Inaotroc~du a Geometria Riemanniana - IME-USP · 2012. 8. 29. · (3) W. Kuhnel, Di erential...

Introdu�c~ao a Geometria

Riemanniana

Marcos M. Alexandrino (USP)

Sum�ario

Pref�acio v

Parte I. Ferramentas b�asicas 1

Cap��tulo 1. Variedades Riemannianas 31.1. M�etricas Riemannianas 31.2. Grupos de Lie 61.3. A�c~oes Isom�etricas 9

Cap��tulo 2. Conex~ao e curvatura 132.1. Conex~ao a�m 132.2. Conex~ao Riemanniana 162.3. Tensor curvatura de uma conex~ao a�m 172.4. Tensor curvatura da conex~ao Riemanniana 182.5. Formas de conex~ao e curvatura 212.6. ? Conex~ao e �brados de referenciais 24

Cap��tulo 3. Geod�esicas e campos de Jacobi 293.1. Propriedades b�asicas de geod�esicas 293.2. Vizinhan�ca normal convexa 333.3. Campos de Jacobi e varia�c~oes por geod�esicas 353.4. Campos de Jacobi em espa�cos de curvatura constante 383.5. Pontos conjugados 39

Parte II. Resultados cl�assicos 41

Pref�acio

Estas s~ao notas de aula do curso Introdu�c~ao a Geometria Riemanni-ana o qual esta sendo ministrado no Departamento de Matem�atica doIME-USP durante o primeiro semestre de 2011, ministrado pelo Prof.associado Marcos. M. Alexandrino.

A referencias para este curso s~ao:Bibliografia Principal:

(1) M. do Carmo, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides.(2) S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Uni-

versitext, Springer.(3) J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Uni-

versitext, Springer.(4) R.S. Palais, C-L Terng, Critical Point Theory and Submani-

fold Geometry, Lectures Notes in Mathematics 1353, SpringerVerlag. (see Terng).

Bibliografia de Apoio:

(1) M.M. Alexandrino, R. G. Bettiol Introduction to Lie groups,isometric and adjoint actions and some generalizations lec-tures: http://arxiv.org/abs/0901.2374

(2) R. Bisphop, R. Crittenden, Geometry of Manifolds, AMS, Chelsea.(3) W. Kuhnel, Di�erential Geometry, Curves-surfaces-manifolds.

American Mathematical Society, Second Edition 2005.(4) P. Petersen, Riemannian Geometry, Graduate texts in math-

ematics, Springer.(5) M. Spivak, A comprehensive Introduction to Di�erential Ge-

ometry, V. 1 Publish or Perish,Inc. 1979.

As notas aqui apresentadas est~ao ainda em prepara�c~ao n~ao con-tendo toda a mat�eria do curso. Haja vista que elas est~ao sendo digi-tadas simultaneamente com o curso devem conter imprecis~oes e errostipogr�a�cos. Tamb�em o sistema de referencia e cita�c~oes ainda ser�aimplementado.

Sugest~oes e corre�c~oes s~ao bem vindas e podem ser enviadas [email protected]

vi Pref�acio

Parte I

Ferramentas b�asicas

CAP��TULO 1

Variedades Riemannianas

Neste cap��tulo apresentamos a de�ni�c~ao de variedades Riemanni-anas e alguns exemplos. Dentre estes exemplos discutiremos rapida-mente os grupos de Lie compactos com m�etricas bi-invariantes e osespa�cos de �orbitas M=G no caso em que G �e um subgrupo fechado deisometrias da variedade Riemanniana M , agindo livremente em M .

Nesta se�c~ao apresentaremos a de�ni�c~ao de m�etrica Riemanniana ediscutiremos rapidamente alguns exemplos. Entre os exemplos discu-tidos est~ao os grupos de Lie compacto com m�etricas bi-invariantes eespa�cos de �orbitas de a�c~oes livres de grupos fechados de isometrias.

1.1. M�etricas Riemannianas

Definic�~ao 1.1. Uma m�etrica (Riemanniana) de uma variedadeM �e uma se�c~ao suave do �brado dos 2-tensores sim�etricos positivosde�nidos em T (M). Em outras palavras �e uma aplica�c~ao que associaa cada ponto p da variedade M um produto interno gp de TpM tal quegi;j := g( @

@xi; @@xj

) �e suave. Uma variedade M com uma m�etrica g �e

chamada ent~ao de variedade Riemanniana.

Segue da de�ni�c~ao acima que uma m�etrica g pode ser descrita emcoordenada da seguinte forma:

g =Xi;j

gi;jdxi dxj

Proposic�~ao 1.2. Toda variedadeM admite m�etrica Riemanniana.

Demonstra�c~ao. Seja fU�; �g um atlas de M . Seja g0 m�etrica Euclid-iana e de�na g� := ��g

0. Por �m seja fh�g uma parti�c~ao da unidadesubordinada a fU�g e de�na g :=

P� f�g�: �

Observa�c~ao 1.3. Racioc��nio an�alogo garante que n~ao somente TMmas qualquer �brado vetorial admite m�etrica nas �bras.

Observa�c~ao 1.4. O resultado acima (sem acr�escimo de novas hip�oteses)n~ao �e v�alido para outras estruturas geom�etricas. Por exemplo, nemtoda variedade admite uma m�etrica de Lorenz. Em particular uma su-perf��cie admite m�etrica de Lorenz se e somente se a sua caracter��sticade Euler for zero. Tamb�em nem toda variedade (dimens~ao par) admiteestrutura simpl�etica, ou seja uma 2-forma fechada n~ao degenerada.

4 Variedades Riemannianas

Tendo a de�ni�c~ao de m�etrica, podemos de�nir imers~oes isom�etricase isometrias como se segue. Sejam (M; gM) e (N; gN) variedades Rie-mannianas. Ent~ao uma imers~ao F : (M; gM) ! (N; gN) �e chamadaimers~ao isom�etrica se gM = F �gN . Segue da de�ni�c~ao que uma imers~aoF : M ! (N; gN) torna-se uma imers~ao isometrica se de�nimos am�etrica deM como gM := F �gN . Tal m�etrica ser�a chamadam�etrica in-duzida (canonica). Al�em disto, um difeomor�smo (local) F : (M; gM)!(N; gN) �e chamado isometria (local) se for uma imers~ao isom�etrica.

As de�ni�c~oes acima nos levam a considerar os exemplos de m�etricasinduzidas em variedades mergulhadas ou imersas em espa�cos Euclidi-anos.

Exemplo 1.5. Seja M � Rn uma variedade mergulhada. Ent~ao

(M; gM) �e variedade Riemanniana com a m�etrica induzida gM := i�g0onde i : M ! R

n �e a inclus~ao e g0 �e a m�etrica Euclidiana. Emparticular seM for a esfera Sn�1 est�a ser�a a m�etrica canonica da esfera.

Observa�c~ao 1.6. Segue do teorema de Nash que qualquer variedadeRiemanniana M pode ser isom�etricamente mergulhada em algum R

n:

Um outro exemplo simples de variedades Riemannianas �e o exemplode variedade produto com m�etrica produto.

Exemplo 1.7. Sejam (M; gM) e (N; gN) variedades Riemannianas.Ent~ao a variedade produto M �N pode ser dotada da m�etrica

gM�N(m;n) (V;W ) := gMm (V1;W1) + gNn (V2;W2)

a qual ser�a chamada de m�etrica produto.

Exerc��cio 1.8. Sejam g1 e dr2 m�etricas canonicas de Sn�1 e I =(0;1). De�na em S

n�1 � I a metrica g(m;r) := r2g1 + dr2.

(a) A m�etrica g �e m�etrica produto?(b) Mostre (Sn�1 � I; g) �e isom�etrico a (Rn � 0; g0) e que (S

n�1 �I; g1� dr2) �e isom�etrico ao cilindro fx 2 Rn+1jx21 + : : :+ x2n =1; ex0 > 0g.

Sugest~ao: Consulte Gallot, Hulin, Lafontaine (Se�c~ao 2.A, p�agina58,59).

Completando a nossa lista de primeiros exemplos de variedades Rie-mannianas temos o exemplo do espa�co hiperp�olico em seus diversosmodelos.

Exerc��cio 1.9 (Espa�co hiperb�olico). Neste problema iremos veras diferentes representa�c~oes do espa�co hiperb�olico.

(a) O espa�co de Minkowski �e de�nido como Rn+1 com a formaquadratica hx; xi = �x20+x21+ � � �+x2n. Considere Hn+1 a sub-variedade de Rn+1 de�nida como: Hn := fx 2 R

n+1jhx; xi =�1; x0 > 0g: Veri�que que a forma quadratica �dx20 + dx21 +� � �+ dx2n restrita a Hn �e uma m�etrica Riemanniana g.

1.1 M�etricas Riemannianas 5

(b) Seja f a pseudo-invers~ao com polo s = (�1; 0; � � � ; 0) de�nidapor f(x) = s � 2(x�s)

hx�s;x�si ; onde h�; �i �e a forma quadratica

de�nida no Item (a). Para X = (0; X1; : : : ; Xn) no planox0 = 0 denote jXj2 := hX;Xi =

Pni=1X

2i : Mostre que f �e

difeomor�smo de Hn no disco unit�ario fx 2 Rn; jxj < 1g e queg1 := (f�1)�g = 4

Pni=1

dx2i(1�jxj2)2 .

(c) Seja h a invers~ao no Rn de�nida como h(x) := s+ 2(x�s)jx�sj2 , com

polo s = (�1; 0; : : : ; 0): Mostre que h �e um difeomor�smo do

disco unit�ario no semi-espa�co x1 > 0 e que h�g1 =Pn

i=1dx2i(x1)2

.

Obtemos assim duas variedades Riemannianas que s~ao isom�etricas a(Hn; g), a primeira �e chamada disco de Poincar�e (Item (b)) e a segundasemi-espaco de Poincar�e (Item (c)).

Sugest~ao: Consulte e.g. Gallot, Hulin, Lafontaine (Se�c~ao 2.A,p�agina 56,57) e Carmo (Capitulo 8, p�agina 196,197).

O conceito de m�etrica nos permite introduzir de forma natural con-ceitos como comprimento de curva, distancia e volume.

Seja � : [a; b] ! (M; g) uma curva C1 por partes. O comprimentoda curva de � �e de�nido como

L(�) :=Xi

Z ti

ti�1

pg(�0(t); �0(t))d t

A distancia entre 2 pontos q e q de M �e de�nida como

d(p; q) = inf�2p;q

L(�)

onde p;q �e o conjunto das curvas C1 por partes � : [0; 1] ! M com�(0) = p e �(1) = q.

�E possivel mostrar que d : M �M ! R �e uma fun�c~ao continua ede fato uma fun�c~ao distancia. Temos assim que (M;d) �e um espa�com�etrico.

Exerc��cio 1.10. Sejam (Mm; g) variedade Riemanniana orientadae ! a m-forma volume (i.e, a �unica m-forma tal que !(e1; : : : ; em)p =1 para qualquer referencial ortonormal feig de TpM coerente com a

orienta�c~ao de TpM). Mostre que em coordenadas ! =pdet(gi;j) dx1^

: : : ^ dxn.Sugest~ao: Considere ei =

Pj bij

@@xj

. Note que (bij)T (gij)(bij) =

Id. Assim det(bij) =1p

det(gij). Por outro lado se ! = cdx1 ^ : : : ^ dxn

temos 1 = !(e1; : : : ; en) = c det(bij). Podemos ent~ao concluir que

c =pdet(gij).

Concluimos esta se�c~ao discutindo 2 tipos de variedades Riemanni-anas muito especiais. A primeira ser�a um grupo de Lie compacto Gcom m�etrica bi-invariante. A segunda sera o espa�co de �orbitas M=G


de uma a�c~ao livre um grupo fechado de isometrias G de uma variedadeRiemanniana M . Para maiores detalhes vide Alexandrino e Bettiol.

1.2. Grupos de Lie

Iniciemos apresentando algumas de�ni�c~oes e propriedades gerais degrupos de Lie.

Definic�~ao 1.11. Uma variedade G �e chamada grupo de Lie se G�e um grupo e as opera�c~oes

G�G 3 (x; y) ! xy 2 GG 3 x ! x�1 2 G

s~ao suaves

Observe que a de�ni�c~ao acima equivale a dizer que G �e um grupoe a opera�c~ao G�G 3 (x; y)! xy�1 2 G �e suave.

Exemplos de grupos de Lie s~ao (Rn;+), (S1; �), T n = S1 � � � � � S1

e os grupos de matrizes GL(n;K), SL(n;K) (onde K = R ou K = C)e os grupos de matrizes O(n), SO(n), U(n) e SU(n).

Definic�~ao 1.12. Um subgrupo H de G �e um um subgrupo de Liese H �e variedade imersa (sem auto-interse�c~oes) e H � H 3 (x; y) !xy�1 2 H �e suave.

Um dos primeiros resultados da teoria de grupos de Lie nos forneceuma ferramenta �util para obter exemplos de grupos e subgrupos de Lie.

Teorema 1.13. Seja G um grupo de Lie e H um subgrupo fechado.Ent~ao H �e um sugrupo de Lie de G mergulhado.

Exerc��cio 1.14. Mostre queGL(n;R); GL(n;C), SL(n;R) , SL(n;C),O(n) e U(n) s~ao grupos de Lie.

Sugest~ao: Mostre diretamente que GL(n;R) e GL(n;C) s~ao gru-pos de Lie. Depois mostre que SL(nR) , O(n), SL(n;C), e U(n) s~aosubgrupos fechados de GL(n;R) e GL(n;C) e use o resultado acima.

Recordemos agora que a cada grupo de Lie existe uma algebra deLie associada. Um campo X �e chamado campo invariante a esquerdase X = dLgX onde Lg : G 3 a ! ga 2 G �e a multiplica�c~ao a es-

querda. �E possivel mostrar que tais campos de fato s~ao suaves. Segueda de�ni�c~ao que um campo invariante a esquerda �e determinado porseu valor no espa�co tangente TeG, i.e., X(g) = dLgX(e). Assim cheg-amos a conclus~ao que o modulo dos campos invariantes a esquerda,denotado aqui por g; �e um espa�co vetorial com a dimens~ao do grupode Lie G. Tamb�em �e possivel mostrar que g �e fechado pelo colchetede campos de vetores, ou seja o colchete de 2 campos invariantes aesquerda �e um campo invariante a esquerda.

1.2 Grupos de Lie 7

Definic�~ao 1.15. Seja g o modulo dos campos invariantes a es-querda do grupo de Lie G. Ent~ao g dotado do colchete de campos �euma algebra de Lie chamada algebra de Lie do grupo de Lie G.

Observa�c~ao 1.16. Como X(g) = dLgX(e) frequentemente estare-mos identi�cando o campo X com o vetor X(e) 2 TeG. Tamb�empodemos dotar TeG com o produto de Lie [V1; V2] := [X1; X2]e ondeXi(g) = dLgVi e provar que TeG com tal produto de Lie �e isomorfo(admite uma bije�c~ao linear que preserva produto de Lie) a g com ocolchete de campos.

Um outro conceito relevante em grupos de Lie �e o da exponencialde Lie. Seja X 2 g. Ent~ao �e possivel mostrar que existe uma �unicalinha integral �X : R ! G do campo X. Ou seja �0X(t) = X(�X(t)) e�X(0) = e. A exponencial de Lie �e de�nida ent~ao como

exp(X) = �X(1):

A seguir algumas propriedades da aplica�c~ao exponencial de Lie.

(1) exp(tX) = �X(t)(2) exp(�tX) = (exp(tX))�1

(3) exp(tX + sX) = exp(tX) exp(sX)(4) exp : TeG! G �e suave e d(exp)0 = id

Como podemos perceber tais propriedades s~ao as mesmas da aplica�c~aoexponencial de matrizes. De fato quando G �e um grupo de matrizesestas 2 exponenciais coincidem.

Exerc��cio 1.17. SejaG �e um subgrupo de Lie deGL(n;R). Mostreque a aplica�c~ao exponencial de G coincide com a exponencial de ma-trizes.

Sugest~ao: De�na '(t) := exp(tX). Usando o fato que ' �e umhomomor�smo de Lie a 1-parametro (ou seja '(s + t) = '(s)'(t)),conclua que ' �e solu�c~ao da E.D.O, '0(t) = '0(0)'(t) com '(0) = Id:O resultado segue ent~ao da teoria de E.D.O.

Aceitando algumas propriedades da aplica�c~ao exponencial e a rep-resenta�c~ao adjunta, podemos determinar explicitamente a algebra deLie de grupos de Lie matriciais.

Exerc��cio 1.18. SejamG subgrupo de Lie deGL(n;R) eX; Y 2 g.Veri�que:

(1) dLgX = gX e dRgX = Xg:(2) Ad(g)Y := d

dt(g exp(tY )g�1)jt=0 = gY g�1:

(3) Usando (sem demonstrar) o fato que ddtAd(exp(tX))Y jt=0 =

[X; Y ] mostre que [X; Y ] = XY � Y X (comutador de ma-trizes).

T�ambem �e conveniente destacar o pr�oximo resultado sobre quo-ciente entre grupos de Lie que ser�a �util no estudo de �orbitas de a�c~oesisom�etricas.


Teorema 1.19. Seja H um subgrupo fechado de um grupo de LieG. Ent~ao G=H admite uma �unica estrutura diferenci�avel tal que � :G! G=H �e aplica�c~ao suave. Al�em disto se H �e normal G=H �e grupode Lie e � �e um homomor�smo de Lie, i.e., um homomor�smo suaveentre grupos de Lie.

Observa�c~ao 1.20. Para que G=H seja um grupo de Lie �e necessarioque H seja normal. Veremos por exemplo que SO(3)=SO(2) �e difeo-morfo a esfera S2, a qual n~ao admite estrutura de grupos de Lie, hajavista que seu �brado normal n~ao �e trivial. O quociente de um grupo deLie matricial por um grupo normal pode resultar em um grupo de Lien~ao matricial, i.e., que n~ao admite uma representa�c~ao injetora matricial(vide detalhes em Carter, Segal e Macdonald).

Por �m vamos considerar algumas m�etricas nos grupos de Lie.Seja Rg : G 3 x! xg 2 G a m�ultiplica�c~ao a direita. Uma m�etrica

g em um grupo de Lie G �e invariante a direita (respectivamente in-variante a esquerda) se Rg (respectivamente Lg) �e isometria da m�etricag para todo elemento g do grupo. Note que todo grupo de Lie admiteuma m�etrica invariante a direita. De fato uma tal m�etrica pode serde�nida como

gh(V;W ) := hD(Rh)�1V;D(Rh)

�1W ionde h�; �i �e um produto internto qualquer em TeG. De forma analoga,pode-se demonstrar que existe uma n-forma invariante a direita, ouseja R�

h! = !. Nem todo grupo amite uma m�etrica que seja invariantea direita e a esquerda ao mesmo tempo (e.g., SL(2;R)). Mostramos aseguir que, quando o grupo G �e compacto, tal m�etrica existe.

Proposic�~ao 1.21. Seja G um grupo de Lie compacto. Ent~ao Gadmite uma m�etrica bi-invariante, i.e., invariante a esquerda e direita.

Demonstra�c~ao. Seja ! uma forma volume invariante a direita em G eh�; �i uma m�etrica invariante a direita qualquer.

De�na para todo X; Y 2 TxG,

6 X; Y >x=

ZG

hdLgX; dLgY igx!:

Primeiro a�rmarmos que 6 �; � > �e invariante a esquerda. De fato,

6 dLhX; dLhY >hx =

ZG

hdLg(dLhX); dLg(dLhY )ig(hx)!

=

ZG

hdLghX; dLghY i(gh)x!:(1.2.1)

Fixe X; Y 2 TxG e de�na f(g) = hdLgX; dLgY igx. Ent~aoZG

hdLghX; dLghY i(gh)x! =

ZG

f(gh)!

1.3 Ac�~oes Isom�etricas 9

=

ZG

R�h(f!)

=

ZG

f!(1.2.2)

=

ZG

hdLgX; dLgY igx!= 6 X; Y >x :

Das equa�c~oes (1.2.1) e (1.2.2), segue que 6 �; � > �e invariante a es-querda.

Veri�camos agora que 6 �; � > �e invariante a direita.

6 dRhX; dRhY >xh =

ZG

hdLg(dRhX); dLg(dRhY )ig(xh) !

=

ZG

hdRhdLgX; dRhdLgY i(gx)h !

=

ZG

hdLgX; dLgY igx != 6 X; Y >x : �

1.3. A�c~oes Isom�etricas

Nesta subse�c~ao estamos interassados em considerar variedades quesurgem como espa�co de �orbitas M=G, onde G �e um subgrupos fechadode isometrias de M , bem como apresentar m�etricas naturais nestesespa�cos.

Iniciemos apresentando algumas de�ni�c~oes e resultados mais geraissobre a�c~oes pr�oprias.

Sejam G um grupo de Lie, M uma variedade. Uma aplica�c~ao � :G�M !M �e chamada a�c~ao a esquerda se

(a) �(g1; �(g2; x)) = �(g1g2; x)(b) �(e; x) = x.

Vale aqui de�ni�c~ao an�aloga para a�c~ao a direita. Por vezes, pode serconveniente denotar �(g; x) simplesmente por g � x.

Uma a�c~ao � : G � M ! M �e uma a�c~ao pr�opria se a aplica�c~aoG �M 3 (g; x) ! (�(g; x); x) 2 M �M �e pr�opria, ou seja se a pr�e-

imagem de conjuntos compactos �e compacto. �E poss��vel mostrar queuma a�c~ao �e pr�opria se e somente se para toda sequencia fxng em M e�(gn; xn) em M tal que xn ! x e �(gn; xn)! y pudermos concluir queexiste uma subsequencia fgnig convergente em G. Temos ent~ao quetodo grupo compacto G age sempre propriamente em variedades.

A seguir um outro exemplo de a�c~ao pr�opria. Lembremos que umaa�c~ao �e livre se senhum �(g; �) �xa pontos quando g diferente da identi-dade.


Exerc��cio 1.22. Seja H subgrupo fechado de um grupo de Lie G.Mostre que a a�c~ao G �H ! G de�nida como g � h := gh �e uma a�c~aoa direita, livre, pr�opria.

Um conceito relevante no estudo de a�c~oes �e o conceito de �orbita.Uma �orbita passando por x �e de�nida como sendo o conjunto

G(x) := f�(g; x)j8g 2 Gg:Outro conceito relevante �e a de�ni�c~ao de grupos de isotropia Gx de umponto x.

Gx := fgj�(g; x) = xg:Proposic�~ao 1.23. Sejam � : G �M ! M a�c~ao e �x : G ! M

de�nida como �x(g) = �(g; x). Ent~ao

(a) ~�x : G=Gx ! G(x) �M �e uma imers~ao sem auto-interse�c~oes,onde ~�x �e a �unica fun�c~ao tal que ~�x � � = �x e � : G! G=Gx

�e a proje�c~ao canonica.(b) Se a a�c~ao for pr�opria ent~ao ~�x �e um mergulho. Em particular

G(x) �e variedade mergulhada.

Exerc��cio 1.24. Veri�que que Sn = SO(n+ 1)=SO(n).

A�c~oes pr�oprias est~ao relacionadas com a�c~oes de grupos fechados deisometria. Antes de explorar este rela�c~ao, apresentamos o teorema aseguir devido a Meyers-Steenrod.

Teorema 1.25. Seja M uma variedade Riemanniana e denote porIso(M) o grupo de isometrias de M . Ent~ao todo subgrupo fechado natopologia da convergencia compacta �e um grupo de Lie. Em particularIso(M) �e grupo de Lie. Al�em disto se M for compacta, Iso(M) �ecompacta.

Teorema 1.26. Seja G � Iso(M) subgrupo fechado. Ent~ao a a�c~ao� : G�M !M de�nida como �(g; x) = g(x) �e uma a�c~ao pr�opria.

Observa�c~ao 1.27. �E possivel tamb�emmostrar um resultado rec��proco.Ou seja, para toda a�c~ao pr�opria � : G �M ! M existe uma m�etricaem M tal que �(G; �) se torna um subgrupo fechado de isometrias.

Teorema 1.28. Seja � : G�M !M a�c~ao livre e pr�opria. Ent~aoM=G tem estrutura de variedade e � :M !M=G �e submers~ao. Al�emdisto para todo x 2M=G e y 2 ��1(x) existe aplica�c~ao suave S : U !M (se�c~ao local) tal que S(x) = y e � � S = Id.

Exemplo 1.29. Considere a esfera S2n+1 = fz 2 Cn+1 = R2n+2; jz1j2+

� � � + jznj2 = 1g e � : S1 � S2n+1 ! S

2n+1 de�nida como �(g; z) =(g � z1; : : : ; g � zn+1). Ent~ao Pn(C) = S

2n+1=S1 (espa�co projetivo com-plexo) �e variedade e � : S2n+1 ! P

n(C) �e submers~ao.

Exerc��cio 1.30. Veri�que os difeomor�smos abaixo:

1.3 Ac�~oes Isom�etricas 11

(a) Pn(R) = SO(n+ 1)=S(O(n)�O(1)).(b) Pn(C) = SU(n+ 1)=S(U(1)� U(n)).

Sugest~ao: Para mostrar por exemplo que Pn(R) = SO(n+1)=S(O(n)�O(1)), note que a a�c~ao de SO(n+ 1) na esfera Sn induz uma a�c~ao emP n(R) (visto que a�c~ao de matriz comuta com a a�c~ao por multiplica�c~aopor escalar).

Considere agora as hip�oteses do Teorema 1.28. Desejamos dar umam�etrica a M=G de forma que � : M ! M=G se torne uma submers~aoRiemanniana.

Recordemos primeiro que uma submers~ao � : (M; gM) ! (B; gB)�e uma submers~ao Riemmanniana se para qualquer p 2 M a derivadad�p : Hp ! T�(p)B �e isometria, onde Hp �e o espa�co normal as pre-imagem ��1(�(p)).

Proposic�~ao 1.31. Sejam (M; gM) variedade Riemanniana e Gsubgrupo fechado de isometrias de Iso(M). Suponha que a a�c~ao G �M ! M �e livre. Ent~ao existe uma �unica m�etrica gM=G em M=G talque � :M !M=G �e uma submers~ao Riemanniana.

Demonstra�c~ao. Seja H a distribui�c~ao normal as �orbitas. Observe quetal distribui�c~ao �e suave. Observe tamb�em que dado um vetor V 2Tq(M=G) existe um �unico vetor ~V 2 Hp tal que D�p ~V = V , ondep 2 ��1(q). Podemos ent~ao de�nir a m�etrica como

gM=G(V1; V2) = gMp ( ~V1; ~V2):

Devemos veri�car primeiro que gM=G est�a bem de�nida. Note quecomo g �e isometria, sua derivada leva Hp em Hg(p): Assim se ~V 2 Hp

temos que dg ~V 2 Hg(p). Por outro lado sabemos que � = � � g. Assimd� � dg ~V = d� ~V . Tais fatos permitem ent~ao concluir que gM=G est�abem de�nida.

Para mostrar que gM=G �e suave de�na Px : TxM ! Hx comoproje�c~ao ortogonal e note que Px depende suavemente de x. SejaS : U !M uma se�c~ao local. Ent~ao

gM=Gx (

@

@xi;@

@xj) = gMS(x)(Pxd(S)x

@

@xi; Pxd(S)x

@

@xj)

e o lado direito depende suavemente de x.�

Visto que Pn(C) = S2n+1=S1, segue da proposi�c~ao acima que a

submers~ao � : S2n+1 ! S2n+1=S1 induz uma m�etrica Riemanniana em

Pn(C). Tal m�etrica �e chamada de m�etrica de Fubini-Study.Terminamos esta se�c~ao considerando um caso particular de a�c~ao

pr�opria. Seja G um grupo discreto, i.e., com topologia discreta. Dize-mos que G age propriamente descontinuamente em M se para todo xexiste uma vizinhan�ca U de x tal que �(g; U)\U = ; para todo g 6= e.


Exerc��cio 1.32. Seja G um grupo discreto (i.e., com topologiadiscreta). Suponha que G age em uma variedadeM:Mostre que a a�c~ao�e propriamente descontinua se e somente se a a�c~ao �e livre e pr�opria.

Grupos agindo propriamente descontinuamente est~ao relacionados

com recobrimentos. Lembremos que uma aplica�c~ao � : fM ! M �e umrecobrimento se:

(a) � �e suave e sobrejetora.(b) para qualquer p 2 M existe uma vizinhan�ca U de p tal que

��1(U) = [iVi onde Vi s~ao abertos disjuntos e �Vi : Vi ! U �edifeomor�smo.

Sabemos que toda variedade M admite recobrimento fM tal que fM�e simplesmente conexo. fM �e chamado recobrimento universal de M .Note que seM �e variedade Riemanniana com m�etrica g ent~ao podemos

de�nir uma m�etrica ~g em fM e com esta m�etrica a aplica�c~ao recobri-

mento se torna uma isometria local. Neste caso dizemos que fM �e umrecobrimento Riemanniano de M .

Proposic�~ao 1.33. Seja � : G�M ! M uma a�c~ao propriamentedescontinua. Ent~ao � :M !M=G �e recobrimento.

Exerc��cio 1.34. Seja faig uma base de Rn. Um lattice � associadoa esta base �e o conjunto de todos os vetores

Pkjaj para kj 2 Z:

Identi�cando � com o subgrupo de transla�c~oes podemos fornecer aoquociente Rn=� estrutura de variedade.

(a) Mostre que existe um difeomor�smo p : Rn=�! T n.(b) Seja g� m�etrica de�nida em T n tal que p : Rn=� ! T n �e

isometria. Mostre que g� e g~� de�nidas em T n s~ao isom�etricasse e somente se existe uma isometria em R

n que envia o lattice� no lattice ~�.

CAP��TULO 2

Conex~ao e curvatura

Neste cap��tulo apresentaremos a de�ni�c~ao de conex~ao a�m em �-brados vetorias e conex~ao Riemanniana. A conex~ao Riemanniana per-mitir�a que �bras diferentes sejam conectadas via o transporte paralelo.Junto com as conex~oes a�ns e Riemannianas tamb�em discutiremos oconceito do tensor curvatura o qual medir�a qu~ao o transporte paralelodepende de caminhos curtos.

2.1. Conex~ao a�m

Definic�~ao 2.1. Sejam (E;M; �) �brado vetorial e �(E) o conjuntodas se�c~oes de E (isto �e, o conjunto das aplica�c~oes s : M ! E tais que� � s = id). Uma conex~ao a�m �e uma aplica�c~ao bilinear

r : X(M)� �(E)! �(E)

atendendo �as seguintes condi�c~oes:

(a) rfWV = frWV(b) rWfV = frWV + (Wf)V

onde W 2 X(M); V 2 �(E); f 2 C1(M):

Exemplo 2.2.(a) Se V 2 X(Rn) com V =

Pi vi

@@xi

temos que a deriva�c~ao usual de

campos �e uma conex~ao a�m ou seja rWV = DWV :=P

i(W � vi) @@xi

�euma conex~ao a�m.(b) Seja V 2 X(M) = �(TM) onde M �e uma superf��cie mergulhada emR

3. Sabemos que em uma vizinhan�ca de um ponto p 2 M o campo Vpode ser estendido para um campo em uma vizinhan�ca de R3. Pode-mos ent~ao de�nir uma conex~ao (induzida) na superf��cie M como sendorWV := �DWV onde � �e a proje�c~ao ortogonal em TM: Esta �e amaneira na qual a conex~ao �e usualmente de�nida na disciplina de Ge-ometria Diferencial em um curso de gradua�c~ao em Matem�atica.

Vamos agora descrever uma conex~ao a�m utilizando coordenadasdo �brado E !M .

Seja U uma vizinhan�ca coordenada de p 2 M e f�ig referenciaisde EjU , i.e., �j(p) = �1(p; ej) onde : ��1(U) ! U � R

n �e umatrivializa�c~ao do �brado E.

14 Conex~ao e curvatura

Suponha W =P

iwi@@xi

e V =P

j vj�j Temos ent~ao que

rWV = rW

Xj

vj�j

=Xj

(W � vj)�j +Xj

vjrW �j

=Xk

(W � vk)�k +Xi;j

vjwir @@xi

�j:

A equa�c~ao acima ent~ao implica que

(2.1.1) rWV =Xk

f(W � vk) +Xi;j

wivj�ki;jg�k

onde a fun�c~ao �ki;j �e chamada s��mbolo de Cristo�el e �e de�nida como

r @@xi

�j =Xk

�ki;j�k

Observa�c~ao 2.3. �E importante observar que a f�ormula acima garanteque (rWV )p depende apenas do vetor W (p) e n~ao do campo W .

A equa�c~ao (2.1.1) admite uma formula�c~ao matricial.

(2.1.2) rWV = DWV + A(W )V

onde DWV �e a derivada de campos em Rn (vide Exemplo 2.2) e A(�) �e

a matriz de 1-formas de�nida como

ak;j(�) :=Xi

�ki;jdxi:

Observa�c~ao 2.4. A equa�c~ao (2.1.2) implica que o espa�co de conex~oes�e um espa�co a�m, dai o nome conex~ao a�m.

Veremos a seguir que dado uma conex~ao em um �brado vetorial(E;M; �), existe uma conex~ao no espa�co das se�c~oes de E ao longo deuma curva �; i.e., no espa�co dos campos de vetores do tipo t! V (t) 2E�(t). Tal conex~ao ser�a chamada de derivada covariante.

Proposic�~ao 2.5. Sejam (E; �;M) um �brado vetorial com conex~aor. Seja � : I ! M uma curva suave. Denote �(��E) o espa�codas se�c~oes de E ao longo de �. Ent~ao existe um �unico operadorrdt: �(��E)! �(��E) tal que

(a) rdt(V +W ) = r

dtV + r

dtW

(b) rdt(fV ) = f 0V + f r

dtV para f : I ! R suave.

(c) Se ~V 2 �(E) e V (t) := ~V (�(t)) ent~ao rdtV = r�0

~V

2.1 Conex~ao afim 15

Demonstra�c~ao. Se rdt

atende as propriedades acima ent~ao ela deve sedescrita em coordenadas como:

(rdtV )(t) =

Xk

fv0k(t) +Xi;j

x0i(t) vj(t) �ki;j � �(t)g �k � �(t)

Onde V (t) =P

k vk(t)�k � �(t) e �0(t) =P

i x0i(t)

@@xi

� �(t): A equa�c~aoacima garante a unicidade do operador. Ao mesmo tempo a equa�c~aoacima permite de�nir um operador que atende as propriedades (a), (b)e (c) e assim temos a existencia local. A unicidade e existencia localgarantem ent~ao a existencia global. �

Note que, n~ao supomos que a velocidade de � �e sempre diferente dezero e desta forma nem sempre podemos garantir a existencia de umaextens~ao natural do campo t ! V (t) ao longo de � para um campo~V 2 �(E).

A derivada covariante ao longo de uma curva �e na verdade a conex~aopull-back no �brado pullback ��(E), conceito que discutimos rapida-mente na observa�c~ao a seguir.

Observa�c~ao 2.6 (Conex~ao pull-back). Seja (E;M; �) uma �bradovetorial com conex~ao a�m r. Seja ' : B ! M uma aplica�c~ao suaveentre uma variedade B e a variedade M . Como visto no apendice, oespa�co total do �brado pull-back �e de�nido como

'�E := f(p; V ) 2M � Ej'(p) = �(V )g(E;B; �1) se torna ent~ao um �brado vetorial, onde a proje�c~ao �1 :'�E ! B �e de�nida como �1(p; V ) = p. Observe tamb�em que ' ��1 =� � ~' onde ~' : '�E ! E �e de�nido como ~'(p; V ) = V .

De forma an�aloga a prova da Proposi�c~ao 2.5 �e poss��vel mostrar queexiste uma �unica conex~ao '�r em '�E tal que

('�r)WV � ' = rdF (W )V

onde V 2 �(E) e W 2 X(M).

Munidos com o conceito de derivada covariante podemos introduziro conceito de paralelismo. Uma se�c~ao V 2 �(��E) �e chamada paralelase r

dtV (t) = 0 para todo t.

Proposic�~ao 2.7. Seja (E;M; �) um �brado vetorial com conex~aoa�m r e � : [a; b] ! M uma curva suave. Seja V 2 E�(a). Ent~aoexiste uma �unica se�c~ao V 2 �(��E) paralela tal que V (a) = V:

Demonstra�c~ao. Considere uma parti�c~ao a = t0 < t1 < � � � < ln =b tal que a curva restrita �j[ti;ti+1] est�a contida em uma vizinhan�cacoordenada. Vamos provar primeiro o resultado para cada uma destascurvas. Como vimos na demonstra�c~ao da Proposi�c~ao 2.5, em uma


vizinhan�ca coordenada, rdtV = 0 equivale a

0 =Xk

fv0k(t) +Xi;j

x0i(t) vj(t) �ki;j � �(t)g

Tal E.D.O tem uma �unica solu�c~aoP

j vj(t)�j � �(t) em [ti; ti+1] quecoincide em ti com um certo vetor dado V 2 E�(ti) e isto demonstrao resultado para �j[ti;ti+1]. Pela unicidade das solu�c~oes, as solu�c~oescoincide nas interse�c~oes das vizinhan�cas coordenadas e isto permiteestender a solu�c~ao para todo [a; b]. �

Com as hip�oteses da proposi�c~ao acima o vetor V (b) 2 E�(b) �echamado transporte paralelo do vetor V 2 E�(a) e denotado por

jj�V := V (b):

Observa�c~ao 2.8. Com um transporte paralelo podemos conectar as�bras E�(a) com E�(b), dai o nome conex~ao. �E importante observar queem geral o transporte paralelo depende do caminho. Como veremosem breve a curvatura ir�a medir qu~ao o transporte paralelo depende docaminho.

Dado uma conex~ao em um �brado vetorial (E;M; �) podemos de�nira derivada covariante de um (0; s) (respectivamente (1; s)) tensor A daseguinte forma:

(rXA)(Y1; : : : ; Ys) := rX(A(Y1; : : : ; Ys))

�Xi

A(Y1; : : : ; Yi�1;rXYi; : : : ; Ys)

onde X 2 X(M) e Yi 2 �(E). �E possivel mostrar que rXA dependeapenas de X(p) e Y (p). Por vezes tamb�em usaremos a seguinte nota�c~ao

(rA)(Y1; : : : ; Ys; X) := (rXA)(Y1; : : : ; Ys)

2.2. Conex~ao Riemanniana

Definic�~ao 2.9. Seja (M; g) variedade Riemanniana. Uma conex~aor em TM �e chamada conex~ao Riemanniana ou conex~ao de Levi-Civitase para qualquer X; Y; Z 2 X(M) temos:

(a) X�g(Y; Z) = g(rXY; Z)+g(Y;rXZ) (compat��vel com a m�etrica).(b) rXY �rYX = [X; Y ] (sim�etrica ou livre de tors~ao)

As conex~oes descritas no Exemplo 2.2 s~ao Riemannianas.

Proposic�~ao 2.10. Seja (M; g) uma variedade Riemanniana. Ent~aoexiste uma �unica conex~ao Riemanniana em TM . Tal conex~ao �e dadapela f�ormula de Koszul abaixo:

2 g(rYX;Z) = X � g(Y; Z)� Z � g(X; Y ) + Y � g(Z;X)

� g([X; Y ]; Z)� g([X;Z]; Y )� g([Y; Z]; X)

2.3 Tensor curvatura de uma conex~ao afim 17

Demonstra�c~ao. Suponha que a conex~ao Riemanniana existe. Ent~aotemos pela compatibilidade com a m�etrica que:

X � g(Y; Z) = g(rXY; Z) + g(Y;rXZ)

Z � g(X; Y ) = g(rZX; Y ) + g(X;rZY )

Y � g(Z;X) = g(rYZ;X) + g(Z;rYX)

As equa�c~oes acima e o fato da conex~ao ser livre de tors~ao implicamque:

X � g(Y; Z)� Z � g(X; Y ) + Y � g(Z;X) = 2 g(rYX;Z) + g([X; Y ]; Z)

+ g([X;Z]; Y ) + g([Y; Z]; X)

a qual por sua vez implica a f�ormula de Koszul. Por �m, pode-severi�car que a f�ormula de Koszul de�ne uma conex~ao Riemanniana. �

Exerc��cio 2.11. Sejam (M; g) e (fM; ~g) variedades Riemannianas

e r e er suas conex~oes Riemannianas. Seja F : M ! fM isometria.Mostre que:

(1) dFprWV = (erdFWdFV )F (p)

(2) F preserva transporte paralelo.

Corol�ario 2.12. Seja (M; g) variedade Riemanniana e r suaconex~ao Riemanniana. Ent~ao:

�ki;j =1

2

Xk

�@gj;k@xi

+@gk;i@xj

� @gi;j@xk

�gk;m

onde (gij) �e a matriz inversa de (gi;j) e �ki;j s~ao os s��mbolos de Cristo�el

de�nidos na subse�c~ao anterior.

2.3. Tensor curvatura de uma conex~ao a�m

Seja (E;M; �) um �brado vetorial com conex~ao a�m r. Defnimos

R : X(M)� X(M)� �(E) ! �(E)

(X; Y; �) ! R(X; Y )�

onde

R(X; Y )� := r[X;Y ]� �rXrY � +rYrX�

Proposic�~ao 2.13. Sejam X; Y 2 X(M); � 2 �(E) e f; g; h 2C1(M) Ent~ao:

(a) R �e trilinear(b) R(X; Y ) = �R(Y;X)(c) R(fX; gY )h� = fghR(X; Y )�


A proposi�c~ao acima garante ent~ao que Rp depende apenas dos ve-tores X(p) , Y (p) e �(p) e n~ao dos campos X; Y; �. Assim R �e um (1; 3)tensor o qual ser�a chamado tensor curvatura.

Segue direto da de�ni�c~ao que se o tensor curvatura �e nulo ent~aor @

@xi

comuta com r @@xj

: Veremos ao longo deste cap��tulo outras in-

terpreta�c~oes mais profundas do tensor curvatura. Mais precisamente,veremos que se R = 0 ent~ao o transporte paralelo n~ao depende de cam-inhos curtos, ou que uma certa distribui�c~ao no �brado de referenciais�e integr�avel. No caso do tensor curvatura da conex~ao Riemannianaveremos que R tamb�em mede qu~ao r�apido geod�esicas (curvas que min-imizam caminho localmente) se afastam de certo ponto �xo.

Outras interpreta�c~oes da curvatura de uma conex~ao Riemannianatais como teorema de Toponogov e generaliza�c~oes em espa�cos m�etricosser~ao comentadas em outro cap��tulo.

Terminamos esta subse�c~ao com uma proposi�c~ao util para camposao longo de uma superf��cie. A demonstra�c~ao segue direto da existenciada conex~ao pull-back.

Proposic�~ao 2.14. Seja ' : [a1; b1] � [a2; b2] ! M uma aplica�c~aosuave e V 2 �('�E) ent~ao:

r@t

r@sV � r

@s

r@tV = R(

@'

@s;@'

@t)V

2.4. Tensor curvatura da conex~ao Riemanniana

Ao longo desta subse�c~ao consideraremos (M; g) uma variedade Rie-manniana e R o tensor curvatura associado a conex~ao Riemannianar em TM e listaremos algumas propriedades de R. Apresentaremostamb�em as de�ni�c~oes de curvatura secional, curvatura de Ricci e cur-vatura escalar.

Proposic�~ao 2.15.(a) g(R(X; Y )Z; T )+ g(R(Y; Z)X;T )+ g(R(Z;X)Y; T ) = 0; (10 identi-dade de Bianchi).(b) g(R(X; Y )Z; T ) = �g(R(X; Y )T; Z)(c) g(R(X; Y )Z; T ) = g(R(Z; T )X; Y )

Observa�c~ao 2.16. A 20 identidade de Bianchi garante que:

rR(X; Y; Z;W; T ) +rR(X; Y;W; T; Z) +rR(X; Y; T; Z;W ) = 0

onde R(X; Y; Z;W ) := g(R(X; Y )Z;W ): A 20 identidade de Bianchi(em sua formula�c~ao em termos de formas e derivada covariante de en-domor�smos) �e util no estudo de solu�c~oes do funcional de Yang-Mills,garantindo por exemplo que solu�c~oes autoduais de conex~oes m�etricass~ao solu�c~oes da equa�c~ao de Yang-Mills, vide Jost cap��tulo 3.

2.4 Tensor curvatura da conex~ao Riemanniana 19

Seja � � TpM um subespa�co bi-dimensional e X; Y 2 � vetoreslinearmente independente. Ent~ao de�nimos a curvatura secional em �como:

K(X; Y ) :=g(R(X; Y )X; Y )

g(X;X)g(Y; Y )� g(X; Y )2

De fato �e possivel mostrar que K(X; Y ) �e o mesmo para qualquer outrabase de �. Tamb�em �e possivel mostrar que tendo todas as curvaturassecionais de todos os subespa�cos bi-dimensionais de TpM ent~ao pode-sereconstruir o tensor Rp.

Proposic�~ao 2.17. (a) O espa�co Rn tem curvaturas secionaisconstantes iguais a zero.

(b) O espa�co hiperb�olico Hn tem curvaturas secionais constantesiguais a �1

(c) A esfera Sn tem curvaturas secionais constantes iguais a 1.

Tais espa�cos s~ao chamados espa�cos forma e denotados por M(k)onde k = �1; 0; 1 se M(k) for espa�co hiperb�olico, Euclidiano ou aesfera.

Como veremos posteriormente todo espa�co simplesmente conexocom curvatura k = �1; 0; 1 �e isometrico a um destes.

Observa�c~ao 2.18. A proposi�c~ao acima pode ser demonstrada daseguinte maneira. Primeiro pode-se notar que cadaM(k) �e homogeneo,ou seja M(k) �e orbita da a�c~ao isometrica de Iso(M(k)). Al�em disto,�xo p 2M(k) �e possivel mostrar que dado 2 subespa�cos bi-dimensionaisde TpM(k) ent~ao existe um elemento do grupo de isotropia Gp que levaum espa�co no outro. Isto garante que as curvaturas secionais em p s~aotodas as mesmas e o fato de M(k) ser homogeneo garante que todo oespa�co tem curvaturas secionais constantes. Para determinar que defato tais curvaturas secionais s~ao k = �1; 0; 1 existem varias maneiras.A primeira, mais trabalhosa �e via coordenadas. Sabendo a m�etricacalcula-se os simbolos de Cristofell e com eles as curvaturas secionais.Uma outra maneira mais r�apida �e utilizar a Equa�c~ao de Gauss (videCap��tulo 2) na esfera e no espa�co hiperb�olico (modelo do hiperboloide).

A pr�oxima proposi�c~ao �e um resultado �util sobre espa�co de curvaturaconstante.

Proposic�~ao 2.19. (M; g) tem curvaturas secionais constantes iguaisa K0 se e somente se

g(R(X; Y )Z; T ) = K0(g(X;Z)g(Y; T )� g(X;T )g(Y; Z))

A seguir uma interpreta�c~ao do que signi�ca R = 0. Tal proposi�c~ao�e um caso particular de uma proposi�c~ao mais geral a ser provada embreve para conex~oes a�ns em �brados vetorias (E;M; �).

Proposic�~ao 2.20. Seja (M; g) variedade Riemanniana e r suaconex~ao Riemanniana. As a�rma�c~oes abaixo s~ao equivalentes:


(a) Para todo p 2 M existe uma vizinhan�ca U de p em M e umreferencial local f�ig de�nido em U tal que r�i = 0.

(b) O tensor curvatura �e nulo.(c) Para todo p 2M existe uma vizinhan�ca U de p em M tal que

o transporte paralelo em U independe do caminho.

Demonstra�c~ao. O fato que (a) implica (b) segue diretamente da de�ni�c~aode R. No momento vamos aceitar o fato a ser provado mais tarde que seas curvaturas secionais deM s~ao zero ent~aoM �e localmente isom�etricaa Rn. Isto implicar�a que o item (c) segue do item (b).

Para monstrar que o item (c) implica o item (a) vamos proceder daseguinte forma. Considere f�ig uma base de TpM e ( ; ~U) um sistema

de coordenada de p onde ~U � U: Por meio do transporte paraleloao longo das linhas coordenadas podemos de�nir campos �1 : : : ; �n em~U . Tal referencial �e suave devido a dependencia suave das solu�c~oes deE.D.0.

Desejamos provar que rV �i(q) = 0 para q 2 ~U e V 2 TqM: Escolha

� : [��; �] ! ~U tal que �(0) = p �0(0) = V . Escolha � : (��; �) ! ~Utal que �(��) = p e �(0) = �(��): Note que �i = jj��i = jj�(jj��i):Assim r

dt�i � � = 0: Logo rV �i = 0 e isto termina a prova.

�

Exerc��cio 2.21. Sejam G grupo de Lie com m�etrica biinvarianteh�; �i e X; Y; Z campos invariantes a esquerda. Mostre que:

(a) h[X; Y ]; Zi = �hY; [X;Z]i(b) rXY = 1

2[X; Y ]

(c) R(X; Y )Z = 14[[X; Y ]; Z]

(d) hR(X; Y )X; Y i = 14h[X; Y ]; [X; Y ]i: Em particular conclua que

a curvatura sectional �e sempre maior ou igual a 0:

Sugest~ao: A�m de provar o item (a) lembre-se primeiro da de�ni�c~aoda adjunta dada no exerc��cio 1.18, i.e, Ad(g)Y := d

dt(g exp(tY )g�1)jt=0

e usando a de�ni�c~ao de m�etrica bi-invariante conclua que Ad(g) �eisometria. Depois utilize a f�ormula d

dtAd(exp(tX))Y jt=0 = [X; Y ] dada

no Problema 1.18. O item (b) seguir�a do Item (a) e da f�ormula deKoszul.

Terminamos esta subse�c~ao apresentando as de�ni�c~oes de curvaturade Ricci e curvatura escalar.

Definic�~ao 2.22. O tensor de Ricci �e de�nido como

Ricp(X; Y ) := trR(X; �)YTal tensor �e sim�etrico. A curvatura de Ricci na dire�c~ao X (kXk = 1)�e de�nida como

Ricp(X) :=1

n� 1Ricp(X;X)

2.5 Formas de conex~ao e curvatura 21

Definic�~ao 2.23. A curvatura escalar �e de�nida como

CE(p) :=1

n

Xi

Ricp(�i)

onde f�ig �e base ortonormal de TpM: �E possivel mostrar que CE(p)n~ao depende da escolha da base f�ig:

Observa�c~ao 2.24. Veremos nos cap��tulos 2 e 3 algumas propriedadesdas variedades Riemannianas com Ric limitado inferiormente. Dentretais variedades est~ao os grupos de Lie compactos semi-simples, videAlexandrino e Bettiol. Tal como explicado em Morgan e Tian (p�agina64) a curvatura de Ric pode ser interpretada como a aproxima�c~ao dolaplaciano da m�etrica, ou mais precisamente:

Rici;j = Ric(@

@xi;@

@xj) = �3

24gi;j +O(jxj)

onde 4 �e o laplaciano na m�etrica Euclidiana e gi;j est�a descrito nas co-ordenadas Gaussianas (vide de�ni�c~oes nas pr�oximas se�c~oes). Referentea fun�c~ao curvatura escalar, ela �e utilizada na de�ni�c~ao do funcional deHilbert-Einstein HE(g) :=

RMCE(g)!(g) para m�etricas g de�nidas em

uma variedade Riemanniana compacta M �xa. CE tamb�em faz partedo tensor de Einstein T = CE

2g � Ric o qual �e livre de divergencia e

pode ser visto como gradiente de HE, vide K�uhnel, p�agina 323 .

2.5. Formas de conex~ao e curvatura

2.5.1. Conex~ao a�m. Seja (E;M; �) �brado vetorial, f�ig refer-encial local e r uma conex~ao a�m em E. A conex~ao a�m pode ent~aoser vista como um operador r : �(E)! �(T �M E) que atende

r(f�) = df � + fr�Podemos agora de�nir as 1-formas de conex~ao !i;j como

(2.5.1) r(�)�i =X

!ij(�) �j

Observe que a matriz de 1-formas A de�nida na equa�c~ao (2.1.2) �e amatriz (!i;j)

t, ou seja a transposta da matriz de 1-formas ! := (!i;j).

Proposic�~ao 2.25 (Transforma�c~ao de gauge). Seja fe�ig outro ref-

erencial. Sejam (bi;j) e (~!i;j) tais que: e�i =Pj bij�j re�i =Pj ewij e�jEnt~ao e! = (db)b�1 + b !b�1

Demonstra�c~ao.

re�i =Xj

dbij �j +Xj

bijr�j

re� = (db) � + br�re� = (db)b�1 ~� + b!b�1 ~�


A equa�c~ao acima e o fato que re� = ew e� implicam a proposi�c~ao.�

Podemos tamb�em expressar o tensor R em termos de 2-formas i;j

chamadas 2-formas de curvatura as quais s~ao de�nidas abaixo.

(2.5.2) R(�; �)�i :=Xj

ij(�; �) �j

Vamos a seguir demonstrar a assim chamada equa�c~ao de curvatura,a qual relacionar�a a matriz de curvatura := (ij) com a matriz deconex~ao ! = (!i;j):

Para tanto vamos precisar do lema a seguir o qual pode se encon-trado e.g., em Spivak.

Lema 2.26. Seja � uma p forma. Ent~ao

d�(X0; : : : ; Xp) =Xi

(�1)iXi � �(X0; X1; : : : ;cXi; : : : ; Xp)

=Xi<j

(�1)i+j�([Xi; Xj]; X0; : : : ;cXi; : : : ;cXj; : : : ; Xp)

Onde cXi signi�ca que este termo n~ao est�a presente. Em particular se� for uma 1-forma temos:

d�(X; Y ) = X � �(Y )� Y � �(X)� �([X; Y ]):

Teorema 2.27 (Equa�c~ao de curvatura).

� = d! � ! ^ !Demonstra�c~ao.

�Xj

ij(X; Y ) �j = �R(X; Y )�i

= rXrY �i �rYrX�i �r[X;Y ]�i

= rX(Xj

!ij(Y ) �j)�rY (Xj

!ij(X) �j)

�Xj

!ij([X; Y ]) �j

=Xj

(X � !ij(Y )� Y � !ij(X)� !ij([X; Y ])) �j

+Xjk

(!ij(Y )!jk(X)� !ij(X)!jk(Y )) �k

=Xj

d!ij(X; Y ) �j �Xi;j

!il ^ !lj(X; Y ) �j

onde a �ultima igualdade segue do lema anterior. �

2.5 Formas de conex~ao e curvatura 23

2.5.2. Conex~ao Riemanniana. Consideremos agora (M; g) umavariedade Riemanniana e seja r a conex~ao Riemanniana associada.

Proposic�~ao 2.28 (Equa�c~oes de estrutura). Sejam feig um refer-encial ortonormal local de�nido em uma vizinhan�ca U , �i as suas 1-formas duais, i.e, �i(ej) = �ij, e !ij as 1-formas de conex~ao em rela�c~aoao referencial feig. Ent~ao:

(a) !ij + !ji = 0 (compat��vel com a m�etrica)(b) d�i =

Pj !ij ^ �j =

Pj �j ^ !ji (livre de tors~ao).

Demonstra�c~ao. (a) Pela compatibilidade da m�etrica temos:

0 = X � g(ei; ej) = g(rXei; ej) + g(ei;rXej)

= g(Xk

!ik(X) ek; ej) + g(ei;Xk

!jk(X) ek)

= !ij(X) + !ji(X)

(b) Como a m�etrica �e livre de tors~ao temos:

[ei; ej] = reiej �rejei

=Xk

(!jk(ei)� !ik(ej))ek

A equa�c~ao acima e o Lema 2.26 implicam

�d�k(ei; ej) = �k([ei; ej])

= !jk(ei)� !ik(ej)

= �Xs

�s ^ !sk(ei; ej)

�

Observa�c~ao 2.29. Concluimos esta subse�c~ao apresentando algumasf�ormulas uteis.

ij =Xk<l

Rk;l;i;j�k ^ �l

onde Rk;l;i;j := g(R(ek; el)ei; ej) = ij(ek; el) ou como Rklij = �Rlkij

ij =1

2

Xk;l

Rk;l;i;j�k ^ �l

De�nindo Rij =P

k Rikjk temos que a seguinte descri�c~ao local do tensorde Ricci e da curvatura escalar:

Ric =Xij

Rij�i �j

CE =Xi

Rii

Por �m, se M tem curvatura constante K temos

ij = K�i ^ �j


2.6. ? Conex~ao e �brados de referenciais

Nesta subse�c~ao apresentaremos o �brado de referenciais e demon-straremos que se R = 0 ent~ao a assim chamada conex~ao linear �e in-tegr�avel. Seguir�a como consequencia direta que se R = 0 ent~ao otransporte paralelo n~ao depende de caminhos curtos. Avisamos aoleitor que esta �e uma subse�c~ao avan�cada. Leitores iniciantes podem(caso queiram) deixar de ler esta subse�c~ao.

Seja (E;M; �) �brado vetorial. A cada referencial �p = f�ig �Ep est�a associado um isomor�smo linear z : Rn ! Ep de�nido comoz(ei) = �i. Vamos agora de�nir:

(1) B(Ep) como sendo o conjunto dos referenciais �p em Ep:(2) B(E) := [p2MB(Ep) (espa�co dos referenciais)(3) a proje�c~ao � : B(E)!M como �(�p) := p(4) a a�c~ao (a direita) � : B(E)�GL(n;R)! B(E) como �p � g :=

�(�p; g) := z � g.N~ao �e di�cil veri�car que a a�c~ao � �e livre e transitiva em B(Ep).

Proposic�~ao 2.30. (B(E);M; �;GL(n;R)) �e um �brado principalchamado �brado de referenciais. Em outras palavras, B(E) �e umavariedade, a a�c~ao � �e livre e pr�opria, M = B(E)=GL(n;R) e � �esubmers~ao suave. Alem disto todo referencial local � se torna se�c~aolocal, i.e., � � � = Id.

Suponha agora que o �brado vetorial (E;M; �) admite uma m�etrica,i.e., um produto interno de�nido em cada �bra Ep que depende suave-mente de p. Podemos ent~ao de�nir o �brado �brado de referenciaisortonormais (O(E);M; �;O(n)) de forma an�aloga a de�ni�c~ao do �-brado de referenciais ou seja podemos de�nir

(1) O(Ep) �e o conjunto dos referenciais ortonormais �p de Ep.(2) O(E) := [p2MO(Ep)(3) � : O(E)!M �e de�nido �(�p) = p(4) O(n) age em O(E) pela restri�c~ao da a�c~ao � de�nida acima ou

seja se g 2 O(n) e z o isomomor�smo associado a �p ent~ao�(�p; g) = z � g

Observa�c~ao 2.31. (O(E);M; �;O(n)) �e um sub�brado do �brado dereferenciais.

No �brado de referenciais existe uma Rn-forma canonica:

�z(X) := z�1d�(X)

para z 2 B(E) e X 2 TzB(E). �E possivel mostrar que

� � d�g = g�1 � �:Uma distribui�c~ao H no �brado B(E) �e chamada conex~ao linear se

(1) Hy �e complementar a �bra B(E�(y))

2.6 ? Conex~ao e fibrados de referenciais 25

(2) H �e invariante pela a�c~ao a direita �

Se al�em disto (E;M; �) admite m�etrica nas �bras, dizemos queuma distrui�c~ao H em B(E) �e adaptada a O(E) se Hz � TzO(E) paraqualquer z 2 O(E).

Necessitamos tamb�em de�nir uma g-forma de conex~ao ! em B(E)a qual �e de�nida como sendo uma g-forma (ou seja com imagens em g)e que atende as seguintes propriedades:

(1) !(d�z(X)) = X para X 2 g

(2) !(d�g(�)) = Ad(g�1)!

Proposic�~ao 2.32. Uma g-forma de conex~ao determina uma conex~aolinear H da seguinte maneira: Xz 2 Hz se e somente se !(Xz) = 0:

Proposic�~ao 2.33. Seja r uma conex~ao a�m em (E;M; �) e f�igreferencial local em uma vizinhan�ca U de p 2 M . Considere ent~ao� : U 3 x! f�i(x)g 2 B(E) a se�c~ao local e de�na

: U �GL(N;R) 3 (x; g)! �(�(x); g) 2 ��1(U):

Ent~ao podemos associar uma g-forma de conex~ao ! em B(E) da seguintemaneira:

�!(x;g)(V1; V2) = g�1!t(V1)g + g�1V2

onde ! = (!ij) �e a matriz de 1-formas de conex~ao de�nidas por

r�i =Xj

!ij �j:

Demonstra�c~ao. Iremos demonstrar que ! est�a bem de�nida, i.e., n~aodepende da de�ni�c~ao de (ou seja da escolha de �).

Seja ~� um outro referencial e h : U ! Gl(n;R) a aplica�c~ao tal que

�(x) = �(~�(x); h(x)):

Temos ent~ao que:

(x; g) = ~ (x; h(x)g)

Derivando a equa�c~ao acima temos que se d (x;g)(V1; V2) = d ~ (x;hg)( ~V1; ~V2)ent~ao:

(2.6.1) ( ~V1; ~V2) = (V1; dhV1g + hV2):

Note tamb�em que:

(2.6.2) h�1~!th = �h�1dh+ !t

De fato sabemos pela transforma�c~ao de gauge (vide Proposi�c~ao 2.25)que

~! = d(h�1)tht + (h�1)t!ht

~!t = hdh�1 + h!th�1


Assim sendo h�1~!th = dh�1h + !t. Tal equa�c~ao e o fato de dh�1h +h�1dh = 0 implicam a equa�c~ao (2.6.2). Podemos �nalmente concluirque:

�!(x;g)(V1; V2) := g�1!t(V1)g + g�1V2

= g�1h�1~!t(V1)hg + g�1h�1dh(V1)g + g�1V2

= (hg)�1~!t( ~V1)(hg) + (hg)�1( ~V2)

=: ( ~ �!)(x;hg)( ~V1; ~V2)

onde utilizamos a equa�c~ao (2.6.2) na segunda igualdade e a equa�c~ao(2.6.1) na terceira igualdade. �

Corol�ario 2.34. Seja f�ig um referencial local e � : U 3 x !f�i(x)g 2 B(E) uma se�c~ao. Ent~ao ��! = ! = (!ij):

Vimos que dado uma conex~ao em (E;M; �) �e possivel construiruma g-forma de conex~ao ! em B(E) a qual por sua vez de�na umaconex~ao linear H em B(E):

Observa�c~ao 2.35. �E possivel mostar que se � : I !M �e uma curvasuave, f�ig base de Ep e t! �i(t) o transporte paralelo ao longo de �ent~ao t ! �(t) := f�i(t)g �e uma curva em B(E) tangente a H e talque � � � = �.

Chegamos ao resultado principal desta subse�c~ao.

Teorema 2.36. Seja (E;M; �) um �brado vetorial com conex~aoa�m r tal que o tensor curvatura R �e sempre nulo. Ent~ao a conex~aolinear H em B(E) associada a r �e integr�avel.

Demonstra�c~ao. Visto que R = 0 ent~ao para todo referencial local �temos pelo Corol�ario 2.34

0 = d��! � ��! ^ ��!= ��(d! � ! ^ !)

Como a equa�c~ao acima �e valida para todo referencial local � temos

0 = d(! � ! ^ !)jHAssim !([X; Y ]) = 0 para todo X; Y 2 X(H). Logo pelo teorema deFrobenius H �e integr�avel. �

Corol�ario 2.37. Seja (E;M; �) um �brado vetorial com conex~aoa�m r tal que o tensor curvatura R �e sempre nulo. Ent~ao para todop 2M existe uma vizinhan�ca U e o transporte paralelo n~ao depende decaminhos contidos em U . Al�em disto existe para cada base fvig de Ep

existe um referencial � em U paralelo, i.e., r�i = 0, com �i(p) = vi.

Demonstra�c~ao. Pelo teorema anterior H �e integr�avel. Assim para todabase v 2 B(Ep) podemos encontrar uma vizinhan�ca su�centementepequena de p e uma se�c~ao s : U ! B(E) que �e tangente a distribui�c~ao

2.6 ? Conex~ao e fibrados de referenciais 27

H e tal que s(p) = v. Observe que a invariancia de H pela a�c~ao deGl(n;R) garante que o tamanho de U n~ao depende da escolha de v.Estes fatos e a Observa�c~ao 2.35 terminam a prova. �

Terminamos esta se�c~ao demonstrando um belo resultado de equa�c~oesdiferenciais, o qual ser�a muito relevante para demonstrar o teoremafundamental das imers~oes isom�etricas (vide cap��tulo 2).

Teorema 2.38. Seja G = Gl(n;R) (ou G = O(n)) e g sua �algebrade Lie. Seja ! uma g-forma de�nida em um dom��nio U: Ent~ao paratodo p 2 U e g 2 G existe uma �unica solu�c~ao ' : ~U ! G da equa�c~aodiferencial

d' = !' ; '(p) = g

para uma vizinhan�ca ~U de p se somente se

d! = ! ^ !Demonstra�c~ao. Vamos supor primeiro que d! = ! ^ !: Considere oespa�co total E := U �Rn e a conex~ao rei =

Pj !ij ej: Temos ent~ao

que a curvatura de tal conex~ao R �e nula. Assim sendo pelo Corol�ario2.37 existe ~� : ~U ! B(E) (~� : ~U ! O(E)) com 0 = ~! = ~��! e tal que

e(p) � (gt)�1 = ~�(p): Seja ' a matriz com ei =P

j 'ij~�j. Ent~ao pela

transforma�c~ao de gauge (vide Proposi�c~ao 2.25) temos

! = (d')'�1 + '~!'�1

A equa�c~ao acima e o fato de ~! = 0 implicam que d' = !' e '(p) = g.Vamos agora supor que d' = !' e veri�car que d! = ! ^ !: Visto

que d' = !' temos que ! = d''�1. Como d''�1 + 'd('�1) = 0concluimos que d('�1) = �'�1d''�1: Logo

d! = d(d''�1)

= �d' ^ d('�1)

= d' ^ ('�1d''�1)

= ! ^ !�

CAP��TULO 3

Geod�esicas e campos de Jacobi

Neste cap��tulo estudaremos geodesicas i.e., curvas que minimizamlocalmente caminho e os campos velocidades das varia�c~oes por geod�esicas,i.e., os campos de Jacobi.

3.1. Propriedades b�asicas de geod�esicas

Definic�~ao 3.1. Uma curva suave � : [a; b] ! M �e chamadageod�esica se r

dt�0(t) = 0:

Observa�c~ao 3.2. Observe que se � : I ! M �e geod�esica, ent~aok�0(t)k �e constante. De fato d

dt(g(�0(t); �0(t))) = 2g(r

dt�0(t); �0(t)) = 0:

Segue ent~ao que se � �e geod�esica, L(�) =R bak�0(t)kdt = c(b� a) onde

c = k�0(t)k.Como o leitor pode veri�car, exemplos simples de geod�esicas s~ao:

retas no espa�co Euclidiano e grandes c��rculos na esfera.Em coordenadas r

dt�0(t) = 0 equivale, pela equa�c~ao (2.1.1) a seguinte

EDO de segunda ordem.

(3.1.1) 0 = x00k(t) +Xij

x0i(t)x0j(t)�

kij(x(t)); 8 k

A equa�c~ao (3.1.1) pode ser transformada em uma EDO de primeiraordem

vk(t) = x0k(t)

v0k(t) = �Xij

vivj�kij(x(t))

Por �m a equa�c~ao acima de�ne um campo em U � Rn e assim em umaberto de TM: A unicidade de EDO e o fato da derivada covariante serintrinsicamente de�nida emM garantem ent~ao que podemos de�nir um�unico campo G 2 X(TM), chamado campo geod�esico, tal que '(�; Vq) =� � 'G(�; Vq) s~ao geod�esicas, onde 'G �e o uxo de G, assim chamado uxo geod�esico. O teorema de existencia de uxo e a de�ni�c~ao de campogeod�esico implicam

Proposic�~ao 3.3. Dado p 2 M existe uma vizinhan�ca U de p emM , n�umeros �; � > 0 e uma aplica�c~ao ' : (��; �) � U ! M comU := fVq 2 TM; q 2 U; kVqk < �g tal que '(�; Vq) �e a �unica geod�esicacom d

dt'(t; Vq)jt=0 = Vq e '(0; Vq) = q:

30 Geod�esicas e campos de Jacobi

A equa�c~ao (3.1.1) implica o pr�oximo resultado;

Proposic�~ao 3.4. Seja '(�; Vq) geod�esica de�nida em (��; �): Sejaa > 0 ent~ao:

(a) A geod�esica t! '(t; aVq) est�a de�nida em (� �a; �a)

(b) '(t; aVq) = '(at; Vq)

Demonstra�c~ao. Note que o item (b) implica o item (a). Visto queddt'(at; Vq)jt=0 = aVq basta mostrar que t! '(at; Vq) �e geod�esica. Isto

segue do fato que em coordenadas x(at) atende a equa�c~ao (3.1.1). �

As duas proposi�c~oes acima ent~ao implicam que:

Proposic�~ao 3.5. Dado p 2 M existe uma vizinhan�ca U de p emM , um n�umero � > 0 e uma aplica�c~ao ' : (�2; 2) � U ! M comU := fVq 2 TM; q 2 U; kVqk < �g tal que '(�; Vq) �e a �unica geod�esicacom d

dt'(t; Vq)jt=0 = Vq e '(0; Vq) = q:

Exerc��cio 3.6. Seja (M; g) variedade Riemanniana compacta. Mostreque toda geod�esica est�a de�nida para todos valores de R:

Sugest~ao: Considere o campo geod�esico restrito ao �brado tan-gente unitario T 1(M) := fVx 2 TxM; kVxk = 1gx2M e aplique o resul-tado que a�rma que todo campo suave de�nido em variedade compactagera um grupo a 1 parametro de difeomor�smos.

Podemos de�nir agora a aplica�c~ao exponencial como

expq : B�(0) � TqM ! M

Vq ! '(1; Vq)

Visto que '(1; Vq) = '(kVqk; VqkVqk) temos que expq(V ) �e o ponto em

M obtido percorrendo um comprimento kVqk ao longo da imagem da

geod�esica que sai de q com velocidade VqkVqk .

Proposic�~ao 3.7. Seja q 2M: Ent~ao d(expq)0 = Id e assim sendoexiste um � > 0 tal que expq : B�(0) ! M �e um difeomor�smo sobreum aberto em M .

Demonstra�c~ao.

d

dtexpq(tV )jt=0 =

d

dt'(1; tVq)jt=0

=d

dt'(t; Vq)jt=0

= Vq

e assim d(expq)0 �e a identidade. O resto da proposi�c~ao segue do teoremada fun�c~ao inversa. �

Tal vizinhan�ca B� ser�a chamada de vizinhan�ca normal.

3.1 Propriedades b�asicas de geod�esicas 31

Exerc��cio 3.8. Seja G um grupo de Lie com m�etrica bi-invariante.Mostre que expe (a exponencial Riemanniana em e) coincide com aexponencial de Lie.

Sugest~ao: Utilize o Exerc��cio 2.21.

No que se segue, demonstraremos o conhecido lema de Gauss o qualgarante que geod�esicas radiais s~ao ortogonais as esferas normais. Antespor�em faz-se necess�ario apresentar o lema abaixo, o qual ser�a �util emdiversos momentos.

Lema 3.9. Seja f : [a; b]� [c; d]!M aplica�c~ao suave. Ent~ao

r@s

@f

@t=r@t

@f

@s

Teorema 3.10 (Lema de Gauss). Seja B~�(0) uma bola em TqMtal que a restri�c~ao da exponencial expq : B~�(0)!M est�a bem de�nida.

Sejam Sn�1� a esfera contida em B~�(0) com � < ~� e v : (��; �) ! S

n�1�

curva suave. De�na f(s; t) = expq(tv(s)): Ent~ao

g(@f

@s;@f

@t) = 0

Demonstra�c~ao. Observe primeiro que

g(@f

@s;@f

@t)f(s;t) = g(d(expq)tv(s)tv

0(s); d(expq)tv(s)v(s))

Podemos ent~ao concluir que:

g(@f

@s;@f

@t)f(s;0) = 0:

Assim para demonstrar o lema de Gauss �e su�ciente veri�car que aderivada em rela�c~ao a t da fun�cao g(@f

@s; @f@t)f(s;t) �e zero para todo t.

@

@t

�g(@f

@s;@f

@t)�

= g(r@t

@f

@s;@f

@t) + g(

@f

@s;r@t

@f

@t)

= g(r@t

@f

@s;@f

@t)

= g(r@s

@f

@t;@f

@t)

=1

2

@

@sg�@f@t;@f

@t

�=

1

2

@

@skv(s)k2

= 0

onde a segunda igualdade deve-se ao fato de f(s; �) ser geod�esica, aterceira igualdade deve-se ao Lema 3.9 e a �ultima igualdade deve-se aofato de v(�) ser uma curva contida em uma esfera. �


O lema de Gauss nos permite demonstrar que geod�esicas minizamlocalmente caminhos. Mais precisamente temos a seguinte proposi�c~ao.

Proposic�~ao 3.11. Seja B�(q) uma bola normal. De�na �[0; 1]!B�(0) como �(t) = expq(tv) com kvk < �: Seja � : [0; 1] ! M curvasuave por partes tal que �(0) = �(0) e �(1) = �(1): Ent~ao

L(�) � L(�)

Se a igualdade vale, ent~ao as imagens de � e � coincidem.

Demonstra�c~ao. Vamos primeiro considerar o caso em que �[0; 1] �B�(q):

Podemos supor sem perda de generalidade que �(t) 6= q para t > 0:

Seja ~� := (expq jB�(0))�1 ��. De�na as seguintes fun�c~oes suaves por

partes:

f : [0; �)� Sn�11 3 (R; V ) ! expq(RV ) 2 B�(q)

r : [0; 1] 3 t ! k~�(t)k 2 [0; �)

v : (0; 1] 3 t !~�(t)

k~�(t)k 2 Sn�11

Observe que �(t) = f(r(t); v(t)): Temos ent~ao pelo lema de Gaussque:Z 1

�

k�0(t)kdt =Xi

Z ti+1

ti

k�0(t)kdt

=Xi

Z ti+1

ti

r(r0(t))2 + g(

@f

@Vv0(t);

@f

@Vv0(t))dt

�Xi

Z ti+1

ti

jr0(t)jdt

�Xi

Z ti+1

ti

r0(t)dt

= r(1)� r(�)

Logo L(�) � r(1) = L(�): Note que se as igualdades s~ao satisfeitasent~ao as imagens de � e � coincidem.

Por �m vamos considerar o caso em que �[0; 1] n~ao est�a completa-mente contido em B�(q): Seja t1 o primeiro tempo tal que �(t1) est�ana fronteira da bola. Ent~ao temos pela discuss~ao anterior:

L(�) > L(�j[0;t1]) � � > L(�):

�

3.2 Vizinhanc�a normal convexa 33

3.2. Vizinhan�ca normal convexa

Teorema 3.12. Seja (M; g) variedade Riemanniana. Ent~ao paracada q 2 M existem n�umeros � > 0; � > 0 tal que as seguintesa�rma�c~oes s~ao validas.

(a) Para qualquer p 2 B�(q) temos expp jB�(0) �e um difeomor�smoe que B�(q) � expp(B�(0)).

(b) Para cada 2 pontos p1 e p2 em B�(q) existe um �unico segmentominimizante de geod�esica ligando p1 a p2: Tal segmento �cacontido em B�(q) e depende suavemente dos pontos inicial e�nal.

Demonstra�c~ao. Para demonstrar o teorema precisaremos dos 2 lemasabaixo.

Lema 3.13. Para cada q 2 M existe um c > 0 com a seguintepropriedade: Se r < c e �[�a; a] ! M �e geod�esica tangente a Br(q)em �(0) ent~ao �(t) =2 Br(q) para t pequeno.

Demonstra�c~ao. Seja fW uma vizinhan�ca normal de q: Pela Proposi�c~ao

3.4 podemos encontrar uma vizinhan�caW � fW de q e um numero � tal

que '((��; �); T 1W ) � fW onde ' �e a proje�c~ao do uxo geod�esico emMe T 1W o �brado unit�ario sobre W: De�na '0(t; Vx) := exp�1

q ('(t; Vx))e aplica�c~ao H : (��; �)� T 1W ! R como H(t; Vx) := k'0(t; Vx)k2: Ouseja H mede a distancia ao quadrado de '(t; Vx) a q:

Note que

@H

@t= 2h@'

0

@t; '0i

@2H

@t2= 2h@

2'0

@2t; '0i+ 2h@'

0

@t;@'0

@ti

Logo @2H@t2

(0; Vq) = 2 e assim podemos encontrar c > 0 pequeno talque

(3.2.1)@2H

@t2(0; Vx) > 0

para x 2 Bc(q) e Vx 2 T 1(Bc(q)):Observe que se p 2 Sr(q) com r < c e (t; Vp) �e uma geod�esica

tangente em Sr(q) no ponto p ent~ao pelo lema de Gauss temos:

(3.2.2)@H

@t(0; Vp) = 0:

Equa�c~oes (3.2.1) (3.2.2) implicam que h(t) := H(t; Vp) tem m��nimoem t = 0 e assim que '0(t; Vp) �ca fora de Br(0) e logo '(t; Vp) �cafora de Br(q) para t pequeno diferente de zero. �

Lema 3.14. Existem � < c2e � < � tal que para todo p 2 B�(q)

(1) expp jB�(0) �e difeomor�smo


(2) B�(q) � expp(B�(0))

Demonstra�c~ao. Considere a aplica�c~ao F : U � TM !M�M de�nidacomo F (Vp) = (p; expp(Vp)), onde �(U) �e uma vizinhan�ca de q. Uti-lizando a Proposi�c~ao 3.7 pode-se veri�car que dF(q;0) �e invert��vel. Destaforma reduzindo U podemos garantir que F jU �e um difeomor�smo. Ob-serve que F (TpM \ U) � p �M e que F jTpM\U �e um difeomor�smo.Assim sendo para terminar a prova do lema basta encontrar � < � e� < c

2tal que B�(q) � expp(B�(0)) para todo p 2 B�(q): Reduza c tal

que B c4(q) � B c

4(q) � F (U): Levando em conta que F (p; 0) = (p; p)

pode-se veri�car que � < 23( c4) e � < �

4atendem as propriedades dese-

jadas.�

Vamos agora demonstrar o teorema. O item (a) segue direto doLemma 3.14. Este lema t�ambem garante que qualquer 2 pontos emB�(q) podem ser ligados por um �unico segmento de geod�esica que de-pende suavemente dos pontos inicial e �nal. Devemos ent~ao provar queeste segmento �ca contido na bola B�(q):

Seja � : [0; 1] ! B�(q) segmento de geod�esica com �(0) e �(1)contidos em B�(q): Note que L(�) < �: Suponha por absurdo que osegmento de geod�esica n~ao �ca completamente contido na bola. Ent~aoexiste um t0 tal que

c > 2� > r0 := d(�(t0); q) = supt2[0;1]

(d(�(t); q)):

Note � �e tangente a Br0(q) no ponto �(t0) o que contraria ent~ao oLemma 3.13.

�

A bola de�nida no teorema acima �e chamada bola (vizinhan�ca) nor-mal convexa. A existencia de tais vizinhan�cas permite demonstrar oresultado a seguir, o qual garante que se uma curva miniza caminho(n~ao necess�ariamente com pequeno comprimento) ent~ao esta curva �eimagem de uma geod�esica.

Proposic�~ao 3.15. Seja : [0; 1] ! (M; g) curva suave por partestal que d( (0); (1)) = L(�): Ent~ao �e imagem de uma geod�esica.

Demonstra�c~ao. Observe primeiro que para cada t 2 [0; 1] existe umintervalo It tal que (It) est�a contida em uma bola normal convexa.

A�rmamos que (It) �e imagem de um segmento de geod�esica. Defato seja It = [a; b] ent~ao como (It) est�a contida em uma bola normalconvexa ent~ao existe uma �unico segmento de geod�esica � ligando (a)a (b) tal que L(�) = d( (a); (b)): Suponha por absurdo que (It)seja diferente de �: Ent~ao de�na a concatena�c~ao � = [a;b] � � � [0;a]Note que �(0) = (0), �(1) = (1) e L(�) < L(�) o que contraria ade�ni�c~ao de :

3.3 Campos de Jacobi e variac�~oes por geod�esicas 35

Seja Iti uma cobertura �nita do intervalo compacto [0; 1] tais que (Iti) est�a em uma bola normal convexa. Se s 2 Iti \ Iti+1 ent~aoconsidere um intervalo Is tal que Is � Iti \ Iti+1 e tal que (Is) estacontida em uma bola normal convexa. Como vimos acima (Is) �eum segmento de geodesica contido nos segmentos de geod�esicas (Iti)e (Iti+1): Logo por EDO os segmentos de geod�esicas (Iti) (Iti+1)�cam contidos em um segmento de geod�esica maior e isto termina aprova.

�

3.3. Campos de Jacobi e varia�c~oes por geod�esicas

Seja � : I ! (M; g) geod�esica em uma variedade Riemanniana Mcom dimens~ao n. Um campo suave J ao longo de � �e chamado campode Jacobi se ele atende a equa�c~ao de Jacobi :

rdt

rdtJ +R(�0; J)�0 = 0:

Como vemos a seguir todo vetor velocidade de uma varia�c~ao porgeod�esica �e um campo de Jacobi.

Proposic�~ao 3.16. Seja f : (��; �) � [a; b] ! M uma aplica�c~aosuave tal que f(s; �) �e geod�esica para todo s 2 (��; �): Ent~ao J(t) =@f@s(0; t) �e campo de Jacobi ao longo da geod�esica t! �(t) = f(0; t):

Demonstra�c~ao. Temos pela Proposi�c~ao 2.14

rdt

rdtJ =

rdt

rdt

@f

@s

=rdt

rds

@f

@t

=rds

rdt

@f

@t�R(

@f

@t;@f

@s)@f

@t= �R(�0; J)�0

�

Veremos na Proposi�c~ao 3.18 que o resultado reciproco tamb�em ser�averdadeiro ou seja todo campo de Jacobi pode ser obtido por varia�c~oespor geod�esicas. Antes por�em vamos descrever um campo de Jacobi emtermos de um referencial paralelo e observar que ele de fato atende umaEDO e extrair algumas conclus~oes simples de tal equa�c~ao diferencial.

Sejam J um campo de Jacobi ao longo de uma geod�esica � e t !fei(t)gi=0:::n�1 um referencial ortonormal paralelo ao longo de � ondee0 := �0=k�0k: Neste caso para

J(t) =n�1Xi=0

fi(t)ei(t)


temos

rdt

rdtJ =

n�1Xi=o

f 00i (t)ei(t):

Concluimos ent~ao que a equa�c~ao de Jacobi pode ser escrita como

(3.3.1) f 00j (t) +Xi

fig(R(�0; ei)�0; ej) = 0 8j

Em termos matricias temos

(3.3.2) J 00 +BJ = 0

onde B = (bij) e bij = g(R(�0; ei)�0; ej): Note que bij = bji e b0j = 0:As equa�c~oes acima nos permite inferir algumas conclus~oes imediatas

sobre campos de Jacobi as quais resumimos na proposi�c~ao a seguir.

Proposic�~ao 3.17. (a) Se V;W 2 T�(0)M ent~ao existe um�unico campo de Jacobi J ao longo da geod�esica � : [0; 1]!Mtal que J(0) = V e r

dtJ(0) = W:

(b) Existem 2 n campos de Jacobi linearmente independentes.(c) �0 e t�0 s~ao campos de Jacobi, os quais s~ao solu�c~oes de f 000 = 0(d) Existem 2(n � 1) campos de Jacobi perpendicular �a � (n~ao

necess�ariamente ortogonais entre si).(e) g(J; �0) = t g(J 0(0); �0) + g(J(0); �0(0))

Demonstra�c~ao. Os itens (a),(b),(c) s~ao imediatos. O item (d) segue daequa�c~ao (3.3.2) levando em conta que b0j = 0: Para veri�car o item (e)basta observar que

g(J; �0) = k�0kf0= k�0k(tf 00(0) + f0(0))

= k�0k�t g(J 0(0); �0(0)k�0(0)k) + g(J(0);

�0(0)k�0(0)k)

�:

�

Podemos agora mostrar que todo campo de Jacobi �e vetor veloci-dade de uma varia�c~ao por geod�esicas.

Proposic�~ao 3.18. Seja J um campo de Jacobi ao longo de umageod�esica � : (��; �) ! M . Considere uma curva � : (�1; 1) ! Wcom �0(0) = J(0); um campo s! V (s)ao longo de � com V (0) = �0(0)e r

dsV (0) = r

dsJ(0): Suponha que a varia�c~ao f(s; t) := exp�(s)(tV (s))

est�a bem de�nida. Ent~ao J(t) = @f@s(0; t):

Demonstra�c~ao. Observe que @f@s(0; 0) = J(0): Devemos veri�car que

rdt

@f@s(0; 0) = r

dtJ(0) e o resultado seguir�a pela Proposi�c~ao 3.16 e pela

3.3 Campos de Jacobi e variac�~oes por geod�esicas 37

unicidade de EDO. Para tanto basta observar que

rdt

@f

@s(0; 0) =

rds

@f

@t(0; 0)

=rds

(d(exp�(s))0V (s))js=0

=rds

(V (s))js=0

=rdtJ(0):

�

Observa�c~ao 3.19. �E facil achar uma curva � tal que �0(0) = J(0):Sejam s ! X(s) e s ! Y (s) os campos paralelos ao longo de � comX(0) = �0(0) e Y (0) = r

dsJ(0): O campo s ! V (s) pode ent~ao ser

de�nido como V (s) := X(s) + sY (s). Se a aplica�c~ao exp est�a semprebem de�nida, e.g., M compacta (ou M completa, vide Parte 2) ent~aof est�a bem de�nida. Caso contr�ario, pode-se proceder da seguinteforma. Primeiro veri�ca-se que f est�a certamente bem de�nida paraintervalos pequenos de s e t. Depois, grudando varia�c~oes fi ao longode podemos construir a desejada varia�c~ao f .

�E conveniente considerar o caso particular de campos de Jacobi comJ(0) = 0.

Corol�ario 3.20. Suponha que expp : B�(0)!M est�a bem de�nidae seja B := expp(B�(0)): Seja J um campo de Jacobi ao longo de uma

geod�esica � � B com condi�c~oes iniciais J(0) = 0 e rdtJ(0) = W . Ent~ao

J(t) = d(expp)t�0(0)tW

Demonstra�c~ao. Basta considerar na demonstra�c~ao anterior a curva �(s) =p e um campo V (s) =

Pi ai(s)ei(p) com V (0) = �0(0) e V 0(0) = W:

Observe querdsV (0) = V 0(0) =

Xi

a0i(0)ei(p):

O resultado segue observando que

@f

@s(0; t) = d(expp)tV (0)tV

0(0):

�

Observa�c~ao 3.21. Por vezes �e conveniente reescrever o corol�arioacima em termos de varia�c~oes. Mais precisamente se J �e um campo deJacobi ao longo de uma geod�esica � com J(0) = 0 e W = r

dtJ(0) ent~ao

J(t) = @f@s(0; t) onde f(s; t) = expp(tV (s)) e V : (��; �)! TpM �e curva

com V 0(0) = W e V (0) = �0(0):


3.4. Campos de Jacobi em espa�cos de curvatura constante

Consideraremos agora campos de Jacobi em espa�cos de curvaturaconstante.

Proposic�~ao 3.22. Sejam (M; g) variedade Riemanniana com cur-vaturas secionais constantes K e � : [0; a] ! M geod�esica com ve-tor velocidade 1. Ent~ao o campo de Jacobi J ao longo de � comcondi�c~oes iniciais J(0) = 0 e r

dtJ(0) = w para w perpendicular a �0(0)

�e J(t) = cK(t)w(t) onde w(�) �e o transporte paralelo de w ao longo de

� e cK �e a fun�c~ao de�nida como cK(t) :=sin(t

pK)p

Kse K > 0, cK(t) := t

se K = 0 e cK(t) :=sinh(t

p�K)p�K se K < 0:

Demonstra�c~ao. Considere o campo eJ(t) := cK(t)w(t): Sabemos pelaProposi�c~ao 2.19 que

g(R(�0; eJ)�0; ei) = Kg( eJ; ei)Assim

R(�0; eJ)�0 = K eJLoco o campo eJ atende a equa�c~ao de Jacobi, ou seja

rdt

rdteJ +K eJ = 0:

O resultado segue da unicidade das solu�c~oes da equa�c~ao de Jacobi,dado condi�c~oes iniciais.

�

Temos ent~ao o seguinte corol�ario.

Corol�ario 3.23. Seja M variedade Riemanniana com curvaturaconstante K. Suponha que expp : B�(0) ! M est�a bem de�nida. Seja

f(s; t) = expp(tv(s)) onde v : (��; �) ! Sn�11 � TpM �e curva com

kV 0(0)k = 1 e jtj < �: Ent~ao kJ(t)k = jcK j onde cK foi de�nido naproposi�c~ao anterior e J(t) := @f

@s(0; t):

Observa�c~ao 3.24 (F�ormula de Taylor). Caso M n~ao possuia cur-vaturas secionais constante, ainda sim podemos ter uma estimativa dekJk: De fato sejam f e J de�nidos como no corol�ario anterior. Ent~ao:

kJ(t)k2 = t2 � 1

3K(p; �)t4 +O(t4)

kJ(t)k = t� 1

6K(p; �)t3 +O(t3)

onde � �e o espa�co bi-dimensional gerado por V (0) e V 0(0):

A seguir iremos utilizar nosso conhecimento sobre campos de Ja-cobi em espa�cos de curvatura constante para descrever a m�etrica g emtermos de coordenadas geod�esicas polares. Tal descri�c~ao implicar�a em

3.5 Pontos conjugados 39

particular que variedades Riemannianas de mesma curvatura constantes~ao localmente isom�etricas.

Proposic�~ao 3.25.Sejam (Mn; g) variedade Riemanniana com curvaturas secionais

constantes K e : (0; �) � Sn�1 ! B�(p) parametriza�c~ao geod�esica

polar, i.e., (r; v) := expp(rAv) onde A : (Rn; g0)! (TpM; g) �e isome-tria linear. Ent~ao a m�etrica g em coordenadas geod�esicas polares �edr2 + (ck(r))

2ds2 onde ds2 �e a m�etrica canonica da esfera Sn�1 e afun�c~ao cK foi de�nida na Proposi�c~ao 3.22. Em particular, duas var-iedades Riemannianas com mesma dimens~ao e mesmas curvaturas se-cionais constantes iguais a K s~ao localmente isom�etricas.

Demonstra�c~ao. Seja feig � TvSn�1 referencial ortonormal. Pelo Corol�ario

3.20

Ji(r) := d(expp)rAvrAei

= d (r;v)(0; ei);

�e campo de Jacobi ao longo da geod�esica r ! expp(rAv): UtilizandoProposi�c~ao 3.22 podemos veri�car que

(3.4.1) g(Ji; Jj) = �i;jc2K :

Por �m de�na

J0(r) := d(expp)rAvAv

= d (r;v)(1; 0)

e utilizando o Lema de Gauss concluimos que

(3.4.2) g(J0; Ji) = 0:

O resultado ent~ao seguir�a das equa�c~oes (3.4.1) e (3.4.2). �

3.5. Pontos conjugados

Terminamos a nossa discuss~ao sobre campos de Jacobi com algunscoment�arios sobre pontos conjugados.

Seja � : [0; a] ! (M; g) geod�esica. O ponto �(t0) �e conjugado a�(0) ao longo de � se existe um campo de Jacobi J ao longo de � comJ(0) = 0 = J(t0):

O n�umero m�aximo de campos linearamente independentes �e chamadomultiplicidade de �(t0).

Exemplo 3.26. Seja � : [0; �] ! Sn1 geod�esica, i.e., um segmento

de um grande c��rculo, com �(0) = p e �(�) = �p. Ent~ao �(�) �e pontoconjugado a �(0) com multiplicidade n� 1.

Exerc��cio 3.27. Seja � geod�esica em uma variedade RiemannianaM . Veri�que


(a) �(t0) �e ponto conjugado a �(0) se e somente se �(0) �e conju-gado a �(t0)

(b) A m�ultiplicidade de um ponto conjugado �e no m�aximo n� 1

Sugest~ao: Para o item (b) utilize a Proposi�c~ao 3.17

Proposic�~ao 3.28. Sejam expp : B�(0) ! M bem de�nida, t !�(t) := expp(tV0) com jtj < � e kV0k = 1: Ent~ao �(t0) �e conjugado a�(0) com m�ultiplicidade k se e somente se dim(ker d(expp)t0V0) = k:

Demonstra�c~ao. Basta observar que as a�rma�c~oes abaixo s~ao todas equiv-alentes.

(1) J1 : : : ; Jk s~ao campos de Jacobi linearmente independentes comJi(0) = Ji(t0) = 0:

(2) Ji(t) = d(expp)t0V0(t0Wi) com Wi linearmente independentese Ji(t0) = 0; onde 1 � i � k:

(3) Wi s~ao linearmente independentes eWi 2 ker d(expp)t0V0 ; onde1 � i � k:

�

Proposic�~ao 3.29. Seja � : [0; a]! (M; g) uma geod�esica. Suponhaque �(a) n~ao �e conjugado a �(0) ao longo �: Ent~ao dado X 2 T�(0)Me Y 2 T�(a)M existe um �unico campo de Jacobi ao longo de � tal queJ(0) = X e J(a) = Y

Demonstra�c~ao. Seja J0;a o espa�co dos campos de Jacobi com J(0) = 0:De�na a aplica�c~ao A : J0;a ! T�(a)M como A(J) := J(a): ClaramenteA �e aplica�c~ao linear. Como �(a) n~ao �e ponto conjugado, concluimos queA �e injetora. Como os espa�cos vetorias J0;a e T�(a)M tem dimens~aon concluimos que A �e um isomor�smo. Este fato implica ent~ao queexiste um campo J1 com J1(0) = 0 e J1(a) = Y: Por racioc��nio analogoobtemos um capo de Jacobi J2 com J2(0) = X e J2(a) = 0: Por �mde�na J = J1 + J2: A unicidade segue do fato de �(a) n~ao ser pontoconjugado a �(0): �

Parte II

Resultados cl�assicos

Inaotroc~du a Geometria Riemanniana - IME-USP · 2012. 8. 29. · (3) W. Kuhnel, Di erential...

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