INE7002 - Testes de hipóteses: diferença entre 2 médias...

Inferência Estatística

Testes de Hipóteses: testes de diferença entre 2 médias, conceitos, grupos pareados, grupos independentes com variâncias conhecidas e

desconhecidas

1

Introdução

Considere o problema de comparar 2 materiais

(A e B), para sola de tênis, pelo grau de

desgaste após um período de uso. Seguem dois

projetos de experimentos alternativos:

2

Introdução

Projeto I – Um grupo de indivíduos usa tênis com solas feitas com o material A; e outro grupo usa tênis com solas feitas com o material B.

Projeto II – Fabricam-se, para a realização do experimento, pares de tênis com os dois tipos de sola, isto é, um dos pés com o material A e o outro pé com o material B. Em cada par, o material usado em cada pé (direito ou esquerdo) é decidido por sorteio 3

Amostras independentes – Projeto I

Material B Material A divisão aleatória

Mensuração do grau de desgaste Mensuração do grau de desgaste

4

Amostras pareadas – Projeto II

Mensuração do grau de desgaste

B A B A A B B A A B

alocação aleatória de A e B em cada par

5

Amostras pareadas

Importância de considerar os pares na análise:

criança

1 2 3 4 5 ...

desgaste

material A

material B

desgaste

6

Teste de Diferença entre 2 médias populacionais

Duas populações, com variáveis quantitativas observáveis.

Médias dos valores de uma variável quantitativa nas 2 populações (1 e 2).

H0: μ1 - μ2 = d0

H1: μ1 - μ2 > d0 μ1 - μ2 < d0 μ1 - μ2 ≠ d0

Teste t.

7

Teste t

8

William Sealy Gossett

Desenvolveu o teste t para

comparar pequenas amostras

na produção de cerveja stout.

9

SIM

NÃO SIM

NÃO SIM

NÃO

Duas

amostrasRelacionadas?

Teste t para 2

amostras

pareadas

Avaliar variâncias

populacionaisConhecidas?

Teste Z para 2

amostras

independentes

Teste F de

diferença entre 2

variâncias

Usar Z como

variável de teste

Variância

semelhantes?

Teste t para 2

amostras

independentes

Teste t para 2

amostras

independentes

Variável de

interesse

quantitativa:

distribuição

normal em

ambas as

populações Usar t com

n1+n2 -2

graus de

liberdade

Usar t com

graus de

liberdade

Teste de Diferença entre 2 médias populacionais: grupos relacionados

Variável normal em ambas as populações.

Populações relacionadas (tamanhos de amostra têm que ser iguais).

Muito comum em situações do tipo antes-depois => PAREAMENTO.

10

Teste de Diferença entre 2 médias populacionais: grupos pareados

H0: μantes - μdepois = d0 => μD = d0

H1: μD > d0 μD < d0 μD ≠ d0

Distribuição da variável nas situações antes e depois: normal

Distribuição amostral da diferença média: t com n- 1 graus de liberdade.

n é o número de pares.

11

Teste de Diferença entre 2 médias populacionais: grupos pareados

12

ns

ddt

D

n/

01

Se H1: D > d0 => Rejeitar H0 se valor-p = P(tn-1 > tn-1,calculado)

Se H1: D < d0 => Rejeitar H0 se P(tn-1 < tn-1,calculado)

Se H1: D ≠ d0 => Rejeitar H0 se 2 × P(tn-1 > |tn-1,calculado|)

Exemplo 1

O gerente de uma loja de carros está testando duas marcas (1 e 2) de pneus radiais. Coloca ao acaso um pneu de cada marca nas duas rodas traseiras de 8 carros e anda com os carros até que os pneus se desgastem, sendo registrada a quilometragem. Para 1% de significância há evidência de diferença entre as vidas médias dos pneus?

13

Exemplo 1

Pareamento: duas marcas no mesmo carro.

H0: μ1 – μ2 = d0 => μD = d0

H1: μD ≠ d0

d0 = 0

H0: μ1 – μ2 = 0 => μD = 0

H1: μD ≠ 0

14

Exemplo 1

15

Carro Marca 1 Marca 2 Diferença

1 36925 34318 2607

2 45300 42280 3020

3 36240 35500 740

4 32100 31950 150

5 37210 38015 -805

6 48360 47800 560

7 38200 37810 390

8 33500 33215 285

375,868d

033,1290ds

Exemplo 1

16

904,18/033,1290

0375,868

/818

01

tt

ns

dt

D

n

Valor-p = 2 × P(t8 > |1,904|) = 2 × 0,049 = 0,098

Valor-p > 0,01 => Rejeitar H0 => Não há evidência de diferença

Teste de Diferença entre 2 médias populacionais: grupos independentes,

variâncias conhecidas


Populações independentes (tamanhos de amostra podem ser diferentes).

Variâncias populacionais da variável nas duas populações sejam conhecidas.

17


variâncias conhecidas H0: µ1 - µ2 = d0

H1: µ1 - µ2 > d0 H1: µ1 - µ2 < d0 H1: µ1 - µ2 ≠ d0

Estatística de teste: z.

Distribuição da estatística de teste: normal

18

D

dxxZ

021

2

2

2

1

2

1D

nn


variâncias desconhecidas


Populações sejam independentes (tamanhos de amostra podem ser diferentes).

E, as variâncias populacionais da variável nas duas populações são DESCONHECIDAS.

19


variâncias desconhecidas Estatística de teste t com gl:

Variâncias populacionais semelhantes, n1+n2 -2.

Variâncias populacionais diferentes, .

Como descobrir se são semelhantes?

Teste F de diferença entre 2 variâncias.

20

Teste F de diferença entre variâncias

21

• H0: σ12 = σ2

2 H1: σ12 σ2

2

• Estatística de teste F.

2

2

2

11,1 21 s

sF nn

Distribuição F de Fisher com n1-1 e n2-1 graus de liberdade

Rejeitar H0 se: Fn-1,n2-1 < Fn-1,n2-1;α/2 OU Fn-1,n2-1 > Fn-1,n2-1;1-α/2

22

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4

f(x)

Estatística F

Distribuição F de Fisher (dois exemplos)

F com 14,14 graus de liberdade F com 6,7 graus de liberdade

23

Fn-1,n2-1;α/2

α/2

Fn-1,n2-1;1-α/2

α/2

24


variâncias desconhecidas e semelhantes

• Estatística de teste: t.

• Distribuição da estatística de teste: t com n1 + n2 – 2

graus de liberdade.

d

_

2

_

12nn

s

xxt

21

2nn

n

1

n

1s)1n(s)1n(

s21

21

2

22

2

11

d

25

Teste de Diferença entre 2 médias populacionais: grupos independentes, variâncias desconhecidas e diferentes

d

_

2

_

1

s

xxt

2

2

2

1

2

1d

n

s

n

ss

1n

n/s

1n

n/s

n/sn/s

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

• Estatística de teste: t.

• Distribuição da estatística de teste: t com graus de

liberdade.

Exemplo 2

A Jabyl Circuits está avaliando o tempo de montagem de um novo modelo de circuito em 2 de suas unidades. Suspeita-se que o desempenho da fábrica 1 seja pior do que o da fábrica 2 (aquela seria mais lenta). Supõe-se que as distribuições dos tempos podem ser consideradas normais. Foram coletadas duas amostras de tempos de montagem: 8 na fábrica 1, resultando em média de 3,52 minutos, variância de 1,5 minutos2 e 10 na fábrica 2, resultando em média de 1,85 minutos e variância de 1,7 minutos2. A suspeita é procedente a 5% de significância?

26

Exemplo 2

H0: μ1 - µ2 = 0

H1: μ1 - µ2 > 0

Nível de significância: = 0,05; 1- = 0,95

Grupos independentes, variâncias populacionais desconhecidas: aplicar teste F de diferença entre variâncias.

27

Exemplo 2

H0: σ2

1 = σ22 (admite-se que não haja diferença)

H1: σ2

1 ≠ σ22

Nível de significância: = 0,05; 1- = 0,95

s21 = 1,5 min2 n1=8 s2

2 = 1,7 min2 n2=10

28

882,07,1

5,19,71,1 2

2

21

21 FF

s

s

nn

29

F7,9;0,925 = 4,2

F7,9;0,025 = 0,21

F7,9 = 0,882

Aceitar H0: 12 2

2

Exemplo 2

As variâncias populacionais podem ser consideradas semelhantes.

A variável t terá n1 + n2 – 2 graus de liberdade.

tn1+n2-2 = t8+10-2 = t16.

30

6023,0

2108

10

1

8

17,1)110(5,1)18(

2nn

n

1

n

1s)1n(s)1n(

s21

21

2

22

2

11

d

Exemplo 2

31

Valor-p = P(t16 > 2,772) = 0,0068

Como valor-p = 0,0068 < α = 0,05

REJEITAR H0 a 5% de Significância (há 5% de chance de erro)

Assim, concluímos com 95% de confiança (ou chance de erro de 5%) que a suspeita é procedente.

772,26023,0

85,152,3 =>

016

2116

t

s

xxt

d

32

α = 0,05

Valor - p = 0,0068

tcalculado = 2,772 tcrítico = 1,746

Exemplo 2

E se as variâncias fossem diferentes...

A variável t teria graus de liberdade.

33

13

18

8/5,3

110

10/6,0

8/5,310/6,0

1n

n/s

1n

n/s

n/sn/s22

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

6519,010

5,3

8

6,0

2

2

2

1

2

1 dd sn

s

n

ss

Exemplo 2

34

562,26519,0

85,152,3 =>

013

2113

t

s

xxt

d

Valor-p = P(t16 > 2,562) = 0,0118

Como valor-p = 0,0118 < α = 0,05

REJEITAR H0 a 5% de Significância (há 5% de chance de erro)

Assim, concluímos com 95% de confiança (ou chance de erro de 5%) que a suspeita é procedente.

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