciço rochoso
saturado por um fluido consistem em duas partes distintas: uma parte refere-se ao
efeito do fluido dentro do maciço e a outra se deve à diferença entre as tensões totais
e os efeitos de influência do fluido. Dessa forma, pode-se dizer que um maciço
rochoso é composto por um esqueleto sólido que apresenta espaços vazios, ou poros.
21
Esses poros podem ou não apresentar algum tipo de fluido em seu interior. Tal fluido
exerce uma pressão no esqueleto sólido da rocha, denominada pressão de poros pP .
Devido a essa pressão, deve-se definir dois estados de tensões distintos na rocha: o
total e o efetivo (Tisser, 2004).
A tensão total pode ser definida como uma relação entre uma força aplicada e
a área onde ela atua. A tensão efetiva é definida como a tensão total menos a pressão
de poros, ou pressão de fluido pP . É a tensão efetiva que atua diretamente no
esqueleto sólido da rocha.
A relação entre a tensão total e a tensão efetiva, segundo Terzaghi (1943), é
dada por:
IPptotalefetiva (2.4)
A perturbação do equilíbrio do maciço rochoso pode causar uma diferença nas
pressões de poros, tendo como conseqüência direta uma modificação na tensão
efetiva. Se, por exemplo, a pressão de poros diminuir muito, o aumento da tensão
efetiva pode levar a rocha a romper, gerando o que se denomina poro-colapso.
2.4.3. Modos de falha e colapso
Quando submetida a um carregamento, a rocha pode se romper devido a dois
esforços distintos: tração ou compressão. Cada tipo de esforço gera tipos de falha
específicas. Quando uma rocha está submetida a esforços de tração, pode ocorrer
uma falha denominada fratura. Quando uma rocha está submetida a esforços de
compressão, pode ocorrer uma falha denominada ruptura. O conceito de ruptura e
22
fratura pode ser similar, se diferenciando aqui pela sua origem, uma por tração, outra
por compressão.
A diferença de tensões entre fluido de perfuração e a parede do poço pode
gerar um tipo de ruptura conhecido como falha por colapso. Essa ruptura tem sua
origem na ação de esforços compressivos que causam falha por cisalhamento.
As principais conseqüências no poço devido à falha por cisalhamento são a
redução ou o aumento do seu diâmetro. A redução do diâmetro ocorre geralmente em
formações dúcteis ou em estruturas que apresentem fluência, como o sal por exemplo.
Devido a esse tipo de comportamento, a estabilidade do poço é agravada já que a
broca geralmente tem que fazer vários repasses numa mesma área, aumentando o
risco de aprisionamento da coluna. O aumento do diâmetro do poço geralmente ocorre
em rochas frágeis e também por erosão mecânica ou hidráulica ou mecânica de
rochas pouco consolidadas. Na maioria dos casos tem como conseqüência o
desmoronamento total ou parcial da parede do poço e pode ocasionar, em casos mais
severos, prisão da coluna de perfuração devido aos cascalhos desmoronados.
Rocha et. al. (2007) apresenta os principais mecanismos que geram as falhas
por colapso inferior e superior reproduzindo o comportamento das tensões ao redor do
poço com a variação do peso de fluido. O mesmo autor define uma estimativa para o
gradiente de colapso, apresentando os seguintes pontos a serem seguidos:
Conhecimento das rochas a serem perfuradas e suas propriedades com a
finalidade de estabelecer os limites de resistência
Estabelecimento do estado de tensões atuantes ao redor do poço, que no caso
deste trabalho, será definido através de uma simulação computacional
utilizando elementos finitos.
Comparação do estado de tensão ao redor do poço com os limites de
resistência, para a determinação da pressão que leve ao seu colapso
23
2.4.4. O fluido de perfuração
Como dito anteriormente, o equilíbrio do poço é perturbado devido ao furo
realizado durante a perfuração. Na tentativa de restabelecê-lo, um fluído específico é
injetado no poço por dentro da coluna de perfuração. A Figura 2.4 apresenta de forma
simplificada o caminho percorrido pela lama durante a atividade de perfuração.
Figura 2.4 – Caminho percorrido pela lama durante a perfuração Adaptado de SEED (2011)
O fluido de perfuração tem várias funções como carreamento de cascalhos,
refrigeração da broca, etc. Dentre elas, destaca-se nesse trabalho a manutenção do
equilíbrio de tensões ao redor do poço, ou seja, o fluido é introduzido na tentativa de
restabelecer o estado de tensões inicial. Como os poços de petróleo apresentam
diferentes aspectos de composição de rochas e tensão ao longo da profundidade, a
fluido também deve se adequar a esses aspectos. É devido a esse fato que o poço é
24
perfurado em vários estágios, sendo esses definidos pela janela operacional da
perfuração.
2.4.5. A janela operacional de perfuração
De acordo com Rocha (2007), a janela operacional determina a variação
permitida para a pressão exercida pelo fluido de perfuração dentro do poço, de forma
a manter a integridade deste. Ela é definida baseada no conhecimento dos critérios de
ruptura da rocha e tensões in situ atuantes ao redor do poço. Esses aspectos
permitem definir um limite inferior e superior baseado em quatro tipos de pressão que,
caso sejam atingidas dentro do poço, poderão levar à falha do mesmo.
As pressões de fratura superior e inferior são definidas, respectivamente, pelos
valores de pressão no interior do poço igual ou maior e igual ou menor pelo qual
ocorrerá a falha da rocha por tração.
As pressões de colapso superior e inferior são definidas, respectivamente,
pelos valores de pressão no interior do poço igual ou maior e igual ou menor pelo qual
ocorrerá a falha da rocha por cisalhamento.
A cada valor de pressão associa-se um gradiente que, expresso em termos de
fluido equivalente, determina valor limite que a densidade do fluido deve assumir de
modo a evitar a falha da rocha.
O gradiente de fratura superior determina o limite superior de valores de
densidade que o fluido de perfuração pode assumir sem que haja falha da rocha por
tração.
O gradiente de fratura inferior determina o limite inferior de valores de
densidade que o fluido de perfuração pode assumir sem que haja falha da rocha por
tração.
25
O gradiente de colapso superior determina o limite superior de valores de
densidade que o fluido de perfuração pode assumir sem que haja falha da rocha por
cisalhamento
O gradiente de colapso inferior determina o limite inferior de valores de
densidade que o fluido de perfuração pode assumir sem que haja falha da rocha por
cisalhamento.
A Figura 2.5 apresenta uma janela operacional com os gradientes limitando a
densidade do fluido de perfuração.
Figura 2.5 – Janela operacional de perfuração
26
Desta maneira, observa-se que a região corresponde à janela operacional de
perfuração. Esta área se encontra entre os maiores valores entre o gradiente de
pressão de poros (GPP) e o gradiente de colapso (Gcol) e os menores valores entre o
gradiente de fratura (Gfr) e o gradiente de sobrecarga (Gov). O valor de densidade do
fluido de perfuração não deve ultrapassar esses limites, e quando essa densidade
chega próxima do limite, o poço é revestido e em seguida é iniciada uma nova fase da
perfuração.
2.5. Principais problemas associados à perfuração
A perfuração de poços de petróleo é uma operação bastante complexa e está
sujeito à ocorrência de uma série de anormalidades. A descrição dos principais
problemas geomecânicos que podem ocorrer durante a perfuração de um poço
apresentada a seguir é baseada, principalmente nos trabalhos de Tavares (2006) e
Rabelo (2008).
a) Breakout
De acordo com Lee (2004), os breakouts são zonas de falha na rocha
resultantes de altos esforços compressivos. O mesmo autor explicita o mecanismo de
falha para diferentes tipos de rocha, demonstrando a direção mais comum de
ocorrência da falha. A Figura 2.6 apresenta uma vista de superfície de um poço onde
ocorre o fenômeno de breakout.
27
Figura 2.6 - Breakout
Lee (2004) conclui em seu trabalho que a dimensão do breakout pode ser um
indicador da magnitude das tensões a que a rocha esteve submetida.
b) Alargamento do poço
O alargamento pode ser definido como um aumento indesejável do diâmetro do
poço. Esse aumento tem como causas principais pressão hidráulica excessiva, devido
ao fluido de perfuração, ação mecânica da coluna, devido a vibrações, e erosão da
formação, devido ao regime de fluxo turbulento.
A tentativa de se estabilizar o estado de tensões utilizando um peso de fluido
excessivo pode provocar uma fratura no poço, resultando em um fluxo indesejado de
fluido de perfuração para dentro da formação.
28
Figura 2.7 - Poço com problema de alargamento Fonte: Oilfield Review (1999)
c) Batentes
Batentes são variações freqüentes e bruscas ao longo do poço. Ocorrem,
principalmente, em formações duras ou quando há intercalação entre formações duras
e moles. A ocorrência de batentes cria uma passagem irregular no poço, podendo
avariar equipamento e dificultar as atividades da perfuração.
29
Figura 2.8 - Poço com presença de batentes Fonte: Oilfield Review (1999)
d) Chavetas
O atrito da coluna em trechos com inclinação muito elevada pode criar sulcos
com o diâmetro do tubo em uma das paredes do poço, denominados chavetas. Como
esses sulcos têm o diâmetro do tubo de perfuração, a incidência desses sulcos pode
causar dificuldades na passagem de ferramentas durante a movimentação da coluna,
além da mesma poder ficar presa.
30
Figura 2.9 - Formação de chavetas na parede do poço Fonte: Oilfield Review (1999)
e) Desmoronamento do poço
O desmoronamento do poço é caracterizado pelo desprendimento de partes ou
blocos de rocha que constituem a parede do poço. Esse tipo de problema é mais
comum em formações com baixa coesão ou muito fraturadas. Uma das principais
causas desse tipo de problema está relacionada à uma pressão hidrostática
insuficiente no interior do poço, comprometendo a sustentação. A conseqüência
primordial é o colapso da parede, seguido de invasão do material colapsado para
dentro do poço. Além de baixa pressão hidrostática, fatores como a ação mecânica da
31
coluna sobre a parede, vazão de bombeio excessiva e dissolução de camadas ou
domos salinos podem provocar o desmoronamento do poço.
Figura 2.10 – Desmoronamento do poço Fonte: Oilfield Review (1999)
f) Enceramento da broca
Durante a perfuração, os cascalhos argilosos podem aderir à superfície da
broca de forma a não poderem ser removidos pelo fluido de perfuração. Dessa forma,
a broca pode ficar totalmente coberta por esses cascalhos, impedindo o contato com a
formação. Uma queda brusca na taxa de penetração pode ser um indício de que a
broca esteja encerada.
32
g) Entupimento de jatos
O entupimento de jatos é provocado pela entrada de detritos nos orifícios de
jateamento, principalmente quando a circulação está parada. Como resultado do
entupimento, pode ocorrer uma redução na força hidráulica de impacto disponível,
devido a uma perda de carga na broca.
h) Fechamento do poço
O fechamento do poço é caracterizado por uma obstrução parcial ou total do
diâmetro do poço. Existem duas causas principais que culminam nesse tipo de
problema: o inchamento de argilas por hidratação, e a movimentação de formações
que apresentam fluência, como é o caso do sal.
Figura 2.11 - Fechamento do poço por inchamento de argilas e fluência da
formação. Fonte: Oilfield Review (1999)
33
i) Kick
O kick é caracterizado por um fluxo repentino de fluido da formação no sentido
do poço. Esse fluxo repentino pode ter como causa uma pressão hidrostática
insuficiente para manter o equilíbrio hidrostático dentro do poço. Além disso, outro
causa provável de kick ocorre quando a broca penetra por zonas de alta pressão.
Caso o kick não seja estancado, ele pode ficar incontrolável, transformando-se num
blow-out.
Figura 2.12 - Poço com problema de kick Fonte: Oilfield Review (1999)
34
j) Má limpeza do poço
Esse tipo de problema ocorre quando os detritos de cascalho não são
devidamente carreados, podendo se acumular no espaço anular. Dentre as principais
causas, pode-se citar uma velocidade inferior à velocidade mínima para carreamento
de cascalhos, ou ainda, problemas de desmoronamento e alargamento de poço. O
acúmulo de cascalhos pode também, ser resultado de uma alta taxa de penetração,
onde a quantidade de cascalhos produzidos é superior à quantidade de cascalhos
removidos. Essa acumulação de sedimentos é muito danosa, podendo causar packer
hidráulico e prisão da coluna de perfuração. O problema é agravado se considerarmos
poços perfurados em direções não convencionais. No caso de poços horizontais, por
exemplo, a limpeza do poço é dificultada devido à distribuição irregular desses
sedimentos.
Figura 2.13 - Má limpeza do poço Fonte: Oilfield Review (1999)
35
k) Packer hidráulico
O packer hidráulico é caracterizado por uma obstrução no anular, espaço
localizado entre o poço e a coluna de perfuração. Essa obstrução pode ocorrer devido
ao desmoronamento do poço ou má limpeza de sedimentos. Tem como conseqüência
um súbito aumento na pressão de bombeio, e se não for rapidamente remediado,
pode culminar com a prisão da coluna de perfuração.
Figura 2.14 - Packer Hidráulico Fonte: Oilfield Review (1999)
l) Perda de circulação
36
A perda de circulação tem como causa principal o influxo de fluidos no sentido
do poço para a formação. Esse fluxo ocorre sob duas condições principais: quando a
rocha possui fraturas e horizontes de alta permeabilidade, quando a pressão exercida
na parede do poço é superior à pressão de poros, ou ainda, quando a pressão na
parede do poço é excessiva, podendo abrir fraturas.
Outro ponto importante a destacar é o fato de que a perda da circulação,
geralmente vem acompanhada de uma perda de pressão hidrostática, deixando assim
as formações superiores do poço mais suscetíveis a desmoronamentos.
m) Prisão diferencial
Uma excessiva pressão diferencial entre o peso de fluido e a pressão da
formação pode criar um mecanismo de sucção que prende a coluna de perfuração. As
chances de esse problema ocorrer aumentam se a coluna está parada, ou se está
perfurando um poço horizontal, onde o contato da coluna com a formação é maior.
Enquanto presa, a coluna perde movimentos axiais e radiais, mas continua capaz de
circular fluido. A intensidade dessa sucção é proporcional ao diferencial de pressão
criado entre a lama e a formação. Manter a coluna sempre em movimento é uma
prática comum para evitar a ocorrência desse problema. Outra alternativa é a
utilização de comandos espiralados para reduzir a superfície de contato entre a coluna
e a formação, criando espaços para que as pressões sejam balanceadas e para que
os sólidos possam fluir.
37
Figura 2.15 - Prisão por diferencial de pressão
Fonte: Tavares (2006)
n) Quebra do BHA (vibração da coluna)
A vibração da coluna de perfuração é causa principal de quebra do BHA
(Bottom Hole Assembly). O BHA é definido como a configuração de ferramentas
utilizada na extremidade da coluna de perfuração. Essa vibração pode ocorrer no
sentido axial (bit bouncing) ou no sentido lateral (whirling). Essa vibrações provocam
taxas de rotação irregulares e choques do BHA contra as paredes do poço, agravando
a estabilidade e causando avarias no equipamento.
o) Washout
O washout é caracterizado por um pequeno vazamento no sistema, provocado
por um furo na coluna de perfuração. A conseqüência desse furo é uma redução
progressiva na pressão de bombeio, à medida que o diâmetro do furo aumenta. Esse
38
vazamento pode inclusive corroer o local onde o fluido passa da coluna para a
formação, danificando o equipamento.
Os problemas descritos anteriormente apresentam uma visão geral de como o
processo de perfuração pode-se complicar (Rabelo 2008). É importante notar que a
maioria deles são conseqüências de aspectos ligados às características da formação,
como permeabilidade e porosidade e, principalmente, ao estado de tensões associado
a uma situação específica.
Conhecidos os principais problemas de perfuração, o próximo item apresenta
alguns aspectos da perfuração direcional, bom como geometrias principais de poço.
2.6. O projeto de poços direcionais
A perfuração direcional cresceu muito nos últimos 50 anos. De acordo com
Rocha et. al., propor uma perfuração direcional nos anos 60 era algo que exigia muita
ousadia, pois não havia estudos nem equipamentos necessários para garantir o
sucesso da operação. Atualmente, Com novas técnicas e equipamentos, a perfuração
direcional atingiu altos patamares na proporção de poços perfurados.
Dentre as principais vantagens desse tipo de operação, destacam-se:
diminuição do impacto ambiental, visto que há uma menor área
degradada;
redução de custos, principalmente em ambientes offshore, onde os
custos de aluguel de sonda são altíssimos e, com a utilização dessa
técnica, pode-se ter uma sonda com vários poços perfurados
39
aumento da produtividade, pois o poço horizontal em um reservatório
aumenta a área de contato, aumentando a produção.
Esses são apenas alguns motivos que justificam o fato de a engenharia de
perfuração ter sido um dos campos da indústria do petróleo que mais evoluiu nos
últimos anos.
2.6.1. Aspectos da perfuração direcional
De acordo com Couto (2009), uma perfuração tem início após ter sido feito um
estudo baseado no mapeamento da área a ser explorada. Dados sísmicos são
interpretados formando um mapa estratigráfico, que fornece os possíveis locais onde
se encontram os hidrocarbonetos e as camadas geológicas de rochas. Tendo como
referência esse mapa, são definidos o objetivo, que é o ponto no espaço que o poço
deve atingir, e o alvo, que é uma área ao redor do objetivo definida por um raio de
tolerância.
Após definidas a duas extremidades do poço (sonda e alvo), é iniciado o
planejamento direcional, que é realizado com base em duas etapas restritivas: A
primeira, leva em conta a proposição de diferentes trajetórias economicamente viáveis
e a segunda inclui os efeitos da geologia no projeto.
Outro fator importante a ser analisado é a montagem das ferramentas de
perfuração. A direção do poço deve respeitar o ângulo máximo a que uma ferramenta
pode estar sujeita, para que não haja problemas de engaste e travamento.
Segundo Bourgoyne et. al.(1991), a trajetória do poço pode ser classificada em
quatro configurações diferentes, como apresentado na Figura 2.16:
40
Figura 2.16 - Diferentes tipos de trajetórias de poços direcionais Fonte: Bourgoyne (1991)
Antes de descrever cada tipo de trajetória, alguns conceitos devem ser
abordados, como:
B.U.R. (Build Up Rate): é a taxa de ganho de inclinação na trajetória do poço.
Seção tangente ou slant: é a seção do poço onde a inclinação é mantida até
atingir o objetivo ou até uma nova seção de ganho ou perda de ângulo.
KOP (Kickoff point): é definido como o começo do ganho de ângulo na seção
Drop Off: é o trecho do poço que apresenta uma inclinação negativa.
Observando a figura 4.4, define-se como trajetórias:
A - Build and Hold: apresenta ganho de BUR com apenas um KOP e depois
uma seção slant até atingir o alvo
41
B - Build, Hold and Drop: apresenta, após a seção slant um BUR negativo, até
atingir o alvo. O alvo, nesse tipo de trajetória, é atingido ainda com um ganho ou perda
de inclinação. É conhecida como Tipo "S" modificada.
C - Configuração também conhecida como Tipo "S", atinge o alvo em uma
direção vertical.
D - Continuous Build: Apresenta uma seção de BUR constante até a chegada
ao alvo.
Os exemplos de poços perfurados apresentados até agora apresentam apenas
duas variáveis, por estarem sendo tratados em um plano: profundidade e afastamento.
A profundidade pode ser classificada como vertical e medida. A vertical é definida
como a distância vertical da mesa rotativa até um ponto do poço e a medida é a
distância percorrida pela broca para atingir a profundidade desejada. O afastamento é
definido como a distância horizontal entre a cabeça do poço e o objetivo. A Figura
2.17 apresenta esses conceitos:
Figura 2.17 - Profundidade Vertical, Profundidade Média e Afastamento
42
Além de profundidade e afastamento, quando se considera um projeto
tridimensional de perfuração direcional, o poço não segue o mesmo plano. Nesse
caso, há uma mudança no azimute, que é o ângulo que a direção do poço toma com
relação à direção norte.
O projeto básico do poço passa pelas definições apresentadas nessa sessão.
Um detalhamento maior do projeto de poço pode ser encontrado em Rocha et. al.
(2007).
Este capítulo apresentou alguns princípios básicos da perfuração, problemas
que podem ocorrer durante esse processo e aspectos do projeto de poço. O próximo
capítulo apresenta os princípios de mecânica do contínuno que serviram de base para
a implementação computacional realizada durante o trabalho.
43
Capítulo 3
Fundamentos da Mecânica do
Contínuo
3.1. Introdução
A mecânica de um meio contínuo é um ramo da mecânica relacionado às
tensões em sólidos, líquidos e gases e a deformação ou fluxo nesses elementos
(Malvern,1969).
O presente capítulo apresenta os princípios básicos necessários ao
entendimento da mecânica do contínuo não linear. Primeiramente é apresentada a
cinemática dos corpos deformáveis, onde se insere a contribuição desse trabalho, que
é a implementação da formulação lagrangeana total. Em seguida, são descritos o
equilíbrio e medidas de tensão relacionadas a materiais elásticos. Logo após, são
introduzidos alguns fundamentos da plasticidade computacional, bem como
elastoplasticidade em materiais. Então, um breve histórico sobre critérios de
escoamento é apresentando, com ênfase ao utilizado no presente trabalho, que é o de
44
Mohr-Coloumb. Por fim, é apresentada a superfície de escoamento tridimensional
denominada cap model.
3.2. Cinemática dos corpos deformáveis
Segundo Bonet (1997), a cinemática é definida como o estudo do movimento e
da deformação, sem referência a uma causa. A descrição desse movimento é definida
como lagrangeana quando acompanha o caminho de uma partícula material em um
corpo ao longo do tempo. Dependendo do referencial, a descrição pode ser definida
como lagrangeana total ou atualizada. O presente trabalho utiliza a descrição
lagrangeana total, o que significa que todas as medidas e transformações no corpo
têm como referência a configuração inicial do mesmo.
A Figura 3.1 demonstra o movimento de um corpo deformável no espaço.
Figura 3.1 - Movimento de um corpo deformável no espaço Adaptado de Bonet (1997)
45
Tal corpo é formado por várias partículas, rotuladas por X, que têm suas
posições de referência representadas pelo vetor X , tendo como referencial uma base
cartesiana representada por IE , e posições iniciais no instante 0t . De uma forma
geral, as posições correntes desse corpo em um dado instante de tempo t , são
representadas pelo vetor de posições x em uma base cartesiana Ie . Admitindo-se
que as bases IE e Ie são coincidentes, o movimento pode ser matematicamente
descrito através do mapeamento entre as posições de referência e corrente do
corpo como:
),( tXx (3.1)
Ainda, a equação 3.1 define a trajetória de uma partícula X qualquer do corpo
em função do tempo t .
Pode-se dizer que, o deslocamento da partícula de acordo com o mapeamento
expresso acima, é dado por
XtXtXU ),(),( (3.2)
onde U representa a diferença de posições da partícula entre a configuração corrente
e a configuração de referência.
3.2.1. Medidas de Deformação
De acordo com Petrinic (2005), deformações, sejam elas plásticas ou elásticas,
podem variar sua magnitude em problemas de engenharia. O autor cita exemplos de
problemas em que a deformação é infinitesimal, e problemas em que a deformação
46
final do corpo atinge até três vezes a magnitude necessária para alcançar seu
escoamento. De acordo com Zienkiewicz (2006), uma medida básica de deformação é
dada pelo gradiente de deformação com relação a X , de modo que:
X
F (3.3)
sujeita à condição de que:
0det FJ (3.4)
Onde J representa o operador jacobiano de transformação e a satisfação da
condição 3.4 garante que a função que define o mapeamento da partícula seja
inversível.
O gradiente definido pela equação 3.3 é uma medida direta que mapeia um
elemento diferencial representado por uma linha, por exemplo, um vetor, da
configuração de referência para a configuração corrente. Simplificando, de acordo
com Petrinic (2005), o gradiente de deformação fornece uma descrição completa da
deformação em um corpo, o que inclui alongamentos e movimentos de corpo rígido.
Definido o gradiente de deformação, faz-se necessário utilizar um tensor que
seja adequado para expressar as deformações no corpo em uma formulação
lagrangeana total.
Para definir o tensor deformação de Green, utiliza-se o tensor deformação
direito de Cauchy-Green, que em função do gradiente de deformação, é definido da
seguinte maneira:
47
FFC T (3.5)
Utilizando-se a relação 3.5, o tensor deformação de Green é definido como:
IFFICE T
2
1
2
1 (3.6)
O gradiente de deformação também pode ser escrito em função dos
deslocamentos, de modo que:
IX
U
X
XU
XF
)( (3.7)
Substituindo a equação 3.7 no tensor deformação de Green, tem-se:
JKIKIJJIIJ UUUUE ,,,,2
1 (3.8)
Logo, em se tratando da formulação lagrangeana total, utiliza-se o tensor de
Green como medida de deformação.
3.3. Equilíbrio
Segundo Malvern (1969), de maneira geral, o princípio da conservação da
quantidade de movimento pode ser descrito da seguinte maneira: considerando um
grupo finito de partículas, a taxa de mudança da quantidade de movimento total desse
grupo é igual à soma vetorial de todos os esforços externos atuando nas partículas
48
desse grupo, desde que as forças internas sejam regidas pela terceira lei de Newton
de ação e reação. No caso especial do equilíbrio estático, a aceleração no corpo é
igual a zero.
3.3.1. Medidas de Tensão
A Figura 3.2 apresenta um corpo na configuração corrente (deformada):
Figura 3.2 - Vetor tensão t na configuração deformada Fonte: Bonet (1997)
O conceito de vetor tensão t
pode ser explicitado da seguinte maneira:
Considera-se um ponto p
em um elemento de área a com normal n . Se a
resultante de forças agindo sobre essa área é delta p , o vetor tensão t
correspondente à normal n no ponto p pode ser definido como:
49
a
p
ant
0
lim)(
onde a relação entre t e n deve ser tal que satisfaça a terceira lei de Newton, que é
expressa como:
)()( ntnt
Bonet (1997) define o tensor de Cauchy , através da relação entre a normal
n e vetor tensão t, da seguinte maneira:
nnt )( (3.9)
Quando um corpo arbitrário apresenta-se em sua configuração deformada,
utiliza-se como medida o tensor de tensões de Cauchy, representado por ij . Como o
presente trabalho utiliza a formulação lagrangeana total, todas as transformações e
medidas do corpo são realizadas com relação à configuração de referência, ou
indeformada. Dessa maneira, utiliza-se o segundo tensor de Piolla-Kirchoff,
representado por ijS .
Ambos os tensores possuem nove componentes. Devido à simetria desses
tensores, os mesmos podem ser descritos por seis componentes. A representação do
2º tensor de tensões de Piolla-Kirchoff pode ser dada como:
T
SSSSSSS 312312332211 ,,,,, (3.10)
A dedução desses tensores pode ser encontrada em Malvern (1969) e Bonet
(1997).
50
A correlação entre o tensor de Cauchy e o 2º tensor de Piolla-Kirchkoff pode
ser feita da seguinte maneira:
TFSFJ 1 (3.11)
onde J representa o operador jacobiano de transformação e F o gradiente de
deformação.
3.3.2. Equações de Equilíbrio para a formulação Lagrangeana Total
Embora as equações de equilíbrio possam ser encontradas em várias
referências, citando aqui Bathe (1996), Zienkiewicz (2000) e Crisfield (1997), não é
objetivo fazer uma comparação entre elas. Apesar de todas terem sido consultadas,
optou-se por apresentar aqui a explicitada por Zienkiewicz (2000). Isto devido ao fato
deste autor ser uma das principais referências bibliográficas do trabalho e de a
aproximação por elementos finitos durante o trabalho ter sido desenvolvida baseada
no mesmo autor.
Segundo Bonet (1997), materiais que apresentam comportamento constitutivo
apenas como função do seu estado de deformação são considerados elásticos. Em
outras palavras, o material elástico pode ser definido de acordo com uma função de
energia de deformação. Dessa maneira, o equilíbrio de um corpo na configuração de
referência pode ser descrito através da minimização de um funcional, dado por:
extIJ dVEW )( (3.12)
51
onde )( IJEW representa a função de energia de deformação por unidade de volume
armazenada no sistema.
O segundo tensor de Piola-Kirchhoff pode ser calculado da seguinte maneira:
IJ
IJE
WS (3.13)
Utilizando-se de uma relação constitutiva elástica linear, e considerando o
material isotrópico, a relação entre o segundo tensor de Piolla-Kichhoff e tensor
deformação de Green pode ser dada por:
KLIJKLIJ EDS (3.14)
onde IJKLD é o tensor constitutivo elástico linear.
Apesar da relação 3.12 não ser adequada para tratar deformações finitas, de
acordo com Crisfield (1997), a mesma pode ser usada para deformações infinitesimais
e deslocamentos finitos.
Para que um corpo esteja em equilíbrio, deve-se minimizar a energia potencial
do sistema. Essa minimização é alcançada quando a variação da energia do sistema,
apresentada pela equação 3.12, é igual a zero, de acordo com a seguinte relação:
0extWdV (3.15)
52
onde representa a variação da energia total do sistema, W a variação da
energia interna armazenada do sistema e ext a variação da energia externa do
sistema.
A energia externa do sistema pode ser entendida como o potencial relacionado
ao trabalho externo realizado, sendo representado por:
t
II
m
IIext dSTUdVbU )(
0 (3.16)
onde IU representa uma variação de deslocamento na configuração de referência, o
primeiro termo do lado direito da equação representa os esforços no volume, e o
segundo termo da direita representa um esforço T , aplicado a um contorno t .
De acordo com Zienkiewicz (2000), se a equação da variação da energia é
satisfeita para um deslocamento virtual arbitrário IU, então a mesma equação é
satisfeita no balanço da quantidade de movimento em cada ponto do corpo, inclusive
no contorno.
Por fim, Zienkiewicz (2000) apresenta a equação variacional da formulação
lagrangeana total como:
0, )(
0
t
dSTNSFudVbSFu IiIIIJiJi
m
IiIIIJiJi (3.17)
onde a primeira integral representa os esforços no volume e a segunda integral os
esforços no contorno t . Uma descrição detalhada da origem das equações de
equilíbrio e potencial pode ser encontrada em Simo (1997) e Bonet (1997).
53
3.4. Elementos da Teoria de Plasticidade
3.4.1. Introdução
De acordo com Hill (1950), o estudo científico da plasticidade teve início com o
trabalho de Tresca, em 1864. No entanto, o trabalho de Tresca se relacionava ao
escoamento de metais, sendo que antes de 1864, outros critérios foram propostos
para diferentes materiais. Em 1773 Coulomb propôs um critério de escoamento para
sólidos, que é a base do critério utilizado nesse trabalho. De acordo com Bazant
(2002), o regime plástico é caracterizado por deformações permanentes no corpo.
Souza Neto (2008) apresenta o aspecto fenomenológico da plasticidade de acordo
com a Figura 3.3:
Figura 3.3 - Experimento uniaxial de tensão em metais dúcteis Fonte: Souza Neto (2008)
54
A Figura 3.3 apresenta uma curva tensão x deformação gerada por um teste
de tensão uniaxial realizado com uma barra de metal, onde a tensão axial é plotada
em relação à deformação axial . A barra é submetida a um carregamento que evolui
uniformemente na direção axial, gerando tensão axial que vai de 0 a um valor prescrito
0 . Então, a barra é descarregada e carregada novamente até o valor prescrito 1 . A
curva segue o caminho O0Y0Z0O1Y1Z1. Descrevendo cada trecho, observa-se o
comportamento elástico no trecho O0Y0, ou seja, se o carregamento cessar enquanto
nesse trecho, a barra volta à sua configuração inicial. Entre o segmento Y0Z0, observa-
se uma mudança na inclinação da curva, e se após o ponto Z0 o carregamento cessar,
a barra volta para uma configuração O1, diferente da configuração O0. Isso significa
que deformações permanentes ocorreram em sua estrutura, ou seja, houve
plastificação. Esse estado deformado é representado por p . Se o carregamento é
aplicado novamente, a estrutura parte de seu estado deformado O1 até uma fase
elástica limitada por Y1 e, após esse ponto, mais deformações permanentes irão
ocorrer no material.
Através desse tipo de experimento, pode-se observar a existência de um
domínio elástico, representado pelos segmentos O0Y0 e O1Y1. Após a fase elástica, a
curva passa pelos pontos Y0 e Y1, definidos como limite de escoamento. A partir desse
ponto, o material estará submetido a deformações plásticas.
A intenção deste trabalho não é apresentar uma teoria detalhada do fenômeno
da plasticidade, mas sim, princípios importantes para que seja possível o
entendimento do contexto da plasticidade no trabalho. Outro ponto importante a
ressaltar é que a plasticidade é tratada em regime de pequenas deformações. Uma
descrição detalhada desse fenômeno pode ser encontrada em Hill (1950), Souza Neto
(2008) e Hughes(1997).
55
3.4.2. Princípios Básicos
Os princípios básicos da teoria de plasticidade podem ser apresentados da
seguinte maneira:
a) Princípio da aditividade:
Este princípio estabelece a validade da aditividade das deformações, ou seja, o
incremento de deformação total pode ser decomposto em uma parcela elástica e uma
plástica.
pe (3.18)
onde corresponde ao incremento de deformação total, e é a parcela elástica e p
é a parcela plástica.
b) Relação Tensão –Deformação
A relação Tensão-Deformação é dada pela relação:
pD : (3.19)
onde é o incremento de tensão e D é o tensor constitutivo elástico linear.
c) Critério de escoamento
Sendo E o espaço de tensões admissível, defini-se:
56
0fSE (3.20)
onde
f representa uma função conhecida como condição de escoamento e
S o espaço de tensores de segunda ordem. Ao final de cada incremento, as tensões
devem estar dentro do limite definido pelo critério de escoamento. Esse limite define
uma superfície de escoamento, como mostra a Figura 3.4:
Figura 3.4 - Espaço de tensões admissível
d) Lei de Fluxo
Os incrementos de deformação são definidos a partir de um potencial plástico,
dado por:
Qp (3.21)
onde 0 é denominado fluxo plástico e Q é o potencial plástico.
e) Condições de Kunh-Tucker ou de complementaridade:
57
Tem-se f como condição de escoamento e como fluxo plástico, pode-se
dizer que:
00
0.
f
f
(3.22)
ou seja, se há fluxo plástico ( 0 ), o campo de tensões permanece na superfície de
escoamento ( 0f ). De outra forma, se o campo de tensões se encontra dentro do
limite de escoamento ( 0f ), não há fluxo plástico ( 0 ).
f) Condição de consistência (persistência):
Dadas as condições de Kunh-Tucker, pode-se afirmar que:
0. f (3.23)
3.4.3. Endurecimento
A plasticidade perfeita é definida como um estado onde a tensão de
escoamento não depende de maneira alguma do grau de plastificação. Porém, na
natureza esse estado não existe, sendo que após um material atingir um escoamento
inicial, o nível de deformação é dependente da deformação plástica, caracterizando o
que se chama de endurecimento (Hinton, 1980).
O endurecimento pode ocorrer em diferentes estados. A Figura 3.5 apresenta
a plasticidade perfeita.
58
Figura 3.5 - Plasticidade perfeita
A Figura 3.6, apresenta uma expansão uniforme da curva do escoamento
original, sem translação, representando um endurecimento isotrópico.
Figura 3.6 - Endurecimento Isotrópico
59
A Figura 3.7 apresenta uma superfície de escoamento que preserva sua forma
e orientação, mas translada no espaço, caracterizando o endurecimento cinemático.
Figura 3.7 - Endurecimento cinemático
3.4.4. Critério de Escoamento de Mohr-Coulomb
Dependendo do tipo de material que se queira analisar, é necessário definir
um critério de escoamento condizente com o comportamento do mesmo. Nesse
contexto, os materiais apresentam regiões dúcteis e frágeis. De acordo com Hantschel
(2009), materiais frágeis se rompem logo que sua máxima tensão admissível é
atingida, ou seja, apresentam uma pequena região dúctil. Já materiais dúcteis
apresentam uma região dúctil maior antes de se romperem.
A Figura 3.8 apresenta a curva tensão x deformação de um ensaio uniaxial de
compressão um material qualquer, destacando as regiões plástica e elástica.
60
Figura 3.8 - Ensaio uniaxial (adaptado de Risnes,2008)
A Figura 3.9 apresenta um gráfico que ilustra a diferença entre materiais
dúcteis e frágeis, correlacionando tensão ( ) e deformação ( ).
Figura 3.9 - Curva Tensão x Deformação ( x ) para materiais dúcteis e frágeis
(adaptado de Rocha, 2007)
61
O comportamento do material também pode variar dependendo do nível de
tensões confinantes que atuam sobre ele. Esse comportamento é ilustrado pela
Figura 3.10.
Figura 3.10 - Comportamento do material com o aumento da tensão confinante (adaptado de Risnes, 2008)
Em se tratando da magnitude do esforço a que um material é submetido, este
poderá atingir o seu limite de escoamento e começar a plastificar. Através de ensaios
em laboratório, são definidos para cada material, um critério que represente esse
limite. Para o aço, por exemplo, os critérios mais utilizados são Von Mises e Tresca.
No caso de rochas, um dos critérios mais utilizados é o de Mohr-Coulomb. A principal
característica desse critério é o fato de ele ser dependente da pressão hidrostática,
parâmetro importante na análise de rochas (Souza Neto, 2008). Tal critério se baseia
nos círculos de Mohr que descrevem diferentes estados de tensões, utilizando as
tensões principais mínima e máxima.
62
De acordo com Goodman (1989), os parâmetros que definem o círculo de Mohr
são a coesão, representada por S0, o ângulo de atrito, definido por , e a diferença
entre as tensões mínima e máxima. A curva que define a ruptura tem angulação
definida por e corta o eixo y no valor do parâmetro de coesão, S0. Pode-se dizer que
houve ruptura quando a diferença entres as tensões principais máxima e mínima gera
um círculo que toca a curva que define o critério de ruptura. Qualquer círculo que
esteja abaixo dessa curva define uma região elástica, e acima dessa curva, um estado
de tensões inadmissível. A Figura 3.11 apresenta vários círculos de Mohr que tocam a
curva limite, indicando a ruptura.
Figura 3.11 - Círculos de Mohr para diferentes estados de tensão (adaptado de Rocha, 2007)
Dependendo do material, essa curva pode ser visualizada como uma reta, que
tem equação definida como:
tan0S (3.24)
Onde define a tensão cisalhante e a tensão principal.
63
3.4.5. Cap - Model
O critério de Mohr Coloumb pode ser representado tridimensionalmente
através de uma superfície no espaço de tensões principais, como mostra a Figura
3.12.
Figura 3.12 - Superfície de Mohr Coloumb representada no espaço de tensões principais - Fonte: Risnes (2008)
Através da Figura 3.12, pode-se perceber que a superfície de escoamento
aumenta infinitamente ao longo do eixo hidrostático. Dessa maneira, essa mesma
superfície pode representar estados de tensão equivocados na análise. Isso se deve
64
ao fato de que, para rochas por exemplo, pode ocorrer um fenômeno denominado
poro colapso.
De acordo com Risnes (2008), o poro colapso é um modo de falha
normalmente observado em materiais altamente porosos, onde o esqueleto formado
pelos grãos possui espaços vazios. Quando o material é comprimido, os grãos podem
se romper e se rearranjar nos espaços dos poros, resultando em material compactado.
Para poder representar esse fenômeno na superfície de escoamento, Guevara
(2006) implementou em seu trabalho uma superfície de escoamento tridimensional
baseada no critério de Mohr Coulomb, que é limitada por uma superfície denominada
Cap Model. Dessa maneira, é possível impor um limite aos estados de tensão no
material, não permitindo que eles evoluam infinitamente ao longo do eixo hidrostático.
Qualquer estado de tensão que esteja na superfície indica que o material entrou em
regime plástico. Estados de tensão fora desse limite são inadmissíveis. Estados de
tensão dentro desse limite, mas que não se encontram na superfície indicam regime
elástico.
Baseando-se nos trabalhos de Rubin (1991), Schwer e Murray (1994) e Arão
(2004), Guevara (2006) apresenta em seu trabalho as equações que delimitam a
superfície de escoamento como:
),()()(),,( 11
22
221 kIFIFrJkJIf cf (3.25)
sendo as funções fF e cF definidas, respectivamente, por
111)( IeIF
I
f (3.26)
e
65
,
)()(
)(1
,1
),(2
2
11
kLkX
kLIkIFc)(
)(
1
1
kLI
kLI (3.27)
onde , , são parâmetros de ajuste do cisalhamento, X(k) e L(k) são os
valores que definem os limites do arco de elipse que define o cap. 1I , 2J e 3J são,
respectivamente, o primeiro, o segundo e o terceiro invariante de tensões. O limite de
escoamento com o cap no plano é representado pela Figura 3.13:
Figura 3.13- Limite de escoamento com cap representado no plano
Seja o ângulo que se relaciona ao ângulo de Lode pela relação
2
2
3
3
3 3,2
27ˆ3sinˆ3cos JJ
J e
e
(3.28)
)(r é a função que define a forma da interseção da superfície de ruptura com
o plano octaédrico, dada por:
)sin()1(3)cos()1(
3)(
22
2
Qr (3.29)
66
sendo que:
sin3
sin32Q (3.30)
Desta forma, o limite de escoamento utilizado nesse trabalho constitui-se de
uma superfície de ruptura por cisalhamento de Mohr-Coulomb associada a um cap
elíptico, que no plano octaédrico possui a mesma forma que a superfície de Mohr-
Coulomb. A Figura 3.14 apresenta essa superfície de escoamento:
Figura 3.14- Superfície de escoamento delimitada pelo Cap - Model
O capítulo 3 apresentou os princípios de mecânica do contínuo que serão
utilizados para a implementação do programa de elementos finitos PoroNL. Foram
demonstradas a cinemática de corpos deformáveis, equilíbrio, além de princípios
básicos de plasticidade, critérios de escoamento e superfície de escoamento. Todos
esses elementos constituem a base matemática para o que será demonstrado no
67
capítulo 4, que é a aproximação da formulação lagrangeana total pelo método dos
elementos finitos. O capítulo 4 ainda descreve o método de solução utilizado.
68
Capítulo 4
Aproximação por Elementos
Finitos
4.1. Introdução
Em se tratando da aproximação por elementos finitos, o presente trabalho pode
ser contextualizado como uma extensão do código desenvolvido até o momento por
Guevara (2006). A principal diferença se dá no cálculo dos deslocamentos durante a
fase elástica. No trabalho de Guevara (2006), são considerados deslocamentos
infinitesimais. Já no presente trabalho, deslocamentos finitos são considerados, ou
seja, o código implementado tem a capacidade de oferecer uma resposta não linear de
deslocamentos, dependendo das condições de contorno e carregamento. Como o
presente trabalho utiliza uma formulação lagrangeana total, também foi necessária a
implementação de um método de solução diferente do utilizado por Guevara (2006).
Este capítulo apresenta a aproximação por elementos finitos da formulação
lagrangeana total, o método de solução implementado e o programa PoroNL.
69
4.2. Contextualização
Guevara (2006) considera a não-linearidade física e deslocamentos
infinitesimais. Para tal, utiliza como método de solução o Newton Raphson Modificado.
A opção pela utilização desde método é feita considerando que, em deslocamentos
infinitesimais, a matriz de rigidez é calculada e armazenada apenas uma vez.
Como o desenvolvimento do trabalho foi feito baseado no código de Guevara
(2006), um dos primeiros problemas foi encontrar um método de solução adequado ao
tratamento de deslocamentos finitos. No código de Guevara (2006), a rigidez tangente
é calculada apenas uma vez, por se tratar um código que considera comportamento
linear na fase elástica. Em se tratando de deslocamentos finitos na formulação
lagrangeana total, não é possível utilizar a mesma rigidez tangente a cada iteração.
Logo, optou-se pelo uso do método Newton Raphson Full, que será explicado mais
adiante. Dessa forma, a cada iteração na rotina de solução do programa, uma nova
rigidez tangente é calculada.
Outro problema crucial que teve que ser resolvido foi o desenvolvimento
computacional da formulação apresentada pela bibliografia. Para a verificação da
formulação implementada, utilizou-se o software ADINA para comparar os resultados
obtidos. Dessa forma, descobriu-se que, para que os resultados coincidissem, uma
pequena modificação deveria ser feita no cálculo da variação da deformação, de
acordo com a bibliografia apresentada por Zienkiewicz (2000). Provavelmente pode ter
ocorrido um erro de impressão, e a variação da deformação corrigida será
apresentada adiante.
Além disso, após identificado esse detalhe, foi executado um trabalho de
comparação entre a formulação apresentada por Zienkiewicz (2000), Bathe (1996) e
Crisfield (1991). Outras referências como Ogden (1984), Petrinic (2005) e Bonet
70
(1997) também foram analisadas no sentido de analisar a formulação proposta por
Zienkiewicz (2000) e fazer as correções necessárias no código computacional.
Dessa forma, o presente capítulo apresenta a aproximação por elementos
finitos para a formulação lagrangeana total apresentada por Zienkiewicz (2000), já com
a equação correspondente à variação da deformação corrigida. É apresentado
também o método Newton Raphson Full, apresentado pelo mesmo autor e por Heath
(1997).
4.2.1. Aproximação por elementos finitos
De acordo com Owen (1977), no método dos elementos finitos o contínuo é
dividido em um número finito de partes denominados elementos. Esse elementos são
conectados entre si ao longo de suas periferias por um número finito de nós,
conhecidos como pontos nodais.
Em se tratando de problemas estruturais, a incógnita que se quer conhecer é o
deslocamento, ou seja, deseja-se saber qual será o valor do deslocamento em cada
nó. Dessa maneira, o campo de deslocamentos em cada elemento pode ser
aproximado pelo somatório:
ii uNu ~ (4.1)
onde, na forma isoparamétrica, ,, representam as coordenadas naturais
em três dimensões e N representa a função de forma, ou função de interpolação,
associada a um nó .
Owen (1977) afirma que as deformações podem ser calculadas através da
relação:
71
uBE (4.2)
onde B representa uma matriz de transformação, ou operador diferencial, que
geralmente é composta pelas derivadas das funções de forma. De forma análoga,
para a formulação lagrangeana total, Zienkiewicz (2000) apresenta a relação (4.2)
como:
uBBE nll ~)2
1( (4.3)
onde o operador diferencial B é substituído por uma parcela linear lB e uma
parcela não linear nlB .
A parcela linear lB é representada por:
1,3,
2,3,
1,2,
3,
2,
1,
0
0
0
00
00
00
NN
NN
NN
N
N
N
B l (4.4)
e a parcela não linear nlB é representada por:
72
3,1,31,3,33,1,21,3,23,1,11,3,1
2,3,33,2,32,3,23,2,22,3,13,2,1
1,2,32,1,31,2,22,1,21,2,12,1,1
3,3,33,3,23,3,1
2,2,32,2,22,2,1
1,1,31,1,21,1,1
NuNuNuNuNuNu
NuNuNuNuNuNu
NuNuNuNuNuNu
NuNuNu
NuNuNu
NuNuNu
B nl (4.5)
sendo que as derivadas do campo de deslocamento na configuração de
referência podem ser escritas na forma
iIIi uNu ~,, (4.6)
onde Iiu , representa as derivadas de deslocamentos u, v e w nas direções x, y
e z.
Finalmente, de forma completa, a variação do tensor de Green apresentado no
capítulo 3, pode ser calculada matricialmente como:
3
2
1
3,311,1,13,211,233,1,11,13
2,3,33,322,233,2,22,133,12
1,322,311,2,22,211,122,1,1
3,3,33,233,13
2,322,2,22,12
1,311,211,1,1
~
~
~
2
1)
2
11(
2
1
2
1)
2
11(
2
1
)2
11(
2
1
2
1)
2
11(
2
1
2
12
1
2
1)
2
11(
2
1
2
1)
2
11(
)2
11(
2
1
2
12
1)
2
11(
2
12
1
2
1)
2
11(
u
u
u
NuNuNuNuNuNu
NuNuNuNuNuNu
NuNuNuNuNuNu
NuNuNu
NuNuNu
NuNuNu
E
(4.7)
73
Obs.: Na referência Zienkiewicz (2000), equação acima aparece de maneira
que os termos não lineares não são multiplicados por 2
1. Após a implementação e a
verificação do programa, foi possível perceber que a forma correta de expressar o
tensor de variação de deformação é a apresentada na relação 4.7.
Calculada a deformação, o segundo tensor de tensões de Piolla-Kirchoff pode
ser relacionado com o tensor deformação de Green da seguinte forma:
KLIJKLIJ EDS (4.8)
onde D representa o já citado tensor constitutivo elástico linear.
A equação variacional da formulação lagrangeana total pode ser escrita para a
aproximação por elementos finitos da seguinte forma:
0)ˆ()~( fSdVBu TT (4.9)
onde B̂ representa o operador diferencial não linear, que é resultado da soma:
nll BBB̂ (4.10)
e as forças externas são determinadas por ext como:
t
m dSTNdVbNf )(
0 (4.11)
onde )(mb e T representam a forma matricial dos vetores de forças no volume e no
contorno, respectivamente.
74
A rigidez tangente é calculada pela soma de três termos de acordo com a
seguinte relação:
LGMT KKKK (4.12)
O primeiro termo, MK , corresponde à rigidez material, que é calculada pela
equação:
dBDBK T
Mˆˆ (4.13)
onde B̂ já representa o operador não linear como apresentado na relação 4.10,
e D é a matriz constitutiva elástico-linear.Como se trata de uma análise não-linear, a
cada iteração a rigidez material é atualizada.
O termo geométrico, GK , é implementado devido ao aparecimento de rigidez
geométrica, conseqüência de estados de tensão anteriores na estrutura. Como se
trata de uma análise não linear, a cada iteração tem-se um novo estado de tensão na
estrutura. O termo GK, que também é atualizado a cada iteração, é definido como:
IGKG (4.14)
onde I é a matriz identidade e G o termo geométrico definido como:
dNSNG JIJIa ,, (4.15)
75
O termo LK representa a rigidez tangente relativa a mudança de carregamento
durante a deformação. O termo LK é desconsiderado na análise, pois assume-se que
não há mudança no carregamento durante a deformação.
Durante o ciclo iterativo, a atualização da força interna é feita utilizando o
operador não linear B̂ e o segundo tensor de Piola Kirchoff S , de modo que:
SdBfi Tˆ (4.16)
Por fim, como todos os cálculos são efetuados com relação à configuração de
referência, inclusive o de tensões, após a convergência, é necessário que se obtenha
uma resposta condizente com a configuração deformada. Para tal, medida de tensão
de Piola Kirchoff é transformada para Cauchy, de acordo com a relação 3.11,
apresentada no capítulo 3, de modo que:
TFSFJ 1 (4.17)
Essa operação permite que ao fim da análise, apesar de todos os cálculos
terem sido feitos com relação à configuração indeformada, a medida final de tensão é
transformada para um valor referente à configuração deformada.
76
4.3. Método de Solução
4.3.1. Processo Incremental Iterativo
O equilíbrio do sistema pode ser avaliado através da equação de equilíbrio:
0)( FuP (4.18)
onde P(u) representa as forças internas resistentes e F as forças externas.
Analogamente, pode-se escrever que o equilíbrio como minimização de um
resíduo 1 , de modo que:
0)()( iii FuPu (4.19)
Para que essa relação seja satisfeita, a aplicação de um método iterativo
adequado faz-se necessária. Pelo método Newton Raphson, a relação 4.19 pode ser
aproximada como:
01
1
1
1
i
n
i
n
i
n
i
n daa
aa (4.20)
Onde as iterações i começam a ser contadas a partir de
nn aa1
1 (4.21)
77
sendo que na é a solução convergida do passo anterior. A matriz de rigidez
correspondente à direção tangente é dada por:
aa
PKT (4.22)
A correção iterativa é dada por:
i
n
i
n
i
T daK 1 (4.23)
Reescrevendo a equação 4.23, temos:
i
n
i
T
i
n Kda 1
1 (4.24)
Uma série de aproximações sucessivas resulta em
i
nn
i
n
i
n
i
n aadaaa 11
1
1 (4.25)
onde
i
k
k
n
i
n daa1
(4.26)
A Figura 4.1 apresenta uma ilustração do método Newton Raphson.
78
Figura 4.1 - Método Newton Raphson Fonte: Zienckiewicz (2000)
A convergência do método é avaliada com base na tolerância estabelecida
para às normas relativas, de modo que:
uk
m
k
tolu
u
1 (4.27)
representa a norma relativa dos deslocamentos, e:
f
m
k
mtol
F
1
(4.28)
representa a norma relativa dos resíduos. Os termos k e m, representam,
respectivamente, o contador de iterações e o incremento de carga.
79
4.4. O programa PoroNL
4.4.1. Características do programa PoroNL
O programa PoroNL foi desenvolvido no Lamce (Laboratório de Métodos
Computacionais em Engenharia) e atualmente ele é resultado da contribuição de
vários trabalhos, podendo citar entre os mais recentes, os de Coelho (2001), Tisser
(2004), Guevara (2006) e Vilella (2010).
Trata-se de um programa que utiliza o método dos elementos finitos para
análise de estabilidade em maciços rochosos durante a atividade de perfuração,
considerando não linearidade física, representada pela plasticidade, e não linearidade
geométrica, implementada a partir do presente trabalho.
4.4.2. Metodologia utilizada pelo programa PoroNL
Uma análise em elementos finitos pode ser dividida em 3 partes, sendo elas:
pré-processamento, solução e pós processamento.
O pré processamento compreende a etapa de geração do modelo, onde é
definida a geometria do modelo, a malha é gerada e são aplicadas as condições de
contorno. Para o presente trabalho, utilizou-se o pré processador do software
comercial Ansys, Inc. (2009).
A etapa que compreende a solução é realizada pelo programa PoroNL. Nessa
etapa é que a formulação de elementos finitos é aplicada e o problema não linear é
resolvido.
80
Após o pré processamento, é gerado um arquivo .dat que contém informações
do modelo. O programa PoroNL lê esse arquivo que contém os dados que podem ser
classificados da seguinte forma:
- dados de controle da análise, como número de elementos, número de nós,
número de materiais utilizados e número de elementos sobre pressão,
- coordenadas dos nós e condições de contorno referentes aos graus de
liberdade de cada nó,
- conectividade dos elementos,
- parâmetros do material, que são definidos como módulo de elasticidade,
coeficiente de Poisson, ângulo de atrito e coesão,
- parâmetros do cap, utilizados para definir a superfície de escoamento,
- parâmetros de carregamento, como tensões in situ, pressão estática do
reservatório e peso de fluido de perfuração,
- parâmetros de tolerância para o método interativo.
Além disso, é importante ressaltar que o programa utiliza modelos
tridimensionais e considera plasticidade perfeita (sem endurecimento) e fluxo plástico
associativo.
O elemento utilizado para as análises é um tetraedro linear composto por 4 nós
e 3 graus de liberdade de translação por nó.
O programa PoroNL lê todas as informações do arquivo .dat gerado pelo pré
processador e inicia a solução do modelo. Ao final da solução, o programa PoroNL
gera arquivos que serão utilizados para a visualização dos resultados.
O pós processamento compreende a etapa de visualização de resultados. Para
o presente trabalho, utilizou-se o pós processador Ensight (2011), da CEI. Através
deste programa, é possível visualizar os resultados obtidos, como tensões,
deformações e campo de deslocamentos ao longo do domínio.
81
O capítulo 4 apresentou a aproximação por elementos finitos da formulação
lagrangeana total. Foi explicitado como tal aproximação é feita partindo-se da
interpolações das funções de forma do elemento e seus deslocamentos nodais. Além
disso, foi apresentado o método de solução utilizado. Logo após, foi feita uma
descrição do programa PoroNL. O capítulo 5 tem por objetivo apresentar a validação
do código implementado e os experimentos numéricos realizados.
82
Capítulo 5
Experimentos Numéricos
5.1. Introdução
O presente capítulo tem por objetivo apresentar os experimentos numéricos
realizados durante o trabalho e é dividido em duas partes. A primeira parte se propõe
a verificar o modelo implementado com a literatura. Para tal, apresenta-se o exemplo
de uma viga em balanço. Verificado o modelo, a segunda parte se propõe a observar a
magnitude do efeito não linear geométrico em casos idealizados de perfuração de
poços. Para isso, são apresentados três exemplos:
Poço vertical perfurado em um maciço
Dois poços verticais perfurados em um maciço
Seção direcional de um poço
83
5.2. Verificação do Modelo
5.2.1. Viga em Balanço
O modelo da viga em balanço tem como objetivo verificar a implementação
Lagrangeana Total, comparando os resultados obtidos pelo programa PoroNL com os
resultados apresentados por Bathe (1979).
O modelo apresenta meia simetria no plano XZ e carga concentrada em uma
de suas extremidades. O material analisado apresenta coeficiente de Poisson nulo e
possui módulo de elasticidade E = 8,274 MPa. A Figura 5.1 apresenta a geometria da
viga, condições de contorno e carregamento:
Figura 5.1 - Geometria, condições de contorno e carregamento
84
O modelo de análise emprega uma malha de elementos tetraedros com 22.044
nós e 90.000 elementos. Como o objetivo é observar o efeito não linear na fase
elástica, nenhum critério de escoamento é aplicado. O carregamento é dividido em 10
incrementos com a finalidade de se observar os valores de deslocamento ao longo da
aplicação da carga.
A Figura 5.2 apresenta em detalhe a malha gerada em uma das extremidades
da viga.
Figura 5.2 - Viga modelada com detalhe da malha gerada em uma de suas extremidades
A Figura 5.3 apresenta o resultado obtido com o programa PoroNL, e os
resultados obtidos pelo trabalho de Bathe (1979). Esse gráfico é o mesmo
apresentado no trabalho utilizado como referência e a curva em vermelho apresenta a
solução obtida com o programa PoroNL.
85
Figura 5.3 - Comparação de resultado PoroNL e Bathe
Através da Figura 5.3, observa-se como a solução apresentada pelo programa
PoroNL se aproxima da solução da literatura. A pequena diferença entre as curvas
pode estar relacionada ao tipo de elemento e refinamento de malha utilizados em cada
análise.
Ainda com a finalidade de verificar o código implementado, o mesmo exemplo
é executado no software comercial ADINA R & D Inc. (2008) e comparado com os
resultados do programa PoroNL. São realizadas quatro análises, todas considerando
regime elástico, da seguinte forma:
86
- duas análises no programa ADINA R & D Inc. (2008), uma considerando o
efeito não linear geométrico e a outra sem considerar tal efeito.
- duas análises no programa PoroNL, uma considerando o efeito não linear
geométrico e a outra sem considerar tal efeito.
Os resultados são apresentados na Figura 5.4:
Figura 5.4 - Comparação de resultados ADINA x PoroNL
Na Figura 5.4 é possível perceber o efeito da não linearidade geométrica
através da inclinação da curva PoroNL (NLG ativada) e ADINA R & D Inc. (2008) (NLG
ativada). Além disso, nota-se a que a curva gerada pelos resultados do programa
PoroNL concorda com a curva gerada pelo software comercial ADINA R & D Inc.
(2008).
87
5.3. Estabilidade de Poços
Esta seção do trabalho apresenta os resultados obtidos e comentados para os
modelos de estabilidade na perfuração de poços de petróleo. É importante ressaltar o
fato de que as análises apresentadas aqui são idealizadas, ou seja, apesar de os
dados de material e geometria dos modelos terem sido obtidos de outros trabalhos, a
falta de dados reais é um limitador preponderante no presente estudo.
5.3.1. Modelo de um poço vertical perfurado em um maciço
O modelo do poço vertical perfurado em um maciço tem como objetivo fazer
uma comparação entre os resultados obtidos pelo programa PoroNL e um modelo que
utilize a teoria linear. Para esta análise, utilizou-se como referência o trabalho de
Villela (2010), que teve como base o trabalho de Polillo (1987).
O modelo compreende uma malha composta por 31.500 elementos tetraedros
e 10.812 nós. A malha corresponde a um setor circular de 90º, que representa um
quarto do poço e o nível de refinamento da mesma é maior na região próxima ao poço.
Foram aplicadas condições de simetria no contorno, para que o mesmo
correspondesse ao modelo de um poço vertical circular com raio de 0,1 m perfurado
em um bloco de rocha cujo domínio estende-se como uma coroa circular ao redor do
poço com raio externo superior a 50 vezes a dimensão do raio do poço. Deste modo,
procura-se evitar a influência das condições de contorno na análise de tensões do
poço.
O carregamento de pressão é aplicado na parede do poço e distribuído como
carga nodal equivalente.
A Figura 5.5 apresenta a malha gerada para o modelo
88
Figura 5.5 - Malha de elementos finitos gerada pelo software Ansys
O material utilizado para ambas as análises foi o Calcário 6 que Polillo (1987)
utiliza em sua dissertação, sendo seus valores definidos de acordo com a tabela 5.1:
Tabela 5.1 - Parâmetros de Resistência para a Simulação
Material E (MPa) Poisson Coesão (MPa) Ângulo Atrito
Calcário 49320 0,29 6,72 42º
Os dados de entrada de tensões in situ e pressão estática do maciço e peso de
fluido de perfuração estão de acordo com os valores apresentados por Polillo (1987)
em seu trabalho e são apresentados na tabela 5.2:
89
Tabela 5.2 - Parâmetros de Carregamento para a Simulação
Tensões Horizontais Tensão Vertical Pressão Estática Peso de Fluido
14,83 MPa 36,31 MPa 31,56 MPa 32,94 MPa
Foram realizadas 3 análises definidas da seguinte maneira:
- Análise 1: compara os resultados do programa PoroNL com os de Villela
(2010), que utiliza a teoria linear de deslocamentos.
- Análise 2: considera um peso de fluido de perfuração inferior ao da análise 1.
- Análise 3: considera a variação do cap sobre o eixo hidrostático.
Espera-se, através destas análises observar a relevância do efeito não linear
geométrico.
Análise 1- Comparação dos resultados do programa PoroNL com um modelo
linear:
Foram realizadas duas análises utilizando a mesma geometria, condições de
contorno e carregamento, porém, a diferença entre elas é a consideração do efeito
não linear geométrico.
A comparação foi realizada observando-se os valores de deslocamento e
tensões ao longo da faixa que se estende da parede do poço até o limite do maciço.
Para tal, utilizou-se a ferramenta line toll do software Ensight, que permite obter os
valores de uma variável ao longo de uma linha específica.
O Gráfico 5.1 apresenta a comparação entre os valores de deslocamentos
obtidos para o modelo linear em confronto com os deslocamentos obtidos pelo
PoroNL.
90
Gráfico 5.1 - Comparação entre os valores de deslocamento radial obtidos pelo modelo linear e pelo PoroNL
Através do Gráfico 5.1 é possível observar que os valores de deslocamento
são coincidentes entre o modelo linear e o PoroNL.
O Gráfico 5.2 apresenta uma comparação entre os valores de tensão radial
entre o modelo linear e o PoroNL.
Gráfico 5.2 - Comparação entre os valores de tensão radial obtidos pelo modelo linear e pelo PoroNL
91
Através do Gráfico 5.2, observa-se que os valores de tensão radial para
ambas as análises é coincidente. Observa-se também o valor de tensão igual a zero
no interior do poço devido ao efeito do furo. Nota-se que os valores de tensão radial
são menores na vizinhança do poço e aumentam na media em que o raio aumenta.
Observou-se também que o poço não apresentou nenhum índice de plastificação.
Dessa maneira, o efeito não linear geométrico é desprezível para esta análise.
Análise 2 - Peso de fluido de perfuração reduzido:
O que se pretende observar no próximo exemplo é o comportamento do poço
utilizando um peso de fluido reduzido.
Visto que com os valores de carregamento utilizados na análise 1 o poço não
apresentou nenhum índice de plastificação, uma redução no valor de peso de fluido
poderia induzir plastificação na parede do poço. Utiliza-se um valor arbitrário de peso
de fluido, igual a 32 Mpa, apenas com o objetivo de induzir plastificação e observar,
através da mesma, se há evidência de algum efeito não linear geométrico.
Apesar da diminuição do peso de fluido ter provocado plastificação, em ambas
as análises não houve diferença significativa nos valores de deslocamento. A região
plastificada engloba 600 elementos em ambas as análises.
Os gráficos a seguir apresentam uma comparação entre o modelo linear e o
PoroNL para valores de deslocamento e tensões radiais. É possível observar que em
ambos os gráficos os valores tanto de deslocamento quanto para tensões radiais são
coincidentes para ambos os modelos.
92
O Gráfico 5.3 apresenta uma comparação entre os valores de deslocamento
radial obtidos pelo modelo linear e pelo PoroNL
Gráfico 5.3 - Comparação entre os valores de deslocamento radial obtidos pelo modelo linear e pelo PoroNL
O Gráfico 5.4 apresenta uma comparação entre os valores de tensão radial
para o modelo linear e o PoroNL.
Gráfico 5.4 - Comparação entre os valores de deslocamento radial obtidos pelo modelo linear e pelo PoroNL
93
Os resultados apresentados a seguir correspondem ao modelo que considera a
não linearidade geométrica.
A Figura 5.6 apresenta o campo de deslocamentos na vizinhança do poço.
Figura 5.6 - Campo de deslocamentos na vizinhança do poço
De acordo com a Figura 5.6, pode-se observar que a magnitude dos
deslocamentos é maior na vizinhança do poço, representada pela área em vermelho,
do que nas outras áreas do maciço.
A Figura 5.7 apresenta a zona de plastificação na vizinhança do poço.
Figura 5.7 - Zona de Plastificação na vizinhança do poço
94
O maciço é representado pela área em azul e a área vermelha representa os
elementos plastificados. Observa-se, através desta figura, uma plastificação uniforme
localizada na vizinhança do poço
A Figura 5.8 apresenta a superfície de escoamento da análise considerada.
Figura 5.8 - Representação da superfície de escoamento em azul e os estados de tensões principais em vermelho
Observa-se que não há plastificação devido ao poro colapso. De acordo com
os resultados apresentados, observa-se que não há evidência de efeito não linear
geométrico para a análise com os parâmetros considerados.
Análise 3 - Variação do cap sobre o eixo hidrostático:
O próximo teste refere-se à sensibilidade do modelo à variação do parâmetro
X0, que determina o vértice do cap sobre o eixo hidrostático da superfície de
escoamento. Uma diminuição desse parâmetro aproxima o cap da origem do eixo
hidrostático, tornando o modelo mais suscetível ao colapso de poros. Também foram
realizadas duas análises, "com" e "sem" a consideração do efeito não linear
geométrico.
95
O Gráfico 5.5 apresenta uma comparação entre os valores de deslocamento
radial obtidos pelo modelo linear e o PoroNL.
Gráfico 5.5 - Comparação entre os valores de deslocamento radial obtidos pelo modelo linear e pelo PoroNL
O Gráfico 5.6 apresenta uma comparação entre os valores de tensão radial
para o modelo linear e o PoroNL.
Gráfico 5.6 - Comparação entre os valores de deslocamento radial obtidos pelo modelo linear e pelo PoroNL
96
É possível observar que os valores de deslocamento radial e tensão radial são
coincidentes para ambas as análises.
Apesar de uma redução drástica no parâmetro X0 ter provocado uma zona de
plastificação na parede do poço, a diferença entre as duas análises tanto para o
número de elementos plastificados quanto para valores de deslocamento não é
significativa.
Enquanto a análise 2 não apresenta plastificação devido ao poro colapso, a
análise com o parâmetro X0 reduzido apresenta pontos de tensão localizados na
região do cap. A Figura 5.9 apresenta a superfície de escoamento da análise
considerada.
Figura 5.9 - Representação da superfície de escoamento em azul e os estados de tensões principais em vermelho
Ambas as análises apresentaram 9453 elementos plastificados e a Figura 5.9
corresponde ao resultado obtido pelo PoroNL. É possível observar a superfície de
escoamento sob vários ângulos e perceber que os estados de tensão estão
localizados na região do cap.
97
5.3.2. Modelo que apresenta dois poços verticais perfurados em um
maciço
O modelo que apresenta dois poços perfurados em um maciço tem por objetivo
observar a ocorrência do efeito não linear geométrico. Para tal, foi idealizado um bloco
que corresponde a um maciço com duas cavidades, representando dois poços
perfurados. O maciço tem por dimensões 10 metros de comprimento, por 5 metros de
largura e 1 metro de altura. Foram aplicadas condições de contorno de simetria em
todas as faces externas do maciço. Os poços estão localizados na região central do
maciço, têm raio igual a 0,2 m e estão um do outro por uma distância igual a 0,1 m.
A malha é composta por 8498 nós e 42359 elementos, e possui maior
refinamento na vizinhança dos poços. O carregamento de pressão é aplicado na
parede do poço e distribuído como carga nodal equivalente. Apenas um dos poços é
submetido ao carregamento, totalizando 2400 faces triangulares pressurizadas.
A Figura 5.10 apresenta a geometria e a malha do maciço em amarelo e o
detalho dos poços perfurados, em laranja.
Figura 5.10 - Geometria do maciço, poços perfurados e malha de elementos finitos gerada para o modelo.
98
Os parâmetros de material são apresentados na tabela 5.3:
Tabela 5.3 - Parâmetros de Resistência para a Simulação
Material E (Mpa) Poisson Coesão (Mpa) Ângulo Atrito
Calcarenito 2.068,43 0,18 8,50 42º
Os valores de tensão in situ são definidos de acordo com a tabela 5.4:
Tabela 5.4 - Valores de Tensões in situ para a Simulação
Tensões Horizontais Tensão Vertical
21,13 MPa 32,11 MPa
Foram realizadas duas análises, definidas da seguinte maneira:
- Análise 1 : considera os dois poços apenas sobre o efeito de tensões in situ.
- Análise 2: considera o peso de fluido de perfuração em apenas um dos
poços.
Análise 1 -Os dois poços perfurados apenas sobre o efeito de tensões in situ:
O primeiro teste realizado considera os dois poços apenas sobre o efeito das
tensões in situ. Observou-se que, sem a consideração do efeito não linear geométrico,
ocorre plastificação em 809 elementos, e com a consideração do efeito não linear
geométrico, ocorre plastificação em 768 elementos.
Também foi observado que a magnitude dos deslocamentos é maior na análise
que considera a não linearidade geométrica.
99
No entanto, essa diferença não é considerada significante, e é justificada pelo
fato do programa PoroNL utilizar uma formulação não linear no código.
Análise 2 - Consideração de fluido de perfuração em apenas um dos furos:
Utilizando-se do mesmo modelo, o objetivo agora é testar a sensibilidade do
mesmo quando submetido à pressão estática e peso de fluido. Testes com diferentes
valores destas variáveis foram realizados. Observou-se que, para valores muito altos
de pressão estática e peso de fluido, o programa não converge. Isso pode estar
relacionado ao fato de a estrutura formada pelo espaçamento entre os dois poços ser
muito estreita. Dessa forma, o nível de plastificação e deformação é tão alto que pode
estar ocorrendo travamento volumétrico do elemento tetraedro.
Logo, os resultados apresentados aqui correspondem ao teste que considera
peso de fluido (Pw) igual a 5 MPa e pressão estática do reservatório (Pe) igual a 1
MPa. Os valores de tensões in situ são os mesmo utilizados pela análise 1. O peso de
fluido é aplicado apenas no poço situado à esquerda do maciço.
Percebe-se que, apesar da consideração da pressão estática contribuir para a
instabilidade do poço, a aplicação de um peso de fluido sobre a parede favorece uma
queda significativa na quantidade de elementos plastificados.
Para a análise sem a consideração do efeito não linear geométrico, observou-
se a plastificação de 468 elementos, enquanto que, na análise que considera o efeito
não linear geométrico, houve plastificação de 452 elementos.
A Figura 5.11 apresenta a vista de topo da zona de plastificação na região do
maciço onde se encontram os poços e, em detalhe, a zona de plastificação no interior
dos mesmos:
100
(a) - NLG (desativada) (b) NLG (ativada)
Figura 5.11 - Zona de plastificação na vizinhança dos poços para ambas análises
A área em azul corresponde ao maciço rochoso e a área em vermelho
corresponde aos elementos plastificados.
A Figura 5.12 apresenta em perspectiva, e de forma mais detalhada, a
plastificação que é observada em ambos os poços, para a análise considerando o
efeito não linear geométrico. A partir da ferramenta "Failed Elements" do programa
Ensight, pode-se representar apenas os elementos do maciço que não sofreram
plastificação.
101
Figura 5.12 - Detalhe na vizinhança dos poços com elementos plastificados removidos
A área em laranja representa o maciço com detalhe nos poços para a área
onde os elementos plastificados foram removidos. É observado como o peso de fluido
contribui para a estabilidade estrutural no poço da esquerda. Em contrapartida, o poço
da direita estando nu, apresenta uma área plastificada muito maior. A Figura 5.12
também explicita a idéia de como, em teoria, se apresentaria a estrutura da parede do
poço. Embora não significativos, os valores de deslocamentos apresentados também
foram maiores na análise que conta com o efeito não linear geométrico.
A Figura 5.13 apresenta a vista de topo de um comparativo entre a
configuração indeformada e a configuração deformada dos poços.
Figura 5.13 - Comparativo entre a configuração indeformada e a configuração deformada dos poços aumentada em 20 vezes
102
A área em laranja representa o maciço original. A área em azul representa o
deslocamento do maciço aumentado em 20 vezes e a área em vermelho apresenta os
elementos plastificados. Além de observar um maior nível de plastificação no poço da
direita, observa-se também que os deslocamentos também são maiores neste poço.
Através da ferramenta line toll do programa Ensight, é possível observar a
magnitude dos deslocamentos apenas na região central do maciço, onde está
localizada a coluna que separa os dois poços. A Figura 5.14 apresenta a vista de
topo da região do poço onde foi traçada a linha e medidos os deslocamentos:
Figura 5.14 - Detalhe da ferramenta linetool na região central do maciço
O Gráfico 5.7 apresenta a comparação entre os valores de deslocamento para
essa faixa entre o modelo linear e o PoroNL.
103
Gráfico 5.7 - Comparação entre os valores de deslocamento na regial central do maciço obtidos pelo modelo linear e pelo PoroNL
Apesar de não significativa, é possível perceber a partir do Gráfico 5.7 uma
pequena diferença entre o modelo linear e o PoroNL.
A Figura 5.15 apresenta a superfície de escoamento em azul, com os pontos
de tensão em vermelho, para a análise que considera o efeito não linear geométrico.
Figura 5.15 - Representação da superfície de escoamento em azul e os estados de tensões principais em vermelho
104
Através da Figura 5.15, observa-se que os pontos de tensão se encontram
próximos à origem do eixo hidrostático. Tal fato revela que não houve plastificação
devido ao poro colapso.
5.3.3. Modelo que representa a seção direcional de um poço
Para a próxima análise, utilizou-se o modelo tridimensional apresentado no
trabalho de Vilella (2010). Trata-se de um poço cuja zona de análise encontra-se no
reservatório de Quissamã.
O objetivo desta análise é observar a ocorrência do efeito não linear
geométrico, em comparação ao modelo linear.
O modelo geométrico tridimensional gerado contém 64.905 elementos
tetraedros e 12.625 nós. O poço encontra-se a uma profundidade medida de 2760 m
com inclinação de 78.96º. A profundidade vertical considerada é de 2485m. O poço,
considerado cilíndrico, possui raio de 0.187m. Foram aplicadas condições de contorno
de simetria, sendo considerada apenas uma metade do poço.
Os parâmetros utilizados para definir o material são apresentados na tabela
5.5:
Tabela 5.5 - Parâmetros de Resistência para a Simulação
Material E (Mpa) Poisson Coesão (Mpa) Ângulo Atrito
Calcarenito 2.068,43 0,18 8,50 42º
105
A Figura 5.16 apresenta a seção transversal do modelo.
Figura 5.16 - Malha tridimensional com simetria em relação ao eixo Z
A área em verde apresenta o maciço e a área em vermelho a seção inclinada
do poço. No trabalho de Vilela (2010), são consideradas situação de reservatório
depletado e pressurizado. No presente trabalho, foram realizados vários testes a fim
de observar a sensibilidade do modelo ao efeito não linear geométrico.
Os parâmetros de carregamentos são apresentados na tabela 5.6.
106
Tabela 5.6 - Parâmetros de Carregamento para a Simulação
Tensões Horizontais Tensão Vertical Pressão Estática Peso de Fluido
21,13 MPa 37,57 MPa 17,65 MPa 17,65 MPa
Pretende-se observar a ocorrência do efeito não linear geométrico quando se
trata de uma seção inclinada de um poço perfurado.
Foram realizadas duas análises, sendo que a diferença entre as mesmas é a
consideração do efeito não linear geométrico. Os resultados apresentados
correspondem à análise que considera tal efeito.
A Figura 5.17 apresenta a plastificação dos elementos na área aproximada do
maciço onde se encontra o poço:
Figura 5.17 - Zona de plastificação na vizinhança do poço
A área em azul representa o maciço rochoso e a área em vermelho, os
elementos plastificados. Através da Figura 5.17, observa-se que a zona de
plastificação é maior nas regiões superior e inferior do furo.
Através da ferramenta "Failed Elements" do programa Ensight, pode-se
observar como o maciço se apresentaria, desprezando os elementos plastificados. A
Figura 5.18 apresenta este cenário. A área em azul representa o maciço e os espaços
107
vazios representam os elementos plastificados. Através da Figura 5.18 também é
possível visualizar um possível cenário de como se apresentaria a vizinhança do poço
após a plastificação.
Figura 5.18 - Detalhe na plastificação do poço com os elementos plastificados removidos
No que se refere aos deslocamentos, observou-se uma diferença pouco
significativa entre as duas análises. Porém, o valor de deslocamentos para a análise
que considera o efeito não linear geométrico é menor.
A Figura 5.19 apresenta a magnitude dos deslocamentos no maciço para a
análise que considera o efeito não linear geométrico.
Figura 5.19 - Magnitude do campo de deslocamento na vizinhança do poço
108
Observa-se pela figura Figura 5.19 que a magnitude dos deslocamentos é
maior nas regiões superior e inferior do poço, representada pela área vermelha.
A Figura 5.20 apresenta uma comparação entre o maciço indeformado e o
deslocamento apresentado no poço, aumentado em 5 vezes.
Figura 5.20 - Comparativo entre a configuração indeformada e a configuração deformada do poço aumentada em 5 vezes
A área em laranja apresenta o maciço indeformado e a área em amarelo o
maciço deformado. É possível observar um esmagamento do poço localizado nas
regiões superior e inferior.
A Figura 5.21 apresenta a superfície de escoamento limitada pelo cap para a
análise considerando-se o efeito não linear geométrico:
Figura 5.21 - Representação da superfície de escoamento em azul e os estados de tensões principais em vermelho
109
Apesar da análise ter apresentado um alto nível de plastificação, é possível
observar através da figura Figura 5.21 que não ocorreu plastificação devido ao poro
colapso.
110
Capítulo 6
Conclusões e Recomendações
6.1. Resumo
O presente trabalho apresentou a implementação de uma formulação em um
código de elementos finitos que contempla deslocamentos finitos. Logo, pode-se
considerar, através dessa implementação, a ocorrência do efeito não linear geométrico
em estruturas.
A formulação implementada é continuação do trabalho desenvolvido por
Guevara (2006), que já considerava geometrias tridimensionais e não linearidade
física.
O programa PoroNL utiliza elementos tetraedros com funções de interpolação
lineares. Cada tetraedro é composto por 4 nós e cada nó apresenta 3 graus de
liberdade.
O programa utiliza como processo iterativo o método Newton Raphson Full,
que atualiza a matriz de rigidez a cada iteração.
Para o tratamento da não linearidade geométrica, foi implementada a
formulação proposta por Zienkiewicz (2000). O comportamento não linear geométrico
111
basicamente se resume a uma resposta não linear de deslocamentos devido às
condições de contorno estabelecidas.
Para o tratamento da não linearidade física, representada pela plasticidade,
utiliza-se uma superfície de escoamento baseada no critério de Mohr Coulomb,
limitada por um cap suave, já implementada no trabalho de Guevara (2006)
O código é verificado e validado através da comparação de resultados com um
trabalho encontrado na literatura desenvolvido por Bathe (1979). O exemplo utilizado é
o de uma viga em balanço. Verificado o código, ele é então testado em situações
idealizadas de estabilidade de poços de petróleo e os resultados são comentados.
6.2. Conclusões
Através dos resultados obtidos, pode-se perceber que não foram encontradas
diferenças significativas nos valores de deslocamentos e elementos plastificados entre
as análises que utilizam a teoria linear e as análises que consideram o efeito não
linear geométrico.
Os exemplos de poço vertical consideram um módulo de elasticidade maior do
que o utilizado nas análises subsequentes. Observou-se que, apesar de não
significativa, a diferença entre os deslocamentos é maior quando se utiliza um módulo
de elasticidade menor. Pode ser um indício de que, quanto menor o módulo de
elasticidade, maior a suscetibilidade do modelo ao efeito não linear geométrico.
Ressalta-se que, apesar da formulação compreender grandes deslocamentos,
a relação entre deformação e tensão é feita através de um tensor constitutivo elástico
linear, sendo tal tensor um fator limitante na representação do comportamento do
material.
112
Mesmo não havendo diferença significativa entre as análises, o presente
trabalho é um passo no objetivo de modelar materiais que apresentam
comportamentos mais complexos como o sal e as rochas carbonáticas, além de ser
uma contribuição no estudo de localização de deformações das mesmas.
6.3. Trabalhos Futuros
Este trabalho pretende ser um passo no estudo do comportamento das rochas
em uma perfuração de poço de petróleo. Apesar de não se ter observado uma
relevância significativa do efeito não linear geométrico, o código implementado é de
fundamental importância para o desenvolvimento futuro de programas que levem em
conta relações constitutivas mais avançadas e o fenômeno de localização de
deformação em rochas.
Recomenda-se para trabalhos futuros a verificação do código para estabilidade
de poços de petróleo através de dados reais de poço.
Além de relações constitutivas mais avançadas, recomenda-se também
implementar uma formulação que evite o efeito de travamento volumétrico do
elemento, visto que ele apresenta função de interpolação de baixa ordem.
A implementação do programa em um código que considere paralelismo é
recomendada, com o propósito de se considerar modelos maiores ou seções de
modelos com alto grau de refinamento da malha.
O código implementado no programa PoroNL também é um passo no caminho
da implementação de localização de deformação em rochas.
Visto que há um grande potencial exploratório nas novas reservas de óleo
descobertas no Brasil e os desafios são uma constante nesse meio, códigos
computacionais complexos que simulem diferentes cenários de estabilidade de poço
113
podem diminuir os riscos associados à atividade de perfuração e ser de grande valia
no auxilio de tomada de decisão do engenheiro.
114
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![ARIANO SUASSUNA, UM INTELECTUAL POLIFÔNICO · Circe Bittencourt argumenta que as “[...] imagens diversas são produzidas pela capacidade artística humana também nos informam](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5c0fdf7a09d3f2126b8bc138/ariano-suassuna-um-intelectual-polifo-circe-bittencourt-argumenta-que-as-.jpg)
