NDICE GENERAL

NDICE DE ILUSTRACIONES v

LISTA DE SMBOLOS vii

GLOSARIO ix

RESUMEN xi

OBJETIVOS xiii

INTRODUCCIN xv

1. HERRAMIENTAS PARA LA DESCRIPCIN CLSICA DE

LA RESONANCIA MAGNTICA NUCLEAR 1

1.1. Descripcin de la materia a nivel microscpico . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Descripcin cuntica del tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Conceptos del electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Fuerza elctrica y campo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Energa potencial elctrica y potencial elctrico . . . . . . . . 7

1.2.3. Fuerza magntica y campo magntico . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4. Fuerza magntica sobre conductores elctricos . . . . . . . . . 10

1.2.5. Dipolo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.6. Momento magntico de una espira de corriente . . . . . . . . . 12

1.2.7. Momento magntico de un sistema microscpico . . . . . . . . 13

1.2.8. Momento magntico y su relacin con el momentum angular . 15

1.2.9. Energa de un dipolo en un campo magntico . . . . . . . . . 16

1.2.10. Ondas electromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3. Magnetismo en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1. Magnetizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

i

2. DESCRIPCIN CLSICA DE LA RESONANCIA MAGNTI-

CA NUCLEAR 25

2.1. Sistemas fsicos en movimiento oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Resonancia en sistemas oscilantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Precesin de una partcula con espn 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Precesin de un conjunto de espines 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5. Resonancia magntica de un conjunto de partculas de espn 12

. . . 31

2.6. Interaccin de un conjunto espines 12

con su entorno . . . . . . . . . 34

3. DESARROLLO CUNTICO DE LA RESONANCIA MAGN-

TICA NUCLEAR 39

3.1. Partcula con espn 12

en un campo magntico uniforme . . . . . . . 39

3.1.1. Resonancia magntica de una partcula de espn 12

. . . . . . . 42

3.2. Interaccin magntica de un conjunto de partculas de espn 12

. . . 46

3.2.1. Resonancia de un conjunto de partculas de espn 12

. . . . . . 47

4. DESCRIPCIN DE LOS COMPONENTES DE UN EQUIPO

DE RESONANCIA MAGNTICA NUCLEAR UTILIZADO EN

MEDICINA 49

4.1. Descripcin de los componentes bsicos de un resonador magntico . 49

4.1.1. Imn superconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.2. Bobinas Compensadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.3. Bobinas de Gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.4. Sonda de Radiofrecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2. Sistema de proteccin del equipo de RMN . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.1. Escudo electromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.2. Escudo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3. Descripcin del funcionamiento del equipo de RMN . . . . . . . . . 60

5. PROCESO DE ADQUISICIN DE IMGENES 63

5.1. Caractersticas de los principales ncleos utilizados RMN . . . . . . 63

5.1.1. Sensibilidad magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.2. Concentracin fisiolgica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . 64

ii

5.2. Proceso de estimulacin y secuencias de excitacin . . . . . . . . . . 645.2.1. Cada por Induccion Libre (CIL) . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.2. Secuencia de Hahn o eco de espn (SE) . . . . . . . . . . . . . 675.2.3. Secuencia de Inversin Recuperacin (IR) . . . . . . . . . . . 695.2.4. Secuencia Turbo Espn-Eco (TSE) . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3. Gradientes de seleccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4. Seleccin del corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4.1. Orientacin del corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4.2. Posicin del corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4.3. Espesor y perfil del corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5. Reconstruccin de una imagen de RMN . . . . . . . . . . . . . . . . 755.5.1. Reconstruccin por el mtodo de Fourier . . . . . . . . . . . . 765.5.2. Codificacin de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.5.3. Codificacin por frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.5.4. Representacin de la seal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.5.5. Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.5.6. Construccin del espacio k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

CONCLUSIONES 85

RECOMENDACIONES 87

BIBLIOGRAFA 88

APNDICE 91

iii

iv

NDICE DE ILUSTRACIONES

FIGURAS

1. Fuerza elctrica entre partculas cargadas . . . . . . . . . . . . 5

2. Campo elctrico generado por una partcula cargada . . . . . . 6

3. Campo magntico generado por una partcula en movimiento . 8

4. Fuerza magntica sobre una partcula en movimiento . . . . . . 9

5. Espira de corriente en un campo magntico uniforme . . . . . . 12

6. Movimiento orbital de una partcula cargada . . . . . . . . . . 14

7. Onda electromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8. Espectro electromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9. Comportamiento magntico de la materia . . . . . . . . . . . . 20

10. Generacin de la magnetizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11. Momento magntico promedio de un sistema de dipolos . . . . 24

12. Oscilacin y resonancia en un columpio . . . . . . . . . . . . . 26

13. Precesin y resonancia de un trompo . . . . . . . . . . . . . . . 27

14. Precesin de un espn en un campo magntico uniforme . . . . 29

15. Precesin de ~M en torno al campo efectivo ~Beff . . . . . . . . 32

16. Precesin de ~M en torno a X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

17. Resonancia del espn vista en el sistema de referencia XYZ . . . 33

18. Anulacin de Mxy por desfase en la precesin de sus espines . . 36

19. Evolucin temporal de la magnetizacin . . . . . . . . . . . . . 38

20. Sistema de referencia en movimiento de precesin . . . . . . . 40

21. Resonador magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

22. Dispositivo de imn superconductor . . . . . . . . . . . . . . . 51

23. Espira y bobina de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

24. Sistema de bobinas compensadoras . . . . . . . . . . . . . . . . 53

25. Sistema de bobinas de gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . 54

v

26. Sistema integrado de bobinas de gradientes . . . . . . . . . . . 5527. Sistema de bobinas secundarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5628. Circuitos de radiofrecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5729. Esquema de los dispositivos de un equipo de RMN . . . . . . . 60

30. Caractersticas de los principales istopos utilizados en RMN . 6431. Proceso de estimulacin y obtencin de seales RMN . . . . . . 6532. Secuencia Cada por Induccin Libre (CIL) . . . . . . . . . . . 6733. Refase en la precesin de espines . . . . . . . . . . . . . . . . . 6834. Secuencia de Hann o Eco de Espn (SE) . . . . . . . . . . . . . 6935. Secuencia Inversin Recuperacin (IR) . . . . . . . . . . . . . . 7036. Secuencia Turbo Espn-Eco (TSE) . . . . . . . . . . . . . . . . 7137. Gradientes en las direcciones X, Y, Z . . . . . . . . . . . . . . . 7238. Tipos de orientacin en los cortes seleccionados . . . . . . . . . 7439. Posicin y espesor de un corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7540. Espacio k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7641. Desfase en la precesin de espines . . . . . . . . . . . . . . . . . 7742. Mustreo de un eco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8043. Reconstruccin de imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

vi

LISTA DE SMBOLOS

Densidad volumtrica de carga elctrica

0 Constante de permitividad del espacio libre

c Velocidad de la luz

~J Vector densidad de corriente

0 Constante de permeabilidad magntica

~D Vector Desplazamiento elctrico

~H Vector intensidad magntica

Operador nabla

2 Operador de Laplace

ni Sumatoria de una serie

Derivada parcial

Valor promedio de una magnitud

~rcm Vector Posicin del centro de masa

vii

Magnitud de una cantidad vectorial o numero complejo

i Numero imaginario

| Ket en la notacin de Dirac

H Operador Hamiltoniano

Tr( ) Traza de una matriz u operador

| Bra en la notacin de Dirac

| Bracket en la notacin de Dirac

tanh Funcin tangente hiperblica

h Constante de Planck

} Constante de Planck tachada

d

dtDerivada de un magnitud vectorial en un sistema giratorio

Operador de densidad de estados

Constante de Bolztman

~M Vector Magnetizacin

~L Vector Momentum Angular

viii

GLOSARIO

Corriente alterna Corriente elctrica variable que al-terna su polaridad cada medio ciclo.

Cuanto Magnitud fsica que es continua a ni-vel macroscpico, pero que se pre-senta discreta en el nivel microsc-pico de la naturaleza.

Distribucin de Maxwell-Bolztman Funcin de distribucin que repre-senta el nmero de estados accesi-bles de un sistema como funcin desu energa y temperatura.

Enfoque macroscpico Punto de vista de un fenmeno desdela perspectiva la experiencia comn.

Equilibrio termodinmico Condicin de equilibrio que se esta-blece en un sistema termodinmico,caracterizado porque todos los pun-tos del mismo se encuentran a la mis-ma temperatura.

Fuerza central Fuerza en direccin paralela o an-tiparalela a la recta que une a doscuerpos en mutua interaccin.

ix

Mecnica Cuntica Parte de la fsica que estudia los fenmenos mi-croscpicos de la naturaleza donde se manifiestande manera notable, las propiedades corpuscular yondulatoria de la materia.

Momentum angular Se define como el producto vectorial de los vec-tores: cantidad de movimiento lineal y vector deposicin de una partcula.

Operador Aplicacin matemtica que transforma un elemen-to de un espacio vectorial en otro elemento, el cualpertenece al mismo espacio.

Partcula Representacin matemtica de un cuerpo materialpor medio de un punto.

Pulsos de RF Emisin de ondas de radiofrecuencia a travs deuna antena durante perodos de tiempo muy bre-ves.

Radiacin Transmisin de energa de un punto a otro pormedio de un flujo de partculas o de ondas.

Torque Se define como el producto vectorial de los vecto-res: fuerza aplicada a una partcula y el vector deposicin que ubica a la partcula respecto de un ejede referencia.

x

RESUMEN

La adquisicin de imgenes, por medio de la tcnica de la Resonancia Magnti-ca Nuclear, es una valiosa herramienta de apoyo clnico en el diagnstico de diversostipos de patologas a nivel tisular. El propsito primordial de ste trabajo, es pro-porcionar los fundamentos tericos en el desarrollo de esta tcnica, a travs de ladescripcin del fenmeno que la hace posible y del sistema diseado para generarlo.

En el primer captulo, se hace un breve desarrollo de los principales conceptosque son utilizados para describir desde la perspectiva de la fsica clsica, el fenmenode la Resonancia Magntica Nuclear (RMN).

El segundo captulo es la descripcin del fenmeno, la cual esta basada en unenfoque vectorial denominado: desarrollo clsico de la RMN.

En el tercer captulo, se hace una breve descripcin de la formulacin msrigurosa del fenmeno, la cual se encuentra enmarcada en el contexto de principiosy leyes de la fsica cuntica. Esta descripcin se denominada: desarrollo cunticode la RMN.

En el cuarto captulo, se hace la descripcin de los principales componentes queconstituyen un resonador magntico. Esta descripcin contempla los fundamentosfsicos sobre los cuales se cimienta el funcionamiento de cada elemento, as como lafuncin de cada uno de ellos.

Finalmente, en el quinto captulo, se describe el proceso general en la adqui-sicin de una imagen, proporcionando las caractersticas principales de los procesosde estimulacin, los procesos de seleccin de cortes y codificacin de las sealesgeneradas para la reconstruccin final de la imagen.

xi

xii

OBJETIVOS

General

Presentar los fundamentos tericos y tcnicos en el proceso de adquisicin deimgenes por medio de un resonador magntico.

Especficos

1. Describir clsica y cunticamente el fenmeno de la resonancia magntica nu-clear.

2. Describir cada uno de los componentes que forman parte de un resonadormagntico, proporcionando las bases fsicas sobre las cuales se cimienta sufuncionamiento.

3. Describir brevemente, el proceso de adquisicin de una imagen de diagnsticomdico, utilizando la tcnica de la RMN.

4. Desarrollar los diferentes temas de esta obra, haciendo especial nfasis en elaspecto didctico de su presentacin, con el fin de proporcionar una herra-mienta de consulta al medio de profesionales involucrados en el diagnsticomdico por imgenes.

xiii

xiv

INTRODUCCIN

La RMN, es una tcnica de adquisicin de imgenes para diagnstico mdico,que utiliza las seales emitidas por el cuerpo humano al inducirse en ste, el fenmenode la Resonancia Magntica Nuclear por medio de un resonador magntico.

La importancia en el desarrollo de una obra que contemple la descripcinterica del proceso de adquisicin de imgenes utilizando sta tcnica, radica en lafuente de consulta que la misma representar en un futuro inmediato, a una buenaparte de profesionales y tcnicos involucrados en el diagnstico mdico por imgenes,y como medio para aminorar las deficiencias de material de consulta bibliogrficasobre temas de fsica mdica.

Actualmente, en Guatemala, la fsica mdica es una profesin de muy lentaaceptacin, debido en gran parte al desconocimiento de la existencia de la misma ydel aporte que sta brinda a la medicina, especialmente en radiologa y radioterapia.

Es propsito primordial de ste trabajo, proporcionar un documento de apoyoque posea el alcance didctico necesario para la presentacin de temas de fsicamdica a diverso pblico de profesionales.

Con tal fin, se ha echo uso de diversos recursos visuales, tales como: grficas ydibujos y de elementos comparativos de los cuales se pueden mencionar las analogas.Esto permite la presentacin de los temas expuestos, sin perder la esencia de las ideascontenidas en los mismos, lo cual se traduce en la presentacin de un documentocon cualidades para la enseanza.

xv

xvi

1. HERRAMIENTAS PARA LA DESCRIPCIN

CLSICA DE LA RESONANCIA MAGNTICA

NUCLEAR

La resonancia magntica nuclear (RMN), es un fenmeno fsico que tiene lu-gar en el interior del ncleo atmico. Lo experimentan los ncleos con propiedadesmagnticas como: el espn resultante no nulo y el momento magntico. Este fen-meno se origina cuando los ncleos con estas propiedades, interactan con camposmagnticos estticos y variables en el tiempo.

En ste captulo, se desarrollaran los conceptos necesarios para proporcionar ladescripcin clsica de la RMN. Esta descripcin conocida como: desarrollo clsicode la Resonancia Magntica, es un enfoque vectorial del fenmeno en el cual seutiliza el concepto macroscpico de magnetizacin.

El contenido de del captulo contempla los siguientes temas:

La descripcin de la materia a nivel microscpico: con el fin de determinar lascaractersticas principales de los tomos e istopos utilizados en experimentos deRMN.

El desarrollo de conceptos del electromagnetismo tales como: campo elctrico,campo magntico, ondas electromagnticas y momento magntico de una partcula.Conceptos que son utilizados para describir la interaccin de la materia con losmedios magnticos. Y la descripcin del origen del magnetismo en la materia: paradesarrollar el concepto vectorial de magnetizacin.

1

1.1. Descripcin de la materia a nivel microscpico

La materia desde el punto de vista de las trasformaciones fsicas y qumicas,esta constituida por unidades estructurales formadas de molculas y tomos. Eltomo como una unidad fundamental, es un sistema microscpico constituido portres tipos diferentes de partculas: protones, neutrones y electrones.

Los protones p: son partculas con una masa de 1.672 X 1027 Kg que poseenuna propiedad fundamental denominada: carga elctrica, la cual en el caso de estosse denomina: carga positiva.

Los neutrones n: son partculas con una masa de 1.6741027kg ligeramentediferente de la masa del protn y que no presentan carga elctrica alguna.

Los protones y neutrones se encuentran concentrados en una regin del tomodenominada: ncleo atmico.

Los electrones e: son partculas fundamentales cuya masa es 1/1837 de la masadel protn. Poseen una carga elctrica denominada: carga negativa cuyo tamao esigual a la del protn pero con signo opuesto al de ste.

Los electrones, se mueven alrededor del ncleo en regiones de energa biendefinida y el nmero de estos en un tomo es el mismo que el de protones en su ncleo.Esta cantidad sirve para caracterizar a cada elemento qumico de la naturaleza y sedenomina: nmero atmico Z .

La mayor parte de la masa de un tomo esta constituida principalmente dela masa del ncleo. El tamao de esta masa est representada por un nmero, elcual indica la cantidad de protones y neutrones que hay en el ncleo. Este nmerose denomina: nmero de masa A.

A los elementos qumicos que tienen igual nmero atmico pero diferente n-mero de masa se les denomina: istopos.

2

1.1.1. Descripcin cuntica del tomo

Los electrones en un tomo, se distribuyen alrededor del ncleo orbitando enregiones de energa bien definida. Cada una de estas regiones pertenece a un nivelde un arreglo energtico denominado: niveles de energa. Cada nivel de energade ste arreglo, se encuentra espaciado del nivel anterior y posterior por un mltiploentero de una unidad fundamental o mnima de energa.

A la disposicin que toman los electrones en los diferentes niveles de energade un tomo se denomina: configuracin electrnica. Esta disposicin o configu-racin, est representada para cada electrn por una serie de nmeros denominados:nmeros cunticos. Los nmeros cunticos: especifican el nivel de energa en elque se encuentra el electrn, la orientacin de la orbita o regin electrnica asociadaal nivel, el momentun angular o momento de giro de la misma y el espn del electrn.

El espn, es una propiedad intrnseca de las partculas y de los sistemas mi-croscpicos como los ncleos atmicos. Tiene similitud con el momentum angular deun objeto macroscpico que gira sobre su propio eje, aunque carece de esta imagena nivel microscpico, debido a las restricciones en la forma en que se describen laspartculas a ste nivel. Sin embargo, muchas de las propiedades del espn tienen unanlogo con las propiedades del momentum angular.

En el nivel microscpico de la naturaleza, el cual es descrito por la fsicacuntica, dos de las magnitudes caractersticas del espn como son: el mdulo y laorientacin, exhiben el fenmeno de la cuantizacin. En ste fenmeno, los valoresque toman cada una de estas magnitudes se presentan en forma discreta como ml-tiplos enteros de una unidad mnima. De igual manera, a ste nivel, el mdulo delespn nicamente puede medirse como una proyeccin sobre algn eje de referencia.

El espn del ncleo o espn nuclear, puede ser detectado en aquellos tomose istopos que presentan un nmero atmico impar. Por el contrario, ste no esdetectado en los tomos e istopos que presentan un nmero de masa y un nmeroatmico par.

3

En un sistema nuclear, el espn est representado por el nmero cuntico S, elcual puede tomar los valores 0, 1/2, 1, 3/2, 5/2, . . . S. Para un ncleo con nmerocuntico de espn 1

2, los valores posibles de la proyeccin de su espn sobre algn eje

de referencia son: 12~ y 1

2~ . Donde ~ es una constante fundamental de la naturaleza

denominada: constante de Planck.

1.2. Conceptos del electromagnetismo

El electromagnetismo estudia los fenmenos de interaccin de los cuerposque poseen carga elctrica. La carga elctrica o cantidad de electricidad, es unapropiedad fundamental de la materia y se manifiesta en la misma de dos manerasdiferentes, las cuales son denominadas: carga negativa () y carga positiva (+).

La carga negativa, es portada por los electrones en los tomos y tiene un valorpara cada electrn de 1.62 x 1019 Coulombs. La carga positiva, tiene igual magnitudque la de los electrones (pero con signo opuesto) y es portada por los protones en elncleo atmico.

Las partculas que poseen carga elctrica, pueden atraerse o repelerse entres de acuerdo al siguiente principio de interaccin que siguen sus cargas: cargas dediferente signo se atraen y cargas de igual signo se repelen.

En la materia que no exhibe un comportamiento elctrico a nivel macroscpico,el nmero de cargas elctricas de ambos tipos es el mismo. Cualquier exceso de unode estos dos tipos de carga, generara un desequilibrio en el sistema que romper conla neutralidad elctrica, dando paso a que la materia presente una carga neta porexceso. La magnitud total de esta carga, se presenta como un mltiplo entero deuna unidad mnima de carga que es la carga del electrn e.

Las partculas con carga elctrica, experimentan dos tipos de interaccin quedependen de su estado de movimiento y del sistema de referencia donde ste sea des-crito. Los dos tipos de interaccin observados en la naturaleza son: fuerza elctricay fuerza magntica.

4

1.2.1. Fuerza elctrica y campo elctrico

La interaccin entre dos partculas cargadas que se encuentran en reposo pa-ra algn observador inercial, es descrita por la ley de Coulomb y se denomina:fuerza elctrica. Esta ley establece: que la fuerza elctrica que experimenta la par-tcula con carga q, por la accin a distancia de la partcula con carga q0, la cual seencuentra separada de la primera una distancia d, es proporcional al producto desus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separacin delas partculas.

~F = kq0q

d2~u (newton)

En esta ecuacin, k es una constante de proporcionalidad elegida adecuadamentepara hacer compatible de ambos lados las unidades de la ecuacin. El vector unitario~u, es un vector tangente a la lnea que une ambas cargas y su direccin est especifi-cada por el principio de atraccin y repulsin, es decir, si la carga fuente tiene igualsigno que la carga de prueba, la fuerza sobre la partcula portadora de la carga deprueba ser repulsiva, si es negativa esta fuerza ser atractiva.

Figura 1: Fuerza elctrica entre partculas cargadas

Carga fuente Carga de prueba

q+0q+

dDistancia de separacin

Fuerza resultante

Carga fuente Carga de prueba

q-0q+

dDistancia de separacin

Fuerza resultante

u

u

5

La partcula con la carga fuente, origina en todos los puntos del espacio a sualrededor, una accin a distancia sobre cualquier cuerpo cargado que sea colocadoen estos puntos. Esta accin es independiente de la carga de los cuerpos y solamentedepende de la magnitud de la carga fuente q0 y de la distancia de sta al puntodonde se coloque la partcula con la carga de prueba q. A esta accin se denomina:campo elctrico ~E y es una funcin vectorial, es decir, una funcin que asignaun vector a cada punto del espacio. La misma se define de la siguiente manera:

~E = lmq0

~F

q=

Fuerza elctrica sobre qCarga de prueba q

= kq0d2~u

( newtoncoulomb

)

El smbolo de lmite utilizado en esta expresin, indica que la magnitud de la cargade prueba debe de ser muy pequea comparada con la magnitud de la carga fuente,de tal manera que esta no perturbe la distribucin de la misma en el cuerpo quela contiene. En funcin del campo elctrico, la fuerza que experimenta la partculaportadora de la carga de prueba puede escribirse como: ~F = q ~E.

Figura 2: Campo elctrico generado por una partcula cargada

0q

d

E dposicinlaenelctricoCampo

campodel

generadoraelctricaaC arg

6

1.2.2. Energa potencial elctrica y potencial elctrico

Para crear un sistema de partculas cargadas, es necesario que un agente exter-no invierta energa para colocar a cada partcula en su posicin final en el sistema.Esta energa, es almacenada por el mismo y adopta una nueva forma que depende dela configuracin espacial que cada partcula ha adquirido. Esta energa se denomina:energa potencial elctrica.

Para crear un sistema de dos partculas cargadas, solamente se requiere que elagente externo, realice trabajo para colocar a una de las partculas en una posicinfija con respecto de la otra. Para una partcula en reposo con carga q0, ste agenteexterno debe realizar trabajo sobre la partcula con carga q, en contra de la fuerzaelctrica q ~E(r) que la partcula en reposo ejerce sobre sta. La energa potencialasociada puede ser representada de la siguiente manera:

U(r) = q d

rref

~E(r) d~r

En esta expresin, el smbolo

denota la suma de todos los trabajos que la fuerzaexterna debe realizar sobre la partcula con la carga de prueba a travs de los pe-queos desplazamientos d~r. Esta fuerza, es igual a la producida por la partcula conla carga fuente sobre la partcula de prueba en todos los puntos de su trayectoria,pero en sentido contrario a la misma. Los valores rref y d : son los respectivos lmitesde la suma y representan las posiciones inicial y final de la partcula.

La energa potencial puede expresarse tambin, como el producto de la cargade la partcula de prueba q, por una funcin escalar que depende nicamente delvalor de la carga de la partcula fuente y del punto de prueba. Esta funcin sedenomina: potencial elctrico V(r) y se define de la siguiente manera:

V (r) =Energia potencial elctrica

Carga de prueba=U(r)

q

( joulescoulomb

)En trminos del potencial elctrico, la energa potencial para el sistema de dospartculas cargadas puede escribirse como: U(r) = qV (r).

7

1.2.3. Fuerza magntica y campo magntico

Las partculas cargadas experimentan adems de la fuerza de Coulomb, otrotipo de interaccin originado por el movimiento de cuerpos cargados cercanos a estas.Esta interaccin depende tanto del movimiento de la partcula portadora de la cargafuente como, del movimiento de la partcula portadora de la carga de prueba, y lamisma se denomina: fuerza magntica.

Al igual que en la fuerza elctrica, la fuerza magntica tambin pude ser expre-sada por la accin a distancia de un campo con la carga de la partcula de prueba.Este campo depende de la magnitud de la carga q0 de la partcula fuente, de lavelocidad ~v con que sta se mueve y del cuadrado de la distancia de separacin desta al punto de prueba d. La direccin de ste campo, es perpendicular al planoque forman los vectores velocidad y el vector unitario que ubica al punto de pruebacon respecto a la partcula fuente. Este campo se denomina: campo magntico yse ilustra en la siguiente figura.

Figura 3: Campo magntico generado por una partcula en movimiento

v

q0

u

p a r t c u l al a

d eaT r a y e c t o r i

e v a l u a c i nd ep u n t o

e le nm a g n t i c oC a m p o

B

Y

Z

v

u

B

X

d

Matemticamente, la expresin vectorial para el campo magntico originado por lapartcula con carga fuente q0, puede expresarse de la siguiente manera:

~B =04

q0d2

(~v ~u) (tesla)

8

La fuerza magntica que una partcula cargada experimenta al interactuar conel campo magntico que la partcula fuente ha creado, es siempre perpendicular ala velocidad de la partcula de prueba y al campo originado por la primera. Esto seilustra en la siguiente figura:

Figura 4: Fuerza magntica sobre una partcula en movimiento

v

q0

u

0a r g qacc o n

p a r t c u l al as i g u e

q u eaT r a y e c t o r i

B

Y

Z

F

B

X

d

1v

q

F

qacc o n

p a r t c u lalae r im e n ta

q u em a g n t ic aF u e r z a

a rg

e x p

1v

Si la partcula de prueba posee una carga q y se mueve con una velocidad v1,la fuerza magntica que esta experimenta por la accin del campo originado por lapartcula fuente puede expresarse de la siguiente manera:

~F = q~v1 ~B

Si se adiciona a sta expresin la interaccin de Coulomb, la cual siempre se encuen-tra presente entre partculas cargadas, puede escribirse una expresin ms generalla cual incluye tanto la interaccin elctrica como la magntica (electromagntica),esta expresin se denominada: fuerza de Lorentz y matemticamente puede serrepresentada de la siguiente manera:

~F = q( ~E + ~v1 ~B) (1.1)

9

1.2.4. Fuerza magntica sobre conductores elctricos

Segn la capacidad para conducir partculas cargas en su interior, la materiase divide en dos tipos de materiales denominados: conductores y no conductores.

Los conductores: son un tipo de material en el cual las partculas cargadas,pueden moverse con relativa facilidad bajo la accin de los campos elctricos. Losmateriales no conductores: por el contrario, tienen poca respuesta a la accin delos campos elctricos. Las partculas cargadas asociadas a estos materiales, se en-cuentran fuertemente ligadas a sus estructuras moleculares, lo que hace dificil sutraslacin de un punto a otro.

El movimiento de partculas cargadas, ya sea en el vaco o en el interior deun material conductor, puede expresarse adecuadamente utilizando el concepto decorriente elctrica, la cual se define de la siguiente manera:

I =Cantidad de carga que atraviesa una regin

Tiempo empleado en atravesar la regin=

q

t(amperios) (1.2)

Al establecerse una diferencia de potencial entre dos puntos de un medio con-ductor o en el espacio vaco, entre los mismos se originara un campo elctrico que esel que moviliza a las partculas con carga y produce la corriente. La corriente puedenestar constituida por el movimiento de electrones, protones o bien por iones. En unmaterial conductor, la corriente elctrica es debida al movimiento de electrones.

Los electrones en el interior de un material conductor, reaccionan tambin ala accin de los campos magnticos. La fuerzas que experimentan por la accin deestos campos, es transmitida a las paredes del conductor y puede ser expresada poruna extensin de la ecuacin (1.1) aplicada a un conductor en forma de alambre.

d~F = Id~l ~B (1.3)

En esta ecuacin, el smbolo d~l representa un segmento vectorial del alambre quetransporta la corriente I sobre el cual se ejerce la fuerza magntica d~F .

10

1.2.5. Dipolo magntico

La corriente elctrica generada en el interior de un alambre conductor, daorigen a campos magnticos que rodean el espacio exterior al mismo. La distribucinespacial de estos campos, define circunferencias centradas en el alambre en cuyospuntos el campo magntico es tangente y de igual magnitud. Los radios de stascircunferencias y la intensidad del campo estn en relacin inversa uno con respectodel otro, es decir, a mayor radio menor intensidad de campo. Estos campos sonperpendiculares a la direccin de la corriente y su intensidad puede ser expresadapor la siguiente ecuacin:

B =0I

2d(1.4)

A nivel microscpico, existen otros tipos de corrientes que no necesariamenteestn relacionadas con el flujo de una cantidad grande de partculas cargadas. Lasmismas, pueden ser originadas por un movimiento en trayectoria cerrada de unapartcula cargada o bien por el movimiento intrnseco de sta. ste tipo de corrientesmicroscpicas generan campos magnticos en el espacio que las rodea, y constituyenun sistema magntico denominado: dipolo magntico.

La intensidad del campo magntico generado por un dipolo, disminuye con elaumento de la distancia del dipolo al punto de evaluacin y puede escribirse de lasiguiente manera:

~B =04

( ~d3

+3(~ ~d)~d

d5

)(1.5)

En esta expresin, ~ es un vector que caracteriza las propiedades geomtricas del cir-cuito que forman las trayectorias de las partculas cargadas, y se denomina:momentomagntico del sistema.

Aunque el concepto de trayectoria y de forma geomtrica en el mundo micros-cpico es algo inexistente, el momento magntico en sistemas de microcorrientes sies detectado y medido.

11

1.2.6. Momento magntico de una espira de corriente

Considere la disposicin del siguiente sistema electromagntico: una espirarectangular, la cual est constituida por una bobina de alambre conductor en lacual se transporta una corriente elctrica de intensidad I. Esta es colocada en laregin entre dos imanes permanentes donde existe un campo magntico uniforme~B. El campo interacciona con los electrones de la corriente, los cuales experimentanuna fuerza magntica que es transmitida a las paredes del alambre conductor de labobina. La disposicin de ste sistema se muestra en la siguiente figura:

Figura 5: Espira de corriente en un campo magntico uniforme

a

b n

Al pivotar a la espira en la parte media del segmento a, la fuerza magnticaejercida en ste y los otros segmentos, da origen a un torque magntico el cual conla ayuda de la ecuacin (1.3), puede calcularse de la siguiente manera:

d~ = ~r (Id~l ~B) (1.6)

En esta expresin, ~r es un vector perpendicular dirigido desde el eje dondese calcula el torque al punto que ubica al elemento de corriente Id~l donde acta lafuerza magntica. Esta fuerza realiza un torque efectivo, nicamente en los elementostransversales de la espira que son paralelos al eje de referencia.

12

Con las observaciones anteriores y tomando en cuenta que el campo magnticoes un vector constante, el torque total calculado sobre los elementos efectivos decorriente puede escribirse de la siguiente manera:

~ = (Iab)~n ~B

Esta ecuacin, define un nuevo vector cuyo mdulo est constituido por el productode la corriente de la espira y el rea efectiva de la misma A=ab. Su direccin esperpendicular al plano de la espira y paralela al vector unitario ~n. Este vector sedenomina: momento magntico.

~ = IA~n (amperios m2) (1.7)

Utilizando el momento magntico definido en la ecuacin (1.7), el torque queexperimenta la espira de corriente puede ser escrito de la siguiente manera:

~ = ~ ~B (1.8)

1.2.7. Momento magntico de un sistema microscpico

Como se ha mencionado en la seccin (1.2.5), las corrientes elctricas no estnlimitadas nicamente al flujo de un gran nmero de partculas cargadas, como enel caso de los conductores elctricos macroscpicos, el movimiento orbital de unasola carga elctrica genera por si misma una corriente elctrica, y su orbita tieneasociado un momento magntico constante. Para ilustrar esta situacin considere elsiguiente sistema orbital:

Una partcula con carga q se mueve por la accin de una fuerza central enuna orbita circular de radio r. La accin de esta fuerza, origina un cambio en laorientacin de la partcula sin alterar la magnitud de la velocidad con la que esta semueve, lo que origina que la misma adquiera un movimiento circular con velocidadangular constante, como se ilustra en la siguiente figura:

13

Figura 6: Movimiento orbital de una partcula cargada

El movimiento de la partcula por cada punto de su trayectoria, genera unacorriente elctrica instantnea, la cual se puede calcular utilizando la definicin dadapor la ecuacin (1.2)

I =Carga elctrica que pasa por una reginTiempo empleado en pasar por la regin

=q

t=q

T

En esta ecuacin, T es el perodo del movimiento orbital de la partcula, el cualesta relacionado con la trayectoria que esta describe y su velocidad, por medio de lasiguiente expresin:

T =2r

v

Combinando ste resultado con el rea efectiva de la orbita r2, el momento mag-ntico se puede escribir como:

=qvr

2(1.9)

14

1.2.8. Momento magntico y su relacin con el momentum angular

El sistema de corriente orbital estudiado anteriormente, puede utilizarse parainvestigar la relacin que existe entre el momento magntico de un sistema micros-cpico con su momentum angular.

Debido a que la fuerza externa que acta en el sistema orbital es una fuerzacentral, la misma no produce torque alguno y el momentum angular del sistema debepermanecer invariante, es decir, su mdulo y direccin no cambian con el tiempo.Esto permite escribir la magnitud del momentum angular de la siguiente manera:

L = mrv

En esta expresin, m es la masa de la partcula y v la magnitud de la velocidad conla que esta se mueve. Finalmente combinando ste resultado con la ecuacin (1.9)se obtiene la relacin buscada:

=q

2mL = L (1.10)

La constante que aparece en esta expresin, es una propiedad caractersticadel sistema microsocpico y se denomina: constante girmagntica.

La relacin (1.10), establece que el mdulo del momento magntico es pro-porcional al mdulo del momentun angular, y su direccin paralela o antiparalela(segn el signo de la carga) a la direccin de ste.

Como se ha mencionado en la seccin (1.1), las partculas atmicas comolos electrones, protones y neutrones y el ncleo mismo visto como una partcula,poseen un momento angular intrnseco denominado espn. Este momento de espntambin tiene asociado un momento magntico de mdulo invariable, al igual queuna constante girmagntica caracterstica de cada partcula.

15

1.2.9. Energa de un dipolo en un campo magntico

Como lo indica la ecuacin (1.8), los sistemas que poseen un momento mag-ntico ~, experimentan un torque magntico al entrar en interacin con un campomagntico constante ~B.

~mag = ~ ~B

Este torque, en el caso de una partcula con momento magntico neto, tiene latendencia de alinear al momento magntico de sta en direccin paralela al campo.La energa almacenada en el sistema campo-partcula, puede obtenerse calculando eltrabajo que un agente externo debe realizar para cambiar la orientacin del momentomagntico respecto al campo. Esta energa de configuracin se denomina energapotencial magntica, la cual puede ser expresada de la siguiente manera:

U() =

ref

extd

=

ref

Bsend

En esta expresin, ext es la magnitud del torque que el agente externo debe ejercerpara cambiar la orientacin del momento magntico, de un ngulo de referencia refa un ngulo final. Si se define arbitrariamente la energa potencial en el ngulode referencia como nula, la energa del sistema en la orientacin puede escribirsecomo:

U() = B cos

La cual vectorialmente puede expresarse de la siguiente manera:

U = ~ ~B (1.11)

16

1.2.10. Ondas electromagnticas

Gran parte de los fundamentos del electromagnetismo estn contenidos en uncuerpo de leyes representadas por cuatro ecuaciones denominadas: ecuaciones deMaxwell. Con estas leyes se puede dar explicacin a la mayor parte de los fenmenosde electricidad y magnetismo que se observan en la naturaleza a diferentes niveles.Estas leyes son:

~D = (1.12)

~B = 0 (1.13)

~H = J + Dt

(1.14)

~E = ~B

t(1.15)

Las ecuaciones de Maxwell, predicen la existencia de una perturbacin elctricay magntica que viaja en el espacio libre a la velocidad de la luz, esta perturbacines denominada: onda electromagntica.

Un ejemplo simple de un movimiento ondulatorio u onda, lo constituyen lasperturbaciones originadas en el agua de un estanque al caer sobre l algn objeto.En el mismo, se podr observar pequeas formaciones circulares u olas que se alejandel punto de impacto del objeto con la superficie del agua. Estas olas representan ladeformacin del medio en el que la onda viaja y tambin sirve para caracterizarla.

Si se dejase un pequeo corcho en el agua del estanque, se observar comoest al paso de una ola asciende a una altura mxima para luego descender a sunivel inicial. La altura mxima que puede alcanzar la ola se denomina: amplitudde onda, y al ritmo con que asciende y desciende el corcho se denomina: frecuen-cia de oscilacin de la onda , la cual se mide en ciclos/segundo o Hertz. Ladistancia de separacin que hay entre ola y ola, sirve para determinar la longitud dela perturbacin y se denomina: longitud de onda .

17

Estos dos parmetros, longitud de onda y frecuencia, sirven para caracterizarcompletamente a una onda. La ecuacin bsica que describe a cualquier movimientoondulatorio se denomina: ecuacin de onda y se escribe de la siguiente manera:

2 1v22

t2= 0 (1.16)

En esta ecuacin, representa la magnitud fsica que caracteriza al medio queexperimenta la perturbacin.

La aplicacin de la operacin vectorial del rotacional sobre la ley de Amp-re, ecuacin (1.14), y el uso de las ecuaciones constitutivas para el espacio vacoD = 0E y B = 0H, combinada apropiadamente con la ley de induccin de Fa-raday, ecuacin (1.15), y la identidad vectorial = 2, demuestranque el campo magntico ~B cumple con la siguiente ecuacin de onda

2B 1v22B

t2= 0 (1.17)

Un procedimiento similar efectuado sobre la ecuacin (1.15), demuestra que el campoelctrico tambin cumple con una ecuacin de onda semejante.

En una onda electromagntica, los campos elctricos y magnticos oscilan deforma perpendicular entre s y con respecto a la velocidad de propagacin de laonda, de acuerdo a la siguiente relacin vectorial:

~B =1

c2(~c ~E) (1.18)

Una solucin simple para la ecuacin de onda, expresada por la ecuacin (1.17),la constituye una onda armnica. Las ondas armnicas: son soluciones matemticasde una longitud de onda y frecuencia caracterstica. En la siguiente figura, se ilustragrficamente la forma caracterstica de una onda electromagntica armnica.

18

Figura 7: Onda electromagntica

Las ondas electromagnticas abarcan un intervalo enorme de longitudes deonda. Las hay desde aquellas con de varios kilmetros hasta otras con del ordende picmetros. Debido a que la frecuencia y la longitud de onda estn relacionadaspor medio de la velocidad de propagacin c = , la ondas suelen clasificarse enregiones de escala de frecuencia. A este arreglo se le denomina: espectro electro-magntico.

Las ondas de radiofrecuencia, abarcan intervalos de longitud de onda y defrecuencia que oscila entre 105 a 101 metros y 103 a 109 GHz. Estas ondas estnasociadas a la radiocomunicaciones terrestres.

Figura 8: Espectro electromagntico

610-

310-

910-

1210-

110-

1

310510

610

310

910

1210

1510

1710

2110

19

En la naturaleza a nivel microscpico (molecular, atmico y nuclear), la mate-ria y las ondas tienen un comportamiento similar. Las ondas en determinadas situa-ciones se comportan como partculas y de igual manera las partculas se comportancomo ondas. Este tipo de comportamiento es llamado: dualidad onda-partcula.A la partcula asociada a una onda electromagntica se le denomina: fotn o cuantode radiacin electromagntica, y su energa en trminos de la frecuencia de oscilacinde su onda es:

E = h0 = ~0 (1.19)

1.3. Magnetismo en la materia

El magnetismo en la materia, tiene su origen en el interior del ncleo atmico.Los ncleos y partculas con un momento angular de espn no nulo, tienen asociadoa ste un momento magntico el cual es responsable de su comportamiento magn-tico. Estas partculas se comportan como pequeos imanes permanentes o dipolosmagnticos.

Si un ncleo tiene nmero atmico y nmero de masa ambos impares, el mismopresentar un momento magntico neto lo que originara que ste se comporte comoun imn microscpico.

Figura 9: Comportamiento magntico de la materia

N

S

N

S

20

1.3.1. Magnetizacin

Desde el punto de vista macroscpico, el comportamiento magntico de lamateria esta representado por una funcin vectorial denominada: magnetizacin.Esta funcin, es una descripcin estadstica del nmero de dipolos o imanes micros-cpicos que hay en un pequeo elemento de volumen de materia. Cada uno de estoselementos, est representado por el momento magntico medio que caracteriza alconjunto de dipolos en el volumen, y puede ser descrito por un punto matemtico.Cada promedio de estos, es ponderado por el nmero de dipolos que hay en el puntocorrespondiente, y por la fraccin del volumen que stos ocupan en la muestra.

~M =# dipolos en un punto muestra momento magntico medio de un dipolo

volumen que ocupa la muestra

~M =1

V

i

~i

Para una muestra de materia constituida por ncleos de espn 12, la presen-

cia de un campo magntico uniforme ~B, origina que el momento magntico de losdipolos nucleares adopte una de sus dos orientaciones posibles. Cada una de estasorientaciones, define un estado energtico los cuales con la ayuda de la ecuacin(1.11) pueden escribirse de la siguiente manera:

E = zBz, E+ = zBz (1.20)

En estas ecuaciones, E+ representa el estado de mayor energa, y E el estadode menor energa. En la materia desmagnetizada, es decir, que no exhibe un com-portamiento magntico a nivel macroscpico, los dipolos magnticos se encuentranorientados totalmente al azar. Cuando un campo magntico es aplicado a la muestrade dipolos, los mismos se distribuyen en sus dos orientaciones posibles y el valor pro-medio del momento magntico en cada punto de la muestra, estar determinado porla diferencia entre los dipolos que se distribuyen en una u otra direccin. Esto con-lleva a que la magnetizacin ste orientada en la direccin del dipolo predominante.Este fenmeno se ilustra en la siguiente figura.

21

Figura 10: Generacin de la magnetizacin

En una muestra N de dipolos, los cuales ocupan un volumen V , existe unacantidad N de espines con momento magntico z, y N+ espines con momentomagntico +z. En el equilibrio termodinmico del sistema de espines con un campomagntico uniforme B, ste elemento de volumen estar caracterizado por el valorpromedio de su momento magntico, el cual puede calcularse de la siguiente manera:

~ = N+~z +N~zN

(1.21)

= P+~z P~z (1.22)

En la ultima expresin, ecuacin (1.22), P+ y P representan las probabili-dades de que el momento magntico tome el valor +z y z respectivamente. Sila interaccin entre los dipolos es lo suficientemente dbil como para considerarlosindependientes entre si, estas probabilidades pueden calcularse utilizando la funcinde distribucin de Maxwell-Bolztman.

P = ceET (1.23)

22

En esta ecuacin, E representa la energa del sistema que en el caso de los espines,est dada por la ecuacin (1.20). El producto de la constante de Bolztman =1.381023(joules/kelvin) con la temperatura absoluta T del sistema, es la medidade la energa trmica que existe en el elemento de volumen V , como resultadode la interaccin con su entorno, el cual est constituido de molculas y tomos.La constante c depende de la temperatura del medio y representa un factor denormalizacin.

Sustituyendo la ecuacin (1.23) en la ecuacin(1.22), se obtiene el siguienteresultado para el momento magntico medio.

~ = z tanh(zBz

T

)(1.24)

Multiplicando esta ecuacin por en nmero N, el cual representa la cantidad dedipolos magnticos por unidad de volumen contenidos en un punto de la muestra,puede escribirse la expresin para la magnetizacin del sistema de espines de lasiguiente manera:

~M = Nz tanh(zBz

T

)(1.25)

En el equilibrio trmodinmico con el campo magnetico B orientado sobreel eje Z de un sistema coordenado XYZ, el sistema de espines tienden a alcanzarsu configuracin de menor energa. En esta configuracin, el sistema se encontrarcon una mayor poblacion de espines con componente de momento magntico zparalela al campo Bz, y por lo tanto el momento magntico medio deber sealaren el sentido positivo del campo ~B.

La orientacin del momento magntico medio, queda caracterizada por el pa-rmetro zBz

T, el cual mide la razn entre la energa de espn y la energa trmica

del sistema.

23

Si la temperatura en la muestra es muy alta, es decir, zBzT

1, la probabilidad deque el momento magntico del dipolo sea paralelo al campo es casi la misma de quesea antiparalelo. En ste caso, los dipolos se encontrarn distribuidos totalmente alazar en la muestra, de tal manera que el momento magntico promedio deber sernulo. Esto se ilustra en la siguiente figura.

Figura 11: Momento magntico promedio de un sistema de dipolos

Por otra parte, si la temperatura es muy pequea, es decir, zBzT

1, es mu-cho ms probable que el momento magntico sea paralelo al campo que antiparalelo.En ste caso, ~ ~z y en correspondencia la magnetizacin se reduce a:

~M = N~z (1.26)

Que es su mximo valor posible o valor de saturacin, el cual es independiente delcampo ~B y de la temperatura T.

24

2. DESCRIPCIN CLSICA DE LA

RESONANCIA MAGNTICA NUCLEAR

En el captulo anterior, se han desarrollado las herramientas necesarias paraproporcionar la descripcin clsica de la Resonancia Magntica Nuclear (RMN). Eneste captulo, se proceder a desarrollar de manera reconstructiva en orden de ideas,la descripcin de este fenmeno.

2.1. Sistemas fsicos en movimiento oscilatorio

Un sistema simple del cual pueden extraerse las caractersticas principales deun movimiento oscilatorio, lo constituye el movimiento de vaivn de la silla de uncolumpio. En un columpio, la silla de ste se mece de un extremo a otro alcanzando lamisma altura en ambos extremos. El ngulo mximo que la silla puede formar con lavertical, sirve para determinar cuanto se ha desplazado esta del equilibrio en amboslados y se denomina: amplitud de oscilacin. El ritmo con que la silla se muevede un extremo a otro, es una propiedad inherente de cada sistema y se denomina:frecuencia de oscilacin, la cual se mide en ciclos /segundo o Hertz. Estas dospropiedades: amplitud y frecuencia, sirven para caracterizar completamente a unmovimiento oscilatorio.

Otro movimiento oscilatorio con caractersticas muy particulares, lo consti-tuye el movimiento de precesin que realiza un trompo. Un trompo puede girarlibremente sobre su eje y permanecer as, hasta que las asperezas de la superficieen la que se encuentra girando lo van deteniendo paulatinamente. En ste punto desu movimiento, se puede observar que el trompo se inclina y su cabeza comienzaa hacer un movimiento circular describiendo las paredes de un cono. Este tipo demovimiento es la precesin y la misma se realiza con una frecuencia de oscilacincaracterstica, la cual corresponde a la velocidad angular con la que se mueve lacabeza del trompo. La amplitud en este tipo de movimiento, es el desplazamientoangular mximo que el eje del trompo ha formado con la vertical.

25

2.2. Resonancia en sistemas oscilantes

La resonancia es un fenmeno que puede ser medido y detectado tanto a nivelmacroscpico como al nivel microscpico de la naturaleza. Lo experimentan los sis-temas fsicos que se encuentran en movimiento oscilatorio, caracterizados por unaamplitud y frecuencia de oscilacin. Este fenmeno es originado cuando un agenteexterno al sistema, entra en interaccin directa con ste, modificando la amplitudde las oscilaciones. Esta interaccin es efectiva cuando la frecuencia de accin con laque acta el agente externo, es igual a la frecuencia natural de oscilacin del sistemafsico.

Los dos sistemas macroscpicos, estudiados anteriormente, pueden ser utiliza-dos para mostrar como es inducida la resonancia en un sistema oscilatorio.

En la siguiente figura, se puede observar a un nio que se encuentra meciendoen la silla de un columpio, al cuidado de su padre. Con el paso del tiempo, los efectosde friccin en el sitema de sujecin de la silla, hacen que esta disminuya la amplitudde sus oscilaciones. Para contrarrestar ste efecto, el nio le pide a su padre que leimpulse nuevamente. El padre observa que para ser efectivo el impulso y aumentarms la amplitud de oscilacin, debe entrar en sincrona con el movimiento de vaivnde la silla e impulsarla peridicamente, es decir, hacerla resonar a base de impulsosperidicos.

Figura 12: Oscilacin y resonancia en un columpio

26

Figura 13: Precesin y resonancia de un trompo

En esta figura se muestra un pequeo trompo que se encuentra girando verti-calmente, con su vector momentun angular ~L0 paralelo a su eje de simetra. Sobreel centro de masa de ste, se aplica una pequea fuerza horizontal ~F0 que hace in-clinarlo un ngulo 0. Esta inclinacin conlleva al centro de masa ha desplazarse desu posicin de equilibrio, lo que da origen a un torque.

dL

dt= ~rcm M~g

El torque reorienta constantemente al eje del trompo, en direccin perpendicular alplano que forman los vectores ~rcm yM~g, lo que da origen al movimiento de precesin.

Si el trompo se encuentra precesando con una frecuencia de oscilacin 0,la resonancia del mismo se obtendr introduciendo pequeos impulsos peridicosde fuerza ~F0, aplicados de forma perpendicular cada 20 segundos. Estos impulsospermiten observar una segunda inclinacin 1 del trompo, una tercera inclinacin3, . . . una ensima inclinacin n, correspondiente con el nmero n de impulsosaplicados.

27

En los dos ejemplos anteriores, se ha ilustrado como se puede inducir la reso-nancia en un sistema oscilatorio a trvez de la accin efectiva de un agente externo.Este agente entrega energa al sistema el cual posteriormente la cede a sus alrededo-res por medio de sus mecanismos de emisin. En general, un sistema de partculastienden a volver a su estado de equilibrio por medio de estos mecanismos, los cualesse denominan: mecanismos de relajacin

2.3. Precesin de una partcula con espn 12

A nivel microscpico y en presencia de campos magnticos constantes, los sis-temas con espn como los ncleos atmicos y las partculas que lo constituyen, tienenun comportamiento similar al de pequeos trompos que precesan a una frecuenciacaracterstica.

Para describir ste fenmeno, considere el movimiento de una partcula conespn 1

2y momento magntico ~, en presencia de un campo magntico constante

~B0, el cual es paralelo al eje Z de un sistema coordenado XYZ elegido como sis-tema de referencia. El momento magntico interacta con el campo y la partculaexperimenta un torque magntico, el cual con la ayuda de la ecuacin (1.8) puedeescribirse de la siguiente manera:

d~Lsdt

= ~ ~B0

Utilizando la relacin que existe entre el momento magntico y el momentumangular para una partcula de espn 1

2, la cual esta expresada en la ecuacin (1.10),

puede modificarse esta ultima expresin para representar la interaccin de la part-cula con el campo, nicamente en trminos del momento magntico ~ y del campomagntico ~B0.

d~

dt= ~ ~B0 (2.1)

28

Ahora, haciendo unos pequeos clculos del algebra vectorial sobre la ecuacin(2.1), puede obtener una idea clara de la naturaleza del movimiento de la partculaen su interaccin con el campo magnetico.

Multiplicando en trminos del producto escalar entre vectores ambos lados dela ecuacin (2.1), una primera vez por el vector momento magntico ~. Y nuevamentesobre la misma ecuacin (2.1) una segunda vez ahora por el vector ~B0, se obtienenlos siguientes resultados:

d2

dt= 0 (2.2)

d(~ ~B0)dt

= 0 (2.3)

La ecuacin (2.2)establece que el mdulo del momento magntico es constante.Por su parte la ecuacin (2.3) establece que el valor del producto interno de losvectores ~ y ~B0, es fijo e independiente del tiempo. Esto solamente puede suceder siambos vectores forman el mismo ngulo entre si en todo momento. Como el campomagntico es un vector fijo, se concluye que es el momento magntico el que realizaun movimiento de giro alrededor de ste campo. Este tipo de movimiento es unaprecesin y la misma se realiza con una velocidad angular constante 0.

Figura 14: Precesin de un espn en un campo magntico uniforme

29

Para determinar la magnitud de la precesin del espn, pueden referirse lasobservaciones de su movimiento a un sistema coordenado en movimiento de rota-cin1, un sistema que gire con la misma velocidad angular con la que lo hace elmomento magntico de la partcula. El respectivo cambio a ste sistema coordenadoproporciona el siguiente resultado:

d~

dt= ~ ~0 (2.4)

Comparando ste resultado con la ecuacin (2.1), puede observarse que la magnitudde la frecuencia de precesin es:

0 = B0 (2.5)

La cual se denomina: frecuencia de Larmour.

2.4. Precesin de un conjunto de espines 12

Considere una pequea muestra de materia, la cual est caracterizada porcontener una abundante cantidad de ncleos con espn 1

2. Esta muestra es colocada

en una regin donde existe un campo magntico uniforme de intensidad ~B0, el cuales paralelo al eje Z de un sistema coordenado XYZ.

Desde un punto de vista microscpico, cada punto de esta muestra contiene unnmero muy grande de espines que se encuentran en equilibrio trmico con su entornoinmediato, el cual esta constituido por el resto de la muestra. Macroscpicamentecada uno de estos puntos est caracterizado por el valor promedio de momentomagntico que toma el conjunto de espines en cada punto.

Este valor promedio, permite representar el movimiento global del conjuntode espines en cualquier punto de la muestra de la siguiente manera:

d~dt

= ~ ~B0 (2.6)

1La descripcin de ste sistema se desarrolla en el apendce A

30

Multiplicando esta ecuacin por el nmero N, el cual representa el nmero de espinespor unidad de volumen contenidos en cada punto de la muestra, la misma puedeescribirse como:

d ~M

dt= ~M ~B0 (2.7)

Esta ecuacin, muestra que el movimiento de un conjunto de espines en un cam-po magntico uniforme, puede ser descrito macroscpicamente por la precesin delvector magnetizacin ~M .

2.5. Resonancia magntica de un conjunto de partculas de espn 12

Para una muestra de tomos con espn 12

los cuales precesan a una frecuenciade Larmour caracterstica, la resonancia de estos puede ser representada en cadapunto de la muestra a travs de la resonancia de su magnetizacin en dichos puntos.

En el equilibrio trmico, la magnetizacin en cada punto de la muestra se en-cuentra totalmente paralela al campo ~B0, y la misma est constituida principalmentepor las componentes z de todos los espines que la constituyen. Las componentes xy y no contribuyen al estado energtico y se encuentran distribuidas aleatoreamentepor lo que sus valores promedios son nulos.

La aplicacin de un agente externo sobre el sistema, hace inclinar a la magneti-zacin y la misma comienza a precesar como lo indica la ecuacin ( 2.7). Este agenteexterno es un nuevo campo magntico ~B1(t), el cual por analoga con el movimientode precesin y resonancia del trompo, debe aplicarse de forma perpendicular al cam-po original. Si se desea que ste campo haga inclinar an ms a la magnetizacin(hacerla resonar), el campo debe girar y perseguir a la magnetizacin. La ecuacinde movimiento para la magnetizacin bajo estas condiciones puede escribirse de lasiguiente manera:

d ~M

dt= ~M [ ~B0 + ~B1(t)] (2.8)

31

Los efectos del campo ~B1 sobre la magnetizacin, pueden apreciarse mejorsi se enfocan las observaciones desde un sistema de referencia en movimiento derotacin XY Z1. Un sistema en el cual el campo ~B1 sea un vector independientedel tiempo. Haciendo el cambio de representacin a ste sistema de referencia mvil,la ecuacin de movimiento puede reescribirse de la siguiente manera:

d ~M

dt= ~M [k 1i] (2.9)

En donde se han hecho las sustituciones 0 = B0, 1 = B1 y = 0,siendo la frecuencia de oscilacin con la que gira el campo ~B1. Ahora, si se hacela sustitucin ~Beff = 1 [k

1i] la ecuacin de movimiento adopta la formadefinitiva:

d ~M

dt= ~M ~Beff (2.10)

Esta ecuacin la cual es similar a la ecuacin (2.7), muestra que el movimiento dela magnetizacin vista desde el sistema de referencia giratorio, es un movimiento deprecesin en torno al campo magntico efectivo ~Beff .

Figura 15: Precesin de ~M en torno al campo efectivo ~Beff

M

1La descripcin de ste sistema se da en el apendce A

32

Si la frecuencia de oscilacin con la que gira el campo ~B1 se aproxima a lafrecuencia de oscilacin de la magnetizacin 0, es decir, = 0. La magnetizacinrealizara su movimiento de precesin alrededor del campo efectivo ~Beff = 1 , elcual ahora es paralelo al eje X. Esto se puede observar en la siguiente figura:

Figura 16: Precesin de ~M en torno a X

M

Introduciendo los tiempos de observacin t1 = 21 y t2 =1

, en los cuales lamagnetizacin ha girado un ngulo

2y radianes respectivamente, las observaciones

trasladadas al sistema de referencia original muestran los siguientes resultados.

Figura 17: Resonancia del espn vista en el sistema de referencia XYZ

0=

tenM 0=

tenM

1ttenM =

2ttenM =

33

En la figura anterior se han ilustrado cuales son los efectos del campo oscilante~B1 sobre la magnetizacin ~M . Si la perturbacin de este campo se hace efectiva enun tiempo t1, la magnetizacin que en un inicio es paralela al campo ~B cambiarsu direccin inicial hasta encontrarse completamente sobre el plano XY, precesandoalrededor del eje Z. Si esta perturbacin es efectiva en un tiempo t2, la magnetizacincambiar drsticamente de orientacin y la misma se encontrara ahora abajo delplano XY, precesando alrededor del eje Z.

2.6. Interaccin de un conjunto espines 12

con su entorno

Los resultados de la seccin (1.3), pueden ser utilizados para investigar comoel entorno inmediato al conjunto de espines, influye marcadamente en el proceso deretorno al equilibrio de la magnetizacin, fuera de la resonancia.

En ausencia total de perturbacin magntica, los espines de una muestra demateria se encuentran distribuidos totalmente al azar. La presencia del campo mag-ntico ~B0 crea una redistribucin de los espines en dos estados de energa biendefinidos.

E = ~ ~B0 = zB0E+ = ~ ~B0 = zB0

Cuando el sistema ha alcanzado el equilibrio termodinmico, la diferencia entre laspoblaciones de estos estados es la que determina el sentido de la magnetizacin, lacual se encontrar totalmente paralela al campo externo, es decir, ~M = Mz. Ahora,cuando es introducido el campo magntico giratorio ~B1, la magnetizacin se inclinay comienza a precesar en torno al campo ~B0. Esto da lugar a que aparezcan com-ponentes transversales de magnetizacin Mxy.

Despus de que la perturbacin de ste campo ha cesado, las respectivas componen-tes de la magnetizacin en cada punto de la muestra, comenzarn a retornar a susvalores de equilibrio cediendo energa a su entorno inmediato.

34

Como se ha mencionado en la seccin (2.1), todos los sistemas de partculastienden a alcanzar su estado de equilibrio o de mnima energa a travs de unaserie de mecanismos denominados: mecanismos de relajacin. En el caso delsistema de espines, hay dos mecanismos de relajacin caractersticos, los cuales estnrelacionados con las componentes de magnetizacin Mz y Mxy.

La magnetizacin longitudinal Mz, retorna a su valor de equilibrio pormedio de un mecanismo de relajacin denominado: relajacin espn-retculo. Estemecanismo es el resultado de un intercambio energtico entre el sistema de espinesy el entorno prximo que los contiene, el cual es llamado: red o reservorio.

Cuando la magnetizacin es estimulada a resonar por medio del campo ~B1, elsistema de espines que la conforma en cada punto, absorbe energa selectivamente delas ondas de radiofrecuencia de donde se origina el campo. Esta selectividad consisteen que nicamente se absorbe energa de las ondas, cuya frecuencia sea igual a lafrecuencia de precesin de los espines. En ste proceso, una parte los espines que seencuentran en el estado de menor energa E, son promovidos al estado de mayorenerga E+ por la absorcin de un cuanto de energa E = ~0. El desbalance en elnmero de estados, origina que la magnetizacin longitudinal disminuya de su valorde equilibrio M0 al nuevo valor Mz.

El retorno al equilibrio, es un proceso que depende de las caractersticas de lamuestra de materia en estudio. Estas caractersticas como: el tipo y tamao de lasmolculas, influyen marcadamente en el tiempo que le toma a la magnetizacin en re-cobrar su valor de equilibrio. Este proceso puede ser representado matemticamentede la siguiente manera:

dMzdt

=M0 Mz

T1(2.11)

En esta ecuacin, T1 es un parmetro que resume todas las caractersticas de lamuestra de materia y se denominada: tiempo de relajacin longitudinal.

35

En trminos del tiempo de relajacin T1, la solucin de la ecuacin (2.11)puede escribirse de la siguiente manera:

Mz = M0

(1 e

tT1

)(2.12)

Esta ecuacin muestra que la evolucin de la magnetizacin al equilibrio, sucede deuna forma exponencial a un ritmo determinado por el tiempo de relajacin T1. Enste tiempo, la magnetizacin se recupera aproximadamente en un 63% de su valorde equilibrio.

La magnetizacin transversalMxy, retorna a su valor de equilibrio por medio deun mecanismo de relajacin llamado: relajacin dipolo-dipolo. Este mecanismoes atribuido a la accin de los dipolos moleculares y nucleares cercanos a la muestrade espines. Los dipolos segn la ecuacin (1.5), generan campos magnticos internoslos cuales perturban la homogeneidad del campo externo ~B0. Esta perturbacin en elcampo, origina que los espines en los distintos puntos del volumen analizado precesena diferentes frecuencias de Larmour, dando como resultado un desfase que tiende ahacer desaparecer la magnetizacin Mxy.

Figura 18: Anulacin de Mxy por desfase en la precesin de sus espines

36

El tiempo que le toma a la magnetizacin transversal en retornar a su valorinicial, incluye tanto la interaccin de los dipolos cercanos como la influencia de lainhomogeneidad del campo magntico externo, ste tiempo se denomina: tiempode relajacin transversal T2, y la ecuacin de movimiento que describe el procesode relajacin se escribe de la siguiente manera:

dMxydt

= MxyT2

(2.13)

Y su respectiva solucin es:

Mxy = MxyetT2 (2.14)

Tomando en cuenta los mecanismos de relajacin longitudinal y transversal,como la interaccin total de los campos ~B = ~B0 + ~B1, la descripcin del movi-miento de las componentes de la magnetizacin, puede obtenerse resolviendo unaserie de ecuaciones diferenciales que renen estos elementos, estas ecuaciones sondenominadas: ecuaciones de Bloch.

dMxdt

= ( ~M ~B)x MxT2

(2.15)

dMydt

= ( ~M ~B)y MyT2

(2.16)

dMzdt

= ( ~M ~B)z M0 +Mx

T1(2.17)

Con los valores iniciales de ~M tomados apropiadamente, las soluciones de estasecuaciones para un pulso

2pueden escribirse como:

Mx = M0etT2 cos(0t) (2.18)

My = M0etT2 sen(0t) (2.19)

Mz = M0(1 etT1 ) (2.20)

37

Estas ecuaciones, describen la evolucin de las componentes de la magnetizacin entodo momento despus de aplicado un pulso de campo magnetico.

Figura 19: Evolucin temporal de la magnetizacin

Como puede observarse en esta figura, la accin del campo magntico ~B1presente en un tiempo t = 0, hace inclinar la magnetizacin longitudinal M0 haciael plano XY. En ste momento, la componente transversal de la magnetizacin esenteramente M0 = Mxy. En un tiempo posterior t = t1 en el que la accin del campo~B1 ha cesado, los espines componentes de la magnetizacin transversal comienzana perder la coherencia de fase. Este desfase es originado por la falta de uniformidaden el campo ~B0 y por el efecto de los dipolos moleculares y nucleares propios dela muestra analizada. El desfase origina que los espines se habrn en abanico ysu aporte en el promedio se anule, lo que origina la disminucin la magnetizacintransversal.

Por su parte, la magnetizacin longitudinal despus de que ha terminado laperturbacin del campo oscilante B1, comienza a recobrar su valor inicial comoresultado de la energa cedida a la red de parte de sus espines componentes.

38

3. DESARROLLO CUNTICO DE LA

RESONANCIA MAGNTICA NUCLEAR

El estudio de los fenmenos microscpicos de la naturaleza, se encuentra en-marcado en el cuadro de leyes y principios que proporciona la fsica cuntica. Debidoa la naturaleza del fenmeno de la RMN, ste es el marco de estudio donde puedeexpresarse de una mejor manera ste fenmeno.

3.1. Partcula con espn 12

en un campo magntico uniforme

Un tomo cuyo ncleo posee espn 12, es introducido en una regin espacial

donde existe un campo magntico uniforme de intensidad ~B0, el cual es paraleloal eje Z de un sistema coordenado XYZ utilizado como sistema de referencia. Elmomento magntico de la partcula interacta con el campo dando origen a unsistema magntico con dos niveles de energa bien definidos.

Desde un punto de vista clsico, la energa de este sistema puede escribir comoel producto escalar de los vectores: momento magntico ~ y el campo ~B0. Si ademsse utiliza la relacin existente entre el momento magntico y el momento angular,la cual esta expresada en la ecuacin (1.10), la energa puede escribirse como:

E = ~ ~B0 = zBo = B0Lz

El anlogo cuntico de sta expresin, se obtiene al hacer la sustitucin de lasmagnitudes clsicas por sus operadores cunticos equivalentes. Utilizando la relacin0 = B0 la energa de ste sistema puede escribirse como:

H = 0Sz (3.1)

En esta ecuacin, Sz es el operador de espn en la direccin Z, el cual es anlogoa la componente Z del momentun angular, y H es el operador hamiltoniano querepresenta la energa total del sistema.

39

Los valores propios y kets propios de la representacin matricial del hamiltonianopara ste sistema son respectivamente:

H|+ = +~02|+ y H| = ~0

2| (3.2)

Estos valores son independientes del tiempo y de la orientacin espacial del sistemacoordenado utilizado para su representacin. El estado de la partcula en la repre-sentacin dada por los ket propios del hamiltoniano del sistema, puede escribirse dela siguiente manera:

| = c1| ++ c2| (3.3)

En sta ecuacin se puede observar que el efecto del campo magntico sobre lapartcula, es crear un sistema con dos estados probables de energas:

E+ = +~02

y E = ~02

(3.4)

La naturaleza del movimiento de la partcula puede determinarse de una mejormanera, si los efectos del campo magntico son analizados desde un sistema dereferencia diferente. La direccin de ste sistema esta especificada por el vectorunitario ~u, el cual es paralelo al momento magntico de la partcula.

Figura 20: Sistema de referencia en movimiento de precesin

40

El observable de espn en ste sistema de referencia, se puede obtener proyectando eloperador de espn total S en la recta determinada por el vector ~u. Matemticamentesta operacin puede representarse de la siguiente manera:

Su = S u = (Sx)sen cos+ (Sy)sensen+ (Sz) cos

Los kets propios de este observable son respectivamente:

|+u = cos

2ei2 |++ sen

2e

2 | (3.5)

|u = sen

2ei2 |++ cos

2e

2 |

Si en un inicio (t = 0 ) el estado del sistema es descrito por el ket representadoen la ecuacin (3.5), en un tiempo posterior (t = t1) ste estado habr evolucionadoen el tiempo. Debido a que el hamiltoniano del sistema es un operador independiendodel tiempo, sta evolucin puede determinarse aplicando la ecuacin de Schrodingeral ket |+u.

|+u(t) = cos

2ei2 e

iE+~ |++ sin

2e

2 e

iE~ | (3.6)

Utilizando las ecuaciones (3.4) que relacionan las energas de los estados |+ y |con la frecuencia de Borh, la representacin del estado del sistema en su evolucintemporal puede escribirse como:

|+u(t) = cos

2ei(

+0t2

)|++ sin 2ei(

+0t2

)| (3.7)

La interpretacin de esta ecuacin puede darse de la siguiente manera: en el estado|+u, la orientacin del momento magntico de la partcula est determinado porlos ngulos y (t). El ngulo , es el ngulo que el vector ~u forma con el campomagntico y su valor es constante. El ngulo (t) = + 0t el cual vara conel tiempo, est asociado al movimiento de giro que el momento magntico realizaalrededor del campo. Este tipo de movimiento es una precesin y la misma se realizaa una frecuencia de oscilacin constante 0.

41

3.1.1. Resonancia magntica de una partcula de espn 12

Una partcula cuyo ncleo posee espn 12

se introduce en una regin dondeexiste un campo magntico uniforme de intensidad B0. El estado de sta partcula,representado en la base de kets propios del observable Sz, queda representado de lasiguiente manera:

| = a+(t)|++ a(t)| (3.8)

Como se demostr en la seccin (3.1), la accin de un campo magntico uni-forme sobre una partcula de espn 1

2, induce a su momento magntico a adquirir

un movimiento de precesin en torno a ste campo. Ahora se investigar cual esel efecto de introducir un campo magntico giratorio ~B1(t) en el sistema formadopor la partcula y el campo original, y de forma perpendicular a ste. Primero debeobservarse que el hamiltoniano del sistema en este nuevo sistema de referncia, esahora un operador dependiente del tiempo.

H(t) = ~ ~B

= S ( ~B0 + ~B1(t))

Haciendo la respectiva expansin del producto escalar del operador S con los vectores~B0 y ~B1, se obtiene el siguiente resultado:

H(t) = 0Sz + 1(cos(t)Sx + sen(t)Sy)

En sta ecuacin, Sx, Sy y Sz son los respectivos operadores del observable de espntotal S asociados a las direcciones espaciales X, Y, Z respectivamente. En trminosde estos observables, la matriz que representa al hamiltoniano del sistema puede serescrita de la siguiente manera:

H =~2

(0 1e

it

1eit 0

)(3.9)

42

Sustituyendo ste resultado en la ecuacin de Schrodinger y aplicndola al ket dadoen la ecuacin (3.8), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones acopladas:

ida+(t)

dt=

02a+(t) +

12eita(t) (3.10)

ida(t)

dt=

12eita+(t) +

02a(t) (3.11)

La resolucin de ste sistema involucra un tratamiento con un hamiltoniano quedepende del tiempo. Para evitar esta situacin, puede hacerse el cambio de repre-sentacin a un sistema de referencia en movimiento de rotacin. Esto puede obtenerseaplicando un operador de rotacin que traslade las observaciones a un sistema de re-ferencia en movimiento de precesin alrededor del eje Z. El operador que representaesta operacin puede escribirse de la siguiente manera:

R(t) = eitSz~

La aplicacin de ste operador sobre el vector de estado representado en la ecua-cin (3.8), deja el siguiente par de relaciones para sus respectivas amplitudes deprobabilidad:

b+(t) = eita+ (3.12)

b(t) = eita (3.13)

Sustituyendo estos resultados en las ecuaciones (3.10 y 3.11), el sistema de ecuacionesacopladas puede reescribirse de la siguiente forma:

idb+(t)

dt= 0

2b+(t) +

12b(t) (3.14)

idb(t)

dt=

12b+(t) +

02b(t) (3.15)

43

Lo que permite escribir la representacin matricial del hamiltoniano en el sistemade referencia en rotacin de la siguiente forma:

H =~2

( 11

)(3.16)

La ecuacin (3.16) muestra que el hamiltoniano del sistema, descrito en elmarco de referencia giratorio, es ahora un oprador independiente del tiempo, y susrespectivos valores propios son:

E1 = ~2 y E2 =

~2 (3.17)

Desde el punto de vista cuntico, la resonancia tiene lugar cuando hay unatransicin de estado entre los estado accesibles de un sistema cuntico. Esta tran-sicin es originada por la absorcin selectiva de cuantos de energa por parte delsistema, los cuales provienen de la radiacin de radiofrecuencia emitida por unaantena.

Si en un inicio t = 0 el estado del sistema es descrito por ket |, el cual seencuentra en uno de sus estados accesibles, por ejemplo:

|(t = 0) = |+

El correspondiente ket en el sistema giratorio, segn las ecuaciones (3.12 y 3.13)estar dado como:

|(t = 0) = |+

Recordando que para una rotacin representada por el operador R(t) = eitSz~ ,

existe asociada a la misma un cambio de estado el cual estar representado por elket:

| = b+|++ b|

44

Bajo las condiciones establecidas, la resonancia ocurrir cuando haya una transicindel estado |+ al estado |. La probabilidad P+ de que esta transicin ocurra enun tiempo posterior t puede ser expresada de la siguiente manera:

P+ = |(t) 2

= a(t) 2

= b(t) 2

= |(t) 2

Esta probabilidad puede calcularse sustituyendo los valores propios del hamil-toniano (expresados en la ecuacin 3.17) en la frmula de Rab2. La formula deRab es una expresin matemtica que se utiliza para calcular la probabilidad detransicin en sistemas cunticos bajo pequeas perturbaciones, y esta expresada dela siguiente manera:

P+(t) =21

21 + 2

sin2(

(21 + 2)t

2

)(3.18)

La ecuacin (3.18) proporciona informacin de carcter probabilstico sobreel comportamiento del sistema ante las pequeas perturbaciones originadas por elcampo oscilante b1(t). En un inicio (t = 0 ) cuando la perturbacin del campo anno ha ocurrido, la probabilidad de transicin entre estados es nula y el sistemapermanecer en el estado |+ indefinidamente. Al paso de un breve tiempo, staprobabilidad oscilar sinusoidalmente entre los valores 0 y (

21

21+2 ). Si la frecuencia

de oscilacin del campo es mucho mayor que la frecuencia de Larmour, es decir, 1 la probabilidad continuar siendo nula. Si la frecuencia se acercaligeramente a la frecuencia de resonancia 0 la amplitud de las oscilacionesaumentar considerablemente. La condicin de resonancia se satisface cuando lafrecuencia externa iguala a la frecuencia natural del sistema = 0, entoncesexiste una clara certeza de que ocurrir una transicin hacia el estado |. Estatransicin se har efectiva cada t = (2n+1)

1segundos, donde n es un entero.

2La deduccin de esta frmula se encuentra en el apndice B

45

3.2. Interaccin magntica de un conjunto de partculas de espn 12

El estudio de la resonancia para un conjunto de partculas de espn 12, puede

hacerse a trvez del clculo de sus magnitudes observables promedio por medio deel operador de densidad.

Una muestra de partculas cuyos ncleos poseen espn 12, es introducida en una

regin donde existe un campo magntico uniforme de intensidad B0. Cada uno de losespines experimenta una interaccion con el campo y forma un subsistema energticoel cual es descrito por el hamiltoniano H0. Si la interaccin entre los espines es losuficientemente dbil como para considerarlos independientes entre s, cada subsis-tema est descrito por un vector de estado que representa a un ensemble puro, elcual es una combinacin lineal de los vectores propios |+ y | del hamiltoniano.

El macrosistema compuesto por los subsistemas puros, presenta una situcinde mezcla de estados en la cual el sistema no puede ser representado por un nicovector de estado, por lo que es necesario recurrir a un descripcin estadstica.

En el equilibrio termodinmico con su entorno y a una temperatura absolutaT, el sistema de espines tiene una probabilidad Z1e

~02T de encontrar espines en el

estado |+ y una probabilidad Z1e~02T , de encontrar espines en el estado |. La

matriz que representa al operador de densidad para este sistema puede escribirsecomo:

= Z1

(e~02T 0

0 e+~02T

)(3.19)

La funcin (Z = e~02T + e+

~02T ) que aparece en esta ecuacin, es un factor de

normalizacin el cual representa el nmero total de estados accesibles al sistema yse denominada funcin de particin.

46

Con la ayuda de la matriz de densidad se pueden calcular los valores me-dios de las componentes del momento magntico en el macrosistema de espines.Utilizando la relacin espn-momento magntico (expresada en la ecuacin 1.10),y calculando la traza del producto matricial de los operadores Sx, Sy, y Sz con lamatriz de densidad, se obtienen los siguientes resultados:

Sx = Tr(Sx) = 0 (3.20)

Sy = Tr(Sy) = 0 (3.21)

Sz = Tr(Sz) =~2

tanh~0T

(3.22)

Estas ecuaciones concuerdan con los resultados experimentales obtenidos parala medicin de la la magnetizacin macroscpica, la cual est definida en trminosde los valores medios de espn de la siguiente manera:

~M = N Sz

Los valores medios de las componentes Sx y Sy, estn asociados a los efectosde interferencia de las amplitudes cunticas de los estados base |+ y |. En elequilibrio trmico, la precesin de los espines no tienen coherencia alguna y las facesde sus componentes muestran una alta entropa, por lo que el promedio de sus valoresde espn en estas direcciones es nulo.

3.2.1. Resonancia de un conjunto de partculas de espn 12

Considere nuevamente un sistema de partculas con espn 12

en un campo mag-ntico uniforme de intensidadB0. Sobre ste sistema es aplicado un campo magnticogiratorio b1(t), el cual origina que las componentes del espn x y y de todas laspartculas adquieran coherencia de fase en su movimiento de precesin, dando pasoa que cada microsistema pueda ser representado por uno de los estados |x y |yasociados a estas componentes.

|x =12

[|+ |

]y |y =

12

[|+ i|

]47

El vector de estado para cada subsistema puede construirse a partir de unarotacin del sistema original al plano XY, seguida de una rotacin alrededor del ejeZ, la cual, est determinada por la frecuencia de precesin 0. En ste subsistemael vector de estado queda representado de la siguiente manera:

| = 12ei

02 |++ 1

2ei

02 |

Nuevamente cada uno de estos vectores de estado representa un ensemblepuro, y el conjunto total de estos subsistemas constituyen el macrosistema, el cualmuestra una situacin de mezcla de estados. La matriz de densidad que representael macrosistema puede escribirse como:

=

(12

e02

e0

212

)(3.23)

Ahora, con esta matriz pueden ser calculados los valores medios de las com-ponentes de espn del macrosistema. Estos valores son:

Sz = Tr(Sz) = 0 (3.24)

Sy = Tr(Sy) =~2sen(0t) (3.25)

Sx = Tr(Sx) =~2

cos(0t) (3.26)

Nuevamente existe concordancia entre las predicciones tericas expresadas por estasecuaciones, con los resultados experimentales obtenidos para la reorientacin de lamagnetizacin bajo un pulso

2. En efecto, la componente de magnetizacin longi-

tudinal ~M = NSz se anula por el efecto del campo, quedando nicamente lacomponente transversal ~M = NS la cual esta asociada a los valores mediosSx y Sy.

48

4. DESCRIPCIN DE LOS COMPONENTES DE

UN EQUIPO DE RESONANCIA MAGNTICA

NUCLEAR UTILIZADO EN MEDICINA

La funcin principal de un equipo de resonancia magntica, como instrumentode ayuda en el diagnstico mdico, es la de crear las condiciones necesarias paragenerar y controlar el fenmeno de la RMN en el cuerpo humano.

En este captulo se describir cada uno de los principales componentes queforman parte de un equipo de RMN, proporcionando las bases fsicas de su funcio-namiento y la funcin que realizan.

4.1. Descripcin de los componentes bsicos de un resonador mag-

ntico

Un resonador magntico es un sistema de dispositivos mecnicos, elctricos yelectrnicos compuesto por los siguientes componentes: un imn superconductor, unsistema de bobinas compensadoras, un sistema de bobinas de gradiente y un sistemade antenas emisor-receptor denominado: sonda de radiofrecuencia.

Todos los elementos que conforman el resonador estn conectados de formamecnica y electrnica, y los mismos son controlados por medio de una computadoraque se encuentra en el exterior de la sala de examen. En la siguiente figura se ilustrala forma caracterstica de un resonador magntico utilizado en el diagnstico mdicopor imgenes.

49

Figura 21: Resonador magntico

4.1.1. Imn superconductor

Este es un imn que est constituido por una serie de embobinados de alam-bre construido de una aleacin metlica superconductora, los cuales se encuentransumergidos en un medio que contiene helio lquido a una temperatura de 4.2 K.

Todo el conjunto de bobinas se encuentra dentro de un contenedor grande yaislado. Este contenedor tiene una estructura lisa y brillante muy similar a un termoy se conoce con el nombre de: Dewar

En el interior del Dewar existe una serie de tres cmaras, la primera y latercera de ellas se encuentran llenas de nitrgeno tan fro que se ha condensado enforma lquida. Estas capas de nitrgeno actan como un aislante trmico entre latemperatura ambiente del exterior y la cmara interna.

La segunda cmara se encuentra llena de helio liquido a una temperatura apro-ximada de 4.2 K. En el interior de esta cmara es donde se encuentran suspendidaslas bobinas superconductoras.

50

Esta serie de cmaras se encuentran separadas entre s y del exterior por cmarasadicionales de vaco. La siguiente figura ilustra la disposicin de todo el sistema.

Figura 22: Dispositivo de imn superconductor

Una bobina esta constituida por una serie de devanados circulares de alambreconductor en donde puede fluir una corriente elctrica. La corriente elctrica generacampos magnticos en el espacio interior y exterior de la bobina. Esto se ilustra enla siguiente figura.

Figura 23: Espira y bobina de corriente

51

Los campos magnticos generados en cada espira son tangentes en cada puntoa las circunferencias imaginarias cuyo centro es el alambre conductor. La magnitudde los campos decae de manera inversamente proporcional al radio de cada circun-ferencia, y puede ser calculado utilizando la ley de Ampere (ecuaciones 1.4 y1.14) aplicadas a cada espira conductora. El aporte total de todas las espiras creaen el interior de toda la bobina un campo magntico aproximadamente uniforme yconstante.

Una bobina superconductora mantiene el mismo principio de una bobina dealambre conductor, la misma genera campos magnticos por la corriente que circulaen ella. La diferencia principal es que cada espira de alambre de esta clase de bobina,est construida de una aleacin metlica superconductora.

La superconductividad es un fenmeno en el cual ciertas aleaciones de ma-teriales, se comportan como conductores perfectos cuando se enfran hasta una tem-peratura de 10 K. No exhiben resistencia alguna al paso de una corriente o dicho deotra manera, la conductividad del material es infinita. Por lo tanto, una corrienteelctrica puede fluir en el material sin disipaciones considerables de energa en formade calor.

La funcin principal de un imn superconductor es generar un campo magn-tico uniforme en la regin interior del resonador. Uno de estos imanes puede generarcampos magnticos de hasta 4 teslas de intensidad.

4.1.2. Bobinas Compensadoras

En la abertura principal del imn superconductor se encuentra un tambor dehasta treinta arrollamientos individuales de alambre conductor llamados: bobinasde compensacin, cada una con su propio suministro de potencia.

Los principios del funcionamiento de las bobinas compensadoras son los mis-mos de una bobina comn, la misma produce un campo magntico por el paso deuna corriente elctrica, la cual es generada por una fuente de potencia externa. Lasiguiente figura ilustra la disposicin de estas bobinas.

52

Figura 24: Sistema de bobinas compensadoras

Una vez que el imn principal alcanza su potencia de campo, la corriente y lapolaridad de cada bobina compensadora se ajusta para producir la homogeneidadmxima del campo magntico. A esto se le denomina: compensacin de imn.

4.1.3. Bobinas de Gradientes

Estas son tres tipos de embobinados mviles que se utilizan para proporcionarincrementos lineales de campo magntico en las direcciones espaciales X, Y, Z. Estosincrementos son adicionados al campo original ~B0 a partir de un origen de referenciay en la direccin determinada como positiva, y sus